Моделирование деформирования и разрушения тонких пленок с учетом их структуры тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Моделирование процессов переноса вакансий, возникновения механических напряжений и порообразования под действием электрического тока.

§1.1 Электромиграционные уравнения.

§ 1.2 Модель возникновения механических напряжений, индуцированных электромиграцией.

§1.3 Кинетическая модель зарождения микропоры.

Глава 2. Моделирование электромиграции вакансий вдоль межзеренных границ и зарождения микропоры в тройной точке.

§2.1 Моделирование электромиграции вакансий вдоль межзеренных границ.

§2.2 Вывод одномерного кинетического уравнения, описывающего распределение механических напряжений вдаль межзеренной границы.

§2.3 Моделирование порообразования в тройной точке.

§2.3.1 Анализ сферической поры.

§2.3.2 Анализ цилиндрической поры.

Глава 3. Алгоритм численного расчета времени до зарождения микропоры в тройной точке и распределения концентрации вакансий и механических напряжений вдоль границ зерен.

§3.1 Разностная аппроксимация дифференциальных уравнений, описывающих электромиграцию вакансий и распределение механических напряжений вдоль границ зерен.

§3.2 Разностная аппроксимация граничных условий электромиграционного уравнения.

§3.3 Алгоритм генерации узлов сетки.

§3.4 Анализ аппроксимации и устойчивости разностной схемы.

§3.5 Алгоритм расчета времени до зарождения поры в тройной точке.

Глава 4. Результаты расчетов и их анализ.

§4.1 Результаты расчетов электромиграции вакансий и кинетики механических напряжений в предположении об отсутствии порообразования.

§4.2 Результаты расчетов зарождения микропоры в тройной точке.

В настоящее время наблюдается тенденция повышения производительности полупроводниковых приборов за счет уменьшения характерных размеров элементов интегральных микросхем (ИМС) и создания плотноупакованных многоуровневых микроэлектронных структур. Так, первые процессоры знаменитой серии Pentium с тактовыми частотами 60 и 66 МГц, представленные фирмой Intel в марте 1993 г., были выполнены по 0.8-микронной CMOS-технологии и содержали 3.1 млн. транзисторов на площади 105 мм [1]. Представленные же в октябре 1999 г. процессоры серии Pentium III с тактовыми частотами от 667 до 733 МГц выполнены по 0.18-микронной CMOS-технологии и содержат 28.1 млн. транзисторов на площади 105 мм [1,2]. В 2002 г. фирмой Intel планируется переход на 0.13-микронную CMOS-технологию [2].

Для устойчивой работы ИМС каждый из ее многочисленных компонентов доложен обладать высокой надежностью, ибо выход из строя даже одного из них может привести к отказу всей микросхемы. Это обуславливает возрастающую актуальность проблемы надежности микроэлектронных элементов и, как следствие, моделирования процессов их разрушения.

Одной из основных причин выхода из строя ИМС является разрушение тонкопленочных проводящих элементов (дорожек). Проводник ИМС представляет собой металлическую линию с характерными размерами в поперечном сечении 0.1-1 мкм и длиной от 10 до 1000 мкм, осажденную на кремниевой подложке и покрытую изолирующим слоем, обычно изготавливаемым из двуокиси кремния (Рис. 1). В качестве материала для изготовления пленки в подавляющем большинстве случаев используется алюминий благодаря своим адгезионным и электрическим свойствам.

Проводящие дорожки обладают так называемой бамбуковой зернистой структурой, изображенной на Рис. 1. Она характеризуется сравнительно малым

Рис. 1. Схематическое изображение тонкопленочного проводящего элемента интегральной микросхемы, осажденного на кремниевой подложке и покрытого сверху изолирующим слоем. Более крупным пунктиром обозначена зернистая структура проводника количеством границ, направленных вдоль линии и ничтожно малой вероятностью того, что на толщину линии приходится более одного зерна.

Разрушение проводящих дорожек начинается с зарождения микропор в областях, пересыщенных вакансиями. Процесс порообразования заключается в том, что изолированные вакансии и их комплексы флуктуационным путем образуют устойчивые по размеру и конфигурации кластеры. Последующий рост микропор, связанный с притоком вакансий на их поверхность, приводит к отказу линии.

В настоящее время считается общепризнанным, что основной причиной развития вакансионного пересыщения является перенос вакансий под действием электрического тока (электромиграция). Определяющая роль электромиграции в разрушении линий обусловлена значительными

11 2 величинами плотности электрического тока (~10 А-м" ), используемыми в современной микроэлектронике. При этом следует отметить, что несмотря на большие плотности тока возрастание температуры линии в результате джоулева нагрева незначительно вследствие сильного теплоотвода на подложку1.

1 При плотности тока 106 А/см2 и начальной температуре линии 200 °С возрастание температуры пленки в результате джоулева нагрева составляет всего 10 °С [3].

Многочисленные эксперименты показывают, что электромиграция вакансий в тонких пленках происходит преимущественно по границам зерен вследствие меньшего по сравнению с объемом значения энергии активации диффузии (0.2-0.7 эВ по границе, 1.2-1.5 эВ в объеме) [3]. При изучении диффузионных процессов межзеренная граница рассматривается как область конечной толщины, в которой осуществляется переход от участка решетки с одной ориентировкой к участку с другой ориентировкой. Толщина межзеренной границы по порядку величины равна 10 А [4].

В поликристаллических материалах зарождение микропор происходит гетерогенно, на дефектах кристаллической структуры - инородных включениях, границах раздела между элементами структуры и т.п., что оправдано энергетически: при формировании пор на структурных неоднородностях происходит высвобождение энергии, вызванное потерей части поверхности раздела, связанной с дефектом (например, межзеренной границы или поверхности раздела "включение-кристалл"). В силу того, что электромиграция в проводящих дорожках протекает преимущественно по межзеренным границам, такие структурные дефекты как места пересечения границ зерен друг с другом (тройные точки) и с боковой поверхностью линии являются участками сильной дивергенции потока вакансий, что приводит к развитию вакансионного пересыщения, и, как следствие, к зарождению микропор (Рис. 2а,б).

