Моделирование выстрела из лука тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ _имени М.В. ЛОМОНОСОВА_

МЕХАНИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ФАКУЛЬТЕТ

На правах рукописи УДК 531.3

Специальность 01.02.04 - Механика деформируемого твердого тела

ЛУЖИН Александр Александрович

Моделирование выстрела из лука.

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2008

003460118

Работа выполнена на кафедре газовой и волновой динамики механико-математического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова

Научный руководитель: Доктор физико-математических наук

Профессор A.B. Звягин

Официальные оппоненты: Доктор физико-математических наук

Профессор В.И. Горбачев Кандидат физико-математических наук Доцент A.A. Малашин

Ведущая организация: МГТУ «МАМИ»

Защита состоится 13 февраля 2009 года в /1, часов на заседании специализированного совета Д501.001.91по механике при Московском государственном университете им. М.В. Ломоносова по адресу: 119992, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория (.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж)

Автореферат разослан « /7 » января 2009 года. Ученый секретарь

Диссертационного совета Д 501.001.91 Профессор

С.В. Шешенин

Общая характеристика работы.

Актуальность темы.

Актуальность исследования связана с возможностью оптимизации конструкции спортивных и охотничьих луков для повышения их эффективности.

Объект и предмет исследования.

В данной работе исследуется процесс выстрела из лука. При построении математической модели плечи лука моделируются стержнем Кирхгофа - Ля-ва, тетива - нерастяжимой нитью, стрела - сосредоточенной массой.

Цель работы.

Целью работы является исследование влияния основных параметров лука на процесс разгона стрелы.

Методы исследования.

Для решения задачи использовались экспериментальные методы, методы механики сплошных сред, теоретической механики, теории дифференциальных уравнений и численные методы решения краевых задач.

Научная новизна.

С точки зрения автора научная новизна полученных результатов заключается в том, что

1. построена модель процесса выстрела из лука;

2. проведено экспериментальное исследование процесса выстрела из лука;

3. проведено исследование влияния основных параметров лука на скорость вылета стрелы. Результаты расчетов проверены экспериментально.

Достоверность результатов.

Достоверность результатов обеспечивается строгостью постановки задачи и методов ее решения, экспериментальной проверкой основных принимаемых предположений. Проведено тестирование математической модели путем сравнения ее с результатами экспериментальных исследований. Сравнение показало хорошее соответствие результатов.

Теоретическая и практическая значимость.

Полученные результаты могут быть использованы для оптимизации различных конструкций луков (в первую очередь спортивных).

Личный вклад соискателя.

Постановка задачи принадлежит научному руководителю - профессору A.B. Звягину. Экспериментальные исследования, вычислительное моделирование и расчеты, анализ результатов исследований выполнены A.A. Лужиным лично.

Апробация работы.

Результаты работы докладывались и обсуждались:

1. На Ломоносовских чтениях в МГУ (2005,2006,2008 гг.);

2. На конференции «Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы» (2008 г., Москва, МГСУ);

3. На научно - исследовательском семинаре кафедры газовой и волновой динамики МГУ под руководством академика РАН Е.И. Шемякина в 2003 - 2008 гг.;

4. На научно - исследовательских семинарах кафедр теории упругости, теории пластичности, механики композитов МГУ в 2008 г.

Структура диссертации.

Диссертация состоит из введения, четырех глав с выводами по каждой главе, двух приложений, заключения и списка литературы (65 наименования). Главы разбиты на параграфы; параграфы пронумерованы двумя числами, первое из которых - номер главы, второе - номер параграфа в данной главе. Текст изложен на 103 страницах, диссертация содержит без учета приложений 44 рисунка.

Содержание работы.

Введение состоит из двух частей.

В первой изложена история развития луков, рассказано о предыдущих исследованиях, сформулированы цели диссертации и приведено краткое содержание ее глав.

Первое упрощенное решение задачи было предложено В.И. Феодосьевым. Рассматривалась упрощенная модель лука:

1. кривизна плеча лука равна нулю;

2. плечи имеют постоянное сечение;

3. угол между плечами лука - развернутый.

Учитывались только два состояния лука: натянутое (в момент начала выстрела) и стянутое (конец выстрела) (Рис.1). В каждом из состояний подсчитыва-лась упругая энергия плеч лука. Далее считалось, что вся истраченная энергия (разность энергий в натянутом и стянутом состоянии) переходит в кинетическую энергию стрелы, то есть кинетическая энергия движения плеч лука и тетивы не учитывалась.

Второе решение было предложено A.B. Звягиным и A.A. Малашиным. В нем задача о выстреле из лука решалась в линейной постановке, для малых прогибов плеч.

НУГА И ПРЯМОЛИНЕЙНА); 3 - НАТЯНУТОЕ (В МОМЕНТ НАЧАЛА ВЫСТРЕЛА)

В отличие от предшествующих работ, в рассматриваемой диссертации учтена кинетическая энергия плеч лука, их начальная кривизна, начальный угол выгиба и переменная жесткость.

Во второй части предложена классификация луков, сделаны основные определения и введены основные параметры лука.

При работе с луками выделяют три состояния лука (РИС. 1):

1. Расслабленное. Состояние лука при отсутствии тетивы (1).

2. Стянутое. На лук одета тетива, к ней не прикладываются внешние усилия (2).

3. Натянутое. К тетиве приложены внешние усилия (3).

Основными параметрами лука являются:

1. Кривизна плеча лука в расслабленном состоянии^ (5);

2. Угол выгиба лука а - угол равный половине угла, дополняющего до развернутого угол между плечами лука;

3. Длина плеча лука Ь;

4. Длина тетивы 2 • I',

5. База лука Ь, определяемая в первую очередь длиной рук стрелка;

6. Сила натяжения лука Б - сила, действующая на стрелу со стороны лука.

Еще одним важным параметром является распределение жесткости по плечу лука. Для исследования влияния этого параметра будут рассмотрены трапециевидные луки - луки, у которых жесткость и линейная плотности меняются вдоль плеча лука по линейному закону. Характеристикой таких луков будет являться

7. Коэффициент сужения С - отношение жесткости на свободном конце плеча лука к жесткости в точке скрепления плеч лука.

Основные обозначения:

5 - Лагранжева координата точек нити, координата срединного волокна стержня;

V - вектор скорости точек нити или плеча лука;

—»

<2 - вектор сил;

М - вектор моментов;

в - угол наклона нити или срединного волокна к заданной оси;

и и V - касательная и нормальная составляющие вектора скорости нити или плеча лука;

Т и N - касательная и нормальная составляющие вектора силы;

Е(Б) - модуль Юнга плеча лука;

р - линейная плотность плеча лука;

/(Б) - геометрический момент инерции плеча лука;

Первая глава диссертации посвящена экспериментальному исследованию луков.

В § 1.1 сделано описание применяемых экспериментальных установок и сделаны оценки ошибок, возникающих при снятии экспериментальных результатов.

При проведении экспериментальных исследований применялись две экспериментальные установки.

Первая применялась для проведения динамических экспериментов.

ГИС2 ИСПЫТАТЕЛЬНАЯ УСТАНОВКА ДЛЯ ДИНАМИЧЕСКИХ ЭКСПЕРИМЕНТОВ. ЦИФРАМИ ОБОЗНАЧЕНЫ: 1 - НЕПОДВИЖНЫЕ ГОРИЗОНТАЛЬНЫЕ БАЛКИ; 2 - ПОДВИЖНЫЕ ВЕРТИКАЛЬНЫЕ СТОЙКИ; 3 - ПОДВИЖНАЯ ГОРИЗОНТАЛЬНАЯ ПЕРЕКЛАДИНА; 4 - ЛУК; 5 - ТЕТИВА; 6 - ОТТЯГИВАЮЩАЯ НИТЬ; 7 - ПУСКОВОЙ МЕХАНИЗМ;

8-ГРУЗ, МОДЕЛИРУЮЩИЙ СТРЕЛУ; 9-МАЧТЫ ОСВЕЩЕНИЯ; 10-ВИДЕОКАМЕРА.

