Модулированные волны в нсыщенных пористых средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

ГОСУДАРСТВЕННАЯ АКАДЕМИЯ НЕФТИ И ГАЗА Р Г Б ОД И.М.ГУБКИНА

15 т

На правах рукописи УДК 019.6 + 551.463

Эдельман Инна Яковлевна

МОДУЛИРОВАННЫЕ ВОЛНЫ В НАСЫЩЕННЫХ ПОРИСТЫХ СРЕДАХ

Специальность 01.02.05 - "Механика жидкости, газа

и плазмы"

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва - 1994 г.

Работа выполнена в Институте Проблем Нефти и Газа РАН

Научные руководители: доктор физико-математических наук,

профессор Радкевич Е.В.,

доктор физико-математических наук, профессор Хургин Я.И.

Официальные оппоненты: доктор технических наук,

профессор Николаевский В.Н.,

доктор физико-математических наук, профессор Доброхотов С.Ю.

Ведущая организация - Институт Проблем Механики

Российской Академии Наук

Зыцита диссертации состоится п4 1995 г. в часов на заседании специализированного совета Л 053.27.12 по защите диссертаций на соискание ученой степени доктора технических наук при Государственной Академии Нефти и Газа им. И.М.Губкина по адресу: 117817, г.Москва, ГСП-1, Ленинский проспект, д. 65, ауд. ©

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ГАНГ им. И.М.Губкина

Автореферат разослал г.

Ученый секретарь специализированного совета к.т.н. Ю.Л.Райский

ОБШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность проблемы. Для решения технологических задач интенсификации добычи нефти необходимо исследование динамических воздействий на нефтегазосодержащие пласты. Широкий крут геофизических задач сейсмо-акустического воздействия на месторождения углеводородов, а также необходимость объяснения явлений, обнаруживаемых в результате этого воздействия, приводят к проблеме теоретического исследования процессов распространения, взаимодействия и преобразования нелинейных волн в насыщенных пористых средах.

К основным методам геофизических исследований относится акустический каротаж, основанный на возбуждении импульсов упругих колебаний в жидкости, заполняющей скважину, и регистрации их после того, как они прошли через слой жидкости и окружающие горные породы. Для акустического каротажа скзажив, а таюке для прямого сейсмического поиска нефтегазовых месторождений особое значение имеет исследование сейсмических волн в пористых средах.

Известно, что на долю нефти в дебитах обводненных скзажкн положительное влияние оказывает зиброзоздействие. Определение частот вибраций, при которых достигается наибольшая эффективность воздействия на пласт, возможно в рамках теории нелинейных волновых процессов. Анализ нелинейных эволюционных уравнений, описывающих распространение и взаимодействие волн, позволяет теоретически объяснить эффекты преобразования и генерации частот.

Необходимо так«е отметить важность технологического применения ультраззукозых волн в нефтяной промышленности, в том числе при виброзоздействии на пласт.

Практическое применение сейсмо- акустического воз действия потребовало проведения экспериментальных работ. Известно, что длительное воздействие сейсмо-акустических колебаний на флюи-донасыщенные горные породы приводит к накоплению в них непериодических изменевмй (акустическое течение флюида, рост температуры, накопление деформаций и т.д.). Кроме того, экспериментальные исследования волновых процессов во флюидонасьпцензых

з

горных породах позволили выявить ряд существенно нелинейных резонансных эффектов преобразования частот (генерация ультразвука сейсмическими волнами и сейсмического шума волнами низких частот, переизлучение, сейсмоакустическая эмиссия), а также эффекты образования новых волн. Теоретическое объяснение этих экспериментальных фактов имеет важное значение для решения технологических задач.

Акустическое воздействие, приводящее к процессам нелинейного взаимодействия упругого поля с горными породами, требует также умения прогнозировать изменение состояния геологической среды, так как в результате такого воздействия возможны повышение сейсмичности территории и неблагоприятные экологические последствия.

