Моделирование процессов пьезо- и теплопроводности в бинарных средах во взаимосвязи с задачами теории колебаний тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ИНСТИТУТ ПРОЕДЕМ МЕХАНИКИ АН СССР

На правах рукописи

ВОЛКОВ Игорь Андреевич

УДК 534.1+532.546

МОДЕЛИРОВАНИЕ РОЦЕССОВ ПЬЕЗО- И ТЕШОПРОВОдаСТИ В ШНАРЙНХ СРЕДА! ВО ВЗАИМОСВЯЗИ С ЗАДАЧАМИ ТЕОРИИ КОЛЕБАНИЙ

Специальности:

01.02.05 - механике жидкостей, газа и плазмы 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора '!.из/кочиатемв?ических наук

Москва - ¿ЫЛ

Работа выполнена во Всесоюзном нефтяном научно-исследовательском геологоразведочном институте (ВЕМГРИ)

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н. Васильев Д.Г.

д. т.н., профессор лелтов jj.II. д.ф.-ы.н., профессор лял;ш U.A. д.ф.-м.н., профессор Чудов Л.А.

Ведущее предприятие: Институт теплофизики СО АН СССГ

Защита состоится_IS90 г.

на заседании специализированного совета Д OGÜ.87.CI по защите диссертаций на соискание учёной степени доктора наук при Институте проблем механики АН СССР по адресу: 1175^6 Москва, проспект Вернадского, IUI.

С диссертацией мо:шо ознакомиться в библиотеке института Автореферат разослан

Учёный секретарь специализированного совета

кандидат физико-математических наук А.И.Меняйлов

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность тематики. Многие раэновид -гости нестационарных процессов переноса; теплопроводности б твердом теле, диффузии к упругого реяима фильтрации (пьезопроводностд) 1 пористой среде, некоторые электромагнитные процессы и ряд лру-'их описывается однотипными уравнениями в частных производных, менуемыми либо уравнением теплопроводности безотносительно к фи-яческой природе рассматриваемого явления, либо с указанием физи-;и процесса - уравнениями диффузии, пьезопр овода ости и т.п.

Уравнения данного типа выводятся в предположении гомогеннос-и среды протекания.процесса. В то же время многие природные и ■ехиодогические среды является гетерогенными, представлявшими со->ой различного рода смеси и композиции двух или нескольких гомо -•енных составлявши с различными физическими свойствами. Исполь-ювание для подобных сред уравнения теплопроводности с "осреднен-ыми" коэффициентами в общем случае не мовет быть сколь-либо трого обосновано, а при резко отличающихся по физическим пара -гетрам ссставляЕЕЛх чревато, как показало сопоставление опытных 'ашш* с расчетными, ошибками качественного характера. -Возникла еобходимость в специальных исследованиях процессов нестационар • ¡ого переноса в гетерогенных средах.

Наиболее естественным началом таких исследований могли бы ¡тать репения задач переноса в составных средах в классической [остановке, когда искомая функция отвечает уравнениям теплопро ~ ¡односта на участках гомогенности и условиям согласования ( чет •» >ертого рода «» по функции и потоку) на поверхностях контакта со -:тавлякиих. Однако решение подобных задач даке для сред с прос » 'ейиеИ периодической структурой сопряжено с большими трудностями. С тому же строение реальных гетерогенных сред нерегулярно и, как [равилс, не мо1ет быть детально определено. В этих условиях клас-:ическиК подход к проблеме казался неперспективным н разработка :еории нестационарных процессов переноса в гетерогенных средах юила по пути их зоделирования с использованием дополнительных чшотез феноменологического характера или, как сейчас принято го-зорить, на физическом уровне строгости.

Были предложены две модели. Одна из них, первоначально ис • юльзованная Л.И.Рубинштейном применительно к процессам тепло «• фоводностя в конгломератах, получила дальнейшее развитие в ра»

)

ботах Г.И.Баренблатта, Ю.П.1елтова, И.Н.Кочиной в актуальном дл° нефтяной промышленности приложении к теории упругого реки-ма фильтрации в трещиновато-пористых средах. Вторая феноыено -логическая модель в том же приложение была предложена автором и защищена им в кандидатской диссертации.

Данные модели, являясь до последнего времени единственным и общепринятым средством изучения рассматриваемых процессов, позволили установить многие их свойства. Вместе с тем, со врем нем выявился и ряд негативных сторон моделей * ограниченность -их применимости при неопределенности способов обобщения, спе » цкфика некоторых свойств, не согласующаяся с физикой процессов рассматриваемого типа и т.п. Более того, апробация моделей на контрольных примерах в классической постановке приводит к про тиворечиям, не устранимым в рамках феноменологических п ос трое ний.

Целью диссертационной работы является создание внут ренне непротиворечивой модели нестационарных процессов перенос в бинарной среде на базе точных ревений задач в классической постановке для структурной модели среды. Иными словами, пред принимается попытка моделирования процесса исключительно за счет моделирования структуры среды без каких-либо допоюитель ны* гипотез относительно свойств самого процесса.

Предстояло выбрать модель среды, способную отразить ochoí нус специфику процесса, разработать методы реюения задач тепле проводности для бинарных сред, получить ревения i на их основе попытаться остановить континуальные уравнения переноса. При этом задача осложнялась требованием, чтобы искомые уравнения имели достаточно простой вид, без чего намеченная программа в< многом теряла бы свои ценность. В эти? условиях надеяться на успех можно было только при удачном выборе модели и матемагич< ких средств исследования. Интуитивно было очевидным и обратно! простота модели в сочетании с удачно выбранными методами долж! были привести и к простым итоговым уравнениям переноса.

Научная новизна работы:. Отсутсшн« в лете ратуре каких-либо точных решений задач теплопроводности для, г терогенных epej подсказывало, что математические методы долж носить нестандартный характер. При ретроспективном взгляде ст новится очевидной оптимальность найденного подхода к решению поставленной задачр в целом через установленные автором свя

[ежду процессами теплопроводности, случайного блуждания и ко » [ебания для сред и систем с подобной структурой. Эти зависи » (ости позволили упростить решение многих задач, дать ряд фи » шчески ясных интерпретация, полезных для контроля и осмысли ->ания формально полученных результатов, а главное » определять ia отдельных этапах исследования направления поиска, не оче -)идные под иным углом зрения.

