Моделирование нелинейной динамики поверхностных и внутренних волн в однородных и двухслойных жидкостях тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ХАБАХПАШЕВ Георгий Алексеевич

МОДЕЛИРОВАНИЕ НЕЛИНЕЙНОЙ ДИНАМИКИ ПОВЕРХНОСТНЫХ И ВНУТРЕННИХ ВОЛН

В ОДНОРОДНЫХ И ДВУХСЛОЙНЫХ жидкостях

/

01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Новосибирск — 2006

Работа выполнена в Институте теплофизики им. С.С.Кутателадзе СО РАН (г. Новосибирск)

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

профессор Макаренко Николай Иванович; доктор физико-математических наук профессор Пелиновский Ефим Наумович; доктор физико-математических наук профессор Чубаров Леонид Борисович

Ведущая организация: Институт проблем механики РАН

(г. Москва)

Защита состоится «_»_2006 г. в_часов на заседании диссертационного совета по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора наук Д 003.053.01 в Институте теплофизики им. С.С.Кутателадзе СО РАН (630090, г. Новосибирск, проспект Академика Лаврентьева, д. 1).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Института теплофизики им. С.С.Кутателадзе СО РАН.

Автореферат разослан «_»_2006 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Кузнецов В.В.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации обусловлена, в первую очередь, тем, что моделирование динамики волн в жидкостях является фундаментальной научной проблемой гидромеханики и общей теории нелинейных волновых процессов (Овсянников и др., 1985). Несомненна также практическая значимость изучения возмущений на свободных границах жидкостей для океанологии, мореплавания и прогнозирования волн цунами (Пелиновскии, 1982, 1996; Шокин и др., 1989). Вследствие важной роли поверхностных и внутренних волн в процессах, определяющих обмен в стратифицированных жидкостях, вопрос об эволюции гравитационных возмущений занимает существенное место в понимании динамики естественных водоемов в целом.

Гравитационные волны в жидкостях служат одним из классических объектов гидромеханики. Эти вопросы привлекают внимание большого числа исследователей не только ввиду их исключительной важности для технических приложений, но и благодаря их уникальности для изучения фундаментальных закономерностей развития нелинейных волновых структур. На свободных границах могут иметь место волны различных типов: бегущие стационарные или нестационарные, регулярные или нерегулярные в пространстве, и т. д.

К настоящему времени с достаточной подробностью изучены линейные волновые движения идеальной жидкости. В течение последних тридцати лет появилась обширная литература, посвященная распространению нелинейных возмущений в средах с дисперсией. Несмотря на интенсивность исследования, эта проблема решена далеко не полностью. Так, при теоретическом моделировании волновых процессов в случаях, когда характерный горизонтальный размер плоских слабонелинейных возмущений мал или велик по сравнению с глубиной жидкости, выведены и рассмотрены эволюционные уравнения типа уравнения Кортевега — де Вриза, Буссинеска, Шредингера, Бенджамина — Оно, Джозефа и им .подобные. Однако область их применения недостаточно широка: небольшими являются диапазоны длин волн, в которых они могут быть корректно использованы.

В связи с этим одной из актуальнейших задач гидродинамики, с практической точки зрения, стало совместное описание эволюции как длинных, так и коротких трехмерных волн, бегущих по свободным границам. Первой подобной моделью была так называемая рефракцнонно-дифракционная модель Бпркгофа. Вывод другой модели, состоящей из системы двух дифференциальных уравнений, основан на простейшей полиномиальной аппроксимации точного (трансцендентного) дисперсионного соотношения. Но оба этих подхода справедливы только для линейных возмущений.

Вопрос о нелинейных волновых процессах в вязкой жидкости, вообще, изучен слабо. При учете диссипации основное внимание уделялось затуханию волн, а эффект их торможения практически не рассматривался. Однако в некоторых экспериментах отмечалось, что скорости распространения гравитационных возмущений несколько ниже значений, предсказываемых невязкой теорией. Кроме того, при теоретических исследованиях волновых процессов для трения жидкости о дно и на других границах обычно использовали либо его квазистационарное значение, либо значение, усредненное на длине волны.

Понимание динамики естественных водоемов не реально без рассмотрения вопроса о волнах в стратифицированных жидкостях. Для правильного описания внутренних возмущений в морях и океанах, содержащих пик-ноклин, необходимо задавать реальную зависимость плотности от глубины. Но наиболее простой моделью, учитывающей стратификацию, является профиль в виде одной ступеньки. Хотя в двухслойной жидкости возможны только две моды колебаний (баротропная и первая бароклинная), это ограничение не так серьезно. Результаты наблюдений показывают, что во многих ситуациях большая часть энергии приходится именно на две данные моды колебаний.

Первые попытки аналитически учесть влияние пограничных слоев на динамику длинных внутренних волн малой, но конечной амплитуды, бегущих по границе раздела жидкостей, также были предприняты с помощью энергетических соотношений и выражений для трения, усредненного на длине волны. Поэтому удовлетворительного согласия теории с экспериментами по затуханию уединенных возмущений в этих работах тоже не получено.

Что касается задачи о гравитационных волнах на свободных поверхностях неглубоких потоков жидкости со сдвигом продольной скорости, то она уже полвека привлекает внимание специалистов в области гидромеханики. Однако в последнее время интерес к подобным исследованиям заметно возрос. В частности, в недавних статьях предложены модельные уравнения для внутренних волн, учитывающие стационарные потоки идеальных жидкостей с кусочно-постоянной зависимостью скорости от глубины в различных многослойных средах. В ряде других работ для двухслойного течения Пуазейля различных минеральных масел с водой в плоских однодюймовых горизонтальных каналах была экспериментально продемонстрирована устойчивость течений к внутренним возмущениям вплоть до возникновения турбулентности.

Основная цель данной работы состоит в моделировании распространения волн малой, по конечной амплитуды на свободной поверхности и границе раздела жидкостей различной плотности. Для этого необходимо было получить модели для рассмотрения как низкочастотных, так и

высокочастотных возмущений. В вязких жидкостях, в первую очередь, внимание следовало уделить длинным (по отношению к глубинам слоев) волнам, потому что именно для них будет заметным влияние нестационарного трения в приграничных областях.

Научная новизна основных положений, результатов и выводов, полученных в диссертации, может быть сгруппирована в следующие четыре главных пункта.

1. Выведены нелинейные эволюционные уравнения, имеющие ббль-шую область применимости, чем аналогичные уравнения, предлагавшиеся ранее другими авторами для рассматриваемых задач. Впервые построены и изучены нелинейные «дифференциальные» модели, пригодные для описания трансформации как длинных, так и коротких волн в бассейнах с пологим дном.

2. Проведен детальный учет вязкости при распространении гравитационных возмущений в мелюгх жидкостях. Предсказана возможность наблюдения отрывов тонких пристенных слоев и возникновения у твердых границ зон возвратного течения. Кроме того, впервые исследован вопрос о конкуренции между влияниями уменьшения глубины бассейна и нестационарного трения о недеформируемые границы. В частности, продемонстрирована ситуация, когда вклады этих эффектов в основном компенсируют друг друга.

3. Предложен новый подход к моделированию динамики пространственных волн малой, но конечной амплитуды, который свободен от основных недостатков, использовавшихся ранее методик. Данный подход применим для слабонелинейных волн, бегущих под любыми углами друг к другу, но нахождение решений и их анализ значительно проще, чем с помощью стандартных систем уравнений.

4. Исследовано влияние установившегося ламинарного сдвигового потока двух жидкостей в горизонтальном канале на вид профилей вертикальных компонент скоростей. Впервые показано, что величина и направление стационарного течения могут изменять не только характерные длины возмущений, но и их полярность.

Научная п практическая ценность полученных в работе результатов состоит, в первую очередь, в выводе нелинейных эволюционных уравнений, способных описывать волновые процессы на свободной поверхности однородной жидкости и границе раздела двухслойной системы произвольной глубины. Изучение систем со скачком плотности очень важно для понимания поведения внутренних волн в стратифицированных жидкостях с тонким пикноклином. Поэтому данные уравнения могут использоваться для моделирования динамики трехмерных возмущений не только в лабораторных установках, но и в естественных водоемах. Предсказанные явления отрыва тонких пристенных слоев и возникновений возвратных течений

у твердых границ при распространении волн могут оказать существенное влияние на процессы тепло- и массопереноса в неглубоких слоях жидкостей.

Разработанные в диссертации методы получения эволюционных уравнений могут быть применены как в других областях физики нелинейных волн, так и при решении ряда прикладных задач. Исследование влияния нестационарного трения на трансформацию умеренно длинных нелинейных возмущений свободной поверхности однородной жидкости и вывод эволюционного уравнения для умеренно длинных волн малой, но конечной амплитуды в двухслойной системе с верхней свободной границей использованы в двух монографиях (Накоряков и др., 1983 и Накоряков и др., 1990) соответственно.

Достоверность полученных результатов обеспечивается, в первую очередь, тем, что предложенные модели выведены классических систем уравнении гидродинамики с помощью физически разумных допущений и многократно проверенных методов. Они являются обобщением широко известных моделей и согласуются с ними в частных случаях. Найденные численные решения хорошо описывают имеющиеся экспериментальные данные ряда отечественных и зарубежных ученых. Наконец, все программы расчетов тестировались на аналитических зависимостях, определенных как автором, так и другими исследователями.

Автор защищает следующие положения и результаты диссертации:

1. Построение дифференциальных моделей для слабонелинейных квазистационарных трехмерных возмущений свободной поверхности одно, родной жидкости и границы раздела двухслойной системы произвольной

глубины. Аналитическое определение периодических и уединенных плоских приближенных решений предложенных уравнений. Численное нахождение форм установившихся бегущих пространственных волн и эволюции возмущений при различных пологих изменениях глубин бассейнов или геометрий каналов.

2. Вывод уравнения для расчета воздействия умеренно длинных внутренних волн на возмущение свободной поверхности водоемов с очень тонким пикноклином. Результаты, демонстрирующие интерференцию свободных и вынужденных (возникших из-за возмущений пикноклина) поверхностных волн.

3. Получение модельных интегро-дифференциальных уравнений, учитывающих малую, но конечную амплитуду трехмерных возмущений свободной поверхности однородной жидкости и границы раздела двухслойной системы, длинноволновые вклады инерции слоев жидкости и поверхностных натяжений, слабый наклон недеформируемых границ и нестационарные трения на всех границах системы. Результаты вычислений эволюции профилей одиночных волн, выполненные с помощью этих уравнений и

описывающие имеющиеся экспериментальные данные лучше, чем подходы других авторов.

4. Предсказание возможности наблюдения отрывов тонких пограничных слоев и возникновения зон возвратного течения у твердых границ вязкой жидкости при распространении даже двумерных уединенных гравитационных возмущений постоянного знака. Результаты расчетов, показывающие, что наличие нестационарных трений может существенно изменить профили волн.

5. Вычисление воздействия переменной глубины бассейнов и препятствий различной формы на трансформацию первоначально плоских одиночных возмущений. Результаты, демонстрирующие, что дисбаланс эффектов нелинейности волн и дисперсии умеренно длинных возмущений, вызванный уменьшением глубины жидкости, может быть скомпенсирован в основном вязкой диссипацией.

6. Новый подход к моделированию динамики пространственных волн малой, но конечной амплитуды, бегущих в различных направлениях. Вывод одного главного эволюционного уравнения и двух простейших линейных вспомогательных, которые нужны для определения вектора горизонтальной скорости жидкости, входящего лишь в члены второго порядка малости основного уравнения.

7. Исследование воздействия установившегося двухслойного потока вязких жидкостей в горизонтальном канале на профиль вертикальной скорости возмущенного движения. Обнаружение эффекта экранирования длинных линейных гравитационных волн достаточно быстрыми спутными стационарными течениями при некоторых значениях параметров. Анализ влияния величины и направления установившегося потока, а также других характеристик жидкостей (глубин, плотностей, вязкостен и поверхностного натяжения) на продольные размеры возмущений малой, но конечной амплитуды и их полярность.

Апробация работы проходила на следующих научных мероприятиях: Совещание по цунами (Горький, 1984), У1-УШ Всесоюзные съезды по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986; Москва, 1991; Пермь,~2001), I—VI Совещания по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Абакан, 1988; Ростов-на-Дону, 1990; Новосибирск, 1992, 1994, 1996 и 1998), I—V Европейские конференции по механике жидкости и газа (Кембридж, 1991; Варшава, 1994; Геттинген, 1997; Эйндховен, 2000; Тулуза, 2003), Международная конференция «Задачи со свободными границами в механике сплошных сред» (Новосибирск, 1991), XVII и XXVII Генеральные ассамблеи Европейского геофизического общества (Эдинбург, 1992; Ницца, 2002), Международное совещание «Мезо- и микроструктура океана» (Санкт-Петербург, 1992), XII Международная школа по моделям механики сплошной среды (Казань, 1993), Международный симпозиум

«Нелинейные колебания, волны и вихри в жидкостях» (Санкт-Петербург, 1994), Международная конференция «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1996), II—IV Сибирские конгрессы по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996, 1998 и 2000), Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999), V и VI Международные конференции «Лаврентьевские чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2000, 2005), VIII и IX Международные конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» (Новосибирск, 2001 и 2004), Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика» (Новосибирск, 2001), Всероссийская конференция «Теория и приложения задач со свободными границами» (Бнйск, 2002), Международные конференции по вычислительной математике (Новосибирск, 2002 и 2004), IV Европейская конференция по нелинейным колебаниям (Москва, 2002), Международная конференция «Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании» (Алматы, 2002), Международный симпозиум «Актуальные проблемы нелинейной волновой физики» (Нижний Новгород, 2003), Международная конференция «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2003), Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Усть-Каменогорск, 2003), Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике: построение и изучение» (Новосибирск, 2004), XXI Международный конгресс по теоретической и прикладной механике (Варшава, 2004), Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Алматы, 2004), Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2005), XXVIII Сибирский теплофизический семинар (Новосибирск, 2005). На всех этих мероприятиях докладывались и обсуждались основные результаты диссертации.

Кроме того, ряд разделов данной работы был поддержан Российским фондом фундаментальных исследований (гранты 96-01-01766, 00-01-00849, 00-05-65441, 04-01-00183), Советом по господдержке ведущих научных школ Российской Федерации (гранты 96-15-96314 и 00-15-96810), Сибирским отделением Российской академии наук (интеграционные проекты фундаментальных исследований 43-97 и 01-00, а также базовый проект фундаментальных исследований 4.2-04).

Работа опубликована в 79 научных трудах (в отечественных и зарубежных изданиях). Основными из них являются 27 наименований, список которых приведен в конце автореферата.

Личный вклад автора в защищаемую работу является следующим: постановка большинства рассмотренных задач, вывод всех модельных

нелинейных эволюционных уравнений, нахождение их аналитических решений, проведение ряда вычислительных экспериментов и анализ полученных результатов. Инициированы эти исследования были в начале 80-х годов прошлого века акад. В.Е.Накоряковым и д. ф.-м. н. А.А.Борисовым. Почти половина из основных научных трудов диссертанта опубликована без соавторов.

В работах, выполненных вместе с аспирантом Д. Г. Архиповым, ему принадлежат идея изучения влияния стационарного потока на профили скорости и осуществление численных расчетов по уравнениям Орра-Зоммер-фельда. Он также участвовал в получении модельных уравнений, написании программ для вычислительных экспериментов по трансформации волн.

В статьях, опубликованных совместно с д. ф.-м. н. А. А. Борисовым, последний принимал участие в постановке задач по моделированию волн произвольной длины и обсуждении полученных результатов.

В исследованиях, проведенных вместе с к. ф.-м. н. А. А. Бочаровым, ему принадлежит разработка алгоритма нахождения стационарных трехмерных решений рассматривавшихся уравнений. Здесь диссертант осуществлял общее руководство и участвовал в выполнении численных расчетов.

В работах, сделанных совместно с аспирантом А. А. Литвиненко, использовался созданный последним программный комплекс. Тут диссертант также кроме общего руководства участвовал в проведении численных экспериментов по эволюции разнообразных возмущений.

В статьях, написанных вместе с д. ф.-м. н. О. Ю.Цвелодубом, ему принадлежит разработка алгоритма нахождения стационарных двумерных решений рассматривавшихся моделей. И здесь диссертант участвовал в выполнении вычислений, как для периодических, так и для уединенных волн.

Структура п объем диссертации: работа состоит из введения, семи глав (три в первой части и четыре во второй части), заключения и списка цитируемой литературы, содержащего 162 наименования; общий объем диссертации —225 страниц, включая 95 рисунков.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении рассмотрено современное состояние проблемы, обоснована актуальность работы и сформулирована основная ее цель, изложена краткая аннотация семи глав диссертации, научная новизна ее основных положений, результатов и выводов, научная и практическая ценность работы, представлен перечень выносимых на защиту основных положений диссертации, обоснована достоверность полученных результатов, указаны основные публикации данной работы, сформулированы личный вклад автора и соавторов по совместным научным трудам, приведены список научных мероприятий, на которых проходила апробация диссертации.

Общими для всей диссертации допущениями являются несжимаемость жидкостей, слабая нелинейность волн, пренебрежение величинами третьего порядка малости, а также неподвижность и недеформируемость пологого дна (в главах 2, 5, 7 — и крышки системы). Во всех главах, кроме последней, предполагается, что средние значения скоростей частиц в слоях равны нулю, т. е. стационарные течения отсутствуют.

Первая часть работы посвящена изучению трансформации безвихревых возмущений в идеальных жидкостях произвольной глубины (широкий спектр длин волн). Здесь всюду для перехода от систем уравнений, содержащих горизонтальные компоненты скоростей частиц, к одному уравнению для возмущений свободных границ использовано приближение о квазистационарности волн малой, но конечной амплитуды.

В главе 1 исследованы поверхностные возмущения однородной слоя. В разделе 1.1 проанализированы аппроксимации линейного дисперсионного соотношения (не только полиномиальные, но и дробно-рациональные):

со1 1{\ + асо1) + со*Ь1 g = k2gh, где со — циклическая частота, со; =co2h/g, h — невозмущенная глубина жидкости, g — ускорение свободного падения, к — волновое число. При а = 0 максимальная относительная ошибка аппроксимации не превосходит П %, а при а = 2/3—4% (см. рис. 1).

В разделе 1.2 благодаря указанной аппроксимации предложена дифференциальная связь поверхностного us и осредненного по вертикальной

0.6 0,4

0.2

0,1 о.з 1 з ю АЛ 100

Рис. 1. Зависимость фазовой скорости (с* = (со /А) / С?Л)1/2) от волнового числа: кривая Т — расчет по точному дисперсионному соотношению, линия 1 - по простой полиномиальной аппроксимации (а = 0), линия 2 - по Паде-аппрок-сммации с а = 2/3, линия 3 - по высокочастотной асимптотике со1 = g |А|, а линия 4 — по дисперсионному соотношению для классического уравнения Кор-тевега- де Врнза ш = с0|А| [1 -(АЛ)2/ 6].

Рис. 2. Зависимость безразмерного коэффициента fj* = fj h при квадратичном члене в формуле для волн Стокса малой, но конечной амплитуды от безразмерного волнового числа АЛ; кривая Т — расчет по известной точной формуле ц = (А/2) ctg ( 1 + 3 / [2sh (А/г)]), линия 1 -расчет но дробно-рациональной аппроксимации с а = 0, линия 2 — расчет по дробно-рациональной аппроксимации второго порядка точности ( с а = 2/3 ).

координате (и) значений скорости частиц, которая хорошо согласуется как с известным решением для коротких волн Стокса (малой, но конечной амплитуды), так и с очевидными результатами в низкочастотном пределе:

Д и

= <ц>-—4

3/7 32п) д2 <и> .

1-1 + 1] +--|—

§

812 де

ЕдС2

где т] — отклонение уровня жидкости, / — время, а и3' - вектор скорости поступательного перемещения частиц жидкости у свободной поверхности бесконечно глубокого слоя в направлении движения волны.

