Моделирование сыпучих сред методом дискретных элементов тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.17 ВАК РФ

003452506

Дорофеенко Сергей Олегович

МОДЕЛИРОВАНИЕ СЫПУЧИХ СРЕД МЕТОДОМ ДИСКРЕТНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

01 04 17 — химическая физика, в том числе физика горения и взрыва

Автореферат диссертации на соискание учёной степени кандидата физико-математических наук

1 о с г

IV

Черноголовка — 2008

003452506

Работа выполнена в Институте проблем химической физики РАН.

Научный руководитель'

Научный консультант:

Официальные оппоненты.

Ведущая организация'

доктор химических наук, член-корреспондент РАН, профессор Манелис Георгий Борисович

кандидат физико-математических наук, старший научный сотрудник Полианчик Евгений Викторович

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Патлажан Станислав Абрамович

доктор технических наук, профессор

Холпанов Леонид Петрович

Институт физической химии и электрохимии им. А Н Фрумкина РАН, г. Москва

Защита состоится ^/-^СЛ^/^} 2008 в^7 ч. ^¿^ин. на заседании Диссертационного совета Д 002 082 01 при Институте проблем химической физики РАН по адресу: 142432, г. Черноголовка, пр. Семенова, д. 1., корп. 1/2

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ИПХФ РАН

Отзывы на автореферат, заверенные гербовой печатью организации, просьба направлять по указанному адресу в двух экземплярах не позднее, чем за две недели до защиты

Автореферат разослан

Учёный секретарь Диссертационного совета к ф-м н

Безручко Г С

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ Актуальность темы Поведение сыпучих сред, таких как, например, песок, гравий или каменный уголь, очень разнообразно и зависит от условий на-гружения Они могут течь подобно жидкости, оставаться в покое при наличии напряжений подобно твердому, вести себя подобно газу при высокой интенсивности воздействия Такое разнообразие обеспечивается тем, что сыпучая среда, (а) состоит из частиц макроскопического размера, где термин "макро" подразумевает пренебрежимость тепловым движением и важность эффектов с характерным масштабом порядка размера частицы; (б) между частицами действуют неконсервативные контактные силы, поэтому сыпучая среда быстро диссипирует энергию, и методы статистической механики, предполагающие сохранение энергии, имеют ограниченную приложимость (хотя существующие расширения кинетической теории на случай неупругих столкновений позволяют решать ряд определенных задач, они не применимы в общем случае)

Изучение сыпучей среды представляет все более возрастающий интерес как само по себе, так и в связи с наличием множества задач, в которых сыпучая среда является одной из составляющих изучаемой системы. Примером может служить фильтрационное горение (ФГ) твердого топлива Реактор, в котором проводят процесс, представляет собой цилиндр; кусковое конденсированное горючее, содержащее негорючий компонент, образует в реакторе плотный пористый слой, сквозь который принудительно фильтруют газообразный окислитель (см рис 1а) В противотоке газовой и твердой фаз можно подобрать теплоемкости потоков таким образом, чтобы выделяемое при горении тепло не выносилось из реактора с продуктами реакции, а оставалось в пределах относительно узкой зоны конверсии В результате такой рекуперации тепла температура горения может значительно превышать адиабатическую, возникает так называемый "сверхадиабатический эффект"

Данная схема успешно применяется как основа целого ряда эффективных технологий, например, при газификации твердого топлива, переработке отходов различного типа, конверсии метана, обогащения руд цветных металлов и др. Вместе с тем, существенной проблемой является обеспечение стабильности процесса Волна конверсии может распространяться по сечению реактора неравномерно, например, как показано на рис 16, где образовался

Рис. 1. Фильтрационное горение: (а) схема фильтрационного горения твердого топлива в противотоке; (б) неравномерное распространение волны конверсии по сечению реактора, вызванное неоднородной газопроницаемостью слоя.

"прогар" вдоль стенки реактора. Происходят обрушения в образованные при горении полости и одновременно формируются практически газонепроницаемые области. Как следствие, распределение температуры в реакторе оказывается неоднородным и плохо управляемым. Для решения подобных проблем необходим учет динамики частиц твердой фазы, однако существующие теории ФГ, основанные на приближении сплошной среды, этого не позволяют.

Описать поведение сыпучей среды на масштабе порядка размера отдельных частиц позволяют дискретные методы, основанные на подходе Лагранжа. При моделировании методом дискретных элементов (МДЭ) изучаемую систему представляют в виде ансамбля взаимодействующих частиц; для каждой частицы решают динамическую задачу — рассчитывают действующие силы и вычисляют траекторию её движения. Применительно к задаче ФГ использование МДЭ позволит исследовать поведение сыпучей среды в условиях, характерных для ФГ, что позволит в итоге расширить теорию ФГ, включив в рассмотрение эффекты, связанные с динамикой частиц плотного слоя.

В МДЭ при моделировании плотных систем, характеризующихся длительными многочастичными контактами, наиболее часто применяют модель деформируемых сферических частиц, особенность которой в том, что (а) частицы имеют сферическую форму; (б) поверхности частиц при контакте пе-

рекрываются, (в) сила межчастичного взаимодействия пропорциональна величине перекрывания поверхностей. В рамках модели сферических частиц несферичная геометрия может быть аппроксимирована кластером сфер

Цель работы В соответствии с вышесказанным, целью работы является

• Анализ в едином ключе существующих математических моделей механического контакта, выбор и обоснование простейших моделей, определение возможных путей их дальнейшего развития, анализ эффективности алгоритма МДЭ и способов его оптимизации, развитие подхода, позволяющего моделировать сложную геометрию частиц сыпучей среды и ограничивающего объема

• Разработка программного обеспечения (ПО) для проведения вычислительных экспериментов по исследованию реологии сыпучей среды

, в условиях реактора ФГ. Дальнейшее развитие разрабатываемого ПО предполагает возможность моделирования фильтрующейся газовой фазы, межфазного тепломассообмена и химических реакций

• Моделирование гравитационного течения сыпучей среды в условиях, характерных для реактора ФГ, проводимое с целью исследовать особенности течения и определить возможное влияние характеристик течения на устойчивость фронта горения

Научно-практическая значимость работы Развиваемый в работе подход позволяет моделировать статику и динамику сыпучих сред на уровне взаимодействия между отдельными частицами Проделанный критический анализ существующих моделей механического контакта позволяет более адекватно оценивать результаты такого моделирования и открывает пути дальнейшего развития моделей Возможность моделирования сложной геометрии частиц и ограничивающего объема позволяет строить модели, максимально приближенные к своим реальным прототипам

Работа закладывает основу для создания модели ФГ, учитывающей динамику частиц твердой фазы Предложены метод и способ анализа для расчета характеристик реактора ФГ твердого топлива, выбора оптимальных значений управляющих параметров Полученные результаты использовались при разработке и реализации нового типа реактора

На защиту выносятся

• Комплекс программ, предназначенный для моделирования методом дискретных элементов

• Различный характер течения монодисперсной сыпучей среды в вертикальном цилиндрическом реакторе с конусообразной разгрузочной частью в зависимости от значения угла раствора конуса.

• Механизм возникновения колебаний скорости течения сыпучей среды в вертикальном цилиндрическом реакторе с конусообразной разгрузочной частью, связанный с геометрической конфигурацией системы и взаимодействием между частицами

• Различный характер пристеночного течения для разных бинарных смесей Различная степень разделения фракций по скорости течения в зависимости от размера и объемной доли частиц мелкой фракции.

• Закономерности течения для наклонного вращающегося реактора, такие как разделение фракций бинарной смеси по скоростям течения и интенсивное перемешивание мелкой фракции в радиальном направлении.

Личный вклад автора В материалах, изложенных в диссертации, автору принадлежит основная роль в математической формулировке модели, построении численного алгоритма, разработке программного обеспечения, проведении теоретических исследований, анализе полученных данных и творческом развитии изучаемой проблемы

Апробация работы Результаты работы доложены на 1-й конференции по фильтрационному горению (Черноголовка, 2007), конкурсе молодых ученых им. С. М. Батурина (ИПХФ РАН, Черноголовка, 2007), XIX Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (Воронеж, 2006), XVIII Международной научной конференции "Математические методы в технике и технологиях" (Казань, 2005); конкурсе молодых ученых им С. М. Батурина (ИПХФ РАН, Черноголовка, 2005), V международной научно-технической конференции "Компьютерное моделирование" (Санкт-Петербург, 2004)

Публикации По теме диссертации опубликовано 7 работ, из них 3 статьи в рекомендованных ВАК научных журналах, 3 статьи в трудах российских и международных конференций, 1 патент.

