Моделирование эффектов встречи в циклических коллайдерах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.20 ВАК РФ

На правах рукописи

ШАТИЛОВ ДМИТРИЙ НИКОЛАЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ ВСТРЕЧИ В ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЛАЙДЕРАХ

01.04.20 - физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 6 МАЙ 2013

005058503

НОВОСИБИРСК - 2013

005058503

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения Российской академии наук.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

ЛЕВИЧЕВ Евгений Борисович

- доктор физико-математических наук,

Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирск.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

МЕШКОВ Игорь Николаевич

КООП

Иван Александрович

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ

доктор физико-математических наук, профессор, член-корр. РАН, Объединённый институт ядерных исследований, Дубна, советник дирекции, доктор физико-математических наук, Федеральное государственное бюджетное учреждение науки Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения Российской академии наук, Новосибирск, главный научный сотрудник.

Национальный исследовательский центр "Курчатовский институт", Москва.

Защита диссертации состоится « » ССШ? _2013 г.

в « 10~Ъ0» часов на заседании диссертационного совета Д003.016.03 Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения Российской академии наук.

Адрес: 630090, г. Новосибирск,

проспект Академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института ядерной физики имени Г.И. Будкера Сибирского отделения Российской академии наук.

Автореферат разослан «2^ » & и (I_2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

А.А. Иванов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Основным источником экспериментальных данных для физики высоких энергий являются коллайдеры - установки со встречными пучками заряженных частиц. В настоящее время в мире работает несколько коллайдеров: ВЭПП-2000, ВЭПП-4М (ИЯФ СО РАН, Новосибирск), DAONE (INFN-LNF, Италия), BEPC-II (IHEP, Китай), LHC (CERN, Швейцария), RHIC (BNL, США). Строится B-фабрика нового поколения SuperKEKB (КЕК, Япония). Проектируются коллайдеры NICA (ОИЯИ, Дубна) и "Супер С-Тау фабрика" (ИЯФ СО РАН, Новосибирск). Рассматриваются различные варианты строительства "Хиггс-фабрики".

Наиболее важными параметрами коллайдеров являются энергия частиц в пучке и светимость, которая определяет их производительность — количество полезных событий в единицу времени. Одним из основных факторов, ограничивающих светимость, являются т.н. эффекты встречи — взаимодействие частиц пучка с электромагнитным полем встречного сгустка, которое представляет собой своеобразную нелинейную линзу. Изучение и моделирование этих эффектов помогает оптимизировать параметры (повысить светимость) работающих коллайдеров, и необходимо для проектирования новых установок. В этой связи, развитие и совершенствование методов численного моделирования эффектов встречи является весьма актуальной задачей.

Проекты новых коллайдеров, и модернизация уже существующих, как правило, основаны на применении новых схем столкновения пучков. Выбор оптимального варианта зависит от многих условий, и здесь необходимо хорошо представлять принцип работы каждой схемы, её положительные и отрицательные стороны, условия применимости. Численное моделирование помогает в этом разобраться, примером чему может служить сравнительный анализ различных конфигураций места встречи, проведённый в данной работе.

Цель диссертационной работы

Развитие методов численного моделирования эффектов встречи в циклических коллайдерах, и создание на их основе эффективной программы для расчётов.

Изучение нелинейных резонансов, возникающих из-за эффектов встречи, в различных схемах столкновения пучков.

Личный вклад автора

Автором были развиты методы моделирования эффектов встречи и на их основе написана программа Lifetrac, которая успешно используется в нескольких ускорительных центрах. Автор принимал активное участие в изучении схемы столкновения пучков "Crab Waist", и выполнял моделирование для оптимизации этой схемы на коллайдере DAONE.

Научная новизна

Предложен оптимальный метод продольного разбиения встречного пучка на "слайсы", и алгоритм трекинга при встрече под углом.

Разработан оригинальный метод расчёта взаимодействия с пучками, имеющими произвольное распределение плотности. Метод обеспечивает высокую точность и скорость вычислений при относительно небольшом объёме требуемой памяти.

Разработан оригинальный метод построения равновесной функции распределения частиц в пучке, включая большие амплитуды. Метод даёт огромную (несколько порядков) экономию процессорного времени.

Дано наглядное объяснение механизма подавления резонансов связи в схеме столкновения пучков Crab Waist.

Научная и практическая ценность

Описанные в диссертации методы существенно повысили точность и эффективность численного моделирования эффектов встречи. Заложены основы для дальнейшего развития программы: переход на квази-сильно-сильную модель.

Разработанная автором программа Lifetrac используется для оптимизации коллайдеров ВЭПП-4М, ВЭПП-2000 (ИЯФ СО РАН, Новосибирск), DA<£NE (INFN-LNF, Италия), LHC (CERN, Швейцария), а также для проектирования новых установок: "Супер С-Тау фабрика" (ИЯФ СО РАН, Новосибирск), IOTA (FNAL, США). Планируется её использование для проектов SuperKEKB (КЕК, Япония) и NICA (ОИЯИ, Дубна).

Основные положения, выносимые на защиту

Общее развитие метода численного моделирования эффектов встречи в циклических коллайдерах.

Метод расчёта взаимодействия с пучками, имеющими произвольное распределение плотности.

Метод построения равновесной функции распределения частиц в пучке, включая большие амплитуды.

Сравнительный анализ различных схем столкновения пучков, в том числе схемы Crab Waist и механизма подавления в ней резонансов связи.

