Осесимметричное упругопластическое деформирование многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материала при ползучести тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

На правахрукописи ПОЛИВАНОВ Анатолий Александрович

ОСЕСИММЕТРИЧНОЕ УПРУГОПЛАСТИЧЕСКОЕ ДЕФОРМИРОВАНИЕ МНОГОСЛОЙНЫХ ОБОЛОЧЕК ВРАЩЕНИЯ С УЧЕТОМ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА ПРИ ПОЛЗУЧЕСТИ

01. 02. 04-механика деформируемого твердого тела

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата технических наук

Волгоград - 2004

Работа выполнена на кафедре «Сопротивление материалов» Волгоградского государственного технического университета

Научный рукрводитель доктор технических наук, профессор,

Багмутов Вячеслав Петрович

Официальные оппоненты:доктор технических наук, профессору

Овчинников Игорь Георгиевич

Ведущая организация - ООО «Завод «Ротор», г. Камышин, Волгоградской обл.

Защита состоится 22 декабря 2004 г. в 12 часов на заседании диссертационного совета Д 212. 028. 04 при Волгоградском государственном техническом университете по адресу: 400131, Волгоград, просп. Ленина, 28, ауд. 209.

С диссертацией можно ознакомится в библиотеке Волгоградского государственного технического университета

Автореферат разослан 20 ноября 2004 г.

Ученый секретарь

кандидаттехническихнаук, доцент Тышкевич Владимир Николаевич

диссертационного совета

Водопьянов В.И.

£005-4 «549

Актуальность темы. В настоящее время в энергетической, химической промышленности и в авиакосмической технике широко применяются элементы конструкций, выполненные в виде тонких оболочек вращения и подвергающиеся в процессе эксплуатации неравномерному нагреву и воздействию различного рода силовых нагрузок. При совместном действии тепловых и силовых факторов в этих конструкциях, в местах концентрации напряжений, могут возникать зоны пластичности и интенсивно развиваться деформации ползучести. Наличие необратимых деформаций приводит к перераспределению напряжений, а в условиях ползучести напряженно — деформированное состояние конструкций может существенно изменяться с течением времени, даже при постоянной температуре и внешней нагрузке. Развитие деформации ползучести сопровождается накоплением повреждений в материале в виде микропор и микротрещин. Этот процесс, проявляющийся в снижении прочностных свойств материала, протекает скрытно и в конечном итоге может привести к разрушению соответствующих элементов конструкций. Поэтому для разработки и проектирования подобных конструкций необходима достоверная информация об изменении их напряженно — деформированного состояния с учетом всех вышеперечисленных факторов. Кроме того, достаточно важными являются задачи прогнозирования поведения таких конструкций в условиях перегрузок, а также оценки остаточного ресурса уже эксплуатируемых конструкций.

Задачи такого типа решены в основном для однослойных оболочек и не всегда с учетом всех вышеперечисленных факторов. Вместе с тем, многослойные оболочечные конструкции в последнее время получают все более широкое распространение, и сегодня данное направление в технике достаточно динамично развивается. Это связано, в частности, с тем, что в последние десятилетия разработано много методов получения многослойных металлических материалов (слоистых композитов), обладающих заранее заданными свойствами.

В этой связи разработка методики расчета упругопластического напряженно- деформированного состояния тонких многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести, позволяющей прогнозировать поведение таких конструкций вплоть до их разрушения при нормативных режимах эксплуатации и при перегрузках, а также оценивать их остаточный ресурс, является важной и актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

Целью работы является разработка методики и программного обеспечения для определения осесимметричного упругопластического напряженно - деформированного состояния многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести, с использованием соотношений теории неизотермических процессов упругопластического деформирования элементов твердого тела по траекториям малой кривизны и кинетического уравнения повреждаемости материала при ползучести Ю.Н. Работнова.

Научная новизна работы заключается в следующем:

- разработана методика расчета и программное обеспечение, позволяющие решать новый класс задач по исследованию истории изменения напряженно -деформированного состояния и оценке прочности, жесткости и долговечности многослойных оболочек вращения, как одновременным, так и дифференцирован-

стических деформаций, деформаций ползучести, развитие повреждаемости материала при ползучести;

- решен ряд практических задач по определению упругопластического напряженно — деформированного состояния и времени до разрушения многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести.

На защиту выносится:

1. Методика расчета упругопластического напряженно - деформированного состояния тонких многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести.

2. Алгоритм решения задачи упругопластического деформирования многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести.

3. Результаты расчета напряженно — деформированного состояния характерных оболочек вращения, полученные с помощью разработанной методики.

Достоверность полученных результатов базируется на использовании уравнений геометрически линейной теории многослойных оболочек и теории неизотермических процессов упругопластического деформирования элементов твердого тела по траекториям малой кривизны. Точность полученных результатов обоснована сравнением с известными решениями и применением апробированных приемов анализа вычислительных процедур прикладной математики.

Практическая ценность работы. Разработанная методика и программный пакет, реализованный на ее основе, могут быть использованы для расчета реальных конструкций в виде тонких многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести.

Реализация результатов. Разработанная методика и отдельные результаты, полученные с ее помощью, использованы на ТЭЦ г. Камышина, Волгоградской обл. при оценке долговечности многослойных конструкций.

Апробация результатов работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались на XXI и XXIII Российских школах по проблемам науки и технологий, проводимых Уральским отделением проблем машиностроения, механики и принципов управления РАН (г. Миасс, Челябинской обл., 2001, 2003 гг.), на Всероссийских конференциях «Прогрессивные технологии в обучении и производстве» (г. Камышин, Волгоградской обл., 2002 г., 2003 г.), Международной школе - семинаре «Современные проблемы механики и прикладной математики» (г. Воронеж, 2004 г.), Международной научно-технической конференции "Новые перспективные материалы и технологии их получения (НПМ — 2004)" (Волгоград, 2004 г.). В целом результаты работы докладывались на заседании кафедры «Сопротивление материалов» ВолгГТУ, (Волгоград, 2001 - 2004 г.), а также на объединенном научном семинаре кафедр «Физика», «Технология машиностроения», «Общетехнические дисциплины» и «Высшая математика» КТИ ВолгГТУ (г. Камышин, 2004 г.).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 12 печатных работ.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, выводов, списка литературы и приложения. Работа изложена на 142 страницах, включая 49 рисунков, списка использованной литературы из 124 наименований.

КРА ТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность рассматриваемой проблемы и необходимость разработки методики расчета напряженно — деформированного состояния многослойных оболочечных конструкций с учетом повреждаемости материалов при ползучести. Показана структура диссертации и ее содержание.

В первой главе приводится обзор публикаций, посвященных исследованию напряженно - деформированного состояния оболочечных элементов конструкций с учетом повреждаемости материалов при ползучести.

Рассматриваются различные модели повреждаемости: кинетические модели изотропного разрушения Л. М. Качалова и Ю.Н. Работнова; энергетические модели повреждаемости; модели разрушения, основанные на предположении о разрыхлении материалов в процессе ползучести и на представлении ползучести и разрушения как тер-моактивационных процессов. Также рассматривается возможность использования стохастических методов для решения данного класса задач. Анализируются преимущества и недостатки приведенных моделей учета повреждаемости материалов при ползучести. По итогам анализа выбрана кинетическая модель повреждаемости материалов Ю.Н. Работнова ввиду ее относительной простоты и возможности ее конкретизации с использованием имеющихся в справочной литературе экспериментальных данных.

Проводится анализ различных подходов к построению определяющих уравнений, описывающих упругопластическое напряженно — деформированное состояние конструкций с учетом повреждаемости материалов при ползучести и методов их линеаризации и обосновывается их выбор. Проводится обзор работ, посвященных определению упругопластического напряженно - деформированного состояния однослойных и многослойных оболочек с учетом и без учета повреждаемости материалов при ползучести.

Анализ методов решения задач по определению упругопластического напряженно — деформированного состояния однослойных и многослойных оболочек сделан на основании работ Ю.Н. Шевченко, И.В. Прохоренко, М.Е. Бабешко, А.В. Бурлакова, Г.И. Львова, O.K. Морачковского, Дж. Бойла и Дж. Спенса, А.Н. Подгорного и др.

Анализ публикаций по теме исследования показал, что в настоящее время мало работ, посвященных изучению особенностей эволюции напряженно — деформированного состояния тонких многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести и их поведению в сравнении с аналогичными однослойными конструкциями.

На основе проведенного обзора сформулированы задачи исследований:

1. Провести сопоставительный анализ известных подходов к построению определяющих и разрешающих уравнений и методов учета повреждаемости материалов при ползучести и выбрать те, которые наиболее достоверно описывают условия деформирования рассматриваемого класса оболочек.

2. На основе этих уравнений разработать алгоритм и программное обеспечение для решения задач по определению напряженно — деформированного состояния многослойных оболочек вращения в:

- термоупругой постановке;

- термоупругопластической постановке;

- термовязкоупругопластической постановке без учета повреждаемости материалов при ползучести;

- термовязкоупругопластической постановке с учетом повреждаемости материалов при ползучести;

— термовязкоупругопластической постановке с учетом повреждаемости материалов при ползучести и с исследованием стадии распространения разрушения.

