Моделирование механических свойств наноструктурированных сред на основе континуальной модели адгезионных взаимодействий тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

005002105

Соляев Юрий Олегович

МОДЕЛИРОВАНИЕ МЕХАНИЧЕСКИХ СВОЙСТВ НАНОСТРУКТУРИРОВАННЫХ СРЕД НА ОСНОВЕ КОНТИНУАЛЬНОЙ МОДЕЛИ АДГЕЗИОННЫХ ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ

01.02.04 — Механика деформируемого твёрдого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 7 НОЯ 2011

Москва — 2011

005002105

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном образовательном учреждении высшего профессионального образования «Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет)»

Научный руководитель: доктор технических наук, профессор

Лурье Сергей Альбертович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Березин Александр Васильевич; кандидат физико-математических наук Устинов Константин Борисович

Ведущая организация: Учреждение Российской академии наук

Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится «30» ноября 2011 г. в 15:00 на заседании диссертационного совета Д212.125.05 в ФГБОУ ВПО Московский авиационный институт (национальный исследовательский университет), по адресу: 125871, г. Москва, ГСП, Волоколамское шоссе, дом 4.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Московского авиационного института.

Автореферат разослан__2011 г.

Ученый секретарь //

диссертационного совета Г. В. Федотенков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы

Один из путей создания новых материалов связан с управлением их структурой на микро- и наноуровне. Возможность создания композитов с наноразмерными включениями и иных наноструктурированных материалов позволяет существенно повысить их эксплуатационные свойства. Существующие разработки в области наноматериалов, на сегодняшний день, в большей степени связаны с экспериментальными исследованиями. При этом теоретическая база для моделирования свойств наноматериалов находится в стадии разработки и требует дополнительных исследований. Решение проблемы теоретического моделирования и прогнозирования свойств наноструктурированных сред позволит в значительной степени ускорить и оптимизирован, процессы разработки новых материалов, повысить стабильность их свойств и уменьшить стоимость.

Принципиальные результаты при разработке прикладных моделей новых композиционных конструкционных материалов, методов оценки эффективных свойств, методов оценки разрушения, накопления повреждений композитов, зависимости процессов поврежденности от свойств структуры, а также методов исследования деформаций элементов конструкций, несущей способности композитных конструкций связаны в первую очередь с именами таких ученых как: Н. С. Азиков, А. В. Бабешко, А. В. Березин, В. А. Бу-наков, Г. А. Ванин, В. В. Васильев, И. И. Ворович, Р. В. Гольдштейн, Э.И. Григолюк, A.A.Дудченко, А.Н. Елпатьевский, С.А.Лурье, Ю.М.Новичков, И.Ф.Образцов, А.Н.Полилов, Б.Е.Победря, Н. Н. Рогачева, Р. Л. Салганик, Ю. Н. Тарнопольский, К. Б. Устинов, а также В. Budiansky, R.M. Christensen, A.V. Dyskin, L. N. Germanovich, Z. Hashin, M. Kachanov, S. Kanaun, T. Mori, K. Tanaka, T. Mura, G. M. Odegard и др.

Модели адгезионных свойств в рамках континуальной механики впервые были предложены в 70-х годах двадцатого века, как расширенные модели классической теории упругости с модифицированными граничными условиями, включающими поверхностные напряжения. В последнее десятилетие данная область

механики получила существенное развитие в связи с необходимостью получения адекватных моделей для прогноза физико-механических свойств наноструктурированных сред. Модели адгезии, направлены на учёт поверхностных свойств и эффектов в твёрдых телах, таких как: наличие поверхностных напряжений, дефектов на поверхности, адгезионных контактных взаимодействий, эффектов смачиваемости/несмачиваемости и др., которые оказывают, зачастую, определяющее влияние на свойства наноструктурированных материалов, в. которых внутренняя поверхность раздела обладает чрезвычайно большой плотностью.

Работа посвящена исследованию существующих континуальных моделей адгезионных взаимодействий и решению прикладных задач моделирования и прогнозирования механических свойств материалов с микро- и наноструктурой (композиционных материалов с микро- и нановключениями, керамик и др.), также предлагаются подходы к идентификации неклассических параметров моделей. ^

Цель работы

Построение и исследование прикладных континуальных моделей адгезионных взаимодействий в применении к прогнозу механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микро- и нановключениями, керамических материалов). Решение задач моделирования свойств наноструктурированных материалов с учётом неклассических эффектов (масштабных эффектов, адгезионных свойств, полей дефектов, локальных эффектов в распределении напряжений и др.) и демонстрация возможности адекватного и достоверного описания механических свойств данных материалов в рамках предлагаемых континуальных моделей. Исследование и оценка области допустимых значений поверхностных модулей. Разработка методик идентификации дополнительных поверхностных параметров модели, основанных, в том числе, на методе молекулярной динамики. Разработка и тестирование приближённых моделей учёта поверхностных и локальных градиентных эффектов в материалах с высокой плотностью внутренних границ.

Научная новизна работы

— Проведено исследование прикладной континуальной модели адгезионных взаимодействий в применении к прогнозу механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микро- и нановключениями, керамических материалов).

— Показано, что широко используемая феноменологическая модель Янга-Лапласа является частным случаем обобщённой модели адгезионных взаимодействий, развиваемой в диссертации, и может быть получена на основе предельного перехода.

— Исследовано влияние адгезионных параметров на эффективные свойства гетерогенных структур. На основе решения прикладных задач в одномерной и плоской постановке с учётом адгезии, определены допустимые значения поверхностных модулей в исследованных прикладных моделях с учётом адгезии.

— Разработана модель прогнозирования эффективных механических свойств поликристаллических материалов (керамик, металлов) в рамках градиентной теории упругости с учётом когезионно-адгезионных взаимодействий. Показано, что данная модель позволяет учесть влияние размера зерна, пористости, локальной концентрации напряжений и характер межзёренного контакта на эффективные свойства поликристаллов.

— Показана согласованность одномерной модели градиентной теории упругости с учётом адгезионных эффектов с методом молекулярной динамики. Проведена идентификация неклассических параметров модели на основе атомистического подхода.

— Показано, что в рамках модели «идеальной» адгезии возможно моделирование угла мениска и эффекта волнообразования на поверхности твёрдых тел. Предложен способ идентификации параметров адгезии по экспериментально замеряемым характеристикам волнообразования на поверхности твёрдых тел.

— Проведено качественное исследование моделей тонких пластин с учётом адгезии. Построена модель Кирхгоффа тонких пластин в рамках градиентной теории межфазного слоя. Решена задача цилиндрического изгиба адгезионных пластин в рамках различных прикладных теорий адгезии и установлена возможность моделирования свойств ультра-тонких пластин и структур типа графена в рамках континуальной теории адгезии.

— Построена приближённая модель определения эффективных свойств композитов с микро- и нановключениями, основанная на использовании классических методов осреднения механики композитов с привлечением информации о механических характеристиках и геометрии межфазного слоя (в модели «трёх фаз» Эшелби-Кристенсена), полученной из решения задачи в рамках градиентной теории упругости.

Практическое значение работы

Механические свойства материалов с микро- и наноструктурой, как правило, не поддаются прогнозированию с помощью классических моделей механики композиционных материалов в связи тем, что в эти модели не входят явно параметры, характеризующие масштабные эффекты, используемые для моделирования когезионных и адгезионных взаимодействий и иных аналогичных физических процессов (например, при моделировании теплопереноса в гетерогенных структурах). Между тем, разработка методик расчета и проектирования данного класса материалов является одним из приоритетных направлений развития науки и техники в настоящее время. Экспериментальные подходы к созданию новых материалов сталкиваются со значительными затруднениями в связи со сложностью одновременного учёта большого числа микроструктурных и технологических параметров, которые оказывают существенное влияние на эффективные свойства наноструктурированных материалов. Поэтому решение задачи математического моделирования эффективных механических свойств наноструктурированных материалов является важной, с практической точки зрения, задачей.

Предложенные в диссертации модели, методы идентификации и алгоритм приближённого учёта градиентных и поверхностных эффектов могут быть рекомендованы для проектных и научно-исследовательских организаций.

Реализация результатов работы

Результаты, полученные в диссертации, используются в Институте прикладной механики РАН, ОАО НИАТ, ГНЦ ФГУП «Центр Келдыша».

Достоверность результатов обеспечивается использованием обоснованных математических методов, методов теории упругости и механики композиционных материалов: методов механики сплошной среды, вариационных методов, тензорного анализа, уравнений математической физики, прямых вариационных методов. Решение тестовых задач сравнивается с экспериментальными данными, а также с результатами прямого численного моделирования неоднородных структур методом молекулярной динамики.

Апробация работы

Основные положения диссертационной работы обсуждались на следующих научных мероприятиях:

— Международная молодёжная конференция «Гагаринские чтения» (2008, 2011 г.).

— Всероссийская школа-конференция молодых учёных и студентов «Математическое моделирование в естественных науках» (2008, 2009, 2011 г.).

— Всероссийская конференция «Многомасштабное моделирование процессов и структур в нанотехнологиях» (2008 г.).

— Summer school «Advansed problems in mechanics » (Международная школа-конференция «Современные проблемы механики», 2009,2011 г.).

— Всероссийская конференция «Механика и наномеханика структурно-сложных и гетерогенных сред» (2009,2010 г.).

— Первая Всероссийская конференция «Проблемы механи-

ки и акустики сред с микро- и наноструктурой: НАНО-МЕХ-2009».

— Всероссийская научная школа для молодёжи «Образование в сфере нанотехнологий: современные подходы и перспективы» (2010 г.).

Основные результаты диссертации обсуждались на заседании кафедры «Строительная механика и прочность» МАИ, а также были доложены на следующих семинарах:

— Семинар № 3 секции НТС отдела 30 (Нанотехнологий) ГНЦ ФГУП «Центр Келдыша» от 22.07.2011 г.

— Научный семинар им. А. Г. Горшкова «Проблемы механики деформируемого твердого тела и динамики машин» в МАИ (под руководством д. ф.-м. н., проф. Д. В. Тарлаковского, д.т.н., проф. Ф.Н.Шклярчука, д.т.н., проф. В.В.Фирсанова).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 5 работ, из них в журналах, рекомендованных ВАК — 3 статьи, также зарегистрирована программа для ЭВМ.

На защиту выносятся

— Прикладные варианты градиентной континуальной модели адгезионных взаимодействий

— Результаты качественного сравнительного анализа известных континуальных моделей адгезии и модели адгезии, построенной в рамках градиентной модели межфазного слоя и демонстрирующей большую строгость и общность.

— Методика выбора допустимой области значений адгезионных параметров в задачах определения эффективных свойств гетерогенных материалов.

— Модель прогнозирования эффективных механических свойств гетерогенных структур с плотной упаковкой типа поликристаллических материалов (керамик, металлов) в рамках градиентной теории упругости с учётом когези-онно-адгезионных взаимодействий.

— Методика идентификации градиентных и адгезионных параметров прикладной модели межфазного слоя на основе метода молекулярной динамики.

