Моделирование оптической системы глаза человека тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.05 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОПТИЧЕСКАЯ СИСТЕМА ГЛАЗА ЧЕЛОВЕКА И ЕЕ МОДЕЛИ

1.1. Анатомическое строение и оптические свойства глаза

1.2. Биометрические данные

1.3. Анализ и сравнение наиболее известных моделей 28 Выводы

2. РАЗРАБОТКА МАТЕМАТИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ ГЛАЗА

2.1. Принципиальная схема

2.2. Параксиальный расчет

2.3. Аналитическое решение уравнения луча, распространяющегося в неоднородной среде 53 Выводы

3. ИССЛЕДОВАНИЕ ОПТИЧЕСКИХ СВОЙСТВ МОДЕЛИ ГЛАЗА

3.1. Параксиальные характеристики

3.2. Численный метод расчета траекторий действительных лучей

3.3. Аберрационные свойства

3.4. Качество формируемого изображения

3.5. Универсальный алгоритм и программные средства математического моделирования глаза 110 Выводы

Диссертация посвящена разработке математической модели глаза человека, наиболее адекватно воспроизводящей его естественное строение и оптические свойства.

Современные успехи в биометрических измерениях глаза и в области компьютерных технологий дают возможность создавать модели глаза, анатомически точно воспроизводящие его оптические характеристики.

Такие модели могут быть использованы для проектирования офтальмологических оптических приборов, для расчета визуальных характеристик глаз, которые подвергаются таким хирургическим процедурам, как кератэктомия и кератопластика, корректирующим недостатки зрительного преломления [75]. Кроме того, такие модели дают возможность лучше понять роль различных компонентов оптической системы глаза, а также могут быть применены для предсказания эффектов преломления в имплантантах [34,49].

Замена хрусталика искусственным протезом ставит перед исследователем и клиницистом ряд физических проблем, от успешного разрешения которых зависит конечный функциональный результат.

Все применяемые в настоящее время интраокулярные линзы (ИОЛ) выполняют лишь основную оптическую функцию хрусталика, т. е. конвергируют лучи света. В тоже время псевдофакичный (с искусственным хрусталиком) глаз отличается от нормального глаза: в нем отсутствует аккомодация, смещаются главная и узловая точки, изменяются сферическая и хроматическая аберрации и наблюдается ряд других тонких оптических изменений. До настоящего времени эти вопросы еще мало разработаны.

При имплантации инграокулярной линзы нарушается бинокулярное зрение. При этом возникает высокая степень анизейконии (разная величина изображения), в то время как известно, что анизейкония свыше 1.5 - 2.5 % делает невозможным восстановление бинокулярного зрения. Проблема анизейконии является одним из основных вопросов, которые должны быть решены при интраокулярной коррекции афакии (отсутствие хрусталика) [34]. Однако до настоящего времени остаются недостаточно изученными, во-первых, влияние всех оптических элементов глаза на величину анизейконии, во-вторых, вопросы выбора оптимальной рефракции оперированного глаза для каждого отдельного пациента. Основным принципом правильного расчета оптической силы ИОЛ является максимальное приближение величины изображения в оперированном- глазу к величине изображения во втором глазу. Для решения этих задач необходима модель, позволяющая по индивидуальным биометрическим данным анатомически точно воспроизвести оптическую систему здорового глаза. Используя полученные из расчета данные, моделируется ИОЛ, оптические свойства которой максимально приближены к индивидуальному естественному хрусталику здорового глаза.

Математическая модель глаза может быть использована и для решения ряда других научных, технических и медицинских задач. Выбор подходящей модели для такого рода задач осуществляется на основе ее соответствия анатомическим и оптическим характеристикам естественного глаза.

Очевидно, идеальной была бы модель, точно воспроизводящая и анатомические и оптические свойства глаза. Разрабатываемая модель должна удовлетворять следующим требованиям:

1) отражать геометрию оптической системы глаза и оболочечную структуру хрусталика;

2) воспроизводить параксиальные характеристики глаза субъекта;

3) иметь сферическую аберрацию, соответствующую экспериментальным данным;

4) воспроизводить широкоугольные оптические свойства глаза;

5) оценивать качество изображения на сетчатке при изменении уровней дефокусировки и размеров зрачка.

В настоящее время наиболее известны модели глаза, представленные в работах [49, 53, 55, 68, 75, 76,100, 117, 125, 126].

Модель схематического глаза Гульстранда [55], основанная на более старой модели Листинга и позднее модернизированная Ле Грандом [53], воспроизводит только гауссовы свойства усредненного глаза, но до сих пор используется благодаря своей простоте.

