Моделирование локализации пластической деформации на мезоуровне методом элементов релаксации тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

1. ПРОБЛЕМЫ МОДЕЛИРОВАНИЯ ЛОКАЛИЗАЦИИ ДЕФОРМАЦИИ МАТЕРИАЛОВ ПОД НАГРУЗКОЙ

1.1. Введение.

1.2. Актуальные проблемы в теории деформируемого твердого тела.

1.3. Модели неоднородного развития пластической деформации структурно-неоднородных материалов.

1.4. Постановка задачи.

2. МЕТОД ЭЛЕМЕНТОВ РЕЛАКСАЦИИ

2.1. Введение.

2.2. Определение меры релаксации в локальной области твердого тела.

2.3. Элемент релаксации-специфический дефект в континууме.

2.4. Определение связи тензора релаксации с пластической деформацией.

2.5. Построение методом элементов релаксации градиентов пластической деформации в очаге эллиптической формы.

2.6. Напряжения в сплошной среде с градиентами пластической деформации в очаге эллиптической формы.

3. НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛОСКОСТИ С ПОРАМИ ПРИ РАСТЯЖЕНИИ

3.1. Элементы релаксации круговой формы.

3.2. Расчет полей напряжений в пористом материале при растяжении.

4. КОНТИНУАЛЬНАЯ МОДЕЛЬ ЗАРОЖДЕНИЯ ПОЛОСЫ ЛЮДЕРСА В ПОЛИКРИСТАЛЛАХ

4.1. Основные принципы построения модели зародыша полосы

Людерса.

4.2. Описание неоднородного распределения пластической деформации в зародыше полосы Людерса.

4.3. Концентрация и градиенты напряжений у стыка трех зерен, одно из которых испытывает пластическую деформацию.

4.4. Зависимость напряжения зарождения полосы Людерса от размера зерен.

5. МОДЕЛЬ РАЗВИТИЯ ЛОКАЛИЗОВАННОЙ ПЛАСТИЧЕСКОЙ ДЕФОРМАЦИИ В ПОЛИКРИСТАЛЛАХ

5.1. Введение.

5.2. Физические принципы и алгоритм модели.

5.3. Результаты.

5.4. Локализация пластической деформации в поликристаллах с абсолютно жестким включением

5.4.1. Поле напряжений абсолютно жесткого включения при растяжении.

5.4.2. Локализация пластической деформации в поликристаллах с абсолютно жестким включением.

6.2. Учет физической ширины поверхности трещины.115

6.3 Критерии распространения трещины в хрупких материалах

6.3.1. Энергетический критерий разрушения.126

6.3.2. Силовой критерий разрушения.128

6.4.Поле внутренних напряжений трещины. 131

6.5. Влияние пластической деформации на поле напряжений в твердом теле с трещиной.134

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ.139

ЛИТЕРАТУРА.142

ВВЕДЕНИЕ

Объект исследования и актуальность темы

Различные виды проявления локализации деформации и неустойчивости течения в реальных материалах всегда привлекали внимание ученых и инженеров, поскольку локализация деформации приводит к изменению свойств при обработке материала, изменению сроков службы и качества деталей. Это проблема представляет также самостоятельный научный интерес. Создание последовательных физических моделей, удовлетворительно объясняющих процессы деформации в материалах под нагрузкой, связано с большими трудностями не только математического плана и не только со сложностью описания системы огромного количества взаимодействующих подвижных деформационных дефектов кристалла с выходом на макроскопические характеристики деформации. Обычно используемые представления о дислокационной пластичности еще не достаточны, чтобы перейти к свойствам сильно искаженных областей локализованного сдвига.

Проблеме экспериментального и теоретического изучения явления локализации деформации посвящено большое число работ, в которых в основном рассматриваются случаи больших степеней деформации, высокие скорости и температуры деформирования. Локализация проявляется во многих случаях на фоне квазиоднородной пластической деформации образца в виде формирующихся стационарных полос, определяемых в литературе термином shear bands и представляющих собой области пластического течения, в которых скорости деформации намного выше скоростей деформации в остальных объемах. Они вызваны неоднородной структурой материала и играют решающую роль при дальнейшем деформировании, часто являясь предвестником разрушения.

