Мощные ультразвуковые пучки: диагностика источников, самовоздействие ударных волн и воздействие на среду при литотрипсии тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.06 ВАК РФ

На правах рукописи

Сапожников Олег Анатольевич

МОЩНЫЕ УЛЬТРАЗВУКОВЫЕ ПУЧКИ: ДИАГНОСТИКА ИСТОЧНИКОВ, САМОВОЗДЕЙСТВИЕ УДАРНЫХ ВОЛН И ВОЗДЕЙСТВИЕ НА СРЕДУ ПРИ ЛИТОТРИПСИИ

Специальность 01.04.06 - акустика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание учёной степени доктора физико-математических наук

0 2 ОКТ 2008

Москва, 2008 год

003447730

Работа выполнена на физическом факультете Московского государственного университета имени М.В. Ломоносова

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук, профессор,

академик РАН

Виктор Анатольевич Акуличев

Тихоокеанский океанологический институт имени В.И. Ильичёва ДВО РАН

доктор физико-математических наук, профессор Виктор Александрович Алешкевич Физический факультет МГУ имени М.В. Ломоносова

доктор технических наук Леонид Рафаилович Гаврилов

Акустический институт имени H.H. Андреева

Ведущая организация: Институт общей физики

имени А.М. Прохорова РАН

Защита состоится « ^ » 2008 г, в 16 часов на заседании

Диссертационного совета Д 501.001.67 в Московском государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, г.Москва, ГСП-2, Ленинские горы, д. 1, стр. 2, физический факультет, ауд. им. Р.В. Хохлова.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке физического факультета МГУ имени М.В. Ломоносова по адресу: 119992, г. Москва, ГСП-2, Ленинские горы, д. 1, стр. 2.

Автореферат разослан « » СИНТ^рЯ 2008 г.

Учёный секретарь

Диссертационного совета Д 501.001.67 кандидат физико-математических наук доцент

А.Ф. Королев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

В настоящей диссертационной работе представлены результаты исследований, выполненных автором на кафедре акустики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова в период 1988 - 2008 г.г. В диссертации проведены комплексные теоретические и экспериментальные исследования явлений дифракции, воздействия на среду и самовоздействия при излучении и распространении акустических волн. Особое внимание уделено ультразвуку мегагерцового диапазона, активно используемому в современных медицинских приложениях и неразрушающем контроле.

Актуальность темы

Волны любой природы создаются источниками конечных размеров. Среди них важный класс составляют источники направленного излучения, распространяющегося почти без ослабления на большие расстояния. Образующееся в результате волновое поле, ограниченное в пространстве в поперечном направлении и более протяжённое в направлении распространения волны, принято называть волновым пучком. Для создания пучка источник должен иметь большой волновой размер, т е. его диаметр должен намного превышать длину волны. Кроме того, заданное на нем поле должно быть когерентным. Поэтому источники волновых пучков обычно имеют искусственную природу. Оптические пучки когерентного излучения стали предметом исследования и широкого применения с изобретением лазеров. Практическое использование ультразвуковых пучков началось несколько раньше, с появлением пьезоэлектрических излучателей. Хотя с тех пор прошло более полувека, свойства ультразвуковых пучков всё еще изучены недостаточно. Одной из причин этого является то, что лишь недавно появились высокоточные экспериментальные средства для изучения пучков. В частности, ранее отсутствовала техника, которая позволила бы осуществить прецизионную количественную проверку используемых в теории предположений об ультразвуковых источниках: не были разработаны средства измерения пространственной структуры полей (миниатюрные широкополосные датчики, системы позиционирования с компьютерным контролем, лазерные виброметры), не хватало вычислительных мощностей для сбора и обработки соответствующих данных измерений. Другая причина - появление новых типов ультразвуковых источников и использование на практике новых режимов излучения, включая широкополосные и нелинейные, что обусловлено бурным внедрением акустических пучков в медицинскую практику.

Отдельного анализа заслуживают те современные приложения, в которых используется ультразвук высокой интенсивности. Аналогично тому как изобретение лазеров в 1960-х г.г. привело к рождению нелинейной оптики, появление примерно в это же время мощных пьезоэлектрических излучателей дало толчок развитию нелинейной акустики, до этого бывшей скорее теоретической дисциплиной. В отличие от нелинейной оптики, исследования по нелинейной акустике довольно долго носили академический характер. До 1980 г. единственным вошедшим в практику прибором, основанным на нелинейно-акустических эффектах, была «параметрическая антенна» для гидроакустической локации - устройство,

которое позволяет создавать направленное излучение низкочастотных акустических сигналов за счёт взаимодействия интенсивных волн высокой частоты.

В 1980-х г.г. произошёл ещё один качественный скачок в развитии нелинейной акустики - мощный ультразвук стал использоваться в медицинских приложениях. На взгляд автора, среди этих приложений больше всего нового в физику нелинейных волн внесла экстракорпоральная литотрипсия. Соответствующие устройства - литотриптеры - создают фокусированные пучки микросекундных акустических импульсов с пиковым давлением в фокусе, превышающим 100 МПа. Эта величина всего лишь на порядок меньше внутреннего давления в жидкостях. Важно, что такие интенсивные импульсы создаются не на каких-то уникальных установках, имеющихся в распоряжении единичных лабораторий с высоким бюджетом, а с помощью коммерческих приборов, выпускающихся огромными тиражами. В настоящее время каждая крупная урологическая клиника имеет на своём вооружении литотриптеры. Чем ультразвуковые пучки литотриптеров интересны для физиков? Прежде всего, высоким уровнем акустического давления, который намного превосходит уровень давления в ультразвуковых полях, использовавшихся в предыдущие годы. Сразу после появления литотриптеров был обнаружен ряд нелинейных явлений: ударный характер волн, явление саморефракции, нелинейный сдвиг фокуса, насыщение амплитуды волны в фокусе с ростом подаваемой мощности и другие. Стало ясно, что необходимо развивать теоретические методы анализа этих новых явлений. Другой уникальной особенностью литотрипсии является то обстоятельство, что используемые в ней ультразвуковые импульсы не просто распространяются по среде, а существенным образом воздействуют на неё, вплоть до разрушения. В частности, под влиянием фазы разрежения волны литотриптера из микроскопических зародышей образуются газовые пузырыси миллиметровых размеров, которые затем коллапсируют. При таких коллапсах в среде возникают вторичные акустические импульсы, превышающие по пиковому давлению исходную волну. Кроме того, при падении волны на почечный камень происходит его фрагментация (в чём, собственно, и состоит задача литотрипсии). Эти необычные эффекты, вызванные импульсным ультразвуковым пучком, интересны не только как новые волновые явления, но и как факторы, определяющие эффективность лечения. Отметим, что, несмотря на медицинский характер приложений, упомянутые явления имеют отношение к акустике и механике разрушения, и поэтому являются предметом физического исследования.

Во многих практических приложениях ультразвуковых пучков, включая упомянутую выше литотрипсию, проявляется влияние нелинейного отклика среды на распространение акустической волны. Из-за этого волны конечной (большой) амплитуды становятся ударными и их временной профиль приобретает пилообразный вид. Свойства таких волн уникальны и во многом не похожи на свойства хорошо изученных нелинейных квазигармонических волн в сильно диспергирующих средах. Не только распространение пилообразных волн, но и их воздействие на среду (нагрев среды, генерация течений, кавитация и т.д.) приобретает ряд особенностей по сравнению со случаем волн с гладким профилем. Один из принципиальных нелинейных эффектов для волн любой природы -самовоздействие, т.е. явление изменения параметров волны (скорости распространения, коэффициента поглощения) с ростом её амплитуды. В случае ударных акустических волн

это, например, тепловое самовоздействие, возникающее за счёт повышенного тепловыделения на ударных участках. Другим примером является самовоздействие за счет гидродинамических потоков, возникающих при поглощении волны. Для одиночных импульсов, генерируемых ударноволновыми литотриптерами, возникает явление безынерционной саморефракции пучков. Аналогичный эффект наблюдается для пилообразных волн в кубично-нелинейных средах. Такое самовоздействие - одна из основных причин ограничения максимально достижимых интенсивностей при фокусировке мощных импульсных сигналов. Теоретическое исследование этих интересных эффектов связано с решением нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, например уравнения типа Хохлова-Заболотской с различными типами нелинейности среды.

Таким образом, актуальность работы определяется рядом обстоятельств. Во-первых, при использовании ультразвуковых пучков для неразрушающего контроля и особенно в новых медицинских приложениях (ультразвуковой диагностике и терапии) чрезвычайно важно уметь точно предсказывать излучаемое акустическое поле. Это, в свою очередь, требует развития методов количественного измерения структуры колебаний поверхностей ультразвуковых источников. Во-вторых, в связи с разработкой метода ударноволновой литотрипсии и некоторых других методов ультразвуковой терапии в широкую практику вошли акустические пучки, пиковое давление в которых настолько велико, что среда разрушается. Кроме того, при распространении таких мощных волн возникает целый класс новых явлений, обусловленных наличием ударных фронтов. Разработка соответствующих теоретических моделей и проведение экспериментальных исследований указанных эффектов - основа прогресса в этой области.

Цели диссертационной работы

Основные цели работы могут бьпъ сформулированы следующим образом:

1. Выявление границ применимости интеграла Рэлея для расчёта полей вогнутых источников больших волновых размеров.

2. Разработка количественных методов для характеризации излучающих свойств ультразвуковых источников в жидкостях; в частности, для нахождения распределения скорости на поверхности пьезоэлектрических преобразователей.

3. Исследование явлений взаимодействия со средой мощных акустических импульсов, применяемых в литотрипсии.

4. Исследование нелинейных явлений в пучках пилообразных волн и ударных импульсов, в том числе изучение роли акустической нелинейности в ограничении максимально достижимых давлений при фокусировке импульсных пучков.

5. Теоретический анализ эффектов самовоздействия ударных пилообразных волн в кубично-нелинейных средах с малой дисперсией.

6. Нахождение симметрий уравнения Хохлова-Заболотской, обобщённого на случай произвольной нелинейности среды.

Научная новизна

1. Впервые показано, что классический метод лазерной виброметрии неприменим для прямого измерения смещения поверхности объектов, находящихся в жидкости. Причиной тому является акустооптическое взаимодействие в конденсированной среде. При пренебрежении указанным эффектом ошибка измерения смещения может превышать 100%.

2. Предложен и экспериментально обоснован новый метод акустической голографии для определения параметров источников и предсказания их полей в непрерывном и импульсном режимах, базирующийся на записи характеристик волны на поверхности и расчёте обратного распространения с использованием интеграла Рэлея.

3. Предложен двухканальный режим записи сигналов при пассивной регистрации кавитации в поле ударной волны литотриптера, создан соответствующий двухканальный приёмник и с его помощью впервые показано, что при литотрипсии инерционная кавитация возникает не только в жидкости накопительной системы, но и в тканях почки.

4. Впервые показано, что при воздействии ударной волны литотриптера на почечный камень преобладающую роль в создании разрушающих механических напряжений играют не продольные волны, образующиеся на передней поверхности камня, а сдвиговые волны, возникающие на его боковой поверхности.

5. Впервые теоретически предсказан эффект нелинейного насыщения пикового давления при фокусировке акустических импульсов и найдена оценка величины максимально достижимого давления.

6. Впервые теоретически показано, что самофокусировка интенсивных волновых пучков в кубично-нелинейной среде без дисперсии не приводит к существенному росту амплитуды.

7. Впервые проведена групповая классификация эволюционного уравнения для акустических пучков, полученного обобщением уравнения Хохлова-Заболотской (ХЗ) на случай произвольной нелинейности среды.

Совокупность научных результатов диссертации может рассматриваться как существенный вклад в актуальное научное направление «Физика мощных акустических пучков», заключающийся в создании новых методов диагностики источников и установлении новых закономерностей дифракции ультразвуковых пучков высокой интенсивности, их воздействия на среду и самовоздействия.

Практическая ценность работы

Практическая значимость работы определяется рядом полученных результатов.

1 Показано, что в большинстве практически важных случаев для расчета полей пьезоэлектрических источников можно пользоваться интегралом Рэлея (хотя он и не является точным решением дифракционной задачи для неплоских источников).

2. Разработан метод акустической голографии, который позволяет проводить характеризацию ультразвуковых источников в жидкости - такой возможности раньше не было.

3. Выяснено, что кавитация при литотрипсии является очень важным фактором воздействия ударной волны на биологическую ткань, и создан приёмник, позволяющий регистрировать наличие кавитации с высоким пространственным разрешением.

4. Показано, что использование в литотрипсии пучков с широкой фокальной перетяжкой является более предпочтительным с точки зрения разрушения конкрементов и минимизации вредного воздействия на окружающую ткань

5. Предсказан эффект нелинейного насыщения пикового давления при фокусировке импульсов. Этот эффект важно учитывать при конструировании фокусирующих систем мощного ультразвука.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Интеграл Рэлея применим для расчета полей вогнутых акустических источников больших волновых размеров. Ошибочно использовать распространённое в литературе допущение о равномерном распределении скорости на колеблющейся поверхности при описании ультразвукового излучения пьезоэлектрических источников, поскольку указанное распределение существенно искажается возникающими на краю источника волнами Лэмба.

2. Разработанный в работе новый метод акустической голографии позволяет проводить количественное измерение параметров колебания поверхности ультразвуковых источников, помещённых в жидкость, и расчет излучаемых акустических полей. Классический метод лазерной виброметрии не может быть применен для прямого измерения смещения поверхностей в жидкостях из-за маскирующего эффекта акустооптического взаимодействия на пути пробного лазерного луча.

3. Акустические импульсы ударноволновых литотриптеров вызывают в жидкости кратковременную кавитацию инерционного типа, при которой вблизи коллапсирующих пузырьков возникают вторичные ударные волны с пиковым давлением, превышающим давление в исходном импульсе. Главной причиной создания в почечных камнях повышенных напряжений, приводящих к образованию макротрещин, являются сдвиговые волны, которые возникают на боковой поверхности камня под действием распространяющейся в жидкости ударной волны.

4 В мощных акустических пучках в режиме образования пилообразных волн возникает тепловое самовоздействие вследствие диссипации энергии волны на ударных участках, причём указанный эффект значительно более выражен по сравнению с самовоздействием гармонических волн той же амплитуды При фокусировке мощных акустических импульсов возникает явление нелинейного насыщения, заключающееся в том, что с ростом давления в излучаемой волне пиковое давление в фокусе ограничивается на уровне, примерно равном произведению характерного внутреннего давления в жидкости на квадрат угла схождения исходного пучка.

5 При распространении пучков пилообразных волн в кубично-нелинейных средах с малой дисперсией возникает эффект безынерционной самофокусировки, которая, в отличие от случая сильной дисперсии, не приводит к существенному росту амплитуды из-за принципиально неустранимого поглощения на ударных фронтах.

Апробация работы

Основные результаты исследований, представленных в диссертации, докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях: 12th-15th International Symposiums on Nonlinear Acoustics (Austin, USA, 1990; Bergen, Norway, 1993, Nanjing, China, 1996; Goettingen, Germany, 1999, Moscow, Russia, 2002, Perm State, USA, 2005), Всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (III, V, VI и VII 1992, 1996, 1998 и 2000, п. Красновидово, Московская обл.), IEEE Ultrasonics Symposiums (Cannes, France, 1994; Seattle, USA, 1995; Toronto, Canada, 1997; Atlanta, USA, 2001; Honolulu, USA, 2003; Montreal, Canada, 2004; Vancouver, Canada, 2006; New York, USA, 2007); 2-й международной научной школе-семинаре «Динамические и стохастические волновые явления» (Нижний Новгород, 1994), World Congress on Ultrasonics (Berlin, Germany, 1995), 16th, 17th, and 19th International Congresses on Acoustics (Seattle, USA, 1998; P.ome, Italy, 2001; Madrid, Spain, 2007), semi-annual meetings of the Acoustical Society of America (ежегодно, начиная с 1995 г.), 9th Congress of World Federation for Ultrasound in Medicine and Biology (Florence, Italy, 2000), XI, XV XIX сессиях Российского акустического общества (2001, 2004-2007), 2-й международной конференции «Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000), 1st, 3rd 6th International Symposiums on Therapeutic Ultrasound (Chongqing, China, 2001; Lyon, France, 2003; Kyoto, Japan, 2004; Boston, USA, 2005; Oxford, UK, 2006), International Congress on Cavitation CAV 2003 (Osaka, Japan, 2003), CAV 2006 (Wageningen, Netherlands, 2006), Ultrasonics International (Granada, Spain, 2003), 1-м и 2-м Евразийских конгрессах по медицинской физике и инженерии «Медицинская физика» (Москва, 2001 и 2005), международной конференции «Progress in Nonlinear Science» (Нижний Новгород, 2001), 2-й международной конференции «Frontiers of Nonlinear Physics» (Нижний Новгород, 2004), международном симпозиуме "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (Нижний Новгород, 2005), Forum Acusticum (Budapest, Hungary, 2005), 1st International Urolithiasis Research Symposium (Indianapolis, USA, 2006), 10-й и 11-й школах по моделям механики сплошных сред (Хабаровск, 1989; Владивосток, 1991), международной конференции «Дни дифракции» (Санкт-Петербург, 1996), Ломоносовских чтениях (Москва,

МГУ, 1997) Кроме того, материалы диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах кафедры акустики физического факультета МГУ, Акустического института, Института общей физики РАН, Института прикладной физики РАН, а также представлялись на семинарах в следующих зарубежных научных центрах- The University of Texas at Austin, Austin, USA (1996, 2000), Applied Physics Laboratory, University of Washington, Seattle, USA (1998-2008), Department of Physics, Potsdam University, Potsdam, Germany (1999), Physics Department, Royal Marsden Hospital, Sutton, UK (1999), Université du Maine, Le Mans, France (2000), Department of Aerospace and Mechanical Engineering, Boston University, Boston, USA (2000), Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale, Unité 556, Lyon, France (2002), The University of Tokyo, Tokyo, Japan (2003), Laboratory of Parametric Imaging, University Paris VI, Pans, France (2004), Applied Mathematics Department, University of Washington, Seattle, USA (2005), Ecole Centrale de Lyon, Lyon, France (2006), Indiana University, Indianapolis, USA (1997-2008).

Публикации

По теме диссертации опубликовано 44 статьи в ведущих отечественных и зарубежных научных журналах, из них 40 статей в журналах из списка ВАК (среди которых «Успехи физических наук», «Журнал экспериментальной и теоретической физики», «Акустический журнал», «Вестник Московского университета», «Квантовая электроника», «The Journal of the Acoustical Society of America», «IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control», «Ultrasound in Medicine and Biology» и другие). Кроме того, по материалам работы опубликовано более 50 статей в трудах конференций и более 40 тезисов докладов.

Личный вклад автора

Все изложенные в диссертации оригинальные результаты получены автором, либо при его непосредственном участии. Автором осуществлялся выбор направлений, объектов и методов исследования, проводилась разработка методик измерений и обработки результатов, осуществлялась постановка экспериментов и их проведение.

Структура и объём диссертации

Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 296 страницах и содержит 104 рисунка и 11 таблиц. Список литературы включает 398 наименований.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Оглавление диссертации является следующим: Предисловие Введение

Глава 1. Современные проблемы физики ультразвуковых пучков

Глава 2. О применимости интеграла Рэлея к расчёту полей фокусированных пьезокерамических и пьезокомпозитных излучателей ультразвука

Глава 3. Волны Лэмба в пьезоэлектрических фокусирующих преобразователях как причина аномальных пиков в структуре излучаемого акустического поля

Глава 4. Акустооптическое взаимодействие при лазерной виброметрки в жидкости

Глава 5. Акустическая голография как метод исследования колебаний поверхности акустических источников

Глава б. Инерционная кавитация, вызываемая фокусированной ударной волной литотриптера

Глава 7. Механизмы воздействия ударной волны литотриптера на почечные камни

Глава 8. Фокусировка и самовоздействие пучков пилообразных волн и ударных импульсов. Групповой анализ обобщённого уравнения Хохлова-Заболотской

Заключение

Литература

Во Введении обсуждается актуальность темы исследований, приводятся цели, научная новизна, практическая ценность работы и защищаемые положения, даётся краткая аннотация содержания глав.

Глава 1 является обзорной. В ней обсуждаются современные проблемы физики ультразвуковых пучков, являющихся, на взгляд автора, наиболее актуальными.

Наиболее распространённым способом излучения ультразвуковых пучков является использование колеблющихся поверхностей (пьезоэлектрических пластин, мембран и т.п.). Поэтому чрезвычайно важным является умение предсказывать акустическое поле, создаваемое в среде из-за движения поверхности. Решение этой классической задачи в линейной постановке наиболее просто выражается в случае источника в виде бесконечно протяжённой плоскости с заданным распределением нормальной компоненты скорости. В этом случае каждый элемент плоскости может бьггь рассмотрен как точечный монопольный источник с «силой», пропорциональной значению нормальной компоненты скорости в выделенной точке. Математически это представление Гюйгенса-Френеля записывается в виде интеграла Рэлея, выражающего акустическое давление в произвольной точке пространства в виде интегрального функционала от нормальной компоненты скорости поверхности. Реальные источники, однако, отличаются от идеализированного источника в виде бесконечной плоскости Во-первых, даже плоские источники имеют конечные размеры. Во-вторых, очень часто источники не являются плоскими. Формальное

использование интеграла Рэлея, точного лишь для плоских поверхностей, вызывает естественный вопрос об адекватности теоретической модели.

Для использования интеграла Рэлея или любого другого метода расчета распределение скорости (или давления) на излучающей поверхности должно быть известным. Экспериментальное нахождение такого распределения - весьма непростая задача. Из точных количественных методов в первую очередь обычно указывают лазерную виброметрию. Однако метод лазерной виброметрии имеет ряд ограничений, главное из которых заключается в том, что при проведении измерений в жидкости реальная картина колебаний искажается из-за акустооптического взаимодействия. Ещё один способ для получения информации о колебаниях поверхности ультразвукового источника основан на проведении теоретического анализа электромеханических процессов в источнике, например методом конечных элементов. Перспективным методом является также акустическая голография. Голографией в широком смысле называют запись полной информации о волне (голограммы). В случае гармонической волны записывается не только амплитуда, но и фаза волны. Согласно общим свойствам решений волнового уравнения, такую запись достаточно осуществить на некоторой поверхности, окружающей визуализируемый объект. Голография впервые была предложена в оптике. Запись оптических голограмм осуществляется путем фиксации на фотопластинке распределения интенсивности света, которое возникает при интерференции некоторой опорной волны и волны, рассеянной на исследуемом объекте. В акустике можно избежать использования интерференции со вспомогательным опорным пучком, поскольку благодаря относительно низкой частоте сигналов удаётся достаточно легко осуществить прямую запись амплитуды и фазы волны в каждой точке поверхности измерений и затем воссоздать исходное поле численным образом. Более того, в случае несинусоидальных сигналов можно записать полную временную форму сигналов в точках указанной поверхности.

Большой класс задач современной волновой физики связан с использованием интенсивных пучков. В акустике это ультразвуковые пучки, создаваемые, например, мощными пьезоэлектрическими излучателями. В некоторых акустических устройствах применяются и источники другой природы. Использование интенсивных пучков связано как с задачами подводной связи и ультразвуковой диагностики, так и с применениями мощного ультразвука в медицине для лечебного или разрушающего воздействия на ткань и находящиеся в ней конкременты. Разнообразные практические задачи требуют знания свойств таких пучков и умения предсказывать эффекты, которые они вызывают в среде распространения.

Одно из ярких медицинских приложений нелинейных акустических волн -безоперационное удаление почечных камней из организма. Соответствующая акустическая техника получила название экстракорпоральной ударноволновой литотрипсии, а устройства - литотриптеров. В этом методе вне тела пациента в воде генерируется периодическая последовательность мощных коротких акустических импульсов (ударных волн), которые фокусируются на почечный камень и измельчают его. Типичный профиль акустического давления, генерируемого литотриптером, имеет вид импульса сжатия микросекундной длительности с ударным фронтом, за которым следует более длительная фаза разрежения

Как показали исследования, воздействие волны на биоткань и почечные камни зависит от тонких особенностей профиля волны, таких как ширина ударного фронта, величина положительного и отрицательного пикового значения давления, длительность фазы сжатия и разрежения. Поскольку ударные волны, создаваемые литотриптерами, являются очень мощными, возникает вопрос, как они воздействуют на биологическую среду, в которой они распространяются и, наоборот, как среда влияет на процесс их распространения и фокусировки. Поскольку максимально достижимые избыточные давления (около 100 МПа) всё же намного меньше внутреннего давления в жидкости (около 1000 МПа), эти ударные волны являются «слабыми», т.е. могут быть исследованы методами нелинейной акустики. Важным эффектом, сопровождающим литотрипсию, является акустическая кавитация. При распространении мощных пучков ударных импульсов принципиальными становятся также эффекты самовоздействия.

Базовым уравнением в теории нелинейных волновых пучков в квадратично-нелинейных средах без дисперсии является уравнение Хохлова-Заболотской (ХЗ), которое описывает нелинейные волновые пучки с учётом эффектов дифракции. Будучи обобщённым на случай среды с нелинейностью произвольного вида, в безразмерных обозначениях оно выглядит следующим образом :

д/дт[ди/дг + Р[и)ди/дт] = д2и/дхг + д2и/8уг. Здесь и - функция, описывающая профиль волны, величина р(и) характеризует нелинейную добавку к скорости волны, г- "бегущее" время, 2 - продольная (вдоль оси пучка) координата, хну- поперечные координаты. В силу нелинейного характера обобщенного уравнения ХЗ, его решение в общем случае может быть получено лишь численно. Подобный расчет, однако, требует больших затрат машинного времени и не всегда возможен. Поэтому важно развивать и дополнительные подходы к анализу уравнения ХЗ. Наряду с различными приближёнными методами упрощения, интерес может представить поиск симметрий этого нелинейного уравнения, которые позволяют выявить как определённые общие свойства его решений, так и находить некоторые классы точных решений и законы сохранения.

В главе 2 рассматривается вопрос о применимости интеграла Рэлея к расчёту полей фокусированных пьезокерамических и пьезокомпозитных излучателей ультразвука. Для монохроматического источника, при временнбй зависимости вида ехр(-ко/), интеграл Рэлея имеет следующий вид:

Интегрирование выполняется вдоль излучающей поверхности Я, р - амплитуда акустического давления в точке наблюдения с координатой г, и-амплитуда нормальной компоненты скорости излучающей поверхности (нормаль направлена в сторону среды), г' - радиус-вектор элемента поверхности с18', к = ш/со - волновое число, ро и со - плотность и скорость звука среды. Выражение (1) даёт точное выражение для акустического поля лишь в случае плоской излучающей поверхности. Для нахождения погрешности метода в случае

вогнутых (фокусирующих) излучающих поверхностей был проведен расчет задачи об излучении круглого вогнутого источника двумя способами: в приближении интеграла Рэлея и точным методом сращиваемых разложений. Последний был предложен в работе Кулувра [Coulouvrat, JASA 1993] В рассматриваемой задаче предполагается, что аксиально-симметричная сферическая чаша Ts с центром кривизны F колеблется по закону exp(-icoí) - см. рис.1. Чаша вставлена в абсолютно жёсткий безграничный плоский экран Гв. Точка наблюдения М расположена справа от Ts . Акустическое поле описывается уравнением Гельмгольца Др + к2р = 0 с условием излучения Зоммерфельда на

бесконечности и граничными условиями dpjdn = ikpacau на Ts и dpjSn = 0 на Гв . Для решения задачи вводится вспомогательная полусфера Tl , центр которой (С) находится на пересечении оси симметрии с плоскостью экрана, а радиус (а) совпадает с радиусом излучателя. Эта контрольная поверхность разбивает среду на две части: внутреннюю Q, и внешнюю í}„. Решение для амплитуды акустического давления в этих областях имеет вид:

Рис. 1. Геометрия задачи и используемые обозначения

(2)

Здесь х„ и у„ - коэффициенты, определяемые граничными условиями, г и б - координаты в сферической системе координат с центром в точке С (рис. 1), Р„ - полиномы Лежандра, }„ и - сферические функции Бесселя и Ханкеля соответственно. При численном моделировании приходится ограничивать число удерживаемых членов разложений. Для нахождения х„ получается система комплексных линейных алгебраических уравнений. Часть этих уравнений выводится из совместности двух условий "сшивки". Оставшаяся часть выписывается из граничного условия на поверхности Гэ, при этом проводится дискретизация в соответствующем количестве точек поверхности излучателя.

На рис. 2 приведены зависимости амплитуды акустического поля от расстояния вдоль оси излучателя, рассчитанные двумя способами: с использованием интеграла Рэлея, т.е. по формуле (1) (штриховая кривая), и методом сращиваемых разложений (сплошная кривая). Различные графики соответствуют различным углам фокусировки а (см. рис. 1) при одном и том же значении параметра ка-100. Кривые при малых 2 изображены также и в увеличенном виде на 1рафиках-вставках (рис. 2). Видно, что вблизи излучателя истинная амшппуда акустического поля заметно, в 2-3 раза, превышает рассчитанную по интегралу Рэлея. Такой подъём амплитуды поля обусловлен наличием волн, многократно отражённых от вогнутой поверхности излучателя. Этот эффект не учитывается в приближении интеграла Рэлея Вдали от излучателя многократные отражения не так существенны. Действительно,

Рис. 2. Теоретические зависимости

амплитуды акустического поля от расстояния вдоль оси излучателя при ка = 100 Амплитуда нормирована на значение рос»", а расстояние - ка радиус кривизны поверхности излучателя Г. Различные графики

соответствуют различным углам фокусировки а. Штриховые кривые

рассчитаны с использованием интегралз Рэлея, сплошные кривые - методом сращиваемых разложений

при а=30° и а=бО° кривые, рассчитанные двумя методами, почти всюду практически неотличимы. Это говорит о том, что приближение интеграла Рэлея очень точно описывает акустическое поле на оси даже при не очень малых углах фокусировки.