Установка для динамических экспериментов (РИС. 2) состоит из неподвижных горизонтальных балок [1], по которым перемещаются вертикальные стойки [2]. По вертикальным стойкам двигается горизонтальная перекладина [3], к которой крепится лук [4]. Тетива лука [5] крепится с помощью оттягивающей нити [6] к пусковому механизму [7]. К тетиве крепится стрела, или груз, имитирующий стрелу [8]. Процесс движения фиксируется высокоскоростной видеокамерой НСС-1000 немецкой фирмы УБ8 УоБзкйЫег [10], ка-

чество съемки обеспечивается необходимой подсветкой [9]. Для освещения установки используются 8 галогенных ламп, каждая мощностью по 500 ватт, питающиеся от цепи постоянного тока.

Результатами эксперимента являются последовательные по времени кадры, позволяющие фиксировать положение стрелы и положение маркеров, нанесенных на плечи лука. При обработке снимаются пиксельные координаты точек и далее обрабатываются с учетом масштаба.

При обработке эксперимента определение координаты стрелы происходит с ошибкой в один пиксель. Эта ошибка мало влияет на определение координаты стрелы, но достаточно существенно на скорость. Влияние этой ошибки на скорость вылета стрелы вычисляется по формуле:

л (р^истинное^ь) ^-истинное1) "Ь Ахистинное ~ VI (Ь) =--<---2 --

Вторая установка применялась для исследования статики лука (Рис.3).

РИСЗ УСТАНОВКА ДЛЯ СТАТИЧЕСКИХ ИСПЫТАНИЙ. ЦИФРАМИ ОБОЗНАЧЕНЫ: [1] - ЖЕСТКАЯ ОСНОВА;

[21-ЛУК; р] - ЛИНЕЙКА; [4] -ТЕТИВА; [5]-ДИНАМОМЕТР.

Для статических испытаний использовалась установка (РИС.3). На жесткую основу [1], оснащенную линейкой [3] закрепляется лук [2]. К тетиве [4] прикрепляется динамометр [5]. Перемещение динамометра вдоль линейки позволяет снимать геометрию лука, величину базы лука и соответствующую силу натяжения лука.

В § 1.2 проведено экспериментальное исследование 5 различных луков. Данные экспериментов после обработки позволили получить основные характеристики лука и стрелы в последовательные моменты времени. Соответствующие характеристики процесса разгона стрелы представлены в работе набором графиков: зависимости силы натяжения от величины базы каждого лука; зависимости координаты и скорости пятки стрелы от времени.

Полученные в результате обработки экспериментов данные позволили сделать следующие выводы:

1. В процессе разгона стрелы верхняя и нижняя половины тетивы остаются практически прямолинейными.

2. В процессе выстрела плечи лука движутся «монотонно» (то есть отсутствуют заметные собственные колебания плеч лука).

3. Вид зависимости координаты пятки стрелы и ее скорости качественно одинаковы для различных конструкций лука.

4. Материал, из которого изготовлены плечи лука (дерево, пластик, метал) оказывает качественное влияние на вид зависимости силы натяжения лука от величины базы лука.

Во второй главе приведены основные уравнения движения балки и нити, сделана постановка задачи. Приведен обзор необходимой литературы. Показано, что в общем случае задача сводится к связанной системе нелинейных динамических уравнений.

В § 2.1 приведены уравнения движения стержня, полученные на основе гипотез Кирхгофа - Лява. Сделан обзор литературы по данному вопросу. Приняты следующие основные гипотезы:

1. Справедлива гипотеза плоских сечений Бернулли - Эйлера - Кирхгофа - Лява;

2. Размеры поперечного сечения считаются малыми по сравнению с длиной стержня и радиусом кривизны осевой линии;

3. Осевая линия считается нерастяжимой;

4. Справедлив принцип Сен-Венана.

С учетом предположений 1.-4. рассматриваемая задача сводится к нахождению решения системы б нелинейных уравнений в частных производных относительно 6 искомых функций и, V, Т, И,М,д:

(ди дв\ дТ ..дв

/Эи дв\ дЫ^-дв Р\Ж + иШ)=Ж + Тд5

I д2в _ дМ РВ' дЬ2 ~ дБ ди_ дв_п

д£ дв_дв + ~ дЬ

где: и, V — компоненты скорости плеча лука в проекциях на касательную и нормаль к срединному волокну; N. Т - компоненты главного вектора сил плеча лука в проекциях на касательную и нормаль к срединному волокну; в — угол наклона касательного вектора к срединному волокну к оси; М — изгибающий момент; Е — модуль Юнга; ] — геометрический момент инерции; % - начальная кривизна плеча; Ь — время; 5 — длина дуги срединного волокна. В этой системе:

— первые два уравнения - проекции уравнения движения на единичные касательный и нормальный вектора к срединному волокну плеча лука;

— третье уравнение - геометрическая связь момента с кривизной срединного волокна;

— четвертое уравнение - закон сохранения момента импульса плеча лука;

— пятое и шестое уравнения - проекции кинематического уравнения плеча лука на направления касательной и нормали к срединному волокну.

В § 2.2 исследуются уравнения динамики гибкой растяжимой нити применительно к рассматриваемой задаче:

ди_ дв_1 дТ дг * ~ р' дБ др дв_Т дв дг + " д1 ~ р ' дБ

д£ vдS~дt ду , дв ,л , .дв

где: и, V — компоненты скорости в проекциях касательную и нормаль к нити; Т - сила натяжения нити; е - деформация нити; в — угол наклона касательного вектора к нити к оси; t — время; 5 — Лагранжева координата.

В этой системе первые два уравнения - проекция уравнения движения на единичные касательный и нормальный вектора к срединному волокну; последние два - проекция кинематического условия на единичные касательный и нормальный вектора к срединному волокну.

В § 2.3 сформулирована постановка краевой задачи о выстреле из лука, в том числе получены граничные условия (РИС. 4):

РИС 4

Точка А - середина тетивы - точка соприкосновения тетивы со стрелой. Граничным условием в точке А будет зависимость координаты т. А от времени, получаемая как решение уравнения движения стрелы. Введем угол встрелы - угол между касательной к траектории стрелы (АС) и тетивой в

точке А. Тогда уравнение движения стрелы примет вид: тстрелы dVc^MU = 2ТН(А) cos встрелы< гДе ТН(А) - сила натяжения тетивы в точке А, Устрелы - проекция скорости тетивы в точке А на ось АС. Начальное условие для этого уравнения имеет вид Устрелы(0) = 0.

Точка В — точка соединения тетивы и плеча лука. В точке В равны скорости тетивы и плеча лука V„ = Vc,. Равен нулю главный момент плеча лука Мс = 0. Связаны сила натяжения нити и главный вектор сил в сечении стержня: Тн = Qc.

Точка С — точка закрепления лука. В точке закрепления лука плечо жестко закреплено и, следовательно, равна нулю скорость движения стержня (плеча лука) Vc = 0 и известен угол в (он определяется из величины угла выгиба а).

В § 2.4 проведен анализ характерных скоростей возмущений в тетиве и плече лука. Этот анализ и результаты экспериментов позволяют рассматривать задачу в квазистатическом приближении, поскольку время выстрела неизмеримо больше характерных времен пробега возмущений по тетиве и плечам лука.

В третьей главе диссертации рассматривается задача о статическом равновесии лука.

В § 3.1 проводится анализ и решение уравнений статики системы плечи лука - тетива. Задача сведена к решению двухточечной краевой задачи для трех обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с пар-метром, определяемым из граничных условий (РИС. 5):

РИС 5. ИСПОЛЬЗУЕМАЯ СИСТЕМА КООРДИНАТ В ЗАДАЧЕ ВЫСТРЕЛА ИЗ ЛУКА. УГОЛ А - УГОЛ НАЧАЛЬНОГО ВЫГИБА ПЛЕЧА ЛУКА.

