МУЛЬТИФРАКТАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ ДИНАМИКИ НЕЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.03 ВАК РФ

ЗИГАНШИН Амир Рустамович

Мулътифрактальный анализ динамики нелинейных систем

01.04.03 - радиофизика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Саратов - 2005

Работа выполнена на кафедре радиофизики и нелинейной динамик» Саратовского государственного университета им. Н.Г. Чернышевского

Научный руководитель:

кандидат физик©-математических наук,' доцент Павлов А.Н.

Официальный оппоненты: доктор фнзк ко-математических наук,

профессор Безручко Б.П., кандидат физико-математических наук, доцент Розанов А.В.

Ведущая организация:

Саратовский филиал ИРЭ РАН

Защита состоится 1 июля 2005 г. в 12 час. 00 мии. на заседании специализированного совета Д.212.243.01 по специальности "радиофизика" при Саратовском государственном университете им. Н.Г. Чернышевского по адресу: 410012, г. Саратов, ул. Астраханская, 83.

С диссертацией можно ознакомится в Научной библиотеке Саратовского государственного университета.

Автореферат разослан мая 2005 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Аникин В,М.

Общая характеристика работы

Актуальность работы

Теория фракталов и мультифракталов в настоящее время широко используется для описания свойств самоподобня и сложного скейлинга, наблюдаемых в самых разных физических ситуациях, Мультифрактальный подход изначально был предложен для статистического анализа особенностей скейлкнга сингулярных мер (Б. Мандельброт, Т. Хал сей, М. Еисен, Г. Паладин, А. Вульпиани, Т. Тел, А. Бунде, С. Хавлин и др.) и с успехом применялся во многих областях физики. Самые разные объекты природы могут быть отнесены к специальному классу "мультифракталов", и, пожалуй, довольно сложно найти область наукн, где бы мы не встретились с представителями этого класса.

Если для количественного описания фракталов достаточно всего лишь одной величины (например, фрактальной размерности), то мультифракта-лы представляют собой более сложные (неоднородные) объекты, для полной характеристики которых требуется не одна, а целый спектр фрактальных размерностей, число которых в общем случае бесконечно. Важность изучения таких объектов определяется тем, что подавляющее большинство природных фракталов на самом деле являются мультифракталами.

Фрактальные объекты встречаются в природе не только в виде сингулярных мер, но и в виде сингулярных функций, и для многих практичесхих целей (в частности, в задачах анализа, структуры сигналов) наибольшую ценность представляет именно наличие строгого математического подхода к анализу особенностей структуры процессов, не имеющих характерного временного масштаба и сильно изрезанных — так называемых "мультифрак-тал ьных процессов" (У. Фриш, Г. Паризн, П. Иванов, Г, Стэнли, Дж. Музи, Е. В акр н, А, Арнеодо). Было предпринято несколько попыток обобщить концепцию мультифракталов на случай функциональных зависимостей (сигналов) (А. Варабасп, Т. Вишек и др.). В 1985 году для статистического анаг-лиза с нн гуля р костей (в задачах изучения сильно развитой турбулентности) У. Фриш и Г. Паризи предложили метод структурных функций, который на протяжении последних лет достаточно часто использовался разными исследователями, В 1991 году в работах группы А. Арнеодо был предложен более совершенный метод "модулей максимумов вей влет-преобразован и я" (ММ-ВП), имеющий ряд существенных преимуществ (исследование более широкого класса спнгулярностей, меньшая погрешность вычисления к т.д.). Техника ММВП на сегодняшний день сч! ' трументом

статистического описания сильно неоднородных (нестационарных) процессов различной природы.

