Мультиреджевские амплитуды в неабелевых калибровочных теориях тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

КОЗЛОВ Михаил Геннадьевич

МУЛЬТИРЕДЖЕВСКИЕ АМПЛИТУДЫ В НЕАБЕЛЕВЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯХ

01.04.02 - теоретическая физика

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

2 8 НОЯ Ш

НОВОСИБИРСК - 2013

005541167

005541167

Работа выполнена в Федеральном государственном бюджетном учреждении науки Институте ядерной физики им. Г.И. Будкера Сибирского отделения Российской академии наук.

НАУЧНЫЙ РУКОВОДИТЕЛЬ:

ФАДИН - доктор физико-математических наук, профессор,

Виктор Сергеевич Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН, г. Новосибирск.

ОФИЦИАЛЬНЫЕ ОППОНЕНТЫ:

ЛИПАТОВ - доктор физико-математических наук, профессор,

Лев Николаевич академик, Федеральное бюджетное учреждение

науки Петербургский институт ядерной физики им. Б.П. Константинова РАН, г. Гатчина, руководитель Отделения теоретической физики. ШЕСТАКОВ - доктор физико-математических наук, доцент,

Георгий Николаевич Федеральное государственное бюджетное

учреждение науки Институт математики им. С.Л. Соболева СО РАН, г. Новосибирск, ведущий научный сотрудник. ВЕДУЩАЯ - Научно-исследовательский институт ядерной

ОРГАНИЗАЦИЯ физики имени Д.В. Скобельцына Московского

государственного университета имени М.В. Ломоносова, г. Москва.

Защита диссертации состоится « » ¿^/¿¿гс^я_2013 г.

в « УУ' 00 » часов на заседании диссертационного совета Д 003.016.02 Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института ядерной физики им. Г.И. Будкера СО РАН.

Адрес: 630090, г. Новосибирск,

проспект Академика Лаврентьева, 11.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Федерального государственного бюджетного учреждения науки Института ядерной физики имени Г.И. Будкера СО РАН.

Автореферат разослан « 2 ^ » ЬсС^ о^Я__2013 г.

Ученый секретарь диссертационного совета доктор физ.-мат. наук, профессор ^У "" ' В.С. Фадин

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы

Диссертация посвящена теоретическому исследованию процессов рождения частиц в мультиреджевской кинематике (МРК) и доказательству мультиреджевской формы амплитуд этих процессов в теориях Янга-Миллса в следующем за главным логарифмическом приближении.

Мультиреджевской называется такая кинематика процессов множественного рождения при столкновении частиц большой энергии, в которой перпендикулярные к оси столкновения импульсы конечных частиц ограничены (не растут с энергией), а по продольным импульсам частицы разбиваются на группы (струи) с импульсами одного порядка в каждой из них и сильным упорядочением между ними. Сильное упорядочение по продольным импульсам, или по быстротам, делает эту кинематику чрезвычайно важной, что было осознано еще до создания современной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамики (КХД). При вычислении сечений в теории возмущений КХД интегрирование по каждому интервалу быстрот между струями приводит к появлению логарифма энергии (большого логарифма). Поэтому в главном логарифмическом приближении (ГЛП), когда каждая константа связи а3 в радиационных поправках сопровождается большим логарифмом, струи содержат только по одной частице. В следующем за главным логарифмическим приближении (СГЛП), когда малость одной из а3 не компенсируется большим логарифмом, одна из струй может содержать две частицы. Такая кинематика называется квазимультиреджевской (КМРК).

В теориях Янга-Миллса (неабелевых калибровочных теориях, к которым относится и КХД) амплитуды в МРК имеют мультиреджевскую форму благодаря замечательному свойству этих теорий — реджезации калибровочных векторных бозонов. Для краткости в дальнейшем они называются глюонами, как в КХД. Выполнение необходимых условий для реджезации было продемонстрировано еще в начале 70-х годов прошлого века [1, 2]. В высших порядках теории возмущений в рамках ГЛП реджезация глюона и мультиреджевская форма амплитуд с глюонны-ми обменами исследовалась в работах (3, 4, 5] и была доказана в этом приближении в работе [6]. Мультиреджевская форма замечательна тем, что все амплитуды в ней имеют простой факторизованный вид и выражаются через реджевскую траекторию глюона и эффективные вершины взаимодействия реджеонов (реджезованных глюонов) и частиц.

Мультиреджевская форма амплитуд служит краеугольным камнем так называемого подхода БФКЛ (Балицкого-Фадина-Кураева-Липатова), являющегося основой теории полужестких процессов в КХД. В главном логарифмическом приближении этот подход сформулирован и развит в работах [4, 5, 7, 8]. Уравнение БФКЛ выведено в предположении (называемом гипотезой реджезации), что амплитуды рождения любого числа частиц в МРК во всех порядках теории возмущений имеют муль-тиреджевскую форму. Это одно из фундаментальных уравнений КХД, определяющее энергетическую зависимость сечений полужестких процессов. Оно является уравнением для связанного состояния двух редже-зованных глюонов — померона в КХД. На гипотезе реджезации основано и уравнение БКП (Бартелса-Квичинского-Прашаловича) [9,10], обобщающее уравнение БФКЛ на связанные состояния трех и более реджезо-ванных глюонов. В квантовой хромодинамике С-нечетное трех-глюонное состояние играет роль одцерона, ответственного за разность сечений рассеяния частиц и античастиц при большой энергии.

