Мультипликаторы Фурье-Хаара в симметричных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи

Уксусов Сергей Николаевич

МУЛЬТИПЛИКАТОРЫ ФУРЬЕ-ХААРА В СИММЕТРИЧНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

Специальность 01.01.01.- математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

0 Ъ % 2 Л ВОРОНЕЖ - 2006

Работа выполнена в Воронежском государственном университете

Научный руководитель: доктор физ.-мат. наук, ст.н.с.

Новиков Игорь Яковлевич

Официальные оппоненты: доктор физ.-мат. наук, профессор

Родин Владимир Александрович;

доктор физ.-мат. наук, профессор Костин Владимир Алексеевич

Ведущая организация: Ростовский государственный

университет

Защита состоится 28 ноября 2006 года в 15 часов 40 минут на заседании диссертационного совета К 212.038.05 при Воронежском государственном университете по адресу: 394006, г. Воронеж, Университетская пл. 1, математический факультет

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке Воронежского государственного университета.

Автореферат разослан «ЛУ-» октября 2006 года

Ученый секретарь Диссертационного совета доктор физ.-мат. наук

В.В. Смагин.

í^ooG R

2.4 2 ОЗ 3

^ ^ ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность работы. Система Хаара была введена в анализ в диссертации докторской диссертации Хаара в 1910 году для построения базиса в пространстве С[0, 1]. Им же были найдены первые замечательные свойства этой системы. Позднее система Хаара стала изучаться и применяться во многих разделах анализа.

Среди банаховых пространств и, особенно банаховых решеток, важное место занимают симметричные (перестановочно инвариантные) пространства. Значение теории симметричных пространств объясняется тем, что многие функциональные пространства, такие как Lp, Лоренца, Марцинкевича, Орлича и многие другие, являются симметричными. Их изучению посвящена обширная литература.

Сходимость и безусловная сходимость рядов Фурье-Хаара в пространствах Lp исследована в многих работах. Здесь можно указать монографии «Теория ортогональных рядов» С. Качмажа и Г. Штейнгауза, «Ортогональные ряды» Б.С. Кашина и A.JI. Саакяна и др. Безусловная сходимость таких рядов тесно связана с ограниченностью мультипликаторов по системе Хаара. Этой тематике посвящены работы Пэли, Марцинкевича, Буркхолдера, П.Л. Ульянова, Б.И. Голубова, С.В. Бочкарева, Е.М. Семенова и др.

Предлагаемая диссертационная работа продолжает исследование рядов Фурье-Хаара в симметричных пространствах. Подробно рассмотрен вопрос об ограниченности мультипликаторов по системе Хаара в различный симметричных пространствах, изучены базисные свойства системы Хаара всимметричных пространствах. Обобщен ряд теорем, посвященных данной тематике.

Цель работы. 1. Найти необходимые и достаточные условия ограниченности мультипликатора в конкретных парах симметричных пространств. Причем условия накладываются как на сам мультипликатор, так и на индексы Бонда пространства. 2. Выяснить, в каких симметричных пространствах система Хаара является усиленно условным базисом. 3. Найти необходимые и достаточные условия, ограниченности проектора по системе Хаара в пространстве Лоренца. 4. Изучить базисные свойства системы Хаара.

Методы исследования. Используются методы математического анализа, теории функций действительного переменного, геометрические методы в теории банаховых пространств, методы теории ортогональных рядов и интерполяции линейных операторов.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Среди них можно отметить следующие:

1. Введено необходимое и достаточное условие ограниченности мультипликатора в пространстве L¡ и, как следствие, в любом симметричном пространстве.

2. Получено необходимое н достаточное условие ограниченности

РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ БИБЛИОТЕКА С.-Петербург

мультипликатора Л = , действующего из симметричного пространства Е, индексы Бойда которого удовлетворяют неравенству 0<у<ссЕй/3Е<1, в пространство Ег с нормой ||х|]£г =|| -с'(0/"''||г-

3. Найдена оценка для нормы мультипликатора в паре пространств

4. Получено необходимое и достаточное условие ограниченности мультипликатора Ае, порожденного последовательностью £-{еп} (еп = ±1, и е М) в симметричном пространстве.

5. Показаны различия пространств мультипликаторов, ограниченных в Ьа и в любом пространстве Лоренца, отличном от и Ьа.

6. Получено необходимое и достаточное условие непрерывности мультипликатора, действующего из пространства Марцинкевича в пространство Лоренца.

7. Найдено необходимое и достаточное условие ограниченности проектора специального вида по системе Хаара в пространстве Лоренца.

8. Доказано, что в любом сепарабельном симметричном пространстве система Хаара является либо безусловным, либо усиленно условным базисом.

9. Изучены базисные свойства системы Хаара в пространствах Лоренца и Марцинкевича.

