Моделирование переходных электромагнитных процессов в токамаках тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.08 ВАК РФ

НАУЧНО-ИССЛЕДОВАТЕЛЬСКИЙ ИНСТИТУТ ЭЛЕКТРОФИЗИЧЕСКОЙ АППАРАТУРЫ ИМ. Д.В.ЕФРЕМОВА

На правах рукописи

УДК 533.9.02, 681.3.06

КОКОТКОВ ВАДИМ ВИКТОРОВИЧ

1— Ицс

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕХОДНЫХ ЭЛЕКТРОМАГНИТНЫХ ПРОЦЕССОВ В ТОКАМАКАХ

01.04.08 — физика и химия плазмы

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

С.-ПЕТЕРБУРГ, 1906

Работа выполнена в Научно-исследовательском институте электрофизической аппаратуры им. Д.В.Ефремова

Научный руководитель:

кандидат физико-математических наук Филатов О.Г.

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук Мирнов C.B. кандидат технических наук Одинцов В.Н.

Ведущая организация:

Институт Ядерного Синтеза, Российский Научный Центр "Курчатовский Институт"

" 7_''/Л ' 1996г. в Ужасов на заседании Диссертацион-

пого совета К 034.05.01 при Научно-исследовательском институте электрофизической аппаратуры им.Д.В.Ефреиова в помещении Клуба ученых (Полевая ул., 12).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке НИИЭФА. Автореферат разослан —¿£2._1996г.'

Отзывы об автореферате в одном экземпляре, заверенные ученым секретарем и скрепленные гербовой печатью, просим направлять по адресу: 189631, С.-Петербург, НИИЭФА.

Ученый секретарь диссертационного совета, к.т.н.

Жуков Б.Н.

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы диссертации. Основной прогресс в исследованиях по проблеме управляемого термоядерного синтеза за последнее десятилетие связан с установками тока-мак. Токамаки весьма сложные и дорогие электрофизические устройства. Поэтому анализ работоспособности отдельных узлов и всей установки в целом представляется важной и непростой задачей. Развитие возможностей вычислительных средств расширяет возможности численного эксперимента и математического моделирования. По море повышения требований к экспериментальным установкам сильно усложняется конструкция токамаков и методы ее моделирования. Поэтому происходят постоянные изменения как в постановках задач, так и в алгоритмах их решения. Применительно к анализу переходных электромагнитных процессов в токамаках прогресс движется но двум основным направлениям. С одной стороны, новые экспериментальные исследования на современных установках позволяют моделировать процесс срыва тока плазмы, эволюция которого ранее становилась известной лишь из конкретного эксперимента. С другой стороны, появилась возможность проводить детальный трехмерный анализ переходных процессов в конструкциях в отличие от применяемого ранее двумерного осесимметричного анализа. Н частности, в токама-ке ИТЭР трехмерный анализ актуален при проектировании вакуумной камеры, бланкета, дивертора, механической структуры и ряда других элементов конструкции. И наконец, в России отсутствовал надежный и удобный код для трехмерного анализа переходных электромагнитных процессов.

Основная цель работы - это разработка алгоритмов расчета полей квазистационарных токов в приближении тонких оболочек, а также решение ряда задач трехмерного анализа переходных электромагнитных процессов в токамаках ИТЭР1 и TEXTOR2 с использованием разработанных алгоритмов.

Научная новизна.

1. Предложена методика оценки длительности срыва тока плазмы в токамаке, которая позволяет достаточно просто и быстро сделать необходимые инженерные оценки Сделана оценка длительности срыва тока плазмы в ИТЭР, она используется при последующих расчетах электромагнитных нагрузок на камеру, бланкет и дивертор ИТЭР при срыве тока плазмы.

2. Разработан алгоритм нахождения полей квазистационарных токов в приближении тонких оболочек. Показана его практическая реализуемость, проведено тестирование алгоритма. Сам алгоритм имеет ряд отличий в постановке задачи от описанных в литературе близких алгоритмов. Основной особенностью реализации является его более высокая эффективность при заданной точности по сравнению с известными аналогами, позволяющая использовать персональные компьютеры средней производительности.

3. Проведен анализ ряда конструкций с использованием разработанного алгоритма.

*ITER Concept Defenition. ITER Documentation Series. No.3, v.2, IAEA, Vienna, 1990; Design Description Document (DDD). G17DDD1 94-12-2 W 00-AB.

'TEXTOR, Technical Data I. Institute fur Plasmaphysik. Herausgeber: Ass. EURATOM-KFA, 1980.

Практическая ценность.

1. Разработанный алгоритм был реализован в исполняемых кодах для компьютера с операционной системой MS-DOS или Novell DOS.

2. Алюритм был использован для решения задач

(а) расчет резистивных потерь и сравнительного анализа вариантов конструкции механической системы ИТЭР (результаты представлены на встречах рабочих групп ИТЭР),

(б) расчет механических нагрузок на вакуумную камеру, бланкет и дивертор ИТЭР (результаты представлены на встречах рабочих групп ИТЭР),

(в) расчет резистивных потерь в контакте сверхпроводящего кабеля центрального соленоида ИТЭР (результаты представлены на встречах рабочих групп ИТЭР),

(г) расчеты механических нагрузок на вакуумную камеру TEXTOR (работа выполнена по контракту с институтом Forschungzentrum Juelich, Institut fur Plasmafisik, Юлих, Германия, в 1994г. TEXTOR после реконструкции сдан в эксплуатацию).

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинарах в НИИЭФА им.Д.В.Ефремова и ЛФТИ им.А.Ф.Иоффе, встречах рабочих групп ИТЭР, рабочих совещаниях по реконструкции токамака TEXTOR, 31-й летней школе по физике плазмы (Калэм, 1994г.), всесоюзных конференциях по инженерным проблемам термоядерных реакторов (Ленинград, 1990г.) и по физике плазмы (Звенигород, 1989, 1990, 1991гг.), на международной конференции по вычислительным методам и программированию (Дубна, 1993г.), 15-м международном симпозиуме но электромагнитной теории (С.-Петербург, 1995г.), 10-м совещании по математическому моделированию в физике плазмы (Сухуми, 1991г.), на международной конференции по оптимизации в конечных элементах (С.-Петербург, 1995г.), на европейских конференциях по физике плазмы и управляемому синтезу (Берлин, 1991г.), по ускорителям заряженных частиц (Лондон, 1994г.) и по магнитной технологии (Тампере, 1995г.).

