Модулярные инварианты и когомологии полной линейной группы над конечным полем тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ



САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

На правах рукописи

НГУЕН ВЬЕТ ДОНГ •

МОДУЛЯРНЫЕ ИНВАРИАНТЫ и когса«ологии полной ЛИНЕКНСЙ ГРУППЫ НАД КОНЕЧНЫМ ПОЛЕМ

С1.01.С6 - математическая логика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-ыатематических наук

Санкт-Петербург 1992

Работа выполнена на кафедре высшей алгебры и теории чисел Санкт-Петербургского государственного университета.

НАУЧНЬй РУКОВОДИТЕЛЬ - доктор физико-математических наук, профессор БОРЕВИЧ Зенон Иванович

СИИЩАЛЬНКЕ ОППОНЕНТЫ- доктор физико-математических наук,

ВЕДУЩАЯ ОРГАНИЗАЦИЯ - Самарский государственный университет

часов на заседании Специализированного совета К 063.57.45 по присузденжз ученой степени кандидата физико-математических наук в Санкт-Петербургском государственном университете (адрес совета: 198904, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Библиотечная пл., д.2, математико-механический факультет).

Защита будет проводиться по адресу: 191011, Санкт-Петербург, Набережная реки йонтанки, 27, 3-й эта«, зал заседаний 311 ( ГОМИ).

С диссертацией мовно ознакомиться в Научной библиотеке им.М.Горького Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7/9.

профессор ГОРДЕЕВ Николай Леонидович

кандидат физико-математических наук ПАНИН Иван Александрович

Защита состоится

Автореферат разослан

1992 г.

Ученый секретарь специализированного совета, доцент

Р.А.1ЩЦТ

I отдул I {лвзгу.

"1 з -

ОЕЦАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕМЫ. Теория гомологий групп появилась в середине нынешнего века в ряде работ авторов: С.Эйленберг-С.Маклейн [ГО], А.Картан [э], Д.К.Фаддеев [в], З.И.Боревич [Х-З], В.Е. Венков [4-5], Е.С.Гслод [б], Г.П.Хохшилд-Е.П.Серр [И] и другие. Важную роль в этой теории играет вопрос описания иогсмоло-гии конкретных групп. Этому направления посвящены многочисленные исследования, среди которых имеются работы о когомологии групп, являющихся расширениями элементарных абелевых р-групп при помощи циклических групп степени р (Д.Квиллен, Х.Муи, ¿.А.Мин, М.Тезука-Н.Кагита), работы о когомологии симметрических групп с коэффициентами в конечном поле (Х.Муи, М.Яакаока, Н.Х.В.Хунг,...), работы о когомологии метациклических групп (Ж.Гуебтян, Д.Г.русин). 3 данной диссертации рассматривается вопрос о вычислении когомологии полных линейных групп над конечным полем с коэффициентами в поле. В настоящее время это направление было развито в серии работ М.Теэука-Н.Иагита [ Г?], Н.Иагмта [и ], ¿.В.Хунг [14,15]. Таким образом, проводимые в диссертации исследования входят в общее русло современных исследований по когомологии групп, что и определяет ее своевременность и актуальность..

ЩЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является вычисление когомологий некоторых подгрупп полных линейных групп над конечным полем с коэффициентами э поле.

ОБДАЙ МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИИ. 3 работе применяются общие методы и результаты теории когомологий групп. В честности, используются методы теории модулярных инвариантов, спектральной последовательности Хохшилда-Серра.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. В работе получены следующие новые научные результаты.

1. Определены модулярные инварианты унитреугольноЯ группы матриц над конечным полем.

2. Доказана гипотеза Лридди о нетривиальности когомологий полной линейной группы четной степени над полем из двух элементов.

3. Вычислены когомологии некоторых подгрупп полной линейной группы третьей степени над конечным полем.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ К ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Работа носит теоретический характер. Ее методы и результаты могут быть использованы при дальнейших исследованиях когомологий полных линейных групп над конечным полем.

АПРОБАЦШ РАБОТЫ. Основные результаты докладывались на семинаре по алгебре в Ханойском математическом институте, на международной конференции по алгебраической топологии (Познань, Польша, 1969). Они докладывались также на алгебраическом семинаре им.Д.К.саддееваССПбГУ и ПОМИ).