Особенно большой дефицит экспериментальной и теоретической информации наблюдается в области малых и средних степеней пластической деформации, когда локализация еще не приводит к катастрофической потере пластической устойчивости, как перед разрушением материала. Классическим примером является зарождение, формирование и распространение полосы Людерса, когда область интенсивной пластической деформации развивается в еще пластически непродеформированной матрице.

При численном моделировании методом конечных элементов возникают трудности, связанные с тем, что результаты расчета shear bands сильно зависят от плотности расчетных ячеек. Кроме того, традиционные модели пластичности не в полной мере учитывают релаксационную природу пластической деформации и роль концентраторов и градиентов напряжений. В связи с этим существует потребность в новых и, прежде всего, в аналитических методах расчета неоднородных полей напряжений в сплошной среде с полосами локализованной деформации.

Новые возможности в изучении явления локализации открылись с возникновением нового научного направления - физической мезомеханики, рассматривающей твердое тело как иерархически самоорганизующуюся систему. В ее основу положено представление о фундаментальной роли концентраторов напряжений различного масштаба в формировании и развитии зон и очагов локализованной деформации и разрушения. Ответственными за локализацию деформации являются потоки деформационных дефектов в изменяющемся поле концентраторов напряжений различного масштаба.

Т.о. по мере вызревания новой парадигмы актуальным становится новый круг задач в механике деформируемого твердого тела. Появилась необходимость анализа напряженного состояния твердого тела с градиентами пластической деформации в локальных областях определенной геометрической формы. Однако, в литературе практически нет работ по аналитическому описанию каких-либо концентраторов и градиентов напряжений в пластически деформируемом твердом теле.

В данной работе анализируются градиенты и концентрации напряжений в твердом теле с очагамии локализованной пластической деформации с помощью метода элементов релаксации - нового метода, разработанного и развиваемого в лаборатории физической мезомеханики ИФПМ СО РАН.

Целью диссертационной работы является анализ напряжено-деформированного состояния твердого тела на мезоуровне на разных этапах развития локализованной деформации.

Метод решения поставленной задачи - моделирование упруго-пластического состояния материала на основе метода элементов релаксации.

Научная новизна

1. На базе нового метода, метода элементов релаксации, разработаны модели локализованной деформации с учетом градиентов в локальных областях.

2. В рамках континуальной механики деформируемого твердого тела проанализирована роль градиентов пластической деформации в зависимости напряжения зарождения полосы Людерса от размеров зерен в поликристаллах.

3. Разработана модель самоорганизации полос локализованной пластической деформации в поликристаллах на мезо- и макроуровнях.

4. Рассчитано поле напряжений в окрестности трещины Гриффитса в полосе локализованной деформации.

Научная и практическая ценность

Разработаны компьютерные программы для расчетов полей напряжений с градиентами на основе метода элементов релаксации.

Развита методика моделирования процесса локализации пластической деформации в поликристаллах на мезоуровне методом элементов релаксации в комбинации с методом граничных элементов.

Изучено влияние различных физических факторов (числа систем скольжения, деформационного упрочнения и краевого эффекта ) на характер развития полос локализации пластической деформации.

Решение этих задач имеет принципиальное значение для физики и механики деформируемого твердого тела, для развития понимания процессов, происходящих в реальных структурно-неоднородных материалах в условиях механического нагружения, а также для развития методов механики сплошной среды и численных методов для задач математического моделирования и компьютерного конструирования материалов.

Разработанные программы ориентированы на применение при конструировании новых материалов, а также в курсах по механике и физике деформируемого твердого тела для студентов соответствующих специальностей. В настоящее время они используются в проектах приоритетного направления "Компьютерное конструирование новых материалов" и в Государственной научно-технической программе России "Новые материалы".

Основные положения, выносимые на защиту

1. Расчет внешнего напряжения зарождения полосы Людерса в поликристаллах с учетом градиентов пластической деформации и геометрии границы зерна.

2. Влияние градиентов пластической деформации перед границей зерна на зависимость напряжения зарождения полосы Людерса от размеров зерен.

3. Расчет напряжений в сплошной среде с порами на основе метода элементов релаксации.

4. Модель самоорганизации локализации деформации в поликристаллах на мезомасштабном уровне с учетом числа систем скольжения, деформационного упрочнения, наличия пор и включений, влияния свободной поверхности.

