Моделирование формообразования элементов конструкций в режиме ползучести тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

Глава 1. НЕУПРУГОЕ ФОРМОИЗМЕНЕНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ

КОНСТРУКЦИЙ (обзор).

Глава 2. ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ ФОРМООБРАЗОВАНИЯ ВЯЗКОУПРУГИХ ПАНЕЛЕЙ.

§2.1. Постановка обратной задачи.

§ 2.2. Численные методы решения.

§ 2.3. Примеры решения обратных задач.

Глава 3. ФОРМООБРАЗОВАНИЕ ДЛИННОМЕРНЫХ ПРОФИЛЕЙ ДВОЙНОЙ КРИВИЗНЫ В УСЛОВИЯХ

ПОЛЗУЧЕСТИ.

§ 3.1. Постановка задач и определяющие соотношения.

§ 3.2. Численные методы и их апробация.

§ 3.3. Численные примеры.

Глава 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНАЯ ПРОВЕРКА МОДЕЛИ

ФОРМООБРАЗОВАНИЯ СТЕРЖНЕЙ.

§4.1. Определение характеристик ползучести.

§ 4.2. Кручение стержней прямоугольного сечения постоянным моментом.

Актуальность темы и задачи исследований. В конструкциях корпусов судов и самолетов широко используются панели двойной кривизны и профили прямоугольного, уголкового, двутаврового и более сложного сечения из труднодеформируемых при обычной температуре алюминиевых и титановых сплавов. Традиционные способы формообразования элементов конструкций из таких сплавов часто приводят к возникновению пластических изломов, трещин и других макроповреждений. В связи с этим эффективным направлением, получившим развитие в последние годы, является формообразование при высокой температуре и медленном деформировании в условиях ползучести и сверхпластичности. Использование таких технологических процессов обеспечивает изготовление деталей с высокой точностью, что снижает трудоемкость сборочно-сварочных работ, а также приводит к снижению усилий формообразования, к повышению остаточного ресурса и качества конструкции. Вместе с этим возникает необходимость решения задач, моделирующих процесс формообразования - исследование температурных, временных и силовых режимов деформирования, нахождение геометрии оснастки с учетом упругого восстановления после снятия нагрузок и др.

В настоящее время имеется большое количество публикаций, относящихся к вопросам формообразования оболочечных элементов, кручению и изгибу профилей в условиях пластичности и ползучести. В большинстве из них решаются задачи по определению формы штампа или оснастки для осесимметричных оболочек или пластин одинарной кривизны в условиях релаксационного режима деформирования (заготовка нагревается до температуры формообразования, поджимается к поверхности, предварительно рассчитанной с учетом величины упругого восстановления, выдерживается в деформированном состоянии определенное время, после чего производится разгрузка), исследуется кручение стержней с поперечным сечением простой формы (эллипс, прямоугольник) в двумерной постановке или в одномерной постановке для тонкостенных конструкций. При этом формообразование панелей и профилей, без каких-либо ограничений на форму контура сечения, в силу нелинейности систем дифференциальных уравнений, описывающих поведение конструкции, освещено не достаточно.

В данной работе приводятся решения прямых и обратных задач формообразования в условиях ползучести гладких панелей двойной кривизны в геометрически линейной постановке и длинномерных профилей двойной кривизны и заданного угла закручивания. Процесс формообразования моделируется для различных режимов деформирования, включая релаксационный. Для длинномерных профилей задачи формулируются в двумерной постановке. Считается, что напряжения и деформации зависят только от двух декартовых координат в плоскости поперечного сечения профиля. Кривизны и погонный угол закручивания являются только функциями времени.

В общем виде прямая задача формулируется следующим образом: для заданной продолжительности процесса и заданных внешних силовых или кинематических воздействий требуется определить остаточные кинематические характеристики (прогиб пластины, кривизны и угол закручивания профиля) после разгрузки и упругого восстановления в момент времени t*. При решении обратной задачи требуется найти такие силовые и кинематические параметры формообразования при 0 < t < , чтобы после снятия нагрузок и упругого восстановления получить требуемые остаточные кинематические величины.

