Пространственно-временной лучевой метод в случае сред Био тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.03 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

005050 1^

На правах рукописи

ЗАВОРОХИН ГЕРМАН ЛЬВОВИЧ

ПРОСТРАНСТВЕННО-ВРЕМЕННОЙ ЛУЧЕВОЙ МЕТОД В СЛУЧАЕ СРЕД БИО

Специальность 01.01.03 — математическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

1 1 и к і /и12

Санкт-Петербург - 2012

005053130

Работа выполнена на кафедре высшей математики и математической физики физического факультета Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: Бабич Василий Михайлович,

доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет, профессор

Официальные оппоненты: Яновская Татьяна Борисовна,

доктор физико-математических наук, профессор, Санкт-Петербургский государственный университет, заведующая лабораторией Плаченов Александр Борисович, кандидат физико-математических наук, доцент, Московский государственный технический университет радиотехники, электроники и автоматики, доцент

Ведущая организация: Институт Проблем Механики

им. А. Ю. Ишлинского РАН (г. Москва)

на заседании диссертационного совета Д 212.232.24 при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 199004, Санкт-Петербург, Средний пр., д. 41/43, ауд. 304.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт -Петербургского государственного университета.

Автореферат разослан года.

Ученый секретарь диссертационного совета — Аксенова

Елена Валентиновна

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Распространение волн в пористых средах, насыщенных жидкостью, традиционно моделируемое уравнениями Био (1956 г.), представляет интерес для геофизики, акустики, медицины и других приложений. Такие среды часто встречаются в земной коре, а в некоторых случаях являются коллекторами нефти и газа. Цель работы.

1. Построение лучевых разложений для объемных и поверхностных волн.

2. Построение и исследование явного решения нестационарной задачи о возбуждении волн точечным источником на проницаемой (поры открыты) границе полуплоскости, заполненной однородной изотропной флюидонасыщенной пористой средой. Методы исследований. Для описания распространения волн в пористой среде Био используется пространственно-временной лучевой (ПВЛ) метод. Для решения задачи возбуждения волн поверхностным источником применяется метод Смирнова-Соболева-Петрашеня.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:

1. Построены ПВЛ разложения для модулированных как по частоте, так и по амплитуде объемных волн в трехмерной безграничной анизотропной неоднородной среде Био. Показано, что в случае изотропной среды Био для поперечных волн имеет место аналог закона Рытова.

2. Получены аналитические выражения главных членов ПВЛ разложения для амплитуды аналога поверхностных волн Рэлея, распространяющихся вдоль свободной криволинейной поверхности анизотропной неоднородной среды Био в случае проницаемой границы. Найдено выражение для фазы Берри.

3. Построено и исследовано решение нестационарной задачи о действии сосредоточенной силы на поверхность однородной изотропной среды Био в случае открытых пор на границе.

Достоверность результатов обеспечивается надежностью используемых современных методов математической физики.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для вычисления волновых полей в реальных пористых средах.

Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по теории дифракции в ПОМИ им. В.А. Стеклова РАН, на семинаре кафедры высшей

математики и математической физики физического факультета СПбГУ, в Институте Проблем Машиноведения РАН, на семинаре лаборатории им. П.Л. Чебышева СПбГУ, в Акустическом Институте им. акад. Н.Н. Андреева (Москва), в Politécnico di Torino (Италия) и на пяти международных конференциях: "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2009), "Days on Diffraction" (Санкт-Петербург, 2009, 2011, 2012), "Воздействие упругих волн на флюиды в пористых средах" (Москва, 2012).

Личный вклад автора. Результаты работы получены автором самостоятельно. Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 6 печатных изданиях, 3 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК, 3 - в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 70 страниц с 3 рисунками. Список литературы содержит 51 наименования.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Введение содержит обоснование актуальности темы исследования, формулировку цели работы, обзор литературы по теме диссертации. Описаны методы исследования, структура и содержание диссертации.

Первая глава посвящена исследованию распространения волн в трехмерной безграничной анизотропной неоднородной среде Био. Для описания волновых полей в таких средах Я.И. Френкель и М. Био ввели двухфазную модель, в каждой точке которой вводятся два вектора смещений u, U и два тензора напряжений су, Ejj, относящиеся соответственно к упругой и жидкой фазам. Указанные векторы и тензоры описывают поле, осредненное по малой окрестности каждой точки. Все рассмотрения в настоящей работе не учитывают диссипацию. Система уравнений Био имеет следующий вид:

di(cijkiEki + DijhiEu) = Pnüj + PuÜj, di(CijktEki + Dktijski) =p$üj + PnÜj-

Здесь di = ^т, модули Cijki,Cijki,Dijkl и эффективные плотности p¡¡, , характеризуют пористую среду, eki,Ek¡ - тензоры деформаций в упругой и жидкой фазах, i,j,k,l = 1,2,3 и по нижним индексам подразумевается суммирование. В

случае неоднородной изотропной пористой среды уравнения движения имеют вид:

Ь' Ди+(Р-Ь')^ас1 Шу Шу и+^а(1 (Р - 2 1Н©:ас1 С}&V Щ-

з

• ^ = ^ци + р12й, (2)

•=1

<^гас1 Фу и + Л grad сИу и + ^ас! ф&у и + ^а<1 Я сЦу и = р12и + р2 2и,

где ji - орт оси х', Ь , V, (2, Я , ри,р12, Р'п ~ коэффициенты среды Био.

