Наилучшее приближение в периодическом пространстве Лизоркина тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

КАЗАХСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. АЛЬ-ФАРАБИ Математический факультет

На правах рукописи

АБДРАШЕВА Гульнара Капаровна

НАИЛУЧШЕЕ ПРИБЛИЖЕНИЕ

В ПЕРИОДИЧЕСКОМ ПРОСТРАНСТВЕ ЛИЗОРКИНА

01. 01. 01.- математический анализ

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Алма-Ата—1992

Работа выполнена на кафедр? математического анализа Карагандинского государственного лшвэрсМтета им. Е.А.Букетова

Научный руководитель

Официальные оппоненты

Ведущая организация

- кандидат физико-математических наук, доцент Смаилов Е.С.

- доктор физико-математических , наук, профессор Голубов Б.И.

кандидат физико-математических наук, ст.научный сотрудник ИММ АН РК Аманов Н.Т.

- Московский институт электронной техники.

Защита диссертации состоится октября 1992 г.

в 15 час.00 мин. на заседании регионального совета К.058.01.17 по присуждена ученой степени кандидата физико-математических наук в Казахском государмвешюм университете имени Аль-Фараби по адресу: 480012, г. Алма-Ата, ул. Масанчи 39/47, КазГУ, математический факультет.

С диссертацией мокно ознакомиться в научной библиотеке КазГУ им. Аль-Фараби.

Автореферат разослан " аЬ^сгА.. 1992 г.

Ученый секретарь регионального специализированного совета кандидат физико-математических

наук, доцент А.А.Бедельбаев

РОССИЙСКАЯ

ОСУ ДА№'ЙЬ^Л

БИБЛИСНем

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Одним из честных функциональных пространств, оказавиих глубокое влияние на развитие функционального анализа и теорий функций, теорий краевых задач дифференциальных уравнений в частных производных, является Ьр(П).

Развивая теорию Литтлвуда-Пэли, П. И. Лнзоркин в начале 70-х годов определил новое двупараметрическов пространство Ьрг(Ип), которое является обобщением пространства Лебега Ьр(Ип), 1<р<®. Данное пространство оказалось удобным инструментом исследования теории краевых задач. Дальнейшее развитие теории пространства Ьрр содержится в работах Х.Трибеля, Г.Калябина, В.Кокилашвили. В основном в этих работах рассматривались функции определенные на всем Евклидовом пространстве. Естественно возникает вопрос о рассмотрении пространства Ьрг1-х, *].

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Диссертация посвящена изучению периодического пространства Лиэоркнна, поведения наилучшего приближения, исследованию поведения последовательности коэффициентов Фурье.

ЫЕТОД ИССЛЕДОВАНИЯ основан на аппарата! функционального анализа и теории функции; на лемму Кальдеройа-Зигмунда; ограниченность оператора сопряжения в Ь^С-^.к 1 и на теорему Ыарцинкевича

0 множителях в Ъ [-*,* ].

рг

НАУЧНАЯ НОВИЗНА. Доказаны ограниченность оператора сопряжения в Ьр(1г)[-*,* 1 и теорема Ыарцинкевича о множителях в Ь^!-*,*!.

1 < р < «», 1 < г < «о. Получены теорема о свертках; двусторонние оценки наалучаего приближения функции Г(х) € Ьрт>1-*,* ] тригонометрическими полиномами через коэффициенты Фурье по тригонометрической системе ; получены некоторые оценки нормы функции в пространстве Ь , 1 < р < «о , 1 <г<®, через ее коэффициенты

Фурье; установлены необходимые и достаточные условия существования производных Вейля ; показаны неулучшаемость некоторых теорем и точность , в смысле порядка , основных неравенств. Доказано неравенство разных метрик С. Ы. Никольского. Исследуются соотношения между наилучшими приближениями в пространстве Лизоркина.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Результаты диссертационного исследовать расширяют и углубляют теорию триго' эметри-ческих рядов Фурье, могут быть использованы в теории функции, теории приближения.

