Расчет и проектирование оптимальных по долговечности элементов конструкций тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I. Приближенный метод расчета напряженно-деформированного состояния и времени начала разрушения элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала.

§ I. Исходные соотношения и постановка задачи расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала

§ 2. Построение приближенней?о решения задачи ползучести с учетом повреждаемости материала

§ 3. Случай аналитического решения системы уравнений (1.2.14), (1.2.17)

§ 4. Верхние и нижние оценки на решение системы

1.2.14), (1.2.17) в случае О

§ 5. Верхние и нижние оценки на решение системы

1.2.14), (1.2.17) в случае ^ <

ГЛАВА П. Использование приближенного метода для расчета напряженно-деформированного состояния и времени начала разрушения элементов конструкций

§ I. Расчет напряженно-деформированного состояния изгибаемой балки

§ 2. Расчет напряженно-деформированного состояния вращающегося диска

§ 3. Расчет напряженно-деформированного состояния изгибаемой кольцевой пластины

§ 4. Расчет напряженно-деформированного состояния растягиваемой кольцевой пластины

ГЛАВА Ш. Расчет и проектирование оптимальных по долговечности элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала

§ I. Вариационная постановка задачи проектирования оптимальных по долговечности элементов конструкций

§ 2. Приведение исходной нестационарной оптимизационной задачи к стационарной.

§ 3. Расчет и проектирование профиля оптимальной по долговечности балки, работающей в условиях чистого изгиба

§ 4. Расчет и проектирование профиля оптимального по долговечности вращающегося диска

§ 5. Расчет и проектирование профиля оптимальной по долговечности изгибаемой кольцевой пластины

§ 6. Расчет и проектирование профиля оптимальной по долговечности растягиваемой кольцевой пластины.

Современное развитие техники и отдельных отраслей промышленности характеризуется повышением нагрузок, скоростей и температуры при работе машин и механизмов. Это в свою очередь предъявляет все более высокие требования к материалам и конструкциям, используемым в различных областях народного хозяйства, накладывает ограничения на их вес, время эксплуатации, экономичность итехноло-гичность. В связи с этим важное значение приобретают задачи расчета и проектирования оптимальных элементов конструкций, работающих в условиях ползучести и удовлетворяющих наперед заданным свойствам.

Начало теоретическим исследованиям в области оптимизации было положено Лагранжем, показавшим возможность применения вариационного исчисления при отыскании конструкции наименьшего веса. С тех пор наряду с развитием вариационного исчисления появились совершенно новые методы решения оптимизационных задач, хорошо приспособленные к применению ЭВМ [1-4] . Подробное изложение общих оптимизационных методов, а также методов, используемых для проектирования элементов конструкций, представлено в работах [1-п] .

Значительное количество всевозможных оптимизационных методов указывает на то, что не существует универсального подхода для решения такого рода задач, поскольку какой-либо метод, хорошо зарекомендовавший себя при решении одних задач, оказывается малоэф -фективным или вообще непригодным при решении других. Выбор того или иного метода при решении оптимизационной задачи в значительной степени зависит от ее постановки и допущений, принимаемых в каждом конкретном случае.

Большинство исследований в области оптимизации конструкций проведены в упругой и упругопластической постановках. В работах [ 7,12-20 ] рассматриваются различные задачи и методы решения при проектировании оптимальных балок и стержневых систем. Значительное количество работ, выполненных в упрутопластической постановке, посвящено оптимальному проектированию дисков, пластин и оболочек [ 21-29 ]

Общие свойства оптимальных элементов конструкций, работаю -щих в условиях ползучести, были сформулированы и рассматривались к работах [ 30-32 ] . В них введено определение оптимальной конструкции, у которой разрушение происходит во всем объеме или на части поверхности одновременно за некоторое наперед заданное время 1**. Показано, что оптимальная по разрушению конструкция обладает наименьшим весом среди конструкций, выдерживающих заданные нагрузки в течении времени, не превосходящего . Предлагаемые постановки задач распространялись на конструкции, поведение материала которых описывалось законом установившейся ползучести, а в качестве критерия оптимальности использовалось условие типа равнопрочноети [ 30-35 ] . Например, в [зЗ ] рассмотрены равнопрочные в условиях ползучести балки и плиты, у которых при постоянных во времени нагрузках разрушение крайних по толщине волокон происходит одновременно.Б [ 34 ] решена задача определения толщины цилиндрической оболочки при условии постоянства мощности диссипации. Проектирование равнопрочных конструкций является по существу обратной задачей механики и решается обычными методами [ 2,3,33,34].