Данная формула необходима в связи с тем, что после интегрирования по вертикальной координате уравнения неразрывности и уравнений Эйлера в законах сохранения массы и импульса остаются лишь эти два значения горизонтальных составляющих скоростей. В результате, с помощью стандартных динамического и кинематических краевых условий система исходных уравнений гидродинамики сведена к двум уравнениям, являющимся математической основой модели трехмерных слабонелинейных возмущений свободной поверхности при пологом изменении дна бассейна. Для линейных волн эти уравнения совпадают с «дифференциальной» моделью Пелиновского (1988).

В разделе 1.3, благодаря скалярному применению оператора V , определенному в горизонтальной плоскости, к закону сохранения импульса, а также с помощью закона сохранения массы удалось избавиться от линейных слагаемых, содержащих осредненную скорость. Для того чтобы исключить значение (и) из членов второго порядка малости, использовалось предположение о квазистационарности возмущений. В итоге выведено одно эволюционное уравнение для поверхностных волн:

И ду.

/ =2 N д П

К"

Я/2

д(

V??

8г2 ^ с* й &

1 + -Д 2 '

ЭУ д12

+-д

г

а?4 2g

7/? д2

2 А' 812

82п

\2

а2

Здесь и — вектор характерной скорости распространения возмущения. Выведенное дифференциальное уравнение пригодно для описания волн в широком диапазоне соотношениий глубины бассейна и характерного горизонтального размера возмущения свободной поверхности жидкости.

В разделе 1.4 это уравнение протестировано на задаче о плавном переходе плоских линейных волн с глубокой воды на мелкую (см., например, Филлипс, 1980). Показано, что модель второго порядка точности имеет правильную асимптотику для длинных возмущений, которая принципиально важна при расчете высоты заплеска волны. В целом, ошибка в вычислении амплитуды возмущения не превосходит 4 %.

В разделе 1.5 аналитически найдены двумерные нелинейные установившиеся возмущения типа волн Стокса: // = а соб(££) + ц а2 соб(2кс) + ...,

3 + 7 со} + б ¡у.4 + асо}[ 4 + Ъ2со} + 3 со; (9 со? -1 /с,2)]

где // =-^—1-:--— , а с = х - £Л\

12/игл. [1 + «(5®, — 1/с,)]

В пределе высокочастотных возмущений полученная зависимость дает классический результат Стокса, а для достаточно длинных волн совпадает с хорошо известным выражением, следующим из уравнения Кортевега - де Вриза. Сравнение с точным решением во всем диапазоне частот (например, Уизем, 1977) показано на рис. 2. Кроме того, представлены результаты вычислений для других периодических решений модельного уравнения.

В разделе 1.6 теоретически определены скорости распространения и продольные размеры плоских нелинейных уединенных стационарно бегущих возмущений для умеренно низкочастотных волн. Проведено их сравнение с характеристиками солитонов уравнений Буссинеска и Кортевега — де Вриза. Рассчитаны уединенные двумерные возмущения полного уравнения, а в фазовом пространстве решений этого уравнения исследовано их поведение вблизи особых точек.

В разделе 1.7 вычислены различные трехмерные установившиеся решения — периодические, вершины и впадины которых расположены в «шахматном» порядке (см. рис. 3), и крестообразные. Они позволили продемонстрировать влияние величины и направления волнового вектора на форму таких возмущений.

Наконец, в разделе 1.8 приведены неявная разностная схема типа предиктор-корректор и результаты расчетов по трансформации плоских нелинейных поверхностных волн (как коротких, так и длинных). Причем последние находились не только над горизонтальной твердой границей, по и в бассейнах с наклонным участком дна.

Рис. 3. Два периода нелинейных пространственных решений по обеим горизонтальным координатам при одном и том же значении продольного волнового числа = 0,5 и двух значениях трансверсального волнового числа: к^у =0,5 (а); 0.05 (б).

В главе 2 рассмотрены возмущения границы раздела двух несмеши-вающихся жидкостей произвольной плотности между крышкой и дном. В разделе 2.1 сформулированы основные допущения и выполнено упрощение исходных уравнений гидродинамики (уравнений неразрывности и движения для каждого слоя).

В разделе 2.2 протестированы новые частотные дробно-рациональные аппроксимации дисперсионного соотношения для волн очень малой амплитуды: coг[\l(\ + aa¿) + col]-k2gS, где ю,2 = ю2/? / , /? = АЛ(А + р2)1х.

8 = АЛ (Л ~Р\)! X > gl=g (р2 - Р\) ЧР\ + Рг). Х = РА + РгК > индексом 1 помечены величины, относящиеся к верхнему слою, а индексом 2 — к нижнему (второй порядок точности может давать ошибку менее 2 %). Поведение дисперсионных кривых показано на рис. 4. Применение данных выражений снова позволило предложить дифференциальные связи граничных и осредненных по вертикальной координате значений скоростей частиц в обеих жидкостях, которые опять хорошо согласуются как с известными решениями типа волн Стокса для случая бесконечно глубоких слоев, так и с результатами в длинноволновом пределе.

В разделе 2.3 с помощью линеаризованных вариантов полученных уравнений проанализированы два способа изучения трансформации волн очень малой амплитуды в слабо сужающихся каналах (с пологими крышкой и дном). В обоих случаях выполняется предельный переход к формулам для однородной жидкости.

0.6 0,4-

Рй

\т|\ '"У*

ч;

о,з 1 з ю зо к* зоо о,1 о.з 1 з ю к* юо

Рис. 4. Зависимость безразмерной фазовой скорости от безразмерного волнового числа . к* = кН, Н=Ь\ + 1ъ) при значениях параметров /¡,//ь = 9 и

Р\IРг ~ 0,95 (слева); Л1 / /т2 = 1 /3 и р{ / рг = 0,8 (справа). Кривые Т - расчет по точному диспсрсионному соотношению, кривые 1 — по дробно-рациональной аппроксимации с а = 0, кривая 2 — с а = 2/3, кривые 3 — по высокочастотной асимптотике со2 = , а 4 — по дисперсионному соотношению для уравнения Кортевега — де Вриза со = - (р,/г2 + р,/?,)^2/;,/;, /(6^)] (см. ЦркЦеую & Яесккорр, 1978).

В разделе 2.4 система уравнений сведена к одному нелинейному эволюционному уравнению для трехмерных возмущений границы раздела:

SA,V

g +

32 \

Sí2

Vtj

д2п р,дАп дп p,h\Vh, + pXV'h

8t2

di

hAx

-А

ISA, дг

дг

2(g:r дt1

д2п 8t2

В разделе 2.5 аналитически найдены нелинейные плоские стационарно бегущие периодические и уединенные решения. Первые из них совпадают с полученными ранее теоретическими зависимостями для высокочастотных волн и в случае равных неглубоких слоев, а вторые хорошо описывают экспериментальные данные ряда авторов (см. рис. 5).

В разделе 2.6 приведены результаты вычисления форм для различных нелинейных пространственных установившихся возмущений. Продемонстрировано влияние ряда характеристик системы (отношения глубин слоев и плотностей жидкостей), а также длин волн на форму возмущений границы раздела.

Наконец, в разделе 2.7 продемонстрирована эволюция плоских не только коротких, но и длинных волн по мере их распространения. Последние снова рассчитаны как между горизонтальными твердыми границами, так и в канале с наклонным участком крышки.

0,010 п.

0,005 0,004 0,002 0.000

— -— — v"" ✓ — --

- / » — ч V к --

✓

«

я

1

* ■**

0,00 п.

-0.04 -0,06 -0,08 -0,10

■ "г- — - si'

1„ /

ч, / .f'2 ----

---

>>

ч <г

\ I

\ / /-— —

Рис. 5. Профили уединенных волн (rj, =tj/ff, &=(x-Ut)(H, U = C0/J l + nl , >7*i-/'la) ПРИ значениях параметров /i, / h-, = 9 и p\/ p2 ~ 0,95 (слева); h¡ / h-, = 1/3 и p{!p-i = 0,8 (справа): точки - опытные данные Хаммака (Segur, Hammack, 1982), вертикальные отрезки — экспериментальные данные Гаврилова (1988) с учетом погрешности измерений, кривые 1 - расчет по формулам для солитона модифицированного уравнения Буссинеска (Хабахпашев, 19906), кривые 2 — по формулам данной модели (первого порядка точности — слева, второго порядка точности — справа).

В главе 3 осуществлено моделирование нелинейных волновых процессов в водоемах со скачком плотности (и внутри, и на свободной поверхности). В разделе 3.1 с помощью допущения о малости изменения плотности по глубине точное дисперсионное соотношение заменено приближенным, которое представляет собой произведение двух дробно-рациональных аппроксимаций, использовавшихся в предыдущих главах.

В разделе 3.2 использование данного выражения, интегрирования всех уравнений гидродинамики по вертикальной координате, стандартных кинематических и динамического граничных условий позволило свести систему шести уравнений к трем уравненням. Благодаря этим уравнениям может быть предсказано изменение формы волны, распространяющейся из глубоководной области океана в направлении прибрежной зоны.

В разделе 3.3 получено эволюционное уравнение для трехмерных нелинейных возмущений пикноклина в водоеме произвольной глубины:

А А ^

h,h

g +

Zl P2

Iii h;

Ш^иЛ, д2

Ap,g2h 8t2

1+-, 8r

dr A

Vf

л! 2 d g

8r

SV 8t2

2Л,

4A.A, av

Ap.gh dtA

Ap, gh

P\ Pi

hl

8t4

8g

+ и.уА,

Kh 8t

где Ар* — (р2 — р\)!рг, а Л = /?) + /ь. Это уравнение применимо в широком диапазоне пропорций глубин слоев и характерного горизонтального размера внутренних волн. Линеаризованный вариант данного уравнения был протестирован на решении задачи о плавном переходе возмущений пикноклина с глубокой воды на мелкую.

Рис. 6. Профили уединенных воли (с.=с//г) при 1ц1к2-Ъ (а), /г j//ь = 1/3 (о) и р, / Рг~ 0,98: жирные сплошные кривые — опытные данные Maurer et al. (1996) и Wessels & I lütter (1996). штриховые линии — расчет по формулам данной модели.

В разделе 3.4 аналитически найдены периодические и одиночные плоские стационарно бегущие решения малой, но конечной амплитуды. В частности, уединенные нелинейные возмущения хорошо согласуются с данными лабораторных измерений группы немецких экспериментаторов (см. рис. 6).

В разделе 3.5 используя предположение о том, что длины волн значительно больше глубины верхнего слоя, определена дифференциальная связь возмущений поверхности водоема с волнами на границе раздела:

дгп д12

ы1

К

бДр.^/г,

бДр.^'Л, д14

. а'/; д3п

' ВI4 8/3

Э/3 2

и-У/г, +

э2 [пк-п)].

дгд2

дС-

2/т, дг

Следовательно, возмущения поверхности океана могут быть определены из решения этого уравнения по ранее найденному отклонению пикноклина. В случае горизонтальности дна для плоских прогрессивных волн получены явные выражения.

В разделе З.б представлены результаты вычислений форм различных пространственных нелинейных стационарно бегущих волн (как в пик-ноклине, так и на свободной поверхности). На рис. 7 показаны периодические решения, рассчитанные с помощью приведенных выше эволюционных уравнений.

Наконец, в разделе 3.7 рассчитана трансформация двумерных возмущений на обеих границах. В частности продемонстрирована картина, которая похожа на интерференцию свободных и вынужденных (возникших из-за уединенной ондулярной внутренней волны) возмущений поверхности водоема (см. рис. 8 и 9).

Рис. 7. Два периода (по обеим горизонтальным координатам) решений модельных нелинейных уравнений для свободной поверхности (я) и границы раздела (6) при следующих параметрах задачи: р, /р2 = 0.98, /¡1//г2= 1/3, А'х/)= 1 и ¿у Л = 0,1.

О 06 0.04 0.02

-0.04

С, • «

4

1

Л

600 1800 4200 6400 7800 9000 10200 с

Рис. 8. Возмущения свободной поверхности и границы раздела при наличии исходных поверхностной моногармонической волны и уединенного внутреннего возмущения (солитонное решение); датчики располагались на расстояниях л- = 0 (я), л-=10км(б:) и л- = 20 км (в) от левого края водоема (на первых 5 км глубина нижнего слоя линейно уменьшалась с 300 до 50 м, а затем оставалась постоянной).

1, •«

0.04 О 02 0.00 -0.02 -0.04

с

7, .м

0.04 0.02 0.00 -0.02 -0.04

С

Рис. 9. Возмущения свободной поверхности водоема над уединенной осциллирующей внутренней волной, показанной на рис. 6, для датчиков, расположенных на расстояниях ,\- = 20,4км(я) и л-= 20,8 км (б) от левого края расчетной области.

Вторая часть работы посвящена изучению эволюции достаточно длинных волн в вязких жидкостях. Здесь всюду для перехода от систем уравнении, содержащих горизонтальные составляющие скоростей частиц, к одному уравнению для возмущений свободных границ использовано допущение о том, что волны малой, но конечной амплитуды распространяются лишь в одном направлении. Линейные же возмущения могут бежать и навстречу друг другу. Наконец, предполагалось, что капиллярные эффекты не велики, а появляющиеся пограничные слон остаются тонкими, т. е. время прорастания пограничного слоя на всю толщину жидкости много больше характерного времени прохождения волны мимо датчика.

В главе 4 исследованы поверхностные волны в одном слое жидкости. В разделе 4.1 изложена постановка задачи и выполнено упрощение системы исходных уравнении неразрывности и движения. Затем данные уравнения проинтегрированы по вертикальной координате от дна до свободной поверхности. При этом, конечно же, использовались стандартные динамическое и кинематические граничные условия. Наконец, рассмотрена дифференциальная связь поверхностного и осредненного по вертикальной координате значений скорости частиц.

В разделе 4.2 благодаря малости амплитуды и длинноволновости возмущений течение вблизи дна изучено с помощью линейных бездиспер-сиоиных уравнений движения. В результате, для нестационарного трения жидкости о дно получено выражение типа свертки. При распространении даже плоских положительных (// > 0) возмущений с не очень пологим снижением уровня воды трение о дно, которое может быть горизонтальным, сменит знак. Этот эффект обусловлен тем, что на склоне волны продольная компонента градиента давления действует против возмущения скорости жидкости.

В разделе 4.3 с помощью дифференцирования по времени закона сохранения массы и применения оператора V к уравнению движения выведено уравнение для пространственных волн на свободной поверхности:

д2?] , 3,, 2(\ 1

] П7

о 4Т-

где число Бонда Во =/^/7~/<т, а — поверхностное натяжение, а V-кинематическая вязкость жидкости. Даже для идеальной жидкости над горизонтальным дном это уравнение является обобщением уравнения Кадомцева — Петвнашвилн на случай существенно трехмерных возмущений, бегущих в произвольном горизонтальном направлении (т. е. под любым углом к осп Ох).

С разделе 4.4 для ситуаций с горизонтальным дном найдены его кнондальные и уединенные бездиссипативные решения, сделан дисперсионный анализ линейных волн. Кроме того, предсказана возможность наблюдения отрыва тонкого придонного слоя и возникновения зоны возвратного течения при распространении гравитационных возмущений.

В разделе 4.5 приведена неявная трехслойная конечно-разностная схема, имеющая второй порядок аппроксимации по всем переменным и указаны методы расчета по данному модельному уравнению. Описаны также вопросы устойчивости, сходимости и накопления погрешности.

В разделе 4.6 представлены результаты вычислений трансформации различных волн малой, но конечной амплитуды над слабонаклонным дном. В частности, эволюция плоского возмущения в бассейне переменной глубины хорошо согласуется с тестовыми опытными данными (см. рис. 10 и 11). Продемонстрирован дисбаланс эффектов длинноволновой диспсрсии и слабой нелинейности волн, вызванный уменьшением глубины жидкости, и его возможная компенсация (в основном) вязкой диссипацией.

Рис. 10. Схема экспериментального 23-х метрового бассейна (U.S. Army Engcnccr Waterways Experimental Station) и расположения в нем датчиков (Briggs et а!., 1996).

Рис. П. Эволюция плоской нелинейной уединенной волны при накате па пологий откос: сплошными кривыми изображены экспериментальные данные Briggs et al. (1996), а штриховыми линиями — результаты расчетов по модельному уравнению.

Наконец, в разделе 4.7 построена новая модель, пригодная для нелинейных волн, бегущих в разных направлениях. Она состоит из основного уравнения для возмущения свободной поверхности и двух простых линейных вспомогательных, которые нужны для нахождения скорости жидкости, входящей лишь в члены второго порядка малости главного уравнения:

_ ghV>n _ £ vy -1V2 (<u>>)+ V • -g(v. ф .„)-

h V - (u) = —^H- Vx<u) = 0.

dt

Здесь (u) —значение скорости жидкости, осредненное по глубине слоя. Предложенная модель пригодна для волн, распространяющихся под любыми углами друг к другу. Даже в случае идеальной жидкости и без учета капиллярности она принципиально проще известных систем уравнений (например, Peregrine, 1967; Карпман, 1973; Green & Naghdi, 1976), в которых все уравнения содержат как линейные, так и нелинейные слагаемые.

Расчеты по новой модели выполнены с помощью модификации неявной трехслойной конечно-разностной схемы, описанной в разделе 4.5, для основного уравнения и быстрого преобразования Фурье для решения вспомогательной системы уравнений. При этом было удобно воспользоваться процедурой «предиктор—корректор», т. е. поле скоростей находилось из системы по значению dr¡!3t: а) на первом итерационном шаге по двум известным временным слоям, б) на последующих — по центральным разностям, так как уже имеются результаты предварительных вычислений по основному уравнению. Тестирование осуществлено на задаче

Рис. 12. Трансформация цилиндрической волны на свободной поверхности воды с горизонтальным дном при /г =10 см: я —начальное возмущение, о —через 8 с.

о встречном столкновении солитонов. Имело место слабое нелинейное увеличение возмущения при их взаимодействии и возврат к прежним амплитудам волн после него, если, конечно, пренебречь диссипацией.

Выполнены расчеты по динамике различных возмущений в бассейнах как с горизонтальным (см. рис. 12 и 13), так и с полого изменяющимся дном. Необходимо отметить, что масштаб вертикального смещения свободной поверхности на рис. 12а и 126 отличается в два с половиной раза. В противном случае последняя иллюстрация стала бы совершенно не информативной. На рис. 13 представлена более интересная трансформация формы начального возмущения типа «крест».

В главе 5 рассмотрены возмущения границы раздела двух жидкостей произвольной плотности, находящихся между твердыми дном и крышкой. В разделе 5.1 содержится постановка задачи и упрощение исходных уравнений гидродинамики.

В разделе 5.2 определены градиент давления на границе раздела, а также нестационарные трения о крышку, дно и между слоями. Это сделано благодаря малости амплитуды и достаточной длине волн, т. е. в рамках первого приближения.

В разделе 5.3 завершен вывод модельного нелинейного ннтегро-дифференциального уравнения для пространственных возмущений:

12л _ с02У2;7 - С,уу - С„У77 • Щ - . У/,2 - С„У2 ^ +

/г-г'

Здесь все коэффициенты с0, С\-, СЛ1, С,/ и С а зависят только от геометрических (/;ь Л2) и физических р,, р2, V,, ст) параметров системы. Для случая горизонтальных крышки и дна, а также без учета диссипации найдены кнондальные и уединенные решения полученного уравнения.

Рис. 13. Эволюция квазиплоских волн на свободной поверхности слоя воды с горизонтальным дном при к =10 см: а- начальное возмущение, б-через 8 секунд.

