Напряженно-деформированное состояние многослойных материалов под воздействием внешних нагрузок и локальных мгновенных температур тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правах рукописи

Сеидов Эмии Эхтирам оглы

Напряженно-деформированное состояние многослойных материалов под воздействием внешних нагрузок и локальных мгновенных температур

Специальность 01.02.04 — Механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических

наук

Работа выполнена в Московском государственном открытом университете

Научный руководитель; - доктор физико-математических

наук, профессор Кулиев В.Д,

Официальные оппоненты: - доктор технических наук,

профессор Костенко H.A. - кандидат физико-математических наук Волков A.A.

Ведущая организация - Институт Машиноведения РАН им. A.A. Благоправова г. Москва

—ч j

Защита состоится «у(У» декабря 2006 года в «7 В » часов на заседай™

диссертационного совета Д 212.137.02 в Московском государственном открытом

университете по адресу: 107996 Москва, ул. Павла Корчагина, д.22,

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке МГОУ

Автореферат разослан « "/ ноября 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета

Общая характеристика работы

л

Актуальность темы. Многослойные материалы широко используются в различных областях современной техники. В этой связи, исследование процессов разрушения многослойных материалов с трещинами представляет большой теоретический и практический интерес. Постановка задачи предполагает введение трещины в интересующем нас месте. Как правило, рассматривается симметричное расположение полос с разными упругими свойствами. При этом возможны варианты, а именно: трещина может быть боковой или может располагаться в середине симметрично (центральная трещина). В этом случае задача механики разрушения п{п > 1)-слойных материалов с боковой или центральной трещиной

исследуется в три этапа: после постановки задачи, решается задача теории упругости для области, содержащей трещину (при этом возможно использование принципа суперпозиции для приведения внешней нагрузки к берегам трещины); затем определяются параметры механики разрушения (для упругой задачи это коэффициенты интенсивности напряжений), после чего на основе критериев механики разрушения определяются критические состояния тела с трещиной. В зависимости от постановки задачи вершина трещины может находиться как внутри слоя, так и на границе раздела слоев. Понятно, что результат решения будет зависеть от Су,!^ (GJ — модуль сдвига У-го слоя, V] — коэффициент Пуассона

того же слоя); от характеристик трещиностойкости материала слоев; от прочности адгезии на границах раздела (прочность адгезии, согласно теории адгезии при сдвиге, аналогичной теории Гриффитса-Ирвина, определяется вязкостью скольжения контактного слоя К!!С, а также размером дефекта или слабого места на

контакте двух материалов). Решения таких вопросов необходимы при создании и эксплуатации биметаллов и композитов. Креме того, подобные составные конструкции встречаются в реакторостроении, авиационной технике и других сложных технических системах, что позволяет считать тему диссертации актуальной.

Цель работы:

• Разработка метода определения напряженно-деформированного состояния внутри некоторой конечной области и вне её (в если область подвержена мгновенному нагреву до заданной температуры Т0,

• Исследование роста изолированной трещины нормального разрыва в изотермическом процессе по времени целиком находящейся внутри области .

• Определение асимптотического распределения напряжений и смещений вблизи вершины полубесконечной трещины, находящейся на границе раздела двух различных материалов (предполагается, что берега полубесконечной трещины свободны от внешних нагрузок).

• Решение задачи о центральной трещине поперечного сдвига, целиком находящейся в центральном слое многослойного материала и нахождение условия, при выполнении которого происходит торможение трещины в центральном слое.

Научная новизна работы:

• Получено новое решение практически важной и актуальной задачи термоупругости для случая, когда некоторая область 5+с трещиной мгновенно нагревается до постоянной температуры Г0. Определена зависимость коэффициента интенсивности напряжений от длины трещины и времени.

• Построено асимптотическое распределение напряжений и смещений вблизи вершины полубесконечной трещины, находящейся на границе раздела двух различных сред (предполагается, что берега полубесконечной трещины свободны от внешних нагрузок). Показано, что напряжения, точно также как и в работах Внльямса и Г.П. Черепанова, имеют колебательный характер; найдено физически возможное условие, при выполнении которого, этот колебательных характер напряжений исчезает.

• Построено новое решение задачи о центральной трещине, находящейся в центральном слое многослойного материала; определено условие, при выполнении которого, происходит торможение трещины. Решение данной задачи, позволяет

развить этот метод на решение задачи для наклонной трещины, находящейся в центральном слое.

Достоверность исследований подтверждают апробированность исходных положений работы в постановках задач теории упругости и теории трещин, математическая точность и строгость в решении и удовлетворении граничных условий рассматриваемых задач, сравнение конечных аналитических и числовых данных в частных случаях с известными в литературе.

Практическая значимость работы определяется возможностью внедрения полученных результатов. Результаты диссертации использовались в оптимальном проектировании и изготовлении составных элементов конструкций с повышенной трещиностойкостью. Результаты диссертационной работы были внедрены в производственный процесс в ФГУП «НПО «ТЕХНОМАШ» при создании новых образцов ракетно-космической техники.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

• асимптотическое распределение напряжений и смещений вблизи вершины полубесконечной трещины, находящейся на границе раздела двух различных сред (берега полубесконечной трещины свободны от внешних нагрузок); условие при выполнении которого «осциллирующий» характер напряжений исчезает;

• решение задачи термоупругости с «горячей» трещиной;

• коэффициент интенсивности напряжений для трещины поперечного сдвига, находящейся в центральном слое в п{п > 1)-слойном материале.

Апробация работы. Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах: 1) XII Международный семинар «Технологические проблемы прочности» (два доклада), Подольск, 2006 г. 2) Общеуниверситетский семинар по механике деформируемого твердого тела при МГОУ, Москва, 2005,2006 г.

Публикации. По основным результатам диссертации опубликованы 5 статей в периодической печати. Одна статья издана в журнале, который входит в перечень издательств рекомендованных ВАК РФ.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, выводов (заключения), списка литературы из 111 наименований и приложения (акт внедрения). Общий объем диссертации 142 страницы. Работа содержит 8 рисунков.

Основное содержание работы.

Во введении обосновывается актуальность проблемы исследований, и кратко излагаются основные научные положения, которые выносятся на защиту.

В первой главе, состоящей из двух параграфов, сформулированы основные проблемы механики разрушения многослойных сред с трещинами.

Первый параграф состоит из трех подпараграфов. В §1.1 приведен метод В.Д. Кулиева для решения канонических сингулярных задач теории упругости кусочно-однородных сред. В §1.2 приведено решение обобщенной задачи Зака-Вильямся (задача о полубесконечной трещине, перпендикулярной границе раздела двух различных сред), необходимое для познания механизмов разрушения многослойных материалов под воздействием внешних нагрузок.