В главе 2 также описывается метод приближённого расчёта дифракционных поправок, основанный на явном учёте отражений от вогнутой поверхности путем двукратного использования интеграла Рэлея. В этом методе сначала находится акустическое поле без учёта отражения от поверхности источника, а затем это поле первого приближения используется для расчёта отражения от вогнутой поверхности источника. Показано, что результаты расчета находятся в хорошем соответствии с данными, полученными описанным выше методом сращиваемых разложений.

В конце главы 2 описаны результаты экспериментального исследования влияния краевых условий на поле фокусированного излучателя. Показано, что наличие металлического выступа на краю пьезопластины не оказывает заметного влияния на излучаемое поле.

В главе 3 исследуется правомочность широко используемого предположения об однородном («поршневом») характере распределения нормальной скорости на поверхности пьезоизлучателей, диаметр которых намного превышает их толщину. Указанное допущение делается в большом количестве теоретических работ по расчёту ультразвуковых полей пьезоэлектрических источников, в том числе во многих современных книгах по акустике.

Теоретические и экспериментальные исследования автора показали, что при работе пьезокерамических фокусирующих источников предположение о равномерном распределении скорости вдоль излучающей поверхности не выполняется. Выяснена причина неоднородности скорости - возбуждение в пьезопластине волн Лэмба. Наряду с акустическими измерениями проводилось экспериментальное исследование колебаний поверхности источника методом лазерной виброметрии.

Рис. За. Образование каустики при излучении акустических возмущений волной Лэмба, распространяющейся по сферической поверхности излучателя. Показаны лучи и соответствующая каустика, создаваемые сходящейся волной Лэмба

Рис. 36. Шлирен-изображение акустического поля, излучаемого фокусированным преобразователем (диаметр апертуры и радиус кривизны 100 мм, рабочая частота 1 МГц). Наряду с основной яркой областью, соответствующей фокусированному пучку, отчетливо наблюдаются дополнительные области повышенной яркости, обусловленные волнами Лэмба: дуги вдали от фокуса (а) и боковые лепестки вблизи фокуса (б)

Возбуждение волн Лэмба в однородной пьезокерамической пластине происходит на её краю, где нарушается однородность механических напряжений и электрического поля. Распространяющиеся в пластине волны Лэмба искажают поршневое распределение скорости поверхности источника, что приводит к излучению в жидкость дополнительных акустических возмущений. На рис. 3 пояснена структура этого дополнительного поля: рис. За - акустические лучи, испускаемые волной Лэмба, рис. 36 - экспериментальная теневая картина акустического пучка, на которой отчётливо видна полосатая структура поля вблизи источника и боковые лепестки вдали от него. Отметим, что все эти особенности обусловлены упругими волнами в пьезопласгине. Каждый луч на рис. За испускается под углом <р = агсзт(са/ср/,) к нормали к поверхности, где са - скорость звука в жидкости, ср/, -фазовая скорость волны Лэмба. Соответствующая каустика является частью сферы, центр которой совпадает с центром кривизны излучающей поверхности. Простым геометрическим построением нетрудно показать, что радиус сферы, которой принадлежит каустика, равен Р 'со/срл> гДе Р ~ радиус кривизны поверхности источника. Указанная формула позволяет измерить фазовую скорость волны Лэмба срЬ по виду теневой картины. Такие измерения были проведены на разных частотах, что позволило построить дисперсионные кривые для мод Лэмба. Они оказались в хорошем соответствии с теоретическими кривыми, построенными на основе решения дисперсионных уравнений Рэлея-Лэмба.

Кроме того, проведено исследование поля источника, изготовленного из пьезокомпозитного материала. Показано, что в случае пьезокомпозита распространяющиеся вдоль пластины упругие волны подавлены, и поэтому поршневая модель может быть использована для точного описания излучаемого поля (см. рис. 4).

0.8 МГц 1.0 МГц 1.2 МГц

Рис. 4. Сравнение экспериментальных распределений амплитуды акустической волны вдоль оси симметрии источника (толстые линии) и соответствующих теоретических кривых, рассчитанных в приближении поршневого излучателя (тонкие линии). Слева направо - различные частоты возбуждения (0 8, 1.0 и 1 2 МГц), сверху вниз - различные источники. (1)пьезокерамический источник без тыльной нагрузки; (2) пьезокерамический источник с тыльной нагрузкой, (3) пьезокомпозотиый источник. Диаметр и кривизна поверхности всех трех источников равны 100 мм

Исследования, описанные в главах 2 и 3, выявили необходимость развития методов измерения истинной структуры колебаний поверхности источников и выработки рекомендаций по точному предсказанию пространственно-временной структуры излучаемых полей.

В главе 4 рассматривается один из таких методов - метод лазерной виброметрии. Он является общепризнанным методом количественного изучения колебаний поверхностей. При использовании лазерных виброметров необходимо иметь в виду, что они предназначены для измерений в условиях, когда смещение поверхности является единственной причиной изменения фазы пробного лазерного пучка. Это так, если на пути следования пучка отсутствуют нестационарные неоднородности показателя преломления, приводящие к неконтролируемому дополнительному сдвигу фазы. При измерениях в вакууме или однородных газах указанное требование выполняется. В прозрачных жидкостях и твёрдых телах ситуация меняется: из-за вызванных колебанием поверхности изменений плотности среды применение метода зачастую становится невозможным. В ряде работ на это обстоятельство не обращается внимания, в связи с чем делаются ошибочные выводы о характере колебаний исследуемых поверхностей. В главе 4 приводятся результаты исследований характера сигнала лазерного виброметра при нахождении исследуемой колеблющейся поверхности в конденсированной среде.

В начале главы приведены результаты экспериментов, демонстрирующих специфику лазерной виброметрии в конденсированных средах. Исследуемый пьезоэлектрический излучатель помещался в кювету с прозрачной жидкостью, в одной из стенок которой имелось прозрачное окно, через которое на преобразователь направлялся пробный луч от лазерного виброметра. Параллельно плоской излучающей поверхности на расстоянии 0.5 мм устанавливалась пластиковая светоотражающая мембрана с золотым напылением В

процессе измерений мембрана оставалась неподвижной, а преобразователь перемещался параллельно ей с помощью управляемой компьютером системы позиционирования. Использовался промышленный гетеродинный лазерный виброметр марки The Thaies Laser S.A. SH-140 (Франция), который позволял измерять смещения с амплитудами до 100 А. При измерениях в воздухе мембрана наклеивалась на поверхность излучателя, а в остальном установка оставалась без изменений. Исследовались колебания поверхности различных преобразователей, как в непрерывном, так и импульсном режимах. При этом в качестве иммерсионной среды использовались поочерёдно воздух, вода и глицерин, обладающие разными оптическими и акустическими свойствами. Обнаружено, что, по сравнению с наблюдениями в воздухе, в жидкостях на изображениях лазерного виброметра имеются сильные возмущения, распространяющиеся по поверхности от мест контактов и от краёв. Показано, что это - артефакты, обусловленные акустооптическим взаимодействием.

Картинка, которую выдаёт при этом лазерный виброметр, есть теневое изображение краевых волн, не имеющее прямого отношения к истинному смещению поверхности. Указанные волны распространяются в жидкости, а не в пьезопластине. Это подтвердилось тем, что измеренная скорость перемещения тёмных полос на изображениях совпала со скоростью звука в жидкостях, т.е. составила 1.5 мм/мкс в воде и 1.9 мм/мкс в глицерине. Сделан вывод о том, что при лазерных интерферометрических измерениях смещения поверхности в жидкостях возникают сильные ложные сигналы, не имеющие прямого отношения к истинному смещению. Амплитуда этих ложных сигналов в некоторые моменты времени во много раз превышает истинное смещение, т.е. акустооптическое взаимодействие нельзя не принимать в расчёт.

Вторая половина главы 4 посвящена теоретическому анализу сигнала лазерного виброметра с учётом акустооптического взаимодействия в иммерсионной среде. Рассматривается плоский акустический излучатель, поверхность которого колеблется по закону z = £(x,y,t), где смещение £ есть

К

v_ V«

Истинное

распределение

скорости

10 20 х (мм)

Распределение скорости по показаниям лазерного виброметра

-20 -10 0 10 20 X (мм)

Рис. 5. Иллюстрация влияиия_акустооптического взаимодействия в жидкости на показания лазерного виброметра (результаты

моделирования). Наверху: двумерное

распределение амплитуды акустического давления в плоскости хОг, рассчитанное с использованием интеграла Рэлея. Акустическое поле излучается в воду плоским квадратным источником размером 4x4 см на частоте 1 МГц. В центре: распределение скорости поверхности, предполагавшееся при моделировании (К-амялитуда нормальной компоненты скорости, -её характерное значение). Внизу: показание лазерного виброметра для амплитуды скорости V, предсказываемое формулой (3). В отсутствие акустооптического взаимодействия эти две кривые не должны отличаться

функция поперечных координат х,у и времени /. Пробный световой луч от лазера падает перпендикулярно на указанную поверхность, отражается от неё и распространяется назад. Далее он' попадает в интерферометр, где измеряется сдвиг фаз между падающей и отражённой световыми волнами. Набег фазы может быть записан в виде

<р « . (3)

где Л - длина световой волны в вакууме, I - толщина слоя иммерсионной среды на участке между виброметром и поверхностью, п0 - невозмущенное значение показателя преломления среды, у = ¿н/ф - акустоопткческий коэффициент, р(г,/) - акустическое давление. Как видно, величина (р зависит не только от сдвига поверхности в точке падения лазерного луча (£), но и от распределения акустического давления на всем оптическом пути. На рис.5 приведен пример результатов численного моделирования, иллюстрирующий влияние акустооптического эффекта. Параметры источника пояснены в подписи к рисунку. Как видно, кажущееся распределение скорости существенно отличается от истинного. В частности, в структуре скорости появились дополнительные осцилляции, пространственный период которых примерно равен длине ультразвуковой волны в воде. Кроме того, видимый поперечный размер излучателя намного превосходит реальный размер' виброметр предсказывает смещения там, где их на самом деле нет.

Пусть Н(х,у,<я) и &(х,у,(о) - спектры истинного смещения £ и соответствующего

показания лазерного виброметра = - у ск, полученного при учёте

акустооптического эффекта (см. (3)). Анализ показал, что акустооптическое взаимодействие приводит к искажению измерений в соответствии с операцией свёртки *.{х,у,со)= ЦА'ф' з(х',у',1а)-Х111(х-х',у-у'), где здро Кф выражается в виде

Ка{х,у) = п05{х)д(у) +1 (ураг /4)• Я^1' ( &^х2 + у2 /с ). В нестационарном режиме также удаётся найти связь истинного смещения с кажущимся. Она имеет вид трёхмерной свёртки:

Здесь и(л:,у,()=д2^/дг2 - ускорение точек поверхности, г = ^(х-х')2+(у~ у')2. Пользуясь формулой (4), рассмотрены различные примеры искажения сигнала виброметра. В частности, исследован процесс установления сигнала виброметра после подачи на первоначально невозбуждённый преобразователь гармонического сигнала. Показано, что стационарные значения амплитуды и фазы сигнала могут быть корректно измерены на временах порядка нескольких времён пробега звука по размеру источника, задолго до того, как сигнал достигнет стационарного уровня В лабораторном эксперименте это позволяет избежать помех, вызванных переотражением акустических волн внутри измерительной кюветы с жидкостью. Далее показано, что измерение двумерных распределений стационарных значений амплитуды и фазы вдоль поверхности источника позволяет

16

применить алгоритм обратной фильтрации и в ряде случаев восстановить истинное смещение поверхности. Восстановление, однако, невозможно для возмущений поверхности, имеющих вид поверхностных волн, распространяющихся со скоростью звука в жидкости.

В главе 5 рассматривается новый способ характеризации источников, предложенный и развитый в работах автора. В отличие от рассмотренного в главе 4 метода лазерной виброметрии, в котором для регистрации смешения поверхности применяется световое излучение, этот способ основан на приёме и анализе излучаемых колеблющейся поверхностью акустических сигналов. Такой подход является разновидностью акустической голографии. В основу предлагаемого варианта акустической голографии положен принцип обращения волнового фронта, основанный на инвариантности волнового уравнения в непоглощающей среде относительно операции обращения времени. Пусть имеется акустический преобразователь с излучающей поверхностью . На некотором расстоянии от источника рассмотрим охватывающую его замкнутую поверхность Хн, акустическое давление на которой рн(г',/) будем считать известным из эксперимента Поле источников больших волновых размеров обладает направленностью, и поэтому на практике излучение в боковом направлении и поле за источником пренебрежимо малы, т.е. измерение достаточно проводить на участке поверхности напротив источника. Заметим, что поверхности и 2Н, вообще говоря, могут быть неплоскими, например выпуклыми или вогнутыми. Подобную форму, в частности, имеют источники ультразвука, применяемые в медицинской диагностике и терапии. Задача состоит в нахождении акустических характеристик на поверхности источника с помощью топографической информации Рн{т>1)-Принципиальная возможность этого следует из обратимости волнового уравнения во времени. Если поверхность мысленно заменить обращающим время зеркалом, то отражённая от него волна будет распространяться назад н, дойдя до источника, восстановит свои исходные характеристики. Как видно из сказанного, при рассматриваемой здесь голографической процедуре акустическая волна является реальной лишь на этапе ее распространения до поверхности измерений £н. Эксперимент на этом заканчивается Отражение от обращающего время зеркала и обратное распространение являются уже виртуальными (численными).

В случае гармонических волн акустическое давление на поверхности 1Н имеет вид ри (г', 0 = Ри (г') • ехр(- Ш)+с. с., а нормальная компонента колебательной скорости на поверхности источника равна у(г,г)= К(г)-ехр(-гщ/)+с.с., где о/2тг - частота волны, Рн (г') и К (г) - комплексные амплитуды. Амплитуда скорости У(г) может быть рассчитана на основе амплитуды давления Рн (г') с использованием второго интеграла Рэлея: К(г)= [ Р„{г') К (г,г') с15'. Ядро К(г,г') выражается через нормальные производные от комплексно сопряжённой функции Грина свободного пространства 0(г,г'): К(г,г')=(2(1й}ра)д20'(г,г')/еадп', где О'(г,г') = ехр(- ¡^г-г'|/с0)/ 4л-|г-г'|. Здесь ра -плотность среды, с0 - скорость звука, п = п(г) - единичная внешняя нормаль к поверхности

источника в точке восстановления г, n' = п'(г') - единичная нормаль к элементу dS' е £я, ориентированная в направлении источника. На практике давление может быть измерено лишь в конечном числе точек поверхности, и интеграл должен быть заменён суммой: ^(r)MZiw(r«)JC(r>r»)A5».- Выбор точек г„ еХн должен быть таким, чтобы значения

параметров волны в соседних точках мало отличались. Заметим, что это требование относится не только к амплитуде волны, но и к её фазе. Поэтому в общем случае необходимо иметь пространственный шаг дискретизации меньше половины длины волны, В случае, когда поверхность Хн близка к волновому фронту, величина шага может быть и больше длины волны. В любом случае для источников больших волновых размеров шаг должен быть малым по сравнению с размером области Е„, из-за чего количество точек измерений получается огромным, на практике не менее 103 - 104. Такая многоэлементная антенная решётка может быть синтезирована с использованием всего одного приёмника, последовательно помещаемого в точки поверхности Платой за высокое качество

синтезированной голограммы является более продолжительное время измерений, вплоть до нескольких часов. Проведение такого рода измерений на существующих автоматизированных установках обычно не представляет сложностей.

Схема установки и её внешний вид приведены на рис. 6. Исследуемый ультразвуковой излучатель помещался в бассейн с дегазированной водой. Для исследования работы источника в режиме гармонических колебаний на излучатель с генератора подавались радиоимпульсы, длительность которых выбиралась достаточно большой, чтобы поле в точке регистрации установилось. Гидрофон с размером чувствительного участка много меньшим

длины волны мог перемещаться перед излучателем с помощью системы позиционирования, которая управлялась компьютером. Сигнал гидрофона записывался цифровым осциллографом, определялась амплитуда и фаза волны. Эта данные далее передавались на компьютер, накашивались и после завершения сканирования

использовались для голографической обработки. Весь процесс измерений проводился полностью автоматически под управлением специальной программы, написанной в среде Lab VIEW.

Разработанный метод голографии использовался для исследования большого количества излучателей различных размеров и форм, плоских и сферических, пьезокерамических и пьезохомпозитных, с рабочими частотами от 0.5 до 5 МГц. На рис. 7 приведен характерный пример.

Рис. 6. Схема экспериментальной установки для проведения акустической голографии. 1 - генератор сигналов, 2 - компьютер, 3 - осциллограф, 4 - система позиционирования, 5 - гидрофон, 6 - ультразвуковой источник, 7 - бассейн с водой

Рис. 7. Фокусированный пьезокерамический излучатель (диаметр 10 см, фокусное расстояние 20 см, резонансная частота 1.1 МГц), на поверхность которого были наклеены буквы «МБШ из пластилина. Слева: фотография излучателя. В центре: восстановленное на поверхности источника распределение амплитуды нормальной скорости. Справа: распределение фазы I скорости. Отчётливо видны как буквы, так и невидимые глазом кольцевые неоднородности,

) вызванные стоячими волнами Лэмба. При получении указанных голограмм измерение давления

проводилось на относительно небольшой сетке размером 40x40 точек. Тем не менее буквы из I пластилина хорошо проявляются, причём соответствующие изображения имеют резкие границы

с переходом толщины около 0.5 мм, что составляет менее половины длины волны

В работе показано, что метод акустической голографии является эффективным инструментом для исследования ультразвуковых источников. В частности, I продемонстрировано, что метод может быть использован для решения следующих практически важных задач: (а) для изучения характера вибраций, выявления поверхностных волн и различных мод колебаний пьезоэлектрических источников; (б) для предсказания пространственной структуры полей излучателей на основании измеренного распределения поля на некоторой поверхности перед излучателем; (в) для характеризации колебаний и полей медицинских многоэлементных излучателей, пьезокомпозитных и других сложных излучателей и их отдельных элементов; (г) для обнаружения и визуализации скрытых повреждений, трещин, пузырьков, неоднородностей и других деталей на поверхностях звуковых источников.

В заключительной части главы 5 проведено обобщение метода акустической ' голографии на случай нестационарных источников. Выведены соответствующие формулы. \ Отмечено, что практическая реализация метода нестационарной голографии предъявляет более высокие требования к экспериментальным измерительным средствам ло сравнению с голографией для синусоидальных сигналов. В частности, акустический датчик должен быть достаточно широкополосным, чтобы не вносить искажений в форму регистрируемых сигналов. В каждой точке на поверхности голограммы нужно не просто измерять амплитуду и фазу волны, как это делается при стационарной голографии, а регистрировать всю форму волны. Тем не менее, современные приборные и компьютерные средства позволяют решить эту задачу. В работе для проверки разработанного алгоритма нестационарной голографии были исследованы различные импульсные источники, в том числе некоторые из пьезокерамических излучателей, упомянутых ранее в этой главе в связи с исследованиями по стационарной голографии. Наряду с ними исследовался более сложный преобразователь -коммерческий 96-элементный диагностический датчик. Показано, что использованный

метод позволяет с высокой точностью исследовать особенности работы таких импульсных источников.

Глава б начинает описание цикла работ, связанного с практическим использованием ультразвуковых пучков высокой интенсивности. В качестве объекта исследования были выбраны фокусированные импульсные пучки, применяемые в медицине для лечения мочекаменной болезни. Соответствующая процедура используется уже более четверти века и носит название экстракорпоральной литотрипсии. Метод заключается в разрушении почечных камней мощными акустическими импульсами, генерируемыми вне тела пациента и фокусированными на камень. Наряду с чисто медицинскими аспектами воздействия таких волн на камни и окружающие ткани, во многом до сих пор не понятыми, литотрипсия содержит в себе ряд чисто физических проблем. Необходимо отметить, что экстракорпоральная литотрипсия - это одно из немногих практических приложений нелинейной акустики. Нелинейность обусловлена тем, что пиковые акустические давления около камня достигают 100 МПа, а форма волны является ударной.

В работе исследуются два важных явления, вызываемых фокусированными ударными волнами - нестационарная кавитация (глава 6) и разрушение камней (глава 7). В главе б описывается усовершенствование метода пассивной регистрации кавитации путём использования двухканального приёма, обеспечивающего детектирование кавитационных событий с высоким пространственным разрешением. Скоростная фотосъёмка использовалась для подтверждения того, что поведение кавитационных пузырьков находится в соответствии с сигналами акустической эмиссии. Локализация области кавитации позволила развить новый метод оценки пикового давления ударных волн, возникающих при коллапсе пузырей. Разработанная система использовалась для картографирования кавитационного поля двух электрогидравлических литотриптеров. Важным преимуществом новой системы является то, что она позволяет локализовать кавитацию ш угго и, тем самым, получить больше информации о роли кавитации в клинической литотрипсии. Большинство измерений проводилось с использованием экспериментального электрогидравлического ' литотриптера в Лаборатории прикладной физики (АРЬ) университета штата Вашингтон в г. Сиэтле. Этот литотриптер имеет те же геометрические размеры и характеристики, что и клинический литотриптер Погтиег НМЗ. Измерения поля проводились также на клиническом литотриптере Рогшег НМЗ в госпитале "Методист" в г. Индианаполисе, штат Индиана.

Для исследования кавитации автором был разработан специальный двухканальный приёмник кавитационных шумов, позволяющий с высоким пространственным разрешением регистрировать коллапсы пузырьков в фокальной области литотриптеров (рис. 8). Для регистрации кавитационных событий использовались два конфокальных приёмника. Совместная обработка сигналов этих приёмников по времени прихода и амплитуде позволила выделить акустические импульсы от коллапсов, происходящих в объёме диаметром около 5 мм. Такое пространственное разрешение намного превышает разрешение одиночного приёмника, который принимает сигналы из протяжённой сигарообразной области. Описан метод калибровки пассивного детектора кавитации для измерения пикового давления в сферической ударной волне, возникающей при коллапсе кавитационных пузырьков. Двухканальный приёмник использовался для исследования кавитационных

Рис. 8. Сверху изображена схема двухканального пассивного детектора кавитации. Показаны фокальные области каждого из преобразователей, тёмный участок их пересечения соответствует эффективной области чувствительности. Справа внизу приведена фотография установки. Внизу показаны типичные сигналы двухканального пассивного детектора кавитации при воздействии одиночной ударной волны литотриптера; слева - общий вид сигналов, справа - растянутое во времени отображение сигналов вблизи главного импульса

полей двух электрогидравлических литотриптеров: Dornier НМЗ и APL. Измеренные результаты кавитационной активности сравнивались с результатами численных расчётов. При теоретическом описании в качестве уравнения, адекватно описывающего динамику кавитационного пузырька в поле литотриптера, использовалось уравнение для радиуса пузырька в формулировке Гилмора и Акуличева [Gilmore, 1952; Акуличев, 1968] с дополнительным учётом диффузии газа в жидкости. Применительно к литотрипсии эта модель впервые была предложена и численно исследована Чёрчем [Church, 1989]. В проведённых экспериментах подтвердились выводы численной модели о том, что кавитационный отклик содержит две главных составляющих, имеющих вид коротких акустических импульсов (рис. 8). Первый импульс возникает, когда ударная волна литотриптера достигает фокуса. Второй импульс возникает спустя несколько сотен микросекунд; он вызван коллапсом пузырей после их инерционного роста до миллиметровых размеров. Измеренные значения пикового давления рс, излучаемого при первом инерционном коллапсе, составляли около ЮМПа на расстоянии 10 мм от центра коллапсирующего пузырька. Таким образом, проведённый эксперимент подтвердил выводы теоретического моделирования о том, что кавитационные пузырьки являются своеобразными концентраторами акустического воздействия, и эффект от их коллапсов может оказаться даже более разрушающим, чем эффект от исходной ударной волны литотриптера.

После проведения исследования динамики пузырей под действием ударных волн в воде, двухканальный пассивный детектор был применён для изучения инерционной кавитации при литотрипсии in vivo. При этом получен ряд принципиальных результатов.

Приёмник №1

Приёмник №2

•вся таги эв<5 íoso ш Время (мкс)

Ось литотриптера

Приёмник № I

Приёмник №2

Облако пузырьков

Первый и самый главный из них ■ впервые удалось зарегистрировать инерционную кавитацию, возникающую при литотрипсии в паренхиме почки, те. именно в ткани, а не только в жидкости накопительной системы. Оказалось, что указанная кавитация возникает не сразу, а лишь после относительно большого количества импульсов литотриптера, около 1000.

Поскольку инерционный коллапс сопровождается генерацией очень интенсивных ударных волн, то должны возникнуть нежелательные повреждения ткани. Косвенным подтверждением этого эффекта является совпадение местоположения гематом, обнаруживаемых в почке поле её разреза postmortem, с локализацией сильных рассеивателей, обнаруживаемых при ультразвуковой визуализации почки в процессе литотрипсии.

Глава 7 посвящена другой важной части исследований по литотрипсии - изучению механизмов фрагментации почечных камней под действием ударных волн литотриптера. Разрушение камней происходит так же, как разрушение любых других хрупких тел, и может рассматриваться как процесс образования, роста и слияния трещин из-за внутренних механических напряжений, возникающих в камне под действием внешней нагрузки. Трещины возникают в местах, где напряжение превышает некоторое критическое значение. При литотрипсии напряжения в камне создаются многократно повторяющимися ударными волнами, что в конечном счёте и приводит к растрескиванию. Такое снижение прочности под действием периодической нагрузки обычно называется динамической усталостью. В случае литотрипсии наблюдается именно такая ситуация: для растрескивания камня всегда требуется по крайней мере несколько «выстрелов» литотриптера, а для полной фрагментации - порядка тысячи и более ударных волн Процесс роста трещин в принципе может быть теоретически исследован с использованием существующих методов механики разрушений. Однако самого по себе умения описывать развитие трещин при заданной нагрузке недостаточно для объяснения того, почему камни разрушаются. Требуется также знать, как ударные волны порождают в нём те или иные механические напряжения. Именно анализу механизмов возникновения напряжений в камне посвящена глава 7.

В теоретических исследованиях использовалось конечно-разностное моделирование линеаризованных уравнений теории упругости для расчёта механических напряжений в камне. Рассматривалась осесимметричная задача. При этом и в пространстве, и во времени использовались смещённые на полшага сетки, обеспечивающие второй порядок точности и устойчивость аппроксимации производных конечными разностями. Начальные условия в камне заключались в равенстве нулю напряжений и скоростей. Начальные условия в жидкости соответствовали распространяющемуся в направлении камня импульсу с формой, характерной для ударных волн электрогидравлического литотриптера. В качестве параметра, характеризующего механическое воздействие на камень, использовалось наибольшее из значений трёх главных компонент тензора напряжений сг^ (рис. 9). Оно является подходящей характеристикой для описания воздействия ударной волны на камень, поскольку хрупкие материалы, к которым можно отнести и почечные камни, обычно разрушаются легче при растяжении, чем при сжатии. При моделировании также рассчитывались такие параметры, как дивергенция и ротор скорости, которые позволяли

проследить распространение в камне продольных и сдвиговых волн. Сделан вывод о том, что при воздействии ударной волны литотриптера на камень преобладающую роль в создании разрушающих напряжений играют не продольные волны, образующиеся на передней поверхности камня, а сдвиговые волны, возникающие на боковой поверхности.

Генерация сдвиговых волн может быть интерпретирована как динамический эффект бокового сдавливания. При этом волна сжатия в жидкости, оказывающая давление на поверхность камня, распространяется быстрее, чем сдвиговые волны в камне, и поэтому является сверхзвуковым источником, эффективно возбуждающим сдвиговые волны. Эти волны распространяются от поверхности камня вглубь и концентрируются в центре камня, ближе к тыльной поверхности, создавая там наибольшее растягивающее напряжение (рис. 9).

Наряду с моделированием проводились экспериментальные исследования. Использовались искусственные камни из цемента ШО цилиндрической формы. Сравнение теории с

экспериментом заключалось в том, что

г&ЗК>

щшшшшш Щш

жаЩ

1

Й ВВНННб

Максимальное напряжение (МПа)

Рнс. 9. Эволюция распределения максимального напряжения а , возникающего при падении ударной волны на цилиндрический камень из цемента ШО. Изображено распределение и в центральном сечении камня в разные моменты времени. Для изображения величины а м используется серая шкала в диапазоне от -70 МРа (чёрный цвет) до +70 МРа (белый цвет), где знак минус соответствует сжатию, а плюс - растяжению

предсказанная величина максимального растягивающего напряжения сопоставлялась с количеством ударных волн, необходимых для раскалывания камня, а предсказанное положение точки максимального растягивающего напряжения сравнивалось с местом возникновения трещины. Исследована связь использованной теоретической модели с ранее предложенными упрощёнными механизмами фрагментации камней - откольным механизмом, механизмом бокового сдавливания и кавитацией. Некоторые из экспериментальных тестов могли быть истолкованы как проявление того или иного механизма, однако другие тесты им противоречили. И лишь модель, основанная на решении уравнений теории упругости, оказалась в полном согласии со всеми тестами. Показано, что для создания сильных растягивающих напряжений в камне требуется широкий ударноволновой пучок - такой, чтобы падающая волна присутствовала не только в области камня, но и сбоку от него. Роль кавитации весьма специфична. Она способна вызвать

эрозию поверхности, но не раскалывание камня на большие фрагменты. Описанные эксперименты, однако, указывают на то, что опосредованную роль в фрагментации крупных камней кавитация всё же играет. Создаваемые ею поверхностные разрушения выступают в роли концентраторов напряжений для создания зародышей магистральной трещины.