другим узловым этапом в выполнении намеченной программы шилось построение решений задач волнового rana в непрерывных г дискретных переменных, а вместе с тем (в силу отмеченных patee связей) и первых точных решений задач переноса в бинарных :редах. Установленные автором новые рекуррентные соотношения ■ 1ля классических ортогональных многочленов Кравчука, Чебыиева->рмита и некоторых других специальных функций позволили полу» гить решения в простои аналитическом виде, установить их пре-1ельные представления, соответствующие последним уравнения и ¡труктуру среды » континуальные аналоги исходных., Примечатель-10, что полученные уравнения нестационарного переноса в пре » [ельных случаях согласуются с соответствующими феноменологи -шскими уравнениями, выгодно отличаясь от них сочетанием общ — гости, непротиворечивости и простоты, стандартностью (для про» leccoB рассматриваемого типа) постановок задач и свойств их ре-вений, а такие "физической замкнутостью" » определенностью вы» ¡ажения коэффициентов уравнения через значения физических па» >аметров составляющих сред.

На базе доказанных зависимостей мехду решениями задач ко» 1ебаний и нестационарного переноса установлены специфические ;войства последних, в том числе получены автомодельные решения : нестандартной комбинацией независимых переменных. Впервые доведенное исследование одного процесса в многосторонней ор » панической связи с другим, отличным от исходного не только физической природой, но и математическим типом соответствующих уравнений, позволяет сформулировать развиваемое новое научное управление в совпадающем с названием работы виде.

умеетво отметить, что значение многих результатов работы выходит за рамки вспомогательных средств при исследовании процессов тепло» и массопереноса и может рассматриваться явтоном» ю в теории колебаний и некоторых иных приложениях. Так, впервые., несмотря на классический характер вопроса, получены уравнения распространения возмущений (прогибов и количеств движе -

ния) для струнных сеток. Найдены их решения, имеющие удобный для анализа вид и как функции Грина обладающие определенной фундаментальностью - на их основе могут быть построены репенкя других краевых задач. В качестве примера назовем излиную функцию влияния сосредоточенного импульса для сетки с ромбическими ячейками, выражающуюся просто квадратом нормированных много -членов Кравчука.

На основе предельных представлений точных решений для сет> ки, образованной двумя системами струн, установлена структура ее континуального аналога. Проведено сопоставление с результа • тами континуализации, осуществляемой на физическом уровне стро> гости. Показано, что распространенный прием "размазывания"» подмены дискретно распределенной величины непрерывной - в итог приводит к усложнению уравнений в сравнении с тестовыми.

Два результата работы представляются небезинтересными с точки зрения теоретической физики. Во-первых, определена струю тура волновых систем, колебания которых отвечают уравнениям теплопроводности, случайного блуждания и сопряженным уравнения (с обращенным временем). Во-вторых, подучено решение одной из волновых задач, выражаемое через квадраты функций Чебышева- Эр мита, что согласуется с решением уравнения Шредингера для кван тового осциллятора в физически интерпретируемом виде. На той к основе построена функция, с точностью до обозначений совпадаю пая с распределением вероятностей для квантовостатистического осциллятора,

В теории классических ортогональных многочленов и прилояе ниях должен представить интерес новый тип рекуррентных соотно шений для квадратов функций Чебыиева- Зрмита к квадратов норми рованных многочленов дискретной переменной Кравчука. Убеаден ность в этом обусловлена простотой и высокой степенью сиыметри зтсх соотношений относительно аргументов.

Разноплановость результатов, порченных на одной и той х бинарной модели, свидетельствуют о ее физичности - удачно отра женноИ специфике, единой для целого ряда явлений. При этой ра бота, затрагивающая вопросы тепло» и массопереноса, случайного блуждания и колебаний, квантовой механики и математики, може рассматриваться как междисциплинарное исследование, перспекти! ность которых в настоящее время общепризнана, что и зафиксиро вано в новой редакции Программы КПСС.

Основные защищаемые положения:

1. Новая модель нестационарных процессов тепло- и массо-переноса в бинарной среде, базирующаяся исключительно на моделировании структуры среда.

2. Точные аналитические решения задач переноса для модели бинарной среды в классической постановке.

3. Двучленные континуальные уравнения переноса в бинарной

среде.

4. Точные аналитические решения краевых задач для конти -нуальных уравнения переноса. Решение обратной задачи теории пьезопроводности.

5. Зависимость между решениями задач теплопроводности и колебания для пред и систем с подобной структурой.

6. Парные зависимости между решениями задач теплопроводности, случайного блуждания и колебаний для областей сеточного типа.

7. Вторая форма связи между процессами волнового и диффузионного типов: колебания механических систем, отвечающие ура « внениям теплопроводности, случайного блуждания и сопряженным уравнениям ( с обращенным временем).

8. Уравнения распространения возмущений (прогибов и количеств движения) для струнных систем, их частные разновидности и континуальные аналоги.

9. Точные аналитические решения волновых задач для струнных систем и их континуализация на базе предельных представле -

нии.

10. Математический формализм, приводящий к дискретному и непрерывному аналогам квантового гармонического осциллятора.

11. Новые рекуррентные соотношения для классических ортогональных многочленов Кравчука и Чебышева-Эрмита.

Практическая ценность работы, носящей в основном теоретический характер, состоит в ее прикладной направлен -ности - создании единой, непротиворечивой и к тому же наиболее простой из существующих основы для расчетов нестационарных процессов тепло» и массопереноса в бинарных гетерогенных средах. Получены решения конкретных задач, иллюстрирующих специфику явления, установлены ранее не известные особенности исследуемых процессов. При решении т.н. обратной задачи теории упругого режима фильтрации » определении фильтрационных параметров трещи-

ковато-пористых пластов по данным о неустановившемся притоке жидкости к скважине доказана возможность увеличения информативности гидродинамических испытаний скважин за счет наиболее характерных для гетерогенных сред начальных участков кривых вое» становления давления. Как известно, до недавнего времени ис -пользовалась только их асимптотическая ветвь. Разработанный на этой основе метод, определения фильтрационных характеристик применяется на практике, что подтверждено актом внедрения.

Апробация работы. По теме диссертации автором опубликовано 18 работ, из них 2 монографии (в соавторстве), а ее основные положения проходили апробацию на научном семинаре в MI7 под рук, Г.И.Баренблатта (г.Москва, 1969), на научном семинаре под рук. А.И.Лурье (г.Ленинград, 1974), на II Международном симпозиуме по фильтрации воды в пористых средах (г.Киев, 1976), на научном семинаре в ИПМ АН СССР под рук. С.А.Христиа-новича (г.Москва, 1977), на научном семинаре в.КГУ под рук.D.M. Молоковича (г.Казань, 1977), на У Всесоюзном съезде по теоре -тической и прикладной механике (г.Алма-Ата, 1981), на научном семинаре в МГУ под рук. Р.И.Нигматуллина (г.Москва, 1983), на научном семинаре в ЖШ под рук. К.М.Арефьева (г.Ленинград, 1983^ на Всесоюзном семинаре "Современные проблемы,и математические методы теории фильтрации" (г.Косква, 1984).