АПРОБАЦИЯ РАБОТЫ. Основные результаты докладывались на IX Республиканской межвузовской научной конференции по математтш и механике (1989 г. Алма-ата), на Республиканской научной конференции "Теория приближений и вложений функциональных пространств." (1991 г., г. Караганда), на семинаре профессора Голубова Б. И. (МФТИ), семинаре профессора Ефимова А. В. (МИЭТ), доложены на совместном семинаре член-корреспондента РАН, профессора Бесова О. В. и профессора Лизоркина П. И., семинаре член-корреспондента АН Казахстана профессора Отелбаева М. 0., семинаре профессора Женсык-баева A.A., совместном семинаре доцента Наурызбаева К.Ж. и профессора Темиргалиева Н.Т., семинаре кафедры математического анализа КарГУ.

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [11 - 181, список которых приведен в конце автореферата.

СТРУКТУРА И ОБЪЕМ РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы, включающего 53 наименования. Объем работы - 93 страницы машинописного текста.

Содержание диссертации.

Во введении обоснована актуальность темы, кратко описана за-

дачи, рассматриваемые в диссертационной работе и сформулированы основные результаты.

Пус-i'b 1 < р < о". 1 < г ¡с оо. через Ьр(1г) обозначим мно жество функций isx) = { ik(x) )к € z с измеримыми по Лебегу на [-и,тс ] и 2% - периодическими компонентами fk(x) (k € Z), для которых конечна норма

• f U г 00 „ ,Р/г 11/р

) ^ I •

г 00 -»1/г

При г =со считьем 2 = з u р 1X. (з) t.

V=-oo к J к

СО

2 ■ « - ,

к=-со «• ./ к

Следуя П. И. Лизоркину, мы рассматриваем следующее частное подпространство пространства Ьр(1г): пусть 1< р < с*>, 1 < г < «> и через Ьр1>[-1С,1С] обозначим совокупность элементов 1(х) с Ь^-тс.тс], для которых

X _ ,.1/р

m

РГ

<

где

А k(f, х) = г*

2k-1

2 k-i cje 3=ак 1 5

i3x

-г

о -k-t

2 _k с е

Ja-2 *Ч1 3

1JX

» lc s 1» 2| k = 0

k = -1, -2,

<c,.)

k k=-»

последовательность, тригонометрических коэффициентоп

указанной функций 1(х).

Из определений пространства Ьрр[-тс,1с] и теоремы Литтлвуда-Пэ-ли при 1 < г < 2, q > 2 следует

Ьрг[-%,тс] с Ьр 2 [ —тс, тс Л ~ Lpt-it.it] с I, (-тг.и]

о %

Обозначение Г(х) € L t-ic.ic] означает, что ¡ í(x)dx = О и

РГ -1С

Г(х) € Lprí-1C,1C].

Первая глава посвящена изучению тригонометрических ^ядов функции из пространства Лизоркина.

В первом параграфе собраны необходимые определения и вспомогательные материалы.

Во втором параграфе доказаны ограниченность оператора сопряжения В L (1г)[-1С,1С I, 1 < р < ю, 1 < г < оо.

IV

Через í(х) обозначим тригонометрическую сопряженную функция с 1(х), которую в L (1г) будем понимать покоординатно: Их) =

(V

= (ík(x) Получен следующий результат:

Теорема 2.1. Пусть 1< р < ю, К г < «> и Г(х)= €

€ Lp(lr)t-ic,icl. Тогда fix) = ííjx))^ € Lp(lr)[-ic,ic) ы

I * Ipr < 0(Р.Г)| Г

В третьем параграфе доказывается теорема Марцинкевича о множителях в Lpr.i -тс.тс ], 1 < р < оо, 1 £ г < оо.

