Мультипликаторы в пространствах Харди и некоторые вопросы теории приближений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

НАЦІОНАЛЬНА АКАДЕМІЯ НАУК УКРАЇНИ ІНСТИТУТ ПРИКЛАДНОЇ МАТЕМАТИКИ І МЕХАНІКИ

ВОЛЧКОВ Віталій Володимирович

УДК 517.5

МУЛЬТИПЛІКАТОРИ В ПРОСТОРАХ ХАРДІ ТА ДЕЯКІ ПИТАННЯ ТЕОРІЇ НАБЛИЖЕНЬ

Спеціальність 01.01.01 - математичний аналіз

Автореферат

дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наук

Донецьк - 1998

Дисертацією є рукопис

Робота виконана на кафедрі математичного аналізу та теорії функцій Донецького державного університету

Науковий керівник Доктор фізико-математичних наук, професор

Тригуб Роальд Михайлович, Донецький державний університет, завідуючий кафедрою математичного аналізу та теорії функцій

Офіційні опоненти:

Доктор фізико-математичних наук, професор Моторний Віталій Павлович, Дніпропетровський державний універитет, завідуючий кафедрою теорії функцій

Кандидат фізико-математичних наук, старший науковий співробітник Кузнецова Ольга Іванівна, Інститут прикладної математики і механіки НАН України, старший науковий співробітник Провідна установа

кафедра математичного аналізу Одеського державного університету Захист відбудеться " 2~Ъ " 1998 р. о і ^ годині на

засіданні спеціалізованої вченої ради Д 11.193.01 при Інституті прикладної математики і механіки НАН України за адресою : 340114, м. Донецьк, вулиця Р. Люксембург, 74.

З дисертацією можна ознайомитися у бібліотеці Інститута прикладної математики і механіки НАН України за адресою : 340114, м. Донецьк, вулиця Р. Люксембург, 74.

Автореферат розіслано " 14 " ОЕ-рЛ-й-иЯ 1998 р.

Вчений секретар спеціалізованої вченої ради

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальність теми. В роботі досліджуються деякі питання гармонічного аналізу та теорії наближень функцій: мультиплікатори в просторах Харді if, 0<р<1 в одинічній кулі із С" та на більш загальних областях, їх застосування до методів підсумовування степеневих рядів та визначенню К- функціоналу пари просторів гладких функцій, наближення функцій поліномами з цілими коефіцієнтами.

Мультиплікатори рядів Фурь’є почав вивчати Фекете у 1923 р. Першу ефективну достатню умову в LP при 1 < р < со та її застосування одержано Марцінкєвичем, а в неперіодичному випадку (для інтегралів Фурь’є) -Міхліним та Хермандером. Загальні властивості мультиплікаторів досліджуються в відомих монографіях А.Зигмунда, І .Стейна, І.Стейна та Г.Вейса, Р.Едвардса.

До теорії наближень функцій мультиплікатори застосовували Б.С.Митягін С.А. Теляковський, P.M. Тригуб, Е.С. Бєлінський та ін. У просторах Lj (та С) питання про мультиплікатори пов’язано з зображенням функції-мультиплікагора у вигляді перетворення Фурь’є скінченної борелівської міри, а застосування мультиплікаторів зв’язано з визначенням регулярності методів підсумовування кратних рядів, точного порядка наближення тим чи іншим методом підсумовування, зростання констант Лебега та ін.

В просторах Lp, 0<р<1 не існує рядів Фурь’є та ненульових неперервних лінійних функціоналів. У просторах Харді if, р>0 інша сітуація, оскільки довільна функція із ff розкладається в степеневий ряд. Різні питання теорії функцій в L р і ff при 0<р<1 вивчались в роботах Е.О.Стороженко,

В.Г.Кротова, П.Освальда, В.І.Іванова, В.І.Іванова та В.А.Юдіна, О.Б.Олександрова, Л.В.Ходака, Р.М.Тригуба та ін. Випадок Н1 досліджував

ще раніше Л.В.Тайков. Достатні умови для мультиплікаторів степеневих рядів

в IF, 0<р<1 на поліколі та їх застосування одержано Р.М.Тригубом (1994 р.)