Структура работы Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, обзора результатов и выводов, списка литературы, содержит 125 страниц машинописного текста, 15 ри -сунков; в списке литературы 54 наименования.

Изложение построено таким образом, что содержание каждого из разделов определяется задачами предыдущего и служит обоснованием для последующих, Принцип разбиения работы на главы обусловлен ранее отмеченным автономным значением отдельных частей исследования. В то же время в целях сохранения целостности из » ложения в текст были включены только наиболее интересные побочные результаты.

Лля определенности терминологии и в соответствии с профилем института, в котором выполнялась работа, исследование не -стационарного массо- и теплопереноса проводится преимукествен-но в фильтрационном приложении. Однако отдельные части работы, включая главу П, написаны с параллельным использованием естественных для них- терминов теории теплопроводности.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТУ

В главе! рассматриваются современные модели нестационарных процессов типа теплопроводности в гетерогенных сре -дах, одной из разновидностей которых является упругий регии фильтрации в трещиновато-пористых горных порода*. 7дя гомогенной пористой среды этот процесс по В.Н.Щелкачеву подчиняете уравнению пьезопроводности (теплопроводности)

¡iip-fi^r-0, <0

где р -давление в жидкости, ¿ - лапласиан, t - время, к -проницаемость среды,уЗ- упругоемкость, (U. - вязкость жидкости.

Помимо взаимосвязанных межзерновых пор фильтрационное пространство горных пород может быть представлено также системой пересекающихся трещин, которую можно интерпретировать как крупномасштабный аналог сети поровых капилляров. ?ля трещинной среды уравнение пьезопроводности записывают в,том же виде (I), но с другими значениями коэффициентов.

Большинство реальных коллекторов являются трещиновато-пористыми, т.е. одновременно содержит фильтрационные каналы обоих типов. Специфика нестационарных процессов переноса, обусловленная гетерогенностью среды, и является основным предметом изуче -ния, единым для всех явлений обсуждаемого типа. Повышенный же интерес к задачам в фильтрационной формулировке определяется постоянно возрастающей ролью месторождений нефти и газа, представленных трещиновато-пористыми коллекторами. При атом, отличие поровой и трещинной сред по фильтрационным параметрам обычно проявляется достаточно резко. Именно для данных сред были экспериментально зарегистрированы специфические особенности процессов, не укладывавшиеся в рамки классической теории, что и потребовало ее обобщения с учетом факта гетерогенности.

Тем не менее, первая работа (Л.И.Рубинштейн, 1948) пс моделированию процессов рассматриваемого вида была посвящена явлению теплопроводности в скесевых средах, В ее основе лежит идея о рассмотрении сплошной Я, -компонентной среды как сово -купности /I множеств однококпонентяых элементов. Каждое из выделенных множеств затем заменяется сплошной средой, что по существу является обобщением стандартного для механики приема. Следует сказать, что справедливость данного обобщения на случай

гетерогенное среды не является бесспорной. Физически очевидным условием возможности замены некоторого множества элементов непрерывной средой является требование их связанности. Так, на -пример, в смесевой среде стохастической структуры вероятность выполнения этого условия для отдельных компонентов уменьшается с ростом их числа и потому обсуждаемый подход в целом становится менее оправданным.

В трещиновато-пористой среде обе составляющие - системы трещин и сеть межзерновых капилляров (пор) могут считаться гидродинамически связанными, что и явилось предпосылкой использования в теории фильтрации так называемой модели вложенных сред - двух условных сплошных сред, повсеместно и одновременно представленных в одном и том же физическом объеме. В соответствии с этим записываются два уравнения пьезопроводности, в отличие от (I), с третьим членом, отвечающим обменному потоку жидкости между составляющими средами

В уравнениях (2) три неизвестных и, чтобы получить замк -нутую систему, необходима еще одна зависимость, в качестве ко -торой принимается выражение для величины обменного потока через значения давлений, понимаемых в осредненном смысле,

^ г1(рг/Х) (31

При этом, оправданием по существу постулированной зависимости (3) служит оговорка о квазистационарном режиме обмена жидкосты между порами и трещинами. При условиях

•

согласующихся с современными представлениями о наиболее распространенном типе трещиновато-пористых пород, система (2), (3) упрощается (за счет пренебрежения двумя соответствующими члена« ми) и сводится к автономным уравнениям одинакового вида

коэффициенты в которых определяются равенствами

А (6)

Последнее выражение, найденное из соображений теории размерностей, определяет параметр •Г* с точностью до постоянного множителя (- . Уравнения (5), полученные Г.И.Баренблаттом и Ю.П.1ел~ товым, являются основными для модели вложенных сред. Усечение системы (2), (3) при переходе к (5) обусловливает специфику постановки краевых задач и некоторых свойств их решений. Начальные распределения давлений уО, и рг не могут задаваться незави -симо, а должны удовлетворять определенным соотношениям. Скачки порового давления р^ не исчезают мгновенно, как в случае уравнения (I) для гомогенной среды» а убывает по экспоненциальному закону.

Отличительной особенностью другой; т.н. модели с типовым блоком, предложенной автором в 1965 г., является попытка учета реального блочного строения пористой среды, когда величина обменного потока находится из решения первой краевой задачи для отдельного "типовою" блока

а уравнение для трещинной среды записывается в совпадающем с первым уравнением (2) виде. В предположении равенства давления вдоль поверхности каждого блока задача (7) решается авто » номно, что позволяет найти зависимость ^ -=

При простейшей линейной схематизации блоков этот путь приводит к уравнению I

{? - удельная поверхность трещин, ^ - вторая тэта - функция Якоби.

Для начальных отрезков времени переходных процессов, когда влияние ограниченности блоков пренебрежимо мало, уравнение пьезопроводности имеет вид

где

лп я, ~?т зг*/е*!>ц'-Г!

При условиях (4) по аналогии с предыдущей моделью уравнения С Я) и СТО) могут быть упрощены путем пренебрежения вторыми членами.

Рассмотренные модели в той или иной модификации до последнего времени служили основой современных исследований процессов тепло- и пьезопроводности в гетерогенной среде. Более того, заложенные в них принципы моделирования с успехом применялись и для изучения ряда других процессов массопереноса в гетерогенных средах: двухфазной фильтрации (В.И.Рыжик, 1960), конвективной диффузии (В.С.Кутляров, 1967), явления выщелачивания бетона в теле гидротехнических сооружений (Е.С.Ромм, 1969) и др.