3. С применением разработанной методики решить ряд прикладных задач по расчету напряженно - деформированного состояния и времени до разрушения характерных многослойных оболочечных конструкций.

Во второй главе формируются основные уравнения осесимметричного упругопластического деформирования многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести.

Рассматривается тонкая оболочка вращения, состоящая из / — слоев переменной толщины, с произвольной формой меридиана, первоначально находящаяся в естественном ненапряженном состоянии при температуре а затем подвергающуюся неравномерному нагреву и действию распределенных нагрузок, симметричных относительно оси вращении и не вызывающих деформации кручения.

Форма оболочки задается величинами, определяющими конфигурацию ее срединного меридиана, количество слоев и закон изменения толщины каждого слоя оболочки. Меридиан оболочки апроксимируется отдельными участками, состыкованными между собой по торцам без разрыва срединной поверхности. Предусматривается 5 вариантов формы участков: в форме пластины, конуса, сферы, тора, цилиндра. Для каждого из них задаются соответствующие геометрические характеристики.

Распределенные объемная и поверхностная нагрузки приводятся к статически эквивалентной нагрузке, отнесенной к единице площади срединной поверхности и задаются как функции меридиональной координаты и времени. Нагрузка на торцах оболочки приводится к усилиям и моментам, отнесенным к единице длины граничных контуров, и также задается в виде функций времени.

Температурное поле предполагается заранее известным из предварительного решения осесимметричной нестационарной задачи теплопроводности по одной из апробированных методик или из эксперимента.

Механические характеристики материалов задаются в виде мгновенных диаграмм деформирования, кривых ползучести и длительной прочности, значений коэффициентов линейного теплового расширения и коэффициентов Пуассона для ряда фиксированных температур, соответствующих условиям нагружения оболочки.

Вдоль меридиана и по толщине оболочка разбивается на малые интервалы (элементы), напряженное состояние которых можно считать однородным. Процесс нагружения оболочки разбивается на ряд малых по времени этапов. Выбор моментов времени, разграничивающих этапы нагружения, производится таким образом, чтобы время окончания этапов наилучшим образом совпадало с моментами изменения направленности процесса деформирования, а длительность этапов достаточно точно описывала изменение во времени температурного поля, внешних нагрузок и релаксацию напряжений в процессе накопления повреждений в материале вследствие развития деформаций ползучести.

Статические и геометрические уравнения выбраны в форме геометрически линейной теории тонких слоистых оболочек вращения. Задача решается в квазистатической постановке в рамках гипотез Кирхгофа - Лява для пакета слоев в целом.

За меру повреждаемости в процессе развития деформации ползучести при-

нят скалярный параметр повреждаемости (Ос, характеризующий относительную плотность равномерно рассеянных в единице объема микродефектов и равный нулю, когда повреждений нет, и близкий к единице в момент разрушения.

В качестве определяющих уравнений используются соотношения теории неизотермических процессов упругопластического деформирования элементов твердого тела по траекториям малой кривизны, линеаризованные методом дополнительных деформаций. Согласно этим соотношениям, между меридиональным

и окружным нормальными усилиями, меридиональным и окружным изгибающими моментами, компонентами деформаций срединной поверхности оболочки в меридиональном и окружном направлениях и изменением ее кривизны в тех же направлениях имеют место зависимости:

Здесь и в дальнейшем означает, что остальные соотношения получаются путем круговой подстановки индексов в,(р', индексом г обозначаются соответствующие величины, характеризующие свойства I — го слоя оболочки; - коэффициент Пуассона; С^ - значение модуля сдвига 0(Т) материалов оболочки при температуре естественного напряженного состояния То, £ — координата, направленная по внешней нормали к координатной поверхности оболочки.

Соотношения термовязкопластичности (1) получены в предположении, что закон упругого изменения объема материала оболочки выполняется в течение всего процесса деформирования вплоть до разрушения, и в рассматриваемых многослойных тонких оболочках вращения имеет место плоское напряженное и объемное деформированное состояние. При этом связь между компонентами тензора напряжений и тензора деформации произвольного элемента i - го слоя оболочки представляется в виде:

Учет влияния повреждаемости материалов оболочки на процесс ее дефор-

мирования осуществляется путем введения в соотношения термовязкопластично-сти вместо девиатора условных, девиатор эффективных напряжений

1 -сос

где ¿ж Бп - компоненты девиатора условных напряжений.

Дополнительные члены 0щ , , входящие в соотношения (2) и (3), представляются в виде сумм двух слагаемых

= Ш, =ръ+р%. (4)

Первые слагаемые в (4), учитывающие тепловые и необратимые деформации без повреждаемости материалов, а также зависимость механических свойств материалов от температуры, определяются на к - ом этапе нагружения соотношениями

= -10>т+ (\-а>т) (1 + И'>>г + £ М^ + »'«А**«)

I *=1

(5)

Вторые слагаемые в (4) связаны с накоплением повреждений в материале и определяются на к - ом этапе нагружения следующими соотношениями

=-®с(I"

*=1

_ - Л1 + у(,)/-гп[(1 -оЛ-

- (1 - сЛ '

(6)

#> = "ск+У10)

где сот = \-GjGf, - параметр, характеризующий зависимость модуля сдвига от температуры; <Хт(Т- То)- чисто тепловая деформация; Дке$, Аке^— приращения необратимых составляющих деформации на к - ом этапе нагружения:

Аке<$ = <С$>АкГ*т(з, <р),

(7)

где индекс (я) - признак необратимой деформации, <Ср- - среднее значение величины Cs = (2 - а„) / 35, (5,<р); Ак1*п - приращение интенсивности необратимой деформации сдвига; интенсивность касательных напряжений.

Переход от напряжений «г и деформаций е при одноосном растяжении к сложному напряженному состоянию элемента оболочки осуществляется по формулам:

<г-.£- г' - „И.

4з2е",£"~£ Е'

где Е= + у) - модуль упругости материала;— необратимая составляющая полной деформации е.

Уравнения (1) - (8) конкретизируется путем непосредственного использования мгновенной термомеханической поверхности

и диаграмм ползучести

<7 = /(*>), £с = ес (')>

(9) (10)

(И)

где - приращения

интенсивности мгновенной

полученных при различных фиксированных значениях температуры для всех материалов, из которых изготовлена оболочка.

Здесь б - мгновенная деформация, состоящая из упругой ее и мгновенной пластической деформации ер\ ес - деформация ползучести.

Приращение интенсивности необратимой деформации сдвига АкТ'„ представим в виде суммы двух слагаемых

АкГ'„ = АкГ'р + АкГ'с,

^а , л/г* ^

—Дер и АкГг = — 2 р с 2

пластической деформации и деформации ползучести, на к - ом этапе нагружения. Первое приращение определяется методом последовательных приближений по мгновенной термомеханической поверхности (9) с использованием значений напряжений, полученных из предыдущего этапа нагружения (в первом приближении) или из предыдущего приближения и значения температуры соответствующего концу рассматриваемого этапа нагружения. Приращение интенсивности деформации ползучести за — ый этап нагружения приближенно находится по кривой ползучести (10) для заданного материала, соответствующей напряжению а = и температуре 7*_ 1 в начале этапа нагружения.

Для определения параметра повреждаемости, входящего в соотношения (5) — (6) используется кинетическое уравнение повреждаемости материалов вследствие ползучести, в форме предложенной Ю.Н. Работновым:

(12)

Здесь — параметр повреждаемости; — эквивалентное напряжение, с помощью которого учитывается влияние вида напряженного состояния элемента оболочки на развитие процесса накопления повреждений; - некоторые ха-

рактеристики го материала, определяемые из условия наилучшей аппроксимации соответствующих участков диаграмм длительной прочности выражением

(13)

где (* - время до разрушения стандартного образца из / - го материала в процессе одноосной ползучести при постоянных значениях напряжения и температуры.

В качестве эквивалентного напряжения в уравнении (12) может использоваться один из следующих критериев длительной прочности:

максимальное главное напряжение (критерий Джонсона): о"^ = сг,; интенсивность касательных напряжений (критерий Каца): = 5-\/3; критерий С а: = 0,5 • (сг, + в а ( 1

критерий Трунина: с^ = 0,5 ■ (ст1 + 5л/з)- а, ;

критерий Лебедева - Писаренко: сг^ <7,)+<7,;

(14)

(15) 6 )

(17)

(18)

модифицированный критерий Лебедева - Писаренко: cr^ = z}'"\rocr~0i)+crr (19)

Здесь Со - среднее напряжение; Toct - октаэдрическое касательное напряжение; величины а, И %, - характеристики i - го материала, определяемые по результатам испытаний на длительную прочность сплошных цилиндрических образцов - в условиях одноосного растяжения (сжатия) и тонкостенных трубчатых образцов - в условиях кручения и вычисляемые по формулам:

¿адл ТСЮ 7ЯЛ

,, - . °>? ffî I v(______

■'да

•да

'да

да

где Сда', Сда' и т^щ - пределы длительной прочности соответственно при растяжении, сжатии и чистом сдвиге (кручении) для / — го материала.