Цель работы. Численное моделирование процессов формообразования панелей двойной кривизны и длинномерных профилей при повышенной температуре в условиях ползучести на основе методов конечных разностей и конечных элементов. Экспериментальное обоснование предложенной модели формообразования стержней.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Разрешающие уравнения, моделирующие процесс формообразования панелей двойной кривизны при различных режимах деформирования в течении заданного времени в условиях ползучести в кинематической постановке.

2. Методика численного решения задач формообразования панелей с контуром произвольной формы на основе метода конечных элементов.

3. Разрешающие уравнения, моделирующие процесс формообразования длинномерных профилей двойной кривизны и заданного угла закручивания в условиях ползучести при различных режимах деформирования в кинематической и статической постановках.

4. Две методики численного решения задач формообразования профилей на основе:

- конечно-разностного метода;

- метода конечных элементов.

5. Результаты экспериментальной апробации предложенных алгоритмов расчета параметров формообразования для задачи определения крутящего момента, необходимого для получения заданного угла закручивания стержня прямоугольного сечения (статическая постановка).

Научная новизна:

1. Предложена модель формообразования панелей двойной кривизны в условиях ползучести при различных режимах деформирования с учетом упругого восстановления в момент снятия внешних нагрузок;

2. Аналогичная модель предложена для описания процесса формообразования длинномерных профилей двойной кривизны и заданного угла закручивания в кинематической и статической постановках;

3. Разработаны и обоснованы численные методы решения задач формообразования указанных выше элементов конструкций;

4. Решен ряд новых практически важных задач;

5. На основе предложенной модели найдены параметры формообразования для задачи кручение стержня прямоугольного сечения постоянным моментом в условиях ползучести и проведено сопоставление с полученными экспериментальными значениями при кручении стержней прямоугольного и круглого сечений.

Практическая ценность работы. Реализованы в виде пакетов программ алгоритмы решения задач формообразования панелей двойной кривизны и длинномерных профилей в условиях ползучести. Это дает возможность находить оптимальные температурно-силовые режимы деформирования реальных элементов конструкций.

Достоверность полученных результатов обеспечивается обращением к известным законам механики деформируемого твердого тела, корректностью постановок рассматриваемых задач, согласованностью полученных решений в предельных и частных случаях с известными результатами в научной литературе, использованием апробированных численных методов и пакетов прикладных программ, а также результатами экспериментальных исследований.

Апробация работы. Основные результаты диссертационного исследования докладывались и обсуждались на первой Сибирской школе-семинаре «Математические проблемы механики сплошной среды» (г.Новосибирск, 15-19 декабря 1997 г.); IV-ом Сибирском конгрессе по прикладной и индустриальной математике г.Новосибирск, 26 июня - 1 июля 2000 г.); 17-ой Межреспубликанской конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности (г.Новосибирск, 3-5 июля 2001 г.); 4-ой Всероссийской научной конференции «Краевые задачи и математическое моделирование» (г.Новокузнецк, 1-4 декабря 2001 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы.

Основные результаты диссертационной работы:

1. Смоделирован процесс формообразования панелей из трудно-деформируемых при обычной температуре сплавов в режиме ползучести, а именно рассмотрен класс обратных задач в геометрически линейной постановке о нахождении кинематических воздействий при 0 < t < t*, обеспечивающих после снятия нагрузок и упругой разгрузки при t = t* заданный остаточный прогиб пластины. Исследован класс таких воздействий, при которых прогиб при 0 < t < t* изменяется по заданному во времени закону.

2. Развита методика численного решения задач формообразования пластин на основе метода конечных элементов для пластин с контуром произвольной формы. Приведены результаты решения обратных задач с различными режимами деформирования, в том числе задачи нахождения упреждающей формы конкретной косоугольной панели при релаксационном режиме деформирования (термофиксация прогиба при 0 <£<£*) с учетом пластических деформаций при t = 0.

3. Исследован ряд кинематических и статических прямых и обратных задач формообразования в условиях ползучести длинномерных профилей двойной кривизны и заданного угла закручивания в двумерной постановке (напряжения и деформации зависят только от координат в плоскости поперечного сечения, кривизны и погонный угол закручивания являются только функциями времени).