Подход БФКЛ естественно распространяется на суперсимметричные теории Янга-Миллса (СЯМ), в частности, на теорию с максимально расширенной суперсимметрией (СЯМ N = 4), вызывающую в последнее время огромный интерес в связи гипотезой о соответствии этой теории теории струн [11] и с надеждами на ее полную интегрируемость. Его мощь продемонстрирована в работах [12, 13, 14, 15, 16], где во всех порядках теории возмущений вычислена в ГЛП остаточная функция к амплитуде БДС (Берна-Диксона-Смирнова) [17] для процессов с максимальным нарушением спиральности в СЯМ N = 4 в пределе большого числа цветов.

В настоящее время подход БФКЛ интенсивно развивается в следующем за главным логарифмическом приближении. Ядро уравнения БФКЛ получено и в квантовой хромодинамике и СЯМ в следующем за главным порядке как для рассеяния вперед [18, 19, 20], так и для любых передач импульса и всех возможных ¿-канальных цветовых состояний [21, 22, 23, 24, 25, 26]. В СЯМ Л/* = 4 это ядро уже использовалось для вычисления остаточной функции к амплитуде БДС [27]. Вывод уравнения также основан на гипотезе о мультиреджевской форме амплитуд (точнее, их реальных частей), теперь уже в СГЛП. Эта гипотеза нуждалась в доказательстве. До последнего времени такое доказательство отсутствовало. Широта применения мультиреджевской формы ампли-

туд делало задачу проведения доказательства чрезвычайно актуальной. На данный момент эта задача решена как в квантовой хромодинамике, так и в суперсимметричных теориях Янга-Миллса.

Цель работы

Конечной целью работы является проверка гипотезы о мультиреджев-ской форме амплитуд с глюонными обменами в кросс-каналах в неабе-левых калибровочных теорий Янга-Миллса в СГЛП (в суперсимметричных теориях Янга-Миллса и квантовой хромодинамике). Для достижения этой цели необходимо вычислить все входящие в мультиреджевскую форму эффективные вершины. Проверка гипотезы основана на совместимости мультиреджевской формы амплитуды с условием э-канальной унитарности. Из требования совместимости следуют "условия бутстрапа" на реджевские вершины и траекторию, выполнение которых оказывается достаточным для справедливости мультиреджевской формы. Задача таким образом сводится к проверке всех условий бутстрапа для мультиреджевской и квазимультиреджевской кинематик.

Личный вклад автора.

Изложенные в работе результаты получены автором лично или при его определяющем вкладе.

Научная новизна

В СГЛП мультиреджевская форма амплитуды доказана впервые для теорий Янга-Миллса общего вида. Использовался метод доказательства, основанный на требовании совместимости мультиреджевской формы амплитуд и я-канальной унитарности, приводящем к условиям бутстрапа. Впервые получены все условия бутстрапа в этих теориях и найдены все входящие в них реджевские вершины. Впервые проверено выполнение всех условий бутстрапа в следующем за главным порядке.

Научная и практическая ценность

Мультиреджевская форма амплитуды имеет простой вид, в котором энергетическая зависимость описывается реджевскими множителями с траекторией реджезованного глюона, а зависимость от всех других характеристик процесса выражается через эффективные вершины взаимодействия реджезованных глюонов и частиц. Этот вид делает амплитуду

чрезвычайно удобной для применения. В частности, на нем базируется подход БФКЛ, являющийся основой теории полужестких процессов. Доказательство мультиреджевской формы в СГЛП дает надежное обоснование этого подхода. Полученные в ходе доказательства реджеонные вершины и импакт-факторы могут использоваться при анализе широкого круга проблем.

Основные положения, выносимые на защиту

1. Мультиреджевская форма амплитуд с глюонными обменами в теориях Янга-Миллса общего вида в СГЛП.

2. Эффективные реджевские вершины в теориях Янга-Миллса общего вида в следующем за главным порядке.

3. Условия бутстрапа в теориях Янга-Миллса общего вида в СГЛП.

4. Доказательство мультиреджевской формы амплитуд с глюонными обменами в теориях Янга-Миллса общего вида в СГЛП.

Апробация диссертации

Материалы диссертации докладывались на Сессии отделения ядерной физики ОФН РАН "Физика фундаментальных взаимодействий" в 2004, 2005, 2012 гг. (Москва), теоретических семинарах ИЯФ и опубликованы в научных журналах и препринтах ИЯФ.

Структура работы

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, приложения и списка литературы. Объем работы 103 страницы. Список литературы содержит 73 наименования.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обсуждается тема исследования и ее место в современной теории элементарных частиц, показана ее актуальность. Приводится идея доказательства мультиреджевской формы амплитуды.

В начале первой главы приведен лагранжиан неабелевой калибровочной теории Янга-Миллса. Формулируется гипотеза о мультиреджевской форме амплитуд в СГЛП.

Гипотеза о мультиреджевской форме амплитуды состоит в том, что реальная часть амплитуды А + В А' + Л Н-----1- </„ + В' в мультиреджевской кинематике в СГЛП имеет вид

дЯ _

— 1 А'А

Ьг=1 ^

х „ е 1 в,в ,

9(п+1)_1_

где ~ траектория реджезованного глюона с импульсом г]г (в литературе обычно употребляется это название, хотя реджевской траекторией глюона является Цд) = 1 + ш (<?)); Г%л, Гд/д - эффективные вершины перехода А -> А', В —> В' через взаимодействие с реджезованным глюоном с цветовыми индексами сь сп+1; (ф, ^¿+1) - эффективные

вершины рождения струй ^ с быстротами ¡л.