Объем и структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, трех приложений и списка цитируемой литературы Работа изложена на 114 листах машинописного текста, содержит 177 формул, 2 таблицы, 34 рисунка и 106 библиографических ссылки

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ Во введении освещены актуальность и научно-практическая значимость работы, сформулированы цели и кратко изложена структура диссертации

В первой главе приводится обзор метода дискретных элементов и его применения при моделировании сыпучих сред Обосновывается выбор варианта метода, рассматриваются общие вопросы механики контактного взаимодействия, моделирования геометрии частиц и ограничивающего объема, интегрирования уравнений движения

Рассмотрим контакт двух сферических частиц / и j с радиусами R,, массами т„ mJ: моментами инерции /,, /_,•, координатами центра масс х,, xJt линейными скоростями у„ Vj и угловыми скоростями (о,, шj соответственно (см рис 2) Сила Fu, передаваемая через пятно контакта от частицы j на частицу состоит из нормальной компоненты Fn, действующей вдоль общей нормали п,, = ,х'_х'., и тангенциальной компоненты F,, действующей в плоскости контакта Р Поскольку влиянием тангенцальных напряжений на нормальные компоненты движения можно пренебречь, можно записать.

Fn = Fn(4n,vn), (1)

F, = F,(i„v,), (2)

где = R, +Rj - |x, - Xj\ — относительное нормальное смещение частиц, % = t

fvrdt — относительное тангенцальное смещение частиц, вычисляемое как

'о

интеграл v, по времени взаимодействия, v„ = v,;-ntJ — нормальная компонента v,;, v, = v,; - v„nij — тангенцальная компонента v(J, = - v, -n,_, x (iOjRj + ш,/?,) — относительная скорость частиц в точке контакта Значение F, связано

Рис 2. Контакт двух сферических частиц

с Р„ посредством закона трения Кулона.

|Г,| < (3)

где ц — коэффициент трения

После расчета всех сил взаимодействия для каждой частицы г определяем результирующую силу Е, и результирующий момент Т,

= ]Г(Е„ + Е,) + /п(8, (4)

уеЕ,

Т,(0 - (5)

где Е, — множество контактов частицы /, g — ускорение силы тяжести Теперь можем применить второй закон Ньютона для расчета поступательного и вращательного движения частицы

я»А (0 - Г,(О, (С)

/,1Ь,(0 = Т,(/), (7)

где = в случае однородной сферы.

Одним из простейших и, зачастую, лучших алгоритмов интегрирования уравнения движения является метод Верле и его модификации Например, схема с перешагиванием, в которой скорость, вычисляемая в промежуточный момент времени (? + у), используется для расчета координаты в момент

времени (г + Дг) Для уравнения (б) имеем'

= у(/-^) + Д г—, (8а)

* * т

х(г + Дг) = х(0 + ДМ* + у). (86)

Из уравнения (7) необходимо найти только угловую скорость, поскольку в случае сферических частиц ориентацию вычислять не требуется. Разностное уравнение для со записывается полностью аналогично V

Модель частицы несферической геометрии можно получить жестко закрепив относительно друг друга несколько сферических частиц При разрешении взаимодействия полученной таким образом частицы-кластера с другими телами сначала определяются обычным образом силы и моменты, действующие на составляющие кластер сферы, после чего их суммированием определяется результирующая сила и момент, действующие на кластер

Уравнение движения центра инерции кластера полностью аналогично ур. (С) Вращение кластера вокруг центра инерции описывают динамические уравнения Эйлера'

4 = | + (^)йзП„ (9)

где и % — компоненты векторов угловой скорости кластера и момента, соответственно, записанные в собственном базисе тензора инерции кластера, — главные моменты инерции кластера

Ориентацию кластера относительно неподвижной системы координат удобно задавать с помощью кватерниона О = (до.<7ь<?2.<?з). гДе <7/ ~~ параметры Родрига-Гамильтона Связь между угловой скоростью кластера и параме-рами Родрига-Гамильтона выражают кинематические уравнения Пуассона'

/ . \ Чо -42 -<7з' '(Г

<71 _ 1 <71 <7о -<7з <72 «1

Чг ~ 2 Чг <7з <7о ~Ч\

Яг, Яъ -<72 Ч\ <70, А,

Система уравнений (9)—(10) может быть проинтегрирована методом Верле, модифицированном с учетом того, что правая часть уравнения Эйлера (9) зависит от П

Во второй главе на основе критического рассмотрения и анализа существующих моделей контактного взаимодействия производится выбор моделей и их представления.

Реалистичность поведения модельной сыпучей среды зависит (помимо геометрии частиц) от адекватности описания процессов межчастичного взаимодействия. В механике контактного взаимодействия можно выделить три основные составляющие упругая реакция, трение и диссипация. Упругую реакцию Ре можно записать в следующем виде

^ = (И)

где а = 1, закон Гука, используется в простейших случаях, а = 3/2, закон Герца, учитывает зависимость жесткости контакта от радиуса контактного пятна.

В большинстве задач рассматривают только трение скольжения, определяемое законом Кулона (3), трением качения пренебрегают.

Все процессы диссипации при парном столкновении могут быть эффективно просуммированы в коэффициенте восстановления е, феноменологически определяемом как отношение конечной Vу и начальной и о относительной скорости частиц'

Ну/М>|. (12)

Было показано, что е зависит от скорости столкновения и от механизма диссипации. При малых скоростях преобладает вязкий механизм, характеризующийся слабой диссипацией, е = 1, и слабой зависимостью е от ио, (1 —е) ос и^5 С ростом Уо основным механизмом становится пластическая деформация, характеризующаяся сильной диссипацией, е < 1, и более сильной зависимостью е от ио, е ос Оценить критическую скорость столкновения оу, при превышении которой начинается пластическое деформирование, позволяет известное в контактной механике выражение

4«Ю.2^(о уА(у))\ (13)

Рис 3. Структурные схемы контактного взаимодействия (а) и (б) — вязко-упругий нормальный и тангенцальный контакт, (в) упругопластичный нормальный контакт, (г) тангенцальный контакт переменной жесткости

где И, = + Лг) — приведенный радиус; /и, = 1щтг1 (т\ +1112) —

приведенная масса; Е„ = + — эффективный модуль упругости,

Л(у) — безразмерный коэффициент (при V = 0.3 А(0.3) и 1.61), Оу — предел текучести Если 1>о < иу — диссипация вследствие вязкости, при 1>о иУ основной механизмом диссипации — пластическое деформирование. По (13) были получены значения иу для алюминиевой сферы й = 0.1 м (иу « 0.02 м/с), стальной сферы Я = 0.1 м (ау ~ 1.24 м/с) и стальной сферы Я = 0.01 м (иу ~ 1.2 х 10~3 м/с) Значения показывают, что при столкновении мелких частиц практически всегда происходит их пластическое деформирование.

Структурно контактное взаимодействие можно представить в виде соединенных определенным образом элементарных моделей упругости, вязкости, пластичности, трения и тд , как показано на рис 3 Модель вязкоупругого контакта (рис За,б) состоит из параллельно соединенных упругого элемента и вязкого демпфера, с добавлением элемента трения в тангенцальном направлении Упругопластичное взаимодействие, характеризующееся более жесткой разгрузкой по сравнению с нагружением, реализуется посредством упругого элемента и подпружиненной "собачки" (рис Зв). Модель тангенцального контакта переменной жесткости (рис Зг) отражает тот факт, что эффективная жесткость (даже абсолютно упругого) тангенцального взаимодействия, вообще говоря, не постоянна, а зависит от истории нагружения

В простейшем случае при моделировании вязкоупругого взаимодействия упругая и вязкая силы принимаются линейными функциями упругой деформации и относительной скорости частиц соответственно'

~ кпЦп Сп^т F( = к,% + с,у„ (14)

Коэффициенты к,„ сп, к,, с, не могут быть выражены непосредственно через модули упругости материалов, потому что в контактной механике связь между деформациями и напряжениями в общем случае нелинейна Поэтому их значения устанавливаются эмпирически так, чтобы по крайней мере качественно воспроизводилось определенное реальное поведение. В случае парного столкновения аналитическое решение позволяет выразить эти коэффициенты через е и длительность соударения tc

, т" I 2 , 2 \ 2т* ,

К = + In е„), сп = —— In е,„

1С «с

_ л-2 + In2е, _ Ine,

Модель (14), являясь простейшей, тем не менее учитывает основные свойства контактного взаимодействия и позволяет воспроизводить многие эффекты, демонстрируемые сыпучими материалами в различных условиях на-гружения Вместе с тем, необходимо отметить артефакты модели' (а) е не зависит от vq, что противоречит экспериментальным данным, но, поскольку зависимость слаба, предположение о постоянном е при вязкоупругом взаимодействии можно считать справедливым, (б) отсутствие в (14) зависимости вязкого слагаемого от | приводит к тому, что вычисляемая по этой модели сила при е < 1 не равна нулю в момент начала взаимодействия, что противоречит физическим соображениям, (в) при наличии повторных нагружений диссипирует значительно меньшее количество энергии, чем при парном соударении, те. t,d/t, «; (1-е2), где £ — суммарная работа контактных сил, ^ — диссипированная в контакте энергия. Это приводит к большим флуктуаци-ям энергии системы и неверной оценке мгновенных значений динамических параметров.