Существуют две тенденции развития этой модели. Некоторые авторы считают, что необходимо строить модели редуцированного (упрощенного) глаза, которые хорошо предсказывают параксиальные свойства глаза, его сферическую и хроматическую аберрации [125, 126], и даже развивают широкоугольные модели, достаточно точно воспроизводящие внеосевые аберрации [49]. Такие модели обладают достаточной простотой, но не достаточной анатомической точностью. Они не могут быть использованы для моделирования хирургических операций, когда одна или более преломляющих поверхностей оказываются изменены.

Другие авторы, следуя анатомической точности, включают в свои модели линзы с параболическим распределением показателя преломления, моделирующим оболочечную структуру хрусталика [75, 117], смещение центров хрусталика и зрачка относительно друг друга и другие неосесимметричные особенности глаза [75]. Недостатком этих моделей является наличие значительного количества подгоночных параметров.

Выше перечисленные модели лишь частично удовлетворяют необходимым требованиям.

Создание модели глаза с градиентным хрусталиком стало возможным благодаря обширным исследованиям, проводимым в области неоднородных оптических сред. Наиболее простой с точки зрения технологии изготовления [9] и интересной с точки зрения фокусирующих свойств является среда с радиальным распределением показателя преломления. Такую среду можно использовать при создании универсальных оптических имитаторов глаза (ОИГ) или интраокулярных линз для адекватного воспроизведения аберрационных свойств усредненного реального глаза. В настоящее время Известно большое количество ОИГ, большинство из которых разработано для решения отдельных частных задач. Все известные ОИГ достаточно хорошо воспроизводят параксиальные характеристики усредненного глаза и, как правило, одну из наиболее вредных с офтальмологической точки зрения аберраций [27]. Например, ОИГ, выполненный на основе существующих в Японии оптических материалов [28], предсказывает продольную сферическую аберрацию в соответствии с экспериментальными данными, однако его астигматизм существенно превосходит астигматизм реального глаза. Обратное наблюдается для модели, предложенной в работе [27].

В настоящее время созданы основы теории и методов расчета оптических систем, содержащих градиентные элементы. Был предложен ряд методов расчета хода лучей через неоднородные среды [88, 43, 42, 60, 86, 94, 95, 97, 98, 104, 116, 121, 124, 138], разработаны методы параксиального расчета [52, 59, 66, 113], расчета первичного хроматизма [102, 111, 112] и монохроматических аберраций третьего [114, 96, 14] и пятого порядков [57, 50, 9]. Для радиально-градиентных сред разработаны две методики расчета аберраций третьего и пятого порядков. Одна из методик основана на использовании квазиинварианта. В работе [50] продемонстрирована эффективность ее использования для вычисления аберраций пятого порядка оптических системы, содержащих неоднородные линзы. Другая методика использует формализм псевдолучей [9, 10, 11, 31], который позволяет наиболее простым способом переходить к аберрациям высших порядков. Он заключается в том, что аберрационные коэффициенты получают на основе диаграммы рассеяния лучей, ход которых через оптическую систему рассчитывается в приближении заданного порядка малости. Т. о., чтобы использовать формализм псевдолучей, необходимо знать аналитическое решение лучевого уравнения для среды с профилем показателя преломления, представленным в виде ряда, ограниченного необходимым количеством членов в разложении по степеням квадрата расстояния от оптической оси.

Расчет траекторий лучей в неоднородных средах является одной из наиболее трудоемких вычислительных операций.

Один из возможных способов аналитического решения лучевого уравнения состоит в представлении траектории луча в виде разложения по степеням расстояния z, измеренного вдоль оси симметрии профиля показателя преломления. Полученные на этой основе формулы представлены в работе [9]. Недостаток этого способа заключается в том, что при практических расчетах бесконечные ряды заменяются конечными суммами, в результате чего ход луча рассчитывается приближенно.

Другой способ основан на методе последовательных приближений. Этот способ был применен в работах [38, 85, 87] к радиально - градиентным средам с положительной оптической силой, и обобщен в работах [11, 31] на среды как с положительной, так и отрицательной оптическими силами. Формулы, полученные на основе этого метода, имеют громоздкий вид и при применении требуют дополнительных преобразований.

Вышеперечисленное и обусловило выбор цели и задач, решаемых в настоящей диссертации.

Цель настоящей работы: разработать и исследовать математическую модель глаза, адекватно воспроизводящую его естественное строение и оптические свойства, основанную на эмпирических данных об оптических параметрах и на гипотезе о подобии профиля распределения показателя преломления хрусталика его преломляющим поверхностям.

