Моделирование напряженно-деформированного состояния крупногабаритного трансформируемого рефлектора тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

НА ПРАВАХ РУКОПИСИ

УСМАНОВ ДАВИД БИСЕНОВИЧ

МОДЕЛИРОВАНИЕ НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО СОСТОЯНИЯ КРУПНОГАБАРИТНОГО ТРАНСФОРМИРУЕМОГО РЕФЛЕКТОРА

01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

ТОМСК - 2006

Работа выполнена в Томском государственном университете.

Научный руководитель:

доктор физико-математических наук, профессор Скрипняк Владимир Альбертович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Герасимов Александр Владимирович кандидат физико-математических наук, ст.н. с.

Демидов Валерий Николаевич

Ведущая организация: НИИ Специального Машиностроения

МГТУ им. Н.Э. Баумана (г. Москва)

Защита состоится «15» декабря 2006 г. в 14 час. 30 мин. на заседании диссертационного совета Д 212.267.13 при Томском государственном университете по адресу: 634050, г. Томск, пр. Ленина, 36.

С диссертацией можно ознакомиться

в научной библиотеке Томского государственного университета по адресу: г. Томск, пр. Ленина, 34а.

Автореферат разослан /3 ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета, д.т.н

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Для современной спутниковой связи требуются крупногабаритные трансформируемые антенны с высокой точностью формы зеркала рефлектора. В реальной конструкции рефлектора геометрия отражающей гладкой поверхности зеркала аппроксимируется многоугольниками (фасетами) с криволинейными границами при использовании тонкой трикотажной металлической сетки, подкрепленной куполообразной предварительно-напряженной фермой из тонких нитей или лент.

Достижению высокого качества отражения электромагнитных волн от зеркала рефлектора препятствуют эффекты седлообразования формы отражающей сетки внутри границ фасетов, которые рассматриваются как подушкообразная дисторсия в направлении, противоположном кривизне отражающей поверхности. Такие отклонения характеризуются как систематические отклонения поверхности, т.е. являются присущими самой природе конструкции рефлектора, и, следовательно, подлежат контролю и коррекции в процессе проектирования. В условиях эксплуатации на орбите (воздействия температур, инерционных нагрузок и т.п.) отражающая поверхность будет испытывать дополнительные отклонения от проектной формы.

Актуальность работы вызвана необходимостью прогнозирования механического поведения рефлектора как сложной системы с целью проверки выполнения технических требований на различных стадиях эволюции проекта - от концепции до ее реализации. На основе математических моделей рефлектора становится возможным прогнозировать механическое поведение при наземных испытаниях, сложность которых, а в ряде случаев и невозможность их проведения в полном объеме, приводит к необходимости использовать результаты математического моделирования.

Цели работы

Разработка математической модели механического поведения крупногабаритного трансформируемого рефлектора на основе его представления в виде совместной системы деформируемых твердых тел различной пространственной размерности.

Разработка алгоритма пошагового расчета процесса деформирования конструкции рефлектора, включающего генерацию односвязных субдоменов размерно-редуцированных моделей конструктивных элементов рефлектора и их связывания в совместную систему.

Исследование напряженно-деформированного состояния конструкции крупногабаритного трансформируемого рефлектора при воздействии внутренних и внешних нагрузок.

Определение формы зеркала крупногабаритного трансформируемого рефлектора для различных деформированных конфигураций конструкции.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Разработана новая математическая модель мембранно-вантовой конструкции рефлектора, позволяющая исследовать напряженно-деформированное состояние в ее элементах с учетом геометрической нелинейности и физической нелинейности механического поведения материалов.

2. Предложен новый алгоритм оценки равновесной формы зеркала рефлектора и необходимых усилий в конструкции для реализации данной формы при заданных уровнях напряженного состояния элементов конструкции.

3. Разработан метод многоуровневого моделирования совместной системы, позволяющий охватить многообразие возможных конфигураций и эволюцию сложной конструкции в процессе проектирования и при наземных испытаниях.

Обоснованность и достоверность полученных результатов подтверждается корректностью физической постановки задачи, применяемых моделей компонент конструкции рефлектора, корректностью математической постановки задач, согласием результатов моделирования с результатами, полученными при проектировании аналогичных конструкций, а также согласием полученных результатов с данными, полученными при использовании известных, апробированных численных алгоритмов.

Теоретическая ценность работы заключается в том, что разработанные модели и алгоритмы моделирования механического поведения конструкции крупногабаритного рефлектора позволяют применить численные методы анализа к задачам, не допускающим прямого аналитического исследования характера деформирования конструкции рефлектора.

Практическая значимость

Разработанная модель и алгоритм решения задачи о деформации конструкции крупногабаритного рефлектора охватывают широкий спектр задач проектирования, связанных с технологиями сборки рефлектора, настройки и регулировки формы зеркала, что, в конечном счете, позволяет повысить качество и оперативность проектных работ и достигать требуемых значений технических характеристик рефлектора. Разработанные математические модели и алгоритмы использованы при проведении проектных работ по созданию реального изделия в НПО прикладной механики им. акад. М.Ф. Решетнева (г. Железногорск Красноярского края). Материалы проведенных исследований используются в Сибирском государственном аэрокосмическом университете им. акад. М.Ф. Решетнева (г. Красноярск) на аэрокосмическом факультете при выполнении курсовых и дипломных работ.

На защиту выносятся:

1. Физико-математическая модель механического поведения пространственной вантово-оболочечной конструкции при конечных деформациях.

2. Метод моделирования механического поведения вантово-оболочечной конструкции в рамках многоуровневого подхода к сложным техническим системам, позволяющий рассчитывать напряженно-деформированное состояние элементов конструкции.

3. Алгоритм оценки равновесной формы отражающей поверхности трансформируемых рефлекторов спутников связи и необходимых для ее реализации усилий в элементах конструкции.

4. Результаты численного моделирования равновесной формы отражающей поверхности пространственной ободной конструкции рефлектора в условиях невесомости.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

1. На IX-ой Международной научной конференции, посвященной 45-летию Сибирского Государственного аэрокосмического ун-та им. акад. М.Ф. Решетнева 10-12 ноября 2005. Красноярск, 2005.

2. На объединенном семинаре кафедр «Механики деформируемого твердого тела», «Теории прочности и проектирования» ТГУ и отделов ФГНУ «НИИ прикладной математики и механики» 28 октября 2005г.

3. На объединенном семинаре кафедр «Механики деформируемого твердого тела», «Теории прочности и проектирования» ТГУ и отделов ОСП «НИИ прикладной математики и механики» ТГУ 4 октября 2006г.

4. На V-ой Всероссийской научной конференции «Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики» 3-5 октября 2006г. Томск, 2006.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 9 работ.

Структура и объем диссертации

Настоящая диссертационная работа состоит из введения, основного текста, заключения и списка литературы. Основной текст разбит на 5 глав и содержит 2 таблицы и 60 рисунков. Список литературы включает 69 наименований. Общий объем работы — 179 страниц.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность темы диссертации, сформулированы цель и задачи работы, изложены основные научные результаты, выносимые на защиту. Важный вклад в развитие постановок и методов исследования деформирования тонкостенных конструкций внесли Н.П. Абовский, В.З. Власов, Н.В. Баничук, B.J1. Бидерман, И.А. Биргер, В.В. Васильев, A.A. Ильюшин, H.A. Кильчевский, А.И. Лурье, Д.Р. Меркин, Х.М. Муштари, В.В. Новожилов, A.A. Поздеев, Ю.Н. Работнов, Л.И. Седов, С.П. Тимошенко, П.В. Трусов, Ю.И. Няшин, T. Belytschko, С.А. Felippa, K.J. Bathe, A. Libai, Е. Reissner, J.G. Sim-monds, J.C. Simo и др. Вопросы нелинейного конечно-элементного анализа тонкостенных конструкций рассматривались в работах А.Д. Каплуна, Е.М. Морозова, С.П. Рычкова, Д.Г. Шимковича, S.N. Atluri, K.J. Bathe, T. Belytschko, M.A. Crisfield, A. Ibrahimbegovic, O.C. Zienkiewicz, и т.д. Необходимо отметить вклад в развитие методов проектирования и анализа тонкостенных крупногабаритных конструкций трансформируемых рефлекторов В.Г. Бутова, М.В. Гряни-ка, В.И. Гуляева, В.И., В.Н. Зимина, A.B. Лопатина, C.B. Пономарева, В.А. Скрипняка, В.И. Усюкина, В.И. Халимановича, А.Г. Чернявского, А.К. Шатро-

ва, J.M. Hedgepeth, C.A. Felippa, J. Ruze, M.W. Thomson, G. Tibert, S. Pellegrino, и др.

В первой главе рассматриваются формулировки задач моделирования прецизионного трансформируемого антенного рефлектора, отражающая поверхность которого формируется из тонкой трикотажной сетки, подкрепленной предварительно-напряженной фермой из гибких элементов (тонкие нити, ленты и т.п.).

Необходимое качество отражения электромагнитных волн от трикотажной сетки достигается при определенном уровне ее натяжения, что исключает появление каких-либо складок на ее поверхности. С другой стороны, использование предварительно-напряженной фермы куполообразной формы для аппроксимации геометрии зеркала приводит к образованию фасетов (многоугольников) на отражающей поверхности, что вызывает подушкообразную дистор-сию в направлении, противоположном кривизне отражающей поверхности как показано на рисунке 1 слева. Этот вид дисторсии зависит от натяжения отражающей поверхности, ее габаритов и кривизны.

Эффект силового воздействия напряженной трикотажной сетки на границу смежных фасетов можно представить в виде распределенной поперечной нагрузки р (рисунок 1 справа), которая стремится изогнуть эластичные границы фасетов вовнутрь (рисунок 1 слева), поскольку натяжение сетки меняет направление на границе. На величину прогибов влияет напряженное состояние элементов опорной сети вдоль границ фасетов. Чем выше уровень натяжения элементов опорной сети, тем жестче становятся границы фасетов. Явления такого рода являются характерными для фасетированных зеркал трансформируемых рефлекторов. Систематические отклонения отражающей поверхности от проектной формы зеркала должны находиться в пределах заданных допусков, что требует прогнозирования формы зеркала в процессе разработки и эксплуатации рефлектора.

В механике деформируемого твердого тела конструкция рассматривается как многосвязное сплошное тело, объединенное из отдельных односвязных областей одной пространственной размерности. Характеристики деформирования многосвязного сплошного тела могут быть получены с помощью методов анализа односвязных тел. В случае рефлектора многосвязное сплошное тело образуется из тонкостенных и гибких тел (мембранная оболочка, ванты и стержни).

