Напряжения в пленочном покрытии и формирование рельефа его поверхности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

КОСТЫРКО Сергей Алексеевич

НАПРЯЖЕНИЯ В ПЛЕНОЧНОМ ПОКРЫТИИИ И ФОРМИРОВАНИЕ РЕЛЬЕФА ЕГО ПОВЕРХНОСТИ

01.02.04 — механика деформируемого твердого тела

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

На правах рукописи

Санкт-Петербург

2008

003458214

Работа выполнена на кафедре вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления Санкт-Петербургского государственного университета.

Научный руководитель: доктор физико-математических паук,

профессор Греков Михаил Александрович

Официальные оппоненты:

доктор физико-математических наук, профессор Филиппов Сергей Борисович (СПбГУ)

доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник Гиляров Владимир Леонович (ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН)

Ведущая организация:

Институт проблем машиноведения РАН

Защита состоится

ОУ

2008 :

/4

часов на

J /

заседании совета Д-212.232.30 по защите докторских и кандидатских диссертаций при Санкт-Петербургском государственном университете по адресу: 198504, Санкт-Петербург, Университетский пр., д. 28, математико-мехаличеекий факультет.

С диссертацией можно ознакомиться в Научной библиотеке Санкт-Петербургского государственного университета по адресу: Санкт-Петербург, Университетская наб., д. 7/9.

Автореферат разослан "А

п/4» г^о/сРУ

2008 г.

Ученый секретарь диссертационного совета,

доктор физ.-мат. наук, профессор

С.А. Зегжда

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. Гетероэпнтакснальпые структуры с полупроводниковыми пленочными покрытиями получили широкое применение в электронной п оптоэлектроннон промышленности. При этом возможность продолжительной эксплуатации приборов микроэлектроники и онтоэлектроники в значительной мере зависит от стабильности образующих их тонкопленочных структур.

Существует ряд серьезных проблем технологического характера, связанных с неустойчивым состоянием формы поверхности пленки и ее морфологическим изменением с течением времени. Интенсивный нагрев и большие напряжения превращают первоначально гладкую поверхность пленки в шероховатую, что негативно отражается па се электрических и оптических свойствах. Данный феномен подтвержден многочисленными экспериментальными исследованиями, в которых описаны различные конфигурации рельефа. Но, несмотря на часто наблюдаемые морфологические изменения поверхности пленки, причина таких изменений остается до конца не выясненной и вызывает многочисленные дискуссии.

Наиболее распространенной моделью волнообразования поверхности напряженного тела является модель потери устойчивости плоской формы поверхности в результате диффузионных процессов, происходящих в приповерхностном слое.

В большинстве работ, анализ потери устойчивости поверхности основан на учете поверхностной диффузии, определяемой градиентом химического потенциала. При этом предсказывается лишь экспоненциальный рост синусоидальной формы потери устойчивости в диапазоне длин воли, больших критического значения. Работы, где рассматривается комбинированный эффект влияния поверхностной и объемной диффузии, в основном относятся к случаю однородных материалов.

Целью работы является исследование напряженного состояния пленочного покрытия с плоской и со слабо искривленной поверхностью, а также анализ формирования рельефа на поверхности напряженной пленки при диффузионных процессах.

Научную новизну результатов составляет метод построения фундаментального решения для композита полоса-полуплоскость при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил; исследование влияния толщины пленки и жесткости подложки на механизм образования рельефа различной формы, а также на концетрацшо напряжений на деформированной поверхности.

Достоверность полученных в работе результатов обеспечивается математической корректностью постановки задач, использованием строгих анали-

тических методов, а так же сравнением с результатами других авторов.

Практическая значимость. Построенное в первой главе фундаментальное решение позволяет формулировать и решать целый класс двумерных краевых задач для твердых тел с пленочным покрытием, находящихся под действием поверхностной периодической нагрузки. Решения таких задач важны на практике для оценки прочности и надежности разнообразных изделий промышленности, имеющих поверхностный слой, отличный от основного материала.

Результаты, полученные во второй и третьей главах, позволяют предсказывать развитие рельефа поверхности гетероэнитакснального пленочного покрытия, что может позволить разработать методы минимизации плотности распределения дефектов в пленке при ее выращивании и эксплуатации. В частности, это может позволить создавать приборы микро- и оптоэлектропи-ки с улучшенными рабочими характеристиками.

Основные результаты, выносимые на защиту:

1. Для упругого композита полоса-полуплоскость построены функции Грина, отвечающие действию периодической системы сосредоточенных поверхностных сил. Функции найдены в виде комплексных рядов Фурье. Проведен анализ полученного решения и найдены границы изменения геометрических параметров задачи, в пределах которых функции Грина могут быть с заданной точностью представлены отрезком ряда Фурье. Построенные функции Грина позволяют определять напряженно-деформированное состояние композита при любой периодической нагрузке, действующей на границе.

2. С использованием полученных функций Грина решена задача потерн устойчивости плоской формы поверхности напряженного пленочного покрытия при поверхностной диффузии. Получена явная зависимость амплитуды развития синусоидального рельефа от времени. Исследовано влияние поверхностного напряжения, продольных усилий, толщины пленки и жесткости подложки на критическое значение длины волны возмущения.

3. Решена задача потери устойчивости плоской формы поверхности напряженного пленочного покрытия при комбинированном эффекте влияния объемной и поверхностной диффузии. В качестве основного соотношения получена явная зависимость амплитуды развития периодического рельефа от времени. Проанализировано влияние толщины пленки, жесткости подложки, формы потери устойчивости на критическое значение периода возмущения, а также на критическое значение продольных усилий.

4. Проведен анализ концентрации напряжений, вызванной слабым искривлением поверхности пленочного покрытия в результате действия диффузионных процессов. В первом приближении метода возмущений изучено влияние формы рельефа поверхности, толщины пленки и жесткости подложки на кон-

центрацшо напряжений.

Методы исследования. В диссертации пспользуются аналитические методы математической физики, теории упругости, термодинамики, теории функций комплексного переменного. В частности, функции Колосоиа-Мусхелншвнли, метод суперпозиции, комбинированный метод решения задач для многосвязных областей со сближенными границами, метод Гпббса, метод возмущений.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в дессертации, докладывались, на конференциях: II-V Северо-Западная региональная конференция молодых ученых научной школы В.В. Новожилова (г. Санкт-Петербург, 2003-200G); 45 международная конференция "Актуальные проблемы прочности" (г. Белгород, 200G). XVII Петербургские чтения по проблемам прочности (г. Санкт-Петербург, 2007); XVI Республиканская научная конференция аспирантов, магистрантов и студентов по физике конденсированного состояния (г. Гродно, Белоруссия, 2008); 5th European Congress on Computational Methods in Applied Sciences and Engineering (Venice, Italy, 2008).

Результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедры вычислительных методов механики деформируемого тела факультета прикладной математики - процессов управления СПбГУ, а также на семинаре академика II.Ф. Морозова в Институте Проблем Машиноведения РАН (г. Санкт-Петербург, 2008).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 8 работ. В совместных работах [2-G, 8] соавтору принадлежит постановка задачи и метод решения, диссертанту - реализация предложенного метода и результаты численного анализа. Статьи [2, 5, 8] опубликованы в журналах, входящих в перечень ВАК.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 86 наименований. Работа изложена на 92 страницах, содержит 23 рисунка, 1 таблицу.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении приведен краткий обзор литературы, касающейся рассматриваемых в работе проблем. Обосновывается актуальность темы диссертации, указывается цель и методы исследования. Перечислены основные результаты, выносимые на защиту. Также кратко описана структура работы и содержание последующих глав.

В первой главе рассмотрена двумерная модель твердого тела с тонким пленочным покрытием в виде упругого композита полоса-полуплоскость, находящегося иод действием периодической системы поверхностных сосредоточенных сил Р и равномерно распределенных усилий, уравновешивающих эту систему

<Фь) = Р°22 - Ч>12 = Po(xi), Zb е ГЬ (1)

где функция Po(xi) имеет следующий вид

+оо ■р

Po{xi) = -гР ~ ^-Н--,P = Pi+iP2; х1к = х10 + ка, к = 0, ±1, ...

к=-х а

Решение задачи ищется при условии идеального сцепления на границе контакта

м+ - it" =0. сг+ - <7~ = 0, z £ Гс (2)

где с* = lim сг(г); и* = lim «(2); и = щ + iu2, а = crnn + iant.

—>iO Х2—>±0

Кроме того, полагаем

lim a,j(z) = lim w{z) = 0 (3)

Imz—*-cx> Imz-> ~00

где lü — угол поворота, a,3 — компоненты напряжений.

В соответствии с принципом суперпозиции решение исходной задачи представляется в виде суммы решений двух задач: задачи для полуплоскости с упругими свойствами полосы, на границе которой действует требующая определения неизвестная нагрузка при нулевых условиях на бесконечности; задачи для двух соединенных полуплоскостей со скачками усилий и перемещений на границе раздела при тех же нулевых условиях на бесконечности.

После чего, согласно М.А. Грекову, решение задачи о действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил с использованием комплексных потенциалов и алгоритма Шварца сводится к решению интегрального уравнения Фредгольма. второго рода относительно неизвестной функции

/ы

f(zb) - (B0J)(zb) = Ш), Zb е г„ (4)

Оператор Bqc можно записать в виде

•foo +ос

Bocf(zb) = J M1(x1,i)f(t)dt+ J M2(xut)f(t)dt (5)

—00 —00

где ядра Mi(x\,t), M\(x\,t) — непрерывные функции своих аргументов.

Решение интегрального уравнения (4), а, следовательно, и задачи в целом, находим в виде ряда Фурье

+оо

/(*,)= £ СкЕк(Х1) (С)

к= — оо

здесь Ек{х{) = ebkXl, Ьк = , Ск = const 6 С.

После соответствующих преобразований уравнение (4) сводится к функциональному соотношению, содержащему известные функции Vk, U't параметров задачи и неизвестные коэффициенты Ск

£ [CkVk + Ск\ЦЕк(х,) = /о(ц)

(7)

к=—оо

Разлагая функцию fo(xi) в ряд Фурье

+оо 1 '

fo(Xl)= £ Dk(h)Ek(Xl), Dk(h) = - J f0(t)E-k(t)dt (8)

-a/2

находим связь коэффициентов Ck с коэффициентами этого ряда

(10)

(9)

где е — относительная погрешность аппроксимации (6) в смысле условия (10), и

Таким образом, в ходе проведенного исследования найдены условия, при выполнении которых погрешность аппроксимации решения одной первой гармоникой ряда Фурье в случае действия горизонтальной силы (Pi = 1, Р2 = 0) при значениях коэффициентов Пуассона v\ = v2 = 0,25 не превышает е = 0,001. В этом случае было исследовано напряженное состояние пленки в зависимости от ее толщины h и относительной жесткости Е2/Е\ (Ei, Е2 — жесткость подложки и пленки, соответственно).

Распределение усилии а22 и сг12 вдоль границы раздела и вдоль линий, параллельных границе раздела, показано соответственно на рис. 1, 2. Графики на рис. 1 построены при значениях ширины полосы h/a = 0,33; 0,55; 0,9 (кривые 1-3 соответственно), а на рис. 2 - при h/a — 0,55 (кривым 1-3 соответствуют линии х2 = 0 (граница раздела), x2/h = 0, 5 и x2/h = 0,75). В обоих случаях коэффициент относительной жесткости Е2/Е\ = 1/3.

Во второй главе рассматривается задача устойчивости плоской формы поверхности напряженного пленочного покрытия. Морфология поверхности

Рис.1

Рис.2

описывается синусоидой с амплитудой, много меньшей длины периода

2тг

h{x!,t) = h0 + А{1) cos кхг, k = —, A(t)/А « 1, Л(0) = А0 ф 0 (12)

Л

Если со временем амплитуда возмущенной границы стремится к нулю, то профиль поверхности считается устойчивым.

При этом поверхность пленки свободна от внешних усилий, т. е.

а(£) = 0, z G Гь (13)

На границе раздела двух сред Г() выполняются условия контакта (2). Кроме того па бесконечности имеют место условия

lim crn(z) = cri, lim 0-22(2) = lim <Ti2(z) = 0; lim üj(z) = 0 (14)

Im, z—>—ОЭ Imz—*—oo Imz—oo Imz—'—oa

В силу (2) и закона Гука продольные усилия в пленке гт0 и в подложке <Т] связаны соотношением

ai~ E2(l-,j)ao (15)

В качестве основного механизма волнообразования рассматривается поверхностная диффузия. В соответствии с работами Asaro and Tiller, Грнн-фельда, Freund выражение для скорости движения точек поверхности в нормальном направлении имеет вид

Vn = (1G>

В силу выражении для химического потенциала на искривленной поверхности

11 = (и{хъ1)-к~/)П (17)

и выражения для потока масс вдоль рассматриваемой поверхности

Js~ ^Td~s (18)

линеаризованное дифференциальное уравнение движения точек поверхности принимает вид

dh(xut) _ а2 ot ' sdx\

дх\

В (16)—(19) приняты следующие обозначения: Ds - коэффициент поверхностной диффузии, Cs - концентрация поверхностных дефектов, кь - постоянная Больцмана, Т - абсолютная температура, Q - атомный объем, 7 - плотность поверхностной энергии, к - кривизна поверхности. Дифференцирование по параметру s означает дифференцирование по направлению, касательному к поверхности.