После формулировки гипотезы вводятся определения и обозначения. Приведены явные выражения для траектории глюона и реджевских эффективных вершин в главном и следующем за главным порядках, полученные в КХД. Эти выражения приведены в теории Янга-Миллса, цветовые представления у скаляров, фермионов и глюонов считаются в общем случае различными, скаляры могут быть как действительными так и комплексными, фермионы могут быть как дираковскими так и майорановскими. Также в теории предполагается юкавовское взаимодействие между скалярами и фермионами.

В этой же главе изложена методика вычисления эффективных вершин в главном и в следующем за главным порядках. Приведено вычисление скалярных и фермионных поправок, отсутствующих в КХД, к эффективным вершинам в следующем за главным порядке. Вычислены эффективные вершины рождения пар частиц, появляющиеся в теории Янга-Миллса, содержащей скалярные частицы. Полностью вычислена эффективная вершина рассеяния скаляра в следующем за главным порядке. Выражение скалярной вершины для суперсимметричных теорий

Янга-Миллса имеет вид

^ - г-. [. - (_йг№> + * -+ *Ц-

, П + 7е___4_ 1 + б-(-1)7'(3 + 2е)

2^3 2б)(1 4- 2е) 1 + 2е ' (1+2е)(3 + 2е)

_ Щ__1_

2 2(1 + 2е)(3 + 2е)

Здесь - вершина в борновском приближении; 1Э = 4 + 2е - раз-

мерность пространства-времени; д - импульс реджеона; п8, га/ - число скаляров и фермионов соответственно; /3 = 0, если рассеиваются скаляры и 13 =1, если рассеиваются псевдоскаляры. Для СЯМ га/ = N и п3 = 2(Л/" — 1), где Л/" - число суперзарядов.

Далее приведена схема доказательства, основанная на "соотношениях бутстрапа", которые приводят к условиям на эффективные вершины и траекторию. Соотношения бутстрапа следуют из совместимости мульти-реджевской формы амплитуд и в-канальной унитарности. Они представляют собой связи между скачками амплитуд в парциальных .^-каналах и производными амплитуд по парциальным быстротам. Их бесконечно много, поскольку они должны выполняться для каждой из амплитуд 2 —¥ 2 + п при любом п. Однако оказывается, что для выполнения всех этих соотношений достаточно выполнения нескольких условий на эффективные вершины и траекторию глюона. После формулировки соотношений бутстрапа приведены определения основных элементов, из которых строятся условия бутстрапа: импакт-факторов, связанной с рождением реальных частиц части ядра БФКЛ ("реальной части" ядра), оператора рождения струи. Кратко рассмотрен вывод всех необходимых условий бутстрапа.

Вторая глава посвящена проверке условий бутстрапа для рождения пар частиц с близкими быстротами в КМРК. Поскольку КМРК дает вклад только в СГЛП, все условия бутстрапа проверяются в главном порядке. Проверяется два вида условий бутстрапа: для рождения пар частиц в центральной области быстрот и для области расщепления начальной частицы.

Условия бутстрапа для расщепления начальной частицы требуют существования собственной функции октетного ядра БФКЛ с собственным

значением, равным траектории глюона

ЦПш(д))=ш(д)\Ни1(д)),

и связи импакт-факторов с этой функцией и эффективной вершиной рассеяния:

(АА'\ = дГ*А(1ЪШ , | ВВ') = дТ^в\Яи(д)). (2)

В условиях бутстрапа (2) для случаев расщепления начальной частицы на струю из двух частиц возможны следующие варианты:

А - С, А' = {СгОг}, {ЯЯ}, {5а52} , А = Я, А'= {ЯС}, {ЯБ} , А = Б, А' = {5С}, {ЯЯ} .

Здесь С? - глюон, Я ~ фермион, 51 - скаляр.

Далее рассмотрены условия для рождения пар частиц в центральной области быстрот. Они связывают импакт-фактор перехода реджезован-ного глюона в струю, эффективную вершину рождения струи, собственную функцию ядра и результат действия оператора рождения струи на эту функцию:

№(91)1 =57^1ля(Ди(©)| ~ ■

Поскольку мы обсуждаем условие для рождения в центральной области быстрот в КМРК, то мы рассматриваем рождение только пар частиц. Таких условий всего три: рождение кварк-антикварковой пары, пар глю-онов и пар скаляров:

</ = {31<?2}, {^Сз}, {^52}. Все условия проверены для обоих кинематических режимов КМРК.

Третья глава посвящена проверке условий бутстрапа для рождения одно-частичных струй в МРК. Таких условий оказывается четыре: три условия на импакт-факторы рассеяния фермиона, глюона и скаляра и одно условие на рождение глюона в центральной области быстрот:

(А'А\ = дТ*А <ад|; А, А' = {Я}, {5}, {О} ,

Поскольку в КХД были проверены все условия бутстрапа на импакт-факторы, то в неабелевой калибровочной теории Янга-Миллса остается проверить вклады скаляров для фермионного и глюонного импакт-факторов, условие на импакт-фактор скаляра и условие для рождения глюона в центральной области быстрот. Получен вклад скаляров в поправку к собственной функции ядра из условия на импакт-фактор фер-миона. Далее проверен вклад скаляров в условие бутстрапа для рассеяния глюона. Вычислен импакт-фактор скаляра в следующем приближении и проверено условие бутстрапа на этот импакт-фактор. В конце этой главы проведена проверка самого сложного условия бутстрапа для рождения глюона в центральной области быстрот.