Глава 8 посвящена теоретическому анализу свойств пучков пилообразных волн и ударных импульсов. В начале главы проанализированы особенности фокусировки видеоимпульсов в условиях слабой нелинейности. Получено аналитическое выражение для функции Грина в случае линейного гауссовского пучка при произвольном значении координаты. Затем показано, что под действием нелинейности пиковое давление в фазе сжатия акустического импульса растёт, а минимальное значение давления, напротив, уменьшается по сравнению с линейным значением Далее подробно рассмотрена фокусировка импульсов с ударным фронтом, т.е. в условиях, когда нелинейное искажение существенно. Показано, что линейная дифракция не способна ограничить рост амплитуды таких волн Соответствующее ограничение происходит благодаря возникающей нелинейной рефракции. Явление саморефракции происходит из-за нелинейного изменения скорости Дс распространения ударного фронта. Известно, что для импульсов, распространяющихся по невозмущенной среде, нелинейная добавка к скорости ударного фронта Дс растет с величиной А скачка давления как Дс = гЛ/(2с,0/з0), где е , с0 и р„ - параметр акустической нелинейности, скорость звука и плотность среды. Поскольку величина А вблизи оси больше, чем на периферии пучка, должно происходить выпрямление фронта сфокусированной волны, т.е. самодефокусировка. Из-за этого размер возникающей фокальной перетяжки становится больше своего линейного дифракционного значения. Следовательно, для достаточно мощных импульсов дифракция оказывает слабое влияние на распространение волны. Это обстоятельство позволяет упростить описание путём использования геометрического (лучевого) подхода. Выведены уравнения эйконала и переноса и проведен их анализ в безаберрационном приближении. Показано, что задача расчёта фокусировки импульса сводится к решению интегро-дифференциального уравнения для вспомогательной функции продольной координаты (безразмерного радиуса пучка /). В общем случае решение зависит от двух параметров подобия. Проведён расчёт максимального (фокального) пикового давления в импульсе Атзх в широком диапазоне изменения указанных безразмерных параметров и обнаружено, что рефракция приводит к новому явлению нелинейного насыщения - ограничению пикового давления в сфокусированных импульсных сигналах. Согласно расчётам, при насыщении Атах к 1.5 р,-аг, где />. =/>0с„/(2г) - характерное внутреннее давление жидкости, а = о0/Я - тангенс угла сховдения исходного фокусированного пучка. Как видно из этой формулы, уровень максимально достижимого давления в фокусе примерно равен произведению характерного внутреннего давления в среде на квадрат угла схождения исходного пучка. Для воды (р. =320 МПа) при угле схождения 30° оценка даёт Д„я =130 МПа, что соответствует экспериментальным данным.

В качестве следующей задачи рассмотрено явление самовоздействия пучков пилообразных ультразвуковых волн за счёт нагревания среды и формирования акустического ветра. При поглощении ультразвукового пучка среда нагревается. В средах с растущей при нагревании скоростью звука с (пример - вода при комнатной температуре, для которой 8 = (ёс/дТ)р/с > 0), происходит дефокусировка, а в средах с отрицательным температурным коэффициентом 3 < 0 (большинство жидкостей) пучок самофокусируется. Другой механизм подобного инерционного самовоздействия обусловлен формированием в среде гидродинамических потоков («акустического ветра») под действием радиационного давления мощной ультразвуковой волны. Этот механизм приводит к дефокусировке, так как из-за сноса потоком скорость волны увеличивается с приближением к оси пучка (в той области, где интенсивность ультразвука выше, ветер сильнее). Самовоздействие пучков квазигармонических волн исследовалось ранее по аналогии с эффектом тепловой самофокусировки в оптике. Самовоздействие пилообразных волн происходит несколько иначе. Для них мощность тепловых источников и пропорциональная ей сила радиационного давления Р определяются не диссипативными свойствами среды, а только её акустической нелинейностью. Поэтому самовоздействие пилообразных волн должно происходить и в идеальных средах, где обычное поглощение отсутствует. Показано, что указанная характеристика Р пропорциональна кубу амплитуды волны, а не ее квадрату, как в случае гармонических волн. Выписаны уравнения для амплитуды волны и безразмерного радиуса пучка в безаберрационном приближении и проанализированы их решения в различных режимах самовоздействия.

В общем случае нелинейный отклик среды происходит с некоторой задержкой. Примером является описанное выше тепловое самовоздействие, при котором нелинейный отклик обусловлен инерционным процессом нагрева среды. Имеется и обратная ситуация, когда нелинейный отклик происходит почти мгновенно, т.е. за время много меньшее периода волны или длительности импульса. В задачах нелинейной оптики все главные эффекты безынерционного самовоздействия связаны с кубичной нелинейностью среды, проявляющейся на фоне сильной дисперсии. Поэтому естественен интерес к роли кубичной нелинейности и в условиях малости дисперсии. Безынерционное самовоздействие в кубично-нелинейной среде исследовано в следующей части главы 8. В такой среде исходная плоская гармоническая волна по мере распространения искажается и трансформируется в сигнал с пилообразным профилем. В отличие от квадратично-нелинейных сред, «зубцы пилы» в кубичной среде имеют трапецеидальную форму, а скорость волны зависит от её амплитуды. Показано что в отсутствие дисперсии самофокусировка на кубичной нелинейности не приводит к существенному росту амплитуды. Хотя пучок заметно сужается и имеет нелинейную перетяжку, фактор усиления невелик из-за принципиально неустранимого поглощения на ударных фронтах «пилы». Наибольший коэффициент усиления в фокусе составляет примерно 1.65. Таким образом, для пилообразных волн оказывается принципиально невозможным возникновение сильного роста интенсивности волны из-за самофокусировки, т.е бездисперсный характер среды «выключает» один из ярких нелинейных эффектов, характерных для оптических пучков

В заключительной части главы 8 проведен групповой анализ обобщенного уравнения Хохлова-Заболотской (ХЗ) при произвольном виде нелинейного члена, т.е. вычислены все возможные точечные симметрии обобщённого уравнения ХЗ. Показано, что некоторые симметрии не зависят от вида нелинейности; ряд симметрий, напротив, имеет место лишь для специальных видов нелинейности. Наряду с уравнением ХЗ рассмотрено уравнение, получающееся из него однократным интегрированием по времени. Доказана лагранжевость этого (проинтегрированного по времени) уравнения и вычислен лагранжиан, соответствующий произвольному виду нелинейности Это позволило применить теорему Нётер и найти с помощью вычисленных симметрий неизвестные ранее интегралы движения уравнения ХЗ. С их использованием получены соотношения, описывающие моменты акустического поля в случае квадратичной и кубичной нелинейностей. Симметрии, кроме того, использованы для поиска автомодельных подстановок и получения точных решений уравнения ХЗ. Групповой анализ уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова (ХЗК) показал, что по набору симметрий оно «беднее» уравнения ХЗ. Все имеющиеся симметрии являются геометрическими. Оказалось также, что большинство симметрий квадратично-нелинейного уравнения ХЗК шире симметрий кубично-нелинейного уравнения ХЗК.

Основные результаты диссертационной работы

1. Развиты новые методы исследования ультразвуковых источников больших волновых размеров, позволяющие с высокой точностью характеризовать колебания излучающих поверхностей и предсказывать пространственно-временную структуру излучаемых акустических полей. В рамках этого направления исследований показано следующее.

1.1. Акустическое поле вогнутых пьезокерамических источников больших волновых размеров неправильно предсказывается широко используемой теоретической моделью, основанной на предположении о равномерном распределении скорости излучающей поверхности. Соответствующая ошибка может быть сравнима по величине с самим полем. Главной причиной указанного расхождения теории и эксперимента является неоднородный характер скорости колебаний поверхности излучателя из-за возникновения на краю пьезопластины волн Лэмба. Они распространяются от края к центру пластины и приводят к изменению амплитуды колебательной скорости более чем на 10% (вплоть до 100%-200%) по сравнению с амплитудой толщинной моды колебаний пьезопластины. Эти ошибки отсутствуют в случае пьезокомпозитных источников.

1.2. Интеграл Рэлея, несмотря на его приближённый характер в случае неплоской излучающей поверхности, позволяет с высокой точностью предсказывать излучение вогнутого источника больших волновых размеров, и поэтому может использоваться в приложениях ультразвука в медицине и неразрушающем контроле для расчёта полей фокусирующих источников при умеренных углах фокусировки. Граница области, где интеграл Рэлея неприменим, задаётся огибающей лучей, вышедших из края источника и однократно отражённых от его поверхности. Величина дифракционной поправки к

интегралу Рэлея может быть рассчитана на основе развитого в работе численного алгоритма решения уравнения Гельмгольца.

1.3. Классический метод лазерной виброметрии при измерениях в жидкостях дает неверные результаты, причем ошибка измерения смещения может превышать 100%. Более того, не только абсолютное значение смещения в каждой точке, но и его двумерное распределение вдоль исследуемой поверхности имеет вид, отличающийся от истинного В частности, на видимой картине вибраций появляется ложная структура с пространственным масштабом, равным длине акустической волны в жидкости. Кроме того, лазерный виброметр показывает наличие смещения в областях, где оно на самом деле отсутствует, а в нестационарном режиме на изображении возникают несуществующие поверхностные волны, распространяющиеся со скоростью звука в жидкости. Причина указанных искажений - акустооптическое взаимодействие в конденсированной среде на пути пробного лазерного луча. Получено аналитическое выражение для функции Грина при лазерной виброметрии как при гармоническом, так и при импульсном возбуждении исследуемой поверхности и показано, что она объясняет все обнаруженные в экспериментах артефакты лазерной виброметрии в жидкости и может быть использована для корректировки данных измерений.

1.4. Предложен, разработан и экспериментально проверен новый метод акустической голографии для определения колебаний поверхности источников и вычисления их полей Метод основан на использовании интеграла Рэлея для расчёта обратного распространения к источнику исходя из измеренного распределения акустического давления в точках некоторой поверхности перед источником. Подробно исследован как случай монохроматических источников, так и случай излучения импульсов. Проведённые эксперименты показали, что предложенный метод обладает высокой точностью и применим для исследования колебаний поверхностей, визуализации скрытых повреждений, характеризации многоэлементных излучателей и для предсказания их полей.

2. Проведено исследование физических аспектов действия на среду мощных акустических импульсов, использующихся в медицине для дистанционной фрагментации конкрементов. Наряду с исследованием акустического поля, проведено изучение акустической кавитации и механизмов воздействия импульсов на почечные камни.

2.1. Предложен и разработан двухканальный пассивный детектор кавитации для исследования процесса кавитации в поле ударной волны литотриптера. Для регистрации кавитационных событий использовались два конфокальных пьезокерамических приёмника Совместная обработка сигналов этих приёмников по времени прихода и амплитуде позволила выделить акустические импульсы от коллапсов, происходящих в объёме диаметром около 5 мм. Такое пространственное разрешение намного превышает разрешение традиционно использующихся одиночных приёмников.

2.2. Наблюдаемое поведение газовых пузырьков при кавитации в поле литстриптера согласуется с предсказаниями теоретической модели одиночной сферической полости. В результате роста микроскопических пузырьков до миллиметровых размеров и их последующего коллапса возникают сферически расходящиеся акустические импульсы.

Измеренные значения пикового давления, излучаемого при указанном инерционном коллапсе, составляют более 100 МПа на расстоянии 1 мм от центра пузырька, т.е. вблизи коллалсирующих пузырьков акустическое давление превышает исходное давление в падающей волне литотриптера.

2.3. Разработанный детектор кавитации был применён для изучения кавитации при литотрипсии irt vivo в экспериментах с животными. Впервые удалось зарегистрировать инерционную кавитацию, возникающую при литотрипсии не только в жидкости накопительной системы, но и в тканях почки. Указанная кавитация начинается не сразу, а лишь после излучения относительно большого количества импульсов литотриптера, около 1000. Тем самым показано, что кавитация является одним из факторов, способным вызвать нежелательные повреждения ткани при литотрипсии.

2.4. Численные и экспериментальные исследования фрагментации искусственных камней из цемента показали, что при воздействии ударной волны литотриптера на камень преобладающую роль в создании разрушающих напряжений играет не продольная волна, образующаяся на передней поверхности камня, а сдвиговая волна, возникающая на боковой поверхности. Генерация сдвиговой волны может быть интерпретирована как динамический эффект бокового сдавливания. При этом волна сжатия в жидкости, оказывающая давление на поверхность камня, распространяется быстрее, чем сдвиговая волна в камне, и поэтому является сверхзвуковым источником, эффективно возбуждающим сдвиговую волну. Сдвиговая волна распространяется от поверхности вглубь камня и концентрируется в центре камня, ближе к тыльной поверхности, создавая там наибольшее растягивающее напряжение. Предложенный механизм разрушения камня экспериментально подтверждается видом магистральной трещины, которая образуется после многократного воздействия на камень, соединяя указанную область повышенного растягивающего напряжения с поверхностью камня.

3. Выполнен цикл работ по теоретическому исследованию волновых пучков в нелинейных средах без дисперсии Получены следующие результаты.

3.1. Предсказан и исследован один из принципиальных эффектов самовоздействия ударных волн - тепловое самовоздействие, возникающее за счёт диссипации энергии волны на ударных участках. Построена модель стационарной и нестационарной самофокусировки, описывающая поведение акустического пучка пилообразных волн в безаберрационном приближении. Показано, что при переходе от режима гармонической волны к нелинейному режиму с пилообразным профилем волны эффективность самофокусировки существенно увеличивается. Эффект объясняется тем, что мощность тепловыделения при этом оказывается пропорциональной не квадрату, а кубу амплитуды волны.

3.2. Построена теоретическая модель и на её основе исследовано безынерционное самовоздействие при фокусировке пучков ударноволновых импульсов. Показано, что помимо поглощения на ударном фронте происходит самодефокусировка, обусловленная зависимостью скорости фронта от пикового давления. Из-за этого размер фокального пятна может заметно превосходить свое линейное значение, причем он увеличивается с ростом исходного пикового давления в волне. Продольный размер фокального пятна также увеличивается, т.е. нелинейные эффекты в целом размывают

эту область. Саморефракция приводит к явлению нелинейного насыщения -ограничению пикового давления в сфокусированных импульсных сигналах. Уровень максимально достижимого давления в фокусе примерно равен произведению характерного внутреннего давления в жидкости на квадрат угла схождения исходного пучка.

3.3. Исследованы эффекты самовоздействия ударных пилообразных волн в кубично-нелинейных средах с малой дисперсией. Свойства соответствующих нелинейных волн уникальны и во многом не похожи на свойства хорошо изученных нелинейных квазигармонических волн в сильно диспергирующих средах. В отсутствие дисперсии самофокусировка на кубичной нелинейности не приводит к существенному росту амплитуды. Хотя пучок заметно сужается и имеет нелинейную перетяжку, фактор усиления невелик (не больше 2) из-за принципиально неустранимого поглощения на ударных фронтах.

3.4. Проведена групповая классификация эволюционного уравнения для акустических пучков, полученного обобщением уравнения Хохлова-Заболотской (ХЗ) на случай произвольной нелинейности среды. Показано, что некоторые найденные симметрии обобщенного уравнения ХЗ не зависят от вида нелинейности; ряд симметрий, напротив, имеет место лишь для специальных видов нелинейности. Наряду с обобщённым уравнением ХЗ рассмотрено уравнение, получающееся из него однократным интегрированием по времени. Для него также получены все точечные симметрии при произвольном виде нелинейности. Доказана лагранжевость этого (проинтегрированного по времени) уравнения и вычислен лагранжиан, соответствующий произвольному виду нелинейности. Это позволило применить теорему Нётер и найти с помощью вычисленных симметрий неизвестные ранее интегралы движения уравнения ХЗ. С их использованием получены соотношения, описывающие моменты акустического поля в случае квадратичной и кубичной нелинейностей. Групповой анализ обобщенного уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова (ХЗК) показал, что оно обладает меньшим количеством симметрий по сравнению с обобщённым уравнением ХЗ, причём все симметрии уравнения ХЗК являются геометрическими.

Основные публикации по материалам диссертации:

1. Пономарев А.Е., Булатицкий С.И., Сапожников O.A. Компрессия и усиление ультразвукового импульса, отраженного от одномерной слоистой структуры. -Акуст. журн., 2007, т. 53, № 2, с. 157-167.

2 Сапожников O.A., Пономарев А.Е., Смагин М.А. Нестационарная акустическая голография для реконструкции скорости поверхности акустических излучателей. -Акуст. журн., 2006, т.52, №3, с. 385-392.

3. Смагин М.А., Нагулин Н.Е., Пономарёв А.Е., Сапожников O.A. Влияние дискретизации задержки в диаграммоформирующих устройствах ультразвуковых диагностических систем на качество фокусировки. - Биомедицинские технологии и радиоэлектроника, 2006, № 1-2, с. 85-88

4. Пономарёв А Е., Смагин М А, Булатицкий С.И, Сапожников O.A. Временное обращение волн в задачах компрессии импульсов и нестационарное акустической голографии. - В сб. «Акустика неоднородных сред», под ред С.А. Рыбака, М., 2005, с. 69-89.

5. Руденко О В., Сапожников O.A. Явления самовоздействия пучков волн, содержащих ударные фронты. - Успехи физ. наук, 2004, т. 174, № 9, с. 973-989.

6. Сапожников O.A., Пшцальников Ю.А, Морозов A.B. Восстановление распределения нормальной скорости на поверхности ультразвукового излучателя на основе измерения акустического давления вдоль контрольной поверхности. - Акуст. журн., 2003, т. 49, № 3, с. 416-424.

7. Сапожников O.A., Синило Т.В . Акустическое поле вогнутой излучающей поверхности при учете дифракции на ней. - Акуст. журн., 2002, т. 48, № 6, с. 813-821.

8. Пшцальников Ю.А., Сапожников O.A., Синило Т.В. Повышение эффективности генерации сдвиговых волн в желатине при нелинейном поглощении фокусированного ультразвукового пучка. - Акуст. журн., 2002, т. 48, № 2, с. 253-259.

9. Сапожников O.A., Кудрявцев А.Г. Симметрии и связанные с ними свойства обобщенного уравнения Хохлова-Забояотской. - Сборник трудов семинара научной школы проф. В.А. Красильникова, Москва, 2002, с. 145-158.

10. Катиньоль Д., Сапожников O.A. О применимости интеграла Рэлея к расчету поля вогнутого фокусирующего излучателя. - Акуст. журн., 1999, т. 45, № 6, с. 816-824.

11. Гайдуков Ю.П., Данилова Н.П., Сапожников O.A. Моды колебаний изотропного диска, слабо зависящие от его толщины. - Акуст. журн., 1999, т. 45, № 2, с. 195-203.

12. Сапожников O.A., Синило Т.В. Повышение эффективности нагрева жидкости мощным ультразвуковым пучком за счет формирования ударных участков в профиле волны. -Известия Академии Наук, серия физическая, 1998, т. 62, № 12, с. 2371-2374

13. Кудрявцев А Г., Сапожников O.A. Некоторые свойства интенсивных звуковых пучков, описываемых обобщенным уравнением Хохлова-Заболотской. - Акуст. журн., 1998, т. 44, №6, с. 808-813.

Н.Кудрявцев А.Г., Сапожников O.A. Симметрии обобщенного уравнения Хохлова-Заболотской. - Акуст. журн., 1998, т. 44, Ks 5, с. 628-633.

15. Руденко О.В., Сапожников O.A. Волновые пучки в кубично-нелинейных средах без дисперсии. - ЖЭТФ, 1994, т. 106, № 2 (8), с. 395-413.

16. Руденко О.В , Сапожников O.A. Безынерционная самофокусировка недиспергирующих волн с широким спектром. - Квантовая электроника, 1993, т. 20, № 10, с. 1028-1030.

17. Мусатов А.Г., Сапожников O.A. Фокусировка слабых акустических импульсов. -Вест. Моск. ун-та, сер. 3, физ.-астр., 1993, т. 34, № 4, с. 94-97.

18. Дубровский А.Н., Сапожников O.A. Наблюдение нелинейной эволюции акустических импульсов в отсутствие дифракции. - Вест. Моск. ун-та, сер. 3, физ.-астр., 1993, т. 34, № 4, с. 67-73.

19. Мусатов А.Г., Сапожников O.A. Нелинейные эффекты при фокусировке акустических импульсов с ударным фронтом. - Акуст. журн., 1993, т. 39, № 3, с. 510-516.

20 Мусатов А.Г., Сапожников O.A. Фокусировка мощных акустических импульсов при различных углах раскрытия волнового фронта. - Акуст. журн., 1993, т. 39, № 2, с. 315-320.

21. Андреев В.Г., Вероман В.Ю., Денисов Г.А., Руденко О.В., Сапожников O.A. Нелинейно-акустические аспекты экстракорпоральной литотрипсии. - Акуст. журн., 1992, т. 38, № 4, с. 588-593.

22. Мусатов А.Г., Руденко О.В, Сапожников O.A. Учет нелинейной рефракции и нелинейного поглощения при фокусировке мощных импульсов. - Акуст. журн., 1992, т. 38, № 3, с. 502-510.

23. Сапожников O.A. Фокусировка мощных акустических импульсов. - Акуст. журн , 1991, т. 37, №4, с. 760-769.

24. Руденко О.В., Сапожников O.A. Мощные акустические пучки: самовоздействие разрывных волн, фокусировка импульсов и экстракорпоральная литотрипсия. -Вест. Моск. ун-та, сер. 3, физ.-астр., 1991, т. 32, № 1, с. 3-17.

25 Руденко О.В., Сагатов М.М., Сапожников O.A. Тепловая самофокусировка пилообразных волн.-ЖЭТФ, 1990, т 98, №3 (9), с. 808-818.

26. Карабугов А.А., Руденко О.В, Сапожников О.А. Тепловая самофокусировка слабых ударных волн. - Акуст. журн., 1989, т. 35, № 1, с. 67-70.

27. Руденко О.В., Сапожников О.А. Теоретическое описание тепловой самофокусировки пилообразных звуковых волн. - Вест. Моск. ун-та, сер. 3, физ.-астр., 1988, т. 29, № 6, с. 91-92.

28. Карабугов А.А., Руденко О.В., Сапожников О.А. Теория тепловой самофокусировки с учетом формирования ударных волн и акустических течений. - Акуст. журн., 1988, т. 34, № 4, с. 644-650.

29. Карабугов А.А., Руденко О.В., Сапожников О.А Система уравнений для описания тепловой самофокусировки звука в жидкости. - Вест. Моск. ун-та, сер. 3, физ.-астр., 1988, т. 29, №4, с. 63-66.

30. Sapozhnikov, О.А., Maxwell, A.D., MacConaghy, В., and Bailey, M.R. A mechanistic analysis of stone fracture in lithotripsy. - J. Acoust. Soc. Am., 2007, v. 112, no. 2, pp. 1190-1202.

31. Owen, N.R., Bailey, M.R., Crum, L.A, Sapozhnikov, O.A., and Trusov, L.A. The use of resonant scattering to identify stone fracture in shock wave lithotripsy. - J. Acoust. Soc. Am., 2007, v. 121, no. 1, Express Letters, pp. EL41-EL47.

32. Sapozhnikov, O.A., Bailey, M.R., Maxwell, A.D., MacConaghy, В., Cleveland, R.O., McAteer, J.A., and Crum, L.A. Advantage of a broad focal zone in SWL: synergism between squeezing and shear. - in "Renal Stone Disease" (Proceedings of the lsl International Urolithiasis Research Symposium, Indianapolis, 2006), ed. by A.P. Evan, J.E. Lingeman, and J.C. Williams, American Institute of Physics, Melville, NY, 2007, pp. 351-355.

33. Pishchalnikov, У.А., Sapozhnikov, O.A., Bailey, M.R., Pishchalnikova, I.V., Williams Jr., J.C., and McAteer, J A Cavitation selectively reduces the negative-pressure phase of lithotripter shock pulses. - Acoustics Research Letters Online (ARLO), 2005, v. 6, no. 4, pp. 280-286.

34. Cleveland, R.O., and Sapozhnikov, O.A. Modeling elastic wave propagation in kidney stones with application to shock wave lithotripsy. - J. Acoust. Soc. Am., 2005, v. 118, no. 4, pp. 2667-2676.

35. Crum, L.A, Bailey, M.R., Guan, J., Hilmo, P.R., KargI, S.G, Matula, T.J., and Sapozhnikov, O.A. Monitoring bubble growth in supersaturated blood and tissue ex vivo and the relevance to marine mammal bioeffects. - Acoustics Research Letters Online (ARLO), 2005, v. 6, no. 3, pp. 214-220.

36. Lafon, C., Zderic, V., Noble, M.L., Yuen, J.C., Kaczkowski, P.G, Sapozhnikov, O.A., Chavrier, F., Crum, L.A., and Vaezy, S. Gel phantom for use in high-intensity focused ultrasound dosimetry. - Ultrasound Med. Biol., 2005, v. 31, no. 10, pp. 1383-1389.

37. Bailey, M.R., Pishchalnikov, Y.A., Sapozhnikov, O.A Cleveland, R O. McAteer, J A. Miller, N.A. Pishchalnikova, I.V. Connors, B.A. Crum, L.A. and Evan, A.P. Cavitation detection during shock wave lithotripsy. - Ultrasound Med. Biol, 2005, v. 31, no. 9, pp. 1245-1256.

38. Sapozhnikov, O.A., Morozov, A.V., Ponomarev, A.E., and Smagin, M.A. Characterization of therapeutic and diagnostic ultrasound sources using acoustic holography and- optical schlieren method. - Proceedings of International Symposium "Topical Problems of Nonlinear Wave Physics" (NWP-2005), Russian Academy of Sciences, Institute of Applied Physics, Nizhny Novgorod, 2005, pp. 91-92.

39. Sapozhnikov, O.A., Morozov, A.V., and Cathignol, D. Acoustic holography and laser vibrometry to characterize vibration of piezoceramic and piezocomposite transducers used in ultrasound therapy. - in "High Intensity acoustic waves in modern technological and medical applications" (Proceedings of Joint Workshop of Russian Acoustical Society and French Acoustical Society, Moscow, 2005), Moscow, GEOS, 2005, pp. 20-29.

40. Sapozhnikov, O.A., Trusov, L.A., Owen, N R., Bailey, M.R., and Cleveland, R.O. Detecting fragmentation of kidney stones in lithotripsy by means of shock wave scattering. - in "Therapeutic Ultrasound" (Proceedings of 5th International Symposium on Therapeutic Ultrasound, Boston, 2005), ed. by G.T. Clement, N.J. McDannold, and K. Hynynen, AIP Conference Proceedings, v. 829, p. 308-312.

41. Sapozhnikov, O.A., Morozov, A.V., and Cathignol, D. Piezoelectric transducer surface vibration characterization using acoustic holography and laser vibrometry. - Proceedings of 2004 IEEE UFFC 50th Anniversary Joint Conference (Montreal, Canada, August 23-27,2004), pp. 161-164.

42 Sapozhnikov, OA., Bailey, M.R., Maxwell, A.D., MacConaghy, B., Cleveland, R.O., and Crum, L.A. Assessing the mechanism of kidney stone comminution by a lithotripter shock pulse. - Proceedings of 4th International Symposium on Therapeutic Ultrasound (September 18-20, 2004, Kyoto, Japan), ed. by G.R. ter Haar and I. Rivens, AIP Conference Proceedings, v. 754, pp. 164-166.

43. Brysev, A P., Lyakhov, G.A., Maslov, I.A., Oppengeim, V.D., Petnikov, V.G, Pereselkov, S.A., Korshak, B.A., Sapozhnikov, O.A., Rybak, S.A., and Serebryanny, A.N. Acoustic methods for sounding of natural media. - Physics of Wave Phenomena, 2003, v. 11, no. 4, pp. 177-219.

44. Pishchalnikov, Y.A., Sapozhnikov, O.A., Bailey, M.R., Williams Jr., J C., Cleveland, R.O., Colonius, T., Crum, L.A., Evan, A.P., and McAteer, J.A. Cavitation bubble cluster activity in the breakage of kidney stones by lithotripter shockwaves. - Journal of Endourology, 2003, v. 17, no. 7, pp. 435-446.

45. Sapozhnikov, O.A., Cleveland,R.O., Bailey, M.R., and Crum, L.A. Modeling of stresses generated by lithotripter shock wave in cylindrical kidney stone - Proceedings of 3rd International Symposium on Therapeutic Ultrasound (Lyon, France, 2003), edited by J.Y. Chapelon and C. Lafon, INSERM, Lyon, 2003, pp. 323-328.