На защиту выносятся

1. Инженерная методика оценки длительности срыва тока плазмы в токамаках с использованием глобальной (нульмерной) модели энергобаланса.

2. Методика нахождения полей квазистационарных токов в приближении тонких оболочек. Проведена

• постановка задачи,

• пространственная дискретизация полученного интегро-дифференциального уравнения,

• выбрана численная схема решения временной задачи,

3. Реализация методики в исполняемых кодах для компьютера средней производительности, достоверность которой подтверждена решением ряда тестовых задач.

4. Методика применения разработанного алгоритма к задачам, в которых условия применимости подходу тонких оболочек не выполняется строго.

5. Результаты решения практических задач анализа электромагнитных нагрузок и потерь от вихревых токов в ряде переходных режимов работы установок ИТЭР и TEXTOR.

Структура диссертации. Диссертация состоит из взед°ния, 3 глав и заключения, имеет объем 107 стр., 57 рисунков, 10 таблиц, список цитируемой литературы из 128 работ.

Содержание диссертации

Во введении обосновывает ся актуальность теми диссертации, с.бсуждаегся се научная новизна и практическая ценность. Кратко онна шлется состав диссертации и вводятся базовые термины. Далее описывается состояние "экспериментальных исследований срыва тока плазмы. Дается классификация срывов и обсуждаются их негативные последствие для тока мака. Указано на связь параметра длительности срыва тока плазмы с величиной механической нагрузки на конструкцию при срыве. Приведен обзор подходов к анализу переходных электромагнитных процессов в тока-макаv. Обсуждаются различные постановки задачи расчета распределения вихревых токов. Дан обзор двумерных и трехмерных кодов и показаны их области применения, преимущества и проблемы.

В главе 1 изложена методика оценки длительности срыва тока плазмы, позволяющая быстро и просто получить чребуемые инженерные оценки. Проведено тестирование методики и сделана оценка длительности срыва тока плазмы в токамаке ИТЭР.

Методика оценки длительности срыва тока плазмы в токамаке описана в §1.1. Для оценки была использована нульмерная модель энергобаланса плазмы при токовом срыве, которая базировалась на следующих предположениях:

• плазма после теплового срыва сильно загрязнена примесями, поступившими с внутри камерных элементов;

• температура плазмы на стадии токового срыва определяется балансом омического нагрева и радиационными потерями на примесях, при .пом реакции синтеза гасятся и дополнительный нагрев огсутств;>ет;

• самосогласованный учет МГД движения шнура во время токового срыва определяет его геометрические характеристики.

Процесс токовою срыма рассматривается как превращение магнитной энергии, евч занной с плазменным шнуром, в те плевую. Анализ этой цепочки позволил пол\чить ю-ли.честг.ги'.м.;е оценки и очр< делит ь оспо'о.ше факторы, влияющие на длнтельност ь ('разы токовою iрыьа.

Тестирование методики приведено в §1.2. Рассмотрены подробно разряды на установках TORE-SUPR A (TS) и JET и показана адекватность разработанной методики эксперименту. Оценка длительности срыва в DIII-1) согласуется с экспериментом с приемлемой точност ыо.

И ^ 1.3 с использованием предложенной методики сделана оценка длительности срыва тока плазмы в токамаке ИТЗР. Полученный дни номинальной плотности pai-px/ia результат г,.;'г=Шмс согласуется с ) iвержденнои в проекте UT3P величин»,й. но в режимах с плотностью плазмы 1.5 -Ю^'м "3 длительность срыва может упасть до гч г Зга цифра вдвое м*ныне принятой » ИТЭР проокпгоЛ величины длк1едьп«>п и < рыла, н <■:•.<■-допгыельнп, пагружи на конструкции) ИТЭР при срыве тока плаьмы могут быть бо.-ц :;;е ПрпеКТНЫХ для tff=10mc.

Описанная методика была принята рабочей группой системы полоидальних полей ИТ-ЭР и опубликована в финальном отчете этой группы по результатам эскизного проекта ИТЭР (Conceptual Design Project)3.

Глава 2 посвящен а разработке алгоритма нахождения полей квазнстационарных токов в приближении тонких оболочек. Обсуждается постановка задачи, проводится дискретизация основных уравнений с использованием метода конечных элементов. Реализация алгоритма тестируется на ряде задач, имеющих аналитическое решение.

Ъ §2.1 изложена постановка задачи нахождения полей квазистационарных токов в приближении тонких оболочек. Вводится редуцированный магнитный скалярный потенциал и векторный электрический потенциал и обсуждается интегро-дифференциальное уравнение для модуля векторного электрического потенциала.

Рассмотрим тонкую проводящую оболочку S толщиной Л, расположенную с пространстве R3 (см. рис. 1). Предположим, что зависимость удельного электрического сопротивления р от координат известна. Тогда Е = /)'J, где Е вектор напряженности электрического поля, р' = p/h, J — вектор поверхностной плотности тока. Введем электрический векторный потенциал Р как J = V X Р. Обозначим поверхностные координаты — (i,'i). Тогда на оболочке потенциал Р имеет только одну компоненту 1 — P(£,i])n, где п - нормаль к оболочке.

Рис. 1: К задаче о тонких проводящих оболочках Таким образом уравнение V X Ё — —принимает вид

/>«/1,1 af V h( di) + dtiV h, driJi " Si' ()

где B„ = + B^J\ h( и Л, - коэффициенты Ламэ. Функция B^(t) предполагается заданной, тогда как В[Р — нормальная к поверхности в точке Л/(£, т/) компонента вектора магнитной индукции от наведенных на поверхности токов J. Введем координаты источника A'(i'.q'). тогда:

aY. Shimomuia, J. Wesley et.al. ITER PoloidaJ Field System. ITER Documentation Series, No.27. Interaction»] Atomic Energy Agency, Vienna, 1991, pp.147-149.

где Rnm — радиус-вектор, проведенный из точки N в точку М. Таким образом, сформулировано интегро-днфференциальное уравнение для потенциала Р.

Граничные условия формулируются следующим образом. На каждом граничном контуре -у, (внешнем граничном контуре, контуре отверстия в оболочке или разрезе) можно записать условия постоянства токового потенциала вдоль границы Р\у, = Constx(^x). Такое же условие Р¡7 = Const}('fj) справедливо для контуров 7,, образованных пересечением оболочки S с плоскостью симметрии геометрии и внешнего магнитного поля. Так как величина электрического потенциала Р на оболочке S определена с точностью до произвольной постоянной, то одну из перечисленных констант можно положить равной нулю.