Исходное (недеформированное) состояние многосвязного тела соответствует математически точной проектной геометрии односвязных тел и отождест-

вляется с отсчетной конфигурацией рефлектора, относительно которой определяются перемещения отражающей поверхности, представляющие собой систематические отклонения формы зеркала от идеального параболоида, !

Задача отыскания отклонений отражающей поверхности от проектной геометрии формулируется как краевая задача для многосвязного деформируемого твердого тела с начальными напряжениями ег0 * 0, которые существуют в исходном состоянии этого тела, т.е. перед началом развития процесса деформирования. В такой задаче для тел многосвязной области могут быть дополнительно заданы массовые и поверхностные силы на поверхности Г7, а также перемещения на поверхности Гв, отсчитываемые от исходного состояния многосвязной области.

Определение напряжений в элементах опорной конструкции зеркала требует решения отдельных нелинейных начально-краевых задач. Получаемые при этом деформированные конфигурации элементов опорной конструкции зеркала должны максимально точно соответствовать конфигурации зеркала в исходном состоянии.

Для численного решения подобных нелинейных задач механики деформируемого твердого тела применяют линеаризацию нелинейной слабой формы, основанной на вариационных принципах. Это позволяет использовать метод конечных элементов для решения нелинейной задачи для многосвязного деформируемого твердого тела.

Во второй главе рассматривается формулировка задачи о движении обобщенного элемента конструкции рефлектора как деформируемого твердого тела на основе метода конечных элементов. Лагранжева формулировка предполагает, что уравнения сохранения выражены в терминах лагранжевых мер напряжений и деформаций в отсчетной конфигурации. Дискретизация элемента конструкции на основе лагранжевых сеток конечных элементов классифицируются на модифицируемую лагранжеву (11Ь) и полную лагранжеву (ТЬ) формулировки.

Под деформированной конфигурацией £1 произвольного деформируемого твердого тела обычно понимается текущая конфигурация тела. Для тел совместной системы область П может быть одномерной, двумерной или трехмерной, т.е. О можно связать с отрезком, поверхностью, или объемом, соответственно. Граница области Г будет соответствовать двум концевым точкам сегмента в одном измерении, кривой в двух измерениях, и поверхности в трех измерениях. Положение обобщенной материальной точки в деформированной конфигурации в момент времени I определяется радиус-вектором х = х(Х,1)у где X -радиус-вектор данной точки в недеформированной (без напряжений) конфигурации. Если отсчетная конфигурация является идентичной начальной конфигурации, то АГ = д:(Л',0) или Х1 = х,(Х,0).

В модифицируемой лагранжевой формулировке текущая область П разбивается на элементы Пе так, что П = , а движение х(Х^) аппроксими-

руется выражением л:(ЛГ,<) = М,(А')лг;(г), где Л'',(Л") - интерполяционные функции (функции формы), д:, - радиус-вектор I -го узла.

Для дискретной модели текущей области П деформируемого твердого тела формулируется следующая стандартная задача с начальными условиями для дифференциальных уравнений первого порядка в скоростях и напряжениях:

миЬ + //" = /Л у(/,/)« г,( (1)

у? = У,(*,0) = ^ (<>)*,(*), У«-У(ЛГ,0)-«,(<>)*,(*). (2)

^{ха) = /{0{ха),в{х<!),..) V (3)

где »>,(/)- узловые скорости. Равенство (1) выражает баланс внутренних узловых сил Л? = и инерционных узловых сил //'" = MllvJ, где

М1]Ц = jpNlNJciQ. - матрица масс, с одной стороны, и внешних узловых сил о

= jN¡el .ТОГ, где рЪ - массовая сила, 7- поверхностная сила, с

о г,(

другой стороны. Уравнение (3) выражает общую форму уравнения гипоупруго-го физического состояния материала, в котором а1 представляет объективную скорость напряжения Коши а в точках квадратуры конечных элементов, определяемых аппроксимацией вида ха (г) = Ы, (Д^)*, (/), 0=1,..В (3) используются аппроксимации тензора скорости деформации В с компонентами

пАХо) = ^(1!> = ™е Ау = аппроксимации

компонент тензора градиента скорости деформации. Начальные условия в узлах и точках квадратуры конечных элементов уд(0)'= , ег (Х^,^ = сг° (Л'<2),

где у» и <Ту(Хд) являются исходными данными и соответствуют начальным условиям (2).

В квазистатических задачах определяющие уравнения примут вид уравнений равновесия

/;;' = /Г для (/,;•) 0 Г,, или /'"' = Г • (4)

Если уравнения (3) не зависят от скоростей деформации, то дискретные уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений в напряжениях и перемещениях.

В третьей главе обосновывается применение алгоритмов неявных методов интегрирования уравнений динамики для решения нелинейных уравнений равновесия.

Для решения статических, так и динамических задач привлекается ¡3-метод Ныомарка для дискретного уравнения количества движения на « + 1-шаге по времени в форме

ры

где переменные

= V. + , V, = V, + (1 - у) Ма,, (7)

(8)

оцениваются на (и + 1)-шаге интервала интегрирования по времени. В уравнении (5) номеру шага п соответствует момент времени I, номеру шага п +1 -момент времени / + Д/. При = 0 - задача считается статической, при 50 = 1-

задача динамическая. Матрицы-столбцы </ = {«,,и7,...,иш}г, / = {/,,/г,.-.,/т}Г и г = {гпг3,...,гт}т сформированы из узловых перемещений, сил и невязки, где т - число узлов. Параметры ¡3 и у в (6)-(8) являются алгоритмическими параметрами, Лг = . При 2/3 > у > 1/2 алгоритм является безусловно устойчивым и диссипативным. Параметр у контролирует искусственную вязкость (демпфирование), вносимое численным методом, для подавления шума в решении. Граничные условия по перемещениям могут быть представлены как совокупность пвс нелинейных алгебраических уравнений вида

С,К+,) = *Г„/ = 1,...,«яс. (9)

При = О матричное уравнение (5) примет вид

00)

решение которого называют равновесным.

Для решения нелинейных алгебраических уравнений (5) используется метод Ньютона-Рафсона, идентичный методу Ньютона. Если записать уравнение (5) в виде алгебраического уравнения

к, к,). (11)

то его решение методом Ньютона будет представлять собой итерационную процедуру. В качестве стартового значения обычно используется решение с последнего шага по времени, т.е. </° = </„. Линеаризация разложения в ряд

Тейлора по йу уравнения ) = Л/в «.,/„♦,)-/"' ) + )

для малых Д</ = </„+1 —ёг, где у -номер итерации на (и + 1)-шаге по времени, приводит к линейной модели нелинейных уравнений, г + АМ = 0, тангенциальной к нелинейной функции невязки г, где А = — или АаЬ = - системен дс1к

ная матрица Якоби. В результате решения уравнения ААс1 = ), опре-

деляется инкремент А Л, а новые значения будут модифицироваться в виде ¿„у = (!у + Ае1. Процесс продолжается до тех пор, пока решение не будет получено с требуемым уровнем точности. Если решение не удовлетворяет критерию сходимости, то конструируется новая линейная модель, а текущее решение используется для отыскания другого инкремента Д</. Для сходимости метода Ньютона требуется, чтобы все объекты в г) и Д</ были достаточно малы. Оба этих критерия проверяются при вычислениях. Для эффективного подавления шума в решении без деградации порядка точности, поддающейся непрерывному контролю, используется метод Ш1Ьег-Н1щИез-Тау1ог (ННТ или а-метод).

Прерывание итерационной процедуры при неявном и равновесном решениях с использованием метода Ньютона определяется критериями сходимости, которые относятся к сходимости дискретного решения для уравнений вида г(<Г,г") = 0, а не к сходимости дискретного решения к решению дифференциальных уравнений в частных производных. Используются три типа критериев сходимости на основе /2-норм: 5 гтах^|/"'| ,|/ш1| ,||А/в| | и

¡Д^ <г(||</| ), а также на основе |д</гг| < £• - тах((Г",(Г"',1УШ)- ошибки по

энергии измеряющей поток энергии, поступающий в систему в результате невязки. Норма /2 контролирует среднюю ошибку по всем степеням свободы. Масштаб ошибок с определяет точность, с которой вычисляются перемещения перед завершением итерационной процедуры.

Скорость сходимости итераций в методе Ньютона является квадратичной, если матрица Якоби А удовлетворяет определенным условиям: 1) А должна быть достаточно гладкой функцией г/; 2) А должна быть регулярной (инвертируемой) и хорошо-обусловленной во всей области пространства перемещений. В технических приложениях проблемы со сходимостью наиболее часто встречаются в статических задачах.

Получение матриц /Г'"1 и К"' является задачей линеаризации для представления матрицы Якоби в виде А = ■ М + Км - К"' в интеграторе Нью-

й/ч"1

марка, где К'м = —— и К"' = —--матрицы Якоби узловых внутренних и

6(1 аЛ

внешних сил или матрица тангенциальной жесткости и матрица жесткости нагрузок, соответственно.

При получении К"* скорости внутренних узловых сил /"" связывают с узловыми скоростями «/, что идентично связыванию инфинитезимального инкремента узловых сил ¿У'"' с инфинитезимальным инкрементом узловых перемещений ¿М, т.е. с1/'т = К"лс1<1, или /Ш1 =/Р"</.

Полная лагранжева форма приводит к более простому пути получения К"*, поскольку в выражении для внутренних узловых сил

= = или = тензор номинальных на-

П„ ) О» <1«

пряжений Р является единственной варьируемой переменной при деформировании. Поэтому /'"!•= АЮ0. В полной лагранжевой формулировке объек-

Ц,

тивной скоростью напряжений является материальная производная по времени от второго тензора напряжений Пиола-Кирхгоффа 5. С учетом преобразования Р = $-Рт скорость внутренних узловых сил /"" (или инкремент) будет состоять из двух частей:

(»2)

СЪц 1

/,Г = • (13)

л

В выражении (12) присутствует скорость напряжений что приводит к понятию матрицы тангенциальной жесткости материала

~гт ¿¡Г™

= ^и АГГ=^£= (14)

J и0

связывающей инкременты (или скорости) внутренних узловых сил с инкрементами (или скоростями) перемещений вследствие сопротивления материала, что отражается в тангенциальном тензоре упругих модулей , который входит в уравнение физического состояния материала

Бв = С°*Ёи или {¿} = (15)

где С,® - тангенциальные модули. В интеграле (13) присутствует текущее напряженное состояние Я, учитывающее геометрические эффекты деформации (повороты и растяжения), что приводит к матрице геометрической жесткости К"1'", отражающей геометрические нелинейности

К%> = / ¡{¡¡,5ВП;с!Па (16)

«о

и связывающей инкременты (или скорости) внутренних узловых сил с инкрементами (или скоростями) перемещений = вследствие геометрических эффектов деформации. К""" также называют матрицей начальных напряжений, чтобы подчеркнуть роль текущего напряженного состояния.