00

'"торема 3.1. Пусть Г(х) ~ £ c1,etVx € L l-ic,ic], 1< р < со,

V=-a> р

1 < г < оо. Предположим, что А.у - такая последователь-

ность чисел, что

1

Е 1*ч-*.<411«м (v=i,2,...) , | < u (vez),

2V-1

-2 + 1

где Ы - константа , не зависящая от v и J . Тогда тригономет-

со

рический ряд £ cXe1Vl является рядом Фурье некоторой функция v=-<»

П(х) € ьРг[~'":,'п; 1 и

I Ь 1рг < о(р,г,М)| 1 |рг.

Во второй главе поручена следующая

Т орема 6.5. I. Пусть 1<г<р<оо, г + г*= гг*. Бели последовательность комплексных чисел {ск)кГ^ удовлетворяет условию

1р/г'

< » . (1)

2 £ПР(1/г-1/р) п=0

г Л<гг

1

и 3 }

то существует функция Г(х) € "^[-х.тс] с коэффициент■ чи Фурье

ск. При этом справедливо неравенство: трг < с^р.г)

р/г'|1/р

£ 2пр(1/г-1/р)Г 2 |С Iх" 1 п=о I-гп$| Я<нп+1 *

II. Пусть 1 <р<Г<со, Г + Г' = И". Если . I (X) € Ь [-1С,1С]

рг

тогда для ее коэффициентов Фурьо ск по тригонометрическсй системе выполняется неравенство:

р/г'11/р

2 2пр(1/г-1/р' п=о

гп^|Л<г

п+1

г'

< С_(Р,Г)|Г|

рг

В частности из данной теоремы при г = 2 получается теорема В. Н. Темлякова1. С другой стороны при г > 2 теорема 6.5 дополняет его результат в том смысле, что можно построить последовательность { с* так:

00

2 2пр(1/г-1/р)Г Е |С*|2 ]р/г =-К».

1=0 гп<|Л<гт1

а ряд (1) сходится. Тогда согласно теореме 6.5 существует функция

1 Темляков В. Н. Приближение функций с ограниченной смешанной производной. Труды матем. инст. им. В.А.Стеклова АН СССР, 1900, 178.

- С.1-112.

(х) е с коэффициентами Фурье с*.

Теорема 6.6. Пусть заданы числа ек > 0, к > О - целив чис ла, 1 < г < а>, г + г'= гг' и Ре р, обозначает мчокество функ ций ,"ля которых при всех к * ек» а г'с

г 1/г'

-£i(i>: Vk J^li)^ < е^, где \(i)r' = ( Е |с^|г') .

2k<|j|<2k+1

с^ - коэффициент Фурье функци i(x).

Тогда имеет место следующее соотношение

Шрг * [ Е (е^1-) •2"k ] , 1 < р < г < ».

1 п I

«" 1 **

и двойственное к нему соотношение

вир X Г Е (е1г2к/г)р-2~к 11/Р, 1 < г < р < со.

^ Ч,' • 1 к=0 ]

Пусть х > 0, Г(х) € Мт, если Их) е Ь £-тс.тс] и имеет

рг

положительные коэффициенты Фурье ак, Ьк такие, что к_Х'Эк + О, к_'1:>Ь1г 4. О при к * <о.

миги п V пятят ж*. ш ^

Оценки нормы функции в классах и в , через

их :оэф£цциенты Фурье ск одно и то же, то есть параметр г не влияет. А именно справедлива

1С

Теорема 6.1. Пусть 1 < р < 1 < г «> и J f(x) dx = 0.

—тс

Г(х) € I,[-ic,it] и если при некотором т > 0 для ее коэффициентов Фурье п"тап(1) 4, о, 1ГгЬп(1) + 0 при п * <», то для того, чтобы Г(х) € необходимо и достаточно, чтобы

£ (а + b )р-пр"г < «

п=1

и при этом

I Г С * Е <ап + b )р-пр~г.