На контурах, полученных пересечением S с плоскостью антисимметрии внешнего поля (и симметрии геометрии) следует записать условие = 0, где иа, - перпендикуляр к

плоскости антисимметрии. В случае ветвления поверхности .9, то есть в том случае, если па некотором контуре С стыкуются вместе 3 и более листов поверхности S, следует наложить условие Ylx jа,с ~ 0, где суммирование ведется по всем листам А, стыкующимся вдоль контура С.

Уравнение (1) с учетом выражения (2) представляет собой задачу Ксши относительно P(€,i)). Начальные условия в случае отсутствия вихревых токов при t — 0 (стационарное внешнее иоле) имеют вид = 0. В случае идеального скин эффекта (то есть при

условии —^ ' < —¿1") начальные условия находятся из условия Вп — 0 —<■ — — и в (1) левая часть отсутствует.

Таким образом, задача нахождения нолей квазистационарных токов в приближении тонких оболочек поставлена с физической точки зрения.

§2.2 содержит дискретизацию интегро-дифференциалыюго уравнения с использованием метода конечных элементов.

Применим метод Галеркина. Рассмотрим двумерный симплекс-элемент (треугольный линейный конечный элемент (см. рис. 2). Интерполяционный полином первой степени для некоторой функции заданной на конечном элементе имеет вид :

ф = Q-J + а2х +

или

ф = + + Лтк$ь

где (г, j, к) — порядок перебора узлов против часовой стрелки. Здесь введены функции формы:

Аг. = [а. + « + w],

где А - площадь треугольника, а, = XjYt- — X¡¡Vj, bx = У} — Ук-> с> — Хь — XJt (см. рис. 2).

Умножим исходное уравнение (1) на ^ и проинтегрируем по объему оболочки. Окончательно имеем результат дискретизации уравнения (1) в форме:

Рис. 2: Определение функций формы для треугольного линейного конечного элемента

1

4т

Ы 4А..Л.

< + + <=?>)' Я3...

ЛАе,(1Ас =

- ? (^йг*) * + +

(3)

1 к ; = к

Суммирование по с — суммирование по тем треугольникам, окружающим узел I, для которого формируется уравнение,

е' — суммирование по всем треугольникам области, к — суммирование по узлам треугольника с'.

Это выражение отражает тот факт, что сборка должна выполняться по всем элементам е, в которых Л', отлична от нуля (индекс е ), причем для каждого такого элемента существует связь со всеми (индекс с') элементами, а в каждом элементе е' необходимо помимо интеграла

и.

дк; _

д{ е"

х Н„

N1 Я3..

¿А,,¿А,

определять еще и значения производных по времени от узловых значений известного распределения внешнего поля Значения всех остальных коэффициентов описаны.

Таким образом уравнение (3) совместно с начальными условиями определяют задачу Копи вида

где Л/у, 5у и ^ есть соответствующие формы уравнения (.'!). Дискретизация уравнения для решения временной задачи возможна в следующей форме.

м/'(1 + в)в~Р№ = - 5„[оД(0 + (1 -- а)Р.(1 + в)] + + в/2).

Здесь 9 - величина шага интегрирования, 0< <1. Тогда для момента времени t + 9 вектор Р, (/+#) можно определить. Начальные условия в случае отсутствия вихревых токов

3 = 0 - Р ~ 0 (4)

В численной реализации алгоритма был использован модифицированный метод Гиря.

Таким образом, задача нахождения полей кзазистационарных токов в приближении тонких оболочек поставлена с математической точки зрения.

В §2.3 приведены результаты тестирования и верификации алгоритма на ряде задач.

Задачи, качественно иллюстрирующие работоспособность алгоритма

• Задача о распределении вихревых токов в тонких пластинах с отверстиями различной формы и без отверстий в случае идеальною скин эффекта.

• Задача об эволюции распределения вихревых токов в тонком диске с 60° резистив-кой вставкой при условии идеального скин эффекта в начальный момент времени. Сопротивление вставки в 10 раз больше, чем сопротивление основной части диска.

Задачи, имеющие аналитическое решение

• Задача о распределении вихревых токов в однородном тонком диске, находящемся в пространственно однородном внешнем поле ь случае идеального скин эффекта. Полученное в результате решения распределение потенциала Р по радиусу диска отличается от аналитического решения не хуже, чем 10~3.

э Задача о стационарном распределении вихрерых токов в квадратной тонкой пластине, находящейся в однородном внешнем поле, увеличивающимся с постоянной скоростью. Полученное стационарное распределение потенциала Р отличается от аналитического решения не хуже, чем 10"4.

• Задача о распределении вихревых токов в круглой тороидальной оболочке в случае мгновенного исчезновения тока, расположенного на оси тора внутри оболочка. Рассчитанная зависимость линейной плотности наведенных токов от полоидальлого угла согласуется с известным решением с точностью около 1%.

• Особое внимание было уделено задаче об эволюции вихревых токов в тонкой сфере, помещенной в однородное внешнее поле при условш^ идеального скин эффекта. Тестирование проводилось на сетке из 1600 элементов на октант. Максимальная относительная ошибка нахождения электрического векторного потенциала в задаче об идеальном скин эффекте для тонкой сферы (стационарная задача) не превышает 10"4.

Относительная ошибка нахождения мощности резистивных потерь и сф< ре не превышает Ю-3 для времени t < 10гл, где г, — носюянная затухания вих]>евых токов в сфере. К этому моменту времени амплитуда вихревых токонспадает в("10 pa i. ('ама постоянная времени г, вычисляется с ючпосп.ю 10"*. Таким образом, для решения задачи с» тонкой гфоре в однородном мгпоненно во i чикнем магнитом ноле с точностью i;e xv.-he 10~3 Tpeoyeic«1 на сетке из 1000 элем<ч1 юв на окт.шг <феры около •1 часов процессора M*GDX2 'Гц с 1ПМБ ОЧУ и 20МК свободными на НМЛ. С дриои сiopo.ii.!, точность ji'Mii-'H¡fя не хуже \% обеспечивает <етка из 100 элеменюв на oKiaur, ч го требует времена минее 30 секунд па том же компьюк'ре.