Цель работы. Построение асимптотического решения математической модели, предложенной и обоснованной А.М.Максимовым и Е.В.Раджезкчем и исследование механизмов распространения, взаимодействия и преобразования нелинейных волн в насыщенных пористых средах с целью решения технологических задач сейсмо-акустического воздействия на месторождения углеводородов.

Решаемые задачи:

- построение асимптотического решения исследуемой математической модели распространения упругих волн в насыщенной пористой среде; '

- анализ дисперсионного соотношения;

- исследование медленного фонового макродвижения, построение- численных стационарных решений для второго приближения фонового решения;

- вывод нелинейного эволюционного уравнения, описывающего распространение модулированных волн на длинных временах;

- исследование быстрого осциллирующего микродвижения, построение численных стационарных решений уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса;

- исследование взаимодействия волн, выеод системы уравнений, описывающей, резонансное взаимодействие волн и соответствующих законов сохранения энергии, численное исследование процессов образования новых волн.

Научнал новизна.

1. Построено асимптотическое решение пространственной модели неизотермической упрутодеформируемой пористой среды, насыщенной: а) вязкой слабосжгшаемой жидкостью, б) вязким совершенным газом.

2. Получена система уравнений, описывающая медленные фоновые макродвзскеиия, обгоняющие возникновение непериодических изменений при раснростралении упругих волн в пористой среде (например, акустическое течение). Получены численные стационарные решения для второго приближения фонового решения.

3. Получено нелинейное эволюционное уравнение Кортезега -де Фриза- Бюргерса, описывающее распространение и взаимодействие модулированных волн. Показано, что возникновение модуляций определяется нелинейными и дисперсионными свойствами среды.

4. Проанализировало быстрое осциллирующее мккродзюкеяие и получены численные стационарные решения уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса, объясняющие генерацию высокой частоты (аналог неустойчивости Вендаамина-Фейра) и генерацию низкой частоты (эффект самовозбуждения).

5. Получены аналитические выражения дисперсионного соотношения и коэффициентов уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса с использованием средств компьютерной алгебры.

6. Исследован трехауговый резонанс продольных и поперечных аолн, получены система уравнений, описывающая резонансное зза-кмодействие золя и соответствующие ей законы сохранения анергии (аналоги соотношений Мэнли-Роу). Проведен численный анализ резонансного взаимодействия волн.

Методы исследования. Для решения поставленных задач использовались методы механики насыщенных пористых сред, асимптотические методы, методы компьютерной алгебры, численные методы решения дифференциальных уравнений, компьютерная графика.

Практическая ценность. Результаты работы могут использоваться для решения технологических задач сейсмо-акустического воздействия на месторождения углеводородов. В рамках исследуемой математической модели возможно определение частот вибраций, при которых достигается наибольшая эффективность воздействия на пласт. Теоретическое исследование механизмов распростране-

ния, взаимодействия и преобразования нелинейных волн в насыщенных пористых средах позволяет получить условия, при которых возможна генерация ультразвука, широко применяющегося в нефтяной промышленности. Кроме того, на основе предложенной теории можно предсказать последствия взаимодействия упругих волн с горными породами с точки зрения проблемы наведенной сейсмичности.

Апробадкя работы. Результаты работы докладывались на международной научной конференции " Геофизика и современный мир" (Москза, 1993 г.); III семинаре "Нетрадиционные методы изучения неоднородностей Земной коры" (Москва, 1993 г.); заседаниях научного семинара кафедры нефтегазовой и подземной гидромеханики ГАНГ им. И.М.Губкина под руководством академика АЕН России, профессора К.С.Васниева (май и октябрь 1994 г.); заседаниях научного семинара лаборатории микромеханикк пористых сред ИПНГ РАН (апрель и октябрь 1994 г.).

Публикации. Результаты диссертационной работы опубликованы в девяти печатных работах.