Перераспределение вакансий под действием электрического тока вызывает возникновение в проводнике неоднородных объемных деформаций, которые, в свою очередь, приводят к развитию пространственно-неоднородного поля механических напряжений. Напряжения влияют как на электромиграцию вакансий, так и на процесс порообразования. Особенностью деформирования линий является то, что проводник вместе с кремниевой подложкой и изолирующим покрытием (Рис. 1) образует жесткую конструкцию, так как материалы подложки и изоляции имеют значительно

Рис. 2. Дефекты кристаллической структуры линии, на которых происходит зарождение микропор вследствие электромиграции (вид сверху по отношению к Рис. 1): а) тройная точка; б) место пересечения границы зерна с боковой поверхностью проводника большие модули Юнга, чем материал проводника (ЕА\ = 60 ГПа,

Я8ю2*Яя=160ГПа)[5].

Таким образом, для решения проблемы надежности проводников ИМС актуальной является разработка нелинейной самосогласованной модели электромиграции вакансий, кинетики механических напряжений и зарождения микропор, которой и посвящена настоящая диссертация.

Ниже приведен обзор литературных исследований, посвященных проблемам, рассматриваемым в данной работе.

Обзор работ по электромиграции. В течение долгого времени электромиграция представляла интерес больше теоретический, чем практический. Однако с середины 60-х годов XX столетия, когда тонкопленочные проводники стали широко применяться в полупроводниковой технологии, электромиграция стала представлять большой интерес с практической точки зрения. После того как Блечем и Селло [6] было установлено, что она является одной из основных причин отказов тонкопленочных электронных схем, появилось множество исследований и публикаций. Достаточно полный обзор ранних работ по электромиграции в тонких пленках появился в 1973 г. [3].

В подавляющем большинстве теоретических и экспериментальных работ по электромиграции основным предметом исследования является ее движущая сила, то есть сила, вызывающая направленное движение атома под действием электрического тока. При электромиграции в качестве движущей силы обычно рассматривают сумму двух воздействий: электростатического взаимодействия между электрическим полем и ионными остовами атомов, лишенных валентных электронов, и силы трения между этими ионами и потоком заряженных носителей, которую часто называют силой "электронного ветра". В металлах, являющихся хорошими электрическими проводниками, обычно преобладает сила "электронного ветра".

В работе [7] сила "электронного ветра" рассчитывалась из условия обмена импульсами между носителями заряда и движущимся атомом, расположенным в седловой точке на элементарной диффузионной стадии. Результирующая сила, действующая на диффундирующий атом, была представлена в виде = \е\г*Е, (1) где е - заряд электрона, Е - напряженность электрического поля, 2 -эффективный заряд диффундирующего атома. Эффективный заряд - это величина, отражающая одновременное воздействие на атом электростатических сил и "электронного ветра". Следует отметить, что фактически во всех исследованиях электромиграции движущая сила представляется в виде (1), поэтому задача об определении движущей силы эквивалентна задаче об определении эффективного заряда. При этом при рассмотрении электромиграции вакансий обычно полагается, что эффективный заряд вакансии равен эффективному заряду атома, взятому с обратным знаком.

Среди многочисленных исследований по определению эффективного заряда следует отметить работы [8,9], в которых был применен метод псевдопотенциала, [10,11], где использовались соображения о модуляции носителей заряда вблизи движущегося иона, и [12], в которой был применен квантовомеханический подход.

При экспериментальных исследованиях электромиграции наиболее широко распространены методы, типичные для стандартных исследований диффузии. Так, в работах [13-16] был применен метод инертных меток, а в трудах [7,17] - метод видимых меток. Для металлов с точно установленной электронной проводимостью эксперименты по электромиграции дали легко интерпретируемые результаты. В соответствии с теоретическими выводами обнаружено, что атомы мигрируют к положительному электроду. Так обстоит дело, например, с золотом (Z = -8) [7], серебром (Z =-26) [13,18] и медью (2* =-5) [19,20].

Обзор работ по зернограничной диффузии. Как было отмечено ранее, отличительная особенность электромиграции в тонких пленках состоит в том, что она протекает главным образом вдоль межзеренных границ. Так, при электромиграции атомов AI в тонкой алюминиевой пленке при 175 °С отношение потока атомов вдоль межзеренных границ к потоку в объеме равно 106 [21]. В случае электродиффузии атомов Си в алюминиевых пленках при температуре 225 °С упомянутое отношение равно 104 [9]. Другие доказательства преимущественного протекания электромиграции в тонких пленках вдоль межзеренных границ были получены с помощью измерений энергии активации диффузии [6,22,23]: для алюминиевых пленок ее значения зависели от способа приготовления образца, но не выходили за пределы 0.30.7 эВ, в то время как решеточные энергии приближенно равны 1,3 эВ. Следовательно, на практике при исследовании электромиграции в тонких пленках можно вообще пренебречь диффузией по кристаллической решетке и рассматривать только перенос по границам зерен.

Первый анализ совместной диффузии по кристаллической решетке и диффузии вдоль межзеренных границ для геометрии, показанной на Рис. 3, был выполнен Фишером [24]. Он решил систему уравнений для диффузии по кристаллической решетке и зернограничной диффузии в приближенном виде, сделав несколько упрощающих предположений. Первая попытка адекватно

Истоковая поверхность

Зерно Зерно р! ШшШ ¡¡¡¡¡I ¡¡§¡¡¡1 ¡¡Вш 'г ¡¡¡Рр

Рис. 3. Пояснение к модельному представлению диффузии вдоль межзеренной границы, использованному Фишером [24]

Межзеренная граница решить сложную задачу о зернограничной диффузии в тонких пленках была сделана в работе Уннама, Карпентера и Хауски [25]. Пользуясь методом конечных разностей, эти авторы смоделировали процесс диффузии из монокристаллической подложки в пленку со столбчатыми зернами. В их модели рассчитывались отдельно коэффициент диффузии по кристаллической решетке и коэффициент зернограничной диффузии. Кроме того, в этой модели учитывалось влияние конечной толщины пленки, близости обеих поверхностей и диффузии по наружной поверхности.