Следуя методу возмущений, упругую энергию деформации U криволинейной поверхности находим в нервом приближении из решения задачи теории упругости для полосы, соединенной с полуплоскостью, при действии соответствующих усилий на прямолинейной границе

°22(го) — ic^C^o) = —a3k2Xcoskxi + icrokXsmkXi, z0 = х^ + ih0 (20) и нулевых напряжениях на бесконечности lim <j4 (z) = 0.

Imz—* -00

Для решения этой задачи используется метод суперпозиции, а также метод, примененный в первой главе при построении фундаментального периодического решения задачи. Интегрируя уравнение (19), с учетом полученного выражения для U приходим к следующей зависимости амплитуды искривлс-

ния от времени

=К,(Рс0-1к)Ь (21)

здесь Р — известная функция, зависящая от толщины пленки /¡о, длины волны возмущения Л, относительной жесткости Е1/Е2, коэффициентов Пуассона пленки и2 и подложки щ, продольных усилий <т0, поверхностного напряжения аа.

Анализ данной зависимости показывает, что если длина волны возмущенной поверхности меньше критического значения Л < \сг, то амплитуда искривления уменьшается со временем, и, следовательно, плоская форма поверхности пленки является устойчивой.

Рис.3 Рис.4

В ходе исследования, посредством учета поверхностного напряжения <т„, было выявлено, что изменение знака усилия <т0 приводит к изменению величины Лег - На рис. 3 приведены зависимости относительной разности значений критических длин волн I = (А~ — Л^.)/Асг от приведенной ширины пленки Н = коад/(-уЁ2) при 1>1 = 1/2 = 0.3 и аа = 7. Значения А^. вычислены при (То = ±10-2Е2.

На рис. 4 построена зависимость безразмерной критической длины волны Ь = ХсгОдК'уЕз) от приведенной ширины пленки Н = /¡-оОоЛт^г) при щ = 1>2 = 0.3 и <т„ = 0 Как и на рис. 3, кривым 1-5 соответствуют значения относительной жесткости основного материалам пленки Е1/Е2 = 0,1; 0,3; 1; 3; 10.

Поскольку кроме поверхностной диффузии при высокотемпературном воздействии наблюдается движение атомов вглубь материала, то в третьей главе считается, что под действием интенсивного внешнего нагрева морфология пленочного покрытия определяется не только потоком диффундирующих атомов на поверхности, но также и объемной диффузией.

Предполагается, что форма потери устойчивости захватывает лишь приповерхностный слой пленки, толщиной которого мы пренебрегаем. Днффузи-

онный процесс также локализован лишь и данном поверхностном слое. Принимая во внимание результаты многочисленных экспериментальных исследований, морфологию поверхности зададим следующим образом

h{xut) = h0 + A[t)f{x1) (22)

где A(t) — амплитуда, Л/Л = е « 1, Д(0) = А0 ф О, Л — длина периода искривленной поверхности. Считаем, что функция f(x\) ограничена, а также является симметричной и периодической, т.е.

А/2

1/(^)1 <1, /(*i) = /(-ii) = /(*!+А), / Jix^dxi = 0 (23)

-А/2

В соответствии с работами Mullins; Panat, Hsia and Cahill, выражение для скорости движения поверхности в нормальном направлении имеет следующий вид

V„ = -fig- + П (-Jv) (24)

В (24) приняты следующие обозначения: J, — поток массы вещества вдоль искривленной поверхности, Jv — поток массы по нормали к поверхности

д[С(Х1,х2)/П]

Jj; - i-Л.

дх2

(25)

¿2—ho

где Dv — коэффициент самодиффузии вакансий.

Концентрация вакансий в объеме тела, источники и стоки которых находятся на криволинейной поверхности, определяется соотношением

С(х1:х2) =CV + + AP(xbí)]e^-'l°> (26)

к ¡¡I

где Cv — концентрация вакансий в тепе, с шюокой границей, находящихся в равновесном состоянии при заданной температуре и действии среднего напряжения erg, ¿\P(xi,t) — вариация гидростатического напряжения на поверхности в результате искривления последней при плоской деформации. Величина ДР оказывает такое же влияние на концентрацию вакансий, как и изменение капиллярного давления.

Полагая, что при потере устойчивости рельеф поверхности не меняет своей формы, а лишь экспоненциально возрастает, то для того чтобы получить явную зависимость амплитуды от времени, введем усреднение нормальной скорости движения точек поверхности пленочного покрытия ио половине длины

впадины, т.е. на интервале [0, аг0] £ [О, Л/2] : /(х0) = О).

Это позволяет перейти к рассмотрению усредненного уравнения движении части поверхности, соответствующей впадине (или выступу)

Q /

dh{x 1, t)

о

+Kvk

dt

dxi

-I

"'к*

sdxj

U(xut)~

d2h(x1, t)

dx i, Kv =

dx\ DvCv(l

+

(27)

къТ

Как и в главе 2, Следуя методу возмущений, упругую энергию деформации криволинейной поверхности С/, а также разность гидростатических напряжений на искривленной и плоской поверхности АР находим в первом приближении из решения задачи теории упругости для полосы, соединенной с полуплоскостью, при действии соответствующих усилий на прямолинейной границе

«ГгаЫ - «012(¿о) = А \а4"{хх) - МоГМ]> го = Х\ + ^о Принимая во внимание разложение функции Дал) в ряд Фурье

А/2

°° 2 Г

/(х1) = <я®{пкх\), ап = — / f(t)cos(7lkt)dt

п—1 А ^

" 1 -л/2

(28)

(29)

интегрируем усредненное уравнение движения (27). В результате приходим к следующей зависимости амплитуды искривления от времени, физических и геометрических параметров задачи, входящих в выражения для величин з = 1, 2, 3, 4,

In = 8т?К,Х-3х

Е IQJ, - Q2А"1 - D [QlX + Q4)] апп~г sin (nfci0)

£ а„п 1 sin (пкхо)

п-1

(30)

Геометрически линейный анализ лишь предсказывает экспоненциальный рост синусоидальной формы потери устойчивости в диапазоне длин волн, больших критического значения, и не позволяет проследить эволюцию рельефа поверхности. В то же время, в работе Pang, Huang предложен вариационный принцип, основанный на уравнениях неравновесной термодинамики, что позволило выявить более богатую динамику развития рельефа поверхности твердого тела.