Апробация работы

Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на семинарах в Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН (Новосибирск), на международных научных конференциях: Advanced ICFA Beam Dynamics Workshop (Дубна, 1995), Particle Accelerator Conference (Dallas, USA, 1995), Advanced ICFA Beam Dynamics Workshop (Frascati, Italy, 1997), Particle Accelerator Conference (New York, USA, 1999), Particle Accelerator Conference (Chicago, USA, 2001), Particle Accelerator Conference (Rnoxville, USA, 2005), Российская конференция по ускорителям заряженных частиц (Новосибирск, 2006), European Particle Accelerator Conference (Genoa, Italy, 2008), Advanced ICFA Beam Dynamics Workshop (Новосибирск, 2008), International Particle Accelerator Conference (Kyoto, Japan, 2010), International Particle Accelerator Conference (New Orleans, USA, 2012). Кроме этого, результаты диссертационной работы содержатся в шести статьях, опубликованных в реферируемых научных журналах.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, четырёх глав, заключения и списка литературы из 55 наименований, изложена на 122 страницах машинописного текста, содержит 48 рисунков и 4 таблицы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении перечислены основные эффекты (когерентные и некогерентные), влияющие на динамику пучков в ускорительно-накопительных кольцах. Показаны роль и место эффектов встречи в этом ряду. Рассмотрены различные подходы к моделированию эффектов встречи. Наиболее полной является сильно-сильная модель, которая позволяет изучать как некогерентные, так и когерентные эффекты. Но она и наиболее сложна для реализации, требует огромных вычислительных ресурсов. Сильно-слабая модель подходит только для некогерентных эффектов. Расчёты по ней значительно проще и быстрее, но при этом не учитывается искажение функции распределения встречного сгустка. Если целью моделирования является поиск хороших условий, в которых возмущения невелики, то сильно-слабая модель будет предпочтительней.

Для изучения некогерентных эффектов встречи лучше всего подошла бы квази-силъно-сшьная модель. В этом подходе делается несколько итераций сильно-слабого моделирования, при которых сильный и слабый пучки меняются местами. В результате можно получить самосогласованное распределение в обоих встречных пучках - такое же, как в сильно-сильной модели. Этот метод является естественным развитием сильно-слабого, но требует новой функциональности: расчёта эффектов встречи для пучков с произвольным

распределением плотности. Такая опция в программе недавно появилась, и переход на эту модель планируется в ближайшем будущем.

В первой главе рассматривается транспортное преобразование через участки кольца и место встречи (IP — Interaction Point) для одной частицы. Трекинг на участках между IP может делаться различными способами. Самый простой - это линейное преобразование, плюс затухание и независимый шум без корреляций для всех компонент координат. Самый правильный, и поэтому наиболее трудоёмкий и медленный - трекинг через реальную магнитную структуру с учётом всех нелинейностей, хроматизма, корреляций шумов, и т.п. Здесь оптимальным решением будет объединение двух специализированных программ. Возможен и промежуточный вариант, когда в простой модели учитываются хроматизм и кубическая нелинейность бетатрон-ных частот, хроматизм бета-функций в IP, корреляции шумов. Обсуждаются преимущества и недостатки каждого метода.

При трекинге частиц через IP надо учитывать, что в ультрарелятивистском пределе электромагнитное поле, создаваемое заряженными частицами встречного пучка, сжимается в продольном направлении в плоскость, перпендикулярную вектору скорости. Поэтому представление встречного сгустка в виде набора тонких "блинов" (слайсов) будет вполне оправданным. Это позволяет использовать относительно простые формулы для преобразования и обеспечивает его симплектичность, как любое приближение тонких линз. В общем случае, параметры встречного пучка с нормальным распределением задаются матрицей моментов второго порядка в IP. Отсюда можно получить все необходимые данные для вычисления трёхмерного толчка, который испытает частица при столкновении со слайсом на произвольном азимуте.

Параметры разбиения встречного сгустка (продольные координаты и "веса" слайсов) зависят от соотношения длины сгустка и бета-функций в IP, а также от алгоритма разбиения. Для того чтобы оценить погрешность, возникающую при замене непрерывного продольного распределения на последовательность слайсов, был предложен простой метод сравнения с асимптотическим пределом. Он позволил определить эффективность разных алгоритмов, и для каждого из них найти необходимое (при заданной точности) число слайсов. Наличие этого инструмента помогло разработать новые, более эффективные алгоритмы продольного разбиения, которые обеспечивают нужную точность при меньшем количестве слайсов, и соответственно уменьшают затраты процессорного времени.

Если пучки встречаются под углом, то транспортное преобразование в IP усложняется. Наиболее распространённый подход, предложенный К. Hirata, связан с переходом в движущуюся систему координат, где пучки снова встречаются "лоб в лоб". Там производятся все вычисления, и затем выполняется обратное преобразование Лоренца для перехода в лабораторную систему. Автором был предложен другой подход, в котором все вычисления выполняются в неподвижной системе координат, связанной со встречным пуч-

ком. Переход в эту систему осуществляется посредством обычного поворота в трёхмерном пространстве, поэтому преобразования координат выполняются проще и быстрее.

Если в коллайдере сталкиваются поляризованные пучки, то сохранение высокой степени поляризации в течение времени жизни светимости будет одной из приоритетных задач. Эффекты встречи могут внести заметный вклад в процессы деполяризации, поэтому их надо учитывать в программах, которые делают спиновый трекинг. Задача сводится к поиску матрицы вращения спина при пролете через встречный пучок, а точнее - через один слайс. Из уравнения движения спина в электромагнитном поле (БМТ) выводятся формулы, которые выражают компоненты вектора поворота спина через компоненты изменений импульса Ар.