Наконец, выполненное в разделе 5.4 сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными ряда авторов показало, что это уравнение хорошо описывает трансформацию нелинейных двумерных уединенных возмущений и лучше других способно предсказать уменьшение амплитуды таких волн по мере их распространения (см. рис. 14). Кроме того, продемонстрировано влияние вязкостен на эволюцию как плоских, так и трехмерных возмущений не только между горизонтальными твердыми границами (см. рис. 15), но и в канале с наклонным участком крышки. Из рис.15 видно, что нелинейная волна, начальная длинна которого была в четыре раза больше солитонной, конечно же, сперва трансформируется в «треугольную». В дальнейшем наличие днеенпативных потерь не дает выделиться из него цепочке уединенных возмущений спадающей амплитуды, хотя осцилляции за главным пиком имеют место.

В главе 6 осуществлено моделирование возмущений границы раздела двух жидкостей разной плотности при наличии свободной поверхности. В разделе 6.1 сформулирована постановка задачи, сделано упрощение исходных уравнений неразрывности и движения в каждом слое, а также определены аналоги инвариантов Римана для двухслойной мелкой воды.

В разделе 6.2 найдены выражения для нестационарных трений о дно и между слоями. Снова предсказана возможность наблюдения отрыва тонкого придонного вязкого пограничного слоя и возникновения соответствующей зоны возвратного течения при распространении даже плоских гравитационных волн.

л- = 24// (слепа), и изменение амплитуды одиночной волны (справа) при /?, = 45 мм. h\ //îi = 1/3. рг = I г/ем3. /5, /р2 = 0.8, v2 = 1.08 мм2/с, V|/V2=1.5 и сг=34мП/м: вертикальные отрезки - экспериментальные данные Гаврилова (1988) с учетом погрешностей измерении, сплошные линии - вычисления по модельному уравнению с начальным профилем нелинейного возмущения из указанного опыта: слева штриховые линии — интерполяция показании первого датчика, которая была использована в качестве начального условия для вычислений (слева), а справа — расчет но модельному уравнению с начальным еолнтонным профилем и амплитудой полны и i женеримеита: пунктирная линия — расчет по методике Leone et al. (1982).

В разделе 6.3 учтено влияние длинноволновой инерции жидкостей и поверхностных натяжений на обеих границах. Кроме того, конечно же, принята во внимание слабая нелинейности возмущений.

В разделе 6.4 с помощью метода, подобного методу квазнпростых волн, выведено модельное интегро-дифференциальное уравнение для трехмерных возмущений границы раздела малой, но конечной амплитуды:

- с02V V - СыЧ2дг -С^д. УЛ2 - С,V2+

Здесь опять все коэффициенты с0, Ск, С<;, Си, Св, и Сц0 зависят только от геометрических (/?[, /г2) и физических (&, ри Ръ V,, у>2, ст,, сг,) параметров системы.

В разделе 6.5 для проверки правомерности применения метода квазипростых волн к системе двух уравнений для возмущений обеих границ выполнено сопоставление дисперсионных кривых этой системы и одного полученного уравнения. Продемонстрировано, что они очень близки друг к другу. Кроме того, проанализированы как периодические, так и одиночные плоские решения модельного уравнения для случая горизонтальности дна и без учета диссипации.

Рис. 15. Профиля достаточно длинного возмущения для шести моментов времени в вязких (сплошные кривые) и идеальных (пунктирные линии) жидкостях (а — / = О, 6-1 = 40с, в — ¿= 80 с, г —/= 120 с, д — / = 160 с и е-г = 200с) при /г2 = 8см, /¡,//72=1,5, р2=1г/см3, р\!р2 = 0,8, у2 = 1,08 ммг/с, у,/у2=1,5 и <т = 34мН/м.

Наконец, в разделе 6.6 представлено сравнение результатов расчетов по этому уравнению с опытными данными по затуханию нелинейных уединенных возмущений, измеренными на нескольких лабораторных установках разных размеров {IV— ширина каналов) и для различных пар жидкостей. Показано, что данная модель лучше, чем подходы других авторов, описывает экспериментальные данные (см. рис. 1 б).

В главе 7 исследованы волны на границе раздела двухслойного потока в горизонтальном канале с твердыми неподвижными дном и крышкой. В разделе 7.1 изложена постановка задачи (имеется стационарное слоистое течение Пуазенля с компонентами м0, и для значений составляющих скоростей жидкостей на границе раздела), выполнено упрощение исходных уравнений гидродинамики, приведены кинематические и динамические условия на всех границах системы.

В разделе 7.2 для случая, когда можно пренебречь диссипацией возмущенного движения, аналитически найдены выражения для вертикальных профилей нормальных компонент скоростей жидкостей и--. При учете диссипации возмущенные течения в обоих слоях определены с помощью численного решения системы двух уравнений Орра — Зоммерфельда с соответствующей сшивкой на границе раздела. Показано, что при некоторых параметрах системы и не слишком малых скоростях установившегося потока профили нормальных составляющих скоростей жидкостей могут заметно отличаться от линейных зависимостей (см. рис. 17). При многих других

п/кк 111111)1

0,250--^---------

____* :__________I_______________

0,225----^^-------

---------

0,200------у-|----

0,175--------——

0,150------■-----^

О 40 80 120 160 x/h.

ч

ч

— -

4

~ - ^

1 "

0 10 20 30 40 .v/Aj

Рис. 16. Изменение амплитуды одиночной волны при h2— 13,66 мм, 1ц//г2 = 5,086, рг = 1,58 г/см3, р, /р2 = 0,633, v, = 1 мм2/с, v, /v2 = 2,27, IV = 450 мм, ах = 75 м11/м и <72 = 45 мН/м (слева), Л2 = 42,5 мм, h,!h2 = 0.34, р2 = 1 г/см3, р)/р2 = 0,в, v, = 1,08 мм2/с, v,/v2=l,5, 1Г=60мм, <7i=28mH/m и <72 = 34 мН/м (справа); точки — опытные данные Коор & Butler (1981), вертикальные отрезки — данные Гаврилова (1988) с учетом погрешностей измерений, штриховые линии — вычисления по модельному уравнению с начальным солитонным профилем и амплитудами из этих экспериментов; пунктирная линия — расчет по методике Leone et al. (1982).

значениях параметров профили остаются практически линейными, что и было использовано при выводе модельного уравнения.

В разделе 7.3 продолжены преобразования систем уравнений движения в каждом слое. В частности, в первом приближении установлены связи давления на граннце раздела и горизонтальных составляющих скоростей жидкостей с отклонением этой поверхности.

В разделе 7.4 найдена, во-первых, зависимость фазовой скорости линейных волн от скорости установившегося течения. А во вторых, определены формулы для нестационарных трений на всех границах системы и горизонтальных составляющих скоростей жидкостей на границе раздела.

В разделе 7.5 завершен вывод эволюционного интегро-дифференци-ального уравнения для возмущений границы раздела, распространяющегося под произвольным углом к вектору стационарного потока. Проанализирована зависимость основных коэффициентов этого уравнения от скорости установившегося течения и отношения глубин слоев. Оказалось, что спут-ное течение меньше меняет суммарный коэффициент при дисперсионном члене, чем противоток (см. рис. 18). Наличие поверхностного натяжения приводит к тому, что этот коэффициент может быть не только положительным, но и отрицательным. Что касается суммарного коэффициента при нелинейных членах, то он изменяется почти линейным образом (особенно когда глубина нижнего слоя больше глубины верхнего). Лишь при противотоке в ситуациях, когда глубина верхней жидкости больше глубины нижней, кривизна становится заметной. Интересно, что в широком интервале значений отношения глубин слоев и данный коэффициент может менять свой знак только благодаря зависимости от скорости установившегося течения при неизменности остальных параметров системы. А суммарный коэффициент при интегральном диссипативном члене меняется по-разному

г/й 0,4 0,2 0,0 -0,2

-0,4

— "„'=«

---0.25

— »0,75

-----1,25

•■• =1.75

2/11 0,4 0.2 0.0 •0,2

ч.. ..... =-0.25 ---- + 0.25 ------+а?5 ......-+1.25 -

\

\ - .7. Г

- •т

— —

/ У X" 6

- - — - -- - - - - - -

1

0,0 0,2 0,4 0,6

1,0 1,2

0,0 0,2

Рис. 17. Профили вертикальной скорости м>* = /(со//0) при /¡1//г2 = 5/4 и различных значениях г/о* = г;о,7со (р\ IРг = 0,98, Л| = 15 мм, Л2=12мм, = 1 мм2/с и г>2 = 4,35 мм2/с) без учета (я) и с учетом (б) диссипации линейных возмущений.

для различных значений А/йг, хотя все равно почти линейно. Чем больше отношение глубин слое, тем больше и наклон зависимости этого коэффициента от скорости стационарного потока.

В случае, когда трансверсальные компоненты фазовой скорости волн и оператора градиента малы по сравнению с их продольными составляющими (су ~ в сх и д/ су ~ е 8/ сх\ модельное уравнение имеет вид:

д2П ( , о 1 д1Л ( , с \ д2П ( 2 2 с \дгЛ _ 3477 1 Яггк> " йу2 Яг ./7Г7 Яг ло Ял-

" <5ж2 5х2 4^-? дх 0 2x1^ 0 Эх

Здесь снова все коэффициенты с0, Б/, С,/, Сл>, С«, Сйо и Слт> зависят только от геометрических (А1, /г2) и физических (я, Рь Рг> у2, с, г/0„ уш) параметров системы.

Наконец, в разделе 7.6 получены плоские нелинейные стационарно бегущие решения данного уравнения в виде кноидальных и уединенных волн. Показано, что величина и направление установившегося потока жидкости могут изменять не только характерные длины возмущений, но и их полярность (см. рис. 19). При учете нестационарных трений на всех границах системы численно исследована трансформация нелинейных уединенных волн различной длительности (ситуация, когда начальная длина волны в два раза меньше солитонной, показан на рис. 20). Хорошо видно воздействие значения и направления скорости установившегося течения на уменьшение амплитуды и вид профилей волн. Кроме того, эти графики хорошо демонстрируют влияние нестационарных трений на границах, так как значение главного диссипативного коэффициента при

V — — -

\ - - ... -Л. Л,- 2•1 ---А. Л.-54 -----Л . /| *. - 4 ' 5 _

... г: — — —

г" " !

-О.а -0,6 -0,4 -0.2 0.0 0.2 0,4 !/,*

Рис. 18. Зависимости дисперсионного коэффициента от скорости потока при разных отношениях глубин жидкостей (Л2 = 22 мм, \-ы = 0, с} = 0, а = 45 мН/м, VI = 1 мм"/с, V, / = 0,23 и р\!р2- 0,98).

> —— и Ф"А

/ \ N

/ \ \ ----- -= + ( л

/ \ \

/ Ч

-----

N 1

\ / / 1 1 1

\

1 1

-15 -10 -5 0 5 10 ;/Н

Рис. 19. Профили плоских нелинейных уединенных волн при разных скоростях стационарного потока (Л2 = 22 мм, су = 0, /11//г2 = 0,8, <т = 45мН/м. V, = 1 мм2/с, уо, = 0, V] /у2 =0,23 и р, /р2 =0,98).

г/0* = 0.5 примерно в два раза больше, чем при z/0* = — 0.5. При больших вязких потерях колебания за основной волной почти исчезают, возмущения не меняют знака, и наблюдается лишь диссипативный «хвост». А если исходное возмущение является достаточно длинным (например, когда начальная длина волны в два раза больше солитонной), то учет нестационарных трений не дает расти головному возмущению и тормозит образование цепочки солитонов.

В заключении сформулированы основные положения, результаты и выводы данной работы.

Рис. 20. Профили умеренно длинных нелинейных уединенных возмущений (здесь д-„ = л- -/ г(0,- (1+5/) / 2 ) для четырех моментов времени (я-/ = 0, й-г =15 с, е-? = 30 с, г — / = 50 с) при р\! р2 = 0,98, р, = 1 г/см3, Л|//ь=],25, !ц = 5 см, V]/V, = 0,23, V, = 1 мм2/с, у0/ = 0, су = 0, с = 45 мН/м, г/0* = - 0,5 (вверху) и г/0* = 0,5 (внизу); сплошные кривые — с учетом нестационарных трений па всех границах жидкостей, а штриховые линии —без учета нестационарных трений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

Общими для диссертации приближениями являлись несжимаемость жидкостей, слабая нелинейность волн, пренебрежение величинами третьего порядка малости, а также неподвижность и пологость твердых границ. Во всех главах (кроме последней) предполагалось, что стационарные течения отсутствуют.

В первой части исследована динамика возмущений свободных границ в слоях идеальных жидкостей. При этом спектр длин волн был ограничен лишь капиллярными и планетарными масштабами. Проанализированы как полиномиальные, так и дробно-рациональные аппроксимации линейного дисперсионного соотношения для возмущений свободной поверхности однородной жидкости. Впервые предложены частотные Паде-аппроксимации дисперсионных соотношений для волн на границе раздела двух жидкостей, ограниченных недеформируемыми крышкой и дном, или водоемов с очень тонким пикноклином. Показано, что аппроксимации второго порядка точности могут давать ошибку, не превышающую 2 % для фазовой скорости и 8 % для групповой скорости.

Применение данных выражений сделало возможным использовать дифференциальные связи граничных и осредненных по вертикальной координате значений скоростей частиц жидкостей, которые хорошо согласуются с известными решениями. С помощью этих связей и стандартных краевых условий выполнено упрощение систем исходных нелинейных уравнений гидродинамики. Переходы от систем уравнений, содержащих горизонтальные компоненты скоростей частиц, к одному уравнению для трехмерных возмущений свободных границ выполнены благодаря допущениям о квазистационарности волн малой, но конечной амплитуды.

В широком диапазоне частот теоретически найдены двумерные нелинейные установившиеся решения типа волн Стокса. В пределе очень высокочастотных возмущений полученные зависимости дают классические результаты Стокса или Торпа, а в случаях умеренно длинных волн — совпадают с хорошо известными выражениями, следующими из уравнения Корте-вега — де Вриза. Вычислены формы стационарно бегущих плоских и пространственных периодических решений полных модельных уравнений, которые позволили продемонстрировать влияние величины и направления волнового вектора на вид таких возмущений.

Аналитически определены скорости распространения и продольные размеры плоских нелинейных кноидальных волн. Показано, что зависимости для умеренно низкочастотных уединенных возмущений хорошо согласуются не только с характеристиками солитонов уравнений Буссинеска и Кортевега - де Вриза, но и с экспериментальными данными ряда авторов. Выполнены вычислительные эксперименты по эволюции коротких и

длинных плоских нелинейных уединенных волн в жидкостях, ограниченных как горизонтальными, так и наклонными твердыми границами.

Для водоемов с очень маленьким относительным скачком плотности, используя предположение о том, что горизонтальный размер возмущений значительно больше глубины верхнего слоя, найдена дифференциальная связь пространственных волн на свободной поверхности водоема с возмущениями границы раздела. Она сделала возможным определить воздействие внутренних волн на возмущения свободной поверхности и рассчитать трансформацию плоских волн на обеих границах. Продемонстрирована картина, которая похожа на интерференцию свободных и вынужденных (возникших из-за нелинейных возмущений пикноклина) колебаний открытой поверхности водоема.

Во второй части исследована динамика умеренно длинных волн в слоях вязких жидкостей. Предполагалось, что появляющиеся пограничные слои остаются тонкими. Кроме того, учитывалось поверхностное натяжение, но считалось, что капиллярные эффекты не велики. Однако этого было достаточно, чтобы подавлять неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. Для перехода от систем уравнений, содержащих горизонтальные компоненты скоростей частиц, к одному уравнению для трехмерных возмущений свободных границ использовано допущение о том, что волны малой, но конечной амплитуды распространяются лишь в одном направлении.

Для нестационарных трении жидкостей о твердые неподвижные границы получены выражения типа интеграла Дюамеля. Анализ данных зависимостей позволил предсказать возможность наблюдения отрывов тонких пристенных слоев и возникновения зон возвратного течения даже у горизонтальных границ при распространении гравитационных волн.

Разработан достаточно простой и физически наглядный метод сведения исходных систем уравнений волновой гидродинамики к одному эволюционному уравнению для возмущения свободной границы. В отличие от уравнений типа модифицированного уравнения Буссинеска эти новые модельные уравнения учитывают также слабый наклон дна и нестационарные трения на всех границах.

Выполнены численные эксперименты по эволюции плоских волн на воде в бассейне переменной глубины, результаты которых хорошо согласуется с тестовыми опытными данными. Сопоставление результатов расчетов для возмущений границы раздела двухслойной жидкости с экспериментальными данными ряда авторов показало, что выведенные интегро-дифференциальные уравнения хорошо описывают трансформацию плоских нелинейных уединенных волн и лучше других способны предсказать уменьшение амплитуды таких волн по мере их распространения.

Построена новая модель, которая применима для нелинейных волн, бегущих в различных направлениях. Она состоит из одного уравнения для

возмущения свободной поверхности слоя и двух простейших линейных вспомогательных, которые нужны для нахождения горизонтальной скорости жидкости, входящей лишь в члены второго порядка малости главного уравнения. Численно найдены решения ряда задач волновой динамики для однородного слоя при пологом изменении дна.

Рассмотрены плоские нелинейные волны на границе раздела двухслойного потока в горизонтальном канале с твердыми неподвижными дном и крышкой. Определена картина возмущенного течения в слоях и обнаружено, что при некоторых параметрах системы и не слишком малых скоростях установившегося потока профили вертикальных компонент скоростей жидкостей могут заметно отклоняться от линейных. Проанализирована зависимость основных коэффициентов модельного уравнения от скорости установившегося течения и отношения глубин слоев. Впервые показано, что величина и направление стационарного потока жидкости могут изменять не только характерные длины возмущений, но и их полярность.

СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

Гаврилов Н. В. 1988 Вязкое затухание уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости И Прикл. мех. и техн. физ. Т. 29, № 4. С. 51—55.

Карпман В. И. 1973 Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука. 175 с.

Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г. и Шрейбер И. Р. 1983 Распространение волн в газо- и парожидкостных средах. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. 237 с.

Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г. и Шрейбер И. Р. 1990 Волновая динамика газо- и парожидкостных сред. М.: Атомэнергоиздат. 248 с.

Овсянников Л. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. 1985 Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука. 319с.

Пелпновскнн Е. Н. 1982 Нелинейная динамика волн цунами. Горький: ИПФ АН СССР. 226 с.

Пелпновскнн Е. Н. 1988 «Дифференциальная» модель волн на воде // Доклады АН СССР. Т. 300, № 5. С. 1231-1234.

Пелнновскпн Е. Н. 1996 Гидродинамика волн цунами. Ниж. Новгород: ИПФ РАН. 276 с.

Унзем Дж. 1977 Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 622 с.

Филлнпс О. М. 1980 Динамика верхнего слоя океана. М.: Гидрометео-издат. 320 с.

Шокнн Ю. И., Чубаров Л. Б., Марчук Ан. Г. и Симонов К. В. 1989 Вычислительный эксперимент в проблеме цунами. Новосибирск: Наука. 168 с.

Briggs М. J., Synolakis С. Е., Kanoglu U., and Green D. R. 1996 Benchmark Problem 3: Runup of solitary waves on a vertical wall // Long-Wave Runup Models. Singapore etc.: World Scientific. P. 375—383.

Djordjevic V. D. and Redekopp L. G. 1978 The fission and disintegration of internal solitary waves moving over two-dimensional topography // J. Phys. Oceanogr. V. 8, No. 6. P. 1016-1024.

Green A. E. and Naghdi P. M. 1976 A derivation of equations for wave propagation in water of variable depth // J. Fluid Mech. V. 78, No. 2. P. 237-246.

Koop C. G. and Butler G. 1981 An investigation of internal solitary waves in a two-fluid system И J. Fluid Mech. V. 112. P. 225-251.

Leone C., Segur H. and Hammack J. L. 1982 Viscous decay of long internal solitary waves // Phys. Fluids. V. 25, No. 6. P. 942-944.

Maurer J., Hutter K., and Diebels S. 1996 Viscous effect in internal waves of two-layered fluid with variable depth // Eur. J. Mech. В/Fluids. V. 15, No. 4. p. 445-470.