4. Развита методика численного решения задач формообразования профилей на основе конечно-разностного метода и метода конечных элементов. Сравнение полученных обоими методами решений задачи кручения профиля прямоугольного сечения в кинематической постановке свидетельствует о надежной аппроксимации континуальной задачи дискретной.

5. На основе разработанной методики решен ряд задач формообразования с различными типами внешних воздействий профилей прямоугольного, уголкового и двутаврового сечений. В частных случаях решения соответствуют известным решениям других авторов.

6. Предложенная методика моделирования и расчета параметров формообразования апробирована экспериментально для задачи определения крутящего момента, необходимого для получения заданного угла закручивания стержня прямоугольного сечения (статическая постановка). Проведена серия экспериментов на кручение стержней прямоугольного и круглого сечений постоянным моментом при температурах 725 и 740 ° С для стали марки Ст. 45. На основе экспериментальных данных на растяжение, сжатие и кручение стержней круглого сечения для Ст. 45 подтверждена гипотеза «единой кривой» и обоснован выбор характеристик ползучести. Сопоставление результатов полученных численными методами и по аналитическим зависимостям с экспериментальными значениями свидетельствует об адекватности предложенной модели формообразования стержней.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Артюнян Н.Х., Абрамян Б. Кручение упругих тел.- М.: Физ-матгиз, 1963.

2. Артюнян Н.Х., Манукян М.М. Кручение круглых стержней переменного диаметра в условиях неустановившейся ползучести/ / Проблемы механики сплошной среды.- Изд. АН СССР, 1961.

3. Банщикова И.А. Обратная задача для вязкоупругой пластины// Первая Сибирская школа-семинар «Математические проблемы механики сплошной среды», Новосибирск, 15-19 декабря 1997: Тез. докл.- Новосибирск: Ин-т гидродинамики, 1997,- С.56.

4. Банщикова И.А. Обратная задача для вязкоупругой пластины// Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр. /РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики- 1998.- Вып.113.- С.13-18.

5. Банщикова И.А., Горев Б.В., Сухоруков И.В. Двумерные задачи формообразования стержней в условиях ползучести // ПМТФ.- 2002.- Т.43.- № 3.- С.129-139.

6. Банщикова И.А., Сухоруков И.В. Задачи формообразования стержней двойной кривизны в режиме ползучести // Краевые задачи и математическое моделирование: Сб. тр. 4-ой

7. Всероссийской научной конференции. 1-4 декабря 2001г. Т.2. Краевые здачи механики твердого тела. Алгебраические и геометрические задачи / Под общ.ред. В.О.Каледина: НФИ КемГУ.- Новокузнецк, 2001.- С.15-18.

8. Банщикова И.А., Цвелодуб И.Ю. Об одном классе обратных задач формоизменения вязкоупругих пластин// ПМТФ.-1996.- Т.37.- №6.- С.122-131.

9. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П. Численные методы.- М.: Наука, 1987.- 600с.

10. Баяковский Ю.М., Галактионов В.А. и др. Графор. Графическое расширение фортрана.- М.: Наука, 1985.

11. И. Библиотека программ ЛИДА-2 по аппроксимации функций и цифровой фильтрации: Оперативно-информационный материал.- ВЦ СО АН СССР, Новосибирск, 1983.

12. Биргер И.А. Стержни, пластины, оболочки.- М.: Изд. фирма Физ.-мат. лит., ВО «Наука», 1992.-392с.

13. Бирюков Н.М., Смирнов В.А. Формообразование многослойных титановых панелей в состоянии сверхпластичности// Изв. вузов Авиац. техн.- 1988.- № 3. -С.38-42.

14. Веричев С.Н., Коробейников С.Н. Неупругое формование паw v; «J w / / Онелеи двойной кривизны при повышенной температуре// 3 Всерос. конф «Ползучесть в конструкциях», Новосибирск, 29 мая -2 июня, 1995: Тез.докл.- Новосибирск, 1995.- С.11.

15. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни.- М.: Физ.-Мат. лит., 1959.- 568с.

16. Генки Г. О медленных стационарных течениях в пластических телах с приложениями к прокатке, штамповке и волочению// Теория пластичности.- М.: Гос. изд-во иностранной лит.-ры, 1948.- С.136-156.