Структура и объем диссертанки. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, списка литературы к двух приложений. Объем работы составляет 131 страницу. В работе содержится 18 рисунков и 2 таблицы. Библиография - 64 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обоснована актуальность работы, приведен обзор литературы, посвященной волновым процессам и асимптотическим методам решения систем дифференциальных уравнений. Теоретическому и экспериментальному исследованию волновых процессов, в том числе б насыщенных пористых средах, посвящено множество работ. Отметим исследования Я.К.Френкеля, М.Био, В.Н.Николаевского, А.В.Нккоя&ева, О.Л.Кузнецова, А.Л.Крылова, И.С.Файзулина, Н.А.Вильчинской, Ф.М.Ляховицксго, Р.Ф.Гаяиева, И.А.Молоткова, А.А.Островского, В.Е.Накорякова, С.М.Гадиева, Л.Е.Украинского, П.П.Золоторева, М.Л.Сургучева, Э.М.Сямкина, Г.М. Гол опту бина, Б.А.Маломеда. Теоретическим и асимптотическим методам исследования волновых процессов в нелинейных сре-

дах посвящены работы Дж.Уизема, В.П.Маслова, Р.И.Нигматулина, Э.КЭнгельбрехта, В.Г.Дашшова, Г.А. Омг:ЛЬЯнова, С.Ю.Доброхотов а. Новый подход, включающий формулировку модели насыщенной пористой среды с учетом вязких сдвиговых напряжений в свободной и связанной флюидных фазах, выделение малого безразмерного параметра, выбор вида асимптотического решения и математическое обоснование асимптотического метода вывода нелинейного эволюционного уравнения, предложен А.М.Максимовым и Е.В.Радкевичем (ЛАН, 1993, т.332, N 4, с. 432-435; Дифференциальные уравнения, 1993, т.29, N 12, с. 2149-2159). В настоящей работе представлена реализация данного подхода.

Также во введении сформулированы цели и задачи исследования, приведено содержание диссертационной работы по главам.

.В главе 1 приводится формулировка математической модели, построенной на основе предложенного А.М.Максимовым обобщения модели Френкеля - Био - Николаевского о распространении упругих волн в пористых средах. Математическая модель сформулирована методами механики пористых сред з виде дифференциальных уравнений законов сохранения и замыкающих реологических и термодинамических соотношений. В предлагаемой схематизации геологическая среда представляет собой пористую среду, состоящую из минерального скелета, связанной поверхностью твердой фазы жидкости и флюидной фазы. Рассматривается пространственная модель неизотермической упруго деформируемой пористой среды, насыщенной: 1) вязкой слабо сжимаемой жидкостью; 2) вязким совершенным газом. В отличие от традиционного для пористых сред рассмотрения в исследуемой модели учитываются также сдвиговые напряжения в жидкости (газе).

Лалее проводится анализ размерностей. Вводятся безразмерные переменные и параметры, оценки которых получены с использованием характерных значений коЕстант горных пород.

В результате анализа размерностей выделен малый безразмерный параметр £. Рассматривается случай слабой диспераш, когда е - акустическое число Рейнольд-са) представляет собой комбинацию характерных вязкости, модуля упругости, плотности и проницаемости среды.

Приводится формулировка системы уравнений и реологических

и термодинамических соотношений в безразмерном виде. В результате анализа размерностей показано, что система уравнений содержит члены разного порядка малости, В линейных задачах малыми членами обычно пренебрегают, в частности тензором вязких напряжений в жидкой фазе. Поэтому этот эффект не рассматривался и б нелинейной постановке. Однако, в диссертации анализ распространения и взаимодействия волн на длинных временах проводится с учетом накопленного вклада слабо-нелинейных к дксперсиотптах эффектов.