р п=1 п п

Далее получены двусторонние оценки наилучшего приближения

Функции fu) € Г. тригонометрическими полиномами через

pï*

коэффициенты Фурье.

В пятом параграфе получена теорема о свертках.

Тооремэ 5.1. Если функция <]> ç L( [-tc.tc 1, a f (x) ç Lpri-it,u],

1 < p < «o, i < г < oo, то свертка я

1/(2ic) J <|)(x-t)f(t)dt = (ф « I)(x) € Lpri»Tt,it ] -1С

и ее Kost^UHeHTH Фурье рагчы произведению соответствующих коэффициентов функций ф и Г , т. е.

<ф*1)(х) - Е <VckellDC •

гдо d^ , ck - коэффициента Фурье соответственно ф и Т . Теперь дадим

Определение . Пусть ï(x) ç Lpr, 1< р < го, 1 ^ г $ а>, а > О,

со

Ф„(х) = 2 2 [соэ(кх - ап/2)]/к - функция Вернула. Тогда если u k=1

существует функция g(X) € Lpr, 1 < р < от, 1 $ Г $ я> И

I(x) = 1/(2*) J g(t) ф (x-t)dt , -1t u

то g(x) назовем дробной производной Вейля функции í(x) порядки а > 0 и обозназим через . I(a>(x) = g(x) , х < [-пл.. ]. В параграфе 7 доказываются

Теорема 7.3. Пусть 1< р < оо, к г '< а > О; 7 = mtn(r, р), п = 1, 2... и Г(х) € L° l-ic.1t]. Если

рг

со ja-1 7

Z К Е. (í) < » ,

k=i к 1 рг

to существует производная î(a,(x) i и при этом

rai г * 7а~' 7 -ч 1/7

|Г(а)Ы|рг «Vp.r.a)^ К Ek_l(f)pr) .

/m г n г 00 7a_1 7 т t/7^

En<f(aV « с2(Р,г.а)(паЕп(Прг * [ J^k Ек_, (f)pJ ]. (2)

Здесь Еп<Т)рг - наилучшие приближение функции f е Ьрг> посредством тригонометрических полиномов порядка но бшио г».

В частности из данной теоремы при г = 2 и a = 1, 2, .. получается теорема 0. В. Бесова! Ь случав 2 < р, г < » теорема 7.3 дополняет теорему Бесова 0. В. Это подтверждается примерам.

Теорема 7.4. Пусть 1< р < ш, ? $ г < »; a > 0; р= шах(г, р), п = 1, 2... и Г(х) € Lprl-utici. Если существует производная r'a)(x) е L°rf-K,icJ, то ряд

со âa-i р Z k Е, ЛГ) < а> ,

л справедливы неравенства;

ca» f <» pa-t p i/p

|fta)(-)|pr>c(p.r.a)( к Vi^'pr]

,a, fa r oo pa 1 p -,1/p.

En(l(a))pr > c(p.r.a)(na En(f)pr + [ J^k Ek_,(i)prJ (3)

Теорема 7.4 пает, в терминах поведения наилучших приближений, необходимое условие существования производной Вейля порядка a > 0.

В классах теоремы 7.3 - 7.4 допускают следующее усиле -

ние.

Теорема 7.5. Путь 1 < р < œ, 1 < г ç «>, ■ т > 0, a > О, n = 1. 2,... а^гда для функции 1(х) « M^'i-ic,«; ] существует ггро-

1 Бесов О.В. О некоторых условиях принадлежности к L производных периодических функций. Научн. докл. высш. шк. фяз-мат? наук, 19Г>9,

1. - С.13-17.