Можно заключить, что линейная вязкоупругая модель является хорошим приближением контактного взаимодействия в задачах, связанных с анализом стерических особенностей течения сыпучих сред Если требуется точное воспроизведение мгновенных значений динамических параметров, следует использовать более сложные модели, учитывающие нелинейность законов взаимодействия и наличие повторных нагружений

В третьей главе рассмотрены два метода поиска ближайших соседей (метод разбиения пространства на ячейки регулярной сеткой и метод пространственной сортировки ограничивающих объемов тел), приводится структура программы моделирования и обсуждаются вопросы реализации

При использовании пространственной сетки потенциально контакт возможен только между телами, попадающими при отображении на сетку в смежные ячейки (см рис 4а) Данный алгоритм наиболее эффективен в случае компактных тел (занимающих одновременно не более одной ячейки), мало отличающихся размером Оценивая сложность алгоритма получим

где N — количество частиц; М — количество ячеек, й — размерность про-

а

странства, v — скорость частицы, ||у||1 = £ Ы. О — среднее значение, С —

/=1

количество ячеек, меняющихся в окружении частицы при переходе из ячейки в ячейку, В — длина стороны ячейки, Из (16) следует, что если количество ячеек пропорционально количеству частиц, те М - 0(АО, то с ростом N сложность алгоритма растет как

Метод ограничивающих объемов эффективен при определении контактов между телами произвольной геометрии и размера, сложность метода не зависит от распределения объектов в пространстве В основе метода лежит обнаружение пересечений между проекциями тел на глобальные координатные оси Для определения проекций используется ограничивающий объем тела — описанная вокруг тела сфера или параллелепипед со сторонами, параллельными координатным осям. Если проекции двух тел пересекаются по всем осям (те , пересекаются ограничивающие объемы этих тел), то между ними потенциально возможен контакт (см рис 46) При поиске пересекающихся проекций предварительно производится их сортировка вдоль соответствующих

(16)

(а) (б)

Рис 4. Методы поиска ближайших соседей (а) метод разбиения пространства регулярной сеткой, (б) метод пересечения ограничивающих объемов тел

осей при помощи, например, алгоритма пирамидальной сортировки, который имеет сложность O(NlogN) и не чувствителен к входному порядку ключей

В четвертой главе приводятся результаты моделирования гравитационного течения сыпучей среды в условиях реактора фильтрационного горения твердого топлива Рассмотрены три задачи' течение монодисперсного и би-дисперсного материала в вертикальном реакторе (рис 5а) и течение бидис-персного материала в наклонном вращающемся реакторе (рис 56) Параметры реактора диаметр цилиндра Wjd = 7.5, диаметр разгрузочного отверстия Djd = 3, где d — диаметр (крупной) частицы, угол полураствора конуса 0 б [10°; 90°] Отметим, что отношение размера реактора к размеру частицы значительно меньше, чем необходимо для свободного течения, таким образом течение происходит в стесненных условиях Параметры модели взаимодействия tc - 0.001 с, е = 0.3, [г = 0.1. Плотность материала р = 7700 кг/м3

Течение монодисперсной сыпучей среды в вертикальном реакторе. Наибольший практический интерес представляют реакторы непрерывного действия При этом необходимо обеспечить однородность и устойчивость течения, поскольку его внеплановая остановка приводит к аварийной ситуации. На практике наблюдались такие ситуации из-за блокировки разгрузочного отверстия образовавшейся над ним аркой из частиц сыпучей среды В связи с этим, представляется интересным исследовать влияние угла раствора конуса на течение сыпучего материала.

(С)

Рис 5. Схематическое изображение (а) вертикального реактора, (б) наклонного вращающегося реактора

Моделировалось течение в вертикальном реакторе 1500 частиц с ¡1 = 0.134 м и массой т = 9.7 кг при различных 0 В результате установлено, что скорость течения в цилиндрической части уменьшается с ростом 0 (рис ба) При 0 ^ 40° наблюдаются остановки течения, обусловленные тем, что частицы образуют арку над разгрузочным отверстием и запирают канал

Зависимость мгновенной скорости течения от времени показывает, что течение имеет явный пульсирующий характер с нерегулярными колебаниями высокой амплитуды (см (1) на рис 66). В порядке проверки предположения, что пульсации связаны с трением частиц о стенки реактора, был проведен расчет с выключенным трением. Это привело к росту средней скорости течения, но не изменило качественно его характер — частота и амплитуда пульсаций от трения зависят слабо (см (2) на рис б)

Визуализация течения группы частиц, выделенных в тонком слое, показала различный характер течения в зависимости от значения 0 (см рис 7) При 0 < 70° слой частиц в цилиндре движется как одно целое вплоть до начала конической части, попав в конус, слой сжимается в горизонтальном сечении, одновременно вытягиваясь в вертикальном направлении При 0 80° характер течения меняется качественно — образуется центральный канал с быстрым течением и застойная зона в пристеночной области

Вероятно, пульсации — результат образования и последующего быстрого разрушения арок или "мостов" с базовыми частицами, опирающимися на

0.7

0.6

0

0

в = 10'

20 40 60 80 100

40 60

0, град

2 2.5 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6

л сок

(б)

Рис. б. Средняя (а) и мгновенная (б) скорость течения в вертикальном реакторе при наличии (1) и при отсутствии (2) трения между частицами и стенками.

стенки конуса. Когда одна или несколько частиц, сформировавших мост, обладают достаточно высокой энергией, происходит его саморазрушение, из-за чего наблюдаемые блокировки течения — кратковременные. Либо, сдвиговое течение в коническом канале вызывает разуплотнение слоя (эффект дилатан-сии), что приводит к запиранию сужающегося канала до момента появления достаточного пространства вследствие протекания нижележащих частиц.

Течение бидисперсной сыпучей среды в вертикальном реакторе. Производительность реактора ФГ в большой мере зависит от степени дисперсности твердой фазы, т.к. скорость переработки определяется удельной поверхностью материала. Однако, при использовании мелких частиц трудно обеспечить необходимый расход газа-окислителя, поскольку растет фильтрационное сопротивление сыпучей среды. С другой стороны, слой крупных частиц, обладая высокой газопроницаемостью, имеет по сравнению со слоем мелких частиц большие характерные времена межфазного тепломассообмена и меньшую удельную реакционную поверхность, что ограничивает производительность. Таким образом, представляется желательным использовать бидис-персный состав твердой фазы с разделением фракций по скорости течения: "медленная" крупная фракция будет определять условия газопроницаемости, в то время как "быстрая" мелкая фракция — скорость переработки.

В связи с этим, проведено исследование влияния бидисперсности на характер течения по сравнению с монодисперсным материалом и определение

Рис. 7. Ряд последовательных моментов течения монодисперсной сыпучей среды в вертикальном реакторе при различных значениях 0. Показано: (а) 0 = 10°; (б) 70°; (в) 80°. 1, 2, 3 — номера выделенных слоев частиц.

условий разделения крупной и мелкой фракций по скорости течения. Моделирование проводилось при 0 = 33°, с! = 0.2 м. Диаметр мелких частиц ¿/Л и их объемная доля а)Л являлись изменяемыми параметрами. Рассматривались следующие конфигурации: (ао) <15/с1 = 0.3, шЛ = 0.2; (а) ¿¡¡й = 0.2, со, = 0.053; {Ь) (1,1(1 = 0.12, со, = 0.05; (с) й./с! = 0.12, со, = 0.025.