Практическая и теоретическая значимость. Диссертационная работа носит теоретический характер. Полученные в ней результаты могут быть -использованы в дальнейшем для изучения поведения рядов Фурье-Хаара в произвольных симметричных пространствах.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 95 страниц. Основное содержание диссертации изложено в главах П и Ш. В первой главе собраны необходимые предварительные сведения и стандартные обозначения, используемые в работе.

Апробация работы. Основные результаты работы обсуждались и докладывались на Ш международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2005г.), на IV международном симпозиуме «Ряды Фурье и их приложения» (Ростов-на-Дону, 2006г.), на внутривузовских научных конференциях в 2005г. и 2006 г., на семинарах кафедры теории функций и геометрии Воронежского госуниверситета.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в пяти работах [1] - [5]. Из совместных работ [1] и [2] в диссертацию вошли лишь результаты, полученные автором диссертации.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Пусть (О, I) — конечный или бесконечный интервал, 5(0,1) - метрическое пространство всех измеримых по Лебегу почта всюду конечных функций на (0,1). Для каждой неотрицательной функции хе5(0,1) определена функция распределения по формуле

их(т)=те,у{*е(0,/): *(г)>г}.

Функция распределения убывает, непрерывна справа и может принимать бесконечные значения в случае /=а>. Совокупность всех функций х(/), для которых пх (г) ^ со, обозначим через 50(0, /). В дальнейшем рассматриваются лишь функции из 5о(0,1).

Две неотрицательные функции х(/) и у(() из 5Ь(0, 1) называются равноизмеримъши, если пх (г) = пу (г).

Определение 1. Перестановкой неотрицательной функции хе 5о(0, 1) называется убывающая непрерывная слева функция равноизмеримая с

функцией *(/)• Перестановка единственна и может быть определена по формуле

Для произвольной функции из 5о(0, 1) через х'(г) обозначается

перестановка модуля функции х(/).

Определение 2. Функциональное банахово пространство Е на (0,1) с мерой Лебега называется симметричным (перестановочно-инвариантным) пространством, если из того, что уеЕ и х*(/)<у'(/) для всех /е(0,1), следует, что хеЕ и

В предлагаемой работе перестановочно-инвариантные пространства сокращенно обозначаются гл. пространствами.

Из определения гл. пространства вытекает, что норма характеристической функции аее измеримого множества ее(0,1) зависит только от меры множества е. Таким образом, для гл. пространства Е определена фундаментальная функция лрЕ (?) (V е(0,1)) по формуле

1К11 в=д>£(яше).

Для любого 0 <т<1 рассмотрим оператор растяжения

x^-J, OäiSmin(T,l) 0, min (r,l)<t<l

Операторы сrr коммутируют с операцией перестановки: (crTx)'(t)=crTx,(t), ограниченно действуют в любом r.i. пространстве, и функция В^гЦв^я полумультипликативна и квазивогнута. При этом выполняется неравенство

KL^maxiU) (т>0).

Числа

т-»0 Inf г-»» Inr

называются индексами Бойда пространсва Е. Всегда й<аЕ<, ßE<\.

Обозначим через Ф множество возрастающих, вогнутых на [0,1]

функций, удовлетворяющих условию q>(0) = 0, #>(l) = 1.

Определение 3. Пространство Л(р) всех измеримых на [0,1]

1

функций с нормой |х||л^= tpe Ф называется

о

пространством Лоренца.

Пространство Лоренца Л(/р) является банаховым гл. пространством, и его фундаментальная функция равна <р({).

Определение 4. Пространство всех измеримых функций у(1), для которых выполнено неравенство

1ь

о<л<а

назьшается пространством Марцинкевича М(<р). Если (э(г') непрерывна в нуле, то пространство Марцинкевича М{ф) изометрично пространству, сопряженному к сепарабельному пространству Лоренца Л(^). Для произвольного пространства Лоренца А(р) пространство М(р) совпадаете ассоциированным к Л(<р) пространством.

Пространство Марцинкевича М(<р) является банаховым гл. пространством, и его фундаментальная функция равна */#>(/).

со

Определение 5. Ряд ^хк элементов банахова пространства называется безусловно сходящимся, если для любой последовательности

со

ак =±1 (1 £&<<») сходится ряд ^окхк.

А=1

Определение 6. Двоичным (диадическим) интервалом называется интервал вида гДе 1 ^ г ^ 2*, £ = О, 1,— Через мы будем

обозначать множество индексов {(0,0), (к, г), 1<1'£2",£ = 0,1,...]. Для п=2к + г, (£, г)еП обозначим

2*4); К- ^ ' 2*}

А^До^СО, 1); А, =[0,1].