46. Sapozhnikov, O.A., Khokhlova, V.A., Bailey, M.R., Williams, Jr., J.C., McAteer, J.A., Cleveland, R.O., and Crum, L.A. Effect of overpressure and pulse repetition frequency on cavitation in shock wave lithotripsy. - J. Acoust. Soc. Am., 2002, v. 112, no. 3, Pt. 1, pp. 1183-1195.

47. Morozov, A.V., Sapozhnikov, O.A., and Pishchalnikov, Y.A. Method of measurements of vibrational velocity on ultrasonic source surface. Numerical analysis of accuracy. - Physics of Vibrations, 2002, v. 10, no. 2, pp. 93-99.

48. Sapozhnikov, O.A., Bailey, M.R., Crum, L.A., Miller, N.A, Cleveland, R.O., Pishchalnikov, Y.A., Pishchalnikova, I.V., McAteer, J.A., Connors, B.A., Blomgren, P.M., and Evan, A.P. Ultrasound-guided localized detection of cavitation during lithotripsy in pig kidney in vivo - Proceedings of 2001 IEEE Ultrasonics Symposium (Atlanta, Georgia, October 7-10, 2001), v. 2, pp. 1347-1350.

49. Cleveland, R O., Sapozhnikov, O.A., Bailey, M.R., and Crum, L.A. A dual passive cavitation detector for localized detection of lithotripsy-induced cavitation in vitro. - J. Acoust. Soc. Am., 2000, v. 107, no. 3, pp. 1745-1758.

50. Chapelon, J.-Y., Cathignol, D, Cain, C., Ebbini, E., Kluiwstra, J.-U, Sapozhnikov, O.A., Fleury, G, Berriet, R., Chupin, L., and Guey, J.-L. New piezoelectric transducers for therapeutic ultrasound. - Ultrasound in Medicine and Biology, 2000, v. 26, no. 1, pp. 153-159.

51. Cathignol, D., Sapozhnikov, O A., and Theillere, Y. Comparison of acoustic fields radiated from piezoceramic and piezocomposite focused radiators. - J. Acoust. Soc. Am., 1999, v. 105, no. 5, pp. 2612-2617.

52. Tavakkoli, J., Cathignol, D., Souchon, R., and Sapozhnikov, O.A. Modeling of pulsed finite-amplitude focused sound beams in time domain. - J Acoust. Soc. Am., 1998, v. 104, №4, pp. 2061-2072.

53. Cathignol, D., Sapozhnikov, O.A., and Zhang, J. Lamb waves in piezoelectric focused radiator as a reason for discrepancy between O'Neil formula and experiment.- J. Acoust. Soc. Am., 1997, v. 101, № 3, pp. 1286-1297.

54. Dupenloup, F., Chapelon, J.Y., Cathignol, D.J., and Sapozhnikov, O A. Reduction of the grating lobes of annular arrays used in focused ultrasound surgery. - IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control, 1996, v. 43, № 6, pp. 991-998.

Подписано к печати iS.09.D8 Тираж 150 Заказ Н2,

Отпечатано в отделе оперативной печати физического факультета МГУ

Предисловие

Введение

Глава 1 Современные проблемы физики ультразвуковых пучков

1.1 Вводные замечания

1.2 Источники ультразвуковых пучков и их характеризация

1.3 Нелинейные импульсные пучки в экстракорпоральной. литотрипсии. Механизмы разрушения биоконкрементов

1.4 Самовоздействие акустических пучков. в нелинейных средах

Глава 2 О применимости интеграла Рэлея к расчёту полей фокусированных пьезокерамических и пьезокомпозитных излучателей ультразвука

2.1 Вводные замечания

2.2 Использованные методы расчёта поля. фокусированного излучателя

2.3 Экспериментальное исследование влияния краевых. условий на поле фокусированного излучателя

2.4 Заключительные замечания

Глава 3 Волны Лэмба в пьезоэлектрических фокусирующих преобразователях как причина аномальных пиков в структуре излучаемого акустического поля

3.1 Вводные замечания

3.2 Акустические измерения

3.3 Теоретический анализ излучения фокусированного преобразователя с учётом возникающих в нём волн Лэмба

3.4 Исследование колебаний поверхности излучателя методом оптической интерферометрии

3.5 Сравнение акустических полей, излучаемых пьезокерамическими и пьезокомпозитными источниками

3.6 Заключительные замечания

Глава 4 Акустооптическое взаимодействие при лазерной виброметрии в жидкости

4.1 Вводные замечания

4.2 Экспериментальная демонстрация влияния акустооптического взаимодействия

4.3 Теоретический анализ сигнала лазерного виброметра с учётом акустооптического взаимодействия

4.4 Заключительные замечания

Глава 5 Акустическая голография как метод исследования колебаний поверхности акустических источников

5.1 Вводные замечания

5.2 Метод акустической голографии, основанный на интеграле Рэлея

5.3 Примеры использования акустической голографии для характеризации источников и создаваемых ими полей

5.4 Нестационарная акустическая голография

5.5 Заключительные замечания

Глава 6 Инерционная кавитация, вызываемая фокусированной ударной волной литотриптера

6.1 Вводные замечания

6.2 Экспериментальные средства и теоретическая модель

6.3 Результаты

6.4 Роль взаимодействия пузырьков: коллапс цилиндрического облака пустых сферических полостей

6.5 Регистрация инерционной кавитации in vivo

6.6 Заключительные замечания

Глава 7 Механизмы воздействия ударной волны литотриптера на почечные камни

7.1 Вводные замечания

7.2 Прямые механизмы возникновения механических напряжений в камне под действием ударных волн

7.3 Непрямые механизмы воздействия ударных волн на камень, обусловленные кавитацией

7.4 О моделировании фрагментации камней в литотрипсии

7.5 Теория

7.6 Использованные тесты для проверки механизмов фрагментации камней

7.7 Установка и методика измерений

7.8 Результаты

7.9 Заключительные замечания

Глава 8 Фокусировка и самовоздействие пучков пилообразных волн и ударных импульсов. Групповой анализ обобщённого уравнения

Хохлова-Заболотской

8.1 Вводные замечания

8.2 Фокусировка линейных импульсов

8.3 Роль нелинейной рефракции при фокусировке мощных импульсов

8.4 Самовоздействие пучков пилообразных ультразвуковых волн за счёт нагревания среды и формирования акустического ветра

8.5 Саморефракция слабых ударных волн в квадратично-нелинейной среде

8.6 Безынерционное самовоздействие в кубично-нелинейной среде

8.7 Нахождение симметрий обобщённого уравнения Хохлова-Заболотской

8.8 Применение симметрий для генерации новых решений и построения редуцированных уравнений

8.9 Законы сохранения обобщённого уравнения ХЗ

8.10 Результаты группового анализа уравнения

Хохлова-Заболотской-Кузнецова

8.11 Заключительные замечания

Акустические волны являются удивительным по красоте явлением. Кажется необычным, что в сложных физических системах, состоящих из огромного количества молекул, могут образовываться простые устойчивые образования, переносящие энергию с постоянной скоростью. Ультразвуковые волны невидимы и неслышимы, но несмотря на это они находят множество применений в различных областях нашей жизни. Ярким примером является медицинская ультразвуковая диагностика. При виде ультразвукового изображения плода, совершающего движения в чреве матери, или динамической картины бьющегося сердца возникает ощущение магии акустических волн. Но не менее удивительным кажется и то, что все особенности распространения ультразвука и его взаимодействия со средой можно описать с помощью небольшого количества известных уравнений классической физики.

Исследование акустических волн и вызываемых ими явлений - интригующий и захватывающий процесс, а быть среди увлечённых людей - большая удача. Мне посчастливилось оказаться в такой среде. Выбор направления деятельности определился в студенческие годы под влиянием моего учителя, научного руководителя дипломной работы и кандидатской диссертации О.В. Руденко. Его советы и сейчас помогают выделять важное в большом многообразии проблем, стоящих перед современной акустикой. Немалую роль в формировании стиля работы оказал также A.A. Карабутов. Новый этап наступил в 1988 г., после того как я начал работать на кафедре акустики физического факультета МГУ. Многоопытные В.А. Красильников и Л.К. Зарембо укрепили меня в уверенности, что заниматься акустикой - стоящее дело. Трудно переоценить дискуссии и тесное научное общение с сотрудниками кафедры Ю.Н. Маковым, В.Г. Можаевым, П.Н. Кравчуном, А.И. Коробовым, В.А. Буровым, П.С. Ландой, В.А. Гордиенко и многими другими. Незаменимым помощником при подготовке экспериментов уже много лет является механик кафедры В.А. Рожков.

Плодотворным было также взаимодействие с коллегами из других институтов. Так, исследования симметрий уравнений для пучков проводились при активном участии А.Г. Кудрявцева. Всегда ощущалось дружеское отношение наших партнёров из Института общей физики РАН Л.М. Крутянского и А.П. Брысева. Слова благодарности хочется сказать сотруднику Акустического института Л.Р. Гаврилову, ведущему российскому специалисту в области медицинской акустики, общение с которым мне многое дало.

Часть диссертационной работы выполнялась во время поездок в зарубежные научные центры. Начало взаимодействию с иностранными коллегами положила в 1993 г. Ж. Тьотта (университет Бергена, Норвегия). Благодаря ей в 1994 г. состоялась моя годовая поездка в г. Лион в Акустический отдел Института здоровья и медицинских исследований Франции, где были проведены исследования акустических полей фокусирующих источников. Экспериментальная работа плечо к плечу с директором лаборатории Д. Катиньолем меня многому научила. Большую помощь и дружескую поддержку при этом оказали также Ж.-И. Шаплон, И. Тэйер, А. Бирер и Дж. Тавакколи. Начиная с 1996 г. началось сотрудничество с исследователями из Лаборатории прикладной физики университета штата Вашингтон. Инициатором этого взаимодействия был директор Центра промышленного и медицинского ультразвука Л. Крам. Его энергия, исключительно доброжелательное отношение к окружающим и живой интерес к науке зажигают всех, кто с ним работает. Л. Крам, а также его сотрудники Р. Кливленд и М. Бэйли уже более 10 лет являются моими близкими коллегами по исследованиям в области литотрипсии.

Отдельные слова признательности хочется сказать В.А. Хохловой. Именно её усилиями удаётся поддерживать энтузиазм и тёплую атмосферу в нашей научной группе. В.А. Хохлова и В.Г. Андреев более 25 лет являются моими надёжными товарищами по научной и преподавательской работе; их поддержка все эти годы была очень ощутимой. Наконец, выполнение настоящей диссертационной работы было бы невозможно без студентов и аспирантов, которыми мне посчастливилось руководить и при этом многому научиться. Шестеро из них уже стали кандидатами наук, многие успешно работают в области акустики и смежных дисциплин в нашей стране и за рубежом. Каждый заслуживает отдельных слов благодарности, и лишь желание сделать это предисловие кратким заставляет меня просто перечислить имена тех из них, кто оказал наибольшую помощь в проведении исследований: А.Н. Дубровский, А.Г. Мусатов, Ю.А. Пищальников, Т.В. Синило, A.B. Морозов, А.Е. Пономарёв и М.А. Смагин. Всем им большое спасибо.

Во многом написание мною диссертации было вызвано желанием порадовать своих родных и особенно маму, которая всегда с пониманием и интересом относилась к моей работе. Ей, а также моим дочерям Ксюше и Кате я и посвящаю этот труд.

Введение

В настоящей диссертационной работе представлены результаты исследований, выполненных автором на кафедре акустики физического факультета МГУ им. М.В. Ломоносова в период 1988-2008 г.г. В диссертации проведены комплексные теоретические и экспериментальные исследования явлений дифракции, воздействия на среду и самовоздействия при излучении и распространении акустических волн. Особое внимание уделено ультразвуку мегагерцового диапазона, активно используемому в современных медицинских приложениях и неразрушающем контроле.

Волны любой природы создаются источниками конечных размеров. Среди них важный класс составляют источники направленного излучения, распространяющегося почти без ослабления на большие расстояния. Образующееся в результате волновое поле, ограниченное в пространстве в поперечном направлении и более протяжённое в направлении распространения волны, принято называть волновым пучком [1]. Для создания пучка источник должен иметь большой волновой размер, т.е. его диаметр должен намного превышать длину волны. Кроме того, заданное на нём поле должно быть когерентным. Поэтому источники волновых пучков обычно имеют искусственную природу. Оптические пучки когерентного излучения стали предметом исследования и широкого применения с появлением лазеров [2]. Практическое использование акустических пучков началось несколько раньше, с появлением пьезоэлектрических излучателей. За более чем полувековую историю применения ультразвуковых пучков их свойства, казалось бы, должны быть полностью исследованными. Однако это не так, и по нескольким причинам. Первая связана с тем, что лишь недавно появились высокоточные экспериментальные средства для изучения пучков. В частности, ранее отсутствовала техника, которая позволила бы осуществить точную количественную проверку используемых в теории предположений об ультразвуковых источниках: не были разработаны средства измерения пространственной структуры полей (миниатюрные широкополосные датчики, системы позиционирования с компьютерным контролем, лазерные виброметры), не хватало вычислительных мощностей для сбора и обработки соответствующих данных измерений. Другая причина - безусловно, одна из главных -появление новых типов ультразвуковых источников и использование на практике новых режимов излучения, включая широкополосные и нелинейные, что обусловлено бурным внедрением акустических пучков в медицинскую практику.

Отдельного анализа заслуживают те современные приложения, в которых используется ультразвук высокой интенсивности [3 ]. Аналогично тому, как изобретение лазеров в 1960-х г.г. привело к рождению нелинейной оптики [4, 5], появление примерно в это же время мощных пьезоэлектрических излучателей дало толчок развитию нелинейной акустики, до этого бывшей скорее теоретической дисциплиной [6, 7]. В отличие от нелинейной оптики, исследования по нелинейной акустике довольно долго носили академический характер. До 1980 г. единственным вошедшим в практику прибором, основанным на нелинейных акустических эффектах, была «параметрическая антенна» для гидроакустической локации - устройство, которое позволяет создавать направленное излучение низкочастотных акустических сигналов за счёт взаимодействия интенсивных волн высокой частоты [8, 9].

В 1980-х г.г. произошёл ещё один качественный скачок в развитии нелинейной акустики - мощный ультразвук стал использоваться в медицинских приложениях. На взгляд автора, среди этих приложений больше всего нового в физику нелинейных волн внесла экстракорпоральная литотрипсия. Соответствующие устройства - литотриптеры -создают фокусированные пучки микросекундных акустических импульсов с пиковым давлением в фокусе, превышающим ЮОМПа. Эта величина всего лишь на порядок меньше внутреннего давления в жидкостях. Важно, что такие интенсивные импульсы создаются не на каких-то уникальных установках, имеющихся в распоряжении единичных лабораторий с высоким бюджетом, а с помощью коммерческих приборов, выпускающихся огромными тиражами. В настоящее время каждая крупная урологическая клиника имеет на своём вооружении литотриптеры. Чем ультразвуковые пучки литотриптеров интересны для физиков? Прежде всего, высоким уровнем акустического давления, который намного превосходит уровень давления в ультразвуковых полях, использовавшихся в предыдущие годы. Сразу после появления литотриптеров был обнаружен ряд нелинейных явлений: ударный характер волн, явление саморефракции, нелинейный сдвиг фокуса, насыщение амплитуды волны в фокусе с ростом подаваемой мощности и другие. Стало ясно, что необходимо развивать теоретические методы анализа этих новых явлений. Другой уникальной особенностью литотрипсии является то обстоятельство, что используемые в ней ультразвуковые импульсы не просто распространяются в среде, а существенным образом воздействуют на неё, вплоть до разрушения. В частности, под влиянием фазы разрежения волны литотриптера из микроскопических зародышей образуются газовые пузырьки миллиметровых размеров, которые затем коллапсируют. При таких коллапсах в среде возникают вторичные акустические импульсы, превышающие по пиковому давлению исходную волну. Кроме того, при падении волны на почечный камень происходит его фрагментация (в чём, собственно, и состоит задача литотрипсии). Эти необычные эффекты, вызванные импульсным ультразвуковым пучком, интересны не только как новые волновые явления, но и как факторы, определяющие эффективность лечения. Отметим, что, несмотря на медицинский характер приложений, упомянутые явления имеют отношение к акустике и механике разрушения, и поэтому являются предметом физического исследования.

Во многих практических приложениях ультразвуковых пучков, включая упомянутую выше литотрипсию, проявляется влияние нелинейного отклика среды на распространение акустической волны. Из-за этого волны конечной (большой) амплитуды становятся ударными, и их временной профиль приобретает пилообразный вид. Свойства таких волн уникальны и во многом не похожи на свойства хорошо изученных нелинейных квазигармонических волн в сильно диспергирующих средах. Не только распространение пилообразных волн, но и их воздействие на среду (нагрев среды, генерация течений, кавитация и т.д.) приобретает ряд особенностей по сравнению со случаем волн с гладким профилем. Один из принципиальных эффектов для волн любой природы -самовоздействие, т.е. явление изменения параметров волны (скорости распространения, коэффициента поглощения) с ростом её амплитуды. В случае ударных акустических волн это, например, тепловое самовоздействие, возникающее за счёт повышенного тепловыделения на ударных участках. Другим примером является самовоздействие за счёт гидродинамических потоков, возникающих при поглощении волны. Для одиночных импульсов, генерируемых ударноволновыми литотриптерами, возникает явление безынерционной саморефракции пучков. Аналогичный эффект наблюдается для пилообразных волн в кубично-нелинейных средах. Такое самовоздействие - одна из основных причин ограничения максимально достижимых интенсивностей при фокусировке мощных импульсных сигналов. Теоретическое исследование этих интересных эффектов связано с решением нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, например уравнения типа Хохлова-Заболотской с различными типами нелинейности среды.

Таким образом, актуальность работы определяется рядом обстоятельств. Во-первых, при использовании ультразвуковых пучков для неразрушающего контроля и особенно в новых медицинских приложениях (ультразвуковой диагностике и терапии) чрезвычайно важно уметь точно предсказывать излучаемое акустическое поле. Это, в свою очередь, требует развития методов количественного измерения структуры колебаний поверхностей ультразвуковых источников. Во-вторых, в связи с разработкой метода ударноволновой литотрипсии и некоторых других методов ультразвуковой терапии в широкую практику вошли акустические пучки, пиковое давление в которых настолько велико, что среда разрушается. Кроме того, при распространении таких мощных волн возникает целый класс новых явлений, обусловленных наличием ударных фронтов. Разработка соответствующих теоретических моделей и проведение экспериментальных исследований указанных эффектов - основа прогресса в этой области.

ЦЕЛИ ДИССЕРТАЦИОННОЙ РАБОТЫ

Основные цели работы могут быть сформулированы следующим образом:

1. Выявление границ применимости интеграла Рэлея для расчёта полей вогнутых источников больших волновых размеров.

2. Разработка количественных методов для характеризации излучающих свойств ультразвуковых источников в жидкостях; в частности, для нахождения распределения скорости на поверхности пьезоэлектрических преобразователей.

3. Исследование явлений взаимодействия со средой мощных акустических импульсов, применяемых в литотрипсии.

4. Исследование нелинейных явлений в пучках пилообразных волн и ударных импульсов, в том числе изучение роли акустической нелинейности в ограничении максимально достижимых давлений при фокусировке импульсных пучков.

5. Теоретический анализ эффектов самовоздействия ударных пилообразных волн в кубично-нелинейных средах с малой дисперсией.

6. Нахождение симметрий уравнения Хохлова-Заболотской, обобщённого на случай произвольной нелинейности среды.

НАУЧНАЯ НОВИЗНА

1. Впервые показано, что классический метод лазерной виброметрии не применим для прямого измерения смещения поверхности объектов, находящихся в жидкости. Причиной тому является акустооптическое взаимодействие в конденсированной среде. При пренебрежении указанным эффектом ошибка измерения смещения может превышать 100%.

2. Предложен и экспериментально обоснован новый метод акустической голографии для определения параметров источников и предсказания их полей в непрерывном и импульсном режимах, базирующийся на записи характеристик волны на поверхности и расчёте обратного распространения с использованием интеграла Рэлея.

3. Предложен двухканальный режим записи сигналов при пассивной регистрации кавитации в поле ударной волны литотриптера, создан соответствующий двухканальный приёмник и с его помощью впервые показано, что при литотрипсии инерционная кавитация возникает не только в жидкости накопительной системы, но и в тканях почки.

4. Впервые показано, что при воздействии ударной волны литотриптера на почечный камень преобладающую роль в создании разрушающих механических напряжений играют не продольные волны, образующиеся на передней поверхности камня, а сдвиговые волны, возникающие на его боковой поверхности.

5. Впервые теоретически предсказан эффект нелинейного насыщения пикового давления при фокусировке акустических импульсов и найдена оценка величины максимально достижимого давления.

6. Впервые теоретически показано, что самофокусировка интенсивных волновых пучков в кубично-нелинейной среде без дисперсии не приводит к существенному росту амплитуды.

7. Впервые проведена групповая классификация эволюционного уравнения для акустических пучков, полученного обобщением уравнения Хохлова-Заболотской (ХЗ) на случай произвольной нелинейности среды.

Совокупность научных результатов диссертации может рассматриваться как существенный вклад в актуальное научное направление «Физика мощных акустических пучков», заключающийся в создании новых методов диагностики источников и установлении новых закономерностей дифракции ультразвуковых пучков высокой интенсивности, их воздействия на среду и самовоздействия.

ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ РАБОТЫ

Практическая ценность работы определяется рядом полученных результатов. Во-первых, показано, что в большинстве практически важных случаев для расчёта полей пьезоэлектрических источников можно пользоваться интегралом Рэлея (хотя он и не является точным решением дифракционной задачи для неплоских источников). Во-вторых, разработан метод акустической голографии, который позволяет проводить характеризацию ультразвуковых источников в жидкости - такой возможности раньше не было. В-третьих, выяснено, что кавитация при литотрипсии является очень важным фактором воздействия ударной волны на биологическую ткань, и создан приёмник, позволяющий регистрировать наличие кавитации с высоким пространственным разрешением. В-четвёртых, показано, что использование в литотрипсии пучков с широкой фокальной перетяжкой является более предпочтительным с точки зрения разрушения конкрементов и минимизации вредного воздействия на окружающую ткань. Наконец, обнаруженный эффект нелинейного насыщения пикового давления при фокусировке импульсов является важной закономерностью, которую следует учитывать при конструировании фокусирующих систем.

ЗАЩИЩАЕМЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ

1. Интеграл Рэлея применим для расчёта полей вогнутых акустических источников больших волновых размеров. Ошибочно использовать распространённое в литературе допущение о равномерном распределении скорости на колеблющейся поверхности при описании ультразвукового излучения пьезоэлектрических источников, поскольку указанное распределение существенно искажается возникающими на краю источника волнами Лэмба.

2. Разработанный в работе новый метод акустической голографии позволяет проводить количественное измерение параметров колебания поверхности ультразвуковых источников, помещённых в жидкость, и расчёт излучаемых акустических полей. Классический метод лазерной виброметрии не может быть применён для прямого измерения смещения поверхностей в жидкостях из-за маскирующего эффекта акустооптического взаимодействия на пути пробного лазерного луча.

3. Акустические импульсы ударноволновых литотриптеров вызывают в жидкости кратковременную кавитацию инерционного типа, при которой вблизи коллапсирующих пузырьков возникают вторичные ударные волны с пиковым давлением, превышающим давление в исходном импульсе. Главной причиной создания в почечных камнях повышенных напряжений, приводящих к образованию макротрещин, являются сдвиговые волны, которые возникают на боковой поверхности камня под действием распространяющейся в жидкости ударной волны.

4. В мощных акустических пучках в режиме образования пилообразных волн возникает тепловое самовоздействие вследствие диссипации энергии волны на ударных участках, причём указанный эффект значительно более выражен по сравнению с самовоздействием гармонических волн той же амплитуды. При фокусировке мощных акустических импульсов возникает явление нелинейного насыщения, заключающееся в том, что с ростом давления в излучаемой волне пиковое давление в фокусе ограничивается на уровне, примерно равном произведению характерного внутреннего давления в жидкости на квадрат угла схождения исходного пучка.

5. При распространении пучков пилообразных волн в кубично-нелинейных средах с малой дисперсией возникает эффект безынерционной самофокусировки, которая, в отличие от случая сильной дисперсии, не приводит к существенному росту амплитуды из-за принципиально неустранимого поглощения на ударных фронтах.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ

Основные результаты исследований, представленных в диссертации, докладывались fh fh • • и обсуждались на следующих научных конференциях: 12 - 15 International Symposiums on Nonlinear Acoustics (Austin, USA, 1990; Bergen, Norway, 1993, Nanjing, China, 1996;

Goettingen, Germany, 1999, Moscow, Russia, 2002, Penn State, USA, 2005), Всероссийских школах-семинарах «Волновые явления в неоднородных средах» (III, V, VI и VII - 1992,

1996, 1998 и 2000, п. Красновидово, Московская обл.), IEEE Ultrasonics Symposiums

Cannes, France, 1994; Seattle, USA, 1995; Toronto, Canada, 1997; Atlanta, USA, 2001;

Honolulu, USA, 2003; Montreal, Canada, 2004; Vancouver, Canada, 2006; New York, USA,

2007); 2-й международной научной школе-семинаре «Динамические и стохастические волновые явления» (Нижний Новгород, 1994), World Congress on Ultrasonics (Berlin,

Germany, 1995), 16th , 17th, and 19th International Congresses on Acoustics (Seattle, USA, 1998;

Rome, Italy, 2001; Madrid, Spain, 2007), semi-annual meetings of the Acoustical Society of

America (ежегодно, начиная с 1995 г.), 9th Congress of World Federation for Ultrasound in

Medicine and Biology (Florence, Italy, 2000), XI, XV - XIX сессиях Российского акустического общества (2001, 2004-2007), 2-й международной конференции

Фундаментальные проблемы физики» (Саратов, 2000), 1st, 3rd- 6th International

Symposiums on Therapeutic Ultrasound (Chongqing, China, 2001; Lyon, France, 2003;

Kyoto, Japan, 2004; Boston, USA, 2005; Oxford, UK, 2006), International Congress on

Cavitation CAV 2003 (Osaka, Japan, 2003), CAV2006 (Wageningen, Netherlands, 2006),

Ultrasonics International (Granada, Spain, 2003), 1-ми 2-м Евразийских конгрессах по медицинской физике и инженерии «Медицинская физика» (Москва, 2001 и 2005), международной конференции «Progress in Nonlinear Science» (Нижний Новгород, 2001),

2-й международной конференции «Frontiers of Nonlinear Physics» (Нижний

Новгород, 2004), международном симпозиуме "Topical Problems of Nonlinear Wave

Physics" (Нижний Новгород, 2005), Forum Acusticum (Budapest, Hungary, 2005),

1st International Urolithiasis Research Symposium (Indianapolis, USA, 2006), 10-й и 11-й школах по моделям механики сплошных сред (Хабаровск, 1989; Владивосток, 1991), международной конференции «Дни дифракции» (Санкт-Петербург, 1996), Ломоносовских чтениях (Москва, МГУ, 1997). Кроме того, материалы диссертации неоднократно докладывались и обсуждались на семинарах кафедры акустики физического факультета

МГУ, Акустического института, Института общей физики РАН, Института прикладной физики РАН, а также представлялись на семинарах в следующих зарубежных научных центрах: The University of Texas at Austin, Austin, USA (1996, 2000), Applied Physics

Laboratory, University of Washington, Seattle, USA (1998-2008), Department of Physics,

Potsdam University, Potsdam, Germany (1999), Physics Department, Royal Marsden Hospital, Sutton, UK (1999), Université du Maine, Le Mans, France (2000), Department of Aerospace and Mechanical Engineering, Boston University, Boston, USA (2000), Institut National de la Santé et de la Recherche Médicale, Unité 556, Lyon, France (2002), The University of Tokyo, Tokyo, Japan (2003), Laboratory of Parametric Imaging, University Paris VI, Paris, France (2004), Applied Mathematics Department, University of Washington, Seattle, USA (2005), Ecole Centrale de Lyon, Lyon, France (2006), Indiana University, Indianapolis, USA (1997-2008).

ПУБЛИКАЦИИ

По теме диссертации опубликовано 44 статьи в ведущих отечественных и зарубежных научных журналах (среди которых «Успехи физических наук», «Журнал экспериментальной и теоретической физики», «Акустический журнал», «Вестник Московского университета», «Квантовая электроника», «The Journal of the Acoustical Society of America», «IEEE Transactions on Ultrasonics, Ferroelectrics, and Frequency Control», «Ultrasound in Medicine and Biology» и другие). Кроме того, по материалам работы опубликовано более 50 статей в трудах конференций и более 40 тезисов докладов.

СТРУКТУРА И ОБЪЁМ ДИССЕРТАЦИИ

Диссертация состоит из введения, восьми глав, заключения и списка литературы. Работа изложена на 296 страницах и содержит 104 рисунка и 11 таблиц. Список литературы включает 398 наименований.