Раніше деякі достатні умови для мультиплікаторів в просторах Харді If,

0<р<1 у верхній півплощині застосовано О.О.Соляником, а більш загальні

результати нещодавно одержано О.В.Товстолісом.

К - функціонали почав вивчати Петре (1963) для побудови

інтерполяційних просторів дійсним методом інтерполяції (див., напр., відому

монографію И.Берга та Й.Лефстрема). З.Чєсельський (1983) поставив задачу

визначення К — функціонала у термінах лінійних середніх ряда Фурь’е.

Головні результати в цьому напрямку одержано Р.М.Тригубом та

Е.С.Белінськии.

Задача про наближення функцій многочленами з цілими коефіцієнтами має давню історію (див. 1) або 2) та бібліографію до цих робіт). Необхідні та достатні умови рівномірного наближення одержано М.Фекете, Е.Хьюіттом та Х.Цуккерманом (в дійсному випадку) та С.Я.Альпером (у комплексній області). Вивчались також питання про порядок наближення тих чи інших класів. Перший точний результат для відрізка [ОД] одержано О.О.Гельфондом. Повністю цю задачу для відрізка дійсної осі розв’язано Р.М.Тригубом.

В дисертації продовжується цей цикл досліджень.

Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Робота виконувалась в рамках теми “Гармонічний аналіз функцій та операторів” №0196 UKRAINE 007096 та частково фінансована ISSEP, грант №PSU 051023.

1) Тригуб P.M. Приближение функций с диофантовыми условиями многочленами с целыми коэффициентами // Темат. сб. “Метрические вопросы теории функций и отображений",- Киев: Наукова думка.-1971.-

С. 267-333.

2) Ferguson О. Approximation by polynomials with integral coefficients.- Amer. Math.Soc.: Providence, R. I. - 1980. - 158 p.

з

Метою роботи є:

1) Отримати достатні умови для мультиплікаторів степеневих рядів в просторах Харді ЬР, 0<р< 1 на областях Рейнхарта.

2) Дослідження точності цих умов у деяких випадках.

3) Застосування мультиплікаторів до задач теорії наближень функцій.

4) Отримати нерівність типу Бернштейна в І?, 0<р<1 у випадку, коли пбрядок похідної полінома задовольняє умові Леа > 0.

5) Розглянути задачу про наближення функцій многочленами з цілими гауссовими коефіцієнтами на деяких множинах комплексної площині.

Методи дослідження. В роботі використовуються методи гармонічного аналізу, теорії наближень, випадкового вибору, а також деякі конструкції багатовимірного комплексного аналізу та теорії дзета-функції Рімана.

Наукова новизна. Основні результати роботи полягають у наступному:

1) Одержано достатні умови для мультиплікаторів степеневих рядів в 1Р (В), 0<р<1 (О - повна обмежена область Рейнхарта з центром у нулі в С”). Встановлено, що підсилити ці умови неможливо в багатьох випадках.

2) Знайдено порядок наближення функції /є ІР (О), 0<р<1 середніми Бохнера-Рісса її степеневого ряду та формула для К - функціоналу пари просторів, що визначені полігармонічним оператором.

3) Одержано нерівність типу Бернштейна в просторах Й*’, 0<р<1 при Яеа>0.

4) Обчислено порядок зростання норм деяких мультиплікаторів.

5) Одержано оцінку швидкості апроксімації функцій многочленами з цілими гауссовими коефіцієнтами на деяких множинах комплексної площини.

Теоретичне та практичне значення. Результати, які одержано в дисертації, мають теоретичний характер. Вони можуть бути застосовані в теорії наближень та гармонічному аналізу.

Апробація результатів дисертації. Основні результати проведених в дисертації досліджень доповідались на міжнародній конференції з теорії наближень функцій (Калуга, 1996), другій школі “Ряди Фурь’є: теорія і застосування'1 (Кам’янець-Подільський, 1997), на наукових конференціях професорсько-викладацького складу Донецького державного університету (Донецьк, 1995, 1997), семінарі професора Е.О. Стороженко (Одеський державний університет, 1996), семінарі професорів В.П. Моторного та В.Ф. Бабенка (Дніпропетровський державний університет, 1998), семінарі професора P.M. Тригуба (Донецький державний університет, 1993-1997).