Вместе с тем, следует признать, что обе модели, построен « ные на базе априорных феноменологических гипотез относительно свойств самого процесса, не являются совершенными. Для первой из них, например, замкнутость системы уравнений (2) достигается ценой постулирования зависимости (3) для обменного потока. При этом модель остается не замкнутой в физическом смысле: входящий в равенство (3) кояффициент сС определен по формуле (6) только для предельного случая (А) и с точностью до постоянного множителя. Его конкретное значение для реальных сред может быть установлено лишь экспериментально, а при гипотетическом задании структуры гетерогенной среды определение величины оС вообще не предусмотрено'»

Основной недостаток модели с типовым блском состоит в гипотезе равенства давления по поверхности пористых блоков, что равносильно жесткой схематизации течения внутри блоков и заве -домо неприемлемо при близости значений фильтрационных парамет -ров составляющих сред. Диапазон применимости обеих моделей по существу ограничен неравенствами (1), к тому же сугубо качест -венно.

Перечень спорных положений и слабых сторон моделей мог бы быть значительно продолжен, причем некоторые из них носят принципиальный характер и не могут быть устранены в рамках феноме -нологических построений.

Несовершенство феноменологического моделирования нестационарных процессов переноса в гетерогенных средах и, прежде всего,

парадоксальность некоторых результатов возродили интерес к классической постановка задач типа теплопроводности для моделей этих сред в отказе от каких-либо дополнительных априорных гипотез относительно свойств самого процесса.

При выборе структурной модели бинарных сред принимались во внимание два обстоятельства, во-первых, - многообразие, нерегулярность и неопределенность детального строения реальных композитов и, во-вторы*, необходимость обеспечения математическими средствами исследования. В этих условиях предпочтительными яв -ляются простые, даже схематические модели. Единственные требо • вания, которым они должны отвечать, это - нетривиальность и способность отразить основные свойства изучаемого явления, в дан -ном случае - влияние бинарности среды на нестационарные процессы переноса. При этом определенвнй схематизм модели представляет собой сознательную абстракцию. Это-традиционный прием в науке: замена сложной ситуации более простой, которая свободна от из -лишнего балласта деталей. Упроченная модель облегчает поиск решений, их анализ, интерпретацию а обсуждение подученных результатов. Классическими примерами подобных моделей являются "круговая" модель И.Каца, используемая в кинетической теории газа, упругая нить с точечными массами и ряд других.

В соответствии с изложенными соображениями в качестве структурной модели бинарной среды в работе выбрана система двух ли -ний (тонких стержней), пересекающихся между собой в равноотстоящих узлах. Если считать, что в каждой из них процесс подчиня -ется уравнению (I), то данная'система обладает всеми основными свойствами моделируемой средн. Действительно, возмущение давления распространяется по двум стержням с разными фильтрационными характеристиками, а взаимное влияние процессов в составляющих средах обеспечивается наличием узлов, имитирующих поверхность контакта.

Задача пьезопроводкости для данной системы записывается в

виде

(Ж1 ^Mi J

fi (0, i) - / /J ^ = 0, /> А ^ -о-*,*)

В работе показано, что к системе того же вида (II) с некоторыми оговорками сводятся и задачи пьезопроводности для "более реальных" двумерных моделей трещиновато-пористой и чис-*о трещинной сред. Методы решения подобных задач будут рас -смотрены позже, однако некоторые полезные результаты могут быть получены без решений с помощью нестандартного использования преобразования Лапласа ^

[=(})--jf(i)fUf/t (12)

о

Нетрудно убедиться, что в изображениях условие баланса потоков в узловой точке с номером П приводится к виду рекуррентного соотношения для значений давления в трех соседних узлах ___

Обратим внимание на впервые введенный здесь параметр^/", который, как будет видно из дальнейшего, является аналогом характеристического импеданса в теории колебаний.

Формула (Т.З) может быть представлена в следующих двух разновидностях

Ал cfo СТ4)

из сопоставления которых с (13) нетрудно дать физическое толкование членам в (Т4). Так, первые из них, совпадающие с соот-

Т4

ютствующими слагаемыми суммы в (13^1, отвечают процессу фильт-1зции в отдельно взятых средах при отсутствии их взаимного влия-[ия. Вторые же члены, отличающиеся только знаком; соответству -)т обменному потоку между средами. В этом отношении просматри -¡ается прямая а"алогия с системой уравнений (2), (3), однако Ця бинарно? модели обменные члены определены точно. В частном :лучае ^ — = у. выражение для обменных слагаемых упро -тется __• . , _

Ъ-ЩЪЬФ'МЛЩЩ, «а

[ допускает простую интерпретацию как величины потока с того сонца пьезопроводящего стержня, на котором поддерживается дав -1ение Рл , при условии, что второй конец изолирован. Отсюда 1риходим к нестандартному математически строгому результату: 1золяция центральных частей стержней, моделирующих поро -

зые блоки, на процессе в "трещиной" среде (с большим коэффици-¡нтом пьезопроводности) не сказывается.

Поскольку для бинарной модели процесс фильтрации удается зписать точно, а при указанном условии даже получить конкретную соличественную интерпретацию величины обменного пттока,. появляйся возможность тестирования рассмотренных ранее феноменологи-<еских моделей. С позиции модели вложенных сред, применимость «ли неприменимость которой для конкретных гетерогенных сред не зговорена сколь-либо строго особенностями их структуры, процесс пьезопроводности для бинарной модели должен отвечать системе [2), (3), так как выдвинутое ранее требование связанности эле ментов каждого компонента в данном случае удовлетворяется.

Однако, как показывают расчеты, величины давлений и обменного потока, понимаемые как и в модели вложенных сред в осред -аенном смысле, оказываются связанными соотношением, отличаю -вдмся от (31

ц . ¿^/А с те)

7 Г> ¿>г У " 1т

При попытке кодифицировать модель заменой равенства Г3"> на СТ6) выясняется, что в случае совпадения начальных и граничных условий для обеих составляющих сред системе уравнений (2), (16) удовлетворяют тождественно равные функции р^М^вр.(М^) Ятот результат несовместим с физикой моделируемого процесса, а

единственной видимой причиной неудовлетворительности модели модифицированном варианте остается негласно принятое обобщен закона Дарси для осредненных (по большому числу элементов) значений давления и потока. Таким образом, контрольный приме поставил под сомнение исходные принципы феноменологического моделирования.

Для бинарной системы взаимное влияние процессов в состе ляющих средах осуществляется через систему узловых точек, за кон изменения давления Рп (в которых однозначно определ ет искомую функцию во всей области.