В §1.3 методом В .Д. Кулиева автором данной диссертационной работы (совместно с В.Д. Кулиевым) построено решение задачи Вильямса-Черепанова (рис.1), так как в работах Вильямса и Г.П. Черепанова не были определены распределения полей напряжений и смещений, а установлены

только лишь колебательные характеры напряжений в вершине трещины. Здесь определены напряжения и смещения в верхней (0 < 9 < 7г) и нижней

(—7Г < в < 0) полуплоскостях. В частности, из полученных решений следует:

V2тг г V 27гг

Здесь К1 и Кп - коэффициенты интенсивности напряжений для трещин нормального разрыва и поперечного сдвига, соответственно;

2* ~~ 4(1 —г/,)* ** Ог'

Су — модуль сдвига, 7—1,2.

Анализ показывает, что для любого Е1Е ]0,оо[ и

(у = 1,2) ЛГе , причем функция # = по к <Е ]0,оо[

является монотонно убывающей функцией.

Из (1) следует, что напряжения при г —*■ +0, £ ^ 0 (или г —♦ +оо, е ^ 0)

имеют «осциллирующий» (колебательный) характер.

Этим колебаниям напряжений не удается приписать физического смысла, так как из него следовало бы, что верхний и нижний края трещины в окрестности ее вершины изгибаются и перекрываются.

В литературе известны различные подходы (при этом авторы этих работ требуют накладывать дополнительные граничные условия), позволяющие устранить «осциллирующий» характер напряжений вблизи вершины трещины, находящейся на границе раздела двух сред.

Нами предложен следующий подход. Пусть N = 1. В этом случае е ~ 0 и если ^Ег> ^=1/2,то +1,т.е.

_ёх_=_ё*__(2)

(1 + ^(1-2^) (\ + ^)(1~2игУ

Если условие (2) выполняется, то «осциллирующий» характер напряжений исчезает.

Проверка выполняемости условия (2) на примере комбинации материалов бериллий {Ех = 309кг/мм2,1/, =0,07) и бронзы

—\35кг/мм1, г/, =0,35) показала, что оно выполняется с погрешностью

0,8%*. Учитывая имеющий место фактический разброс физико-механических свойств материала при экспериментальном их определении, это расхождении можно считать вполне приемлемым. В диссертационной работе определены также напряжения и смещения в верхней и нижней полуплоскости, если выполняется условие (2).

Решения, приведенные в §1.3 важны для познания механизмов разрушения двухслойных материалов.

Во втором параграфе главы I указана цель и обоснована структура диссертационной работы.

Вторая глава посвящена важным вопросам: логарифмическому потенциалу и задаче Коши для уравнения теплопроводности Фурье. Известно, что решение задачи Коши для уравнения теплопроводности Фурье дается формулой Пуассона. Рассмотрим плоскую задачу. Пусть в начальный момент * = 0 бесконечная

теплопередающая плоскость, кроме некоторой конечной области (рис.2), имеет

нулевую температуру, а точки области нагреты до некоторой температуры

¥>(*,>>)» если (*,>>)е5"\ 0 , если 5"*.

Кроме того, будем считать, что термические свойства теплопередающей среды не зависят от температуры и являются одинаковыми как для холодной, так и для рис. 2.

Т(х>уА,-о =

* Если вместо £ = 309 кг / мм* принять = • 920,2 кг/ мм* то условие (2) выполняется

горячей среды; очевидно, данное предположение накладывает некоторые 'ограничения на начальную функцию <р(х,у).

При этих условиях в любой точке М(х,у) и в любой момент времени / > О температура рассматриваемого материала определяется формулой Пуассона

о1

1 Г

= (3)

Здесь г = — + — Т])2 - расстояние между точками М{х>у) и

N(¿£,7)) 6 а - коэффициент температуропроводности. Теперь рассмотрим интеграл

Ф0 (*,>>)= ~ // (4)

В диссертационной работе показано, что

<?(*,>>), если(х>у)е8+ О , если (*,>>)

В формулах (3) и (4) предполагается, что функция 1р{х>у} является

непрерывной дифференцируемой функцией по обоим переменным в . Потенциал (4) в дальнейшем будем называть потенциалом логарифмического типа. В диссертационной работе доказаны следующие утверждения. Утверждение 1. Если точка М (*».у) & и граница Ь области не зависит от времени I, то

дт дф± дт дФ^

а Г—Ж = -^рЦ а Г= (5)

^ дх дх ^ ду ду

ДФ0-

Следствие 1. Из (5) следует, что

д2Т . д2Т) ¥. °гдТ

а([дх> • ду2)" 1 &

Л = = 0) = -

д2ф0 + Э2Ф01

дх2 ду7

т.е.

если (х,у)еЗ+,

, ч „ (о)

О , если .

Следствие 2. Утверждение 1 сыграет важную роль при решении подобных плоских задач термоупругости, а именно частного решения в виде логарифмического потенциала (4), удовлетворяющего уравнению Пуассона

(ДФ0 внутри области и уравнению Лапласа (ДФ0 =0) в области

В третьей главе рассматривается задача термоупругости с центральной трещиной нормального разрыва.

Иногда при остывании сварочного шва в нем развиваются так называемые «горячие трещины», которые приводят к браку изделия. Аналогичное явление в виде образования раковин и пустот в слитках наблюдается в металлургическом процессе.

Ниже рассматривается теоретическая модель, в рамках которой можно решить задачу об образовании и развитии горячей трещины. Решение этой задачи позволяет сравнивать различные тепловые режимы и выбирать наиболее благоприятный. Дается постановка задачи, и формулируются основные допущения. Изучаются параметры механики разрушения для исследования роста горячей трещины. Рассматривается вопрос об асимптотическом размере горячих трещин при / —* оо и даются простые достаточные критерии, при выполнении которых горячая трещины не образуется.

1. Постановка задачи. Пусть в начальный момент времени ( = 0 в контакте с твердым металлом, имеющим некоторую постоянную температуру Т — О, находится расплав, который мгновенно затвердевает так, что его температура в начальный момент постоянна и равна Т — Т0. Вследствие остывания горячего

металла в заполненной им области возникают растягивающие напряжения, так как на границе контакта металлы предполагаются жестко сваренными. С течением времени растягивающие напряжения возрастают, вызывая рост начальной наиболее

10

опасной трещины или какого-либо эквивалентного трещиноподобного дефекта. При t —+оо напряжения и размер горячей трещины будут максимальными.

Будем считать металлы термоупругими телами, чтобы все пластические эффекты были сосредоточены лишь в малых областях вблизи контура трещин. В этом случае поставленная задача о развитии горячей трещины может быть решена в рамках механика хрупкого разрушения.

Введем также следующие допущения: а) все термоупругие постоянные не зависят от температуры и являются одинаковыми как для холодного, так и для горячего метала, б) металлы представляют собой однородное и изотропное тело, в) это тело находится в плосконапряженном состоянии (тонкая пластина). Эти допущения не имеют принципиального характера, однако позволяют найти простое эффективное решение многих практически интересных задач и выявить некоторые основные качественные эффекты. Полученные решения, как известно, можно использовать также для случая плоской деформации, если заменить упругие коэффициенты.