Апеллируя к решениям "в плоских волнах" системы уравнений Био, устанавливаем, что в неограниченной пористой среде распространяются три типа волн: быстрая и медленная продольные Р^Рг и поперечная в волны.

Нам удобно рассматривать уравнения (1) как уравнения Эйлера для соответствующего функционала. Векторы смещений в упругой и жидкой фазах представляются асимптотическими разложениями вида:

где пространственно-временной (ПВ) эйконал 0(4, г) и амплитудные функции ит(£,г),ит(<,г), то = 0,1,..., - вещественнозначные, г = (х1,!2,!3) - радиус-вектор точки среды, Р >1- большой параметр. Введем в рассмотрение б-компонентный

вектор ЛУ =

^^¿^^^(и! )• (4)

Подставляя ПВЛ разложения (3) в систему уравнений (1) и приравнивая члены при различных степенях Р к нулю, получаем рекуррентные уравнения:

(ТУ - в2р)ЛУ0 = 0, (ЛГ - в2р)= -ДАУ0,

(5)

(ЛГ - в2р)^т = -Л/\Ут_, - Шга_2, т > 2. Здесь операторы (Ы — в2р), М, Ь имеют вид:

((ЛГ - в2р)V?) = А^вхЛУя - в2Рря\уя, (6)

(ЛЛУ) = А,ркя (вх<дк1Уя + ех>д№ч) + дЛркявгЛУя+

(7)

+А1ркя9х<хЛУя - Рря (в\У„ + ,

(ХЛУ)р = 0&\УЯ + д,Ашдк\Уя - Рря\Уд, (8)

где тензор р, д = 1..6 - общее обозначение модулей Суы, Сущ, , рт - матрица эффективных плотностей, вх< — дiв, 6х1хк = ОАО. Рассмотрим уравнение (N — 02р)\У0 = 0, или

Аркчвх'О* = ^„Щ. (9)

Однородная система (9) имеет нетривиальное решение Моод при условии

det (А1ркяв^вхь - в2Ргщ) = 0. (10)

Предположим, что уравнение (10) имеет хотя бы один корень в < 0, которому соответствует один, с точностью до множителя, собственный вектор

\У0(г,г) = «^(г.^ДУооМ), (11)

и это уравнение можно записать в виде, разрешенном относительно этого корня:

0 + Я(г,0^) = 0. (12)

Функция Н является однородной функцией первого порядка по 0Х1. Пусть в](=о = ^(х1,!2,!3), тогда в(х1,х2,хг, <) находится классическим методом Коши. Характеристическая система для уравнения Гамильтона-Якоби (12) имеет вид:

Ё. - 1 ^ _ ЁЕ. —-о — - 0 — - ГШ

¿в ' йв двх!' ¿в ' ёв ' йз дх'' В качестве начальных условий для (13) следует взять

х>\** = У, ей=о = -9(1 М*=о =

Таким образом, вблизи гиперплоскости £ = 0 вводится система координат (я, 71,72,73) (ПВЛ координаты), играющая фундаментальную роль при интегрировании уравнений (5), и - функция в = в(в,у1,72,73) = Переходя от ПВЛ координат (з^1^2^3) к системе координат (1,х1,х2,х3), получим искомое решение уравнения Гамильтона-Якоби (12). Помня об однородности первой степени Я по вх1, получаем дисперсионное уравнение:

ш = ш(к,г) = Я(к,г), (14)

где ш = —Р 0, к = Р Первые два из равенств, входящих в (13), приводят к соотношению

йх1 ди г . .

Вектор vr = (vi,v2,vn) с компонентами - это по определению вектор групповой скорости.

В дальнейших построениях важную роль играют энергетические соотношения:

^-<£> +div < S >= 0, < S <£> . (16)

ut

Здесь < £ > и < Si > - главные члены в разложении по степеням Р плотности энергии £ и плотности потока энергии Si.

ip2 (pjHV^Wo, + Aipkqex<6xtW0pWBQ) , (17)

<Si>=-P2Aipkqext9tWQp\V0q. (18)

Из условия разрешимости уравнения (N — (Рр)Wi = — AfWo получим соотношение (энергия вдоль ПВЛ трубки сохраняется):

< s > (t т) - <£> И,/и (19)

< t > (i, г) - И(гу(^г) .

где J = j^fj | j - геометрическая расходимость поля ПВ лучей (модуль

якобиана при переходе от декартовых координат к лучевым, нормированный на модуль вектора групповой скорости). В результате из формул (17) и (19) определяется главный член ПВЛ разложения Wo(r, i) = ipo(*, i)Woo(r, i) с

Vo(r, t) = d = (toWabWv*, (20)

где Woo(r,i) - какое-нибудь фиксированное решение уравнения (9) и Vo(7'i72>73) зависит только от ПВ луча. Определив главный член ПВЛ разложения, нетрудно найти и следующие члены Wm(r, i), m > 0.