В соответствии с поставленной целью определены основные задачи диссертации:

- уточнить оптические параметры и характеристики глаза человека на основе экспериментальных данных, имеющихся в литературе, и разработать принципиальную схему модели глаза, соответствие которой реальной оптической системе достигается выбором распределения показателя преломления хрусталика и формы преломляющих поверхностей роговицы;

- развить методы параксиального расчета применительно к оптическим системам, включающим неоднородные среды со сфероидальным распределением показателя преломления, и аналитически решить уравнение луча, распространяющегося в неоднородной среде со сфероидальным и радиально-градиентным распределениями показателя преломления;

- проанализировать параксиальные и аберрационные свойства предложенной математической модели глаза и оценить качество формируемого изображения;

- разработать алгоритм и программные средства, позволяющие по индивидуальным биометрическим данным предсказывать оптические свойства глаза конкретного человека.

Научная новизна диссертационной работы заключается в том, что в ней впервые:

1. Предложена математическая модель глаза, включающая роговицу со сфероидальной задней поверхностью и хрусталик со сфероидальным распределением показателя преломления, в которой совмещены анатомическая точность и широкоугольные свойства оптической системы глаза.

2. В приближении различных порядков малости получены аналитические решения лучевого уравнения для неоднородных сред со сфероидальным и цилиндрическим распределениями показателя преломления.

3. Разработаны алгоритм и программные средства, позволяющие по индивидуальным биометрическим данным моделировать глаз конкретного человека.

Практическая ценность определяется следующим результатом:

1. Предложенная модель позволяет адекватно оценивать влияние известных органических изменений на оптические характеристики реального глаза.

2. Разработанные программные средства расчета позволяют оптимально согласовать требования к имплантируемым интраокулярным линзам с индивидуальными характеристиками глаза пациента.

3. Модель глаза и программные средства расчета могут использоваться для разработки методик коррекции недостатков зрения.

4. Предложенные методы позволяют существенно ускорить процедуру расчета хода лучей через неоднородные среды.

На защиту выносятся -математическая модель глаза, включающая роговицу со сфероидальной задней поверхностью и хрусталик со сфероидальным распределением показателя преломления, в которой совмещены анатомическая точность и широкоугольные свойства оптической системы глаза;

- методы аналитического решения лучевого уравнения для неоднородных сред;

- результаты исследования математической модели глаза;

- алгоритм и программные средства, позволяющие по индивидуальным биометрическим данным моделировать глаз конкретного человека.

Публикации.

По материалам диссертации опубликовано 7 печатных работ. Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на ежегодной межвузовской 55-ой научной конференции (СГПУ, Самара, 2001 г), межвузовской научной конференции «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении» (СГАУ, Самара, 2001), ежегодной межвузовской 56-ой научной конференции (СГПУ, Самара, 2002

Объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка цитируемой литературы. Она содержит 130 страниц текста, 14 таблиц, 26 рисунков. В списке цитируемой литературы 146 наименований.

Выводы

1. Предложенная модель воспроизводит параксиальные характеристики эмметропического глаза при покое аккомодации.

2. Продольная сферическая аберрация и астигматизм соответствуют средним экспериментальным данным. Соответствие между комой и кривизной поля модели глаза со средними экспериментальными данными находится в удовлетворительном согласии.

3. Модель достаточно хорошо воспроизводит широкоугольные оптические свойства среднего глаза.

4. Представленный метод позволяет оценить качество изображения на сетчатке при изменении уровней дефокусировки и размеров зрачка.

5. В модели совмещена высокая анатомическая точность с широкоугольными свойствами оптической системы глаза.

6. Разработанный универсальный алгоритм и программные средства позволяют по индивидуальным биометрическим данным предсказывать оптические свойства глаза субъекта.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В диссертации представлена новая математическая модель глаза, в которой совмещены высокая анатомическая точность с широкоугольными свойствами оптической системы глаза, исследованы параксиальные и аберрационные свойства предложенной модели. Разработаны алгоритм и программные средства, позволяющие моделировать глаз индивидуума, что имеет большое значение для офтальмологической практики и технических приложений. Аналитически решено в различных порядках малости лучевое уравнение для градиентных сред с эллипсоидальным и радиальным профилями распределения показателя преломления. Получены следующие основные результаты:

1. Разработана новая математическая модель глаза, которая воспроизводит градиентную структуру хрусталика и геометрию глаза в соответствии с биометрическими данными.

2. Получено аналитическое решение уравнения луча, распространяющегося в среде со сфероидальным профилем распределения показателя преломления в параксиальном приближении, которое позволило использовать матричный метод для вычисления гауссовых характеристик предложенной модели глаза.

Получены аналитические решения уравнения луча, распространяющегося в радиально -градиентной среде с профилем показателя преломления, ограниченным членами четвертой и шестой степени расстояния от оптической оси. Эти решения позволяют существенно ускорить процедуру расчета хода лучей через радиально - градиентные среды.