Сформулируем упрощенную задачу для бесконечной, однородной и изотропной упругой плоскости, содержащей произвольную область , а остальная часть плоскости обозначена . Пусть в момент / — О произвольная область имеет температуру Т = Т0. Остальная часть тела имеет температуру Т — 0 при

/ = 0. На границе Ь области нет скачка смещения; физически это

соответствует замене области нагретой шайбой точно таких же размеров. Область содержит прямолинейную трещину вдоль оси дг. Требуется определить изменение напряженно-деформированного состояния и параметров механики разрушения для начальной трещины во времени. Перемещения, напряжения и главный вектор сил (а также вращение) в бесконечно удаленной точке считаются равными нулю.

2. Параметры механики разрушения горячей трещины. Пусть область в вышеприведенной постановке задачи представляет собой прямоугольник со

2хЛ < *

S* -1 0 т=тЛ 1

L

сторонами 2х0 и 2_у0. Начало декартовых координат хну выберем в центре прямоугольника, ось X направим параллельно той стороне, длина которой равна 2х0 (рис. 3). Пусть начальная трещина длиной 21 расположена вдоль оси X с центром в начале координат. Берега трещины свободны от внешних нагрузок. Порядок решения задачи будет следующим. Вначале определяется

температурное поле; затем из уравнений термоупругости для тела без трещины находится напряжение <тц при у = О, Ы < /: это

* ' ' Рис.3.

напряжение с обратным знаком подставляется в известное общее выражения для коэффициента интенсивности напряжений в случае изолированной трещины и изотермического процесса. Зависимость вязкости разрушения Кс от температуры вне интервала хладноломкости можно представить в виде

Kc = Ke(T(l,0,t)), (7)

причем из постановки задачи следует, что О < ^cmin ^стах

= {П (Ш)) = кс (Г0) = const,

= О"*7*0»')=к< (°)=comL

Зависимость (7) можно определить из соответствующих экспериментальных данных с заранее заданной точностью.

2. Решение основной задачи. Пусть

TQ — const > 0, если (x,y)eS+, О , если

Кроме того, пусть - прямоугольник с центром в начале координат со сторонами 2х0 и 2уь (рис. 3). Тогда в силу (8) и (3) имеем

ег/

Хо±*

+ ег/

к 2} 2У[ш ,

ег/

Уо+У)

Уо~У

V 7Г п

(10)

0 (9)

где ег/(т) - функция вероятности ошибок Гаусса, т - безразмерная величина. Из (9) при / —* 0 находим разрывы начального распределения температуры,

Т^Т^ъу),

Здесь Я(т;) - симметричная единичная функция Хевисайда — функция включения.

Теперь определим потенциал (4). В данном случае функция Ф0 определятся формулой

где - прямоугольник (рис. 3).

Вычислим интеграл в (11), находим

(И)

Фо (*>>>) = "Г

47Г

Нуо+У)2

Оо - у)

arctg

(

Уо~У

arctg

х« + х

[Уо + У)

aгctg + ап^

х0-х

КУо-У)

Уо±У

+ аг<^

ха+х

\Уо-У)

кхй-х

ДГа ^ X

+

+(х0 + х)2

эхсхЛ + | +

Уо-У

+ +

+ +

(12)

{х0+х}

- >0(*о - *)1п[(*о - х)2 + (Уо - у) + (у0 - у) (*0 + х)1п [(*о + х)2 + (^0 - у)'

+ (Уо + >')(дго -*)Ц(*о-ХУ +(Уо + +>0(*о+х)1п[(*о +х)2+(у0

— 12х0^0}

Отсюда видно, что функция Ф0 (*»>>) непрерывна везде, за исключением

вершины прямоугольника (в этих точках она теряет смысл — становится неопределенной). Однако, дополненная функция в вершинах прямоугольника будет непрерывна и в этих точках.

Из (12) можно убедиться в том, что функции и ^^у^ду теРяют

смысл (становятся неопределенными) в вершинах прямоугольника. Дополняя определение этих функций в вершинах прямоугольника, положив например,

\дФг

'дх

и

(дФ

о I равными пределам Нт

\дФ

—2-1 и Нт дх )

дФг

[9у1

получим непрерывные функции везде и всюду (в том числе и в вершинах прямоугольника).

Такие дополненные функции в дальнейшем будем относить к классу непрерывных функций.

Очевидно, что вторые производные функции Ф0 (х, в вершинах

прямоугольника не существуют.

Вторые производные функции Ф0(х,у) имеют место в любых точках

плоскости, кроме точек (*0;>>0), (х0;->>0), (-*0;>о)> (-*0;-\У0).

В диссертационной работе показано,

14

[г0, если УЛ/(х,>>)е5+,

Дф —.

0 [0, если

3. Деформации возникающие при нагреве. Деформацию, когда температурное расширение (или сужение) ничем не стеснено и напряжения в выделенном элементе не возникают, называют тепловой деформацией.

В данном случае выделенный элемент представляет собой прямоугольник со сторонами сЬс и <3у. В силу (10) тепловые деформации в выделенном элементе при / > 0 определяется формулами:

— = (13)

где а - коэффициент линейного теплового расширения. Из (13) следует:

1°. Тепловые деформации е* и Еу при / > 0 на контуре £ терпят разрывы первого рода.

2°. При г —► +оо

3°. В области при / > 0 происходит тепловое сужение, т.е. в точках

Т = -а{Т0-Т), ТУ = -а(Г0 -Г), = 0, (Т0 > Г), (14) а в области - тепловое расширение, т.е. в точках (*»>>) € :

Т = аТ, Ту = аТ, 7" = 0,(Г > 0). (15)

В действительности тепловым деформациям выделенного элемента будут препятствовать связанные с ним части остального тела, в силу чего в этом элементе

возникают дополнительные деформации и 7^ которые, в общем случае,

могут быть упругими, упруго-пластичными или чисто пластическими.

Полные деформации определяются как суммы соответствующих тепловых (13) и дополнительных деформаций

ех=ех+£х* еу = еу + еу> 7^=7^* О*)'

Определяемые таким образом деформации £х»£у и при />0 должны

удовлетворять условию сплошности тела — условию совместности деформаций Сеи-Венана везде и всюду, как при упругих, так и при упруго-пластических деформациях.

Из (16), имея в виду (13), получаем

£х +а[тйр(х,у)-т],е,=е, + а\Т0Р(х,у)-Т], 7^=7^.(17)

4. Напряжения возникающие при нагреве. В дальнейшем предполагается, что для данной задачи справедлива гипотеза Неймана. Она гласит: в изотропной линейно-упругой среде, если не превзойден предел пропорциональности,

компоненты тензора деформации £х,£у и 7^ связаны с компонентами тензора

напряжений схУ<ту и т формулами обобщенного закона Гука. При этом на

начальную температуру налагается условие Неймана. В силу этой гипотезы имеем

СГЛ = \0 + 2^£ж,(7у =Л0 + 2{Л£УуТ^ = в — £х + £у,

Л ~ ----¿г = С? = —-Г, (18)

где Е - модуль упругости, в - модуль сдвига, V - коэффициент Пуассона. С помощью (17) и (18) получаем

<г, --^{в + (1 + и)а[Т0Р(х,у)-Т}}-2Се,,

оу = ^¿{в + О + Г]} - 2 0£х, (19)

Как отмечено выше, условию сплошности тела Сен-Венана должны удовлетворять не тепловые деформации и не вызываемые их появлением

тепловые упругие деформации £х>£у>7^, а их сумма - полные деформации

£х,£у, . Именно эти полные деформации и должны быть связаны с

перемещениями и и V уравнениями Коши

_ ди ду __ ди ду

так как, если условия Сен-Венана для произвольного тензора выполнены, можно найти такое поле перемещений, для которого этот тензор является тензором деформаций.