Peregrine D. H. 1967 Long waves on a beach // J. Fluid Mech. V. 27, No. 4. P. 815-827.

Segur H. and Hammack J. L. 1982 Solitary models of long internal waves // J. Fluid Mech. V. 118. P. 285-304.

Wessels F. and Hutter K. 1996 Interaction of internal waves with a topographic sill in a two-layered fluid II J. Phys. Oceanogr. V. 26, No. 1, P. 5-20.

СПИСОК ОСНОВНЫХ ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Архппов Д. Г., Лнтвиненко А. А. и Хабахпашев Г. А. 2004 Численное моделирование распространения нелинейных возмущений границы раздела двухслойного течения вязкой жидкости // Материалы Междунар. конф. "Вычислит, и инфор.мац. технол. в науке, технике и образовании". Алматы: Изд-во Казах, нац. унив. им. аль-Фарабн. Ч. I. С. 197-205.

Архипов Д. Г. и Хабахпашев Г. А. 2005 Моделирование длинных нелинейных волн на границе раздела горизонтального потока двухслойной вязкой жидкости в канале//Изв. РАН, МЖГ. № 1. С. 143-158.

Архипов Д. Г. п Хабахпашев Г. А. 2005 Динамика нелинейных трехмерных возмущений свободной поверхности неглубокого слоя вязкой жидкости с пологим дном // XXVIII Сиб. тетофизич. семинар: Сб. трудов (CD). Новосибирск: ИТ СО РАН. - 9 с.

Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 1991 «Дифференциальная» модель слабонелинейных волн на воде II Докл. АН СССР. Т. 317, № 2. С. 450—452.

Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 1993 Динамика слабонелинейных внутренних волн в двухслойном океане // Доклады РАН. Т. 330, № 1. С. 105-107.

Борисов А. А. н Хабахпашев Г. А. 1993 Приближенные модели для описания слабонелинейных поверхностных волн // Изв. РАН, Физ. атмосф. и океана. Т. 29, № 5. С. 661-665.

Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 1994 Распространение слабонелинейных возмущений границы раздела двухслойной жидкости // Изв. РАН, МЖГ. № 1. С. 125-131.

Бочаров А. А., Хабахпашев Г. А. и Цвелодуб О. Ю. 2002 Численное моделирование нелинейных установившихся внутренних волн в двухслойном водоеме произвольной глубины // Материалы Междунар. конф. "Вычислит. технол. и математ. моделир. в науке, технике и образовании". Алма-ты: Изд-во Казах, нац. унив. им. аль-Фараби. Ч. 2. С. 50-58.

Бочаров А. А., Хабахпашев Г. А. и Цвелодуб О. Ю. 2003 Численное моделирование нелинейных пространственных стационарно бегущих волн на свободных поверхностях однородной и двухслойной жидкости // Материалы Междунар. конф. "Вычислит, и информ. технол. в науке, технике и образовании". Усть-Каменогорск: Изд-во ВКГУ. Ч. I. С. 152-157.

Литвпненко А. А. и Хабахпашев Г. А. 1999 Численное моделирование нелинейных достаточно длинных двумерных волн на воде в бассейнах с пологим дном П Вычислит, технол. Т. 4, № 3. С. 95-105.

Литвпненко А. А. п Хабахпашев Г. А. 2001 Численное моделирование динамики нелинейных внутренних возмущений различной длимы в двухслойном водоеме с пологим дном И Труды Междунар. конф. "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика". Новосибирск: ИВТ СО РАН. Ч. 2. С. 408^115.

Хабахпашев Г. А. 1983а Динамика уединенных волн на границе раздела и свободной границе двухслойной жидкости // В кн.: Гидродин. и акуст. одно- и двухфазных потоков. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. С. 107—113.

Хабахпашев Г. А. 19836 Торможение и затухание гравитационных волн в тонком слое вязкой жидкости // В кн.: Гидродинамические течения и волновые процессы. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. С. 41—55.

Хабахпашев Г. А. 1985 Влияние вязкости на эволюцию возмущений свободной поверхности и границы раздела двухслойной жидкости // В кн.: Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости со свободной поверхностью. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. С. 126-145.

Хабахпашев Г. А. 1987 Влияние трения жидкости о дно на динамику гравитационных возмущений // Изв. АН СССР, МЖГ. № 3. С. 119-127.

Хабахпашев Г. А. 1990 Моделирование распространения внутренних волн в двухслойном океане // Изв. АН СССР, Физ. атмосф. и океана. Т. 26, № 1. С. 72-82.

Хабахпашев Г. А. 1990 Эволюция возмущений границы раздела двух слоев вязкой жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ. № 6. С. 118-123.

Хабахпашев Г. А. 1996 Дифференциальный метод моделирования слабонелинейных волн на воде переменной глубины // Изв. РАН, Физ. атмосф. ij_ океана. Т. 32, № 6. С. 841-847.

Хабахпашев Г. А. 1997 Нелинейное эволюционное уравнение для достаточно длинных двумерных волн на свободной поверхности вязкой жидкости // Вычислит, технол. Т. 2, № 2. С. 94—102.

Хабахпашев Г. А. 2001 Распространение внутренних и поверхностных двумерных нелинейных волн в океане со скачком плотности и пологим дном // Изв. РАН, Физ. атмосф. и океана. Т. 37, № 3. С. 397^406.

Хабахпашев Г. А. 2005 Трансформация длинных нелинейных волн в двухслойной вязкой жидкости между пологими дном и крышкой // Прикл. мех. н техн. физ. Т. 46, № 6. С. 45—57.

Хабахпашев Г. А. н Цвелодуб О. Ю. 1999 Эволюционное уравнение для слабонелинейных волн в двухслойной жидкости с пологими дном и крышкой // Прикл. мех. и техн. физ. Т. 40, № 5. С. 62—72.

Khabakhpashev G. А. 1992 Dynamics of nonlinear internal and surface gravitational waves in incompressible liquid layers of arbitrary uniform depth // Proc. 5 th Asian Congress Fluid Mech. Taejon. P. 183-186.

Khabakhpashev G. A. 2003 Mathematical modeling of interaction between pycnocline and free surface perturbations in an ocean with a density jump and slowly varying topography // Proc. Int. Conf. "Mathematical Methods in Geophysics". Novosibirsk. Part II. P. 369-373.

Khabakhpashev G. A. 2004 Numerical solution to integro-differential equation for weakly nonlinear long waves in a two-layer viscous liquid between the gently sloping lid and bottom // Proc. Int. Conf. Computational Mathematics. Novosibirsk. V. 11. P. 876-881.

Khabakhpashev G. A. and Litvinenko A. A. 2002 Numerical solution to differential equation for nonlinear internal waves in a two-layer ocean of arbitrary depth with a varying bottom // Proc. Int. Conf. Computational Mathematics. Novosibirsk. V. II. P. 518-523.

Khabakhpashev G. A. and Tsvelodub O. Yu. 2000 Evolution equation for nonlinear internal waves in stratified liquid of an arbitrary depth // Proc. 5th Int. Symp. Stratified Flows. Vancouver. V. II. P. 731-736.

Подписано к печати 3 марта 2006 г. Заказ № 11 Формат 60/84/16. Объем 2 уч.-изд. л. Тираж 120 экз.

Отпечатано в Институте теплофизики СО РАН 630090, Новосибирск, пр. Акад. Лаврентьева, 1

Г1 г - Г0С ,(,ТСТС:!!!1ЛЛ

Сшк ok о( новных обозначении Ь„ьЛЛ0Т: ^

Введение Q ЧП £ - О У

А. Современное ( <н гояние проблемы jt

Б. Кра гкая чарактерис тика дп< ( ертацип "

Часть I. ВОЛНЫ В СЛОЯХ ИДЕАЛЬНЫХ ЖИДКОСТЕЙ ПРОИЗВОЛЬНОЙ ГЛУБИНЫ

Глава 1 Возмущения свободной границы однородной жидкости

1.1 Аппрокс пмацпи линейного дш пер( ионного сосп ношения

1.2 Упрощение исходных нелинейных \ равнении

1.3 Эвочюционное уравнение дтя иовер\но( 1ны\ вош\щонип

1.4 Переход шнспных волн < пубокоп воды на ме ik.mo

1.5 Нелинейные иериодн'кч une у< тановившшч я вопг\ щения 37 1.G Нелинейные уединенные < тацпонарно бегмцие решения

1.7 Численные решения дчя трехмерных вст^щешш

1.8 Трансформация нелннепных тоскпх повсрхиос гных волн

Глава 2 Волны на границе раздела двух жидкостей различной плотности при наличии твердых крышки и дна

2.1 Упрощение ш ходных нечинейных > равнении

2.2 Применение аппрокс имацин дисперс iiohhoi о с оо гношенпя

2.3 Трансформация линейных волн в сужающемся канале G

2.4 Получение нелинейного эволюционной) уравнения G

2.5 Нелинейные плоские стационарно бегущие возмущения GG

2.6 Нелинейные прос транс твенные установнвшнес я решения

2.7 Эволюция плоских волн по мере их рас пространення

Глава 3 Воздействие внутренних волн на возмущения свободной поверхности в водоемах со скачком плотности

3.1 Аппроксимации линенною дисперсионного соотношения

3.2 Упрощенно исходных нелинейных уравнений

3.3 Эволюционное уравнение для внутренних воли

3.4 Нелинейные плос кие ус гаиовившиеся решения

3.5 Определение возмущении свободной поверхности в водоеме с неглубоким пикноклнном

3.G Нелинейные прос транс твенные ус хановившиес я вочны

3.7 Трансформация плоских во$мущеш1н на обеих границах

Содержание

Часть И. ДОСТАТОЧНО ДЛИННЫЕ ВОЛНЫ В ВЯЗКИХ ЖИДКОСТЯХ

Глава 4 Возмущения свободной границы одного слоя жидкости

4.1 Пос тановка задачи и \ прощение пс ходных > равнений

4.2 Учет нес тацпопарного трения жидкости о дно

4.3 Вывод нелинейною .модельного уравнения

4.4 Аналт решений эвоноцпоннсн о у|).шненпя

4.5 Численная реализация расчетов по модельному уравнению 115 4.G Результаты вычислении по эволюционному уравнению 118 4.7 Моделирование вот, бегущих в ра зличных направчениях

Глава 5 Волны в двухслойных системах между дном и крышкой

5.1 Постановка задачи и упрощение пс ходных уравнении

5.2 Определение трении о крышку, дне) п межд\ с поямн

5.3 Моде 1ыюе у1)авненне дчя возмущении границы ра зде ia 143 5.1 Трансформация не ишеиных пчос ких уединенных во ш

Глава 6 Возмущения границы раздела двух тяжелых жидкостей при наличии свободной поверхности

G.1 Постановка задачи и упрощение пс ходных уравнении

G.2 Нахождение несташюнарных трений о дно и межд> слоями 1G

G.3 Учет инерцпп жидкостей и нелинейноети both

G.4 Вывод модельного интсч ро-дифференцпального уравнения 1GG

G.5 Анализ плоских решений эволюционной) уравнения 1G

G.G Рас прос гранение нелинейных уединенных возмущении

Глава 7 Волны в горизонтальном канале с двухслойным потоком

7.1 Пос гановка задачи и упрощение не ходных уравнений

7.2 Определение картины возмущенного К'чения в слоях

7.3 Дальнейшие преобразования уравнений движения

7.4 Нахождение фазовой скорости Ii трений на границах

7.5 Эволюционное уравнение для both на границы раздела 196 7.G Нелинейные уединенные решения модельного у равнения

А. Современное состояние проблемы

ГраВИТаЦИОННЫС1 ВОЛНЫ В ЖИДКОСТЯХ ( Л> ЖЛТ ОДНИМ И 5 ьла( ( ИЧССКИХ объему I OB гидромеханики. Эти вопросы п1)пвт1скают внимание большого числа исследователей не только ввиду их ш кчючптельнои важности для технических приложении, но и благодаря их уннкалынх ги для изучения фундаментальных закономерностей развихия нелинейных во шовых ( хруктур. На свободных границах могут иметь месю волны различных ишоп: бегущие (тацнонарные или нестационарные, регулярные п ш нерегулярные в про< транс тве, и т д.

К настоящему времени с дос i а точной подробно* 1ью изучены линейные волновые1 движения идеальной жидкое тп (например. Лаптхтл, 1981). 13 течение последних тридцаш лет появилась обширная штсратура, посвященная рас. прос хранению нелинейных возмущений в средах ( дш пер( пен (см. монографии Карпмана (1973), Черкесова (1976), Сретенского (1977), У тема (1977), Виноградовой и др. (1979), Захарова и др. (1980), Миро-польского (1981). Берешна (1982), Пелиновс кого (1982). Бкахнагара (1983), Л>мл (1983). Марчука и др. (1983), Иакорякова и др. (1983), Пелиновс кого и др. (1984), Вспьцннгсрл (1985), Калоджеро и Дегасперпса (1985). Овсянникова и др. (1985). Абловица и Снгура (1987). Юэна и Лэика (1987). Гл-бовл (1988), Додда и др. (1988), Вольцпшера и др. (1989). Ныоэлчл (1989). Селе зова (1989). Шокнна и др. (1989), Иакорякова и др. (1990), Алекс еен-ко п др. (1992), Dia/in ic .loliiibon (199G). Печннове кого (1990). Степанянна и Фабрпканы (1996), Diii^emaiis (1997), Johnson (1997). Ляпидевского и Тешуковл (2000), Рлбиновича и Трубецкого (2000), Рыскина и Трубецкого (2000), Фрлнкл (2001). Хакнмзянова и др. (2001). Ильичева (2003), Молот-кова (2003), Островского и Потапова (2003), Pedlosky (2003), Куркина и Пелиновс кою (2004) и приведенную в них библиографию). Несмотря на интенсивное ib исследования, эта иробчема решена далеко не полное 1ью.

Так, при н'орешческом моделировании волновых процессов ü случаях, когда харакп'рныи i оршонтлльнын размер плоских слабонелинейных шн-мущепни мал или велик по сравнению с глубиной жидкое тп, выведены и рлс с мотрены эволюционные урлвненпя типа уравнения Коргевега де Врнза, Буссннеека. Шредншерл, Бенджамина Оно, Джозефа и им подобные. Из недавних работ на эту хем> следует выделить статьи Клпиова (1998), Блхолдпна (1999), Талпповои и др. (1999), Dias ¿с Ku/nctsov (1999). 8

Ингдгиш'

Hollow,iy et al. (1999). Печпновс кою п др. (2000), Claike <t ai. (2000). Ky-дряшова и Сухарева (2001), Dias к IHchev (2001), C'ofley (2002). С'люняева (2001) Ii Grimsliaw </ al. (2002). По об ia( lb их применения недостаточно широка: небольшими являются диапазоны дтшн волн, в кою|)ых они .могу г быть ш пользованы.

В связи с этим одноп из актуальнейших задач гидродинамики, с прак-тнче< коп точки зрения. с тало (овме( тное ошн <шпе эволюции как длинных, так и коротких трехмерных волн, бсчупшх по (вободным границам. Первой подобной моделью была так называемая рефракцпопно-дифракшюнная модель (Berkhoff. 1972), вывод которой во( пропшеден и в монографии Се-лезова (1989): V {(,,( V + =0. í = ¿/к. („ = (U/dk. Чдесь оператор V определен в горизонтальной п к» ко< тн. у потенциал скоро-с in жидкое тп. и,- цикчнчес кая час то i<i. а к волновое чис ю. Данная модель получила широкое рас прем траненне в инженерных рас чеых (например. Lo/ano к, Lin, 1980; ЕЬсчмЛе. 1983; Н.нКЬч к Diiigeiiiaiis. 1985). Однако она справедлива только дня линейных гармоничен кпх воз.мущеннп. Ее обобщение на нес ыционарнып случай выполнено Белбе])овой п др. (1992). Похожий подход дчя нелинейных волн был осуществлен в работе Kailiatu к Kiiby (1995).

Другая .модель, предложенная Пелшювс кпм (1988), пригодна дчя пологою изменения дна и линейных хрехмерных бешпхревых встп>щенпй i¡ свободной поверхнех тп слоя идеальной жидкое гп произвольной глубины: где / время, U век юр скорости жидкое тн, осредненнын по гл^би-не слоя //, а гу ускорение с вободного падения. Вывод данной с m 1емы двух дифференциальных уравнении ос нован на простейшей полиномиальной аппроксимации точною (1рансценден1Ш)ю) дисперсионного соотношения: и,2 + (///су) л1 = <jh /Л При этом отно< шельная ошибка аппрокс имацип не превос ходит 11 д 1Я фазовой и 18 '/ для групповой i корости во вс ем диапазоне час теп, а < некгр длин волн ограничен лишь капиллярным и планетарным масштабами. В указанной < хаты* проведено сравнение решения, полученною на бан* «днфференциалыюп» модели, с известным решением задачи о нос тепенном переходе монохроматичес кого линейною возмущения с глубокой воды на мелкую. С помощью данного подхода в работе Кснлова и Пелнновс кого (1989) был также исследован нака1 гравитационной волны на откос малого постоянною уклона. Но ошибка при расчсче высоты заплеска может дсн шгать -10 Vi. CoHJH \НЧПЮГ (()( 1ЧИШК HjionJlt Ul.l

Для 'пиленною изучения двумерных возмущении конечной амппп)-ды in пользу ечс я н много иных меюдов: методы граничных; иннтра 1ьны\ уравнений (например, Kim (t al. 1983; Петров и Смолянин, 1993: Афана-< ьев н С'туколов. 1999). .методы адаптивных сеток ((м. Вельцпнгер и др. 1989). методы конечных элементов с подвижными границами (<м. Gleaves (t al., 1997). методы, ос нованные на дш кретных моделях не( лишаемой жидкое тп (Франк, 2001), и i. д. Большой вклад в развитие алгоритмов pat чета планарных волн внесен сотрудниками Института вычислительных icxho-логий СО РАН (Марчук и др., 1983; Chubaiov ^ Shokiii, 1987; Шокин п д]). 1989; Chubaiov U al., 2000; Хакимзянов и др. 2001: и г. п.).

Что ка< ает( я трехмерных нелинейных уравнений дл я уме])енно длинных возмущений, то в первую очередь нужно отмеипь так на ¡ываемое цилиндрическое у равнение Коргевега де Bpina (Луговцов и Луговцов, 19G9) Оно (праве/пиво, когда длина волны мною меньше расстояния до сии симметрии задачи. Хорошо известная .модель Кадомцева Псчвиашвн ш (1970) предполагает, что характерный горизонта 1ьный масштаб рассматриваемых возмущений по продельной координан* много меньше, чем по i ране вере альной. В пое ледние дее ятнлетия все больший пнхерее у исследователей был привлечен к уравнениям, в которых не заложена указанная неравноправное ть направлений (например, Kim (t al. 1988; Пелннове кий и Степанянц. 1994). В первой из этих статей допускалось, что топография может быть дое гаточно крутой, и учитывалась сита Корнолнса. А во второй работе двумерное уравнение Буссннеска применялось дтя изучения поперечной п продольной неустойчивое ти уединенных волн в с редах е положительной дне пере иен. В час т нем ти. были не с ледованы прос транс т верные с олитоны и уединенные1 возмущения с пернодпчее кп моду ли])ованным фронтом. Следует подче])кнуть, что все эти эволюционные уравнения пригодны только для квазиплоских волн малой, но конечной амплитуды, бегущих пренмущее твенно в одну сгорон\.

В статье ЛсЛшьоп (199G) для возмущений поверхности слоя идеальной жидкости, распространяющихся как в нанравленип рос ia координаты i. так и навстречу, было предложено одно обезразмеренное уравнение:

Чдес ь £ малый параметр (о¡ношение амплитуды волны к невошущенной глубине слоя). Только этим данная модель лучше уравнения Кадомцева Петвиашвилн. Тем не менее, вычисления, результаты которых преде та 0.