Базирующийся на вей влет-преобразовании мультифрактальный анализ можно интерпретировать как новый метод исследования структуры сигналов. В частности, в задачах статистической радиофизики традиционно большое внимание уделяется спектрально-корреляционному анализу. Однако классические методы расчета корреляционных функций или спектра мощности применимы лишь в случае стационарных процессов и требуют большой длительности сигналов для получения надежных оценок закона спада корреляций или частотной зависимости функции спектральной плотности. В отличие от классических подходов, метод ММВП позволяет проводить корреляционный анализ по коротким и нестационарным сигналам. После публикации в 1999 году в журнале "Nature" работы по мультнфрак-тальному описанию сердечного ритма (П. Иванов) и серии статей в журналах "Physical Review Letters" и "Physica А" (Г. Стэнли, С. Хавлин, Л. Ама-рал, К. Пенг и др.) основанный на вей влет-преобразовании мультифрактальный анализ стал широко применяться для обработки сигналов медико-биологического происхождения. За последние несколько лет наличие муль-тифрактальной структуры было обнаружено и численно охарактеризовано в динамике очень многих систем различной природы. Однако, несмотря на значительное число публикаций в ведущих международных журналах, возможности техники ММВП на сегодняшний день детально не исследованы. Как правило, большинство известных работ ограничивается констатацией факта наличия мультискейлннговой структуры в той или иной ситуации к расчетами спектра сингуляркостей. Лишь по отдельным научным направлениям были проведены более глубокие исследования (например, мультифрактальный анализ явления сильно развитой турбулентности) либо получен ряд строгих теоретических результатов {в рамках теории динамических систем). Известные в настоящее время научные работы зачастую рассматривают либо очень простые примеры мул ьти фрактал о в (где возможно получение аналитических результатов), либо очень сложные (сильно нестационарные и неоднородные процессы, такие как сердечный ритм). В последнем случае проведение исследований возможно только численно, но в силу сложности сигналов и отсутствия а-приор ной информации о режиме динамики анализируемой системы не всегда удается проконтролировать достоверность расчетов. С этой точки зрения, для выявления возможностей и ограничений данного метода представляется целесообразным проведение мультифрактально-го анализа хаотической и стохастической динамики нелинейных систем, то

есть исследование моделей нелинейной теории колебаний, при котором характерные изменения спектра сингулярностей или экспонент Хелдера можно сопоставить с какими-то изменениями режима динамики рассматриваемых нелинейных систем. Поскольку многие процессы в природе относятся к классу "мультифракталов", то есть мул ьти фрактал ьность можно рассматривать как достаточно общее явление, его исследование и возможность количественного описания представляет интерес уже само по себе. Кроме того, такое исследование имеет и практическую ценность с точки зрения изучения возможностей нового инструмента анализа структуры сигналов. К настоящему времени, за редким исключением, практически не исследованы эффекты потери мультнфрактальности (переходы от мульти- к монофрактальной структуре). Мало изучено влияние флуктуаций в нелинейных системах на скейлинговые характеристики сложных режимов динамики; в этом направлении можно отметить лишь работу по мультифракталыюму описанию явления стохастического резонанса (А. Сильченко), Не исследованы изменения скейлинговых характеристик при синхронизации хаоса в динамике связанных автоколебательных систем. Хотя наличие сложного скейлинга в процессах медико-биологического происхождения было установлено, остается открытым вопрос о том, как различные воздействия на живые системы и изменение привычных условий функционирования влияют на особенности мультнскейлинговой структуры их процессов. В целях ответа на эти и 1»яд других вопросов в рамках настоящей диссертационной работы предполагается сочетание исследования модельных систем с обработкой экспериментальных данных. На сравнительно простых моделях теории нелинейных колебаний планируется выявлять эффекты изменения структуры сигналов. С помощью экспериментальных данных предполагается анализировать, насколько те или иные эффекты, наблюдаемые в модельных системах, типичны на практике.

Цель диссертационной работы заключается в выявлении возможностей и ограничений мул ьти фрактального анализа при исследовании неоднородных процессов, изучении особенностей мул ьти фрактально го описания хаотической и стохастической динамики нелинейных систем, включая эффекты потери мультифракгальности, а также в применении техники мульти фрактально го анализа в исследованиях сложных режимов колебаний биологических систем.

Для достижения указанной цели необходимо решить следующие основные задачи:

1. Определить возможности и ограничения метода мультифрактального

аналкза, основанного на вей влет-преобразовании, при исследовании структуры процессов, содержащих несколько различных типов сингулярного поведения.