Система уравнений для безразмерных координат х,у точек плеча лука и угла 9 в случае равновесия может быть сведена к системе трех нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с параметром И-

fde

— =-H-j(s)-x + X( s) dx

— = sine

ds dy

— = cos в ds

со следующими граничными условиями

х(0) = О У(0) = О, у(1) 4- h • sin (8(1) + а) = Zo ftcos(G(l) + а) = х(1)

s'

В этих уравнениях использованы величины: s = — — безразмерная ла-

I

У

гранжева координата, j(s) = , ц =

EcJc(s)

T„L2 l _ зГ

EcJcdSo)' L" ~ L

y_ l'

К(х) = ' гДе Ь - длина плеча лука, I — длина половины тетивы, приведенная жесткость j (5) - является известной функцией и представляет собой отношение жесткости плеча в фиксированной точке 50 к его жесткости в текущей точке.

В § 3.2 рассматривается частный случай задачи: плечо лука моделируется прямой балкой постоянного сечения. В этом случае краевая задача сводится к решению приведенной ниже системы нелинейных алгебраических уравнений относительно трех переменных к,т,в1, которые - суть недостающие граничные условия условия на концах стержня и искомый параметр (к2 = (1,т = Бт^^-,в1 = 0(1) + а). При этом использованы следующие обозначения: Е{<р,т) - эллиптический интеграл первого рода и Е0(т) = Е(л/ 2, т); Р(<р, т) - эллиптический интеграл второго рода и Рс (тп) = 7г/2, т).

5171 (вл ? а)

к-10 = -2-Е[ агсзт-—-,т ) + 2 • Е0(т) +

т

( ^Рг*) \

Ч-/7 агсзт-т - Р0(т) +

V 771 )

зт 1-^2—I

+2 • С о 01 • т • со51 агсзт--

т

/с • к • со б в1 = 2т • С05 агсзт

ят

\ 171

(вх - а\ зт (—-1

'Рг5) ^

к = Р0(т) - Р ( агсзт-—-, т

В § 33 краевая задача решается в общем случае. Для нахождения решения системы нелинейных алгебраических уравнений применяется итерационный метод Ньютона. Так как сходимость классического метода Ньютона сильно зависит от степени близости начального приближения к искомому решению, то используется его модификация, лишенная этого недостатка, а именно метод Исаева - Сонина. Для решения задачи Коши схема Дормана -Принса 8(7).

В § 3.4 проведено изучение влияния параметров лука (величина базы лука, длина плеча лука, длина тетивы, начальная кривизна плеча лука, распределения жесткости плеча лука по его длине). Анализ показал, что изменение параметров лука качественно не меняет вид зависимостей сил натяжения тетивы и лука от величины базы лука. Эти зависимости для одного из луков приведены на РИС. 6. Помимо этого установлены следующие факты:

1. Величина силы натяжения тетивы поначалу убывает, до момента, пока угол между тетивой и свободным концом плеча лука не достигает 90 градусов, после этого сила натяжения тетивы начинает возрастать. Во всем рабочем диапазоне величин базы лука (который составляет величину порядка длины плеча лука или менее) максимум силы натяжения лука достигается в стянутом состоянии.

2. Сила натяжения лука монотонно возрастает с ростом базы лука; график зависимости имеет точку перегиба, соответствующую моменту,

12

когда угол между тетивой и свободным концом плеча лука равен 90 градусам.

3. С ростом угла выгиба лука, коэффициента сужения и начальной кривизны плеча лука сила натяжения лука возрастает.

база лука (в длинах плеча лука)

-сила натяжения тетивы сила натяжения лука

РИС 6. ЗАВИСИМОСТЬ СИЛЫ НАТЯЖЕНИЯ ЛУКА И СИЛЫ НАТЯЖЕНИЯ ТЕТИВЫ ОТ ВЕЛИЧИНЫ БАЗЫ

ЛУКА.

В четвертой главе, на основе решения задачи о статическом равновесии лука, предложен и реализован численный метод решения задачи о выстреле из лука.

В § 4.1 излагается метод решения задачи о выстреле из лука. Даны основные предположения:

1. Принимается, что половина тетивы в процессе выстрела прямолинейна в каждый момент времени;

2. Считается, что в процессе разгона стрелы плечо лука проходит состояния, близкие к соответствующим состояниям равновесия;

3. Делается предположение о том, что высокочастотные собственные колебания плеч лука малы.

4. При решении пренебрегается аэродинамическим сопротивлением стрелы, тетивы и плеч лука.

Весь процесс разгона разбивается на элементарные шаги по времени, причем величина текущего шага по времени подлежит определению из закона сохранения полной энергии системы. Форма лука на каждом шаге вычисляется по заданной базе, как решение соответствующей статической задачи. Определяются скорости точек плеч лука, поскольку известны их положения в

два последовательных момента времени. То есть, известны величина базы лука, координаты расчетных точек и изменение упругой энергии плеч. Это позволяет определить шаг по времени из закона сохранения полной энергии системы, которая складывается из упругой и кинетической энергии плеч лука, кинетической энергии тетивы и кинетической энергии стрелы.

В § 4.2 проведена оценка точности вычислений, а также сравнение результатов теоретических расчетов с результатами экспериментов. Составленный пакет программ позволил реализовать предложенный метод расчета разгона стрелы в процессе выстрела. Выполнено сравнение результатов численных расчетов с соответствующими результатами экспериментов. Установлено, что предложенный программный пакет позволяет рассчитывать процесс разгона стрелы с достаточно высокой точностью. Результаты сравнения результатов расчетов и экспериментальных данных приведены на РИС. 7. Вертикальными отрезками прямых показана величина ошибки экспериментальных данных.

время (с)

• эксперимент ■теория

РИС 7. СРАВНЕНИЕ ТЕОРИИ И ЭКСПЕРИМЕНТА

Также проверена гипотеза о прохождении в процессе движения плечами лука состояний, близких к состояниям равновесия (РИС. 8). На рисунке сплошными линиями обозначены теоретические значения, большими синими точками — результаты эксперимента; их размер показывает ошибку, возникающую при получении экспериментальных данных.

- в-эксперимент ■ теория

РИС 8. СРАВНЕНИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКОГО РАВНОВЕСНОГО ПОЛОЖЕНИЯ ЛУКА И ДАННЫХ ДИНАМИЧЕСКОГО ЭКСПЕРИМЕНТА ДЛЯ ОДИНАКОВОЙ БАЗЫ. РАССМОТРЕНО НАЧАЛЬНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ, ПОЛОЖЕНИЯ ЧЕРЕЗ МОМЕНТЫ ВРЕМЕНИ, РАВНЫЕ ТРЕТИ И ДВУМ ТРЕТЯМ ОТ ВРЕМЕНИ ВЫСТРЕЛА.

В § 43 исследовано влияние основных параметров задачи на скорость вылета стрелы. Показано, что:

1. Для каждого стрелка является более выгодным лук с наибольшей длиной плеч, при этом, чем длиннее плечи лука, тем меньше оптимальный угол выгиба.

2. Существенное влияние на выбор лука имеет масса стрелы;

3. Переменное сечение плеча лука (например, уменьшение коэффициента сужения С (РИС. 9)) позволяет получить значительный выигрыш в скорости вылета стрелы.

4. Увеличение начальной кривизны плеча лука позволяет получить выигрыш в скорости вылета стрелы, но при этом возрастает сила натяжения лука. При одинаковой силе натяжения лука увеличение начальной кривизны плеча лука не дает выигрыша в скорости вылета стрелы.

1 0.9 0.8 0.7 0.6 0.5 0.4 0.3

коэффициент

сужения —•— аКа=-7,5 ■ а^а=0 —*—а^а=7,5 —аКа=15

РИСА ЗАВИСИМОСТЬ СКОРОСТИ ВЫЛЕТА СТРЕЛЫ ДЛЯ ЛУКА С ПЕРЕМЕННОЙ ЖЕСТКОСТЬЮ ОТ КОЭФФИЦИЕНТА СУЖЕНИЯ ДЛЯ РАЗЛИЧНЫХ УГЛОВ ВЫГИБА ПЛЕЧ

В приложении А приведены кадры характерной видеосъемки выстрела из лука.