Далее, с целью обеспечения устойчивости решений, сформулирована гиперболическая в главной части система уравнений, эквивалентная исходной и представляющая собой замкнутую систему уравнений относительно неизвестных тензорных, векторных и скалярных функций (i,j = 1,2,3):

3((1 - a)mpy)/3i + У*((1 - a)mp}v}) = 0, (1)

д(атпра -J- (1 - m)p.)/dt -i- Vx{{ampa + (1 - m)p.)v,) = 0, (2) (1 - or)тр}\д/Ш+ < v/, V* >]-j/,- - (1 - a)mdPij/dsj+ (3)

■fm2(l — af'yj; - V,;) = 0,

(ampa + (1 - m)p,)[d/dt+ < vty, >]u(i - (4)

-(1 - (1 - а)т)дРц^ - rn3(l - a)\vfi - vti) = 0,

UUijdi - v,; = 0, (5)

d<?i}ldt=K6iideu(Qt + 2Св(еу-еи«у/3)/51+ (6)

-r/3,SijKdp/Qt - ipfSijKdT,ldt+ -¡-e-amvcdidv^/dzj +Bvt}/dxs - (2/3){dvikldxk)Sij)Jdi,

8t;j/&i - {av.ijdxi + dv,j/dzi)/2 = 0, (7)

m(l - a)pj[djdt+ < vJtV* >\Ej = ro(l - а)Рцдь^дхгf (8) +m5( 1 - af | vj - в. I3 -x(Tj - T.) - e2 V*(m(l - a)A/)V,T/f (1 - < v., V, >Ш, + aropa[5/i><+ < v„ Ve >]£a = (9)

= 4 (1 - (1 -

ЫЪ - Т.) + б5У,((1 - т)Х, + ат\а)ЧхТ..

Реологические и термодинамические соотношения имеют вид:

р1 =./>»(1 + - Ро) ~ 'А<№ - Тю)), Рд = р/(Щ), (Ю)

ра = рю(1 - /Ц^/З - <г0>- <р„(Г, - Т.о)), и/ = (И)

Р. = Р.о(1 - /?.(<т;к/3 - <г0) - <Р.(Т. - Т.0)), ..о, = (12)

Р;, = + си,[диц1дх3+- (■2/з}(з«/1:/аг1)5;;]. (13)

р(аЕг = лс,<гг, + Ср/рО^я; - ч>ш<1?, Е3 = с,т3, (14)

р.аЕ. = р.СМ, + + (г>/Г,^/3, (15)

А»<1Еа = ¿„СЛТ, - <г{к1{2ра)Лрь + (16)

где о^- = <г,;/(1 — (1 - а) тп) + Р^ - тензор истинных напряжений в твердой фазе, с;; - тензор эффективных напряжений, е^ - тензор деформаций, АГ - модуль объемной упругости, С? - модуль сдвига, р -плотность, ,в - коэффициент сжимаемости, р - коэффициент теплового расширения,' А - коэффициент теплопроводности, С - теплоемкость при постоянном давлении, тп - пористость, а - объемная .доля связанной жидкости, Т - температура, V - вязкость, -

компоненты векторов скоростей флюидной и твердой фаз соответственно, р - давление, а,- компоненты 'вектора смещения твердой фазы. Индекс может принимать значения "Г - жидкость и "г?" -газ, соответствующие насыщению пористой среды сяабосжимаемой жидкостью и совершенным газом.

Переход к гиперболической з главной части системе уравнений позволил определить класс возможных начальных данных задачи (данных Коти) и предопределил максимальное число вещественных корней дисперсионного уравнения, соответствующих частотам присущих рассматриваемой модели волн, не затухающих в лжей-ном приближении.

Для простоты исследована задача Коши с начальными данными, т.е. предположено, что пространственная область распространения воля настолько велика, что на рассматриваемых временных интервалах не возникают эффекты, связанные с границей области. Поэтому исследуются решения для границ, удаленных на бесконечность.

Данные Коши:

!i. |te0=ti?, v,i |j=(i= v°;, vfi\M=va}i, m|w=m°, (17) P |<=o= Tj |<м>= Tj, T, |i=o= T°,

eyU= [dvS/dzj+dvyexi 1/2,

di |t»o= К6цекк |teD +2G(ey - (l/3)euiy) +P.Kp%-

-f.KT^i, + «Wr^/fcy + dv^dz; - (2IZ)(dv°J8xk)^}.

В последующей для упрощения формулировок рассматривается распространение модулированных волн на фоне равновесных полей деформаций, напряжений, температур и нулевых скоростей движения твердой и флюидной фаз.