2. Выявить типичные изменения мультифрактальной динамики взаимодействующих автоколебательных систем, функционирующих в режиме динамического хаоса, к которым приводит эффект фазовой синхронизации.

3, Изучить особенности мультифрактального описания сложных режимов колебаний биологических систем и определить типичные изменения мультифрактальной динамики сердечного ритма, обусловленные стрессорным воздействием.

На защиту выносятся следующие положения:

1. Фазовая синхронизация хаоса в динамике связанных автоколебательных систем сопровождается изменениями структуры последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре, включающими:

• уменьшение степени мультифрактальности (вплоть до перехода к мо-кофрактальной динамике);

• уменьшение Хелдеровских экспонент, характеризующее усиление антикорреляций;

• устранение различий между спектрами сингулярностей режимов динамики каждой системы.

Указанные изменения проявляются одновременно или в различных сочетаниях в динамике систем с несколькими характерными временными масштабами.

2. Обусловленные стрессорным воздействием изменения динамики сердечно-сосудистой системы могут рассматриваться как эффект уменьшения (потери) мультифрактальности и/или уменьшения корреляций в структуре последовательностей временных интервалов между сердечными сокращениями. Спектр си н гул я рностей мультифрактального анализа может служить индикатором отклика организма на внешнее воздействие, применимым в условиях сильно нестационарной динамики.

Достоверность научных, выводов работы подтверждается использованием алгоритмов численного моделирования стохастической динамики, базирующихся на классических результатах теории случайных процессов, соответствием {>езультатов, полученных разными методами, а также их воспроизводимостью. Результаты численных и экспериментальных исследова-

ний соответствуют теоретическим предпосылкам и результатам исследований, проводимых по смежным задачам.

Научная новизна работы состоит в следующем:

1. Выявлены ограничения техники мультифрактального анализа при исследовании неоднородных процессов. Показано, что различные типы сингу-лярностей, присутствующие в анализируемом сигнале, могут быть идентифицированы, если они относятся к разным масштабам наблюдения,

2. Впервые показано, что фазовая синхронизация хаоса может быть рассмотрена как эффект потери мультифрактальности в структуре последовательностей времен возврата в секущую плоскость. Сформулированы общие закономерности мультифрактального описания синхронизации хаоса в динамике систем с одним и несколькими временными масштабами.

3. Впервые показано, что стресоорное воздействие на организм может приводить к потере мультифрактальности в динамике сердечно-сосудистой системы. Выявлены типичные изменения корреляций в последовательностях временных интервалов между сердечными сокращениями.

Научно-практическое значение результатов работы.

1. Результаты, полученные в рамках настоящей работы, свидетельствуют о том, что мультифрактальный анализ представляет собой эффективный инструмент исследования, который может быть полезен при выявлении особенностей структуры сложных режимов колебаний в задачах нелинейной динамики и теории случайных процессов,

2, Рассмотренный ранее эффект потери мультифрактальности в режиме стохастической синхронизации переключений бистабильной системы обобщен на случай фазовой синхронизации хаотической динамики взаимодействующих автоколебательных систем.

3. Результаты но мультифрактальному описанию динамики артериального кровяного давления позволяют предложить количественный критерий отклика организма на внешнее воздействие, В отличие от классических методов анализа, данный критерий применим в условиях сильной нестационарности режимов колебаний в динамике биологических систем.

4, Результаты, полученные при рассмотрении различных моделей, могут быть использованы в учебном процессе. Часть результатов работы уже используется при чтении лекций студентам кафедры радиофизики н нелинейной динамики Саратовского государственного университета в рамках спецкурса "Анализ временных рядов."