Во второй главе рассматривается взаимодействие частицы с пучками, имеющими произвольное распределение плотности. Актуальность этой темы значительно выросла после того как появилась схема "Crab Waist", в которой распределение существенно отличается от нормального даже для невозмущённого (т.е. без эффектов встречи) пучка. В первом параграфе выводится формула для функции распределения "крабового" пучка - она представлена в виде интеграла, который не берётся аналитически. Поэтому расчёт толчков Ар приходится выполнять с использованием специальных сеток. Делается оценка необходимого размера сетки и количества узлов, которое потребуется для вычислений с нужной точностью. Показано, что трёхмерная прямоугольная равномерная сетка с нужными параметрами должна иметь слишком большое число узлов, особенно при встрече под углом с большим параметром (углом) Пивинского, куда относится и схема Crab Waist.

Оптимальная сетка должна быть непрямоугольной (повторять форму hour-glass) и неравномерной. Максимальная плотность узлов требуется в непосредственной близости от IP, где большие градиенты. По мере удаления от IP расстояние между узлами можно увеличивать без потери точности. В целом, по сравнению с прямоугольной равномерной сеткой, число узлов уменьшается примерно в 200 раз. Предложен метод построения такой сетки, где в узлах сразу вычисляется трёхмерный толчок Ар с помощью прямого интегрирования, без решения дифференциальных уравнений. Между узлами делается трёхмерная интерполяция третьего порядка, которая даёт относительную точность -Ю-6.

Для оценки точности метода создаётся сетка для пучка с нормальным распределением, и сравнивается с известными аналитическими формулами. Показано, что основная погрешность связана с интегрированием и составляет не более 10~3. Ошибка не носит случайный шумовой характер, и эквивалентна незначительной модификации функции распределения - много меньшей, чем происходит в реальном пучке, и которой мы пренебрегаем в сильнослабой модели. Важной характеристикой сетки является её гладкость, т.е.

отсутствие особенностей в узлах и на границах. Это обеспечивается высоким порядком интерполяции, формой и размером сетки.

Сгенерирована сетка для "крабового" пучка. Наглядно показаны искажение функции распределения, разворот перетяжки (линия минимума вертикальной бета-функции), характерные изменения в Ар. На границе сетки относительные различия Ар для крабового и нормального распределений не превысили 10~3. Такие сетки применялись в моделировании эффектов встречи для коллайдера DAO>NE (INFN-LNF, Италия), на котором впервые была реализована схема Crab Waist, и было получено очень хорошее согласие с экспериментальными данными. В дальнейшем использование сеток для сгустков с негауссовым распределением плотности позволит решать самосогласованную задачу для двух сильных пучков, т.е. перейти к квази-сильно-сильной модели.

В третьей главе описан разработанный автором метод построения равновесного распределения частиц в пучке, включая большие бетатронные амплитуды. Так как доля частиц в "хвостах" распределения невелика, для получения в моделировании статистически достоверного результата потребуются очень большие затраты процессорного времени; при этом статистика на малых амплитудах будет во много раз больше необходимой. Задача состоит в такой модификации алгоритма, которая позволит перераспределить процессорное время в пользу частиц на больших амплитудах, не нарушая при этом общей картины.

Распределение строится в плоскости нормализованных бетатронных амплитуд следующим образом. На первом шаге проводится линия, которая делит плоскость на две односвязные области, и в процессе трекинга фиксируются все случаи перехода частицы из внутренней области (I) во внешнюю (П). Координаты в момент перехода запоминаются - эта информация позволит потом статистически верно воспроизвести потоки частиц во внешнюю область. После этого внутренняя область становится "чёрным ящиком" и проводится следующая граница, которая делит старую внешнюю область на две части: внутреннюю (II) и внешнюю (П1).

На втором шаге в процессе трекинга на каждом обороте устанавливается, в какой из трех областей находится частица. Если она попадает в первую область, то делается рестарт-, частица принудительно сажается в одну из точек вылета, запомненных на первом шаге, и продолжает движение. Поскольку процесс является марковским, такая процедура не нарушает общий характер движения. Если частица совершает переход из второй области в третью, то запоминаются её координаты в этот момент - так накапливается статистика вылетов через новую границу. Линии раздела между областями будем называть R-границей и О-границей. На третьем шаге первая и вторая области объединяются в один чёрный ящик, так что бывшая О-граница становится R-границей, и проводится следующая линия - О-граница для третьего шага. И так далее, обычно делается около десяти шагов.

Время трекинга на каждом шаге остаётся неизменным: порядка тысячи времён затухания, но частица проводит его только снаружи II-границы, позволяя получить хорошую статистику во внутренней (II) области. И с каждым шагом эта область будет продвигаться всё дальше на большие амплитуды. Фактор выигрыша на каждом шаге можно оценить двумя способами: как отношение числа рестартов к числу соответствующих вылетов, и как обратную величину от доли времени, которую частица проводит во внешней (III) области. Оба метода дают примерно одинаковый результат, а различие между ними позволяет оценить статистическую погрешность. Полный выигрыш после 8-10 шагов составит несколько порядков.