Гилмер и Фаррелл [26,27] получили аналитические решения для модели, в которой учитывается как диффузия по кристаллической решетке, так и зернограничная диффузия, а также влияние конечной толщины пленки. Решения были получены для случая отдельных границ [26] и для системы параллельных границ [27].

Наиболее полный обзор экспериментальных и теоретических исследований структуры межзеренных границ и зернограничной диффузии в тонких пленках приведен в работе Каура и Густа [4].

Обзор работ по механическим напряжениям, индуцированным электромиграцией. В процессе изучения электромиграции в тонких пленках выяснилось, что большое влияние на нее оказывают механические напряжения, возникающие в проводнике вследствие неоднородных объемных деформаций, обусловленных перераспределением вакансий под действием электрического тока.

Проблеме описания упругих полей, генерируемых дефектами кристаллической структуры, посвящена классическая работа Эшелби [28]. Механические напряжения обусловлены искажениями кристаллической решетки вблизи дефектов. В частности, Эшелби моделировал вакансию в однородной бесконечной изотропной среде следующим образом: в некоторой точке среды вырезалась сферическая полость, затем в нее вставлялась сфера несколько меньшего радиуса, и производилось склеивание поверхностей вставленной сферы и разреза. Для данного случая были рассчитаны поля напряжений и смещений, связанных с вакансией. В случае непрерывного распределения вакансий в среде задача об отыскании механических напряжений аналогична задаче термоупругости: математические описания упругих полей, возникающих вследствие неравномерного нагрева тела и вследствие неоднородного распределения вакансий, идентичны.

Блеч [29] был одним из первых, кто исследовал возникновение механических напряжений в тонкопленочных проводниках вследствие электромиграции. Исходя из качественной модели Блеча, развитие градиента напряжений обуславливает торможение электромиграции. Полагая, что возникающий градиент механических напряжений достаточно быстро уравновешивает электротранспорт, вследствие чего поток вакансий становится постоянным или равным нулю, Блеч рассматривал лишь стационарные случаи.

После работы Блеча эта проблема получила дальнейшее развитие в трудах Киршхайма [30,31] и Корхонена [32], в которых была сделана попытка вывести кинетическое уравнение для сферической части тензора механических напряжений, индуцированных электромиграцией. В обеих работах предполагалось, что перенос вещества осуществляется исключительно по межзеренным границам.

В работе Киршхайма [31] предложена модель, в соответствии с которой возникновение сжимающих и растягивающих напряжений на границах зерен вызвано генерацией и аннигиляцией вакансий. Участками генерации и аннигиляции вакансий могут быть как сами границы зерен, так и соседние границы или краевые дислокации внутри зерен. В этой работе были выписаны уравнение диффузии вакансий вдоль границы зерна с учетом действия электрического поля и градиента механических напряжений и кинетическое уравнение для сферической части тензора напряжений, индуцированных электромиграцией. Изменение механических напряжений со временем пропорционально отклонению концентрации вакансий от термодинамически равновесного распределения, в свою очередь, зависящего от уровня механических напряжений. Для некоторых предельных случаев полученные уравнения были решены численно и аналитически. Главный недостаток предложенного подхода заключается в пренебрежении непосредственным влиянием транспорта вакансий на кинетику механических напряжений.

Корхоненом в [32] предложена другая модель, описывающая кинетику напряжений, индуцированных электромиграцией, в тонкопленочном проводнике (Рис. 1). В предположении, что перенос осуществляется исключительно по межзеренным границам, фактически рассматривалась объемная диффузия вдоль однородной линии с эффективными диффузионными характеристиками. Возникновение механических напряжений объяснялось взаимодействием двух факторов: "распуханием" межзеренных границ вследствие аккумуляции атомов внутри них и стеснением линии со стороны подложки и изолирующего покрытия (Рис. 1). В предположении, что всегда имеет место термодинамически равновесное распределение вакансий (за счет действия источников/стоков), было получено одномерное дифференциальное уравнение, описывающее кинетику шаровой части тензора механических напряжений, осредненной по сечению линии. Это уравнение было решено аналитически для некоторых частных случаев.

Клемент и Томсон [33], используя подход, развитый Корхоненом, получили кинетические уравнения для кинетики механических напряжений и концентрации вакансий в более обоснованной форме, основываясь на предположении, что концентрация вакансий близка к термодинамически равновесному распределению. В работах [33,34] для упомянутых кинетических уравнений было получено аналитическое решение при определенных граничных условиях.

Таким образом, важным преимуществом модели, предложенной Корхоненом, является то обстоятельство, что на основе конкретного механизма возникновения механических напряжений было получено замкнутое уравнение для их кинетики в процессе электромиграции. Однако эта модель не применима в местах накопления вакансий, где отклонение их концентрации от термодинамически равновесного значения может быть значительным.

Дальнейшее развитие моделей деформирования проводников интегральных микросхем было выполнено в работах [35-38]. В них разработана общая кинетическая модель возникновения механических напряжений в процессе электромиграции, получены дифференциальные уравнения, описывающие деформирование линии в трехмерном случае.

Экспериментальные измерения механических напряжений, возникающих в дорожках вследствие электромиграции, описаны в работах [39,40]. Авторы работы [39] исследовали тонкопленочный алюминиевый проводник длиной 200 мкм, шириной Юмкм и толщиной 0.5 мкм, покрытый 8Ю2-изоляцией (Рис. 1), при температуре 260 °С и различных плотностях тока. Посредством рентгеновского облучения образца и последующего анализа дифракционной картины проводились измерения расстояния между кристаллическими плоскостями (111) вдоль нормали к пленке до (d±°) и во время электромиграции (dje). Подобные измерения проводились в различных точках по длине образца. На основе разностей d± - d± рассчитывалась шаровая часть механических напряжений. В результате, авторы получили линейное стационарное распределение шаровой части механических напряжений вдоль линии с максимальным значением сжимающих напряжений у анода и с максимальным значением растягивающих напряжений у катода.