ПУБЛИКАЦИИ. По теме диссертации имеется две публикации ] » [ 20 ]» а таете подготовлено две работы для опубликования.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на 7 параграфов и списка Литературы. Общий ее объем 99 страниц машинописного текста. Библиография содержит 83 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОВ!

Рассматриваемая в диссертации проблема в общем виде состоит в следующем. Пу;ть О; - конечная группа и 5 - некоторая ее подгруппа. Обозначим М^Сб^г Ы^СЪ)/С^СЪ ), где М^С^)

и Cc.CS) - нормализатор и централизатор подгруппы Э в группе (я , соответственно. Для каждого элемента tyj.CS)

сопряжение С^ : $ & , = Л, л £ £ яв-

ляется автоморфизмом группы 5- Отображение Ал4*С&)

= Су индуцирует изоморфизм от группы Ц/^Сй) на подгруппу в А»£(&) ■ Переходя к когомологиям, получим действие

ка Н*С £) посредством сопряженного изоморфизма. Рассмотрим сужение

Кед: Н*(бг)-+ Н^Св^^

индуцированное вложением 9 с* £т • По теореме в теории гомология (см.[7]), имеем Туи/ &1Л содержится в алгебре всех инвариантов группы в • Далее, согласно ре-

зультату Квиллена 1см. [16]), если Л£Н*Сбг) такой, что Яел(НН*С5)) С*) = О Для любой элементарной абе-левой р-подгруппы £ . то х> является нильпотентным элементом. Итак, одна из ватных проблем изучения структуры алгебры Н^бг) - эт0 проблема вычисления алгебры Н*С£)

Пусть ^ - конечное поле из <\ = р"' элементов и его алгебраическое замыкание, где р - простое число и 1 • Обозначил через 1)(я, ^ ) подгруппу полной линейной группы £г!-("•/В] ) / содержащую множество всех верхних треугольных матриц, на диагоналях которых стоят единицы.

В первой главе рассматривается случай, когда и = 4 иД-элементарная подгруппа группы ) , содержащая множество

всех матриц вида

ъ -

0

1

О

* * * *

А О 1

б и ¿4^),

Алгебра Н*(/\; ^ ) ^ была вычислена автора-

ми ¿.З.Хунгои, Тезукой, Иагитой (см. [М]), если р = -2-. В этой

главе Н*(А .> ^ ) ^ ) вычислена нами при р - ли бае

нечетное простое число.

В 5 I напоминаются известные понятия и результаты. Напомним, что

Н*(д; Рр г 'гГ* Е^ч/^Ц.О, лмирз,

где ^Г2!?«- V ^ 3 - алгебра многочленов от х, у над полем ^ И Е("х^. -у - внешняя алгебра от х,],-,} над В, ■ Обозначим через

6 I р

инварианты Дикасна (см. £ 12}). Пусть

w4 в ТГ (л, >

Получим следующую теорему.

ТЕОРЕМА. Система V/. , VI/, , VI/, Ш М К является обра}/ 4 у яу у г

зующеЕ системой алгебры ( Н*^Ц ^ / Уо ) ^ ' ^

Далее

с рр/^Л ^ п> рг [и^л^ к* |

Алгебраическая структура ( Н*(А ) Гу )/Яо определяет-

ся следующими соотношениями

кг г - м;.

Здесь и низе, обозначим через Я^х,-^,..., V } свободный модуль над К ; пороаденный элементами Эта теорема исполь-

зуется в следующем параграфе, хотя она мояет иметь и самостоятельный интерес,

В § 2 доказывается главная теорема этоР главы. Положим

М1 • , м,. , м, = У.Д ^, м1#с

ТЕОРЕМА. * ) Система } ГА, М^ , К 1¿=Н,.--/ \ = V/ }

является образующей системой алгебры Н*(А ; Рр ) ^^' ^р ^ л1) Система | М^ М,М? ДМ^ М^М, (МД I