Матрицы жесткости А™* и К*'" приведены в терминах отсчетной конфигурации, т.е. для полной лагранжевой формулировки. Для их конвертирования в формат модифицируемой лагранжевой формулировки достаточно рассматривать текущую конфигурацию в качестве отсчетной в фиксированный момент времени /. В этой ситуации, Ктя и Кт° будут определяться выражениями

К™ = ¡В1СаТВ^а, = I . . (17)

Численные значения матриц в полной и модифицируемой лагранжевой форме являются идентичными, а выбор между ними делается из соображений удобства. Таким образом, матрица Якоби внутренних узловых сил или матрица тангенциальной жесткости дискретной модели для геометрически нелинейных краевых задач механики деформируемого твердого тела будет иметь структуру

Кы = Л"""' +К*«'. (18)

Предложено разбивать многосвязную область на систему непересекающихся субдоменов. Внутри каждого субдомена отыскивается равновесное решение для геометрически сильно-нелинейной задачи на «-ом шаге квазивременного интервала. На этом шаге структура и количество субдоменов обеспечивают сходимость алгоритма Ньютона-Рафсона при решении системы алгебраических уравнений. Полученное решение в конце данного шага служит начальным приближением для запуска итерационной процедуры решения квазистатической задачи для многосвязной области с новой структурой субдоменов на следующем шаге. На последнем шаге квазивременного интервала остается один субдомен, совпадающий с исследуемой многосвязной областью.

Такой алгоритм разбиения многосвязной области позволяет проводить эффективный в смысле вычислительных затрат анализ напряженно-деформированного состояния, который соответствует вычислительной технологии на основе декомпозиции математической модели совместной системы. При этом вычислительная эффективность обычно обеспечивается расщеплением задачи по псевдо-временному параметру на ряд этапов эволюции дискретной модели. Таким образом, поиск равновесной конфигурации многосвязного тела представляет процесс преобразования этого тела из начальной конфигурации в конечную конфигурацию или эволюцию внутри квазивременного интервала. Равновесная конфигурация дискретной системы на текущем этапе ее эволюции определяется условиями равновесия (10) в каждом узле с учетом граничных условий (9). В начале каждого этапа эволюции формы конструкции конфигурация совместной системы считается известной.

Связывание моделей различной пространственной размерности в многосвязную систему предлагается осуществлять математически корректными способами: 1) объединение моделей тел с одинаковым количеством степеней свободы; 2) объединение моделей тел с использованием уравнений связей; 3) объединение моделей тел сочетанием двух первых способов.

Первый способ объединения моделей зависит от программной реализации, но упрощает интерфейсы между моделями различной геометрической размерности. Его можно использовать для формирования многосвязной области из вант и мембран, а также различных моделей сред «нулевой» размерности — сосредоточенных масс и механизмов (устройств и т.п.), но он не всегда приводит к построению полномасштабной модели конструкции.

Второй способ является программно-независимым способом для связывания моделей смешанной пространственной размерности с использованием уравнений связей, обеспечивающих статическое равенство механических работ, совершаемых силами с каждой стороны интерфейса. Такое связывание является

возможным в силу наличия необходимого числа степеней свободы для точек связываемых сред различной размерности. Этот способ, несмотря на трудоемкость, может привести к полномасштабной вычислительной модели конструкции в форме многосвязной области, но требует тщательной и кропотливой разработки моделей автономных компонент, их интерфейсов с обеспечением геометрической совместности сред различной пространственной размерности.

Третий способ вытекает из рассмотрения преимуществ и недостатков первых двух, повышает гибкость и эффективность моделирования. Здесь часть моделей компонент конструкции различной геометрической размерности можно объединить по первому способу в промежуточные структуры (подсистемы), а для завершения построения полномасштабной модели сложной конструкции использовать второй способ связывания. При этом достигается определенный уровень декомпозиции совместной системы, допускающий рассмотрение автономной эволюции отдельных подсистем в процессе итерационного проектирования сложной системы с обеспечением интерфейсной совместимости между подсистемами.

В зависимости от способа связывания дискретных моделей односвязных тел и реализации алгоритмов численной алгебры число уравнений связей может быть пс = пвс (первый способ) или пс > пвс (второй и третий способы). В аналитическом виде основное содержание условий равновесия совместной системы будет заключаться в выполнении следующих равенств

у_ у" + х1 — = 0. (19)

ви

£,=0, / = 1 ,...,пс (20)

Уравнения (19)-(20) образуют систему + алгебраических уравнений. Согласно (19) связи вводят дополнительные силы Х1Ъ%,1дс111, которые представляют собой линейную комбинацию множителей Лагранжа. Если связи являются линейными, то дополнительные силы не зависят от узловых перемещений. В общем случае линейная модель системы будет выглядеть как ~А + Л,Н, Ст~ С О

Й-

где С = =

58,

дс/„

8,

дс/Ш

А = А""' - К"1.

(21)

Приближенное решение уравнений (21) определяет равновесную конфигурацию совместной системы на текущем шаге, а реакции связей - необходимые силы и моменты в интерфейсных узлах компонент совместной системы для обеспечения равновесия на текущем шаге. Для запуска итерационного процесса для решения системы (21) на шаге п = 1 должна быть известна начальная информация в момент времени /О=0 об отсчетной конфигурации совместной системы, которая соответствует отсчетным конфигурациям каждого субдомена многосвязной области. Такая информация считается нулевым или начальным

приближением и используется для генерации матриц жесткости (якобианов внутренних узловых сил) К**" и К""'.

В четвертой главе рассматриваются нелинейные дискретные модели тонкостенных и гибких тел как односвязных областей с большими поворотами и малыми деформациями с использованием метода конечных элементов. В ко-ротационной формулировке элементные перемещения разлагаются на движение абсолютно жесткого тела и компоненты чистой деформации. Такая декомпозиция достигается связыванием уникальной коротационной системы координат с каждым элементом, которая подвергается большим перемещениям и поворотам, но не деформируется с элементом. Таким образом, геометрическая нелинейность полностью вводится через вращение системы координат, связанной с элементом, а деформации элемента являются чистыми. Поскольку чистые деформации всегда являются малыми величинами относительно размеров элемента, то могут быть использованы стандартные меры малых деформаций. Этот факт упрощает определяющие уравнения, а соответствующий метод обладает существенными преимуществами в скорости вычислений.

Трикотажная сетка зеркала рефлектора в свободном недеформированном состоянии обладает малой изгибной жесткостью, не воспринимает заметных изгибающих моментов и сжимающих усилий, следовательно, ее механическое поведение в таком состоянии можно описать на основе модели мягкой оболочки. Физические условия закрепления краев мягкой оболочки на границах фасетов исключают бесконечно малые изгибания ее срединной поверхности, что позволяет рассматривать ее напряженное состояние безмоментным.

Задачу определения формы тонкой предварительно-напряженной мембраны внутри жестких границ произвольного фасета можно связать с определением минимальной поверхности, ограниченной заданным контуром, площадь которой является минимальной среди возможных поверхностей в этом контуре.

Соответствующая статическая задача для мембранной оболочки опертой по краям фасета формулируется как задача по отысканию оптимального распределения поля перемещений при заданном распределении поля напряжений. Таким образом, определение формы тонкой предварительно-напряженной мембраны внутри криволинейных границ фасетов и определение деформированной геометрии границ фасетов имеют общую математическую природу.

Допустимый уровень напряженного состояния элементов опорной конструкции отражающей поверхности ограничивается несущей способностью материала этих элементов и возможностями механизма развертывания рефлектора.

В практических вычислениях преимущественно используется ортонор-мальная параметризация срединной поверхности оболочки. При таком выборе базисных векторов удается выразить результаты как можно проще и непосредственнее. Поскольку на общей криволинейной поверхности невозможно построить единую ортонормапьную систему координат, то используется отдельная система базисов в каждой рассматриваемой точке тела. В случае конечных элементов она строится в каждой точке численного интегрирования при вычислении интегралов узловых сил и элементных матриц. Такие упрощения требуют умеренных вычислительных затрат.

На основании выражения виртуальной мощности внутренних сил мембранной оболочки, находящейся в плоско-напряженном состоянии, и с учетом симметрии тензора напряжений Коши а оцениваются результирующие мембранные силы с помощью которых определяются параметры натяжения

трикотажной сетки.

Конечно-элементная аппроксимация выражения виртуальной мощности позволяет оценить внутренние узловые силы для каждого 1-го узла, отражающие напряжения в мембранной оболочке. Для моделирования зеркала рефлектора используются мембранные конечные элементы общего назначения (т.е. не осесимметричные и не цилиндрические).

Описание механического поведения стержневых элементов основано на гипотезах геометрически точной теории балок, реализованной в современном программном обеспечении:

1) поперечное сечение балки остается плоским и жестким (гипотеза плоских сечений). Эта гипотеза «справедлива» на практике для гибких и тонких балок или стержней, поперечное сечение которых может подвергаться деформации типа депланации вследствие кручения;

2) поперечное сечение балки может иметь произвольную форму, инвариантную и непрерывную вдоль оси балки. Ось балки остается гладкой пространственной кривой при деформировании. Эта гипотеза позволяет применять теорию балок для переменных поперечных сечений вместе с гипотезой о жестком поперечном сечении, не используемой в формулировке в явном виде, за исключением того, что локальные системы координат изменяются непрерывно вдоль отсчетной оси балки, а боковая поверхность является кусочно-гладкой поверхностью.

Положения геометрически точной теории балок охватывают всевозможные конфигурации сечений для гибких элементов. Элементы вантовой структуры моделируются ферменными конечными элементами, деформации которых определяются осевым растяжением. При связывании субдоменов из таких конечных элементов используются только трансляционные степени свободы.

В пятой главе представлена реализация алгоритмов моделирования напряженно-деформированного состояния для офсетного крупногабаритного трансформируемого рефлектора. Мембранная оболочка зеркала представлена многосвязной областью из треугольных фасетов. Фасеты как односвязные области (рисунок 3) связываются с многосвязной областью фронтальной сети (рисунок 4) из тонких нитей, совпадающие с границами фасетов.

Для аппроксимации поверхности зеркала фронтальная сеть удерживается в напряженном состоянии системой сил, приложенных в ее узлах посредством растяжек (тонких нитей), связанных с зеркально-симметричной тыльной сетью (многосвязной областью).

Система опорных сетей и растяжек образует многосвязную область (рисунок 5), представляющей собой опорную структуру зеркала. Опорные сети (фронтальная и тыльная) стыкуются с ферменным ободом из тонкостенных трубок, который состоит из 30 прямоугольных секций с телескопическими диа-

гоналями. Ферменный обод также рассматривается как многосвязная область, образованная прямолинейными балочными конечными элементами (рисунок 6).