Из (19) имеем:

^ =

ду+ ду

ди+

дх

ту

(ди+ + дУ+)

ду дх,

а*

дх ду

2в Гл_

ду~

ду

ди

дх

(20)

т~ =0

ху

ди ^ ду'

(ду дх)

(21)

дх ду

5. Уравнения Дюгамеля-Неймана. В дальнейшем нам понадобится гипотеза Дюгамеля: если изменение температуры по времени протекает с достаточно малой

скоростью, то, вообще говоря, можно пренебречь ускорениями в уравнениях движения теории упругости, рассматривая движение как некоторую последовательность состояний равновесия. Такой подход для решения подобных задач называют «квазнстатическим», а сами задачи — квазистатическими задачами.

Анализ показывает, что рассматриваемая задача относится к классу линейных несвязанных квазистатических задач теории термоупругости. Поэтому, время I для данной задачи играет роль просто некоторого параметра.

Подставляя (20) и (21) в уравнения равновесия при отсутствии массовых сил

записанным в и приходим к системе дифференциальных уравнений

Дюгамеля-Неймаиа в области £+ и £ , соответственно:

2 дв+ ди>+ш 2{\ + и)ад( ,

1 а ~~ а — 1 а V <>/* ^ >

1 — 1/ ОХ оу 1 — 1/ ох

2 д9+

дш+ __ 2(1 + 1/)а д _ , дх " 1 — V дуК* о)у

(23)

\-vdy дх 1 — 1/ ду

2 дВ~ дЫ _2{\ + у)адТ

1 —г/ дх ду ~ 1 — 1/ дх *

2 дв~ ди)~ _ 2(1 + 1/)а дТ

1 — 1/ ду дх 1 — V ду

± + ду* ди*

Здесь = о> =---- отличный от нуля компонент тензора

дх ду

вращения плоской теории упругости.

По условию рассматриваемой задачи

+| „+| _ I»-

Следовательно, компоненты перемещения и и V в Ег {Ег — Б* -+-¿4-можно представить в виде

и —

и+, если

и~, если (*,>>)€ 5", V = и+ = и~, если (*».>>) € Ьу

если (.*:,>>) V", если (25)

у+ = , если у) е

Из физических соображений следует, что при t —► +оо

и о, V —► 0, ея —► 0, €у —► 0, —► 0.

<т; о,<т; о, т- —о, и" —►о,

(26) (27)

(е; - 0, е; - О, 7; - 0).

Теперь определим частные решения системы уравнений (22) и (23) при только что приведенных выше условиях, так как общие решения однородной системы уравнений Ляме при отсутствии массовых сил тождественно равны нулю.

Компоненты перемещения и и V при ? > 0 в силу (24) и (25) можно

выразить через функцию Папковича-Гудьера

_ дФ = 14 дх'* ду'

В диссертационной работе показано, что

Лх ч гЭГ. , , ЪдТ

и = — (1 + г/)сш I —с/т, у—~{\ + 1/)аа I •

(/ > 0). (28)

Полные деформации £х>£у>7ху при (> 0 удовлетворяют условию

сплошности тела - условию совместности деформаций Сен-Венана в Ег.

Теперь напряжения легко определяются внутри области и вне с

помощью утверждения 1 и (20), (21) и (28).

б. Анализ решения. Коэффициент интенсивности напряжений. Анализ полученного напряженно-деформированного состояния показывает;

1а. Нормальные напряжения ег^являются частными функциями и по х и

по у.

2° -При прочих равных условиях напряжения <т* и <7* являются монотонно возрастающими функциями по I.

3°. Касательное напряжение т^ является нечетной функцией и по х и по у.

В диссертационной работе показано, что коэффициенты интенсивности напряжений ЛГ/ и К] для изолированной центральной трещины длины 21 (—х0 < —I < х < I < х0, у = 0) в точках х — +/ и х — —1 определяется формулой:

К, = ^ = /Г/ = аЕТ0ЛЫ

1

7Г'

I

arctg

Уо

Хп+/т

Л

«Л

~Уо(хо~/т)/

0 (х0+1т)

1 1

4<н

■Ыт

(29)

(*о

/-0О ' V » / 1 _ и

(1<х0),

Длина критической (разрушающей) трещины определяется при I —► +оо из условия Ирвина Кг = Кс. Она равна

7Г

Е<хТл

(30)

где

экспериментально определяемая вязкость разрушения материала при

/ —+ +оо (при I —► оо Т ~ 0), т.е. вязкость разрушения холодного материала. Проведенный численный анализ при у0 = лг0, V — 0,3 показывает:

• при фиксированных значениях / (0 < * < оо) с увеличением длины трещины I (/ < х0) коэффициент интенсивности напряжений монотонно увеличивается;

• при фиксированных значениях / (0 < / < лг0) с увеличением времени / коэффициент интенсивности напряжений К[ монотонно увеличивается; при этом, коэффициент интенсивности напряжений достигает максимального значения при * —► -Ьоо.

В четвертой главе исследуется процесс разрушения многослойного материала с центральной трещиной поперечного сдвига. Решение аналогичной задачи с центральной трещиной нормального разрыва построено ранее В.Д. Кулиевым. у.

Пусть упругие (Ту, ^ слои в

© © ® © с— © "-Ч © © ©

ч- ,-ь, <—_ __' Ч —► X

Н—1 1 -»> *— < 1

композите жестко сцеплены между собой вдоль плоскостей х = (Л = 1,2,...,«). Центральный слой

!*!</*,, (у! <00 содержит Рис-4

трещину поперечного сдвига у = 0,|дг) < / < перпендикулярную поверхности X — ±А, (рис. 4). К берегам трещины приложено некоторое заданное касательное напряжение (т^ ) = —ц (х), (ау )(= О, х € [0, /], / < А,, где Ц (х) четная

интегрируемая в отрезке [—/,/] функция.

Задача считается плоской. На бесконечности напряжения отсутствуют, а смещения исчезают. Таким образом, приходим к следующей краевой задаче

плоской теории упругости для п (я > 1)-слойных материалов с центральной

« «

трещиной поперечного сдвига: а) граничные условия

х = 0, Н<оо М(=0, (ах\ = 0,

У = 0, \х\<1<^ (тД =-<?(*), «>,=0,

У = 0, /<И<^ Ю.-0, (и\= О,

.У = 0, = Н = ° (у = 2,« + 1),

\х\ = Н<оо

б) условия на бесконечности:

< |х| < Л,+( (у = 1,«) м Л„ < х оо |д>| оо

К), К)/*^)}-*0'

(32)

{(«),(**). (г = ^х2+у\ «>о)

в) условия на вершинах трещины поперечного сдвига

(33)

.у — 0, х—+/ + 0 рп(х-1)(т„\~К+и у = 0,х-+~1-0 ртг\х + 1\(тху\ ~ Здесь X* - коэффициенты интенсивности напряжений для трещин поперечного

сдвига, подлежащие определению.