— Способ идентификации адгезионных характеристик на основе измерения парметров волнообразования на поверхности твёрдых тел.

— Модель тонких пластин Кирхгоффа с адгезионно-активными поверхностями в рамках градиентной теории межфазного слоя.

— Алгоритм приближённого учёта градиентных и поверхностных эффектов при определении эффективных механических свойств композитных микроструктур, использующий синтез градиентных моделй и подходов механики композитов (приложения получены для волокнистых функциональных композитов и композитов со сферическими микро и нановключениями).

Объём и структура работы

Диссертационная работа состоит из введения, двух глав, заключения и списка литературы. Она содержит 160 страниц, из них 10 занимает список использованных источников. Список используемой литературы включает 126 наименований (из них 97 на иностранном языке).

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность научных исследований, изложенных в диссертации, сформулированы цель исследования, научная новизна, практическая и теоретическая ценность работы. Также во введении приведён обзор существующих моделей и подходов к моделированию поверхностных и адгезионных эффектов в механике сплошных сред.

В первой главе диссертации изложены теоретические аспекты теории адгезионных взаимодействий. Продемонстрирован вариационный подход к построению континуальных энергетически-согласованных моделей адгезии. Получены вариационные

формулировки известных моделей адгезии (модель поверхностного натяжения и «пружинная» модель). Показано, что модель поверхностного натяжения, построенная с использованием гипотезы Янга-Лапласа является частным случаем «обобщённой модели идеальной адгезии». Потенциальная энергия деформаций в модели с учётом поверхностных эффектов представляется в виде:

С/ = — Г Г Г С- ££ с1У + -&А.. ЕБ

^ ЗИ У"'»!/""' 2 Л (/«т у и«'

где Су„т = + + 5т5]п) - классический тен-

зор модулей упругости, А■ — тензор поверхностных модулей упругости, являющийся в общем случае трансверсально-изотроп-ным. В случае неповрежденной поверхности собственные свойства адгезионных взаимодействий (свойства «идеальной адгезии») определяются тензором А^пт , имеющим вид:

((<*,„ -■П,пя)(бр, -п]пт)+ (д1т -п,п„,)(£,,, -.п}п„))■+ +/" (К - «Л, )(£,,„ " ) - - п,пя ){б}п - П]П„))

л р р

Здесь: Я и /Л — поверхностные аналоги классических параметров Ламе, % — поверхностный параметр, связанный с несимметричными эффектами на поверхности, 8 — параметр, определяющий собственную изгибную жёсткость поверхности, 8~ — символ Кронекера, /7 — нормаль к поверхности среды.

Очевидно, что «поверхностное натяжение» определяется параметром Я . Параметр 8 описывает эффекты типа капиллярности и определяет угол мениска. В диссертации показывается необходимость учёта данного параметра, дается идентификация остальных параметров модели. Указывается на различие в постановках краевых задач, получаемых в рамках используемого вариационного подхода и традиционной поста-

новки обобщённой феноменологической модели Янга-Лапласа. При этом показано, что модель «идеальной» адгезии в общем случае полностью включает в себя модель Янга-Лапласа (последняя модель может быть получена на основании предельного перехода).

Приводится вариационная постановка модели градиентной модели межфазного слоя с учётом адгезии. Показано, что в рамках градиентной модели адгезионные эффекты с одной стороны являются следствием учёта полей дефектов в объёме среды, а с другой стороны определяются параметрами модели «идеальной» адгезии. Таким образом адгезионная модель межфазного слоя полностью включает в себя модель «идеальной» адгезии (следовательно и модель Янга -Лапласа), расширяя её путем учёта адгезионных эффектов «поврежденной адгезии», которые определяются параметрами, входящими в неклассические граничные условия градиентной модели (по нормали к поверхности). Тензор адгезионных модулей в случае градиентной теории межфазного слоя, построенной с использованием обобщенной гипотезы Аэ-ро-Кувшинсткого, обладает шестью независимыми компонентами. Дополнительные слагаемые представления тензора адгезионных модулей имеет следующий вид:

Дополнительные физические константы А, В связаны с учётом повреждённости деформируемой среды и определяют нормальную и сдвиговую компоненты «повреждённых» адгезионных свойств. Показывается, что структура этих компонент тензора адгезионных модулей такова, что константы А, В входят в неклассические граничные условия градиентной модели.

На основе вариационной постановки задачи для контактирующих сред показана принципиальная возможность существования отрицательных значений поверхностных физических модулей, так как в этом случае поверхностные модули контактирующих фаз входят в вариационную постановку задачи в виде разности (с учётом, что выполняется кинематическое условие контакта):

Где А1]тп - А)]пт - А.]пт — тензор адгезионных модулей контактной поверхности.

Важно отметить, что исходные поверхностные модули в тензорах А^пт и А~-пт являются всегда положительным, чтобы обеспечить положительную определённость потенциальной энергии. Между тем, модули тензора Д;-,7Ш, характеризующие контактную поверхность могут быть как положительными, так и отрицательными, вследствие их определение через разность исходных адгезионных параметров.

Дана физическая трактовка адгезионных модулей, т. е. указан их физических смысл, указана их аналогия с классическими физическими модулями упругости. Для получения физической трактовки поверхностных модулей рассмотрена задача одноосного растяжения, чистого сдвига и чистого изгиба тонкой пластины с учётом адгезии. В частности получены следующие выражения для характеристик жёсткости пластины с учётом поверхностных эффектов: Е" = /?(Я

+ 2/.;) + (А г + 2 г ) — «эффективный» модуль Юнга

пластины;

в' =А(/лИ + /)

— «эффективный» модуль сдвига пластины;

2ц)И' + + 2^|/г)/12^12 —«эффективная» цилиндрическая жёсткость пластины с учётом адгезионных свойств её поверхностей.

Из полученных выражений следует, что поверхностные модули отличаются по размерности от классических физических модулей на размерность длины.

Во второй главе диссертации рассмотрены модельные задачи с учётом адгезии, которые имеют и прикладное интерес. Для получения аналитических представлений, удобных для анализа, в этой главе используются одномерные градиентные модели упругости. Проведено исследование прикладной континуальной модели адгезионных взаимодействий в применении к прогно-

зу механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микро- и нановключениями, керамических материалов). Продемонстрирована возможность адекватного описания свойств наноструктрированных сред в рамках континуальных моделей с учётом адгезии. Получена постановка одномерной прикладной модели межфазного слоя с учётом напряжений на поверхности. Показано, что учёт адгезии в рамках одномерной постановки возможен только в рамках градиентных моделей. Лагранжиан двухфазной модели в одномерной постановке, имеет вид: Ь = А—1]\— V2~и{ , где А — работа заданных напряжений, — потенциальная энергия деформирования фаз:

= Г. (х) — перемещения в фазах, — модули Юнга фаз, С. — неклассические масштабные параметры градиентной теории упругости, и^ — потенциальная энергия адгезионных взаимодействий на поверхностях зёрен:

Суммирование проводится по всем границам представительном фрагменте, А — А] — А~, — параметр адгезии характеризующий свойства адгезии контактной пары, и являющийся, с другой стороны, разностью параметров адгезии каждой из фаз.

В рамках тестовой одномерной модели проведено сравнение методов определения эффективных свойств: энергетический метод для Ы-фрагментов, асимптотический метод, метод Эшелби, обобщенный на градиентную модель. Показано, что в отношении учёта адгезии данные методы дают расхождение в решениях, в случае весьма малых размеров включений. При этом решения полностью совпадают без учёта адгезии (рис. 1). Установлено, что адгезионные модули в Ш модели определяют степень дефектности поверхности и описывают неидеальный контакт.

|^(Г;)2+(^2/с,)(г;)2|А, 0=1,2)

£с1т 1-0—.,...

0.« 0.6 11.402 -

О 10 20 50

Ёсп-

2.0

15 -1.00.5 -

0.01

....... Осреднение по методу Эшелби и асимптотическое осреднение

---Метод энергетического осреднения

Рис. 1. Зависимость относительного изменения эффективного модуля композита от параметра адгезии и размера включения

Е1/Е2 = 10, к = 1[лГ1 ],</2 / - ю, А = А / л/2(£, ■ ) = 2

Показано, что для «поврежденной» адгезии в рамках одномерной задачи имеет место «пружинная» трактовка. Определена область допустимых значений адгезионного параметра в зависимости от масштаба структуры. Параметр адгезии можно выразить через жёсткость пружины к, соединяющей фазы и собственные жёсткости фаз:

А^Е^/к,

где — длина пружины.

Дана трактовка адгезионных взаимодействий с точки зрения методов молекулярной динамики, как поврежденность границ контакта. Показано полное соответствие решения, полученного с ис-

0.05 0.10 0.50 1.0(1 5.(Х) 1Ч.1К1

пользованием котинуальной градиентной модели, учитывающей адгезию с решением, найденным с использованием атомистической дискретной модели, в которой взаимодействия задаются потенциалами Леннарда-Джонса (Ь-р и Морзе. Рассматриваются проблемы определения жёсткостей цепочек атомов различных материалов. Идентифицированы градиентный и адгезионный параметры континуальных моделей для различных металлических сплавов.

Показано, что градиентные модели деформирования позволяют адекватно моделировать свойства гетерогенных зернистых структур типа керамик. Установлено, что благодаря учёту адгезионных эффектов, возможно моделировать эффекты изменения модуля упругости керамических материалов в зависимости от размеров зерна.

Решена задача о деформации слоя бесконечной длины с учётом адгезии в плоской постановке. Для решения применялся метод интеграла Фурье. В данной задаче определён характер влияния адгезионных эффектов и допустимые значения параметров адгезии в рамках модели поверхностного натяжения и в рамках градиентной модели с учётом адгезии. Установлено, что обратное преобразование Фурье существует в модели поверхностного натяжения только при положительных значениях поверхностного модуля, в то время, как градиентная модель допускает как положительные, так и отрицательные значения параметра адгезии. Данный факт является существенным с точки зрения моделирования эффектов смачиваемости и несмачиваемости на контактной межфазной границе.

Также в рамках плоской постановки установлено принципиальное отличие модели поверхностного натяжения и общей модели адгезии, связанное с количеством параметров для описания адгезионных эффектов. Установлено, что естественные граничные условия «в точках» являются следствием вариационной постановки модели с учётом адгезионных эффектов и ранее не были учтены при исследовании модели поверхностного натяжения. Показано, что данные выражения, по своему физическому смыслу определяют угол мениска.

Установлено, что в рамках общей модели адгезии возможно моделирование эффекта волнообразования на поверхности твёр-

дых тел. Для этого рассмотрена задача определения собственных форм полупространства с адгезионными свойствами поверхности, в предположении существования перемещений только в направлении нормали.

Получаемая постановка модели содержит единственный адгезионный параметр:

,, о Л tfR (Я+ 2 ju)—7- + /л

dz'

Гр.у. при z = 0:

ö2R

rd2R d2R^

дх2 ду2

= 0

(1 + 2 ju)

&

Sh

V

d2R | d2R dx2

dv2

0

Здесь R(x,y,z) — перемещение в направлении оси Z.