Показано, что в системе а о крупная и мелкая фракции движутся совместно, без протекания по всему сечению реактора; крупные частицы разделены слоем мелких.

В системе а происходит разделение фракций по скорости течения, при этом скорость мелких частиц заметно выше около стенки, где больше свободный объем упаковки крупных частиц, чем в остальном объеме реактора, где разделение выражено слабо (см. рис. 8а). Отметим, что в системе а (15 > с!*, где (¡* = (-== - 1~ 0.15с/ — диаметр мелкой частицы, свободно протекающей сквозь упаковку крупных.

В системе Ь, где < 6*, фракции четко разделены по всему сечению реактора, но большая разница между скоростью мелкой фракции в объеме и около стенки говорит о том, что в объеме мелких частиц слишком много и они мешают протеканию друг друга (см. рис. 86).

В системе с, где уменьшена объемная доля мелкой фракции по сравне-

а) (в), м/с 6) (и), м/с

Рис. 8. Мгновенная вертикальная скорость течения (и) крупных частиц ('-'), мелких частиц в объеме (®) и мелких частиц в пристеночном слое (А) для а) системы а; б) системы Ь\ в) системы с.

нию с системой Ь, мелкие частицы практически свободно протекают сквозь упаковку крупных в объеме реактора (рис. 8в).

Колебания скорости мелкой фракции, положительно коррелирующие с колебаниями скорости крупных частиц (см. рис. 8) говорят о том, что значительная часть мелких частиц движется совместно с крупными, скопившись в пустотах между ними. Интенсивность протекания таких скоплений вследствие колебания крупных частиц определяет, по-видимому, степень разделения фракций по скорости течения.

Течение крупной фракции во всех случаях имело характер, аналогичный тому, который в подобных условиях наблюдался для монодисперсной системы — ансамбль крупных частиц двигался в цилиндре как целое, с выраженными нерегулярными колебаниями скорости. Отметим, что в случае бидис-персного материала течение крупных частиц было более быстрым (0.16 м/с и 0.2 м/с соответственно), что говорит о снижении эффективной вязкости крупнодисперсной сыпучей среды при наличии мелких частиц.

Течение бидисперсной сыпучей среды в наклонном вращающемся реакторе. Неоднородность газопроницаемости в реакторе ФГ приводит к образованию прогаров, разрушению фронта горения и нарушению технологического режима. Одним из способов стабилизации процесса является управление дис-

1'1П1е=д ' 11те=1.5 \ Ите=3

/•; ч

/ / / /Л:- %

Рис. 9, Ряд последовательных моментов течения во вращающемся реакторе группы частиц, выделенных в тонком слое сыпучей среды.

персным составом твердой фазы и условиями течения. Например, используя бидисперсный материал и вращающийся реактор, расположенный под углом к вертикали, можно таким образом подобрать управляющие параметры, чтобы образующиеся прогары засыпались мелкими частицами при повороте реактора. Чтобы определить закономерности течения сыпучей среды в условиях вращающегося реактора проведено моделирование течения бидисперсного материала (<7 = 0.2 м, ¿¡¡6 = 0.2, сог = 0.037) в расположенном под углом а = 45° к вертикали реакторе (с 0 = 33°), вращающемся вокруг своей оси с угловой скоростью со = 20 мин-1 (рис. 56).

Показано, что течение крупной фракции в цилиндре имеет массовый характер — частицы вращаются совместно, не перемешиваясь, и двигаются в целом как твердое тело (см. рис. 9). Осевая скорость течения крупной фракции в данном случае меньше, чем в вертикальном реакторе (0.15 м/с и 0.2 м/с соответственно). Наблюдаются малые флуктуации положения крупных частиц в плоскости вращения; среднеквадратичное радиальное смещение » 0.2.

Осевые скорости мелких частиц в объеме и около стенки практически равны и в 2 раза выше скорости крупных частиц. Таким образом, если в вертикальном реакторе наблюдались две раздельные зоны течения мелкой фракции (медленная в объеме и быстрая в пристеночном слое), то во вращающемся наклонном реакторе течение в объеме более свободно и практически однородно по радиусу (см. рис. 9).

Вращение приводит к перераспределению мелких частиц по радиусу — если в верхнем слое более 70% мелких частиц располагаются в пределах пер-

0,8

1,0

йте=2.13 1|те=3 СН 11те=3.73

0,0 0,75 1,5 2,25 3,0 3,75

г ¡А (а)

Рис. 10. Течение во вращающемся наклонном реакторе, (а) интегральное распределение частиц по радиусу: мелких частиц в слое ( и 0ч-2 от поверхности, • 2 ч- 4, А 4 -г 6, ^ 6-8, ♦ 8 -г 10); распределение крупных частиц в тех же слоях — сплошные линии, (б) ряд последовательных моментов течения группы мелких частиц, выделенных в локальной области пристеночного слоя.

вого слоя между пристеночным слоем крупных частиц и стенкой, то в нижних слоях распределение уже более равномерно (см. рис, 10а). Однако, объемная доля мелкой фракции в пристеночном слое шириной =в 1.5с/ составляет около 6.6%. При таком соотношении долей и размеров мелких и крупных частиц в случае вертикального реактора протекание мелкой фракции значительно затруднено. Вращение реактора усиливает радиальные колебания крупных частиц, что облегчает осевое протекание мелкой фракции. Кроме того, мелкие частицы интенсивно перемещаются в радиальном направлении (см. рис. 106). Это, по-видимому, определяет успех применения технологической схемы с вращением реактора для стабилизации фронта ФГ.

• Разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования сыпучих сред методом дискретных элементов.

• Проведено моделирование течения монодисперсной сыпучей среды в вертикальном цилиндрическом реакторе с конусообразной разгрузочной частью. Установлено наличие двух режимов течения (плоского и воронкообразного); обнаружен пульсирующий характер течения.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ

• Проведено моделирование течения бидисперсной сыпучей среды Установлено, что в зависимости от параметров системы происходит совместное течение либо разделение мелкой и крупной фракций, при добавлении мелкой фракции в монодисперсную систему происходит уменьшение эффективной вязкости

• Проведено моделирование течения сыпучей среды в наклонном вращающемся реакторе Установлено, что в случае бидисперсного материала течение мелкой фракции однородно в осевом направлении, при этом происходит интенсивное перемешивание мелких частиц по радиусу Такой режим течения благоприятен для стабилизации плоского фронта горения

Одним из путей дальнейшего развития может быть реализация дополнительно к МДЭ метода гидродинамики сглаженных частиц (БРН), позволяющего решать гидродинамические уравнения в бессеточной лагранжевой форме и моделировать динамику сплошной среды как ансамбля дискретных частиц В методе БРН частицы являются "каплями" дискретизированной сплошной среды, которые могут свободно передвигаться в рамках наложенных законами сохранения связей Каждая такая псевдочастица имеет массу, координату, плотность и скорость, а для того чтобы получить значение любого параметра в произвольной точке среды используется интерполяция с помощью функции ядра по частицам, расположенным в радиусе сглаживающей длины от этой точки Одинаковая природа методов ДЭ и БРН позволяет выделить общую структуру программы, в рамках которой необходимо реализовать модели взаимодействия между частицами сыпучей среды и псевдочастицами сплошной среды В результате совместной реализации методов ДЭ и БРН появится возможность моделирования фильтрации газовой фазы сквозь движущийся сыпучий материал, что, при дополнительном включении межфазного тепломассообмена, позволит построить модель фильтрационного горения с замкнутой системой обратных связей, что, в свою очередь, позволит исследовать трехмерную структуру волн фильтрационного горения и развитие газодинамических неустойчивостей, а также разрабатывать способы управления процессом

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ ИЗЛОЖЕНО В СЛЕДУЮЩИХ ПУБЛИКАЦИЯХ

[1] Дорофеенко С О, Зайченко А. Ю, Жирнов А А , Манелис Г Б, По-лианчик Е В, Черемисин В В Способ переработки конденсированных горючих путем газификации и устройство для его осуществления — Патент РФ №2322641, приоритет от 02 05 2006

[2] Дорофеенко С. О, Полианчик Е В, Манелис Г Б. Численное моделирование течения бидисперсного сыпучего материала во вращающемся реакторе // ДАН - 2008 - Т 422, № 5,- С 1-3.