10

Ншдсшн влены в работе Джон* она, были выношены для волн, бегущих в разные стороны, в том числе и под различными углами к оси ()\. При этом характерные продотьнын н трансверсатьныи масштабы возмущении оказывались сравнимыми.

К сожалению, в упомянутых (та1ья\ не приведен корректный вывод использовавшихся уравнении, и их авторы пренебрегают дне(ппативными потерями, связанные < грением о дно и на других границах жидкое теп. Вопрос о нелинейных волновых процессах в вязкой жидкости, вообще, изучен слабо. При учете дне с ипацип основное внимание уделяюс ь затуханию волн, а эффект их торможения практически не рассматривался. Однако в некоторых ж< периментах (например. Hammack к. Seguí. 1974) отмечаюсь, что с корос т и рас прос т ранения i равптацнонных возмущений нес коль-ко ниже значений, предсказываемых невязкой теорией. Кроме того, при теоретических исследованиях волновых процессов для трения жидкости о дно и на других границах обычно использовали либо его квазис тацио-нарное (проиоршюналыюе скорости) значение (Пелпновс кип. 1971), либо значение, усредненное на длине волны (Kculegaii, 1948; Cliestei, 1908; Ott i* Sudan, 1970). Только в работе Kakutani Matsuuchi (1975) с помощью с гандартного метода разложения но малому параметру и преобразования Фурье для возмущения юлщнныелоя получено уравнение KopieBcia де Вриза с- дополнительным днсс нпашвны.м членом типа интеграла Дюаме-ля. Анализ явлении, описываемых выведенным уравнением, в этой статье сделан не был. а в дальнейшем одним из авторов проводплпе ь лишь численные расчеты (Mathiuiclii. 197G). В работе Chen (1989) вязкий член в виде свертки аналогичным образом добавлен к уравнению Кадомцева Пе-твпашвнли.

Другой подход к моделированию пространственных вотш основывается на использовании систем уравнений, все из которых содержат как линейные, так и нелинейные слагаемые (например, Peiegiine, 19G7; Карп-ман. 1973; Gieen Sí Naghdi, 197G). В них входят осредненное но глубине слоя значение скорос гн жидкости (или потенциал в случае безвпхрево-ю движения) п отклонение границы раздела. Такие системы достаточно сложно решать и исследовать, но они пригодны для существенно трехмерных возмущений и различной геометрии дна, что позволяет применять их для расчета волн в натурных условиях и технических ус троне твах (Марчук и др., 1983; Вольцингер и др., 1989; Шокин и др. 1989; Франк, 2001; Ха-кнмзянов и др., 2001). При этом трения на границах обычно опредетяютс я в рамках квазис тацнонарного приближения.

1 ( t>n¡M \it iinot (i>< iihuim II¡,i>G.H u, ¡

Понимание динамики ос тее тонных водоемов lie pea тьно бе? расе мот рения вопрое а о волнах в ( тратнфпцнрованиых жидкое тях (например. Ле Блон н МлГкок. 1981; Фпллипе , 1982). Дня правильного ошк ання внутренних вошхщеиии в морях н океанах, содержащих ппкноклнн, необходимо задавать реальную завие iimoí т ь плотно( ти or глубины. Но наиболее простои моде п>ю. учитывающей (тратнфнкацню. явчяекя профиль в виде од-ноп с тупеньки. Хотя в двухслойной жидкое гн возможны только две моды колебании (баро грешная и первая бароклннная). >ю ограничение не так серьезно. Результаты наблюдении показывают (Ле Блон и Машек. 1981). что во многих ситуациях большая часть энергии приходится именно на первые две моды колебаний.

В евяш с этим как теоретики, так п эксперимент л юры, конечно же. проявили бо 1ьшон интерес к нелинейным волнам на границах ра здечла дву ч не< мешпвающихс я жидкое той различной плотное ти. ограниченной с верх'} и снизу неподвижными недоформпруемыми поверхностями. В частности. Long (1956) и Benjamin (19GG) нашли формулы для i ывных характеристик плен кпх уединенных ус гановшшшхе я возмущении. > равнение гнпа уравнения KopToBoi а до Вриза для рас < ма1рпвао.мой дв> \< лонной < ш темы было выведено в работе Djoieljevic Rodokopp (1978). Скорое ти и длины ею ео-лптоных решении совпадали с полученными ранее результатами пли были близки к ним. Во всех этих статьях была определена одна и ia же зависимость кршпчес кого ошошоння равновесных i лубпн слоев от си ношения плотное юй жидкое той: /;<* = уJ)7. где — p\¡p¿. Ее ш //, = h\/li-> > hlt. то нл грлницо раздела могут наблюдахьея одиночные вотны тина «хребет», a 11 j > и //, < //,„. иаобо])от. шпл «внадины». Был проведен глкжо и ряд лабораторных опытов но распространению уединенных возмущений (Бу-кроов и Гаврнлов, 1983; Гаврилов, 1988а; Гав])Илов. 19886; Mieliallet к. Baithéleiny, 1997), позволивших определить, какие модели лучше описывают экспериментальные данные.

Задача о динамике длинных волн малой, но конечной амплитуды в с не теме, сосюящой из двух слоев и имеющей свободную верхнюю поверхность, была впервые поставлена в работе Reniegan (1953). Но при отыскании уединенных решений Kenlogan донотннтельно предположил;чю разное и» плотностей жидкое юй мною меньше их абсолкпных значении. Эю позволило пренебречь возмущением свободной поверхности, возникающим при рае пространенин волн нл границе раздела слоев. Указанное ограничение было снято в с гатье Potéis Stoker (19G0). где два наиденных класса ре-шенни были названы быстрым и медленным в е оси во и твип е е-ущее iboh

Внсд( inic ным различием фазовых скорое теп возмущений. С дрмоп ( гороны, первая мода характеризуется (пнфазнымп ко юбанпями частиц жидкости в тори-зон i ал ыюп плоскости, в то время как вюрая сдвигом фаз на тт. В этой ( п i уацнн для волн .медленной моды завне имо( ть критичес кого отношения равновесных i ti\6iih слоев от отношения плотностей жидкостей оказалась значительно бо lee сложной: -3/;* -1) 4-//г*/>ДЗ/>>* -4) — р{ = 0.

Если в случае горизонтальной недеформпр}смой крышки 0 < //(* < 1. то при наличии свободной поверхное ш 1 < /iM < 1,25. Такое же уравнение бьпо получено п в рабою Какпгаш к, Jainasaki (1978). где1 для внутренних и поверхное i пых возмущений в двухслойной сие юме приведены без вывода эволюционные уравнения тпа у1)авнення Корювега де Врпза. На слабые меч ia 1акп\ моделей было указано выше. Большой вклад в решение матема i пческнх проблем, возникающих при п з\ ченпи илос кпх волн в двух'лойных /кпдкос тях инее ен с отруднпками Инс ти 1ута гидродинамики имени М.А.Лаврентьева СО РАН (Овсянников, 1979: Макаренко, 1981: Овсянников п др. 1985; Стурова. 1988; Ляпидевский и Тешуков, 2000).

При рас ( mo i рении дисс нпацни во ш в стратифицированном океане следует отмети ib статью Петрова (1979). В ней утверждался ь, что линейное затухание поверхностных гравшацпонных возмущении за счет молекулярной вязкости существенно лишь в области умеренно коротких волн, а в диапазоне длинных волн малоэффективны также п извсс тные из теории механизмы релаксации, обусловленные турбулентной вязкостью (Китайгородский, 1959). Был сделан вывод, что затухание длинных поверхнос 1ных возмущений проне ходит блаюдаря их взапмодейс твию с о с лучанными внутренними волнами. Этот результат верен для глубокого океана, но в при-брежиоп зоне и, в особенное ш, при лабораюрном мод<%ли])овашш решающий вклад в дне с ипацию дают трение о дно н боковые с генкн, а в случае несмешнвающихс я жидкостей и между слоями.

В раде экспериментов (например, Walker, 1973; Segur Ilaiiimack. 1982; Букреев и Гаврплов, 1983; Mic hallet к Baitliélemy, 1998) исследовалась не только транс формация уединенных волн, но п отмечалось, что скорости распространения гравитационных возмущений несколько ниже значений, предсказываемых невязкой теорией. Первые попытки учес ть влияние пограничных слоев на динамику длинных внутренних волн малой, но конечной амплитуды, бегущих по границе раздела жидкостей, были предприняты Коор к. Butler (1981) и Leone (t al. (1982). В этих статьях, подобно рабою Kculegaii (1948), с помощью энергетических соотношении и выражений для трения, ус редненного на длине волны, были выведены формулы Г(Ж/И'\/( IIIKH ((К/ОЯ/Ш1 ///««Т/(Mí/,/ нпя и верхнем п нижнем ( лоях у i раницы р.пде la равны i ренням о крышм il дно ( оотве i ( IBCHHO В (Taibe Leone <t al (1982) дш < ппацня у границы ращела учюна точнее. Тем не менее удовлетворите ibHoro (oii.uiih теории ( экспериментом Хаммака (Seguí к. Нашшаск, 1982) не иолу чалое ь, так как в опытах двухслойная система состояла m воды и соляною раствора (толщина ппкноклпна меня лас ь от одною до дву \ сантиме i ров, что мною больше размеров во шикающих пограничных с шеи). Очевидно, что в i а кон ситуации трение на границе раздела не моле] оказывать практичен кн никакого воздействия. Хотя, вообще-то. в работе Leone (t al (1982) не с ледовалос ь }ату\ашю у единенных возму щенпп в днухс лонной жидкое ти со с вободной новерхиос i ьн>. решение удалое ь легко подправить и на с лучан ыдачн с твердой крышкой (Гаврпюв, 1988а). К])оме того, Куп п Батлер по аналогии со статьей Kakuîani к. Matsiuie hi (1975) полечили дтя функции тока ■эволюционное уравнение е ннтет})а 1ьным членом типа евергки. учитывающим не только ipeHiie о дно, но и трение о «крышм». которой не1 бы ю и в их оиьпах.

Что касаемся задачи о гравитационных во шах на свободных поверхностях неглубоких потоков жидкости со сдвигом продольной скорое гп. то она уже полвеч^а привлекает внимание с пециатие юв в облас ш гидромеха-нпкп (например, Bums, 1953; Hunt, 1955; Miles. 1957; Yeltliui/en к, van Wijngaaulen, 1969: a также обзор IViegiiiie, 197G). Однако в иос поднес время интерес к подобным исследованиям заметно возрос (см. монографии Сюианянца и Фабриканта (199G), Ляпидевского и Течцукова (20Ü0) и ряд других работ). В частности, в недавних с гатьях Пелиновского и др. (2000) и Giinisliaw (t al. (2002) предложены модельные1 уравнения дтя внутренних волн, учитывающие с гационарные потоки идеальных жидкое гсч1 с кусочно-постоянной зависимостью скорое ш от глубины в различных многослойных е родах.

И з работ по изучению волн на границе ра щола двухе лойнои вязкой жидкости при наличии стационарного сдвиговой) потока о i.мог им статью Hooper Giinishaw (1985). где было аналптнчое ки ггоказаио, что двухс топ-нос течение Нуазсчгля ус гойчггво в широком диапазоне параметров. А в работах Charles к. Lilloloht (19G5) п Као к. Par к (1972) для таких же потоков различных минеральных мае ел с водой в плос кнх однодюнмовых каналах была ■экспериментально продемонстрирована устойчивость гечоннп к внутренним во сгущениям вплоть до возникновения турбулентное tit (i. е. если числа Рейнольде а для воды не превышали 2000).

Нт (< пне

Б. Краткая характеристика диссертации

Актуальность темы дп< сергацпп обусловлена, б пергл ю очередь, фундаментальными научными проблемами гидромеханики и общей теории не-лпнеиных бошовых процессов. Несомненна также мракП1че< кая значимое 1Ь изучения вошущенпп на свободных Г])аницах жидкоетей д \я океанологии, мек'орологпп. гидроакустики, морепл<1вання и прогнозирования волн цунами. ГЗстедетвне важной роли волн в процессах, определяющих горизонтальный п вертикальным обмен в стратифицированных жидкостях, вопрос об эвотюцнн гравитационных возмущении занимает существенное место в понимании дпнампкн ее тес 1венных водоемов в цепом (Ле Ьлон и Майсек, 1981).

Цель работы сое гош в моделировании распространения во ш матон, но конечной амплшуды на с вободной псшерхнос тн и I раннце раздела жидкое 1сн разтичной п ютнос тп. При )том если жидкое ш можно с чшать идеальными, то рассматриваются как шпкочас тогные. так и высокоча-(тошыс возмущения. А в вялльх жидкостях все1 внимание1 уделено дтинным (по отношению к г'^бинам с тоев) волнам, потому что именно д 1я них может быть заметным втпяние нес ыционарного грения в прш ранпчных облас тях.

Краткая аннотация ос новных с еми глав дне < ертацип приведена ниже. Общими допущениями являются несжимаемость жидкое пчь слабая нелинейность вспн, пренебрежение ветпчпнамн третьей о порядка матос ш, <1 также неподвижность и недеформируемоеть пологого дна (в главах 2. 5. 7 и крышки системы). Во всех главах, кроме последней, предпотагается, что средние шачення скоростей частиц в слоях равны нутю. т. е. с ыцно-нарные течения оте уте твуют .

Первая часть работы посвящена изучению транс формации безвихревых вошущенпп в идеальных жидкостях произвольней! глубины (спектр длин волн ограничен тншь капиллярными и планетарными мае штабами). Здес ь всюду для перехода от с пе тем уравнении, с одержащпх юрп юнтальные компоненты скорое I ей час тпц. к одному у равнению для во шущенпй с вободных границ пе нольювано приближение о квазпе гацпонарное ш волн матон. но конечной амплитуды (в с не теме оте чета, движущей« я вмес те с возмущением, форма вотны меняется медленно).

В ,'лшн 1 исследованы поверхностные возмущения однородной слоя. В разделе 1.1 ироанатизнрованы аипрокс п.мацпн линейного дне перс ионного соотношения различных порядков точности (не юлько полиномиальные.

1> /\/><П/ь<1И Ч.1/МЛ (('/)//<( /(/.<1 /ЦИ I </И <1Ц1Ш г> но п дроГшо-рацпонатьиыс). В ращочо 1.2 бъиодаря ним аппрок* пмлип

ЯМ ПрОДЛОЖОНЛ ДПффороНИПаЛЬИаЯ ( ВЯЗЬ ПОВОрХНОСХНОЮ II ()( родненного по вертикальной коордпнагс шачсннй скорости час тпц. кохорля хорошо согласимся как ( известным решенном для очень коротких волн Стоке а. так и с очевидными роз>льта ыми в низкочастотном пределе. С помощью данной < вяш II ( ганда])! ных краевых условии выполнено упрощение < ш юмы исходных нетпноиных >равнении гид])одинампкп. В раздело 1-3 завершен вывод люлющюнною > равнения /пя хрехмерных во тушений уровня жнд-к(нтп. В раздело 1.4 ни уравнение протес тировано на задаче о н ывном переходе ило< ких линейных во ш с глубокой воды на мелкую, и показано. чю ошибка для модели второго порядка точности но превосходи! 4 В ращено 1.5 аналитически найдены двумерные нетинойные и ыповив-шпос я вош^щенпя шла волн СIоке а (в преде ю очень высокочас ютных возмещении полученная завис имен ть дает мае с пчес кии рот\ льтах Стоке а, а дтя до« ыючно дтпиных во хн совпадает с хорошо твое тным выраженном. с юдующпм из уравнения Корювста до Врпза) и кнондальныч волн, а также ироде ывлоны рсч\ 1ьта1Ы вычислении дня других периодических решений модетыюго уравнения. В ращето 1.0 теорегичес ки определены скорости рас ирос 1 ранения и продольные размеры плоских нелинейных ^ о-днненных с таипонарно бсчущпх вошущонпп для умеренно шпкочас то!иых волн, п проведено их сравнение ( характеристиками солихонов сравнений Бус с иное ка и Кортевега до Ври 5а. Кроме того, рас считаны \ единенные двумерные возмущения по шою уравнения, а в фазовом прост ране 1ве решении эюго уравнения исследовано их поведение вблизи особых точек (положений равновечпя). В раздето 1.7 вычис юны различные 1рсхморныо ус тановпвшиос я решения, которые позволили продомонс трпрова I ь втпянно величины и направтонпя волнового вокю])а на вид таких вошущонпп. Наконец, в раздело 1.8 приведены результаты расчетов по трансформации нелинейных плоских поверхиос гных волн (как длинных, так и коротких) не только над юризопгальноп твердой границей, но и в бас с оннах с наклонным учас тком дна.

В глши 2 рас смотрены возмущения границы раздела дв} \ нес мещц-ваюшнхе я жидкостей проп »вольной пленное тп между крышкой и дном. В раздело 2.1 выполнено \ прощение исходных нотннойных уравнении нора фывноетп и движения для каждого слоя. В раздело 2.2 про юс тированы новые1 час ютные Падо-аппрокс п.машш дне поре ионного соохношоння для линейных волн (второй порядок точности можеч давать ошибм менее 2 '/). Применение данною выражения снова с дела то возможным ирод юк>

ЛСД! •////(• жить дифференциальные с вязи граничных п о< редненных но вертикальной координате значении ( корослей ча( шц и обеих жидкостях, которые опять хорошо (огла< уются е известными решениями типа волн Стоке а для (лу-чая бесконечно глубоких слоев и аналогичными результатами в длинноволновом пределе. В разделе 2.3 проанализированы два сшн оба изучения трансформации линейных волн в слабо еужающихся каналах. В разделе 2.4 (нстема уравнении сведена к одному нелинейному эволюционному уравнению для трехмерных возмущении границы раздела. В раэделе 2.5 аналитически найдены нелинепные плоские стационарно бегущие нериодн-че<кие и уединенные решения. Первые из инх совпадают с помученными ранее теоретическими зависимое тямн для вьи окочас тотных волн и в случае равных неглубоких слоев, а вторые хорошо описывают экспериментальные данные ряда авторов. В разделе 2.0 приведены результаты вычисления форм для различных нелинейных нро< хранственных установившихся возмущений. Наконец, в разделе 2.7 продемонстрирована эволюция плоских не только длинных, но и корогкпх волн по мере их распрос ¡ранения как между горизонтальными твердыми границами, так п в канале < наклонным участком крышки.

В глаы 3 осущес твлено моделирование нелинейных волновых процес с ов в водоемах со скачком плотное ш (и внутри, и и на свободной поверхности). В разделе 3.1 благодаря допущению о малости изменения плотное л п по глубине точное дисперс ионное с осп ношение заменено приближенным, которое представляет собой произведение двух дробно-рацнональиых аппрокс пма-ций, использовавшихся в предыдущих главах. В разделе 3.2 с помощью этого выражения исходная система шести уравнений гидродинамики сведена к спс теме трех уравнении. В разделе 3.3 получено одно эволюционное уравнение для трехмерных нелинейных возмущений пикноклпна в широком диапазоне пропорции глубин слоев и длнны волны. В разделе 3.4 аналитически найдены периодпчес кие и одиночные плоские стационарно бегущие решения малой, но конечной амплитуды (последние хорошо согласуются с лабораторными измерениями). В разделе 3.5 используя предположение о том, что характерный горизонтальный размер возмущения шачнтельно больше глубины верхнего слоя, определена дифференциальная связь волн на поверхности водоема с возмущениями границы раздела. В разделе З.б представлены результаты вычислении различных прос транственных установившиеся нелинейных волн (как в ппкноклине, так и на свободной поверхности). Наконец, в разделе 3.7 рассчитана трансформация двумерных возмущений на обеих границах. В частности продемонс грпрована картина,

П /\/ы /кля лнрлл/ерш "«/»<! лк ((ч>1,Щ1ш которая похожа на интерференцию свободных и вынужденных (возникших из-за уединенной ондулярной внутренней волны) возмущений поверхности водоема.