Если 8 с (0,1) - какой либо интервал, то через 8* и 8~ обозначаются соответственно левая и правая половина интервала 8 (без включения средней точки). В частности

1) Интервалы {Л*}м мы будем называть интервалами к-й пачки, ¿=0,1....."

Определение 7. Системой Хаара (сокращенно с.Х.) называется система функций % = \%п (¿)}™=!, ге[0, 1], в которой а функция

Хп{*) с 2к <п<2ы, к = 0,1,... определяется следующим образом:

1, при ге Д^ -1, при геА; О, при остальных <е[0,1]

Значения %„(/) в точках разрыва и в концах отрезка [0,1] выбираются так, чтобы выполнялись равенства

(/) = Вш^Ок, (/ + *) + Хя ('-*)), / е (0,1), Ж»(0)=1ипЖ„(^)1 яг„(1)=1пп^(1-^).

Группу функций {х.(0}л=2>ч1> ¿ = 0> !>•••> будем называть к-й пачкой.

Часто удобнее вместо одинарной нумерации с.Х. употреблять нумерацию, прямо указывающую, в какой пачке лежит данная функция. В этом случае при /с = 0,1,..., ¿ = 1,2,...,2к, и = 2* +1 полагают

*г(0=1» х'л<)=хл<)> им-

Таким образом, система Хаара состоит из объединения пачек {М}м' к = 0,1,... и функции Хо (')•

Система |22 (?) | является полной ортонормированной системой.

Она является базисом в любом сепарабельном гл. пространстве. Рядом Фурье - Хаара функции х(/)б!](0,1) называется ряд

»ю-!]ФЫ*)>

И=1

где с„ (я:) = сп (х, х) - коэффициенты Фурье - Хаара функции которые

вычисляются по следующим формулам:

«,(*)= Jx(<)<ft, с„(*) = 2* \x{t)dt-\x(t)dt о U к

Во второй главе диссертации изучаются условия ограниченности мультипликаторов по системе Хаара.

Всякая последовательность A = (A„t) порождает линейный оператор А (называемый мультипликатором), который на полиномах по с.Х. определяется следующим образом:

njs J п,к

Хорошо известно, что с.Х. образует безусловный базис в Lp, 1< р«я. Отсюда вытекает, что IIЛII » sup A J. В L. и Ью с.Х. не является

' ' (п.^сП1 ' 1

безусловной. Поэтому возникает вопрос о вычислении нормы мультипликатора в Ij и La.

Пусть (п,к)<=С1 и Д* = > T^rj • Последовательность вложенных

друг в друга диадических интервалов Д'01эД^ гз.-.пД^, и е M называется цепью. Множество цепей обозначим через А. Каждой цепи K = (l, ..,£„) поставим в соответствие число

mal

которое естественно назвать вариацией Я по цепи К. Введем на пространстве последовательностей Л-{Хпк, (п,/с)еО} полунорму

\\Я sup -Ara_uJ

КеЛ KeA, ncN „,=1

и множество тех Л, для которых J Я ||(Г<00» будем обозначать через W. Из соображений двойственности вытекает, что мультипликатор Л ограничен в Zj, тогда и только тогда, когда Л ограничен в La, и =||л||^.

Теорема 2.1. Для отраниченносги Л в Î, необходимо и достаточно, чтобы ||Л||([, <оо. Более того, норма ||Лэквивалентна ¡ЛЦ^, +(SUP

Из теоремы 2.1 вытекает

Следствие 2.2. Для того чтобы мультипликатор Л был ограничен в любом r.i. пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы AeW.

Обобщением в нескольких направлениях известной теоремы Яно об ограниченности мультипликатора Л в паре пространств (Lp,Lg), \йр<д<<х> является

Теорема 2.2. Пусть Е- симметричное пространство на [0; 1], индексы Бойда которого удовлетворяют неравенству 0<у <aç<рЕ <1 и пусть Еу -

пространство с нормой II^ILy Walls' Для ограниченности мультипликатора Л = |Ллк} из Е в Еу необходимо и достаточно, чтобы

sup <00.

(njt)Etl1 '

Более того, норма мультипликатора Л эквивалентна sup U„tl2"?'.

(л.фП1 ' 1

Обозначим через S множество мультипликаторов, удовлетворяющих условию Хпк=±\ для всех (и, к)е£1. Хорошо известно, что система Хаара образует безусловный базис в сепарабельном пространстве Е тогда и только тогда, когда J Л ||£ (Л е S) равномерно ограничена.

Рассмотрим последовательность s = {sn), где вп = ±], weN . Предположим, что данная последовательность содержит бесконечное число значений +1 и -1. Последовательность £ = {£„} порождает последовательность Лп к - еп для всех ( п, к) е Q и соответствующий мультипликатор А„. Обобщением теоремы, доказанной ранее О.В. Лелонд, является

Теорема 2.4. Пусть Е - r.i. пространство. Следующие условия эквивалентны:

(i) мультипликатор Ае ограничен в Е,

(ii) всякий мультипликатор Л (Л е S) ограничен в Е и sup||A||£ <оо,

AeS

(m)0<aE</SB<l.