Из решения задачи (II) в изображениях имеем

Заменой /?/ на X данное выражение допускает обобщение функцию непрерывной переменной, удовлетворяющую уравнению

Если воспользоваться аппроксимациями

М-тъ - г'т; «*>-тмж-

выполняемыми с точностью до вторых членов разложения в ряд I степеням параметра J , то в оригиналах уравнение (17) ш зопроводности в "контактной" среде будет совпадать по форме усеченными уравнениями феноменологических моделей

У£ (18)

7хс х иг >

Однако в данном случае коэффициенты уравнений определяются рез полный набор фильтрационных параметров составляющих сре

л ■ Ь+кг , -/ {'к ~ кТ 2_ (20)

>(А',АГ е

В предельных условиях (4) формулы (20) вырождаются в равеис Г9), а с (б) согласуются с точностью до яеопределенного мяо теля С . Существенно, что несмотря на фиктивность "контак

ой среды градиент давления в ней и реальный суммарный поток жазываются связанными (с точностью аппроксимации) законом

1арси • д = -bib.jp

к /ч ал

В главеП работы устанавливаются зависимости между |роцессами типа теплопроводности и волновым процессом. Исходное |редполокение о возможности существования подобных связей воз-гикдо на основе решения задачи пьезопроводности для бинарной юделн ,

(21)

¡л'!

фи частном соотношении параметров составляющих сред

-когда оказалось, что коэффициенты ряда (21) удов» гетворяют конечно-разностному аналогу волнового уравнения

1оиски обобщения данного результата привели вначале к доказательству следующего предложения. Реиения уравнений

лр-^-О,

цля одинаковых областей при согласованных начальных рас пределе-

Р(м, о) = а (К о), ^(А/, о) - о

? граничных условиях, связанных равенством

г

где £ - точка границы, удовлетворяют соотношению

до

Следует отметить, что данная связь независимо и разными способами была установлена автором и Р.Хешем (США). Использованный в работе способ доказательства с помощью теоремы Эфроса сделал очевидным ряд других результатов. Зависимость вида (23) оказалась, например, справедливой для следующих пар уравнений

йо

/

. t

/__ Iх .¡оЩТМГ ^ л

А ут-У , п

1Г ¿>т л

(25)

Г ¿»-¿¿¿{/'МШ1*^*

первые из которых совпадают с усеченными уравнениями (8), (ТО) и с (19), а вторые - допускают волновую интерпретацию. Так, уравнение теплопроводности может быть выведено как уравнение колебания безинерционной'струны, связанной с неограниченной тонкой мембраной, не обладающей упругими свойствами в направ « лении вдоль струны:

^ "У ^-о . .

Второе уравнение (25) описывает колебания аналогичной системы, но при ограниченной по оси мембране со свободными краями

V* е -о

Коэффициенты в итоговых уравнениях выражаются через натяжение струны Т , погонное натяжение Тм и плотность мем«

Г-

(С = Гг^' / ъ = \/!му

браны формулами

¿1

"л!

Парной в смысле зависимости (23) системе (2), (3) модели вложенных сред является система уравнений

^ 'с о = щи, -/с-Л

отвечавшая волновому процессу в двух средах, между которыми действует упругая связь.

Получено обобщение решения (2Т), (22) на случай сеточных областей, допускавдих условное деление отрезков мевду узлами на части , для которых величина ^ ■ имеет

единое значение во всей области.

' 1л)

с. <- /,/) ^—

С 27)

Суммирование в (27) производится по всем отрезкам ^/-окрестности рассматриваемого узла или точки условного деления с номе • рои 6

Показано, что для процесса случайного блуждания частицы по той же совокупности точек с матрицей перехода & • вероятность попадания частицы в точку с после К шагов представима в виде дискретного варианта формулы (23)

г / •• > (Л'}

где С? (¿V к) - аналог функции Грина для уравнения случайного

блуждания по прямой, а коэффициенты А(<. А/) удовлетворяет

соотношение

4[А(с л/фА № о]

<~1 . (¿/у*

При внешнем сходстве равенств (27) и (28), их существенное от- . личие состоит в том, что в общем случае ~ 1 ,но

— />• /• Из предшествующих результатов естественно было

Т9

предположить возможность волновой интерпретации обоих сопоставляемых-соотношений, ато подтверждено выводом уравнений распро -странения прогибов и импульсов для струнных сеток, допускающих аналогичное рассмотренному выше деление отрезков струн между узлами на части ¿С; с одинаковым временем прохождения возмущений =

и/с/ а

где

- безразмерное целочисленное время, а величины

С 29)

выражаемые через характеристические импедансы ¿г^-у^'з обра -зующих узел I струн, могут истолковываться как коэффициенты прохождения ''преломления) импульсов через узел в направлении струны^'.

Нетрудно заметить, что с точностью до обозначений уравнения С27) и (29), (28) и (30) попарно совпадают, а при симметричных матрицах Ы^ , ру вое четыре имеют единую форму. Небезинтересен факт соответствия физических параметров трех разных по типу процессов

Г г V Е

0 7

Л-

В силу указанных аналогий вопросы определения коэффициентов в решении задач пьезопроводности (теплопроводности) для сеточных систем рационально рассматривать в терминах волновых задач, как имеющих непосредственный физический смысл.

С этой точки зрения введенная ранее бинарная модель пред -ставляет систему двух струн, жестко соединенных в равноотетоя -щих точках. 7ля данной "биструны", как частной разновидности сеточной системы с периодической структурой, из (29) выводится, уравнение распространения возмущений, связывающее значения прогиба V в трех соседних узлах П-Л)

=(/>£"+ с?Е - уF'-pF ifa-

где Е - символ оператора сдвига (t*f(<>) - Rst ¿Jj по це -лочисленному аргументу /VJ

м-Л г>~- ■ о -

При равенстве скоростей распространения возмущений по обеим струнам уравнение (ЗТ) вырождается в дискретный парафраз волнового уравнения

V(fl/4)i-V(fl/-i) = Lr(/»/tA) rl/fff-^J

При значительной величине At- Л*я тех отрезков вре-

мени, пока возмущение по "медленной" струне не успевает полное-тьс пройти расстояние между соседними узлами, оно принимает вид

1Г('/>/н) = р[1Г(»ч,A'J+V(f>-itф(ч р)/J, (зг)

отвечающий случайному блужданию частицы по прямой с двухшаговы-ми отклонениями. При этом коэффициент р приобретает смысл вероятности перемещения в любую сторону по прямой, а ~ роятность отклонения, которая при условии обращается в нуль.