Апробация работы и публикации. Основные материал ы диссертации были доложены на научных конференциях: "Современные проблемы элек-

троники и радиофизики СВЧ" (Саратов, 2001), международной школе-конференции "Chaos" (Саратов, 2001), Всероссийской научной конференции студентов-радиофизиков (Санкт-Петербург, 2001), конференции "Synchronization of Chaotic and Stochastic Oscillations (SYNCHRO-2002)" (Саратов, 2002), "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003" (Саратов, 2003), "Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos, and Fractals in Biomedical Photonics" (Сан-Хосе, США, 2004). Результаты неоднократно обсуждались на научных семинарах кафедры радиофизики и нелинейной динамики Саратовского государственного университета, рабочей группы нелинейной динамики Гумбольдт-ского университета (под руководством проф. В. Эбелинга), рабочей группы "Хаос" Датского технического университета (под руководством проф. Э. Мо-эекильде). Результаты работы использованы при выполнении международного проекта ИНТАС (01-2061), грантов CRDF (REC-006), Министерства Образования и Науки (тема "Амплитуда"), а также индивидуальных грантов НОЦ "Нелинейная динамика и биофизика", Министерства Образования РФ (А03-2.9-355) и Федерального Агентства но образованию РФ (А 04-2.9516).

Личный вклад автора. Все основные результаты, на которых базируется диссертация, получены лично автором. В совместных работах автором выполнено программирование всех задач и проведены численные эксперименты, Формулировка поставленных задач, выбор моделей, а также объяснение и интерпретация полученных результатов проведено совместно с научным руководителем и соавторами.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех содержательных глав, заключения и списка цитированной литературы. В ней содержится 83 страницы текста, 40 рисунков, библиография из 120 наименований на 16 страницах. Общий объем диссертации 139 страниц.

Содержание работы

Во введении обосновывается актуальность работы, определяются цели исследования, ставятся основные задачи, раскрывается научная новизна полученных результатов и формулируются положения, выносимые на защиту,

В первой главе рассматриваются особенности метода анализа сингу-лярностей, базирующегося на ве il вл ет- преобразован и и. Обсуждаются разные варианты расчета экспонент Хелдера h и спектра сингулярностей D{h) — непосредственно по определению и на основе расчета "частичных функций" (или обобщенных фрактальных размерностей). Рассматривается взаимосвязь между скейлинговыми характеристиками мультифрактального ана-

лгоа и величинами, характеризующими скорость спадания автокорреляционной функции либо частотную зависимость спектральной плотности мощности.

Проводится тестирование метода "максимумов модулей вей влет-преобразования" на примере сигналов с известными статистическими свойствами (Винеровский процесс, белый шум, последовательность импульсов со структурой Канторова множества). Показано, что при рассмотрении однородных процессов базирующийся на вей влет-преобразован ни мультифрактальный анализ позволяет с высокой точностью определять численные значения Хел-деровских экспонент h и вычислять спектр сингулярностей (истинные значения h = 0,5 и h = 1.5 для белого шума и Винеровского процесса вычисляются с погрешностью не более 3-5% по коротким участкам сигналов, составляющим порядка 3000 точек).

Чтобы оценить реальные возможности и ограничения мультнфракталь-ного анализа, рассматриваются более сложные примеры, в частности, процессы, сочетающие участки с различными статистическими характеристиками, а также сигналы, представляющие собой сумму процессов с известными статистическими свойствами, В первом случае метод ММВП четко диагностирует участки различной динамики (ситуация почти tie отличается от простых или так называемых "монофрактальных" сигналов); во втором случае э<£>фективность работы метода зависит от различий в масштабах наблюдения сингулярностей. Если на одннх масштабах проявляется один тип сингулярного поведения, а на других - другой, то метод ММВП позволяет их идентифицировать; если же различия в масштабах несущественны, то четкого разделения сннгуляриостей может не получиться, и вычисляемые Хелде-ровские экспоненты будут представлять собой усредненные характеристики. Проводится сопоставление техники ММВП и классического корреляционно-IX) анализа при исследовании корреляций в сигналах малой длительности (не более 3000 точек). Показано, что погрешность мультифрактального анализа значич-ельно меньше чем погрешность классического метода расчета автокорреляционной функции.

Во второй главе метод исследования мультифрактальности рассматривается в применении к явлению синхронизации хаоса в двух связанных авто-кол ебательных системах. На основе техники ММВП анализируется структура последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре для различных модельных систем н для экспериментальных данных. В качестве модели, демонстрирующей сравнительно простую динамику, выбраны две

связанные системы Ресслера:

= «д,1x1,2 + Ли,а, ^ = В + £1,2(11,2 — р).