Как отмечалось ранее (теорема 2.1 и следствие 2.2), из ограниченности мультипликатора Л в 4 вытекает ограниченность Л в любом пространстве Лоренца, Оказывается, что это вложение всегда является строгим. Теорема 2.5. Пусть <реФ и

limfflf/) = lim—= 0.

(-»О г 4 ' МО 9{t)

Тогдасуществуеттакой мультшишкатор Мчто М ограничен в Л(<р) и не ограничен в Ъа.

Пусть дана ограниченная последовательность 2 = (иД)еО] и соответствующий мультипликатор Л. Предположим, что Яп к не зависят от к, т.е.

Ла=Л,> (и, А) е £2 (1)

и

(2)

Обозначим через Ф0 множество возрастающих, вогнутых на отрезке [0,1] функций (£>(0) = 0, р(1)=1), удовлетворяющих условию

1+е<т<2-£ но

для некоторого г>0 и для любого *е[0Д]. Через ф{/) обозначим функцию

ш

Теорема 2.6. Пусть мультипликатор удовлетворяет условиям (1) и (2) и пусть - произвольная функция, принадлежащая множеству Ф0. Для непрерывности мультипликатора Л из М(ф) в Л(<р) необходимо и достаточно, чтобы 1 = Более того || Л ||М(-^Л(5)) и || А

эквиваленты, причем константы эквивалентности зависят только от . В третьей главе изучаются базисные свойства системы Хаара. Определение 8. Пусть (к,к)еС2 - система Хаара, и

%%(/), геН - некоторая ее подсистема. Проектором на подсистему Хаара

называется линейный оператор, который на полиномах Хаара определяется следующим образом:

13

/ \

р

I смМО

ч(пД)сП у /=1

Для заданного а>0 обозначим через <pa(t) вогнутую на [0, 1]

2

функцию из Q, эквивалентную функции log""у. Пусть пк, ¿eN

возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим через Р ортогональный проектор на подпространство, порожденное системой функций £ = 1,2,...]. В силу безусловности с.Х. в Lp, 1<р<оо оператор Р ограничен в Lp. В Л(<ра) с.Х. не является безусловной.

Теорема 3.1. Пусть пк возрастающая последовательность натуральных чисел и пм -пк>2 для к е N. Для того, чтобы проектор Р был ограничен в

пространстве Лоренца А{<ра) необходимо и достаточно, чтобы

» j

supwAT—<00.

tcN y=t rtj

Следствие 3.1. Если проектор Р ограничен в Л(с/>а) для некоторого а> О, то Р ограничен в А(р0) для всех а > 0.

2'» Г

Следствие 3.2. Если sup ^ цпк | < оо, то мультипликатор М^,

№ n=2Ul t=l

определяемый последовательностью {,"„,*}> ограничен в Л(^й).

Пусть X — банахово пространство над полем действительных чисел с базисом {ек)1 и {е*}, _ система координатных функционалов.

Гипероктантом соответствующим данному набору знаков вк=±1,

будем называть множество элементов хвХ, представимых в виде

со

* = , где все а, неотрицательны.

____ Определение 9. Гипероктант | будем называть безуспоенъил

для базиса {е*}^, если для любого хеГн^П ряд х=^е'[х)е,

* ' 1=1

(разложение х по базису {е^}") сходится безусловно. Гипероктант, не

являющийся безусловным для данного базиса, называется условньш.

Базис в банаховом пространстве называется усиленно условньш, если для этого базиса все гипероктаны условны. По определению всякий усиленно условный базис является условным. Известны примеры условных, но не усиленно условных базисов. В.М. Кадец и ММ. Попов доказали, что с.Х. образует усиленно условный базис в пространстве Ь\.

В предлагаемой работе доказано, что в любом сепарабельном гл. пространстве с.Х. является либо безусловным, либо усиленно условным базисом.

Теорема 3.2. Если с.Х. образует условный базис в сепарабельном гл. пространстве Е, то с.Х. есть усиленно условный базис в Е. Из теоремы 3.2 как следствие вытекает

Теорема 3.3. Для того чтобы с.Х. была усиленно условным базисом в сепарабельном гл. пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы аЕ = О или РЕ = \.

Следующая теорема описывает еще одно базисное свойство с.Х. в пространствах Лоренца.