Решение задачи (31 )-(3 2) с помощью представления смещений через гармонические функции Папковича-Нейбера после удовлетворения граничных условий, сведено к интегральному уравнению Фредгольма второго рода

+ (0 < х < /, /</0(34)

п о ух —т о

Ядро интегрального уравнения К (/, х) громоздко и по этой причине оно здесь не приводится.

Анализ показывает, что коэффициенты интенсивности напряжения Кц и Кд

равны друг другу и определяются по формуле

22

к„ = к*.=к~ = (/) {кь,). (35)

Пусть л = 3, (? = 1,2,3;

i/y=0,3 (У = 1»2,3,4),

— — = 1; 0,1; 10; 0 (если k}i = 0, то v} = О),

q(^x) — r — const и Aj = Н — 1, {Ej — лгодуль Юнга Тогда из (34) и (35) имеем коэффициент интенсивности для трещины второго

типа

Ки =

Л к

причем функция Ф0 (•) определяется из (34).

Численный анализ показывает, что если к21 <1, то при любых значениях кг1

и £43 функция Ф0(*) возрастает с ростом ^^ € ]0,1[; если к2Х < 1, то при фиксированных значениях ^^ 6 ]0,1[ функция возрастает с убыванием £3 2; функция Ф0(.) при любых фиксированных значениях ^^ б]0,1[ имеет

наибольшее значение при к1х = 1, к} 2 — 0 и = 0; если =0 и 1 = 1, то функция Ф0 (•) возрастает с увеличением £3>2 при любых фиксированных значениях б]0,1[, при этом если к32 >0, то функция Ф0(*) возрастает с

увеличением 6 ]0,1 [, а если к2 2 < 1, то* она убывает с увеличением

Полученный коэффициент интенсивности напряжений может быть использован при решении вопросов механики разрушения.

Основные выводы

1. Разработанный новый метод решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела позволяет получить решение задачи термоупругости для многослойных конструкций с трещиной при мгновенном нагреве.

2. На основе критериев линейной механики разрушения определена критическая длина трещины, которая образуется при мгновенном нагреве прямоугольной области.

3. Построено новое решение задачи Вильямса-Черепанова о полубесконечной трещине, находящейся на границе раздела двух однородных изотропных упругих материалов, позволяющее определить компоненты тензора напряжений и вектор перемещения в первом и во втором материале.

4. Полученные в диссертационной работе решения существенно уточняют механизм разрушения в многослойных материалах с трещинами.

5. Решена задача о центральной трещине поперечного сдвига в многослойных материалах с определением соответствующего коэффициента интенсивности напряжений дан численный анализ влияния физико-механических и геометрических параметров (длины трещины, толщины слоев) на коэффициент интенсивности напряжений.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ИЗЛОЖЕНЫ В СЛЕДУЮЩИХ СТАТЬЯХ:

1. Кулиев В.Д., Сеидов Э.Э. Некоторые вопросы математической теории термоупругости. - Новые технологии, 2006 г., №2, с.2-5.

2. Кулиев В.Д., Сеидов Э.Э. Об одной задаче теплопроводности. - Новые технологии, 2006 г., №4, с.8-11.

3. Кулиев В.Д., Сеидов Э.Э. К теории разрушения п-слойных материалов с трещиной. - Мат. XIII международного семинара «Технологические проблемы прочности». Подольск. МГОУ, 2006 г., с.209-211.

4. Кулиев В.Д., Сеидов Э.Э. Квазистатическая термоупругая задача для центральной трещины. - Мат. XIII международного семинара «Технологические проблемы прочности». Подольск. МГОУ, 2006 г., с.212-214.

5. Сеидов Э.Э. Центральная трещина поперечного сдвига в и (я > 1)—слойных композитных материалах. - «Инженерная физика» №5, 2006 г. с.46-50.

Тип.МГОУ тираж jÛO зак.№ 200¿Гг.

Введение.

ГЛАВА I. НЕКОТОРЫЕ ПРОБЛЕМЫ МЕХАНИКИ РАЗРУШЕНИЯ

МНОГОСЛОЙНЫХ СРЕД.

§ 1. Обзор исследований по теме диссертации.

§ 1.1. Метод В.Д. Кулиева для решения канонических сингулярных задач теории упругости кусочно-однородных сред.

§ 1.2. Трещина, перпендикулярная границе раздела двух различных упругих сред.

§1.3. Задача Вильямся-Черепанова.

§ 2. Цель исследования и структура диссертационной работы.

ГЛАВА II. ЛОГАРИФМИЧЕСКИЙ ПОТЕНЦИАЛ И ЗАДАЧА КОШИ ДЛЯ УРАВНЕНИЙ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ ФУРЬЕ.

§ 1. Логарифмический потенциал масс, распределенных по площади

§ 2. Первые производные логарифмического потенциала.

§ 3. Вторые производные логарифмического потенциала.

§ 4. Кратные преобразования Фурье.

§ 5. Задачи Коши для уравнения теплопроводности Фурье.

§ 6. Обоснование формулы Пуассона.

§ 7. Бесконечная скорость теплопередачи.

§8. Связь между интегралами i----at, |----at и

J0 дх J ду первыми производными типа логарифмического потенциала ф0 (х, у).

ГЛАВА III. ОБ ОДНОЙ ЗАДАЧЕ ТЕРМОУПРУГОСТИ.

§ 1. Постановка задачи.

§ 2. Решение основной задачи.

§ 3. Деформации, возникающие при нагреве.

§ 4. Напряжения, возникающие при нагреве.

§ 5. Уравнения Дюгамеля-Неймана и их решения.

§ 6. Анализ решения. Коэффициент интенсивности напряжений.

ГЛАВА IV. ЦЕНТРАЛЬНАЯ ТРЕЩИНА ПОПЕРЕЧНОГО СДВИГА В п и > 1) - СЛОЙНЫХ КОМПОЗИТНЫХ МАТЕРИАЛАХ.

§ 1. Предварительные замечания. Представление Папковича—Нейбера перемещений и напряжений через три гармонических фунцкии.

§ 2. Центральная трещина поперечного сдвига в п (п > 1) — слойных композитных материалах.