Для достоверного описания процесса повреждаемости в диссертационной работе проведен анализ критериев длительной прочности, основанный на результатах исследований авторов этих критериев и других ученых. По результатам этого анализа проведена систематизация критериев длительной прочности и даны рекомендации по их использованию в зависимости от вида напряженного состояния, прочностных характеристик материалов и прочих факторов: в упругой стадии деформирования используется критерий максимального нормального напряжения, за пределами упругой работы материала - критерий интенсивности касательных напряжений, а в окрестности предела текучести оу - один из смешанных критериев (критерии Сдобы-рева, Трунина, Лебедева — Писаренко или модифицированный критерий Лебедева — Писаренко), в зависимости от имеющихся исходных данных для их конкретизации.

Для большей наглядности и удобства использования в расчетах сформулированные рекомендации представлены в виде следующей схемы:

(20)

Параметр а определяет изменение Оэ при действии сжимающих напряжений, а параметры - границы перехода между хрупким, смешанным и вязким видами разрушения, причем

Процесс накопления повреждений в элементах исследуемой оболочки рассчитывается путем последовательного решения на каждом этапе нагружения кинетического уравнения (12), преобразованного следующим образом:

где И 4_i, t/¡ — значения параметра повреждаемости и времени,

соответствующие началу и окончанию к — го этапа нагружения.

Исследование процесса накопления повреждений в элементе оболочки продолжается до тех пор, пока параметр повреждаемости не достигнет заданного предельного значения й> с> близкого к единице, т.е. будет выполнено условие

(0{k)c>Cüc (22)

Условие (22) является критерием разрушения отдельного элемента оболочки или критерием начала разрушения (критерием локального разрушения). Для приближенного исследования кинетики развития образовавшейся области разрушения используется метод, предложенный Л.М. Качановым, основанный на изучении перемещения фронта разрушения (поверхности, разграничивающей разрушенную и неразрушенную области материала). За время полного разрушения принимается момент времени, при котором скорость перемещения фронта резко возрастает (в 10 и более раз) или когда в отдельных, наиболее нагруженных точках накопятся недопустимо большие деформации (5 — 6% и более). Скорость перемещения фронта разрушения определяется как отношение перемещения фронта разрушения, к промежутку времени, за которое это перемещение происходит.

В третьей главе рассматривается разрешающая система уравнений решения задачи упругопластического деформирования многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести и алгоритм ее решения.

В качестве разрешающих функций используются: радиальная и осевая составляющие усилия, действующего в сечении s = consf, меридиональный изгибающий момент радиальная и осевая составляющие перемещений торцевых сечений; угол поворота нормали к срединной поверхности оболочки при ее деформировании. В векторной форме система разрешающих уравнений имеет вид:

(23)

с граничными условиями

Здесь Y = {Nr,Nz,Ms,Ur,UzíSs}~ вектор-столбец разрешающих функций; (Рд) - матрица системы; (С,у) - матрица третьего порядка, подбираемая в зависимости от граничных условий; - вектор - столбец свободных членов, - вектор - столбец с тремя компонентами, представляющими собой значения разрешающих функций на граничном контуре оболочки, - меридиональная координата.

Если оболочка состоит из нескольких участков, то их стыковка производится по деформациям и усилиям без разрыва срединной поверхности:

где — номер участка оболочки.

^L=(PU)Y + f,(i,j = 1,2..6)

Разрешающая система дифференциальных уравнений (23) с граничными условиями (24) описывает осесимметричное упругопластическое напряженно — деформированное состояние тонких, замкнутых в окружном направлении многослойных оболочек вращения, при использовании в качестве физических уравнений соотношений теории неизотермических процессов упругопластического деформирования элементов твердого тела по траекториям малой кривизны, учитывающих повреждаемость материалов при ползучести. Решение этой системы уравнений произво-дится'методом Рунге - Кутта с дискретной ортогонализацией С.К. Годунова.

Алгоритм численного решения краевой задачи термовязкопластичности осесимметрично нагруженных тонких многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести сводится к последовательному определению на каждом этапе нагружения характеристик напряженно - деформированного состояния и степени поврежденности материалов оболочки, и описанию, таким образом, истории деформирования ее, вплоть до полного разрушения.

При решении поставленной задачи используется метод дополнительных деформаций, который в данном случае сведется к следующей последовательности операций. В первом приближении каждого нового этапа нагружения вычисляются величины а>т, Ет, параметры № [} £ (4) — (6). По формулам (1), (2) определяются значения усилий и моментов, элементы матрицы (Ру) и вектора /, и формируется разрешающая система уравнений (23) - (24). По найденным разрешающим функциям определяются значения компонент тензоров напряжений и деформации (3), девиатора напряжения, значения интенсивности касательньж напряжений, вычисляются полное значение мгновенной деформации и ее упругая и пластическая составляющие. По мгновенной термомеханической поверхности (9) вычисляется напряжение а и приращение интенсивности мгновенных пластических деформаций сдвига АкГ*р для второго приближения. По диаграмме ползучести (10) определяется приращение деформации ползучести, причем в каждом последующем приближении эта величина не изменяется. По найденному значению приращения интенсивности необратимой деформации сдвига (11) определяются приращения компонент необратимой деформации во вто-

ром и следующих приближениях и уточняются параметры в уравнениях (1) — (6). Затем формируется новая, уточненная система разрешающих уравнений, и выполняется новое приближение. Эта процедура повторяется до тех пор, пока разность ДкГ'р двух последовательных приближений станет меньше наперед заданного малого числа, определяющего точность решения задачи. По окончании процесса последовательных приближений по одному из критериев длительной прочности (14) - (19) определяется эквивалентное напряжение по диаграмме длительной прочности вычисляются коэффициенты и по формуле (21) рассчитывается значение параметра повреждаемости Далее выполнятся следующий этап нагружения, до тех пор, пока не произойдет локальное (22) или полное разрушение.

Достоверность результатов определения параметров напряженно — деформированного состояния элементов рассматриваемых оболочек проверяется методом двойного пересчета. Шаг по времени выбирается в зависимости от сходимости процесса последовательных приближений. Адекватность применяемых уравнений состояния рассматриваемым процессам нагружения оценивается путем анализа геометрий построенных траекторий деформирования.

Данный алгоритм реализован на алгоритмическом языке Visual Fortran применительно к современным ЭВМ и построен так, что в зависимости от задаваемых значений соответствующих параметров управления расчетом задача по исследованию напряженно — деформированного состояния многослойной оболочки вращения может решаться в различных постановках. Эти возможности разработанной методики расчета позволяют легко реализовать выше описанную схему построения исследования и, тем самым, эффективно и с необходимой точностью, решить поставленную задачу.

В четвертой главе проведен расчет осесимметричного упругопластическо-го напряженно - деформированного состояния конической и сферической оболочек вращения с учетом повреждаемости материала при ползучести.

В первой задаче рассматривается вращающаяся трехслойная коническая оболочка переменной жесткости (покрывающий диск газовой турбины), геометрические размеры которой показаны на рис. 1, а. Внутренний и наружный слои оболочки, толщина которых при Sa — 0 равна 2 мм, а при Si, — 280 мм — 0,4 мм, изготовлены из никелевого сплава ХН77ТЮР (ЭИ437Б), средний слой, толщина которого при Sg - 0 равна 24 мм, а при S/, — 2,8 MM, изготовлен из стали 20. Расчеты проводились для температур Т = 500 И 600° С и скоростей вращения il = 3000 — 6000 об/мин. Граничные условия принимались следующими, при

Nr—0,uz — Q,Ms = Q При этом значения компонент напряженно - деформированного

состояния и степени повреж-денности материалов оболочки определялись в 51 точке вдоль меридиана и в 17 точках по толщине. (3 точки для внутреннего слоя, 11 точек для среднего слоя и 3 точки для наружного слоя)

В рассматриваемой задаче исследовано: распределение зон пластичности и Рис 1 Геометрические размеры оболочки (а), распределение повреждаемости по осевому зон пластичности и повреждаемости по осевому сечению сечению оболочки в процес-оболочки для Т = 500"С,П = 4780об/мин,tt.= 146,8ч (б) се еенагружения (рис. 1,6)

оболочки от скорости ее вращения (рис. 2) Анализ результатов расчетов показал, что при нагружении оболочки центробежными силами происходит ее изгиб в направлении от внутренней поверхности к внешней (на рис. 1, а это направление обозначено буквой В результате этого в области, прилегающей к внешней поверхно-возникают сжимающие напря-разрушения от скорости вращения оболочки жения, а на внутренней поверхности-растягивающие. При скорости вращения 4000 об/мин и выше это приводит к возникновению в окрестности отверстия в среднем слое (сталь 20) области пла-

и зависимость времени до разрушения

Рис 2 Зависимость времени локального

стических деформаций (рис. 1, б, пластическая область заштрихована), которая увеличивается при возрастании скорости вращения.

В результате происходит разгрузка пластически деформированных областей и смещение точки максимума растягивающих напряжений в направлении от отверстия к верхнему краю. При значении скорости вращения 4780 об/мин эта область занимает почти длины осевого сечения. Все это приводит к интенсивному развитию процесса повреждаемости в среднем слое. При скорости вращения 4780 об/мин и температуре Т= локальное разрушение произошло по прошествии времени в

среднем слое в центральном сечении оболочки (место разрушения обозначено на рис. 1, б). Распределение зон повреждаемости на этот момент времени показано на рис. 1, б в градациях серого. При этом следует отметить, что в рассматриваемых диапазонах времени нагружения, скоростей вращения и температур во внутреннем и наружном слоях необратимые деформации, равно как и повреждаемость при ползучести, не возникают.