^ 0 - j[ A'J-r vp-'S'Jj. f33)

Данный результат, совместно с указанной ранее волновой интер -претацией уравнения.теплопроводности, доказывает возможность имитации с помощью механических или иных волновых систем процессов случайного блуждания, теплопроводности, а также обрат -ных им во времени.

При условии равенства «мпедансов обеих струн уравнение СЗТ) преобразуется в дискретный аналог второго уравнения (25)

¿[Vfr/SJ- (34)

Ответим, что равенства С32), (33) и (34) не обязательно рассматривать как частные разновидности волнового уравнения (ЗТ) для биструны. Тем же соотношениям отвечает и прогиб в узлах струнных систем, образованных двумя пересекающимися семей» ствами параллельных равноотстоящих струн. Лля уравнений С32) и (33^ одно из этих семейств является вырожденным » представлен -ным одиночной струной, по которой и распространяется возмуще -ние от границы,

В главе! работы установлены новые свойства некоторых специальных функций, используемые в дальнейшем при построении решений полученных уравнении. -Для ортогональных многочленов дискретной переменной Кравчука , определяемых произ-

водящей функцией у ^

1=0

доказано, что их нормированные представления

названные по аналогии с функциями Чебышева-Зрмита функциями Кравчука, удовлетворяют рекуррентному соотношению простого вида

Его симметрия относительно индекса и первого аргумента'взаимосвязана со свойствами симметрии самих функций Кравчука.

Показано, что наряду с квадратами функций Кравчука соог -ношению того же вида удовлетворяют и функции

С36)

а его дифференциальному аналогу

с*)

отвечают функции

ыш.

Тем самым установленная Сегё предельная связь

между функциями Кравчука и Чебышева-Зрмита дополнена новой дискретно-непрерывной аналогией.

Приведены комбинаторные ряды, соответствующие цепи Марко» ва из двух состояний и удовлетворяющие равенству, частной разновидностью которого является уравнение случайного блуждания (32).

В главеЦ работы все установленные зависимости используются для построения решений волновых задач. Например, для струнной сетки с квадратными ячейками уравнение распространения возмущений с точностью до обозначений совпадает с рекуррентным соотношением (35) для квадратов функций Кравчука и потому последние в симметризованном виде

являются его решением. При этом сумма

представляет собой функцию влияния импульса, приложенного к узлу Л=/п = 0.

Близость по форме равенств (34) и (35) позволила постро -ить решение волнового уравнения (З^) для соответствующих ему струнных систем с единым значением характеристического импеданса. В частности, прогиб в узлах неограниченной биструны от начального отклонения одаого из ее звеньев определяется формулой

/]-ф.с«»

* -[т], 1- Ь

(39)

где (! -расстояние между узлами, ^ - скорость распростране« ния возмущения по струнам С ¿ = ).

Решение (40), как функция Гарина, стандартными способами может использоваться для построения решений краевых задач, в том числе и задач о распространении возмущений от границы об « ласти. Однако для струнной сетки, покрывающей полуплоскость, эта задача проще решается с помощью доказанных свойств функци! (36). При условии равенства возмущения вдоль крайней струны (системы с индексом 2) имеем

Щ , Л

■Щп/) -- Щ^^ХФ^ПМ(41) 1*1

где

Используя установленные свойства функций (ЗР), нетрудно построить и аналогичные решения для струнно-мембранной систеи колебания которой отвечают второму уравнению (25).

Первые члены этих выражений, являясь решениями уравнения теплопроводности, соответствуют случаю неограниченной по оси ^ мембраны. При достаточно больших значениях величин И/ и М с помощью связи (34) и теоремы Муавра-Лапласа доказывается совпадение предельных представлений решений (40) и С41) с фор мулами (42) и (43) с точностью до соотношения

где - расстояние между струнами сетки, параллельными границе, ^уЭ, и 7Г - их плотность и натяжение, ау>м и ^ -

■е же, но приходящиеся на единицу длины по горизонтали динами-[еские параметры мембраны, не обладавшей упругими свойствами в вправлении, перпендикулярном границе.

Таким образом, струнно-мембранную систему можно рассматри-ать как строгий континуальный аналог исходной струнной сетки. 1ри сопоставлении их структур полученный результат, на первый 1згляд, может показаться тривиальным. Действительно, если гавноотстоящне на струны и размазать" вдоль горизонтальной >си, т.е. заменить дискретное распределение непрерывным по за-:ону =, - Т-./с/ Сименно таков широко распространений прием континуализации на физическом уровне строгости), то голучим мембрану с указанными выше свойствами. Однако имеется и >ущественное различие: в первом случае в континуальной системе ируны безинерционны, а во втором - имеет плотность струн ис -:одной системы. При этом в уравнении должен появиться дополни» ■ельный член, утрачивают силу простые по форме решения (42) и 43), а поиск новых - более сложных и менее строгих » стано -1ится проблематичным. Попутно отметим, что двучленность контину-щьного волнового уравнения объясняет и аналогичный вид урав -[ения пьезопроводности (25).

Выражение (42) представляет, интерес еще в одном неожидан» юм аспекте. Оказывается, что функция

[нтеграл (12) от которой равен изображению решения (42), с точностью до обозначений совпадает с распределением вероятное» 'ей для квантовостатистического осциллятора в Х- и л-пред-давлениях. этот результат, совместно с другими приведенными I работе квантово-классическими аналогиями, представляется об-[адеживающим в плане возможных обобщений.

Возвращаясь к рассмотрению процессов пьезопроводности на годели бинарной среды, приведем решение

соответствующее пренебрежению влиянием ограниченности пористых блоков (строго - системе бесконечных параллельных прямых, пере* сеченных одиночным лучем).

В главе У работы показано, что предельное представление данного решения

удовлетворяет первому уравнению (24), которое, следовательно, может интерпретироваться как континуальное уравнение пьезопро-водности для начальных периодов переходных процессов.