Из справедливости всех условий бутстрапа следует выполнение всех соотношений бутстрапа для рождения произвольного числа частиц в мультиреджевской и квазимультиреджевской кинематиках. Выполнение всех соотношений бутстрапа обеспечивает справедливость мультиреджевской формы амплитуд в СГЛП.

В приложении приведены правила Фейнмана для СЯМ и результаты вычисления интегралов, которые используются при нахождении поправок к эффективным вершинам и скачкам амплитуд.

В заключении приведены основные результаты, полученные в данной работе:

1. Вычислены эффективные вершины для рассеяния скаляра в следующем за главным приближении, для рождения пары скаляров в области фрагментации, для рождения пары фермионов из начального скаляра в области фрагментации. Вычислены скалярные поправки для эффективных вершин рассеяния глюона, фермиона.

2. В квазимультиреджевской кинематике проверены условия бутстрапа для области фрагментации начальной частицы и для центральной области быстрот. Все условия проверены для произвольного цветового представления в ¿-канале.

3. В мультиреджевской кинематике вычислены скалярные поправки к импакт-факторам глюона и фермиона, и проверены условия бутстрапа на импакт-факторы налетающих частиц. Вычислен импакт-фактор скаляра в следующем за главным приближении и проверено условие бутстрапа на него. Проверено условие бутстрапа для

рождения глюона в центральной области быстрот в следующем за главным приближении. Все условия проверены для произвольного цветового представления в i-канале.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. V.S. Fadin, M.G. Kozlov, A.V. Reznichenko. "Radiative correction to QCD amplitudes in quasi-multi-Regge kinematics". // Ядерная физика. - 2004. - том 67, №2. - С. 377-393.

2. V.S. Fadin, R. Fiore, M. G. Kozlov, A. V. Reznichenko. "Proof of the multi-Regge form of QCD amplitudes with gluon exchanges in the NLA". // Phys. Lett. B. - 2006. - Vol. 639. - P. 74-81.

3. М.Г. Козлов. "Проверка условия бутстрапа для рождения глюона в мультиреджевской кинематике". // 12-я Всероссийская научная конференция студентов-физиков и молодых учёных (ВНКСФ-12). Материалы конференции. - 2006. - С. 49.

4. М.Г Козлов, А.В. Резниченко, B.C. Фадин. "Проверка условия ре-джезации глюона в следующем за главным порядке. Кварковая часть". // Ядерная физика. - 2011. - том 74. - С. 784-796.

5. М.Г. Козлов, А. В. Резниченко, B.C. Фадин. "Проверка условия реджезации глюона в следующем за главным порядке. Глюонная часть". // Ядерная физика. - 2012. - том 75, №4. - С. 529-542.

6. М.Г. Козлов, А. В. Резниченко, B.C. Фадин. "Мультиреджевская форма амплитуд с глюонным обменом в суперсимметричных теориях Янга-Миллса". // Препринт ИЯФ. - 2012. - №2012-32.

Список литературы

[1] Grisaru М. Т., Schnitzer Н. J., Tsao H.-S. Reggeization of yang-mills gauge mesons in theories with a spontaneously broken symmetry // Phys. Rev. Lett. 1973. Vol. 30. P. 811.

[2] Grisaru M. Т., Schnitzer H. J., Tsao H.-S. Reggeization of elementary particles in renormalizable gauge theories - vectors and spinors // Phys. Rev. D. 1973. Vol. 8. P. 4498.

[3] Lipatov L. N. Reggeization of the Vector Meson and the Vacuum Singularity in Nonabelian Gauge Theories // Sov. J Nucl. Phys. 1976. Vol. 23. P. 338.

[4] Fadin V. S., Kuraev E. A., Lipatov L. N. On the Pomeranchuk Singularity in Asymptotically Free Theories // Phys. Lett. B. 1975. Vol. 60. P. 50.

[5] Kuraev E. A., Lipatov L. N., Fadin V. S. Multi - Reggeon Processes in the Yang-Mills Theory // Sov. Phys. JETP. 1976. Vol. 44. P. 443.

[6] Balitskii Y. Y., Lipatov L. N., Fadin V. S. // Proceedings of Leningrad Winter School on Physics of Elementary Particles. 1979. P. 109. Leningrad.

[7] Kuraev E. A., Lipatov L. N., Fadin V. S. The Pomeranchuk Singularity in Nonabelian Gauge Theories // Sov. Phys. JETP. 1977. Vol. 45. P. 199.

[8] Balitskii Y. Y., Lipatov L. N. The Pomeranchuk Singularity in Quantum Chromodynamics // Sov. J. Nucl. Phys. 1978. Vol. 28. P. 822.

[9] Bartels J. High-energy behaviour in a non-abelian gauge theory (II). First corrections to Tn_>m beyond the leading In s approximation // Nucl. Phys. B. 1980. Vol. 175. P. 365.

[10] Kwiecinski J., Praszalowicz M. Three Gluon Integral Equation and Odd C Singlet Regge Singularities in QCD // Phys. Lett. B. 1980. Vol. 94. P. 413.

[11] Maldacena J. M. The Large N limit of superconformal field theories and supergravity // Adv. Theor. Math. Phys. 1998. Vol. 2. P. 231.