Сравнение с результатами расчетов по двумерным осесимметричным кодам

• Была решена задача об эволюции вихревых токов в вакуумной камере токамака TEXTOR при срыве тока плазмы. Результат расчета эволюции полного транспортного (тороидального) тока был сопоставлен с результатами анализа начальной стадии разряда, выполненных с использованием двумерного осесимметричного кода TEEN4. Осесимметричная модель использует иное представление геометрии камеры. При этом постоянная времени транспортного тока, полученная с использованием различных подходов, отличается не хуже 1%.

• Решена задача о механических нагрузках на вакуумную камеру и бланкет ИТЭР при срыве тока плазмы с движением плазмы при срыве. Б работах центральной команды ИТЭР приведены результаты расчета по двумерному осесимметричному коду MAXFEA5. Нсличины максимальных полных сил, действующих на вакуумную камеру, заднюю и первую стенки бланкета отличаются не более 3%.

Сравнение с результатами расчетов по трехмерным кодам

• Задача о тонкой пластине, помешенной в однородное монотонно растущее внешнее поле была решена с использованием кода EDDYCUFF6. Совпадение полученных результатов с результатами EDDYCUFF не хуже 10~4.

• Описанная выше задача о тонкой сфере в однородном внешнем поле при условии идеального скин эффекта была решена с использованием кода EDDYCUFF7 и кода CARIDDI8. Совпадение полученных результатов с результатами перечисленных кодов не хуже 10~4 для начального распределения и не хуже 10~3 для зависимости от времени.

• Была решена в качестве тестовом задача о резистивных потерях в механической структуре ИТЭР п нормальном режиме разряда, и результат сравнен с резульга-

1 том расчета по EDDYCUFF3. Не смотря на отличие в использованных расчетных

4E.N.Bondarchuk, N.l.Doittikov et.al. Stray fields during breakdown in сале of real current distribution in vessel aad liner. D.V. Efrermov Scientific Research Institute of Electrophisical Apparatus, TEXTOR report No.4, 19У2.

*P. Barabaschi. ITER Interoffice Memorandum S 73 MD 12 95-04-06 W 1.1

eA. Kameari. Transient EdJy Current Analysis on Thin Conductors with Arbitrary Connections and Shapes. J. of Computational Physics, v.42, pl24-140, 1981.

1 A. Kameari. Transient Eddy Current Analysis on Thin Conductors with Arbitrary Connections <md Shapes. J. of Computational Physics, v.42, pl24-140, 1981.

8R. Albanese, G. Rubinacci. '"Solution of Three Dimensional Eddy Current Problems by Integral and Differential Methods", IEEE Transaction of Magnetics, MAG-24, 1988, pp.98-101.

*A. Radovinsky. Joule Heating of an ITER Cold Structure due to Pi Coil and Plasma Currents. ITER/US/93/E V-MAG/A. Radovinsky/9.30/1

моделях, максимальные мощности омических потерь и механической структуре обличаются не более Г>%.

Таким образом, и результате тестирования алгоритма путем сравнения с результатами расчетов до двумерным и трехмерным кодам и с анали тическими резулы л i амн проведена верификация алгоритма н кода.

В главе 3 принедены результаты расчетов различных узлов юкамлкпв Т1СХТЧ)К и ИТЭР с использованием изложенного ранее алтриша.

В §3.1 изложеш,i результаты расчетов элекчромашитных паi руюк на вакуумную камеру токамака TEXTOR. Вакуумная камера токамака имее! классическую тороидальную форму. Особенностью камеры является большое количество дпа1 ностических патрубков различной формы, врезанных в камеру сверху, енту и <• внешней стороны тора. Сама камера изготовлена из нержавеющей с тали, но имеет S решет ивных вставок (сильфонов) по тороидальному обходу.

Обоснована применимость модели тонких оболочек к расчету камеры ТЕХТОК.

а) С) в)

Рис. 3. я) Общий вид на сетку расчетной области камеры TEXTOR; б) Распределение вихревых токов в камере TEXTOR. Вид сверху, t = 16мс; в) Распределение вихревых токов в камере TEXTOR. Вид свсрху, t = 33 мс •«

Рассмотрены два варианта срыва тока плазмы, и обсуждается влияние железного маг-нитопровода на электромагнитную нагрузку на камеру. Приведена эволюция и пространственное распределение вихревых токов в вакуумной 'камере. Максимальное давление на камеру около ЗООкПа. Расчетная сетка и распределение вихревых токов приведены на рис.3.

Проведенный расчет вихревых токов в вакуумной камере TEXTOR при срыве тока плазмы использован для обоснования работоспособности конструкции вакуумной камеры TEXTOR и способов ее закрепления.

В §3.2 приведены результаты расчетов резистивных потерь в механической структуре токамака ИТЭР в нормальном (штатном) режиме работы ИТЭР.

В качестве расчетной области выбрана половина от 1/6 части механической структуры. Конеч поэлементная сетка приведена на рис.4 а. Расчеты резистивных потерь от вихревых

токоб проводились для нормального (штатного) сценария работы полоидальной системы ИТЭР с учетом тока плазмы. Расчеты показывают, что максимум мощности резистивных потерь и полная выделившаяся тепловая энершя во всей механической структуре неприемлемы для конструкции с точки зрения требований на систему охлаждения. Распределение вихревых токов приведено на рис. 46. Были предложены варианты разбиения механической структуры вертикальными разрезами, рассекающими ее на 12 и 24 симметричных части. Каждый вертикальный разрез уменьшает среднюю мощность тепловыделения приблизительно вдвое.

Для первоначального варианта конструкции механической структуры были проведены также расчеты резистивных потерь от вихревых токов под действием системы управления положением плазмы. Было проанализировано около десятка сценариев работы системы управления. Из приведенных результатов видно, что в случае 1000 импульсов системы управления'за разряд при вытякутости 1.5 в механической структуре выделяется дополнительно около 1-4% тепловой энергии, а при вытянутости 1.7 до 50-100%.

