Моделирование переноса нейтрино в сверхновых звездах на основе кинетического уравнения с интегралом столкновений Юлинга-Уленбека тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

РГ6 о л

/ 3 МАЯ 1293

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК ИНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЙ МАТЕМАТИКИ имени М. В. Келдыиа

на правах рукописи

СУСЛИН Виктор Михайлович

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРЕНОСА НЕИТРИНО В СВЕРХНОВЫХ ЗВЕЗДАХ НА ОСНОВЕ КИНЕТИЧЕСКОГО УРАВНЕНИЯ С ИНТЕГРАЛОМ СТОЛКНОВЕНИИ ЮЛИНГА-УЛЕНБЕКА

Специальность 01.01.03 - математическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1993

Работа выполнена в Институте прикладной математики им. М. В.Келдьша РАН. Научные руководители : доктор физико-математических наук

Чечеткин В. М.

кандидат физико-матехгатических наук Чуянов В. А.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук

Майоров Л. В.

доктор физико-математических наук Повещенко Ю. А.

Ведущая организация - Институт ядерных исследований РАН СМосква).

Защита состоится " " 1993г.

в " " часов на заседании специализированного совета № Д 002.40.03 при Институте прикладной математики им. М.В.Келдьша РАН

по адресу:

123047. Москва-47. Миусская пл. 4. С диссертацией мохно ознакомиться в библиотеке Института прикладной математики им М.В.Келдьша РАН.

Автореферат разослан " СИ^З^/Гл 1933г.

Ученьй секретарь (• ('('/{ / М. П. Галанин/

специализированного совета кандидат физ. -мат. наук

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы. Исследование эволюции многих систем в физике, астрофизике, биологии и т.д., для получения адекватных результатов требует применения кинетического подхода при котором поведение системы моделируется одним или несколькими кинетическими уравнениями. Одним из таких уравнений является кинетическое уравнение Юлинга-Уленбека. Отличительной чертой этого уравнения является то, что оно описывает эффекты статистики в системах, состоящих из тождественных частиц Собъектов}, что позволяет учитывать коллективные явления, связанные с этими эффектами.

Это уравнение, впервые предложенное в работе Юлинга и Уленбека С1933 г.) и затем полученное из цепочки ББГКИ Боголюбовьм и Гуровьм С 1949г.3. долгое время оставалось фактически невостребованным. Однако в последнее время в ряде областей С перенос нейтрино в сверхновых звездах, физика конденсированных сред, реыеточныэ газы, эволюция биологических сообществ) появились работы, в которых в той или иной форме использовалось уравнение Юлинга-Уленбека. В связи с этим приобретают актуальность исследование свойств Св том числе проблема существования и единственности решения} этого уравнения, а также разработка методик его решения.

Эти исследования эффективнее проводить используя в качестве примера некоторую конкретную систему, что позволяет ввести естественные классы функций, в которых будет искаться решение, а также выявить "физически" естественны» требования, необходимые для существования и единственности решения, которш должны удовлетворять входящие в уравнение параметры. В качестве такого примера была выбрана задача описания переноса нейтрино в сколлапсировавших

ядрах сверхновых звезд, поскольку, по-видимому, именно в этой области кинетическое уравнение Юлинга-Уленбека впервые было широко применено при описании эволюции конкретной системы. Адекватное описание переноса нейтрино в сколлапсироваваих ядрах сверхновых звезд в настоящее время само является актуальной проблемой, в связи с развертыванием сети нейтринных обсерваторий для регистрации потоков нейтрино от таких объектов. Находящиеся на дежурстве в США. Японии. Италии. России нейтринные обсерватории способны регистрировать мощные импульсы антинейтрино (нейтрино) с энергией порядка 10 - 100 Мэв. . (Возможность этого продемонстрировал взрыв сверхновой 1987 г. в Большом Магеллановом облаке.) Уточнение энергетических и временных параметров таких импульсов позволяет подстраивать экспериментальные установки под ожидаемыэ характеристики импульсов. С другой стороны, совладение параметров расчитанных и регистрируемых импульсов может служить весомьм подтверждением правильности рассматриваемых моделей коллапса. Входящее в сценарии взрыва и коллапса в виде составной части описание эволюции нейтринного распределения непрерывно развивается. и условно можно выделить следу ваше стадии этого развития: описание на уровне оценок, диффузионный уровень описания и прямое моделирование (методы Монте-КарлоЭ, кинетический уровень описания. Описания на уровне оценок проводились в 50-60е годы, так как отсутствовал математический аппарат, адаптирований к данным задачам, и необходимые для сложных вычислений мощные ЭВМ. Следущим этапом можно считать учет переноса нейтрино в двух предельных случаях: очень малой и очень большой оптической толщи. В случае малой оптической толши эффективно работает метод