Рис.5

На рис. о (а) - показано развитие рельефа со временем, полученное Pang, Huang; (б) - график функции A0f(x1,yl)), где

/(^ьУо) =

-Relshri^jyo + iX!))} |Rc [sir2 (f j/o)]

(31)

при различных значениях параметров у0, Ад (кривые 1, 2, 3 построены при следующих значениях: у0 = 6,А0 = 0,01; у0 = 3, Ла = 0,1; у0 = 1, А0 = 0,6). Как видно, изменение формы рельефа с увеличением времени аналогично изменению формы поверхности, описываемой функцией (31), при уменьшении параметра у0.

Будем предполагать, что в начальный период времени форма поверхности пленочного покрытия описывается (22), (31) при фиксированном значении у0.

В качестве критерия точности аппроксимации функции /, как и в главе 1, взяг интегральный критерий (10), (11).

(а) (б)

а •е

Ш 26 25

1е(л*1лГ')

24 2Q 27

Рис.6

ls(i*l«f)

На рис. б построена зависимость критического значения длины волны А„. от значения коэффициента D. При этом рассматривается система тепловой защиты с никелевым пленочным покрытием, исследованная в работе Panât, Hsia, Caliill при /¡2 = 100GPa, П = 4,29 х 10-29т3, и2 = 1/3, 7 = lJ/m2. Кривым 1, 3 на рисунках отвечает значение Е\/Е2 = 10, а кривым 2, 4 — Ei/E2 — 0,1, причем кривые 1, 2 построены при значениях сто = — 15 M Ра, а 3, 4 - при сг0 = —100 M Ра. В нравом верхнем углу на рисунках изображен рельеф искривленной поверхности пленки, для которого у0 = 6, Лг = 1 (а); г/0 = 1.5, ЛГ = 4(б)).

Известно, что морфологическое изменение поверхности гетероэпитакси-ального пленочного покрытия приводит к локальному росту напряжений в образовавшихся впадинах. При достаточно больших напряжениях несоответствия, а также при действии внешних усилий, это может привести к зарождению трещин пли дислокаций на поверхности пленки. В связи с рассмотренной проблемой влияния диффузионных процессов на образование гофра поверхности пленочного покрытия особый интерес поэтому представляет изучение концентрации напряжений на деформированной поверхности (22), (31).

Следуя методу возмущений, максимальное напряжение находим в первом приближении из решения задачи теории упругости для полосы, соединенной с полуплоскостью, при действии усилий (28) на прямолинейной границе. При этом

I

= <7п|и=о

ffo ■

1 - и2

£

2ттЕг

1 + ^2

Pn + v2oa (■nkfeX

(32)

Рис.7

На рис. 9 показана зависимость коэффициента концентрации напряжений 5 = а^{лх/аа от радиуса кривизны К при значениях коэффициента относительной жесткости Е\/Е2 =0,1; 10 (сплошная и штрих-пунктирная линии

соответственно) п толщины пленки йо/А = 0,2; 0,4; 0,8 (кривые 1, 2, 3 соответственно) в случае г = 0,1; ь>\ = ^ = 1 /3; па =0; Аг = 1.

В заключении формулируются основные результаты работы.

Список публикаций по теме диссертации

1. Костырко С.А. Периодическая задача о действии сосредоточенных сил на границе композита полоса-полуплоскость (приближенное решение) // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела / Под ред. К.Ф.Чериыха. СПб.: С.-Петерб. гос. ун-т, 2003. Вып. 7. С. 118-127.

2. Греков М.А., Костырко С.А. Напряженное состояние тонкого покрытия при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10., 2004 № 4. С. 99-107.

3. Греков М.А., Костырко С.А. Периодическая задача о действии сосредоточенных сил па границе композита полоса-полунлоскость (точное решение) / / Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. СПбГУ, 2001. Вып. 8. С. 1С7-173.

4. Греков М.А., Костырко С.А. Комбинированный эффект влияния объемной и поверхностной диффузии на развитие рельефа поверхности пленочного покрытия // Сб. тезисов 45-й междунар. конф. "Актуальные проблемы прочности". Белгород, 2006. С. 62.

5. Греков М.А., Костырко С.А. Устойчивость плоской формы пленочного покрытия при поверхностной диффузии // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 10, 2007, 1, С. 46-54.

6. Греков М.А., Костырко С.А. Образование переодических структур на поверхности пленочного покрытия но действием интенсивного нагрева // XVII Петербургские чтения по проблемам прочности, Часть I. Санкт-Петербург, 2007. С. 208-211.

7. Костырко С.А. Образование гофра на поверхности пленочного покрытия /7 Сб. тезисов XVI Республ. науч. конф. аспирантов, магистрантов и студентов по физике конденсированного состояния. Гродно: ГрГУ, 2008. С. 56-57.

8. Греков М.А., Костырко С.А. Формирование рельефа поверхности пленочного покрытия при поверхностной и объемной диффузии // Вести. С.-Петерб. ун-та. Сер. 1, 2008, № 1. С.106-113.

Подписано к печати 13 .11.08. Формат 60x84 'Аб Бумага офсетная. Гарнитура Тайме. Печать ризографическая. Печ л 1,0 Тираж 100 экз. Заказ 4334

Отпечатано в Отделе оперативной полиграфии химического факультета СПбГУ 198504, Санкт-Петербург, Старый Петергоф, Университетский пр., 26 Тел/ (812) 428-40-43,428-69-19

Введение.

Глава 1. Напряженное состояние тонкого покрытия при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил.

1.1 Постановка задачи.

1.2 Основные соотношения.

1.3 Периодическое решение при силовых сосредоточенных воздействиях.

1.4 Напряжения в слое.

Глава 2. Устойчивость плоской формы напряженного пленочного покрытия при поверхностной диффузии.

2.1 Постановка задачи.

2.2 Уравнение движения точек поверхности деформируемого тела при поверхностной диффузии.

2.3 Удельная энергия упругой деформации.

2.4 Анализ устойчивости плоской формы поверхности пленки.