17. Горев Б.В. К оценке ползучести и длительной прочности элементов конструкций по методу характеристических параметров. Сообщение 1// Пробл. прочности,- Киев, 1979.- №4.-С.30-36.

18. Горев Б.В., Клопотов И.Д. Методика построения кривых деформирования на кручение при больших деформациях./ Заводская лаборатория.- 1995.- №12.- С.50-53.

19. Горев Б.В., Клопотов И.Д. К описанию процесса ползучести и разрушения при неоднородном напряженном состоянии по уравнениям со скалярным параметром повреждаемости.//ПМТФ.- 1999.- Т.40,- №6.- С.157-162.

20. Горев Б.В., Клопотов И.Д., Раевская Г.А., Соснин О.В. К вопросу обработки материалов давлением в режиме ползучести// ПМТФ,- 1980.- Т.21- №5.

21. Горев Б.В., Ратничкин А.А. Соснин О.В. Закономерности деформирования материалов в условиях, близких к сверхпластичности: Сообщение 1. Одноосное напряженное состояние// Проблемы прочности.- 1987.- №11.

22. Горев Б.В., Ратничкин А.А. Соснин О.В. Закономерности деформирования материалов в условиях, близких к сверхпластичности: Сообщение 2. Плоское напряженное состояние// Проблемы прочности.- 1987.- №11.

23. Гумеров К.М., Колесов А.В., Зайнулин Р.С. Прочность элементов конструкций с П-образными выступами и пазами // Проблемы машиностроения и надежности машин.- 1990.-№1.- С.77-81.

24. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности.- М.: Машиностроение, 1990.

25. Дюво Г., Лионе Ж.Л. Неравенства в механике и физике.- М.: Наука, 1980.

26. Заев В.А., Никитенко А.Ф. Расчет напряженно-деформированного состояния изгибаемых кольцевых пластин с учетом повреждаемости материала в процессе ползучести// ПМТФ.- 1993.- Т.34.- № 3.- С. 142-146.

27. Зенкевич О. Методы конечных элементов.- М.: Мир, 1975.-541с.

28. Ильюшин А.А К вопросу о вязкопластическом течении материала// Тр. конфер. по пластич. деформациям.- М.: Изд-во АН СССР, 1938.- С.5-18.

29. Каледин В.О., Кулаков В.И., Белкин В.П. и др. Разработка методики, алгоритмов и программ для расчета напряженно-деформированного состояния конструкций из композиционных материалов/ Сиб. металлург, ин-т; № ГР 01850039154.-Новокузнецк, 1985.- 102с.

30. Канторович JI.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ.- М.: Наука, 1984.

31. Качанов JI.M. Теория ползучести.- М., Физматгиз, 1960.-455с.

32. Коновалов А.Н. Введение в вычислительные методы линейной алгебры.- Новосибирск: Сиб. отд-ние, Наука. 1993.- 159с.

33. Кузьменко В.И. Обратные задачи формообразования в условиях высоких давлений// Получение и обработка материалов высоким давлением: Тез. док. 5-ой Всес. конф.- Минск, 1987.

34. Любашевская И.В., Соснин О.В. О приближенных оценках внешних нагрузок при установившейся ползучести в элементах конструкций// Динамика сплошной среды: Сб. науч.тр./РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики, 1999,-Вып.114,- С.183-185.

35. Львов Г.И. О некоторых обратных задачах упруго-пластического деформирования// Динамика и прочность машин.- 1980.- вып.31.

36. Мавлютин P.P. Концентрация напряжений в элементах авиационных конструкций.-М.: Наука, 1981.- 141с.

37. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов.- М.: Машиностроение, 1986.- 225с.

38. Малинин Н.Н. Технологические задачи пластичности и ползучести.- М.: Высшая школа, 1979.- 119с.

39. Манукян М.М. Кручение тел с учетом ползучести.- Ереван. Изд-во ереванского университета, 1972.- 230с.

40. Мирсалимов В.М. Неодномерные упругопластические задачи.- М.: Наука, Гл.ред. физ.-мат.лит., 1987.- 256с.

41. Морозов Н.Ф. Математические вопросы теории трещин.- М.: Наука. 1984.