[12] Bartels J., Lipatov L. N., Vera A. S. N=4 supersymmetric Yang Mills scattering amplitudes at high energies: The Regge cut contribution // Eur. Phys. J. C. 2010. Vol. 65. P. 587.

[13] Bartels J., Lipatov L. N., Vera A. S. BFKL Pomeron, Reggeized gluons and Bern-Dixon-Smirnov amplitudes // Phys. Rev. D. 2009. Vol. 80. P. 045002.

[14] Lipatov L. N., Prygarin A. Mandelstam cuts and light-like Wilson loops in N=4 SUSY // Phys. Rev. D. 2011. Vol. 83. P. 045020.

[15] Lipatov L. N., Prygarin A. BFKL approach and six-particle MHV amplitude in N=4 super Yang-Mills // Phys. Rev. D. 2011. Vol. 83. P. 125001.

[16] Bartels J., Lipatov L. N., Prygarin A. MHV Amplitude for 3->3 Gluon Scattering in Regge Limit // Phys. Lett. B. 2011. Vol. 705. P 507.

[17] Bern Z., Dixon L. J., Smirnov V. A. Iteration of Planar Amplitudes in Maximally Supersymmetric Yang-Mills Theory at Three Loops and Beyond // Phys. Rev. D. 2005. Vol. 72. P. 085001.

[18] Fadin V. S., Lipatov L. N. BFKL pomeron in the next-to-leading approximation // Phys. Lett. B. 1998. Vol. 429. P. 127.

[19] Ciafaloni M., Camici G. Energy scale(s) and next-to-leading BFKL equation // Phys. Lett. B. 1998. Vol. 430. P. 349.

[20] Kotikov A. V., Lipatov L. N. NLO corrections to the BFKL equation in QCD and in supersymmetric gauge theories // Nucl. Phys. B. 2000. Vol. 582. P. 19.

[21] Fadin V. S., Fiore R., Papa A. The Quark part of the nonforward BFKL kernel and the 'bootstrap' for the gluon Reggeization // Phys. Rev. D. 1999. Vol. 60. P. 074025.

[22] .Fadin V. S., Gorbachev D. A. Nonforward color-octet kernel of the Balitsky-Fadin-Kuraev-Lipatov equation // Yad. Fiz. 2000. Vol. 63. P. 2253-2268.

[23] Fadin V. S., Fiore R. Non-forward NLO BFKL kernel // Phys. Rev. D. 2005. Vol. 72. P. 014018.

[24] Fadin V. S., Fiore R. Non-forward BFKL pomeron at next-to-leading order // Phys. Lett. B. 2005. Vol. 610. P. 61.

[25] Gerasimov R. E., Fadin V. S. Scalar contribution to the BFKL kernel // Phys. Atom. Nucl. 2010. Vol. 73. P. 1214-1228.

[26] Fadin V. S., Fiore R. The dipole form of the BFKL kernel in supersymmetric Yang-Mills theories // Phys. Lett. B. 2008. Vol. 661. P. 139.

[27] Fadin V. S., Lipatov L. N. BFKL equation for the adjoint representation of the gauge group in the next-to-leading approximation at N=4 SUSY // Phys. Lett. B. 2012. Vol. 706. P. 470-476.

КОЗЛОВ Михаил Геннадьевич

Мультиреджевские амплитуды в неабелевых калибровочных теориях

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Подписано в печать 20.09.2013 г. Сдано в набор 24.09.2013 г. Формат бумаги 100x90 1/16 Объем 0.7 печ.л., 0.6 уч.-изд.л.

Тираж 100 экз. Бесплатно. Заказ № 19_

Обработано на РС и отпечатано на ротапринте «ИЯФ им. Г.И. Будкера» СО РАН Новосибирск, 630090, пр. академика Лаврентьева, 11.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ БЮДЖЕТНОЕ

УЧРЕЖДЕНИЕ НАУКИ ИНСТИТУТ ЯДЕРНОЙ ФИЗИКИ ИМ. Г. И. БУДКЕРА СИБИРСКОГО ОТДЕЛЕНИЯ РОССИЙСКОЙ АКАДЕМИИ НАУК

На правах рукописи

04201455227

КОЗЛОВ МИХАИЛ ГЕННАДЬЕВИЧ

МУЛЬТИРЕДЖЕВСКИЕ АМПЛИТУДЫ В НЕАБЕЛЕВЫХ КАЛИБРОВОЧНЫХ ТЕОРИЯХ

01.04.02 — теоретическая физика

Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Научный руководитель

Фадин Виктор Сергеевич

доктор физико-математических наук,

профессор

Новосибирск — 2013

Содержание

Введение 5

Глава 1. Определения и обозначения 9

1.1. Теории Янга—Миллса......................................................9

1.2. Суперсимметричная теория Янга—Миллса..............................10

1.3. Формулировка гипотезы реджезации и кинематика....................12

1.4. Реджевские вершины и траектория......................................13

1.4.1. Вершины в главном приближении ..............................14

1.4.2. Вершины в следующем за главным приближении..............14

1.4.3. Вершина Г£,5 ......................................................16

1.4.4. Вершина Г^......................................................18

1.4.5. Вершина ......................................................19

1.4.6. Вершины двухчастичного рождения............................20

1.4.7. Рождение в центральной области быстрот......................20

1.4.8. Область расщепления начальной частицы......................22

1.4.9. Вершина рождения пары глюонов ..............................22

1.4.10. Вершина рождения пары фермионов............................23

1.4.11. Вершина рождения пары скаляров из глюона»..................23

1.4.12. Вершина рождения пары фермион и глюон....................24

1.4.13. Вершина рождения пары скаляр и глюон......................25

1.4.14. Вершина рождения пары фермионов из скалярной частицы 25

1.4.15. Вершина рождения пары фермиона и скаляра................26

1.5. Методика доказательства гипотезы о мультиреджевской форме амплитуды ......................................................................27