Далее рассматривается частный случай неоднородной изотропной среды Био. После подстановки ПВЛ разложений (3) в систему уравнений (2) получаем рекуррентную систему уравнений. Разрешимость уравнения на Wo ф 0 имеет место в следующих случаях: во-первых,

((¿' (V0)2 - pué2) Pli + p2J2)2 = 0. (21)

Преобразование (21) приводит к равенству

Ь'Р22 _ 2

2 - 2 = "з- (22)

Здесь Уз > 0 - скорость поперечной волны 5. В данном случае имеем собственное число в2 с кратностью равной 2 (вырожденный случай). Вектор смещений представляется в виде:

г) = <рЪа, т)'\У'0(г, г) + г)\у«(г, г), (23)

= Го, 1,0,0, , = (о, о, 1,0,0,-^) , (24)

\ Р22 / \ Р22/

где Т - транспонирование. Интересно отметить, что в силу (24) векторы смещений, соответствующие упругой и жидкой фазам, оказываются коллинеарными в случае распространения поперечной волны 3, ибо

и0 = р2г > 0. (25)

Р22М

Во-вторых,

(р (Ув)2 - Рпв2) (я' (Уд)2 - Р22в2) - (<Э {У в)2 - р12в2У = о. (26)

Преобразование (26) приводит к равенству

±]/(Рр22 + - 2<3р12)2 - 4(рцр22 - Р?2)(^Я' - +

+РР22 + л>п - 2<?Л2] / [2(^1^2 - ¿>?2)] = (27)

Здесь 171,2 > 0 - скорости двух продольных волн Рь Р2, соответствующих упругой и жидкой фазам. Вектор смещений упругой продольной волны Рь распространяющейся со скоростью представляется в виде:

\\г0(4,г)=^(г,г)ш;0^,г), (28)

г) = , * = /Л^, (29)

(30)

где ^'о(71>72>73) зависит только от ПВ луча. Вектор смещений продольной волны в жидкости Р2, распространяющейся со скоростью г>2, представляется в виде:

Ш0(<,г)=^,г)\У*,(«,г), (31)

г) = ^¿А Ь = РрХоА (32)

Ш2 -

»» ПП —

где ^(і11 72і 73) зависит только от ПВ луча. Поскольку вектор смещений поперечной волны 5 ортогонален волновому вектору к = Р У в, положим

ио = иол^ + и«,Ь,

где Nub- главная нормаль и бинормаль к проекции ПВ луча на гиперплоскость (х',х2,х3). Из условия разрешимости уравнения (TV — 02p)Wi = —AfWо получаем

d<P dip

— = V3T или —гг = т, Ф — угол между u и b, Mb)

as al

где ^0(7', 72,73) зависит только от ПВ луча, Jj - производная вдоль ПВ луча, т -кручение ПВ луча, a dl - дифференциал длины дуги кривой - проекции ПВ луча на гиперплоскость (х1,х2, х3). Формулы (35) решают вопрос об изменении длин векторов Uo, Uo- Формула (36) выражает закон Рытова, определяющий изменение направления векторов смещений в первом приближении в случае распространения поперечной волны S.

Во второй главе исследовано распространение волн Рэлея вдоль свободной криволинейной границы неоднородного анизотропного пористого тела.

Для свободной от напряжений и давления границы пористой среды возможны два типа граничных условий - поверхность с открытыми порами (проницаемая граница) и поверхность с закрытыми порами (непроницаемая граница). В работе рассматривается свободная граница Е с открытыми порами, описываемая условиями

OijVj Is = (сцыеы + DijkiEki)i/j\3 = О,

(37)

Syfj |з = (CijkiEu + DmjCkfivM = °>

где (z/i, i>2, ^з) - внешняя нормаль к границе Н. Вдоль свободной границы пористой среды, как правило, распространяется поверхностная волна Рэлея.

Пусть Е - граница пористого тела, насыщенного жидкостью, и (ql, д2) -локальная система координат на Е. Вместе с координатой q3 = п, где п есть расстояние от произвольной точки до границы Е, (q',q2,if) формируют регулярную систему координат в окрестности Е. Точки пористой среды, которые близки к границе Е, имеют координаты (g1, д2, <?3), где q3 = п мало и положительно.

Векторы смещений в упругой и жидкой фазах представляются в виде того варианта ПВЛ разложений, который учитывает "погранслойный" характер поверхностных волн:

u = е.Р%V,(> у^ и = e,p*(iV.0 у „ = Р „. (38)

(¿P)m ^ hP)m 4 '

m=0 v ' m=0 4 '

Здесь P S> 1, амплитудные функции um(f, r),vm(f, г), m = 0,1,..., -комплекснозначные. Полагаем, что

lim um = 0, lim vm = 0. (39)

Зависимость ит,ігт от координаты слоя и = Рп и условия (39) связаны с локализацией волны Рэлея вблизи поверхности Е - "погранслойное" свойство. Систему уравнений Био и граничные условия вида (37) в криволинейных координатах мы здесь для краткости опускаем. Следуя схеме, намеченной в первой главе, получаем главный член ПВЛ разложений для волны Рэлея.