[3] Дорофеенко С О Численное моделирование движения сыпучего материала в реакторе шахтного типа // ТОХТ - 2007. - Т 41, № 2. - С. 205-212

[4] Дорофеенко С О Численное моделирование течения бидисперсного сыпучего материала в реакторе шахтного типа // ТОХТ — 2007 — Т 41, № б - С 1-5

[5] Дорофеенко С О Численное моделирование течения бидисперсного сыпучего материала во вращающемся реакторе // Труды 1-й конф. по филь-трац горению — Черноголовка 2007,—С 32

[6] Дорофеенко С О Численное моделирование влияния угла раствора конуса на характер течения сыпучей среды в узком реакторе шахтного типа // Математические методы в технике и технологиях —ММТТ-19 Сб трудов XIX Международ науч конф в 10-ти т Т 1 Секция 1 / Под ред В С Балакирев, Воронеж гос технол. акад — Воронеж 2006 — С. 70-73

[7] Дорофеенко С О Численное 3D моделирование течения сыпучей среды в реакторе шахтного типа // Математические методы в технике и технологиях — ММТТ-18 Сб трудов XVIII Международ науч. конф. в 10 т Т.1 Секция 1 / Под ред В С Балакирев, Казанский гос технол ун-т — Казань' Изд-во Казанского гос технол ун-та, 2005 — С 172-175

Заказ №52/10/08 Подписано в печать 07 102008 Тираж ЮОэкз Уел пл 1,25

ООО "Цифровичок", тел (495) 797-75-76, (495) 778-22-20 www.cfr.ru; e-mail-info@cfr.ru

Введение

Список обозначений

1 Метод дискретных элементов

1.1 Введение.

1.2 Алгоритм для модели деформируемых частиц.

1.3 Об эффективности обнаружения столкновений.

1.4 Механика контактного взаимодействия.

1.4.1 Особенности контактного взаимодействия.

1.4.2 Перемещения, деформации и силы.

1.5 Интегрирование уравнения движения.

1.5.1 Метод Верле.

1.5.2 Метод Нордсика—Гира предиктор-корректор.

1.6 Несферические частицы.

1.7 Способы задания геометрии степок.

2 Моделирование контактного взаимодействия сфер

2.1 Моделирование вязкоупругого взаимодействия.

2.1.1 Линейная вязкоупругая модель.

2.1.2 Нелинейная вязкоупругая модель.

2.2 Инкрементальные модели тангенцального взаимодействия.

2.2.1 Модель Миндлина—Дерисевича.

2.2.2 Модель Уолтона—Брауна.

2.2.3 Сравнение моделей тангенцального взаимодействия.

2.3 Моделирование упругопластичного взаимодействия.

2.3.1 Начало пластического течения.

2.3.2 Зависимость сила-смещение при нормальном упругопластичном контакте.

2.3.3 Тангенцальиый упругопластичный контакт.

2.3.4 Линейная модель Уолтона—Брауна.

2.3.5 Нелинейная модель Торнтона.

2.3.6 Сравнение моделей упругопластического взаимодействия.

2.4 Особенности многочастичного взаимодействия

3 Оптимизация процедуры обнаружения столкновений в задаче многих тел

3.1 Замечания относительно базовой структуры программы моделирования МДЭ.

3.2 Метод разбиения пространства регулярной сеткой

3.3 Метод ограничивающих объемов

3.4 Управление списком взаимодействий.

4 Течение сыпучего материала в реакторе фильтрационного горения твердого топлива

4.1 Введение

4.2 Течение монодисперсного сыпучего материала в вертикальном реакторе.

4.3 Течение бидисперсного сыпучего материала в вертикальном реакторе.

4.4 Течение бидисперсного сыпучего материала в наклонном вращающемся реакторе.

Актуальность темы.

Сыпучие материалы повсеместно встречаются в природе, в промышленности, в повседневной жизни. Несмотря на своё широкое распространение и даже, казалось бы, "обыденность", сыпучие материалы до сих пор являются объектом, изучение которого ещё далеко не закончено, наоборот, оно представляет всё более возрастающий интерес как само по себе, так и в связи с наличием большого количества задач, в которых сыпучая среда является одной из составляющих изучаемой системы.

Примером может служить фильтрационное горение твердого топлива — процесс, описание которого включает фильтрацию, горение и динамику сыпучей среды, которой в существующих теориях фильтрационного горения пренябрегается. Между тем, выгорая частицы топлива уменьшаются в размере, а это приводит не только к росту газопроницаемости слоя (что справедливо в случае, когда твердая фаза имеет развитый инертный каркас), а к перемещению частиц относительно друг друга, уплотнению материала в одной области и образованию полостей в другой. Как следствие, горение идет более интенсивно в тех областях, где выше газопроницаемость, в результате чего образуются прогары и застойные зоны; свод выгоревшей полости может обрушиться, что приведет к резкой смене газодинамической ситуации в реакторе. Всю эту сложную динамику горения невозможно описать не учитывая движение частиц твердой фазы.

С помощью управления течением твердой фазы в реакторе можно эффективно решать разнообразные технологические задачи, такие как обеспечение однородности засыпки шихты, ликвидация прогаров и стабилизация фронта фильтрационного горения, оптимизация производительности реактора и др. Компьютерное моделирование позволит проанализировать альтернативные варианты конструкции оборудования, выяснить критические значения управляющих параметров, определить наиболее благоприятные условия для проведения процесса.

Сыпучая среда демонстрирует богатый спектр явлений — она может течь подобно жидкости, может оставаться в покое при наличии напряжений подобно твердому телу, при высокой интенсивности воздействия может вести себя подобно газу. Множество попыток было предпринято с целью теоретически описать отдельные аспекты поведения сыпучей среды используя аппарат механики сплошных сред. Но общей теории, способной предсказать изменение поведения сыпучего материала от, например, твердоподобпого к ожижженому и обратно, всё ещё нет. В этой ситуации компьютерное моделирование, основанное на подходе Лагранжа и заключающееся в решении динамической задачи и отслеживании траектории каждой отдельной частицы, является практически единственным инструментом, с помощью которого возможно изучение поведения сыпучей среды во всём его многообразии и при наличии сложного окружения. В данном методе — методе дискретных элементов (МДЭ) — сложная задача о движении сыпучей среды как целого сводится к сумме множества простых и хорошо исследованных задач о механическом контакте между отдельными частицами.

Использование МДЭ требует относительно простых, но очень интенсивных компьютерных вычислений. Как следствие, на современном уровне вычислительной техники размер моделируемого ансамбля обычно ограничен тысячами и десятками тысяч элементов без использования продвинутого оборудования, сложных алгоритмов и оптимизированного кода. Как правило, этого достаточно при моделировании начального и среднего уровней, но здесь также требуется применение современных технологий программирования для того, чтобы обеспечить гибкость системы — качество, обязательное практически для любой программы моделирования, поскольку часто уже в процессе исследования возникает необходимость существенного изменения параметров модели, добавления в модель свойств, не предполагавшихся на начальной стадии разработки и просто тестирования ряда алгоритмов с целью выбора оптимального. При таких изменениях желательно, чтобы не затрагивалась та значительная доля программного обеспечения, которая касается задания начальной конфигурации модели, организации главного цикла, визуализации результатов вычислений и т.д. Это позволит значительно сократить время разработки и сосредоточиться непосредственно на моделировании.

В рамках МДЭ могут быть смоделированы мультифазные течения, такие как фильтрация газа или жидкости сквозь подвижный сыпучий материал. Для моделирования сплошной среды используется метод гидродинамики сглаженных частиц, который также основан на подходе Лагранжа и, на самом деле, составляет с МДЭ одно семейство численных методов. Альтернативный подход может заключаться в сопряжении МДЭ с методом вычислительной гидродинамики, который принадлежит уже семейству сеточных методов, основанных на подходе Эйлера.

Обладая огромным потенциалом как инструмент исследователя, МДЭ, как уже отмечалось выше, опирается на значительные вычислительные ресурсы и продвинутые алгоритмы. Поэтому, несмотря на уже практически тридцатилетнюю историю, период интенсивного развития метода приходится именно на наши дни, что связано как с достигнутым необходимым уровнем вычислительной техники, так и с развитием методов программирования. И хотя отдельные аспекты МДЭ, такие как модели контакта или алгоритмы поиска ближайших соседей, давно и активно развиваются, на сегодняшний день практически не существует программных пакетов, позволяющих без существенных затрат решать задачи легкого и среднего классов, т.е. того инструмента, который наиболее необходим при изучении поведения сыпучих материалов отдельными исследователями и научными группами, не занимающимися непосредственно крупномасштабным промышленным моделированием. Разработка подобного инструмента, включая обзор и анализ моделей и алгоритмов, его применение к моделированию задач описания поведения сыпучей среды в реакторе и составляет предмет настоящего исследования.