Многослойные материалы широко используются в различных областях современной техники. В этой связи исследование процессов разрушения многослойных материалов с трещинами представляет большой теоретический и практический интерес. Постановка задачи предполагает введение трещины в интересующем нас месте. Как правило, рассматривается симметричное расположение полос с разными упругими свойствами. При этом возможны варианты, а именно: трещина может быть боковой или может располагаться в середине симметрично (центральная трещина). В этом случае задача механики разрушения п(п> 1)-слойных материалов с боковой или центральной трещиной исследуется в три этапа: после постановки задачи, решается задача теории упругости для области, содержащей трещину (при этом возможно использование принципа суперпозиции для приведения внешней нагрузки к берегам трещины); затем определяются параметры механики разрушения (для упругой задачи это коэффициенты интенсивности напряжений), после чего на основе критериев механики разрушения определяются критические состояния тела с трещиной. В зависимости от постановки задачи, вершина трещины может находиться как внутри слоя, так и на границе раздела слоев. Понятно, что результат решения будет зависеть от Gj, иj (Gj — модуль сдвига j -го слоя, Vj — коэффициент Пуассона того же слоя); от характеристик трещиностойкости материала слоев; от прочности адгезии на границах раздела (прочность адгезии, согласно теории адгезии при сдвиге, аналогичной теории Гриффитса-Ирвина, определяется вязкостью скольжения контактного слоя Кис, а также размером дефекта или слабого места на контакте двух материалов). Решения таких вопросов необходимы при создании и эксплуатации биметаллов и композитов. Кроме того, подобные составные конструкции встречаются в реакторостроении, авиационной технике и других сложных технических системах, что позволяет считать тему диссертации актуальной.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

• асимптотическое распределение напряжений и смещений вблизи вершины полубесконечной трещины, находящейся на границе раздела двух различных сред (берега полубесконечной трещины свободны от внешних нагрузок); условие при выполнении которого «осциллирующий» характер напряжений исчезает;

• решение задачи термоупругости с «горячей» трещиной;

• коэффициент интенсивности напряжений для трещины поперечного сдвига, находящейся в центральном слое в п [п > 1) -слойном материале.

Основные положения и результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на следующих научных конференциях и семинарах: 1) XII Международный семинар «Технологические проблемы прочности» (два доклада), Подольск, 2006 г. 2) Общеуниверситетский семинар по механике деформируемого твердого тела при МГОУ, Москва, 2005, 2006 г.

По основным результатам диссертации опубликованы 5 статей в периодической печати. Одна из статей издана в журнале, который входит в перечень издательств рекомендованных ВАК РФ.

Основные результаты и выводы диссертационной работы:

1. Разработанный новый метод решения прикладных задач механики деформируемого твердого тела позволяет получить решение задачи термоупругости для многослойных конструкций с трещиной при мгновенном нагреве.

2. На основе критериев линейной механики разрушения определена критическая длина трещины, которая образуется при мгновенном нагреве прямоугольной области.

3. Построено новое решение задачи Вильямса-Черепанова о полубесконечной трещине, находящейся на границе раздела двух однородных изотропных упругих материалов, позволяющее определить компоненты тензора напряжений и вектор перемещения в первом и во втором материале.

4. Полученные в диссертационной работе решения существенно уточняют механизм разрушения в многослойных материалах с трещинами.

5. Решена задача о центральной трещине поперечного сдвига в многослойных материалах с определением соответствующего коэффициента интенсивности напряжений дан численный анализ влияния физико-механических и геометрических параметров (длины трещины, толщины слоев) на коэффициент интенсивности напряжений.

ФЕДЕРАЛЬНОЕ КОСМИЧЕСКОЕ АГЕНТСТВО

ФЕДЕРАЛЬНОЕ ГОСУДАРСТВЕННОЕ УНИТАРНОЕ ПРЕДПРИЯТИЕ

НПО "ТЕХНОМАШ"

127018, Москва, а/я 131

Факс: 689-73-45 E-mail:technomash@mtu-net.ru http://www.mtu-net.ru/technomash/

Исх. от-Но №

С г-Ч т/г от.

Утверждаю [еститель генерального директора

ЕХНОМАШ» авин Г. А.

Акт внедрения

Настоящим актом подтверждаем, что результаты диссертационной работы Сеидова Эмина Эхтирам оглы на тему «Напряженно-деформированное состояние многослойных материалов под воздействием внешних нагрузок и локальных мгновенных температур» были внедрены в производственный процесс при создании новых образцов ракетно-космической техники.

Внедрение полученных результатов позволило сократить сроки проектных работ, повысить надежность, сравнить различные тепловые режимы при термообработке многослойных материалов и выбрать наиболее оптимальные, с точки зрения прочностных характеристик.

Начальник отдела /7fr/^

В.Н. Потапов

Заключение

1. Справочник по специальным фунциям./ Под ред. М.Абрамовица, ИСТИГАН. -М.: Наука, 1976.

2. Амензаде ЮА. Теория упругости. М.: Высшая школа, 1976.

3. Ашбаух. Напряжения в слоистых композитах, содержащих разорванный слой. Прикл. механика, 1973, т.40, сер.Е, № 2, с.221-228.

4. Ашбаух. Развитие конечной трещины, перпендикулярной поверхности раздела двух материалов. Прикл. механика, 1973, т.40, сер.Е, № 2, с.312-314.

5. Бережницкий JI.Т., Панасюк В.В., Стащук Н.Г. Взаимодействие жестких линейных включений и трещин в деформируемом теле. Киев: Наук, думка, 1983.-290 с.

6. Бицадзе А.В. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1982.

7. Болотин В.В., Новичков Ю.Н. Механика многослойных конструкций. М.'.Машиностроение, 1980. 375 с.

8. Бохнер С. Лекции об интегралах Фурье. М., Гос. Изд-во ФИЗМАТЛИТ, 1962.

9. Вайншельбаум В.М., Голъдштейн Р.В. Осесимметричная задача о трещние на границе раздела слоев в многослойной среде. Изв. Ан СССР, МТТ, 1976, №2.

10. Витницкий П.М., Панасюк В.В., Ярема С.Я. Пластические деформации в окрестности трещин и критерии разрушения (обзор). Проблемы прочности, 1973, №2, с. 3-18.

11. Витушкин А.Г. О многомерных вариациях,- М., 1955.

12. Гайвасъ КВ., Кит Г.С. Нестационарная задача термоупругости для пластинки с полубесконечным термоизолированным разрезом. Пробл. прочности, 1974, №6, с. 72-75.

13. Грилицкий Д.В. Об упругом равновесии неоднородной пластинки с разрезом. Прикл. Механика, 1966, т.2, №5.

14. Грилицкий Д.В., Евтушенко А.А., Сулим Г. Т. Распределение напряжений в полосе с упругим тонким включением. ПММ, 1979, т.43, вып.З, с.542-549.

15. Дорош НА., Кит Г. С. Термоупругое состояние плоскости и полуплоскости с трещиной под действием источников тепла. Прикл. механика, 1969, 5, №12, с 83-88.

16. Жорожолиани Г. Т., Каландия А.И. Влияние жесткого включения на интенсивность напряжений около концов разреза. ПММ, 1974, т.38, №4, с.719-727.

17. Жуковщкий А.А., Шварцман J1.A. Физическая химия. М.: Металлургия, 1976.

18. Забрейко П.П., Кошелов А.И., Красносельский МА., Михлин С.Г., РаковщикЛ.С., Стеценко В.Я. Интегральные уравнения. -М.: Наука, 1968.

19. Заде Л., Дезоер Ч. Теория линейных систем. Метод пространства состояний. М.: Наука, 1970.