В работе [40] исследовались А1-0.5% Си линии на кремниевых подложках с БЮг-изоляцией (Рис. 1) шириной от 0.6 до 3 мкм и толщиной до 3 мкм. Авторы использовали метод пьезооптической спектроскопии для измерения напряжений в подложке в непосредственной близости от проводника (фактически, на границе раздела "подложка-проводник"). Измеренные напряжения использовались затем в качестве входных данных (граничных условий) для расчета напряжений в линии методом конечных элементов.

Обзор работ по зарождению микропор. Важнейшим аспектом проблемы моделирования разрушения проводящих элементов микросхем является описание зарождения микропор под действием электромиграции и механических напряжений. Как было отмечено ранее, образование микропоры - это процесс, с которого начинается электромиграционное разрушение линии.

Рассматривая идеальную модельную ситуацию при отсутствии постоянно действующих источников вакансий, Черемской [41] выделил три стадии процесса вакансионного порообразования. На первой происходит интенсивный распад пересыщенного раствора вакансий с образованием способных к дальнейшему росту микропор при практически постоянном пересыщении (число вакансий пр в порах намного меньше общего их числа п в кристалле). На второй стадии происходит рост образовавшихся пор за счет поглощения моновакансий, пересыщение падает (пр ~ п). Начало третьей стадии соответствует тому моменту, когда вакансионное пересыщение становится недостаточным (пр » п) для образования и роста пор флуктуационным путем, и главную роль приобретает коалесценция, т.е. рост крупных пор за счет растворения мелких. Поскольку обособление второй и третьей стадии является в некоторой степени условным в смысле самостоятельности каждой из них, их часто объединяют в этап роста поры. Первая же стадия рассматривается как этап зарождения.

Как было отмечено ранее, в большинстве случаев зарождение микропор происходит гетерогенно, на дефектах кристаллической структуры материала. В частности, экспериментальные исследования [6,22,42] указывают на ограничение границами зерен областей повреждения в тонких пленках, а в работе [21] показано отсутствие деградации монокристаллической алюминиевой пленки.

Используемые в настоящее время в литературе подходы к моделированию электромиграционного порообразования основаны на феноменологических характеристиках - критической концентрации вакансий [43,44] или критическом уровне механических напряжений [30-32], достижение которых ассоциируется с зарождением микропоры.

В работах Шацкеса и Ллойда [43] и Клемента [44] рассматривалась электромиграция вакансий в проводящей алюминиевой линии без учета источников/стоков вакансий и возникающих при электромиграции механических напряжений. Полагалось, что на определенном участке проводника транспорт вакансий блокировался межзеренной границей, и, вследствие сильной дивергенции потока вакансий, происходило их интенсивное накопление и зарождение поры при достижении концентрацией вакансий критического значения С*. Однако выбор конкретного значения С* в обоих исследованиях фактически не был обоснован, не было дано и термодинамического обоснования устойчивости образовавшейся микропоры.

В группе работ [30-32] критерием зарождения поры считается достижение критического значения шаровой части тензора механических напряжений, возникающих вследствие электромиграции. Полагается, что при достижении критического уровня напряжений происходит образование трещиноподобной микронесплошности вследствие разрыва межатомных связей. В идеальном кристалле для этого требуются значительные усилия (-10 ГПа), однако в проводящих дорожках порообразование ограничено межзеренными границами, обладающими более рыхлой структурой, и происходит в местах концентрации напряжений, которыми являются, например, тройные точки. Оценки показывают, что в этом случае требуются значительно меньшие напряжения (-100 МПа) [31,45].

Киршхайм [31] рассматривал зарождение трещины в тройной точке (Рис. 2а) вследствие электромиграции и развития механических напряжений. Им было взято критическое значение напряжений равное 50 МПа. При достижении этого значения считалось, что возникает микротрещина, однако оценка ее характерного размера и анализ устойчивости не были проведены.

Более последовательный подход основан на флуктуационной теории зарождения новой фазы [46-48], описывающей формирование поры из пересыщенного раствора вакансий при фиксированном пересыщении как процесс флуктуационного образования термодинамически устойчивых вакансионных кластеров. При данных внешних условиях устойчивы лишь те поры, размеры которых превышают определенный критический, причем последний может быть рассчитан.

Розенберг и Оринг [49] были одними из первых, применивших теорию зарождения новой фазы к описанию электромиграционного порообразования. Они рассматривали электродиффузию в проводящей алюминиевой дорожке с учетом источников/стоков вакансий, при этом не учитывая механические напряжения, индуцированные электромиграцией. По их предположению поток вакансий на определенном участке линии блокировался межзеренной границей, что приводило к развитию вакансионного пересыщения. Авторы считали время установления стационарного состояния моментом зарождения микропоры, имеющей сферическую форму. Характерный размер поры при достигнутом пересыщении, определяемый на основе флуктуационной теории зарождения новой фазы, достигался за счет роста. По оценкам авторов порообразование в тройной точке фактически невозможно, так как для формирования поры размером, наблюдаемым экспериментально, требуется крайне высокое вакансионное пересыщение 5, определяемое по формуле где С - концентрация вакансий, а С0 - ее равновесное значение. Авторы же получали значения не превышающие единицы.

В отличие от Розенберга и Оринга, рассматривавших зарождение сферических пор, Рэдж и Эшби [50], анализируя вакансионное порообразование на межзеренных границах, основывались на следующих двух предположениях:

1. поверхности пор образованы сферическими сегментами;

2. углы, образуемые поверхностями пор и межзеренной границей, удовлетворяют условию равновесия сил поверхностного натяжения.

В результате были получены различные геометрии микропор в зависимости от числа границ зерен (двух, трех или четырех), пересекающихся в точке зарождения. Авторы анализировали зарождение пор при определенных стационарных условиях, не рассматривая диффузию и сопряженные с ней процессы.