а) 6) в)

Рис. 4: а) Сетка механической структуры ИТЭР (половина от 1/6 части); 6) Распределение вихревых токов в механической структуре ИТЭР в момент времени 1=2.8 с; в) Сетка модифицированной механической струхтуры и распределение вихревых токов в момент времени I = 1 с

Финальный вариант конструкции, названный модифицированной механической структурой, состоит из 24 частей. Шестая часть первоначальной механической структуры рассечена вертикальным,и горизонтальным разрезами. Расчеты резистивных потерь от вихревых токов проведены для нормального (штатного) сценария работы полоидальной системы. В модифицированной механической структуре полная выделившаяся тепловая энергия близка к соответствующей величине для механической структуры, состоящей из 12 частей. Представляется, что только вертикальные разрезы рассекают контуры вихревых то-

ков. Предложенный в модифицированной механической структуре горизонтальный разрез проведен вдоль некоторых линий тока и не приводит к существенному снижению тепловыделения. Полная выделившаяся во всей модифицированной структуре тепловая энергия равна 32.4МДж, а средняя за разряд мощность тепловыделения — около 11.5кВт. Распределение вихревых токов см. рис. 4в.

Результаты расчетов были использованы для проведения тепловых расчетов гистемы охлаждения механической структуры, а также для выработки требований на систему управления положением плазмы.

В §3.3 содержатся результаты расчета электромагнитных нагрузок на бридинговый (жидкометаллический) вариант конструкции бланкета ИТЭР при срыве тока плазмы. 13 расчетах жидкометаллического бланкета ИТЭР была использована модель, предложенная Боссави10, в которой в начальном приближении движением жидкого металла во времн срыва тока плазмы можно пренебречь, и рассчитывать электромагнитные нагрузки на бланкет как на неподвижный объект. II дальнейшем при проведении механических и термогидр^в-лических расчетов полученную электромагнитную нагрузку следует рассматривать как резкий (мгновенный) удар в начальный момент времени.

Расчетная модель включает в себя двухслойную вакуумную камеру и оболочку (корпус) жидкометаллического бланкета. В качестве расчетной области выбрана 1/48 часть юра (см. рис.5а). Обе оболочки камеры — из нержавеющей стали. Величина т,кгпдля внутренней оболочки около — 1.5мс, для внешней — около 2.5мс, а для вертикального патрубка 20мс. Для бланкета была выбрана простая модьль сос гояшая из двух симметричных в тэро-ндальном направлении оболочек. Постоянная времени задней стенки бланкета = Юме, а первой стенки - О.бмс. Бланкет равномерно замкнут по тороидальному обходу. Внутренняя композиция бланкета не рассматривалась. Таким образом, в бланкете генерируются большей частью тороидальные токи. Так как условие применимости модели тонких облочек-т ^ не выполняется, необходимо использовать вместо постоянной толщины II некоторую эффективную величину являющуюся, вообще говоря решением одномерного уравнения диффузии. В наиболее простой форме ¡1(ц можно записать в виде

Рассмотрен центральный срыв тока плазмы (плазма во время срыва но движется), длительность срыва т~20 мс.

Расчет показал, что большая часть наведенного тока (15МА) генерируется на задней стенке. Но во время спада юка плазмы ток на первой стенке имеет довольно заметный всплеск. Знакопеременная радиальная сила действует на внешнюю оболочку камеры: от -0.9 до +0.7 МП. Вертикальная сила, действующая на внутреннюю оболочку камеры, и заднюю стенку зависит от времени монотонно. Максимальная полная вертикальная сила на заднюю стенку бланкета — +1.1МН, а на внешнюю оболочку камеры — +5.9MII. Наибольшая полная вертикальная механическая сила действует на внешнюю оболочку камеры. Она определяется взаимодействием сильного тороидального поля с токами, наводящимися на верхнем патрубке. Этот патр>бок довольно толст (100 мм), и заметная часть тока затекает на патрубок. Вся оставшаяся часть внешней оболочки камеры дает заметно меньшую

l0A. Bossavit. "Eddy Currents and Forces in Part of a Tokamak Structure", Abstracts oi the 3rd International Workshop on Electromagnetic Forces and Related Effects nn Blaket, Capri, August 29-31, 1991, M-l.

полную вертикальную силу. На остальных оболочках тороидальный ток доминируй. Тогда вертикальная сила есть результат взаимодействия полоидальиого (ноля полоидальной системы и наведенных токов) поля и тороидального тока. Тороидальное поло порождает вертикальную силу во взаимодействии с нетороидальной компонентой тока, которая нолика лишь на верхнем патрубке.

Результату расчетов использованы для механического анализа вакуумной камеры ИТ-ЭР.

В §3.4 представлены результаты расчетов электромагнитных нагрузок на вакуумную камеру и основной (железно-водный) вариант конструкции защитною бланкета ИТЭР при срыве тока плазмы.

Был рассмотрен вариант конструкции железно-водного бланкета состоящий, из полного числа 2x24 канистр для внутреннего сегмента и 3x24 канистр для внешнего сегмента бланкета. В качестве расчетной области принята .1/48 часть тора. Геометрия вакуумной камеры соответствует варианту с жидкометаллическим бланкетом, а геометрия желеию-водного бланкета приводится на рис. 5б. Таким образом, расчетная область включает в себя один внутренний сегмент и внешних сегмента. Внутренний и внешний сегменты электрически изолированы друг от друга. Каждый сегмент состой! из электрически соединенных частей - первой стенки и защиты. Постоянная времени первой стенки г,*,„~5мс. Большое количество каналов охлаждения заметно снижает эффективную толщину первой стенки. Защита имеет r,¿,-n~200MC. Принято равномерное идеальное соединение канистр и сегментов по тороидальному обходу но защите (задней стенке). Первая стенка тороидального замыкания не имеет, но электрически соединена с защитой.

Рассмотрен центральный срыв тока плазмы (плазма во время срыва не движется), длительность срыва т=20 мс.

В железно-водном варианте бланкета первая стенка имеет высокую проводимость, но тороидальное замыкание осуществляется только по задней стенке. Это приводит к большим токам, текущим по ребрам о г первой стенки к защите. Они перпендикулярны тороидальному полю, так что на к каждой канистре приложены большие моменты сил, не дающие вклада в интегральную силу/Это хорошо видно из сравнения сил, действующих на 1 целый сегмент и сегмента. Максимальная сила может поменять знак и увеличиться более, чем на порядок для 1 j по сравнению со скомпенсированной силой, действующей на 1 целый сегмент. Полные силы знакопостоянны. Максимальная полная вертикальная сила на внутренний сегмент бланкета 1.6МН.