Глава 3. Комбинированный эффект влияния объемной и поверхностной диффузии на развитие рельефа поверхности пленочного покрытия.

3.1 Постановка задачи.

3.2 Уравнение движения точек поверхности деформируемого тела при поверхностной и объемной диффузии.

3.3 Влияние различных факторов на развитие рельефа пленочпого покрытия.

3.4 Концентрация напряжений на искривленной поверхности пленочного покрытия.

Гетероэпитаксиальные структуры с полупроводниковыми пленочными покрытиями получили широкое применение в электронной и оптоэлектронной промышленности. К примеру, пьезоэлектрическая или пьезорезистивная тонкая пленка, выращенная на кремниевой мембране, может быть использована для электронного определения прогиба мембраны вследствие внешнего воздействия на ее поверхность [1]. Возможность продолжительной эксплуатации приборов микроэлектроники и оптоэлектроники в значительной мере зависит от стабильности их физических свойств и от стабильности образующих их тонкопленочных структур.

Вместе с тем, тонкие пленки из-за своих особых свойств, таких, как большое отношение поверхности к объему, высокая плотность структурных дефектов и возможные большие градиенты механических напряжений, представляют собой весьма неравновесные образования [2]. Существует ряд серьезных проблем технологического характера, связанных с неустойчивым состоянием формы поверхности пленки и ее морфологическим изменением с течением времени. Прежде всего, изменение формы поверхности может происходить на этапе выращивания и термической обработки пленочного покрытия, сопровождаемые процессами конденсации и испарения [3]. При этом вследствие рассогласования параметров кристаллических решеток пленки и основного материала, в пленке возникают достаточно большие сжимающие напряжения порядка 1-2,5 ГПа [4], а на межфазной границе скапливаются дислокации несоответствия [5]. Интенсивный нагрев [6, 7, 8] и большие напряжения [9] превращают первоначально гладкую поверхность пленки в шероховатую, что негативно отражается на ее электрических и оптических свойствах. Данный феномен подтвержден многочисленными теоретическими и экспериментальными исследованиями, в которых описаны различные конфигурации рельефа, включая островки [10, 11], слабую волнистость [12], острые выступы и впадины [13]. Но, несмотря на часто наблюдаемые морфологические изменения поверхности пленки, причина таких изменений остается до конца не выясненной и вызывает многочисленные дискуссии [14].

Отметим, что иногда процесс формообразования на поверхности пленочного покрытия можно использовать для улучшения свойств электроприборов. Хорошо известно, что при определенных условиях роста и отжиге очень тонкая гетероэпитаксиальная пленка распадается на островки наноразмера (состоящие из 103 — 10э атомов), называемые квантовыми точками [15]. Данные наноструктуры обладают необычными электрическими и оптическими свойствами, что позволяет разрабатывать на их основе совершенно новые микроэлектронные устройства, такие, как одноэлектронные транзисторы и квантовые полупроводниковые лазеры [16]. Все эти обстоятельства обуславливают большой интерес и стимулируют активность в области изучения формообразования на поверхности гетероэпитаксиальных пленочных покрытий.

Наиболее распространенной моделью волнообразования поверхности напряженного тела является модель потери устойчивости плоской формы поверхности в результате диффузионных процессов, происходящих в приповерхностном слое.

Заметим, что в классической механике деформируемых твердых тел закономерности процесса деформации изучались, как правило, без привлечения каких-либо конкретных представлений о существующей взаимосвязи механических и немеханических форм движения. Поэтому для количественного описания состояния деформируемой среды вводились механические параметры состояния - тензоры деформации и напряжений [17].

Современные тенденции развития механики деформируемых тел связаны с дальнейшим расширением свойств механических моделей путем учета различного рода немеханических видов и форм движения, существующих в реальных телах при их взаимодействии с окружающей средой. Таким образом, наряду с механическими, требуется введение некоторых дополнительных параметров состояния. Так, при рассмотрении процессов переноса массы в твердом теле на той или иной стадии приходится обращаться к представлениям о дискретном строении вещества. В частности, создание теоретических моделей кристаллических или поликристаллических тел затруднительно без учета структурных несовершенств типа вакансий, инородных частиц, примесей, а также несовершенств дислокационного характера, определяющих характер процесса диффузионного перемещения вещества [2].

Постановку вопроса о взаимосвязи процесса диффузии вещества и процесса деформации твердого тела связывают с работами [18, 19]. В дальнейшем этот вопрос рассматривался в исследованиях [20-25].

По-видимому, впервые теоретическое исследование морфологической неустойчивости твердого тела под действием напряжений было дано в работе [26], в которой рассматривалась устойчивость плоской поверхности, разделяющей напряженное твердое тело и жидкость, в геометрически линейной постановке. Было обнаружено, что плоская поверхность неустойчива по отношению к малым периодическим возмущениям, если длина волны возмущения больше некоторого критического значения, пропорционального отношению поверхностной энергии к упругой энергии деформации, вычисленной на поверхности. Этот факт был подтвержден затем в [27-29] для поверхности твердого тела, а также в [30, 31] при учете тонких пленочных покрытий. Необходимо отметить, что только в работах 5

32, 33] выявлена чувствительность процесса волнообразования поверхности тела к изменению знака действующих напряжений. При этом поверхностная диффузия изучалась в однородном упругом материале при отсутствии пленочного покрытия.

Геометрически линейный анализ, проведенный в работах [-26-33], лишь предсказывает экспоненциальный рост синусоидальной формы потери устойчивости в диапазоне длин волн, больших критического значения, и не позволяет проследить эволюцию рельефа поверхности. Напротив, в работе [34] рассмотрена аналитическая модель, которая охватывает некоторые особенности образования глубоких острых впадин. В данной модели, эволюция рельефа описывается семейством циклоид. Позднее, в работах [3537] был предложен вариационный принцип, основанный на уравнениях неравновесной термодинамики, что позволило выявить более богатую динамику развития рельефа поверхности твердого тела.

В большинстве работ, аналогичных [26-33], анализ потери устойчивости поверхности основан на учете поверхностной диффузии, определяемой градиентом химического потенциала. Поверхностная диффузия является ведущим, но не единственным механизмом формирования рельефа поверхности [6, 8]. При высоких температурах благодаря капиллярному эффекту возникает движение атомов вглубь материала, т. е. в приповерхностном слое имеет место объемная диффузия, также влияющая на изменение формы поверхности тела. Эффект этого влияния зависит от уровня температуры и неоднородности распределения напряжений из-за искривления поверхности [38].