6.5.4 Результаты исследования кавитации в почке

Изображения, полученные с использованием ультразвукового сканера, отчётливо показывали наличие кавитации в жидкости накопительной системы: яркие области повышенного рассеяния появлялись на В-изображениях уже через несколько «выстрелов» литотриптера. При работе ударноволнового источника в безостановочном режиме можно было выделить три фазы развития ярких областей на ультразвуковых изображениях, которые ниже названы режимами с «нерегулярными», «пульсирующими» и «статическими» рассеивателями. Сначала светлые пятна на В-изображении появлялись спорадически и были тусклыми (нерегулярные рассеиватели). Примерно через 150-250 выстрелов вспышки становились ярче и возникали уже при каждом выстреле (пульсирующие рассеиватели). Это пульсирующее изображение рассеивателей росло в размере и становилось более интенсивным в течение следующих 20 - 200 ударных волн, пока яркая область не заполняла всю зону накопительной системы почки. После этого яркая область уже не вспыхивала с каждый выстрелом, а была неизменна (статические рассеиватели). После прекращения посылки ударных волн требовалось несколько минут для её исчезновения.

Сигнал детектора кавитации при наведении его на накопительную систему почки чётко наблюдался в режимах с нерегулярными и пульсирующими рассеивателями. Проверка того, что в первых двух режимах сигнал ДПДК был действительно вызван инерционным коллапсом пузырей, а не рассеянием от каких-либо неоднородностей в теле животного, проводилась путём изменения электрического напряжения, подаваемого на искровой источник литотриптера [127]. Как и должно быть при инерционной кавитации, время коллапса tc увеличивалось с увеличением амплитуды ударной волны (т.е. при увеличении разрядного напряжения). Так, в режиме пульсирующих рассеивателей время коллапса tc составило 300, 400, 430, 460 и 560 ±30 мкс при напряжении на электроде 12, 15, 18, 21 и 24 кВ соответственно.

В режиме статических рассеивателей сигнал пассивного детектора кавитации пропадал, хотя рассеяние от исследуемой области было сильным (рис. 6.20). На этом и

Рис. 6.20. Сигнал ДПДК в режимах пульсирующих (а) и статических (б) рассеивателей. В режиме статических рассеивателей появление одновременных инерционных коллапсов является очень редким событием. Напротив, первый приходящий сигнал, соответствующий рассеянию ударной волны на изначально существующих пузырях, очень велик (б). Это указывает на то, что облако пузырей либо очень плотное, либо состоит из больших пузырей, в результате чего вся энергия ударной волны отражается от облака, не инициируя рост и инерционный коллапс пузырей

Время (мкс) последующем рисунке сигналы обоих каналов пассивного детектора кавитации изображены на одном графике, а для удобства представления сигнал второго канала инвертирован (так же, как это делалось ранее на рис. 6.5). Вполне разумно предположить, что возникающие пузыри не испытывали инерционного роста и коллапса из-за эффекта экранировки ударной волны крупными пузырями. Это наблюдение указывает на важность выбора правильного режима воздействия при ударноволновой литотрипсии.

После проведения наблюдения кавитации в почечной лоханке детектор кавитации наводился на паренхиму. Эксперимент выявил важный факт: инерционная кавитация возникала и в ткани почки. Появление рассеивателей в паренхиме наблюдалось не только на ДПДК, но и на ультразвуковых В-изображениях. Однако, по сравнению с описанной выше кавитацией в накопительной системе, имелось отличие - чтобы кавитация возникла, требовалось послать на исследуемый участок ткани около 1 ООО ударных волн. Как только кавитация начиналась, она сохранялась и при последующих выстрелах, причём её характер был таким же, как в накопительной системе в режиме пульсирующих рассеивателей. При последующем разрезании почки (postmortem) в местах регистрации инерционной кавитации были видны отчётливые области повреждений (гематомы).

На рис. 6.21 показан типичный вид сигнала ДПДК. Наблюдения показали, что время коллапса tc увеличивалось с ростом подаваемого на электрод напряжения: оно составило (340 ±30) мкс при разрядном напряжении 18кВ и (450±60)мкс при 24 кВ. Как уже отмечалось, такая проверка позволяет пользователю ДПДК быть уверенным, что регистрируются сигналы именно от инерционно коллапсирующих пузырей, а не от иных (статических) рассеивателей.

Рис. 6.21. Сигнал ДПДК, зарегистрированный в паренхиме свиной почки. Перед этим на почку было послано более 1000 ударных волн. Амплитуды коллапсов и время жизни пузырей были примерно такими же, как в накопительной системе почки (ср. с рис. 6.20)

В данной главе описан разработанный нами двухканальный пассивный детектор кавитации (ДПДК) для исследования процесса кавитации в поле ударной волны литотриптера. Для регистрации кавитационных событий использовались два конфокальных приёмника (ПДК). Совместная обработка сигналов этих приёмников по

100 200 300 400 500 600 700 800

Время (мкс)

6.6 ЗАКЛЮЧИТЕЛЬНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ времени прихода и амплитуде позволила выделить акустические импульсы от коллапсов, происходящих в объёме диаметром около 5 мм. Такое пространственное разрешение намного превышает разрешение одиночного ПДК, который принимает сигналы из протяжённой сигарообразной области.

Развит метод калибровки ПДК для приближённого измерения пикового давления в сферической ударной волне, возникающей при коллапсе кавитационных пузырьков. Использовался тот факт, что длительность соответствующих акустических импульсов много меньше резонансного периода пьезокерамического приёмника. Для калибровки необходимо было также знать длительность акустического импульса вблизи пузырька, для чего использовались измерения других авторов, проведённых при исследовании пузырьков от лазерной искры. Описанная калибровка не применима к асимметрично коллапсирующим пузырькам. При измерениях гп vivo требуется дополнительная коррекция для учёта поглощения акустической волны в биологической ткани.

Двухканальный ПДК использовался для исследования кавитационных полей двух электрогидравлических литотриптеров: Dornier НМЗ и APL. Измерения были сравнены с предсказаниями модели Гилмора-Акуличева для одиночного пузырька. Подтвердилось, что кавитационный отклик содержит две главных составляющих, имеющих вид коротких акустических импульсов. Первый импульс возникает, когда ударная волна литотриптера достигает фокуса. Второй импульс возникает спустя несколько сотен микросекунд, он вызван коллапсом пузырей после их инерционного роста до миллиметровых размеров. Количественно инерционная кавитация описывалась двумя величинами: характерным временем tc и пиковым акустическим давлением рс. Указанные параметры для обоих литотриптеров оказались примерно одинаковыми. Измеренные характерные времена согласовывались с предсказаниями модели одиночного пузырька после коррекции длительности фазы разрежения в ударной волне литотриптера [256]. Измеренные значения пикового давления рс, излучаемого при первичном инерционном коллапсе, составляли около ЮМПа на расстоянии 10 мм от центра коллапсирующего пузырька. Излучаемое давление рс для литотриптера APL оказалось на 30-100% выше, чем для литотриптера НМЗ; это различие может быть объяснено более высокой температурой воды в ванне НМЗ. Нестабильность от выстрела к выстрелу в значениях давления рс была много большей, чем нестабильность в значениях времени коллапса tc . Расчётные значения давления р*с оказались в 3-4 раза большими, чем измеренные в эксперименте.

Такое расхождение может быть следствием излишней идеализации при теоретическом описании: в модели не учтено демпфирование колебаний пузырька за счёт теплопроводности, возможная несферичность полости на конечной стадии коллапса, нелинейное искажение профиля и соответствующее затухание волны в воде. Однако хотя измеренные значения излучаемого давления рс оказались меньше теоретических, найденная величина рс получилась довольно большой. Действительно, если на расстоянии 10 мм пиковое давление в сферически расходящейся волне составляло 10 МПа, то на расстоянии 1 мм оно, по крайней мере, было не менее 100 МПа, а ближе к центру пузырька и того больше. Напомним, что пиковое давление в ударной волне в фокусе литотриптера не превышало 40 МПа. Таким образом, проведённый эксперимент подтвердил выводы теоретического моделирования о том, что кавитационные пузырьки являются своеобразными концентраторами акустического воздействия и эффект от их коллапсов может оказаться даже более разрушающим, чем эффект от исходной ударной волны литотриптера.

ДПДК использован для исследования пространственного поля обоих литотриптеров. Измерения вдоль оси электрогидравлического источника показали, что инерционные коллапсы наблюдались в области, где отрицательное пиковое давление в ударной волне литотриптера превышало по величине 5 МПа. Наибольшие значения характерного времени коллапса tc и излучаемого давления рс достигались примерно на расстоянии

10-20 мм перед фокусом литотриптера, что хорошо коррелирует с положением максимума отрицательного пикового давления. Эти результаты находятся в согласии с выводом других авторов о том, что инерционная кавитация в фокусе ударноволнового литотриптера обуславливается, главным образом, фазой разрежения в падающей ударной волне.

В противоположность распределениям вдоль оси, результаты измерений поперёк оси литотриптера могут быть объяснены лишь при учёте смещения пузырьков к оси в процессе их схлопывания. Действительно, отрицательное пиковое давление превышало по величине 5 МПа вплоть до расстояния от оси 12 мм, поэтому можно было ожидать, что область источников кавитационных сигналов должна быть около 25 мм в диаметре. Однако излучаемое давление рс резко спадало на расстояниях от оси, больших 5 мм. К тому же на расстояниях, превышающих 5 мм, кавитационные события были очень редки. Отметим, что пространственное разрешение ДПДК составляло именно 5 мм. Величина 1С практически не зависела от поперечной координаты вплоть до 20 мм. Все эти результаты становятся непротиворечивыми, если допустить следующую картину кавитации. После прихода ударной волны в фокальной области литотриптера происходит рост пузырьков. Возникает кавитационное облако с продольным размером 8-10 см и поперечным размером около 2 см, что соответствует области, где отрицательное пиковое давление в ударной волне литотриптера превышает по величине 5 МПа. Пузырьки испытывают инерционный рост и дальнейшее схлопывание в соответствии с предсказаниями модели одиночного пузырька. Однако взаимодействие пузырьков друг с другом приводит к тому, что на стадии сжатия они устремляются в сторону оси литотриптера. В момент коллапса большинство пузырьков оказывается вблизи оси, которая и является источником кавитационных «щелчков», регистрируемых ДПДК. Указанная картина кавитации подтверждается скоростной видеосъёмкой. С помощью ДПДК удалось также зарегистрировать повторные коллапсы, происходящие после основного инерционного коллапса. Скоростная фотография подтвердила наличие повторного роста и исчезновения пузырьков.

После проведения исследования динамики пузырей под действием ударных волн в воде, ДПДК был применён для изучения инерционной кавитации при литотрипсии in vivo. При этом получен ряд принципиальных результатов. Первый и самый главный из них: впервые удалось зарегистрировать инерционную кавитацию, возникающую при литотрипсии в паренхиме почки, т.е. именно в ткани, а не только в жидкости накопительной системы. Оказалось, что указанная кавитация происходит не сразу, а лишь после относительно большого количества выстрелов литотриптера, около 1000. Поскольку инерционный коллапс связан с генерацией очень интенсивных ударных волн, должны возникнуть нежелательные повреждения ткани. Косвенным подтверждением этого эффекта является совпадение местоположения гематом, обнаруживаемое в почке поле её разреза postmortem, с локализацией сильных рассеивателей, обнаруживаемых при ультразвуковой визуализации почки в процессе литотрипсии.

Вторым важным результатом является наблюдение того, что кавитационное облако, возникающее под действием периодически повторяющихся ударных волн в жидкости в накопительной системе почки, эволюционирует со временем до состояния, при котором ударные волны отражаются от него, и инерционные коллапсы перестают возникать. Этот эффект может быть использован для разработки системы контроля кавитации при литотрипсии, сигнализирующей о переходе облака пузырьков в нежелательное состояние, при котором почечные камни экранируются от ударноволнового воздействия, т.е. их фрагментация становится неэффективной, а энергия ударных волн идёт лишь на нежелательное повреждение окружающих тканей почки.

До сих пор нет ясности, каков механизм разрушения ткани почки под действием ударных волн. Наблюдения показывают, что в процессе литотрипсии первыми повреждаются мелкие кровеносные сосуды [279]. Вероятно, после этого область повреждения ткани начинает увеличиваться. Повреждение изолированных кровеносных сосудов и возникновение в них кавитации маловероятно из-за отсутствия зародышей. В качестве возможных причин повреждения ткани в литературе рассматривались ударяющиеся в стенку кровеносных сосудов кумулятивные струйки от коллапсирующих пузырьков и разрыв сосудов как результат начального роста пузырька под действием отрицательного давления в ударной волне [285, 286]. Анализировался также механизм разрушения ткани под действием больших градиентов давления в ударной волне [146]. После первичного разрушения сосудов из них начинает вытекать кровь, это ведёт к образованию наполненных кровью полостей, в которых пузыри уже могут вырасти до миллиметровых размеров, т.е. может развиться инерционная кавитация. Как только возникают условия для такого поведения, инерционные коллапсы могут стать главным механизмом повреждения ткани. На это указывает тот факт, что обнаруживаемые в почке области повреждения ткани хорошо коррелируют с областями, в которых наблюдается кавитация [287, 288].

Механизмы воздействия ударной волны литотриптера на почечные камни

7.1 ВВОДНЫЕ ЗАМЕЧАНИЯ

Как отмечалось в главе 6, ударноволновая литотрипсия используется в клиниках уже более четверти века, а соответствующие инженерные и научные исследования проводятся ещё дольше. Тем не менее, до сих пор нет полного понимания механизмов фрагментации почечных камней под действием ударных волн. Именно этим объясняется тот факт, что, несмотря на введение в практику более 40 новых моделей литотриптеров, эффективность литотрипсии только ухудшается (!); в частности, возрастает доля пациентов, которым приходится назначать повторную процедуру ударноволнового воздействия [289 -291].

Разрушение камней происходит так же, как разрушение любых других хрупких тел, и может рассматриваться как процесс образования, роста и слияния трещин из-за внутренних механических напряжений, возникающих в камне под действием внешней нагрузки. Трещины возникают в местах, где напряжение превышает некоторое критическое значение. При литотрипсии напряжение в камне создаётся многократно повторяющимися ударными волнами, что в конечном счёте и приводит к растрескиванию. Такое снижение прочности под действием периодической нагрузки обычно называется динамической усталостью. В случае литотрипсии наблюдается именно такая ситуация: для растрескивания камня всегда требуются по крайней мере несколько «выстрелов» литотриптера, а для полной фрагментации - порядка тысячи и более ударных волн [292]. Процесс роста трещин в принципе может быть теоретически исследован с использованием существующих методов механики разрушений [147, 141, 146]. Однако самого по себе умения описывать развитие трещин при заданной нагрузке недостаточно для объяснения того, почему камни разрушаются. Требуется также знать, как ударные волны порождают в нём те или иные механические напряжения. Именно анализом механизмов возникновения напряжений в камне мы будем интересоваться в этой главе.

Результаты настоящей главы содержатся в статьях [40,94,95,206,308, 321 - 329, 371 ].

7.2 ПРЯМЫЕ МЕХАНИЗМЫ ВОЗНИКНОВЕНИЯ

МЕХАНИЧЕСКИХ НАПРЯЖЕНИЙ В КАМНЕ ПОД ДЕЙСТВИЕМ УДАРНЫХ ВОЛН

К настоящему времени предложено несколько механизмов фрагментации почечных камней под действием ударных волн литотриптеров. Под механизмами при этом понимаются пути возникновения в камне тех повышенных напряжений, из-за которых он, в конечном итоге, разрушается. Проще всего рассмотреть напряжения в камне при статической нагрузке. Измерения показали, что значения порогов разрушения (напряжений, при превышении которых камень начинает растрескиваться) изменяются в широких пределах [293 -296]. Такой разброс можно объяснить большим разнообразием типов камней и их неоднородной структурой. Поскольку параметры ударной волны литотриптера известны из измерений, то естественно сравнить максимальное и минимальное значения акустического давления с соответствующими статическими порогами разрушения почечного камня, которые также находятся из измерений. Такое сравнение приводит к парадоксальному результату: в большинстве случаев давление в ударных волнах литотриптеров оказывается недостаточным для разрушения камней.

Указанный парадокс объясняется тем, что воздействие ударной волны на камень не может считаться статическим. Действительно, камни в почках не могут быть выведены из организма естественным путём, т.е. являются проблемными, если они имеют размер более 2 мм [297, 298]. Акустические импульсы литотриптеров имеют микросекундную длительность, т.е. их пространственная протяженность сравнима и даже меньше размера камней. Поэтому механическая нагрузка на камень имеет волновой характер. На самом деле волновые эффекты важны и для камней миллиметрового размера, поскольку волна в фокусе литотриптеров имеет ударный фронт, толщина которого не превышает сотых долей миллиметра.

Таким образом, процесс воздействия на камни нельзя считать статическим. Одним из следствий этого является увеличение давления в камне по сравнению с давлением в окружающей жидкости из-за того, что акустический импеданс камня имеет большую величину. Как известно, при нормальном падении акустической волны на границу раздела двух сред с импедансами гх и г2 коэффициент прохождения по давлению составляет Тп = 2г2/(г, + г2). В воде гх=\.5-106 кг/(м2-с), типичное значение импеданса в с 'У почечных камнях составляет г2 =5-10 кг/(м -с); таким образом, Тп ~ 1.5, т.е. волновое усиление существенно. Наряду с указанным выше эффектом имеются и более эффективные волновые механизмы усиления напряжения в камне по сравнению со случаем статического воздействия. К ним относят механизмы «откола» [75,299] и «бокового сдавливания» [300].

Откольный механизм связан с тем, что при отражении ударной волны от тыльной поверхности камня происходит изменение полярности волны в силу того, что граница является акустически мягкой [301]. В приближении плоской волны соответствующий коэффициент отражения равен i?21 = (zx-z2)/(z] +z2)«-0.5. Как показано на рис. 6.8 (глава 6), акустическая волна в фокусе литотриптера представляет собой импульс сжатия микросекундной длительности, за которым следует более длинный импульс разрежения. После отражения от тыльной поверхности импульс сжатия превращается в импульс разрежения, который интерферирует с отрицательной фазой падающей волны. В результате вблизи отражающей поверхности возникает усиление отрицательного давления до величины ртю = р + R2ip+, где р± - пиковые положительное и отрицательное давление в исходной волне. Например, если р+ =50 МПа, р = -10 МПа, то Ртт ~ - 35 МПа. Иначе говоря, отрицательное давление возрастает в несколько раз, от р до ртт. Область достижения ртт находится от отражающей поверхности на расстоянии l = clAt/2, где с1 - скорость продольных волн в камне, At - временная задержка между положительным и отрицательным пиками в акустической волне. Например, если с, =3 мм/мкс (типичное значение для почечных камней), то для At « 2 мкс см. рис. 6.8) указанная формула даёт /«3 мм. Эта величина хорошо соответствует местоположению трещин, наблюдаемых в экспериментах с модельными камнями. В результате возникновения трещины от тыльной поверхности откалывается слой толщиной /, что и объясняет название откольного механизма. Выше предполагалось, что отражающая поверхность камня плоская. В реальности она часто бывает вогнутой; и тогда место достижения максимального растяжения оказывается несколько иным, а само значение pmin может дополнительно увеличиться из-за фокусировки отражённой волны [302 -304].

Как видно из вышесказанного, откол вызван той частью падающей волны, которая входит в камень через его переднюю поверхность. Однако на камень может оказывать воздействие и другая часть падающей волны - та, которая распространяется в жидкости и огибает камень вдоль его боковой поверхности. На эту возможность обратил внимание Айзенменгер, который предложил механизм квазистатического бокового сдавливания («squeezing») [300]. Аргументация в указанной работе была следующей. Область сжатия в ударной волне литотриптера занимает слой толщиной 1-2 мм, что меньше размера камня. Предположим, что акустическая волна в жидкости распространяется гораздо медленнее, чем упругая волна внутри камня. Тогда боковая поверхность камня сжимается, как обручем, под действием повышенного давления в жидкости. Анализ показывает, что при таком сдавливании на торцах камня возникают сильные растягивающие напряжения, способные вызвать появление трещин. Такие трещины должны быть ориентированы параллельно направлению распространения волны (а не перпендикулярно ему, как при отколе).

Экспериментальные наблюдения фрагментации камней под действием ударных волн литотриптеров указывают на возможность проявления и механизма откола, и механизма бокового сдавливания.

Механизм откола подкрепляется тем фактом, что при литотрипсии камни обычно начинают раскалываться на две части, причём раскол происходит перпендикулярно направлению распространения ударной волны ближе к тыльной стороне камня. На рис. 7.1 показано, как обычно происходит раскол модельных цилиндрических камней, изготовленных из цемента марки и 30 [305]. Видно, что трещина возникает на расстоянии от тыльной поверхности примерно равном одной трети длины камня. Такое положение первой трещины часто считают обусловленным откольным механизмом [75, 299, 306].

Свидетельством важности эффекта бокового сдавливания является то обстоятельство, что специально сконструированный литотриптер с увеличенным поперечным размером фокальной области, заметно превышающим диаметр камня, оказался клинически более эффективным [307]. Численное моделирование показало, что боковым сдавливанием можно объяснить наблюдаемый характер разрушения камней [ 300, 308].

Рис. 7.1. Типичный характер разрушения камня под действием ударных волн. Материал камня - цемент марки и 30, его форма цилиндрическая, диаметр 6.5 мм, длина 8.5 мм. В качестве источника ударных волн использовался экспериментальный электрогидравлический литотриптер, аналогичный клиническому литотриптеру марки «Оогшег НМЗ». На передней поверхности (слева) видна точечная коррозия, вероятнее всего из-за кавитации. Камень разбивается на две части вдоль поверхности раскола, расположенной от тыльной поверхности на расстоянии примерно 1/3 длины камня

7.3 НЕПРЯМЫЕ МЕХАНИЗМЫ ВОЗДЕЙСТВИЯ УДАРНЫХ ВОЛН НА КАМЕНЬ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ КАВИТАЦИЕЙ

В дополнение к прямым механизмам, имеется важный непрямой механизм воздействия ударной волны на камень и окружающие ткани - акустическая кавитация. Образующиеся под действием ударной волны уединённые пузырьки или пузырьковые кластеры способны создавать на поверхности камня локализованные области повышенного давления.

Здесь можно выделить два механизма создания высоких давлений. Первый связан с образованием высокоскоростных (кумулятивных) жидких струй при несимметричном коллапсе пузырей или пузырьковых кластеров [309,310,120]. При ударе струи о поверхность возникает гидравлический удар с давлением порядка рс¥ (р и с -плотность и скорость звука в жидкости, V — скорость струи). На рис.7.2 приведены полученные в наших экспериментах фотографии (см. главу 6), которые иллюстрируют указанный эффект образования струи.

460 МКС 470 мкс 480 мкс 490 мкс 500 мкс 510 мкс 520 мкс Линейка (мм) ' V/1

- • * • ' * | ' ' 'I р* • 6 6 6 6 о о л Ж г- I . : г 7// 4 6 4 6 д О о ^ !

Рис. 7.2. Образование кумулятивной струи после инерционного коллапса уединённого пузырька. Приведены последовательные кадры скоростной фотосъёмки двух пузырьков. Время указано сверху над соответствующими кадрами

Второй механизм связан с аномально сильным сжатием жидкости вблизи пузырька и газа внутри пузырька при инерционном коллапсе. При этом образуются сферически расходящиеся вторичные ударные волны, пиковое давление в которых около пузырька заметно превышает давление в исходной волне. Указанный механизм, который был отмечен и проанализирован ещё Рэлеем [14], особенно эффективен при симметричном коллапсе пузырьков. Этот эффект подробно рассматривался в предыдущей главе.

Особенностью кавитационного воздействия на камень является его локальный характер. Область высокого давления существует лишь вблизи коллапсирующего пузырька или в месте удара о камень кумулятивной струи, т.е. кавитация способна создать повышенные напряжения преимущественно на поверхности камня.

Как и в случае прямых механизмов, имеются экспериментальные свидетельства того, что кавитация играет роль в разрушении камней при ударноволновой литотрипсии. Было показано, что камни перестают растрескиваться, если кавитация подавлена путём приложения статического давления [311], при использовании в качестве иммерсионной среды вязкой жидкости [312] и при модификации формы ударной волны [313,314]. Углубления и мелкие трещины на поверхности камня (рис. 7.1) обычно объясняют именно кавитацией. В этой главе нас интересуют, прежде всего, не эти мелкие разрушения, а образование магистральной трещины, приводящей к раскалыванию камня на две части (рис. 7.1). Однако кавитационная эрозия поверхности камня может играть в этом явлении важную роль. Рентгеновская компьютерная томография (СТ) модельных камней из цемента марки ИЗО, подвергшихся воздействию ударных волн от электрогидравлического литотриптера, указывает на то, что магистральная трещина растёт вглубь камня с его поверхности (рис. 7.3) [315].

При исследовании инерционной динамики пузырей вокруг камня нами наблюдалась (рис. 7.4) сильная струя на передней поверхности (белая стрелка), а также кольцо из пузырей на боковой поверхности камня (чёрные стрелки) [268]. Струя имела диаметр около 1 мм. Имеются свидетельства, что скорость таких струй может достигать 100 м/с [316, 317], т.е. при их ударе о поверхность может возникнуть давление рсУ > 100 МПа. Заметим, что в материале камня при этом возникают сдвиговые

Computed Tomography). Камень был подвергнут воздействию нескольких ударных волн от электрогидравлического Рис. 7.4. Высокоскоростная фотография облака литотриптера. (Фотография предоставлена пузырей на передней поверхности камня (снизу) и

Р. Кливлендом) на его тыльной стороне (сверху) напряжения близкой величины, что намного превышает порог прочности. Наши эксперименты также показали, что в результате воздействия ударных волн мелкие трещины образуются на передней и боковой поверхности камня. Эти трещины могут послужить зародышем магистральных трещин, т.е. облегчить процесс фрагментации камня.

7.4 О МОДЕЛИРОВАНИИ ФРАГМЕНТАЦИИ КАМНЕЙ В ЛИТОТРИПСИИ

Численное моделирование может выявить закономерности исследуемого сложного процесса, которые экспериментально можно выявить не всегда. В частности, имеется возможность провести сравнительное исследование роли того или иного фактора, «выключая» в модели конкурирующие факторы и изучая интересующий эффект в чистом виде. К настоящему времени имеется ряд работ по численному моделированию применительно к литотрипсии. В них изучалась роль таких факторов, как частота повторения ударных волн, количество кавитационных пузырьков, форма камня, материал камня, профиль акустической волны, ширина фокальной перетяжки. В работе Тангё и Колониуса проведено согласованное численное моделирование акустического поля и облака кавитационных пузырьков вблизи твёрдой поверхности [318]. Расчёты позволили предсказать оптимальную частоту повторения ударных импульсов для получения максимального давления на поверхности камня. Авторы статьи [319] изучили взаимодействие пузырьков друг с другом вблизи твёрдой поверхности. Дахаке и Грасевски разработали линейную модель для анализа упругих волн в камне, которую они применили для сравнения напряжений, создаваемых волной литотриптера в камнях с круглым и овальным сечением [302,303]. Левёк построил численную модель для описания акустических волн в жидкости и твёрдом теле на основе созданного им ранее численного пакета СЬА\¥РАСК и проанализировал отдельные случаи взаимодействия ударных волн с костями [320].

В наших исследованиях, часть из которых описана в данной главе, использовалось конечно-разностное моделирование линеаризованных уравнений теории упругости для расчёта механических напряжений в камне [308, 321 - 329]. Наряду с численным моделированием проводились эксперименты по ударноволновой фрагментации искусственных камней из цемента ИЗО цилиндрической формы в различных условиях.

7.5 ТЕОРИЯ

Почечные камни в большинстве своём ведут себя как хрупкие твёрдые тела, т.е. вплоть до появления макротрещин пластические деформации незначительны [146, 330]. Это позволяет считать, что уравнения классической теории упругости могут быть использованы для расчёта механических нагрузок, возникающих в камне под действием ударной волны литотриптера. Материал камня и окружающую жидкость можно считать изотропными. При этом уравнение движения имеет вид: где I, у-1, 2, 3, р - плотность среды, = ди1 /Э/ - компоненты скорости частиц среды и, - компоненты вектора смещения), сг - компоненты тензора деформаций. В линейном приближении, справедливом для малых деформаций, упругие силы определяются законом Гука:

Здесь X и - постоянные Ламе (р, - модуль сдвига), а - символ Кронёкера. Поскольку тензор напряжений симметричен, <Уу = <т/; , лишь шесть из девяти компонент тензора являются независимыми.

Ниже будут рассматриваться аксиально-симметричные цилиндрические камни с осью, ориентированной вдоль направления распространения ударной волны. В этом случае удобно использовать полярные координаты (г,г,в), где г иг- поперечная и продольная координаты, в - полярный угол. В силу аксиальной симметрии задачи вектор скорости имеет лишь две компоненты - радиальную (поперечную), л>г, и продольную, и лишь четыре ненулевых компоненты тензора напряжений: т1Г, <тгг, ив0 и <7п. Уравнения (7.1)—(7.2) могут быть записаны в следующем виде, удобном для численного моделирования:

7.2)

7-3)

7.4)

7.5)

3/ г дг дг

V г дг

7.7)

7.6) = ^ — + — ; V дг дг ) М ^ +

7.8)

Поскольку камень окружён жидкостью, при решении задачи необходимо учесть соответствующие граничные условия (для невязкой жидкости это равенство нормальных напряжений и скоростей). Однако при численном моделировании этого можно избежать, если рассматривать совокупность однородных сред (камень и жидкость) как единую неоднородную среду. При таком описании предполагается, что граничные условия автоматически выполняются за счёт заданного на численной сетке неравномерного распределения материальных констант, представляемых через истинные локальные значения или с помощью арифметического осреднения по соседним точкам сетки. При моделировании нами использовался именно этот подход: параметры р,Л и // считались кусочно-постоянными функциями координат. Постоянные в цементе ИЗО были следующими: плотность /7=1700 кг/м , скорость продольных волн с, = л1(Л + 2/и)/р =2630 м/с, скорость сдвиговых волн с5 = *[рТр = 1330 м/с, что соответствует постоянным Ламе Л = 5.8 ГПа и /л =3.9ГПа [296]. Указанные свойства искусственных камней были близки к свойствам почечных камней [331]. Параметры воды принимались следующими: р =1000 кг/м , скорость звука С[ = 1500 м/с, Л =2.25 ГПа. Сдвиговая упругость воды отсутствует: ¡л - 0. Вязкие напряжения считались пренебрежимо малыми.