5. Роль мезо- и макроконцентраторов напряжений у внешних и внутренних границ раздела, а также у границ очагов локализованной пластической деформации в самоорганизации структур локализованной деформации и фрагментации материала.

6. Модель трещины с учетом дефекта модуля у свободной поверхности и влияния зоны локализованной деформации.

Обоснованность и достоверность результатов расчетов и выводов, сформулированных в диссертации обеспечивается математической корректностью постановки задачи, сопоставлением с опубликованными результатами других авторов, а так же совпадением рассчетных данных с экспериментальными.

Апробация работы. Результаты работы докладывались и обсуждались на следующих конференциях: на двух международных семинарах "Компьютерное конструирование перспективных материалов и технологий" CADAMT-92 (Томск, 1992) и CADAMT-93, (Томск, 1993), на 4-ой международной конференции "Компьютерное конструирование перспективных материалов и технологий" CADAMT'95 (Томск 1995г.) на первом и втором. Русско-Китайском симпозиуме "Actual problems of Modern materials Science", на международной конференции, " Mathematical Methods in Physics, Mechanics and Mesomechanics of Fracture.(ToMCK, 1996), на международных конференциях в Германии (Штуттгарт, 1998; Берлин, 1999).

Основные результаты диссертации опубликованы в 8 работах (перечень их наименований частично представлен в списке цитируемой литературы 31, 101, 102, 123, 126 - 129).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, шести глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации составляет 152 страницы, 47 рисунков. Список литературы содержит 129 наименований.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

1. Анализ напряженного состояния сплошной среды на разных этапах развития локализованной деформации при растяжении показал, что во всех случаях наблюдается существенное возмущение поля напряжений у границы зоны локализации. При этом у границы зоны локализации деформации существует область, где напряжения ниже внешнего приложенного напряжения, а вне зоны наблюдается существенная концентрация напряжений.

2. С помощью метода элементов релаксации развита континуальная модель зарождения полосы Людерса и получена зависимость напряжения зарождения полосы Людерса от размера зерен поликристалла. Показано, что концентрация напряжений на стыке 3-х зерен, одно из которых испытывает пластическую деформацию, может в несколько раз превышать внешнее приложенное напряжение. Высокие градиенты пластической деформации способны обеспечить концентрацию напряжений, достаточную для зарождения дислокаций в смежных зернах. Это объясняет свойство полосы Людерса формироваться за счет соседних объемов, где под действием концентрации и градиентов напряжений возникают благоприятные условия для начала интенсивной локализации деформации.

3. При описании неоднородных полей деформации и напряжений важно учитывать и иметь ввиду масштаб неоднородностей. Расчет поля напряжений в окрестности тройного стыка зерен и в голове трещины показал, что в твердом теле существуют концентраторы с чрезвычайно узкой областью своего действия и пиковыми напряжениями, которые на порядки могут превышать внешнее приложенное напряжение. На таких концентраторах возможность зарождения подвижных деформационных дефектов вполне вероятна. Пластически деформирующиеся зерна помимо пиковых напряжений на стыках создают повышенные концентрации напряжений в локальных областях, соизмеримых с размерами самих зерен, которые характеризуются значительно меньшей концентрацией напряжений.

4. Принципиальную роль в зависимости механических свойств поликристаллов от размеров зерен играют градиенты пластической деформации в локальных объемах твердого тела. Выполнение уравнения Холла-Петча на макроскопическом пределе упругости с точки зрения континуальной механики деформируемого твердого тела вполне можно объяснить независимостью градиентов пластической деформации перед границей зерна от размера зерен.

5. На основе метода элементов релаксации и с использованием подхода клеточных автоматов представлена модель развития полосовых структур в поликристаллах для материала в условиях растяжения. Проанализировано влияние следующих факторов на развитие мезополос: числа систем скольжения, деформационного упрочнения, наличия пор и включений, влияния свободной поверхности. Мезополосы локализованной деформации имеют зигзагообразную форму. Их характер распределения вдоль оси образца хорошо согласуется с экспериментальными данными.