В главе 2 проводится построение асимптотического решения системы уравнений (1) - (16), предложенного Е.В.Радкевкчем ва основе модификации метода двух масштабов. Сначала рассматриваются однофазовые решения. Асимптотическое решение ищется в виде:

U(T,x,t)=V^(x,t) + W{T,x,t). (18)

Здесь U - вектор-функция искомых величин:

U{r,s,t) = (m,vji,vl{,p,cri;,eih7f,T„\4), i,j ~ 1.2,3,

x,t - медленные переменные, г = S{x,t)/e - быстрая переменная, S(x, i) - фаза. Функция W(r, х, t) - 2я*-периодическая, с нулевым средним по г, так что функция U^(x,t) - медленный фон - есть среднее от решения U исходной системы уравнений. Функции и W(r,z,i) ищутся в виде:

1Гф0М) = ffJV.t) + eV§\x,t) + ¿U§\x,t) + ... , (19) W{T,x,t) = £^W(r,i,i)+£3^1)(r1i,i)+ ... . (20)

Здесь и W'~i')(r,x,t) являются (7е" - функциями по соответ-

ствующим переменным. Для нулевого приближения фонового решения получена однородная система уравнений, решением которой

является любая константа = const (рассмотрена ситуащм, когда

фоновые скорости движения твердой и флюидной сЬаз равны нулю

Ляя первого приближения фонового решения V^ получена гиперболическая система уравнений, имеющая единственное нулевое решение

= 0, т.к. в рассматриваемой задаче данные Коши порядка £ равны нулю.

Для функции U^(s,t) получена неоднородная система уравнений, имеющая нетривиальное решение, которое объясняет возникновение медленного непериодического движения среды, например, акустического течения, в результате осреднения быстрых нелинейных волн.

Далее подстановкой (18) в (1)-(16) показано, что существование ненулевой вектор - функции возможно только при условии

DetA(i, *,$,,&) = О (21)

и что

WV{T,z,t) = V{T,s,t)-H{X,t)- (22)

Здесь через А обозначен символ линеаризованной части исходного дифференциального оператора и

A(t^,SuSx)-H(z,i) = 0. (23)

Окончательно асимптотическое решение системы ургзЕеяий (1) - (16) ищется в виде: ;

U = Uç(z,t) + kH(x,t) ■ U{T,x,t) + ¿W*\rtx,i) + 0{t). (24)

Здесь H(x,i) - нуль-вектор матрицы A(i, x, —ьз,к) - символа линеаризованного оператора A[i,x,d/dî,Vx) исходной системы уравнений на фоне 1/ф\ через -шик обозначены производные 5< и соот-i

ветственно, функция U(r,x,t) — 2зг-периодическая по г с нулевым средним.

Определитель матрицы Л(1, г, —из, к) равеа:

Det A(f,s,-w,Jc) = (1 - 3(1 - (1 - a)m)) (25)

в случае пористой среды, насыщенной жидкостью, и

Det A(t,z, -и,к) = (1 - afm'TiPipy1 !{ZRT;{1 ~ С1 " <*НХ С25')

в случае пористой среды, насыщенной газом.

Уравнение (21) есть слабодисперсионное уравнение для определения частот U{ = u>i(x,t,k) волн, присущих рассматриваемой модели. Также условие (21) определяет уравнение Гамильтона - Якоби " для фазы S(x, ï):

dS/dt + ш(х, i, V„S) = 0, S[lmt=Se(z). (28)

Решая уразнение (21), находим че-стоты w; = w,(z,i,k) воле. Крат» кые корни многочлена" V, определяют частоту поперечных воле различной поляризации. Многочлен четвертой степени V\ опеределяет частоты продольных (прямых к обратных) волн 1 и 2 рода.