Для численного интегрирования системы (7.3)-(7.8) входящие в неё дифференциальные уравнения заменялись конечно-разностными. При этом и в пространстве, и во времени использовались смещённые на полшага сетки, обеспечивающие второй порядок точности и устойчивость аппроксимации производных разностями [332, 333]. Начальные условия в камне заключались в равенстве нулю всех компонент напряжения и скорости. Начальные условия в жидкости соответствовали распространяющемуся в направлении камня акустическому импульсу с пространственным профилем, характерным для ударных волн электрогидравлического литотриптера. Волна для простоты предполагалась плоской. Такое предположение хорошо выполняется в фокальной области литотриптера: наблюдения показывают, что в окрестности фокуса из-за эффекта саморефракции ударной волны образуется структура типа «диска Маха» [292, 334], для которой характерен плоский ударный фронт и равномерное поперечное распределение акустического давления. При моделировании считалось, что при t = О ударная волна расположена в жидкости 5 мм левее передней поверхности камня и распространяется вправо. Для такой плоской волны arr = crzz = ав0 = -P\t + (zt -z)/cl], arz = 0, vr=0, и vz = P[t + (z, -z)lc,]j{pcl). Форма падающей на камень акустической волны P(t) в сечении z = z» задавалась в виде:

P(í) = (P0/2)-[l + tanh(í/íi)]-exp(-//í¿)-cos(2^/¿ +я/3), где Р0 - пиковое давление, ts -длительность ударного фронта, а параметры t¡=\.\ мкс и/¿=83.3 кГц задают вид гладкой части профиля волны. В отличие от работы [131], где было предложено использовать такое выражение для аналитической аппроксимации экспериментально наблюдаемой формы волны в фокусе литотриптера типа DornierHM3, здесь добавлен множитель с гиперболическим тангенсом, учитывающий конечную ширину ударного фронта. При расчётах использовалось Р0= 50 МПа, что соответствовало значению пикового давления в используемой установке [335], и длительность ударного фронта =100 не, соответствующая длительности, измеренной в почке свиньи ш vivo [103].

Как уже отмечалось, рассматривались камни цилиндрической формы, изготовленные из цемента U 30. Диаметр камней составлял 6.5 мм, а длина 8.5 мм (в ряде расчётов и экспериментов рассматривались и камни другой длины). Область, в которой проводилось численное моделирование, представляла собой цилиндр диаметром 20 мм и длиной 30 мм, что позволяло за счёт выбора временного окна исключить численные отражения от границ области расчёта. Отражения от границ могли быть также подавлены путём использования идеально согласованных поглощающих слоёв (PML) [336,337]. Типичный пространственный шаг сетки при моделировании составлял hz =hr = 50 мкм. Шаг по времени был равен ht -O.ShJc, « 10 не; этого было достаточно для обеспечения устойчивости и высокой точности.

В качестве параметра, характеризующего механическое воздействие на камень, использовалось наибольшее из значений трёх главных компонент тензора напряжений, которое ниже будет называться «максимальным напряжением» и обозначаться сгтах. В рассматриваемом аксиально-симметричном случае главные значения тензора напряжений составляют alü = (crzz + )/2 ±^]{{aZ2 -стгг)/2)2 +a2rz и =а00.

Максимальное (растягивающее) напряжение <ттах = тах(сг7 , <тт) является подходящей характеристикой для описания воздействия ударной волны на камень, поскольку хрупкие материалы, к которым можно отнести и почечные камни, обычно разрушаются легче при растяжении, чем при сжатии. Наибольшее значение <ттах за всё время воздействия будем называть «пиковым значением максимального напряжения» в данной точке; пространственное распределение этой величины позволяет выявить области с максимальной растягивающей нагрузкой. Отметим, что возможно использовать и другие параметры, такие как максимальная деформация растяжения или максимальное сдвиговое напряжение. Однако анализ показывает, что их распределение выглядит примерно так же, как распределение <ттах, т.е. ничего нового они не дают [308 ]. При моделировании также рассчитывались такие параметры, как дивергенция и ротор скорости, которые позволяли проследить распространение в камне продольных и сдвиговых волн [321 ].

7.6 ИСПОЛЬЗОВАННЫЕ ТЕСТЫ ДЛЯ ПРОВЕРКИ МЕХАНИЗМОВ ФРАГМЕНТАЦИИ КАМНЕЙ

Полная фрагментация камня - многоэтапный процесс. Первой его стадией является возникновение магистральной трещины, приводящее к раскалыванию камня на две части (рис. 7.1). Именно этот важный этап и был предметом рассмотренного ниже экспериментального исследования. При численном моделировании находилось пространственно-временное распределение механических напряжений в камне и окружающей жидкости. Сравнение теории с экспериментом заключалось в том, что предсказанная величина максимального растягивающего напряжения сопоставлялась с количеством ударных волн, необходимых для раскалывания камня, а предсказанное положение точки максимального растягивающего напряжения сравнивалось с местом возникновения трещины.

В лабораторных экспериментах условия воздействия ударных волн на камень можно в определённых рамках изменять, усиливая какой-то конкретный механизм и подавляя остальные. Если при подавлении исследуемого механизма количество ударных волн, необходимых для раскалывания камня, не изменяется, то естественно заключить, что указанный механизм не играет заметной роли в разрушении камня. В работе проверялись следующие гипотезы:

Если преобладающим механизмом воздействия ударных волн на камень является откольный механизм, то камни должны раскалываться поперечной трещиной вблизи тыльного конца, как показано на рис. 7.1 (тест на откол №1). Кроме того, расстояние трещины от тыльной поверхности не должно зависеть от длины камня (тест на откол №2). И, наконец, при устранении части ударной волны, входящей в камень через переднюю поверхность, количество импульсов, необходимых для раскалывания камня, должно увеличиться {тест на откол №3).

Если главным механизмом разрушения камня является боковое сдавливание, то устранение части волны сбоку от камня должно увеличить количество импульсов, требуемых для фрагментации (тест на боковое сдавливание №1). При этом форма передней и задней части камня при одном и том же диаметре не должна играть роли {тест на боковое сдавливание №2). Кроме того, устранение части волны, входящей в камень через его переднюю поверхность, и только этой части, не должно повлиять на эффективность фрагментации, т.е. не должно изменить количество необходимых для раскалывания импульсов {тест на боковое сдавливание №3).

Если основным механизмом появления первой магистральной трещины является кавитация, то теоретически предсказанное напряжение в месте наблюдаемого раскола при воздействии кумулятивной струи на переднюю поверхность камня должно намного превышать напряжение, создаваемое при падении ударной волны на камень в отсутствие кавитации {тест на кавитацию №1). Если поверхностные трещины, образующиеся на боковой поверхности из-за кавитации, важны для образования магистральной трещины, то камни, помещённые в вязкую жидкость (где кавитация подавлена) должны разрушаться медленнее {тест на кавитацию №2). Кроме того, если в вязкую жидкость поместить камень с искусственно нанесённой трещиной на боковой поверхности, то он расколется так же быстро, как и камень без начальных поверхностных трещин, но помещённый в маловязкую среду, где кавитация не подавлена {тест на кавитацию №3).

В таблице 7.1 приведено описание экспериментов, проведённых с целью проверки указанных выше девяти гипотез. В большинстве экспериментов использовались камни из цемента и 30 диаметром 6.5 мм и длиной 8.5 мм. Для усиления или ослабления того или иного эффекта использовались экраны из пробки (толщиной 1-2 мм), хорошо отражающие акустическую волну. При численном моделировании для пробки использовались очень низкие значения скоростей с/=3м/с и с, = 1.5 м/с, что гарантировало почти полное отражение. В ряде экспериментов экран наклеивался на переднюю поверхность камня. В этих случаях экран имел вид диска, диаметр которого совпадал с диаметром камня или был меньше его. В другой серии экспериментов экран окружал камень сбоку; в этом случае экран представлял собой более крупный диск с центральным отверстием, равным диаметру камня, в которое собственно и вставлялся камень.

Тест Исследуемые объекты Поясняющий рисунок

Тест на откол №1 Цилиндрические камни диаметром 6.5 мм и длиной 8.5 мм («стандартные камни») с)

Тест на откол №2 Цилиндрические камни, имеющие одинаковый диаметр 6.5 мм, но разную длину в диапазоне от 8 до 18 мм 0 )

Тест на откол №3 Стандартные камни с прикреплённым к передней поверхности акустически отражающим диском толщиной 1 мм и диаметром 4.5 мм. и

Тест на боковое сдавливание №1 Стандартные камни с широким акустически отражающим диском (его толщина 1 мм, внутренний диаметр 6.5 мм, внешний диаметр 25 мм), закрывающим доступ ударной волне к области сбоку камня, но оставляющим открытой его переднюю поверхность.

Тест на боковое сдавливание №2 Камни диаметром 6.5 мм и длиной 8.5 мм, один конец которых (передний или задний, в зависимости от теста) имеет коническое заострение с углом раскрыва 90°.

Тест на боковое сдавливание №3 Стандартные камни с акустически отражающим диском (толщина 1 мм, диаметр 6.5 мм), полностью закрывающим переднюю поверхность камня и

Тест на кавитацию №1 Цилиндрическая струя воды диаметром 1 мм и скоростью 100 м/с, ударяющая в центр передней поверхности камня (только численное моделирование) —{) )

Тест на кавитацию №2 Стандартные камни, расположенные в глицерине 0 )

Тест на кавитацию №3 Стандартные камни, расположенные в глицерине, при наличии У-образной канавки глубиной 0.5 мм на боковой поверхности камня. Канавка расположена на расстоянии 2, 3 или 4 мм от тыльной поверхности 0)))

Заключение

Ниже сформулированы основные результаты настоящей диссертационной работы.

1. Развиты новые методы исследования ультразвуковых источников больших волновых размеров, позволяющие с высокой точностью характеризовать колебания излучающих поверхностей и предсказывать пространственно-временную структуру излучаемых акустических полей. В рамках этого направления исследований показано следующее.

1.1. Акустическое поле вогнутых пьезокерамических источников больших волновых размеров неправильно предсказывается широко используемой теоретической моделью, основанной на предположении о равномерном распределении скорости излучающей поверхности. Соответствующая ошибка может быть сравнима по величине с самим полем. Главной причиной указанного расхождения теории и эксперимента является неоднородный характер скорости колебаний поверхности излучателя из-за возникновения на краю пьезопластины волн Лэмба. Они распространяются от края к центру пластины и приводят к изменению амплитуды колебательной скорости более чем на 10% (вплоть до 100%-200%) по сравнению с амплитудой толщинной моды колебаний пьезопластины. Эти ошибки отсутствуют в случае пьезокомпозитных источников.

1.2. Интеграл Рэлея, несмотря на его приближённый характер в случае неплоской излучающей поверхности, позволяет с высокой точностью предсказывать излучение вогнутого источника больших волновых размеров, и поэтому может использоваться в приложениях ультразвука в медицине и неразрушающем контроле для расчёта полей фокусирующих источников при умеренных углах фокусировки. Граница области, где интеграл Рэлея неприменим, задаётся огибающей лучей, вышедших из края источника и однократно отражённых от его поверхности. Величина дифракционной поправки к интегралу Рэлея может быть рассчитана на основе развитого в работе численного алгоритма решения уравнения Гельмгольца.

1.3. Классический метод лазерной виброметрии при измерениях в жидкостях даёт неверные результаты, причём ошибка измерения смещения может превышать 100%. Более того, не только абсолютное значение смещения в каждой точке, но и его двумерное распределение вдоль исследуемой поверхности имеет вид, отличающийся от истинного. В частности, на видимой картине вибраций появляется ложная структура с пространственным масштабом, равным длине акустической волны в жидкости. Кроме того, лазерный виброметр показывает наличие смещения в областях, где оно на самом деле отсутствует, а в нестационарном режиме на изображении возникают несуществующие поверхностные волны, распространяющиеся со скоростью звука в жидкости. Причина указанных искажений - акустооптическое взаимодействие в конденсированной среде на пути пробного лазерного луча. Получено аналитическое выражение для функции Грина при лазерной виброметрии как при гармоническом, так и при импульсном возбуждении исследуемой поверхности и показано, что она объясняет все обнаруженные в экспериментах артефакты лазерной виброметрии в жидкости и может быть использована для корректировки данных измерений.

1.4. Предложен, разработан и экспериментально проверен новый метод акустической голографии для определения колебаний поверхности источников и вычисления их полей. Метод основан на использовании интеграла Рэлея для расчёта обратного распространения к источнику исходя из измеренного распределения акустического давления в точках некоторой поверхности перед источником. Подробно исследован как случай монохроматических источников, так и случай излучения импульсов. Проведённые эксперименты показали, что предложенный метод обладает высокой точностью и применим для исследования колебаний поверхностей, визуализации скрытых повреждений, характеризации многоэлементных излучателей и для предсказания их полей.

2. Проведено исследование физических аспектов действия на среду мощных акустических импульсов, использующихся в медицине для дистанционной фрагментации конкрементов. Наряду с исследованием акустического поля, проведено изучение акустической кавитации и механизмов воздействия импульсов на почечные камни.

2.1. Предложен и разработан двухканальный пассивный детектор кавитации для исследования процесса кавитации в поле ударной волны литотриптера. Для регистрации кавитационных событий использовались два конфокальных пьезокерамических приёмника. Совместная обработка сигналов этих приёмников по времени прихода и амплитуде позволила выделить акустические импульсы от коллапсов, происходящих в объёме диаметром около 5 мм. Такое пространственное разрешение намного превышает разрешение традиционно использующихся одиночных приёмников.

2.2. Наблюдаемое поведение газовых пузырьков при кавитации в поле литотриптера согласуется с предсказаниями теоретической модели одиночной сферической полости. В результате роста микроскопических пузырьков до миллиметровых размеров и их последующего коллапса возникают сферически расходящиеся акустические импульсы. Измеренные значения пикового давления, излучаемого при указанном инерционном коллапсе, составляют более 100 МПа на расстоянии 1 мм от центра пузырька, т.е. вблизи коллапсирующих пузырьков акустическое давление превышает исходное давление в падающей волне литотриптера.

2.3. Разработанный детектор кавитации был применён для изучения кавитации при литотрипсии in vivo в экспериментах с животными. Впервые удалось зарегистрировать инерционную кавитацию, возникающую при литотрипсии не только в жидкости накопительной системы, но и в тканях почки. Указанная кавитация начинается не сразу, а лишь после излучения относительно большого количества импульсов литотриптера, около 1000. Тем самым показано, что кавитация является одним из факторов, способным вызвать нежелательные повреждения ткани при литотрипсии.

2.4. Численные и экспериментальные исследования фрагментации искусственных камней из цемента показали, что при воздействии ударной волны литотриптера на камень преобладающую роль в создании разрушающих напряжений играет не продольная волна, образующаяся на передней поверхности камня, а сдвиговая волна, возникающая на боковой поверхности. Генерация сдвиговой волны может быть интерпретирована как динамический эффект бокового сдавливания. При этом волна сжатия в жидкости, оказывающая давление на поверхность камня, распространяется быстрее, чем сдвиговая волна в камне, и поэтому является сверхзвуковым источником, эффективно возбуждающим сдвиговую волну. Сдвиговая волна распространяется от поверхности вглубь камня и концентрируется в центре камня, ближе к тыльной поверхности, создавая там наибольшее растягивающее напряжение. Предложенный механизм разрушения камня экспериментально подтверждается видом магистральной трещины, которая образуется после многократного воздействия на камень, соединяя указанную область повышенного растягивающего напряжения с поверхностью камня.

3. Выполнен цикл работ по теоретическому исследованию волновых пучков в нелинейных средах без дисперсии. Получены следующие результаты.

3.1. Предсказан и исследован один из принципиальных эффектов самовоздействия ударных волн - тепловое самовоздействие, возникающее за счёт диссипации энергии волны на ударных участках. Построена модель стационарной и нестационарной самофокусировки, описывающая поведение акустического пучка пилообразных волн в безаберрационном приближении. Показано, что при переходе от режима гармонической волны к нелинейному режиму с пилообразным профилем волны эффективность самофокусировки существенно увеличивается. Эффект объясняется тем, что мощность тепловыделения при этом оказывается пропорциональной не квадрату, а кубу амплитуды волны.

3.2. Построена теоретическая модель и на её основе исследовано безынерционное самовоздействие при фокусировке пучков ударноволновых импульсов. Показано, что помимо поглощения на ударном фронте происходит самодефокусировка, обусловленная зависимостью скорости фронта от пикового давления. Из-за этого размер фокального пятна может заметно превосходить свое линейное значение, причём он увеличивается с ростом исходного пикового давления в волне. Продольный размер фокального пятна также увеличивается, т.е. нелинейные эффекты в целом размывают эту область. Саморефракция приводит к явлению нелинейного насыщения - ограничению пикового давления в сфокусированных импульсных сигналах. Уровень максимально достижимого давления в фокусе примерно равен произведению характерного внутреннего давления в жидкости на квадрат угла схождения исходного пучка.

3.3. Исследованы эффекты самовоздействия ударных пилообразных волн в кубично-нелинейных средах с малой дисперсией. Свойства соответствующих нелинейных волн уникальны и во многом не похожи на свойства хорошо изученных нелинейных квазигармонических волн в сильно диспергирующих средах. В отсутствие дисперсии самофокусировка на кубичной нелинейности не приводит к существенному росту амплитуды. Хотя пучок заметно сужается и имеет нелинейную перетяжку, фактор усиления невелик (не больше 2) из-за принципиально неустранимого поглощения на ударных фронтах.

3.4. Проведена групповая классификация эволюционного уравнения для акустических пучков, полученного обобщением уравнения Хохлова-Заболотской (ХЗ) на случай произвольной нелинейности среды. Показано, что некоторые найденные симметрии обобщённого уравнения ХЗ не зависят от вида нелинейности; ряд симметрий, напротив, имеет место лишь для специальных видов нелинейности. Наряду с обобщённым уравнением ХЗ рассмотрено уравнение, получающееся из него однократным интегрированием по времени. Для него также получены все точечные симметрии при произвольном виде нелинейности. Доказана лагранжевость этого (проинтегрированного по времени) уравнения и вычислен лагранжиан, соответствующий произвольному виду нелинейности. Это позволило применить теорему Нётер и найти с помощью вычисленных симметрий неизвестные ранее интегралы движения уравнения ХЗ. С их использованием получены соотношения, описывающие моменты акустического поля в случае квадратичной и кубичной нелинейностей. Групповой анализ обобщённого уравнения Хохлова-Заболотской-Кузнецова (ХЗК) показал, что оно обладает меньшим количеством симметрий по сравнению с обобщённым уравнением ХЗ, причём все симметрии уравнения ХЗК являются геометрическими.

1. Физическая энциклопедия (под ред. A.M. Прохорова), т. 1. - М.: Советская энциклопедия, 1988, с. 315, 321.

2. Котельник X., Ли Т. Резонаторы и световые пучки лазеров. ТИИЭР, 1966, т. 54, № 10, с. 95-113.

3. Nonlinear acoustics at the beginning of the 21st century (in 2 volumes). Ed. by O.V. Rudenko and O.A. Sapozhnikov. Moscow: Faculty of Physics, MSU, 2002.

4. Ахманов C.A., Хохлов P.B. Проблемы нелинейной оптики. М.: ВИНИТИ, 1965.

5. Бломберген Н. Нелинейная оптика. Пер. с англ. М.: Мир, 1966.

6. Зарембо JI.K., Красильников В.А. Введение в нелинейную акустику. М.: Наука, 1966, 520 с.

7. Blackstock, D.Т. History of nonlinear acoustics: 1750s-1930s. in: Nonlinear Acoustics, ed. by M.F. Hamilton and D.T. Blackstock, Academic Press, 1997.

8. Новиков Б.К., Руденко О.В., Тимошенко В.И. Нелинейная гидроакустика. Л.: Судостроение, 1981.

9. Pompei, F.J. The use of airborne ultrasonics for generating audible sound beams. -J. Audio Eng. Soc., 1999, v. 47, no. 9, pp. 726-731.

10. Ультразвук в медицине. Физические основы применения. Под ред. К. Хилла, Дж. Бэмбера, Г. тер Хаар. Пер с англ. под ред. Л.Р. Гаврилова, В.А. Хохловой, O.A. Сапожникова. -М.: Физматлит, 2008, 544 с.

11. Кайно Г. Акустические волны. Устройства, визуализация и аналоговая обработка сигналов. М.: Мир, 1990.

12. Mason, W.P. Piezoelectric crystals and their application to ultrasonics. van Nostrand: New York, 1950.

13. Eisenmenger, W. Elektromagnetische Erzeugung von ebenen Druckstößen in Flüssigkeiten. Acustica, 1962, v. 12, pp. 185-202.

14. Стретт Дж. В. (лорд Рэлей). Теория звука (пер. с англ., 2 изд.). М., 1955.

15. Kremkau, F.W. Diagnostic ultrasound: Principles and instruments. Saunders: New York, 2002,428 p.

16. Ультразвуковые преобразователи для неразрушающего контроля, под ред. И.Н. Ермолова. М.: Машиностроение, 1986.

17. Lloyd, P., and Redwood, M. Finite-difference method for the investigation of the vibrations of solids and the evaluation of the equivalent-circuit characteristics of piezoelectric resonators. I and II. J. Acoust. Soc. Am., 1966, v. 39, pp. 346-361.

18. Lloyd, P., and Redwood, M. Finite-difference method for the investigation of the vibrations of solids and the evaluation of the equivalent-circuit characteristics of piezoelectric resonators. III. J. Acoust. Soc. Am., 1966, v. 40, pp. 82-85.

19. Allik, H., Webman, K.M., and Hunt, J.T. Vibrational response of sonar transducers using piezoelectric finite elements. J. Acoust. Soc. Am., 1974, v. 56, pp. 1782-1791.

20. Ansys revision 5.0. Technical description of capabilities (Swanson Analysis Systems, Inc., PA, USA, 1992).

21. Порядковые номера, соответствующие публикациям автора, подчёркнуты

22. Wojcik, G.L., Vaughan, D.K., Abboud, N.N., and Mould Jr., J. Electromechanical modeling using explicit timedomain finite elements. in Proc. of 1993 IEEE Ultrason. Symp. (IEEE, New York, 1993), pp. 1107-1112.

23. Lerch, R., Landes, H., and Kaarmann, H. Finite element modeling of the pulse-echo behaviour of ultrasound transducers. in 1994 Ultrason. Symp. Proc. (IEEE, New York, 1994), pp. 1021-1025.

24. Lanceleur, P., Francois de Belleval, J., and Mercier, N. Modeling of transient deformation of piezoelectric ceramicsio IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. Freq. Contr., 1992, v. 39, pp. 293-301.

25. Белоконь A.B., Наседкин A.B., Соловьев A.H. Новые схемы конечно-элементного динамического анализа пьезоэлектрических устройств. Прикладная математика и механика, 2002. т. 66, № 3, с. 491-501.

26. Наседкин А.В., Рыбянец А.Н. Моделирование структуры представительных объемов пористых пьезокомпозитов и расчет их эффективных характеристик. Изв. вузов, Сев.-Кавк. регион, техн. науки, 2004, спецвыпуск, с. 91-95.

27. Gabor, D. A new microscopic principle. Nature, 1948, v. 161, pp. 777-778.

28. Денисюк Ю.Н. Об отображении оптических свойств объекта в волновом поле рассеянного им излучения. Доклады АН СССР, 1962, т. 144, № 6, с. 1275-1278.

29. Акустическая голография. Пер. с англ. под ред. В.Г. Прохорова. JL: Судостроение, 1975, 304 с.

30. Гик Л.Д. Акустическая голография. Новосибирск: Наука, 1981.

31. Маляровский А.И., Пронюшкин В.И., Пыльнов Ю.В. Формирование изображений методом импульсной акустической голографии, в сб. трудов ИОФ АН "Оптоэлектронная обработка данных дистанционного зондирования" М.: Наука, 1990, т. 22, с. 78-106.

32. Greguss, P. Ultrasonic holograms. Res. Film., 1965, v. 5, no. 4, pp. 330-337.

33. Pepper, D.M. Nonlinear optical phase conjugation. Opt. Eng., 1982, v. 21, pp. 156-183.

34. Fisher, R.A. ed. Optical phase conjugation. Academic: New York, 1983.

35. Зельдович Б.Я., Пилипецкий Н.Ф., Шкунов B.B. Обращение волнового фронта. М.: Наука, 1985, 240 с.

36. Van Atta, L.C. Electromagnetic reflector. U. S. Patent n. 2,908,002; October 6, 1959.

37. Skolnik, M.I., and King, D.D. Self-phasing array antennas. IEEE Trans. Antennas Propag., 1964, AP 12, pp. 142-149.

38. Weeks, W.L. Antenna engineering. McGraw-Hill: New York, 1968, pp. 129-131.

39. Олинер, А. Поверхностные акустические волны. M.: Мир, 1981, 501 с.

40. Jackson, D.R., and Dowling, D.R. Phase conjugation in underwater acoustics. J. Acoust. Soc. Amer., 1991, v. 89, pp. 171-181.

41. Ikeda, O. An image reconstruction algorithm using phase conjugation for diffraction-limited imaging in an inhomogeneous medium. J. Acoust. Soc. Am., 1989, v. 85, pp. 1602-1606.

42. Кустов Л.М., Назаров В.Е., Сутин A.M. Обращение волнового фронта акустической волны на пузырьковом слое. Акуст. журн., 1985, т. 31, № 6, с. 837-839.

43. Кустов Л.М., Назаров В.Е., Сутин A.M. Нелинейное рассеяние звука на пузырьковом слое. Акуст. журн., 1986, т. 32, № 6, с. 804-810.

44. Бункин Ф.В., Кравцов Ю.А., Ляхов Г.А. Акустические аналоги нелинейных оптических явлений. Успехи физ. наук, 1986, т. 149, № 3, с. 391-411.

45. Kargl, S.G., and Marston, P.L. Acoustical phase conjugation experiments: The generation of a reversed wave through three-wave mixing in a layer of stabilized microbubbles. -J. Acoust. Soc. Am., 1988, Suppl. 1, v. 83, p. 5.

46. Брысев А.П., Крутянский Л.И., Преображенский В.Л. Обращение волнового фронта в ультразвуковых пучках. Успехи физ. наук, 1998, т. 168, № 8, с. 877-890.

47. Fink, M. Phase conjugation and time reversal in acoustics. In «Nonlinear Acoustics at the Turn of the Millennium: ISNA15», ed. by W. Lauterborn and T. Kurz, Amer. Inst. Physics, 2000, pp. 33-44.

48. Пономарёв A.E., Булатицкий С.И., Сапожников O.A. Компрессия и усиление ультразвукового импульса, отражённого от одномерной слоистой структуры. -Акуст. журн., 2007, т. 53, № 2, с. 157-167.

49. Пономарёв А.Е., Смагин М.А., Булатицкий С.И., Сапожников О.А. Временное обращение волн в задачах компрессии импульсов и нестационарное акустической голографии. В сб. «Акустика неоднородных сред», под ред. С.А. Рыбака, М., 2005, с. 69-89.

50. Bucker, Н.Р. Use of calculated sound fields and matched-field detection to locate sound sources in shallow water. J. Acoust. Soc. Am., 1976, v. 59, pp. 368-373.

51. Baggeroer, A.B., Kuperman, W.A., and Schmidt, H. Matched-field processing: Source localization in correlated noise as an optimum parameter estimation problem. -J. Acoust. Soc. Am., 1988, v. 83, no. 2, pp. 571-587.

52. Goodman, J.W. Introduction to Fourier Optics. Mc-Graw Hill: New York, 1968.

53. Williams, E.G. Fourier Acoustics: Sound Radiation and NAH. London: Academic, 1999.

54. Stepanishen, P.R., and Benjamin, K.S. Forward and backward projection of acoustic fields using FFT methods. J. Acoust. Soc. Am., 1982, v. 71, pp. 803-812.

55. Forbes, M., Letcher, S.V., and Stepanishen, P.R. A wave vector, time-domain method of forward projecting time-dependent pressure fields. J. Acoust. Soc. Am., 1991, v. 90, pp. 2782-2793.

56. Vecchio, C.J., and Lewin, P.A. Finite amplitude acoustic propagation modeling using the extended angular spectrum method. J. Acoust. Soc. Am., 1994, v. 95, no. 5, pp. 2399-2408.

57. Hald, J. STSD A unique technique for scan-based near-field acoustic holography without restrictions on coherence. - Bruel & Kjasr Technical Review, 1989, no. 1.