линейно независима над ( Н*(А; Ру ) _ имеем

■Ш) Алгебраическая структура

определяется следующими соотношениями

м, м5 = М^ + ; мЛм, = м^ , МЭТ; . м4 - М3 ЛЛ, "> * м, + м^ + М3 (д^, -

- ^ _ + хД ) >

И, м, с М, м, в м^ - = г лцм, = о ;

м, м^ = м, мг ^ , М3М4 = , =. мд,. м? м, = ; = м<м,т,

Перейдем к изложению содержания главы П, з которой доказана гипотеза Придди о нетризиальности -когомологии полной линейной группы четной степени ¿л над полем из двух элементов ^ с коэффициентами в поле Т^ . В работе Маазена С13 О был получен следующий результат

Н'Ч&Ца^Л),^") = о , при и.

Придди предположил, что

Гипотеза была доказана при Хунгом [тбЗ. л1ы докажем,

что гипотеза верна при любом \\> . Наиа идея заключается в следующем .

Пусть А - максимальная элементарная абелева 2-подгруппа группы I (¿"Л, ) > порожденная матрицами Ц ^ 4 $ , где Сц есть матрица, у которой на главной диагонали и положении стоят единицы, на всех остальных местах - нули. Обозначим через Хц ■■ А —> элемент, двойственный матрице С^ . Получим

Легко заметить, что Поэтому, чтобы доказать

, достаточно показать, что существует элемент х, принадлежащий Н'ЧбЦ^Л);^ ) такой что

В доказательстве использована спектральная последовательность Хохиилда-Серра для групповых расширений. В § 3 напоминается понятие спектральной последовательности Хохшилда-Серра. Пусть дано групповое расширение

1 Г7-> Ос-, 4. (I)

и Сг -модуль А . Пусть В (6) есть В -резольвента тривиального (л- -модуля 2 всех целых чисел, В*'(й-;Л) = Нс^ А) • Напомни.), что к - коцепь {.■ В„/й)->А

можно отождествлять функцию VI/ аргументов ^ 6 бг, удовлетворяющую условиям

Л

Кограница В*'—> В""1,4 определяется формулой

■4 т 1

Рассмотрим фильтрацию Хохпилда-Серра = , о ,

где Г Ь П'с> я о если и Р Б Л 8 состоит из

всех и -коцепей для которых ^= о когда

И/.я + -1 аргументов принадлежат подгруппе IV если я^ Л. . Согласно [И], млеем спектральную последовательность фильтрации Хохзилда-Серра

Е ^ н*№, Н*(М,А)) А; .

Л/

В частности, когда распирение (I) есть центральное групповое расширение, т.е. подгруппа N содержится в центре 2С&) и когда Л есть тривиальный <5г -модуль, имеет место изоморфизм

В случае, когда Л = ^ и ^ = мы получили следующую теорему.

- ю -

ТЕОИША. Пусть ^ - спектральная последовательность

Хохшилда-Серра, индуцированная центральным групповым расширением

!-+!-> 6- —> <д-/г —}

где . Тогда существует некоторый идеал Т в

Н*С£г/г ) и Челое число , так что

? Н^С^/г. > ® Ч С V** ] ,

где удовлетворяет условию

В ЕЛ-а , 1: Рд ) есть трансгрес-

сивный гомоморфизм.

В следующем § 4 доказывается гипотеза Придди. Доказательство основано на следующих результатах.

Обозначим через А^ подгруппу в ), содер»ащуа

все матрицы вида

г ч *

> '

О 4-1

где Е4 - единичная матрица степени -1с .

± о-.о.^

Положим

\ о 1 '••

о V

е икъ)

' Лчнии

J

ТЕОРЕМА. Гомоморфизм

Ы-. Н*(

индуцированный сужениями, является иньективным. Где прямое произведение распространяется на семейство всех максимальных абе-левых 2-подгрупп А в О ) • Положим _

А^ = А^/с ЛА*,

тогда Л^ является подгруппой з Р(и.,Л) и как известно, имеет место изоморфизм

Рассмотрим элементы & ) ^ 1

-¿+<Д+г "' -б.-*-**

ТЕОРЕМА. Существуют такие элементы £ ;

что

( 7 если & >

~ I О , если Г**-

Поскольку = непосредственно получим следующую теорему. ^

ТЕОРЕМА. Существуют такие элементы 6 Н (и^,^ ); Ц, Л

^^ лиЯ, ^ , что

( Ая^ ^ } если

¿'Л,

~~ ] 0 } если Ь ■

В конце этого параграфа завершается доказательство гипотезы Придди, используя предыдущие теоремы и следующий результат.