Показано, что границы должны совпадать с линиями равной плотности (линиями уровня). При этом продвижение в сторону больших амплитуд происходит всегда в той области, где функция распределения была хорошо определена ещё на предыдущем шаге, что обеспечивает хорошую "сшивку" результатов. В противном случае, например, если границы имеют форму дуги окружности, возможна неконтролируемая потеря точности, что демонстрируется на конкретном примере. Выработан критерий, позволяющий оценить достоверность линий уровня и погрешность, которую даёт метод в целом. Определено оптимальное расстояние между последовательными границами и время моделирования на одном шаге.

Наряду с эффектами встречи, существенное влияние на функцию распределения может оказывать упругое рассеяние на остаточном газе. Предложен алгоритм моделирования такого рассеяние. Для того чтобы применить в этом случае описанный выше метод, потребовалась его модификация. Процесс рестарта (вылета частицы за пределы чёрного ящика) теперь усложняется, так как нужно учитывать вероятность рассеяния из ядра на большие амплитуды, когда пересекаются сразу несколько границ. Чтобы статистически верно разыгрывать такие события, на каждом шаге запоминается большой массив точек (координат) во внутренней области, и вычисляется вероятность рассеяться из них за Я-границу. В качестве примера рассмотрено равновесное распределение без эффектов встречи для пучка ВЭПП-4М. Время жизни, полученное в моделировании, очень хорошо согласуется с оценкой, которую легко сделать для однократного упругого рассеяния из ядра на апертуру.

В четвёртой главе рассматриваются различные схемы столкновения пучков, и с помощью численного моделирования анализируются основные причины возбуждения и подавления нелинейных резонансов, возникающих из-за эффектов встречи. При лобовой встрече бетатронные резонансы связи возникают из-за нелинейной зависимости Дрх от у и Лру от х, а синхро-бетатронные - из-за Ьоиг^Ыз эффекта и модуляции азимута "точки интегрального толчка" (1СР), и соответственно вертикальной бетатронной фазы частицы в момент толчка, синхротронными колебаниями. Здесь 1СР определяется как точка, где частица пересекает центральный слайс встречного сгустка.

Синхро-бетатронные резонансы усиливаются, если вертикальная бета-функция Д значительно меньше длины сгустка сл.. Для подавления этих ре-зонансов можно использовать схему travelling waist: два ВЧ-квадруполя, расположенные недалеко от IP в правильной фазе, сдвигают минимум Д, для частиц с продольной координатой z в ICP. При этом пропадает модуляция бетатронной фазы в ICP, что позволяет сделать Д, вдвое меньше а, (дальнейшее уменьшение Д, нецелесообразно из-за геометрического фактора падения светимости). Если же оставить Д = <j~, то предельный сдвиг частоты <fy вырастет почти в два раза.

При наличии в IP ненулевой дисперсии, у поперечной координаты частицы появляется синхротронная составляющая. Относительный вклад двух компонент в размер пучка описывается т.н. параметром монохроматизации лт. Если Хт » 1, то вклад бетатронной составляющей хр в полную координату х становится пренебрежимо малым. При этом пропадает зависимость вертикального толчка Ару от горизонтальных бетатронных колебаний, и в результате подавляются резонансы связи. Но если увеличивать ?.т только за счёт уменьшения бетатронного эмиттанса ех, он будет "разогреваться" эффектами встречи, уменьшая реальное значение Хт. Правильный рецепт состоит в уменьшении Дх в месте встречи: тогда пропорционально уменьшается горизонтальный сдвиг частоты efx, горизонтальный эмиттанс не растёт, и резонансы связи подавляются очень эффективно.

При встрече под углом полная горизонтальная координата частицы в системе слайса сильного пучка также имеет синхротронную составляющую, но сдвинутую по фазе на к / 2. Безразмерный параметр ф, характеризующий такую схему, называется "углом" Пивинского - это некий аналог Хт. Если ф < 1, то характер возбуждаемых резонансов примерно такой же, как с дисперсией; но при дальнейшем увеличении ф сходство пропадает. Причина в том, что для плоских пучков при ф > 1 точка "интегрального толчка" ICP должна быть определена по-другому. Для горизонтального толчка она остаётся старой, а для вертикального - перемещается в точку пересечения частицей центральной оси встречного пучка. При этом появляется зависимость от хр азимута ICP, а значит и вертикальной бетатронной фазы.

Если ф » 1, то область перекрытия пучков становится много меньше длины сгустка. Это позволяет уменьшить Д до (Xz/ф без потерь от hour-glass эффекта, и таким образом значительно повысить светимость. В такой схеме предельные £ ограничиваются резонансами связи, которые возбуждаются из-за модуляции вертикальной бетатронной фазы в ICP горизонтальными бета-тронными колебаниями. Это очень похоже на модуляцию бетатронной фазы синхротронными колебаниями в лобовой встрече, которая подавляется в схеме travelling waist. При встрече под углом смещение фокуса для частицы с произвольной координатой хр в её ICP делается не ВЧ-квадруполями, а секступолями, расположенными в той же фазе относительно IP. При этом

происходит не сдвиг перетяжки, а её разворот, который и дал название "Crab Waist" всей этой схеме, предложенной P. Raimondi для проекта коллайдера SuperB.

Применение "крабовых" секступолей подавляет резонансы связи и позволяет повысить предельные <fy в несколько раз. А с учётом того, что здесь можно получить очень маленькую Д,, такая схема обеспечивает рекордную светимость при стандартном токе и длине сгустка. Схема Crab Waist была впервые опробована на итальянском коллайдере DAONE, увеличив его светимость в несколько раз. При этом было получено очень хорошее согласие между экспериментальными данными и результатами моделирования, которые приводятся в диссертации.