20. Зак, Вильяме Сингулярности в напряжениях у конца трещины на поверхности раздела двух материалов. Прик. мех. Сер. Е., т.ЗО, №1, 1963.

21. Захаров В.В,, Никитин Л.В. Влияние трения на процесс расслоения разнородных материалов. Механика композитных материалов, 1983, №1, с.20-25.

22. Ингленд. Трещина между двумя разными средами // Прикл. Мех. Сер. Е. 1965. - Т.32, №2.

23. Кантрович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Физматгиз, 1962. 708 с.

24. Кит Г.С., Дорош НА. Термоупругое состояние плоскости с двумя равными прямолинейными трещинами. Концентрация напряжений. 1971, вып.З, с. 61-67.

25. Кит Г.С., Кривцун М.Г. Плоские задачи термоупругости для тел стрещинами Киев: Наук, думка, 1983. - 280 с.

26. Кит Г.С., Лысый И.П. О термоупругом состоянии полосы с трещинами. -Мат. методы и физ.-мех. поля, 1979, вып. 10, с. 50-53.

27. Кит Г.С., Хай М.В. Температурные напряжения в полосе, ослабленной произвольно ориентированными теплоизолированными трещинами. -Мат. методы и физ.-мех. поля, 1976, вып. 3, с. 20-26.

28. Кит Г.С., Хай М.В. Термоупругое состояние плоскости, ослабленной произвольно ориентированными теплоизолированными трещинами. -Мат. методы и физ.-мех. поля, 1975, вып. 1, с. 48-54.

29. Кит Г.С., Хай М.В. Термоупругое состояние полуплоскости и полосы, ослабленных поперечной трещиной. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1976, вып. 16. с. 107-111.

30. Кит. Г.С., Соколовский МЛ. Плоская задача теплопроводности и теплоупругости для тела с периодической системой прямолинейных разрезов. Мат. медоты и физ.-мех. поля, 1976, вып. 4, с. 44-51.

31. Коваленко А.Д. Избранные труды. Киев: Наук, думка, 1976. - 762 с.

32. Коваленко А.Д. Термоупругость. Издательское объединение «Вища школа», 1975,216 с.

33. Коляно Ю.М., Кулик А.Н. Температурные напряжения от объемных источников Киев: Наук, думка, 1983. - 288 с.

34. Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. М.: Наука, 1980.-400 с.

35. Костров Б.В., Никитин JI.B. Трещина продольного сдвига с бесконечно узкой пластической зоной. -ПММ, 1967, т.31, вып.2,с.334-336.

36. Костров В.В., Никитин Л.В„ Флитман Л.М. Распространение трещин в упруго-вязких телах. Изв. АН СССР, физика Земли, 1970, №7.

37. Костров В.В., Никитин Л.В., Флитман Л.М. Механика хрупкого разрушения. Изв. АН СССР, МТТ, 1969, №3.

38. Кудрявцев Б.А., Партон В.З., Песков ЮЛ., Черепанов Г.И О локальной пластической зоне вблизи конца щели (плоская деформация) Изв. АН СССР, МТТ, 1970, №5, с.132-138.

39. Кулиев В.Д. Сингулярные краевае задачи. М.:ФИЗМАТЛИТ, 2005, 719 с.

40. Кулиев В.Д. Некоторые задачи о ветвлении трещины сдвига в кусочно-однородной упругой среде. Докл. АН Азерб. ССР. 1979, №6.

41. Кулиев В.Д. Преломление трещины продольного сдвига. Докл. АН СССР, 1979, т.249, №2

42. Кулиев В.Д. Трещина на границе раздела двух сред с ответвлением в одну из них в случае антиплоской деформации. Проблемы прочности, 1979, №7.

43. Кулиев В.Д. Трещина с конечным ответвлением в кусочно-однородной упругой среде. Докл. АН СССР, 1979, т.246, №6.

44. Кулиев В.Д, Бугаенко С.Е., Разумовский И.А. Разработка критериев проектирования многослойных материалов ИТЭР. Хрупкое разрушение многослойных материалов. В сб.: Термоядерный синтез. - М.: НИКИЭТ, 1998.

45. Кулиев В.Д, Насибов В.И. Краевая трещина в биупругой полосе. -Механика композитных материалов, 1983, №4, с 594-599.

46. Кулиев В.Д, Сеидов Э.Э. К теории разрушения n-слойных материалов с трещиной. Мат. XIII международного семинара «Технологические проблемы прочности». Подольск. МГОУ, 2006 г., с.209-211.

47. Кулиев В Д., Насибов В.И. Центральная трещина в двухкомпонентном слоистом материале. Деп. ВИНИТИ, №3287-82. 21 с.

48. Кулиев В.Д, Сеидов Э.Э. Некоторые вопросы математической теории термоупрутости. Новые технологии, 2006 г., №2, с.2-5.

49. Кулиев В.Д., Работное Ю.Н., Черепанов Т.П. Торможение трещины на границе раздела различных упругих сред // Изд. АН СССР. МТТ. 1978. - №4.

50. Кулиев В.Д., Разумовский И.А. К проблеме определения остаточных напряжений в биметаллах. ДАН СССР, 1990, т. 315, № 3.

51. Кулиев В.Д., Разумовский И.А., Злочевская О.Б. Краевая трещина в двухслойных материалах. Аналитические и эксперементальные методы определения хрупкой прочности и остаточных напряжений. Научно-технический прогресс в машиностроении, 1990, вып. 29.

52. Кулиев В.Д., Сеидов Э.Э. Об одной задаче теплопроводности. Новые технологии, 2006 г., №4, с.8-11.

53. Кулиев В Д., Сеидов Э.Э. Квазистатическая термоупругая задача для центральной трещины. Мат. XIII междунар. сем. «Технологические проблемы прочности». Подольск. МГОУ, 2006 г., с.212-214.

54. Левин В.А., Морозов Е.М., Матвиенко Ю.Г. Избранные нелинейные задачи механики разрушения. М. ФИЗМАТЛИТ, 2004. - 408 с. - ISBN 5-9221-0514-0.

55. Лыков А.В. Теория теплопроводности. М., «Высшая школа», 1967.

56. Максудов Ф.Г., Кулиев В Д., Искендер-заде Ф.А. К проблеме разрушения биупругой среды. Докл. АН СССР, 1982, т.264, №6, с.1349-1352.

57. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1981. -272 с.

58. Махутов Н.А., Матвиенко Ю.Г. Теория Гриффитса и развитие критериев механики разрушения // Физ.-хим. механика материалов. -1993. ~№3.- с. 140-145.

59. Мелан Э., Паркус Г. Термоупругие напряженя, вызываемые стационарными температурными полями. М., Физматгиз, 1958.

60. Морозов Е.М. Концепция предела рещиностойкости // Заводская лаборатория. Дигностика материалов. 1997. - №12. - с. 42-46

61. Морозов Е.М., Костенко П. В. Метод сечений для расчета натурных деталей с трещинами // Заводская лаборатория. Диагностика материалов. 1999. №7. - с. 31-34.

62. Михлин С.Г. Интегральные уравнения и их приложения. М.: Гостехиздат, 1949.