Публікації. З основних результатів досліджень, які викладено в дисертації, опубліковано 8 наукових праць.

Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота викладена на 108 сторінках та складається із вступу, трьох глав та списку літератури із 65 найменувань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ

У вступі обгрунтовується актуальність теми дисертаційної роботи; стисло наведено зміст роботи по главах; сформульовано основні наукові результати, що виносяться на захист.

В першій главі досліджуються достатні умови для мультиплікаторів в tF (D), 0<р<1 та розглянуто їх застосування. Повні області Рейнхарта у випадку функцій багатьох змінних мають таке саме значення, що і коло у випадку одного змінного. Таким чином, це найбільш загальний клас областей, в яких можна ставити задачу про мультиплікатори степеневих рядів.

В параграфі 1.1 наведено основні означення та найпростіші властивості мультиплікаторів степеневих рядів. У параграфі 1.2 одержано достатні умови

для мультиплікаторів в № (О), 0<р<1. Нехай И” =

є > ОД < _/ < п^х < у, якщо у- х є К.+ ;

0” - {х = (х1,...,х„)е Я" : |х,| < п,1 < у < и}; С7" = (г є С" : |г^| < 1,1 й ./ < и},

и = 1/'; }є Мр(О), якщо оператор Л.-^с^г* -> '^іХкскгк обмежений в

// (©)/ Л/Я(и") - клас функцій <р для яких

гир

£>0

Усє-г:

< со.

Мр{В)

Теорема 1.1. Для кожного ре (ОД] та кожного N = (N1 ..., N„1 Є № існує стала у = /(/?, п) така, що

і/р

і л ^ . . ;(Ь- ,.\ і ■

{^к^0<к<И

Т лкеі(к’и)гіи)

де при к £ [О.Л^х ...х[0,//„] можна вибирати довільно.

1 1,

Теорема 1.3. а) Нехай (рвСіЩ) при деякому цілому г > п(------),

Р 2

\(р{х)\:

3>

Эху

(х)

< —! де тіп(/?-а-г,0) + - > 0. Тоді

1+М

п(2-р)

зир

Є >0

{<Р(^Пке2,,

< со.

б) Нехай (р&Сг{Яп) при г = дг<р

п л+1

~Р~~Т

мР(й)

та <р = 0 поза [-1Д]П. Якщо частинна

похідна —— як функція від х задовольняє по нормі С умові Ліпшіца

дхг,

ступіню більше — - - з (рівномірно відносно інших змінних), а відрізок

Р 2

[-1,1] можна розбити на скінченне число відрізков (обмежене відносно інших

змінних), на кожному з яких дійсна та уявна частини як функції від х,

дх) 1

опуклі або вгнуті (1 < j < «), то sup

£>0

< 00 .

Mp(D)

У випадку, коли D - поліколо подібні результати раніше одержано P.M. Тригубом.

На закінченні параграфа 1.2 розглянуто застосування теореми 1.1 до питання про повноту в просторах Ft? (D), 0<р<1 системи „■ ^Ри п~1

в просторах L р, 0<р<1 та If, 0<р<1 це питання вивчали В.І.Іванов та В.А.Юдін.

Теорема 1.4. Для кожного i/eZ" має місце нерівність

inf

zv - I ckzk

кфу

> А>0,

Hp(D)

де стала А залежить лише від у,р та п

В параграфі 1.3 ці результати застосовуються до деяких задач теорії наближень функцій. Знайдено порядок наближення функції / є ІР (Ц), 0<р<1 середніми Бохнера-Рісса її степеневого ряду та формула для К- функціоналу пари просторів, що визначені полігармонічним оператором £>2г. При цьому застосовується спеціальний модуль гладкості, який раніше розглянуто Р.М.Тригубом.