Во второй задаче рассматривается сферическая оболочка, ослабленная не-подкрепленным круговым отверстием. Оболочка находится под действием постоянного давления при температуре Т = 500°С и имеет следующие геометрические размеры: радиус срединной поверхности Rq, — 320 мм, радиус отверстия Го = 16 мм.

На рис. 3 показано осевое сечение оболочки с осе-симметричным расположением отверстия. Здесь, d — диаметр отверстия; 5 - общая толщина оболочки; 6i - толщина внутреннего слоя; &2 ~ толщина внешнего слоя; Г- температура; - внутреннее давление. На рис. 4 приведены граничные условия для рассматриваемой оболочки, построенные в предположении, что контур отверстия (а) свободен от внешней нагрузки, то есть а на

границе центрального сечения оболочки (Ь) выполняются условия «периодичности»

Исследованы зависимости времени локального разрушения рассматриваемых оболочек от толщины стенки (рис. 5, а) и величины внутреннего давления (рис. 5, б). Расчеты проводились для четырех вариантов оболочек: две однослойных соответственно из материалов Сталь 20 (кривые 1 И Г) и ХН77ТЮР (кривая 2) и две двухслойных, где слой ХН77ТЮР находился снаружи (кривая 3) и внутри (кривая 4). Соотношение толщины слоев Сталь 20 и ХН77ТЮР принималось равным 3/1.

При оценке времени до разрушения от толщины стенки ее значение изменялось от 1 до 4 мм при фиксированном значении внутреннего давления Р — 2 МПа. А при оценке зависимости времени до разрушения от давления толщина стенки принималась равной 2 мм, а давление изменялось от 0,5 до 5 МПа

При проведении расчетов компоненты напряженно - деформированного состояния и степень поврежденности материала определялись в 15 точках по толщине -для однослойной оболочки и в 18 точках - для двухслойной. Меридиан срединной поверхности оболочки разбивался на два участка длиной мм, на-

чиная от границы отверстия. Шаг интегрирования разрешающей системы уравнений

Рис. 3. Осевое сечение сферической оболочки

N, = 0 Ь v,=

/ у jttr fj

Jff 9S= (/f/Ms= 0 Э

tz

о JWr = 0 Рис. 4. Граничные условия

выбирался на первом участке равным = 3 мм, на втором - Д 5ц= 21,3 мм.

Проведенные расчеты показали, что зависимость времени локального разрушения от толщины оболочки и от внутреннего давления имеет нелинейный характер, как для однослойных, так и для двухслойных оболочек.

Анализ результатов решения задачи также показал, что в окрестности отверстия, являющемся концентратором напряжений, в слое с материалом Сталь 20 происходит возникновение пластических областей, что вызывает интенсивное перераспределение напряжений, как вдоль меридиана оболочки, так и между слоями. Вследствие этого точка максимума интенсивности напряжений смещается от отверстия на расстояние 6 мм. Вследствие развития деформаций ползучести происходит дальнейшее перераспределение напряжений, при этом повреждаемость наиболее интенсивно развивается в окрестности отверстия на расстоянии 6 мм от него.

Рис 5 Зависимость времени локального разрушения от толщины оболочки 8 (а) и внутреннего давления Р (б) При этом, как видно из графиков, расположение слоя ХН77ТЮР внутри или снаружи оболочки незначительно влияет на долговечность рассматриваемой конструкции, однако во всех случаях разрушение начинается в слое с материалом сталь 20, при этом повреждаемость в слое ХН77ТЮР развивается незначительно.

В пятой главе проведен расчет осесимметричного упругопластического напряженно — деформированного состояния многослойных оболочек вращения со сложной формой меридиана и с учетом повреждаемости материала при ползучести.

В первой задаче исследована история изменения напряженно - деформированного состояния одно - и двухслойного сосуда давления и определено время их разрушения. Рассматриваемая оболочка находится при температуре Т— 500° С и состоит из семи участков: сферические (I, II, V), цилиндрические (III, VII) и тороидальные (IV, VI) (рис. 6). Внутренний слой изготовлен из сплава ХН77ТЮР толщиной 1 мм, внешний слой из Стали 20 толщиной 3 мм. Оболочка находится под действием постоянного давления Р = 1,4 М Па Граничные условия на левом контуре задаются в точке 5 а— 22,42902 мм в виде: N,.=245,54 кгс, Л^ = 15,69 кгс, М5 = 0, а на правом контуре при^^-Л^=0, иг= 0, $ = 0.

При проведении расчетов компоненты напряженно - деформированного состояния и степень поврежденности материала определялись в 141 точке по меридиану и в 34 точках по толщине. Для сравнения были проведены расчеты длительной прочности аналогичной однослойной оболочки из Стали 20 толщиной 4 мм при тех же условиях нагружения.

В нижней части рис. 6 штриховкой показаны области, в которых появляются пластические деформации. Они возникают в основном на тороидальных участках IV, VI и на внешней поверхности сферического участка V. На участках IV, VI возникают пластические шарниры. Такой описанный характер развития

процесса разрушения обусловлен тем, что внутреннее давление, действующие на сосуд, стремится «разогнуть» IV и VII тороидальные участки.

жений как вдоль меридиана сосуда, так и по толщине. Распределение областей повреждаемости на момент локального разрушения ¡1 = 159,5 ч приведено в нижней части рис. 6 в градациях серого. Как видно из рисунка, пластические участки и зоны наибольшей повреждаемости практически совпадают. Как и в предыдущих случаях, повреждаемость в слое с материалом ХН77ТЮР практически не развивается.

Время локального разрушения однослойной оболочки составило 24,7 ч, что указывает на то, что применение жаропрочного материала значительно повышает долговечность конструкции.

Во второй задаче проведен расчет упругогшастического напряженно - деформированного состояния с учетом повреждаемости материалов при ползучести двухслойной оболочки со сложной формой меридиана, представляющей собой линзовый компенсатор осевых перемещений (рис. 7). Геометрические размеры элемента компенсатора следующие: г = 32 мм; Л = 350 мм; а = 49 мм; / = 128 мм; 5 = 4 мм.

Геометрическая модель компенсатора состоит из трех участков (рис. 7,8): тороидальных (I, III) участков и участка в форме пластины (II). Каждый участок состоит из двух слоев. Внутренний слой изготовлен из сплава 12Х18Н9Т толщиной 1 мм, а внешний - из Стали 20 толщиной 3 мм. Значения меридиональных координат на границах участков соответственно равны: мм. Гранич-

ные условия принимались следующими (рис. 8): на левом торце: — 0,и2 = и*, = 0; на правом - Мг-0,иг = 0, <95 = 0, где и* - заданное осевое перемещение. Для интегрирования системы разрешающих уравнений каждый участок разбивался на 10 точек, то есть напряженно - деформированное состояние определяется в 31 точке. По толщине компоненты напряженно-деформированного состояния определялись в 10 точках.

При этих условиях были определены: зависимость величины максимальной компенсирующей способности двухслойного компенсатора от внутреннего давления при различных температурах (без учета повреждаемости) (рис. 9), зависимость време-

В результате, в поперечном сечении этих и прилегающих к ним участков, помимо растягивающих усилий возникают изгибающие моменты М5 и Мр. Их действие, в свою очередь, вызывает возникновение сжимающих напряжений на внешней поверхности и растягивающих — на внутренней. Вместе с тем, интенсивное развитие деформации ползучести и процесса повреждаемости материала приводит к существенному перераспределению напря-

Рис.6. Геометрические размеры сосуда давления и распределение зон пластичности (штриховка) и повреждаемости (градации серого) для двухслойной оболочки

ни локального разрушения двухслойного компенсатора от внутреннего давления при

различных продольных перемещениях (рис 10) и распределение зон повреждаемости в элементе компенсатора для фиксированного момента времени (рис. 11).

На рис 9 в координатах «давление» и осевое перемещение» приведены предельные кривые, построенные для нескольких фиксированных значений температуры и показывающие области значений параметров компенсатора, располагающиеся ниже соответствующей кривой, при которых в нем не возникает пластических деформаций.

На рис. 10 представлены зависимости времени локального разрушения компенсатора от величины осевого перемещения при значениях давления 0, 0,2 и 0,4 МПа соответственно и при температуре 500 °С. При этом во всех случаях в компенсаторе имели место мгновенные пластические деформации На рис. 11 приведено распределение зон повреждаемости материала в меридиональном сечении компенса-

Рис 8 Граничные условия тора при Т= 500°С, Р = 0,4 МПа, и* = 4 мм, / = 368,75 ч.