ПРЕДЛОЖЕНИЕ (см. [12]). Пусть 3 - силовская р-подгрулпа конечной группы бг и А - элементарная абелева р-подгруппа в Предположим, что если каждая подгруппа В в 5 сопряжена с группой Л в <3г то В сопряжена с группой А в Б

В главе С доказываются некоторые результаты о когомологии группы ) и ее подгрупп с коэффициентами в поле ^ .

Чрезвычайно важную роль в описании когомологий в этой главе играют отображение -2робениуса и нормальное отображение Ивена. В 5 5 напоминаются определение отобрэаення Ивена и его свойства, использованные в § 7. Пусть бг - группа и Н - ее подгруппа, млеющая конечный индекс X в 6г • Пусть дано множество представителей смежных классов бг по Н Для имеем = где ЗТ,(3^6 Н однозначно определены, ■ Полошим = тс ((Г, х--- х ) , тогда $ является мономорфизмом Ст-^б^ Н • Получено следующее отобра»ение Ивеном

т^ьъ н*с

где 1 - некоторое кольцо и если скмг(%.14■ 1. , то четно.

В следующем § 6 рассматриваются когомологии ^ и максимальных абелевых элементарных р-подгрупп в с коэффициентами в поле . Для каждой группы Сх . имеем

Н*Сбс;Рг) г нЧбп^®^ •

Как известно, когомологические операторы Стинрода моано линейно продолжить до операторов определенных следующим образом

х^«л* ) = Ч>

где е Рг ) и л^е Рг .

В группе ) имеются следующие максимальные абеле-

вы подгруппы

Ар з^«-), ^ ,

АЙГ< хиС*) , х1} (I) I и Ц > ,

где Хя'^Л^Б+Л-б^. Кроме того, если р - нечетно, то все предыдущие подгруппы являются элементарными и если р - четно, то

А», Л.*» являотся элементарными. Согласно формуле Квнета, име-' 1

ем

I рЗ

где есть отображение фробениуса и

С (Л) , если ¡> = г- ,

~ [ , если Р^ 3 ,

^ - оператор Боюптейна. В последнем § 7 доказывается главная следующая теорема. ТЕОРЕМА. Положим

= ТТ_ С1)+ /

Тогда система

является образующей системой алгебры

(н*Сла;Рг ) .

Теорема была доказана в случаях, когда Л - ± Дишоном и А-Х, Иагитой (см.[18.]). Мы доказали теорему для любого Из этой теоремы непосредственно следуют результаты описания ко- • гомологии группы и Сз, ^ ), В О, ^ ) , G\-0, ^ ) •

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Пусть р - простое число и

- гомоморфизм градуированных анти-коммутативьых алгебр над Рр . Мы

называем А/ Р -изоморфизмом, если

1) Для кавдого однородного элемента Л. 6 Ки Ь существует К , что нЛ - о .

2) Для кавдого однородного элемента Л6 Б существует т/,

что ¿ГеъЛ.

Обозначим

если Р г 3, ,

Г»»-

Пусть Ег - спектральная последовательность, индуцированная центральным групповым расширением

Рассмотри элемент б"(Л>) 6 НС^ X соответствующий ^У'1'6^'1, Положим

»«,.,/„.«• 2 ■ аЛШ^'аи

с \ I = <4.) I ^ * Д ^ =* КьЪ/А г

ТЕОРЕМА.-О Алгебра порожденная элементами

%/>№> и \л>(4) Р -изоморфна ))■

ц ) Алгебра- порожденная элементами .