3. Исследованы аберрационные свойства предложенной модели глаза. Полученные значения различных аберраций хорошо согласуются с экспериментальными данными. Исследовано качество изображения на сетчатке при изменении уровней дефокусировки и размеров зрачка. Показано, что модель качественно воспроизводит широкоугольные оптические свойства среднего глаза

4. Разработаны алгоритм и программные средства, позволяющие по индивидуальным биометрическим данным моделировать оптическую систему глаза конкретного человека.

1. Адаме М. Введение в теорию оптических волноводов. М.: Мир, 1984. -512с.

2. Апенко М.И., Дубовик А.С. Прикладная оптика. М.: Наука, 1982.352 с.

3. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. Эллиптические и автоморфные функции. Функции Ламе и Матье. М.: Наука, 1967.-299 с.

4. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973. - 720 с.

5. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. Совм. изд-во: Лепциг «Тойбнер», М.: Наука, 1981. 718 с.

6. Гаврилов Л.Ф. Татаринов В.Г. Анатомия. М.: «Медицина», 1985, с.368.

7. Герцбергер М. Современная геометрическая оптика. М.: Иностранная литература, 1962. - 487 с.

8. Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений. М.: Наука, 1971. 1108 с.

9. Грейсух Г.И., Ефименко И.М, Степанов С.А. Оптика градиентных и дифракционных элементов. М.: Радио и связь, 1990.

10. Грейсух Г.И., Степанов С.А. Методика аберрационного расчета оптических систем, включающих градиентные и дифракционные элементы. // Тезисы докладов Всесоюзной конференции «Теоретическая и прикладная оптика». Л. - 1984. С. 105.

11. Грейсух Г.И., Степанов С.А. Расчет хода псевдолучей через оптические системы, включающие градиентные и дифракционные линзы. // Оптика и спектр. 1996. т. 81, №4. - с. 698-701

12. Ежов Е. Г. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук «Расчет и исследование высокоразрешающихградиентных и дифракционно градиентных оптических систем», 2001, Самара, СГАУ.

13. Ильин В.Г., Меланьина Е.М., Ремизов Н.В. Расчет хода лучей в граданах. Сравнение двух методов. Н Оптико-механическая промышленность. 1984. - №12. - с.29-31.

14. Ильинский Р. Е. Аберрации третьего порядка градиентных оптических систем, обладающих двоякой симметрией. // Компьютерная оптика. Вып. 17. М. Самара, 1997. С. 56-62.

15. Ильинский Р. Е., Ровенская Т.С. Дифференциалы луча в оптической системе. // Вестник МГТУ. Сер.: Приборостроение. 1995. - № 3.- с. 100-108.

16. Корн Г., Корн Т. Справочник по математике. М.:Наука,1968. 832 с.

17. Корнблит С. Новый подход к геометрической оптике // ТИИЭР. -1983.-Т. 71, № 4.-С.27-63.

18. Курушина С.Е., Громова Л.И. Моделирование естественной структуры хрусталика глаза человека. // Научные доклады ежегодной межвузовской 55 -ой научной конференции СГПУ, Самара, 2001 г, с. 146 — 151.

19. Курушина С.Е., Максимов В.В., Ратис Ю.Л. Монохроматические аберрации третьего порядка и первичный хроматизм оптической системы искусственного хрусталика на основе радиально градиентной линзы.

20. Сборник научных трудов «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении», Самара, 2001. с. 79

21. Курушина С.Е., Максимов В.В., Ратис Ю.Л. Траектории лучей в радиально-градиентной среде. // Компьютерная оптика. Выпуск 22,2002. с.

22. Курушина С.Е., Ратис Ю.Л. Математическая модель глаза. // Сборник научных трудов «Перспективные информационные технологии в научных исследованиях, проектировании и обучении», Самара, 2001. с. 72 -76.

23. Курушина С.Е., Ратис Ю.Л. Математическая модель хрусталика, адекватно воспроизводящая его анатомическую структуру и оптические свойства системы глаза. // Компьютерная оптика. Выпуск 21, 2001, с. 81-87.

24. Микаэлян А. Л. Применение слоистой среды для фокусировки волн //Доклады Академии Наук СССР. -1951. T.L. XXXI, № 4. - С. 569-571.

25. Моллон Дж. Д., Риган Б.К. Спектральные свойства колбочек и макулярного пигмента у приматов: согласованы ли они со свойствами окружающего мира? // Оптический журнал, 1999, т. 66, №10, с. 3 9.

26. Овчинников Б.В., Полонская А.А., Полякова И.П. Оптическая модель глаза человека. // Оптический журнал. 1996.- №3. - с. 74-77.

27. Патент Япония № 51-40758, кл. GQ2B.

28. Под ред. Шеннона Р., Вайанта Дж. Проектирование оптических систем. М.: Мир. 1983. 432 с.

