Моделирование динамических процессов в конденсированных средах с учетом реальных термомеханических свойств

Ломов, Илья Николаевич

Моделирование динамических процессов в конденсированных средах с учетом реальных термомеханических свойств тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.14 ВАК РФ

Ломов, Илья Николаевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Москва МЕСТО ЗАЩИТЫ

1997 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.14 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Моделирование динамических процессов в конденсированных средах с учетом реальных термомеханических свойств»

Автореферат диссертации на тему "Моделирование динамических процессов в конденсированных средах с учетом реальных термомеханических свойств"

г\и

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ОБЪЕДИНЕННЫЙ ИНСТИТУТ ВЫСОКИХ ТЕМПЕРАТУР

На правах рукописи

ЛОМОВ Илья Николаевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ДИНАМИЧЕСКИХ ПРОЦЕССОВ В КОНДЕНСИРОВАННЫХ СРЕДАХ С УЧЕТОМ РЕАЛЬНЫХ ТЕРМОМЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ.

01.04.14 - Теплофизика и молекулярная физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1997

Работа выполнена в Научно-исследовательском центре теплофизики импульсных воздействий Объединенного института высоких температур РАН.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук

Кондауров В.И.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Кукуджанов В. Н.

доктор физико-математических наук Петров И. Б.

Ведущая организация: Объединенный институт физики Земли

Защита состоится " 3(> " ис & * 1997 г. в _и_часов на заседании Специализированного совета Д 002.53.03 при Объединенном Институте высоких температур РАН по адресу: 127412, Москва, Ижорская ул. 13/19

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ОИВТ РАН.

Автореферат разослан " "_-1*— 1997 г.

Ученый секретарь Специализированного совета кандидат технических наук

А.Н.Давыдов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы.

Моделирование поведения материалов под воздействием интенсивных потоков энергии с учетом реального уравнения состояния вещества, фазовых переходов, прочностных свойств твердого тела очень важно для понимания процессов, характеризующихся высокой плотностью энергии среды (таких как высокоскоростной удар, воздействие корпускулярных и электромагнитных пучков, взрыв) и явлений, для которых затруднено непосредственное экспериментальное изучение. Динамические процессы протекающие в сплошной среде при мощных воздействиях описываются нелинейными уравнениями в частных производных, решение которых даже в простейших случаях требует привлечения численных методов. Численное моделирование необходимо для решения различных задач оптимизации способов и формы воздействия и способов защиты.

Метод Годунова и построенные на его основе методы более высокого порядка широко используются в аэродинамике для решения гиперболических систем законов сохранения. Полученные результаты показывают, что метод дает большие возможности для решения данных задач. Применение оригинального подхода [1] для решения задач механики конденсированных сред с учетом прочности было затруднительно, поскольку методика конечных объемов должна основываться на замкнутой системе уравнений в дивергентной форме. Дивергентные уравнения неразрывности, сохранения импульса и энергии хорошо известны, но уравнение для симметричного тензора конечных деформаций принципиально не может быть записано в дивергентной форме и заменяется законом сохранения совместности скоростей и деформаций, использующим несимметричный тензор дисторсии (градиента деформации) [2]. Применение дивергентной формы полной системы уравнений позволяет учитывать как гладкие, так и разрывные решения.

Качаство получаемых в результате численного моделирования решений определяются точностью описания термодинамических свойств веществ определяющими соотношениями: широкодиапазонным уравнением состояния и кинетическими уравнениями роста пластических деформаций. Возрастающие требования к результатам требуют применения полуэмпирических уравнений состояния реальных веществ и сложных реологических моделей, учитывающих скоростное и деформационное упрочнение материалов.

Для решения задач механики твердого деформируемого тела традиционно наиболее широко используются лагранжевы методы, поскольку

они не сглаживают контактных разрывов, автоматически учитывают движение границ и т. д. Данный подход обладает существенным недостатком — вырождением сетки при сильных деформациях. Применение альтернативного, эйлерова подхода связано со своими трудностями (расчета и интерпретации контактных границ, повышенной численной диффузии.) Поэтому представляет интерес и несомненную актуальность развитие смешанных, лагранжево-эйлеровых подходов, как на структурированных сетках, так и на сетках с произвольной, меняющейся в процессе расчета связностью области интегрирования.

Целью работы является: развитие математической модели конденсированной среды при больших деформациях для описания динамического поведения конструкционных и геологических материалов при интенсивных импульсных воздействиях и создание на базе таких моделей комплекса программ для расчета многомерных задач динамики конденсированной среды с учетом реальных термодинамических и реологических свойств.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Построена модель вязкоупругой сплошной среды релаксационного типа для описания поведения конструкционных и геологических материалов при мощных нестационарных воздействиях. Для формулировки модели использовалась дивергентная форма уравнений при больших деформациях, широкодиапазанное уравнение состояния и дивергентное уравнение кинетики пластических деформаций. Данная модель применима для расчета как гладких, так и разрывных неодномерных течений.

2. Разработан алгоритм расчета многомерных задач динамики конденсированной среды на подвижных сетках. Для расчета используется метод конечных объемов и приближенное аналитическое решение задачи о распаде произвольного разрыва в гиперупругой среде. Моделирование проводилось на разных типах сетки - регулярной и неструктурированной, причем каждый из этих подходов имеет свою область применения.

3. Исследован процесс входа низкопрочных космических тел в атмосферу планет. На основе модели прогрессирующего дробления ме-теороида и фильтрации горячего газа через образующиеся трещины объяснен механизм ускоренного разрушения и испарения космиче-

эго тела. Проведен расчет входа кометы Шумейкер-Леви-9 (БЬ9) в атмосферу Юпитера и тунгусского метеорита в атмосферу Земли.

4. Проведено численное моделирование заглубленного и приповерхностного ядерных взрывов на астероиде, установлен бимодальный закон зависимости отклоняющего импульса от заглубления заряда. Выявлено сильнейшее влияние реологических свойств тела на величину скорости отклонения.

Практическая ценность определяется более глубоким пониманием последствий и способов решения проблемы астероидной опасности для Земли. Разработанные модели, методы, алгоритмы и программы для исследования задач термомеханики конденсированной среды являются эффективным инструментом для исследования практических задач высокоэнергетического воздействия на вещество.

Апробация работы. Результаты исследований были представлены на XI международной конференции "Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" (Приэльбрусье, Россия, 1997), X международной конференции "Уравнения состояния вещества" (Приэльбрусье, Россия, 1996), VII научной школе "Физика импульсных разрядов в конденсированных средах" (Николаев, Украина, 1995), XXII Метеоритной (Черноголовка, Россия, 1994), всероссийских конференциях "Программы наблюдений высокоорбитальных спутников и небесных тел Солнечной системы" (Санкт-Петербург, Россия, 1994), "Астероидная опасность-95" (Санкт-Петербург, Россия, 1995), международных конференциях "Hypervelocity Impact Symposium" (Albuquerque, USA, 1994 и Freiburg, Germany 1996), "Amer. Phys. Society. Topical Conference Shock Condensed Matter" (Seattle, USA, 1995 и Amherst, USA 1997), "IV Забабахинсие научные чтения", (Снежинск, Россия, 1995), "Space-96" (Albuquerque, USA 1996), (New Models and Numerical Codes for Shock Wave Processes in Condensed Media, Oxford, UK, 1997) а также на семинарах НИЦ ТИВ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 116 страниц, 2 рисунков, >S7 наименований использованной литературы.

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении обоснована актуальность исследуемой проблемы, сформулированы основные цели работы, указаны основные положения, выносимые на защиту, а также описана структура диссертации.

В первой главе излагается материал о современном состоянии математического моделирования интенсивных воздействий на конденсированные среды, приведен краткий обзор литературы, посвященной тео-

ретическим моделям конденсированной сплошной среды и методам численного моделирования.

Во второй главе формулируется математическая модель, используемая для описания поведения сплошной среды. Поведение среды характеризуется локальными законами сохранения: уравнениями неразрывности, совместности полей скоростей и деформаций, импульса и энергии й-

|р + У.(ру) =0, |(рЕт) + V-{р(V ® Гт - Г ® у) = 0, ^(ру) + У-(/эу®у-<г) = 0, %(рЕ)+Ч-{рЕу-<т- у)=0, (1)

где р — плотность, Г = Зх/ЗХ — тензор дисторсии, х — текущий радиус-вектор, X — начальное местоположение частицы V скорость, <т тензор напряжений, Е = е Л- \V • V — полная энергия на единицу массы, е — удельная внутренняя энергия. Дивергентная формулировка всех уравнений позволяет описывать как непрерывные, так и разрывные течения и дает физически верные соотношения на разрыве [3].