С помощью понятие дифференцирования дробного порядка оно записывается в простом виде

откуда очевидно существование автомодельных решении. Таковым является интеграл (44), который можно рассматривать как Функ -цию одной переменной ^//Г отличие от *ля

уравнения теплопроводности). Небезинтересна и возможность пред ставления данного решения уравнения (45) в виде решения задачи теплопроводности на плоскости

Вследствие совпадения по форме выведенных континуальных уравнении с усеченными уравнениями предвествуюших феноменоло -гических моделей ряд задач оказался решенным, .дополнительно с использованием результатов второй и четвертой глав найдены решения задач пьезопроводности в дискретном и непрерывном вариа! трх. Построена функция Грина для первого уравнения (25). Полу чено решение т.н. обратной задачи теории упругого режима филы

)ации, состоящей в определении фильтрационных параметров трещин овато-пористых пластов по данным о нестационарном режиме ра-5оты скважин. Показана принципиальная возможность увеличения шформативности гидродинамических испытаний за счет использования ранее игнорировавшихся начальных участков кривых восстановления давления. Предложенный метод защищен актом внедрения 1 ссылками в научной литературе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ . ДИССЕРТАЦИИ И ВЫВОДИ

I. По моделированию нестационарных процессов пьезо- и *епло-7роводности в бинарных средах

1. На примере задачи пьезопроводности С теплопроводности)

з классической постановке для бинарной среды частной структура пана критическая оценка существующих феноменологических моделей ■ «стационарных процессов переноса. Предложена новая модель, построенная без каких-либо априорных гипотез относительно свойств замого процесса и потому гарантированная от парадоксов - результатов, противоречащих физической природе моделируемых явлений.

2. Новая модель представлена в двух вариантах. Первый -5азируется на классической постановке задачи с условиями согласования решений двух уравнений теплопроводности в точках контакта гомогенных составляющих, второй - на дифференциальных урав -гениях, получаемых в результате континуализации первого.

Континуальные представления более удобны в прикладном отношении, а исходные - в дискретных переменных - могут использоваться для оценки их точности. Примеры точных аналитических ре-тений краевых задач в обоих вариантах постановки приводятся.

3. Предлагаемая модель не содержит каких-либо принципиальных ограничений, накладываемых на режим процесса и соотношения параметров составляющих сред, коэффициенты континуальных урав -нений определены через значения физических характеристик этих сред и потому модель в целом пригодна для анализа свойств про -цесса в зависимости от полного набора указанных параметров.

4. Континуальные уравнения новой модели по форме записи совпадают с усеченными феноменологическими уравнениями, получаемыми в пренебрежении членами, пропорциональными проницаемости (теплопроводности) одной составляющей среды и упругоемкостью

(теплоемкостью) - другой. Помимо утраты общности, усечение об условливает также специфику постановки краевых задач и пара доксальность некоторых свойств решений, от чего свободна пред лагаемая модель. Иными словами, новая модель- позволяет избежа ряда трудностей при сохранении максимальной простоты и общнос итоговых уравнений.

Вместе с тем, и предшествующие модели не могут считаться полностью дискредитированными. Примечательно (хотя хорошо из вестны и другие подобные примеры), что несмотря на несовершен ство, феноменологические построения привели к правильному ви? основных уравнений, а многие ихрешения с внесением соответст вующей корректуры не только остаются в силе, но и приобретают большую общность.

5. Предложен новый способ построения решений задач тепле проводности, удобный для бинарных сред и наиболее эффективны!! для систем сеточного вида. Получен ряд решений, в том числе автомодельные, функции Грина.

6. Установлены новые свойства исследуемых процессов в б» нарной среде. Отраженная в решении так называемой обратной за чи пьезопроводности специфика начального периода переходных процессов обусловливает возможность увеличения информативное) гидродинамических испытаний скважин, вскрывающих трещиновато-пористые пласты. До последнего времени на практике использо ■ вались только асимптотические ветви кривых восстановления даз ления, а наиболее характерные для бинарных сред начальные участки игнорировались.

7. Данное исследование, иллюстрирующее преимущества клас сического подхода в изучении процессов типа теплопроводности на модели бинарной среда, конечно, не исчерпывает проблему г< терогенности. Заслуживают усилий поиски аналогичных результатов для других моделей композиционных сред со сквозной прово« димостью, слоистых, с различного рода включениями. В плане поиска точных решений для других моделей и для возможных об < общений представляются перспективными предложенные вработе методы и приемы (введение условной "контактной" среды, исполь' зование операционного метода без нахождения оригиналов, связ: между процессами разных типов), а также непосредственно уста новленные свойства процесса при равенстве значений введенног параметра £ - аналога характеристического импеданса для

беих составляющих сред.

Таким образом, предложенная модель отвечает всем требовании, предъявляемым к модельным построениям: дает контрольные езультаты для предшествующих, отвечает известным фактам и ус-анавливает новые свойства изучаемых явлений, намечает направ-ения дальнейших исследований.

П. По теории колебаний и другим смежным допросам

8. Как следствие теоремы Эфроса установлены зависимости ежду решениями уравнений теплопроводности и колебаний при со-пасованных начальных и граничных условиях. Приведены другие ары уравнения, решения которых подчиняются зависимости того же ида.

9. Установлены парные связи между процессами случайного луждания и теплопроводности в сеточных системах, с одной сто-оны, и колебаниями струнных сеток сходной структуры - с дру -• ой, причем последний играет своеобразную параметрическую роль, рикладное значение доказанных связей иллюстрируется на примере эстроения решений задач теплопроводности.

10. Посредством введения коэффициентов преломления и от -ажения в узлах волн возмущения даламберовского типа в диск -зтных переменных получены уравнения распространения прогибов

импульсов для струнных систем общего вида. Рассмотрены их астные разновидности, в том числе совпадавшие с уравнениями лучайного блуждания, данный результат совместно с усгановлен-ой волновой интерпретацией уравнения теплопроводности определяет еще одну форму связи между процессами названных типов и бжет представить интерес

а) возможностью имитации с помощью волновых систем процесса случайного блуждания, теплопроводности, а также обратных

« во времени;

б) альтернативой толкования физической природы процессов, пешне проявляющихся как диффузионные;

в) содержательной близостью к вопросам возникновения не-братимостей в механических системах - основной проблеме ста-истической механики.

11. Получены, по-видимому, первые точные аналитические ешения задач о распространении возмущений по струнным и струн-

но-мембранным системам. Все решения имеют простой вид, поддавшийся детальной интерпретации.

На основе предельных представлений решений установлен континуальный аналог сетки, образованной двумя системами струн с единым значением характеристического импеданса, Проведено сопоставление с результатами континуализации физического уров* ня строгости «► посредством "размазывания" струн одной из сис « тем в мембрану. Показано, что подобный, широко распространен -ный прием подмены дискретного распределения на непрерывное при водит не только к утрате точности, но и к усложнению результа тов в сравнении с тестовыми.

12. На основе решения одной из волновых задач получено bi ражение, с точностью до обозначений совпадающее с распределе « нием вероятностей в JC- и р» представлениях для квантовоста « тистического осциллятора. Характер совпадения в сочетании с другими приведенными квантово-классическими аналогиями позво • ляет считать его не случайным, а напротив - перспективным в плане поиска нового математического формализма квантовой тео • рии, тем более что струнная интерпретация оказывается созвуч^' ной с новейшей "теорией суперсадн" М.Грина и Дж.Шварца.