Цель работы.

• Анализ в едином ключе существующих математических моделей механического контакта, выбор и обоснование простейших моделей, определение возможных путей их дальнейшего развития; анализ эффективности алгоритма МДЭ и способов его оп-тимизаци; развитие подхода, позволяющего учитывать сложную геометрию частиц сыпучей среды и ограничивающего пространства.

• Разработка программного обеспечения для проведения вычислительных экспериментов по исследованию реологии сыпучей среды в условиях реактора фильтрационного горения твердого топлива. Дальнейшее развитие разрабатываемого программного обеспечения предполагает возможность моделирования фильтрующейся газовой фазы, межфазного тепломассообмена и химических реакций.

• Моделирование гравитационного течения сыпучей среды в условиях, характерных для реактора фильтрационного горения, проводимое с целью исследовать особенности течения и определить возможное влияние характеристик течения на устойчивость фронта фильтрационного горения.

Научно-практическая значимость работы.

Развиваемый в работе подход позволяет моделировать статику и динамику сыпучих сред на уровне взаимодействия между отдельными частицами. Проделанный критический анализ существующих моделей механического контакта позволяет более адекватно оценивать результаты такого моделирования и открывает пути дальнейшего развития моделей.

Возможность моделирования сложной геометрии частиц и ограничивающего объема позволяет строить модели, максимально приближенные к своим реальным прототипам.

Работа закладывает основу для создания модели фильтрационного горения, учитывающей динамику частиц твердой фазы. Предложены метод и способ анализа для расчета характеристик реактора фильтрационного горения твердого топлива, выбора оптимальных значений управляющих параметров. Полученные результаты использовались при разработке и реализации нового типа реактора.

Объем и структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов, трех приложений и списка цитируемой литературы.

Выводы

Разработан комплекс программ, предназначенный для моделирования сыпучих сред методом дискретных элементов.

Проведено моделирование течения монодисперсной сыпучей среды в вертикальном цилиндрическом реакторе с конусообразной разгрузочной частью. Установлено наличие двух режимов течения (плоского и воронкообразного); обнаружен пульсирующий характер течения.

Проведено моделирование течения бидисперсной сыпучей среды. Установлено, что в зависимости от параметров системы происходит совместное течение либо разделение мелкой и крупной фракций; при добавлении мелкой фракции в монодисперсную систему происходит уменьшение эффективной вязкости.

Проведено моделирование течения сыпучей среды в наклонном вращающемся реакторе. Установлено, что в случае бидисперсного материала течение мелкой фракции однородно в осевом направлении, при этом происходит интенсивное перемешивание мелких частиц по радиусу. Такой режим течения благоприятен для стабилизации плоского фронта горения.

Заключение

Развиваемый в настоящей работе подход и ПО может применяться как при исследовании поведения сыпучей среды на характерном масштабе порядка размера отдельной частицы, так и при анализе эффективности различных технологических решений и конструкций оборудования, призванных обеспечить требуемое поведение сыпучего материала в промышленном процессе. Необходимо отметить, что, поскольку единственной физической основой моделирования является контактное взаимодействие между частицами, результаты моделирования (для частиц заданной геометрии) будут целиком определяться выбором модели взаимодействия. Простые модели, обладая вычислительной привлекательностью, могут привести к ряду артефактов в поведении модельной сыпучей среды. В связи с этим может быть интересно исследование обоснованности делаемых упрощений путем сравнения результатов, полученных с помощью разных моделей. Отдельно следует отметить важность и недостаток экспериментальных данных, необходимых для проверки результатов моделирования.

Одним из путей дальнейшего развития может быть реализация дополнительно к МДЭ метода гидродинамики сглаженных частиц (SPH), позволяющего решать гидродинамические уравнения в бессеточной лагранжевой форме и моделировать динамику сплошной среды как ансамбля дискретных частиц. В методе SPH частицы являются "каплями" дискретизирован-ной сплошной среды, которые могут свободно передвигаться в рамках наложенных законами сохранения связей. Каждая такая псевдочастица имеет массу, координату, плотность и скорость, а для того чтобы получить значение любого параметра в произвольной точке среды используется интерполяция с помощью функции ядра по частицам, расположенным в радиусе сглаживающей длины от этой точки. Одинаковая природа методов ДЭ и SPH позволяет выделить общую структуру программы, в рамках которой необходимо реализовать модели взаимодействия между частицами сыпучей среды и псевдочастицами сплошной среды.

В результате совместной реализации методов ДЭ и SPH появится возможность моделирования фильтрации газовой фазы сквозь движущийся сыпучий материал, что, при дополнительном включении межфазного тепломассообмена, позволит построить модель фильтрационного горения с замкнутой системой обратных связей, что, в свою очередь, позволит исследовать трехмерную структуру волн фильтрационного горения и развитие газодинамических неустойчивостей, а также разрабатывать способы управления процессом.

1. Allen М. P., Tildesley D. J. Computer simulation of liquids.— Oxford: Clarendon Press, 1987.

2. Кривцов A. M., Кривцова H. В. Метод частиц и его использование в механике деформируемого твердого тела // Дальневосточный математический журнал ДВО РАН. — 2002. Т. 3, № 2. - С. 254-276.

3. Campbell С. S., Cleary P. W., Hopkins М. Large-scale landslide simulations: Global deformation, velocities and basal friction // Journal of Geophysical Research. — 1995. — Vol. 100, no. B5. Pp. 8267-8283.

4. Hopkins M. A., Hibler W. D., Flato G. M. On the numerical simulation of the sea ice ridging process // Journal of Geophysical Research. — 1991. — Vol. 96, no. C3. — Pp. 4809-4820.

5. Mullin T. Mixing and de-mixing // Science. 2002. - Vol. 295, no. 5561. — P. 1851.

6. Bertrand F., Leclaire L.-A., Levecque G. DEM-based models for the mixing of granular materials // Chem. Engrg. Sci. — 2005. — Vol. 60. — Pp. 2517-2531.

7. Nazer H. Development of a Discrete Element Methodology for the simulation of gravity flow of ore in ore passes: Ph.D. thesis / Colorado School of Mines, Mining Department. — 2001. http://www.mines.edu/research/wmrc/Webpage/RP-5orepassfiles/.

8. Cundall P. A., Strack 0. D. L. A distinct element model for granular assemblies // Geotech-nique. 1979. - Vol. 29, no. 1. - Pp. 47-65.

9. Ristow G. H. Granular dynamics: A review about recent molecular dynamics simulations of granular materials // Annual Reviews of Computational Physics. — World Scientific, 1994.

10. Campbell C. S. Shear Flows of Granular Materials: Ph.D. thesis / California Institute of Technology. — 1982. http://resolver.caltech.edu/CaltechETD:etd-11242003-104837.

11. Alam M., Luding S. Rheology of bidisperse granular mixtures via event driven simulations // J. Fluid Mech. 2003. — Vol. 476. - Pp. 69-103.

12. Gavrilova M., Rokne J. Collision detection optimization in a multi-particle system // Int. J. Comput. Geometry Appl. — 2003. — Vol. 13, no. 4, — Pp. 279-301.

13. Jaklic A., Leonardis A., Solina F. Segmentation and Recovery of Superquadrics. — Dor-drecth: Kluwer, 2000. — Vol. 20 of Computational imaging and vision. — ISBN 0-7923-6601-8. http://lrv.fri.uni-lj.si/ franc/SRSbook/SRS.html.

14. Mustoe G. G. W., Miyata M. Material flow analyses of noncircular-shaped granular media using discrete element methods // J. Engrg. Mech.— 2001.— Vol. 127, no. 10.— Pp. 10171026.

15. Mustoe G. G. W., Miyata M., Nakagawa M. Discrete element method for mechanical analysis of systems of general shaped bodies // Proc. 5th Int. Conf. Comput. Structures Technol. — Leuven, Belgium: 2000. — P. 6.

16. Poschel Т., Buchholtz V. Molecular dynamics of arbitrarily shaped granular particles // Journal dc Physique /.— 1995. — Vol. 5. — Pp. 1431-1455.

17. Matuttis H.-G., Luding S., Herrmann H. Discrete element simulations of dense packings and heaps made of spherical and non-spherical particles // Powder Technology. — 2000.— Vol. 109. Pp. 278-292.