Собственные формы поверхности, в отличие от классической теории упругости, содержат в себе гармонические функции, частота в которых определяется адгезионным модулем §F .

Данный эффект предложен для идентификации адгезионных свойств. Проведено моделирование экспериментов. Идентифицирован параметр адгезии для меди при различной термической обработке (рис. 2).

'20

\SF= 0.0005 И / м (Т = 200") I öF= 0.022 Н / м (Т -300")

для меди

Рис. 2. Результаты идентификации адгезионного модуля для поверхности меди (использованы эксперименты В. Панина, С. Панина и др.)

Исследуются тонкие пластины с адгезионно-активными поверхностями. Проведено качественное сравнение известных моделей адгезии в теории пластин Кирхгоффа и построена модель пластин Кирхгоффа в рамках градиентной модели межфазного слоя. В рамках моделей тонких пластин с учётом адгезии имеют место следующие уравнения равновесия (модифицированные уравнения Софи-Жермен):

- ЗрАм? + р = 0,

п* г*1* /3^1 Пь2 Л 8\82 где: Л =Я- + (А = — + —

Отметим следующие особенности полученной модели. Во-первых, уравнения равновесия содержат в себе оператор Лапласа, то есть в рамках адгезионной теории будет меняться общий вид решений. Известная модель тонких пластин с учётом поверхностного натяжения, построенная в рамках модели Янга-Лапласа, содержит в себе единственный адгезионный параметр Я +2/Л , и не учитывает возможного изменения характера уравнения равновесия для тонких пластин с адгезионными свойствами поверхностей. Данная модель может быть получена из постановка в предположении 8 = 0. Таким образом, получена обобщающая модель адгезии теории тонких пластин. Во-вторых отметим, что при уменьшении толщины пластины, первостепенную роль начинают играть именно адгезионные члены, так как в цилиндрической жёсткости классическая часть стоит при третьей степени толщины пластины, а адгезионная часть стоит при второй степени. Также, для структур, толщина которых составляет несколько атомных слоёв (типа графена), по-видимому, решающую роль начинают играть адгезионную эффекты и задача изгиба такой пластины может быть преобразована к следующему «чисто адгезионному» виду. Уравнения равновесия в этом случае будут иметь вид:

8рКм? + р = 0.

В диссертации проведена оценка адгезионных эффектов для пластин различной толщины. Получены аналитические решения для функции прогибов в рамках различных моделей адгезии в задаче цилиндрического изгиба пластины. Проведено численное исследование влияния адгезионных эффектов на прогибы тонкой пластины. Установлено, что в рамках общей модели адгезии возможно моделирование эффекта наличия собственной жёсткости для пластин, толщиной менее 1 мкм. Установлен эффект влияния градиентного параметра и параметра адгезии на прогибы пластины в прикладной модели межфазного слоя (учёт наличия межфазных слоёв или повреждённости вблизи границ пластины).

В последней части второй главы изложен разработанный приближённый алгоритм определения механических свойств композитов с наноразмерными сферическими и цилиндрическими включениями, учитывающий влияние градиентных, адгезинных и масштабных эффектов. Для учёта изменённой морфологии контактирующих фаз в окрестности границ предложена методика, основанная на реализации классической схемы, которая требует решения классической задачи о сферическом (или цилиндрическом) включении, погружённом в матрицу. С целью учёта специальных свойств межфазного слоя в направлении нормали к поверхности контакта фаз считается, что включение окружено дополнительным промежуточным (межфазным) слоем. Свойства этого дополнительного слоя определяются из градиентного решения, построенного в рамках соответствующей одномерной задачи (растяжение или сдвиг). Для одномерной задачи градиентной теории упругости возможно аналитическое представление решения с учётом локальных и адгезионных эффектов, возникающих в окрестности границ, что, во-первых, существенно облегчает задачу определения свойств межфазного слоя и уменьшает число параметров задачи, а, во-вторых, обеспечивает аналитический учёт масштабных эффектов.

Получена оценка достоверности данной модели на основе сравнения с точным решением по градиентной модели для случая объёмного нагружения (погрешность <10% для включений более 1 нм при объёмном содержании до 10%). Проведено чи-

сленное моделирование эффективных свойств нанокомпозитов на основе предлагаемой модели.

В качестве одного из примеров рассмотрен композит на основе эпоксидного связующего с наполнителем из стеклянной дроби. На рис. 3 представлена зависимость эффективного модуля Юнга композита от объёмной доли включений в случае различных размеров включений. На рис. 4 продемонстрирована возможность учёта масштабных эффектов в рамках модели (зависимость от радиуса включений). И на рис. 5 представлен характер влияния от адгезионных параметров модели на эффективный модуль Юнга.

£е(Г

1: Я =30 им 2: Я =60 нм 3: Я =70 нм 4: Я =70 нм

............4

í

0.0 0.1 02 03 0.4 0.5 Рис. 3. Зависимость эффективного модуля Юнга от объёмного содержания включений

Еж, ГПа

30

-,з

1: К = 0.01 мкм~' 2: К = 1 «км'1 3: К = 100 «км"' 4: К = 00

Я, мкм

0.1 1 10 100 1000 104 Рис. 4. Зависимость эффективного модуля Юнга от размера включений

1: А=0 2: А-20 Н/м 3: А=40 Н/м

0.0 0.1 02 03 0.4 0.5 А Рис. 5. Уменьшение эффективного модуля при учёте «повреждённой» адгезии

ОСНОВНЫЕ ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

Наиболее существенные результаты и выводы, полученные в диссертации:

1. Проведено исследование прикладной континуальной модели адгезионных взаимодействий в применении к прогнозу механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микро- и нановключениями, керамических материалов).

2. Доказана возможность адекватного описания свойств на-ноструктрированных сред в рамках континуальных моделей с учётом адгезии.

3. Доказано, что феноменологическая модель Янга-Лапласа является частным случаем модели «идеальной» адгезии, полученной в рамках вариационного подхода, и может быть получена путём предельного перехода.

4. Показано, что для гетерогенных структур с микро- и наноструктурой адгезионные характеристики могут контролировать эффективные свойства. Определены допустимые значение поверхностных модулей.

5. Проведено моделирование эффекта отклонения от зависимости, аналогичной закону Холла-Петча в отношении жесткостных свойств мелкозернистых материалов.

6. Показана согласованность исследуемой модели с молекулярной динамикой. Проведена идентификация параметров на основе методов молекулярной динамики.

7. Показано, что в континуальная градиентная модель адгезии позволяет адекватно прогнозировать эффекты типа смачивамости (изменение угла мениска) и эффект волнообразования на поверхности твёрдых деформируемых тел. Данный эффект предложено использовать для идентификации адгезионных свойств.

8. Проведено исследование моделей тонких пластин с учётом эффектов адгезии. Построена модель Кирхгоффа тонких пластин в рамках градиентной теории межфазного слоя. Решена задача цилиндрического изгиба адгезионных пластин в рамках различных теорий адгезии и установлена возможность моделирования свойств ультра-тонких пластин и структур типа графена. Также получена постановка теории пластин Тимошенко в рамках градиентной теории межфазного слоя.

9. Предложен способ приближённого учёта масштабных, градиентных и адгезионных эффектов в рамках обобщенной классической процедуры определения эффективных свойств композитов. Показана достоверность данной модели и проведено численное моделирование механических свойств композитов с наноразмерными включениями.

Результаты работы представляют теоретический и практический интерес для механики и материаловедения, могут быть использованы при проектировании и прогнозировании механических свойств композиционных материалов с микро- и нановключени-ями, тонких пластин и тонких плёнок с адгезионно-активной поверхностью, наноструктурирванных керамик и иных материалов с развитой внутренней поверхностью.

Основное содержание диссертации отражено в публикациях:

1. Лурье С. А., Белов П. А., СоляевЮ.О. Адгезионные взаимодействия в механике сплошных сред // Сборник научных трудов «Математическое моделирование систем и процессов». 2008 г. № 16. С. 75—85.

2. Лурье С. А., Соляев Ю. О. Модифицированных метод Эшел-би в задаче определения эффективных свойств со сферическими микро- и нановключениями // Вестник ПГТУ Механика. 2010. № 1. С. 80—90.

3. Соляев Ю. О. Моделирование эффективных механических свойств керамик на основе градиентной теории межфазного слоя // Электронный журнал «Труды МАИ». 2011 г. № 42. http://www.mai.ru/science/trudy/published.php?ID=24316.

4. БадамшинаЭ.Р., ЭстринЯ.И., Кулагина Г. С., Лурье С. А., СоляевЮ.О. Моделирование аномальных механических свойств полиуретана модифицированного углеродными однослойными нанотрубками II Механика композиционных материалов и конструкций. 2010. Т. 16. № 4. С. 551—562.

5. Е.R. Badamshina, Ya.I. Estrin, G.S. Kulagina, S.A. Lurie, Yu. O. Solyaev. Modeling of anomalous mechanical properties of polyurethane modified by carbon single-wall nanotubes // Nanomechanics Science and Technology: An International Journal. 2011. V. 2(1). P. 71—83.

Реферат.

Содержание.

Ведение.

Обзор литературы. МОДЕЛИРОВАНИЕ АДГЕЗИИ В РАМКАХ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО

ТВЁРДОГО ТЕЛА.

1. Вариационная формулировка математических моделей сред на основе кинематического» вариационного принципа.

2. Построение модели классической теории упругости на основе «кинематического» вариационного принципа.

3. Модель адгезии в рамках классической теории упругости.

3.1. Структура тензора поверхностных модулей.

3.2. Трактовка поверхностных модулей.

3.3. Постановка модели с учётом адгезии в рамках классической теории упругости.

Определяющие соотношения модели с адгезией.

4. Модель Янга-Лапласа.

5. Модель неидеальных (пружинных) поверхностей.

6. Построение модели адгезии в рамках несимметричной теории упругости.

7. Структура тензора поверхностных модулей и канонический вид поверхностной потенциальной энергии в рамках несимметричной теории.

8. Деформации тонкой пластины. Аналогия поверхностных и объёмных модулей.

9. Модель общей теории сред с сохраняющимися дислокациями.

10. Модель Аэро-Кувшинского. Обобщённая гипотеза Аэро-Кувшинского.

11. Частные модели сред с сохраняющимися дислокациями.

11.1. Прикладная модель межфазного слоя.'.

11.2. Тензор поверхностных модулей в рамках прикладной теории межфазного слоя.48 .11.3. Прикладная теория межфазного слоя с учётом адгезии. Двумерная, двойная плоская и одномерная постановка модели.

11.4. Модель адгезии в пористых средах.

12. Теорема о единственности решения задачи теории упругости с учётом адгезии.

2. ПРИКЛАДНЫЕ И МОДЕЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ С УЧЁТОМ АДГЕЗИИ.

2.1. Одномерная контактная задача градиентной теории упругости с адгезией.

2.1.1. Задача на растяжение и на сдвиг. Решение.