Нехай

Ск2к , де с* - тейлоровські коефіцієнти /,

к<=гі ,Ш5-1 є

к(е, /, НРф),В2г )= іпґ|/ - *|| + є2г\Ргг (я]! ),,

, Де

і' ^ 'і 2Ч

Аг, (/-) = І д 2]ЪГ-

7

/(г), г є N

Теорема 1.5. Для кожного г &Ы,ре (ОД], 5 > — - — - -, / є Н р (£>), є>0

Р 2

мають місце двосторонні нерівності з константами, які не залежать від / та є

/~кг/(/)! «г&с/Н-

ДЄ

|и]і1 »'=

, а інтеграл

2и 1 1

взятий за декартовим добутком <у одиничних куль в Кл при д>-Теорема 1.6. За умов теореми 1.5

4ь/,//'чі>),/з2гЦ /~К,6(Л

(двосторонні нерівності з константами, що не залежать від / та є).

Доведення цих результатів побудовано на теоремах про мультиплікатори. В параграфі 1.4 одержано порядок зростання норм деяких мультиплікаторів в Н р (і/ ”) при 0< /?<1. Далі цей результат застосовується в

главі 2 для визначення порядка зростання норми мультиплікатора )„=0.

В другій главі розглянуто, зокрема, поведінку функцій із А/ДО.со) в нулі

та на нескінченності. Встановлено, що достатні умови для мультиплікаторів, отримані раніше, неможливо підсилити в ряду випадків. Нехай п = 1, а = /?. Із

, о 1

теореми 1.3 виходить, що якщо а>—,рє.

1

1

а + -

\х

г> — та ф(х)=0 -^7|.Ф^0с)= О] —,х->+оо,то #>єЛ/р[0,+<ю).

2 J

(р є Сг[0,+оо) при деякому

В параграфі 2.1 доведена

Теорема 2.1. Для кожного а є | 0,^ ) та г є N існує функція <р є С'[0,оо)

така, що

ф(*)=0[4гі’Ф^(*)=0

\ха )

,Х—> +СО

та <р не належить Л/ДО, со) ні при якому р є (0,і}

Далі, довільна фінітна функція ^ є С‘[0,+со) належить Мр[0,оо) при (2 1

р є І—,1 . В параграфі 2.2 доведена

Теорема 2.3. Існує функція <р, яка має такі властивості:

1) <рєСх(0,+со) та <р(х)- 0 при х^І

2) <р- диференційовна на [0,+оо)

3) (р не належить Л/р[0,оо) ні при якому рє(0,1]. ,

При доведенні цих теорем використовується метод випадкового вибору. Далі розглянуто задачу про продовження мультиплікатора в А/][0,да) до мультиплікатора в (Т). Відомо (див., напр., монографію Р.Едвардса “Ряды Фурье в современном изложении”, т.2, с. 347), що якщо послідовність

п{х)

{Л-„}”= о є М] (£/), то її можна продовжити до мультиплікатора в Z,,(T). Для функдій-мультиллікаторів подібний результат не виконується.

Теорема 2.4. Функція

|sin(lnx),x > О : О

належить Мр [0, оо) для кожного р > 0. '

Наслідок. Функцію р0{х) не можна продовжити на (-а>,0) до

мультиплікатора в просторі (Т).

2 1

Зауважимо, що варіація Var<p0 ~ — In — при х -> +0. У зв’язку з цим, на

М 71 *

закінченні параграфа 2.2 розглянуто таку задачу. Нехай функція q> є С°°(0,+<») та <р(х) = 0 при х>1.Чиє зростання Var<р при х —> +0 характеристикою

М

належності класу Мр[0,оо) ? У параграфі 2.2 доведена

Теорема 2.5. Нехай Ф(х), G(x) - строго зростаючі додатні функції на [0,+оо) та

Ііт Ф(х) = lim G{xг) = +оо.

х->+оо х—>+«о

Тоді існує функція <р, яка має такі властивості:

1) <рєСх(0,+coj та <р(х)~ 0 при х>1

2) При усіх достатньо малих х > 0

ф) — ІS Var<p < Ф| — |G|--\х) [дг.і] U; ч*

3) (р не належить Мр[0,оо) ні при якому />є(0,1].