Таким образом, при тороидальном электрическом замыкании только по задней стенке (защите) при хорошей проводимости первой с тенки в железно-водном бланкете на первый взгляд у бланкета больше инерционность. Максимальная суммарная радиальная сила несколько (на 30%) меньше, а вертикальная заметно (в 20 раз) больше, чем для жидкоме-таллического бланкета. Зависимости от времени полных сил относительно монотонны -одинаковы для обеих конструкций бланкета.

«) б)

Рйс. 5: а) Использованная в расчетах геометрия вакуумной камеры и жидкометаллп чес кого бланкета; б) Использованная в расчетах геометрия железно-водного блалкега

В §3.5 обсуждаются результаты расчета электромагнитных сил на дииертор ЦТЗР.

Использованная п расчетах модель учитывает вакуумную камеру, бланке г (пе рв^'ю и заднюю стенки), 96 диверторных кассет и катушки систем полоидального и тороидального полей. Величина тороидального поля, геометрия катушек полоидального ноля, токи в катушках в момент времени окончания горения плазмы соответствуют материалам проекта ИТЭР. Вакуумная камера, задняя и первая стенки бланкета рассматривались как тонкие оболочки. Их полные электрические сопротивления согласно проекту раины 13.2мкОм, 14.2мкОм и 20мк0м соответственно. Все три оболочки однородно замкнуты электрически в тороидальном направлении. Влияние патрубков вакуумной камеры на диьертор ье учитывается. Расчетная сетка для 1/192 части тора приведена на рис.О а. Характерное I ре-мя диффузии магнитного поля в эти оболочки (скнчовое время) составляет около 7-Юме. Таким образом, в расчетах требуе]ся учитывать зависимость эффективной толщины оболочки от нремени.

Дивергорна* кассета моделировалась как коробчатая структура. Основно? тело дщ-ер-тора на 60% состоит из нержавеющей стали, а 40% составляет вода. Эффективная толщина с учетом коэффициента заполнения лежит в пределах 70-150мм в зависимости от поперечного сечения кассеты. Скиповое время тела кассеты — около Юме. Обращенные к плазме поверхности — медные толщиной 10мм (скиповое время См с). Рассмотрены два варианта замены трехмерного объекта коробчатой структурой. В первом варианте вся толщина тела кассеты сносится на донышко модели (70~150мм), а боковые стенки считаются тонкими (40мм).'Во втором варианте толщина кассеты снесена на боковые стенки модели (115мм), а донышко имеет толщину около 70мм. Рагсчитанные локальные нагрузки на кассету для двух расчетных моделей расходятся, но полные интегральные сил).! отличаются лишь на 15%. Вторая мотель лучше соответствует реальной кассете. Пропел,сны расчеты двух вариантов: центрального срыва тока плазмы и срыва с движением плазмы.

Наибольшая плотность вихревых токов имеет место в центральной части кассеты.

Нижняя часть бланкега экранирует внешнюю и внутреннюю части кассеты при срыве, а центральная часть принимает всю нагрузку на себя. Распределение вихревых токов в пассивных структурах приведено на рис. 66. Центральная часть кассеты, отличающаяся значительной концентрацией вихревых токов, подвергается практически тем же нагрузкам, что и находящаяся е области сильного тороидального поля внутренняя часть. Максимальное давление на кассету имеет месло в варианте срыва с движением и составляет 2МПа. Оно приложено к центральной части кассеты, а именно к поверхности, обращенной к плазме (к лайнеру). В обоих вариантах максимальная нагрузка на кассету имеет место в момент времени, соответствующий окончанию срыва.

Максимальная полная вертикальная сила, действующая на кассету в варианте срыва с движением — около 6.6МН. Однако расчеты показызают, что вертикальная сила, действующая на половину кассеты на порядок выше силы, приложенной кс всей кассете. Это свидетельствует о значительных величинах моментов сил, приложенных к кассете. Проведенный на основе изложенных данных прочностной анализ диьертора показал работоспособность предложенной конструкции дивертора.

а) б)

Рис. 6: а) Сетка 1/192 части тора, использованная для расчетов дивертора ИТЭР: показаны вакуумная камера, задняя и первая станки б л анкета и дм вер тор пая кассета; б) Распределение вихревых токов в камере, бланкете и диверторе при центральном срыве тока плазмы (сетка не показана); момент времени Юме, шаг изолиний 20кА

В §3.6 продемонстрированы результаты расчета резистквных потерь от вихревых токов в контакте сверхпроводящего кабеля центрального соленоида ИТЭР в режимах срыва 'тока плазмы, аварийного вывода тока из сверхпроводящей магнитной системы и в нэр-мальяом режиме разряда.

Сверхпроводящий центральный соленоид ИТЭР состоит из трех групп слоев намотки (грейдов). Греиды соединены между собой последовательно через контакты сверхпроводящего кабеля, выведенные наружу кз центрального соленоида. Сверхпроводящий кабель центрального соленоида представляет в сечении квадрат с длиной стороны равной 52мм. Скрутка сверхпроводящих жил диаметром 39мм находится в медной стабилизирующей матрице, которая в свою очередь заключена в тонкую оболочку из нержавеющей стали. Два сверхпроводящих кабеля подходят друг к другу в так называемой ферме сложенных для молитвы рук: Л. Длина собственно самого контакта — 400мм. Соединение кабелей осуще-

ствляется папкой. С целью предотвращения развития вихревых токов дальняя от паяного соединения половина медной матрицы проводника заменена на всей длине контакта апало-цд1чным по форме элементом, но изготовленным из высокорезнстпьного сплава СгпV?. На левой части рис. 7 приведена сетка торцевого сечения контакта сверхпроводящего кабеля вентрального соленоида ИТЭР.

Очевидно, что задача нахождения вихревых токов в контакте требует полностью трехмерной постановки задачи. С другой стороны ясно, что в силу независимости компонент поля В\] и подученные в результате мощности тепловыделения, аддитивны. То еп ь можно рассчитать по отдельности мощности тепловыделения от вихревых ток^в, порожденных различными компонентами поля, а затем их сложить арифметически. Далее, контакт был представлен адаиде набора пластин (тонких оболочек), расположенных перпендикулярно внешнему магнитному полю. И для каждой компоненты внешнего магнитного поля построена своя сеткТь контакта. Сетка для расчета тепловыделения от изменения параллельного внешнгго магнитного поля Яц приведена на рис. 7. Чтобы обеспечить выполнение условия т,к,п контакт был разбит па 60 одинаковых оболочек по его длине, расположенных одна за другой. Для каждой из таких оболочек (см. рис.7) условие т,кгг1 верно. Тол-

щины всех оболочек одинаковы и равны 400мм/С0^;б.С7мм. Характерное распределение вихревых токов в контакте при старте разряда показано на рис.7 справа.