В главе 2 доказывается, что вещаственнозначная, скалярная 2?г-

периодическая по г с нулевым средним функция U(r,z,t)- амплитуда волн - является решением задачи Копти для уравнения третьего ' порядка. - аналога уравнения Кортеьега - де Фриза - Бюргерса: ,

dU/itA + a^U/dr* + с tUdUfdr + a3U+ (27)

+cia^U/dr3+aiUd2Ulldr'+a,U2dU/ÔT+

+a7Ù2 + a^dU/dr)7 + a,dU/dr) = 0,

î 1 U !ьо= U0[r,x).

Здесь

d/dtA = 8/dt + bjd/dxj ' (28)

- полная производная, вдоль характеристик, отвечающих уравнению (26). Коэффициенты уравнения (27) находятся из построения и определяются совокупностью параметров среды, характеристиками несущей волны и параметрами разновесного фонового состояния среды.

Нелинейное эволюционное уравнение (27) описывает модуляции золн и позволяет получить пространственно - временные распределения амплитуд искоиых функций (скоростей движения фаз, давления, напряжений, деформаций, температур фаз и др.). Таким образом показано, что возникновение и распространение модулированных вола обусловлено нелинейны;-да и дисперсионными свойствами среды, так как коэффициенты при старших производных в уравнении (27) определяются коэффициентами вязкости и теплопроводности, а для поперечных волн возникновение модуляций обусловлено учетом вязкости связанной жидкости.

Построение асимптотического решения обосновывается соответствующими теоремами.

В этой же главе построено решение, определяемое всей совокупностью частот (многофазовое решение). Сначала рассмотрен случай, когда не происходит резонанснсго взаимодействия волн (построение асимптотического решения здесь аналогично построению в случае однофазового решения).

Затем рассмотрено резонансное взаимодействие волн - трехцу-говый резонанс продольных и поперечных волн.

Необходимыми условиями резонансного взаимодействия являются:

0>1 +Ulj = W;, (29)

1feW + fcW = fcM, ' (30)

где w; = и;(к^) и к'') - соответственно частоты и волновые векторы трэйкг взаимодействующих волн.

Характер взаимодействия волн, т.е. какие волны вступают в резонансное взаимодействие и какая волна образуется при этом, определяется выбором данных Копги. В принципе, образоваться может любая из трех взаимодействующих волн при соответствующем выборе данных Кошн.

В тех случаях, когда выполняется необходимое условие трехцу-гового резонанса (отношение | № |/| к^ | есть рациональное число), взаимодействие волн описывается следующей системой уравнений:

¿Ь^вХм + а^Ь'/дт* + а[1Гди'!дт + а$!+ (31)

+е(а\д3и</дт3 + а\{(ГУ + а[(дЬ!/дтУ 4- аф'д^/дтЧ +а'9{и')3ди' /дг + а{ди'1дг) + С?,(г, г, г) = 0, « = 1,2.3,

где

Ох = +

<?3 = тг>/(2*)|: /" и1({,х,$и3(т +

<?з = £ Ьх{Ш)Нг ~ £>*>№•

Константы 7,- определяются взаимодействием волн и зависят от параметров среды, фоиового состояния и характеристик несущих волн (бояесзых векторов и частот).

Для системы уравнений (31) справедливы законы сохранения энергии - аналоги соотношений Мэнли - Роу:

з — 1,2; (32)

^-£1 + + (71 + ъ)!ъ~Ь = о, (33)

«А1 сил 2 0.1X3

где £¿(1) - усредненная по быстрым осцилляпиям энергия волны с фазой

'+ Г3 Гн + <я{й'Кй')'<1т<НА;), } = 1,2,3. /о ¿о

Наличке законов сохранения (32), (33) позволяет проанализировать характер взаимодействия волн с точки зрения перераспределения энергии. Бри этом возможны следующие варианты:

1)7ьТз,Тз > 0 или 7ьЧг,7з < 0. Тогда

АОО = 6(0) ~ ЫЫ ■ 6(0, 6(0 = 6(0) - Ыъ) ■ 6(0, 6(0 + (ъ + 7з)/7з • 6(0 = £Д0), 5 = 1;2. '

Здесь происходит "перекачка" части энергии двух исходных волн в образовавшуюся третью волну. Поскольку (71 + ъ)!ъ > 0, полная энергия системы остается постоянной, так что с ростом амплитуды образовавшейся волны амплитуды исходных волн уменьшаются.