Расселл [51,52], рассматривая вакансионное порообразование в облученных металлах, обобщил уравнения флуктуационной теории зарождения новой фазы на случай присутствия в системе межузельных атомов. Однако эксперименты показывают [53], что доля межузельных атомов в проводящих линиях пренебрежимо мала по сравнению с долей вакансий вследствие того, что энергия образования межузельного атома значительно больше энергии образования вакансии.

Хирт и Нике [54] на основе теории зарождения новой фазы описывали термодинамику образования поры вследствие кластеризации вакансий в сферическом однородном изотропном твердом теле, подверженном гидростатическому нагружению. Порообразование считалось однородным, а сама пора полагалась сферической. Ими были учтены внутренние напряжения в рассматриваемом теле, а также отдельно рассмотрены случаи наличия и отсутствия источников/стоков вакансий.

Нике и Арзт [45] рассматривали процесс электромиграционного порообразования в металлической линии, осажденной на кремниевой подложке и покрытой жестким изолирующим слоем (Рис. 1). Все границы зерен полагались перпендикулярными направлению электрического тока. Предполагалось, что межзеренные границы, блокируя поток вакансий, вызывают его сильную дивергенцию и развитие вакансионного пересыщения, что, в свою очередь, приводит к возникновению на границах зерен растягивающих напряжений. Считая, что порообразование происходит на межзеренной границе, авторы, тем не менее, полагали его однородным. Применяя флуктуационную теорию зарождения новой фазы, они учитывали изменение свободной энергии системы, связанное только с образованием поверхности поры и с изменением упругой энергии. В результате, авторы пришли к выводу, что уровень напряжений, возникающих в процессе электромиграции, недостаточен для образования стабильных пор, и разрушение линий происходит вследствие роста изначально имеющихся микронесплошностей, возникающих на стадии изготовления.

В работах [55,56] на основе флуктуационной теории зарождения новой фазы проведено моделирование зарождения микропоры в тройной точке кристаллической структуры проводника (Рис. 2а), а также дефектов, связанных с многоуровневой компоновкой проводников в микросхеме (микропора на границе проводника и эрозия свободного края линии), под действием электромиграции и механических напряжений. Численно рассчитаны характерные размеры микропор и времена до их зарождения в зависимости от температуры и плотности электрического тока.

Значительная часть экспериментальных исследований электромиграции в тонких проводящих линиях посвящена изучению поздних стадий разрушения проводников: измерениям времени жизни проводника и/или изменения электросопротивления линии вследствие накопления и роста пор в зависимости от геометрических (длины, ширины, толщины линии и ее зернистой структуры) [57-61] и физических (температуры, плотности электрического тока) [62-64] параметров.

Значительно меньшее число работ связано с детектированием зарождения микропор на неоднородностях поликристаллической структуры пленки. В работе [65] наблюдалось зарождение пор на боковых поверхностях (Рис. 26) изолированных алюминиевых линий с бамбуковой зернистой структурой (Рис. 1). Посредством сканирующего электронного микроскопа (СЭМ) детектировалось зарождение поры, а затем с помощью трансмиссионного электронного микроскопа (ТЭМ) производился снимок структуры линии с образовавшимся дефектом. В [66] посредством СЭМ наблюдались микропоры в неизолированных линиях.

В работе [67] проводилось детектирование зарождения микропор под действием электромиграции как в изолированных, так и в неизолированных тонкопленочных алюминиевых линиях при помощи метода индуцирования изменения электросопротивления посредством лазерного облучения: когда поверхность изучаемой линии сканируется лазерным лучом, генерируемое при этом тепло свободно проходит через участки, свободные от пор, в то время как микропоры препятствуют его прохождению (Рис. 4). Были измерены характерные размеры образовавшихся пор.

Авторами работы [68] посредством СЭМ проводились наблюдения электромиграционного зарождения микропор и последующей их динамики в тонкопленочных А1-1%81 проводниках 3 мкм шириной и 1 мкм толщиной, осажденных на кремниевых подложках и покрытых 8Ю2-изоляцией (Рис. 1),

6 2 при температуре 220 °С и плотности тока 3.8-10 А/см . Проведенные эксперименты показали отсутствие микропор до электромиграции. Авторами

Рис. 4. Принципиальная схема экспериментального метода, использованного в работе [67] для детектирования зарождения микропоры было продетектировано зарождение пор в различных точках линии, отслежен их последующий рост.

Ниже сформулированы цели и задачи диссертации, приведено краткое содержание ее глав, показаны новизна и практическая значимость данной работы.

Цель диссертационной работы состоит в создании физико-механических моделей и численных схем расчета процессов электромиграции вакансий, возникновения и развития механических напряжений и зарождения микропор в поликристаллическом проводнике ИМС.

Цель диссертации достигается путем решения следующих задач:

• разработка самосогласованных моделей переноса вакансий и генерации механических напряжений под действием электрического тока;

• разработка физической модели зарождения микропор в областях вакансионного пересыщения, обусловленного электромиграцией;

• разработка численных схем расчета электромиграции вакансий и распределения напряжений вдоль межзеренных границ и зарождения микропоры в тройной точке поликристаллической структуры проводника ИМС.

• расчет времен до зарождения микропор и их характерных размеров и сравнение результатов расчетов с экспериментальными данными с целью верификации разработанных моделей.

Методика исследования состоит в применении методов неравновесной термодинамики, механики деформируемого твердого тела и флуктуационной теории зарождения новой фазы для моделирования процессов переноса, возникновения механических напряжений и порообразования в проводящих линиях, а также в применении численных методов для получения конечных результатов.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, разделенных на параграфы, заключения, списка использованных работ и двух приложений.

Выводы к главе 4. В данной главе:

1. проведено тестирование модели, описывающей возникновение и развитие механических напряжений, индуцированных электромиграцией. Результаты расчетов хорошо согласуются с экспериментальными данными.