18. Miiller D., Liebling Т. M. Detection of collisions of polygons by using a triangulation // Proc. 2nd Contact Mechanics Int. Symp. / Ed. by M. Raous, M. Jean, J. Moreau. — Carry-le-Rouet, France: 1994. — Pp. 369-372.

19. Kinetic collision detection between two simple polygons / J. Basch, J. Erickson, L. Guibas, J. Hershberger // Proc. 10th Ann. ACM-SIAM Symp. on Discrete Algorithms.— 1999. — Pp. 102-111.

20. Separation-sensitive collision detection for convex objects / J. Erickson, L. Guibas, J. Stolfi, L. Zhang // Proc. 10th ACM-ISAM Sympos. Discrete Algorithms. 1999. - Pp. 327-336.

21. Pournin L. On the behavior of spherical and non-spherical grain assemblies, its modeling and numerical simulation: These №3378 / EPFL. — Lausanne, 2005. http://library.epfl.ch/theses/?nr=3378.

22. Mirtich В. V-clip: Fast and robust polyhedral collision detection: Tech. Rep. TR-97-05: Mitsubishi Electrical Research Laboratory, 1997. http://www.merl.com/publications/TR1997-005/.

23. Chung K., Wang W. Quick collision detection of polytopes in virtual environments // Proc. 3rd ACM Sympos. Virtual Reality Software and Technology. — 1996. http://i.cs.hku.hk/GraphicsGroup/projects/collision/cwvrst96.pdf.

24. Samet II. The quadtree and related hierarchical data structures // ACM Comput. Surv.— 1984. Vol. 16, no. 2. - Pp. 187-260.

25. Lohner R. Some useful data structures for the generation of unstructured grids // Communications in Applied Numerical Methods. — 1988.— Vol. 4, no. 1.— Pp. 123-135.

26. Кнут Д. Искусство программирования. — Вильяме, 2000. — Т. 3. Сортировка и поиск. — С. 832.

27. Седэ/свик Р. Фундаментальные алгоритмы на С++. — К.: Изд-во "ДиаСофт", 2001.— С. 688.

28. Boyalakuntla D. S. Simulation of Granular and Gas-Solid Flows Using Discrete Element Method: Ph.D. thesis / Carnegie Mellon University. — 2003. http://www.mfix.org/opencitations/uploads/JayPhDThesis.pdf.

29. Ferrez J.-A. Dynamic Triangulations for Efficient 3D Simulation of Granular Materials: These №2432 / EPFL. — Lausanne, 2001. http://rosowww.epfl.ch/jaf/3dwdt/.

30. Доюонсон К. Механика контактного взаимодействия. — М.: Мир, 1989. — 510 с.

31. Kuwabara G., Копо К. Restitution coefficient in a collision between two spheres // Japanese Journal of Applied Physics. — 1987. — Vol. 26, no. 8. — Pp. 1230-1233.

32. S chafer J., Dippel S., Wolf D. E. Force schemes in simulations of granular materials //J. Phys. I France. 1996. — Vol. 6. - Pp. 5-20.

33. Labous L., Rosato A. D., Dave R. N. Measurements of collisional properties of spheres using high-speed video analysis // Phys. Rev. E. — 1997. — Nov. — Vol. 56, no. 5. — Pp. 5717-5725.

34. Anomalous energy dissipation in molecular-dynamics simulations of grains: The "detachment" effect / S. Luding, E. Clement, A. Blumen et al. // Phys. Rev. E. — 1994, —Nov.— Vol. 50, no. 5. — Pp. 4113-4122.

35. Pournin L., Liebling Т. M., Mocellin A. Molecular-dynamics force models for better control of energy dissipation in numerical simulations of dense granular media // Phys. Rev. E. — 2001.- Vol. 65.- P. 011302.

36. Уръев H. Б. Физико-химическая динамика дисперсных систем // Успехи химии.— 2004. Т. 73, № 1. - С. 39-62.

37. Холпанов Л. Математическое моделирование нелинейных процессов // ТОХТ.— 1999. Vol. 33, по. 5. — Pp. 466-485.

38. Холпанов Л. П., Ибятов Р. И. Математическое моделирование динамики дисперсной фазы // ТОХТ. 2005. - Vol. 39, по. 2,- Pp. 206-215.

39. Холпанов Л. П., Ибятов Р. И. Calculation multiphase heterogeneous medium hydrodynamics in a centrifugal fiel // Heat Transfer Research. — 2006. — Vol. 37, no. 4. — Pp. 307-320.

40. Ибятов P. И., Холпанов Л. П., Ахмадием Ф. Г. Математическое моделирование течения многофазной гетерогенной среды по проницаемому каналу // ТОХТ. — 2007. — Vol. 41, по. 5.-Pp. 514-523.

41. Mikami Т., Катгуа Н., Horio М. Numerical simulation of cohesive powder behavior in a fluidized bed // Chemical Engineering Science. — 1998. — Vol. 53, no. 10. — Pp. 1927-1940.

42. Matuttis H.-G., Schinner A. Particle simulation of cohesive granular materials // Int. J. Mod. Phys. C.- 2001.- Vol. 12.-Pp. 1011-1021.

43. Wolf D. E. Granular flow, collisional cooling and charged grains // Physica A.— 1999. -Vol. 274. Pp. 171-181.

44. Contact dynamics simulations of compacting cohesive granular systems / D. Kadau, G. Bar-tels, L. Brendel, D. E. Wolf // Computer Physics Communications. — 2002. — Vol. 147. — Pp. 190-193.

45. Zhang D., Whiten W. J. A new calculation method for particle motion in tangential direction in discrete element simulations // Powder Technology. — 1999. — Vol. 102, no. 3. — Pp. 235243.

46. McNamara S. Flekk0y E. G., Mal0y K. J. Grains and gas flow: Molecular dynamics with hydrodynamic interactions // Phys. Rev. E. — 2000. — Vol. 61, no. 4. — Pp. 4054-4059.

47. Muth ВEberhard P., Luding S. Collisions between particles of complex shape // Powders and Grains 2005 / Ed. by R. Garcia-Rojo, H. J. Herrmann, S. McNamara. — Stuttgart: 2005.- Pp. 1379-1383.

48. Годунов С. К., Рябенький В. С. Разностные схемы. — М.: Наука, 1977.— С. 440.

49. Daan Frenkel, Smit В. Understanding Molecular Simulation: From Algorithms to Applications. — Academic Press, 2001. — P. 664.

50. Хокни P., Иствуд Д. Численное моделирование методом частиц. — М:Мир, 1987.

51. Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. — М.: Мир, 1976. — Т. 1,- С. 439.

52. Хайрер Э., Нёрсетт С., Ваннер Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. М.: Мир, 1990. - Т. 1. - С. 512.

53. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика, — М.: Наука, 1988.— Т. I. Механика. — С. 216.

54. Акивис М. А., Гольдберг В. В. Тензорное исчисление. — М.: Наука, 1969.— С. 352.

55. Ильин В. А., Позняк Э. Г. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1999.— С. 296.

56. Петкевич В. В. Теоретическая механика. — М.: Наука, 1981.— С. 496.

57. Амелъкин Н. И. Кинематика и динамика твердого тела. — МФТИ, 2000. http://eqworld.ipmnet.ru/ru/library/books/Amelkin2000ru.pdf.

58. Vu-Quoc L., Zhang X., Walton О. R. А 3D discrete emelent method for dry granular flows of ellipsoidal particles // Comput. Methods Appl. Mech. Engrg. — 2000. — Vol. 187. — Pp. 483528.

59. Пушкарев А. Э. Аналогия линейных преобразований и структурного синтеза механизма // Теория механизмов и машин. — 2004. — Т. 2, № 2. — С. 24-29. http://tmm.spbstu.ru/.

60. Стабилизация фронта фильтрационного горения / А. А. Жирнов, А. Ю. Зайченко, Г. Б. Манелис, Е. В. Полианчик // ДАН. — 2008. — Т. 418, № 5, — С. 1-3.

61. Дорофеенко С. О., Зайченко А. Ю., Жирнов А. А., Манелис Г. В., Полианчик Е. В., Черемисип В. В. Способ переработки конденсированных горючих путем газификации и устройство для его осуществления. — Патент РФ №2322641, приоритет от 02.05.2006.