и0 = ХоЧоо, и0 = Хоуооі (40)

где

Хо = \Хо\е^ (41)

- комплексная интенсивность волны Рэлея, ц - фаза Берри:

\Хот = Щ£1, (42)

где

^г+оо ___

' (р\аиоо,(Ю^ооа(Ю + Р%(и ОО,(Л/>0Оа(Л0 + 0

+ут(ЛГ)иооа(Ю) + />>ош(Л>ооа(ЛО)<^. (43)

Здесь черта означает комплексное сопряжение, N = (а1,а2,в) - точка на ПВ луче в момент I = функция Ф0(а1> ®2) зависит только от ПВ луча, (о1, о2, з) -ПВЛ координаты на поверхности Е. Распространение волны Рэлея сопровождается сдвигом фазы, известной как фаза Берри:

е'" = е^|8=0ехр ^ [2р1а1ш (гшЩ^) +

+2р5|1т (УаиШь + "оо+ 2р£Чт (¿оо»Щ£)] ¿з) х

'(Г ЫГ Ит +

(с^'Чш (^о^+в^пш х

:ехр (Г Ит К?4*)+

+С<^'1т (в^Вйо^) + (с^Ч^)] А,) х

■ (4 Г ехр О Г ехр (« Г х * ехр 0 Г ¿Ф^)схр О Г х

х ехр | + 1

х ехр |

х ехр

V -»о "

х схр (г £ $ D^ds) схр (г £ ,

(44)

где /3 = 7 J в2и [pl°«00i«00a + р'и (VoOiUoOa + VMVoBa) + pffOwWOOa] dv +

r+oo __r+oо _

+cajkl / vQaumQkumldv + Da]kl / vQavoajQkuMdu+ Jo Jo

/+oo __r+oo _ \

uQauoojQkvMdu + Caikl J^ uQaVooiQkvmdu\ , (45)

J r+oo # r+oo

' fti/UoMU^dv, 0fa = 7 / ^^ооДйкЖ (46)

0 ♦/O

r+oo

Pil=l / ^ (^OOiWOto + ИоогЩкГ) dv, (47)

JO

/ r+oo __r+oo

/3« = 27 (J Im (uoocQkUooi) dv + D»kl j Im (у00аОкЩм) df +

r+oo __r+oo \

+DkHj J Im (uooaOfcioo;) dv + Cijkl J Im (у00аЩчш) dvj , (48)

r+oo __r+oo _

Piiki = 7 / vQaUoojQkUooidi>, 0ljkl = 7 / vQaVoojQkUooidv, (49)

Уо jo

r+OO __r+oo _

filjki =7 J vQaUoojQkVooidv, /3*jkl =7 J vQaVoojQkVmdv, (50)

7=--(51)

20eo

Множители в формуле (44) для фазы Берри ц, содержащие выражения gjjln VG, ^¡Pl2' ШР'г1' описывают влияние кривизны поверхности Е

на фазовый множитель е,м, а семь последних множителей - влияние изменения с глубиной материальных параметров среды ^р\а, ^pf,

В третьей главе рассматривается нестационарная задача возбуждения волн в полуплоскости = 00 < х < +°°> У S 0}> заполненной однородной изотропной средой Био, находящейся в покое при i < 0. Предполагается, что поры на границе у = 0 являются открытыми. Волновое поле в этой среде образуется при t = 0 в результате внешнего точечного воздействия, приложенного к твердой фазе (скелету среды) свободной от напряжений и давления границы у = 0. Удобно ввести потенциалы <Pi,ifl2 и Ф с помощью формул:

<52>

и = grad ifii + grad tp2 + rot ф, w = Bigrad <pi + B2grad ip2 - —rot ф, (53)

771

(p + B,Pf)— + (P + B2Pf)^r-2L +

I!/ \ ОхУу ОгОу Sx2 Oy2 J ' -p = (Pf + Bim)^ + (pj + B2m

Здесь ipi(x,y,t) и ij>(x,y,t) = ipz(x,y,t)k, (divtp = 0) - скалярные и векторный потенциалы, описывающие две продольные волны Pi и поперечную волну S, распространяющиеся с соответствующими скоростями и,-, г;3 = const >0, г = 1,2, и = (Ui,U2) - вектор смещений в упругой фазе, w = e(U — и) - вектор смещений жидких частиц внутри пор относительно скелета, ту = сг^+Еу - тензор напряжений, приложенных к пористой среде, Еу = —epSij, где р - давление в жидкости, 6у

- символ Кронекера; е - пористость, pj - плотность жидкости, т - параметр с размерностью плотности, р - средняя плотность пористой среды, L - модуль сдвига пористой среды являются положительными константами, Bit В2 = const

- коэффициенты, зависящие от структуры пористой среды. Образующееся волновое поле должно удовлетворять при у=0 граничным условиям

гто1у=+о = -A5(x)6(t), txy\y=+q = 0, p|v=+0 = о, А = const > 0 (55)

и нулевым начальным данным

cVi _ д<р2 _ &фг ~~дГ ~ ~dt ~dt

Задача нахождения возмущений в среде Био сводится к решению волновых уравнений для потенциалов (52) и к определению смещений и напряжений по формулам (53), (54). Применив интегральные преобразования Фурье (по переменной х) и Лапласа (по переменной t), приходим к выражениям для смещений в твердой фазе и относительных смещений в жидкой фазе

их = 4г Г° Г К»? - ti)(3e~ttai - 2tt,

7ГЬ J0 2m Je-iaa

pfct?J

+(«4 - (ge-kya* - totPe-W)] -r-dri, (57)

=£ Г ^ - - 2e^)+

pktT]

- vl)a2{gerk«a* - 2е-*»")1 —dr), (58)

+(«2 - у1)а2(В2де-к«а> + ^е"*»")

т До

(60)

где

Ып) = (у21 ~ у1)92 - - - 4а2р(у\ - у22), а,(Ч)

1 + ^, ¿ = 1,2,

/

= сотЫ > 0.