В заключении перечислены основные результаты диссертационной работы.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. A. Gerasimov, D. Shatilov, A. Zholents. "Beam-beam effects with large dispersion function at the interaction point", Nucl. Instrum. Meth. A305 (1991).

2. Д. Шатилов. "Компьютерное моделирование эффектов встречи на больших амплитудах и определение времени жизни", препринт ИЯФ 92-79, Новосибирск, 1992.

3. D. Shatilov, A. Zholents. "Lifetime and tail simulations for beam-beam effects in PEP-IIВ Factory", In Proc. of PAC'95, Dallas, Texas, 1-5 May 1995.

4. M. Furman, A. Zholents, T. Chen, D. Shatilov. "Comparisons of Beam-Beam Code Simulations", СВР Tech. Note-59, PEP-II/AP Note 95-04, 1996.

5. D. Shatilov. "Beam-Beam Simulations at Large Amplitudes and Lifetime Determination", Part. Accel. 52, p. 65,1996.

6. V. Danilov et al. "The concept of round colliding beams", In Proc. of EPAC'96, Sitges, Spain, 10-14 Jun 1996.

7. I. Nesterenko, D. Shatilov, E. Simonov. "Comparison of the beam-beam effects simulation with the experimental results obtained on VEPP-2M", In Proc. of PAC'97, Vancouver, Canada, 12-16 May 1997.

8. K. Hirata, D. Shatilov, M. Zobov. "Beam-Beam Interaction Study for DAONE", Frascati Phys. Ser. 10 (1998) 303-308.

9. M. Biagini et al. "Optimization of DAONE beam-beam performance", In Proc. of PAC'99, New-York, 1999.

10. D. Shatilov, Yu. Alexahin, V. Shiltsev. "Feasibility of the Nonlinear Beam-Beam Compensation at Tevatron", In Proc. of PAC'01, Chicago, Illinois, 1822 Jun 2001.

11. D. Shatilov, Yu. Alexahin, V. Shiltsev. "Analytical study and tracking simula-

tions of the beam-beam compensation at Tevatron", In Proc. of PAC'01, Chicago, Illinois, 18-22 Jun 2001.

12. D. Shatilov, M. Zobov. "Beam-beam collisions with an arbitrary crossing angle: analytical tune shifts, tracking algorithm without Lorentz boost, crab-crossing", ICFA Beam Dyn. Newslett. 37, p. 99 (2005).

13. D. Shatilov, Yu. Alexahin, V. Lebedev, A. Valishev. "Lifetrac code for the weak-strong simulation of the beam-beam effects in Tevatron", In Proc. of PAC'05, Knoxville, Tennessee, 16-20 May 2005.

14. A. Valishev, Yu. Alexahin, V. Lebedev, D. Shatilov. "Computational study of the beam-beam effect in Tevatron using the Lifetrac Code" , In Proc. of PAC'05, Knoxville, Tennessee, 16-20 May 2005.

15. C. Milardi et al. "Wire Compensation of Parasitic Crossings in DAONE", In Proc. of EPAC'06, Edinburgh, Scotland, 26-30 lun 2006.

16. P. Raimondi, D. Shatilov, M. Zobov. "Beam-Beam Issues for Colliding Schemes with Large Piwinski Angle and Crabbed Waist", LNF-07/003 (IR), 2007, arXiv:physics/ 0702033.

17. P. Raimondi, M. Zobov, D. Shatilov. "Beam-beam simulations for particle factories with crabbed waist", In Proc. of PAC'07, Albuquerque, New Mexico, 25-29 Jun 2007.

18. D. Shatilov. "Beam-Beam Resonances for Different Collision Schemes", In Proc. of 40th ICFA ABDW, Novosibirsk, 2008, arXiv:0806.4070.

19. P. Raimondi, M. Zobov, D. Shatilov. "Suppression of beam-beam resonances in crab waist collisions", In Proc. of EPAC'08, Genoa, Italy, 23-27 Jun 2008.

20. О. Анчугов и др. "Физика пучков заряженных частиц на ускорительном комплексе ВЭПП-4", ЖЭТФ, 2009, т.136, вып. 4(10), стр. 690-702.

21. С. Milardi et al. "Results from the DA®NE high luminosity test", Nuovo Cim. C32N3-4 (2009) 379-382.

22. M. Zobov et al. "Crab waist collision scheme: numerical simulations versus experimental results", In Proc. of PAC'09, Vancouver, Canada, 4-8 May 2009.

23. D. Shatilov. "Beam-beam simulations for crabbed bunches", ICFA Beam Dyn. Newslett. 52, p. 42 (2010).

24. E. Simonov, E. Levichev, D. Shatilov. "Application of Frequency Map Analysis to Beam-Beam Effects Study in Crab Waist Collision Scheme", In Proc. of IPAC'10, Kyoto, Japan, 23-28 May 2010.

25. A. Drago, P. Raimondi, M. Zobov, D. Shatilov. "Synchrotron oscillation damping due to beam-beam collisions", In Proc. of IPAC'10, Kyoto, Japan, 23-28 May 2010.

26. D. Shatilov, E. Levichev, E. Simonov, M. Zobov. "Application of Frequency Map Analysis to Beam-Beam Effects Study in Crab Waist Collision Scheme", Phys. Rev. ST Accel. Beams 14 (2011) 014001.