Уравнения (1) замыкаются определяющими соотношениями, такими как уравнения состояния (УРС) и закон пластического течения. УРС выбиралось в форме

€ = Яр, 5) + -(Рет ■ Ге - ^ : ¥е1)2:1, (2)

Ро О

г.^е Ее , Ер — тензоры упругой и пластической дисторсий, входящих в КОМПОЗИЦИЮ Г = Ее • Ер , 5 - ЭНТрОПИЯ, р, - модуль сдвига, Ро - плотность в разгруженном состоянии. Первое слагаемое в (2) имеет смысл энергии объемного сжатия, и выбирается в соответствии с полуэмпирическими уравнениями состояния [3], второе слагаемое есть разложение энергии формоизменения с точностью до второго порядка малости, что приемлемо если упругие изменения формы малы. Тензор напряжений может быть получен из (2) и равен

<т = -р(р, е)1 + • Ее - :Ге1), (3)

где р = р2д/(р)/др. — гидростатическое давление.

Поскольку ортогональное преобразование разгруженной конфигурации не влияет на определяющие соотношения, то без потери общности

можно рассматривать только симметрический тензор пластической дис-торсии, т. е. если 11е - ортогональный тензор, ие,Гр - симметрические, тогда Г = В.е • ие • ¥р .

Для моделирования прочностных свойств материалов с учетом кинематического упрочнения использовалась вязкопластическая модель релаксационного (Максвелловского) типа. В этом случае уравнение производства пластических деформаций записывается также в дивергентной форме. В случае склерономной модели пластичности (типа Прандтля-Рейсса) система уравнений в принципе не приводима к дивергентному виду [2]. Уравнение эволюции пластической деформации (закон пластического течения) в рассматриваемой модели записывается в виде [2]:

-+-аеу(сг) = 2^аеу(-(У® Vх +

1Л т 2

где £) dev(íг)/Z)í ^ t^dev(<т)/<íí — • ёеу(<т)+ёеу(<т) • —объективная (индифферентная) производная Яуманна, = |(У ® Vх — V ® V) — антисимметричный тензор спина. Используя (3) данное уравнение преобразуется к уравнению относительно Ер :

• Г"1 + г;1. Ёр) = 1 аеу(Рр-!. Гт • Е . г;1), (4)

которое при комбинировании с уравнением неразравности записывается в дивергентной форме:

^ + У-(ру®Гр)=рФ(Г,Рр,5). (5)

В работе описывается получение данной замкнутой системы уравнений на случай произвольно больших пластических и объемных упругих деформаций при условии малости девиатора упругих деформаций. Вместе с этим приводятся конкретные функциональные зависимости для широкодиапазонного уравнения состояния и времени релаксации материалов, использованные в дальнейших расчетах и теоретические обоснования данных зависимостей, основанные на современных представлениях теплофизики и механики дислокаций.

В третьей главе преведено описание методов численного расчета задач динамики сплошной среды. За основу алгоритма была взята схема Годунова на подвижной сетке, подробно описанная в [1]. При адаптации данной методики для расчетов динамики твердого деформируемого тела в нее были внесены следующие изменения:

• Применен альтернативный способ расчета движения границы расчетной области. В [1] использовался алгоритм, сглаживающий границу со временем. Для расчета гидрогазодинамических задач это вполне приемлемо, поскольку напряжения в данном случае зависят от изменений объема, которые при приведенном в [1] способе сглаживания минимизируются. Для твердого тела формоизменение оказывает существенное влияние на напряжения, поэтому для расчета применялся алгоритм, не сглаживающий особенности границы. Это позволило правильно рассчитывать поступательное движение областей твердого тела, не подверженных напряжениям.

• Разработан алгоритм решения жесткой и сильно нелинейной системы уравнений релаксации касательных напряжений (4). Традиционно применяемые для решения жестких систем методы оказались несостоятельны в данном случае, поскольку они основываются на приблизительной оценке собственных значений данной системы, которые могут изменяться на несколько порядков на одном гидродинамическом шаге. В работе применялся явный метод неравномерных дробных шагов, поскольку собственные числа могут быть легко оценены по значению времени релаксации касательных напряжений.

• Для расчета потоков использовалось приближенное решение задачи о распаде произвольного разрыва либо в гиперупругом, либо в гидродинамическом приближении. В оригинальном методе Годунова используется итерационная процедура решения даже в случае уравнения состояния идеального газа. В данной работе использовалась неитерационный метод решения, приблизительно равный по вычислительным затратам схемам с искусственной вязкостью и дающий точные решения в пределах бесконечно слабых (акустических) и бесконечно сильных ударных волн, что вполне достаточно для получения качественного решения. Данный подход, предложений в работе [4] для газовой динамики, был обобщен для решения задачи о распаде разрыва для гиперупругой среды.

Кроме расчетов на подвижной сетке с заданной связанностью применялся метод расчетов на сетке с произвольной, меняющейся в процессе счета связанностью сетки. Потребность в данной методике возникла в связи с необходимостью расчетов чрезывычайно больших деформаций материала. Построение четырехугольной сетки в областях сложной формы связано со значительными трудностями, а разбиение физической

области на счетные подобласти является эвристическим, трудно формализуемом и обобщаемом алгоритмом. Поэтому для подобных расчетов использовался алгоритм триангуляции Делоне расчетной области на каждом временном шаге, основанный на разбиении плоскости по заданной совокупности точек (узлов) на треугольники со следующим свойством: сумма любых противоположных углов соседних треугольников больше 180°. Данная триангуляция однозначна, за исключением специальных случаев. Интегрирование законов сохранения происходит по ячейкам, имеющим в основаниях однозначно связанную с триангуляцией сетку Вороного, состоящую из выпуклых многоугольных ячеек. Данные ячейки определяются как геометрическое место точек, ближайших к выбранному узлу. Для обеспечения минимального диффузионного сглаживания узлы двигаются с массовыми скоростями, хотя возможны и другие законы их движения Высокая адаптивность сетки позволила аппроксимировать произвольную форму границ и области с произвольной геометрией. Также данный подход позволяет простое и быстрое измельчение сетки в требуемой области, что сокращает общее число точек, необходимое для получения решения требуемой точности. Дополнительными преимуществами подхода являются улучшение изотропности метода и смягчение критерия устойчивости Куранта. Как и в схеме на структурированной сетке, внешняя граница области рассчитывается на основе решения задачи о распаде произвольного разрыва и реконструкции границы по принципу Гюйгенса.

Данная методика полностью устраняет проблемы Лагранжевых методов, связанные с чрезмерным искривлением и вырождением сетки, но, с другой стороны, усложняет структуры данных и алгоритмы. Кроме того, объем вычислений при одинаковом числе точек, вырастает в три раза.2 На основе опыта применения как структурированных, так и нерегулярных сеток для решения практических задач, можно отметить что обе методики имеют свою область применения, где они наиболее эффективны. Расчеты небольших деформаций, большого количества однотипных задач, для которых можно настроить алгоритм разбиения на подобласти целесообразнее проводить на регулярной сетке, тогда как свободно-лагранжева методика хороша для поисковых расчетов без предопределенной геометрии.

В четвертой главе приводятся примеры тестовых расчетов и резуль-

1 Например, при неподвижных узлах получаем чисто эйлеров метод

2Надо заметить, что существенное искривление структурированной сетки может привести к резкому падению шага по временной переменной из-за ограничений устойчивости, и свободно-лагранжев метод будет намного более эффективен.

Рис. 1: Форма медного цилиндра после соударения с недеформируемой поеверхностью со скоростью 180 м/с. Изолинии пластических деформаций и расчетная сетка. Маркеры ♦ — эксперимент [5].

а. Расчет без учета деформационного упрочнения.

б. Расчет с учетом деформационного упрочнения.