изводная Вейля Г<а)U) е Lpr[-ic,ii ] тогда и только тогда, когда оо ра-1 р

2 k Е. .(f) < с . к=1 к~1 рг

При этом

с <*> ра-1 р -,1/р

|i(a)(-)|pr- К Ek.,(f)pr) .

ia\ f ci Г w f*1"1 P 1

E (f(a)) s in E (Г) + 2 к E. , (Г) |.

n 'pr- l nv 'pr [ k=n+1 k-1 pr J J

Достаточная часть теоремы 7.5 при г < р < «>, является усилением теоремы 7.3, а необходимая часть - теоремы 7.4 для 1 < р < г. Кроме того, оценки в теореме 7.5 дают в классе более точные

порядковые соотношения, чем (2), при г < р < со и (3) гри 1 < р < г. Приведены функции, показывающие, что условие теорб,ш 7.3 на является необходимым, а условие теоремы 7.4 достаточным для существо вания производной Вейля порядка a > О.

Теорема 7.7. Пусть 1< р < со, 1$ г ^ od, 7 = mln(r, р); a > CI. Тогда для любой функции f(x) е Ерг(ф) существует производная

Вейля f,a,(x) € L° t-u.x ) тогда и только тогда, когда рг

S k''a-' .<J

При этом

sup. Eti(f<*V Ж na фп+1 « [ ? кга-..ф7 Г(Х)сЕрг.(ф) k"n+1

Последнее соотношение показывает, что неравенство (2) нуу лучшэемо, в смысле порядка, в классе Е ,(ф) = (Их) е l° ,1 -тс, п. I: ': Е (f) = g«Pn); Фп 4. n т Теорема 7.7 также показы вает о неусиляемости теоремы 7.3 в этом классе.

'Георема 7.8. Пусть и р < и, К г $ <», р = шах (г, р), а > о,

ГО- с Lprl-*,it], ряд

2 к^-1 -ср Р < со. к=1 К Тогда справедливо соотношение:

Inf Е (fia)) ^ па ф ..+ Г Г кРа-1.<аН,/Р.

т\ " Pr n+1 L к J

Г(х)еерг(ф); 3 i(a) к=п+1

Отсюда следует точность, в смысле порядка, неравенства из теоремы 7.4 в классе

ерг(ф) = (f(x) € I°r[-ic,TC 1: фп = д(Еп_, (Г)рг); фп;0, n * «j.

В третьей главе исследуется соотношение между наилучшими приближениями в пространстве Лизоркина.

В девятом параграфе получено неравенство разных метрик С. М. Никольского.

Теорема Э.1. Пусть v и ц - натуральные числа, v > ц, Tv fl(x) - тригонометрический полином вида

v

Т.. ,.(х) = S а. coskx + b. sinkx. v,v> к=ЦИ K К

Тогда при 1<p<q<», 1 $ г $ со имеет место неравенство

t/p-t/q

• Tv,H Iqr < e<p.q.r)(v-n> | T^ |pr..

В параграфе 10, в терминах наилучших приближений, получено следующее достаточное условие принадлежности функции Нх) i € Ьрг(-^я:,1С] в Lqrl-*,itJ, 1<p<q<», 1 < г < <».

Теорема 10.1. Пусть t<p<q<oo, 1 « г < оо. Если Г(Х) € Lprt-«,*) и

05 q/p-2 q

S XI -Е (Г) < + со , (4)

п=1

п рг

то Сйе) i Lqrt-TC,it] и справедливы неравенства.,:

Ю

IПчг « С(Р.Ч.Г){|1|РГ + ( <(Г)рр )1/Ч } .

л

п=

. 1 р-1/ч_ , « „/„_, а.. -ч

<п"> Л«>рг+ (¿^ Л^рг) }•

П = 1, 2," ....

Из теоремы при г з 2 следует результат П. Л. Ульянова! Основным результатом §10 является следующая теорема: Теорема 10.2. Пусть <р<д<», 1 £ г £ <». Тогда влоке-

лие

Е (\) с Ь [-ic.it 1

рг ЧГ

имеет место тогда и только тогда, когда

оо ч/р -2 я С П -X. < + 00.

п=1 П

Теорема 10.2 показывает, что условие (4) теоремы 10.1 не-улучшаемо на классах Ерг(Х).