29. Сивухин Д.В. Общий курс физики. Оптика. М.: «Наука», 1985, с.752.

30. Степанов С.А. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук «Расчет и анализ оптических систем, включающих дифракционные и градиентные элементы», 1998, Пенза, ПГАСА.

31. Толкова Е.И., Чернышев А.В. Рационалистическая модель механизма цветоразличения человека. И Оптика и спектроскопия. 2000. -89, №4, с. 647 - 650.

32. Турыгин И.А. Прикладная оптика. М.: Машиностроение. 1966. 432с.

33. Федоров С. Н. Имплантация искусственного хрусталика. М.: Медицина, 1977.

34. Чуриловский В.Н. Теория оптических приборов. M.-JL: Машиностроение, 1966.

35. Artal P., Marcos S., Navarro R., Williams D. R. Odd aberrations and double-pass measurements of retinal image quality.// J. Opt. Soc. Am. A 12, 195201 (1995).

36. Bennett A.G., Rabbetts R.B. Clinical Visual Optics 2nd ed. Butterworth-Heinemann, Oxford, 1989, p. 17-18.

37. Bociort F., Kross J. New ray tracing method for gradient - index lenses.// Proceedings SPIE. - 1993.- Vol. 1780.- p. 216-225.

38. Bonnet R., CochetP. Bull. Soc. Franc. Ophtalmol. 73,688. (1960)

39. Bonnet R. La Topographie Corneenne. Desroches, Paris. 1964.

40. Brown N. The change in lens curvature with age. // Exp. Eye Res. 19, 175-183 (1974).

41. Brown S.J.S. Geometrical optics of tapered gradient index rods. // Applied Optics. - 1980. - Vol. 19, № 7. - P. 1056-1060.

42. Buchdahl H. A. Rays in gradient index media: separable systems. // Journal of Optical Society of America. 1973.- Vol. 63, № 1. - P. 46-49.

43. Campbell M.C. Measurement of refractive index in an intact crystalline lens. // Vision Res. 24, 409-415 (1984).

44. Charman W. N. Wave aberration of the eye: a review. // Optom. Vis. Sci. 68, 574-583 (1991).

45. Denton E.J. and Pirenne M.H. Retinal oxygen supply and macular pigment//Nature. 1950. - Vol. 165. -P. 304.

46. Dunne M. C., Royston J. M., Barnes D.A. Normal variations of the posterior corneal surfase. //Acta Ophthalmol., 70,255-261 (1992).

47. Eaton J. E. On spherically symmetric lenses // IRE Trans. Antenas. Propagat-1952.-Vol 4.-P.66.

48. Escudero-Sanz I., Navarro R. Off-axis aberrations of a wide-angle schematic eye model.//JOSA, A Vol. 16,N8,p. 1881-1891 (1999).

49. Fantone S.D. Fifth-order Aberration Theory of Gradient Index Optics. // Journal of Optical Society of America. 1983.- Vol. 73, № 9. -P. 1149-1164.

50. Fontana S. Т., Brubaker R. F. Volume and depth of the anterior chamber in the normal aging human eye. // Arch. Ophthalmol. 98,1803-1808 (1980).

51. Gomez-Reino C., Larrea E. Imaging and transforming transmission through a media with nonrotational symmetric gradient index. // Applied Optics. - 1983. - Vol. 22, № 3. - P. 387 - 390.

52. Grand Y. Le, La Dioptrique de l'Oiel et sa Correction, Tome I of Optique Phisiologique (Masson, Paris, 1956); rev. ed. translated into English: Y. Le Grand and S. G. El Hage, Physiological Optics (Springer-Verlag, Berlin, 1989).

53. Guillon M., Lydon P. M., Wilson C. Corneal topography: a clinical model. // Ophthalmic. Physiol. Opt, 6, p. 47-56 (1986.)

54. Gullstrand A. Appendix II in Handbuch der Physiologischen Optic, H. von Helmholtz, ed., 3rd ed. (Voss, Hamburg, 1909), Bd. 1, p.299.

55. Gullstrand A., Helmholtz's Physiological Optics (Optical Society of America, New York, 1924), Appendix, p. 350-358.

56. Gupta A., Thyagarjan K., Goyal I. C., Ghatak A. K. Theory of fifth-order aberration of graded-index media//Journal of Optical Society of America. -1976. -Vol.66, № 12. P.1320-1325.

57. Hansen F. K. A clinical study of the normal human central corneal thickness. // Acta Ophthalmol. 49, 82-89 (1971).

58. Harrigan M. E. Some first order properties of radial gradient lenses. Compared to homogeneous lenses. // Applied Optics. - 1984. - Vol. 23, № 16. - P. 2702 - 2705.