таты численного моделирования некоторых практических задач. К последним относятся:

1. Столкновение медного цилиндра с недеформируемой поверхностью. Тестовые эксперименты по соударению цилиндрических снарядов с жесткой преградой традиционно используются для определения различных реологических характеристик материалов. Для численного моделирования соударения медного цилиндра со скоростью 180 м/с использовались различные реологические модели: без учета и с учетом деформационного упрочнения. Параметры задачи соответствуют одному из экспериментов Джонсона и Холмквиста [5] с цилиндром длиной 25.4 мм и диаметром 7.6 мм. Расчеты по идеально пластичной модели и модели с деформационным упрочнением представлены на рис. 1а, б. На графиках изображены расчетная сетка и изолинии пластических дефомаций после соударения, маркерами отмечена экспериментальная форма цилиндра. Поскольку меди присуще существенное деформационное упроч-

Свободная поверхность

Ударная волна

Рис. 2: Сравнение расчетов высокоскоростного соударения на нерегулярной и подвижной лагранжево-эйлеровой сетках

нение, видно существенное расхождение с экспериментом при расчетах по идельной модели, тогда как введение деформационного обеспечивет хорошее совпадение с экспериментом.

2. Исследование процесса высокоскоростного соударения деформиру-

емых тел.

Для сравнения решений с использованием различных подходов (нерегулярной и структурированной сеток) были проведены расчеты задачи проникновения вольфрамового цилиндра в полубесконечную алюмини-вую преграду при скорости соударения 40 км/с и отношении длины ударника к диаметру, равной пяти. Разностная сетка и уровни давления для обоих расчетс*гчпоказаны на рис. 2. Для расчета на четырехугольной сетке применялась методика выделения головной ударной волны и разбиения физической области на подобласти. В расчетах на нерегулярной сетке использовалась более подробная сетка вблизи больших градиентов (ударных волн и контактных неоднородностей), поэтому и здесь головная ударная волна выделена достаточно четко.

3. Торможение, дезинтеграция и испарение фрагментов комет и астероидов в атмосфере планет.

Количественное описание этих процессов является основополагающим для расчета наблюдаемых газодинамических и оптических явлений. Данное явление характеризуется небольшими упругими деформациями (вследствие относительно небольших аэродинамических и тепловых нагрузок) на начальном участке траектории полета в атмосфере; прогрессирующим разрушением фрагмента и пластическим течением раздробленного материала из центра на периферию лобовой части при движении в более плотных слоях атмосферы; резким увеличением теплового потока к веществу кометы и испарением последнего на заключительной стадии движения. Анализ проведенных расчетов показал, что гипотеза "взрыва в полете", обозначающая превращение твердого фраг-' мента в газовое облако с кинетической энергией, сопоставимой с начальной, является более достоверной по сравнению с гипотезой "взрыва" в момент полного торможения. Этот вопрос, важный с точки зрения определения реального сценария развития картины газодинамических течений в атмосфере, не может быть решен в рамках газовой динамики.

Найдено, что превалирующим характером разрушения низкопрочных (каменных и ледяных) фрагментов является сдвиговый характер трещи-новатости, не приводящий к явлениям откола, отрыва и обусловленный плавным нарастанием волн нагрузки и относительной малостью их амплитуды. Показано, что на начальном этапе движения для описания напряженно-дефомированного состояния может быть использовано квазистатическое приближение вследствие малости числа Эйлера, однако на финальной стадии задача становится сугубо динамической.

Центральное место в проведенном исследовании связано с выявлени-

Плотность

I -7с ¿-90 хм у=б0кмд:

б) |-!)<. /-10км

Г-111-

г-7Пкч

Вн>Т|)еппин , ) Л1сргия

/ -12с / — 110км

1-Ч4С /=-12бкм

с)

140КМ

у "54 КЧ1*-'

Рис. 3: Деформация фрагмета кометы ЭЬ9 при движении в атмосфере Юпитера: изолинии плотности и удельной внутренней энергии

а)

ем нового механизма разогревания вещества фрагмента, обусловленного дросселированием горячего газа из ударно-сжатого слоя за головной волной через систему эволюцонирующих трещин в теле фрагмента. Показано, что чисто механический процесс дробления вызывает сильнейший термический эффект, приводящий к ускоренному прогреву диспергирующегося фрагмента, плавлению и испарению его вещества.

В качестве примера на рис. 3 приведены некоторые результаты численного моделирования торможения одного из фрагментов кометы БЬ-9 в атмосфере Юпитера. Предполагается, что фрагмент входит в атмосферу с начальной скоростью 60 км/сек под углом в 45° к нормали к поверхности Юпитера. Расчет начинался на высоте /г = 370 км (считая к — 0 при р^т — 1 бар.) На высоте Л = 250 км давление торможения превышает предел прочности материала кометы на одноосное сжатие и фрагмент начинает дробиться, но, как видно из рис. За,б изменения плотности и энергии практически не происходит до высоты И ~ 0 км, так как давление мало, для того чтобы деформировать фрагмент, и накопленная трещиноватость мала для просачивания достаточного для сильного нагрева количества газа. В диапазоне высот /1=0-=—100 км начинается унос массы из центра на периферию и фильтрация через нее горячего газа. Это проводит к интенсивному разогреву частиц твердого тела, их плавлению и испарению(рис Зв,г,д). Пар быстро увеличивается в объеме, что приводит к возрастанию миделя и резкому торможению краев облака, в результате чего образуется чашеобразная форма. Весь процесс превращения происходит за время ~ 1 с и напоминает взрыв. На высоте /г = —140 км практически все твердое тело превращается в газ (рис. Зе). Массовая скорость уменьшается к этому моменту времени всего на 10%.

4. Оптимизация воздействия ядерного взрыва на астероид, опасно сближающийся с Землей.

Создание мощных ракетных носителей, систем дальнего обнаружения и слежения и ядерных взрывных источников энергии привело к принципиальной возможности организации системы противоастероид-ной защиты Земли, что широко обсуждается в последнее время научной общественностью. Наиболее реальным представляется воздействие на опасный космический объект для увода его с орбиты мощного ядерного взрыва. Ниже исследуются два способа воздействия: приповерхностный взрыв и взрыв на некоторой глубине, обеспечиваемой предварительным внедрением массивного жесткого тела, движущегося с высокой скоростью, в астероид. Стратегия выбора воздействия требует определения

Рис. 4: Распределение плотности и внутренней энергии в моменты времени 4 = 3.5 с и < = 6.5 с после взрыва на астероиде.

режима, в котором при минимуме разрушения ОКО сообщается максимальный отклоняющий импульс. В результате возникает задача условной оптимизации по скорости при условии, что основная часть метеорита останется неразрушенной 3. Проводится оптимизация воздействия ядерного взрыва путем варьирования глубины подрыва и мощности заряда для создания максимального отклоняющего импульса и минимальных разрушений тела астероида. Действие взрыва моделируется заданным мгновенным энерговкладом в приповерхностный слой материала астероида в окрестности точки взрыва.

Ниже приводятся некоторые результаты численных расчетов осесим-

3точнее, приобретет дополнительную скорость, достаточную для увода ее с опасной орбиты

Рис. 5: Зависимость скорости отклонения астероида взрывом от его заглубления.

Сплошная линия— мощность взрыва 10 Мт,

Штриховая линия — мощность взрыва 1 Мт,

Маркеры — 10 Мт взрыв в гидродинамическом приближении.

метричной задачи о действии ядерного взрыва на астероид. На рис. 4 показаны геометрия расчетной области и распределение плотности (над осью симметрии) и удельной внутренней энергии (под осью симметрии) при взрыве 10 Мт заряда на астероиде диаметром 0.5 км в моменты 3.5 с и 6.5 с после взрыва при заглублении заряда на 40 м. Видно образование плазменного факела и реактивной струи, скорости движения частиц в которой достигают значительных значений (до 10 км/с).