Монте-Карло. В случае большой оптической толши - диффузионное приближение. Сшивке этих двух методов расчета переноса, применяемых в противоположных условиях препятствует, в частности, то, что фотосферой для нейтрино Ст. е. область», где оптическая толща порядка единицы) является не сферический слой в физическом пространстве, а некоторьй слой в фазовом пространстве. Наиболее просто и эффективно диффузионное приближение применяется в случае, когда в каждой точке физического пространства известен энергетический спектр нейтрино С практически эта ситуация возникает лишь при равновесном спектре) . Тогда можно ограничиться рассмотрением уравнений диффузии для плотности числа частиц и температуры. Если энергетический спектр априори не известен, то диффузионное приближение используют для функции распределения на некоторой сетке по энергии. Следует отметить, что уравнение диффузии хорошо описывает лимь те процессы, в которых кроме условия сильной непрозрачности среды выполняются условия малости пространственных градиентов и производных по времени. Если эти требования не удовлетворяются, то распределение, полученное на основе уравнения диффузии, может существенно отличаться от реального. Поэтому при желании получить более строгие результаты следует описьвать перенос на основе кинетических уравнений. В случае сильного заполнения некоторых областей фазового пространства требуется учитьвать принцип запрета Паули и, следовательно, использовать в кинетическом уравнении не интеграл столкновений Больцмана. а интеграл столкновений Юпинга-Уленбека. Уравнение, описывающее перенос, столкновения, содержащее источники и стоки, и учитывавшее при этом эффекты статистики, можно представить в следующем виде:

Здесь / = О - функция распределения частиц в фазовом пространстве в момент времени скорость; слагаешлэ в правой части представляют, соответственно, интеграл столкновений, источник, сток. Скорость 7 представим в виде = О \ГСр), где О - единичньй вектор из Р2; у(р) = с длк безмассовых частиц С с -скорость света 3; для частиц с ненулевой массой у(рЭ - монотонно возраставшая функция р, отображающая интервал СО,») в интервал (О,с). Интеграл столкновений из правой части уравнения можно записать в следующем виде :

СВеличина $ <Ф3<#4 имеет смысл вероятности перехода. Исследовалось более общее уравнение:

л л

Для рассматриваемой задачи а и р есть нелинейные операторы, определяемые следующими формулами:

а 2 + |б?2|<#3|с!?4 ИС/;р.ра.р3.рвМ1-/аЭ/а/4

р/ - У ♦ |б?2|б?3|б!?4 ИС/;р.Рг.Р3.Р4М1-^С1-/4)/г

При рассеянии на "фоне" с заданной функцией распределения а и 0 -линейныэ операторы.

Целью данной работы является моделирование эволюции нейтринного распределения Св частности, переноса) в сколлапсировавшем ядре сверхновой звезды на основе приведенного вше уравнения Сна начальном этапе), а также выявление условий существования реиений этого уравнения и доказательство соответствуютх теорем.

Научная новизна и практическая ценность.

Доказаны несколько теорем существования и единственности для кинетического уравнения Шинга-Уленбека при физически естественных ограничениях, накладываемых на входящие в уравнение величины. При доказательстве в основном использовался метод последовательных приближений, что позволяет использовать результаты теорем при практическом построении реаений. Для однородного случая доказана сходимость решения сеточного аналога уравнения к реаенип исходного уравнения при сгущении сетки. Получены оценки сходимости приближенного решения к точному

Предложена методика численного решения системы уравнений, описывавшей эволсцио нейтринного распределения, адаптированная к рассматриваемой задаче и позволякдая эффективно провести численное

моделирование.

Проведено численное моделирование зволвцви нейтринной и других компонент, составлявших ядро сколлапсировавшей звезды, для' однородного, изотропного случая и для двух вариантов сферически-симметричной системы, различавшихся видом распределения плотности вещества в ядре звезды. Полученные результаты численного моделирования позволили определить как параметры спектров излучаемых нейтрино Се сами спектры) на начальном этапе излучения . так в параметры вещества в ядре звезды в процессе эволюции. Полученкыэ на основе кинетического подхода и,следовательно, без предположения о равновесии нейтринного распределения спектры нейтрино могут быть использованы для прогнозирования параметров потоков нейтрино от реальных сверхновых звезд.

Апробация работы.