58. Hald, J. Use of Non-Stationary STSF for the analysis of transient engine noise radiation. -Bruel & Kjser, Skodsborgvej 307, DK-2850 Naerum, Denmark, 1999.62. http://www.bksv.com/1052.asp

59. Williams, E.G., and Maynard, J.D. Holographic imaging without the wavelength resolution limit. Phys. Rev. Lett., 1980, v. 45, pp. 554-557.

60. Gardner, B.K., and Bernhard, R.J. A noise source identification technique using an inverse Helmholtz integral equation method. ASME Journal of Vibration, Acoustics, Stress, and Reliability in Design, 1988, v. 110, pp. 84-90.

61. Kim, G.-T., and Lee, B.-T. 3-D sound source reconstruction and field reproduction using the Helmholtz integral equation. J. of Sound and Vibration, 1990, v. 136, pp. 245-261.

62. Bai, M.R. Application of BEM (boundary element method)-based acoustic holography to radiation analysis of sound sources with arbitrarily shaped geometries. -J. Acoust. Soc. Am., 1992, v. 92, pp. 533-549.

63. Williams, E.G., Houston, B.H., Herdic, P.C., Raveendra, S.T., and Gardner, B. Interior near-field acoustical holography in flight. J. Acoust. Soc. Am., 2000, v. 108, pp. 1451-1463.

64. Wang, Z., and Wu, S.F. Helmholtz equation-least-squares method for reconstructing the acoustic pressure field. J. Acoust. Soc. Am., 1997, v. 102, pp. 2020-2032.

65. Wu, S.F. On reconstruction of acoustic pressure fields using the Helmholtz equation least squares method. J. Acoust. Soc. Am., 2000, v. 107, pp. 2511-2522.

66. Kang S.-C., and Ih, J.-G. Use of non-singular boundary integral formulation for reducing errors due to near-field measurements in the boundary element method based near-field acoustic holography. J. Acoust. Soc. Am., 2001, v. 109, pp. 1320-1328.

67. Fan, X., Moros, E.G., and Straube, W.L. Acoustic field prediction for a single planar continuous-wave source using an equivalent phased array method. J. Acoust. Soc. Am., 1997, v. 102, no. 5, pp. 2734-2741.

68. Ebbini, E., and Cain, C.A. Multiple-focus ultrasound phased array pattern synthesis: Optimal driving-signal distribution for hyperthermia. IEEE Trans. Ultrason. Ferroelectr. and Freq. Control, 1989, v. 36, pp. 540-548.

69. Ebbini, E., and Cain, C.A. A spherical-section ultrasound phased array applicator for deep localized hyperthermia. IEEE Trans. Biomed. Eng., 1991, v. 38, pp. 634-643.

70. Pearle, M., Calhoun, E., Curhan, G., et al. Urological diseases in America project: Urolithiasis. J. Urology, 2005, v. 173, no. 3, pp. 848-857.

71. Extracorporeal shock wave lithotripsy: New aspects in the treatment of kidney stone disease, edited by C. Chaussy, Basel: S Karager, 1982.

72. Lingeman, J.E. Extracorporeal shock wave lithotripsy. Development, instrumentation, and current status. Urol. Clin. North Am., 1997, v. 24, pp. 185-211.

73. Moody, J.A., Evan, A.P., and Lingeman, J.E. Extracorporeal Shockwave lithotripsy. -in: Comprehensive Urology, ed by R.M. Weiss, N.J.R. George, and P.H. O'Reilly, Mosby: New York, 2001, pp. 623-636.

74. Siroky, M.B., Oates, R.D., and Babayan, R.K. Handbook of urology: diagnosis and therapy. Lippincott: Williams & Wilkins, 2004.

75. Delius, M., Ueberle, F., and Gambihler, S. Destruction of gallstones and model stones by extracorporeal shock waves. Ultrasound Med. Biol., 1994, v. 2, no. 3, pp. 251-258.

76. Thiel, M. Application of shock waves in medicine. Clinical Orthopedy, 2001, v. 387, pp. 18-21.

77. Lingeman, J.E., Kim, S.C., Kuo, R.L., McAteer, J.A., and Evan, A.P. Shockwave lithotripsy: anecdotes and insights. J. of Endourology, 2003, v. 17, no. 9, pp. 687-693.

78. Coleman, A.J., and Saunders, J.E. A review of the physical properties and biological effects of the high amplitude acoustic fields used in extracorporeal lithotripsy. -Ultrasonics, 1993, v. 31, pp. 75-89.

79. Delius, M. Twenty years of shock wave research at the Institute for Surgical Research. -Eur. Surg. Res., 2002, v. 34, no. 1-2, pp. 30-36.

80. Zhu, S.L., Cocks, F.H., Preminger, G.M., and Zhong, P. The role of stress waves and cavitation in stone comminution in shock wave lithotripsy. Ultrasound Med. Biol., 2002, v. 28, no. 5, pp. 661-671.

81. Юткин JI.A. Электрогидравлический эффект.- M., Л.: Машгиз, 1955.

82. Юткин Л.А. Электрогидравлический эффект и его применение в промышленности. Л.: Машиностроение, 1986, 253 с.

83. Малюшевский П.П. Основы разрядно-импульсной технологии. Киев: Наукова Думка, 1983, 272 с.

84. Goldberg, V. Eine neue Methode der Harnsteinzertrummerungelektrohydraulische Lithotripsie. Urologe B, 1979, v. 19, pp. 23-27.

85. Nachef, S., Cathignol, D., and Birer, A. Piezoelectric electronically focused shock wave generator. J. Acoust. Soc. Am., 1992, v. 92, no. 4, Pt. 2, p. 2292.

86. Sferruzza, J.P., Birer, A., and Cathignol, D. Generation of very high pressure pulses at the surface of a sandwiched piezoelectric material. Ultrasonics, 2000, v. 38, no. 10, pp. 965-968.

87. Руденко O.B., Сапожников O.A. Мощные акустические пучки: самовоздействие разрывных волн, фокусировка импульсов и экстракорпоральная литотрипсия. Вест. Моск. ун-та, сер. 3. физ.-астр., 1991, т. 32, № 1, с. 3-17.

88. Андреев В.Г., Вероман В.Ю., Денисов Г.А., Руденко О.В., Сапожников О.А. Нелинейно-акустические аспекты экстракорпоральной литотрипсии. Акуст. журн., 1992, т. 38, №4, с. 588-593.

89. Kawahara, М., Kambe, К., Kurosu, S., Orikasa, S., and Takayama, К. Extracorporeal stone disintegration using chemical explosive pellets as an energy source of underwater shock wavesio J. of Urology, 1986, v. 135, pp. 814-817.

90. Preston, R.C., Bacon, D.R., Livett, A.J., and Rajendran, K. PVDF membrane hydrophone performance properties and their relevance to the measurement of the acoustic output of medical ultrasonic equipment. J. Phys. E., 1983, v. 16, pp. 786-796.

91. Coleman, A.J., and Saunders, J.E. A survey of the acoustic output of commercial extracorporeal shock wave lithotripters. Ultrasound Med. Biol., 1989, v. 15, pp. 213-227.

92. Stardenraus, J., and Eisenmenger, W. Fiber-optic probe hydrophone for ultrasonic and shock-wave measurements in water. Ultrasonics, 1993, v. 31, no. 4, pp. 267-273.

93. Руденко O.B., Солуян С.И. Теоретические основы нелинейной акустики. М.: Наука, 1975.

94. Андреев В.Г., Пищальников Ю.А., Сапожников О.А., Хохлова В.А., Кливлэнд P.O. Диагностика релаксирующей среды акустическим импульсом с ударным фронтом. -Акуст. журн., 1999, т. 45, № 1, с. 13-19.

95. Plotkin, К.J., and George, A.R. Propagation of weak shock waves through turbulence. -J. Fluid Mechanics, 1972, v. 54, p. 449-467.

96. Cleveland, R.O., Lifshitz, D.A., Connors, B.A., Evan, A.P., Willis, L.R., and Crum, L.A. In vivo pressure measurements of lithotripsy shock waves in pigs. Ultrasound Med. Biol., 1998, v. 24, no. 2, pp. 293-306.

97. Ландау Л.Д., Лнфшиц Е.М., Гидродинамика, 3-е издание. М.: Наука. 1986.

98. Курант Р., Фридрихе К. Сверхзвуковое течение и ударные волны. М.: ИЛ, 1950.

99. Розенберг Л.Д. Звуковые фокусирующие системы, М.-Л.: Изд-во АН СССР, 1949, 112 с.

100. Розенберг Л.Д. Фокусирующие излучатели ультразвука, в кн.: Источники мощного ультразвука, М.: 1967 (Физика и техника мощного ультразвука, кн. 1), 380 с.

101. Каневский И.Н. Фокусирование звуковых и ультразвуковых волн. М.: Наука, 1977, 366 с.

102. Tavakkoli, J., Cathignol, D., Souchon, R., and Sapozhnikov, O.A. Modeling of pulsed finite-amplitude focused sound beams in time domain. J. Acoust. Soc. Am., 1998, v. 104, no. 4, pp. 2061-2072.

103. Ахманов C.A., Сухоруков А.П., Хохлов P.В. Самофокусировка и дифракция света в нелинейной среде. Успехи физ. наук, 1967, т. 3, № 1, с. 19-70.

104. Ginter, S., Liebler, М., Steiger, Е., Dreyer, Т., and Riedlinger, R.E. Full-wave modeling of therapeutic ultrasound: nonlinear ultrasound propagation in ideal fluids. -J. Acoust. Soc. Am., 2002, v. 111, no. 5, pp. 2049-2059.

105. Averkiou, M.A., and Cleveland, R.O. Modeling of an electrohydraulic lithotripter with the KZK equation. J. Acoust. Soc. Am., 1999, v. 106, no. 1, pp. 102-112.

106. Физика и техника мощного ультразвука, под ред. Розенберга Л.Д., кн. 2, Мощные ультразвуковые поля. М.: Наука, 1968.

107. Hart, T.S., and Hamilton, M.F. Nonlinear effects in focused sound beams. -J. Acoust. Soc. Am., 1988, v. 84, no. 4, pp. 1488-1496.

108. Лаврентьев Э.В., Кузян O.H. Взрывы в море. Л.: Судостроение, 1977.

109. Наугольных К.А., Рой Н.А. Электрические разряды в воде. М.: Наука, 1971.

110. Аскарьян Г.А., Королев М.Г., Юркин А.В. Генерация мощных ультразвуковых импульсов плоской или вогнутой фокусирующей поверхностью, взрываемой током или лазерным пучком. Письма в ЖЭТФ, 1990, т. 51, № 11, с. 586-590.

111. Жилейкин Я.М., Осипик Ю.И. О распространении сфокусированных акустических импульсов в нелинейных средах. В кн.: Современные проблемы математического моделирования. М.: МГУ, 1984, с. 152-159.

112. Сапожников О.А. Фокусировка мощных акустических импульсов. Акуст. журн., 1991, т. 37, №4, с. 760-769.

113. Crum, L.A. Cavitation microjets as a contributory mechanism for renal calculi disintegration in ESWL. J. of Urology, 1988, v. 140, pp. 1587-1590.

114. Vogel, A., and Lauterborn, W. Acoustic transient generation by laser-produced cavitation bubbles near solid boundaries. J. Acoust. Soc. Am., 1988, v. 84, pp. 719-731.

115. Sass, W., Braunlich, M., Dreyer, H.-P., Matura, E., Folberth, W., Priesmeyer, H.-G., and Seifert, J. The mechanisms of stone disintegration by shock waves. Ultrasound Med. Biol., 1991, v. 17, pp. 239-243.

116. Delacretaz, G., Rink, K., Pittomvils, G., Lafaut, J. P., Vandeursen, H., and Boving, R. Importance of the implosion of ESWL-induced cavitation bubbles. Ultrasound Med. Biol., 1995, v. 21, pp. 97-103.

117. Delius, M., Denk, R., Berding, C., Liebich, H., Jordan, M., and Brendel, W. Biological effect of shock waves: cavitation by shock waves: cavitation by shock waves in piglet liver. Ultrasound Med. Biol., 1990, v. 16, pp. 467-472.

118. Dalecki, D., Raeman, C.H., Child, S.Z., Carstensen, E.L. A test for cavitation as a mechanism for intestinal hemorrhage in mice exposed to a piezoelectric lithotripter. -Ultrasound Med. Biol., 1996, v. 22, pp. 493-496.

119. Coleman, A.J., Choi, M.J., and Saunders, J.E. Detection of acoustic emission from cavitation in tissue during clinical extracorporeal lithotripsy. Ultrasound Med. Biol., 1996, v. 22, pp. 1079-1087.

120. Lord Rayleigh. On the pressure developed in a liquid during the collapse of a spherical cavity. Philosophical Magazine, 1917, v. 34, pp. 94-98.

121. Gilmore, F.R. The growth or collapse of a spherical bubble in a viscous compressible liquid (California Institute of Technology, Pasadena, CA), 1952, Report no. 26-4, pp. 1-40.

122. Акуличев B.A. Пульсации кавитационных полостей, в кн. Физика и техника мощного ультразвука, часть IV, т.2: Мощные ультразвуковые поля, под ред. Л. Д. Розенберга, М.: Наука, 1968.

123. Church, С.С. A theoretical study of cavitation generated by an extracorporeal shock wave lithotripter. J. Acoust. Soc. Am., 1989, v. 86, pp. 215-227.

124. Matula, T.J., Hilmo, P.R., Storey, B.D., and Szeri, A.J. Radial response of individual bubbles subjected to shock wave lithotripsy pulses in vitro. Phys. Fluids, 2002, v. 14, no. 3, pp. 913-921.

125. Ding, Z., and Gracewski, S.M. Response of constrained and unconstrained bubbles to lithotripter shock wave pulses. J. Acoust. Soc. Am., 1994, v. 96, no. 6, pp. 3636-3644.

126. Taleyarkhan, R.P., West, C.D., Cho, J.S., Lahey R.T. Jr., Nigmatulin, R.I., and Block, R.C. Evidence for nuclear emissions during acoustic cavitation. Science, 2002, v. 295, pp. 1868-1873.

127. Coleman, A.J., Choi, M.J., Saunders, J.E., and Leighton, T.G. Acoustic emission and sonoluminescence due to cavitation at the beam focus of an electrohydraulic shock wave lithotripter. Ultrasound Med. Biol., 1992, v. 18, pp. 267-281.

128. Cleveland, R.O., Sapozhnikov, O.A., Bailey, M.R., and Crum, L.A. A dual passive cavitation detector for localized detection of lithotripsy-induced cavitation in vitro. -J. Acoust. Soc. Am., 2000, v. 107, no. 3, pp. 1745-1758.

129. Zhong, P., Cioanta, I., Cocks, F.H., and Preminger, G.M. Inertial cavitation and associated acoustic emission produced during electrohydraulic shock wave lithotripsy. J. Acoust. Soc. Am., 1997, v. 101, pp. 2940-2950.

130. Barenblatt, G.I. The mathematical theory of equilibrium cracks in brittle fracture. -Adv. Appl. Mech., 1962, v. 7, pp. 55-129.

131. Ortiz, M. Microcrack coalescence and macroscopic crack growth initiation in brittle solids. Int. J. Solids Structures, 1988, v. 24, pp. 231-250.

132. Работнов Ю.Н. Введение в механику разрушения. М.: Наука, 1987, 80 с.

133. Партон В.З. Механика разрушения: От теории к практике. М.: Наука, 1990, 240 с.

134. Матвиенко Ю.Г. Модели и критерии механики разрушения. М.: Физматлит, 2006, 328 с.

135. Lokhandwalla, М., and Sturtevant, В. Fracture mechanics model of stone comminution in ESWL and implications for tissue damage. Phys. Med. Biol., 2000, v. 45, no. 7, pp. 1923-1940.

136. Макклинток Ф., Аргон А. Деформация и разрушение материалов. Пер. с англ. под ред. Е.М. Морозова и Б.М. Струнина. -М.: Мир, 1970, 443 с.

137. Власов С.Н., Таланов В.И. Самофокусировка волн. Изд. ИПФ РАН, Н. Новгород, 1997.

138. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977.

139. Таланов В.И. О самофокусировке электромагнитных волн в нелинейных средах. -Изв. Вузов. Радиофизика, 1964, т. 7, № 5, с. 564-565.

140. Таланов В.И. О самофокусировке волновых пучков в нелинейных средах. Письма в ЖЭТФ, 1965, т. 2, № 5, с. 218-222.

141. Беспалов В.И., Таланов В.И. О нитевидной структуре света в нелинейных жидкостях. Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 3, № 12, с. 471-476.

142. Fink, М. Time-reversed acoustics. Scientific American, November 1999, pp. 91-97.

143. Hynynen, K. Focised ultrasound surgery guided by MRI. Science and Medicine, 1996, v. 3, no. 5, pp. 1-12.

144. Fink, M. The e-Journal of Nondestructive Testing and Ultrasonics, 1998, v. 3, no. 4, p. 1 http://www.ndt.net/article/0498/fink/fink.htm

145. Ing, R.K., and Fink, M. Self-focusing and time recompression of Lamb waves using a time reversal mirror. Ultrasonics International, 1998, v. 36, pp. 179-186.

146. Ing, R.K., Fink, M., and Casula, O. Self-focusing Rayleigh wave using a time reversal mirror. Appl. Phys. Lett., 1996, v. 68, no. 2, pp. 161-163.

147. Руденко О.В. Нелинейные пилообразные волны. Успехи физ. наук, 1995, т. 165, №9, с. 1011-1036.

148. Буров В.А., Красильников В.А. Непосредственное наблюдение искажения формы интенсивных ультразвуковых волн в жидкости. ДАН СССР, 1958, т. 118, №5, с. 920-923.

149. Runyan, L.J., and Kane, E.J. Sonic boom literature survey. Fed. Av. Admin. Rep. FAA-RD-73-129-11, AD771-274, 1973.

150. Rudenko, O.V., Sapozhnikov, O.A. Thermal self-focusing of sound beams. In: Nonlinear Acoustics, ed. by K.A.Naugol'nykh and L.A.Ostrovsky, American Institute of Physics, NY, 1994, pp. 104-137.

151. Руденко O.B., Сапожников O.A. Явления самовоздействия пучков волн, содержащих ударные фронты. Успехи физ. наук, 2004, т. 174, № 9, с. 973-989.

152. Заболотская Е.А., Хохлов Р.В. Квазиплоские волны в нелинейной акустике ограниченных пучков. Акуст. журн., 1969, т. 15, № 1, с. 40-47.

153. Новиков Б.К., Руденко О.В., Солуян С.И. Анализ параметрического излучателя ультразвука методом нелинейного уравнения Хохлова-Заболотской. Программа VIII Всесоюз. совещания по квантовой акустике и акустоэлектронике, Казань, 1974.

154. Руденко О.В. Хохлова-Заболотской уравнение, в кн. Физическая энциклопедия в 5-ти томах, т. 5, под ред. A.M. Прохорова. М.: Сов. Энциклопедия, 1998, с. 415.

155. Руденко О.В., Сапожников О.А. Безынерционная самофокусировка недиспергирующих волн с широким спектром. Квантовая электроника, 1993, т. 20, № 10, с. 1028-1030.

156. Руденко О.В., Сапожников О.А. Волновые пучки в кубично нелинейных средах без дисперсии. ЖЭТФ, 1994, т. 106, № 2 (8), с. 395-413.

157. Planat, М., and Hoummady, М. Observation of soliton-like envelope modulations generated in an anisotropic quartz plate by metallic interdigital transducers. -Appl. Phys. Lett., 1989, v. 55, no. 2, pp. 103-105.

158. Mozhaev, V. Effects of self-action unexplored field of nonlinear acoustics of solid surfaces, in Physical Acoustics, ed. by O. Leroy and M.A. Breazeale. - Plenum Press, NY, 1991, pp. 523-527.

159. Zabolotskaya, E.A., Hamilton, M.F., Ilinskii, Y.A., and Meegan, G.D. Modeling of nonlinear shear waves in soft solids. J. Acoust. Soc. Am., 2004, v. 116, no. 5, pp. 2807-2813.

160. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1978.

161. Максимов А.О. Симметрия уравнения Рэлея и анализ нелинейных пульсаций газовых пузырьков в жидкости. Акуст. журн., 2004, т. 48, № 6, с. 805-812.

162. Ибрагимов Н.Х., Руденко О.В. Принцип априорного использования симметрий в теории нелинейных волн. Акуст. журн., 2004, т. 50, № 4, с. 481-495.

163. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. М.: Наука, 1983.

164. Виноградов A.M., Красильщик И.С., Лычагин В.В. Введение в геометрию нелинейных дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1986.

165. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989.

166. Виноградов A.M., Воробьёв Е.М. Применение симметрий для нахождения точных решений уравнения Хохлова-Заболотской. Акуст. журн., 1976, т. 22, № 1, с. 23-27.

167. Kodama, Y. A method for solving the dispersionless KP equation and its exact solutions. -Phys. Lett. A., 1988, v. 129, no. 4, pp. 223-226.

168. Chowdhury, A.R., and Nasker, M. Towards the conservation laws and Lie symmetries for the Khokhlov-Zabolotskaya equation in three dimensions. J. Phys. A: Math. Gen., 1986, v. 19, pp. 1775-1781.

169. Schwarz, F. Symmetries of the Khokhlov-Zabolotskaya equation. J. Phys. A: Math. Gen., 1987, v. 20, pp. 1613-1614.

170. Hereman, W., Steeb W.-H., and Euler, N. Comment on 'Towards the conservation laws and Lie symmetries for the Khokhlov-Zabolotskaya equation in three dimensions'. -J. Phys. A: Math. Gen., 1992, v. 25, pp. 2417-2418.

171. O'Neil, H.T. Theory of focusing radiators. J. Acoust. Soc. Am., 1949, v. 21, no. 5, pp. 516-526.

172. Cathignol, D., Sapozhnikov, O.A., and Theillere, Y. Comparison of acoustic fields radiated from piezoceramic and piezocomposite focused radiator. J. Acoust. Soc. Am., 1999, v. 105, no. 5, pp. 2612-2617.

173. Cathignol, D., Sapozhnikov, O.A., and Zhang, J. Lamb waves in piezoelectric focused radiator as a reason for discrepancy between О'Neil's formula and experiment. J. Acoust. Soc. Am., 1997, v. 101, no. 3, pp. 1286-1297.

174. Coulouvrat, F. Continuous field radiated by a geometrically focused transducer: Numerical investigation and comparison with an approximate model. J. Acoust. Soc. Am., 1993, v. 94, no.3, Pt. 1, pp. 1663-1675.

175. Шендеров E.JI. Излучение и рассеяние звука. Л.: Судостроение, 1989.

176. Катиньоль Д., Сапожников О.А. О применимости интеграла Рэлея к расчёту поля вогнутого фокусирующего излучателя. Акуст. журн., 1999, т. 45, № 6, с. 816-824.

177. Сапожников О.А., Синило Т.В. Акустическое поле вогнутой излучающей поверхности при учёте дифракции на ней. Акуст. журн., 2002, т. 48, № 6, с. 813-821.

178. Апельцин В.Ф., Кюркчан А.Г. Аналитические свойства волновых полей. М.: МГУ, 1990.

179. Rudgers, A.J. Application of a Neumann-series method to two problems of acoustic radiation theory that are formulated in terms of Green's functions. J. Acoust. Soc. Am., 1986, v. 79, no. 5, pp. 1211-1222.

180. Williams, A.O., Jr., Acoustic intensity distribution from a "piston" source.—II. The concave piston. J. Acoust. Soc. Am., 1946, v. 17, pp. 219-227.

181. Madsen, E.L., Goodsitt, M.M., and Zagzebski, J.A., Continuous waves generated by focused radiators. J. Acoust. Soc. Am., 1981, v. 70, pp. 1508-1517.

182. Lucas, B.G., and Muir, T.G. The field of a focusing source. J. Acoust. Soc. Am., 1982, v. 72, pp. 1289-1296.

183. Mair, H.D., and Hutchins, D.A. Axial focusing by phased concentric annuli. in Progress in Underwater Acoustics: Proceedings of the Twelfth International Congress on Acoustics, edited by H. M. Merklinger, Plenum, New York, 1987, pp. 619-626.

184. Gavrilov, L.R., Dmitriev, Y.N., and Solontsova, L.V. Use of focused ultrasonic receivers for remote measurements in biological tissues. J. Acoust. Soc. Am., 1988, v. 83, pp.1167-1179.

185. Layton, M.R., Carome, E.F., Hardy, H.D., and Bucaro, J.A. Effects of diffraction on stress puise propagation. J. Acoust. Soc. Am., 1978, v. 64, no. 1, pp. 250-256.

186. Hayman, A.J. and Weight, J.P. Transmission and reception of short ultrasonic pulses by circular and square transducers. J. Acoust. Soc. Am., 1979, v. 66, no. 4, pp. 945-951.

187. Baboux, J.C., Lakestani, F., and Perdrix, M. Theoretical and experimental study of the contribution of radial modes to the pulsed ultrasonic field radiated by a thick piezoelectric disk. J. Acoust. Soc. Am., 1984, v. 75, no. 6, pp. 1722-1731.

188. Jia, X., Berger, J., and Quentin, G. Experimental investigation of Lamb waves on pulsed piezoelectric transducers and their ultrasonic radiation into liquids. J. Acoust. Soc. Am., 1991, v. 90, no. 2, Pt. l,pp. 1181-1183.

189. Riera-Franco de Sarabia, E., Ramos-Fernandez, A., and Rodriguez-Lopez, F. Temporal evolution of transient transverse beam profiles in near-field zones. Ultrasonics, 1994, v. 32, no. 1, pp. 47-56.

190. Delannoy, В., Bruneel, C., Haine, F., and Torguet, R. Anomalous behavior in the radiation pattern of piezoelectric transducers induced by parasitic Lamb wave generation. J. Appl. Phys., 1980, v. 51, no. 7, pp. 3942-3948.

191. Викторов И.А. Физические основы применения ультразвуковых волн Рэлея и Лэмба в технике. М.: Наука, 1966.

192. Гайдуков Ю.П., Данилова Н.П., Сапожников О.А. Моды колебаний изотропного диска, слабо зависящие от его толщины. Акуст. журн., 1999, т. 45, № 2, с. 195-203.

193. Lamb, Н. On waves in an elastic plate. Proc. R. Soc. London, 1917, Ser. A, v. 93.

194. Furgason, E.S., and Newhouse, V.L. Convolution and correlation using nonlinear interactions of Lamb waves. IEEE Trans. Sonics Ultras., 1973, v. 20, no. 4, pp. 360-364.

195. Булатицкий С.И., Сапожников О.А. Получение шлирен-изображений коротких акустических импульсов: математическое моделирование и эксперимент. Сб. трудов XVIII сессии РАО (Таганрог, 2006), Москва: ГЕОС, 2006, т. 2, с. 8-12.

196. Макаров В.И. Визуализация ультразвуковых импульсов с высокочастотным заполнением. Акуст. журн., 1956, т. 2, № 2, с. 285-286.

197. Макаров В.И., Фадеева Н.А. Возбуждение цилиндрической оболочки ультразвуком. Акуст. журн., 1960, т. 6, № 2, с. 261-262.

198. Smith, W.A. Design of piezocomposites for ultrasonic transducers. Ferroelectrics, 1989, v. 91, pp. 155-162.

199. Pazol, B.G., Bowen, L.G., Gentilman, R.L., Pham, H.T., and Serwatka, W.J. Ultrafine scale piezoelectric composite materials for high frequency ultrasonic imaging arrays. -Proc. IEEE Ultrasonic Symposium, 1995, pp. 1263-1268.

200. Halliwell, N.A. Laser vibrometry optical methods in engineering metrology. London: Chapman and Hall, edited by Williams D.C., 1993, Chapter 6, pp. 179-211.

201. Gendreu, P., Fink, M., and Royer, D. Optical imaging of transient acoustic fields generated by piezocomposite transducers. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. and Freq. Control, 1995, v. 42, no. l,pp. 135-143.

202. Smith, W.A., and Auld, B.A. Modeling 1-3 composite piezoelectrics: thickness mode oscillations. IEEE Trans. Ultrason. Ferroelec. and Freq. Contr., 1991, v. 38, no. 1, pp. 40-47.

203. Raman, C.V., and Venkataraman, K.S. Determination of the adiabatic piezo-optic coefficient of liquids. Proc. R. Soc. London, Ser. A, 1939, v. 171, pp. 137-147.

204. Bacon, D.R., Chivers, R.C., and Som, J.N. The acousto-optic interaction in the interferometric measurement of ultrasonic transducer wave motion. Ultrasonics, 1993, v. 31, no. 5, pp. 321-325.

205. Bacon, D.R. Primary calibration of ultrasonic hydrophones using optical interferometry, IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. and Freq. Control, 1988, v. 35, pp. 152-161.

206. Royer, D., Dubois, N., and Benoist, P. Optical probing of acoustic fields Application to the ultrasonic testing of steam generator tubes. - 1992 IEEE Ultrason. Symp. Proc., p. 805.

207. Koch, C., and Molkenstruck, W. Primary calibration of hydrophones with extended frequency range 1 to 70 MHz using optical interferometry. IEEE Trans. Ultrason., Ferroelect. and Freq. Control, 1999, v. 46, no. 5, pp. 1303-1314.

208. Morozov, A.V., Pishchalnikov, Y.A., and Sapozhnikov, O.A. Method of measurement of vibrational velocity on ultrasound source surface: Numerical analysis of accuracy. -Physics of Vibrations, 2002, v. 10, no. 2, pp. 93-99.