На рис. 5 показан график зависимости скорости, сообщаемой однородному силикатному астероиду диаметром 0.5 км от глубины взрыва. Штриховая линия соответствует мощности 1 Мт, сплошная - 10 Мт. Маркеры соответствуют расчету взрыва мощностью 10 Мт в гидродинамическом приближении. Отрицательная глубина соответствует взрыву над поверхностью. Виден бимодальный характер зависимости отклоняющего импульса от расстояния от точки взрыва до поверхности, обусловленный резким уменьшением площади облучаемой поверхности астероида при приближении точки взрыва непосредственно к астероиду и повышенной эффективностью воздействия заглубленого заряда, образующего более мощную реактивную струю, а затем падает. Точ-

ка глобального экстремума зависит от мощности заряда и колеблется от 1/10 радиуса для слабого взрыва (сообщающего скорость порядка нескольких метров в секунду) до 1/3 радиуса для сильного (несколько десятков метров в секунду). При дальнейшем заглублении сильного ^ взрыва наступает полное разрушение астероида и образование пылевого облака, а слабый взрыв становится «подземным», т. е. струя газа не вырывается на поверхность. Сравнение результатов расчетов при разных физико-механических моделях выявляет сильную зависимость отклоняющего импульса и степени разрушения от реологии астероида. В частности, при расчетах в гидродинамическом приближении заглубленного взрыва не найдено максимум отклоненяющей скорости отсутствует.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Сформулирована термодинамически корректная модель поведения конструкционных и геологических материалов при высоких плотностях энергии. Модель учитывает большие вязкопластические деформации, и фазовые превращения материала и основана на термодинамике необратимых процессов, групповых свойствах реологических уравнений, асимптотических разложениях по малому параметру, в качестве которого используется упругая (обратимая) составляющая тензора полной деформации. Модель адаптирована к имеющимся экспериментальным данным о поведении материалов при экстремальных давлениях и температурах, больших скоростях деформации;

2. Предложен и реализован обладающий принципиальной новизной метод конечных объемов (схема типа Годунова) на подвижных структурированных и нерегулярных сетках для расчета больших динамических деформаций упруговязкопластической среды. Новизна и эффективность метода обусловлена использованием полностью дивергентной системы уравнений, включающей помимо известных локальных законов сохранения массы, импульса, энергии также закон сохранения совместности полей конечных деформаций и скоростей, позволяющий строить численные методы, консервативные по всем компонентам вектора решения, а также применением свободно-лагранжевой методики, свободной от недостатков лагранжевых и эйлеровых подходов.

роида. Показано, что чисто механический процесс накопления повре-жденности вызывает сильнейший термический эффект, приводящий к более быстрому прогреву вещества астероида по сравнению с кон-дуктивным теплопереносом. На основании численного моделирования показано, что гипотеза "взрыва в полете" является более достоверной" по сравнению с гипотезой "взрыва в момент полной остановки".

4. Выявлены новые, ранее не отмечавшиеся исследователями особенности действия приповерхностного и заглубленного ядерного взрыва на астероид с целью предотвращения столкновения опасного космического объекта с Землей. Показано, что учет прочностных свойств материала астероида влияет в рассматриваемой проблеме не только на эволюцию формы тела и облака продуктов испарения (из-за изменения формы каверны и условий истечения), но и на интегральные характеристики движения. Найдено, что зависимость отклоняющего импульса от глубины (высоты) подрыва заряда носит бимодальный характер, причем экстремум импульса, сообщаемого астероиду, при наружном взрыве, в значительной степени связан с максимумом падающего излучения. При подземном взрыве положение максимума и его величина практически целиком определяются реологическими свойствами материала.

Основные результаты диссертации изложены в следующих работах:

1. Vorobiev О. Yu., Lomov I. N., Shutov A. V., Kondaurov V .1., Ni A. L., Fortov V. E.. Godunov's scheme on moving grids for high velocity impact simulation. //Int. J. of Impact Engineering, 1995, v. 17, pp 891-902.

2. Кондауров В. И., Ломов И. H., Фортов В. Е. Деформирование, разрушение и испарение фрагментов кометы SL-9 в атмосфере Юпитера //Докл РАН, 1995 т. 334, 2, с. 184-188,

3. Kondaurov V. I., Lomov I. N. Application of Godunov-type methods for the Solution of Condensed Matter Problem.//Proc. Of the Conf. of the Amer Phys. Society. Topical Group of Shock Condensed Matter Seattle, Washington, August 13-18,1995. Ed. S.C.Smidt, W.C.Tao, pp 259-262.

4. Кондауров В. И., Ломов И. H., Ломоносов И. В., Фортов В. Е., Хшцен-ко К. В. Результаты взрыва на астероиде: отклонение или разрушение Доклады международной конференции «VI Забабахинские научные чтения». Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1995. с. 108-114.

5. Кондауров В. И., Ломов И. Н., Фортов В. Е. О действии мощного взрыва на астероид. //Докл РАН, 1996 т. 348, 2, с. 184-187

6. Fortov V. Е., Kondaurov V. N., Lomov I. N. Investigation of the Nuclear Explosion Effect on Asteroids. Int. J. of Impact Ingineering, 1997, v. 20, pp 265-270.

Список литературы

[1] С. К. Годунов, А. В. Забродин, М. Я. Иванов, А. Н. Крайко, Г. П. Прокопов. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Наука, Москва, 1976.

[2] В. И. Кондауров, Л. В. Никитин. Теоретические основы реологии геоматериалов. Наука, Москва, 1990.

[3] А. В. Бушман, Г. И. Канель, А. Л. Ни, В. Е. Фортов. Теплофизика и динамика интенсивных импульсных воздействий. ОИХФ, Черноголовка, 1988.

[4] J. K. Ducowicz A General, non-iterative Riemann solver for Godunov method. J. Comput. Phys., 61:119-137, 1985.

[5] G. R. Johnson, T. J. Holmquist. Evaluation of cylinder-impact test data for constitutive model constants. J. Appl. Phys., 64:3901-3910, 1988.

ЛОМОВ Илья Николаевич

Автореферат

Подписано к печати 30.09.97 Печать офсетная Тираж 100 экз.

Уч.-изд.л. i,o Заказ N 361

Формат 60 X 84/16 Усл.печ.л. 0,33 Бесплатно

АП "Шанс". 127412, Москва, ул. Ижорская, 13/19

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Ломов, Илья Николаевич

Содержание

Введение

1 Методы математического моделирования интенсивных импульсных процессов в конденсированных средах

1.1 Теоретические модели определяющих соотношений

1.2 Численные методики расчета динамических процессов в сплошной среде.

2 Термомеханика и физическая модель сплошной среды

2.1 Законы сохранения.

2.2 Определяющие соотношения.

2.3 Термоупругая жидкость и полу эмпирическое уравнение состояния.

2.4 Термовязкоупругий материал.

2.5 Характеристическая форма уравнений движения вяз-коупругой среды.

3 Численный метод

3.1 Алгоритм расчетов на структурированной сетке.

3.2 Алгоритм расчетов на нерегулярной сетке.

3.3 Задача о распаде произвольного разрыва.

3.4 Численное решение уравнений релаксации пластических напряжений.

4 Результаты численных расчетов

4.1 Тестирование методики.

4.2 Деформирование, разрушение и испарение вещества фрагментов комет и метеороидов при движении в атмосфере планет.

4.3 Отклонение и фрагментация опасного космического объекта ядерным взрывом.

Введение диссертация по физике, на тему "Моделирование динамических процессов в конденсированных средах с учетом реальных термомеханических свойств"

Актуальность темы. Моделирование поведения материалов под воздействием интенсивных потоков энергии с учетом реального уравнения состояния вещества, фазовых переходов, прочностных свойств твердого тела очень важно для понимания процессов, характеризующихся высокой плотностью энергии среды (таких как высокоскоростной удар, воздействие корпускулярных и электромагнитных пучков, взрыв) и явлений, для которых затруднено непосредственное экспериментальное изучение. Динамические процессы протекающие в сплошной среде при мощных воздействиях описываются нелинейными уравнениями в частных производных, решение которых даже в простейших случаях требует привлечения численных методов. Численное моделирование необходимо для решения различных задач оптимизации способов и формы воздействия и способов защиты.

Метод Годунова и построенные на его основе методы более высокого порядка широко используются в аэродинамике для решения гиперболических систем законов сохранения. Полученные результаты показывают, что метод дает большие возможности для решения данных задач. Применение оригинального подхода [23] для решения задач механики конденсированных сред с учетом прочности было затруднительно, поскольку методика конечных объемов должна основываться на замкнутой системе уравнений в дивергентной форме. Дивергентные уравнения неразрывности, сохранения импульса и энергии хорошо известны, но уравнение для симметричного тензора конечных деформаций принципиально не может быть записано в дивергентной форме и заменяется законом сохранения совместности скоростей и деформаций, использующим несимметричный тензор дисторсии (градиента деформации) [24]. Применение дивергентной формы полной системы уравнений позволяет учитывать как гладкие, так и разрывные решения.