59. Hewak D.W. Lit J.W.Y. Numerical ray tracing for gradient index media. // Can. J. Phys. - 1985. - Vol. 63.- P. 234-239.

60. Hirji N.K., Larke J.R. Thickness of human cornea measured by topographic tachometry. //Am. J. Optom. Arch. Am. Acad. Optom. 55, 97-100, (1978).

61. Howcroft M. J., Parker J. A. Aspheric curvatures for the human lens. // Vision Res. 17, 1217-1223 (1977)

62. Howland H. C., Howland B. A subjective method for the measurement of monochromatic aberrations of the eye. // J. Opt. Soc. Am. 67. 1508-1518 (1977).

63. JacommeL. Optics Communications, 1975. Vol. 14.-P. 134-138.

64. Jansson F. Measurements of intraocular distances by ultrasound. // Acta Ophthalmol. Suppl. 74,1-49 (1963).

65. Kapron F. P. Geometrical optics of parabolic gradient index cylindrical lenses. // Journal of Optical Society of America. 1970.- Vol. 60, № 11. - P. 14331437.

66. Kiely P. H., Smith G., Carney G. The mean shape of the human cornea, //Opt. Acta 29, 1027-1040 (1982).

67. Kooijman A. C. Light distribution on the retina of a wide-angle theoretical eye. //J. Opt. Soc. Am. 73, 1544-1550 (1983).

68. Koretz J. F., Kaufman P. L., Neider M. W., Goeckner P. A. Accommodation and presbyopia in the human eye—aging of the anterior segment. //Vision Res. 29, 1685-1692 (1989).

69. Larsen J. The sagittal growth of the eye. //Acta Ophthalmol. 49, 239-2621971).

70. Leighton D. A., Tomlinson A. Changes in axial length and other dimensions of the eyeball with increasing age. //Acta Ophthalmol. 50, 815-8261972).

71. Lenz W. Theory of optical images // Probleme der Modemen Physik, ed. P. Debye. Leipzig: Hirsel Press, 1928. - P. 198.

72. Liang J., Grimm В., Goelz S., Bille J. Objective measurement of the wave aberrations of the human eye with the use of a Hartmann-Shack wave-front sensor. //J. Opt. Soc. Am. A 11 1949-1957 (1994).

73. Liang J., Williams D. R., Miller D. T. Supernormal vision and high-resolution retinal imaging through adaptive optics. // J. Opt. Soc. Am. A 14, 28842892 (1997).

74. Liou H.-L., Brennan N. A. Anatomically accurate, finite model eye for optical modeling. //JOSA, A Vol. 14, N 8, p. 1881-1891 (1997).

75. Lotmar W. Theoretical eye model with aspherics. // J OS A. 1 971. -Vol. 61, №11. -P. 1522.

76. Lowe R. F. Anterior lens curvature.//Br. J. Ophthalmol. 56, 409-413 (1972).

77. Lowe R. F. Central corneal thickness. //Br. J. Ophthalmol. 53, 824-826 (1969).

78. Lowe R. F., Clark B. A. J. Radius of curvature of the anterior lens surface. //Br. J. Ophthalmol. 57, 471-474 (1973).

79. Lowe R. F., Clark B. A. Posterior corneal curvature. //Br. J. Ophthalmol. 57,464-470(1973).

80. Lowe R.F., Clark B.A.J. Radius of curvature of the anterior lens surface. //Br. J. Ophthalmol. 57, 471 474 (1973).

81. Luneberg R. K. The mathematical theory of optics. Los Angeles: University Press. 1964.-448 p.

82. Mandell R. В., Helen R. St. Mathematical model for the corneal contour. //Br. J. Physiol. Opt 26, 183-197 (1971).

83. Marchand Erich W. Photographic gradient singlets. // Applied Optics. -Vol. 19, №7, 1980.

84. Marchand E.W. Fifth-order analysis of GRIN lenses. //Applied Optics. 1985.- Vol. 24, № 24. P. 4371-4374.

85. Marchand E.W. Gradient index optics. New York: Academic, 1978.123 p.

86. Marchand E.W. Rapid ray tracing in radial gradients. // Applied Optics. 1988.- Vol. 27, № 3. P. 465-467.

87. Marchand E.W. Ray tracing in gradient index media. // Journal of Optical Society of America. 1970.- Vol. 60, № 1. - P. 1-7.

88. Marcos S., Burns S.A. Cone spacing and waveguide properties from cone directionality measurements. // J. Opt. Soc. Am. A. Vol 12, № 5, 995-1004 (1999).

89. Martin Curtis E., Keller John G., Rogers Steven K., Kabrisky Matthew. // IEEE Trans. Syst., Man and Cybern. A. 2000. - 30, №4. P. 494 - 500.