42. Мудров А.Е. Численные методы для ПЭВМ на языках Бейсик, Фортран и Паскаль.- Томск: МП «РАСКО», 1992.- 272с.

43. Наместников B.C. Изгиб и кручение при ползучести тонкостенного стержня открытого профиля // Науч. тр./ Всесоюз. заоч. машиносроит. ин-т, 1975.- Т.25.- С.103-108.

44. Наместников B.C. Неустановившаяся ползучесть при кручении прямолинейного стержня// Изв. АН СССР. Механика тверд, тела.- 1971.- №3.- С.110-118.

45. Наместников B.C. Стесненное кручение при ползучести тонкостенного стержня замкнутого профиля // Науч. тр./ Всесоюз. заоч. машиносроит. ин-т, 1975.- Т.25.- С.109-114.

46. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Оптимизация процессов динамического пластического деформирования пластин со сложным контуром// ПМТФ.- 2001.- Т.42.- № 1.- С.170-178.

47. Немировский Ю.В., Романова Т.П. Влияние формы импульсной нагрузки на остаточные прогибы жесткопластических пластин сложной формы// ПМТФ.- 1995.- Т.36.- № 6.- С.113-121.

48. Нейбер Г. Концентрация напряжений.- Л.: ОГИЗ, 1947.

49. Никитенко А.Ф.,Сухоруков И.В. Приближенный метод решения релаксационных задач с учетом повреждаемости материала при ползучести//ПМТФ.- 1994.- Т.35.- №5.- С.136-142.

50. Одинг С.С., Черных И.А., Шавров И.А., Фейгин А.П. Формообразование деталей из алюминиевых сплавов обтяжкой и растяжением// Судостроительная промышленность. Сер. Технология и организациям производства.- Судоверфь, 1987.-вып.6.

51. Патент РФ №2076010, В 21 D 11/20. Устройство для формообразования/ Л.Л. Рублевский, О.В. Соснин, Б.В. Горев, М.И. Бондаренко- Бюл. изобр.- 1997.- № 9.- С.136.

52. Ползучесть элементов машиностроительных конструкций/ Подгорный А.Н., Бортовой В.В., Гонтаровский П.П. и др.; Под ред А.Н. Подгорного. Киев: Наук, думка, 1984.- 264с.

53. Понамарев В.А. Формообразование высокоточных оболочек из прочных сплавов// 3 Всерос. конф «Ползучесть в конструкциях», Новосибирск, 29 мая -2 июня, 1995: Тез.докл.-Новосибирск, 1995.- С.43.

54. Применение теории ползучести при обработке металлов давлением/ Поздеев А.А., Тарновский В.И., Еремеев В.И., Ба-акашвили B.C.- М.: Металургия, 1973.- 222с.

55. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела.-М.: Наука, 1988.- 712с.

56. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций.- М.: Наука, 1966.- 752с.

57. Раевская Г.А., Веричев С.Н. Формообразование крупногабаритных панелей в режиме ползучести// 3 Всерос. конф «Ползучесть в конструкциях», Новосибирск, 29 мая -2 июня, 1995: Тез.докл.- Новосибирск, 1995.- С.50.

58. Расчеты машиностроительных конструкций методом конечных элементов. Справочник/ Мяченков М.И., Мальцев В.И. и др.- М.: Машиностроение, 1989.- 520с.

59. Романов К.И. Механика горячего формоизменения металлов.-М.: Машиностроение, 1993.- 240с.

60. Рубанов В.В., Сухоруков И.В. О повреждаемости алюминиевого сплава в режимах близких сверхпластичности// Динамика сплошной среды.- Новосибирск,1989.- вып.92.- С.87-93.

61. Сверхпластическая формовка многослойных ячеистых конструкций из титановых сплавов // Авиац. пром-сть / Кайбы-шев О.А., Сафиуллин Р.В., Лутфуллин Р.Я., Руденко О.А.-1994.- №8.- С.3-6.

62. Серенсен С.В., Когаев В.П., Козлов Л.А., Шнейдеро-вич P.M. Несущая способность и расчеты деталей машин на прочность.- М.: Машгиз, 1954.