27. A. Drago, P. Raimondi, M. Zobov, D. Shatilov. "Synchrotron oscillation damping by beam-beam collisions in DA<5NE", Phys. Rev. ST Accel. Beams 14(2011) 092803.

28. A. Valishev, Yu. Alexahin, V. Lebedev, D. Shatilov. "Simulation of beam-beam effects and Tevatron experience", 2012 JINST 7 P12002.

29. J.L. Abelleira et al. "Local Chromatic Correction Scheme and Crab-Waist Collisions for an Ultra-Low beta* at the LHC", In Proc. of IPAC'12, New Orleans, USA, 20-25 May 2012.

ШАТИЛОВ Дмитрий Николаевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ ВСТРЕЧИ В ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЛАЙДЕРАХ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Сдано в набор 16.04.2013 г. Подписано в печать 17.04.2013 г. Формат 60x90 1/16. Объем 0.9 печ.л., 0.7 уч.-изд.л.

_Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ № 5_

Обработано на РС и отпечатано на ротапринте ИЯФ СО РАН, Новосибирск, 630090, пр. Академика Лаврентьева, 11

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ ИМ. Г.И. БУДКЕРА СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

0420П59985 ШАТИЛОВ ДМИТРИЙ НИКОЛАЕВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭФФЕКТОВ ВСТРЕЧИ

В ЦИКЛИЧЕСКИХ КОЛЛАЙДЕРАХ

01.04.20 - физика пучков заряженных частиц и ускорительная техника

На правах рукописи

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель Левичев Евгений Борисович доктор физико-математических наук

НОВОСИБИРСК 2013

СОДЕРЖАНИЕ

Введение........................................................................................................... 3

1. Транспортное преобразование на одном обороте............................... 8

1.1 Участок кольца ..................................................................................... 8

1.2 Радиационные эффекты: шум и затухание ........................................ 12

1.3 Короткий встречный пучок ................................................................. 16

1.4 Продольное разбиение сгустка ........................................................... 20

1.5 Встреча под углом................................................................................ 30

1.6 Трекинг спина через встречный пучок .............................................. 36

2. Пучки с негауссовым распределением плотности ............................ 39

2.1 Крабовый пучок....................................................................................39

2.2 Сетки для встречного пучка................................................................41

2.3 Двумерное интегрирование и трёхмерная интерполяция ............... 44

2.4 Тестирование сеток, оценка точности................................................50

2.5 Пример: сетка для крабового пучка ...................................................56

3. Равновесное распределение на больших амплитудах...................... 60

3.1 Построение распределения в пространстве амплитуд......................60

3.2 Метод продвижения от ядра к хвостам..............................................63

3.3 Граничные условия...............................................................................66

3.4 Упругое рассеяние на остаточном газе ..............................................75

3.5 Трёхмерные границы, внутрипучковое рассеяние............................82

4. Пучковые резонансы в различных схемах столкновения ...............86

4.1 Сдвиги бетатронных частот и светимость .........................................86

4.2 Лобовая встреча ....................................................................................91

4.3 Движущийся фокус...............................................................................96

4.4 Дисперсия в месте встречи ................................................................100

4.5 Встреча под углом ..............................................................................106

4.6 Схема Crab Waist .................................................................................Ill

Заключение ....................................................................................................119

Литература.....................................................................................................121

ВВЕДЕНИЕ

Одним из основных факторов, ограничивающих светимость установок со встречными пучками заряженных частиц, являются эффекты встречи -взаимодействие частиц пучка с электромагнитным полем встречного сгустка, которое представляет собой своеобразную нелинейную линзу. Это взаимодействие может сильно возмущать траектории движения частиц в пучке: появляются нелинейные резонансы и стохастические области в фазовом пространстве, пучки раздуваются, что ограничивает светимость коллайдеров, и появляются длинные негауссовы хвосты в распределении плотности, которые уменьшают время жизни и увеличивают фоны в детекторе.

Поскольку нелинейная динамика пучков в реальных физических установках не описывается аналитически с достаточной точностью, значительную роль в её изучении играет численное моделирование. В связи с быстрым прогрессом компьютерной техники возможности моделирования также заметно возросли. Это позволяет использовать всё более сложные, приближенные к реальности, модели и за разумное время получать результаты, необходимые для проектирования новых коллайдеров, а также помогает оптимизировать параметры (повысить светимость) уже работающих установок.

Эффекты встречи играют важную роль как в линейных, так и в циклических коллайдерах, причём отличия здесь довольно существенны. В линейных коллайдерах сгустки взаимодействуют в месте встречи (IP - от английского Interaction Point) только один раз, после чего погибают. Это позволяет работать со значительно бблыдими параметрами пространственного заряда, чем в циклических коллайдерах, но и проблемы тут возникают совсем другого рода: развитие неустойчивостей, разрушающих сгусток за один акт взаимодействия. При моделировании таких эффектов каждый сгусток необходимо представлять в виде большого числа макрочастиц, взаимодействующих с макрочастицами встречного пучка и, посредством этого, друг с другом (head-tail на встречном сгустке). Это типичный пример силъно-силъного моделирования, и сильно-слабый подход (об этом чуть дальше) здесь принципиально неприменим. Но мы такие задачи рассматривать не будем и ограничимся циклическими коллайдерами.