Рисунок 3- Многосвязная область мембранной оболочки

Формирование многосвязной области ободной фермы основано на использовании предложенных способов связывания. Связывание по первому способу предполагает, что концевые узлы стержней сходятся в данном соединении.

Связывание по второму способу предполагает, что концевые узлы стержней в данном соединении могут не совпадать, а физические соединения (фитинги) обеспечивают статическое равенство механических работ, совершаемых силами с каждой стороны интерфейса. Фитинги, устройства и механизмы моде-

лируются конечными элементами «нулевой» размерности и локализованы в местах соединений элементов ободной фермы.

Рисунок 5- Многосвязная область опорной структуры зеркала

Байтовые элементы опорной структуры зеркала моделируются двухузло-выми ферменными конечными элементами, работающими только на растяжение. Схема нагружения произвольного вантового элемента приведена на рисунке?.

Для аппроксимации проектной геометрии зеркала ее фронтальная сеть (ферма) должна приобрести на заключительном этапе развертывания рефлектора куполообразную конфигурацию, в которой все элементы сети должны находиться в состоянии растяжения.

Напряжения в элементах каждой опорной сети определяются в результате решения отдельной квазистатической задачи для соответствующего многосвязного тела с начальными условиями в перемещениях. Начальные условия и(Л,0) = и, (X) определены в терминах расстояний, на которые необходимо переместить узлы опорной сети, параллельно продольной оси ободной фермы,

для их совмещения с точкой, лежащей на поверхности идеального параболоида (рисунок 8 слева).

Рисунок 7- Условия равновесия Байтового элемента

Результаты решения данной задачи совпадают с результатами решения задачи по моделированию монтажных операций, в результате которых расстояния между каждой парой противолежащих узлов двух зеркально-симметричных опорных сетей (фронтальной и тыльной) становятся равными длинам соответствующих растяжек. В каждой напряженной вантовой сети треугольники являются плоскими фигурами.

Полученные напряжения в опорных сетях (рисунок 8 справа) используются в качестве начальных условий для определения напряженно-деформированного состояния многосвязного тела, которое образуется связыванием опорной структуры зеркала и мембранной оболочки, составляющую важную с технической точки зрения подсистему А рефлектора.

ния в элементах (справа) фрагмента фронтальной сети

Отсчетная конфигурация для данной многосвязной области соответствует проектной геометрии каждой из ее областей, при этом положение узлов опорных сетей в деформированной конфигурации точно соответствуют их положению в отсчетной конфигурации данной модели. Эта информация служит для запуска итерационной процедуры решения квазистатической задачи по установлению равновесия в совместной системе. Взаимодействие с ободной фермой

имитируется граничными условиями, заданными в интерфейсных узлах опорных сетей. В отсутствие массовых и поверхностных сил решение квазистатической задачи определяет базовое напряженно-деформированное состояние, обусловленное сугубо внутренними усилиями в узлах конечных элементов. Шаги получения решения квазистатической задачи соответствуют этапам эволюции субдоменов многосвязной области модели (рисунок 9).

Рисунок 9 - Эволюция субдоменов многосвязной области

Fla шаге и=1 оценивается подушкообразная дисторсия мембранной оболочки внутри жестких криволинейных границ фасетов, lía шаге п= 2 уточняется напряженно-деформированное состояние мембранной оболочки и периферийного шнура. На шаге и=3 уточняется напряженно-деформированное состояние многосвязной области модели, граничные условия для которого заданы в узлах связывания опорных сетей и растяжек, а также в точках интерфейса с ободной фермой.

На шаге п= 4 уточняется напряженно-деформированное состояние многосвязной области модели в отсутствие внешних сил (в невесомости). Граничные условия заданы в точках интерфейса с ободной фермой. Напряженно-деформированное состояние модели в конце шага п—4 рассматривается как базовое. Деформированная геометрия зеркала и напряжения в элементах фронтальной сети соответствует равновесному состоянию модели, полученному в конце шага п =4 (рисунок 10).

Максимальные эффекты силового взаимодействия между связанными телами рассматриваемого многосвязного тела определяются в терминах сил реакций в закрепленных узлах (рисунок 11).

При объединении многосвязного тела подсистемы А с подсистемой В ферменного обода (рисунок 6) с использованием классического метода множителей Лагранжа формируется модель сборки рефлектора. Граничные условия определяются в узлах ободной фермы в точках ее интерфейса с мачтой. Физические соединения (устройства) между подсистемами А и В допускают связывание не совпадающих интерфейсных узлов компонент рефлектора (рисунок 12). Концевые узлы вертикальной стойки ободной фермы используется для связывания сопрягаемых с ним интерфейсных узлов модели опорной конструкции зеркала.

Отсчетная конфигурация многосвязной области сборки рефлектора для получения решения квазистатической задачи соответствует проектной конфигурации рефлектора.

Рисунок 10 - Равновесная форма (слева) и напряжения (справа) для фрагмента многосвязной области в конце шага п=4

госвязной области в конце шага п=1 (слева) и в конце шага п=3 (справа)

Рисунок 12- Интерфейсные узлы двух подсистем А и В

Начальные условия квазистатической задачи для многосвязной области системы А+В соответствуют начальным условиям для подсистемы А. В отсутствие массовых и поверхностных сил решение квазистатической задачи определяет базовое напряженно-деформированное состояние, которое соответствует аналогичному состоянию подсистемы А. Количество шагов квазивременного интервала увеличивается для обеспечения сходимости итераций метода Нью-тона-Рафсона при соблюдении определенной симметрии изменения границ субдоменов.

Рисунок 13 - Равновесная форма (слева) и напряжения (справа) для фрагмента многосвязной области в конце квазивременного интервала

Решение квазистатической задачи в конце последнего шага квазивременного интервала определяет' глобальное равновесное состояние многосвязной области рефлектора. Результаты решения квазистатической задачи по определению равновесной формы зеркала и напряженного состояния в элементах опорной структуры зеркала (рисунок 13) отличаются от аналогичных результатов, полученных для подсистемы А (рисунок 10).

С использованием концепции базового напряженного состояния сборки рефлектора становится возможным прогнозирование его механического поведения при разнообразных внешних воздействиях, связанных с условиями испытаний и эксплуатации на орбите. Полученная таким образом информация может быть использована для выработки рекомендаций по повышению точности формы зеркала рефлектора, разработки технологий сборки конструкции, при планировании наземных испытаний, а также для интерпретации результатов экспериментальных исследований и натурной эксплуатации. Она также служит основой для проверки выполнения других технических требований к конструкции (прочности элементов конструкций и их соединений, жесткости в терминах низших собственных частот и других характеристик).

Основные результаты работы:

1. Разработана математическая модель вантово-оболочечной конструкции рефлектора, позволяющая исследовать напряженно-деформированные состояния элементов с учетом геометрической нелинейности и физической нелиней-

ности механического поведения материалов. Конечно-элементная модель механического поведения вантово-оболочечной конструкции рефлектора как многосвязного деформируемого твердого тела создается в результате объединения размерно-редуцированных математических моделей конструктивных элементов рефлектора.

2. Получено численное решение нелинейных квазистатических задач по определению равновесного состояния конструкции рефлектора как многосвязного твердого деформируемого тела с использованием расщепления квазивременного интервала на последовательность шагов, определяющих эволюцию напряженно-деформированного состояния конструкции.

3. Разработан алгоритм пошагового моделирования процесса деформирования трансформируемой конструкции рефлектора. В процессе эволюции конструкции рефлектора совокупность односвязных областей совместной системы на каждом шаге квазивременного интервала преобразуется в окончательную деформированную конфигурацию. Число шагов квазивременного интервала определяется сходимостью итерационной процедуры Ньютона-Рафсона для решения уравнений равновесия. Деформированная конфигурация совместной системы односвязных областей на момент окончания предыдущего шага становится отсчетной конфигурацией («начальным приближением») для текущего шага.

4. Промежуточные подсистемы в виде ансамбля (сборки) односвязных областей различной.пространственной размерности можно сформировать объединением односвязных областей с одинаковым количеством степеней свободы, а также с использованием уравнений связей для степеней свободы в интерфейсных узлах различных типов конечных элементов.

5. Показано, что декомпозиция совместной системы на совокупность подсистем допускает их автономную эволюцию в процессе проектирования сложной конструкции с сохранением интерфейсной совместимости между ними, что повышает гибкость и эффективность моделирования и сокращает временные затраты.

6. Получено решение обратной задачи определения формы зеркала рефлектора численным методом на основе процедур неявного интегрирования уравнений динамики совместной системы односвязных областей.

7. С использованием разработанной модели выполнены расчеты параметров напряженно-деформированного состояния реальной конструкции крупногабаритного трансформируемого рефлектора и формы ее отражающей поверхности для различных условий эксплуатации с учетом технических требований. Предложены рекомендации по формированию начальной конфигурации конструкции, обеспечивающие выполнение технических требований. На основании проведенных расчетов предложены рекомендации по способам точной настройки рефлектора в наземных условиях.

ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Пономарев C.B., Скрипняк В.А., Усманов Д.Б. Функционал для отыскания формы равнонапряженной мембраны// Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: Доклады конференции. -Томск: Изд-во ТГУ, 2002.-С. 180-181.

2. Пономарев C.B., Скрипняк В.А., Усманов Д.Б. О методах расчета НДС тонких мембран//Сб. докладов конференции " Физика и химия высокоэнергетических систем". -Томск: ТГУ, 2003.-С.97-98.

3. Бутов В.Г., Бухтяк М.С., Жуков А.П., Пономарев C.B., Сидоренко Ю.Н., Солоненко В.А., Усманов Д.Б. Моделирование формы отражающей поверхности трансформируемых рефлекторов. Краевые задачи и математическое моделирование// Сб. тр. 6-ой Всерос. науч. конф. 29 ноября - 1 декабря 2003 г. Краевые задачи и методы их решения / НФИ КемГУ; Под ред. В.О.Каледина. -Новокузнецк: 2003. -С. 175- 178.

4. Бутов В.Г., Бухтяк М.С., Жуков А.П., Пономарев C.B., Сидоренко Ю.Н., Солоненко В.А., Усманов Д.Б. Моделирование формы поверхности напряженных сетчатых конструкций// Труды международной конференции "Фундаментальные и прикладные вопросы механики" Т.1. -Хабаровск: 2003. -С. 317-

5. Усманов Д.Б. Некоторые аспекты нелинейного конечно-элементного моделирования мембранной конструкции.// Сб. докладов IV Всероссийской научной конференции. Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики. Томск, 5-7 ноября 2004 г. -Томск: 2004. -С. 251-252.