63. Соснин О.В., Горев Б.В., Любашевская И.В. Ползучесть в обработке металлов давлением/ Сб. науч. трудов. Математическое моделирование систем и процессов.- Пермь, 2001.-№ 9.- С.169-176.

64. Соснин О.В., Горев Б.В., Раевская Г.А., Ратничкин А.А. Обработка материалов давлением в режиме ползучести и сверхпластичности// Изв. СО АН СССР. Сер. техн. н.- 1987. N 11/3. - 98-105.

65. Соснин О.В., Горев Б.В., Ратничкин А.А. Закономерности деформирования металлов в режимах, близких к сверхпластичности// Проблемы нелинейной механики деформируемого твердого тела: Сб. науч. тр.- Свердловск, 1990.

66. Соснин О.В., Горев Б.В., Ратничкин А.А. Механика сверхпластичности и ее связь с высокотемпературной ползучестью// Сибирский физико-технический журнал.- 1993.-Вып.4.

67. Сухоруков И.В. Одномерные задачи формоизменения. //Динамика сплошной среды: Сб. науч. тр.- РАН. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики, 1998.- Вып. 113.- С. 150-155.

68. Сухоруков И.В., Цвелодуб И.Ю. Итерационный метод решения релаксационных обратных задач// Изв.АН СССР. Механика твердого тела.- 1991.- № 3.- С. 93-101.

69. Сухоруков И.В. Обратные релаксационные задачи изгиба пластин и балок/ Дис.канд. физ.-мат. наук. /Рос. акад. наук. Сиб. отд-ние. Ин-т гидродинамики им. М.А.Лаврентьева.- Новосибирск, 1994.- 105с.

70. Цвелодуб И.Ю. Некоторые обратные задачи изгиба пластин при ползучести// Изв.АН СССР. Механика твердого тела.-1985.- №5.- С. 126-134.

71. Цвелодуб И.Ю. Постулат устойчивости и его приложения в теории ползучести металлических материалов.- Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1991.- 202с.

72. Цвелодуб И.Ю. Обратные задачи неупругого деформирования. // Изв. АН СССР. МТТ.- 1995.- №2.- С.81-92.

73. Цвелодуб И.Ю. Обратные задачи формоизменения неупругих пластин при ползучести// Изв.АН СССР. МТТ.- 1996.- №1.-С.96-106.

74. Цвелодуб И.Ю., Сухоруков И.В. Некоторые обратные задачи упругопластического формоизменения пластин // Моделирование в механике: Сб.науч.тр./ АН СССР. Сиб. отд-ние. ВЦ.-ИТПМ, 1990.- Т.4(21).- №4.- С.153-159.

75. Черноусько Ф.Л., Баничук В.Н. Вариационные задачи механики и управления.- М.: Наука,1973.

76. Шавров И.А. Повышение точности формообразования корпусных деталей судов из алюминиевых сплавов// Судостроительная промышленность. Сер. Технология и организациям производства.- Судоверфь, 1989.- вып.14.- С.3-11.

77. Шляхов С.М., Пономарева Г.П. Свободное кручение бруса прямоугольного поперечного сечения при наличии температурных напряжений// деп. рук. Технол. ин-т Сарат. гос. техн. ун-та, 2000.-№2178-В2000

78. Ширшов А.А. Установившаяся ползучесть стержня при совместном изгибе и кручении // Изв. вузов. Машиностр.-1994.- №7.- С.33-36

79. A simulation procedure for panel age forming// Trans. ASME. J. Eng. Mater, and Technol. / Narimetla S.P., Peddieson J.(Jr), Buchanan G.R., Foroudastan S.- 1998.- Vol.120.- №2.- 183-190.

80. Johnson W. Review of metal working plasticity// Metallurgia Metal Forming. 1972.- V.39.- № 5.- P.147-151.

81. Lowther R. Modification of iterative processes for improval convergence characteristics// International Journal for Numerical methods in Engenering.- 1980.- V. 15.- P. 1149-1159.

82. The torsion of a nonhomogeneous visco-elastic bar of elliptic cross-section// Rozpr. inz. / Elkaramany A.S., Kodsy F.E.-1988.- Vol.36.- №4.- P.599-609.

83. РОССИЙСКАЯ государственная? библиотек