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю - кандидату физико-математических наук, доценту Есмуханбету Сайдахметовичу Смаилову за постановку задач и постоянное внимание к работе.

1 Ульянов П. Л. Теоремы вложения и соотношения между наилучшим« приближениями ( модулями непрерывности ) в разных метриках. Мят™, сб. 1970 , 81 (123), I. - С. 104-131.

Публикации по т va диссертации.

1. Абдрашева Г. К. Неравенство Юнга в i риодическом аналоге пространства Лизоркина. Тезисы докладов IX республиканской межвузовской научной конференции по математике и механике, часть I, математика, Алма-Ата, 1989. - С.З.

2. Абдрашева Г. К. Неравенство р. лшх метрик С.М.Никольского в пространстве Лнзоркша. Тез.докл. XV науч.-прак. конф. проф.- п/з-под. состава, науч. работ1г-;ов, аспирантов и студ. - Караганда, 1990. - С.86.

3. Абдрашева Г.1С. Свойство функции с квазимонотонными коэффициентами Фурье. Тез.докл. XVI науч.-прак. конф. проф.-препод. состава, науч. работников, аспирантов и студ. - Караганда, 1991. - С.81.

4. Абдрашева Г.К., Смаилов Е.С. Теорема Марцьлкевича о множителях в периодическом аналоге пространства Лизоркина.Тезисы докладов республиканской научной конференции "Теория приближения и вложения функциональных тространств.", Караганда, 1991. - С.6.

5. Абдрашева Г.К. Условия существования производных Вейля в периодическом аналоге пространства Лизоркина. Тезисы докладов республиканской научной конференции "Теория приближения и вложения функциональных пространств.", Караганда, 1991. - С.5.

о. Абдрашева Г.К., Смаилов Е.С. Теоремы о сопряжении и множителях Марцинкевича в периодическом пространстве Тизоркина. Известия АН КазССР. Сер. физ.-мат. (в печати).

7. Абдрашева Г.К., Смаилов Е.С. Теорема Харди-Льттлвуда в пространстве П. И. Лизоркина. В сборнике "Современные вопросы теории функций и функционального анализа.", Караганда, 1992» - С.3-10.

8. Абдрашева Г.К. Соотношения между наилучшими приближениями в разных метриках пространств П.И.Лизоркина. В сборнике "Современные вопросы теории функций и функционального анализа.", Караганда, 1992. - С.10-19.

Мазмувдамасы.

ыгл зтшста пери^дты функщшлардын Ьрг - Лизоркин KeHtCTirt зерт-'влг н.

BtplHffli тарауда Lp(lr)t-ic,x], 1 < р < со, 1 $ г < о, кеШст!-Пнде туй1вд9с оператордын шектелу! хэне Lprf-ic,ic] кец1сг**1нде МарцинкевичтП кебейтк1шгер1 кайында теоремалар дэлелденд!.

Ек1нш1 тарауда орам жайында теорема, LprC-ic, ici KentCTtrlH-дег1 функц. ллардан нормаларц мен Фурьо коэффицивнттерШШ арасын-дагы байланыс зерттелдК Вейль туындасшшн бар болуыныд какетт! кэне хетк!л1кт{ l рттары тугмрымдалып, алынган теоремалардын бел-г!л1 ¿.ластарда одан ары каксартылмалтындыгын дэлелдейтШ мисалдар келт!р1лгвн.

Уш1нш1 тарауда тригонометрикалык кепмушел1ктерд1ц Lprl-ic,ic] кэне Lqr[-ntic] р < q < <х>) кец1ст1ктор1ндег1 нормаларц уш1н

Никольский '.^нс1зд1г1 дэлелден1п, осы Lprt-ic,ic], Lqr[-ic,it] (1 ^р< < q < оо) - Лизоркин кен1ст1ктер1ндег1 ен наксы куыктау шамаларынын ара катынасы зерттелген.