6. Усманов Д.Б., Пономарев C.B. Некоторые аспекты нелинейного конечно-элементного моделирования мембранных конструкций. Часть I. // Вестник ТГУ,№32. -Томск: 2004. -С. 6-14.

7. Усманов Д.Б., Пономарев C.B. Некоторые аспекты нелинейного конечно-элементного моделирования мембранных конструкций. Масть 2. // Вестник ТГУ,№32. -Томск: -2004. -С. 15-24.

8. Усманов Д.Б. Формирование точной геометрии поверхности крупногабаритного рефлектора7/ Решетневские чтения.Материалы IX Международной научной конференции, поев. 45-летию Сиб. гос. аэрокосм, ун-та им. акад. М.Ф. Решетнева, 10-12 ноября 2005г. -Красноярск: 2005. -С.33-34.

9. Бутов В.Г., Бухтяк М.С., Жуков А.П., Пономарев C.B., Солоненко В.А., Усманов Д.Б., Халиманович В.И., Шипилов Г.В., Ящук A.A. Моделирование вантово-оболочечных конструкций рефлекторов// Ракетно-космическая техника. Фундаментальные и прикладные проблемы механики: Материалы Международной научной конференции, поев, 90-летию В.И. Феодосьева. Москва, 4-6 мая 2006 г.-М.: Изд-во МГТУ им. Н.Э. Баумана, 2006. -С.93.

324.

Отпечатано в типографии ООО «Диамант» Заказ 3086. Тираж 100 экз.

Введение.

1.3адачи моделирования конструкции рефлектора.

1.1. Характеристика процессов деформирования трансформируемых конструкций рефлекторов.

1.2. Декомпозиция сложной модели.

1.3. Типы формулировок задач для моделирования конструкции.

1.4. Кинематика деформирования односвязной области.

1.5. Описание деформации и меры деформации.

1.6. Силы внутренних напряжений.

1.7. Лагранжевы формулировки слабой формы.

1.8. Конечно-элементная дискретизация слабой формы.

1.9. Типы постановок задач для моделирования рефлектора.

2.Нелинейная конечно-элементная аппроксимация упругого движения тела.

2.1. Дискретизация модифицируемой лагранжевой формулировки.

2.2. Элементные координаты.

2.3. Матрица масс.

2.4. Матричная форма уравнений модифицируемой лагранжевой формулировки.

2.5. Численное интегрирование.

2.6. Уравнения полной лагранжевой формулировки.

2.7. Дискретизация полной лагранжевой формулировки.

3.Алгоритмы решения дискретной задачи.

3.1. Формулировка задачи с начальными условиями.

3.2. Алгоритм метода неявного интегрирования.

3.3. Линеаризация дискретных уравнений.

3.4. Матрицы тангенциальной жесткости.

3.5. Алгоритмы решения дискретных уравнений.

3.6. Критерии сходимости итерационных процедур.

3.7. Автоматический контроль длины шага.

3.8. Моделирование интерфейсов.

3.9. Формирование многосвязной области.

4.Размерно-редуцированные модели компонент рефлектора.

4.1. Представление конечных поворотов.

4.2. Модель мягкой оболочки зеркала рефлектора.

4.3. Модель балки в трехмерном пространстве.

5.Результаты численного моделирования.

5.1. Крупногабаритный рефлектор как объект моделирования.

5.2. Проектная геометрия офсетного рефлектора.

5.3. Модель формообразующей структуры рефлектора.

5.4. Модель силовой конструкции рефлектора.

5.5. Реализации алгоритма отыскания равновесной конфигурации на модельных задачах.

5.6. Определение монтажных напряжений в опорных сетях.

5.7. Базовое напряженно-деформированное состояние рефлектора.

Прецизионные трансформируемые крупногабаритные конструкции антенных рефлекторов становятся ключевыми компонентами технологии современной спутниковой связи, однако их создание представляет собой сложную техническую задачу. В ряде практических случаев гладкая поверхность зеркала из тонкой металлической сетки аппроксимируется предварительно-напряженной фермой из гибких элементов - тонких нитей, t лент и т.п., обеспечивающих трансформируемость конструкции рефлектора его развертывание из сложенной конфигурации в рабочую.

Такая аппроксимация зеркала приводит к образованию фасетов (многоугольников) с криволинейными границами. Достижению высокого качества отражения электромагнитных волн от зеркала рефлектора препятствуют в первую очередь эффекты седлообразования формы отражающей сетки внутри границ фасетов, которые носят устойчивый характер и характеризуются как систематические отклонения поверхности, т.е. являются присущими самой природе конструкции рефлектора, и, следовательно, подлежат коррекции в процессе проектирования.

Обеспечение качества поверхности зеркала вместе с другими техническими требованиями требуют адекватного прогнозирования эксплуатационных характеристик конструкции рефлектора в силу того, что их экспериментальная отработка затруднительна. Механическое поведение полностью ассемблированной системы рефлектора невозможно спрогнозировать рассмотрением изолированного поведения отдельной ее компоненты, каждая из которых, физически представляет собой определенное объединение тел.

Целями работы настоящей работы являются:

1) разработка математической модели механического поведения крупногабаритного трансформируемого рефлектора на основе его представления в виде совместной системы деформируемых твердых тел различной пространственной размерности;

2) разработка алгоритма пошагового расчета процесса деформирования конструкции рефлектора, включающего генерацию односвязных субдоменов размерно-редуцированных моделей конструктивных элементов рефлектора и их связывания в совместную систему;

3) исследование напряженно-деформированное состояние конструкции крупногабаритного трансформируемого рефлектора при воздействии внутренних и внешних нагрузок;

4) определение формы зеркала крупногабаритного трансформируемого рефлектора для различных деформированных конфигураций конструкции

Формулировки задач механики деформируемого твердого тела для вантово-мембранных систем принято считать нелинейными, поскольку для гибких тел являются характерными малые удлинения и сдвиги, а также большие относительные повороты волокон материалов [1]. Наряду с учетом нелинейности геометрических соотношений, необходимо принимать во внимание и появляющиеся при этом нелинейности определяющих соотношений физического состояния материала. Кроме того, в нелинейных задачах текущая конфигурация системы не отождествляется с ее отсчетной конфигурацией.

В механике деформируемого твердого тела конструкция рассматривается как многосвязное сплошное тело, объединенное из отдельных односвязных областей. Характеристики деформирования многосвязного тела могут быть получены с помощью методов анализа односвязных тел (областей) [2,3]. Тогда вопросы, связанные с деформацией конструкции в целом, сводятся к определению внутренних сил, возникающих в интерфейсах компонент и точках закрепления конструкции.

Прогнозирование формы тонкой мембраны зеркала подкрепленной вантовой сетью формулируется как обратная задача механики деформируемого твердого тела по отысканию равновесной формы тонкой напрялсенной мембраны в многосвязной системе. Эта задача эквивалентна отысканию минимальной поверхности [4]. С механической точки зрения, минимальные поверхности определяются изотропным полем напрялсений. Математически эта задача формулируется как отыскание оптимального распределения поля перемещений тонкой мембраны при заданном распределении поля напряжений. Для технических приложений этот подход является более предпочтительным, поскольку он непосредственно формулируется в терминах напряжений, которые предопределяют конфигурацию мембранной конструкции.

При описании напряженного состояния гибких элементов в текущей конфигурации с помощью тензора напряжений Коши с возникают определенные сложности, связанные с отсутствием априорной информации об актуальной конфигурации. В связи с этим в механике деформируемого твердого тела используются альтернативные описания напряженного состояния с использованием отсчетной конфигурации [2,3,5-15], которая входит в число известных данных. В некоторых случаях это позволяет упростить постановки и решение нелинейных задач.

Традиционно различают два основных подхода к рассмотрению задач механики деформируемого твердого тела как сплошной среды: лагранжев и эйлеров [2,5-15]. Известным преимуществом лагранжевой формулировки является неизменность области изменения пространственных переменных. В таких задачах также крайне необходимой является информация о деформированной конфигурации. При этом уравнения движения являются обычно нелинейными.

Промежуточное положение между двумя приведенными типами подходов занимает текущая лагранжева формулировка [5], которая является непосредственным развитием аналогичных подходов в теории малых деформаций.

Для данной формулировки характерным является:

- разбиение всего интервала нагружения на ряд достаточно малых этапов по некоторому параметру нагружения (например, времени);

- в начале каждого этапа конфигурация считается известной;

- для каждого этапа система уравнений записывается однотипно;

- отсчетная конфигурация известна в начале каждого этапа.

Мерой скорости изменения напряженного состояния является субстанциональная (материальная) производная о-тензора напряжений Коши [5,6], которая не удовлетворяет свойству индифферентности (хотя сам тензор Коши а является индифферентным). Поэтому непосредственное использование а в определяющих соотношениях может привести к нереалистичному описанию поведения среды вследствие зависимости параметров состояния среды от движения ее как жесткого целого. В связи с этим в геометрически нелинейных задачах механики деформируемого твердого тела широко применяются относительные скорости изменения тензоров напряжений, которые позволяют исключить изменение последних вследствие движения среды как жесткого целого.

В качестве относительных скоростей могут использоваться коротационные производные. Не единственность представления движения сплошной среды совокупностью трансляционного и вращательного перемещений как жесткого целого и деформационного движения порождает разнообразие коротационных производных.

В терминах скорости изменения тензора напряжений Коши а уравнение равновесия занимает одно из центральных мест в общей скоростной постановке начально-краевой (нестационарной) задачи конструкции. Решение задачи в нестационарной постановке, по сути, сводится к отысканию вектор-функции скорости v(7) точек среды, а вектор перемещений u(t) и тензор напряжений a(t) определяются интегрированием по времени [5].

Обычно, вектор перемещений u(t) отсчитывается от положения, в котором материал исследуемой области находится в естественном ненапряженном и недеформированном) состоянии. Если момент времени t = О соответствует естественному состоянию, то и0= 0, а0 = 0. Данная постановка позволяет формулировать задачи, в которых состояния материала могут отличаться от естественного, т.е. в момент времени / = О, которые имеют место во многих технологических процессах [5,14,15].

Альтернативной к приведенной выше является постановка нестационарной задачи процесса деформирования конструкции в терминах тензоров напряжений, деформаций и т.д., определяемых относительно отсчетной конфигурации [5,6,10-15]. Деформированная конфигурация тела определяется полем перемещений. Тогда задача состоит в определении полей перемещений, скоростей перемещений, тензоров напряжений и деформаций и их скоростей изменения, удовлетворяющих W б (0, со) системе определяющих уравнений.

Получить классическое решение краевых задач в перечисленных выше общих формулировках в большинстве случаев не представляется возможным. В связи с этим рассматривается обобщенное (слабое) решение задачи определения напряженно-деформированного состояния для различных постановок, упомянутых выше [5,6]. Для получения обобщенного решения широкое распространение получили вариационные принципы [2,5-16].