Качество получаемых в результате численного моделирования решений определяются точностью описания термодинамических свойств веществ определяющими соотношениями: широкодиапазонным уравнением состояния и кинетическими уравнениями роста пластических деформаций. Возрастающие требования к результатам требуют применения полуэмпирических уравнений состояния реальных веществ и сложных реологических моделей, учитывающих скоростное и деформационное упрочнение материалов.

Для решения задач механики твердого деформируемого тела традиционно наиболее широко используются лагранжевы методы, поскольку они не сглаживают контактных разрывов, автоматически учитывают движение границ и т. д. Данный подход обладает существенным недостатком — вырождением сетки при сильных деформациях. Применение альтернативного эйлерова подхода связано со своими трудностями (расчета и интерпретации контактных границ, повышенной численной диффузии.) Поэтому представляет интерес и несомненную актуальность развитие смешанных, лагранжево-эйлеровых подходов, как на структурированных сетках, так и на сетках с произвольной, меняющейся в процессе расчета связностью области интегрирования.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Построена модель вязкоупругой сплошной среды релаксационного типа для описания поведения конструкционных и геологических материалов при мощных нестационарных воздействиях. Для формулировки модели использовалась дивергентная форма уравнений при больших деформациях, широкодиапазонное уравнение состояния и дивергентное уравнение кинетики пластических деформаций. Данная модель применима для расчета как гладких, так и разрывных неодномерных течений.

3. Исследован процесс входа низкопрочных космических тел в атмосферу планет. На основе модели прогрессирующего дробления метеороида и фильтрации горячего газа через образующиеся трещины объяснен механизм ускоренного разрушения и испарения космического тела. Проведен расчет входа кометы Шумейкер-Леви-9 (8Ь9) в атмосферу Юпитера и тунгусского метеорита в атмосферу Земли.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Многомерная модель болыцих деформаций вязкоупругих материалов, использующая полностью дивергентную систему уравнений, полуэмпирическое широкодиапазонное уравнение состояния и реальную зависимость времени релаксации касательных напряжений.

2. Метод конечных объемов на подвижных структурированных и неструктурированных сетках с использованием неитерационной процедуры решения задачи о распаде произвольного разрыва.

3. Решение и анализ задач движения космических тел в атмосфере планеты с учетом механизмов прогрессирующего дробления и теплообмена.

4. Исследование возможности и способов увода астероида, сближающегося с Землей, с опасной траектории путем заглубленного или приповерхностного ядерного взрыва.

Апробация работы. Результаты исследований были представлены на XI международной конференции " Воздействие интенсивных потоков энергии на вещество" (Приэльбрусье, Россия, 1997), X международной конференции "Уравнения состояния вещества" (Приэльбрусье, Россия, 1996), VII научной школе "Физика импульсных разрядов в конденсированных средах" (Николаев, Украина, 1995), XXII Метеоритной (Черноголовка, Россия, 1994), всероссийских конференциях "Программы наблюдений высокоорбитальных спутников и небесных тел Солнечной системы" (Санкт-Петербург, Россия, 1994), "Астероидная опасность-95" (Санкт-Петербург, Россия, 1995), международных конференциях "Hypervelocity Impact Symposium" (Albuquerque, USA, 1994 и Freiburg, Germany 1996), "Amer. Phys. Society. Topical Conference Shock Condensed Matter" (Seattle, USA, 1995 и Amherst, USA 1997), "IV Забабахинсие научные чтения", (Снежинск, Россия, 1995), "Space-96" (Albuquerque, USA 1996), (New Models and Numerical Codes for Shock Wave Processes in Condensed Media, Oxford, UK, 1997) а также на семинарах НИЦ ТИВ. По материалам диссертации опубликовано 22 печатные работы [1]-[22].

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 116 страниц, 25 рисунков, 157 наименований использованной литературы.

Заключение диссертации по теме "Теплофизика и теоретическая теплотехника"

Заключение

К основным результатам данной работы можно отнести следующие:

1. Сформулирована термодинамически корректная модель поведения конструкционных и геологических материалов при высоких плотностях энергии. Модель учитывает большие вязкопла-стические деформации, и фазовые превращения материала и основана на термодинамике необратимых процессов, групповых свойствах реологических уравнений, асимптотических разложениях по малому параметру, в качестве которого используется упругая (обратимая) составляющая тензора полной деформации. Модель адаптирована к имеющимся экспериментальным данным о поведении материалов при экстремальных давлениях и температурах, больших скоростях деформации;

3. Выявлен новый механизм разогрева вещества астероида при его торможении в атмосфере планеты и связанный с дросселированием горячего газа из ударно-сжатого слоя за головной ударной волной через систему развивающихся под действием напряжений трещин в теле астероида. Показано, что чисто механический процесс накопления поврежденности вызывает сильнейший термический эффект, приводящий к более быстрому прогреву вещества астероида по сравнению с кондуктивным теплопере-носом. На основании численного моделирования показано, что гипотеза " взрыва в полете" является более достоверной по сравнению с гипотезой " взрыва в момент полной остановки".

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Ломов, Илья Николаевич, Москва

1. Кондауров В. И., Ломов И. Н., Медин С. А., Фортов В. Е. Деформирование, разрушение и испарение вещества фрагмента кометы Шумейкер-Леви-9 в атмосфере Юпитера. // Тем. сб. XXII Метеоритной конф., Москва: 1994, с. 49-50

2. Кондауров В. И., Ломов И. Н., Фортов В. Е. Результаты взрыва на опасном астероиде: отклонение или разрушение // Тем. сб. «Астероидная опасностъ-95» С.-Петербург: 1995, т.2 с. 71.

3. Кондауров В. И., Ломов И. Н., Фортов В. Е. Моделирование интенсивного воздействия на астероид // Тем. сб. «Физика импульсных разрядов в конденсированных средах. Тезисы докладов VII научной школы», Николаев: 1995, с. 110

4. Кондауров В. И., Ломов И. Н., Фортов В. Е. Деформирование, разрушение и испарение фрагментов кометы БЬ-Э в атмосфере Юпитера //ДАН, 1995 т. 334, N2, с. 184-188

5. Кондауров В. И., Ломов И. Н., Фортов В. Е. Результаты взрыва на опасном астероиде: отклонение или разрушение. // Тем. сб.

6. Забабахинсие научные чтенияСнежинск (Челябинск-70): 1995. с. 64-66

7. Кондауров В. И. Ломов И. Н., Фортов В. Е. Численное моделирование удара по астероиду. // Тем. сб. «Уравнения состояния вещества», Нальчик: 1996г, с. 17

8. Кондауров В. И., Ломов И. Н., Ломоносов И. В., Фортов В. Е., Хищенко К. В., Результаты взрыва на астероиде: отклонение или разрушение. //Сб. докл. конф. «VI Забабахинские научные чтения.» Снежинск: РФЯЦ-ВНИИТФ, 1995. с. 108-114.

9. Кондауров В. И., Ломов И. Н., Фортов В. Е. О действии мощного взрыва на астероид. //ДАН, 1996, т. 348, N2, с. 184-187.

10. Кондауров В. И., Ломов И. Н. Численное моделирование высокоэнергетических воздействий на конденсированные среды, // Тем. сб. «Импульсные процессы в механике сплошных сред. Тезисы докладов II научной школы», Николаев: 1996 г. с. 74

11. Кондауров В. И. Ломов И. Н. Моделирование динамических процессов в конденсированной среде методом конечных объемов на неструктурированных сетках // Тем. сб. «Уравнения состояния вещества», Нальчик: 1997г, с. 107-109

12. Левашов П. Р., Ломов И. Н., Ломоносов И. В., Фортов В. Е., Хищенко К. В. База экспериментальных данных по термодинамическим свойствам веществ при высоких плотностях энергии. //Тем. сб. «Уравнения состояния вещества», Нальчик: 1997г, с. 80

13. Vorobiev О. Yu., Lomov I. N., Shutov A. V., Kondaurov V .1., Ni A. L., Fortov V. E. Godunov's scheme on moving grids for high velocity impact simulation. //Int. J. of Impact Engineering, 1995, v. 17, pp. 891-902.

14. Fortov V. E., Kondaurov V. N., Lomov I. N. Investigation of the Nuclear Explosion Effect on Asteroids. //Int. J. of Impact Ingineering, 1997, v. 20, pp. 265-270.