2.1.2. Метод энергетического осреднения. Физический смысл градиентного параметра.

2.1.3. Метод энергетического осреднения в модели N-фрагментов.

2.1.4. Метод асимптотического осреднения. «Пружинная» аналогия для адгезионных эффектов.

2.1.5. Метод Эшелби (метод трёх фаз).

2.1.6. Сравнение методов осреднения. Результаты численных экспериментов.

2.1.7. Допустимые значения параметра адгезии. Повреждённая адгезия.

2.1.8. Трактовка «повреждённой» адгезии с точки зрения молекулярной динамики в рамках одномерной модели.

2.2. Моделирование механических свойств поликристаллических мелкозернистых материалов на основе известных экспериментальных данных.

2.3. Задача о нагружении бесконечного слоя с учётом поверхностного натяжения.

2.3.1. Постановка задачи.

2.3.3. Проверка сходимости обратного преобразования Фурье.

2.4.Двойная плоская постановка задачи о слое конечной длины с адгезионно-активными поверхностями. Сравнение с моделью Янга-Лапласа. Уравнение мениска.

2.5. Собственные формы в задаче о деформировании полупространства.

Волнообразование. Идентификация параметров адгезии.

2.6. Теория тонких пластин с учётом адгезии.

2.6.1. Модель Кирхгоффа с учётом поверхностных эффектов.

2.6.2. Модель Кирхгоффа тонких пластин в рамках прикладной модели межфазного слоя.

2.6.3. Цилиндрический изгиб шарнирно-опёртой пластины с учётом адгезии. Оценка неклассических эффектов.

2.6.4. Модель Тимошенко пластин с адгезией. Общая постановка.

2.7. Прикладные модели композитов со сферическими и цилиндрическими включениями с учётом межфазного слоя, масштабных и адгезионных эффектов модифицированный метод Эшелби).

2.7.1. Оценка механических свойств межфазного слоя.

2.7.2. Определение эффективных характеристик композита,, армированного* сферическими и цилиндрическими включениями.120 >

2.7.3. Определение эффективного модуля объемной деформации композита со сферическими включениями.

2.7.4. Определение эффективного модуля сдвига композита со сферическими нановключениями.

2.7.5. Примеры численного моделирования эффективных свойств композитов со сферическими нановключенями.

2.7.6. Моделирование эффективных характеристик композита с волокнистыми нановключениями:.

2.7.7. Объёмное нагружение в плоскости поперечного сечения волокон (определение эффективного объёмного модуля).

2.7.8. Сдвиг в плоскости поперечного' сечения волокон. (Определение эффективного модуля сдвига поперёк волокон).

2.7.9. Сдвиг в направлении оси волокон (определение эффективного модуля» сдвига вдоль волокон).

2.7.10. Задача об одноосном растяжении', вдоль оси цилиндра (определение эффективного модуля Юнга и эффективного коэффициента Пуассона композита).

2.7.11. Примеры численного моделирования эффективных свойств волокнистых композитов в рамках модифицированного метода Эшелби.

2.7.12. Оценка достоверности приближённой модели. Сравнение с точным решением для эффективного модуля объёмных деформаций.

2.7.13. Влияние межфазного слоя на распределение напряжений в представительном фрагменте композита.

2.7.14. Моделирование . влияния- волокон с покрытиями и волокон, модифицированных углеродными «усами».

В настоящее время существует несколько подходов к построению моделей сред с учётом свойств поверхностей (адгезионных свойств). Во-первых, существует подход к моделированию адгезионных (поверхностных) взаимодействий в рамках механики деформированного твёрдого тела основанный на введении дополнительных определяющих соотношениях на поверхности сред. В моделях такого типа предполагается, наличие поверхностных напряжений, связанных с деформациями дополнительными определяющими соотношениями. При этом поле перемещений и деформаций в среде сохраняется непрерывным. По заданным физическим соотношениям строится потенциальная энергия, которая включает в себя дополнительную поверхностную часть, связанную с поверхностными напряжениями.

С другой стороны, в настоящее время развивается вариационный подход к построению моделей континуальных сред и, в том числе, моделей адгезии, основанный на «кинематическом» вариационном принципе. Данный подход позволяет по заданным кинематическим связям в объёме среды и на поверхности определить вид объёмной плотности лагранжиана модели, в предположении линейности процессов. Определяющие соотношения модели следуют из формул Грина, как условия существования потенциальной энергии. Постановка задачи и естественные граничные условия следуют из условия стационарности лагранжиана. Отметим, что в моделях адгезии, аналогично с классическим обобщённым законом Гука, физические соотношения на поверхности вводятся (или следуют из общего вида потенциальной энергии), как линейные соотношения между соответствующим типами деформаций и напряжений. Коэффициенты пропорциональности в данных соотношениях называются поверхностными модулями.

Одна из задач диссертации состоит в сравнении описанных двух подходов к построению моделей адгезии и демонстрации возможностей вариационного подхода к построению энергетически согласованных обобщённых моделей сред с учётом адгезии, учитывающих наиболее полный спектр поверхностных взаимодействий.

В рамках диссертации будут рассмотрены прикладные вопросы моделирования эффективных механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микро- и наноструктуре, керамик).

В первом разделе диссертации изложены теоретические' аспекты теории адгезии. Продемонстрирован вариационный подход к построению континуальных энергетически-согласованных моделей адгезии. Получены вариационные формулировки известных моделей адгезии (модель поверхностного натяжения и «пружинная» модель). Показано, что модель поверхностного натяжения, построенная с использованием гипотезы Янга-Лапласа является частным случаем «обобщённой» модели адгезии. Также продемонстрирована техника построение градиентной модели межфазного слоя с учётом адгезии. Показано, что в рамках градиентной модели адгезионные эффекты являются следствием учёта полей дефектов в объёме среды и адгезионная градиентная модель полностью включает в себя классическую модель адгезии, при этом расширяя её на учёт адгезионных эффектов по нормали к поверхности. Также в первом разделе изложен физических смысл и трактовка адгезионных модулей, показана их аналогия с классическими физическими модулями.

Во втором разделе диссертации рассмотрены важные с прикладной точки зрения модельные задачи с учётом адгезии. Проведено исследование прикладной континуальной модели адгезионных взаимодействий в применении к прогнозу механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микро- и нановключениями, керамических материалов).' Продемонстрирована возможность адекватного описания свойств наноструктрированных сред в рамках континуальных моделей с учётом адгезии. Доказывается, что известные ранее модели адгезии являются частным случаем общей модели адгезии и могут быть получены на основе предельного перехода. Исследуется влияние адгезионных параметров на эффективные свойства гетерогенных структур. Определены допустимые значение поверхностных модулей. Проведено моделирование эффекта отклонения от закона Холла-Петча в отношении жесткостных свойств мелкозернистых материалов. Показана согласованность исследуемой модели с молекулярной динамикой. Проведена идентификация параметров на основе методов МД. Показано, что в рамках одномерной модели с учётом адгезии возможно моделирование угла мениска и эффекта волнообразования на поверхности твёрдых тел. Данный эффект предложен для идентификации адгезионных свойств. Проведено качественное исследование моделей тонких пластин с учётом адгезии. Построена модель Кирхгоффа тонких пластин в рамках градиентной теории межфазного слоя. Решена задача цилиндрического изгиба адгезионных пластин в рамках различных теорий адгезии и установлена возможность моделирования свойств ультра-тонких пластин и структур типа графена. Предложена приближённая модель учёта масштабных, градиентных и адгезионных эффектов. Показана достоверность данной модели и проведено численное моделирование механических свойств композитов с наноразмерными включениями.

В нижеследующем разделе приведён обзор основных работ, относящихся к тематике диссертации.

ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ

Поверхностные свойства и энергия поверхностного взаимодействия являются одним из ключевых факторов, определяющих характеристики и свойства наноструктурированных материалов (композиты с микро- и наноразмерными включениями, слоистые структуры, тонкие плёнки, покрытия и др.) используемых в современном машиностроении.

Построение моделей сред с учётом свойств свободных и внутренних межфазных поверхностей является важной задачей, решаемой, в настоящее время, с помощью-различных подходов, таких как: термодинамическая теория поверхности, теория упругости с учётом поверхностных взаимодействий, градиентная теория упругости, контактная теория упругости, трибология, физика и химия поверхности и Др.

Исторически, первые работы по исследованию поверхностных явлений относятся к 17-18 векам [1,2], когда впервые было введено понятие поверхностного натяжения для жидких сред. Позднее, теория поверхностного натяжения получила развитие в работах Юнга[3], Лапласа [4], Пуассона [5] и др., на основании представлений о межмолекулярных взаимодействиях. Понятие поверхностной энергии впервые было введено Гауссом в 1830 году [6]. Классическая термодинамика поверхности была сформулирована Гиббсом в работе 1876 года [7]. Дальнейшее развитие термодинамическая теория поверхности получила в работах Шатлворта [8], Херинга[9], Орована[ 10], Каммарата[ 11] и др.

МОДЕЛЬ ПОВЕРХНОСТНОГО НАТЯЖЕНИЯ (ОБОБЩЁННЫЙ ЗАКОН

ЛАПЛАСА-ЯНГА).

Модель среды с учётом поверхностных эффектов в рамках теории упругости впервые была предложена в работах Гуртина и Мурдоха [12,13], где для учёта поверхностных эффектов были использованы модифицированные контактные условия в виде закона Лапласа-Янга.

На контактной поверхности ставилось условие, связывающее скачок в нормальных напряжениях с дивергенцией поверхностных напряжений: [а]-п = -75Т где [с] = сг2 — ох - разность напряжений на границе в контактирующих фазах; п -внешняя нормаль к поверхности; V5т- дивергенция тензора поверхностных напряжений.

Определяющие соотношения были заданы по аналогии с классическим законом Гука в объёме среды, в виде линейного соотношений между поверхностными напряжениями и деформациями. При этом взаимодействия на поверхности характеризовались двумя поверхностными упругими модулями, и, кроме этого, в определяющие соотношения был добавлен параметр, отвечающий за поверхностное натяжение, благодаря чему из модели следовало, что на границе среды всегда присутствуют напряжения поверхностного натяжения, даже в отсутствии деформаций. о, =т°4- + 2(я,-Т°)£и,

Где т°- поверхностное натяжение среды действующее в отсутствии внешних нагрузок, Я5- поверхностные аналоги коэффициентов Ламе, , (Т^ - тензор деформаций и напряжений на поверхности среды, 8 -символ Кронекера.

При этом деформации поверхности определялись, как деформации на границе среды, получаемые из решения уравнения равновесия в объёме среды, то есть на границе выполнялось условие полного контакта среды по перемещениям. В рамках описанного подхода, граничные условия отличаются от классических и включают в себя поверхностные напряжения. Упругие поверхностные постоянные не зависят от объёмных характеристик среды и являются новыми физическими постоянными среды, которые, по своему физическому смыслу, зависят только от характера межатомных взаимодействий на поверхности среды.