Чтобы лучше представлять роль и место эффектов встречи, а также их возможную интерференцию с другими процессами, определяющими движе-

ние пучков в накопителе, необходимо хотя бы вкратце обрисовать всю картину. Она выглядит примерно следующим образом:

Имеется кольцо накопителя, в котором циркулирует один или несколько (или очень много) сгустков заряженных частиц. Количество частиц в сгустках может быть различным. В противоположном направлении в этом же (или в другом) кольце летят сгустки частиц встречного пучка.

Сгустки взаимодействуют с вакуумной камерой (wake-поля), с ионами остаточного газа, с электронными облаками (которые сами и порождают), и посредством этого взаимодействуют также друг с другом.

Частицы в сгустках взаимодействуют со своим же пространственным зарядом, рассеиваются друг на друге (эффект Тушека), на остаточном газе, на частицах встречного сгустка.

Имеется одно или несколько номинальных мест встречи (IP), где сгустки, летящие навстречу, сталкиваются (пролетают друг через друга). При этом частицы обоих сгустков испытывают электромагнитное взаимодействие с пространственным зарядом встречного пучка, нелинейно зависящее от их координат. Как правило, IP находятся в центре детектора. Траектории встречных пучков могут пересекаться под некоторым углом.

Наряду с номинальными IP может иметься некоторое количество паразитных мест встречи (PC - от английского Parasitic Crossing). Пучки здесь разводятся в поперечном направлении, но если величина разведения недостаточно велика и пучки не экранируются вакуумной камерой, то нормализованный поперечный толчок в PC может быть весьма значительным.

На участках между местами встречи сгустки двигаются в магнитной структуре накопителя. Транспортное преобразование на этих участках может содержать элементы со связью (соленоиды, скью-квадруполи) и нелинейности (секступоли, etc.). Кроме того, синхротронное излучение, испускаемое частицами на искривленных участках траектории, является источником шума и затухания, которые также необходимо учитывать.

В некоторых случаях (главным образом при малом затухании) необходимо принимать во внимание и другие источники шумов: флуктуации тока в элементах магнитной системы, в ВЧ-резонаторах, вибрации грунта, и т.п.

В такой сложной системе имеется большое количество разнообразных физических процессов, оказывающих влияние на динамику пучков. Условно их можно разделить на когерентные и некогерентные. К первым относятся эффекты, приводящие к колебаниям сгустков как целого (дипольная мода) или различных частей сгустков друг относительно друга (квадрупольная и более высокие моды). Когерентные эффекты вызываются взаимодействием сгустка с электромагнитными полями, наведенными в вакуумной камере им самим, а также другими сгустками; взаимодействием с пространственным зарядом ионов остаточного газа и электронными облаками, и т.п. Возможно также появление и когерентных эффектов встречи - колебаний сгустка, вызванных взаимодействием со встречным пучком, который также испытывает подобные колебания. В результате все сгустки представляют собой систему связанных осцилляторов, которая может иметь неустойчивые моды.

Кроме того, есть неустойчивости, разрушающие и одиночный сгусток при превышении определённого порогового тока, например head-tail и микроволновая неустойчивость. В настоящее время имеются хорошо разработанные методы для расчёта таких систем и определения порогов возникновения неустойчивостей (предельных токов), их зависимости от различных параметров. В некоторых случаях пороги можно превзойти в несколько раз, подавляя неустойчивости системами обратной связи.

К некогерентным эффектам относится всё, что связано с движением одиночной частицы и, как правило, зависит только от её собственных координат. Это движение в нелинейной магнитной структуре накопителя (то, что определяет динамическую апертуру), эффекты пространственного заряда, рассеяние на остаточном газе, на встречном сгустке, внутрипучковое рассеяние (эффект Тушека) и, конечно же, [некогерентные] эффекты встречи - взаимодействие с пространственным зарядом встречного пучка.

Обычно при рассмотрении некогерентных эффектов предполагается, что когерентные неустойчивости отсутствуют: либо они подавлены обратной связью, либо мы находимся ниже порога. Иногда когерентные эффекты давятся некогерентными. Так, разброс частот в пучке, который появляется из-за эффектов встречи, приводит к затуханию Ландау.

Ключевым моментом в моделировании эффектов встречи является транспортное преобразование для координат одной частицы на одном обороте, которое может:

Зависеть только от координат данной частицы. В большинстве программ реализована именно эта, сильно-слабая модель. При этом встречный (сильный) пучок представляется в виде некоторого, заранее известного (как правило, гауссова) распределения заряда, которое не зависит от того, что происходит со слабым пучком.

Зависеть от координат других частиц своего сгустка, что необходимо для корректного учёта внутрипучкового рассеяния и некоторых когерентных неустойчивостей. Здесь потребуется решать самосогласованную задачу, но для частиц только одного (слабого) сгустка, в то время как встречный пучок не подвержен никаким влияниям.

Зависеть также и от реальных, заранее неизвестных, координат частиц встречного сгустка в момент встречи (сильно-сильная модель). При этом, очевидно, появится и зависимость от координат других частиц своего сгустка: эта связь будет осуществляться через встречный пучок. Таким образом, координаты всех частиц в обоих пучках будут зависеть друг от друга, и надо решать довольно сложную самосогласованную задачу.

В данной работе рассматриваются различные аспекты моделирования некогерентных эффектов встречи, в том числе их интерференция с другими некогерентными эффектами: движение в магнитной структуре, рассеяние на остаточном газе. Мы будем заниматься только сильно-слабыми моделями, которые, несмотря на некоторую их ограниченность, во многих случаях являются вполне адекватными и более эффективными, чем сильно-сильные.