В приложении В приведены характерные формы различных луков в зависимости от величины базы лука.

Основные результаты работы, выносимые на защиту:

1. Экспериментальное исследование процесса выстрела из лука. При этом выявлены следующие закономерности:

a. В процессе разгона стрелы обе половины тетивы остаются прямолинейными.

b. В процессе выстрела плечи лука движутся поступательно (то есть отсутствуют собственные колебания).

c. Вид временной зависимости координаты конца стрелы и скорости стрелы качественно не зависят от конструкции лука.

с!. Материал, из которого изготовлены плечи лука (дерево, пластик, метал) оказывает качественное влияние на вид зависимости силы натяжения лука от величины базы лука.

2. Построена математическая модель задачи о выстреле из лука.

3. Исследованы зависимости скорости вылета стрелы от различных параметров лука. При этом установлены следующие закономерности:

a. Лук для каждого стрелка должен подбираться индивидуально.

b. Для каждого стрелка является более выгодным лук с наибольшей длиной плеч, при этом, чем длиннее плечи лука, тем меньше оптимальный угол выгиба.

c. Переменное сечение плеча лука (например, уменьшение коэффициента сужения С) позволяет получить значительный выигрыш в скорости вылета стрелы.

(1. Увеличение начальной кривизны плеча лука позволяет получить выигрыш в скорости вылета стрелы, но при этом возрастает сила натяжения лука. При одинаковой силе натяжения лука увеличение начальной кривизны плеча лука не дает выигрыша в скорости вылета стрелы.

4. Выполнено сравнение результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными.

Публикации.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Звягин A.B., Лужин A.A. Зависимость скорости вылета стрелы при выстреле из лука от его параметров. //Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. 2005 год. Тезисы докладов. - Москва: Изд-во Моск. Ун-та, 2005. - С. 95.

2. Звягин A.B., Лужин A.A. Влияние угла выгиба плеча лука на скорость вылета стрелы. //Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. 2006 год. Тезисы докладов. - Москва: Изд-во Моск. Ун-та, 2006. -С. 69.

3. Лужин A.A. Моделирование выстрела из лука: теория и эксперимент. //Ломоносовские чтения. Научная конф. Секция механики. 2008 год. Тезисы докладов. - Москва: Изд-во Моск. Ун-та, 2008. - С. 124-125.

4. Звягин A.B., Лужин A.A. Моделирование выстрела из лука. //Вестн. МГУ. Сер. 1. Матем. и Механ. - 2008. - №4. - С. 40-45.

5. Звягин A.B., Лужин A.A. Моделирование выстрела из лука. // Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы. Научная конф. 2006 год. Сборник трудов. - Москва: Изд-во МГСУ, 2008. - С. 58-67.

Подписано в печать 10.01.09 Формат 60x88 1/16. Объем 1 п.л. Тираж 100 экз. Заказ № 810 Отпечатано в ООО «Соцветие красок» 119991 г.Москва, Ленинские горы, д.1 Главное здание МГУ, к. А-102

ВВЕДЕНИЕ.-

Историческая справка. Обзор предшествовавших работ. Краткое содержание диссертации.

Классификация луков, определения и обозначения.

ГЛАВА 1. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ЛУКОВ.

§ 1.1. Описание экспериментальной установки и анализ точности измерений.

§ 1.2. Экспериментальное исследование луков.

Выводы.

ГЛАВА 2. ОБЩИЕ УРАВНЕНИЯ И ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ О ВЫСТРЕЛЕ ИЗ ЛУКА.

§ 2.1. Уравнения движения стержня.

§ 2.2. Уравнения движения нити.

§ 2.3. Постановка задачи о выстреле из лука.

§ 2.4. Анализ скоростей распространения поперечных волн в тетиве и плечах лука.

Выводы.

ГЛАВА 3. РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ О СТАТИЧЕСКОМ РАВНОВЕСИИ ЛУКА.

§ 3.1. Анализ уравнений статики лука.

§ 3.2. Частный случай: сведение краевой задачи к задаче Коши.

§ 3.3. Решение краевой задачи.

§ 3.4. Исследование статики лука.

Выводы.

ГЛАВА 4. «ЭНЕРГЕТИЧЕСКИЙ» МЕТОД РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О ВЫСТРЕЛЕ ИЗ ЛУКА.

§ 4.1. Энергетический метод решения задачи о выстреле излука.

§ 4.2. Оценка точности вычислений и сравнение полученных результатов с результатами экспериментальных исследований.

§ 4.3. Исследование влияния параметров лука на скорость вылета стрелы.

Выводы.

Историческая справка. Обзор предшествовавших работ. Краткое содержание диссертации.

-наши стрелы закроют солнце, -хорошо, мы будем сражаться в тени.

Лук был известен практически на всем земном шаре, на всех континентах, за исключением, разве что, аборигенов Тасмании, Новой Зеландии и юга Австралии. Возникновение этого оружия археологи относят в самое далекое прошлое. Археологические находки (древки стрел, найденные на стоянке Штельмоор, близ Гамбурга; изображения в пещерах местечка Альпер в Испании; российские древности того же периода) свидетельствуют о существовании лука уже в конце верхнего палеолита - начале мезолита (не менее 8 тысяч лет до нашей эры).

Изобретение лука ознаменовало качественно новый этап исторического развития человека, обеспечив ему гораздо более продуктивную охоту и эффективную защиту, позволило подняться на новый, более высокий уровень жизнедеятельности. Барельефы древних Ассирии и Египта повсеместно изображают воинов с луками, осаждающих крепости и мчащихся на колесницах в погоне за зверем. В Древней Греции юноши, наравне с метанием копья и диска, бегом и борьбой, обучаются и стрельбе из лука, хотя в бою греки отдавали явное предпочтение мечам и копьям в тесном пешем строю.

Без лука не представляли своего существования и скифы. В их захоронениях, причем не только знатных воинов, но и простолюдинов, практически всегда встречается лук или, в крайнем случае, наконечники стрел. Гунны славились не только своей свирепостью, но и стрелками, и луками страшной силы, от которых спасал далеко не всякий доспех.

В средние века лук полностью сохранил важнейшую роль в жизни человека.

Население Англии, после поражения при Гастингсе [1] в 1066 году и захвата ее Вильгельмом Нормандским, долго не желало смириться с гнетом завоевателей. Народ, вооружаясь наиболее доступным оружием — луками, уходит в леса, поднимает восстания, грабит своих грабителей. Об отважных «вольных стрелках» складывают легенды.

И, видимо, не случайно, впоследствии в Англии выходят указы, согласно которым буквально все население в возрасте от 16 до 60 лет было обязано овладеть приемами стрельбы из лука. Плоды массового обучения лучников англичане пожинали в ходе Столетней войны: в 1346 году в битве при Креси [2] и 1415 году при Азенкуре [3]. Тогда английские лучники своими длинными стрелами буквально засыпали противника и выиграли сражение.

Английские лучники, в большинстве, оснащались луками за счет казны. Казенные луки делались согласно четко расписанным государственным требованиям. Помимо чисто технических достоинств, это было весьма дешевое, качественное оружие, которое могло быть произведено в массовых количествах за короткий период времени.

Английский длинный лук появился в конце 13 века. Вырезался лук из тиса таким образом, что состоял из двух слоев древесины с разными свойствами. Тис считался наилучшей древесиной, позволяющей создавать наиболее эффективные луки. Под эффективностью здесь подразумевается не столько сила натяжения лука, сколько скорость, с которой он мог распрямиться и послать стрелу (что имеет прямое отношение к дальности и точности стрельбы). Кстати, английский тис не считался хорошей древесиной, основным источником тиса была Испания, а позднее и Италия. Специальные правительственные чиновники строго оценивали качество поставляемой древесины. Исследования немногочисленных уцелевших образцов 15-16 веков показывают исключительно высокий уровень использовавшегося материала. Соответственно, и дальность стрельбы из английских луков была на треть больше, чем из других деревянных луков - до 300 метров. Служил тисовый лук не долго - несколько месяцев, потом упругость утрачивалась, и лук ломался. Поэтому значительное количество луков перевозилось с армией в виде заготовок и доделывалось под конкретного бойца непосредственно на театре военных действий. Перевозился деревянный лук со снятой тетивой.