2. впервые получены зависимости характерного размера микропоры и времени до ее зарождения от плотности электрического тока и температуры. Полученные результаты свидетельствуют об ускорении порообразования и уменьшении характерного размера микропоры с ростом температуры и/или плотности электрического тока. Рассчитанные характерные размеры пор и времена до их зарождения хорошо согласуются с экспериментальными данными.

3. Проведен анализ влияния геометрии тройной точки на характерное время до зарождения микропоры. Выявлены наиболее предпочтительные для порообразования геометрические конфигурации межзеренных границ, образующих тройную точку.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящее время наблюдается тенденция повышения производительности полупроводниковых приборов за счет уменьшения характерных размеров элементов интегральных микросхем (ИМС) и создания плотноупакованных многоуровневых микроэлектронных структур. Для устойчивой работы ИМС каждый из ее многочисленных компонентов должен обладать высокой надежностью, ибо выход из строя даже одного из них может привести к отказу всей микросхемы. Это обуславливает возрастающую актуальность проблемы надежности микроэлектронных элементов и, как следствие, моделирования процессов их разрушения.

Одной из основных причин отказа ИМС является разрушение тонкопленочных проводящих элементов. Проводник ИМС представляет собой металлическую линию с характерными размерами в поперечном сечении 0.11 мкм и длиной от 10 до 1000 мкм, осажденную на кремниевой подложке и покрытую изолирующим слоем. Разрушение проводников начинается с зарождения микропор в областях, пересыщенных вакансиями. Основной причиной развития вакансионного пересыщения является перенос вакансий под действием электрического тока (электромиграция). Определяющая роль электромиграции в разрушении линий обусловлена значительными

10 12 2 величинами плотности электрического тока (~10 -10 А-м" ), используемыми в современной микроэлектронике.

В силу того, что в тонких пленках электромиграция вакансий протекает преимущественно по межзеренным границам, такие дефекты кристаллической структуры проводника, как места пересечения границ зерен друг с другом (тройные точки) и с боковой поверхностью линии являются участками сильной дивергенции потока вакансий, что приводит к развитию пересыщения, и, как следствие, к зарождению микропор. Последующий рост микропор, обусловленный притоком вакансий на их поверхность, приводит к отказу линии.

Перераспределение вакансий под действием электрического тока вызывает возникновение в проводнике неоднородных объемных деформаций, которые, в свою очередь, приводят к развитию пространственно-неоднородного поля механических напряжений. Напряжения влияют как на электромиграцию вакансий, так и на процесс порообразования.

Таким образом, для решения проблемы надежности проводников ИМС актуальной является разработка нелинейной самосогласованной модели электромиграции вакансий, кинетики механических напряжений и зарождения микропор, которой и посвящена настоящая диссертация.

Целью диссертации является создание физико-механических моделей и численных схем расчета процессов электромиграции вакансий, возникновения и развития механических напряжений и порообразования в поликристаллическом проводнике ИМС.

Исследования проводились по следующим основным направлениям:

• разработка самосогласованных моделей переноса вакансий и генерации механических напряжений под действием электрического тока;

• разработка физической модели зарождения микропор в областях вакансионного пересыщения, обусловленного электромиграцией;

• разработка численных схем расчета электромиграции вакансий и распределения напряжений вдоль межзеренных границ и зарождения микропоры в тройной точке поликристаллической структуры проводника ИМС.

В диссертации получены следующие основные результаты, которые выносятся на защиту:

1. развита трехмерная модель возникновения и эволюции механических напряжений в тонкопленочных поликристаллических проводниках ИМС под действием электрического тока. Получена полная система совместных уравнений электромиграции вакансий и деформации проводника.

2. разработана кинетическая модель образования микропоры в поликристаллическом проводнике, основанная на флуктуационной теории зарождения новой фазы. Получено интегральное уравнение, позволяющее рассчитывать характерное время до зарождения микропоры.

3. на основе общих физических моделей электромиграции вакансий и кинетики механических напряжений построена модель переноса вакансий вдоль межзеренных границ под действием электрического тока и поля напряжений. Получена система одномерных кинетических дифференциальных уравнений, описывающая распределение концентрации вакансий и шаровой части тензора механических напряжений вдоль границ зерен.

4. разработан алгоритм численного совместного решения одномерных дифференциальных уравнений электромиграции и кинетики механических напряжений и интегрального уравнения для времени до зарождения микропоры в тройной точке поликристаллической структуры линии.

5. впервые получены зависимости характерного размера микропоры и времени до ее зарождения в широком интервале изменения параметров нагружения (плотности электрического тока и температуры) с учетом физических и геометрических параметров проводника. Исследовано влияние геометрии зернистой структуры линии на процесс электромиграционного порообразования.

Надежность и достоверность результатов диссертации подтверждены их согласием с экспериментальными данными и обоснованностью предложенных моделей и методов расчета.

Теоретическая и практическая значимость данной работы заключается в разработке эффективных методов исследования разрушения тонкопленочных проводящих элементов ИМС и алгоритмов расчета их долговечности.

1. Соболев B.C. "Рифмическая" гимнастика у мыса Доброй Надежды // Hard and Soft. 1999. - № 11.-С. 12-18.

2. КаурИ., Густ В. Диффузия по границам зерен и фаз: Пер. с нем. -М.: Машиностроение, 1991. 446 с.

3. Григорьев КС., Мейлихова Е.З. Физические величины: Справочник. -М.: Энергоатомиздат, 1991. 1232 с.

4. Blech A., Sello Н. Physics of failure in electronics. Rome: Air Development Center, 1966. - 496 p.

5. Huntington H.В., GroneA.R. Current induced marker motion in gold wires // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1961. - V. 20. - P. 76-87.

6. Sorbello R.S. A pseudopotential based theory of the driving forces for electromigration in metals // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1973. -V. 34.-P. 937-950.