МПа 0 2000 4000 6000 8000

Рис 10 Зависимость времени локального разрушения от осевого перемещения

10'(ьн

Рис 11 Распределение зон повреждаемости в элементе компенсатора

02 04 06 08 10—ГГ~ТХР\

Рис 9 Области допустимых значений давления и осевого перемещения

Зоны наибольшей повреждаемости сосредоточены по внешней и внутренней поверхностям тороидальных участков и соответствуют максимальным значениям напряжений. Следует отметить, что, как и в предыдущих случаях, внутренний слой остается практически неповрежденным вплоть до момента локального разрушения Расчеты однослойного компенсатора, имеющего такие же геометрические размеры и изготовленного из стали 20, показали, что его долговечность значительно ниже, чем двухслойного Так, при температуре 500 °С, давлении 0,4 МПа и осевом смещении 4 мм время локального разрушения составило порядка 85 часов. Разрушение однослойного компенсатора произошло на внутренней поверхности в начале второго торидального участка, а области поврежденного материала занимают значительно большую часть площади поперечного сечения

При решении рассмотренных задач не учитывались свойства промежуточных слоев — интерметаллидов, ввиду того, что в настоящее время их прочностные характеристики (особенно при высокой температуре и в условиях температурной ползучести)

недостаточно хорошо изучены и в литературе не имеется соответствующих экспериментальных данных. Однако, как только такие данные будут получены, прочностные свойства интерметаллидных слоев, равно как и остаточные напряжения, возникающие при изготовлении слоистых композитов, могут быть учтены при расчетах многослойных конструкций с применением методики, рассмотренной в настоящей работе.

Основные результаты и выводы

1. На основе соотношений теории неизотермических процессов упругопластиче-ского деформирования элементов твердого тела по траекториям малой кривизны и кинетического уравнения повреждаемости материала при ползучести Ю.Н. Работнова разработана методика решения задач по оценке прочности, жесткости и долговечности элементов конструкций в виде тонких многослойных оболочек вращения со сложной формой меридиана, позволяющая определять упругопластическое напряженно - деформированное состояние таких оболочек с учетом повреждаемости материалов при ползучести, кинетику развития областей разрушения и время до разрушения.

2. Построен алгоритм решения задачи упругопластического деформирования многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести, который реализован в виде единого пакета программ на языке Visual Fortran применительно к ПЭВМ.

Разработанный программный комплекс позволяет решать задачи в:

- термоупругой постановке;

- термоупругопластической постановке;

- термовязкоупругопластической постановке без учета повреждаемости материалов при ползучести;

- термовязкоупругопластической постановке с учетом повреждаемости материалов при ползучести;

- термовязкоупругопластической постановке с учетом повреждаемости материалов при ползучести и с исследованием стадии распространения разрушения.

3. Проведена систематизация критериев длительной прочности и даны рекомендации по их применению в зависимости от интенсивности касательных напряжений.

4. Решен ряд практических задач по оценке прочности, жесткости и долговечности тонких многослойных оболочек вращения с простой и сложной формами меридиана

Автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю и глубокую благодарность своему научному руководителю доктору технических наук профессору Еагмутову Вячеславу Петровичу за постоянное внимание, содействие и помощь, оказанные на всех этапах работы, научному консультанту, кандидату технических наук, доценту Белову Александру Владимировичу, а также коллективу кафедры «Сопротивление материалов» Волгоградского государственного технического университета за предоставленные, и столь ценные в период выполнения диссертации, материалы и консультации.

Основные положения диссертации изложены в следующих публикациях:

1. Багмутов В.П., Белов А.В., Поливанов А.А. Напряженно - деформированное состояние многослойной оболочки вращения в условиях температурной пол-

зучести: Сборник тезисов Всероссийской научно-технической конференции ВК - 25 - 61 "Материалы и технологии XXI века", Пенза, 2001 - с. 41 - 43.

2. Белов А.В., Поливанов АЛ. Упругопластическое напряженно - деформированное состояние многослойной оболочки вращения с учетом повреждаемости материала при ползучести // В кн. Труды XXI Российской школы «Наука и технологии» - М, РАН. 2001- С. 138 -146.

3. Багмутов В.П., Белов А.В., Поливанов А.А. Исследование влияния различных критериев длительной прочности на оценку долговечности оболочек вращения: Тезисы Всероссийской конференции «Прогрессивные технологии в обучении и производстве», г. Камышин, 2002 г., с. 90.

4. Багмутов В.П., Белов А.В., Поливанов А.А. Исследование влияния толщины однослойной и многослойной оболочки вращения на ее длительную прочность: Материалы Всероссийской конференции «Прогрессивные технологии в обучении и производстве», г. Камышин, 2003 г. - с. 149 - 152.

5. Багмутов В.П., Белов А.В., Поливанов А.А.'Использование различных критериев длительной прочности при расчетах однослойных и многослойных оболочек вращения: Материалы Всероссийской конференции «Прогрессивные технологии в обучении и производстве», г. Камышин, 2003 г. - с. 152 -156.

6. Белов А.В., Поливанов А.А. Ползучесть и разрушение сферической оболочки под действием внутреннего давления // В кн. Труды XXIII Российской школы «Наука и технологии» - М., РАН. 2003 - с. 41 - 47.

7. Vyacheslav Bagmutov, Alexander Belov, Anatoly Polivanov Methods of multiple layer shell of rotation calculation with an account of materials damage at a creep // Proceedings of the International Conference "MECHANIKA - 2004", Kaunas, "Tech-nologija", 2004, p. 120 - 125.

8. V. Bagmutov, A. Belov, A. Polivanov Features of damageability's calculation of multilayered shells of rotation at thermo - viscose - elasto - plastic deformation // MECHANIKA, 2004, No 3(47) - p. 19 - 23.

9. Багмутов В.П., Белов A.B., Поливанов А.А. Напряженно - деформированное состояние многослойных осесимметричных оболочек сложной формы с учетом повреждаемости материалов при ползучести // Сборник трудов Международной школы - семинара «Современные проблемы механики и прикладной математики» / ВГУ. - Воронеж, 2004. - с. 54 - 57.

10. Багмутов ВЛ, Белов АВ., Поливанов А.А. Ползучесть и разрушение многослойной конической оболочки под действием центробежных сил // В кн. Сборник трудов Международной научно - практической конференции «Новые перспективные материалы и технологии их получения» (НПМ - 2004) / ВолгГТУ. - Волгоград, 2004. - с. 30 - 32.

11. Багмутов В.П., Белов А.В., Поливанов А.А. Напряженно - деформированное состояние многослойного линзового компенсатора осевых перемещений с учетом повреждаемости материалов при ползучести // Тезисы докладов XXVI Российской школы по проблемам науки и технологий - Миасс, 2004 - С. 8.

12. Поливанов А.А., Пескова МЛ, Цацкин С.В Структура интерфейсной части программного комплекса по расчету напряженно - деформированного состояния оболочек вращения: Материалы Всероссийской конференции «Прогрессивные технологии в обучении и производстве», г. Камышин, 2004 г. - с. 126 -129.

*2Ц40

РНБ Русский фонд

2005-4 18519

Заказ № £¡¡¡¡2^^Тираж 100 экз. Усл. печ. л. 1,0. Формат 60x84 1/16. ЧП Грищенко А.Н. 403874, Волгоградская обл., г. Камышин, ул. Ленина, 24 Св - во № 16689 от 15.07.2002

Введение

Глава 1. Упругопластическое деформирование элементов твердого тела с учетом повреждаемости материала при ползучести. Состояние вопроса и постановка задачи

1.1. Анализ моделей учета повреждаемости материала при ползучести

1.2. Напряженно - деформированное состояние осесимметричных оболочек вращения с учетом и без учета повреждаемости материала при ползучести

1.3. Постановка задачи исследований

Глава 2. Основные уравнения осесимметричного упругопластического деформирования многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материала при ползучести

2.1 Статические и геометрические уравнения теории тонких оболочек вращения

2.2. Определяющие уравнения

2.3. Кинетическое уравнение повреждаемости материала при ползучести

2.4. Сопоставительный анализ и выбор критериев длительной прочности

Краткие выводы

Глава 3. Определение осесимметричного упругопластического напряженно - деформированного состояния многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материала при ползучести

3.1. Разре шающие уравнения

3.2. Граничные условия

3.3. Выбор алгоритма решения задачи

3.4. Построение кривых мгновенного деформирования, ползучести и длительной прочности

3.4.1. Построение кривых мгновенного деформирования

3.4.2. Построение кривых ползучести

3.4.3. Построение диаграмм длительной прочности

Краткие выводы

Глава 4. Расчет осесимметричного упругопластического напряженно -деформированного состояния многослойных сферических и конических оболочек вращения с учетом повреждаемости материала при ползучести

4.1. Упругопластическое напряженно -деформированное состояние вращающейся многослойной конической оболочки переменной жесткости (покрывающий диск газовой турбины)

4.2. Ползучесть и разрушение однослойной и многослойной сферической оболочки, ослабленной круговым отверстием, под действием внутреннего давления

4.2.1. Исследование влияния толщины оболочки на ее длительную прочность

4.2.2. Исследование зависимости времени локального разрушения от величины внутреннего давления оболочки

4.2.3. Анализ кинетики изменения напряженного состояния сферических оболочек

Краткие выводы

Глава 5. Расчет осесимметричного упругопластического напряженно -деформированного состояния многослойных оболочек вращения со сложной формой меридиана и с учетом повреждаемости материала при ползучести

5.1. Термовязкоупругопластическое напряженно - деформированное однослойного и многослойного сосуда давления

5.2. Упругопластическое напряженно - деформированное состояние однослойного и многослойного линзового компенсатора осевых перемещений

5.2.1. Определение максимальной компенсирующей способности и распределение пластических деформаций

5.2.2. Определение времени разрушения компенсатора вследствие температурной ползучести