где М. - модуль пористой среды, щ - параметр с размерностью скорости. Для однозначности радикалов ¡3 проведем на плоскости г] из точек ветвления т? = ] = 1,2,3 разрезы в левую полуплоскость параллельно вещественной оси и фиксируем основной лист условиями сч = 1, ¡3 = 1 при г/ = 0. Уравнение До(ч) = 0 - дисперсионное соотношение поверхностных волн Рэлея для свободной границы пористой среды Био. Известно, что это уравнение имеет корни г] = ±гид, где Уц < тт(г>1,г)2,1?з) - скорость волны Рэлея. При условиях у2 > у3 или у3 > у2, (2 - - || > 4 (1 - - || вдоль свободной границы у = 0

пористой среды будет распространяться волна Рэлея, а при выполнении неравенств у3 > у2, (2 — ^ < 4 — ^ — ^ волна Рэлея не образуется.

Деформация контура Меллина позволяет переставить порядок интегрирования по т] и к. Далее интегралы по к легко вычисляются, а контурные интегралы по 77 берутся по вычетам.

Приведем несколько формул для горизонтальных компонент смещений в упругой фазе:

их ихр1 + 11хр2 и.хн ■

(61)

Здесь

-1

Ао'(^) (62)

горизонтальная компонента смещений продольной упругой волны Рь

-1

-A(vl-vl) ' ' ^

її U

Чт

gW) И -

Ото

Y

горизонтальная компонента смещений продольной волны Р? в жидкости,

2А

ихз = —ттіт

ж L

sj{€)2 +1 + - «*) + + -

i-

- горизонтальная компонента смещений поперечной волны S, где

. ixt + yJt

v0 = —„2 j , j = 1,2,3.

•7

(64)

(65)

Из полученного явного решения (61)-(65) можно выделить выражение, соответствующее поверхностной волне Рэлея. В первом приближении при у —> О горизонтальная компонента смещений волны Рэлея будет иметь вид

* ~ 7Г V

ЇІS

A{v\-v I)

2Л

( I с

.(fW+fe) С!)'

(66)

где C((i)fc, г>д), = const, / = 1..6, A; = 1..4 - коэффициенты с размерностью скорости.

Анализируя полученное решение задачи, имеем разные аналитические выражения, описывающие различные волны, в разных областях. Аналитическая структура решения меняется на волновых фронтах - линиях, на которых поле имеет особенности. В случае точечного источника, расположенного на свободной границе пористой среды, помимо объемных сферических волн Pi, P'i) S и поверхностной волны Рэлея, распространяются три головных волны Р1Р2, PiS, а также P2S (v2 > Уз) или SP2 (Уз > г>2). И картина волновых фронтов будет иметь следующий вид:

Публикации автора по теме диссертации в изданиях, рекомендованных ВАК

1. Заворохин Г.Л. О лучевом методе для сред Био // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2008, 354, 112-131.

2. Заворохин Г.Л. О распространении волн Рэлея вдоль границы неоднородной анизотропной пористой среды Био // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2010, 379, 24-46.

3. Заворохин Г.Л. Волновое поле от точечного источника, действующего на открытой границе полуплоскости Био // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2011, 393, 101-110.

Публикации автора в иных научных изданиях

4. Заворохин Г.Л. О лучевом методе для сред Био // Тезисы докладов конференции "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознапи", Уфа, 2009.

5. Zavorokhin G.L. On the Rayleigh wave propagation along the boundary of an in-homogeneous anisotropic porous Biot medium //Book of abstracts of the conference "Days on Diffraction", Saint-Petersburg, 2009.

6. Zavorokhin G.L. Wave field from a point source on the boundary of half plane Biot // Book of abstracts of the conference "Days on Diffraction", Saint-Petersburg, 2011.

Подписано в печать 21.09.12 Формат 60х84У[6 Цифровая Печ. л. 1.0 Тираж 100 Заказ 06/09 печать

Отпечатано в типографии «Фалкон Принт» (197101, г. Санкт-Петербург, ул. Большая Пушкарская, д. 54, офис 2)

Введение

1 Пространственно-временное лучевое разложение для объемных волн в среде Био

1.1 Вывод уравнений среды Био.

1.2 Вывод рекуррентных уравнений.

1.3 Энергетическое соотношение.

1.4 Уравнение (ТУ - = 0.>

1.5 Нахождение "\УП(£,г), п > 0.

1.6 Главный член Л^о ПВЛ разложения.

1.7 Изотропный неоднородный случай

2 О распространении волн Рэлея вдоль свободной границы неоднородной анизотропной пористой среды Био

2.1 Постановка задачи.

2.2 Анзац.

2.3 Уравнения переноса для волн Рэлея

2.4 Формулы усреднения. Первое гидроэнергетическое равенство

2.5 Уравнение для ^(д1. д2, £)

2.6 Второе гидроэнергетическое равенство.

2.7 О фазе Берри.

3 О двумерной задаче Лэмба в случае пористой среды Био

3.1 Постановка задачи и представление решения в виде интегралов.

3.2 Вывод явных формул для компонент смещений.

Распространение волн в пористых средах, насыщенных жидкостью, традиционно моделируемое уравнениями Био (1956 г.) [4, 5, 7, 8, 9, 10], представляет интерес для геофизики, акустики, медицины и других приложений. Такие среды часто встречаются в земной коре, а в некоторых случаях являются коллекторами нефти и газа.