Материалы диссертации докладывались на семинарах по кинетическим уравнениям ИПМ им. М.В. Келдша, на семинарах ИТЭФ и ШЛ ; на пятой Всесоюзной юколе "Частицы и космология" СБаксанская нейтринная обсерватория, СССР, май 1989г.) и на первом Международном симпозиуме "Численные методы решения уравнения переноса" (Москва. Россия, июнь 1992г.)

По материалам диссертации опубликовано 8 работ.

Структура и объем диссертации.

Диссертация состоит из введения, четьрех глав, заключения, списка цитированной литературы из 51 наименования и приложения. Объем диссертации, включая оглавление. 134 страницы.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Во введении кратко описаны история возникновения задачи, современное состояние экспериментальной базы регистрации нейтринного излучения, дан краткий обзор работ, посвященных описанию коллапса и нейтринного излучения, и некоторых работ по кинетическому уравнению Юпинга-Уленбека. Обсуждается актуальность, формулируются цели работы, описывается распределение материала по главам.

В первой главе С § 13 кратко описаны общие черты различных сценариев коллапса и подробнее - сценарий, на основе которого строилась модель, используемая в диссертации. Кроме того, з § 2 приведена система уравнений, которая являлась математической моделью для исследуемых физических процессов. Проведено обезраз-меривание системы с использованием значений физических параметров наиболее характерных для рассмотренных вариантов.

Вторая глава посьящена исследованию кинетического уравнения с интегралом столкновений Юпинга-Уленбека. которое является ключевьи уравнением в системе уравнений, определяющей математическую модель. В первом параграфе дано краткое описание интеграла столкновения Юпинга-Уленбека. введены пространства, необходим« для дальнейшей работы, сделан переход от задачи Коаи к интегральному уравнении.

В § 2 приведено несколько теорем существования и единственности для исследуемого интегрального уравнения. При доказательстве теорем 2,3 использовались свойства производной Фреше интегрального уравнения. При доказательстве теоремы 4 ключевую роль играет требование Липшиц- непрерывности вводимых вспомогательных операторов а и 0 . В этом параграфе приведены такте примеры

ситуаций, в которых работают сфориулированныэ теоремы.

В § 3 сделано сопоставление условий существований решений для интегрального уравнения и исходной задачи Коти. Кроме того, в этом параграфе приведена еще одна теорема Стеорема 5) существования для интегрального уравнения, доказательство которой базируется на принципе Шаулера.

В § 4 рассмотрено кинетическое уравнение для однородною изотропного случая. Построены сеточныэ аналога уравнения, доказана сходимость последовательности решений сеточных аналогов уравнения к решению уравнения. Этим способом доказаны теоремы существования для нестационарного (теоремы 6.7,83 и стационарного (теорема 3) случаев.

В третьей главе описаны переход от системы интегро-дифференциальных уравнений к системе разностных уравнений и, кратко, методика счета. В § 1 проведена дискретизация по времени и разложение функции распределения по полиномам Лежандра от угловых переменных. Приведена система уравнений для двух первых членов разложения.

Во втором параграфе приводится метод последовательных приближений решения системы уравнений и показывается его сходимость. Рассмотрен также случай аппроксимации нулевого момента ступенькой Ферми, представлены уравнения, описывающие данную ситуацию.

В третьем параграфе проводится дискретизация системы уравнений по пространственной и энергетической переменньм; обсуждаются сложности, возникающие в связи с жесткостью задачи, и пути их преодоления.

и

В четвертом параграфе кратко описаны численные модели с помощью которых решалось кинетическое уравнение в однородном, изотропном случае.

В четвертой главе обсуждаются результаты конкретных расчетов. В первом параграфе - для однородного, изотропного случая с моделированием эффекта переноса.

Во втором и третьем параграфах - для неоднородного случая соответственно с более и менее плотной центральной частью звезды. В четвертом параграфе дается сравнительна анализ результатов данной и других работ посвященных рассмотренной тематике.

Приложение состоит из 46 графиков, иллюстрирующих результаты расчетов, комментария к ним. а также таблицы ослабления нейтринного потока для некоторого' набора астрономических объектов. В заключении приведены основньв результаты диссертации.

На защиту выносятся следующие основные результаты диссертации:

1. Математическая модель начальной стадии эволюции системы нейтрино- вещество в ядре сколлалсировавшей сверхновой звезды. Математическая модель позволяет адекватно описать рассматриваемую физическую задачу и получить искомые величины с требуемой точностью.

2. Исследование свойств кинетических уравнений с интегралом столкновений Юпинга-Уленбека.