Краткие выводы

В настоящее время в энергетической, химической промышленности и в авиакосмической технике широко применяются элементы конструкций, выполненные в виде тонких оболочек вращения и подвергающиеся в процессе эксплуатации неравномерному нагреву и воздействию различного рода силовых нагрузок. При совместном действии тепловых и силовых факторов в этих конструкциях, в местах концентрации напряжений, могут возникать зоны пластичности и интенсивно развиваться деформации ползучести. Наличие необратимых деформаций приводит к перераспределению напряжений, а в условиях ползучести напряженно -деформированное состояние конструкций может существенно изменяться с течением времени, даже при постоянной температуре и внешней нагрузке. Развитие деформации ползучести сопровождается накоплением повреждений в материале в виде микропор и микротрещин. Этот процесс, проявляющийся в снижении прочностных свойств материала, протекает скрытно и в конечном итоге может привести к разрушению соответствующих элементов конструкций. Поэтому для разработки и проектирования подобных конструкций необходима достоверная информация об изменении их напряженно - деформированного состояния с учетом всех вышеперечисленных факторов. Кроме того, достаточно важными являются задачи прогнозирования поведения таких конструкций в условиях перегрузок, а также оценки остаточного ресурса уже эксплуатируемых конструкций. Для достоверной оценки несущей способности таких конструкций и определения остаточного их ресурса необходимо учитывать совокупность факторов, влияющих на прочность: перераспределение напряжений в конструкции вследствие развития пластических деформаций и деформаций ползучести, накопление повреждений и изменение механических свойств материалов в зависимости от температуры, длительности нагружения и т.д.

Задачи такого типа решены в основном для однослойных оболочек и не всегда с учетом всех вышеперечисленных факторов. Вместе с тем, многослойные оболочечные конструкции в последнее время получают все более широкое распространение, и сегодня данное направление в технике достаточно динамично развивается. Это не в последнюю очередь связано с развитием методов получения многослойных металлических материалов (слоистых композитов), обладающих заранее заданными свойствами.

В этой связи целью настоящей работы является разработка методики расчета упругопластического напряженно - деформированного состояния тонких многослойных оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести, позволяющей прогнозировать поведение таких конструкций вплоть до разрушения при нормативных режимах эксплуатации и при перегрузках, а также оценивать их остаточный ресурс, и, в силу этого, являющейся важной и актуальной задачей механики деформируемого твердого тела.

Указанная выше методика расчета, кроме того, должна предусматривать возможность решения задачи исследования истории изменения напряженно - деформированного состояния и оценке прочности, жесткости и долговечности однослойных и многослойных оболочек вращения, как с одновременным, так и дифференцированным учетом следующих факторов: воздействие температуры, возникновение пластических деформаций, деформаций ползучести, развитие повреждаемости материала при ползучести. Это позволит, во - первых, сделать методику универсальной и пригодной для решения широкого класса задач, а во вторых - определять, насколько велико влияние каждого из вышеперечисленных факторов на процесс деформирования и разрушения конкретной обо л очечной конструкции.

Рис. 1.

Выделим характерные постановки задач по определению напряженно - деформированного состояния многослойных оболочек вращения:

- термоупругая постановка;

- термоупругопластическая постановка;

- термовязкоупругопластическая постановка без учета повреждаемости материалов при ползучести;

- термовязкоупругопластическая постановка с учетом повреждаемости материалов при ползучести;

- термовязкоупругопластическая постановка с учетом повреждаемости материалов при ползучести и с исследованием стадии распространения разрушения.

Структурная схема построения методики расчета напряженно - деформированного состояния многослойных оболочек вращения, позволяющая реализовать указанные возможности, приведена на рис. 1.

Построение такой многоуровневой методики целесообразно осуществлять в несколько этапов, что позволяет упростить математическую постановку и решение рассматриваемых задач.

На первом этапе, используя механические параметры, т.е. параметры повреждаемости, учитывается влияние, оказываемое на механические свойства материала повреждениями, возникающими в процессе ползучести.

На втором этапе с помощью кинетических (эволюционных) уравнений описываются закономерности изменения этих параметров в процессе ползучести материала в условиях сложного напряженного состояния.

Третий этап связан с построением физических уравнений, определяющих термовязкопластическое поведение повреждаемого материала.

Четвертому этапу соответствует разработка эффективных методов и алгоритмов численного решения краевых задач, формулируемых на основе построенных уравнений.

Диссертация состоит из введения, пяти глав и заключения. В конце каждой главы приводятся краткие выводы по результатам проведенных в ней исследований. Основные результаты и выводы диссертационной работы сформулированы в заключении. Работа содержит 142 страницы текста и 49 рисунков. Список использованной литературы включает 124 источника.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Сформулируем основные научные результаты, полученные в работе.

1. На основе соотношений теории неизотермических процессов упруго-пластического деформирования элементов твердого тела по траекториям малой кривизны и кинетического уравнения повреждаемости материала при ползучести Ю.Н. Работнова разработана методика расчета, позволяющая решать новый класс задач по исследованию истории изменения напряженно - деформированного состояния во времени и оценке прочности, жесткости и долговечности многослойных оболочек вращения, как с одновременным, так и дифференцированным учетом следующих факторов: воздействие температуры, развитие пластических деформаций, деформаций ползучести, повреждаемости материала при ползучести, а также исследовать кинетику развития областей разрушения и определять вероятное время до разрушения.

2. Предложена процедура комплексного решения задачи термовязко-упругопластического деформирования слоистых оболочек вращения с учетом повреждаемости материалов при ползучести, реализованная в рамках разработанного программного комплекса применительно к современным ЭВМ и позволяющая решать задачи в следующих постановках:

- термоупругой;

- термоупругопластической;

- термовязкоупругопластической постановке без учета повреждаемости материалов при ползучести;

- термовязкоупругопластической постановке с учетом повреждаемости материалов при ползучести;

- термовязкоупругопластической постановке с учетом повреждаемости материалов при ползучести и с исследованием стадии распространения разрушения.

3. Проведена систематизация критериев длительной прочности и даны рекомендации по их применению в задачах ползучести в зависимости от интенсивности касательных напряжений.

4. Решен ряд практических задач по оценке прочности, жесткости и долговечности тонких многослойных оболочек вращения с простой и сложной формами меридиана, а именно:

- равномерно нагретой, вращающейся с постоянной угловой скоростью трехслойной конической оболочки;

- двухслойной сферической оболочки, с различным расположением слоев, нагруженной внутренним давлением;

- тонкой двухслойной оболочки вращения со сложной формой меридиана, в виде сосуда, при его нагружении внутренним давлением;

- двухслойной оболочки вращения, представляющей собой компенсатор осевых перемещений, нагруженный одновременно внутренним давлением и смещением его торцов.

5. Для всех конструкций проведен детальный анализ напряженно — деформированного состояния с выявлением опасных сечений и зон наибольшей повреждаемости.

6. Проведено сравнение времени до разрушения многослойных оболочек с аналогичными однослойными. Показано, что целенаправленное применение слоистых материалов может существенно увеличивать время до разрушения конструкции.

7. Проведен расчет времени до разрушения оболочек классическим методом - по диаграмме длительной прочности без учета релаксации напряжений и повреждаемости материалов вследствие развития деформаций ползучести. Выполнено сопоставление результатов, полученных с применением этого метода и разработанной методики. Показана важность комплексного подхода к решению задач по оценке долговечности многослойных оболочек вращения.

8. Разработанная методика расчета может быть использована для оценки длительной прочности машиностроительных конструкций, выполненных в виде тонких оболочек вращения.

Следует заметить, что дальнейшее решение рассмотренной в диссертации комплексной проблемы расчета многослойных оболочек требует учета и других факторов, определяющих ресурс конструкции, в том числе: коррозионной повреждаемости, технологических остаточных напряжений, циклического нагружения и др.

В заключение автор считает своим приятным долгом выразить искреннюю и глубокую благодарность своему научному руководителю доктору технических наук профессору Багмутову Вячеславу Петровичу за постоянное внимание, содействие и помощь, оказанные на всех этапах работы, научному консультанту, кандидату технических наук, доценту Белову Александру Владимировичу, а также всему коллективу кафедры «Сопротивление материалов» Волгоградского государственного технического университета за предоставленные, и столь ценные в период выполнения диссертации, материалы и консультации.

1. А. Дж. Кеннеди Ползучесть и усталость в металлах. М.: Металлургия, 1965. 322 е.: ил.

2. Арутюнян Р.А. О критериях разрушения в условиях ползучести // Пробл. прочности. 1982. - № 9. - С. 42-45.

3. Аршакуни A.JL, Шестериков С.А. Прогнозирование длительной прочности жаропрочных металлических материалов. Механика твердого тела. -1994. - №3 - С. 126-141.

4. Астафьев В. И. Энтропийный критерий разрушения при ползучести // Прочность и надежность конструкций. Куйбышев, КуАИ, 1981. - С. 103-105.

5. Астафьев В.И. Описание процесса разрушения в условиях ползучести // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1986. -№ 4. - С. 164-169.

6. Бабешко М.Е. Упругопластическое осесимметричное напряженное состояние многослойных оболочек при процессах деформирования по траекториям малой кривизны Прикладная механика. - 1994. - Т. 30. - №1. - С. 38 - 44.