В работах [39, 40] представлено исследование влияния объемных и поверхностных диффузионных потоков на сглаживание рельефа твердого тела при отсутствии напряжений. Также следует отметить исследование [41], посвященное анализу эволюции синусоидального рельефа малой амплитуды под действием процесса диффузии, локализованного в приповерхностном 6 слое напряженного твердого тела. В данной работе рассматривалось влияние как поверхностной, так и объемной диффузии, но при этом не учитывалась толщина пленочного покрытия.

В работах [34, 37] было показано, что морфологические изменения поверхности напряженной тонкой пленки зачастую приводят к образованию острых впадин на поверхности пленочного покрытия. Такой дефект поверхности порождает локальный рост напряжений на дне впадин [4, 34] и способствует развитию механических повреждений в результате хрупкого разрушения или пластической деформации. Как уже было отмечено, термическая и эпитаксиальная несогласованность являются причиной возникновения в пленке достаточно больших напряжений (порядка 1-2,5 ГПа). При таком высоком уровне напряжений незначительное увеличение последних, вследствие поверхностной неоднородности, может инициировать процесс зарождения дислокаций и трещин [4, 34].

Таким образом, технология производства устройств микро- и оптоэлектроники на основе тонкопленочных гетероэпитаксиальных покрытий требует, чтобы присутствие в них подобного рода дефектов было сведено к минимуму. Для создания методики минимизации плотности распределения дефектов необходимо понимание процессов, приводящих к их появлению.

Цель работы. Различие между параметрами кристаллических решеток материалов пленки и подложки обуславливает появление в пленке напряжений несоответствия. Предполагается, что возникшее поле напряжений активирует массоперенос вдоль поверхности покрытия, а при высоких температурах — и вглубь материала пленки. Считается, что под действием диффузионных процессов происходит образование периодического рельефа поверхности пленки. Такой дефект поверхности порождает локальный рост напряжений на дне впадин. Таким образом, 7 необходимо исследовать влияние физических и геометрических параметров на механизм образования гофра на поверхности пленки, а также на напряженное состояние пленочного покрытия

Научную новизну результатов составляет построение фундаментального решения для композита полоса-полуплоскость при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил; исследование влияния толщины пленки и жесткости подложки на механизм образования рельефа различной формы, а также на концентрацию напряжений на деформированной поверхности.

Основные результаты, выносимые на защиту:

• Для упругого композита полоса-полуплоскость построены функции Грина, отвечающие действию периодической системы сосредоточенных поверхностных сил. Функции найдены в виде комплексных рядов Фурье. Проведен анализ полученного решения и найдены границы изменения геометрических параметров задачи, в пределах которых функции Грина могут быть с заданной точностью представлены отрезком ряда Фурье. Построенные функции Грина позволяют определять напряженно-деформированное состояние композита при любой периодической нагрузке, действующей на границе.

• С использованием полученных функций Грина решена задача потери устойчивости плоской формы поверхности напряженного пленочного покрытия при поверхностной диффузии. Получена и проанализирована явная зависимость амплитуды развития синусоидального рельефа от времени, физических и геометрических параметров задачи. Исследовано влияние данных параметров на критическое значение длины волны.

• Решена задача потери устойчивости плоской формы поверхности напряженного пленочного покрытия при объемной и поверхностной диффузии, вызванной интенсивным нагревом. Получена и проанализирована явная зависимость амплитуды развития периодического рельефа от времени, физических и геометрических параметров задачи. Исследовано влияние формы потери устойчивости на критическое значение периода возмущения и критическое значение продольных усилий.

• Проведен анализ концентрации напряжений, вызванной слабым искривлением поверхности пленочного покрытия в результате действия диффузионных процессов. В первом приближении метода возмущений изучено влияние формы рельефа поверхности, толщины пленки и жесткости подложки на концентрацию напряжений.

Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения и списка литературы, включающего 86 наименований. Работа изложена на 92 страницах, содержит 23 рисунка, 1 таблицу.

Заключение

В работе получены следующие результаты:

1 I I I

• ( • Для упругого композита полоса-полуплоскость построены функции

Грина, отвечающие действию периодической системы сосредоточенных поверхностных сил. Функции найдены в виде комплексных рядов Фурье. Проведен анализ полученного решения и найдены границы изменения геометрических параметров задачи, в пределах которых функции Грина могут быть с заданной точностью представлены отрезком ряда Фурье. Построенные функции Грина позволяют определять напряженно-деформированное состояние , , композита при любой периодической нагрузке, действующей на

• границе. В случае, когда погрешность аппроксимации решения одной первой гармоникой ряда Фурье не превышает 0,1%, показано, что:

1. При более мягком материале поверхностного слоя максимум абсолютных значений усилий на границе контакта выше, чем при более жестком.

2. С увеличением толщины поверхностного слоя контактные напряжения уменьшаются. I Н 1 «С использованием полученных функций Грина решена задача потери I устойчивости плоской формы поверхности напряженного пленочного ! покрытия при поверхностной диффузии. Получена и проанализирована явная зависимость амплитуды развития синусоидального рельефа от времени, физических и геометрических параметров задачи. Анализ влияния данных параметров на критическое значение длины волны показал:

1. В случае сжатия критическое значение Лсг длины волны несколько больше, нежели в случае растяжения. ЗгЕ2

2. При значениях толщины полосы п0 <-— увеличение жесткости подложки (или уменьшение жесткости пленки) приводит к увеличению значения критической длины волны.

3. С увеличением толщины поверхностного слоя влияние параметра относительной жесткости Ех/Е2 уменьшается. При

Л. п0 >-— критическое значение длины волны не зависит от величины Е]/Е2 и с точностью £ = 0,001 определяется критерием устойчивости для полуплоскости.

Решена задача потери устойчивости плоской формы поверхности напряженного пленочного покрытия при объемной и поверхностной диффузии под действием интенсивного нагрева. Получена и проанализирована явная зависимость амплитуды развития периодического рельефа от времени, физических и геометрических параметров задачи. Исследовано влияние формы потери устойчивости на критическое значение длины волны и критическое значение продольных усилий. Обнаружено:

1. При сжимающих напряжениях объемная диффузия приводит к уменьшению критического значения длины волны, а при растягивающих, наоборот - к увеличению.

2. Существует такое критическое значение С0сг растягивающих усилий, что при (70 < сг0с/не существует ясг, т.е. поверхность устойчива к любым возмущениям, удовлетворяющим условиям задачи. При этом увеличение жесткости подложки (или уменьшение жесткости пленки) приводит к увеличению а0сг. Но с увеличением толщины пленки влияние параметра ех/ена критическое значение растягивающих усилий уменьшается.