Обычно предполагается, что в обобщенном решении ряд уравнений выполняются точно, а остальные - в обобщенном смысле [5,6]. К числу точно выполняющихся соотношений обычно относят определяющие соотношения физического состояния материалов, меры деформаций, начальные и статические граничные условия. Граничные условия в скоростях удовлетворяются за счет выбора класса функций, на котором ищется решение. Уравнение сохранения количества движения (или статического равновесия) удовлетворяются в обобщенном (или слабом) смысле.

Для слабой формы различают два вида граничных условий, которые известны как существенные граничные условия (условия Дирихле) и естественные граничные условия (условия Неймана), естественным образом вовлекаемые в слабую форму [3,6]. Одним из преимуществ обобщенного решения является понижение порядка входящих в него производных искомых функций [5,6]. Слабая форма в скоростной постановке использует интегралы по деформированной (текущей) конфигурации [5,6].

Для численного решения нелинейных задач механики деформируемого твердого тела исходят из линеаризации нелинейной слабой формы, а для решения линеаризованной задачи применяются численные методы, сводящие исходную задачу к системе алгебраических уравнений [5,6].

Исходным пунктом для приближенного решения краевых задач является дискретизация континуума, т.е. переход от бесконечного числа степеней свободы, которым он обладает, к конечному числу степеней свободы. В последнее время чрезвычайно широкое распространение в механике сплошной среды получил предложенный Р. Курантом метод конечных элементов, теоретические аспекты и вопросы реализации которого достаточно подробно изложены в монографиях, например, [2,6-10].

В настоящее время метод конечных элементов обладает весьма мощным программным обеспечением, ориентированным на решение сложных краевых задач механики деформируемого твердого тела; в данном случае он трактуется именно как специфический метод аппроксимации искомого решения кусочно-непрерывными функциями [6,7-10].

Если уравнения сохранения выразить в терминах лагранжевых мер напряжений и деформаций в отсчетной конфигурации, то такие формулировки в литературе по механике деформируемого твердого тела принято считать лагранжевыми, в то время как в литературе по конечным элементам такие формулировки считаются полными лагранжевыми формулировками [6].

В лагранжевых сетках узлы и элементы перемещаются вместе с материалом. Границы и интерфейсы совпадают с краями конечных элементов. Точки квадратуры конечных элементов также перемещаются с материалом, поэтому уравнения физического состояния материала всегда оцениваются в одних и тех же материальных точках. Конечно-элементные дискретизации на основе лагранжевых сеток классифицируются на модифицируемую лагранжеву и полную лагранжеву формулировки [6].

В модифицируемой лагранжевой формулировке для слабой формы используются интегралы по деформированной (текущей) конфигурации, а производные берутся по пространственным (эйлеровым) координатам. Слабая форма использует уравнения количества движения, граничные условия в напряжениях, условия внутренней непрерывности сил напряжений, которые составляют совместно обобщенный баланс количества движения в терминах текущей конфигурации деформируемого твердого тела. При этом, выражение для слабой формы будет соответствовать принципу виртуальной мощности [6Д5].

В полной лагранжевой формулировке слабая форма использует интегралы по отсчетной (недеформированной) конфигурации и производные берутся по материальным координатам [6-9]. Слабая форма полной лагранжевой формулировки использует уравнения количества движения, граничные условия в напряжениях и условия внутренней непрерывности в напряжениях, которые совместно выражают обобщенный баланс количества движения в терминах отсчетной конфигурации тела. Выражение для слабой формы соответствует принципу виртуальной работы.

С фундаментальной точки зрения модифицируемая и полная лагранжевы формулировки являются идентичными [6]. Каждая из формулировок может иметь преимущества для определенных уравнений физического состояния материала или нагружений за счет сокращения числа необходимых преобразований.

Для численного интегрирования по времени уравнений движения совместной системы обычно привлекается j3 -метод Ньюмарка [6]. В результате применения неявного метода интегрирования по времени получаются дискретные уравнения, которые являются нелинейными алгебраическими уравнениями, определяющие нестационарный отклик системы в дискретных точках временного интервала.

В связи с этим описание процедуры решения статических задач часто комбинируют с описанием неявных процедур решения динамических задач. При решении статической задачи внешние нагрузки и другие условия, рассматриваемые как функции времени в динамической задаче, получают приращения (инкременты) в квазивременном интервале, время при этом не имеет физического смысла и часто заменяется монотонно возрастающим параметром [6-10].

В такой постановке статический или квазистатический анализ совместной системы охватывается посредством псевдо-временного параметра эволюции системы. При этом, для квазистатического процесса стандартная задача с начальными условиями будет включать значения напряжений в точках интегрирования конечных элементов и перемещения на границах совместной системы, известных в некоторый начальный момент времени t = 0, определяющего начальную конфигурацию совместной системы.

Время в данном процессе установления статического равновесия представляет собой некий псевдо-временной параметр эволюции системы. Если при этом математическая модель используемых материалов не включает в себя зависимостей от скорости деформации, то дискретные уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений в напряжениях и перемещениях.

В большинстве случаев начальная, отсчетная и недеформированная конфигурации совпадают. Здесь важно отметить, что при рассмотрении итерационного решения системы алгебраических уравнений конечно-элементной дискретизации отсчетная геометрия модели обычно выступает в качестве начального приближения к текущей конфигурации.

Во избежание сильных искажений конечных элементов в геометрически сильно-нелинейной задаче и обеспечения сходимости алгоритма Ньютона-Рафсона при решении системы алгебраических уравнений в общем случае многосвязную область разбивают на систему непересекающихся субдоменов (подобластей) [17]. По соображениям удобства и с учетом особенностей процесса деформирования при трансформировании конструкции рефлектора границы этих субдоменов могут совпадать с границами соответствующих моделей компонент конструкции, при этом односвязные области отдельных многосвязных компонент могут быть также разбиты на субдомены по указанным выше причинам.

Такое разбиение конечных односвязных областей позволяет проводить эффективный в смысле вычислительных затрат анализ напряженно-деформированного состояния многосвязной области, что соответствует вычислительной технологии на основе декомпозиции математической модели совместной системы [18].

Многосвязная модель конструкции рефлектора состоит из размерно-редуцированных моделей с разным порядком редуцирования пространственной размерности. Например, зеркало рефлектора представлено дискретной моделью из оболочечных (мембранных) конечных элементов и связывается с моделями стержней (телами меньшей размерности).

Используются два основных типа математически корректного связывания моделей тел смешанной пространственной размерности [18]:

1) объединение моделей тел различной геометрической размерности с одинаковым количеством степеней свободы;

2) объединение моделей тел различной геометрической размерности с использованием уравнений связей, обеспечивающих переходы между различными типами конечных элементов.

Вычислительная эффективность обычно связывают с расщеплением задачи по псевдо-временному параметру на ряд этапов эволюции дискретной модели [19]. Очевидно, что соображения по расщеплению квазивременного интервала не исчерпываются только обеспечением вычислительной эффективности, но и необходимостью адекватного учета «начальных» напряженных состояний отдельных односвязных областей в результирующее напряженное состояние многосвязной области в конце каждого этапа квазивременного интервала посредством изменения статуса границ текущих односвязных областей модели.

В конце квазивременного интервала текущая геометрия, напряженно-деформированные состояния односвязных областей, а также системы внутренних и внешних сил определяют равновесную форму (конечное состояние) совместной системы для заданных граничных условий. Полученная равновесная форма многосвязной области может далее рассматриваться как базовое состояние [6] дискретной модели, определяемое ненулевыми перемещениями и поворотами в узлах конечно-элементной модели.

На каждом этапе эволюции многосвязной области отыскивается приближенное решение нелинейной системы алгебраических уравнений равновесия с невязкой, представляющей дисбалансные силы в системе. Приближенное решение нелинейной системы уравнений равновесия многосвязной области отыскивается в результате итерационного решения последовательности линейных моделей с требуемым уровнем точности. Линейная модель является тангенциальной к нелинейной функции невязки нелинейных уравнений [6,7-10].

Соответствующая матрица линейной модели называют системной матрицей Якоби, которую также называют эффективной матрицей тангенциальной жесткости [6], а вклады инерционных, внутренних и внешних узловых сил линеаризуются отдельно. При этом матрица масс в лагранжевой сетке оказывается постоянной по времени. Численные значения матриц в полной и модифицируемой лагранжевой форме являются идентичными [6].

Матрицу Якоби внутренних узловых сил или матрицу тангенциальной жесткости представляют в виде суммы матрицы жесткости материала и матрицы геометрической жесткости («начальных напряжений») [6].

В статической задаче время заменяется монотонно возрастающим параметром, а соответствующие решения процессов равновесия представляют собой инкрементальные решения [6-10]. В схеме реализации алгоритма неявного интегрирования матрица Якоби оценивается и инвертируется на каждой итерации процедуры, что соответствует полному алгоритму Ньютона [6,7,10]. Существует модифицированный алгоритм Ньютона [6], более быстрый, но менее надежный, в котором матрица Якоби собирается и триангулируется только в начале шага или внутри шага.

Главным недостатком интегратора Ньюмарка [6] является возникновение высокочастотного шума в решении. С другой стороны, когда добавляется линейное демпфирование или искусственная вязкость, то точность заметно деградирует. Расширением метода Ньюмарка является метод Hilber-Hughes-Taylor (ННТ или а-метод), с помощью которого можно ввести численную диссипацию (демпфирование) без деградации порядка точности, и оно поддается непрерывному контролю. Такое демпфирование слабо влияет на низкочастотные моды и сильно влияет на высокочастотные моды. Оно зависит от отношения шага по времени к периоду колебаний [6].

Метод Ньюмарка имеет второй порядок точности [6]. При большом шаге стартовая итерация может быть далекой от решения, поэтому сходимость метода Ньютона становится проблематичной. Для улучшения сходимости алгоритма Ньютона требуются малые шаги по времени [6,7]. Для статических задач существует множество алгоритмов по автоматическому контролю величины шага, реализованных в современном программном обеспечении метода конечных элементов.

Прерывание итерационной процедуры при неявном и равновесном решениях с использованием метода Ньютона определяется критериями сходимости [6,7]. Эти критерии относятся к сходимости дискретного решения для уравнений равновесия, а не к сходимости дискретного решения к решению дифференциальных уравнений в частных производных.