Теорема 3.4. Пусть <ре Ф. Для того, чтобы

Нт

Хп,

'=1 \\%п

Л(1У)

равномерно по 1£/г1</г2<...<ггт необходимо и достаточно, чтобы

СПИСОК ПУБЛИКАЦИЙ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Лелонд О.В. Пространство мультипликаторов Фурье - Хаара / О.В. Лелонд, Е.М. Семенов, С.Н. Уксусов // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т.46, №1. - С. 130— 138.

2. Семенов Е.М. Мультипликаторы Фурье - Хаара / Е.М. Семенов, С.Н. Уксусов // Ряды Фурье и их приложения : сб. тез. Ш междунар. симп. -Ростов-на-Дону, 2005. - С. 32-33.

3. Уксусов С.Н. Мультипликаторы Фурье - Хаара в пространствах Лоренца / С.Н. Уксусов Н Ряды Фурье и их приложения : сб. тез. IV междунар. симп. -Ростов-на-Дону, 2006. - С. 52-53.

4. Уксусов СЛ. Ограниченность мультипликаторов в симметричных пространствах / С.Н. Уксусов // Воронежская зимняя мат. школа : тез. докл. -Воронеж: ВорГУ, 2006. - С. 100-101.

5. Уксусов С.Н. Проекторы на подсистему Хаара / С.Н. Уксусов // Совр. проблемы прикл. математики и мат. моделирования : сб. тез. междунар. научн. конф. - Воронеж, 2005. - С. 227.

Подписано в печать 25.10.2006. Формат 60x84/16. Усл. п. л. 1,0. Тираж 100. Заказ 844. Издательско-полиграфический центр Воронежского государственного университета. 394000, г. Воронеж, Университетская площадь, 1, ком.43, тел.208-853. Отпечатано в лаборатории оперативной печати ИПЦ ВГУ.

Я.оо€> k

2-4 2-©В

г

', f I

Введение.

Глава I. Основные обозначения и предварительные сведения.

§1.1. Пространства измеримых функций.

§1.2. Симметричные пространства.

§1.3. Ряды Фурье-Хаара.

§1.4. Дополнительные сведения.

Глава II. Мультипликаторы рядов Фурье - Хаара.

§2.1. Ограниченность мультипликаторов Фурье - Хаара в пространствах Ьх и

§2.2. Ограниченность мультипликаторов в пространствах Еу.

§2.3. Норма мультипликатора в паре пространств Ьд).

§2.4. Ограниченность мультипликатора в симметричных пространствах с нетривиальными индексами Бойда.

§2.5. Различие свойств мультипликаторов в пространствах Лоренца и

§2.6. О непрерывности мультипликатора из пространства Марцинкевича в пространство Лоренца.

Глава III. Базисные свойства системы Хаара.

§3.1. Ограниченность проектора в пространствах Лоренца.

§3.2. Условные базисы в симметричных пространствах.

§3.3. Ограниченно полные базисы.

Система Хаара была введена в анализ в докторской диссертации Хаара в 1910 году для построения базиса в пространстве С[0, 1]. Им же были найдены первые замечательные свойства этой системы. Позднее система Хаара стала изучаться и применяться во многих разделах анализа.

Среди банаховых пространств и, особенно банаховых решеток, важное место занимают симметричные (перестановочно-инвариантные) пространства. Значение теории симметричных пространств объясняется тем, что многие функциональные пространства, такие как Ьр, Лоренца, Мар-цинкевича, Орлича и многие другие, являются симметричными. Их изучению посвящена обширная литература.

Сходимость и безусловная сходимость рядов Фурье-Хаара в пространствах Ьр исследована в многих работах. Здесь можно указать монографии [4], [8], [21], [29], статьи [6], [12], [13], [14], [15], [30]. Безусловная сходимость таких рядов тесно связана с ограниченностью мультипликаторов по системе Хаара. Этой тематике посвящены работы [2], [9] и др.

Предлагаемая диссертационная работа продолжает исследование рядов Фурье-Хаара в симметричных пространствах. Рассмотрен вопрос об ограниченности мультипликаторов по системе Хаара в различных симметричных пространствах, изучены базисные свойства системы Хаара в симметричных пространствах. Обобщен ряд теорем, посвященных данной тематике.

Основное содержание диссертации изложено в главах II и III. В первой главе собраны необходимые предварительные сведения и стандартные обозначения, используемые в работе.

В предлагаемой работе перестановочно-инвариантные (симметричные) пространства сокращенно обозначаются r.i. пространствами, система функций Хаара сокращенно обозначается с.Х.

Во второй главе диссертации изучаются условия ограниченности мультипликаторов по с.Х. Доказаны теоремы 2.1-2.6.

Обозначим через Q множество индексов

0,0), (иД), и = ОД,., \<к<2п).

Пусть (иД)ей-с.Х. Всякая последовательность Я = порождает линейный оператор Л (называемый мультипликатором), который на полиномах по с.Х. определяется следующим образом: Л

V п,к J п,к

Хорошо известно, что с.Х. образует безусловный базис в L , 1 < р < со.