Каждая подсистема этой модели имеет одну четко выраженную базовую частоту (или временной масштаб). Рассматривается, как переходы от синхронной хаотической динамики САо к несинхронной СА% и от хаоса к гиперхаосу (при изменении параметров модели) отражаются в структуре времен возврата в секу!цую Пуанкаре для каждой из подсистем. При переходе от несинхронного хаотического аттрактора к синхронному отмечаются два хорошо заметных отличия (рис. 1):

1)происходит смещение спектра с ин гул яркостей 0[К) (уменьшение экспонент Хелдера Н), означающее усиление анти-корреляций, то есть чередования больших и малых значений в последовательности времен возврата;

2)ширина спектра сингулярностей в синхронном режиме уменьшается почти до нуля, что характеризует переход от мультифракталькой динамики к

Последнее означает, что в рассмотренном примере синхронизация хаоса может интерпретироваться как эффект потери мультифрактальности в хаотической динамике.

Далее исследуются особенности мульти-фрактального описания динамики систем с несколькими характерными временными масштабами и рассматриваются связанные системы Лоренца и модель двух взаимодействующих нефронов почки. Хаотические колебания, соответствующие аттрактору Лоренца, характеризуются даумя частотами, первая из которых определяется вращением вокруг одного из неустойчивых фокусов, а вторая соответствует процессу переключений (если рассматривать снсте-

монофрактал ьноП.

Рис. 1: Эффект потери мультифрактальности при фазовой синхронизации хаоса в модели двух в-заи-модеПствующих систем Ресслера. О - фрактальная ]>азмерность подмножества анализируемых данных, характеризующегося локальной экспо-иентой Хелдера Д.

му Лоренца как бистабильную). Модель нефрона является примером системы, демонстрирующей колебания с двумя различными временными масштабами: медленные колебания проксимального давления и сравнительно быстрые колебания, обусловленные миогенной динамикой сосудов. Путем выбора разных фазовых переменных (или различного задания уравнения секущей плоскости) эти два масштаба могут изучаться но-отдельности.

Показано, что проявление эффектов синхронизации в системах с несколькими характерными временными масштабами является более разнообразным. Существует несколько типичных эффектов (уменьшение степени мультифрактально-сти, уменьшение "гладкости" последовательностей времен возврата, характеризующееся изменением экспонент Хелде-ра, уменьшение различий между спектрами сиигулярностей режимов динамики каждой подсистемы), которые могут наблюдаться как одновременно, так и в различных сочетаниях. Например, фазовая синхронизация хаоса может устранять различия между спектрами сиигулярностей без потери мультифрактальностн или, наоборот, приводить к потере мул ьтн фрактал ь-ности без сближения спектров сиигулярностей (рис. 2, черным и белым отмечена динамика каждой из подсистем модели). На рисунке 2 проиллюстрирована динамика на разных масштабах наблюдения — малых масштабах (</ < 0) и больших масштабах > 0).

Таким образом, проявление фазовой синхронизации в структуре последовательностей времен возврата систем с несколькими временными масштабами может быть различным, но при этом сохраняется набор из трех достаточно общих эффектов. Изменения, наблюдаемые при анализе модели взаимодействующих нефронов, сопоставляются с результатами обработки данных биологических экспериментов. Обсуждаются общие закономерности мультифрактального описания синхронизации

Рис. 2: Различные варианты отражения эффекта фазовой синхронизации в структуре последовательностей времен возврата в динамике модели взаимодействующих иефроноа. Переход от несинхронной динамики (треугольники) к синхронной (кружочки) сопровождается сближением Хелдеровских экспонент (сверху) либо переходом к монофрактальной динамике (снизу). Параметр д характеризует масштаб наблюдения.

хаоса и стохастической синхронизации переключений бистабильной системы.