Скорость сходимости итераций в методе Ньютона является квадратичной [6], если матрица Якоби удовлетворяет определенным условиям. Одним из условий для обеспечения квадратичной сходимости является непрерывная дифференцируемость и однородная ограниченность в окрестности решения невязки, и существование матрицы, обратной матрице Якоби. Эти условия обычно не выполняются в технических задачах. Проблемы со сходимостью наиболее часто встречаются в задачах статического равновесия, поэтому часто квазивременной интервал расщепляется на ряд шагов с тем, чтобы конфигурация совместной системы в конце предыдущего шага была хорошим приближением для конфигурации системы в начале следующего шага. При этом на каждом шаге число субдоменов многосвязной области уменьшается как минимум на единицу, а в конце квазивременного интервала достигается требуемая конфигурация равновесной формы.

Научная новизна данной работы состоит в том, что в ней впервые разработана математическая модель мембранно-вантовых конструкций * рефлектора, позволяющая исследовать напряженно-деформированные состояния в ее элементах с учетом геометрической нелинейности и физической нелинейности механического поведения материалов. Предложен новый алгоритм оценки равновесной формы зеркала рефлектора и необходимых усилий в конструкции для реализации данной формы при заданных уровнях напряженного состояния элементов конструкции. Разработан метод многоуровневого моделирования совместной системы, позволяющей охватить многообразие возможных конфигураций и эволюцию

Практическая ценность работы заключается в том, что разработанная модель и алгоритм решения задачи о деформации конструкции крупногабаритного рефлектора позволяет решать широкий спектр задач проектирования, связанных с технологиями сборки рефлектора, настройки и регулировки формы зеркала, что, в конечном счете, позволяет повысить качество и оперативность проектных работ и достигать требуемых значений технических характеристик рефлектора. Разработанные математические модели и алгоритмы использованы при проведении проектных работ по созданию реального изделия в НПО прикладной механики им. акад. М.Ф. Решетнева (г. Железногорск Красноярского края).

В первой главе рассматриваются задачи проектирования трансформируемых антенных рефлекторов - ключевых компонент технологии современной спутниковой связи. В конструкции рефлектора применение тонкостенных элементов (мембран, вантовых структур, ферм) представляет собой стратегию натуральной оптимизации с целью уменьшения массы материала. Физически, каждая компонента рефлектора представляет собой объединение (ансамбль) тел одной пространственной размерности, например, ансамбль стержней силовой конструкции, вантовая структура и т.п.

При изготовлении и в условиях эксплуатации на орбите (воздействия температур, инерционных нагрузок и т.п.) отражающая поверхность рефлектора испытывает отклонения [20] от проектной формы, которые считаются подушкообразной дисторсией [21,22] в направлении, противоположном кривизне отражающей поверхности, создающие препятствия для поддержания требуемой амплитуды и фазы электромагнитных полей на апертуре антенны [23], вызывая деградацию всех ее характеристик.

Во второй главе с единых позиций на основе лагранжевого подхода и законов сохранения рассматривается формулировка адекватного представления движения обобщенной компоненты конструкции как твердого деформируемого твердого тела на основе метода конечных элементов.

В модифицируемой лагранжевой формулировке текущая область Q разбивается на элементы Qe так, что Q = (jQe, а движение x(X,i) г аппроксимируется выражением x{X,t) = N{ (X)xf (t), где N{(X) интерполяционные функции , х{- радиус-вектор /-го узла [6].

Для дискретной модели текущей области Q деформируемого твердого тела формулируется стандартная задача с начальными условиями для дифференциальных уравнений первого порядка в скоростях и напряжениях в точках квадратуры конечных элементов. Начальные условия в узлах и точках квадратуры конечных элементов являются исходными данными [6].

В квазистатических задачах определяющие уравнения примут вид уравнений равновесия [5-13]. Если уравнения не зависят от скоростей деформации, то дискретные уравнения равновесия представляют собой систему нелинейных алгебраических уравнений в напряжениях и перемещениях [6].

В третьей главе рассматривается применение алгоритмов неявных методов интегрирования по времени уравнений движения для задач с начальными условиями для численного решения нелинейных уравнений равновесия.

Для решения нелинейных алгебраических уравнений равновесия используется метод Ньютона-Рафсона, идентичный методу Ньютона [6]. В качестве стартового значения обычно используется решение с последнего шага по времени.

Предложено рассматривать конструкцию рефлектора как многосвязное сплошное тело [3] в виде системы непересекающихся субдоменов (подобластей) для того, чтобы избежать существенных искажений конечных элементов в геометрически сильно-нелинейной задаче и обеспечить сходимость алгоритма Ньютона-Рафсона при решении системы алгебраических уравнений. Рекомендовано совмещать границы этих субдоменов с границами соответствующих односвязных областей.

Такое разбиение многосвязной области позволяет проводить эффективный в смысле вычислительных затрат анализ напряженно-деформированного состояния, что соответствует вычислительной технологии на основе декомпозиции математической модели совместной системы. При этом вычислительная эффективность обычно обеспечивается расщеплением задачи по псевдо-временному параметру на ряд этапов эволюции дискретной модели.

Тогда поиск равновесной конфигурации совместной системы будет представлять своего рода процесс преобразования начальной конфигурации в конечную конфигурацию, в результате которой совместная система будет претерпевать некоторую эволюцию. В начале каждого этапа конфигурация совместной системы считается известной.

Предложено связывать модели различной пространственной размерности в многосвязную систему на основе математически корректных типов объединений моделей тел с одинаковым количеством степеней свободы и с использованием уравнений связей, а также их сочетанием.

В четвертой главе рассматриваются вопросы представления моделей механического поведения тонкостенных гибких тел (мембран и стержней).

Движение гибкого тела представляется совокупностью трансляционного и вращательного перемещений как жесткого целого и деформационного движения. Для представления напряженного состояния используются встроенные (коротационные) системы координат, которые поворачиваются вместе со стержнем или элементом оболочки.

В пятой главе приводятся результаты численного моделирования напряженно-деформированного состояния офсетного крупногабаритного трансформируемого рефлектора, у которого две идентичные параболоидные триангулированные сети крепятся к развертываемой ободной ферме. Эта сборка нагружается растяжками (тонкими нитями), присоединенными к зеркальным узлам двух сетей. Нижние значения нормальных напряжений в элементах фронтальной сети предложено определять необходимостью формирования жестких границ фасетов отражающей поверхности. Чем жестче граница фасета, тем меньше будет прогиб вовнутрь ее натянутой границы от результирующей поперечной нагрузки натянутой мембранной оболочки внутри каждого фасета.

На ряде простых модельных задач рассматриваются реализация алгоритма пошагового отыскания равновесной формы для предварительно-напряженной мембраны и модификация ее формы при взаимодействии с предварительно-напряженной тонкой нитью. Представлены результаты исследований напряженно-деформированного состояния крупногабаритного рефлектора и определение равновесной формы его зеркала.

Автор выражает свою искреннюю благодарность руководству ФГУП «Научно-производственное объединение прикладной механики им. акад. М.Ф. Решетнева» (НПО ПМ) (г. Железногорск Красноярского края) за предоставленную возможность участвовать в техническом проекте по разработке «Инженерной модели параболической трансформируемой крупногабаритной антенны S-диапазона» и В.И. Халимановичу, Главному конструктору и Директору Отраслевого Центра трансформируемых механических систем, д.т.н. Е.Н. Головенкину, руководителю технического проекта, д.т.н. А.К. Шатрову, а также всем своим коллегам за их поддержку, обсуждение результатов исследований и высказанные полезные замечания, без которых было бы невозможно достичь целей настоящей работы.

Автор выражает свою искреннюю признательность всем сотрудникам ОСП НИИПМ ТГУ (г. Томск) к.ф.-м.н. С.В. Пономареву, д.ф.-м.н. В.Г. Бутову, к.ф.-м.н. В.А. Солоненко, а также сотрудникам кафедры механики деформируемого твердого тела физико-технического факультета ТГУ, работы которых оказали большое влияние на ход проведенных исследований.

Автор выражает свою огромную благодарность научному руководителю д.ф.-м.н. В.А. Скрипняку, заведующему кафедрой механики деформируемого твердого тела физико-технического факультета ТГУ (г. Томск).

1. ЗАДАЧИ МОДЕЛИРОВАНИЯ КОНСТРУКЦИИ РЕФЛЕКТОРА

В данной главе рассматриваются формулировки задач физико-математического моделирования конструкции крупногабаритного рефлектора.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

1. Разработана математическая модель вантово-оболочечных конструкций рефлектора, позволяющая исследовать напряженно-деформированные состояния элементов с учетом геометрической нелинейности и физической нелинейности механического поведения материалов. Конечно-элементная модель механического поведения вантово-оболочечных конструкции рефлектора, как многосвязного деформируемого твердого тела, создается в результате объединения размерно-редуцированных математических моделей конструктивных элементов рефлектора.

2. Получено численное решение нелинейных квазистатических задач по определению равновесного состояния конструкций рефлектора, как многосвязного твердого деформируемого тела, с использованием расщепления квазивременного интервала на последовательность шагов, определяющих эволюцию напряженно-деформированного состояния конструкции.

3. Разработан алгоритм пошагового моделирования процесса деформирования трансформируемых конструкций рефлектора. В процессе эволюции конструкции рефлектора совокупность односвязных областей совместной системы на каждом шаге квазивременного интервала преобразуется в окончательную деформированную конфигурацию. Число шагов квазивременного интервала определяется сходимостью итерационной процедуры Ньютона-Рафсона для решения уравнений равновесия. Деформированная конфигурация совместной системы односвязных областей на момент окончания предыдущего шага становится отсчетной конфигурацией («начальным приближением») для текущего шага.

4. Промежуточные подсистемы в виде ансамбля (сборки) односвязных областей различной пространственной размерности можно сформировать объединением односвязных областей с одинаковым количеством степеней свободы, а также с использованием уравнений связей для степеней свободы в интерфейсных узлах различных типов конечных элементов.

5. Показано, что декомпозиция совместной системы на совокупность подсистем допускает их автономную эволюцию в процессе проектирования сложной конструкции с сохранением интерфейсной совместимости между ними, что повышает гибкость и эффективность моделирования и сокращает временные затраты.

6. Получено решение обратной задачи определения формы зеркала рефлектора численным методом на основе процедур неявного интегрирования уравнений динамики совместной системы односвязных областей.

7. С использованием разработанной модели выполнены расчеты параметров напряженно-деформированного состояния реальной конструкции крупногабаритного трансформируемого рефлектора и формы ее отражающей поверхности для различных условий эксплуатации с учетом технических требований. Предложены рекомендации по формированию начальной конфигурации конструкции, обеспечивающие выполнение технических требований. На основании проведенных расчетов предложены рекомендации по способам точной настройки рефлектора в наземных условиях.

1. Новожилов В.В. Основы нелинейной теории упругости,—М.:1. Гостехиздат, 1948. -212с.

2. Васидзу К. Вариационные методы в теории упругости и пластичности. Пер с англ. М., Мир, 1987. -542с.