Отсюда вытекает, что Л

I « sup (п,к)еП А п,к

В L и с.Х. не является безусловной. Поэтому возникает вопрос о вычислении нормы мультипликатора в Ц и

Пусть (n,k)eQ и Д^ = — 1 к Л

2 л ' г\п

1 У Последовательность вложенных друг в друга диадических интервалов называется цепью. Множество цепей обозначим через А. Каждой цепи К = (1 ,кх,., кп) поставим в соответствие число т-1 т=1 которое естественно назвать вариацией Я по цепи К. Введем на пространстве последовательностей Я = {Лп к, \п,к) е О} полунорму

КеА,пеЦ т=\ Х

КеА т-1 и множество тех Я, для которых Я < со, будем обозначать через 1¥.

Из соображений двойственности вытекает, что мультипликатор Л ограничен в Ц, тогда и только тогда, когда Л ограничен в и Л к Л

Теорема 2.1. Для ограниченности А в I, необходимо и достаточно, чтобы Я < со. Более того, норма Л эквивалентна Л п,к)еО.

Л, п,к

Из теоремы 2.1 вытекает

Следствие 2.2. Для того чтобы мультипликатор Л был ограничен в любом гл. пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы Я е УУ .

Обобщением в нескольких направлениях известной теоремы С. Яно об ограниченности мультипликатора Л в паре пространств (Ьр, Ьд), 1 < р < д < оо является

Теорема 2.2. Пусть Е- симметричное пространство на [0; 1], индексы Бойда которого удовлетворяют неравенству §<у<аЕ</3Е<\ и пусть Еу - пространство с нормой X

Еу х (t)t 7 . Для ограниченности мультипликатора Л = {ЛяА} из Е в Еу необходимо и достаточно. чтобы sup п.к)еП Л п.к

2"7<оо.

Более того, норма мультипликатора Л эквивалентна sup п.к)еП

Далее доказывается

Теорема 2.3. Пусть 1 < р, q < go. Тогда А п,к 2 пу со Л с

I I Р,Я sup к<2"

2 \Кк 2 р V п=1 Y где константа Спя зависит только от р к а. р,(] ± -I

Обозначим через £ множество мультипликаторов, удовлетворяющих условию Хпк~±\ для всех (и, Хорошо известно, что система Хаара образует безусловный базис в сепарабельном пространстве Е тогда и только тогда, когда || А || (А е равномерно ограничена.

Рассмотрим последовательность £ = {ёп}, где еп=±1, пеЩ .

Предположим, что данная последовательность содержит бесконечное число значений +1 и -1. Последовательность £ = {бп] порождает последовательность Хп к = £п для всех (п,к)еО. и соответствующий мультипликатор Л£. Обобщением теоремы 1 [14], доказанной О.В. Лелонд, является

Теорема 2.4. Пусть Е - гл. пространство. Следующие условия эквивалентны:

1) мультипликатор А£ ограничен в Е, 00 Е ii) всякий мультипликатор A (A е S) ограничен в Е и sup А

AeS iii) 0<аЕ< fiE <1.

Как отмечалось ранее (теорема 2.1 и следствие 2.2), из ограниченности мультипликатора А в Ьт вытекает ограниченность А в любом пространстве Лоренца. Оказывается, что это вложение всегда является строгим.

Теорема 2.5. Пусть (реФ и lim (pit) = lim—— = 0.

->о 4 ' /->о f(t)

Тогда существует такой мультипликатор М е £, что М ограничен в А[(р) и не ограничен в

Пусть дана ограниченная последовательность Я = |Япк, (пД)еО и соответствующий мультипликатор А. Предположим, что Яп к не зависят от к, т.е. лп,к=лп> (лД)еО (1) и

Л0 > ij 1 >•••

2)

Обозначим через Ф0 множество возрастающих, вогнутых на отрезке [0,1] функций (<^(0) = 0, ф(\) = \\ удовлетворяющих условию

1 + £<^)-<2-£ для некоторого £>0 и для любого ¿е[0,1]. Через обозначим функцию —тт-.

ПЧ

Теорема 2.6. Пусть мультипликатор удовлетворяет условиям (1) и (2) и пусть ср({) - произвольная функция, принадлежащая множеству

Ф0. Для непрерывности мультипликатора Л из М(^) в Л(^) необходимо и достаточно, чтобы Л = {Л09Л1,Л2,.} е1{. Более того || Л [Ц^д^ и от Я эквиваленты, причем константы эквивалентности зависят только

КО

В третьей главе изучаются базисные свойства системы Хаара. Доказаны теоремы 3.1-3.4.