В основу данной модели положен учет влияния мезоконцентраторов напряжений в результате пластической деформации отдельных кристаллитов на поле напряжений во всем объеме твердого тела. В таком случае модель воспроизводит самоорганизацию мезо- и макрополос локализованной деформации. Моделирование показало, что вовлечение отдельных зерен в пластическую деформацию под действием мезоконцентраторов напряжения обусловливают стадийный характер диаграмм нагружения не только в процессе упрочнения, но и на падающем участке диаграмм нагружения. Тем самым показана принципиальная роль мезоконцентраторов напряжений у границ очагов локализованной пластической деформации в самоорганизации полосовых структур и фрагментации материала, определяющих стадийность диаграмм нагружения. Эффективности мезоконцентраторов в процессе локализации способствуют эффекты разупрочнения материала в очагах, увеличение числа систем скольжения и свободная поверхность твердого тела.

6. На основе метода элементов релаксации разработана модель расчета напряженного состояния в плоскости с трещиной разрыва с учетом дефекта модуля у ее свободной поверхности и наличия пластической зоны вокруг трещины. Показано, что возникновение пластической зоны впереди вершины трещины сопровождается непрерывной релаксацией напряжений у конца трещины и воз-никновеием мезоконцентратора напряжений на конце пластической зоны.

1. Dillamore 1.L., Roberts J.G., Bush A.C. Occurence of shear bands in heavily rolled cubic metals // Metals Sci. - 1979. - V.13, No 2. - P. 73-77.

2. Van Houtte, Gill Sevillano J., Aernoudt E. Z.Metallk. 1979. - V. 70. - P. 503.

3. Canova, Kocks U.F., Stout M.G. Scripta metall. 1984. - V.18. - 437.

4. Hill R., Hutchinson J.W. J. Mech. Phys. Solids. 1975. - V.23. - P. 239.

5. Asaro R.J., Acta metall. 1979. - V. 27. - P. 445.

6. Hutchinson J.W., Tvergaard V. Report 186, Danish Center for Applied Mathematics and Mechanics, The Technical University of Denmark, Lyngby. 1980.

7. Anand L.and Spitzig W.A. Acta metall. 1982. - V. 30 - P. 553.

8. Asaro R.J. Geometrical effect in the inhomogeneous deformation of ductile single crystals // Acta Metallurgica. 1978. - V. 27. - P. 445-453.

9. Aifantis E.C. The physics of Plastic Deformation // International Journal of Plasticity. 1987. - V. 3. - P. 211-247.

10. Aifantis E.C. On the Microstructural origin of certain Inelastic Models // Journal of Engineering Materials and Technology. 1984. - V. 106,- P. 326-330.

11. Aifantis E.C. On the role of gradients in the localization of deformation and fracture // Int. J. Engng. Sci. 1992. - V.30, No.10. - P. 1279-1299.

12. Панин B.E., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф., Иванчин А.Г. Структурные уровни деформации твёрдых тел // Изв. вузов. Физика. -1982,- №6. С. 6 - 18.

13. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Хон Ю.А., Елсукова Т.Ф. Атомвакансионные состояния в кристаллах // Изв. вузов. Физика. 1982. - № 12. - С. 5 - 28.

14. Гриняев Ю.В., Панин В.Е. Вихревой характер пластической деформации твёрдых тел // Экспериментальное исследование и теоретическое описание дисклинаций. Л.: ФТИ РАН, 1984. - С. 66 - 92.

15. Панин В.Е., Лихачев В.А., ГриняевЮ.В. Структурные уровни деформации твёрдых тел. Новосибирск: Наука. Сиб.отд-ие, 1985. - 229 с.

16. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Егорушкин В.Е. и др. Спектр возбуждённых состояний и вихревое механическое поле в деформируемом кристалле // Изв. вузов. Физика. 1987. - №1. - С. 34 - 51.

17. Панин В.Е. Современные проблемы прочности твердых тел // Изв.СО АН СССР. Сер. техн. наук. 1987. - Вып.З. - С. 87 - 97.

18. Панин В.Е., Гриняев Ю.В., Елсукова Т.Ф. и др. Неоднородность распределения напряжений и движение зёрен как целого в деформируемом поликристалле // Докл. АН СССР. 1989. - Т.309, №2. - С. 356 - 359.

19. Панин В.Е., Елсукова Т.Ф., Новосёлова E.H., Егорушкин В.Е. Эффект локализации деформации у границ зёрен при ползучести поликристаллов // Докл. АН СССР. 1990. - 310, №1. - С. 78 - 83.