7. Белов А.В. Осесимметричное упругопластическое напряженно деформированное состояние оболочек вращения с учетом повреждаемости материала при ползучести: Дисс. канд. техн. наук. - Киев, 1989. - 136 с.

8. Белов А.В., Поливанов А.А. Упругопластическое напряженно деформированное состояние многослойной оболочки вращения с учетом повреждаемости материала при ползучести // В кн. Труды XXI Российской школы «Наука и технологии» - М., РАН. 2001- С. 138 - 146.

9. Белов А.В., Поливанов А.А. Ползучесть и разрушение сферической оболочки под действием внутреннего давления // В кн. Труды XXIII Российской школы «Наука и технологии» М., РАН. 2003 - С. 41 - 47.

10. Белов В.Н. Детерминированные модели временных процессов в разных отраслях науки и техники. Волгоград, «Политехник», 2002. — 320 с.

11. Биргер И.А. Теория пластического течения при неизотермическом нагружении // Изв. АН СССР. Механика и машиностроение. -1964. №. 1. - С. 193 - 194.

12. Бойл Дж., Спенс Дж. Анализ напряжений в конструкциях при ползучести. М.: Мир. - 1986. - 360 с.

13. Болотин В.В. Прогнозирование ресурса машин и конструкций. М.: Машиностроение, 1984. - 312 с.

14. Браун Р.Дж., Лонсдейл Д., Флюитт П. Испытания на длительную прочность при многоосном напряженном состоянии и анализ данных для жаропрочных сплавов // Теорет. основы инж. расчетов. 1982. - № 4. - С.56-65.

15. Бурлаков А.В., Львов Г.И., Морачковский O.K. Ползучесть тонких оболочек. Харьков: Вища школа, 1977. - 124 с.

16. Бурлаков А.В., Львов Г.И., Морачковский O.K. Длительная прочность оболочек. -Харьков: Высшая школа, 1981.- 104 с.

17. Галишин А.З. Методика определения параметров ползучести и длительной прочности материалов при неизотермических процессах нагружения // Проблемы прочности. 2004. - .№ 4. - С. 21 - 30.

18. Гарофало Д. Законы ползучести и длительной прочности металлов. -М. : Металлургия, 1968. 304 с.

19. Годунов С.К. О численном решении краевых задач для систем линейных обыкновенных дифференциальных уравнений//Успехи мат. наук. 1961. - 16, вып.З. - С. 171-174.

20. Гойхман Б. Д. Об уравнениях временной зависимости прочности твердых тел // Проблемы прочности. 1972. - № 8. - С. 20-22.

21. Голуб В.П. Об одном походе к построению определяющих уравнений в теории ползучести // ПМТФ. 1991. - № 4. - С. 166 - 172.

22. Голубовский Е.Р. Длительная прочность и критерий разрушения при сложном напряженном состоянии сплава ЭИ 698 ВД // Пробл. прочности. 1984. № 8. -С. 11-17.

23. Гольденблат И.И., Бажанов В.Л., Конопов В.А. Длительная прочность в машиностроении. М.: Машиностроение, 1977. - 246 с.

24. Горев Б. В., Клопотов И. Д. К описанию процесса ползучести и длительной прочности по уравнениям с одним скалярным параметром повреждаемости // ПМТФ. 1994. -№ 5. - С. 92-102.

25. Гуль А.Н., Чорнышенко И.О., Шнеренко К.И. Сферические днища, ослабленные отверстиями. Киев: Наук, думка, 1970. - 323 с.

26. Данилов B.JL Зарубин С.В. К описанию механизма межкристаллитного разрушения при ползучести металлов // Проблемы машиностроения и надежности машин, 1995. № 6. С. 39-41.

27. Джонсон А. Ползучесть металлов при сложном напряженном состоянии // Механика. 1962. - № 4. - С.91-145.

28. Душин Ю.А., Иванов А.В., Медведев Н.А., Вергазов А.Н. Длительная прочность и пластичность материалов при высоких температурах и низких напряжениях // Физика металлов и металловедение. 1993. - № 6. - С. 133-141.

29. Закономерности ползучести и длительной прочности. Справочник. -М.: Машиностроение, 1983.-99 с.

30. Золочевский А.А., Морочковский O.K. Исследование длительной прочности составных оболочек // Динамика и прочность машин. 1979. - Вып. 30. -С. 32-36.

31. Илюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. - 326 с.

32. Илюшин А.А. Пластичность: основы общей математической теории. -М.: Изд АН СССР, 1963. 272 с.

33. Калинников А.Е., Кургузкин М.Г., Вахрушев А.В. Кинетика объемного разрушения элементов конструкций в условиях длительного нагружения // Пробл. прочности. 1984. -№ 4. - С. 12 - 16.

34. Капустин С.А. Коротких Ю.Г., Прок А.Е. Анализ кинетики накопления повреждений в составных осесимметричных конструкциях // Пробл. прочности. 1988 - № 2. - С.80-84.

35. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. 420 с.

36. Качанов JI.M. Основы механики разрушения. — М.: Наука, 1974. 311 с.

37. Кац Ш.Н. Исследование длительной прочности углеродистых труб //

38. Теплоэнергетика. 1955. - № П. - С.37-40.

39. Киселевский В.Н., Осасюк В.В. Анализ критериев длительной прочности // Прикл. механика. 1967. - № 3. - С.96-99.

40. Ковпак В. И., Марусий О. И. Об эквивалентной повреждаемости при испытаниях на прочность // Проблемы прочности. 1972. - № 4. - С. 38^-5.

41. Ковпак Б.И. Прогнозирование жаропрочности металлических материалов. Киев: Наук, думка, 1981. - 240 с.

42. Ковпак В. И. Прогнозирование длительной работоспособности металлических материалов в условиях ползучести. Киев: И1111, 1990. - 37 с.

43. Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. М.: Высшая школа, 1987.-256 с.

44. Колмогоров В. JI., Мигачев Б. А., Бурдуковский В. Г. Феноменологическая модель накопления повреждений и разрушения при различных условиях нагружения. Екатеринбург: УрОРАН, 1994. - 105 с.

45. Конструкционная прочность материалов и деталей ГТД / Биргер И. А., Балашов Б. Ф., Дульнев Р. А. и др. М.: Машиностроение, 1981. - 222 с.

46. Коротких Ю.Г. Описание процессов накопления повреждений в материале при неизотермическом вязкопластическом деформировании // Пробл. прочности. 1985. - С. 18-23.

47. Костюк А.Г. Пластичность и разрушение кристаллического материала при сложном нагружении. М.: Издательство МЭИ, 2000. - 180 е.: ил.

48. Крайчикович Д, Сельварай С. Аналитическая модель разрушения металлов при ползучести // Теоретические основы инженерных расчётов. — 1984. -№4.-С. 101-106.

49. Кривенюк В.В. Прогнозирование ползучести и длительной прочности металлических материалов на сроки службы до 300000 ч и более. // Проблемы прочности. -2003.- №4. С. 104- 120.

50. Лебедев А.А., Чаусов Н.Г., Недосека С.А, Богинич И.О. Модель накопления повреждений в материалах при статическом растяжении // Проблемы прочности. 1995. - № 7. - С. 31 - 40.

51. Лекки Ф. Модели высокотемпературного разрушения // В кн. Механика деформированного твердого тела: направления развития. М.: Мир, 1983. С. 244 256.

52. Леметр Ж. Континуальная модель повреждения, используемая для расчета разрушения пластичных материалов // Теоретические основы инженерных расчётов. 1985. - № 1. - С. 90-97.

53. Ленский B.C. Ломакин В.А. Деформационная теория термопластичности // В кн.: Тепловые напряжения в элементах конструкций. 1970. - Вып. 10.-С. 37-50.

54. Лепин Г.Ф. Ползучесть металлов и критерий жаропрочности. —М.: Металлургия, 1976. 344 с.

55. Лихачёв В. А., Малинин В. Г. Анализ функционально-механических свойств материалов методами структурно-аналитической теории // Известия вузов. Физика. 1992. - № 4. - С. 59-80.

56. Локощенко A.M. Длительная прочность металлов при сложном напряженном состоянии // Пробл. прочности. — 1983. .№ 8. - С.55-59.

57. Локощенко A.M., Шестериков С.А. Исследование длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии // Пробл. прочности. -1986.-№ 12.-С.З-7.

58. Локощенко A.M., Назаров В.В., Платонов Д.О., Шестериков С.А. Анализ критериев длительной прочности металлов при сложном напряженном состоянии. Механика твердого тела. - №2 - 2003. - С. 139 - 149.

59. Малинин Н.Н. Расчеты на ползучесть элементов машиностроительных конструкций. М.: Машиностроение, 1981. - 220 с.

60. Малинин Н.Н. Ползучесть в обработке металлов. М.: Машиностроение. - 1986. -216 с.

61. Малинин Н.Н., Нигин А.А. Длительная прочность образцов с концентраторами напряжений при нестационарном режиме нагружения // Изв. вузов. Машиностроение. 1974. - № II. - С.28-53.

62. Малинин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М.: Машиностроение, 1975. 400 с.

63. Марочник сталей и сплавов. М.: ЦНИИТМАШ, 2001, 600 с.

64. С. Б. Масленков, Е.А. Масленкова Стали и сплавы для высоких температур. Справочник. М.: Металлургия, 1991, в 2 х кн. - 383 с.