Пусть Хп (0' е ^ ~ система Хаара, и Хп. (0' 7 е ^ ~ некоторая ее подсистема. Проектором на подсистему Хаара называется линейный оператор, который на полиномах Хаара определяется следующим образом: \ Р

I ММ я, к)еО. У г=1

Для заданного а> О обозначим через (pa(t) вогнутую на [0, 1] 2 функцию из Ф, эквивалентную функции log а —. Пусть пк, к g N возрастающая последовательность натуральных чисел. Обозначим через Р ортогональный проектор на подпространство, порожденное системой функций & = В силу безусловности системы Хаара в

L , 1<р<со оператор Р ограничен в L . В Лс.Х. не является безусловной.

Теорема 3.1. Пусть пк возрастающая последовательность натуральных чисел и пк+1 -пк> 2 для к е N. Для того, чтобы проектор Р был ограничен в пространстве Лоренца Л(<ра) необходимо и достаточно, чтобы

СО 2 keN j=k Ylj

Следствие 3.1. Если проектор Р ограничен в Л[(ра) для некоторого а > 0, то Р ограничен в Лдля всех а> 0.

27+1 2"

Следствие 3.2. Если sup ^ <00> то мультипликатор М//5 определяемый последовательностью |//и к J, ограничен в Л).

Пусть Х - банахово пространство над полем действительных чисел с базисом {еки je^j - система координатных функционалов. Гипероктантом j, соответствующим данному набору знаков вк=±\, будем называть множество элементов хеХ, пред ставимых в виде со x = ^aiOiei, где все щ неотрицательны.

Напомним, что ряд ^хк элементов банахова пространства сходитк=\ ся безусловно, если для любой последовательности ак=± 1 (1<£<со) со сходится ряд ^Гакхк. к=1

Гипероктант будем называть безусловным для базиса

ОО / 00 \ 00 е*}", если для любого х еГцб^ | ряд х = (разложение х по базису {ек}™) сходится безусловно. Гипероктант, не являющийся безусловным для данного базиса, называется условным.

Базис в банаховом пространстве называется усиленно условным, если для этого базиса все гипероктаны условны. По определению всякий усиленно условный базис является условным. Известны примеры условных, но не усиленно условных базисов. В [6] В.М. Кадец и М.М. Попов доказали, что с.Х. образует усиленно условный базис в пространстве Ь\.

В предлагаемой работе доказано, что в любом сепарабельном гл. пространстве с.Х. является либо безусловным, либо усиленно условным базисом.

Теорема 3.2. Если с.Х. образует условный базис в сепарабельном гл. пространстве Е, то с.Х. есть усиленно условный базис в Е. Из теоремы 3.2 как следствие вытекает

Теорема 3.3. Для того чтобы с.Х. была усиленно условным базисом в сепарабельном гл. пространстве Е необходимо и достаточно, чтобы аЕ- 0 или ¡3Е = 1.

Следующая теорема описывает еще одно базисное свойство с.Х. в пространствах Лоренца.

Теорема 3.4. Пусть ере Ф. Для того, чтобы

Нт т-> <х> т I

Ж

I 00 равномерно по 1 <пх<пг<. <пт необходимо и достаточно, чтобы

1- ■ г<р(2*) <Р(2 О шшш —> 1, птзир—< 2. ср^) (р[г)

Основные результаты диссертации опубликованы в работах: [14], [16]—[19]. Из совместных работ [14] и [16] в диссертацию вошли результаты, принадлежащие автору.

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук, старшему научному сотруднику И .Я. Новикову, а также доктору физико-математических наук, профессору Е.М. Семенову, оказавшим существенную помощь и поддержку в работе над диссертацией.

1. Берг И. Интерполяционные пространства. Введение / И. Берг, И. Леф-стрем. -М.: Мир, 1980.-264 с.

2. Брыскин И.Б. Мультипликаторы рядов Фурье - Хаара / И.Б. Брыскин, О.В. Лелонд, Е.М. Семенов // Сиб. мат. журн. - 2000. - Т.41, №4. - С. 758-766.

3. Бирман М.Ш. Функциональный анализ / М.Ш. Бирман и др.; под общ. ред. С.Г. Крейна. - 2-е изд., перераб. и доп. - М.: Наука, 1972. -544 с.

4. Голубов Б.И. Ряды Фурье по системе Хаара / Б.И. Голубов // Математический анализ. - М.: ВИНИТИ, 1971. - С. 109-146. (Итоги науки).

5. Зигмунд А. Тригонометрические ряды : в 2-х т. / А. Зигмунд; пер. с англ. - М.: Мир, 1965. - Т.2. - 537 с.

6. Кадец В.М. О базисах Шаудера, условных в каждом гипероктанте / В.М. Кадец, М.М. Попов // Сиб. мат. журн. - 1987. - Т.ХХУШ, №1. - С. 115-118.