В третьей главе рассматривается применение техники мульт и фрактального анализа к процессам биологического происхождения. На основе метода максимумов модулей вейвлет-преобразования анализируется структура сигналов артериального давления крови крыс. Обсуждается влияние стресса на эффекты мультифрактальности в динамике сердечно-сосудистой системы. Обнаружены две типичные реакции, первая из которых состоит в том, что стресс приводит к уменьшению Хелдеровских экспонент, то есть изменению корреляционных свойств: анализируемые данные (последовательности интервалов между сердечными сокращениями) становятся менее "гладкими1*.

Рассматриваемые сигналы по своим статистическим характеристикам занимают промежуточное положение между 1 //шумом (Л = 1) и В и неровен им процессом (Ь = 1.5) для самцов крыс в обычном состоянии, и (обычно) промежуточное положение между белым шумом = 0.5) и 1//-динамикой при стрессе — рис. 3.

Вторая типичная реакция состоит в уменьшении диапазона значений Хелдеровских экспонент (уменьшении степени мультифрактальности ьплоть до перехода к мокофракгальной динамике).

Проведены статистические исследование в двух сериях экспериментов (на 23 Рис. 3: Две типичные реакции н» крысах). Проанилизи роеаны различия в стресс - изменение корреляционных стрессорных реакциях самок и самцов. От-

свойств и потеря мулътнфракталь- мечено, Что при стрессе может проиою-иостн в структуре последовательно

стей временных интервалов между дить переход ОТ коррелированного поведи

сердечными сокращениями. Черные чин (/I > 0.5) к некоррелированному (Ь, =

¡сруисочкн соответствуют обычному 0.5),

состоянию, белые - динамике при Стандартные физиологические характе-стрессе' ристики (например, 11СС) д?мо> 1 прчруют

однотипные изменения при стрессе (учащение сердцебиений), тогда как метод ММВП показывает, что изменения структуры сигналов иа самом деле могут быть принципиально различными. Полученные результаты свидетельствуют о том, что мулътифрактальный анализ предстанляет собой Перепек-

-1.5 -1.0 -0,5 00 0.5 1.0 1.5

ч

-М -¡о ~0.5 0,0 0.5 1-0 1.5

ч

тивный инструмент для обработки данных, который может быть успешно применен для классификации состояний биологических объектов по сильно нестационарным сигналам. Этот инструмент, в частности, может быть полезен в качестве индикатора отклика организма на стрессорное воздействие.

Основные результаты работы суммируются в заключении.

Основные результаты и выводы

1, Выявлены возможности и ограничения техники мул ьти фракталь кого анализа при исследовании сигналов, содержащих несколько различных типов сингуляркостей. "Установлено, что метод "максимумов модулей вейвлет-нреобразования" позволяет с высокой точностью идентифицировать особенности, относящиеся к разным масштабам наблюдения (случай, когда на одних масштабах проявляется один тип сингулярного поведения, на других -другой). Если различия в масштабах незначительны, то вычисляемые Хел-деровские экспоненты представляют собой усредненные характеристики локального сингулярного поведения.

2, Установлено, что синхронизация хаоса в динамике взаимодействующих автоколебательных систем может представлять собой эффект потери муль-тифрактальности в структуре последовательностей времен возврата в секущую Пуанкаре. Фазовая синхронизация сопровождается значительными изменениями структуры указанных последовательностей, наиболее типичными из которых являются:

а) уменьшение степени мультифрактальности (ширины спектра сингу-лярностей);

б) уменьшение "гладкости" последовательностей времен возврата, то есть изменение корреляционных свойств;

в) сближение спектров сингулярностей, характеризующих мультифрак-тальную динамнку взаимодействующих подсистем.

При взаимодействии подсистем с несколькими характерными временными масштабами наблюдается одновременное проявление всех указанных изменений (случай сильной связи) или любое их сочетание (при слабой связи). На примере динамики парных нефронов почек продемонстрировано сходство эффектов, наблюдаемых при синхронизации хаоса в моделях н в биологических экспериментах.