Рис. 7: Конечпоэлементная сетка торцевого сечения контакта сверхпроводящего кабеля центрального соленоида (слева) и распределение вихревых токов, наводимых переменным магнитным полем, направленным вдоль контакта (справа)

При расче.те тепловыделения от изменяющейся перпендикулярной компоненты магнитного поля была рассмотрена совсем простая сетка, представляющая собой пластину, перпендикулярную внешнему полю с переменой толщиной, моделирующей реальную толщину хорошо проводящей (медной) части контакта. И данном случае условие малой толщины оболочки не выполняется строго и был использован описанный ранее метод учета зависимости от времени эффективной толщины оболочки.

Полная выделившаяся тепловая энергия в контакте в нормальном режиме — 2.88Дж, а при срыве тока плазмы — 13Дж. Анализ результатов расчета показывает, что для уменьшения энергии тепловыделения рекомендуется введение разрезов, перпендикулярных линиям вихревых токов и параллельных линиям транспортного тока, текущего через контакт. Например, можно рекомендовать разрез медной части кабеля плоскостью, проходящей че-

рез оси скрутки сверхпроводящих нитей. Рекомендуются также разрезы медной части кабеля, проводимые в плоскостями, перпендикулярными компоненте поля Необходимое число таких сечений зависит от требований, предъявляемых к системе охлаждения.

В заключении обсуждаются основные результаты диссертации.

На защиту выносятся

1. Инженерная методика оценки длительности срыва тока плазмы и токамаках с использованием глобальной (нульмерной) модели энергобаланса.

2 Методика нахождения полей квазистационарных токов в приближении тонких оболочек. Проведена

• постановка задачи,

• пространственная дискретизация полученного интегро-дифференциального уравнения,

• выбрана численная схема решения временной задачи,

3. Реализация методики в исполняемых кодах для компьютера средней производительности, достоверность которой подтверждена решением ряда тестовых задач.

4. Методика применения разработанного алгоритма к задачам, в которых условия применимости подхода тонких оболочек не выполняется строго.

5. Результаты решения практических задач анализа электромагнитных нагрузок и потерь от вихревых токов в ряде переходных режимов работы установок ИТЭР и TEXTOR.

Основные результаты работы можно сформулировать следующим образом.

1. Предложена методика оценки времени срыва тока плазмы в токамаке, которая позволяет достаточно просто и быстро сделать необходимые инженерные оценки. Методика тестирована на экспериментальных данных с установок TS и JET, и DI1I-D и демонстрирует точность, достаточную для последующих переходных электромагнитных расчетов.

2. С использованием предложенной методики сделана оценка длительности срыва тока плазмы в токамаке ИТЭР. Полученный для номинальной плотности разряда результат тсч %10мс согласуется с утвержденной в проекте ИТЭР величиной, но в режимах с плотностью плазмы 1.5 -1020м "3 длительность срыва можег упасть до rf, &5мс. Эта цифра вдвое меньше принятой вЭДТЭР проектной величины длительности срыва, и следовательно, нагрузки на конструкцию ИТЭР при срыве тока плазмы могут быть больше проектных для тс? = 10мс. Описанная методика была принята рабочей группой системы полоидальных полей ИТЭР и опубликована в финальном отчете этой группы по результатам эскизного проекта ИТЭР.

3. Разработан алгоритм нахождения полей квазистационарных токов в приближении тонких оболочек. Сформулирована задача с использованием электрического векторного потенциала, получено интегро-дифференциальное уравнение и проведена его дискретизация. Алгоритм подробно тестирован на задачах с аналитическими решениями и на результатах расчетов по другим программам. Продемонстрирована высокая эффективность алгоритма при приемлемой точности.

4. С использованием разработанного алгоритма проведен анализ переходных электромагнитных процессов в токам а к ах TEXTOR и ИТЭР.

(а) Проведен расчет электромагнитных нагрузок на вакуумную камеру установка TEXTOR для двух режимов срыва тока плазмы. Выбранное на основе расчетов распределение электромагнитных нагрузок на камеру было использовано для прочностного анализа вакуумной камеры TEXTOR.

(б) Проведен расчет резистивных потерь в механической структуре ИТЭР в нормальном (штатном) режиме разряда. Проведен анализ нескольких вариантов конструкции с целью снизить пиковую мощность и полную рассеянную энергию. Показано также, что работа системы управления положением плазмы может приводить к резистивным потерям в механической структуре, сравнимым с потерями в нормальном режиме работы установки. Результаты были использованы для анализа системы охлаждения механической структуры.

(в) Проведен расчет электромагнитных нагрузок на вакуумную камеру и основной (железно-водный) вариант конструкции бтаккета ИТЭР в режиме срыва тока плазмы. Аналогичный расчет проведен для бридингового (жидкометаллическо-го) варианта конструкции бланкета ИТЭР. Предложена модификация алгоритма для целей анализа бланкета ИТЭР. Проведено сравнение вариантов конструкции бланкета с точки зрения электрических соединений по обходу тора. Результаты расчетов были использованы для механического анализа вакуумной камеры и бланкега ИТЭР.

(г) Проведен анализ электромагнитных нагрузок на дивертор ИТЭР при срыв«3 тока плазмы. Рассмотрены два сценария срыва тока плазмы - с движением плазмы при срыве и без движения. Резулотаты расчетов использованы для механическою анализа дизертора.

(д) Проведен расчет резистивных потерь в контакте сверхпроводящего кабеля центрального соленоида ИТЭР в режимах срыва тока плазмы, аварийного вывода тока из сверхпроводящей магнитной системы к нормального (штатного) режима работы. Предложен метод использования для анализа трехмерных объемных областей оболочечного алгоритма. Исходная область разбивается на две различные конечноэлементные сетки для анализа вихревых токов в скрещенных переменных полях. Результаты расчета использованы для термогидравлического анализа работы криогенной системы охлаждения контакта.