Обобщённый закон Лапласа-Янга, в котором учитывается как скачок в нормальных напряжениях, так и скачок в касательных напряжениях на границе сред, был предложен в работе [14]. п'[&]-п = —т\к

Р = /(2) — п ® п - тензор проекции на поверхность контакта, /(2) - определяющий тензор второго порядка в трёхмерном пространстве, к - тензор кривизн.

В работах 115,16] были введены определяющие соотношения на поверхности в виде тензорных соотношений между напряжениями и деформациями:

• + Зу„т£пт П5] И ^ [16]

Где■■ 8ут-тензор поверхностных модулей.

В случае изотропной поверхности и определяющие: соотошения записываются в виде [15]: " '

Для изотропной поверхности, в рамках классической теории упругости тензор упругих поверхностных модулей содержит два физических5 модуля, отвечающих за деформации растяжения и; сдвига (соответственно, Л3 и Таким образом, было показано, что на: поверхности возможны не только деформации растяжения (поверхностное натяжение), как было в термодинамической теории; поверхности, но и деформации, сдвига. Более полный- вариант определяющих соотношений на поверхности был предложен в работе. [17], где было показано, что тензор поверхностных модулей упругости для изотропной поверхности содержит в себе три постоянные, отвечающих; за деформации'растяжения, сдвига и изгиба поверхности. В случае нессиметричной теории упругости (среда Коссера) присутствует также четвёртый поверхностный; параметр,, отвечающий за спиновые деформации. Поверхностные модули могут быть как положительными,.так и отрицательными, в зависимости от свойств контактирующих поверхностей [15]. Вычисление или. экспериментальное получение значений поверхностных модулей является отдельной важной задачей в механической теории поверхности. Примеры вычисления поверхностных упругих модулей на основе молекулярной динамики! для свободной

10 поверхности алюминия можно найти в работе [15,18]. Другой подход к вычислению поверхностных характеристик основан на их сопоставлении с характеристиками межфазного слоя конечной толщины и вычислении скачка в напряжениях или перемещениях при переходе через поверхность контакта, как разность между значениями напряжений или перемещений на границах межфазного слоя (см., например, работы [19-22]).

Подробное обсуждение вопроса об определении поверхностных характеристик также можно найти в работах [13, 15, 23].

Начало широкого применения теории упругости с учётом поверхностных эффектов к решению прикладных задач относится к 90-ым годам двадцатого века, когда возникла потребность прогнозирования свойств микро- и нано структурированных сред и композитов с наноразмерными включениями (фуллеренами, наноразмерными порами, углеродными нанотрубками и проч.). Приведённая выше модель, основанная на введении в качестве модифицированных граничных условий обобщённого закона Лапласа-Янга в форме, приведённой в [14] и на добавлении определяющих физических соотношений на поверхности [16], нашла широкое применение при моделировании наноструктурированных сред и сред с нановключениями, так как модель позволяет учитывать масштабные эффекты [15, 2429]. Масштабными параметрами модели являются кривизны, входящие в обобщённый закон Лапласа-Янга, и поверхностные модули, размерность которых отличается от физических модулей в объёме на масштаб длины [27]. В работе [35] приводится решение задачи об определении эффективного модуля Юнга пористого материала, и оказывается, что при учёте свойств внутренних поверхностей пор эффективный модуль зависит от размера пор. Этот результат принципиально не может быть получен в рамках классической механики композитов, где влияние пор учитывается только через их объёмное содержание в материале. В работе [27] приводятся данные по моделированию композита с нановключениями и демонстрируется зависимость механических постоянных от масштабных параметров задачи. В статье [29] показано, что тензор Эшелби в задаче удалённого включения, погруженного в матрицу, будет включать в себя масштабные параметры, а именно кривизны контактной поверхности. Также, в [29] показано, что в отличие от классической теории упругости, при учёте поверхностных свойств, однородное напряжённое состояние во включении при однородном внешнем поле напряжений реализуется только в случае включений с постоянной кривизной, а именно в сферических и цилиндрических включениях.

В работе [106] были получены решения в замкнутой форме для определения эффективных модулей упругости среды со сферическими включениями в рамках самосогласованного метода и метода Мори-Танака.

В работах [107,108] решались задачи динамики в применении к колебаниям нанозёрен [107] и наночастиц [108], исследовались собственные частоты наночастиц с учётом поверхностных напряжений.

Во многих работах на основе модели с учётом поверхностных свойств решаются задачи о моделировании свойств нанообъектов. В частности, в работах [15, 24, 25, 30, 31] решается задача о моделировании упругих свойств нанотрубок с учётом свойств поверхностей.

Применение модели в области пористых материалов демонстрируется в [27, 3235].

Определение эффективных свойств и НДС в различных гетерогенных материалов является перспективной и важной задачей в рамках моделей с учётом адгезионных взаимодействий. В работах [109-113] определялись величины поверхностных напряжений, возникающих на границах контакта фаз в слоистых полимерных [109] и металлический [110-113] структурах.

Задачи термоупругости с учётом поверхностных свойств сред впервые были рассмотрены в работах [36, 37], и в дальнейшем развивались в работах [38-44]. В работе [44] решена задача об определении эффективного коэффициента термического расширения (КТР) композита с нановключениями и получена формула Левина, связывающая КТР и модули упругости композита, и соотношение Хилла для композита с волокнами (формулы связи между эффективными упругими характристиками волокнистого материала) с учётом поверхностных эффектов.

Модель тонких пластин с учётом адгезионных эффектов в рамках теории Кирхгоффа впервые была построена в работах [17]. Вариант модели с учётом только поверхностного натяжения и без учёта изгибных свойств поверхностей был также изложен в работе [45]. В указанных статьях был впервые отмечен важный вклад адгезионных параметров в упругие свойства тонких пластин. Было показано, что при учёте адгезии видоизменяется как цилиндрическая жёсткость пластины [17] и [45],

12 так и общий вид уравнений равновесия модели [17]. При этом влияние адгезионных эффектов увеличивается именно для пластин малой толщины и становится определяющим для наноразмерных пластинчатых объектов. Модель теории оболочек с учётом поверхностных напряжений исследовалась в работах [114, 115].

Адгезионные модули являются масштабными параметрами модели, так как имеют размерность, отличную от размерности модулей упругости в объёме (Н/м) и позволяют учитывать масштабные эффекты. Закон масштабирования, в рамках модели поверхностного натяжения был получен в работах [116,117] и также обсуждался в работе [118], в применении к задаче о нановключении. Для случая нелинейной деформации с учётом поверхностных эффектов закон, масштабирования был получен в работе [119].

Существование формализма Эшелби для модели поверхностного натяжения было показано в работах [120, 121] в задачах сферического и цилиндрического включения. По аналогии с классической моделью, было доказано существование однородного поля напряжений внутри включения, обладающего собственными поверхностными свойствами, в случае наличия заданного однородного поля напряжений на бесконечности.

В работе [122], был проведён анализ влияния поверхностных напряжений на деформации вблизи эллиптической поры и было получено аналитическое решение данной задачи. I

Вариант метода конечных элементов с учётом поверхностных эффектов был предложен в работе [123] , где к общей потенциальной энергии среды была добавлена потенциальная энергия поверхностных деформаций. В данной работе было проведено моделирование деформационного поведения металлов в упругой и пластической зоне, и было показано, что в случае пластичности эффекты адгезии начинают играть роль для масштабов структуры порядка десятков микрон, а в случае упругости поверхностные эффекты оказывают существенное влияние для структуры с масштабом порядка десятков наноматеров.

Модели с учётом поверхностного натяжения также применяются в рамках механики разрушения. Аналитические решения задач с трещиной в рамках модели поверхностного натяжения были получены в работах [124, 125] и было показано, что в случае учёта поверхностных эффектов, напряжения в вершине трещины остаются конечными.

Также следует отметить работу [126], где выполнен обзор по публикациями, посвященным моделям с учётом поверхностного натяжения.

Можно отметить следующие недостатки модели поверхностных напряжений. Во-первых, с точки зрения механики сплошных сред, модель не является энергетически согласованной, так как при построении модели не вводится функционал энергии, и не записывается лагранжиан, .из которого следуют уравнения модели. Поэтому граничные условия модели не являются естественными граничными условиями, а являются искусственно видоизменёнными классическими граничными условиями, при том, что разрешающее уравнение в объёме (уравнение Эйлера) сохраняет классический вид.

Граничные условия, которые используются в модели поверхностных напряжений, обладают повышенным порядком по сравнению с классической постановкой, так как в закон Лапласа-Янга входит дивергенция от поверхностных напряжений. Поэтому разрешающие уравнения в объёме среды (которые остаются классические) и граничные условия модели являются дифференциальными уравнениями второго порядка. Как будет показано далее, классические методы решения (метод разделения переменных) не позволяют построить решение такой граничной задачи, а приближённые методы (метод Ритца, метод конечных разностей) дают расходящиеся или некорректные решения. Те решения, которые приводятся, например, в работе [27] являются «слабыми» (интегральными) решениями, так как, не определяя неизвестные функции перемещений (напряжений), авторы строят средние напряжения и деформации присутствующие в среде, через которые' находят эффективные модули.

В недавней работе [46], проводится исследование о возможности построения «слабых» решений в рамках модели с поверхностными напряжениями. Под «слабыми» здесь подразумеваются решения, полученные на основе приближённых вариационных методов. В результате доказывается теорема существования решения в рамках модели поверхностного натяжения в случае положительных значений адгезионных параметров. Отметим, что в настоящей диссертации данный результат подтверждается численными вычислениями. Однако, будет приведён пример использования отрицательных значений' параметра адгезии, в рамках модели градиентной с учётом адгезии и будет показана возможность получения решения для данной модели. Следует отметить важный факт, что поверхностные свойства могут

14 вносить как упрочняющий эффект в общие свойства среды, так и разупрочняющий (поверждения, на поверхности или дополнительная; нагрузка вследствие действия; поверхностного натяжения). Учитывая только положительные значения параметров адгезии в рамках классической модели мы. не можем моделировать наличие разупрочняющих эффектов, и данный недостаток может быть устранён в рамках градиентных моделей.

Ещё; одним очевидным недостатком модели с поверхностными- напряжениями является? тот факт, что модель предсказывает отсутствие: адгезии4 в случае однородного поля перемещений- в среде: (например, если считать одно из контактирующих ^ел абсолютно твёрдым, то все адгезионные; эффекты- в; решении? задачи, исчезают). •

Кроме этого^. введённый'обобщённый закон! Лапласа-Янга, введённый, в работе [14], В1 действительности, не является- полным и не учитывает все: возможные;: деформации наповерхности:среды. В частности, он не учитывает изгибной;жёсткости' поверхности. В работе: [17] показано; что'более, последовательное введение обобщённого закона Гука, на поверхности- среды, с. учётом: всего спектра-поверхностных взаимодействий; позволяет отказаться от искусственного введения * дополнительных: соотношений- на границе сред, и; получить обобщённый^ закон Лапласа-Янга в качестве естественного граничного * условия в направлении1; нормали к поверхности среды. .