62. Дорофеенко С. О., Полианчик Е. В., Манелис Г. Б. Численное моделирование течения бидисперсного сыпучего материала во вращающемся реакторе // ДАН. — 2008.— Т. 422, № 5. С. 1-3.

63. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика.— М.: Наука, 1987.— Т. VII. Теория упругости. — С. 248.

64. Coefficient of restitution of colliding viscoelastic spheres / R. Ramirez, T. Poschel, N. V. Bril-liantov, T. Schwager // Phys. Rev. E. 1999. - Oct. — Vol. 60, no. 4. — Pp. 4465-4472.

65. Zhang D., Whiten W. The calculation of contact forces between particles using-spring and damping models // Powder Technology. — 1996. — Vol. 88. — Pp. 59-64.

66. The influence of DEM simulation parameters on the particle behaviour in a V-mixer / H. P. Kuo, P. C. Knight, D. J. Parker et al. // Chemical Engineering Science. — 2002,— Vol. 57, no. 17. Pp. 3621-3638.

67. Sadd M. H., Tai Q. M., Shukla A. Contact law effects on wave propagation in particulate materials using distinct element modeling // Int. J. Non-Linear Mechanics. — 1993. — Vol. 28, no. 2.- Pp. 251-265.

68. Model for collisions in granular gases / N. V. Brilliantov, F. Spahn, J.-M. Hertzsch, T. Poschel // Phys. Rev. E. 1996. - May. - Vol. 53, no. 5. - Pp. 5382-5392.

69. Vu-Quoc L., Zhang X. An accurate and efficient tangential force-displacement model for elastic frictional contact in particle-flow simulations // Mechanics of Materials. — 1999. — Vol. 31. Pp. 235-269.

70. Walton 0. R., Braun R. L. Viscosity, granular-temperature, and stress calculations for shearing assemblies of inelastic, frictional disks // Journal of Rheology.— 1986.— Vol. 30.— Pp. 949-980.

71. Zhang X., Vu-Quoc L. Modeling the dependence of the coefficient of restitution on the impact velocity in elasto-plastic collisions // Int. J. Impact Engineering. — 2002. — Vol. 27. — Pp. 317-341.

72. Vu-Quoc L., Zhang X. An elasto-plastic contact force-displacement model in the normal direction: Displacement-driven version // Proc. R. Soc. bond. A.— 1999.— Vol. 455.— Pp. 4013-4044. http://maesrv.mae.ufl.edu/~vql/pdf/royall999.pdf.

73. Vu-Quoc L., Zhang X., Lesburg L. Normal and tangential force-displacement relations for frictional elasto-plastic contact of spheres // Int. J. Solids and Structures. — 2001. — Vol. 38, no. 36-37,- Pp. 6455-6489.

74. Thornton C., Ning Z. A theoretical model for the stick/bounce behaviour of adhesive, elastic-plastic spheres // Powder Technology. — 1998. — Vol. 99, no. 2. — Pp. 154-162.

75. Страуструп Б. Язык программирования С++, спец. изд. — СПб.: "Издательство БИНОМ" "Невский Диалект", 2001. - С. 1099.

76. Элджер Д. С++: библиотека программиста. — СПб: Питер, 2001.— С. 320.

77. Вандервуд Д., Джосаттис Н. М. Шаблоны С++. Справочник разработчика. — Пер. с англ. Изд. дом "Вильяме", 2003. — С. 544.

78. Мейерс С. Эффективное использование STL. — Пер. с англ. — Изд. дом "Питер", 2002. — С. 224.

79. Sigurgeirsson Н., Stuart A., Wan W.-L. Algorithms for particle-field simulations with collisions // J. Сотр. Phys. — 2001. — Vol. 172, no. 2. Pp. 766-807.

80. Алдушип А. П., Сеплярский Б. С. Распространение волны экзотермической реакции в пористой среде при продуве газа // ДАН. Физика. — 1978. — Т. 241, № 1. — С. 72-75.

81. Алдушин А. П. Теория фильтрационного горения: Дисс. .д-ра ф.-м. наук: 01.04.17 / ОИХФ АН СССР. Черноголовка, 1981.

82. Алдушин А. П., Мержанов А. Г. Теория фильтрационного горения: общие представления и состояние исследований // Распространение тепловых волн в гетерогенных средах. / Под ред. Ю. Ш. Матрос. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988.— С. 952.

83. Выжол Ю. А. Сверхадиабатический режим фильтрационного горения гетерогенных систем: Дисс. канд. ф.-м. наук: 01.04.17 / ОИХФ АН СССР. — Черноголовка, 1990.

84. Распространение тепловых волн в гетерогенных средах. / Под ред. Ю. Ш. Матрос. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. — С. 286.

85. Шкадинский К. Г., Ивлева Т. П., Степанов Б. В. Вычислительный эксперимент в теории фильтрационного горения // Распространение тепловых волн в гетерогенных средах. / Под ред. Ю. Ш. Матрос. — Новосибирск: Наука. Сиб. отд-ние, 1988. — С. 263-275.

86. Алдушин А. П. Теплопроводностный и конвективный режимы горения пористых систем при фильтрации теплоносителя // Физика горения и взрыва. — 1990. — Т. 2. — С. 60-68.

87. Беккер А. В. Макрокинетическое моделирование сверхадиабатического фильтрационного горения углеродсодержащих материалов: Дисс. канд. ф.-м. наук: 01.04.17 / ИПХФ РАН. — Черноголовка, 2004.

88. Салганский Е. А. Моделирование газификации твердого топлива в фильтрационном режиме: Дисс. .канд. ф.-м. наук: 01.04.17 / ИПХФ РАН. — Черноголовка, 2004.

89. Салганский Е. А., Полианчик Е. В., Манелис Г. Б. Моделирование горения углерода в фильтрационном режиме // Химическая физика. — 2006. — Т. 25, № 8. — С. 55-63.

90. Манелис Г. Б., Полианчик Е. В., Фурсов В. П. Энерготехнология сжигания на основе явления сверхадиабатических разогревов // Химия в интересах устойчивого развития. — Новосибирск: Изд-во СО РАН, 2000. Т. 4.

91. Дорофеенко С. О. Численное моделирование-движения сыпучего материала в реакторе шахтного типа // ТОХТ. 2007. - Т. 41, № 2. — С. 205-212.

92. Beverloo W. A., Leniger Н. A., van de Velde J. The flow of granular solids through orifices // Chem. Eng. Sci. 1991. - Vol. 15, no. 3-4. - Pp. 260-269.

93. The flow of granular materials. Discharge rates from hoppers / R. M. Nederman, U. Tuzun, S. B. Savage, G. T. Houlsby // Chem. Eng. Sci. 1982. — Vol. 37, no. 11. —Pp. 1597-1609.

94. Hirshfeld D., Rapaport D. C. Granular flow from a silo: Discrete-particle simulations in three dimensions // Eur. Phys. J. K— 2001. — Vol. 4. — Pp. 193-199.

95. Rintoul M. D., Torquato S. Metastability and crystallization in hard-sphere systems // Phys. Rev. Lett. 1996. - Vol. 77, no. 20. — Pp. 4198-4201.

96. Cleary P. W. The effect of particle shape on hopper discharge // Proc. 2nd Int. Conf. on CFD in the Minerals and Process Industries / CSIRO. — Melbourne: 1999.

97. Pugnaloni L. A., Barker G. C., Mehta A. Multi-particle structures in non-sequentially reorganized hard sphere deposits // Adv. Complex Systems. — 2001. — Vol. 4, no. 4,— Pp. 289297.

98. Jamming during the discharge of grains from a silo described as a percolating transition / I. Zuriguel, L. A. Pugnaloni, A. Garcimartm, D. Maza // Phys. Rev. E.~ 2003.— Vol. 68, no. 3.-P. 030301.

99. Дорофеенко С. О. Числеиное моделирование течения бидисперсного сыпучего материала в реакторе шахтного типа // ТОХТ. — 2007. — Т. 41, № 6. — С. 1-5.

100. Tsuji Y., Kawaguchi Т., Tanaka Т. Discrete particle simulation of two-dimensional fluidized bed // Powder Technology. — 1993. — Vol. 77. — Pp. 79-87.

101. Сильвестров В. В. Системы чисел // Соросовский образовательный журнал. — 1998. — № 8. С. 121-127.

102. Ханукаев Ю. И. О кватернионах. I. Конечные перемещения твердого тела и точки // Электронный журнал "Исследовано в России". — 2002. — 033. http://zhurnal.ape.relarn.ru/articles/2002/033.pdf.