Вторая чшть работы посвящена изучению эволюции достаточно длинных волн в вязких жидкостях. Здесь всюду для перехода от (ш тем уравнений. содержащих горизонтальные компоненты скоростей частиц, к одному уравнению для возмущений свободных граннц использовано допущение о юм. что волны малой, но конечной амплитуды распространяются лишь в одном направлении. При этом линейные возмущения могут бежать и навстречу друг другу.

В главе 4 исследованы поверхностные волны в одном слое жидкости. В разделе 4.1 изложена постановка задачи п выполнено упрощение системы исходных уравнений неразрывности п движения. В разделе 4.2 получено выражение типа свертки для нестационарного трения жидкости о дно. В разделе 4.3 выведено нелинейное модельное уравнение, коюрое даже для идеальной жидкости над горизонтальным дном является обобщением уравнения Кадомцева Петвиашвнлн на случаи сущес твенно трехмерных возмущений свободной границы. В разделе 4.4 найдены его кнопдаль-ные п уединенные безднеенпатнвные решения, сделан дисперсионных анализ линейных волн, предсказана возможность наблюдения отрыва тонкого придонного слоя н возникновения зоны возвратного течения при распространении гравитационных возмущении. В разделе 4.5 даны разностная схема и метод расчетов по модельному уравнению. В разделе 4.0 представлены результаты вычислений трансформации различных волн малой, но конечной амплитуды над неровным дном. В частности, эволюция плоского возмущения в бассейне переменной глубины хорошо согласуется с тестовыми опытными данными. Продемонстрирован также1 дисбаланс эффектов длинноволновой дисперсии и слабой нелинейности волн, вызванный уменьшением глубины жидкости, и его компенсация (в ос новном) вязкой дне енпа-цней. Наконец, в разделе 4.7 построена новая модель, которая применима дтя нелинейных волн, бегущих в различных направлениях. Она состоит из одного уравнения для возмущения свободной поверхности слоя и двух простейших линейных вспомогательных, которые нужны для нахождения скорости жидкости, входящей лишь в члены второго порядка малости главного уравнения.

В главе 5 рассмотрены возмущения границы раздела двух жидкостей произвольной плотности, находящихся между твердыми дном н крышкой. В разделе 5.1 содержится постановка задачи и упрощение исходных уравне

18

Пнсдсиис ний гидродинамики. В разделе 5.2 определены градиент давления на границе раздела, а также нестационарные трения о крышку, дно и между слоями. В разделе 5.3 завершен вывод модельного интегро-дифференцнального уравнения для пространственных волн и указаны его плоские бездисси-патнвные решения (периодические и одиночные). Наконец, выполненное в разделе 5.4 сопоставление результатов расчетов с экспериментальными данными ряда авторов показало, что это уравнение хорошо описывает трансформацию нелинейных двумерных уединенных возмущений п лучше других способно предсказать уменьшение амплитуды таких волн по мере их распространения. Кроме того, продемонстрировано влияние вязкостей на эволюцию как плоских, так и трехмерных возмущений не только между горизонтальными твердыми границами, но и в канале с наклонным участком крышки.

В главе 0 осуществлено моделирование возмущений границы раздела двух жидкостей разной плотности при наличии свободной поверхности. В разделе 6.1 сформулирована постановка задачи и сделано упрощение исходных уравнений неразрывности и движения в каждом слое. В разделе 6.2 найдены выражения для нестационарных трений о дно и между слоями. В разделе 6.3 учтено влияние длинноволновой инерции жидкое тей и слабой нелинейности возмущений. В разделе 6.4 с помощью метода, подобного методу квазппростых волн, выведено модельное интегро-днфференцпальное уравнение для трехмерных возмущений границы раздела. В разделе 6.5 проанализированы как периодические, так и одиночные плоские решения эволюционного уравнения. Наконец, в разделе 6.6 представлено сравнение результатов расчетов по этому уравнению с опытными данными по затуханию нелинейных уединенных возмущений, измеренными на нескольких лабораторных установках.

В главе 7 исследованы вочны на границе раздела двухслойного потока в горизонтальном канале с твердыми неподвижными дном и крышкой. В разделе 7.1 изложена постановка задачи (имеется стационарное слоистое течение Пуазейля) и выполнено упрощение исходных уравнений гидродинамики. В разделе 7.2 определена картина возмущенного течения в слоях и показано, что при некоторых параметрах системы и не слишком малых скоростях установившегося потока профили вертикальных компонент скоростей жидкостей могут заметно отличаться от линейных. В разделе 7.3 продолжены преобразования уравнений движения, а также установлены связи давления на граннце раздела и горизонтальных составляющих скоростей жидкостей с отклонением этой поверхности в первом приближении. ¡\pdihc 1я \нрни /ерш тин дна('¡>1<ииш

1«)

В разделе 7.4 найдены формулы для фазовой скорости линейных волн и нестационарных трении на всех границах системы. В разделе 7.5 завершен вывод модельного интегро-дифференциального уравнения для возмущений границы раздела и проанализирована зависимость сто основных коэффициентов от скорости установившегося течения и отношения глубин слоев. Наконец, в разделе 7.0 получены двумерные нелинейные стационарно бегущие решения эволюционного уравнения в виде кноидальных и уединенных волн. Показано, что величина и направление установившегося потока жидкости могут изменять не только характерные длины возмущений, но н их полярность.

Научная новизна основных положений, результатов и выводов, полученных в диссертации, может быть сгруппирована в следующие четыре главных пункта.

Во-первых, она заключается в выводе1 нелинейных эволюционных уравнений, имеющих большую область применимоетн, чем аналогичные уравнения, предлагавшиеся ранее другими авторамп для рас сматрнваемых задач. Впервые построены и изучены нелинейные «дифференциальные» модели, пригодные для описания трансформации как длинных, так и коротких волн в бассейнах с пологим дном.

Во-вторых, проведен детальный учет вязкости при распространении гравитационных возмущений в мелких жидкостях. Предсказана возможность наблюдения отрывов тонких пристенных слоев и возникновения у твердых границ зон возвратного течения. Кроме того, впервые исследован вопрос о конкуренции между влияниями уменьшения глубины бассейна и нестационарного трения о недефеф.мнруемые границы. В частности, продемонстрирована ситуация, когда вклады этих эффектов в основном компенсируют друг друга.

В-третьих, предложен новый подход к моделированию динамики пространственных волн малой, но конечной амплитуды, который свободен от основных недостатков, использовавшихся ранее методик. Данный подход применим для слабонелинейных волн, бегущих под любыми углами друг к другу, но нахождение решений и их анализ значительно проще, чем с помощью стандартных систем уравнений.

Наконец, в-четвертых, исследовано влияние установившегося ламинарного сдвигового потока двух жидкостей в горизонтальном канале на вид профилей вертикальных компонент скоростей. Впервые показано, что величина и направление стационарного течение могут изменять не только характерные длины возмущений, но и их полярность.

20

Ннедашс

Научная и практическая ценность полученных в работе результатов состоит, в первую очередь, в выводе нелинейных эволюционных уравнении, способных описывать волновые процессы на свободной поверхности однородной жидкости и границе раздела двухслойной системы произвольной глубины. Изучение систем со скачком плотности очень важно для понимания поведения внутренних волн в стратифицированных жидкостях с тонким ппкноклпном. Поэтому данные уравнения могут использоваться для моделирования динамики трехмерных возмущений не только в лабораторных установках, но и в естественных водоемах. Предсказанные явления отрыва тонких пристенных слоев и возникновений возвратных течений у твердых границ при распространении волн могут оказать существенное влияние на процессы тепло- и маесообмена в неглубоких слоях жидкостей.

Разработанные в диссертации методы получения эволюционных уравнений могут быть полезны как в других областях физики нелинейных волн, так и П1)П решении ряда прикладных задач. Исследование влияния нестационарного трения на трансформацию умеренно длинных нелинейных возмущений свободной поверхности однородной жидкости и вывод эволюционного уравнения для умеренно длинных волн малой, но конечной амплитуды в двухслойной системе с верхней свободной границей использованы в монографиях Накорякова и др. (1983) и Накорякова и др. (1990) соответственно.

На защиту выносятся следующие основные положения диссертации:

1. Построение дифференциальных моделей для слабонелннейных квазн-стацпонарных трехмерных возмущений свободной поверхности однородной жидкости и границы раздела двухслойной снс темы нрон тольноп глубины. Аналитическое определение периодических и уединенных плоских приближенных решений предложенных уравнений. Численное нахождение форм установившихся бегущих пространственных волн и эволюции возмущений при различных пологих изменениях глубин бассейнов или геометрий каналов.

2. Вывод уравнения для расчета воздействия умеренно длинных внутренних волн на возмущение свободной поверхности водоемов с очень тонким пнкноклином. Результаты, демонстрирующие интерференцию свободных и вынужденных (возникших из-за возмущений пикноклпна) поверхностных волн.

3. Получение модельных интегро-дпфференцнальных уравнений, учитывающих малую, но конечную амплитуду трехмерных возмущений свободной поверхности однородной жидкости и границы раздела двухслойной

Б Крапая ха/мифпсшудшк'ришш

21 системы, длинноволновые вклады инерции слоев жидкости и поверхностных натяжении, слабый наклон недеформнруемых границ, а также нестационарные трения на всех границах системы. Результаты вычислений эволюции профилей одиночных волн, выполненные с помощью этих уравнений и описывающие имеющиеся экспериментальные данные лучше, чем подходы других авторов.

4. Предсказание возможности наблюдения отрывов тонких пограничных слоев и возникновения зон возвратного течения у твердых границ вязкой жидкости при распространении даже двумерных уединенных гравитационных возмущений постоянного знака. Результаты расчетов, показывающие, что наличие нестационарных трений может сущес твенно изменить профили волн.

5. Вычисление воздействия переменной глубины бассейнов и препятствий различной формы на трансформацию первоначально плоских одиночных возмущений. Результаты, демоне трнрующне, что дш баланс эффектов нелинейности волн и дисперсии умеренно длинных возмущений, вызванный уменьшением глубины жидкости, может быть скомпенсирован в основном вязкой диссипацией.

0. Новый подход к моделированию динамики пространственных волн малой, но конечной амплитуды, бегущих в различных направлениях. Вывод одного главного эволюционного уравнения и двух простейших линейных вспомогательных, которые нужны для определения вектора горизонтальной скорости жидкости, входящего лишь в члены второго порядка малости основного уравнения.

7. Исследование воздействия установившегося двухслойного потока вязких жидкостей в горизонтальном канале на профиль вертикальной скорости возмущенного движения. Обнаружение эффекта экранирования длинных линейных гравитационных волн достаточно быстрыми спутными стационарными течениями при некоторых значениях параметров. Анализ влияния величины и направления установившегося потока, а также других характеристик жидкостей (глубин, плотностей, вязкостей и поверхностного натяжения) на продольные размеры возмущении малой, но конечной амплитуды и их полярность.

Достоверность полученных результатов обеспечивается, в первую очередь, тем, что предложенные модели выведены классических систем уравнений гидродинамики с помощью физически разумных допущений и многократно проверенных методов. Они являются обобщением широко известных моделей и согласуются с ними в частных случаях. Найденные числен

Ньсдсиис ные решения хорошо описывают имеющиеся экспериментальные данные ряда отечественных и зарубежных ученых. Наконец, все программы расчетов тестировались на аналитических зависимостях, определенных как автором, так и другими исследователями.

Работа опубликована в 79 научных трудах. Основными из них являются следующие 27 наименований:

Архипов Д. Г., Литвиненко А. А. и Хабахпашев Г. А. 2004 Численное моделирование распространения нелинейных возмущении границы раздела двухслойного течения вязкой жидкости // Материалы Междунар. конф. "Вычислит. иинформац. гпехнол. в науке, технике и образовании". Алматы: Изд-во Казах, нац. унив. им. аль-Фарабн. Ч. I. С. 197 205.

Архипов Д. Г. и Хабахпашев Г. А. 2005 Моделирование длинных нелинейных волн на границе раздела горизонтального потока двухслойной вязкой жидкости в канале // Изв. РАН, МЖГ. № 1. С. 143 158.

Архипов Д. Г. и Хабахпашев Г. А. 2005 Динамика нелинейных трехмерных возмущений свободной поверхности неглубокого слоя вязкой жидкости с пологим дном // XXVIII Саб. гшплофиз. семинар: Сб. тр. (CD). Новосибирск: ИТ СО РАН. 9 с.

Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 1991 «Дифференциальная» модель слабонелннейных волн на воде // Доклады АН СССР. Т. 317, № 2. С. 450-452.

Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 1993а Дннамнка слабонелинейных внутренних шлн в двухслойном океане // Дои тды РАН. Т. 330, .V 1. С. 105-107.

Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 19936 Приближенные модели для описания слабонелннейных поверхностных волн // Изв. РАН, Фаз. атп-мосф. океана. Т. 29, Ni 5. С. CGI- 665.

Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 1994 Распространение слабонелннейных возмущений границы раздела двухслойной жидкости // Изв. РАН, МЖР. № 1. С. 125-131.

Бочаров А. А., Хабахпашев Г. А. и Цвелодуб О. Ю. 2002 Численное моделирование нелинейных установившихся внутренних волн в двухслойном водоеме произвольной глубины // Материалы Междунар. конф. "Вычислит. технол. и математп. моделир. в науке, технике и образовании". Алматы: Изд-во Казах, нац. унив. им. аль-Фарабн. Ч. 2. С. 50-58.

1> /\ра//w¡я \(tj)riu irj>n( nihd M¡¡((('i>ídHi¡ii

•1\

Бочаров А. А., Хабахпашев Г. А. и Цвелодуб О. Ю. 2003 Численное моделирование нелинейных пространственных стационарно бегущих волн на свободных поверхностях однородной и двухслойной жидкости // Материалы Междунар. конф. "Вычислит. и информ. гпешол. в науке, пи тике и образованииУсть-Каменогорск: Изд-во ВКГУ. Ч. I. С. 152 157.

Литвиненко А. А. и Хабахпашев Г. А. 1999 Чнслсннос моделирование нелинейных достаточно длинных двумерных волн на воде в бассейнах с пологим дном // Вычислит, технологии. Т. 4, JYí 3. С. 95-105.

Литвиненко А. А. и Хабахпашев Г. А. 2001 Численное моделирование динамики нелинейных внутренних возмущений различной длины в двухслойном водоеме с пологим дном // Труды Междунар. конф. "Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, эксперимент и практика". Новосибирск: ИВТ СО РАН. Ч. 2. С. 408-415.

Хабахпашев Г. А. 1983а Динамика уединенных волн на границе раздела и свободной границе двухслойной жидкости //В кн.: Гидродин. и акусгп. одно- и двухфазных потоков. Н-ск: ИТ СО АН СССР. С. 107 113. Хабахпашев Г. А. 19836 Торможение и затухание гравитационных волн в тонком слое вязкой жидкости //В кн.: Гидродинамичеекие течения и волновые процессы. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. С. 41-55. Хабахпашев Г. А. 1985 Влияние вязкости на эволюцию возмущений свободной поверхности и границы раздела двухслойной жидкости //В кн.: Гидродинамика и тепломассообмен течений жидкости со свободной поверхностью. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. С. 126-145.

Хабахпашев Г. А. 1987 Влияние трения жидкости о дно на дннамику гравитационных возмущений // Изв. АН СССР, МЖГ. № 3. С. 119 127.

Хабахпашев Г. А. 1990а Моделирование распространения внутренних волн в двухслойном океане // И за. АН СССР, Физ. атмосф. океана. Т. 26, JY- 1. С. 72-82.

Хабахпашев Г. А. 19906 Эволюция возмущений границы раздела двух слоев вязкой жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ. № 6. С. 118-123.

Хабахпашев Г. А. 1996 Дифференциальный метод моделирования слабонелинейных волн на воде переменной глубины// Изв. РАН, Физ. атмосф. океана. Т. 32, № 6. С. 841-847.

Хабахпашев Г. А. 1997 Нелинейное эволюционное уравнение для достаточно длинных двумерных волн на свободной поверхности вязкой жидкости // Вычислит, технологии. Т. 2, № 2. С. 94-102.

21

Ннедсипс

Хабахпашев Г. А. 201)1 Распространение внутренних и поверхностных двумерных нелинейных волн в океане t о t качком плотности и пологим дном // Язв. РАН, Физ. атмосф. океана. Т. 37, К 3. С. 397-40G.

Хабахпашев Г. А. 2005 Трансформация длинных нелинейных волн в двухслойной вязкой жидкости между пологими дном и крышкой // Прикл. мех. техн. физ. Т. 4G, Лг-> 6. С. 45-57.

Хабахпашев Г. А. и Цвелодуб О. Ю. 1999 Эволюционное уравнение для слабонелинейных волн в двухслойной жидкости с пологими дном и крышкой // Ирикл. мех. техн. физ. Т. 40, Дг 5. С. 62-72.

Khabakhpashev G. А. 1992 Dynamics of nonlinear internal and surface gravitational waves in incoinpiessible liquid layers of arbitrary uniform depth // Pruc. 5th Asian Congress Fluid Mich. Taejon. P. 183-18G.

Khabakhpashev G. A. 2003 Mathematical modeling of inteiaction between pyciiocline and free sulfate peituibations in an ocean with a density jump and slowly varying topography // Proc. Int. Conf. "Mathematical Methods ui Geophysics". Novosibirsk. Part II. P. 3G9 373.

Khabakhpashev G. A. 2004 Numerical solution to integro-differential equation for weakly nonlinear long waves in a two-layer viscous liquid between the gently sloping lid and bottom // Proc. Int. Conf. Computational Mathematics. Novosibirsk. V. II. P. 876-881.

Khabakhpashev G. A. and Litvinenko A. A. 2002 Nmneiiial solution to differential equation for nonlinear internal waves in a two-layer otean of arbitrary depth with a varying bottom // Proc. Int. Conf. Computational Mathematics. Novosibii.sk. V. II. P. 518 523.

Khabakhpashev G. A. and Tsvelodub O. Yu. 2000 Evolution equation for nonlinear internal waves in stratified liquid of ail arbitrary depth // Proc. 5th Int. Sijmp. Stiatijicd Flows. Yaniouvei. Y. II. P. 731 730.

Личный вклад автора в защищаемую работу является следующим: постановка большинства рассмотренных задач, вывод модельных нелинейных эволюционных уравнений, нахождение ряда нх аналитических решений, проведение некоторых вычислительных экспериментов и анализ полученных результатов. Инициированы эти исследования были в начале 80-х годов прошлого века академиком В. Е. Накоряковым и профессором А. А. Борисовым.

Почти половина из основных научных трудов диссертанта опубликована без соавторов. В работах, выполненных вместе с аспирантом Д. Г. Ар

I) ¡\pdlhdH И'рШ'ИНЫ ДИК ('¡>1 (ИЩИ хиповым, ему принадлежат идея изучения влияния стационарного потока на профили вертикальной скорости в двухслойной жидкости и осуществле-нне численных расчетов по уравнениям Орра-Зоммерфельда. Он также участвовал в получении модельных нелинейных уравнений, определении их аналитических решений в предельных случаях, написании и отладке программ для вычислительных экспериментов по транс формации волн.

В статьях, опубликованных совместно с д. ф.-м. н. А. А. Борисовым, последний принимал участие в постановке задач по моделированию волн произвольной длинны и обсуждении полученных результатов.

В исследованиях, проведенных вместе с к. ф.-м. н. А. А. Бочаровым, ему принадлежит разработка алгоритма нахождения стационарных трехмерных решений рассматривавшихся нелинейных дифференциальных уравнений. Здесь диссертант не только осуществлял общее руководство, но и участвовал в выполнении численных расчетов.

В работах, сделанных совместно с аспирантом А. А. Лптвиненко, последний создал программный комплекс, который позволяет сравнивать результаты, полученные с помощью различных вычислительных методов, с имеющимися экспериментальными данными и наблюдать поведение решения во время всего расчета, записывав и воспроизводить сто. Тут диссертант также кроме общего руководства участвовал в проведении численных экспериментов по эволюции разнообразных возмущений.