3, Рассмотрено применение техники мультифрактального анализа к процессам биологического происхождения (сигналам артериального кровяного давления крыс). Установлено, что стрессорное воздействие может привести к

потери мультифрактальности а динамике сердечно-сосудистой системы. Обнаружено, что самцы крыс демонстрируют более сильные изменения спектра сннгуляркостей при стрессе по сравнению с самками. Эти изменения состоят в уменьшении ширины спектра сингулярностей и уменьшении Хел-деровских экспонент. Полученные результаты свидетельствуют о том, что мул ьт и фрактальный анализ может рассматриваться в качестве индикатора отклика организма на стрессорное воздействие, применимого в условиях сильно нестационарной и неоднородной динамики.

Список работ по теме диссертации

1. Pavlov A.N., Ebeling W., Molgedey L-, Ziganshin A.R., Anishchenko V.S. Scaling features of texts, images and time series // Physica A, — 2001. — V, 300.

— P. 310-324.

2. Павлов A.H., Зиганшин A,P., Анищекко B.C. МультнфрактальныЙ анализ временных рядов // Изв. вузов, Сер. Прикладная нелинейная динамика,

- 2001. - Т. 9, N 3. ~ С. 39-53.

3. Pavlov A.N., Sosnovtseva O.V., Ziganshin A.R. Holstein-Rathlou N.-H.. Mosekilde E, Multiscality in the dynamics of coupled chaotic systems // Physica A. - 2002. - V. 316. - P. 233-249.

4. Павлов A.H., Сосновцева O.B., Зиганшин A.P. Мультифракталькый анализ хаотической динамики взаимодействующих систем // Изв. вузов, Сер. Прикладная нелинейная динамика, — 2003. — Т. 11, N 2. — С. 39—54,

5. Pavlov A.N., Ziganshin A.R., Klimova О.A, Multi fractal characterization of blood pressure dynamics; stress-induced phenomena // Chaos, Solitons and Fractals. - 2004. - V.24. - P. 57-63.

6. Pavlov A.N., Duinsky D.V., Ziganshin A.R., Klimova O.A., Anishchen-ko V.S. Multimode dynamics of arterial blood pressure in healthy rats and its multifractal characterization // Complex Dynamics, Fluctuations, Chaos, and Fractals in Biomedical Photonics. Proc. SPIE. - 2004. - V. 5330. - P. 66-73.

7. Ziganshin A.R., Pavlov A.N. Scaling properties of multimode dynamics in coupled chaotic oscillators // Proc. of the Int. Conf. "PhysCon2005n. - St.-Peterbuvg, 2005 (accepted for publication).

8. Зиганшин A.P. Мул ьт и фрактальный анализ сигналов сложной структуры // Материалы научной конференции "Современные проблемы электроники и радиофизики СВЧ,:. — Саратов, 2001. — С. 68—70.

9. Ziganshin A,R„ Pavlov A.N, Scaling features of biological data // Book of Abstracts of the International School "Chaos". — Saratov. 2001. — P. 45—40-

10. Знгаишин А.Р. Анализ мультифрактальных свойств временных радов Ц Тез. 5-й Всерое. науч. конф. студентов-радиофиэиков. СПб., 2001. - С. 36-38.

И, Pavlov A.N., Sosnovtseva O.V., Ziganshin A.R., Holstein-Ratblou N.-H., Mosekitde E. Multiscality in the dynamics of coupled chaotic systems // Book of Abstracts of the international Conference ISynch conization of Chaotic and Stochastic Oscillations" (SYNCHR0-2002). - Saratov, 2002. — P. 44.

12. Зигаяшнн A.P. АЛультифрактальиый анализ реакции на стресс белых крыс // Тр. конф. "Нелинейные дни в Саратове для молодых-2003" — Саратов, 2003. — С. 213—215.

Зяганшин Амир Рустамович Мультифрактальный анализ динамики нелинейных систем Специальность 01.04.03 — радиофизика Автореферат

Подписано в печать 18.05.05. Формат 60x84 1/16. Объем 1,0 п. л. Тираж 100 экз. Заказ 9SL,

Типография Издательства Саратовского университета, 410012, Саратов, Астраханская, 83.

11178 в