3. Существует такое критическое значения ка. толщины пленочного покрытия, что при /г0 > ксг, критическое значение

Хсг длины волны возмущения плоской формы поверхности пленочного покрытия не зависит от коэффициента относительной жесткости ех / е2 и с заданной точностью определяется критерием устойчивости для полуплоскости. При этом с увеличением доли объемной диффузии, а также с уменьшением растягивающих усилий критическое значение толщины пленки уменьшается.

4. При уменьшении степени влияния объемной диффузии критическая длина волны становится более чувствительной к изменению относительной жесткости системы.

5. Уменьшение радиуса кривизны впадин приводит к увеличению критического значения периода Ясг возмущения.

При помощи метода возмущения проанализирована концентрация напряжений, вызванная слабым искривлением поверхности пленочного покрытия в результате действия диффузионных процессов. На основе первого приближения изучено влияние формы рельефа поверхности, толщины пленки и жесткости подложки на концентрацию напряжений.

-*'—{ Обнаружено: I 1 I

1. Увеличение относительной глубины впадины приводит к увеличению концентрации напряжений.

2. Увеличение радиуса кривизны впадины приводит к уменьшению концентрации напряжений.

3. Увеличение толщины пленки в случае более мягкого основания приводит к уменьшению концентрации напряжений, тогда как при жестком основании, наоборот - к увеличению

А-Й* | I I I I

1. Heterostructure epitaxy and devices - HEAD'97 / Eds. Kordos P. and Novak J. Dordrecht. Kluwer Acad. Pub . 1998. 336 p.

2. Каур И., Гауст В. Диффузия по границам зерен и фаз. М: Машиностроение, 1991. 448 с.

3. Freund L. В. Evolution of waviness on the surface of a strained elastic solid due to stress-driven diffusion // Intern. J. of Solids and Structures. 1995. V. 32, №6/7. P. 911-923.

4. Gao H., Nix W. D. Surface roughening of heteroepitaxial thin films // Ann. Rev. of Materials Science. 1999. V. 29. P. 173-209.

5. Andrews A.M., Speck J. S, Romanov A. E., BobethM., Pompe W. Modeling cioss-hatch surface morphology in growing mismatched layeis // J. of Appl. Phys. 2002. V. 91, № 4. P. 1933-1943.

6. Морозов H. Ф., Паукшто M. В., Товстик П. E. Устойчивость поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 1998. № 1. 130-139.

7. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. О депланации грани кристалла в условиях поверхностной диффузии // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела 1999. № 2. 53-57.

8. Морозов Н. Ф., Паукшто М. В., Товстик П. Е. О влиянии объемной диффузии на потерю устойчивости поверхностного слоя при термонагружении // Изв. РАН. Сер. Механика тв. тела. 1999. № 4. 97-101.

9. Индейцев Д.А., Молчанова Ю.А. Динамические эффекты, сопутствующие диффузионной гомогенизации в тонкостенных системах // Проблемы механики деформируемого твердого тела: Межвуз. С6./СП6ГУ. СПб: СПбГУ, 2002. 141-148.

10. Andrews A. M., Speck J. S., Romanov A. E., BobethM., Pompe W. Modeling cross-hatch surface morphology in growing mismatched layers // J. of Appl. Phys. 2002. V. 91, № 4. P.1933-1943.

11. Alivisatos A.P. Electrical studies of semiconductor-nanocrystal colloids // MRS Bull. 1998. V. 23, № 2. P. 18.

12. Zunger A. Electronic-structure theory of semiconductor quantum dots // MRS Bull. 1998. V. 23, № 2. P.15.

13. Папкович П.Ф. Теория упругости. M.: Оборонгиз, 1939. 640 с.

14. Gorski W.S. Sow. Phys. 1935. V. 8. РГ443.

15. Gorski W.S. Sow. Phys. 1936. V. 9. P.77.

16. Конобеевский СТ. Кристаллизация в металлах при превращении в твердом состоянии // Изв. АН СССР. Отд. хим. наук. 1937. № 5. 1209.

17. Конобеевский СТ. К теории фазовых превращений, П. Диффузия в твердых растворах при наличии распределенных напряжений // ЖЭТФ. 1943. Т. 13. 200.

18. Любов Б.Я., Фастов Н.С. Влияние концентрационных напряжений на процесс диффузии в твердых растворах // ДАН СССР. 1952. Т. 8, №5.

19. Фастов Н.С. Некоторые особенности термодинамики деформирования твердых тел. Сб. «Проблемы металловедения и физики металлов». М.: Металлургиздат, в. 7, 1962.

20. Пинес Б.Я. Очерки по металлофизике. Харьков: Изд-во Харьковского ун-та, 1961.

21. Лифшиц И.М. К теории диффузионно-вязкого течения поликристаллических тел//ЖЭТФ. 1963. Т. 44. 1349-1367.

22. Asaro R. .1., Tiller W. A. Interface morphology development during stress corrosion cracking: Part I. Via surface diffusion // Metallurgical Transactions. 1972. V. 3. P. 1789-1796.

23. Гринфельд M. А. Неустойчивость границы раздела между негидростатически напряженным упругим телом и расплавом // Докл. АН СССР. 1986. Т. 290, № 6. 1358-1363.

24. SrolovitzD. J. On the stability of surfaces of stressed solids // Acta Metallurgica. 1989. V. 7, № 2. P. 621-625.

25. Grinfeld M. A. The stress driven instabilities in elastic crystals: mathematical models and physical manifestation // J. of Nonlinear Science. 1993.V. 3,№ L P . 35-83.

26. Chiu С , Gao Н. Stress singularities along a cycloid rough surface // Int. J. Solids Struct. 1993. V.30. P. 2983-3012.

27. Liu P., Zhang Y.W., Lu C. Coarsening kinetics of heteroepitaxial islands in nucleationless Stranski-Krastanov growth // Phys. Rev. B. 2003. V. 68, № 035402.

28. Chiu C.-H. Stable and uniform arrays of self-assembled nanocrystalline islands //Phys. Rev. B. 2004. V.69, № 165413.

29. Pang Y., Huang R. Nonlinear effect of stress and wetting on surface evolution of epitaxial thin films // Phys. Rev. B. 2006. V. 74, № 075413.

30. Mullins W.W. Solid surface morphologies governed by capillarity // Metal Surfaces: Structure, Energetics and Kinetics / W.D.Robertson and N.A.Gjostein eds. 1963. P. 17-66.