65. Махутов Н.А. Деформационные критерии разрушения и расчет элементов конструкций на прочность. М.: Машиностроение, 1975. 272 с.

66. Методика решения осесимметричной задачи термовязкопластичности для слоистых оболочек на ЕС ЭВМ /Ю.Н.Шевченко, М.Е.Бабешко, И.В.Прохоренко.- Киев: Наук, думка, 1981. -66 с.

67. Методы расчета оболочек. T.I.Теория тонких оболочек ослабленных отверстиями /А.Н.Гузь, И.С.Чернышенко, Вал.Н.Чехов и др. Киев: Наук, думка, 1980.-636 с.

68. Методы расчета оболочек. Т.З. Теория упругопластических оболочек при неизотермических процессах нагружения /Ю.Н. Шевченко, И.В. Прохоренко. Киев: Наук, думка, 1981. - 296 с.

69. Методы расчета оболочек. Т.4. Теория оболочек переменной жесткости // Григоренко Я.Н., Василенко А.Т. Киев: Наук, думка, 1981. - 544 с.

70. Михалевич В. М. Тензорные модели длительной прочности. Сообщение 1 // Проблемы прочности. 1995. - № 8. - С. 76-90.

71. Можаровский Н.С., Заховайко А.А. Циклическая ползучесть и долговечность материала при криволинейных траекториях нагружения в условиях плоского напряженного состояния. // Проблемы прочности. 1982. - № 4. -С. 36-40.

72. Мяченков В.И., Ольшанская Г.Н., Чеканин А.В. Автоматизация конструирования и прочностных расчетов тонкостенных осесимметричных конструкций. М.: СТАНКИН, 1994. 60 с.

73. Наместников B.C. Об определяющих уравнениях в теории ползучести // ПМТФ.- 1990.-№ 2-С. 121 125.

74. Наместников B.C. Феноменологическая модель ползучести при переменных нагрузках // ПМТФ. 1993. - № 2 - С. 123 - 127.

75. Никитенко А. Ф. О длительности до разрушения при статических и циклических нагрузках // Проблемы прочности. 1976. - № 7. - С. 44-46.

76. Никитенко А.Ф. К расчету элементов конструкций с учетом повреждаемости материалов при ползучести // Проблемы прочности. 1979. - № 4. -С. 20-25.

77. Новожилов В,В, Теория тонких оболочек. JL: Судостроение, 1962. -432 с.

78. Осасюк В. В., Олисов А. Н. Анализ феноменологических уравнений состояния для процессов ползучести и длительной прочности сталей и сплавов при высокой температуре // Проблемы прочности. 1984. - № 3. - С. 12-17.

79. Петухов А.Н. Сопротивление усталости деталей ГТД. М.: Машиностроение, 1993. 240 с.

80. Пикуль В.В. Современное состояние теории оболочек и перспективы ее развития // Изв. АН. МТТ. 2000. №2. С. 153 168.

81. Писаренко Г.С., Лебедев А.А. Деформирование и прочность материалов при сложном напряженном состоянии. Киев: Наук, думка, 1976. -415 с.

82. Пискунов В.Г., Рассказов А.О. Развитие теории слоистых пластин и оболочек. Прикладная механика. - 2002. - Т. 38. - №2. - С. 22 - 56.

83. Ползучесть и возврат: Сб. статей. М.: Металлургия, 1961. - 252 с.

84. Ползучесть элементов машиностроительных конструкций / Подгорный А.Н. Киев: Наук, думка, 1984. - 264 с.

85. Поспишил Б. Феноменологическая модель ползучести и пластической деформации // Проблемы прочности. 1987. - № 9. - С. 3 - 11.

86. Работнов Ю.Н. Ползучесть элементов конструкций. М.: Наука, 1966. - 752 с.

87. Рабинович В.П. Ползучесть турбинных дисков. М.: Машиностроение, 1966. - 152 с.

88. Радченко В.П., Симонов А.В., Дудкин С.А. Стохастический вариант одномерной теории ползучести и длительной прочности // В кн. Вестник Сам-ГУ, серия «Физико математические науки». - №12 - 2001. - С. 73 - 84.

89. Расчет на прочность, устойчивость и колебания в условиях высоких температур // Н.И.Безухов, В.Л.Бажанов и др. М.: Машиностроение, 1968. -693 с.

90. Розенберг В.М. Ползучесть металлов. М.: Металлургия, 1967. 276 с.

91. Сдобырев В.П. Критерий длительной прочности для некоторых жаропрочных сплавов при сложном напряженном состоянии // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1959. - № 6. - С. 93-99.

92. Соснин О.Б. Энергетический вариант теории ползучести и длительной прочности. Ползучесть и разрушение неупрочняющихся материалов. Сообщение 1. // Пробл. прочности. - 1973. - № 5. - С. 45-49.

93. Термопрочность деталей машин /М.А.Биргер, Б.Ф.Шорр, И.В.Демьянушко и др. — М. : Машиностроение, 1975. — 456 с.

94. Трунин И.И. Критерии прочности при сложном напряженном состоянии // Прикл. механика. 1965. - № 7. - С. 77-83.

95. Хажинский Г.М. О теории ползучести и длительной прочности металлов // Изв. АН СССР. Механика твердого тела. 1971. - №. 6. - С. 29 - 36.

96. Хейхерст Д. Перераспределение напряжений и разрушение при ползучести равномерно растягиваемых тонких пластин с круговым отверстием // Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Прикл. Механика. 1973. № 1. - С . 253 - 260 .

97. Хейхерст Д. Определение времени до разрушения для вращающихся дисков в условиях ползучести с использованием уравнений повреждаемости при двухосном напряженном состоянии // Тр. Амер. о-ва инженеров-механиков. Прикл. механика. 1973. -№4. - С. 88-95.

98. Хорошун Л.П. Микромеханика кратковременной повреждаемости материала при температурных воздействиях // Прикладная механика. 2001. - Т.38.-№9.-С. 61-68.

99. Чернышенко И.С., Шаршуков Г.К. Исследование упругопластического состояния сферических оболочек с круговым неподкрепленным отверстием // Пробл. прочности. 1972. - № 10. - С.93-97.

100. Шевелев В.В., Карташов Э.М. Кинетика хрупкого разрушения и долговечность материалов // Проблемы прочности. 1990. - № 3. - С. 9 - 13.

101. Шевляков Ю.А. Напряжения в сферическом днище, ослабленном круговым вырезом // Инженерный журнал. 1956, - № 24. -С.226-230,

102. Шевченко Ю.Н. Термопластичность при переменных нагружениях, -Киев: Наук, душа, 1970. 288 с.

103. Шевченко Ю.Н., Мазур В.Н. Решение плоских и осесимметричных краевых задач термовязкопластичности с учетом повреждаемости материала при ползучести // Прикл. механика. 1986. -№ 8. - С.3-14.

104. Шевченко Ю.Н. , Савченко В. Г. Термовязкопластичностъ. Киев: Наук, думка, 1987. - 264 с. /Механика связных полей в элементах конструкций. В 5 т.; т. 4.

105. Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Г. Физические уравнения термовязкопластичности. Киев: Наук, думка, 1982. - 240 с.

106. Шевченко Ю.Н. Термовязкоупругопластические процессы деформирования твердого тела (обзор). Прикладная механика. - 1994. - Т. 30. - №3. -С. 3 - 24.

107. Шевченко Ю.Н., Терехов Р.Г., Брайковская Н.С., Захаров С.М. Исследование процессов разрушения элемента тела в результате повреждаемости материала при ползучести // Прикладная механика. 1994. - Т. 30. - №4. - С. 21 - 30.

108. Belloni G., Bernasconi G., Piatti ft Creep Damade Models// Creep of Engineering Materials and Structures. Applied Science. -London,-1979.— P. 195-227.

109. Chrzanowski M. Damade Parameters in Continuum Feature. Mechanics// Mech. Teor/ in Stos. 1978. - 16. - P. 151 - 167.

110. Hahurst D. Creep Rupture Under Multi-Qxial States of Stress// J. of Mech. and Phys. of Solids. 19722. - V/ 20. - P. 381 - 390.

111. Larson F.R., Miller J. A Tame -Temperature Relationship for Rupture and Creep Stresses // Translation ASME. 1952.-V.74. - P. 765 - 775.

112. Lesne P., Galletaud G. Creep Fatigue Interaction Under High Frequency Loading // Mech. Bech. of Materials. Oxford: Pergamon Press, 1988. - v. 2, - p. 1053- 1061.

113. Muracami S., Ohno N, Continuum Theory of Creep and Creep Damade// Jn: Creep Structure. 3rd Symp., Leicester, 1980. B: Springer, 1981. P. 422 - 444.

114. V. Bagmutov, A. Belov, A. Polivanov Features of damageability's calculation of multilayered shells of rotation at thermo viscose - elasto - plastic deformation // MECHANIKA, 2004, No 3(47) - p. 19 - 23.

115. Walczak J., Sieniawski J., Bathe K. On the analysis of Creep Stability and Rupture.// Comput. And Struct. 1983. - 17. № 5 - 6. - P783 - 792.

116. Wilson R. N. Estimation of Remaining Creep Life of an Aluminum Alloy from Creep Crack Density Measurement // Journal of Materials Science. 1978. - № 3. - p. 647-656.