Сила натяжения английского боевого лука того времени составляла порядка 35 кг. Дальность стрельбы из такого лука доходила до 300 метров, причем, весьма сильно зависела от ветра. Следует отметить, что данная цифра справедлива для навесной стрельбы. Дальность прямого выстрела из лука значительно меньше - около 30 метров. Начальная скорость стрелы составляла 45-55 м/с. Безусловно, ни о какой прицельной стрельбе тяжелой боевой стрелой с кованым наконечником на дистанцию более 50 метров не могло быть и речи. Хороший лучник мог попасть на такой дистанции в человека, но и только. В состязаниях на дистанции до сотни метров применялись более легкие стрелы, имевшие большую начальную скорость и, соответственно, обеспечивавшие большую точность.

Применяемые в Западной Азии и Восточной Европе луки имели намного более прогрессивную конструкцию, чем европейские. В этих тщательно разработанных луках применяются различные материалы: древесина, роговые пластины и сухожилия, поэтому их называют составными. Составной лук - значительно более сложный по конструкции. Для его изготовления требовалось большое искусство. Этот лук - удивительное проявление изобретательности в механике. Дальняя от стрелка часть плеча лука подвергается наибольшему растяжению. Для неё подбирали материалы, обладающие большей способностью к растяжению. Часто использовалась кожа, обработанные жилы и т.п. Внутренняя часть лука испытывает сжатие, - её изготавливали из дерева, кости и других доступных материалов. Классический составной лук - это деревянная сердцевина, к внешней стороне которой приклеены сухожилия, а к внутренней — роговые пластины (обычно из рогов буйвола). Срок службы составного лука исчислялся десятилетиями. Перевозились составные луки в боеготовом состоянии, но, при длительном хранении, тетива снималась.

По-видимому, первые составные луки - так называемы угловые - применялись в древнем Египте. В VII веке до нашей эры угловой лук был вытеснен по всей Западной Азии скифским луком.

Великая Монгольская держава своими завоеваниями также во многом обязана луку. Воину - монголу наказывалось иметь два вида этого оружия разной величины: большой - для стрельбы с земли и поменьше - для стрельбы с коня. Сложилась у монголов и эффективнейшая тактика подавления неприятеля непрерывным массированным обстрелом с коней. На Руси она получила название «хоровод». Плотность осыпи была такой, что воин непри- ! ятеля, неосторожно показавшийся из-за крепостной стены, мгновенно становился похожим на ежа.

Не отставала в развитии лука и Русь. Здесь он был известен с древнейших времен - изначально, по-видимому, как оружие охоты, а затем и боевое. Византийские источники, описывая оружие славян, наравне со щитами и дротиками, упоминают и луки небольшого размера, со стрелами, порой отравленными. Византийский историк X века Лев Диакон [4] отмечал огромную роль лучников в войске князя Святослава Киевского при военных действиях в Болгарии. Они умело пользовались луком как в открытом бою, поражая в основном вражескую конницу, так и при взятии крепостей, и в обороне. В течение всего средневековья лук был одним из основных орудий войны на Руси и ее вассальных землях.

Луки подносились в качестве почетных даров князьям. Силой и красотой своих луков похвалялись на пирах воины-богатыри. Славяне и близкие к ним народы в своих воинских культах зачастую одушевляли лук, давали ему собственное имя, обращались с ним, как с живым существом.

Ни одно сколько-нибудь крупное сражение не обходилось без этого грозного оружия. Лучники находились, как правило, впереди и на флангах войска. Основной их задачей было прикрывать развертывание основных сил в боевые порядки, подавлять противника перед атакой, наносить ему максимальный урон еще до начала битвы, сеять панику и расстраивать его ряды. Лучники должны были также не допустить внезапного нападения вражеской конницы, встретив ее градом стрел, массово выводя из строя лошадей и всадников.

Из «Ливонской хроники» XIII века известно о существовании на Руси специальных отрядов стрелков - лучников, которые не только охраняли войска на походном марше, но и мужественно выдерживали первые атаки врага. ; Генрих Латвийский отмечал высокое искусство лучников Руси, их значение в борьбе с крестоносцами, превосходство над немецкими кнехтами-арбалетчиками. Знаменитое Ледовое побоище 1242 года началось именно с губительного обстрела немецкой «свиньи» русскими лучниками.

Испытания, проведенные Эдвардом Макьюэном, Робертом Л. Миллером и Кристофером Бергманом [5] показали, что точная копия составного лука с силой натяжения 27 кг должна выпускать аналогичную стрелу с такой же скоростью, как и копия средневекового тисового длинного лука с силой натяжения 36 кг (около 50 м/с). Предельное зафиксированное расстояние для выстрела на дальность из английского лука составляло 557 метров. Стрела же турецкого султана Мурата-гази IV, увлекавшегося стрельбой из лука, улетела однажды на 878,5 метра.

С поздним средневековьем в мир пришло огнестрельное оружие, которое начало постепенно вытеснять луки и арбалеты. Но лук еще долго соперничал с несовершенными аркебузами и пищалями. В 1792 г. в Англии прошли интересные соревнования. Состязались лук и ружье, сделавшие по 20 выстрелов на расстоянии 100 ярдов (91 м). Результат: в мишени оказалось 16 стрел и только 12 пуль. И это в конце XVIII века.

Оружием, качественно превзошедшим лук стали казнозарядные нарезные винтовки системы Дрейзе в Германии (конец 40-х годов 19 века) и нарезные дульно-зарядные винтовки, оснащенные пулями типа Минье (пули, расширяющиеся в канале ствола) в Англии и Франции (начало 50-х годов 19 века).

Первыми отказались от лука французы - в 1527 г. лук был объявлен непригодным для войны и королевские стрелки расформированы. В России лук ' просуществовал дольше. Поместная конница Ивана Грозного, наряду с огнестрельным оружием, с успехом пользовалась луками. Лишь указом Петра I, ( во всем равнявшегося на Запад, лук как оружие был отменен в регулярных войсках.

Но еще не скоро он окончательно исчез с арены военных действий. В войне 1812 г. русские ополченцы и партизаны, а также союзные башкирские и калмыцкие формирования с успехом использовали это древнее оружие против французских захватчиков. Башкирские лучники метко били врага и во время Крымской кампании 1854 года. Есть данные о применении луков партизанами в период Гражданской войны.

В наше время лук продолжает существовать как спортивное и охотничье оружие. Как вид спорта, стрельба из лука признана во всем мире. У многих народов соревнования в стрельбе из лука являются неотъемлемой частью национальной культуры. Все большую популярность в последнее время приобретает охота с луком. Это непростое занятие позволяет с головой окунуться в мир природы, отойти от житейских проблем и стрессов, познать секреты и тайны окружающего мира, увидеть тени минувшего, услышать поступь седой старины.

Продолжает совершенствоваться конструкция лука. Появились так называемые блочные луки, в которых усилия стрелка при помощи системы блоков перераспределяются и используются оптимальным образом. рис. 1. различные типы луков. (а) средневековый тисовый лук; (в) усиленный сухожильями лук индейцев северной америки; (с) композитный угловой лук, западная азия; (л) скифский лук; (е) турецкий лук 17го века; (10 лук крымских татар 17го века.

На РИС. 1 приведены некоторые типы конструкций луков. Таким образом, лук, как метательное орудие, является достаточно многообразным и сложным физическим объектом, в состав которого скрепленные между собой два плеча из упругого материала (или комбинации различных материалов) и тетива, которая соединяет (и стягивает) концы обоих плеч между собой.