7. Канторович Л.В. Функциональный анализ / Л.В. Канторович, Г.П. Аки-лов. - 2-е изд., перераб. - М.: Наука, 1977. - 742 с.

8. Кашин Б.С. Ортогональные ряды / Б.С. Кашин, А.Л. Саакян. - М.: Наука, 1984.-496 с.

9. Ким Ю.Е. Об одном типе мультипликаторов в симметричных пространствах / Ю.Е. Ким // Мера и интеграл : межвуз. сб. научн. ст. - Самара, 1995.-С. 35-42.

10. Красносельский М.А. Выпуклые функции и пространства Орлича / М.А. Красносельский, Я.Б. Рутицкий. - М.: Физматгиз, 1958. - 271 с.П.Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов / С.Г. Крейн, Ю.И. Петунии, Е.М. Семенов. - М.: Наука, 1978. - 400 с.

11. Кротов В.Г. О безусловной сходимости рядов Хаара в Арю / В.Г. Кротов// Мат. заметки. - 1978. - т.5, №23. - С. 685-695.

12. Лелонд О.В. Мультипликаторы рядов Фурье - Хаара в пространствах Лоренца / О.В. Лелонд // Проблемы математического образования и культуры : сб. тез. международн. научн. конф. - Тольятти, 2003. - С. 18-19.

13. Лелонд О.В. Пространство мультипликаторов Фурье - Хаара / О.В. Лелонд, Е.М. Семенов, С.Н. Уксусов // Сиб. мат. журн. - 2005. - Т.46, №1. -С. 130-138.

14. Новиков И.Я. Последовательности характеристических функций в симметричных пространствах / И.Я. Новиков // Сиб. мат. журн. - 1983. - Т.24, №2. - С. 193-196.

15. Семенов Е.М. Мультипликаторы Фурье - Хаара / Е.М. Семенов, С.Н. Уксусов // Ряды Фурье и их приложения : сб. тез. III междунар. симп. -Ростов-на-Дону, 2005. - С. 32-33.

16. Уксусов С.Н. Мультипликаторы Фурье - Хаара в пространствах Лоренца / С.Н. Уксусов // Ряды Фурье и их приложения : сб. тез. IV междунар. симп. - Ростов-на-Дону, 2006. - С. 52-53.

17. Уксусов С.Н. Ограниченность мультипликаторов в симметричных пространствах / С.Н. Уксусов // Воронежская зимняя мат. школа : тез. докл. -Воронеж: ВорГУ, 2006.-С. 100-101.

18. Уксусов С.Н. Проекторы на подсистему Хаара / С.Н. Уксусов // Совр. проблемы прикл. математики и мат. моделирования : сб. тез. междунар. научн. конф. - Воронеж, 2005. - С. 227.

19. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения / Р. Эдварде; пер. с англ. - М.: Мир, 1969. - 1072 с.

20. Burkholder D.L. A nonlinear partial differential equation and unconditional constant of the Haar system in Lp / D.L. Burkholder 11 Bull. Amer. Math. Soc. - 1982. - №7. - P. 591-595.

21. Carothers N.L. Geometry of Lorentz spaces via interpolation / N.L. Carothers, S.J. Dilworth // Functional analysis. Proc. 4th Annu. Semin., Austin / TX (USA), 1985-86. Austin, TX : University of Texas, 1986. - P. 107-133.

22. Carothers N.L. Isometries on LPt\ / N.L. Carothers, B. Tureet 11 Transaction of the Amer. Math. Soc. - 1986. - Vol. 297, №1. - P. 95-103.

23. Creekmore J. Type and cotype in Lorentz Lp>q spaces / J. Creekmore 11 In-dag. Math. (N.S.) - 1981. - Vol. 43, №2. - P. 145-152.

24. Hunt R.A. On L(p, q) spaces / R.A. Hunt 11L' Enseignement Math. - 1966. -№12.-P. 249-276.

25. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces I. Seguence Spaces / J. Linden-strauss, L. Tzafriri. - Berlin : Springer-Verlag, 1977. - 190 pp.

26. Lindenstrauss J. Classical Banach Spaces II. Function Spaces / J. Linden-strauss, L. Tzafriri. - Berlin : Springer-Verlag, 1979. - 243 pp.

27. Luxemburg W.A. Banach Function Spaces / W.A. Luxemburg. - Van Gor-cum and C. Assen, 1955.-70 pp.

28. Novikov I. Haar series and linear operators / I. Novikov, E. Semenov // Dordrecht: Cluver Acad. Publ. - 1997. - 218 pp.

29. Yano S. On a lemma ofMarcinkiewicz and its applications to Fourier series / S. Yano // Tohoku Math. J. - 1959. - №11. - P. 195-215.