1.5.1. Соотношения бутстрапа ..........................................27

1.5.2. Операторный формализм..........................................27

1.5.3. Вычисление скачков амплитуды и основные компоненты условий бутстрапа......................................................28

1.5.4. Условия бутстрапа ................................................32

Глава 2. Условия бутстрапа для КМРК 34

2.1. Условия бутстрапа для рождения в области расщепления начальной частицы................................................................34

2.1.1. Условия бутстрапа в области фрагментации....................35

2.2. Условия бутстрапа для рождения в центральной области быстрот . 37

2.2.1. Условие для рождения пары фермионов в центральной области быстрот......................................................38

2.2.2. Условие для рождения пары глюонов в центральной области быстрот..............................................................41

2.2.3. Условие для рождения пары скаляров в центральной области быстрот ........................................................44

Глава 3. Условия бутстрапа для МРК 48

3.1. Условия, которые необходимо проверить................................48

3.2. Условия бутстрапа для рассеяния частиц. Юкавовский вклад ... 49

3.3. Упругое условие бутстрапа для рассеяния фермиона. Скалярный вклад........................................................................56

3.4. Условие бутстрапа для рассеяния глюона. Скалярный вклад .... 57

3.4.1. Цветовые структуры..............................................58

3.4.2. Вычисление импакт-фактора....................................58

3.4.3. Правая часть условия..............................................60

3.5. Условие бутстрапа для рассеяния скаляра..............................60

3.5.1. Импакт-фактор скаляра..........................................63

3.5.2. Правая часть условия бутстрапа................................66

3.6. Условие для рождения глюона в МРК..................................66

3.6.1. Цветовые структуры условия бутстрапа........................69

3.6.2. Глюонная часть....................................................71

3.6.3. Вычисление компонент условия бутстрапа......................71

3.6.4. Вклад древесных цветовых структур............................74

3.6.5. Вклад симметричной цветовой структуры......................76

3.6.6. Проверка условия бутстрапа......................................78

3.6.7. Фермионная часть..................................................80

3.6.8. Матричный элемент оператора рождения глюона..............80

3.6.9. Импакт-фактор рождения глюона ..............................81

3.6.10. Правая часть условия бутстрапа................................86

3.6.11. Проверка условия бутстрапа................................86

3.6.12. Скалярная часть....................................................86

3.6.13. Оператор рождения глюона......................................87

3.6.14. Импакт-фактор рождения глюона ..............................87

3.6.15. Правая часть условия..............................................90

3.6.16. Проверка условия бутстрапа......................................90

Заключение 91

Приложение 93

Литература 96

Введение

С увеличением входной энергии доля многочастичных конечных состояний в общем числе событий увеличивается. Для процессов с множественным рождением при высоких энергиях важную роль играет мультиреджевская кинематика (МРК), поскольку она дает основной вклад в сечения [1], Мультиреджевской называется такая кинематика процессов множественного рождения при столкновении частиц большой энергии, в которой перпендикулярные к оси столкновения импульсы конечных частиц ограничены (не растут с энергией), а по продольным импульсам частицы разбиваются на группы (струи) с импульсами одного порядка в каждой из них и сильным упорядочением между ними. Сильное упорядочение по продольным импульсам, или по быстротам, делает эту кинематику чрезвычайно важной, что было осознано еще до создания современной теории сильных взаимодействий — квантовой хромодинамики (КХД). При вычислении сечений в теории возмущений КХД интегрирование по каждому интервалу быстрот между струями приводит к появлению логарифма энергии (большого логарифма). Поэтому в главном логарифмическом приближении (ГЛП), когда каждая константа связи в радиационных поправках сопровождается большим логарифмом, струи содержат только по одной частице. В следующем за главным логарифмическим приближении (СГЛП), когда малость одной из ая не компенсируется большим логарифмом, одна из струй может содержать две частицы. Такая кинематика называется квазимультиреджевской (КМРК).

В теориях Янга—Миллса (неабелевых калибровочных теориях, к которым относится и КХД) амплитуды в МРК имеют мультиреджевскую форму благодаря замечательному свойству этих теорий — реджезации калибровочных векторных бозонов. Для краткости в дальнейшем они называются глюонами, как и в КХД. Выполнение необходимых условий для реджезации продемонстрировано еще в начале 70-х годов прошлого

века [2,3]. В высших порядках теории возмущений в рамках ГЛП реджезация глюона и мультиреджевская форма амплитуд с глюопными обменами исследовалась в работах [4-6] и была доказана в этом приближении в работе [7]. Мультиреджевская форма замечательна тем, что все амплитуды в ней имеют простой факторизованный вид и выражаются через реджевскую траекторию глюона и эффективные вершины взаимодействия реджеонов (реджезованных глюонов) и частиц.