В современной литературе есть много работ посвящено истории применения луков (например [6] [7] [3] [1]). Значительно меньше работ посвящено исследованию луков как механического устройства. В большинство из этих работ речь идет об особенностях конструкции (например [8] [9] [10]) и типизации луков ([11] [9] [5] [12]).

Представляют интерес работы посвященные лукам, применяемым в конкретных областях. Такие, как работа А. Кабрала, посвященная русским лукам [9], работа Е.В. Черниенко о скифских луках [10], работа В.Н. Каминского о луках северокавказских аланов [8] и многие другие.

В некоторых работах (например [13]) проводятся экспериментальные исследования статики лука, заключающиеся в построении графиков зависимости силы натяжения лука (сила, которую надо приложить, чтобы удерживать тетиву в заданном положении) от величины базы лука (расстояние между рукоятью лука и точкой удержания тетивы).

Отдельного упоминания заслуживает задача об определении скорости вылета стрелы при выстреле из лука, предложенная и решенная В.И. Фео-досьевым в [14]. В основе решения лежит предположение о переходе всей упругой энергии, запасаемой при натяжении лука в кинетическую энергию стрелы. Для определения запасенной упругой энергии лука в двух крайних положениях решается задача о статическом равновесии лука. Однако в решении не учитывается движение плеч лука и тетивы, кроме того решение получено только для лука, моделируемого прямым стержнем постоянного сечения.

Исследованию процессов, происходящих при выстреле из лука, при малых отклонениях тетивы и длина тетивы близкой к длине лука посвящена работа A.B. Звягина и A.A. Малашина [15]. Задача решается в линейной постановке.

Таким образом, процессы, происходящие во время разгона стрелы при выстреле из лука, являются малоизученными, что и стало одной из причин, побудивших заняться этой задачей.

Целью проводимой работы является изучение процессов, происходящих при выстреле из лука, а также оценка влияния параметров лука на скорость вылета стрелы.

Результаты исследований приведены в [16], [17], [18], [19], [20].

Первая глава диссертации посвящена описанию экспериментального исследования лука. В ней сделано описание экспериментальной установки, рассказано об обработке результатов и приведены графики зависимости силы натяжения лука от величины базы лука, а также скорости стрелы и координаты задней точки стрелы (взаимодействующей с тетивой) от времени, прошедшего с момента выстрела.

Во второй главе рассказано об истории развития механики стержней и нитей, получены основные уравнения динамики стержней и нитей, и, кроме того, сделана постановка динамической задачи о выстреле из лука. Для моделирования плеч лука применяется модель криволинейного стержня Кирхгофа — Лява. Для моделирования тетивы используется модель идеальной нити. Проведен анализ скоростей распространения поперечных волн по тетиве и плечу лука, позволивший решать задачу в квазистатическом приближении.

Третья глава посвящена решению задачи о статическом равновесии лука, решение которой необходимо для определения начальных условий динамической задачи. Выполнена постановка задачи. Получена система обыкновенных дифференциальных уравнений с краевыми граничными условиями. Для случая прямого стержня краевая задача сведена к решению системы алгебраических уравнений, решение которой позволяет определить недостающие условия в задаче Коши. Для решения краевой задачи предложен и реализован численный метод, основанный на формулах Рунге - Кутта [21] модификации метода Ньютона, предложенной Исаевым и Сониным [22]. Проведено исследование влияния параметров задачи на форму лука, силу натяжения лука, силу натяжения тетивы.

В четвертой главе на основе решения задачи о статическом равновесии лука, при учете ряда предположений, сделанных на основании экспериментального исследования луков, построен метод решения динамической задачи о выстреле из лука. В основе метода лежит закон сохранения полной энергии системы «плечи лука-тетива-стрела». Проведены оценки точности метода и сделано сравнение полученных результатов с результатами экспериментов. Исследовано влияние параметров лука на скорость вылета стрелы.

В приложении А приведены кадры видеосъемки выстрелов из лука, использованные при исследовании луков в главе 1.

В приложении В приведены формы разных луков при различных величинах базы лука.

Классификация луков, определения и обозначения.

Одна из первых классификаций луков была предложена Д.Н. Анучи-ным в конце 19 века [12]. К простым он отнес лук, который «.делается из простого согнутого сука», к сложным - «.из нескольких соединенных вместе частей, именно из разных сортов дерева или из дерева и рога (а также кости)». Другие, более полные, классификации предложены Г. Раузингом [23] и Р. Харди [24]. Г. Раузинг, предлагая свою классификацию луков и исходя из особенностей их конструкции, делит их на простые, соединенные, усиленные и сложные. Р. Харди разделил луки на простые и составные, выделив внутри каждого типа несколько вариантов.

При работе с луками будем выделять три состояния лука (РИС. 2): рис. 2. три состояния лука.

1 - расслабленное; 2 - стянутое; 3 - натянутое.

1. Расслабленное. Состояние лука при отсутствии тетивы.

2. Стянутое. На лук одета тетива, к ней не прикладываются внешние усилия.

3. Натянутое. К тетиве приложены внешние усилия.

Рассмотрим классификацию, построенную на основе проведенных исследований. Луки можно классифицировать по нескольким параметрам:

1. По положению стрелы в момент выстрела: a. Центральные. Луки, у которых стрела в момент выстрела находится в плоскости симметрии лука. К таким лукам относится большинство современных спортивных луков. b. Периферийные. Луки, у которых стрела движется вне плоскости симметрии лука. К таким относится большинство луков средних веков и более раннего периода.

При проведении экспериментальных исследований были испытаны как центральные, так и периферийные луки. При построении теоретической модели лук считается центральным.

2. По кривизне плеч лука в расслабленном состоянии: рис. 3. форма плеч лука. а) прямой прямолинейный лук; b) выгнутый прямолинейный лук; c) глубокий прямолинейный лук: о) выгнутый криволинейный лук. a. Прямолинейные. Луки, плечи которых в расслабленном состоянии прямолинейны (РИС. 3 а, Ь, с). Примером таких луков могут служить некоторые современные луки, английский длинный лук (РИС. 1 а; РИС.4). b. Криволинейные. Луки, плечи которых в расслабленном состоянии не прямолинейны (РИС. 3 с1). Примером таких луков могут служить скифские, турецкие (РИС. 6), русские луки, а также некоторые современные спортивные луки.

При построении модели кривизна плеч лука в расслабленном состоянии обозначается рис. 4. английский лук, современная реконструкция.

3. По углу между плечами лука: a. Прямые. Луки угол между плечами в точке скрепления развернутый (РИС. 1 а; РИС. 3 а), угол выгиба а=0. b. Выгнутые. Луки, плечи которых в расслабленном состоянии направлены в сторону от стрелка (РИС. 1 Ь, с1, РИС. 3 Ь), угол выгиба а>0. c. Глубокие. Луки, плечи которых в расслабленном состоянии направлены в сторону стрелка (РИС. 1 с; РИС. 3 с), угол выгиба а<0.

При построении теоретической модели в качестве параметра для удобства будет рассматриваться не угол между плечами лука, а угол равный половине угла, дополняющего угол между плечами лука до развернутого. Будем называть такой угол углом выгиба лука или просто углом выгиба и обозначать а. Угол выгиба считается положительным, если плечи лука направлены от стрелка.

4. По способу изготовления плеч лука: а. Однородные луки. Луки, у которых плечи сделаны из одного материала. К этому типу принадлежит большинство деревянных луков, например английский длинный лук (РИС. 1 а; РИС. 4) и другие западноевропейские луки, и некоторые современные пластиковые.

Ь. Составные (композитные) луки. Луки, у которых плечи сделаны из нескольких материалов. К этому типу принадлежат современные спортивные луки и большинство луков Западной Азии и Восточной Европы (в том числе и русские луки) (РИС.

При экспериментальных исследованиях рассматривались различные конструкции плеч лука, при построении теоретической модели плечи лука считаются однородными.