Последнее утверждение требует некоторого пояснения. Как правило, целью моделирования является поиск условий (различных параметров), при которых возмущения, вносимые нелинейным полем встречного сгустка, минимальны. Иными словами, мы ищем условия, при которых (без учёта когерентных эффектов) сильно-слабая и сильно-сильная модели дают примерно одинаковый результат. Существенные различия между ними проявятся только там, где пучки испытывают заметные возмущения. Но сам факт сильного возмущения будет зафиксирован в обоих случаях, и разница будет лишь в деталях: как именно и насколько там будет плохо.

Однако в большинстве случаев целью является не детальное исследование плохих рабочих точек, а поиск хороших. И здесь сильно-слабая модель даст примерно такой же результат, будучи намного проще и не требуя слиш-

ком больших вычислительных мощностей. Другими словами, для изучения некогерентных эффектов встречи сильно-сильная модель далеко не всегда будет оптимальной.

Здесь необходимо упомянуть еще одну возможность - так называемую квази-силъно-силъную модель. В этом подходе делается несколько итераций сильно-слабого моделирования, при которых сильный и слабый пучки меняются местами, причём искажение функции распределения в слабом пучке учитывается на следующем шаге, когда он становится сильным. В простейшем случае сильный пучок остается гауссовым, только с изменёнными размерами. Но можно подставлять для него и реальное распределение, полученное в процессе моделирования на предыдущем шаге. Если конечной целью является получение самосогласованного равновесного распределения в обоих пучках без учёта возможных когерентных эффектов, эта модель должна давать такой же результат, что и стандартная сильно-сильная, но с гораздо меньшими затратами процессорного времени.

Квази-сильно-сильная модель является естественным развитием сильнослабой, но требует новой функциональности - расчёта эффектов встречи для пучков с произвольным распределением плотности. Такая опция в программе недавно появилась (см. в Главе 2), и переход на эту модель планируется в ближайшем будущем.

Все основные идеи и методы, описанные в диссертации, нашли своё практическое воплощение в компьютерной программе Lifetrac, разработанной автором и успешно применяемой в течение последних 20 лет как в ИЯФ СО РАН [1], так и в некоторых ускорительных центрах за рубежом: LNF-INFN (Италия) и FNAL (США).

На защиту выносятся следующие основные положения:

Общее развитие метода численного моделирования эффектов встречи в циклических коллайдерах.

Метод расчёта эффектов встречи для пучков с произвольным распределением плотности.

Метод построения равновесной функции распределения частиц в пучке, включая большие амплитуды.

Сравнительный анализ различных схем столкновения пучков, в том числе схемы Crab Waist и механизма подавления в ней резонансов связи.

ГЛАВА 1

ТРАНСПОРТНОЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЕ НА ОДНОМ ОБОРОТЕ

Мы будем работать в т.н. ускорительной системе координат. Это лабораторная (неподвижная) система, где ось Z направлена вдоль скорости равновесной частицы, т.е. она поворачивается при переходе к другому азимуту. Для того чтобы проследить траектории всех частиц пучка в течение многих тысяч оборотов, необходимо и достаточно научиться делать правильное преобразование шестимерного вектора координат V=(x,x/,y,y/,z,e)T одной частицы на одном обороте (здесь е= АЕ/Е). После этого весь процесс моделирования сводится к многократному вызову одной и той же подпрограммы с различными координатами на входе. Точно так же, для того, чтобы получить транспортное преобразование на одном обороте, нужно научиться делать его на различных участках, из которых состоит кольцо накопителя. В этой главе мы сначала рассмотрим движение частицы на участках между IP, а затем подробно остановимся на взаимодействии со встречным пучком.

1.1. Участок кольца

Участком кольца называется некоторый его отрезок, вообще говоря, произвольный; в частности это может быть и всё кольцо. При моделировании эффектов встречи выделенными местами, как правило, являются IP, и поэтому разбиение кольца на участки обычно делается по принципу "от места встречи до места встречи". Если имеется несколько мест встречи, то и количество частей, из которых состоит модель кольца, возрастает. Так, на Тэва-троне (FNAL, США) в одной вакуумной камере летало по 36 сгустков протонов и антипротонов; следовательно, там имелось 72 места встречи для каждого сгустка. Из них два основных (расположены в центре двух детекторов) и 70 паразитных, где встречные пучки разводились в поперечном направлении электростатическим полем. В этом случае транспортное преобразование на одном обороте будет состоять из 144 частей: 72 IP и 72 участка между ними, причём для разных сгустков эти разбиения будут отличаться.

Примером других выделенных элементов структуры, которые делят кольцо на участки, являются т.н. "крабовые" секступоли в схеме Crab Waist. В

этом случае кольцо разбивается на шесть частей: место встречи, два сексту-поля, и три участка кольца, соединяющие их между собой.

Поскольку встречный пучок, как правило, является самой сильной нелинейностью, при моделировании эффектов встречи часто пренебрегают не-линейностями магнитной структуры (здесь крабовые секступоли являются скорее исключением) и представляют транспортное преобразование для участка кольца между 1Р в виде матрицы с постоянными коэффициентами. С другой стороны, на больших бетатронных амплитудах нелинейность силы толчка от встречного сгустка становится малой, в то время как влияние нелинейных элементов структуры накопителя, наоборот, возрастает. Поэтому, если моделирование на больших амплитудах входит в круг поставленных задач, учёт нелинейностей структуры накопителя становится весьма желательным.

Трекинг через магнитную структуру является самостоятельной задачей, которой занимаются программы, с