Мультиреджевская форма амплитуд служит краеугольным камнем так называемого подхода Балицкого—Фадина—Кураева—Липатова (БФКЛ), являющегося основой теории полужестких процессов в КХД. В главном логарифмическом приближении этот подход сформулирован и развит в работах [5,6,8,9]. Уравнение БФКЛ было выведено в предположении (называемом гипотезой реджезации), что амплитуды рождения любого числа частиц в МРК во всех порядках теории возмущений имеют мультиреджевскую форму. Это одно из фундаментальных уравнений КХД, определяющее энергетическую зависимость сечений полужестких процессов. Оно является уравнением для связанного состояния двух реджезованных глюонов — померона в КХД. На гипотезе реджезации основано и уравнение Бартелса—Квичипского—Прашаловича (БКП) [10-13], обобщающее уравнение БФКЛ на связанные состояния трех и более реджезованных глюонов. С-иечетное трехглюонное состояние в КХД играет роль оддерона, ответственного за разность сечений рассеяния частиц и античастиц при большой энергии.

В главном логарифмическом приближении была полученная сначала асимптотика решений уравнения БФКЛ [6] и асимптотика сечений о ос в"", где Шр = 4Дгс^1п2 называют интерсептом померона. Уравнение БФКЛ в главном логарифмическом приближении решено с помощью собственных функций ядра БФКЛ, полученных благодаря его конформной инвариантности [14]. В следующем за главным логарифмическом приближении было написано уравнение БФКЛ, получено ядро в следующем приближении, но пока уравнение не решено. В главном приближении ядро БФКЛ конформно-инвариантно, это значит, что за собственные функции ядра можно взять собственные функции операторов Казимира конформной группы. В следующем за главным логарифмическим приближением синглетное ядро БФКЛ в квантовой хромодинамике не является конформно-инвариантным, даже после некоторых преобразований неконформность остается благодаря зависимости /3-функции от масштаба перенормировки [15-20].

В суперсимметричпой теории Янга—Миллса (СЯМ) Л/" = 4 синглетнос ядро БФКЛ в следующем за главным логарифмическим приближении можно сделать конформно-инвариантным благодаря отсутствию бега константы связи. Это означает, что в СЯМ N = 4 уравнение БФКЛ решается значительно проще случая КХД [21-23].

Подход БФКЛ естественно распространяется на суперсимметричные теории Янга— Миллса, в частности на СЯМ Л/* = 4, вызывающую в последнее время огромный интерес в связи гипотезой о соответствии этой теории теории струн [24] и надеждами на ее полную интегрируемость. Его мощь продемонстрирована в работах [25-31], где во всех порядках теории возмущении вычислена в ГЛП остаточная функция к амплитуде Берна-Диксона—Смирнова (БДС) [32] для процессов с максимальным нарушением спиральности в СЯМ N — 4 в пределе большого числа цветов. Предположение Бёрна— Диксона—Смирнова [32] состоит в том, что амплитуда с максимальным нарушением спиральности в N — 4 СЯМ и планарном пределе ЛГС —> оо имеет вид во всех порядках теории возмущений, зависящий от однопетлевой амплитуды [32] и коэффициентов, посчитанных во всех порядках теории возмущений. С помощью амплитуды в реджевском пределе в СЯМ для главного логарифмического приближения показано, что гипотеза Бёрна—Диксона—Смирнова нарушается для амплитуды 2 —> 4 с максимальным нарушением спиральности в мультиреджевской кинематике и найдена остаточная функция [26], на которую гипотеза БДС отличается от предсказания амплитуды в мультиреджевской кинематике в главном логарифмическом приближении.

В настоящее время подход Балицкого—Фадина—Кураева—Липатова интенсивно развивается в СГЛП. Ядро уравнения БФКЛ получено и в КХД, и в СЯМ в следующем за главным порядке как для рассеяния вперед [33-35], т. е. при передаче импульса £ = 0 и бесцветного состояния в ¿-канале, так и для любых передач импульса и всех возможных ¿-канальных цветовых состояний [36-41]. В СЯМ N = 4 это ядро уже использовалось для вычисления остаточной функции к амплитуде БДС [21]. Вывод уравнения также основан на гипотезе о мультиреджевской форме амплитуд (точнее, их реальных частей), теперь уже в СГЛП. Очевидно, что эта гипотеза нуждалась в доказательстве. До последнего времени такое доказательство отсутствовало. Широта применения мультиреджевской формы амплитуд делало задачу проведения доказательства чрезвычайно актуальной. К настоящему моменту эта задача решена как в квантовой хромодинамике, так и в

суперсимметричных теориях Янга—Миллса.

Доказательство гипотезы реджезации в главном логарифмическом приближении и СГЛП основано на проверке совместимости реджевской формы амплитуды и условия 5-канальной унитарности [36,42-47]. Эта совместимость записывается в виде "соотношений бутстрапа" на комбинацию б'-канальных скачков амплитуды и самой амплитуды. Соотношений бутстрапа бесконечно много, поскольку для одной амплитуды 2 —> 2 + п соотношений бутстрапа несколько, а амплитуд бесконечно много. Скачки амплитуды вычисляются с учетом реджевской формы. Таким образом, соотношения бутст рапа — это соотношения на эффективные вершины и траекторию. Бесконечное число соотношений трудно проверить, но их можно свести к конечному числу условий, при которых все соотношения будут выполнены. Эти условия называются "условиями бутстрапа". Проверка гипотезы реджезации сводится к проверке конечного числа условий бутстрапа на эффективные вершины и траекторию.

На защиту выносятся следующие положения:

Вычисление эффективных вершин и поправок к эффективным вершинам для теорий Янга—Миллса общего вида.

Проверка условий бутстрапа в квазимультиреджевской кинематике для теорий Янга—Миллса общего вида и произвольного цветового представления в ¿-канале.