2)71 > 0,75,7з < 0 или 7! < 0,72,7з > 0. Тогда

6(0 = 6(0)+ъ/ [ 73 | -6(0. 6(0 = 6(0)-1 ъ/ъ I -6(0, £;(г) + (71 + ъ)/7з-6(0 = £,-(0), У = 1,2.

В этом случае образовавшаяся третья волна часть энергии (75/73) "отбирает" у Еторой волны и часть энергии (71/73) "передаст" первой волне. При этом полная энергия системы остается постоянной (71 + 7з)/7з > 0.

Аналогично, если 73 > 0,7ь7з < 0 или 73 < 0,71,73 > 0, то образовавшаяся волна часть энергии (71/73) "отбирает" у первой волны и часть энергии (72/73) "передает" второй волне.

3) Как и в предыдущем случае, часть энергии одной из первоначальных золе посредством новой образовавшейся волны "перекачивается" в другую исходную волну, но, так как полная энергия

системы не сохраняется (71 + 72)/73 < 0, то амплитуда взаимодействующих волн могут неограниченно увеличиваться, что приводит к взрывной неустойчивости за конечное время.

4) Трехцуговый резонанс не происходит.

Здесь 7з > 0,7ь72 < 0 или 73 < 0,71,72 > 0. Тогда

£i(0 = £i(0)+ ¡ 71Ы •&(*)> Ш = ft(0)+ | 72/73 I -Ш,

т.е. £3(í) н 0, и з первом приближении трехцуговый резоя^пс волн невозможен.

В силу чрезвычайной громоздкости (исследуемая система состоит из 25 скалярных уравнений) построение асимптотического решения стало возможным только благодаря использованию средств компьютерной алгебры. В глазе 3 показано применение программного пакета REDUCE 3.3, позволяющего работать с матрицами и выражениями в символьном виде. Асимптотический метод преобразования исходной системы ураннений (1)-(16) к нелинейному эволюционному уравнению (27) состоит из последовательности алгебраических операций, допускающих символьную компьютерную реализацию. Процедуру нахождения корней уравнения (21), вычисления ну-дь-векгороз и коэффициентов уравнения (27) можно формализовать используя программную систему REDUCE 3.3. В главе 3 приводятся примеры программ и расчетов в символьном виде.

Результаты символьных вычислений явились основой для аналитического исследования модели и существенно ускорили численные расчеты с использованием пакета MATEEMATICA 2.0, примеры которых приводятся в главе 4.

Численное исследование построенной модели позволило получить ряд интересных количественных оценок для частот и нуль-векторов волн всех выделенных типов. Так, анализ значений компонентов нуль-векторов позволяет сопоставить амплитуды колебаний всех физических параметров, выделить качественные отличия волн всех типов. Численное интегрирование системы уравнений для медленного фона в приближенной стационарной постановке дает возможность оценить темны накопления и проявления в осредненном

- макродвиженки интегрального вклада от быстрых нелинейных ос-циллядий.

В результате анализа стационарных однофазовых решений уравнения Кортсвега - де Фриза - Бюргерса выделены два физических эффекта - возникновение высокочастотных й низкочастотных осциллирующих волн огибающих, которые могут быть использованы для интерпретации известных экспериментальных результатов (например, генерация ультразвука сейсмическими волнами).

И, наконец, на основе анализа законов сохранения получены количественные оценки различных механизмов взаимодействия воли в результате пространственного трехцугового резонанса, выделены устойчивые режимы перераспределения энергии, когда полная энергия системы остается постоянной и режим взрывной неустойчивости, в случае которого амплитуды волн неограниченно возрастают за конечное время.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В настоящей работе с целью анализа нелинейной волновой динамики насыщенных пористых сред исследована пространственная модель неизотермической упругодеформируемой пористой среды, насыщенной: а) вязкой слабосжимаемой жидкостью, б) вязким совершенным газом.