В параграфі 2.3 доведено нерівність типу Бернштейна в просторах Ff, 0<р<1. Для просторів Lp,Q<p<l це питання вивчали В.Иванов,

Е.О.Стороженко (а є Я), Е.С.Белінський та І.Р.Ліфлянд (загальний випадок). Повністю цю задачу розв’язано Е.С.Белінським та І.Р. Ліфляндом.

В параграфі 2.3 одержано такий результат.

Теорема 2.6. При Ле« > 0 та 0<р<1 має місце співвідношення

При доведенні цих результатів використовуються деякі конструкції дзета-функції Рімана та теорії операторів Кальдерона-Зигмунда.

Далі цей результат застосовується для визначення порядку зростання

норми мультиплікатора г0.

Теорема 2.7. При Яе а > 0 та р є (0,і) має місце співвідношення

В третій главі розглянуто задачу про наближення функцій многочленами

з цілими гауссівими коефіцієнтами на деяких множинах комплексної площини. Для відрізка дійсної вісі цю задачу повністю розв’язано Р.М.Тригубом. Для множин комплексної площині відомі тільки деякі частинні випадки (для кола та лемніскат). В параграфі 3.2 одержано перший результат типу В.К.Дзядика про наближення аналітичних функцій многочленами з цілими гауссовими коефіцієнтами на множинах комплексної площини з негладкою межею.

Теорема 3.1. Нехай й - [0,і]х [0,і], Г - межа Є, г\ = 0, гг = і,.2г= 1 + г, т* = 1. Якщо / є Аг (<5) та інтерполяційний многочлен q (г), визначаємий умовами

'Р

N .

де точну верхню грань взято по поліномах •

т=0

и

)=/1')(2у) (ї =0,1,.../-;у = 1....4)

має цілі гауссові коефіцієнти, то для кожного натурального п існує алгебраїчний многочлен ()„ (г) ступінго п з цілими гауссовими коефіцієнтами, для якого при гєГ та всіх V = ОД,..., г мають місце нерівності

1 + -п

/Н'Р 100

,-р !

1 +

п /

де М - стала, яка не залежить від г є Г та п , р . (г) - віддаль від точки

п

гєГ до лінії рівня Г ,, &>(/^;ґ) - модуль неперервності /^(г) наб.

П

Подібну оцінку швидкості апроксімації можна одержати і для більш загальних областей (теорема 3.2).

ВИСНОВКИ

Одержано достатні умови для мультиплікаторів степеневих рядів в 1Р (В), 0<р< І (О - повна обмежена область Рейнхарта з центром у нулі в С"). Встановлено, що підсилити ці умови неможливо в багатьох випадках.

Знайдено порядок наближення функції / є Нр (О), 0<р<1 середніми Бохнера-Рісса її степеневого ряду та формула для К - функціоналу пари просторів, що визначені полігармонічним оператором.

Одержано нерівність типу Бернштейна в просторах 1Р, 0<р<1 при Яеа>0.

Одержано оцінку швидкості апроксімації функцій многочленами з цілими гауссовими коефіцієнтами на деяких множинах комплексної площини.

СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ

1) Волчков В.В. Мультипликаторы степенных рядов на областях Рейнхарта и их применение // Доповіді НАН України. - 1997. - №4. - С. 22-26.

2) Волчков Вит.В. О мультипликаторах степенных рядов в пространствах Харди // Укр.мат.ж. - 1998. - Т.50. - №4. _ с. 585 - 587.

3) Волчков В.В. Приближение аналитических функций многочленами с целыми коэффициентами // Мат. заметки. - 1996. - Т.59. - №2. - С. 182-186.

4) Волчков Вит.В. Мультипликаторы степенных рядов в пространствах Харди //Междун. конференция по теории приближения функций. Тезисы. - Калуга. -1996.-С. 59-60.

5) Волчков Вит.В. О неравенстве Бернштейна в пространствах Харди Нр,0< р < 1 //II школа. Ряди Фурь’є: теорія і застосування. Тези доповідей.- Кам’янець-Подільський. - 1997. - С. 35 - 36.