БЛАГОДАРНОСТИ

Автор работы искренне благодарен

матери Кокотковой Марии Михайловне и жене Кокотковой Наталии Николаевне за настойчивость в вопросе о защите диссертации,

научному руководителю Филатову Олегу Геннадиевичу за внимание л поддержку не только диссертации, но и всех работ по математическому моделированию,

Сычёзскому Сергею Евгеньевичу за постоянную помощь и^поддержку на протяжении всего периода работы над диссертацией, а также за настойчивость в вопросе о ее защите, Дойникову Николаю Ивановичу за тактичное руководство, постоянное внимание и поддержку,

Белякову Валерию Аркадьевичу за большую поддержку работам по вихревым токам, в особенности на этапе ее становления,

Лстапковичу Александру Михайловичу, Белову Александру Вячеславовичу, Кухтину Владимиру Петровичу, Дуку Алексею Евгеньевичу, Ламзину Евгению Анатольевичу, Ко-тову Виктору Леонтьевичу, Минееву Анатолию Борисовичу, Беляковой Татьяне Федоровне, Бондарчуку Эдуарду Николаевичу, за плодотворное сотрудничество и помощь в работе.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [1 - 31).

1. Астапкович A.M., Кокотков В.В., Минеев А.Б. Модель энерюб.ишнса плазмы в то-камаках. Препринт IIИilЭФА Г1-Б-0837, М., ЦПИИАтомннформ, 19S9.

2. Астапкович A.M., Кокотков В.В., Минеев А.Б. О сценарии режима предельных параметре^ плаши (qnb-режнм). Препринт НИИЭФА П-Б-0?Зб, М.» ЦП И11 Атоминформ,

19S9.

3. Кокотков В.В., Мииеев А.Б. Каазводномериая модель энергобаланса плазмы н тока-маках с зажиганием. Препринт ПИИОФА П-Б-0.Х31, М., ЦПИИАтоминформ, 1990.

•I. Kokotkov V.V., Mineev А.В. Some remarks on ITER Poloidal System Scenario, Preprint ITEIML-PF-3-0-12.

5. Astapkovich A.M., Kokotkov V.V., Mineev A.B. The Energy Balance During Thermal and Current Quench Pha^s. Preprint ITEIUL-PF-S-O 10.

fi. Astapkovich A.M., Kokotkov V.V., Mineev A.B. VDE: How to Formulate the Problem. Preprint ITKR-IL-PH-8-0-18.

7. Кокоткой В.В., Минеев А.Б. О выборе рабочей точки и режима горения плашы ITER. Тезисы докл. 5-ой Всесоюзной конф. по инженерным проблемам термоядерных реакторов, Ленинград, 10-12 окг. 1990, CTp.lbS.

8. Astapkovich A.M., Kokotkov V.V., Mineev A.B. Estimation of the Major Disruption Time by Energy Approach. 18th European Conference on Controlled Fusion and Plasma Physics, Berlin, 1991. A-127, v.II, pp.S5-S7.

9. Андрианов О.Л.. Астапкович A.M.,... Кокотков В.В. и др. Экспериментальная термоядерная установка 'Г-10С (реконструкция установки Т-10). Вопросы аюмной пауки и 1ехн»1кп. Сер. крмоядерный синтез, вып.2, 1991. <.3-7.

30. Астапкович A.M., Кокотков В.В., Минеев А.Б. Оценка характерного времени срыва гска плазмы в токамаках с помощью энергетического подхода. Вопросы атомной и <i у к и и техники. Сер. термоядерный синтез, вып.4, 1991, с.10-17.

11. Дойников П.И., Кокотков В.В., Кухгин В.П., Ламзин Е.А., Симаков А.С., С'ычеи-ский С.Е. Численное моделирование квазистационарных электром.и иитных полей в приближении оболочек. Труды международного совещания но программированию и математическим меюдам, Дубна 14-19 июня 1993г. Объединенный институт ядерных исследований, Р11-0-1-100, Дубна, 1991, с. 17-21. '

12. А.В.Белов, В.В.Кокотков, В.П.Кухтнн, С.Е.Сычевский. Библиотека программных модулей для расчета магнитного поля элементов кольцевых катушек. Препринт НИ-ИЭФА Л-0930, Москва, ЦНИИАтоминформ, 1994.

13. A.V. Belov, N.I. Doinikov, А.Е. Duke, V.V. Kokotkov, V.P. Kukhtin, S.E.Sytchevsky. TYPHOON Code for 3-D Eddy Currents Simulation in Conducting Thin Shelis. Proceedings of the Fourth European Particle Accelerators Conference (EPAC'94), London, 27 June - 1 July 1994. v.2, pp. 1324-1326.

14. Белов A.B., Дойников Н.И., Дук A.E., Кокотков В.В., Кухтин В.П., С'ычевский С.Ё. Новый комплекс программ TYPHOON для трехмерного моделирования вихревых токов з проводящих оболочках. Аннотации докладов XIV совещания по ускорителям заряженных частиц. Институт физики высоких энергий, Протвино 25-27 октября 1994, Протвино, 1994, стр.107.

15. A.V. Belov, N.I. Doinikov, А.Е. Duke, V.V. Kokotkov, M.D. Koroikov, V.L. Kotov, V.P. Kukhtin, E.A. Lamzin, S.E. Sytchevsky. TYPHOON Code for 3-D Eddy Currents Simulation in Conducting Thin Shells. Proceeding» of the 1995 URSI International Symthosium on Electromagnetic Theory, St.-Petersburg, Russia, May 23-26, 1995, pp.5557.

16. A.E. Duke, V.V. Kokotkov, V.P. Kukhtin, E.A. Lamzin. S.E. Satil, S.E. Sytchevsky, V.N. Vasiliev, M.V.Zhelamsky. Coupled Electromagnetic and Thermohydraulic Analysis of the Superconducting Cable Joint by Use ofthe Finite Element Method Abstracts of the International Conference on Optimization of Finite Element Approximation?, June 25-29, 1995, St.-Petersburg, Russia, p.107. .

17. H. Bohn, B. Giesen, A. Belov, N. Berkhov, E.'Bondarchuk, N. Doinikov, A. Duke, V.V. Kokotkov et. al. Mechanical Forces .Simulation and Stress Analysis of the TEXTOR Vacuum Vessel during Plasma Disruption under 3d Eddy Currents Load. IEEE Transactions on Magnetics, v.32, No.4, Part I, pp.3004-3007.

18. A.V. Belov, A.E. Duke, N.I. Doinikov, V.V. Kokotkov et. al. Transient Electromagnetic Analysistin Tokamaks Using TYPHOON Code. Fusion Engineering and Design, v.31 (1-996), pp.167-180.