Ранние работы по пористым средггм восходят к Р. Fillunger (1913 г.) [15] и К. Von Terzaghi (1923 г.) [27]. Эти две базовые работы являются основой для двух подходов, используемых до настоящего времени [12]. Р. Fillunger впервые рассмотрел модель "твердое тело-жидкость" с концепцией объемной фракции в сочетании с поверхностными коэффициентами пористости, а К. Von Terzaghi разработал одномерную теорию уплотнения грунта, наглядную математическую модель деформации флюидонасыщенного грунта под действием напряжений. В работе [27] К. Von Terzaghi ввел понятие эффективного напряжения и применил закон Дарси для описания поведения насыщающей жидкости. Трехмерное обобщение теории уплотнения разработал Био [6] в 1941 году, где были предложены основополагающие соотношения для двухфазной континуальной модели. Позже, в 1944 году Я.И. Френкель [16], впервые рассмотрел распространение акустических волн в двухфазной континуальной модели при изучении сейсмоэлектрического эффекта и предсказал существование продольной волны второго рода, далее известной как медленная волна Био или Р2 - волна. Вслед за этой работой уравнения распространения звуковых волн в газонасыщенной пористой среде в одномерном приближении были получены в книге К. Цвиккера и К. Костена [51]. Л.Я. Косачевский [38] показал, что предложенные Био уравнения движения пористой среды опираются на тс же соотношения между напряжениями и деформациями, что и в работе Я.И. Френкеля, но отличаются большей общностью. Теория распространения звуковых волн в насыщенной пористой среде также изучалась П.П. Золотаревым [37], В.Н. Николаевским [45] и Х.А. Рахматулиным [48].

Современные математические описания распространения акустических волн в пористых средах включают классическую модель Био, часто переформулированную для конкретных областей, представляющих интерес [35]: модель для звукопоглощающих материалов [1], термодинамическая теория уравнения равновесия пористости [28]; линеаризованная версия теории уравнений пористых сред [11], [23]; модель Био-Столла [25] с приложениями к акустике морских осадочных пород и т.д. Всеобъемлющий до настоящего времени обзор существующих теорий можно найти в [35].

Описание распространения высокочастотных колебаний в пористых средах требует специальной математической техники. В настоящей работе используется пространственно-временной лучевой (ПВЛ) метод, развитый для пористых сред Био. Основными создателями этого метода в применении к з'пругим средам являются В.М.Бабич [32], С.М.Рытов. М.Л.Левин [41] и А.Ф.Филиппов. Достоинство лучевого метода состоит в том, что он позволяет в высокочастотном приближении разложить волновое поле в неоднородной пористой среде на продольные Рь Р2 и поперечную 5 волны.

Лучевое поле может иметь особенности, которые характеризуются тем, что якобиан перехода от декартовых координат к лучевым обращается в ноль. Формулы лучевого метода тогда теряют смысл. В таком случае коротковолновую асимптотику волнового поля можно построить с помощью метода канонического оператора В.П. Маслова 1 [42, 43, 34, 3]. Существуют и другие приемы преодоления этой трудности (см. [47]).

В диссертации строится ПВЛ разложение решений системы уравнений среды Био, причем результаты излагаются традиционно, как принято в работах по математической теории дифракции ([50, 13, 40]), не формулируя их "на уровне теорем".

Помимо ПВЛ метода для сред Био, в работе рассматривается задача Лэмба [19] для пористого двумерного полупространства. Данная проблема исследовалась в работах Dey h De [14], Phillippacoupou-los [22], Сеймова и др. [49], Valiappan et al. [26]. Решения в случае аксиальной симметрии обсуждались в работах Halpern h Christiano [18], Л.А. Молотковым [20, 21]. В нестационарном случае задача также исследовалась Л.А. Молотковым в [44], где автором были установлены формулы для компонент смещений в интегральной форме. В. Герасик и М. Стастна в [17] в стационарном случае получили решение задачи в виде интегралов, асимптотика которых, также как и в [44], впоследствии находилась при помощи метода перевала.

В соответствии с вышеизложенным определим Цель работы.

1. Построение лучевых разложений для объемных и поверхностных волн.

2. Построение и исследование явного решения нестационарной задачи о возбуждении волн точечным источником на проницаемой (поры открыты) границе полуплоскости, заполненной однородной изотропной флюидонасыщенной пористой средой.

Методы исследований. Для описания распространения волн в пористой среде Био используется пространственно-временной лучевой (ПВЛ) метод. Для решения задачи возбуждения волн поверхностным источником применяется метод Смирнова-Соболсва-Петрашеня. Научная новизна. Основные результаты диссертации являются 'Автор благодарен профессору С.Ю. Доброхотову за указание этой возможности. новыми и состоят в следующем'

1. Построены ПВЛ разложения для модулированных как по частоте, так и по амплитуде объемных волн в трехмерной безграничной анизотропной неоднородной среде Био. Показано, что в случае изотропной среды Био для поперечных волн имеет место аналог закона Рытова.

2. Получены аналитические1 выражения главных членов ПВЛ разложения для амплитуды аналога поверхностных волн Рэлея, распространяющихся вдоль свободной криволинейной поверхности анизотропной неоднородной среды Био в случае проницаемой границы. Найдено выражение для фазы Берри.