20. Структурные уровни пластической деформации и разрушения // В.Е. Панин, Ю.В. Гриняев, В.И. Данилов и др. Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1990.-255 с.

21. Панин В.Е., Мещеряков Ю.И., Елсукова Т.Ф. Некристаллографические структурные уровни деформации в сильновозбуждённых системах// Изв. вузов. Физика. 1990,- №2. - С 107 - 120.

22. Панин В.Е., Егорушкин В.Е., Елсукова Т.Ф., Веселова О.В. Трансляционно-ротационные вихри, дисклинационная субструктура и механизм усталостного разрушения поликристаллов // Докл. АН СССР. 1991. - 316, №5. - С. 1130 - 1132.

23. Панин В.Е. Физические основы мезомеханики среды со структурой // Изв. вузов. Физика. 1992,- №4. - С. 5 - 18.

24. Панин В.Е. Методология физической мезомеханики как основа построения моделей в компьютерном конструировании материалов // Изв. вузов. Физи1 ппг о о лг„1 1 лч с- iyyj. JO, jN^I I. - 0-2J.

25. Физическая мезомеханика и компьютерное конструирование материалов: В 2 т./ Отв. ред. В.Е.Панин. Новосибирск: Наука. Сибирская издательская фирма РАН, 1995.-297 с. и 320 с.

26. Physical Mesomechanics of Heterogeneous Medium and Computer Aided Design of Materials/ ed by V.E.Panin. Cambridge International Science Publishing, 1996. - 140P.

27. Дерюгин E.E. Анализ упруго-пластического состояния плоскости с очагом пластической деформации // Ред. ж. Изв. вузов. Физика. Томск, 1989. -24с. Деп. в ВИНИТИ 3.01.90. № 27В90.

28. Deryugin E.E. Localized plastic strain in solids under loading / Proc. Int. Conf. New physical methods of investigation of materials under loading. Terscol, 1990. Tomsk: Univer. Press, 1990. - P. 102-112.

29. Дерюгин E.E. Описание напряженно-деформированного состояния плоскости с макроскопическим очагом пластической деформации. Томск, 1990. -53 с. - (Препр. /АН СССР. Сиб. отд-ние. ТНЦ; №14).

30. Дерюгин Е.Е. Метод элементов релаксации в моделях пластической деформации структурно-неоднородных материалов. // Изв. вузов. Физика. -1994. 37, №2,- С. 16-22.

31. Физические методы исследования материалов, т.1 // Методы испытания, контроля и исследования машиностроительных материалов. / Справочное пособие в 3 т. М.: Машиностроение, 1971. - 554 с.

32. Измерения в промышленности. Справ, изд. в 3 т. / ред. П.Профос. М.: Металлургия, 1990. - 492 с.

33. Технические средства диагностирования: Справочник / В.В. Юпоев. П.П., Пархоменко, В.Е. Абрамчук и др. М: Машиностроение, 1989. - 672 с.

34. Лозинский М.Г. Тепловая микроскопия материалов М.: Металлургия, 1976. - 304 с.

35. Системы технического зрения: Справочник / В.И. Сырямкин, B.C. Титов, Ю.Г. Якушенков и др. Томск: Радио и связь. Том. отд-ние, 1992. -367 с.

36. Huang Z.H., Tian J.E., Wang Z.G. Analisis of Fractal Characteristics of Fractured Surfaces by Secondary Electron Line Scanning // Mat. Sei. Eng., All8, 1989. -P.19-24.

37. Dauskardt R.H., Haubensak F., Ritchie R.O. On the Interpretation of the Fractal Character of Fracture Surfaces // Acta Metall. Mater., Vol,38, No2,1990. P. 143-159.

38. Федер E. Фракталы / Пер. с англ. M.: Мир, 1991. - 245 с.

39. Неразрушающий контроль металлов и изделий: Справочник / П.И. Беда, Б.И. Выборнов, Ю.А. Глазков и др. М.: Машиностроение, 1976. - 456 с.

40. Хови А. Конфигурация дислокаций в деформированных ГЦК монокристаллах с различной энергией дефектов упаковки // Прямое наблюдение несовершенств в кристаллах. М.: Металлургия, 1964.

41. Хирш П. Электронно-микроскопическое наблюдение дислокаций в металлах // Новые электронно-микроскопические исследования. М.: Метал-ЛурГИЗДаТ, 1961.