5. По способу крепления тетивы к плечам лука: a. Простые. Луки, у которых тетива крепится непосредственно к плечам лука (РИС. 2 а). Например, длинный английский лук (РИС. 1 а; РИС. 4). b. Рогатые. Луки, у которых тетива крепится к плечам с помощью негибких наделок, называемых рогами и играющих роль рычагов (РИС. 2 Ь). Например, скифские луки (РИС. 1 с). c. Блочные. Луки, у которых тетива крепиться к плечам лука с помощью системы блоков (РИС. 5). К этому типу относятся некоторые спортивные луки.

1 Ь, с, а, рис. 5. блочный лук рис. 6. турецкий лук из рога буйвола из императорского собрания вены. [25]

При построении решения рассматриваются только простые луки; при проведении экспериментальных исследований также испытывались рогатые.

Предложенная классификация несколько поверхностна. Для дополнения классификации необходимо более полное исследование, например, составных луков, которые имели огромное количество конструкций, или блочных луков, которые отличаются по конструкции системы блоков. Однако это находиться за рамками данной работы.

Под базой лука будем понимать расстояние, на которое тетива отведена от точки скрепления плеч лука в натянутом состоянии и будем обозначать Ь. В стянутом состоянии этот параметр называется высотой лука и обозначается Н0.

Помимо введенных в классификации параметров будем рассматривать и ряд других, а именно:

-191. Кривизна плеча лука Хо (5) 5

2. Угол выгиба а; в работе используются геометрические параметры лука:

3. Длина плеча лука Ь;

4. Длина тетивы 2-1; кроме того, существуют параметры, определяемые для каждого стрелка:

5. База лука Ъ, определяемая в первую очередь длиной рук стрелка;

6. Сила натяжения лука Р — сила, действующая на стрелу со стороны лука.

Еще одним важным параметром является распределение жесткости по плечу лука. Для исследования влияния этого параметра будут рассмотрены трапециевидные луки - луки, у которых жесткость и линейная плотности меняются вдоль плеча лука по одному линейному закону. Характеристикой таких луков будет являться

7. Коэффициент сужения С - отношение жесткости на свободном конце плеча лука к жесткости в точке скрепления плеч лука.

Помимо выделенных семи параметров также влияют на скорость вылета стрелы массы плеч лука, тетивы и стрелы.

Под скорость стрелы будем понимать абсолютное значение скорости точки тетивы, соприкасающейся со стрелой.

Введем некоторые обозначения, которые используем в дальнейшем: 5 - Лагранжева координата точек нити или срединного волокна стержня;

Я - радиус вектор точек нити или срединного волокна стержня; V - вектор скорости точек нити или срединного волокна стержня;

W - вектор ускорения точек нити или срединного волокна стержня;

Q - вектор сил;

М - вектор моментов; в - угол наклона к заданной оси; т = (cos G, sin в) - единичный касательный вектор; п = (— sin в, cos в) - единичный вектор нормали; и и V - касательная и нормальная составляющие вектора скорости точек нити или срединного волокна стержня;

Т и N - касательная и нормальная составляющие вектора силы точек нити или срединного волокна стержня;

Е - модуль Юнга;

G - модуль сдвига; р - линейная плотность;

У - геометрический момент инерции;

В - площадь поперечного сечения;

X - кривизна срединного волокна.

В дальнейшем для характеристик нити будем использовать индекс «н», для характеристик стержня - «с». В разделах, где разговор пойдет только о нити, или только о стержнях для упрощения индексы будут опускаться.

Выводы.

В четвертой главе предложен и реализован в виде программного пакета метод решения задачи о выстреле из лука. Проверены основные гипотезы метода, и точность расчетов. Результаты вычислений проверены экспериментом. С помощью полученного программного пакета проедено исследование влияние различных параметров лука на скорость вылета стрелы. Установлены следующие закономерности:

1. Для каждого стрелка лук должен подбираться индивидуально.

2. Масса стрелы оказывает существенное влияние на выбор лука.

3. При фиксированной длине плеча лука существует оптимальный угол выгиба, при котором достигается максимальная скорость вылета стрелы. Чем больше длина плеча лука, тем меньше этот угол.

4. Выгодно иметь максимально длинный лук.

5. Изменение в сторону разумного уменьшения сечения плеча лука является эффективным способом увеличения скорости вылета стрелы.

6. Увеличение постоянной начальной кривизны плеча лука позволяет увеличить скорость вылета стрелы, однако при этом возрастает сила натяжения лука. При фиксированной силе натяжения лука увеличение постоянной начальной кривизны не дает выигрыша в скорости.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ.

Диссертация посвящена исследованию процессов, происходящих при выстреле из лука. В ходе выполнения работы сделано следующее:

1. Проведено экспериментальное исследование луков. При этом установлены следующие факты: a. В процессе разгона стрелы верхняя и нижняя половины тетивы остаются практически прямолинейными. b. В процессе выстрела точки плеч лука движутся поступательно (то есть отсутствуют заметные собственные колебания плеч лука). c. Вид зависимости координаты пятки стрелы и ее скорости качественно одинаковы для различных конструкций лука.

1. Материал, из которого изготовлены плечи лука (дерево, пластик, метал) оказывает качественное влияние на вид зависимости силы натяжения лука от величины базы лука.

2. Построена математическая модель выстрела из лука. Плечи лука моделируются балкой Кирхгофа - Лява, тетива - идеальной нерастяжимой нитью, стрела - сосредоточенной массой. Проведен анализ скоростей распространения поперечных волн в тетиве и плечах лука. Определено количество пробегов, которые совершают эти волны за время выстрела. Что позволило говорить о квазистатичности процесса.

3. Численно решена задача о статическом равновесии лука. Проведено исследование влияния параметров лука на силы натяжения тетивы и лука. Установлено, что в геометрически параметры лука не оказывают качественного влияния на вид зависимостей сил натяжения лука и тетивы от величины базы лука. Проведено исследование влияния параметров лука на форму лука.

-974. Предложен и реализован в виде программного пакета численный метод решения динамической задачи о выстреле из лука, основанный на законе сохранения полной энергии системы плечи лука - тетива - стрела. Помимо фактов, установленных при экспериментальном исследовании луков, в основе метода лежит гипотеза о прохождении плечами лука положении, близких к положениям равновесия. Проведено исследование влияния параметров лука на скорость вылета стрелы. Выявлены следующие закономерности: a. Для каждого стрелка лук должен подбираться индивидуально. b. Масса стрелы оказывает существенное влияние на выбор лука. c. При фиксированной длине плеча лука существует оптимальный угол выгиба, при котором достигается максимальная скорость вылета стрелы. Чем больше длина плеча лука, тем меньше этот угол. д. Выгодно иметь максимально длинный лук. е. Изменение в сторону разумного уменьшения сечения плеча лука является эффективным способом увеличения скорости вылета стрелы. Увеличение постоянной начальной кривизны плеча лука позволяет увеличить скорость вылета стрелы, однако при этом возрастает сила натяжения лука. При фиксированной силе натяжения лука увеличение постоянной начальной кривизны не дает выигрыша в скорости. 5. Проведено сравнение результатов теоретических расчетов с экспериментальными данными. В результате сравнения установлено, что предложенная модель позволяет с высокой точностью вычислять скорость стрелы в процессе выстрела. Помимо этого выполнена проверка гипотезы о прохождении плечом лука состояний, близких к состояниям равновесия.

В заключение, хотелось бы поблагодарить моего научного руководителя профессора A.B. Звягина, без которого эта работа никогда бы не состоялась; А.Ф. Зубкова за помощь в проведении экспериментов; И.С Григорьева за помощь в построении численных методов, а также всех друзей и родственников, оказывавших мне поддержку на протяжении выполнения работы. cimcok литературы

1. Chandler, d. G. Hastings 1066. б.м. : Osprey Publishing, 1992.

2. Битва прои Креси 1346 г. Торжество длинного лука. Новый солдат. Артемовский военно-исторический клуб "Ветеран", 2002 г., 56.