7. Hummel R.E., Huntington H.B. Electro- and thermotransport in metals and alloys.- New-York: AIME, 1977. 834 p.

8. Landauer R., Woo J. W.F. Driving force in electromigration // Physical Review B.- 1974. -V. BIO. P. 1266-1271.

9. Landauer R. Driving force in electromigration and the residual resistivity field -A reply // Physical Review B. 1976. - V. B13. - P. 942.

10. Кузъменко П.П., Островский JI.Ф., Ковалъчук B.C. Подвижность малых примесей олова и серебра в меди и серебре // ФММ. 1962. - Т. 13(3). -С. 406-410.

11. Hehenkamp Т. Diffusion und elektrotransport von kohlenstoff in kobalt // Acta Metallurgies 1966. - V. 14. - P. 887-893.

12. Gilder H.M., Lazarus D. Effect of high electronic current density on the motion of Au195 and Sb125 in gold // Physical Review. 1966. - V. 145. - P. 507-518.

13. Huntington H.B. Current basic problems in electromigration in metals // Transactions of the metallurgical society of AIME. 1969. - V. 245. - P. 25712579.

14. Ho P.S., Huntington H.B. Electromigration and void observation in silver // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1966. - V. 27. - P. 1319-1329.

15. GroneA.R. Current induced marker motion in copper // Journal of Physics and Chemistry of Solids. 1961. - V. 20. - P. 88-93.

16. Rosenberg R., Berenbaum L. Resistance monitoring and effects of non-adhesion during electromigration in aluminum films // Applied Physics Letters. 1968. -Y. 12. - P. 201-204.

17. Unnam J., Carpenter J.A., Houska C.R. X-ray diffraction approach to grain boundary and surface diffusion // Journal of Applied Physics. 1973. - V. 44. -P. 1957-1967.

18. Gilmer G.H., FarrelH.H. Grain boundary diffusion in thin films. I. The isolated grain boundary // Journal of Applied Physics. 1976. - V. 47. - P. 3792-3798.

19. Gilmer G.H., Farrel H.H. Grain boundary diffusion in thin films. II. Multiple grain boundaries and surface diffusion // Journal of Applied Physics. 1976. -V. 47. - P. 4373-4380.

20. ЭшелбиДж. Континуальная теория дислокаций: Пер. с англ. М.:Изд-во ин. лит-ры, 1963. - 247 с.

21. Blech I.A. Electromigration in thin aluminum films on titanium nitride // Journal of Applied Physics. 1976. - V. 47. - P. 1203-1208.

22. Kirchheim R., Kaeber U. Atomistic and computer modeling of metallization failure of integrated circuits by electromigration // Journal of Applied Physics. -1991.-V. 70.-P. 172-181.

23. Kirchheim R. Stress and electromigration in Al-lines of integrated circuits // Acta Metallurgies 1992. - V. 40. - P. 309-323.

24. Korhonen M.A., Borgesen P., Tu K.N., Li C. Y. Stress evolution due to electromigration in confined metal lines // Journal of Applied Physics. 1993. -V. 73. - P. 3790-3799.

25. Clement J. J., Thompson C.V. Modeling electromigration induced stress evolution in confined metal lines // Journal of Applied Physics. 1995. - V. 78. - P. 900904.

26. Kirchheim R. Modeling electromigration and induced stresses in aluminum lines // Proceedings of Symposium of Material Research Society. 1993. - V. 309. -P. 101-110.

27. Wang P. C., Car gill III G.S., NoyanLC., Ни С.-К. Electromigration induced stress in aluminum conductor lines measured by X-ray microdiffraction // Applied Physics Letters. 1998. - V. 72. - P. 1296-1298.

28. Qing Ma, Chiras S., Clarke D.R., Suo Z. High-resolution determination of the stress in individual interconnect lines and the variation due to electromigration // Journal of Applied Physics. 1995. - V. 78. - P. 1614-1622.

29. Черемской П.Г. и dp. Поры в твердом теле / Черемской П.Г., Слезов В.В., Бетехтин В.И. М.: Энергоатомиздат, 1990. - 375 с.

30. Blech I.A., Meieran E.S. Direct transmission electron microscope observation of electrotransport in aluminum thin films // Applied Physics Letters. 1967. - V. 11. - P. 263-266.

31. Shatzkes M., Lloyd J.R. A model for conductor failure considering diffusion concurrently with electromigration resulting in a current exponent of 2 // Journal of Applied Physics. 1986. - V. 59. - P. 3890-3893.

32. Clement J.J. Vacancy supersaturation model for electromigration failure under dc and pulsed dc stress // Journal of Applied Physics. 1992. - V. 71. - P. 42644268.

33. Nix W.D., Arzt E. On void nucleation and growth in metal interconnect lines under electromigration conditions // Metallurgical Transactions A. 1992. -V. 23.-P. 2007-2013.

34. Farkas L. Keimbildugsgeschwindigkeit in übersättigten dämpfen // Zeitschrift für Physikalische Chemie A. 1927. - V. 125. - P. 236-242.

35. Зельдович Я.Б. К теории образования новой фазы. Кавитация // ЖЭТФ. -1942.-Т. 12.-С. 525-538.

36. Feder J., Russell К.С., Lothe J., Pound G.M. Homogeneous nucleation and growth of droplets in vapours // Advances in Physics. 1966. -V. 15. - P. 111178.

37. Rosenberg R., Ohring M.J. Void formation and growth during electromigration in thin films // Journal of Applied Physics. 1971. - V. 42. - P. 5671-5679.

38. RajR., Ashby M.F. Intergranular fracture at elevated temperature // Acta Metallurgica. 1975. - V. 23. - P. 653-666.

39. Russell K.C. Nucleation of voids in irradiated metals // Acta Metallurgica. 1971. -V. 19.-P. 753-758.

40. Russell K.C. The theory of void nucleation in metals // Acta Metallurgica. 1978. -V. 26.-P. 1615-1630.

41. Бокштейн Б.С. Диффузия в металлах. М.: Металлургия. - 1978. - 248 с.