6) Волчков Вит.В. Мультипликаторы степенных рядов в пространствах Харди в единичном шаре из С” // Тезисы научной конференции Донецкого госуниверситета. - 1995. - С. 186-187.

7) Волчков Вит.В. О неравенстве Бернштейна в пространствах Харди Нр,0<р<\ II Материалы научной конференции Донецкого госуниверситета. - 1997. - С. 26.

АНОТАЦІЯ

Волчков В.В. Мультиплікатори в просторах Харді та деякі питання теорії наближень. - Рукопис.

Дисертація на здобуття вченого ступеня кандидата фізико-математичних наук за спеціальністю 01.01.0і,- математичний аналіз.- Інститут прикладної математики і механіки НАН України, Донецьк, 1998.

Дисертація присвячена дослідженню мультиплікаторів степеневих рядів в просторах Харді та деяким питанням теорії наближень функцій. 0.сновні результати роботи полягають у наступному: одержано достатні умови для мультиплікаторів степеневих рядів в просторах Харді Нр ,0 < р < 1 на областях Рейнхарта; встановлено, що підсилити ці умови неможливо в ряду випадків; одержано порядок наближення функції із Н р ,0 < р < 1 середніми Бохнера-Рісса її степеневого ряду та формула для К - функціоналу пари просторів, що визначені полігармонічним оператором; отримано нерівність типу Бернштейна в просторах Нр ,0 < р <\; знайдено порядок зростання норм деяких мультиплікаторів; одержано точну оцінку швидкості апроксимації аналітичних функцій многочленами з цілими гауссовими коефіцієнтами на деяких множинах комплексної площини. Результати мають теоретичний характер та можуть бути застосовані в теорії наближень функцій та гармонічному аналізі.

Ключові слова: аналітична функція, простор Харді, методи

підсумовування, мультиплікатор, К - функціонал.

Волчков В.В. Мультипликаторы в пространствах Харди и некоторые вопросы теории приближений. - Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физикоматематических наук по специальности 01.01.01. - математический анализ. -Институт прикладной математики и механики НАН Украины, Донецк, 1998.

Диссертация посвящена исследованию мультипликаторов степенных рядов в пространствах Харди и некоторым вопросам теории приближений функций. Основные результаты работы состоят в следующем: получены достаточные условия для мультипликаторов степенных рядов в пространствах Харди Нр ,0 < р < 1 на областях Рейнхарта; показано, что усилить эти условия нельзя в ряде случаев; получены порядок приближения функции из Нр,0 < р < 1 средними Бохнера-Рисса ее степенного ряда и формула для К — функционала пары пространств, определяемых полигармоническим оператором; найден порядок роста норм некоторых мультипликаторов; получена точная оценка скорости аппроксимации аналитических функций многочленами с целыми гауссовыми коэффициентами на некоторых множествах комплексной плоскости. Результаты имеют теоретический

характер и могут быть использованы в теории приближений функций и гармоническом анализе.

Ключевые слова: аналитическая функция, пространство Харди, методы суммирования, мультипликатор, К -функционал.

' Volchkov V.V. Multipliers in Hardy Spaces and Some Questions of the Approximation Theory. - Manuscript.

Thesis on the degree of Candidate of Sciences (Physics and Mathematics); speciality 01.01.01. - Mathematical Analysis, Institute of Applied Mathematics and Mechanics of Nat. Ac. Sci of Ukraine, Donetsk, 1988.

The thesis is devoted to the investigation of multipliers of power series in Hardy spaces and some questions of the theory approximation of functions. Basic results are as follows: sufficient conditions and its sharpnees for multipliers of power series in Hardy spaces H p ,0 < p < 1 on Reinhart domains have been obtained; the order of functions from Hp,0< p < 1 approximation by Bochner-Riess means and some expressions for K— functionals were obtained; the inequality of Bernstein type in Hp,0<p<\ have been proved; the order of the growth of some multipliers norms was got; the exact estimate of the speed of the approximation of analitical functions by polynomials with integral coefficients on some domains of complex plane have been obtained. These resuits make it possible to solve some problems of the approximation theory and the harmonic analysis.

Key words: analytical function, Hardy spaces, the summability methods, multiplier, К — functional.