209. Морозов A.B., Катиньоль Д., Сапожников O.A. Исследование колебаний поверхности ультразвуковых излучателей: сравнение методов лазерной виброметрии и акустической голографии. Труды XV сессии РАО, 2004, т. 2, с. 21-25.

210. Смагин M.A., Морозов A.B., Сапожников O.A. Исследование структуры акустического поля многоэлементного медицинского акустического датчика. -Труды XV сессии РАО, 2004, т. 3, с. 74-76.

211. Сапожников О.А., Пономарев А.Е., Смагин М.А. Нестационарная акустическая голография для реконструкции скорости поверхности акустических излучателей. -Акуст. журн., 2006, т. 52, № 3, с. 385-392.

212. Бадалян В.Г., Базулин Е.Г. О численном восстановлении в акустической голографии. Акуст. журн., 1983, т. 29, №3, с. 403-404.

213. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973, с. 272-282.

214. Борн М., Вольф Э. Основы оптики. М.: Наука, 1973, 721 с.

215. Erikson, К., Stockwell, J., Hairston, A., Rich,G., Marciniec, J., Walter, L., Clark, K., and White, T. Imaging with a 2D transducer hybrid array. Acoustical Imaging, 2001, v. 24, Pt. l,pp. 9-20.238. http://www.imasonic.com

216. Lewin, P.A. Miniature piezoelectric polymer ultrasonic hydrophone probes. Ultrasonics, 1981, v. 19, pp. 213-216.

217. Chu, B.-T., and Apfel, R.E. Acoustic radiation pressure produced by a beam of sound. -J. Acoust. Soc. Am., 1982, v. 72, no. 6, pp. 1673-1687.

218. Acoustic output measurement standard for diagnostic ultrasound equipment, Rev. 3, NEMA Standards Publication UD-2-2004, American Institute of Ultrasound in Medicine, Laurel, MD and National Electrical Manufacturers Association, Rosslyn, VA, 2004.

219. Beissner, K. Acoustic radiation pressure in the near field. J. of Sound and Vibrations, 1984, v. 93.no. 4, pp. 537-548.

220. Beissner, K. Radiation force calculations. Acustica, 1987, v. 62, no. 4, pp. 255-263.

221. Clement, G., Liu, R., Letcher, S., el al. Forward projection of transient signals obtained from a fiber-optic pressure sensor. J. Acoust. Soc. Am., 1998, v. 104, no. 3, pp. 1266-1273.

222. Evan, А.Р., and McAteer, J.A. Q-Effects of shock wave lithotripsy, in Kidney Stones: Medical and Surgical Management, edited F. Сое, С. Pak, and G.M. Preminger. Raven, New York, 1996, pp. 549-570.

223. Kaude, J.V., Williams, C.M., Millner, M.R., Scott, K.N., and Finlayson, B. Renal morphology and function immediately after extracorporeal shock-wave lithotripsy. -Am. J. Roentgenol., 1985, v. 145, pp. 305-313.

224. Coakley, W.T. Acoustical detection of single cavitation events in a focused field in water at 1 MHz. J. Acoust. Soc. Am., 1971, v. 49, no. 3, pp. 792-801.

225. Roy, R.A., Madanshetty, S.I., and Apfel, R.E. An acoustic backscattering technique for the detection of transient cavitation produced by microsecond pulses of ultrasound. -J. Acoust. Soc. Am., 1990, v. 87, pp. 2451-2458.

226. Zhong, P., Cioanta, I., Zhu, S., Cocks, F.H., and Preminger, G.M. Effects of tissue constraint on shock-wave induced bubble expansion in vivo. J. Acoust. Soc. Am., 1998, v. 104, pp. 3126-3129.

227. Zhong, P., Lin, H., Xi, X., Zhu, S., and Bhogte, E.S. Shock wave-inertial microbubble interaction: Methodology, physical characterization and bioeffect study. J. Acoust. Soc. Am., 1999, v. 105, pp. 1997-2009.

228. Jochle, K., Debus, J., Lorenz, W.J., and Huber, P. A new method of quantitative cavitation assessment in the field of a lithotripter. Ultrasound Med. Biol., 1996, v. 22, pp. 329-338.

229. Huber, P., Debus, J., Jochle, K., Simiantonakis, I., Jenne, J., Rastert, R., Spoo, J., Lorenz, W.J., and Wannenmacher, M. Control of cavitation activity by different Shockwave pulsing regimes. Phys. Med. Biol., 1999, v. 44, pp. 1427-1437.

230. Coleman, A.J., Saunders, J.E., Crum, L.A., and Dyson, M. Acoustic cavitation generated by an extracorporeal Shockwave lithotripter. Ultrasound Med. Biol., 1987, v. 13, pp. 69-76.

231. Lifshitz, D.A., Williams, Jr., J.C., Sturtevant, B., Conners, B.A., Evan, A.P., and McAteer, J.A. Quantization of shock wave cavitation damage in vitro. Ultrasound Med. Biol., 1997, v. 23, pp. 461-471.

232. Bailey, M.R., Blackstock, D.T., Cleveland, R.O., and Crum, L.A. Comparison of electrohydraulic lithotripters with rigid and pressurerelease ellipsoidal reflectors: II. Cavitation fields. J. Acoust. Soc. Am., 1999, v. 106, pp. 1149-1160.

233. Howard, D.D., and Sturtevant, B. In vitro study of the mechanical effects of shockwave lithotripsy. Ultrasound Med. Biol., 1997, v. 23, pp. 1107-1122.

234. Lingeman, J.E. Extracorporeal shock wave lithotripsy devices: Are we making progress, in New Developments in the Management of Urolithiasis, edited by J.E. Lingeman and G.M. Preminger. Igaku-Shoin, New York, 1996.

235. Maxwell, A.D., Sapozhnikov, O.A., and Bailey, M.R. A new PVDF membrane hydrophone for accurate measurement of medical shock waves. Proceedings of the 2006 IEEE International Ultrasonics Symposium (Vancouver, Canada, 2006), pp. 1608-1611.

236. Eller, A., and Flynn, H.G. Rectified diffusion during nonlinear pulsations of cavitation bubbles. J. Acoust. Soc. Am., 1965, v. 37, pp. 493-501.

237. Wurster, C., Staudenraus, J., and Eisenmenger, W. The fibre optic probe hydrophone. -Nature (London), 1994; v. 2, pp. 941-944.

238. Press, W.H., Teukolsky, S.A., Vetterling, W.T., and Flannery, B.P. Numerical recipes in FORTRAN, 2nd Ed. Cambridge University Press: Cambridge, UK, 1992.

239. Coleman, A.J., Choi, M.J., and Saunders, J.E. Theoretical prediction of the acoustic pressure generated by a shock wave lithotripter. Ultrasound Med. Biol., 1991, v. 17, pp. 245-255.

240. Kuznetsov, V.V., Nakoryakov, V.E., Pokusaev, B.G., and Schreiber, I.R. Propagation of perturbations in a gas-liquid mixture. J. Fluid Mech., 1978, v. 85, pp. 85-96.

241. Ishii, M. Thermo-fluid dynamic theory of two-phase flow. Eyrolles: Paris, 1975.

242. Нигматулин Р.И. Основы механики гетерогенных сред. М.: Наука, 1978.

243. Nigmatulin, R.I. Spatial averaging in the mechanics of heterogeneous and dispersed systems. Int. J. Multiphase Flow, 1979, no. 5, pp. 353-385.

244. Biesheuvel, A., and van Wijngaarden, L. Two-phase flow equations for a dilute dispersion of gas bubbles in liquid. J. Fluid Mech., 1984, v. 148, pp. 301-318.

245. Buyevich, Y.A., and Shchelchkova, I.N. Flow of dense suspensions. -Prog. Aerospace Sci., 1978, v. 18, pp. 121-150.

246. Stewart, H.B., and Wendroff, B. Two-phase flows: Models and methods. -J. Comput. Phys., 1984, v. 56, pp. 363-409.

247. Evan, A.P., Willis, L.R., Lingeman, J., McAteer, J.A. Renal trauma and the risk of long-term complications in shock wave lithotripsy. Nephron, 1998, v. 78, pp. 1-8.

248. Duck, F.A. Physical properties of tissue. Academic Press, London, 1990.

249. Vaezy, S., Shi, X., Martin, R.W., et al. Real-time visualization of focused ultrasound therapy. Ultrasound Med. Biol., 2000, v. 27, pp. 33- 42.

250. Физиология человека, под ред. В.М. Смирнова. М.: Медицина, 2001.

251. Blomgren, P., Connors, В.А., Lingeman, J.E., Willis, L., and Evan, A.P. Quantitation of shock wave lithotripsy-induced lesion in small and large pig kidneys. Anat. Rec., 1997, v. 249, no. 3, pp. 341-348.

252. Carstensen, E.L., Campbell, D.S., Hoffman, D., Child, S.Z., and Bellagarda, E.J. Killing of Drosophila larvae by the fields of an electrohydraulic lithotripter. Ultrasound Med. Biol., 1990, v. 16, pp. 687-698.

253. Zhong, P., Zhou, Y., and Zhu, S. Dynamics of bubble oscillation in constrained media and mechanisms of vessel rupture in SWL. Ultrasound Med. Biol., 2001, v. 27, pp. 119-134.

254. Dalecki, D., Raeman, C.H., Child, S.Z., et al. The influence of contrast agents on hemorrhage produced by lithotripter fields. Ultrasound Med. Biol., 1997, v. 23, pp. 1435-1439.

255. Evan, A.P., Willis, L.R., Connors, B.A., et al. Kidney damage and renal functional changes are minimized by waveform control that suppresses cavitation in SWL. -J. Urology, 2002, v. 168, no. 4, Pt. 1, pp. 1556-1562.

256. Kerbl, K., Rehman, J., Landman, J., Lee, D., Sundaram, C., and Clayman, R.V. Current management of urolithiasis: Progress or regress? Journal of Endourology, 2002, v. 16, no. 5, pp. 281-288.

257. McAteer, J.A., Williams Jr., J.C., Bailey, M.R., Cleveland, R.O., and Evan, A.P. Strategies for improved shock wave lithotripsy. Minerva Urologica E Neffrologica, 2005, v. 57, pp. 271-279.

258. Sturtevant, B. Shock wave physics of lithotripters. In: Smith's textbook of endourology, ed. by Smith, A.D. Quality Medical Publishing, Inc., St. Louis, 1996, pp. 529-552.

259. Burns, J.R., Shoemaker, B.E., Gauthier, J.F., and Finlayson, B. Hardness testing of urinary calculiio in: Urolithiasis and Related Clinical Research, edited by Schwille, P.O., et ah, Plenum: New York, 1985, pp. 703-706.

260. Cohen, N.P., and Whitfield, H.N. Mechanical testing of urinary calculi. J. Urology (Baltimore), 1993, v. 11, no. l,pp. 13-18.

261. Zhong, P., Chuong, C.J., and Preminger, G.M. Characterization of fracture toughness of renal calculi using a microindentation technique. (Extracorporeal shock wave lithotripsy). -J. Mater. Sci. Lett., 1993, v. 12, no. 18, pp. 1460-1462.

262. Sylven, E.T., Agarwal, S., Cleveland, R.O., and Briant, C.L. High strain rate testing of kidney stones. J. Mater. Sci.: Mater. Med., 2004, v. 15, no. 5, pp. 613-617.

263. Pearle, M., Calhoun, E., and Curhan, G. Urological diseases in America project: Urolithiasis. Urology, 2005, v. 173, no. 3, pp. 848-857.

264. Siroky, M., Oates, R., and Babayan, R. Handbook of urology: Diagnosis and therapy. -Lippincott., Williams & Wilkins, 2004.

265. Delius, M., Heine, G., and Brendel, W. A mechanism of gallstone destruction by extracorporeal shock waves. Naturwissenschaften, 1988, v. 75, pp. 200-201.

266. Eisenmenger, W. The mechanisms of stone fragmentation in ESWL. Ultrasound Med. Biol., 2001, v. 27, pp. 683-693.

267. Kolsky, H. Stress waves in solids. Dover, New York, 1963.

268. Dahake, G., and Gracewski, S.M. Finite difference predictions of P-SV wave propagation inside submerged solids. I. Liquid-solid interface conditions. J. Acoust. Soc. Am., 1997, v. 102, no. 4, pp. 2125-2137.

269. Dahake, G., and Gracewski, S.M. Finite difference predictions of P-SV wave propagation inside submerged solids. II. Effect of geometry. J. Acoust. Soc. Am., 1997, v. 102, no. 4, pp.2138-2145.

270. Xi, X., and Zhong, P. Dynamic photoelastic study of the transient stress field in solids during shock wave lithotripsy. J. Acoust. Soc. Am., 2001, v. 109, no. 3, pp. 1226-1239.

271. McAteer, J.A., Williams, Jr., J.C., Cleveland, R.O., Van Cauwelaert, J., Bailey, M.R., Lifshitz, D.A., and Evan, A.P. Ultracal-30 gypsum artificial stones for lithotripsy research. -Urol. Res., 2005, v. 33, pp. 429^134.

272. Rassweiler, J.J., Tailly, G.G., and Chaussy, C. Progress in lithotriptor technology. EAU Update Series, 2005, v. 3, pp. 17-36.

273. Eisenmenger, W., Du, X.X., Tang, C., Zhao, S., Wahg7 Y., Rong, F., Dai, D., Guan, M., and Qi, A. The first clinical results of 'wide focus and low pressure' ESWL. Ultrasound Med. Biol., 2002, v. 28, no. 6, pp. 769-774.

274. Cleveland, R.O., and Sapozhnikov, O.A. Modeling elastic waves in kidney stones with application to shock wave lithotripsy. J. Acoust. Soc. Am., 2005, v. 118, no. 4, pp. 2667-2676.

275. Kornfeld, M., and Suvorov, L. On the destructive action of cavitation. J. Appl. Phys., 1944, v. 15, pp. 495-506.

276. Корнфельд M. Упругость и прочность жидкостей. M.-JL: Гостехиздат, 1951, 124 с.

277. Delius, M. Minimal static excess pressure minimizes the effect of extracorporeal shock waves on cells and reduces it on gallstones. Ultrasound Med. Biol., 1997, v. 23, pp. 611-617.

278. Vakil, N., and Everbach, E.C. Transient acoustic cavitation in gallstone fragmentation: a study of gallstones fragmented in vivo. Ultrasound Med Biol., 1993, v. 19, no. 4, pp. 331-342.

279. Xi, X. F., and Zhong, P. Improvement of stone fragmentation during shock wave lithotripsy using a combined EH/PEAA shock wave generator in vitro experiments. -Ultrasound Med. Biol., 2000, v. 26, pp. 457-467.

280. Blake, J.R., and Gibson, D.C. Cavitation bubbles near boundaries. Ann. Rev. Fluid Mech., 1987, v. 19, pp. 99-123.

281. Philipp, A., Delius, M., Scheffczyk, C., Vogel, A., and Lauterborn, W. Interaction of lithotripter-generated shock waves with air bubbles. J. Acoust. Soc. Am., 1993, v. 93, pp. 2496-2508.

282. Tanguay, M., and Colonius, T. Progress in modeling and simulation of shock wave lithotripsy (SWL). Fifth Int. Symp. on Cavitation (CAV2003) (Osaka, Japan, 2003), http://cav2003 .me.es.osaka-u.ac.jp/Cav2003/Papers/Cav03-OS-2-1 -010.pdf.

283. Zabolotskaya, E.A., Ilinskii, Y.A., Meegan, G.D., and Hamilton, M.F. Bubble interactions in clouds produced during shock wave lithotripsy. Proceedings of the IEEE Ultrasonics Symposium, 2004, pp. 890-893.

284. LeVeque, R.J. Finite volume methods for hyperbolic problemsio Cambridge; New York: Cambridge University Press, 2002.

285. Сапожников O.A. Физика ударноволновой литотрипсии. Сборник материалов 2-го Евразийского конгресса по медицинской физике и инженерии «Медицинская физика - 2005» (21-24 июня 2005 г., Москва), с. 226-227.

286. Owen, N.R., Bailey, M.R., Crum, L.A., Sapozhnikov, O.A., and Trusov, L.A. The use of resonant scattering to identify stone fracture in shock wave lithotripsy. -J. Acoust. Soc. Am., 2007, v. 121, no. 1, Express Letters, pp. EL41-EL47.

287. Sapozhnikov, O.A., Maxwell, A.D., MacConaghy, В., and Bailey, M.R. A mechanistic analysis of stone fracture in lithotripsy. J. Acoust. Soc. Am., 2007, v. 112, no. 2, pp. 1190-1202.

288. Ebrahimi, F., and Wang, F. Fracture behaviour of urinary stones under compression. -J. Biomed. Mater. Res., 1989, v. 23, pp. 507-521.

289. Heimbach, D., Munver, R., Zhong, P., Jacobs, J., Hesse, A., Mtiller, S.C., and Preminger, G.M. Acoustic and mechanical properties of artificial stones in comparison to natural kidney stones. J. of Urology, 2000, v. 164, pp. 537-544.

290. Vireux, J. SH-wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite-difference method. Geophysics, 1984, v. 49, no. 2, pp. 1933-1957.

291. Vireux, J. P-SV wave propagation in heterogeneous media: Velocity-stress finite difference method. Geophysics, 1986, v. 51, no. 4, pp. 889-901.

292. Санкин Г.Н. Сферическая фокусировка акустических импульсов в жидкости. -Акуст. жури., 2004, т. 50, № 2, с. 261-271.

293. Chen, Y.-H., Chew, W.C., and Liu, Q.-H. A three-dimensional finite difference code for the modeling of sonic logging tools. J. Acoust. Soc. Am., 1998, v. 103, no. 2, pp. 702-712.

294. Wang, Т., and Tang, X. Finite-difference modeling of elastic wave propagation: A nonsplitting perfectly matched layer approach. Geophysics, 2003, v. 68, no. 5, pp. 1749-1755.

295. International Electrotechnical Committee, "Ultrasonics—pressure pulse lithotripters— characteristics of fields," IEC Standard 61846,1998.

296. Griffith, A.A. The phenomenon of rupture and flow in solids. Phil. Trans. Roy. Soc. (London), 1920, v. A221, pp. 163-198.

297. Партой В.З. Механика разрушения: от теории к практике. М.: Наука, 1990,239 с.

298. Виноградова М.Б., Руденко О.В., Сухоруков А.П. Теория волн. М.: Наука, 1979, с. 266-268.

299. Островский J1.A., Сутин A.M. Фокусировка акустических волн конечной амплитуды. Доклады АН СССР, 1975, т. 221, № 6, с. 1300-1303.

300. Божков А.И., Бункин Ф.В., Галстян A.M., Коломенский A.A., Михалевич В.Г. Лазерное возбуждение звука в жидкости. Изв. АН СССР, сер. физ., 1982, т. 46, с. 1624-1631.

301. Фридман В.Е. Саморефракция слабых ударных волн. Акуст. журн., 1982, т. 28, №4, с. 551-559.

302. Дубровский А.Н., Сапожников O.A. Наблюдение нелинейной эволюции акустических импульсов в отсутствие дифракции. Вест. Моск. ун-та, сер. 3. физ.-астр., 1993, т. 34, № 4, с. 67-73.

303. Sturtevant, В., and Kulkarny, V.A. The focusing of weak shock waves. J. Fluid Mech., 1976, v. 73, no. 4, pp. 651-671.

304. Higashino, F. Shock wave focusing. in Handbook of Shock Waves, v. 2. - Academic Press, 2001, pp. 397-414.

305. Мусатов А.Г., Сапожников O.A. Фокусировка мощных акустических импульсов при различных углах раскрытия волнового фронта. Акуст. журн., 1993, т. 39, №2, с. 315-320.

306. Мусатов А.Г., Сапожников O.A. Нелинейные эффекты при фокусировке акустических импульсов с ударным фронтом. Акуст. журн., 1993, т. 39, № 3, с. 510-516.

307. Мусатов А.Г., Сапожников O.A. Фокусировка слабых акустических импульсов. -Вест. Моск. ун-та, сер.З. физ.-астр., 1993, т. 34, № 4, с. 94-97.

308. Пелиновский E.H., Фридман В.Е., Энгельбрехт Ю.К. Нелинейные эволюционные уравнения. Таллин: Валгус, 1984, с. 68.

309. Мусатов А.Г., Руденко О.В., Сапожников O.A. Учет нелинейной рефракции и нелинейного поглощения при фокусировке мощных импульсов. Акуст. журн., 1992, т. 38, №3, с. 502-510.

310. Lafon, С., Zderic, V., Noble, M.L., Yuen, J.C., Kaczkowski, P.G., Sapozhnikov, O.A., Chavrier, F., Crum, L.A., and Vaezy, S. Gel phantom for use in high-intensity focused ultrasound dosimetry. Ultrasound Med Biol., 2005, v. 31, no. 10, pp. 1383-1389.

311. Сухоруков А.П. Тепловые самовоздействия интенсивных световых волн. Успехи физ. наук, 1970, т. 101, № 1, с. 81-83.

312. Аскарьян Г.А. Самофокусировка и фокусировка ультра- и гиперзвука. Письма в ЖЭТФ, 1966, т. 4, вып. 4, с. 144-147.

313. Бахвалов Н.С., Жилейкин Я.М., Заболотская Е.А. Нелинейная теория звуковых пучков. М.: Наука, 1982.

314. Ассман В.А., Бункин Ф.В., Верник A.B., Ляхов Г.А., Шипилов К.Ф. Наблюдение теплового самовоздействия звукового пучка в жидкости. Письма в ЖЭТФ, 1985, т. 41, №4, с. 148-150.

315. Андреев В.Г., Карабутов A.A., Руденко О.В., Сапожников O.A. Наблюдение самофокусировки звука. Письма в ЖЭТФ, 1985, т. 41, № 9, с. 381-384.

316. Бункин Ф.В., Ляхов Г.А., Шипилов К.Ф. Тепловое самовоздействие акустических волновых пакетов в жидкости. Успехи физ. наук, 1995, т. 165, № 10, с. 1145-1164.

317. Наугольных К.А., Островский Л.А. Нелинейные волновые процессы в акустике. -М.: Наука, 1990.

318. Vinogradov E.A., Shipilov K.F. Evaluation of the thermal nonlinear self-action of the intensive acoustic beam in air. Thermal self-focusing. Physics of Vibrations, 2002, v. 10, no. 2, pp. 72-77.

319. Алешкевич В.А., Сухоруков А.П. Об отклонении мощных световых пучков под действием ветра в поглошающих средах. Письма в ЖЭТФ, 1970, т. 12, с. 112-115.

320. Буров А.К. Получение больших интенсивностей ультразвука в жидкости. -Акуст. журн., 1958, т. 4, № 4, с. 315-320.

321. Армеев В.Ю., Карабутов А.А., Сапожников О.А. Особенности тепловой самофокусировки звука в жидкости. Акуст. журн., 1987, т. 33, № 2, с. 177-180.

322. Карабутов А.А., Руденко О.В., Сапожников О.А. Система уравнений для описания тепловой самофокусировки звука в жидкости. Вест. Моск. ун-та, сер. 3. физ.-астр., 1988, т. 29, №4, с. 63-66.

323. Руденко О.В., Сапожников О.А. Теоретическое описание тепловой самофокусировки пилообразных звуковых волн. Вест. Моск. ун-та, сер. 3. физ.-астр., 1988, т. 29, № 6, с. 91-92.

324. Руденко О.В. Самовоздействие пучков волн, содержащих ударные фронты (обзор). -Изв. ВУЗов, Радиофизика, 2003, т. 46, № 5-6, с. 377-391.

325. Сапожников О.А., Синило Т.В. Повышение эффективности нагрева жидкости мощным ультразвуковым пучком за счет формирования ударных участков в профиле волны. Известия Академии Наук, серия физическая, 1998, т. 62, №12, с. 2371-2374.

326. Пищальников Ю.А., Сапожников О.А., Синило Т.В. Повышение эффективности генерации сдвиговых волн в желатине при нелинейном поглощении фокусированного ультразвукового пучка. Акуст. журн., 2002, т. 48, № 2, с. 253-259.

327. Бэйли М.Р., Хохлова В.А., Сапожников О.А., Каргл С.Г., Крам JI.A. Физические механизмы воздействия терапевтического ультразвука на биологическую ткань. -Акуст. журн., 2003, т. 49, № 4, с. 437-464.

328. Карабутов А.А., Руденко О.В., Сапожников О.А. Теория тепловой самофокусировки с учетом формирования ударных волн и акустических течений. Акуст. журн., 1988, т. 34, № 4, с. 644-650.

329. Карабутов А.А., Руденко О.В., Сапожников О.А. Тепловая самофокусировка слабых ударных волн. Акуст. журн., 1989, т. 35, № 1, с. 67-70.

330. Le Floch, С., Tanter, М., and Fink, М. Self-defocusing in ultrasonic hyperthermia: experiment and simulation. Appl. Phys. Letters, 1999, v. 74, no. 20, pp. 3062-3064.

331. Hallaj, I.M., Cleveland, R.O., and Hynynen, K. Simulations of the thermo-acoustic lens effect during focused ultrasound surgery. J. Acoust. Soc. Am., 2001, v. 109, no. 5, Pt. 1, pp. 2245-2253.

332. Руденко O.B., Сагатов M.M., Сапожников О.А. Тепловая самофокусировка пилообразных волн. ЖЭТФ, 1990, т. 98, № 3 (9), с. 808-818.

333. Руденко О.В., Солуян С.И., Хохлов Р.В. К нелинейной теории параксиальных звуковых пучков. Доклады АН СССР, 1975, т. 225, № 5, с. 1053-1055.

334. Bacon, D.R. Finite amplitude distortion of the pulsed fields used in diagnostic ultrasound. Ultrasound in Medicine and Biology, 1984, v. 10, pp. 189-195.

335. Preston, R.C., ed. Output Measurements for Medical Ultrasound. New York, Springer-Verlag, 1991.

336. Маков Ю.Н. Волноводное распространение звуковых пучков в нелинейной среде. -Акуст. журн., 2000, т. 46, № 5, с. 680-684.

337. Catheline, S., Gennisson, J.-L., Tanter, M., and Fink, M. Observation of shock transverse waves in elastic media. Phys. Rev. Lett., 2003, v. 91, no. 16, pp. 164301(1-4).

338. Wochner, M.S., Hamilton, M.F., Ilinskii, Y.A., and Zabolotskaya E.A. Cubic nonlinearity in shear wave beams with different polarizations. J. Acoust. Soc. Am., 2008, v. 123, no. 5, pp. 2488-2495.

339. Андреев В.Г., Дмитриев В.Н., Пищальников Ю.А., Руденко О.В., Сапожников О.А., Сарвазян А.П. Наблюдение сдвиговой волны, возбужденной с помощью фокусированного ультразвука в резиноподобной среде. Акуст. журн., 1997, т. 43, №2, с. 149-155.

340. Карабутов А.А., Руденко О.В. Модифицированный метод Хохлова для нестационарных трансзвуковых течений сжимаемого газа. ДАН СССР, 1979, т. 248, №5, с. 1082-1085.

341. Fink, М. An overview of time-reversed acoustics. Book of Abstracts of «Ultrasonics International 2003» conference, Granada, Spain, 2003.

342. Rudenko, O.V. Propagation of finite-amplitude beams. In: Advances in Nonlinear Acoustics. World Scientific, 1993. pp. 3-6.

343. Руденко O.B., Сухоруков A.A. Дифрагирующие пучки в кубично-нелинейных средах без дисперсии. Акуст. журн., 1995, т. 41, № 5, с. 822-827.

344. Руденко О.В., Сухоруков А.А. Самовоздействие световых пучков в средах с двухфотонным поглощением. Известия Академии Наук, серия физическая, 1996, т. 60, № 12, с. 6-25.

345. Lee-Bapty, I.P., and Crighton, D.G. Nonlinear wave motion governed by the modified Burgers equation. Phil. Trans. R. Soc. (London), 1987, A323, pp. 173-209.

346. Кудрявцев А.Г., Сапожников O.A. Симметрии обобщенного уравнения Хохлова-Заболотской. Акуст. журн., 1998, т. 44, № 5, с. 628-633.

347. Кудрявцев А.Г., Сапожников О.А. Некоторые свойства интенсивных звуковых пучков, описываемых обобщенным уравнением Хохлова-Заболотской. -Акуст. журн., 1998, т. 44, № 6, с. 808-813.

348. Сапожников О.А., Кудрявцев А.Г. Симметрии и связанные с ними свойства обобщенного уравнения Хохлова-Заболотской. Сборник трудов семинара научной школы проф. В.А. Красильникова, Москва, 2002, с. 145-158.

349. Маков Ю.Н., Сапожников О.А. Усреднённые характеристики (моменты) обобщённого уравнения Хохлова-Заболотской. Акуст. журн., 1994, т. 40, №6, с. 1003-1005.

350. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика, т.2. Теория поля. М.: Наука, 1988.

351. Гельфанд И.М., Фомин С.В. Вариационное исчисление. М.: физ.-мат. лит., 1961.

352. Cates, А.Т., and Crighton, D.G. Nonlinear diffraction and caustic formation. -Proc. R. Soc. Lond. A, 1990, v. 430, pp. 69-88.

353. Кузнецов В.П. Уравнения нелинейной акустики. Акуст. журн., 1970, т. 16, с. 548-553.