42. Steeds J. W. Dislocation arrangement in copper single crystals as function of strain//Proc. Roy Soc.- 1966.-Vol.3.

43. Вергазов A.H., Лихачев В.А., Рыбин В.В. Характерные элементы дислокационной структуры в деформированном поликристаллическом молибдене // ФММ.-1976,- №42, вып. 2.

44. Трефилов В.И. Мильман Ю.В. Фирстов С.А. Физические основы прочности тугоплавких металлов.-Киев: Наук, думка, 1975.

45. Иванова B.C. Разрушение металлов,- М.: Металлургия, 1979.

46. В.В. Рыбин. Большие пластические деформации и разрушение металлов. -М.: Металлургия, 1986. 224с.

47. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации // Изв. вузов. Физика. 1990. - 33, №2. - С. 89 - 106.

48. Конева Н.А., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации // Структурные уровни пластической деформации и разрушения / Отв. ред. В.Е. Панин. Гл.5. Новосибирск: Наука, Сиб. отд.-ние, 1990. -С. 123-186.

49. Ashby M.F. The theory of the plastic deformation of inhomogeneous materials // Strengthening methods in crystals. New York, Amsterdam: Wiley, 1971. - P. 137-192.

50. Мирсалимов B.M. Неодномерные упругопластические задачи.-М.: Наука. Гл.ред. физ.-мат. лит., 1987. 256 с.

51. Новожилов В.В. Вопросы механики сплошной среды. Л.: Судостроение, 1989.-400 с.

52. Плювинаж Г. Механика упругопластического разрушения: Пер. с франц. -М.: Мир,1993.-450 с.

53. Клюшников В.Д. Математическая теория пластичности. М.: Изд-во Моск. ун-та, 1979. - 208 с.

54. Ишлинский А.Ю. Прикладные задачи механики. Книга 1. Механика вязко-пластических и не вполне упругих тел. М.: Наука, 1986. - 360 с.

55. Александров A.B., Потапов В.Д. Основы теории упругости и пластичности. М.: Высш. шк., 1990. - 400 с.

56. Галин J1.A. Упруго-пластические задачи. М.: Наука, 1984,- 236 с.

57. Седов Л.И. Механика сплошной среды, в 2т. М.: Наука, 1976. - 576 с

58. Макаров П.В. Микродинамическая теория пластичности и разрушения структурно неоднородных материалов // Изв. вузов. Физика. - 1992. - С. 42 -58.

59. Роуч П. Вычислительная гидродинамика. -М.: Мир, 1980. 616 с.

60. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред,- М.: Мир, 1976.-464 с.

61. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике,- М.: Мир, 1975. -310 с.

62. Годунов С.К. Элементы механики сплошной среды. М.: Наука, 1978. -304с.

63. Cundall P.A., Strack O.D.L. A discrete numerical model for granular assemblies // Geotechnique -1971. -V.29. P. 56-62.

64. Babic M., Shen H.H., Shen Т. H. The stress tensor in granular shear flows of uniform, deformable disks at high solids concentrations // J. Fluid Mech. 1990.-V.219.-P. 81-118.

65. Хокни P., Иствуд Дж. Численное моделирование методом частиц. М.: Мир, 1987. - 640с.

66. Валуев А.А. Норман Г.Э., Подлипчук В.Ю. Уравнения метода молекулярной динамики // Термодинамика необратимых процессов. М.: Наука, 1987. -С. 11-17.

67. Shuichi Nose A molecular dynamics method for simulation in canonical ensemble // Molecular physics. 1984. - V.52. No2. - P. 255-268.

68. Годунов C.K., Рябенький В. С. Разностные схемы (введение в теорию). -М.: Наука, 1973.-400 с.

69. Самарский А.А. Введение в теорию разностных схем. М.: Наука, 1971. -400 с.

70. Мишнаевский JI (младший), Шмаудер 3. Современные конечно-разностные методы анализа влияния микроструктуры на механические свойства неоднородных материалов: обзор // Физическая мезомеханика. 1999. - Т.2, No 3,- С. 61-81.

71. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике. М.: Мир, 1975. - 456 с.

72. Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред. -М.: Мир, 1976.-464 с.

73. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике.-М.: Мир, 1982. -248 с.

74. Бенержи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках . М.: Мир, 1984. - 494 с.