3. Bennett, M. Agincourt 1415. б.м. : Osprey Publishing, 1991.

4. Диакон, JI. История. Москва : Наука, 1988.

5. McEwen, Edward, Miller, Robert L. и Bergman, Cristopher A. Early Bow Design and Construction . Scientific American. 1991 г., 6.

6. English Longbowman 1330-1515. б.м. : Osprey, 1995.

7. Катков, Я. Лук и время. Оружие. 2002 г., 3.

8. Каминский, В. Н. О конструкции луков и стрел северокавказских аланов. Краткие сообщения института археологии. 1982 г., 170.

9. Кабрал, А. Боевой лук. Солдат удачи. 2001 г., 8.

10. Черненко, Е. Б. Скифские лучники. Киев : Наукова думка, 1981. '11. Выскочил, И. и Гадаш, Ф. Лук и стрела. Москва : Физкультура и спорт., 1960.

12. О древнем луке и стрелах. Анучин, Д. Н. Москва : б.н., 1887. Труды 5 археологического съезда в Тифлисе.

13. The Traditional Bowyer's Bible Vol. 1-3. Guilford. : The Lyons Press.,

1993.

14. Феодосьев, В. И. Избранные задачи и вопросы посопративлению материалов. Москва : Наука, 1967.

15. Звягин, А. В. и Малашин, А. А. Постановка и решение задачи динамики спортивного лука .Доклады РАН. 2004 г., 1, стр. 47-51.

16. Зависимость скорости вылета стрелы при выстреле из лука от его параметров. Звягин, А. В. и Лужин, А. А. Москва : МГУ, 2005. Зависимость скорости вылета стрелы при выстреле из лука от его параметровМатериалы конференции "Ломоносовские чтения", стр. 95.

17. Влияние угла выгиба плеча лука на скорость вылета стрелы. Звягин, А. В. и Лужин, А. А. Москва : МГУ, 2006. Материалы конференции "Ломоносовские чтения", стр. 69.

18. Моделирование выстрела из лука: теория и эксперимент. Лужин, А. А. Москва: Издательство Московского Университета, 2008. Материалы конференции "Ломоносовские чтения", стр. 124-125.

19. Звягин, А. В. и Лужин, А. А. Моделирование выстрела из лука. Вестник Московского Университета, сер. 1. математика, механика. 2008 г., 4, стр. 40-45.

20. Моделирование выстрела из лука. Звягин, А. В. и Лужин, А. А. Москва : МГСУ, 2008. Материалы конференции "Теория и практика расчета зданий, сооружений и элементов конструкций. Аналитические и численные методы.", стр. 58-67.

21. Хайрер, Э., Нёрсетт, С. и Ваннер, Г. Решение обыкновенных дифференциальных уравнений. Москва : Мир, 1990.

22. Исаев, В. К. и Сонин, В. В. Об одной модификации метода Ньютона численного решения краевых задач. Журнал Вычислительной Математики и Математической Физики. 1963 г., Т. 3, 6, стр. 1114-1116.

23. Rauszing, G. The bow. б.м.: Bonn-Lund, 1967.

24. Hardy, R. Longbow. Cambridge : б.н., 1976.

25. фон Винклер, П. Оружие. Руководство к истории, описанию и изображению ручного оружия с древнейших времен до начала XIX века. Москва : Софт-Мастер, 1992. ISBN 5-8444-0010-0.

26. Kirchhoff, G. Uber das Gleichgewicht und die Bevegung eines unendlich dünnen elastischen Stabes. Leipzig : Gessammelte Abnandlungen, 1882.

27. Clebish, R. F. Theorie der Elastizität fester Korper. Leipzig : б.н., 1882.

28. Ляв, А. E. Математическая теория упругости. Москва : ОНТИ,

1935.

29. Лурье, А. И. О малых деформациях криволинейных стержней. Тр. Ленинградского политехнического института, 1941 г., 3.

30. Timoshenko, S. P. Philosophical Magazine. 1929 г., T. 6, 41, стр. 744746.

31. —. Philosophical Magazine. 1931 г., T. 6, 43, стр. 125.

32. Светлицкий, В. А. Механика стержней. Часть 1. Статика. Москва : Высшая школа., 1987.

33. —. Механика стержней. Часть 2. Динамика. Москва : Высшая школа, 1987.

34. Седов, Л. И. Механика сплошной среды. Москва : Наука, 1970.

35. Тимошенко, С. П. Сопротивление материалов. Москва : Главная редакция физико - математической литературы, 1960.

36. Рахматулин, X. А., и др. Прочность и разрушение при коротковременных нагрузках. Москва : Логос, 2008.

37. Lagrange, J. Oeuvres, б.м. : Misc. Taur., 1672.

38. Euler, L. Novi Cornent. Acad. Petrop. 1770 г., T. 15, стр. 381-413.

39. —. Novi Cornent. Acad. Petrop. 1775 г., T. 20, стр. 283-342.

40. Routh, E. J. Die Dynamik der Systeme starrer Korper. 1898.

41. Resal, H. Traite de Mecan. General. 1895.

42. Appell, P .Acta. Math. 1889 г., 12, стр. 1-50.

43. —. Paris, C.R. 1886 г., стр. 991.

44. Leaute, H .Paris, C.R. 1879 г., 89, стр. 778.

45. —. Paris, C.R. 1880 г., 90, стр. 290, 354.

46. Hammel, G.Elem. Mech. Leipzig : б.н., 1922.

47. —. Handbuch dPhys. 1927 г., 5, стр. 18.

48. Минаков, А. П. Основы механики нити. Москва : Государственное издательство легкой промышленности, 1941.

- 10249. Рахматулин, X. А. и Демьянов, Ю. А. Прочность при интенсивных кратковременных нагрузках, б.м.: ГПФМЛ, 1961.

50. Рахматулин, X. А. Об ударе по гибкой нити . ПММ. 1947 г., Т. XI,

3.

51. —. О косом ударе по гибкой нити с большими скоростями при наличии трения . ПММ. 1945 г., Т. IX, 6.

52. Мороз, Г. С. Переходные этапы движения гибкой нити конечной длины при поперечном ударе. ПММ. 1956 г., Т. XX, 6.

53. Павленко, А. Л. О распространении разрывов в гибкой нити. Изв. АН СССР. ОНТ, 1959 г., 4.

54. —. Обобщение теории поперечного удара по гибкой нити . Известия Академии Наук СССР. 1960 г., 2.

55. Рябов, Е. В. Поперечный удар с переменной скоростью по гибкой нити. Вестник МГУ. 1953 г., 10.

56. Craggs, J. W. Wave motion in Plastic-Elastic strings. Journ.of the Mech . and Phys of Solids. 1954 г., 4.

57. Кристеску, H. О волнах нагрузки и разгрузки, возникающих при движении упругой или пластической гибкой нити. ПММ. 1954 г., Т. XVIII, 3.

58. Кошкин, Н. И. и Ширкевич, М. Г. Справочник по элементарной физике. Москва : Наука, 1972.

59. Григорьев, И. С. Методическое пособие по численным методам решения краевых задач принципа максимума в задачах оптимального управления. Москва: Издательство Центра прикладных исследований при механико-математическом факультете МГУ, 2005.

60. Работнов, Ю. Н. Механика деформируемого твердого тела. . Москва: Наука, 1979.

61. Градштейн, И. С. и Рыжик, И. М. Таблицы интегралов сумм рядов и произведений. Москва : Физматгиз, 1962.

62. Dormand, J. R. и Prince, P. J. A family of embedded Runge - Kutta formulate. J. Сотр. 1980 г., 6, стр. 19-26.

63. —. New Runge - Kutta algoritms for numerical simalation in dynamical astronomy. Celestial mechanics. 1978 г., 18, стр. 223-232.

64. Федоренко, P. П. Введение в вычислительную физику. Москва: Издательство Московского физико - технического института, 1994.

65. На, Ц. Вычислительные методы решения прикладных граничных задач. Москва : Мир, 1982.