Более подробное рассмотрение этого вопроса можно найти в статье [17]. Также в работах [48, 49] показано, что для градиентных моделей адгезионные эффекты являются: неотъемлемым: составляющими и являются следствием градиентной! постановки; задачи; При этом, расширяется список адгезионных параметров: до 6 (включаются новые параметры; определяющие межфазные взаимодействия на поверхности в направлении нормали) и даётся:; трактовка адгезионных параметров-, как выход полей- дефектов на поверхность среды, вследствие чего возникают эффекты адгезии. Отметим, что градиентные, теории^ в работах [48;, 49] строятся на основании последовательной постановке моделей1 с учётом полей дефектов различного типа. При. этом используется г вариационный? подход и кинематический вариационный, принцип- которые также будут: использованы в настоящей диссертации для построения и исследования моделей адгезии.

Решение проблемы адгезионных эффектов в случае однородного поля или отсутствия деформаций в среде возможно в рамках'микрополярной теории [46-48]. При учёте свободных поворотов точек среды тела в тензоре поверхностных упругих модулей, появляется дополнительный адгезионный параметр, связанный с взаимодействиями между точками среды при спинорных деформациях [17]. Таким образом, в случае отсутствия трансляционных перемещений, в среде может реализовываться адгезия, связанная с поворотами точек среды.

Ещё один недостаток, который является общим для всех моделей, претендующих на описание наноструктурированных сред, заключается в том, что неочевидным является сам факт существования поверхностного натяжения на поверхности наноразмерных включений.

Один из важнейших результатов,- получаемых в результате учёта поверхностных свойств в рамках классической теории упругости, является зависимость напряжённо-деформированного состояния и эффективных характеристик среды от масштабных параметров задачи. Между тем, как показано в работах [48-52], модели микрополярных сред также позволяют учитывать масштабные факторы без введение поверхностных свойств. Очевидно, что более полный вариант модели среды, будет учитывать и наличие свободных поворотов точек среды (микрополярность), и поверхностные свойства. Пример такой модели построен в работах [48-450].

Отметим также, что на се1 одняшний день исследования в области континуальных моделей адгезии нося г больше теоретический характер. Существующие работы относятся либо к фундаментальной области теории адгезии либо содержат в себе некие общие прогнозы по свойства сред с адгезионными свойствами. Одна из задач настоящей диссертации заключалась в получении прикладных результатов по исследованию свойств конкретных реальных современных наноструктурированных материалов (композитов, покрытий, пластин и др.) и демонстрации возможностей континуальных моделей в описании механических свойств данных сред, для которых адгезионные и поверхностные свойства, зачастую, играют определяющую роль.

МОДЕЛЬ «ПРУЖИННОЙ» (НЕИДЕАЛЬНОЙ) ПОВЕРХНОСТИ.

При использовании в качестве модифицированных граничных условий закона Лапласа-Янга предполагалось наличие разрыва в напряжениях на контактной границе сред, и выполнение условия равенства по перемещениям.

Модель «пружинной» поверхности (или LSM - Linear Spring Model), наоборот, подразумевает наличие непрерывности напряжений на контактной границе и скачок [и] в перемещениях. Три компоненты вектора перемещений считаются пропорциональными соответствующим поверхностным взаимодействиям, то есть вводится аналог сил действующих при растяжении пружины. Коэффициенты пропорциональности при этом являются характеристиками контактной поверхности [47, 55].

Пружинная» модель впервые была предложена в 1975 году, практически одновременно с .созданием модели поверхностных напряжений, в работе [56], и в дальнейшем была развита в работах [57-61]. В работах Хашина [60, 61] была дана трактовка, в соответствии с которой, разрывные граничным условия по перемещениям соответствуют тонкому податливому межфазному слою, а коэффициенты пропорциональности «пружинных» сил могут быть выражены через упругие постоянные и толщину межфазного слоя.

Вариационная формулировка модели неидеальной поверхности была дана Хашином [62], а также в работе [63]. Отметим, что в рамках «пружинной» модели сложным вопросом является построение функционала энергии, так как в случае учёта на поверхности среды пружинных эффектов, энергия среды будет зависеть от перемещений, что не соответствует известным экспериментальным данным. Однако, считается, что можно показать, что может быть найдено определённое подпространство решений, в которм энергия не будет зависеть от перемещений. Поэтому формально считается, что энергия сред с «пружинной» адгезией может быть построена.

Попытка расширить модель для описания жёстких межфазных слоёв была предложена в работе [64]. В работе [65], был предложен подход к определению термоупругих свойств среды с «пружинными» поверхностями.

Считается [47], что два приведённых подхода с разрывом в напряжениях и с разрывом в перемещениях отражают различное строение приповерхностного слоя в исследуемых материалах. Модели с законом Лапласа-Янга соответствует тонкий и

17 жёсткий поверхностный слой, а модель со скачком перемещений соответствует тонкому мягкому поверхностному слою [47]. Таким образом, обе модели используются для моделирования адгезионных и масштабных эффектов, но область их применения ограничена материалами с тонким межфазным слоем. Этот недостаток модели может быть устранён в рамках градиентной модели [48-50], в которой помимо поверхностных свойств, учитывается также изменение морфологии приповерхностного слоя (локальные «когезионные» эффекты).

МОДЕЛИ АДГЕЗИИ, ПРИМЕНЯЕМЫЕ В КОНТАКТНЫХ ЗАДАЧАХ.

Одним из способов описания адгезии является подход, основанный на учёте адгезионных взаимодействий, как внешних притягивающих сил, действующих на границе контактирующих тел. Преимущественно этот подход находит применение в контактных задачах (например, в задаче1 о внедрении штампов различной формы в упругое полупространство)(см. например[66-72]) и в задачах трибологии [73-78].

В настоящее время существует несколько теоретических приближённых моделей адгезии, имеющих свои области применимости и дающие различные поправки к решению задачи Герца (о контакте 'двух упругих тел с искривлёнными поверхностями) [79].

Исторически, первым был предложен, так называемый, подход DMT (Дерягин, Мюллер, Торопов) в 1975 году [66, 67]. Модель DMT применима для контактирующих тел с малым радиусом'закругления и большой жесткостью. Этот подход основан на учете сил Ван-дер-Ваальса по периметру контактной площадки, которые уменьшают силы упругого отталкивания и приводят к дополнительному притяжению между контактирующими телами. При этом считается, что для макроскопичеких тел геометрия деформированных поверхностей мало отличается от той, что дает решение задачи Герца.

Другой подход к моделированию адгезии в контактных задачах называется JKR подходом (Johnson, Kendall, Roberts). Впервые он был предложен в статье [80] в 1971 в задаче контакта двух сфер с учётом поверхностного взаимодействия. В соответствии с данным методом, предполагается, что в отсутствие внешних сил, прижимающих сферы друг к другу, площадка контакта обладает не нулевой площадью, то есть между сферами существуют адгезионные притягивающие силы. С физической точки зрения, наличие контактной площадки соответствует состоянию

18 равновесия, которое возникают в результате взаимодействия между отдельными атомами и молекулами обеих тел. Таким образом, при уменьшении расстояния между телами возникают расталкивающие силы, а при отрыве возникают силы адгезионного сцепления. При постановке задачи по модели JKR, вводится плотность поверхностной энергии взаимодействия между сферами, которая характеризуется единственным параметром, и которая, по своему смыслу, является энергией образования единицы новой поверхности при отрыве сфер друг от друга. Далее прикладываются внешние сжимающие силы, и из условия- баланса энергии упругих деформаций сфер, работы внешних сил и энергии поверхностного взаимодействия выводятся уравнения равновесия, с учётом сил адгезии. Таким образом, в модели JKR присутствуют внешние притягивающие силы, действующие на контактной поверхности между фазами. По своему физическому смыслу эти силы являются короткодействующими (обладают нулевым радиусом действия), так как действуют только в пределах контактной площадки при полном контакте фаз. Традиционно, считается, что модель JKR хорошо описывает контактные задачи для макроскопических объектов, у которых радиус кривизны поверхности достаточно велик, а материал хотя бы одного из 'контактирующих тел должен обладать достаточно малой жёсткостью, чтобы деформироваться под действием относительно слабых адгезионные силы. Так, в статье [80], полученное точное решение проверяется в эксперименте с резиновыми шариками. Кроме этого, для жёстких тел реальная область контакта оказывается меньше кажущейся области контакта, вследствие наличия неровностей на поверхности, что не позволяет использовать модель JKR [81].

Важно отметить статью [82], где используется JKR модель для описания контакта тел с изменяющимися свойствами по направлению нормали к границе тела. При этом обнаруживается эффект падения напряжений в области контакта, по сравнению с гомогенными материалами, и в то же время увеличивается рассеивание энергии через трение. Эта модель близка по своему смыслу к когезионно-адгезионной модели механики композитов, и представляется интересным сравнить результаты, полученные авторами в области трибологии с аналогичными результатами для когезионно-адгезионной модели в области механики композитов.

Наиболее общим подходом к описанию адгезии является механика Маугиса-Дюгдейла (MD) [83], предложенная в 1992 году, которая включает в себя как DMT, так и JKR модели. Как показано в [84], модели JKR и DMT являются предельными

19 случаями модели Маугиса в зависимости от отношения значения адгезионных сил к внешней приложенной нагрузке, поэтому большинство экспериментов могут быть описаны с помощью модели MD. Однако для упрощения вычислений для макроскопических тел с небольшой жёсткостью приемлемо использовать модель JKR, а для тел нано- и микромасштаба, обладающих высокой жёсткостью более точные оценки даёт модель DMT [84].

Также существует полуэмпирический метод ВСР (Burnham, Colton, Pollock), полученный в 1991, который не даёт принципиально новых результатов, а позволяет описывать некоторые промежуточные случаи между JKR и DMT подходами [74].

Подробное сравнение всех приведённых выше моделей дано в [74].

В статье [85] предложен интересный подход к описанию адгезии, в котором на основе JKR модели определяется сила трения между двумя сферическими частицами. При этом введено предположение, что в области контакта присутствуют дислокационные кольца и задан закон скольжения дислокаций, определяющий связь i внешней нагрузки, с размером области контакта и с вектором Бюргерса дислокации. Кроме этого, дан критерий- образования дислокаций. В итоге, модель позволяет прогнозировать зависимость силы трения- от размеров контактной площадки (возрастание сил трения при уменьшении области контакта), то есть учитывать масштабные эффекты в рамках задачи трибологии. Этот результат является важным, как отмечают сами авторы, для микро- и наноразмерных устройств.

Приведённый выше обзор подходов к описанию адгезионных взаимодействий в контактных задачах подтверждает важность моделирования поверхностных свойств и взаимодействий, в особенности, в микро- и наноразмерных структурах. Модели адгезии, построенные в рамках контактной теории упругости и трибологии, направлены на решение специфических задач только в своей области и не адаптированы к постановкам задач механики композитов.