75. Крауч С., Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Мир, 1987. - 328 с.

76. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости. М. : Наука, 1975. - 576 с.

77. Schreyer H.L. Analytical solutions for non-linear strain-gradient softening and localization // Transaction of the ASME. V.57, Sept. - 1990. - P. 522-527.

78. Asaro R.J, Needleman A. Localization of plastic flow in hardening crystals // Scr. Met. 1984. -V.18, No 5. - P. 429-435.

79. Макаров П.В. Подход физической мезомеханики к моделированию процессов деформации и разрушения // Физическая мезомеханика. 1998. - Т.1,1. ХГг> 1 Г1. X. V 1 V-* А .

80. С.Г. Псахье, Я. Хори, С.Ю. Коростелев, А. Ю. Смолин, А. И. Дмитриев, Е. В. Шилько, С. В. Алексеев, Метод подвижных клеточных автоматов как инструмент для моделирования в рамках физической мезомеханики // Изв. вузов. Физика. 1995. - Т. 38, N0 11.

81. Эшелби Дж. Континуальная теория дислокаций. М: Мир. - 1977. - 209 с.

82. Дударев Е.Ф. Микропластическая деформация и предел текучести поликристаллов. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1988. - 256 с.

83. Дударев Е.Ф., Дерюгин Е.Е. Микропластическая деформация и предел текучести поликристаллов // Изв. вузов. Физика. 1982. - N0 6. - С . 43-56.

84. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1977. - 708 с.

85. Хан X. Теория упругости. Мир, 1988.

86. Кооперативные деформационные процессы и локализация деформации / Под ред. В.В. Немошкаленко. Киев : Наукова думка, 1989. - 320 с.

87. Рыбин В.В. Физическая модель явления потери механической устойчивости и образования шейки//Физика металлов и металловедение. 1977. -Т.44, вып.З.-С. 623-632.

88. Де Вит Р. Континуальная теория дисклинаций. М.: Мир, 1977. - 209 с.

89. Кэлли А. Высокопрочные материалы. М.: Мир, 1976. - 264 с.

90. Петерсон В.П. Коэффициенты концентрации напряжений. М.: Мир, 1977. -304 с.

91. Панасюк И.В. Концентрация напряжений около двух круговых отверстий, соединённых узкой щелью // Пробл. прочности. 1983. - №9. - С. 17 - 20.

92. Thompson A. Substructure strengthening mechanisms// Met. Trans. -1977. -A&, N6. P. 833 -842.

93. Орлов Л.Г. О деформации поликристаллического железа на площадке текучести // Физ. тв. тела, 1967. 9, №8. - С. 2334 - 2344.

94. Irikibar R., Mazza I., Cabo A. The microscopic strain profile of a propagating Luders band front in mild steel // Scr. Met., 1975. 9, №10. - P. 1051 - 1058.

95. Sakui S., Sakai T. The effect of strain rate, temperature and grain size on the lower yield stress and flow stress of pure iron // Proc. Int. Conf. Sci. and Technol. Iron and Steel, Tokyo, 1970. Part 2. Tokyo, 1971. - P. 989-991.

96. Sakamaki K., Inada S. Влияние величины зерна на нижний предел текучести низкоуглеродистой стали // Дзайрё. J. Soc. Mater. Sci. Japan, 1977. 26, №291.-P. 1195- 1201.

97. Дерюгин E.E. Метод элементов релаксации .- Новосибирск: Наука. Сиб. Предприятие РАН, 1998. -253 с.

98. Deryugin Ye.Ye., Lasko G.V., Schmauder S. Relaxation element method // Computational material Science. 1998. - V. 11, N3. - P. 189-203.

99. Дерюгин E.E., Ласко Г.В., Смолин Ю.Е., Континуальная модель зарождения полосы Людерса в поликристаллах // Изв. вузов. Физика. 1995. - Т. 38,N5.-С. 15-9.

100. Harren S.V., Deve Н.Е., Asaro R.J. Shear band formation in plane strain compression // Acta Met. 1988. - V. 36, № 9. - P. 2435.

101. Виртман Дж., Виртман Дж. Р. Механические свойства, несущественно зависящие от температуры // Физическое металловедение: Ред. Р.У.Кан, П.Т.Хаазен. В 3-х вып. / вып.З. М.: Металлургия, 1987. - С. 112-155.