Наконец, в статьях, написанных вместе с д. ф.-м. н. О. Ю.Цвелодубом, ему принадлежат разработка алгоритма нахождения стационарных двумерных решений рассматривавшихся дифференциальных моделей. И здесь диссертант участвовал в выполнении вычислений, как для периодических, так и для уединенных волн.

Апробация работы проходила на следующих научных мероприятиях: Совещание по цунами (Горький, 1984), У1-УШ Всесоюзные съезды по теоретической и прикладной механике (Ташкент, 1986; Москва, 1991; Пермь, 2001). I VI Совещания по численным методам в задачах волновой гидродинамики (Абакан, 1988; Ростов-на-Дону, 1990; Новосибирск, 1992, 1994, 1996 и 1998), 1-У Европейские конференции по механике жидкости и газа (Кембридж, 1991; Варшава, 1994; Геттинген, 1997; Эйндховен, 2000; Тулуза, 2003), Международная конференция «Задачи со свободными границами в механике сплошных сред» (Новосибирск, 1991), XVII и XXVII Генеральные ассамблеи Европейского геофизического общества (Эдинбург, 1992; Ницца, 2002), Международное совещание «Мезо- и микроструктура океана» (Санкт-Петербург, 1992), XII Международная школа по моделям

20

Нведсчше механики сплошной среды (Казань, 1993). Международный симпозиум «Нелинейные колебания, волны и вихри в жидкостях» (Санкт-Петербург, 1994), Международная конференция «Математические модели и численные методы механики сплошных сред» (Новосибирск, 1996), II IV Сибирские конгрессы по прикладной и индустриальной математике (Новосибирск, 1996, 1998 и 2000), Международная конференция «Математические модели и методы их исследования» (Красноярск, 1999), V и VI Международные конференции «Лаврентьевскне чтения по математике, механике и физике» (Новосибирск, 2000, 2005), VIII и IX Международные конференции «Устойчивость и турбулентность течений гомогенных и гетерогенных жидкостей» (Новосибирск, 2001 и 2004), Международная конференция «Современные проблемы прикладной математики и механики: теория, экс перпмент и практика» (Новосибирск, 2001), Всероссийская конференция «Теория и приложения задач со свободными границами» (Бийск, 2002), Международные конференции по вычислительной математике (Новосибирск. 2002 и 2004), IV Европейская конференция по нелинейным колебаниям (Москва, 2002), Международная конференция «Вычислительные технологии и математические модели в науке, технике и образовании» (Алматы, 2002), Международный симпозиум «Актуальные проблемы нелинейной волновой физики» (Нижний Новгород, 2003), Международная конференция «Математические методы в геофизике» (Новосибирск, 2003), Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Усть-Каменогорск, 2003), Всероссийская конференция «Новые математические модели в механике: построение и изучение» (Новосибирск, 2004), XXI Международный конгресс по теоретической и прпкчадной механике (Варшава, 2004), Международная конференция «Вычислительные и информационные технологии в науке, технике и образовании» (Алматы, 2004), Всероссийская конференция «Задачи со свободными границами: теория, эксперимент и приложения» (Бийск, 2005), XXVIII Сибирский теплофнзический семинар (Новосибирск, 2005). На всех этих мероприятиях докладывались и обсуждались основные результаты диссертации.

Кроме того, ряд разделов данной работы был поддержан Российским фондом фундаментальных исследований (проекты 96-01-01766, 00-01-00849, 00-05-65441, 04-01-00183), Советом по господдержке ведущих научных школ Российской Федерации (гранты 96-15-96314 и 00-15-96810), Сибирским отделением Российской академии наук (интеграционные проекты фундаментальных исследований 43-97 и 01-00, а также базовый проект фундаментальных исследований 4.2-04).

Часть I. Волны в слоях идеальных жидкостей произвольной глубины

Заключение

Подводя итог осей работы, выделим ее основные результаты и выводы.

Подчеркнем еще раз, что общими для диссертации приближениями являлись несжимаемость жидкостей, слабая нелинейность волн, пренебрежение величинами третьего порядка малости, а также неподвижность п пологость твердых границ. Во всех главах, кроме последней, предполагалось, что средние значения скоростей частиц в (лоях равны нулю, т. е. стационарные потоки отсутствуют, а в двухслойных системах не рассматривалась устойчивость возникающих сдвиговых течений.

В части I исследована динамика возмущений свободных границ в слоях идеальных жидкостей. При этом спектр длин волн был ограничен лишь капиллярными и планетарными масштабами. Проанализированы как полиномиальные, так и дробно-рациональные аппроксимации линейного дисперсионного соотношения для возмущений свободной поверхности однородной жидкости. Впервые предложены частотные Паде-аппрокспмации дисперсионных соотношений для волн на границе раздела двух жидкостей, ограниченных недеформнруемымн крышкой и дном, или водоемов с очень тонким пикноклином. Показано, что аппроксимации второго порядка точности могут давать ошибку не превышающую 2 % для фазовой скорости и 8 % для групповой скорости.

Применение данных выражений сделало возможным использовать дифференциальные связи граничных и осредненных по вертикальной координате значений скоростей частиц жидкостей, которые хорошо согласуются с известными решениями типа волн Стокса для случая бесконечно глубоких слоев и аналогичными результатами в длинноволновом пределе. С помощью этих связей н стандартных краевых условий выполнено упрощение систем исходных нелинейных уравнений гидродинамики. Переходы от систем уравнений, содержащих горизонтальные компоненты скоростей частиц, к одному уравнению для трехмерных возмущений свободных границ выполнены благодаря допущениям о квазистационарности волн малой, но конечной амплитуды, т. е. предположениям, что в системах отсчета, движущихся вместе с возмущениями, формы волн меняются достаточно медленно.

Линеаризованные варианты модельных уравнений протестированы на задаче о плавном переходе плоских моногармонических волн с глубокой воды на мелкую. Оказалось, что ошибка в определении амплитуды воз

210 ноченпс мущения свободной поверхности однородной жидкости для модели второго порядка точности не превосходит 4 %.

В широком диапазоне частот теоретически найдены двумерные нелинейные установившиеся решения типа волн Стокса. В пределе очень высокочастотных возмущений полученные зависимости дают классические результаты Стокса или Торпа, а в случаях умеренно длинных волн совпадают с хорошо известными выражениями, следующими из уравнения Кортевега - де Вриза. Вычислены формы стацнонаоно бегущих плоских и пространственных периодических решений полных модельных уравнений, которые позволили продемонстрировать влияние величины и направления волнового вектора на вид таких возмущений.

Аналитически определены скорости распространения и продольные размеры плоских нелинейных кноидальных волн. В частности, продемонстрировано, что зависимости для умеренно низкочастотных уединенных возмущений хорошо согласуютс я не только с характеристиками солитонов уравнений Буссинеска и Кортевега - де Вриза, но и с эксперимента¡ьными данными ряда авторов.

Кроме того, для полных модельных уравнений рассчитаны формы установившихся крестообразных возмущений («диагональный» крест), а в фазовом пространстве решений двумерных уравнений изучено их поведение вблизи особых точек. Выполнены вычислительные эксперименты по эволюции коротких и длннных плоских нелинейных уединенных волн различной длительности в жидкостях, ограниченных как горизонтальными, так и наклонными твердыми границами.

Для водоемов с очень маленьким относительным скачком плотности, используя предположение о том, что горизонтальный размер возмущений значительно больше глубины верхнего слоя, найдена дифференциальная связь пространственных волн на свободной поверхности водоема с возмущениями границы раздела. Она сделала возможным определить воздействие внутренних волн на возмущения свободной поверхности и рассчитать трансформацию плоских волн на обеих границах. В частности, продемонстрирована картина, которая похожа на интерференцию свободных и вынужденных (возникших из-за нелинейных возмущений пикноклина) колебаний открытой поверхности водоема.

В части II исследована динамика умеренно длинных волн в слоях вязких жидкостей. Предполагалось, что появляющиеся пограничные слои остаются тонкими, т. е. время прорастания пограничного слоя на всю толщину жидкости много больше характерного времени прохождения возмущения мимо любого датчика. Кроме того, учитывалось поверхностное натяжение, но считалось, что капиллярные эффекты не велики. Однако этого было достаточно, чтобы подавлять неустойчивость Кельвина-Гельмгольца. Наконец, для перехода от систем уравнений, содержащих горизонтальные компоненты скоростей частиц, к одному уравнению для трехмерных возмущений свободных границ использовано допущение о том, что волны малой, но конечной амплитуды распространяются лишь в одном направлении. При этом линейные возмущения могут бежать в любые стороны, в том числе и навстречу друг другу.

Для нестационарных трений жидкостей о недеформнруемые неподвижные границы систем получены выражения типа интеграла Дюамеля. Анализ данных зависимостей позволил предсказать возможность наблюдения отрывов тонких пристенных слоев и возникновения зон возвратного течения даже у горизонтальных границ при распространении гравитационных волн.

Разработан достаточно простой и физически наглядный метод сведения исходных с истем уравнений волновой гидродинамики к одному эволюционному уравнению для возмущения свободной граннцы. В отличие от уравнений типа модифицированного уравнения Буссинеска эти новые модельные уравнения учитывают также слабый наклон дна и нестационарные трения на всех границах.

Выполнены численные эксперименты по эволюции плоских волн на воде в бассейне переменной глубины, результаты которых хорошо согласуется с тестовыми опытными данными. Кроме того, продемонстрированы дисбаланс эффектов длинноволновой дисперсии и слабой нелинейности возмущений, вызванный уменьшением глубины жидкости, и его компенсация вязкой диссипацией.

Сопоставление результатов расчетов для волн на границе раздела двухслойной жидкости с экспериментальными данными ряда авторов показало, что выведенные интегро-дифференциальные уравнения хорошо описывают трансформацию нелинейных двумерных уединенных возмущений и лучше других способны предсказать уменьшение амплитуды таких волн по мере их распространения. Исследовано влияние нестационарных трений на эволюцию как плоских, так и трехмерных возмущений в каналах с наклонными участками твердых границ (пространственные препятствия на крышке или дне).

Построена новая модель, которая применима для нелинейных волн, бегущих в различных направлениях. Она состоит из одного уравнения для воз

212

Ъи^.ПОЧС 11111 мущення свободной поверхности слоя и двух простейших линейных вспомогательных, которые нужны для нахождения горизонтальной скорости жидкости, входящей лишь в члены второго порядка малости главного уравнения. Численно найдены решения ряда задач волновой динамики для однородного слоя при пологом изменении дна.

Наконец, рассмотрены плоские нелинейные волны на границе раздела двухслойного потока в горизонтальном канале с твердыми неподвижными дном и крышкой. Определена картина возмущенного течения в слоях и обнаружено, что при некоторых параметрах системы и не слишком малых скоростях установившегося потока профили вертикальных компонент скоростей жидкостей могут заметно отклоняться от линейных. Проанализирована зависимость основных коэффициентов модельного уравнения от скорости установившегося течения и отношения глубин слоев. Впервые показано, что величина и направление стационарного потока жидкости могут изменять не только характерные длины возмущений, но и их полярность.

1. Абловиц М. и Сигур X. 1987 Солитоны и метод обратной задачи. М.: Мир. 478 с.

2. Алексеенко С. В., Накоряков В. Е., Покусаев Б. Г. и Христофоров В. В. 1973 Трение при стенании пленки жидкости по вертикальной стенке // Инженерно-физический журн. Т. 24, К 5. С. 824-830.

3. Алексеенко С. В., Накоряков В. Е. и Покусаев Б. Г. 1992 Волновое течение пленок жидкости. Новосибирск: Наука. 256 с.

4. Архипов Д. Г. и Хабахпашев Г. А. 2005 Моделирование длинных нелинейных волн на границе раздела горизонтального потока двухслойной вязкой жидкости в канале // Изв. РАН, МЖГ. X. 1. С. 143-158.

5. Архипов Д. Г. и Хабахпашев Г. А. 2005 Динамика нелинейных трехмерных возмущений свободной поверхности неглубокого слоя вязкой жидкости с пологим дном // XXVIII Сибирский теплофизический семинар: Сборник труд. (СО). Новосибирск: ИТ СО РАН. 9 с.

6. Афанасьев К. Е. и Стуколов С. В. 1999 Численное моделирование взаимодействия уединенных волн с препятствиями // Вычислит, технол. Т. 4, К 6. С. 3-16.

7. Бахолдин И. Б. 1999 Скачки, описываемые обобщенными уравнениями Кортевега де Вриза // Изв. РАН, МЖР. № 4. С. 95-109.

8. Белберова Д. 3., Козлов С. И., Массель С. Р. и Пелиновский Е. Н.1992 Полиномиальные аппроксимации модели Беркгофа для волн в бассейне переменной глубины // Морской ггеофизический жгурн. N2 2. С. 3-9.

9. Березин Ю. А. 1982 Моделировать нелинейных волновых процессов. Новосибирск: Наука. 160 с.

10. Березин Ю. А. и Карпман В. И. 1964 К теории нестационарных волн конечной амплитуды в разреженной плазме // Ж. экспер. теор. физ. Т. 46, N2 5. С. 1880-1890.

11. Боголюбский И. JL 197G Модифицированное уравнение нелинейной струны и неупругое взаимодействие солитонов // Письма в Журн. эксперим. теор. физ. Т. 24, № 3. С. 184-186.

12. Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 1991 «Дифференциальная» модель слабонелинейных волн на воде // Доклады Академии наук СССР. Т. 317, № 2. С. 450-452.

13. Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 1993а Динамика слабонелинейных внутренних волн в двухслойном океане // Доклады РАН. Т. 330, 1. С. 105-107.

14. Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 19936 Приближенные модели для описания слабонелинейных поверхностных волн // Изв. РАН, Физ. ат-мосф. океана. Т. 29, N. 5. С. 661-665.

15. Борисов А. А. и Хабахпашев Г. А. 1994 Распространение слабонелн-нейных возмущений границы раздела двухслойной жидкости // Изв. РАН, МЖГ. № 1. С. 125-131.

16. Бочаров А. А. и Цвелодуб О. Ю. 2003 Волновые режимы течения вязкой пленки, стекающей по вертикальному цилиндру // Изв. РАН. МЖР. № 2. С. 176-183.

17. Букреев В. И. и Гаврилов Н. В. 1983 Экспериментальное исследование уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // Ж.)рн. прикл. мех. техн. физ. Т. 24, N. 5. С. 51-56.

18. Бхатнагар П. JL 1983 Нелинейные волны в одномерных дисперсных системах. М.: Мир. 136 с.

19. Виноградова М. Б., Руденко О. В. и Сухоруков А. П. 1979 Теория волн. М.: Наука. 383 с.

20. Вольцинер H. E. 1985 Длинные волны на мелкой воде. Л.: Гидрометео-издат. 160 с.

21. Вольцинер H. Е. Клеванный К. А. и Пелинопский E. II. 1989 Длинноволновая динамика прибрежной зоны. Л.: Гидрометеоизд. 271 с.

22. Габов С. А. 1988 Введение в теорию нелинейных волн. М.: Изд-во МГУ. 177 г.

23. Гаврилов Н. В. 1988а Вязкое затухание уединенных внутренних волн в двухслойной жидкости // Прикл. мех. техн. физ. Т. 29, N 4. С. 51-55.

24. Гаврилов Н. В. 19886 Уединенные волны и плавные боры в двухслойной жидкости (эксперимент) : Дис. . канд. физ.-мат. наук: 01.02.05 / АН СССР. Снб. отд-нне. Ин-т гидродинамики им. М.А.Лаврентьева. Новосибирск. 141 с.

25. Двайт Г. Б. 1983 Таблицы интегралов и другие математическш формулы. М.: На\ка, Физматлит. 176 с.

26. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж. и Моррис X. 1988 Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир. 694 с.

27. Жакин А. И. 1983 О нелинейных равновесных формах и нелинейных волнах на поверхности феррожидкости (идеального проводника) в поперечном магнитном (электрическом) поле // Магнит, гидродинам. N. 4. С. 41-48.

28. Жакин А. И. 1984 Нелинейные волны на поверхности заряженной жидкости. Неустойчивость, ветвление и нелинейные равновесные формы заряженной поверхности // Изв. АН СССР, МЖР. N. 3. С. 94-102.

29. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П. и Питаевский Л.П.1980 Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука. 320 с.

30. Ильичев А.Т. 2003 Уединенные волны в моделях гидродинамики. М.: Физматлит. 256 с.

31. Калоджеро Ф. и Дегасперис А. 1985 Спектральные преобразования и солитоны. Методы решения и исследования эволюционных уравнений. М.: Мир. 472 с.

32. Кадомцев Б. Б. и Петвиашвили В. И. 1970 Об устойчивости уединенных волн в среде со слабой дисперсией // Доклады Академии наук СССР. Т. 192, Л: 4. С. 753-756.

33. Капцов О. В. 1998 Построение точных решений уравнения Буссинеека // Прикл. мех. rneju. физ. Т. 39, № 3. С. 74-78.

34. Карпман В. И. 1973 Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука. 175 с.

35. Китайгородский С. А. 1959 К теории турбулентной вязкости в волновом движении // Изв. АН СССР, Сер. геоФиз. № 5. С. 773-777.

36. Козлов С. И. и Пелиновский Б. Н. 1989 Приближенный метод описания поверхностных волн в бассейне переменной глубины // Изв. АН СССР, Физ. атпмосф. океана. Т. 25, № 12. С. 1321-1325.

37. Кудряшов Н. А. и Сухарев М. Б. 2001 Точные решения нелинейного уравнения пятого порядка для описания волн на воде // Прикл. машем, мехаи. Т. 65, ,42 5. С. 884-894.

38. Куркин А. А. и Пелиновский Е. Н. 2004 Волны-убийцы: факты, теория и моделирование. Н.Новгород: Нижегород. гос. техн. ун-т. 158 с.

39. Лайтхилл Дж. 1981 Волны в жидкостях. М.: Мир. 598 с.

40. Ламб Г. 1947 Гидродинамика. М.; Л.: Гостехтеоретиздат. 928 с.

41. Ле Блон П. и Майсек Л. 1981 Волны в океане. Т.1. М.: Мир. 480 с.

42. Литвиненко А. А. и Хабахпашев Г. А. 1999 Численное моделирование нелинейных достаточно длинных дзумерных волн на воде в бассейнах с пологим дном // Вычислит, тпехнол. Т. 4, № 3. С. 95-105.

43. Луговцов А. А. и Луговцов Б. А. 1969 Исследование осесимметричных длинных волн в приближении Кортевега де Врнза //В кн.: Динамика сплошной среды. Вып. 1. Новосибирск: Наука. С. 195-206.

44. Лэм Дж. Л. 1983 Введение в теорию солитонов. М.: Мир. 294 с.

45. Ляпидевский В. Ю. и Тешуков В. М. 2000 Математические модели распространения длинных волн в неоднородной жидкости. Новосибирск: Изд-во СО РАН. 419 с.

46. Макаренко Н. И. 1981 К теории двухслойной мелкой воды // Динам, сплош. среды. X: 50. С. 121-134.

47. Марчук Ан. Г., Чубаров Л. Б. и Шокин Ю. И. 1983 Численное моделировать волн цунами. Новосибирск: Наука. 175 с.

48. Миропольский Ю. 3. 1981 Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеонздат. 302 с.

49. Молотков И. А. 2003 Аналитичесгсие лит оды о mcopir• ш линейных волн. М.: Физматлит. 208 с.

50. Накоряков В. Б., Покусаев Б. Г. и Шрейбер И. Р. 1983 Распространение волн в гаю- и парожидкосгпных средах. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. 237 с.

51. Накоряков В. Б., Покусаев Б. Г. и Шрейбер И. Р. 1990 Волновая динамика газо- и парожидкосгпных сред. М.: Атомэнергоиздат. 248 с.

52. Ньюэлл А. 1989 Солитоны в математике и физике. М.: Мир. 324 с.