90. Martola E. L., Baum J. L. Central and peripheral corneal thickness. //Arch. Opththalmol. 79, 28-30 (1968).

91. Matsumura H. Optical and Quantum Electron., 1975. - Vol. 7.- P. 8186.

92. Maurice D. M., Giardini A. A. A simple optical apparatus for measuring the corneal thickness and the average thickness of the human cornea. //Br. J. Ophthalmol. 35, 169-177 (1951).

93. Montagnino L. Ray tracing in inhomogeneous media. II Journal of Optical Society of America. 1968.- Vol. 58,№ 11.-P. 1667-1668.

94. Moore D. T. Ray tracing in gradient-index media // Journal of Optical Society of America.-1975. Vol.65, № 4. P.451-455.

95. Moore D. Т., Sands P.J. Third-order aberrations of inhomogeneous lenses with cylindrical index distributions. // J. Opt. Soc. Am. -1971. -Vol. 61, № 9.-P. 1195-1201.

96. Moore D.T., Stagaman J.M. Ray tracing in anamorphic gradient index media. // Applied Optics. - 1982. - Vol. 21, № 6. - P. 999-1003.

97. Morgan S.P. General solution of the Luneburg lens problem. // Journal of Applied Physics. 1958. Vol. 29, № 11. - p. 1358-1368.

98. Nakao S., Ono Т., Nagata R., Iwata K. The distribution of refractive index in the human crystalline lens. //Jpn. J. Clin. Ophthalmol. 23, 903-906 (1969).

99. Navarro R., Santamaria J., Bescos J. Accommodation-dependent model of the human eye with aspherics. //J. Opt. Soc. Am. A 2, 1273-1281 (1985).

100. Navarro R., E. Moreno E., Dorronsoro C. Monochromatic aberrations and point spread functions of the human eye across the visual field. //J. Opt. Soc. Am. A 15,2522-2529(1998).

101. Nishizawa K. Chromatic aberration of the selfoclensas an imaging system. // Applied Optics. 1980. - Vol. 19, № 7. - P. 1052 - 1055.

102. Parker J. A. Aspheric optics of the human lens. //Can. J. Ophthalmol. 7, 168-175 (1972).

103. Paxton К. В., Streifer W. Analytic solution of ray equation in cylindrically mhomogeneous guiding media. 2. Skew rays // Applied Optics, 1971. -Vol. 10. № 5.-P.1164-1171.

104. Pierscionec B.K., Chan D.Y.C. Refractive index gradient of human lenses. // Optom. Vis. Sci. 1989 - 66, P. 822-829.

105. Puchalski J. Numerical determination of continuous ray tracing: the four-component method // Applied Optics. 1994.- Vol.33, № 10. - P. 1900-1906.

106. Puchalski J. Numerical determination of ray tracing: a new method. // Applied Optics. 1992. - Vol.31, № 31. -P. 6789-6799.

107. Reading V.M. and Weale R.A. Macular pigment and chromatic aberration // Journal of the Optical Society of America. 1974. - Vol. 64. - P. 231.

108. Rosenblum W. M., Christensen J. L. Objective and subjective spherical aberration measurement of the human eye in Progress in Optics, E. Wolf, ed. (North-Holland, Amsterdam, 1976), Vol. 13, pp. 69-91.

109. Royston J. M., Dunne M.C., Barnes D.A. Measurement of the posterior corneal radius using slit lamp and Purkinje image techniques. // Ophthalmic. Physiol. Opt, 10, p. 385-388 (1990.)

110. Ryan-Howard D. P., Moore D. T. Model of chromatic properties of gradient index glass. // Applied Optics. - 1985. - Vol. 24, № 24. - P. 127 - 137.

111. Sands P.J. Inhomogeneous lenses, II. Chromatic paraxial aberrations // J. Opt. Soc. Am. -1971. -Vol. 61, № 6. P. 777-783.

112. Sands P.J. Inhomogeneous lenses, III. Paraxial optics //J. Opt. Soc. Am. -1971. -Vol. 61, № 7. P. 879-885.

113. Sands P.J. Third-order aberrations of inhomogeneous lenses. // J. Opt. Soc. Am.-1970.-Vol. 60, № 11.-P. 1436-1443

114. Sharma A., Ghatak A. Ray tracing in gradient-index lenses: computation of ray-surface intersection // Applied Optics. 1986. - Vol. 25, . № 19. - P. 3409-3412.

115. Sharma A., Kumar D. V., Ghatak A. K. Tracing rays through graded-index media: a new method // Applied Optics. -1982. Vol.21. № 6. - P.984-987.

116. Smith G, Pierscionec B.K., Atchison D. A. The optical modeling of the human lens. // Ophthalmic. Physiol. Opt, 11, p. 359-569 (1991.)