1. Исходная система преобразована к эквивалентной гиперболической а главной части системе уравнений. Получено дисперсионное соотношение и выделены вещественные корни дисперсионного уравнения, соответствующие частотам присущих рассматриваемой модели волн.

2. Построено асимптотическое решение исследуемой модели на основе модифицированного метода двух масштабов. Получена система уравнений, описывающая медленные фоновые макродвижения, объясняющие возникновение непериодических изменений при распространении упругих волн в пористой среде.

3. Получено нелинейное эволюционное уравнение Кортевега-де Фриза - Бюргерса для амплитуд модулированных волн, коэффициенты которого определяются совокупностью параметров среды,

характеристиками несушей волны и параметрами равновесного фонового состояния среды. Показано, что возникновение модуляций определяется нелинейными и дисперсионными свойствами среды, а для поперечных волн также учетом вязкости связанной жидкости.

4. Исследован трехцуговый резонанс продольных и поперечных волн, получевы система уравнений, описывающая резонансное взаимодействие волн и соответствующие ей законы сохранения энергии.

5. Получены аналитические выражения дисперсионного соотношения и коэффициентов уравнения Кортевега-де Фриза-Бюргерса с использованием средств компьютерной алгебры.

6. Получены численные стационарные решешм системы уразнений для второго приближения фонового решения, позволяющие объяснить непериодические изменения фоновых значений искомых функций, возникающие за счет накапливающегося воздействия быстрых нелинейных осциллядий.

7. Построены численные стационарные решения уравнения Корте-вега - де Фриза - Бюргерса, показывающие возможность генерации низкой и высокой частот.

8. Проанализированы различные варианты трехцугового резонанса волн, на основе численного анализа коэффициентов законов сохранения выделен режим устойчивого перераспределения энергии в системе взаимодействующих волн и реже.: взрывной неустойчивости, когда амплитуды волн неограниченно возрастают за конечное время.

9. Показано качественное отличие процессов распространения и взаимодействия волн в пористой среде, насыщенной жидкостью и в пористой среде, насыщенной газом.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. Максимов A.M., Радкевич Е.В., Эдельман И.Я. Математическая модель генерации модулированных волн в газонасьпценной пористой среде. // Лиф", уравнения, 1994, т.ЗО, N 4, с. 647-658.

2. Максимов A.M., Радкевич Е.В., Эдельман И.Я. Резонансные режимы распространения волн в газонасьпценной пористой среде.

// ДАН, 1994, т.336, N б, с. 745-749.

3. Эдельмзл И Л. Применение средств компьютерной алгебры для исследования пространственных задач динамики насыщенных пористых сред. // Деп. N 1657-В94, ВИНИТИ, 1994.

4. Эдельман И.Я. Трехцуговый резонанс продельных и поперечных волн в насыщенных пористых средах. // Деп. N 2284-В94, ВИНИТИ, 1994.

5. Максимов A.M., Радкевич Е.В., Эдельман И.Я. О модулированных волнах Е геологических средах. // М.: Тезисы III семинара "Нетрадиционные методы изучения неоднородностей Земной коры", 1993, с. 55-56.

3. Максимов A.M., Радкевич Е.В., Эдельман И.Я. О модулированных волнах в насыщенных пористых средах. // М.: Сборник рефератов до>сладсв международной научной конференции "Геофизика и современный мир", 1993, с. 244.

7. Maksimov A-, Radkevich Е., Edelman I. On mcdula-ted waves in porous media. // Siberian J. Diff. Equations, Nova Science Publishers Inc., New-York,. 1993, v.2, N 4, pp. 35-80.

8. Максимов A.M., Радкевич E.B., Эдельман И.Я. О собственных частотах модулированных волн в пористых средах. // ДАН, 1984 (в печати).

9. Максимов A.M., Радкевич Е.В., Эдельман И.Я. О механизме возникновения непериодического движения в пористых средах в результате Еэкаплизаюздегося воздействия нелинейных волн. // ИФЖ, 1995 (е печати).