1. МОДЕЛИРОВАНИЕ АДГЕЗИИ В РАМКАХ МЕХАНИКИ ДЕФОРМИРУЕМОГО ТВЁРДОГО ТЕЛА.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертационной работе проведено исследование прикладной континуальной модели адгезионных взаимодействий в применении к прогнозу механических свойств наноструктурированных сред (композитов с микро- и нановключениями, керамических материалов). Продемонстрирована возможность адекватного описания свойств наноструктрированных сред в рамках континуальных моделей с учётом адгезии.

Известные ранее модели адгезии получены на основе вариационного принципа. Доказано, что данные модели являются частным случаем общей модели адгезии и могут быть получены на основе предельного перехода.

Исследовано влияние адгезионных параметров на эффективные свойства гетерогенных структур. Определены допустимые значение поверхностных модулей. Проведено моделирование эффекта отклонения от закона Холла-Петча в отношении жесткостных свойств мелкозернистых материалов. Показана согласованность исследуемой модели с молекулярной динамикой. Проведена идентификация параметров на основе методов молекулярной динамики.

Показано, что в рамках одномерной модели с учётом адгезии возможно моделирование угла мениска и эффекта волнообразования на поверхности твёрдых тел. Данный эффект предложен для идентификации адгезионных свойств. Проведено качественное исследование моделей тонких пластин с учётом адгезии. Построена модель Кирхгоффа тонких пластин в рамках градиентной теории межфазного слоя. Решена задача цилиндрического изгиба адгезионных пластин в рамках различных теорий адгезии и установлена возможность моделирования свойств ультра-тонких пластин и структур типа графена.

Предложена приближённая модель учёта масштабных, градиентных и адгезионных эффектов. Показана достоверность данной модели и проведено численное моделирование механических свойств композитов с наноразмерными включениями.

В качестве внедрения результатов диссертационной работы зарегистрирована программа для ЭВМ "Прогнозирование эффективных свойств наполненных нанокомпозитов." Свидетельство N2011610162.

1. Cabeon, 1629, Philosophia Magnetica, Ferrara, lib. II, cap. 20, (cm. Shuttleworth 1950 Proc. Phys. Soc. A, N 63)

2. Segneij A., 1751, Comment. Soc. Reg. Gott., 1, 301 (cm. Parkash and P L Kapur 1950 Proc. Phys. Soc. A 63 457)

3. Young T., 1805, Collected Works, 1, 418. (cm. Philosophical Magazine A, Volume 78, Issue 5 November 1998 , pages 1093 1109)

4. Laplacpe S.,1 806, Mecanique celeste, 10.(cm. Molecular theory of capillarity, John Shipley Rowlinson,B. Widom, 1982)

5. Poisson S. D. Memoire sur l'équilibré et du mouvement des corps élastiques // Mémoires de lAcademie des sciences de Paris. — 1829. — V. 8. — P. 357 —- 570.

6. Gauss C. F., 1830, Werke, 5, 31.( cm. the determination of Gauss: Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.), Volume 7, Number 2 (1982), 441-441).

7. Gibbs J.W., On the Equilibrium of Heterogeneous Substances, in: The Collected Works of J. Willard Gibbs, (Longmans, Green& Co, New York, 1928), pp. 55-353.

8. Shuttleworth, R., 1950. The surface tension of solids. Proc. Phys. Soc. A 63, 444457.

9. Herring, C., 1953. The use of classical macroscopic concepts in surface energy problems. In: Gomer, R.,Smith, C.S. (Eds.), Structure and Properties of Solid Surfaces. The University of Chicago Press,Chicago, pp. 5-81.

10. Orowan, E., 1970. Surface energy and surface tension in solids and liquids. Proc. R. Soc. London A 316,473-491.

11. Cammarata, R.C., 1994. Surface and interface stress effects in thin films. Prog. Surf. Sci. 46, 1-38.

12. Gurtin, M.E., Murdoch, A.I., 1975. A continuum theory of elastic material surfaces. Arch. Ration. Mech. Anal.57, 291-323.

13. Gurtin, M. E. and Murdoch, A. I., 1978, Surface Stress in Solids, International Journal of Solids and Structures, 14(6), pp. 431-440.

14. Povstenko, Y.Z., 1993. Theoretical investigation of phenomena caused by heterogeneous surface tension in solids. J. Mech. Phys. Solids 41, 1499-1514.

15. Miller, R.E., Shenoy, V.B., 2000. Size-dependent elastic properties of nanosized structural elements.Nanotechnology 11, 139-147.

16. Bottomley, D.J., Ogino, Т., 2001. Alternative to the Shuttleworth formulation of solid surface stress. Phys.Rev. В 63, 165412-1-165412-5.

17. Белов П.А., Лурье C.A. Теория идеальных адгезионных взаимодействий, Механика композиционных материалов и конструкций, 2007, том 13, №3.

18. Sharma, P., Ganti, S., Bhate, N., 2003. Effect of surfaces on the size-dependent elastic state of nanoinhomogeneities. Appl. Phys. Lett. 82, 535-537.

19. Benveniste, Y., Miloh, Т., 2001. Imperfect soft and stiff interfaces in two-dimensional elasticity. Mech.Mater. 33, 309-323.,

20. Hashin, Z., 2002. Thin interphase/imperfect interface in elasticity with application to coated fiber composites. J. Mech. Phys. Solids 50, 2509-2537.

21. Wang, J., Duan, H.L., Zhang, Z., Huang, Z.P., 2005. An anti-interpenetration model and connections between interphase and interface models in particle-reinforced composites. Int. J. Mech. Sci. 47, 701-708.

22. Benveniste, Y., 2006. A general interface model for a three-dimensional curved thin anisotropic interphase between two anisotropic media. J. Mech. Phys. Solids 54, 708-734.

23. Ibach, H., 1997, The Role of Surface Stress in Reconstruction, EpitaxialGrowth and Stabilization of Mesoscopic Structures, Surf. Sci. Rep., 29(5-6), pp. 193-263.

24. Cuenot, S., Frertigny, C., Demoustier-Champagne, S., Nysten, В., 2004. Surface tension effect on the mechanical properties of nanomaterials measured by atomic force microscopy. Phys. Rev. В 69, 165410.

25. Diao, J.K., Gall, K., Dunn, M.L., 2004. Atomistic simulation of the structure and elastic properties of gold nanowires. J. Mech. Phys. Solids 52, 1935-1962.

26. Duan, H.L., Wang, J., Huang, Z.P., Karihaloo, B.L., 2005. Eshelby formalism for nano-inhomogeneities. Proc.R. Soc. A 461, 3335-3353.

27. Duan, H.L., Wang, J., Huang, Z.P., Karihaloo, B.L., 2005. Size-dependent effective elastic constants of solids containing nano-inhomogeneities with interface stress. J. Mech. Phys. Solids 53, 1574-1596

28. Shenoy, V.B., 2005. Atomistic calculations of elastic properties of metallic fee crystal surfaces. Phys. Rev. В 71,094-104

29. P. Sharma, S. Ganti, Size-Dependent Eshelby's Tensor for Embedded Nano-Inclusions Incorporating Surface. Interface EnergiesJournal of Applied Mechanics, 2004, Vol. 71 p 663-671

30. Zhou, L.G., Huang, H.C., 2004. Are surfaces elastically softer or stiffer? Appl. Phys. Lett. 84, 1940-1942.

31. Yang, F.Q., 2004. Size-dependent effective modulus of elastic composite materials: Spherical nanocavities at dilute concentrations. J. Appl. Phys. 95, 3516-3520.

32. Sun, L., Wu, Y.M., Huang, Z.P., Wang, J., 2004. Interface effect on the effective bulk modulus of a particle-reinforced composite. Acta Mech. Sin. 20, 676-679.

33. Sun, C.T., Zhang, H.T., 2003. Size-dependent elastic moduli of platelike nanomaterials. J. Appl. Phys. 93, 1212-1218.

34. Duan, H.L., Wang, J., Karihaloo, B.L., Huang, Z.P., 2006. Nanoporous materials can be made stiffer than nonporous counterparts by surface modification. Acta Mater. 54, 29832990.

35. Murdoch, A.I., 1976. Thermodynamical theory of elastic-material interfaces. Q. J. Mech. Appl. Math. 29,245-275.

36. Murdoch, A.I., 2005. Some fundamental aspects of surface modelling. J. Elasticity 80, 33-52.

37. Chen, T.Y., Dvorak, G.J., 2006. Fibrous nanocomposites with interface stress: Hill's and Levin's connections foreffective moduli. Appl. Phys. Lett. 88, 211912.

38. Chen, T.Y., Dvorak, G.J., Yu, C.C., 2007. Size-dependent elastic properties of unidirectional nano-compositeswith interface stresses. Acta Mech. 188 (1-2), pp. 39-54.

39. Chen, T.Y., Dvorak, G.J., Yu, C.C., 2007. Solids containing spherical nano-inclusions with interface stresses:effective properties and thermal mechanical connections. Int. J. Solids Struct. 44, 941-955.

40. Hashin, Z., 1990. Thermoelastic properties of fiber composites with imperfect interface. Mech. Mater. 8, 333-348.

41. Hashin, Z., 1991. Thermoelastic properties of particulate composites with imperfect interface. J. Mech. Phys. Solids 39, 745-762.

42. Hashin, Z., 2002. Thin interphase/imperfect interface in elasticity with application to coated fiber composites. J. Mech. Phys. Solids 50, 2509-2537.

43. Hashin, Z., 1984. Thermal-expansion of polycrystalline aggregates. I. Exact analysis. J. Mech. Phys. Solids 32,149-157.

44. Еремеев B.A., Альтенбах X., Морозов Н.Ф. О влиянии поверхностного натяжения на эффективную жесткость наноразмерных пластин. Доклады РАН. 2009, 424(5), 618-620.

45. Altenbach Н., Eremeyev V.A., Lebedev L. P. On the existence of solution in the linear elasticity with surface stresses. Z.Angew. Math. Mech. (ZAMM). 2010. V. 90. No. 3. Pp. 231-240

46. H.L. Duan, B.L. Karihaloo Thermo-elastic properties of heterogeneous materials with imperfect interfaces: Generalized Levin's formula and Hill's connections J. Mech. Phys. Solids 55 (2007) 1036-1052.

47. П. А. Белов, С. А. Лурье, Континуальная теория микрогетерогенных сред. Прикладная математика и механика. Т. 73 Вып. 4, 2009. С.833-848.

48. Белов П.А., Лурье С.А. К общей теории дефектных сред // Физ. Мезомеханика. 2007. Т. 10. №6. С. 49-61.

49. Lurie S., Belov P., Volkov-Bogorodsky D., Tuchkova N. Nanomechanical modeling of the nanostructures and dispersed composites // Сотр. Mater. Sci. 2003, 28(3-4), pp 529539.

50. Sharma, P., Dasgupta, A., 2002. Average elastic fields and scale-dependent overall properties of heterogeneous micropolar materials containing spherical and cylindrical inhomogeneities. Phys. Rev. В 66, 224110-1-224110-10.

51. Eringen, A. C., 1999, Microcontinuum Field Theories I: Foundations and Solids, Springer-Verlag, New York.

52. Cheng, Z. Q., and He, L. H., 1995, Micropolar Elastic Fields due to a Spherical Inclusion, Int. J. Eng. Sci., 33(3), pp. 389-397.