63. Никитин Л.В., Туманов А.Н. Анализ локального разрушения в композите. Механика композитных материалов, 1981, №4, с.595-601.

64. Образцов И. Ф., Кулиев В.Д., Разумовский И.А., Фарзалибеков Н.Э. К проблеме разрушения биметаллических материалов с краевой трещиной. ДАН СССР, т. 308, № 3.

65. Панасюк В.В. Механика квазихрупкого разрушения материалов. Киев: Наукова думка, 1990. - 545 с.

66. Панасюк В.В., БережницкийЛ.Т., Садивискийа В.М. Коэффициенты интенсивности и распределение напряжений около остроугольных упругих включений. Докл. АН СССР, 1977, т.232, №2, с.304-307.

67. Панасюк В.В., Саврук М.П., Дацышин А.П. Распределение наряжений около трещины в пластинах и оболочках. Киев: Наукова думка, 1976.

68. Папкович П. Ф. Теория упругости. JI. М., Оборонгиз, 1969.

69. Партон В. 3., Морозов Е.М. Механика упруго-пластического разрушения. М.: Наука, 1974.

70. Партон В.З., Перлин ИИ. Интегральные уравнения теории упругости.1. М.: Наука, 1977,-311 с.

71. Партон В.З., Перлин П.И. Методы математической теории упругости. М.: Наука, 1981.-688 с.

72. Партон В.З., Черепанов Г.П. Механика разрушения. В сб.: Механика в СССР за 50 лет, т.З. М.: Наука, 1972.

73. Пестриков В.М., Морозов Е.М. Механика разрушения твердых тел. Курс лекций. СПб.: Профессия, 2002. - 320 с.

74. Подстригач Я. С. Условия скачка напряжений и перемещений на тонкостенном упругом включении в сплошной среде. Докл. АН УССР, 1982, сер. А, №12, с.30-32.

75. Подстригач Я.С., Кит Г.С. Определение температурных полей и напряжений в окрестности теплопроводящих трещин. Тепловые напряжения в элементах конструкций, 1967, вып. 7. с. 194-201.

76. Прусов И. А. Некоторые задачи термоупругости. Минск: Изд-во Белорус, ун-та, 1972, - 198 с.

77. Работное Ю.Н. Прочность слоистных материалов. Изв. АН СССР, МТТ, 1979, №1.

78. Разрушение. М.: Мир, 1973-1976, тт.1-7.1 • Сеидов Э.Э. Центральная трещина поперечного сдвига в n ( ft > l) — слойныхкомпозитных материалах. «Инженерная физика» №5, 2006 г. с.46-50.

79. Слепян Л.И. Механика трещин. JL: Судостроение, 1981. - 295 с.

80. Слепян Л.И. Механика трещин. 2-е изд. JI.-.Судостроение, 1990. 296 с.

81. Слепян Л.И., Яковлев Ю. С. Интегральные преобразования в нестационарных задачах механики. Л.: Судостроение, 1980.

82. Тимошенко СЛ. Теория упругости. Л. М., ОНТИ, 1937.

83. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье. Москва-Ленинград, ОГИЗ Гос. Изд-во Технико-теоретической литературы, 1948.

84. Храпков А. А. Первая основная задача для кусочно-однородной плоскости с разрезом, перпендикулярным прямой раздела. ПММ, 1968, т.32, вып. 4.

85. Черепанов Г.П. Механика разрушения композиционных материалов. -М.: Наука, 1974.

86. Черепанов Г.П. Механика хрупкого разрушения. М.: Наука, 1974.

87. Черепанов Г.П. О напряженном состоянии в неоднородной пластинке с разрезами. Изв. Ан СССР, сер. Мех. И машиностр., 1962, №1.

88. Эрдоган Ф. Распределение напряжений в неоднородной упругой плоскости, имеющей трещины. Прикл. механика, 1963, т.30, №2, с.83-88.

89. Эрдоган Ф. Распределение напряжений в связанных разнородных материалах с трещинами. Прикл. механика, сер.Е, 1965, т.32, №2, с.169-177.

90. Эрдоган Ф. Теория распространения трещин. В кн.: Разрушение, т.2. М.: Мир, 1975.

91. Adams G.G. Crack onteraction in an infinite elastic strip. Int. J. Engng Dei.,1980, v.18, p455-462.

92. Ashbaugh N. Stress solution for a crack at an arbitrary angle to an interface. -Int. J. Frac, 1975, v.ll,N2.

93. Atkinson C. On stress singularities and interfaces in linear elastic fracture mechanics. Int. J. Fract., 1977, v. 13, N 6.

94. Benthem J.P., Koiter W. T. Asymtotic approximations to crack problems. In: Mechanics of Fracture, v.l (ed. by G.C.Sih). Leyden: Noordhoff Intern. Publ., 1973.

95. Chrysakis A. C., Theocaris P.S. A note on finite crack crossing normally an interface with logarithmic singularity and the interface. Int. J. Solids Struct.,1981, v.l7, p765-768.

96. Erdogan F.E. Fracture of composite materials. Discussion, Atkinson C. Prospects Fract. Mech., Leyden, 1974, p.447-492.

97. Erdogan F.E., Cook T.S. Antiplane shear crack terminating at and going through a bimaterial interface. Int. J. Fract., 1974, v. 10, N 2.

98. Erdogan F.E., Gupta G.D. Bonded wedges with an interface crack under antiplane shear loading. Int. J. Fract., 1975, v.l 1, N 4.

99. Erdogan F.E., Gupta G.D. Layered composites with an interface flow. Int. J. Solids and Struct., 1971, v.7, N 8.

100. Erdogan FE., Gupta G.D. The inclusion problem with a crack crossing the boundary. Int, J. Fract., 1975, v.l 1, N 1.

101. Erdogan F.E., Gupta G.D. The stress analysis of multilayered composites with a flow. Int. J. Solids and Struct., 1971, v.7, N 1.

102. Erdogan F.E., Gupta G.D., Ratwani M. Interaction between a circular inclusion and an arbitrarily oriented crack. Trans. ASME, 1974, v.E41, N 4.

103. Gol 'dshtein R. V., Salganik R.L. Brittle fracture of solids with arbitrary crack. Int. J. Fract., 1974, v. 10, N 4.

104. Hilton R.D., Sih G.C. A laminate composite site with a crack normal to the interfaces. Int. J. Solids Struct., 1971, v.7,p913-930.

105. James G.G., Venezia W.A. Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into the adjacent material -1. Int. J. Engng Sci., 1977, v.l5. p. 1-17.

106. James G.G., Venezia W.A. Bonded elastic half-planes with an interface crack and a perpendicular intersecting crack that extends into the adjacent material -II. Int. J.

107. Malyshev B.M., Salganik R.L. The strenght of adhesive joints using the theory of fracture. Int. J. Fract. Mech., 1965, v.l, N 2.

108. Sherman D.I. On the problem of plane strain in nonhomogeneous media. In: Nonhomogenity in Elasticity and Plasticity (ed. by W.Olszak). New York: Pergamon Press, Inc., 1959.