53. Овсянников JL В. 1979 Модели двухслойной «мелкой воды» // Прикл. мех. техн. фиъ Т. 20, № 2. С. 3-14.

54. Овсянников JI. В., Макаренко Н. И., Налимов В. И. и др. 1985 Нелинейные проблемы теории поверхностных и внутренних волн. Новосибирск: Наука. 319 с.

55. Островский JI. А. 1979 Нелинейные внутренние волны в океане //В кн. Нелинейные волны. М.: Наука. С. 292-323.

56. Островский JL А. и Потапов А. И. 2003 Введение в теорию модулированных волн. М.: Физматлит. 400 с.

57. Пелиновский Д. Е. и Степанянц Ю. А. 1994 Неустойчивость уединенных волн в средах с положительной дисперсией в рамках двумерных уравнений Буссинеска //Ж. экспер. теор. физ. Т. 106, К- 1. С. 192-206.

58. Пелиновский Е. Н. 1971 О поглощении нелинейных волн в диспергирующих средах // Прикл. мех. техн. физ. Т. 12, JY: 2. С. 68-71.

59. Пелиновский Е. Н. 1982 Нелинейная динамика волн цунами. Горький: ИПФ АН СССР. 226 с.

60. Пелиновский Е. Н. 1988 «Дифференциальная» модель волн на воде // Доклады Академии наук СССР. Т. 300, № 5. С. 1231-1234.

61. Пелиновский Е. Н. 1996 Гидродинамика волн цунами. Н.Новгород: ИПФ РАН. 276 с.

62. Пелиновский Е. Н., Полухина О. Е. и Лэмб К. 2000 Нелинейные внутренние волны в океане, стратифицированном по плотности и течению // Океанология. Т. 40, № 6. С. 805-815.218

63. Ciuk oh цп щругмоп лтернпри

64. Пелиновский Е. Н., Раевский М. А. и Шаврацкий С. X. 1977 Уравнение Кортевега де Врта для нестационарных внутренних волн в неоднородном океане // Изв. АН СССР, Физ. аттгмосф. океана. Т. 13, Л- 3. С. 325-328.

65. Пелиновский Е. Н., Фридман В.Е. и Энгельбрехт Ю. К. 1984 Н(-линейные эволюционные уравнения. Таллин: Валгус. 154 с.

66. Петров А. Г. и Смолянин В. Г. 1993 Расчет нестационарных волн на поверхности тяжелой жидкости конечной глубины // Прикл. матем. мех. Т. 57, № 4. С. 137-143.

67. Петров В. В. 1979 О нелинейном затухании длинных поверхностных болн в стратифицированном океане // Изв. АН СССР, Физ. атмосф. океана. Т. 15, № 9. С. 998-1000.

68. Рабинович М. И. и Трубецков Д. И. 2000 Введение в теорию колебаний и волн. М.-Ижевск: НИЦ "регуляр. и хаотнч. динамика". 5С0 с.

69. Рыскин Н. М. и Трубецков Д. И. 2000 Нелишиные волны. М.: Наука, Физматлит. 272 с.

70. Селезов И. Т. 1989 Моделирование волновых и дифракционных процессов в сплошных средах. Киев: Наук, думка. 204 с.

71. Слюняев A.B. 2001 Динамика локализованных волн большой амплитуды в слабодиспергнрующей среде с квадратичной и положительной кубической нелинейностью // Ж. экспер. теор. физ. Т. 119, Лз 4. С. G06-G12.

72. Сретенский JI. Н. 1973 Теория волновых движений жидкости. М.: Наука. 816 с.

73. Степанянц Ю. А. и Фабрикант A. JI. 1996 Распространение волн в сдиговых потоках. М.: Наука, Физматлит. 240 с.

74. Стурова И. В. 1988 Плоская задача Коши Пуассона для двухслойной жидкости с неровным дном // Динам, сплош. среды. № 84. С. 106-115.

75. Талипова Т. Г., Пелиновский Е. Н. и Гримшоу Р. 1997 Трансформация солитона в точке нулевой нелинейности // Письма в Журн. эксперим. теор. физ. Т. 65, JY- 1. С. 113-117.

76. Талипова Т. Г., Пелиновский Е. Н., Ламб К., Гримшоу Р. и Хол-ловэй П. 1999 Эффекты кубической нелинейности при распространении интенсивных внутренних волн. // Докл. РАН. Т. 364, № 6. С. 824-827.

77. Тернер Дж. 1977 Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир. 431 с.

78. Троицкая Ю. И. и Фабрикант А. Л. 1989 Резонансное усиление внутренних гравитационных волн в сдвиговом потоке // Изв. вузов, Радиофизика. Т. 32, № 10. С. 1221-1231.

79. Уизем Дж. 1977 Линейные и нелинейные волны. М.: Мир. 622 с.

80. Филлипс О. М. 1980 Динамика верхнего слоя океана. М.: Гидрометео-издат. 320 с.

81. Франк А. М. 2001 Дискретные модели несжима< мой жидкости. М.: Физматлит. 208 с.

82. Хабахпашев Г. А. 1983а Динамика уединенных волн на границе раздела и свободной границе двухслойной жидкости //В кн.: Гидродин. и акуст. одно- и двутфаз. потоков. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. С. 107-113.

83. Хабахпашев Г. А. 19836 Торможение н затухание гравитационных волн в тонком слое вязкой жидкости //В кн.: Гидродинамические течения и волновьк процессы. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. С. 41-55.

84. Хабахпашев Г. А. 1985 Влияние вязкости на эволюцию возмущений свободной поверхности и границы раздела двухслойной жидкости //В кн.: Гидродинамика и тепломассообмен течений жидшхтпи со свободной поверхностью. Новосибирск: ИТ СО АН СССР. С. 126 145.

85. Хабахпашев Г. А. 1987 Влияние трения жидкости о дно на динамику гравитационных возмущений // Изв. АН СССР, МЖГ. X 3. С. 119-127.

86. Хабахпашев Г. А. 1990а Моделирование распространения внутренних волн в двухслойном океане // Изв. АН СССР, Физ. агпмосф. океана. Т. 26, Л. 1. С. 72-82.

87. Хабахпашев Г. А. 19906 Эволюция возмущений границы раздела двух слоев вязкой жидкости // Изв. АН СССР, МЖГ. № 6. С. 118-123.

88. Хабахпашев Г. А. 1996 Дифференциальный метод моделирования слабонелинейных волн на воде переменной глубины// Изв. РАН, Физ. атмосф. океана. Т. 32, № 6. С. 841-847.

89. Хабахпашев Г. А. 1997 Нелинейное эволюционное уравнение для достаточно длинных двумерных волн на свободной поверхности вязкой жидкости // Вычислит, технол. Т. 2, № 2. С. 94-102.

90. Хабахпашев Г. А. 2001 Распространение внутренних и поверхностных двумерных нелинейных волн в океане со скачком плотное ти и пологим дном // Изв. РАН, Физика атмосферы и океана. Т. 37, Л. 3. С. 397-406.

91. Хабахпашев Г. А. 2005 Трансформация длинных нелинейных волн в двухслойной вязкой жидкости между пологими дном и крышкой // Прикл. мет. тпехн. физ. Т. 4G, № 6. С. 45-57.

92. Хабахпашев Г. А. и Цвелодуб О. Ю. 1999 Эволюционное уравнение для слабонелинейных волн в двухслойной жидкости с пологими дном и крышкой // Прикл. мех. техн. физ. Т. 40, № 5. С. 62-72.

93. Хакимзянов Г. С., Шокин Ю. И., Барахнин В. Б. и Шокина Н. Ю.2001 Численое моделирование течений с поверхностными волнами. Новосибирск: Нзд-во СО РАН. 394 с.

94. Черкесов JL В. 1976 Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. Киев: Наук, думка. 364 с.

95. Шокин Ю. И., Чубаров JL Б., Марчук Ан. Г. и Симонов К. В.1989 Вычислительный эксперимент в проблеме цунами. Новосибирск: Наука. 168 с.

96. Юэн Г. С. и Лэйк Б. М. 1987 Нелинейная динамика гравитпационньи волн на глубокой воде. М.: Мир. 178 с.

97. Ablowitz М. J., Hammack J., Henderson D., and Schober С. M.2000 Modulated periodic Stokes waves in deep water // Phys. Rev. Lett. V. 84, No. 5. P. 887-890.

98. Ablowitz M. J. and Segur H. 1979 On the evolution of packets of water waves // ./. Fluid Mcch. V. 92, No. 4. P. 691 715.

99. Benjamin Т. B. 1966 Internal waves of finite amplitude and permanent form // J. Fluid Mech. V. 25, No. 2. P. 241-270.

100. Berkhoff J. C. W. 1972 Computation of combined refraction-diffraction // Proc. 13th Int. Conf. Coabt. Eng. V. 1. P. 471-490.

101. Briggs M. J., Synolakis С. E., Harkins G. S., and Green D. R. 1996a Benchmark Problem 2: Runup of solitary waves on a circular island // LongWave Runup Models. Singapore etc.: World Scientific. P. 363-374.

102. Briggs M. J., Synolakis С. E., Kanoglu U., and Green D. R. 1996b Benchmark Problem 3: Runup of solitary waves on a vertical wall // LongWave Runup Models. Singapore etc.: World Scientific. P. 375-383.

103. Burns J.C. 1953 Long waves in running water // Proc. Carnh. Phil. Soc. V. 49, No. 4. P. 695-706.

104. CuiHOh. nil I npycuim Jill rcpaiypu221

105. Charles M. E. and Lilleleht U. 1965 Ail experimental investigation of stability and interfacial waves in a eo-eunent flow of two liquids // J. Fluid Mech. V. 22, No. 2. P. 217-22?.

106. Chen X.-N. 1989 Unified Kadomtscv-Petviaahvili equation// Phys. Fluids. A. V. 1, No. 12. P. 2058-2060.

107. Chester W. 1968 Resonant oscillations of water waves. I. Theory // Proc. Roy. Soc. London. V. A306, No. 1484. P. 5-22.

108. Chubarov L. B. and Shokin Yu. I. 1987 The numerical modelling of long wave propagation in the framework of nonlinear dispersion models // Computers and Fluids. V. 15, No. 3. P. 229-249.

109. Chubarov L. B., Einarsson Bo, Shokin Yu. I., Fedotova Z. I. 2000 Comparative analysis of wave hydrodynamics approximate models using experimental and analytical data // Internat. J. Computational Fluid Dynamics. Y.14, No. 1. P. 55-73.

110. Clarke S., Grimshaw R., Miller P., Pelinovsky E., and Talipova T.2000 On the generation of solitons and breatheis in the modified Korteweg de Vries equation // Chaos. V. 10, No. 2. P. 383-392.

111. Coffey M. 2002 Rational solution of a general fifth-order shallow water-wave model // PhyLett. A V. 295, No. 1. P. 35-38.

112. Dias F. and Il'ichev A. 2001 Interfacial waves with fiee-surface boundary conditions: an approach via a model equation // Physica D. V. 150, No. 2. P. 280-301.

113. Dias F. and Kuznetsov E. 1999 Oil the nonlinear stability of solitary wave solutions of the fifth-order Korteweg de Vries equation // Physics Letters A. V. 263, No. 1. P. 98-104.

114. Dingemans M. W. 1997 Water Wave Propagation ov(r Uneven Bottoms. Singapore etc.: World Scientific. 967 p.

115. Djordjevic V. D. and Redekopp L. G. 1978 The fission and disintegration of internal solitary waves moving over two-dimensional topography //J. Phys. Oceanogr. V. 8, No. 6. P. 1016-1024.

116. Drazin P. G. and Johnson R. S. 1996 Solitons: an Introduction. Cambridge: Cambridge University Press. 226 p.

117. Ebersole B. A. 1985 Refraction-diffraction model for linear water waves // Proc. ASCE, ,J. Waterway, Port, Coast, and Ocean Eng. V. 111. P. 939-953.

118. CllUCOU nu 1 Itpyt'WHt nil 1 ('¡h11 \ />/>/

119. Greaves D. M, Borthwick A. G. L., Wu G. X., and Eatlock Taylor R. 1997 A moving boundary finite element method for fully nonlinear wave simulations // J. Ship Research. V. 41. No. 3. P. 181-194.

120. Green A. E. and Naghdi P. M. 197G A derivation of equations for wave propagation in water of variable depth // J. Fluid Mech. V. 78, No. 2. P. 237-24G.

121. Grimshaw R., Pelinovsky E., and Poloukhina O. 2002 Higher-order Korteweg de Vries models for internal solitaiy waves in a stratified shear flow with free surface // Nonlin. Processes Geophys. V. 9, No. 3/4. P. 221 235.

122. Grimshaw R., Pelinovsky E., and Talipova T. 1997 The modified Korteweg de Vries equation in the theory of the large amplitude internal waves // Nonlin. Processes Geophys. V. 4, No. 3/4. P. 237-250.

123. Hammack J. L. 1973 A note on tsunamis: theie generation and propagation in an ocean of uniform depth // J. Fluid Muh. V. GO, No. 4. P. 7G9 799.

124. Hammack J. L. and Segur H. 1974 The Korteweg-de Vries equation and water waves. Part 2. Comparison with experiments // 7. Fluid Mech. V. 65, No. 2. P. 289-314.

125. Hammack J. L. and Segur H. 1978 The Korteweg-de Vries equation and water waves. Part 3. Oscillatory waves // ,7. Fluid Mcch. V. 84, No. 2. P. 337 358.

126. Helfrich K. R., Melville W. K., and Miles J. W. 1984 On interfacial solitary waves over slowly varying topography // ,7. Fluid Mcch. V. 149. P. 305-317.

127. Holloway P. E., Pelinovsky E., Talipova T., and Barnes B. 1997 A nonlinear model of internal tide transformation oil the Australian North West Shelf // J. Phys. Occanogr. V. 27, No. 6. P. 871-896.

128. Holloway P. E., Talipova T., and Pelinovsky E. 1999 A generalised Korteweg de Vries model of internal tide transformation in the coastal zone // J. Geophys. Research. V. 104, C. 8. P. 18333-18350.

129. Hooper A. P. and Grimshaw R. 1985 Nonlinear instability at the interface between two viscous fluids // Phys. Fluuh. V. 28, No. 1. P. 37-45.

130. Hunt J. N. 1955 Gravity waves in flowing water // Proc. Roy. Soc. London. Ser. A. V. 231, No. 1187. P. 496-504.

131. Hunt J. N. 1979 Direct solution of wave dispersion equation // Proc. ASCE,

132. J. Wat away, Port, Coast, and Octan Eng. V. 105. P. 457 459.

133. Johnson R. S. 1996 A two-dimensional Boussinesq equation for water waves and some of its solutions // J. Fluid Mech. V. 323, P. 65-78.

134. Johnson R. S. 1997 A Modern Introduction to the Mathematical Theory of Water Waves. Cambridge: Cambridge University Press. 459 p.

135. Kaihatu J. M. and Kirby J. T. 1995 Nonlinear transfoimation of waves in finite water depth // Phys. Fluids. V. 7, No. 8. P. 1903-1914.

136. Kakutani T. and Jamasaki N. 1978 Solitary models of long internal waves // J. Phys. Soc. Jap. V. 45, No. 2. P. 674-679.

137. Kakutani T. and Matsuuchi K. 1975 Effect of viscosity oil long gravity waves // ,J. Phys. Soc. Jap. V. 39, No. 1. P. 237-246.

138. Kao M. E. and Park C. 1972 Experimental investigation of the stability of channel flow. Part 2. Two-layered co-current flow in a ret tangulai channel // J. Fluid Mcch. V. 52, No. 3. P. 401-423.

139. Keulegan G. H. 1948 Gradual damping of solitary waves // J. Res. Nat. Bureau Standards. V. 40, No. 6. P. 487 498.

140. Keulegan G. H. 1953 Characteristics of internal solitary waves // J. Res. Nat. Bureau Standards. V. 51, No. 3. P. 133-140.

141. Khabakhpashev G. A. 1992 Dynamics of nonlinear internal and surface gravitational waves in incompressible liquid layers of arbitrary uniform depth // Proc. 5th Asian Congress Fluid Mech. Taejon. P. 183-186.

142. Khabakhpashev G. A. and Tsvelodub O. Yu. 2000 Evolution equation224

143. C'lUKOK 1(111 lip\C\IOn JIIIK'pdl ypufor nonlinear internal waves in stratified liquid of an arbitrary depth // Proc. 5th Int. Syrnp. Stratified Flows. Vancouver. V. II. P. 731-73G.

144. Kim K. Y., Reid R. O., and Whitaker R. E. 1988 On an open radiational boundary condition for weakly dispersive tsunami waves //J. Comput. Phys. V. 7G, No. 2. P. 327-348.

145. Kim S. K., Liu P. L.-F., and Liggett J. A. 1983 Boundary integral equation solutions for solitary wave generation propagation and liin-up // Coastal Eng. V. 7. P. 299-317.

146. Madsen P. A., Murray R., and Sovensen O. R. 1991 A new form of the Boussinesq equations with improved linear dispersion characteiistics // Coast. Eng. V. 15. P. 371-388.

147. Matsuuchi K. 1976 Numerical investigations of long gravity waves under the influence of viscosity // J. Phys. Soc. Jap. V. 41, No. 2. P. 681-687.

148. Maurer J., Hutter K., and Diebels S. 1996 Viscous effect in interned waves of two-layered fluid with variable depth // Eur. J. Mcch. D/Fluids. V. 15, No. 4. P. 445-470.

149. Micliallet H. and Barthélémy E. 1997 Ultrasonic probes and data processing to study interfacial solitary waves // Exp. Fluids. V. 22, No. 5. P. 380-386.

150. Micliallet H. and Barthélémy E. 1998 Experimental study of interfacial solitary waves // 7. Fluid Mech. V. 366. P. 159-177.

151. Miles J. W. 1957 On the generation of surface waves by shear flows // J. Fluid Mech. X. 3, No. 2. P. 185-204.

152. Ott E. and Sudan R. N. 1970 Damping of solitary waves // Phy,. Fluids. V. 13, No. 6. P. 1432-1434.

153. Pedlosky J. 2003 Waves in the Ocean and Atmosphere. Introduction to Wave Dynamics. Springer. 260 p.

154. CilUCUh. nil I lipyrMOll JlincjM I \ /)/,!

155. Peregrine D. H. 1967 Long waves on a beach // J. Fluid Midi. V. 27, No. 4. P. 815-827.

156. Peregrine D. H. 197G Interactions of watei waves and currents // Adv. Appl. Meek. V. 16. P. 9-117.

157. Peters A. S. and Stoker J. J. 1960 Solitary waves in liquids having noiiconstant density // Comm. Pure Applied Mathematics. Y. 13, No. 1. P. 115-164.

158. Radder A. C. and Dingemans M. H. 1985 Canonical equations for almost periodic weakly nonlinear gravity waves // Wave motion. V. 7. P. 473-485.

159. Segur H. and Hammack J. L. 1982 Solitary models of long internal waves // J. Fluid Mcch. V. 118. P. 285-304.

160. Thorpe S. A. 1968 On the shape of piogiessive internal \va\es // Philos. Trans. Roy. Sac. London. V. A263. P. 563-614.

161. Tsvelodub O. Yu. and Kotychenko L. N. 1993 Spatial waves regimes on a suiface of thin viscous liquid film // Phywca D. V. 63, No. 3. P. 361-377.

162. Veltliuizen H. G. M. and van Wijngaarden L. 1969 Gravity waves over a non-uniform flow // J. Fluid Mech. V. 39, No. 4. P. 817 829.

163. Walker R. L. 1973 Interfacial solitary waves in two-fluid medium // Phys. Fluids. V. 16, No. 11. P. 1796-1804.

164. Wessels F. and Hutter K. 1996 Interaction of internal waves with a topographic sill in a two-layered fluid //J. Phy s. Oceanogr. V. 26, No. 1. P. 5-20.