31. Blakely J.M., Mykura H. Surface self diffusion and surface energy measurements on platinum by the multiple scratch method // Acta Metall. 1962. V. 10, № 5 . P. 565-572.

32. Греков M.A. Сингулярная плоская задача теории упругости. СПб.: Изд- во -Петерб. ун-та, 2001. 192 с.

33. Греков М.А., Костырко А. Напряженное состояние тонкого покрытия при действии периодической системы поверхностных сосредоточенных сил //Вестн. -Петерб. ун-та. Сер. 10., 2004, № 4. 99-107

34. Греков М.А., Костырко А. Периодическая задача о действии сосредоточенных сил на границе композита полоса-полуплоскость (точное решение) // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. СПбГУ, 2004. Вып. 8. 167-173.

35. Греков М.А., Костырко А. Устойчивость плоской формы пленочного покрытия при поверхностной диффузии // Вестн. -Петерб. ун-та. Сер. 10,2007, № 1.С. 46-54.

36. Греков М.А., Костырко А. Комбинированный эффект влияния объемной и поверхностной диффузии на развитие рельефа поверхности пленочного покрытия // Сб. тезисов 45-й междунар. конф. "Актуальные проблемы прочности". Белгород, 2006. 62.

37. Греков М.А., Костырко А. Образование переодических структур на поверхности пленочного покрытия по действием интенсивного нагрева // XVII Петербургские чтения по проблемам прочности № 1, 2007. 208-211

38. Костырко А. Образование гофра на поверхности пленочного покрытия // Сб. тезисов XVI Республ. науч. конф. аспирантов, магистрантов и студентов "Физика конденсированного состояния". Гродно: ГрГУ, 2008. 56-57

39. Греков М.А., Костырко А. Формирование рельефа поверхности пленочного покрытия при поверхностной и объемной диффузии // Вестн. -Петерб. ун-та. Сер. 1, 2008, № 1. 106-113.

40. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. 940 с.

41. Работнов Ю.Н. Механика деформируемого твердого тела. М.: Наука, 1979.744 с.

42. Владимиров В.И., Романов А.Е. Дисклинации в кристаллах. Л.: Наука, 1986.224 с.

43. Гуткин М.Ю., Овидько И.А. Дефекты и механизм пластичности в наноструктурных и некристаллических материалах. СПб.: Янус, 2001. 180 с.

44. Черных К.Ф. Нелинейная упругость (теория и приложения). СПб.: изд. «Соло», 2004. 420 с.

45. Fraiser J.T., Rongved L. Force in the plain of two joined semi-infinite plates // Trans. ASME. J. Appl. Mech. 1957. V. 27, №4. P. 582-584

46. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. 708 с.

47. Линьков A.M. Задачи теории упругости для плоскости с конечным числом криволинейных разрезов // Исслед. по упругости и пластичности. Вып. 11. Л.: Изд-во Ленингр. ун-та. 1976. 3-11.

48. Власов В.В. Однослойные и многослойные полосы и плиты под локальными нагрузками // Изв. РАН Механика твердого тела. 1994. №

49. 179-186. бЗ.Крауч С, Старфилд А. Методы граничных элементов в механике твердого тела. М.: Наука, 1987. 328 с.

50. Греков М.А., Моисеева Н.Б. Фундаментальные периодические решения уравнений теории упругости для соединенных разномодульных полуплоскостей // Вест. -Петерб. ун-та, Сер. 1, 1998, № 4. 75-78.

51. Leo M.S., Dundurs J. Edge dislocation in a surface layer // Int. J. Eng. Sci. 1973. V. 11,№ L P . 87-94. б9.Гуткин М.Ю., Романов A.E. Краевые дислокации в тонких неоднородных пластинах. Л.: ФТИ, 1989. 64 с.

52. Михлин Г., Морозов Н.Ф., Паукшто М.В. Интегральные уравнения в теории упругости. СПб.: Изд-во -Петерб. ун-та, 1994. 272 с.

53. Емельянов В. И., Шлыков Ю. Г. Нелинейная многомодовая генерация поверхностных дефектно-деформационных структур // Изв. РАН. Физич. Серия. 1993. Т. 57, № 12. 18-38.

54. Gao H. A boundary perturbation analysis for elastic inclusions and interfaces // International Journal of Solids and Structures. 1991. V. 28, N. 6. P. 703-725.

55. Гиббс Д. Термодинамические работы. М.-Л.: Гостехиздат, 1950.

56. Herring The use of classical macroscopic concepts in surface energy problems // Structure and Properties of Solid Surfaces (Edited by R.Gomer and C.S.Smith). University of Chicago Press. Chicago. 1953. P. 5-72.

57. Rice J. R., Chuang T. J. Energy variations in diffusive cavity growth // Journal of American Ceramic Society. 1981. V. 64, N. 1. P. 46-53.

58. ГегузинЯ. E. Диффузионные процессы на поверхности кристалла. М.: Наука, 1984. 128 с.

59. Новожилов В. В. Теория упругости. Судпромгиз, 1958. 370 с.

60. Греков М. А., Макаров Н. Двухкомпонентная упругая среда с волнистой межфазной поверхностью // Нелинейные проблемы механики и физики деформируемого твердого тела. СПб.: СПбГУ, 2003. Вып. 7. 275-285.

61. Греков М. А., Макаров Н. Концентрация напряжений у слабо искривленного участка поверхности упругого тела // Изв. РАН. Серия: Механика тв. тела. 2004. № 6. 53-61.

62. Panat R.P., Zhang S., Hsia K.J. Bond coat surface rumpling in thermal barrier coatings // Acta Mater. 2003. V. 51, № 239.

63. Karlsson A.M., Evans A.G. A numerical model for the cyclic instability of thermally grown oxides in thermal barrier systems // Acta Mater. 2001. V. 49, № 1793.

64. Freund L.B. Evolution of waviness on the surface of a strained elastic solid due to stress-driven diffusion // Int. J. Solids Struct. 1995. V. 32, №911.

65. Gjostein N.A., Bonzel H.P. Diffraction Theory of Sinusoidal Gratings and Application to In Situ Surface Self-Diffusion Measurements // J. Appl. Phys. 1968. V. 39, №3480.

66. Tolpygo V.K., Clarke D.R. Surface rumpling of a (Ni, Pt) Al bond coat induced by cyclic oxidation // Acta Mater. 2000. V. 48. P 3283-3293. V-ift- —j I