3. Михлин С.Г. Вариационные методы в математической физике. —М.:

4. Гос. изд-во тех.-теор. лит-ры, 1957.—476с.

5. Усманов Д.Б. Функционал для отыскания формы равнонапряженной мембраны / С.В.Пономарев, В.А.Скрипняк, Д.Б. Усманов // Фундаментальные и прикладные проблемы современной механики: доклады конференции. -Томск. Изд-во Том. ун-та, 2002. -С. 180-181.

6. Поздеев А.А., Трусов П.В., Няшин Ю.И. Большие упругопластическиедеформации: теория, алгоритмы, приложения. —М.: Наука, 1986. —232с.

7. Belytschko Т., Liu W. К., Morgan В. Nonlinear Finite Elements for Continua and Structures. -Chichester, England: J. Wiley & Sons LTD., 2000. -650pp.

8. Bathe K.J. Finite Element Procedures. -Eagle Wood Cliffe, New Jersey:

9. Prentice Hall, Inc., 1996. -1050p.

10. Crisfiled C. A. Non-linear Finite Analysis of Solids and Structures. Vol. 2: Advanced Topics. -England: John Wiley & Son Ltd, 1997. -494p.

11. Zienkiewicz O.C., Taylor RL. The Finite Element Method. 5th ed. Vol.l: The Basis. —Woburn, MA: Butterworth-Heinemann, 2000. —707p.

12. Zienkiewicz O.C., Taylor RL. The Finite Element Method. 5th ed. Vol.2: Solid Mechanics. -Woburn, MA: Butterworth-Heinemann, 2000. -258 p.

13. Ильюшин А.А. Механика сплошной среды. —М.: Изд-во МГУ, 1978. -287с.

14. Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. —М.: Наука, 1980. —512с.

15. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т.1. —М.: Наука, 1972. —492с.

16. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Наука, 1979.-744 с.

17. Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. -Л.: Машиностроение, 1986. -336 с.

18. Циглер Ф. Механика твердых тел и жидкостей. Пер. с англ. Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2002. -912с.

19. Workshop.-Bled, Slovenia, 2004. Режим доступа: http://arw-bled2004.scix.net/

20. Files/ acceptedpapers/NATO-ARW.Felippa.paper.rev.pdf, свободный.

21. Марчук Г.И. Методы расщепления. —М.: Наука. Гл. ред. физ. мат.лит., 1988. -264 с.

22. Гряник М.В., Ломан В.И. Развертываемые зеркальные антенны зонтичного типа. -М.: Радио и связь, 1987. 72 с.

23. Meyer R.X. Precision of mesh-type reflectors for large space-borne antennas. //AIAA/ASME/AHS 23rd Structures, Structural Dynamics and Materials

24. Conference (May 10-12, 1982)-New Orleans: 1982. -Vol. 22. -No.l —pp.80-84.

25. Tibert A.G. Deployable Tensegrity Structures for Space Applications// Электронный ресурс.: Technical Report 2002:04. ISSN 0348-467X. ISRN KTH/MEK/TR-02/04- SE. Режим доступа: http://www2.mech.kth.se/~gunnart/ TibertDocThesis.pdf, свободный.

26. Жук М.С., Молочков Ю.Б. Проектирование антенно-фидерныхустройств. -M.-JL: Энергия, 1966. —648с.

27. Thomson M.W. Astromesh deployable reflectors for Ku- and Ka-band commercial satellites// Электронный ресурс.: 20th AIAA International Communication Satellite Systems Conference and Exhibit (May 12-15, 2002).

28. Режим доступа: http://www.st.northropgrumman.com/astro-aerospace/SiteFiles/docs/pdfs/IMSCPaper99.pdf, свободный.

29. Tibert A. G., Pellegrino, S. Deployable Tensegrity Reflectors for Small Satellites// Электронный ресурс.: Department of Engineering, University of

30. Cambridge. —Режим доступа: http://www-civ.eng.cam.ac.uk/dsl/publications/tensereflect.pdf, свободный.

31. Tibert A.G. Optimal design of tension truss antennas/ AIAA-2003-1629// Электронный ресурс.: 44th AIAA/ASME/ASCE/AHS Structures, Structural

32. Dynamics, and Materials Conference (7-10 April, 2003). -Norfolk, 2003. -Режимдоступа: http://www2.mech.kth.se/~gunnart/AIAA-2003-1629.pdf.

33. Гуляев В.И., Гайдачук, Чернявский А.Г., Шалино JI. О динамике крупногабаритного разворачивающего рефлектора// Прикладная механика.-Киев, 2003. -39. -№9. -С.109-115.

34. Зимин В.Н., Колосков И.М., Мешковский В.Е. Особенности расчета динамических характеристик раскрывающейся ферменной космическойконструкции// Проблемы машиностроения и надежности машин. -2001. -№ 1, -С. 12-15.

35. Зимин В.Н. Особенности расчета раскрывающейся ферменной космической конструкции// Проблемы машиностроения и надежности машин. -2005.-№ 1.-С. 20-25.

36. Зимин В.Н., Колосков И.М., Мешковский В.Е. Динамические испытания раскрывающейся зеркальной космической антенны// Проблемы машиностроения и надежности машин. -2000 г. -№ 2. С. 120-124.

37. Усманов Д.Б. О методах расчета НДС тонких мембран/ Пономарев С.В., Скрипняк В.А., Усманов Д.Б. //Сб. докладов конференции " Физика ихимия высокоэнергетических систем". —Томск: ТГУ, 2003.-С.97-98.

38. Усманов Д.Б. Некоторые аспекты нелинейного конечно-элементного моделирования мембранных конструкций. Часть 1./Д.Б. Усманов, С.В. Пономарев // Вестник ТГУ, №32. Томск: -2004. -С. 6-14.

39. Усманов Д.Б. Некоторые аспекты нелинейного конечно-элементного моделирования мембранных конструкций. Часть 2./Д.Б. Усманов, С.В. Пономарев // Вестник ТГУ, №32. Томск: -2004. -С. 15-24.

40. Yi Lin. General Systems Theory: A mathematical approach. -New York:

41. Kluwer Academic Publishers, 2002. —385p.

42. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. —М.: Физматлит, 1958.-568с.

43. Ransom J. В. Interface technology for geometrically nonlinear analysis of multiple connected subdomains// Электронный ресурс.: AIAA/ASME/ASCE/AHS/ASС 38th Structures, Structural Dynamics, and Materials

44. Conference, (April 7-10, 1997).-Kissimmee, 1997.-Режим доступа: http://citeseer.ist.psu.edu/148113.html, свободный.

45. Лурье А.И. Теория упругости. -М.: Наука, 1970. -940с.

46. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Обобщенные функции и действия над ними. —М.: Гос. издат. физ.-мат. лит-ры, 1959. —440 с.

47. Ibrahimbegovic A., Taylor R. L. On the role of frame-invariance in structural mechanics models at finite rotations// Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. 2002. —191. — pp.5159-5176.

48. Zhang W., Leonard J.L., Accorsi M.L. Analysis of geometrically nonlinear anisotropic membranes: theory and verification//Finite Elements in Analysis and Design. 2005—41. —pp. 963-988.

49. Кабриц C.A., Михайловский Е.И., Товстик П.Е., Черных К.Ф., Шамна В.А. Общая нелинейная теория упругих оболочек/Отв.ред. К.Ф. Черных, С.А. Кабрица. СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2002. —388с.

50. Власов В.З. Тонкостенные упругие стержни. —М.: Гл. ред. физ. мат. лит., 1958.-568с.

51. Libai A., Simmonds J.G. The Nonlinear Theory of Elastic Shells: Second Edition. —Cambridge: Cambridge University Press, 1998.—544p.

52. Eschenauer H., Olhoff N., Scnell W. Applied Structural Mechanics/ Fundamentals of Elasticity, Load-Bearing Structures, Structural Optimization including exercises. Berlin: Springer-Ferlag, 1997. —407p.

53. Кильчевский H.A. Основы аналитической механики оболочек. — Киев: Изд-во АН УССР, 1963. —356с.

54. Simo J.C., Rifai M.S., Foz D.D. On a Stress Resultant Geometrically Exact Shell Model/Part IV: Variable Thickness Shells with Through-the-Thickness

55. Stretching// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering, 1990. —81, —pp. 91-126.

56. Reissner E. On finite deformations of space-curved beams// J. Appl. Math. Phys, 1981. —32. —pp.734-744.

57. Reissner E. Some considerations on the problem of torsion and flexure of prismatical beams// Int. J. Solids Structures. 1979. —15. —pp.41-53.

58. Reissner E. Further considerations on the problem of torsion and flexure of prismatical beams// Int. J. Solids Structures. 1983. —19. — №5. —pp. 385-392.

59. Atluri S.N., Iura M. A consistent theory of finite stretches and finite rotations, in space-curved beams of arbitrary cross-section// Computational Mechanics. —Springer-Verlag, 2001. —27. —pp.271-281.

60. Simo J.C., N. Tarnow, and M. Doblare. Non-linear dynamics of three-dimensional rods: Exact energy and momentum conserving algorithm// International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1995.—38. pp.1431-1473.

61. Iura M., Atluri S.N. Dynamic analysis of finitely stretched and rotated three-dimensional space-curved beams // Computers & Structures. 1988. —29. —pp.875889.

62. Iura M., Atluri S.N. On a consistent theory and variational formulation of finitely stretched and rotated 3-D space-curved beams// Computational Mechanics. 1989.—4,—pp.73-88.

63. Simo J.C. A finite strain beam formulation: three-dimensional dynamics/ Part I// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1985. —49. —pp.55-70.

64. Simo J.C, Vu-Quoc L. A three-dimensional finite-strain rod model/ Part II: Geometric and computational aspects// Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1986. —58.—pp. 79-116.

65. Cordona A., Greradin M. A beam finite element non-linear theory with finite rotations// International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1988. —26. —pp. 2403-2438.

66. Ibrahimbegovic, A., Frey, F., Kozar, I. Computational Aspects of VectorLike Parametrization of Three-Dimensional Finite Rotations// International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1995. —38. —pp. 3653-3673.

67. Simo J.C., Tarnow N., Doblare M. Non-linear dynamics of three-dimensional rods: Exact energy and momentum conserving algorithm// International Journal for Numerical Methods in Engineering. 1995. —38. —pp. 1431-1473.

68. Simo J.C., Vu-Quoc L. A geometrically-exact rod model incorporating shear and torsion-warping deformation// International Journal of Solids and Structures. 1991. —27. —No.3. —pp.371-393.

69. Тимошенко С.П., Гудьер Дж. Теория упругости: Пер. с англ. -2-е изд. —М.: Наука, 1979. —560с.

70. Меркин Д.Р. Введение в механику гибкой нити. М.: Наука, 1980. -240с.