3. Построено и исследовано решение нестационарной задачи о действии сосредоточенной силы на поверхность однородной изотропной среды Био в случае открытых пор на границе.

Теоретическая и практическая значимость. Работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы для вычисления волновых полей в реальных пористых средах. Апробация работы. Результаты работы докладывались на семинаре по теории дифракции в ПОМИ им. В А. Стеклова РАН, на семинаре кафедры высшей математики и математической физики физического факультета СПбГУ, в Институте Проблем Машиноведения РАН. на семинаре лаборатории им. П.Л. Чебышева СПбГУ. в Акустическом Институте им. акад. H.H. Андреева (Москва), в Politécnico di Torino (Италия) и на трех международных конференциях: "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании" (Уфа, 2009), "Day& on Diffraction". (Санкт-Петербург, 2009. 2011, 2012), "Воздействие упругих волн на флюиды в пористых средах" (Москва, 2012).

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 6 печатных изданиях, 3 из которых опубликованы в журналах, рекомендованных ВАК, 3 - в тезисах докладов.

1. Заворохин Г.Л. О лучевом методе для сред Био // Зап. научи. сем. ПОМИ, 2008, 354, 112-131.

2. Заворохин Г.Л. О распространении воли Рэлея вдоль границы неоднородной анизотропной пористой среды Био // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2010, 379, 24-46.

3. Заворохин Г.Л. Волновое поле от точечного источника, действующего на открытой границе полуплоскости Био // Зап. научн. сем. ПОМИ, 2011, 393, 101-110.

4. Заворохин Г.Л. О лучевом методе для сред Био // Тезисы докладов конференции "Фундаментальная математика и ее приложения в естествознании", Уфа, 2009.

5. Zavorokhin G.L. On the Rayleigh wave propagation along the boundary of an inhomogeneous anisotropic porous Biot medium // Book of abstracts of the conference "Days on Diffraction", Saint-Petersburg, 2009.

6. Zavorokhin G.L. Wave field from a point source on the boundary of half plane Biot // Book of abstracts of the conference "Days on Diffraction", Saint-Petersburg, 2011.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на разделы, и списка литературы. Полный объем диссертации составляет 70 страниц с 3 рисунками. Список литературы содержит 51 наименование.

1. J.F. Allard, Sound propagation in porous media (modelling sound absorption materials), Chapman and Hall, London, 1993.

2. V.M. Babich, N.Ya. Kirpichnikova, A new approach to the problem of the Rayleigh wave propagation along the boundary of a nonhomogeneous elastic body, Wave Motion, 40, 2004, 209 223.

3. V.V. Belov, S.Yu. Dobrokhotov, T.Ya. Tudorovskiy, Operator separation of variables for adiabatic. problems in quantum and wave mechanics. J. Engin. Math., 2006.

4. M.A. Biot, Theory of elastic viaves in fluid-saturated porous solid. I. Low frequency range, J. Acoust. Soc. Am., 28, 1956, 168 178.

5. M.A. Biot, Theory of elastic waves in fluid-saturated porous solid. II. High frequency range, J. Acoust. Soc. Am., 28, 1956, 179 191.

6. M.A. Biot, General theory of three-dimensional consolidation, J. Appl. Phys., 12, 1941, 155 — 164.

7. M.A. Biot, Theory of elasticity and consolidation for a porous anisotropic solid, J. App. Phys., 26, № 2, 1955, 182 185.

8. M.A. Biot, D.G. Willis, The elastic coefficients in the theory of consolidation, J. Appl. Mech., 24, 1957, 594 601.

9. M.A. Biot. Generalized theory of acoustic propagation on porous dissipa-tive media, J. Acoust. Soc. Am., 34, 1962, 1254 1264.

10. M.A. Biot, Mechanics of deformation and acoustic, propagation in porous media, J. App. Phys., 33, № 4, 1962, 1482 1498.

11. R. Dc Boer, Trends in continuum mechanics of porous media,, Springer, Dordrecht, 2005.

12. R. De Boer, Theory of porous media. Highlights in historical development and current, state, Springer, Berlin, 2000.

13. V. Cerveny, Seismic ray theory, Cambridge Univ. Press, Cambridge, MA, 2001.

14. S. Dey, R.K. Dc, Stresses in fluid saturated porous half-space due to normal and tangential loadings, Indian J. Pure Appl. Math., 15, 1984, 1375 1397.

15. P. Fillunger, Der Auftrieb von Talsperren. Teil I-11I, Osterr. Wochenschrift. fur den ofFentlicen Baudients, 7, 1913, 510 — 532.

16. Y. Frenkel, On the theory of seismic and seismoelectric ph,e.nom,ena in moist soil, J. Phys., 8, 1944, 230 — 241.

17. V. Gerasik, M. Stastna, Poroelastic acoustic wave trains excited by harmonic line tractions, Proc. Roy. Soc. Lond. A, 464, 2008, 491 511.

18. M. Halpern, P. Christiano, Response of poroelastic half-space to steady-state harmonic surface tractions, Int. J. Numer. Anal. Geomech., 10, 1986, 609 632.

19. H. Lamb, On the propagation of tremors over the suiface of an elastic solid, Phil. Tran. Roy. Soc. A., 203, 1904, 1 42.