102. Алёхин В.П. Физика прочности и пластичности поверхностных слоев материалов. -М.: Наука, 1983.

103. Рыбин B.B. Физическая модель явления потери механической устойчивости и образования шейки // ФММ. 1977,- Т.44, вып.З. - С. 623 - 632.

104. Valiev R.Z. Structure and mechanical properties of ultrafined metals././ Material Science and Engineering.- 1977. -V. A234-236. P. 59-66.

105. Конева H.A., Козлов Э.В. Физическая природа стадийности пластической деформации // Изв. вузов. Физика. 1990,- Т. 33, № 2. - С. 89-106.

106. Хеллан К., Введение в механику разрушения. М: Мир, 1998.

107. Слепян Л.И. Механика трещин,- Л.: Судостроение, 1990.

108. Механика разрушения и прочность материалов: Справочное пособие: В 4.т/ Под общей ред, В.В. Панасюка. Т.1. Киев: Наук.думка, 1998.

109. Разрушение: Сб.научн. тр.: В 7 т. / Под ред. Г. Либовица. М: Мир, 1973. Т.1: Микроскопические и макроскопические основы механики разрушения.

110. Разрушение: Сб. научн. тр.: В 7 т./ Под ред. Г. Либовица. М. : Мир, 1975. Т.2: Математические основы теории разрушения.

111. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения,- М.: Металлургия, 1984.-280 с.

112. Дерюгин Е.Е. Метод элементов релаксации в моделях пластической деформации структурно-неоднородных материалов // Изв. вузов. Физика. -1994.-No 2.-С. 16-22.

113. Зенгуил Э. Физика поверхности. М.: Мир, 1990. - 536 с.

114. Физические величины: Справочник / Под ред. И.С. Григорьева, Е.З. Мей-лихова. М.: Энергоатомиздат, 1991.

115. Григорович В.К. Металлическая связь и структура металлов. М.: Наука, 1998.

116. Киттель И. Элементарная физика твердого тела. М.: Наука, 1998.

117. Финкель В.М. Физика разрушения. М.: Металлургия, 1970. - 376 с.

118. Deryugin Е.Е., Shilko E.V., Lasko G.V. The model of development of sites ofplastic deformation in heterogeneous media // Proc. Int. Workshop. Movable Cellular Automata Method: Foundation and Application. 16-18 Dec. Lubljana (Slovenia) 1999.

119. Дерюгин E.E., Ласко Г.В. Модель развития пластической деформации в поликристаллах // Тр. II межд. семинара. Современные проблемы прочности. Новгород, 5-9 октября 1998 г. Т.1. Старая Руса: Изд-во НовГУ, 1998.

120. Deryugin Ye.Ye., Lasko G.V., Schmauder S. Formation and self-organization of LPD-bands within the range from meso- to macroscale levels in polycrystals under tensile loading // Computational Matrial Science. 1999. - V. 15. - P. 89-95.

121. Гулд X., Тобочник Я. Компьютерное моделирование в физике: в 2-х частях. -М.: Мир, 1990.-349 с.

122. Псахье С.Г., Моисеенко Д.Д., Дерюгин Е.Е. и др. О возможности компьютерного конструирования материалов с высокопористой каркасной структурой на основе метода подвижных клеточных автоматов // Письма в ЖТФ. 1998.-Т 24, №4.-С. 71-76.

123. Deryugin Ye.Ye., Lasko G.V. Effect of rising elastic modulus in surface layer on crack tip stress intensity and gradient // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 1998. - V.29, №3, July. - P. 205-212.

124. Дерюгин E.E., Ласко Г.В. Усовершенствованная модель трещины Гриф-фитса // Прикладная математика и техническая физика. 1998.- № 6. - С. 132-141.

125. Deryugin Ye. Ye., Moiseenko D.D., Lasko G.V. Effect of pores concentration on localization of plastic deformation of polycrystals // Theoretical and Applied Fracture Mechanics. 1998. - V.29, №2, June. - P. 93-98.

126. Ласко Г.В., Дерюгин E. E. Модель развития пластической деформации в поликристаллах // Тр. II межд. семинара. Современные проблемы прочности. Новгород, 1998. Т.1. Старая Руса: Изд-во НовГУ, 1998. - С.42-47.