53. Cheng, Z. Q., and He, L. H., 1997, Micropolar Elastic Fields due to a Circular Cylindrical Inclusion, Int. J. Eng. Sci., 35(7), pp. 659-686.

54. Z. Hashin Thin interphase=imperfect interface in elasticity with application to coated fiber composites J. Mech. Phys. Solids 50 (2002) 2509 2537.

55. Mai, A.K., Bose, S.K., 1975. Dynamic elastic moduli of a suspension of imperfectly bonded spheres. Proc. Cambridge Philos. Soc. 76, 587-600.

56. Achenbach, J.D., Zhu, H., 1989. E.ect of interfacial zone on mechanical behaviour and failure of fibre-reinforced composites. J. Mech. Phys. Solids 37, 381-393.

57. Achenbach, J.D., Zhu, H., 1990. E.ect of interphases on micro and nacromechanical behavior of hexagonal-array fiber composites. J. Appl. Mech. 57, 956-963.

58. Benveniste, Y., 1985. The e.ective mechanical behaviour of composite materials with imperfect contact between the constituents. Mech. Mater. 4, 197-208.

59. Hashin, Z., 1991a. Thermoelastic properties of particulate composites with imperfect interface. J. Mech. Phys. Solids 39, 745-762.

60. Hashin, Z., 1991b. The spherical inclusion with imperfect interface. J. Appl. Mech. 58, 444-449.

61. Hashin, Z., 1992. Extremum principles for elastic heterogenous media with imperfect interface and their application to bounding of e.ective elastic moduli. J. Mech. Phys. Solids 40, 767-781.

62. Lipton, R., Vernescu, В., 1995. Variational methods, size e.ecls and extremal microgeometries for elastic composites with imperfect interface. Math. Models Meth. Appl. Sci. 5, 1139-1173.

63. Benveniste, Y., Miloh, Т., 2001. Imperfect soft and sti. interfaces in two-dimensional elasticity. Mech. Mater. 33, 309-324.

64. Hashin, Z., 2002. Thin interphase/imperfect interface in elasticity with application to coated fiber composites. J. Mech. Phys. Solids 50, 2509-2537.

65. Deijaguin B.V., Muller V.M., Toropov Yu.P., J. Colloid. Interface Sci. 53, 314 (1975).

66. Дерягин Б.В., Чураев H.B., Мулл ер В.М. Поверхностные силы. М.: Наука, 1985.

67. Аргатов и.и. Осреднение упругой мелкослоистой среды с шероховатостью или адгезией на поверхностях контакта слоев Прикладная математика и механика. 2009. Т. 73. №6. С. 1017-1035.

68. Morrow С., Lovell М., Ning X. A JKR-DMT transition solution for adhesive rough surface contact Journal of Physics D: Applied Physics. 2003. T. 36. № 5. C. 534-540.

69. Горячева И.Г., Маковская Ю.Ю. Адгезионное взаимодействие упругих тел // ПММ. 2001. Т. 65. Вып. 2. С. 279-289.

70. Горячева И.Г., Маховская Ю.Ю. Об одном подходе к решению задач о взаимодействии упругих тел при наличии адгезии // Докл. АН. 2004. Т. 398. № 3. С. 323-327.

71. Handbook of Micro/Nanotribology / Ed; Brushan Bharat. 2d ed. Boca Raton etc.: GRCPress, 1999. 859p. : .

72. Маховская Ю.Ю. Скольжение вязкоупругих тел. при наличии адгезии?// ПММ'. 2005. Т. 69. Вып. 2. С. 334-344.78: Горячева И.Г., Маховская Ю.Ю. Моделирование трения на разных масштабных уровнях // Изв. РАН. МТТ. 2010. № 3. С. 100-110. ,: ■ .

73. Джонсон1 К., Механика контактного взаимодействия, Пер. с англ., М: Мир, 1989, 519 с.

74. Zhao, X. Shij. andsW J; iLi: Effect of work of adhesion; on nanoindentation: Rev. Adv. Mater. Sci. 5, 348 (2003). •

75. Juan A. Hurtado, Kyung-Suk Kim, Scale effects in friction of single-asperitycontacts. I: From concurrent slip to single-dislocation-assisted slip, Proc. R. Soc. Lond. A (1999) 455, 3363-3384.

76. Lurie, S., Belov,P., Tuchkova N. The Application of the multiscale models for description of the dispersed composites, Int. J. Comp Mater Sci, A., vol. 36(2), 145-152, 2005.

77. Lurie, S.A., Belov, P.A., Volkov-Bogorodsky, D.B., Tuchkova, N.P., 2006. Interphase layer theory and application in the mechanics of composite materials, J. Mat. Sci. 41(20), 6693-6707.

78. Lurie, S.A., Belov, P.А., 2008. Cohesion field: Barenblatt's hypothesis as formal corollary of theory of continuous media with conserved dislocations. Int. J. Fract. 50(1-2), 181-194.

79. Белов П.А., Лурье С.А., Континуальная модель микрогетерогенных сред, ПММ, 73 (5), 2009, С.833-848.

80. Лурье С.А. Тучкова Н. П. Континуальные модели адгезии для деформируемых твердых тел и сред с наноструктурами. // Композиты и наноструктуры, 2009, 2(2), с. 25-43.

81. Белов П.А., Лурье С.А. Континуальная теория адгезионных взаимодействий повреждённых сред. МКМК, 2009, 15(4), 610-629.

82. Волков-Богородский Д.Б., Лурье С.А. Интегральные формулы Эшелби в градиентной теории упругости. МТТ, Изв. РАН. 2010. №4. С. 182-192.

83. Кристенсен Р. Введение в механику композитов / Кристенсен Р. М: Мир, 1982.-335 с.

84. Gusev А.А., Lurie S.A. "Strain-Gradient Elasticity for Bridging Continuum and Atomistic Estimates of Stiffness of Binary Lennard-Jones Crystals", (2010). Advanced Engineering Materials. V.12,1.6, P. 529 533.

85. Jianqiu Zhou at al. The grain size and porosity dependent elastic moduli and yield strength of nanocrystalline ceramics //Materials Science and Engineering A, 445-446 (2007), 717-724.

86. R. Chaim, M. Hefetz. Effect of grain size on elastic modulus and hardness of nanocrystalline Zr02-3 wt% Y203 ceramic. Journal of materials science, 2004, 39(9), 3057-3061.

87. ЮГ. Лурье С.А., Белов П.А., Соляев Ю.О. Адгезионные взаимодействия в механике сплошных сред, Сборник научных трудов «Математическое моделирование систем и процессов», 2008 г., N16, с. 75-85.

88. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика (Том 5. Статистическая физика. Часть 1), М: Наука, 1976г, 584 стр.

89. Панин, А.В. Мезомеханика поведения тонких плёнок. Си на подложке при одноосном растяжении и термическом отжиге. Многоуровневый подход. / Панин А.В., Шугуров А.Р., Оскомов К.В., Сидоренко А.И. // Физическая мезомеханика. -2005. Т.8; - В.4. - С.27-35.

90. Лурье С.А., Соляев Ю.О. Модифицированный метод Эшелби-в задаче определения эффективных свойств с микро- и нано- включениями. Вестник ПГТУ, серия Механика, вып. «Математическое моделирование физико-механических процессов»,2010, N1, С.80-90.

91. Duan,H.L., Wang,J., Huang,Z.P. and Karihaloo,B*.L., Size-dependent effective elastic constants of solids containing nano-inhomogeneities with interface stress. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 2005,53: 1574-1596.

92. Huang,Z.X., and Zheng,Q.-S., Effects of the surface energy on the lattice contraction and eigen-frequency of a nano-grain. Acta Mechanica Sinica, 1998, 30: 247-251.

93. Liang,L.H., Ma,H.S. and Wei,Y.G., Size-dependent elastic modulus and vibration frequency of nanocrys- tals. Journal ofNanomaterial, 2010, 2011: Art. 670857.

94. Cammarata,R.C. and Eby,R.K., Effects and measurement of internal surface stresses in materials with ultrafine microstructures. Journal of Materials Research,. 1991, 6: 888-890.

95. Gumbsch,P.andDaw,M.S.,Interfacestressesandtheireffectsontheelasticmoduliofmetall icmultilayers. Physical Review B, 1991, 44: 3934-3938.

96. Ruud,J.A., Witvrouw,A. and Spaepen,F., Bulk and interface stresses in silver-nickel multilayered thin films. Journal of Applied Physics,. 1993, 74: 2517-2523.

97. Berger,S. and; Spaepen,F., The Ag/Cu interface stress. Nano Structured Materials, 1995, 6: 201-204.:

98. Josell,D., Bonevich,J.E., Shao,I. and Gammarata,R.C., Measuring the interface stress: Silver/nickelin- terfaces. Journal of Materials Research, 1999; 14: 4358-4365: '

99. Еремеев B.A., Альтенбах X., Морозов Н.Ф. О влиянии- поверхностного натяжения на эффективную жесткость наноразмерных пластин //Доклады PAHv 2009. Т. 424. No; 5. G. 618-620, , . :

100. Альтенбах X., Еремеев В.А., Морозов: Н.Ф: Линейная« теория- оболочек при учете поверхностных напряжений//Доклады РАН. 2009. Т. 429. No. 4. G. 472- 476.

101. Wang,J., Duan,H.L., Huang-Z.P; and Karihaloo,B.L., A scaling law for properties of nano-structured materials. Proceedings of the Royal Society, 2006, A462 : 1355-1363 .

102. Duan,Ii.L., Yi,X., Huang,Z.P: and Wang,J., A unified scheme for prediction of effective moduli of multi- phase composites with interface effects: Part II — application and scaling laws. Mechanics of Materials, 2007, 39: 94-103.

103. Sharma,P. and Ganti,S., Size-dependent Eshelby's tensor for embedded nano-inclusions incorporating surface/interface. Journal of Applied: Mechanics, 2004, 71: 663671.

104. Wang,G.F. and: Wang,T.J., Deformation around a nanosized, elliptical hole with surface effect. Applied Physics Letters, 2006, 89: Art. 161901.160

105. Chen,X.L., Ma,H.S., Liang,L.H. and Wei,Y.G., A surface energy model and application to mechanical behavior analysis of single crystals at sub-micron scale. Computational Materials Science, 2009, 46: 723- 727.

106. Wang,G.F., Feng,X.Q., Wang,T.J. and Gao,W., Surface effects on the near-tip stresses for mode-I and mode-Ill cracks. Journal of Applied Mechanics, 2008, 75: Art. 011001.

107. Kim,C.I., Schiavone,P. and Ru,C.Q., The effects of surface elasticity on an elastic solid with mode-Ill crack: complete solution. Journal of Applied Mechanics, 2010, 77: Art. 021011.

108. J. Wang et al. Surface stress effect in mechanics of nanostructured materials. Acta Mechanica Solida Sinica, Vol. 24, No. 1, 52-83 p.