42. Hirth J.P., Nix W.D. Analysis of cavity nucleation in solids subjected to external and internal stresses // Acta Metallurgica. 1985. - V. 33. - P. 359-368.

43. LaCombe D.J., Earl L.P. The distribution of electromigration failures // Proceedings of the 24th Annual International Symposium on Reliability Physics. -1986.-V. 24.-P. 1-6.

44. Submanian S.I., Chung Yu T. Electromigration lifetime studies of submicrometer-linewidth Al-Cu conductors // IEEE Transactions on Electron Devices. 1984. -V. ED-31. - P. 1468-1471.

45. Kondo S., Deguchi O., Hinode K. Effects of grain size and preferred orientation on the electromigration lifetime of Al-based layered metallization // Journal of Applied Physics. 1995. - V. 78. - P. 6534-6538.

46. Hinode K., Kondo S., Deguchi O. Number of voids formed on a line: parameter for electromigration lifetime 11 Journal of Vacuum Science and Technology. -1996. -V. 14B. P. 687-690.

47. Kraayeveld J.R., Verbuggen A.H., Willemsen A.W. Critical current-length product for electromigration induced resistance changes in short A1 lines // Applied Physics Letters. 1995. - V. 67. - P. 1226-1228.

48. Oates A.S. Current density dependence of electromigration failure of submicron width multilayer A1 alloy conductors // Applied Physics Letters. 1995. - V. 66. -P. 1475-1477.

49. Kondo S., Ogasawara R., Hinode К. Thermographic analysis of electromigration phenomena in aluminum metallization // Journal of Applied Physics. 1996. -V. 79. - P. 736-741.

50. Alers G.B., Oates A.S., Beverly N.L. Electromigration induced resistance changes in a single aluminum via // Applied Physics Letters. 1995. - V. 66. - P. 36003602.

51. Marieb Т., FlinnP., Bravman J.C. Observations of electromigration induced void nucleation and growth in polycrystalline and near-bamboo passivated Al-lines // Journal of Applied Physics. 1995. - V. 78. - P. 1026-1032.

52. ArztE., Kraft O., NixW.D., Sanchez J.E. Electromigration failure by shape change in bamboo lines // Journal of Applied Physics. 1994. - V. 76. - P. 15631571.

53. Nikawa K., Matsumoto C., Inoue S. Novel method for defect detection in A1 stripes by means of laser beam heating and detection of changes in electrical resistance // Japanese Journal of Applied Physics. 1995. - V. 34. - P. 2260-2265.

54. Besser P.R., Madden M.C., FlinnA.F. In situ scanning electron microscopy observation of the dynamic behavior of electromigration voids in passivated aluminum lines // Journal of Applied Physics. 1992. - V. 72. - P. 3792-3797.

55. Larche F.C., CahnJ.W. The interaction of composition and stress in crystalline solids // Acta Metallurgies 1985. - V. 33. - P. 331-357.

56. Лурье А.И. Теория упругости. M.: Наука, 1970. - 939 с.

57. Работное Ю.М. Механика деформируемого твердого тела. 2-е изд., испр. -М.: Наука, 1988.- 712 с.

58. Бронштейн КН., Семендяев А.К. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов. 13-е изд., испр. - М.: Наука, 1986. - 544 с.

59. Гегузин Я.Е., Каганоеский Ю.С. Диффузионные процессы на поверхности кристалла. М.: Энергоатомиздат, 1984. - 124 с.

60. Tyson W.R. Surface energies of solid metals // Canadian Metallurgical Quarterly. 1975. -V. 14. - P. 307-314.

61. Самарский А.А. Теория разностных схем. M.: Наука, 1977. - 656 с.

62. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. - 430 с.

63. Press W.H. et al. Numerical Recipes in С / Press W.H., Vetterling W.T., Teukolsky S.A., Flannery B.P. Cambridge University Press, 1992. - 994 p.

64. Рихтмайер P., Мортон К. Разностные методы решения краевых задач: Пер. с англ. М.: Мир, 1972. - 418 с.

65. Федоренко Р.П. Введение в вычислительную физику. М.: Изд-во МФТИ, 1994. - 526 с.

66. Huntington Н.В., KalukinA., MengP.P., Ahmad S. A computer simulation of stripe deterioration through electromigration // Journal of Applied Physics. -1991.-V. 70.-P. 1359-1368.

67. ГуптаД, Кэмпбелл Д., Xo П. Диффузия по границам зерен. // Тонкие пленки. Взаимная диффузия и реакции: Пер. с англ. / Под ред. Дж. Поута, К. Ту, Дж. Мейера. М.: Мир, 1982. - С. 163-249.

68. Ландау Л.Д., Лившиц E.M. Теоретическая физика. 2-е изд., перераб. -М.: Наука, 1964. - 567 с. - Т. 3.85 .Larche F.C., CahnJ.W. A linear theory of thermochemical equilibrium of solids under stress // Acta Metallurgica. 1973. - V. 21. - P. 1051-1063.

69. Larche F.C., CahnJ.W. The effect of self-stress on diffusion in solids // Acta Metallurgica. 1981. - V. 30. - P. 1835-1845.

70. Gibbs J. W. The Collected Works of J.W. Gibbs. London, 1928. - 434 с. - V. I.

71. Косевич A.M. Основы механики кристаллической решетки. М.: Наука, 1972. - 280 с.89. де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика: Пер. с англ. -М.: Мир, 1964. 456 с.

72. Shimizu I. Non-hydrostatic and non-equilibrium thermodynamics of deformable materials // Journal of Geophysical Research B. 1992. - V. 97. - P. 4587-4597.

73. Uhlenbeck G.E., Ornstein L.S. On the theory of the Brownian motion // Physical Review 1930. - V. 36. - P. 823-841.

74. Wakeshima H. Time lag in self nucleation // Journal of Chemical Physics. 1954. -V. 22.-P. 1614-1615.

75. Collins F.C. Time lag in spontaneous nucleation due to non-steady state effects // Zeitschrift fur Elektrochemie. 1955. - V. 59. - P. 404-407.