Вычисление скалярных поправок к импакт-факторам глюона и фермиона. Вычисление импакт-фактора скаляра в следующем за главным приближении. Проверка условий бутстрапа в мультиреджевской кинематике в следующем за главным приближении для теорий Янга—Миллса общего вида и произвольного цветового представления в ¿-канале.

Основные результаты диссертации опубликованы в статьях [47-51] и в материалах конференций [52].

Глава 1. Определения и обозначения

1.1. Теории Янга—Миллса

В этой работе будут рассмотрены теории Янга—Миллса, такие как квантовая хро-модинамика и суперсимметричная теория Янга—Миллса с числом суперзарядов Л/* = 1, 2, 4. Наиболее общее рассмотрение таких теорий удобно делать на примере теории Янга—Миллса с различными представлениями калибровочной группы Зи(А^) для фер-мионов, скаляров и глюонов. Везде будем подразумевать произвольное число ароматов скаляров и фермионов. Также в теорию Янга—Миллса добавим взаимодействие типа Юкавы между скалярами и фермионами. Лагранжиан такой теории будет иметь вид

С = + +

+ Кжыи- Фг + [9^ КЖЫ)гФ* Фг] '+

+ С'дЬ.озг + >

= д,Л1 - д„А° - дГ"сЛ1Л1, -г/аЬс = Т£,

ЗД- = + гдА>;^'%а,1Р? , В^ = д,фаг + гдЛьХ,'Фг ■

Здесь Ф? — поля фермионов аромата г и цвета а; ф" — скалярные поля аромата г и цвета а; генераторы калибровочной группы в фермионном представлении обозначаются через Г, ав скалярном представлении — Та; СдИозг — часть лагранжиана, содержащая духи и члены, фиксирующие калибровку; С,ф\ — часть лагранжиана, содержащая член самодействия скалярного поля, входящего в четвертой степени (такой член не влияет на гипотезу реджезации, поэтому он не интересен); [75]г = 1, если г — аромат скаляра и [75]г = г'75 = —7°717273, если г — аромат псевдоскаляра.; — матрица констант взаимодействия разных ароматов фермионов и скаляров; ЯсаЬ — проектор прямого произведения фермионного представления и сопряженного ему на сопряженное представление скаляров; п/ — число ароматов фермнонов. п5 — число ароматов скаляров.

Для общпостн рассмотрения введем обозначения: к/. к.3 — снмметрппные факторы для фермионов п скаляров, к/ = | для майорановскпх фермнонов (к5 = | для

действительного скалярного поля) и к/ = 1 для дираковских фермнонов (ks = 1 для комплексного скалярного поля). Генераторы в разных представлениях имеют следующую нормировку:

KfTr[tatb] = Tföab, к3Тт[%%?} = Ts5ab,

где Tj/kj — | для фундаментального представления, Ts/ks = Nc для присоединенного представления. В общем случае подразумеваем разные цветовые представления для скаляров и фермионов. Проекторы Rs (Rs — для сопряженного члена в лагранжиане) удовлетворяют следующему коммутационному соотношению:

г, Rs} = Rs'Tsa,s , [ta,Rs] = -RS'Tsas,, KfTr[RsR5'} = TY5SS,. (2)

Для дальнейшего удобства введем следующие обозначения:

t4a = CF, ТаТа — Cs, ТаТа = Сд = Nc, = ^ = = (3)

Надо заметить, что цветовые представления скаляров и фермионов не могут быть совсем произвольными — их комбинации фиксирует юкавовский член в лагранжиане. Так как юкавовский член является инвариантом относительно калибровочной группы, прямое произведение фермионного представления и сопряженного ему в разложении на неприводимые представления должно содержать сопряженное скалярному представлению. Например, если фермионы преобразуются по фундаментальному представлению калибровочной группы, то прямое произведение фермионного и сопряженному ему имеет вид (для простоты возьмем Nc = 3): 3 ® 3 = 1 © 8, следовательно, скаляры могут быть только действительными и иметь либо единичное представление, либо присоединенное. В чуть более сложном случае, если фермионы майорановские и преобразуются по присоединенному представлению, то вариантов у скалярных представлений значительно больше: 8<g>8 = l©8®8el0®TÖ©27.

1.2. Суперсимметричная теория Янга—Миллса

В этой работе рассматривается суперсимметрпчная теория Янга—Миллса с числом суперзарядов N = 4 для эффективных реджевскнх вершин. Этот частный случай теории примечателен тем. что в нем отсутствует бег константы связи с энергией. СЯМ N = 4 в

пространстве с размерностью Б = 4 получается из СЯМ Л/" = 1 при размерности О = 10 с помощью размерностной редукции [53]. Лагранжиан СЯМ N = 4 имеет следующий вид:

С = -tC^G»"" + +

2 (4)

+ |/аЬсд^. А»ЫЛс # - g-lrbcГйЧЬгФсЛФ\ ■

Здесь А" — майорановские спиноры; ф^. — скаляры (псевдоскаляры); а, Ь, с, d, в = 1,..., Nc — цветовые индексы; г, j = 1,..., П/, (п/ = 4) — ароматы кварков; г, t = 1,... , ns, (ns = 6) — ароматы скаляров; fabc — структурные константы калибровочной группы SU(iVc);

[7б]г=1,2,з = 1, Ыг=4,5,б = г'75 = -7°717273;

га2 О

Д<=| 0 ,д.