w

Р - изоморфна Н(В(3/!5рУ л

Щ) Алгебра , порожденная элементами 1, Т„

г, Л к*»;1 X. Л ^(н'СА^/ъУ*^,

Р - изоморфна Н(£И.(ЗД)) • ГД0

1,гКгЛ К«- (Кел: Н*СЛ,)) -

£ (П*<Л)А* СЛ.) л

£ V), Ыи)<ка д.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю профессору о.И.Боревичу за постоянную заботу и поддержку при выполнении, данной работы. Автор считает своим долгом поблагодарить своего учителя, профессора Х.Муй за неоценимую многолетнюю помощь во время учебы и работы во Вьетнаме. Автор также весьма признателен профессору Н.Иагита за поле-вные дискуссии по многим интересующим вопросам и доктору Ф.В.Хунг за ценные советы при выполнении П главы данной работы.

ЛИТЕРАТУРА

1. Боревич &.И. 0 группах гомологий, связанных со свободной группойУ/йзв.АН СССР, сер.матем.,15Б2,т.16,М,с.ЗЬ5-384. '

2. Боревич 3.И..Фаддеев Д.К. Теория гомологий в группах,часть1// Вестн.Ленингр.ун-та, сор,мат.вып.2,с.3-39.

3. Боревич о.И. , Фаддеев Д.К. Теория гомологий в группах.частьП //Вестн.Ленингр.ун-та, сер.мат.,1Ь59, №7, Вып.2, с.72-87.

4. Венков Б.Б. Об алгебрах когомологий некоторых.классифирующих . пространств//Докл.АН СССР. 1959, Т.127..Л5, с.943-944. .

5. Венков Б.Б. Когомологии групп единиц в алгебрах с делением// . Докл.АН.СССР. 1961, т.137, №5, с.1019-1021. . .

6. Голод Е.С. О кольце когомологий конечной р-группы//Докл.АН . СССР, 1959, т. 125, М, с.703-706.

7. МахлеЕн С. Гомология. - М.:Мир, 1966. 543 с. . . .

8. Фаддеев Д.К. К теории гомологий в группах//Изв.АН СССР, сер. мат., 1952, т.16, №1, с.17-22.

9. Cartan H. Sur la cohomologie -des espaces ou ¿pere un groupe

C. R. Acad. Sci. Paris, 1849, v. 226, p.148-150.

10. Ei1enberg S. , MacLane S. Cohomology theory in abstract group ss Ann. of Math. 1947, v. 48, n. 1, p. 51 -78.

11.Hochschild G. P. , Serre J.P. Cohomology of group extentions // Trans. Amer. Math. Soc., 1953, v. 7, n. 1, p. 110-135.

12. Huynh Mui. Modular invariant theory and cohomology algebras of symotric groups SSJ. Fac. Sci. Univ. Tokyo, 1975, v. 22, п. Э, p. 319-369.

13. Maazen H. Homology stability for the general lenear group // Thesis Univ. llntrecht, 1979.

14. Pham Viet Hung. The mod 2 cohomology algebra of a Sylow 2-subgroup of the general lenear group GL<4, ss Acta Math. Viet., 1986, v. 11, n. 2, p. 136-155.

15. Pham Viet Hung. The algebra H*CGLC 4, ; . // Acta Math. Viet., 1987, v. 12, n. 2, p. 51-60.

16.Quillen D. The spectrum of an equivariant cohomology ring /■/ Ann. Math., 1971, v. 94, p. 549-57rf.

17. Tezuica M., Yagita N. The mod p cohomology of GL^tF "iss J. Algebra, 1983, v. 61, p. 303-395.

18. Yagita N. Frobenius operations and coliomology of 6L.(F > //

J 1

Communication in algebra, 1988, v. 16, n. 15, р.989-Ю16.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦШ

19. Nguyen Viet Dong. Modular invariants of the group 6L. on

w P

the two sets of variables, I /V Progress of Math. Sci., 1986,

v. 14, n. 1, p. 9-15. Math. Reviews AMS, 1989, 69® 20052, 20G40, p. 139

20. Nguyen Viet Dong. Hodular invariants of the group GL^ on the two sets of variables, II /V Progress of Math. Sci., 1987, v. 15, n. 2, p. 24-32. Hath. Reviews AMS, 1989, 89m20052, 20G40, p. 6686.