2.1 Получено интегральное представление неоднородного кинетического уравнения с интегралом столкновений Илинга- Уленбека. удобное для исследования; выбран класс функций, являющийся "естественным" для рассмотренного набора задач.

2.2 Для интегрального представления неоднородного кинетического уравнения с интегралом столкновений Юлинга-Уленбека доказано несколько теорем существования и единственности решения в выбранном классе функций.

2.3 Установлены условия применимости теорем существования к исходной форме кинетического уравнения.

2.4 Указана возможность использования метода последовательных приближений для получения численного решения.

2.5 Построены последовательности сеточных функция (иа сетке по времени) . позволяющие находить приближенное решение однородного кинетического уравнения.

2.6 Показана сходимость последовательности сеточных функций к решению кинетического уравнения при соответствующем выборе способа интерполяции для определения значений функции распределения между узлами сетки. Существование и единственность решения доказаны для случаев:

а) монотонности входящих в интеграл столкновений операторов а, р.

б) лигтаиц-непрерывности этих операторов.

2.7 Исследованы свойства монотонности решения как функции времени.

2.8 Доказана теорема существования решения стационарного уравнения для случая монотонных операторов а, р..

2-9 Показана сходимость решения нестационарного уравнения к решению стационарного уравнения.

2.10 Исследованы свойства монотонности стационарного решения при монотонном изменении параметров.

3. Серьезной проблемой являлась разработка методики численного решения полученной системы уравнений, которая Сметодика) была бы достаточно адаптирована к решению конкретных задач. Отметим здесь следующие результаты.

3.1 Подложена методика упрощения первоначального кинетического уравнения, сохраняющая основные его свойства, в которой можно выделить следующие элементы: переход к интегральному уравнению путем интегрирования первоначального уравнения по характеристикам, замена интеграла квадратурной формулой, разложение функции распределения и ядер в интеграле столкновений в ряд по присоединенные полиномам Лежандра от угловых переменных, обрыв полученной системы уравнений.

3.2 Предложена и реализована методика упрощения системы уравнений для случая близости функции распределения к равновесию.

3.3 При моделировании переноса получена квадратурная формула, сохраняющая (глобально) число частиц и энергию.

3.4 Предложен и реализован алгоритм вычислений существенно "смягчающий" исходную "жесткость" задачи, связанную с большим разбросом характерных времен процессов и значений физических параметров в фазовом пространстве.

4. На основе разработанной методики проведено численное моделирование поведения нейтринного распределения в ядре сколлапсировавшей звезды, в результате чего получены интересующие нас распределения внутри звезды и спектры излучаемых звездой нейтрино. Результаты расчетов обработаны и представлены в виде, удобном для использования, и также вьиосятся на защиту.

Материал и результаты настоящей диссертации опубликованы в работах:

1. В. М.Суслин, М.Ю.Хлопов, В. М. Чечеткин, В.А. Чуянов. "Функция распределения нейтрино в вьрожденном веществе кол-лапсируших ядер звезд." Препринт » 39 ИПМ АН СССР за 1982г.

2. В.М.Суслин.М.Ю.Хлопов "Нелинейное уравнение переноса нейтрино в неоднородной среде с релятивистским вцэождением электронов." Препринт * 109 ИПМ АН СССР за 1986г.

3. В.М. Суслин. " 0 разрешимости задачи Коши для однородного кинетического уравнения с интегралом столкновений Юпинга-Уленбека." Препринт К> 38 ИПМ АН СССР за 1986г.

4. В.М.Суслин, М.Ю.Хлопов, В.М.Чечеткин, В.А.Чуянов. "Математическая модель эволюции нейтринного распределения в сверхновой звезде." Препринт № 32 ИПМ АН СССР за 1988г.

5. В.М. Суслин, "Математическая модель эволюции нейтринного распределения в сверхновой звезде. Численная реализация." Препринт № 161 ИПМ АН СССР за 1988г.

6. В.М. Суслин, Теоремы существования и единственности для неоднородного кинетического уравнения с интегралом столкновений Юпинга-Уленбека. ССлучай статистики Ферми-Дирака.) Препринт * 56 ИПМ АН СССР за 1989 г.

7. В.М.Суслин, М.Ю.Хлопов, В.М.Чечеткин, В.А.Чуянов. "Характеристики нейтринного излучения при коллапсе ядер сверхновых с малой начальной энтропией. Начальньй этап." Сборник трудов пятой школы "Частицы и космология".

8. В.М.Суслин "Теоремы существования для кинетических уравнений с интегралом столкновений Юпинга-Уленбека." ДАН, т.328, № 5, 1593. СВ печати, основные результаты изложены в работах 3,6. Э