15. Vorobiev O. Yu., Shutov A. V., Lomov I. N., Shishov D. A., Medin S. A., Fortov V. E. Comparative Analysis of Computer Codes for Hypervelocity Impact Problems with Large Deformations. //Int. J. of Impact Ingineering, 1997, v. 20, pp. 805-816.

16. Lomov I. N., Kondaurov V. I. Fracture of brittle material with initial porosity under high energy density flows. //Bull. Amer. Phys. Soc., 1997, v. 42, N5, p. 1506

17. Levashov P. R., Fortov V. E., Khishchenko К. V., Lomov I. N., Lomonosov I. V. Shock-Wave Data Base. //Bull. Amer. Phys. Soc., 1997, v. 42, N5, p. 1533

18. Lomov I. N., Kondaurov V. I. Simulation of dynamic processes in condensed matter on unstructured meshes. //Absrtacts of International workshop "New Models and Numerical Codes for Shock Wave Processes in Condensed Media", Oxford, 1997, p. 68

19. Lomov I. N., Kondaurov V. I. Simulation of dynamic processes in condensed matter on unstructured meshes. //Proc. of International workshop "New Models and Numerical Codes for Shock Wave Processes in Condensed Media", Oxford, 1997 (to be printed)

20. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я., Крайко А. Н., Прокопов Г. П. Численное решение многомерных задач газовой динамики. Москва: Наука, 1976.

21. Кондауров В. И., Никитин JI. В. Теоретические основы реологии геоматериалов. Москва: Наука, 1990.

22. Ивлев Д. Д., Быковцев Г. И. Теория упрочняющегося пластического тела. Москва: Наука, 1971, 232 с.

23. Седов J1. И. Механика сплошной среды. Т. 2. Москва: Наука, 1970.

24. Ильюшин А. А. Пластичность. Москва: Изд-во АН СССР, 1963.

25. Прагер В. Проблемы теории пластичности. Москва: Физмат-гиз, 1958.

26. Ильюшин А. А., Победря Б. Е. Основы математической теории термовязкоупругости. Москва: Наука, 1970, 280 с.

27. Соколовский В. В. Распространение упруго-вязко-пластических волн в стержнях. //Прикл. матем. и механ., 1948, т. 12, вып. 3.

28. Кукуджанов В. Н. Одномерные задачи распространения волн напряжений в стержнях. Москва: ВЦ АН СССР, 1977.

29. Жермен П. Курс механики сплошных сред. Москва: Высш. шк., 1983, 399 с.

30. Седов J1. И. Введение в механику сплошной среды. Москва: Физматгиз, 1962, 284 с.

31. Green А. Е., Naghli P. М. A general theory at elastic-plastic continuum //Arch. Ration. Mech. and Anal. 1965, v. 18, N4 pp. 251-281

32. Поздеев А. А., Трусов П. В., Няшин Ю. И. Большие упругопла-стические деформации Москва: Наука, 1986.

33. Lee Е. Н. Elastic-plastic deformation at finite strain // Trans. ASME J. Appl. Mech., 1969, v. 36, N1, pp. 1-6

34. Truesdell C., Noll W. The non-linear field theories of mechanics //Handbuch der Physik, New York: Springer, 1965, Bd. III/3.

35. Левитас В. И. Большие упругопластические деформации материалов при высоком давлении. Киев: Наукова Думка, 1987, 232 с.

36. Годунов С. К. Элементы механики сплошной среды. Москва: Наука, 1978.

37. Кондауров В. И. О законах сохранения упуговязкопластической среды с конечными деформациями. //Изв. АН СССР, МТТ, 1982, N6, с. 100-111.

38. Кондауров В. И., Никитин JI. В. Распространение волн напряжений и некоторые дополнительные неравенства теории упру-говязкопластических сред с конечными деформациями. //Изв. АН СССР, МТТ, 1985, N1, с. 128-137.

39. Томас Т. Пластическое течение и разрушение в твердых телах. Москва: Мир, 1964.

40. Бленд Д. Нелинейная динамическая теория упругости. Москва: Мир, 1972, с. 183.

41. Clifton R. J. A difference method for plane problems in dynamic elastisity // Quart. Appl. Math. 1967, v.25, N1

42. Ни А. Д., Фортов В. E. Распространение нелинейных волн в вязкоупругой среде максвелловского типа. Препринт. Черноголовка: ИХФЧ АН СССР, 1987.

43. Кондауров В. И. О законах сохранения и симметризации уравнений нелинейной теории термоупругости. //ДАН СССР, 1981, т. 256, N4, с. 819-823.

44. Бушман А. В., Канель Г. И., Ни А. Д., Фортов В. Е. Теплофизика и динамика интенсивных импульсных воздействий. Черноголовка: ОИХФ, 1988.

45. Gotlieb D., Orszag S. A. Numerical Analisys of Spectral Methods: Theory and Applications, Philadelphia: PA:SIAM, 1977.

46. Харлоу Ф. X. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики. Вычислительные методы в гидродинамике. Под ред. Олдера В., Фернбаха С., Ротенберга М., Москва: Мир, 1967, с. 316-342.

47. Monaghan J. J. Smoothed Particle Hydrodynamics //Annu. Rev. Astrophys. 1992, v. 30 pp. 543-574

48. Zienkiewicz О. C., Morgan K. Finite Elements and Approximation New York: Wiley, 1983.

49. Gallagher R. H., Carey G. F, Oden J. Т., Zienkiewicz О. C. Finite Elements in Fluids, New York: Wiley, 1985.

50. Бураго Н. Г., Кукуджанов В. Н. Решение упругопластических задач методом конечных элементов. Пакет прикладных программ «Астра». Препринт N326. Москва: ИПМех АН СССР, 1988.

51. Belytchko Т., Lu Y. Y., Gu L. Element-Free Galerkin Methods. I/Int. J. Meth. Eng., 1994, v. 37, pp. 229-256.

52. Vinokur M. An Analysis of Finite-Difference and Finite-Volume Formulations of Conservation Laws //J. of Сотр. Phys., 1989, v. 81, pp. 1-52

53. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. Москва: Мир, 1975, с. 392.

54. Петров И. Б., Холодов А. С. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом. //ЖВМ и МФ. 1984, т. 24, N5, с. 722-739.

55. Магомедов К. М., Холодов А. С. Сеточно-характеристические методы. Москва: Наука, 1988, с. 287.

56. Петров И. В., Холодов А. С. О регуляции разрывных численных решений уравнений гиперболического типа. //ЖВМ и МФ. 1984, т. 34, N8, с. 1172-1188.

57. Колган В. П. Применение принципа минимальных значений производной к построению конечно-разностных схем для расчета разрывных решений газовой динамики. // Уч. зап. ЦАГИ, 1972, т. 3, N6, с. 68-77.

58. Van Leer В. Towards the ultimate conservative difference scheme V. a second order sequel to Godunov's methods. // J. Comput. Phys., 1984, v. 54, pp. 115-173.

59. Boris I. P., Book D. L. Flux-Corrected transport. I. Shasta, a fluid transport algorithm that work / / J. Comput. Phys., 1973, v. 11, pp. 38-69.

60. Colella P. and Woodward P. R. The piecewise parabolic method (PPM) for gas-dynamical simulations. //J. Comput. Phys., 1984, v. 54, pp. 174-201.

61. Chakravarthy S. R., Harten A., and Osher S. Essentially non-oscillatory shock-capturing schemes of arbitrary-high accuracy. ЦА1АА 24-th aerospace science meeting, AIAA, AIAA paper N86-0399, 1986.

62. Родионов А. В. Монотонная схема второго порядка аппроксимации для сквозного расчета неравновесных течений. //ЖВМ и МФ. 1987, т. 27, N4, с. 564-574.

63. Родионов А. В. Повышение порядка аппроксимации схемы С. К. Годунова. //ЖВМ и МФ. 1987, т. 27, N12, с. 1853-1860.

64. Войнович П. А., Шаров Д. М. Моделирование разрывных течений газа на неструктурированных сетках. //Мат. модел. 1993, т. 5, N7, с. 86-100.

65. Войнович П. А., Шаров Д. М. Моделирование разрывных течений газа на неструктурированных сетках. //Мат. модел. 1993, т. 5, N7, с. 101-112.