20. L.A. Molotkov, A sources acting on the free boundary of a porous Biot medium and reflection of this boundary, J. Math. Sci. A., Ill, 2002a, 3750 3762.

21. L.A. Molotkov, A propagation of normal waves in an isolated porous fluid-saturated, Biot layer, J. Math. Sci. A., 108, 2002b, 758 771.

22. A.J. Philippacoupoulos, Lamb's problem for fluid saturated porous media, Bull. Seismol. Soc. Am., 78, 1988, 908 923.

23. M. Schanz and S. Diebels, A comparative study of biots theory and the linear theory of porous media for wave propagation problems, Acta Mech., 161, 2003, 213 235.

24. V.I. Smirnoff, S.L. Soboleff, Sur une m,et,hode nouvelle dans le probleme plan des vibrations elastiques, Тр. Сейсм. инст., 20, Л., АН СССР, 1932.

25. R.D. Stoll, Acoustic, waves in saturated sediments. In: Physics of Sound in Marine Sediments. Acoustics and ultrasonics, Plenum, 1974, 19 — 39.

26. S. Valiappan, J. Tabatabaie, C. S. Zhao, Analytical solution for two-dimensional dynamic consolidation in frequensy domain, Int. J. Numer. Anal. Geomech., 19, 1995, 663 — 682.

27. K. Von Terzaghi, Die berechnung der durchlassigkeit des tones aus de.m verlauf der hydromechanischen spannungserscheinungen, Sitzungsber. Akad.Wissensch. Math.-Nat.urwiss. Klassc. 132, 1923, 125 — 128.

28. K. Wilmanski, Porous media at finite, strains. The new model with the balance equation for porosity, Arch. Mech., 48, 1996, 591 — 628.

29. G.B. Whitham, Linear and Nonlinear Waves, Wiley & Sons, New-York, 1974.

30. A.C. Алексеев, B.M. Бабич, Б.Я. Гельчинский, Лучевой метод вычисления интенсивности волновых фронтов, Вопросы динам, теории распростр. сейсм. волн, 5, ЛГУ. 1961, 3 24.

31. В.М. Бабич, B.C. Булдырсв, И.А. Молотков, Пространственно-времепной лучевой метод. Линейные и нелинейные волны, ЛГУ, 1985.

32. В.М. Бабич, О прост,рапствелто-временном лучевом, методе в теории упругих волн. Изв. АН СССР, сер. Физика Земли, № 2, 1979, 3 13

33. В.М. Бабич, С.К. Кочугуев, О методе В.И. Смирнова-С.Л. Соболева явного решения задач математической теории дифракции, Препринты ПОМИ, 1/2002, 1 35.

34. Й. Брюнинг, В.В. Грушин, С.Ю. Доброхотов, Т.Я. Тодоровский, Обобщенное преобразование Фолди-Вутхайзена и псевдодифференциальные операторы, ТМФ, 167, № 2, 2011.

35. Н.С. Городетская, Волны в пористо-упругих, насыщенных жидкостью, средах, Акуст. Вестник, 10, 2007, 43 — 63.

36. Н.С. Городетская, Волны на границе пористо-упругого полупространства, Акуст. Вестник, 8, 2005, 28 — 41.

37. П.П. Золотарев, Распространение звуковых волн в насыщенной газом пористой среде с жестким скелет,ом, Инж. журнал. IV, 1964, 111 — 120.

38. Косачевский Л.Я., О распространении упругих волн в двухкомпонентных средах, ПММ, XXIII, № б, 1959, 1115 1123.

39. Н.Е. Кочин, И.А. Кибель. Е.М. Розе, Теоретическая механика. Часть 1, Москва, 1963.

40. В.И. Кучер, Б.М. Каштан. Лучевой метод для изотропной неоднородной, упругой среды, СПбГУ, 2001.

41. М.Л. Левин, С.М. Рытов, О переходе к геометрическому приближению в теории упругости, Акустич. журнал, вып. 2, 1956.

42. В.П. Маслов, Комплексный мет,од ВКВ в нелинейны,х уравнениях. Наука, М., 1977.

43. В.П. Маслов, Теория возмущений и асимптотические методы,, МГУ, М., 1965.

44. Л.А. Молотков, Исследование распространения волн в пористых и трещиноватых средах на основе эффективных моделей Био и слоистых сред, Наука, СПб, 2001.

45. В.Н. Николаевский, О распространении продольных волн в насыщенных жидкостью упругих пористых средах, Инж. журнал, 3, вып. 2, 1963, 251 261.

46. Г.И. Пстрашсиь, Г.И. Марчук, К.И. Огурцов, О задаче Лэмба в случае полупространства, Уч. Зап. ЛГУ, вып. 21, № 35, 1950.

47. М.М. Попов, Новый метод расчета волновых полей в высокочастотном приближении, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 104, 195 216.

48. Х.А. Рахматулин, Основы, газодинамики взаимопроникающих движений сжимаемых сред, ПММ, XX, 1956, 184 195.

49. В.М. Сеймов, А.Л. Трофимчук, O.A. Савицкий, Вибрации и волны в слоистых средах, Наукова Думка, Киев, 1990.

50. В.И. Смирнов, Курс высшей математики, ПММ, IV, 1974.

51. К. Цвиккер, К. Костен, Звукопоглощающие материалы, Изд. иностр. лит., М, 1952.