По меньшей мере, названное совпадение позволяет дополнит (или заменить) ставшее уже традиционным сопоставление кванто вого осциллятора с классическим, сравнением с более близкими результатами для дуальных механических систем.

13. Получены новые, простые, нестандартного вида рекур рентные соотношения для классических ортогональных многочле нов Кравчука и Чебышева-Эрмита, дополняющие установленную Сег предельную связь между ними более широкой дискретно-непрерыв ной аналогией, в силу свойств симметрии многочленов Кравчука показана рациональность замены их индекса стандартным аргумен тем. Доказанные свойства многочленов использованы в решении прикладных задач.

14. Работа может рассматриваться в двух аспектах. В cooi ветствии с названием, структурой изложения, актуальностью npt ложений и начальным замыслом ее основная цель - моделировани( процессов типа теплопроводности в бинарной среДе, остальное •

" побочные вспомогательные разработки;

Однако в процессе выполнения.работы выявилось самостоя < тельное научное значение "побочных" результатов (по теории

колебаний и другим омегннм вопросам), вполне сопоставимое с "основными". Отсюда - возможность иного взгляда на проведенное исследование: как на междисциплинарное, в котором центральным элементом, объединяющим разносторонние результаты в единое целое, является предложенная модель бинарной среды ( двойной стержень или биструна). С этой точки зрения становится очевидной "физичность" модели - удачно отраженная специфика бииар -ности, характерная для широкого круга проблем.

иеновное содеркание диссертации опубликовано в работах:

I. Волков И.А. К вопросу об упругом режиме фильтрации в трещиновато-пористой среде. - В кн.: Исследования по матем. и эксперим. физ. и механ. л., Изд. ЛИСИ, 1965, с. 7—II.

'г. Волков И.А. Об установлении связи между параметрами трещиновато-пористой породы по данным о восстановлении давления в остановленных скважинах.- В кн.: Вопросы вычислит, матем. и геометр, моделир. Л., Изд. ЛИСИ, 1966, с. 18-22.

У. Волков И.А. Об уравнениях упругого реаима фильтрации в трещиновато-пористых горных породах.- В кн.: Вопросы прикл. матем.и геометр, моделир., Л., Изд.ЛИСИ, 1967, с 33-35.

4« Волков И.А. О постановке краевых задач для уравнений , упругого режима фильтрации в трещиновато-пористых средах.- я кн.: вопросы прикл. матем. и геометр, моделир. Л., Изд. ЛИСИ, 1967, с. 36-39.

5. Нумеров С.Н., Волков И.А. Методика математического моделирования упругого режима фильтрации в трещиновато-пористых средах (в условиях плоской задачи). - В кн.: Вопросы прикл. матем. и'геометр.моделир. Л., Изд. ЛИСИ, 1968, с.'44-48.

ь. Методика изучения трещиноватости горных пород и трещинных коллекторов нефти и газа. Е.М.Смехов, М.ЖБулач, И.А.Волков и др. Л., Недра, 1969, I29 с. (Тр. ВНИГРИ, вып. 276).

7. Волков И.А., Ромм Е.С., Сергеева Г.И. Методы исследования фильтрации в трещинных коллекторах.—В кн.: Состояние и перспективы изучения коллекторов нефти и газа. М., 1971, с. 103106 (ВНИГРИ НТО - Горное).

8. Волков И.А. О моделях процессов массо- и теплопереноса в трещиновато-пористых горных породах. - В кн.: Проблемы reo -

флвидодинамики, Л., Т976, с. Т38-146 (15?. ВНИГРИ, вып. 387).

9. Волков И.А. О некоторых соответствиях между процессами типа теплопроводности и волновым процессом. - В кн.: Проблемы геофлвидодинамики, Л., 1976, с.147-158 (Тр. ВНИГРИ, вып. ЗВ7).

тО. Волков И.А. О математическом моделировании процессов нестационарной фильтрации в тревднно-поровых коллекторах. - В кн.: Критерии прогнозирования трещинных коллекторов нефти и газа в различных геологических условиях. Л., 1978, с.25-32 01р. ШИГРИ). ,

11. Волков И.А. О математическом моделировании процессов нестационарной фильтрации в трещиновато-пористых средах. - В кн.: Фильтрации воды в-пористых средах. 4.2, Киев, Наукова думка, 1978, с. 81-89 (Доклады Ш Международного симпозиума).

12. Волков И.А. Решение двух вспомогательных задач для модели пьезопроводности в трещиновато-пористой среде. - В кн.: Коллекторы и покрышки нефтегазоносных районов. Л., 1980,

с. Т26-ТЗЗ (Тр. ШИГРИ).

ТЗ. Волков И.А. Решение краевых задач тепло- и массопере-носа на модели трещиновато-пористой среды. - В кн.: Теоретические и экспериментальные исследования механизмов миграции углеводородов. Л., 1980, с. 104-117 (Тр. ВНИГРИ).

!4. Волков И.А. Решение задач нестационарной фильтрации для модели трещиновато-пористой среды.-В кн.: Пятый Всесовзный съезд по теоретической и прикладной механик е. (Аннотации док -ладов), Алма-Ата. Изд. Наука КазССР, 1981, с.97.

15. Волков И.А. Вывод дифференциальных уравнений пьезопроводности для трещиновато-пористой среды. - В кн.: Особенности строения и размещения коллекторов сложного типа и методы их изучения. Л., 1982, с.94-100 (Тр.ВНИГРИ).

тб. Волков И.А. Волновые процессы в бинарной среде и кван-товостатистические аналогии; - В кн.: Геолого-математическое моделирование в нефтяной геологии. Л., Т9ЯЭ, с.172-179 (Тр. ШИГРИ).

Т7. Волков И.А. Многочлены Кравчука в решении волновой задачи для струнной сетки. - В кн.: Закономерности размещения коллекторов сложного строения и прогноз нефтегазоносное™. Л., 1985, С.77-В2 (Тр.ВНИГРИ).

ТВ, Волков И.А. Исследование процессов пьезопроводности в

трещиновато-пористых горных породах на структурных моделях сред с двойной пористостью. - В кн.: Е.С.Ромм, Структурные модели порового пространства горных пород, .тт.. Недра, Т9Я5, с. Т57-2П4.

М-2'383 Подписано к печати 2 5 .12.89 Формат 80x90/13 Уч.-«зд,л. 2 Тирак 100 экз. Заказ/99 Бесплатно

191104, Ленинград, Литейный, 39 Картолитография ВНИГРИ