66. М. L. Wilkins. Calculation of elastic-plastic flow. In Adler В., Fernbach S., Rotenberg M., editors, //Methods in Computational Physics, 1964, N3, p. 211.

67. Predebon W. W., Anderson Jr С. E., Walker J. D. Inclusion of evolutionary damage measures in Eulerian wavecodes. // Comput. Mechanics, 1991, v. 7, pp. 221-236.

68. Бураго Н. Г. Формулировка уравнений механики сплошной среды в подвижных адаптивных координатах. // Численные методы в механике деформируемого твердого тела. Москва: ВЦ АН СССР, 1984, с. 38-49

69. Bell J., Collella Ph., Trangenstein J., Welcome M. Adaptive mesh refinement on moving quadrilateral grids. //AIAA 9th CFD Conference, Buffalo, New York, 1989, pp. 471-479.

70. Крайко A. H., Тилляева H. И., Щербаков С. А. Метод расчета течений идеального газа в плоских и осесимметричных соплах с изломами контура. //ЖВМиМФ. 1986, т. 26, N11, с. 1679-1694.

71. Fritts М. J., Crowley W. P., TYease H.(eds) The Free-Lagrange Method, New York: Springer-Verlag, 1985.

72. Анучина H. H., Бабенко К. И. и др. Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов задач математической физики. Москва: Наука, 1979.

73. Михайлова Н. В., Тишкин В. Ф., Тюрина Н. Н., Фаворский А. П., Шашков М. Ю. Численное моделирование двумерных газодинамических течений на сетке переменной структуры. //ЖВМ и МФ. 1986, т. 26, N9, с. 1392-1407.

74. Глаголева Ю. П. и др. Основы методики «Медуза». // Численные методы механики сплошной среды. Новосибирск, 1974, т. 5, N1, с. 38-52.

75. Коротких Ю. Г. Численный метод исследования поведения упруго-пластических тел при импульсных воздействиях. //Распространение упругих и упругопластических волн. Алма-Ата: Наука, 1973.

76. Заппаров К. И., Кукуджанов В. Н. Математическое моделирование задач импульсного взаимодействия и разрушения упру-гопластических тел. Москва: ИПМ АН СССР, Припринт N280, 1976, с. 67.

77. Петров И. Б. Численное исследование волновых процессов в слоистой преграде при соударении с жестким телом вращения //Изв. АН СССР, МТТ 1985, N4, с. 125-129.

78. Иванов В. Д., Кондауров В. И., Петров И. Б., Холодов А. С. Расчет динамического деформирования и разрушения упру-гопластических тел сеточно-характеристическими методами. //Мат. Модел. 1990, т. 2, N11, с. 10-29.

79. Кукуджанов В. Н. Численное решение неодномерных задач распространения волн напряжений в твердых телах. Москва: ВЦ АН СССР, 1976.

80. С. Б. Афанасьев, В. Г. Баженов. О численном решении одномерных нестационарных задач упругопластического деформирования сплошных сред методом Годунова. //Прикладные проблемы прочности и пластичности, Горький: 1985, с. 59-66

81. JT. А. Мержиевский, А. Д. Реснянский. Численное моделирование ударно-волновых процессов в металлах. // ФГВ, 1984, т. 20, N5, с. 114-122.

82. Роменский Е. И. Разностная схема Годунова для одномерных релаксационных уравнений термоупругопластичности. // Тр. Инс. Матем. Новосибирск, 1988, т. 11, с. 101-115.

83. JI. А. Мержиевский, А. Д. Реснянский. Численное моделирование деформирования и разрушения пологой конической облицовки. //ФГВ, 1987, N2, с. 102-110.

84. Роменский Е. И. Метод расчета двумерных динамических уравнений нелинейной упругопластической среды Максвелла. //Тр. Инс. Матем. Новосибирск, 1990, т. 18, с. 83-100.

85. Гулидов А. И., Шабалин И. И. Метод свободных элементов для решения задач высокоскоростного взаимодействия деформируемых тел. // Тез. Докл. IV Забабахинские научные чтения. Сне-жинск, 1995, с. 112.

86. McGlaun J. М., Thompson S. L., Elrick M. G. CTH: A Three-Dimensional Shock Wave Physics Code. //Int. J. Impact Engng, 1990, v. 10, pp 351-360

87. Янилкин Ю. В., Шанин А. А., Ковалев H. П. и др. Комплекс программ ЭГАК для расчетов двумерных течений многокомпонентной среды. //ВАНТ, Сер. Математическое моделирование физических процессов. 1993, N4, с. 69-75.

88. Hallquist J. О. User manual for DYNA2D — an explicit two-dimensional hydrodynamic finite element code with interactive rezoning Univ. of California, LLNL, Rep. NUCID-18756

89. Wingate C. A., Stellingwerf R. F. Los Alamos Los Alamos SPHINX Manual, Version 7.6. National Laboratory report, LA-UR-93-2476, 1993.

90. Sofronov I. D., Rasskazova V. V., Nesterenko L. V. The Use of Nonregular Nets for Solving Two-Dimensional Nonstationary

91. Problems in Gas Dinamics //Numerical Methods in Fluid Dynamics, Edited by Yanenko N.N. and Shokin Yu.I., Moscow: Mir, 1984.

92. Трусделл К. Первоначальный курс рациональной механики сплошных сред. Москва: Мир, 1975, с. 592.

93. Бушман А. В., Фортов В. Е. Модели уравнения состояния вещества ЦУФН. 1983. Т. 140. N2. С. 177.

94. Lomonosov I. V., Bushman А. V., Fortov V. Е., Khishchenko К. V. Caloric equations of state of structural materials //High Pressure Science and Technology, 1993 / Eds. Schmidt S. C., Shaner J. W., Samara G. A., Ross M. New York: AIP Press, 1994. p. 133.

95. Бушман А. В., Ломоносов И. В, Фортов В. Е. Уравнения состояния металлов при высоких плотностях энергии. Черноголовка: ИХФЧ РАН, 1992.

96. Guinan М. W., Steinberg L. J. Pressure and temperature derivatives of the isotropic poly crystalline shear modulus for 65 elements //J. Phys. Chem. Solids, 1974. v. 35. p. 1501.

97. Калиткин H. H., Кузьмина JI. В. Таблицы термодинамических функций вещества при высокой концентрации энергии. Препр. ИПМ АН СССР N35. Москва, 1975.

98. Ващенко В. Я., Зубарев В. Н. О коэффициенте Грюнайзена ЦФТТ, 1963. т. 5, N3. с. 886.

99. Hultgren R., Desai P. D., Hawkins D. Т., Gleizer M., Kelley К. K., Wagman D. D. Selected Values of the Thermodynamic Properties of the Elements. Metals Park, Ohio: ASME, 1973.

100. Кормер С. В., Фунтиков А. И., Урлин В. Д., Колесникова А. Н. Динамическое сжатие пористых металлов и уравнение состояния с переменной теплоемкостью при высоких температурах ЦЖЭТФ. 1962. т. 42. N3. с. 686.

101. Альтшулер JL В., Чекин Б. С.Метрология высоких импульсных давлений // 1-й Всесоюзный симпозиум по импульсным давлениям: Сб. науч. тр. Москва: ВНИИФТРИ, 1974. т. 1. с. 5.

102. LASL Shock Hugoniot Data / Ed. Marsh S. P. Berkeley: Univ. of California Press, 1980.

103. Mitchell A. C., Nellis W. J. Shock compression of aluminum, copper and tantalum //J. Appl. Phys., 1981. v. 52. N5. p. 3363.

104. Симоненко В. А., Волошин H. П., Владимиров А. С., Нагибин А. П., Ногин В. П., Попов В. А., Сальников В. А., Шойдин Ю. А. Абсолютные измерения ударной сжимаемости алюминия при давлениях 10 ТПа ЦЖЭТФ, 1985. т. 88. с. 1452.

105. Трунин Р. Ф., Подурец М. А., Симаков Г. В., Попов JI. В., Севастьянов А. Г. Новые данные по сжимаемости алюминия, плексигласа и кварца, полученные в условиях сильной ударной волны подземного ядерного взрыва //ЖЭТФ, 1995. т. 108. N3. с. 851.

106. Альтшулер JI. В., Трунин Р. Ф., Крупников К. К., Панов Н. В. Взрывные лабораторные устройства для исследования сжатия вещества в ударных волнах /¡УФЕ, 1996. т. 166. N5. с. 575.