117. Soni P. S., Borish I. M., "A report on central and peripheral corneal thickness," Int. Contact Lens Clin. 6, 66-70 (1979).

118. Sorsby A., Sheridan M., Leary A. G., Benjamin В. Vision, visual acuity and ocular refraction in young men. // Brit. Med. J. 1, 1394-1398 (I960)/

119. Southwell W. H. Ray tracing in gradient index media. // Journal of Optical Society of America. 1983.- Vol. 72, № 7. - P. 908-911

120. Stavroudis O. N. The optics of rays, wavefronts and caustics. New York: Academic Press. 1972. - 313 p.

121. Stenstrom S. Investigation of the variation and the correlation of the optical elements of human eyes. //Am. J. Op-tom. 25, 340-350 (1948).

122. Streifer W., Paxton К. B. Analytic solution of ray equation in cylindrically inhomogeneous guiding media. 1. Meridional rays // Applied Optics. 1971.-Vol.10, №3.-P.769.

123. Thibos L. N., Zhang M. Ye. X., Bradley A. Spherical aberration of the reduced schematic eye with elliptical refraction surfase. // Optom. Vision Sci. 74, 548-556(1997).

124. Thibos L. N., Zhang M. Ye. X., Bradley A. The chromatic eye: a new reduced-eye model of ocular chromatic aberration in humans. // Appl. Opt. 31, 3594-3600(1992).

125. Tomlinson A. A clinical study of the central and peripheral thickness and curvature of the human cornea. //Acta Ophthalmol. 50, 73-82 (1972).

126. TownsleyM. New knowledge of the corneal contour. //Contacto 14, 38-43 (1970).

127. Walls G.L. and Judd H.D. The intra-ocular colour filters of vertebrates //British Journal of Ophthalmology. 1933. - Vol. 17- P. 641.

128. Walsh G. The effect of mydriasis on the pupillary centration of the human eye. ///Ophthalmic. Physiol. Opt. 8,178-182 (1988).

129. Walsh G., Charman W. N. Measurement of the axial wavefront aberration of the human eye. //Ophthalmic. Physiol. Opt. 5, 23-31 (1985).

130. Walsh G., Charman W. N. The effect of pupil centration and diameter on ocular performance. //Vision Res. 28, 659-665 (1988).

131. Walsh G., Charman W. N., Howland H. C. Objective technique for the determination of monochromatic aberrations of the human eye. //J. Opt. Soc. Am. A 1,987-992 (1984).

132. Wang Xichang, Zhou Fengkun, Chen Shufang, Yu Bingxi. Разработка и изучение функции цветовой чувствительности. // Acta opt. sin. 1999 - 19, № 8. С. 1057 - 1064.

133. Webb R. H., Penney С. M., Thompson К. P. Measurement of ocular wave-front distortion with a spatially resolved refractometer. //Appl. Opt. 31, 3678-3686 (1992).

134. Weekers R., Grieten J. Mesure de la profondeur de la chambre anterieure en clinique. //Soc. Belg. Ophthalmol. 129, 361-381 (1961).

135. Westheimer G. Image quality in the human eye. //Opt. Acta 17, 641-658(1970).

136. Whitehead L.A. Simplified ray tracing in cylindrical systems. // Applied Optics. 1982. - Vol. 21, № 19. - P. 3356 - 3358.

137. Williams D. R., Brainard D. H., McMahon M. J., Navarro R. Double-pass and interferometric measures of the optical quality of the eye. //J. Opt. Soc. Am. A 11, 3123-3135 (1994).

138. Wilson M. A., Campbell M. C. W., Simonet P. Change of pupil centration with change of illumination and pupil size. //Optom. Vis. Sci. 69, 129136 (1992).

139. Yu C. S., Kao D., Chang С. T. Measurement of the length of the visual axis by ultrasonography in 1789 eyes. //Chin. J. Ophthalmol. 15,45-47 (1979).

140. Zhang X., Bradley M. Ye, A., Thibos L. Apodization by the Stiles -Crawford effect moderates the visual impact of retinal image defocus. //JOSA. -1999. Vol. 16 A, № 4. - P. 812 - 820.

141. Под ред. M. Абрамовича и И. Стиган. Справочник по специальным функциям. М.: Наука. Глав. ред. фмз.-мат. лит., 1979, 832 с.

142. Koomen М., Tousey R., Scolnik R. The spherical aberration of the eye. //J. Opt. Soc. Am. 39, 370-376 (1949)

143. Van Meeteren A. Calculations on the optical modulation transfer function of the human eye.// Opt. Acta 21, 395-412 (1974).

144. Sharma A. Computing optical path length in gradient-index media: a fast and accurate method // Appl. Opt. 1985. - V.24, No.24. - P.4367-4370.