107. Баканова А. А., Дудоладов И. П., Сутулов Ю. Н. Ударная сжимаемость пористых вольфрама, молибдена, меди и алюминия в области низких давлений //ПМТФ, 1974. N2. с. 117.

108. Nellis W. J., Moriarty J. A., Mitchell A. C., Ross M., Dandrea R. G., Ashcroft N. W., Holmes N. C., Gathers G. R. Metal physics at ultrahigh pressure: aluminum, copper, and lead as prototypes I/Phys. Rev. Lett., 1988. v. 60. p. 1414.

109. Альтшулер JI. В., Кормер С. Б., Бражник М. И., Владимиров Л. А., Сперанская М. П., Фунтиков А. И. Изэнтропическая сжимаемость алюминия, меди, свинца и железа при высоких давлениях //ЖЭТФ, 1960. т. 38. N4. с. 1061.

110. Neal Т. Mach waves and reflected rarefactions in aluminum //J. Appl. Phys. 1975. v. 46. p. 2521.

111. McQueen R. G., Fritz J. N., Morris С. E. The velocity of sound behind strong shock waves in 2024 A1 //Shock Waves in Condensed Matter, 1983 / Eds. Asay J. R., Graham R. A., Straub G. K. Amsterdam: North Holland, 1984. p. 95.

112. Khishchenko К. V., Lomonosov I. V., Fortov V. E. Equations of state for organic compounds over wide range of densities and pressures //Shock Compression of Condensed Matter, 1995 / Eds. Schmidt S. C., Tao W. C. New York: AIP Press, 1996. p. 125.

113. Трунин P. Ф., Симаков Г. В., Подурец М. А., Моисеев Б. Н., Попов Л. В. Динамическая сжимаемость кварца и кварцита при высоких давлениях //Изв. АН СССР. Физ. Земли, 1971. N1. с. 13.

114. Трунин Р. Ф., Симаков Г. В., Подурец М. А. Сжатие пористого кварца сильными ударными волнами //Изв. АН СССР. Физ. Земли. 1971. N2. с. 33.

115. Симаков Г. В., Трунин Р. Ф. Сжатие сверхпористого кремнезема в ударных волнах //Изв. АН СССР. Физ. Земли. 1990. N11. с. 72.

116. Ragan С. Е. Shock-wave experiment at threefold compression //Phys. Rev. A, 1984. v. 29. p. 1391.

117. Трунин Р. Ф. Ударная сжимаемость конденсированных веществ в мощных ударных волнах подземных ядерных взрывов // УФН. 1994. т. 164. N11. с. 1215.

118. Альтшулер JL В., Баканова А. А., Трунин Р. Ф. Фазовые превращения при сжатии воды сильными ударными волнами и ДАН СССР, 1958. т. 122. N1, с. 48.

119. Волков JL П., Волошин Н. П., Мангасаров П. А., Симоненко В. А., Синько Г. В., Сорокин В. JI. Ударная сжимаемость воды при давлении 1 Мбар //Письма в ЖЭТФ. 1980. т. 31. N9. с. 546.

120. Кондауров В. И. Уравнения релаксационного типа для вязко-упругих сред с конечными деформациями. //Прикл. Мат. и Мех. 1985, т. 49, N5, с. 791-800.

121. Пэжина П. Основные вопросы вязкопластичности, Москва: Мир, 1968.

122. JI. А. Мержиевский, С. А. Шамонин. О выборе зависимости для времени релаксации касательных напряжений. // Нестационарные проблемы механики: Динамика сплошной среды., Новосибирск, 1986, N74, с. 55-67.

123. Orowan Е. Proc. R. Soc. London, 1940, v. 52, N8.

124. Гилман Дж. Д. Микродинамическая теория пластичности. //Микропластичность. Москва: Металлургия, 1972, с. 18-37.

125. A. Kumar, F. Е. Hauser, J. Е. Dorn. Viacous drag on dislocations in alumium at high strain rates. //Acta Metall., 1968, v.16, N9, 1189-1197.

126. Granato A. V. //Metallurgical effects at high strain rates, Rohde R. W., Butcher В. M., Holland J. R., Karnes С. H. eds., Plenum, New York, 1973, p. 255

127. Johnson G. R., Cook W. H. Fracture characteristics of three metals subjected to various strains, strain rates, temperatures and pressures. Eng. Frac. Mech., 21, pp. 31-48.

128. Zerilli F. J., Armstrong R. W. Dislocation-mechanics-based constitutive relations for material dynamics calculations J. Appl. Phys., 1987, v. 61, N5, pp. 1816-1825.

129. Johnson G. R., Holmquist T. J. Evaluation of cylinder-impact test data for constitutive model constants. J. Appl. Phys., 1988, v. 64, N8, pp. 3901-3910.

130. Гантмахер Ф. P. Теория матриц. Москва: Наука, 1967, с. 575.

131. Thompson J. F., Warsi Z. U. A., Mastin C. W. Numerical grid generation — foundations and applications Elsevier Science Publisher, New York, 1985.

132. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. Москва: Наука, 1992.

133. Вороной Г. Ф. Изучение простейших полиэдров. // Собр. соч. Киев: АН УССР, 1952, т. 2, с. 239-368.

134. Делоне Б. Н. Геометрия положительных квадратичных форм. /¡Усп. мат. наук. 1937, т. 3, с. 16-62.

135. Делоне Б. Н. Геометрия положительных квадратичных форм. //Усп. мат. наук. 1938, т. 4, с. 102-164.

136. Bowyer A. Computing Dirichle tesselations. // Comput. J. 1981, v. 24, N2, pp. 162-166.

137. Sibson R. A. A brief discription of the natural neighbor interpolant. //Interpreting Multivariate Data, Chichester, Wiley, 1981, pp. 2136.

138. Беликов В. В., Иванов В. Д., Конторович В. К., Корытник С. А., Семенов А. Ю. Несибсоновская интерполяция: новый метод интерполяции значений функции на произвольном множестве точек. ЦЖВМ и МФ. 1997, т. 37, N1, с. 11-17.

139. Wilkins М. A. Use of artificial viscosity in multidimensional fluid dynamic calculations // J. Comput. Phys., 1980, v. 36, pp. 281-303.

140. Ducowicz J. K. A General, non-iterative Riemann solver for Godunov method. J. Comput. Phys., 1985, v. 61, pp. 119-137.

141. Лохов Г. H., Подзоров С. И., Щенников В. Вл. Методы численного исследования жестких систем нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва: МФТИ, 1994.

142. Steinberg D. J., Cochran S. G., Guinan M. W. A constitutive model for metals applicable at high-strain rate. J. Appl. Phys., 1980, v. 51, pp. 1498-1504.

143. Liquournik D. J.Results reported by G. W. Pomykal. Digitized data for Delco test 4007, lead-to-lead. LLNL Report DDV-86-0010.

144. Holian K. S. Hydrodynamic code calculations of debris clouds produced by ball plate impacts. Int. J. of Impact Engineering,, 1990, v. 10, pp. 231-239.

145. IAU Circ 1994, N6020-6053.

146. Зельдович Я. В., Райзер Ю. Р. Физика ударных волн и высокотемпературных гидродинамических явлений. Наука,Москва, 1961.-116

147. Коробейников В. П., Чушкин А. И., Шуршалов JI. В. //Моделирование в механике. 1988, т. 2, N5, с. 104.

148. Клумов Б. А., Кондауров В. И., Конюхов А. В. и др. Моделирование долговременных последствий столкновения кометы Шумейкер-Леви-9 с Юпитером //Докл. РАН. 1994, т. 337, N1, с. 28-35.

149. Григорян С. С. О движении и разрушении метеоритов в атмосферах планет. //Косм. иссл. 1979, N6, с. 875-893.

150. Бронштэн В. А. Метеоры, метеориты, метеороиды. Москва: Наука, 1987.

151. Нигматулин Р. И. Динамика многофазных сред. Москва: Наука, 1987, ч. 1.

152. Междунар. конф. «Проблемы защиты Земли от столкновения с опасными космическими телами (SPE-94)». Тезисы докладов. Снежинск, 1994.

153. Int. Tech. Meeting «Planetary Defense Workshop», Livermore, California, May 22-26, 1995.

154. Броуд Г. Расчеты взрывов на ЭВМ. Подземные взрывы. Москва: Наука, 1990, с. 207.