Однако постановки оптимизационных задач, основанные на использовании условия равнопрочности, обладают некоторыми недостатками, ограничивающими их практическое применение. Например, в некоторых случаях получаемые решения могут не соответствовать реальным конструкциям.

В отличии от [ 30 -35 ] в работах [ 36,37,85-88] рассматриваются постановки задач проектирования оптимальных конструкций, работающих в условиях ползучести с учетом повреждаемости материала. В [ 36,85] на основе обобщения и анализа экспериментальных данных для ряда конструкционных материалов в определенном температурно-силовом диапазоне обосновано существование эквивалентной термосиловой поверхности в смысле повреждаемости и длительности до разрушения. В результате этого дано определение оптимальной по долговечности конструкции и установлено для нее условие оптимальности, связывающее между собой в каждой точке тела температуру и инварианты тензора напряжений. В частности, для слу чая стационарных внешних нагрузок показано, что напряженное состояние будет установившимся, а скорость деформации ползучести оптимальной конструкции будет определяться произведением скорости деформации установившейся ползучести на функцию времени, определяемую из кинематического уравнения повреждаемости. Конкретные задачи в такой постановке рассмотрены в работах [ 37,86-88 ] , причем в [86,87] решена задача определения оптимальной по долговечности турбинной лопатки, а в [37,88] показана возможность реализации равнопрочной в процессе ползучести конструкции путем надлежащего подбора внешних нагрузок и температуры. Эта задача решена применительно к неравномерно прогретому диску переменной толщины с отверстием, при этом использована система уравнений, описывающая все три стадии ползучести материала с одновременным учетом накопления повреждений.

Однако отмеченные недостатки, присущие равнопрочным конструкциям в предположении установившейся ползучести, остаются и при решении аналогичных задач с учетом повреждаемости материала.

Поэтому наиболее распространенными подходами к решению задач оптимального проектирования элементов конструкций являются вариационные методы исследования функционалов цели на экстремум

2,3,7] . Вариационное исчисление остается не только главным средством при рассмотрении общих свойств различных классов оптимальных конструкций, -но и успешно используется для решения конкретных задач [ 38-48 ]

В работах [ 38-40 ] в вариационной постановке выполнены задачи оптимального проектирования профиля вращающегося диска, обладающего минимальным весом. В аналогичных постановках рассматриваются задачи проектирования оптимальных по условиям эксплуатации балок и пластин [ 41-43] . Причем в [ 431 считается,что пластина изготовлена из разномодульного материала с различными характеристиками ползучести на растяжение и сжатие, поведение которого можно описать кусочно-линейным потенциалом ползучести. Большое количество работ, выполненных в вариационной постановке, посвящено оптимальному нагреву пластин и оболочек, в которых рас^ сматриваются задачи отыскания температурных полей, обеспечивающих минимальные упругие напряжения [ 44-47 ]

При проектировании оптимальных элементов конструкций нередко пользуются методами теории оптимального управления, которые позволяют учитывать ограничения некоторых механических парамет -ров, заданных в виде неравенств, и приводят к более реальным проектам [ 1*6,48-56 ] . В работе [ 50 ] для решения задачи проектирования оптимальной балки, работающей в условиях ползучести и изготовленной из материала с различными свойствами на растяжение и сжатие, использован принцип максимума Понтрягина.

Применение вариационного исчисления для решения оптимизационных задач связано с определенными трудностями, поскольку получаемая система уравнений в большинстве случаев является нелинейной и не может быть решена аналитически, а учет ограничений в виде неравенств приводит еще к большему усложнению этого аппарата [1-5].

Учет ограничений, заданных в виде неравенств, может быть осуществлен с помощью функций Миеле или же других приемов, изложенных в работах [I,5-7 ]

Для численного решения задач оптимального проектирования с учетом ограничений, заданных в виде неравенств, в работе [?] предложен итерационный метод, основанный на использовании уравнений Эйлера.

В последнее время широкое распространение при решении задач проектирования оптимальных конструкций получили методы математического нелинейного программирования [1-5,58-61] . Практически любая вариационная задача может быть сведена к задаче нелинейного программирования [ 3,5 ]

Среди наиболее распространенных методов нелинейного программирования являются методы релаксации ( покоординатный спуск ), наискорейшего спуска ( градиентный метод ), сопряженных градиентов [1,3,5]

Учет ограничений, накладываемых на какие-либо параметры конструкции, можно осуществить методами штрафных функций, проекций градиента и другими методами [ 1,3,5 ] .

При решении вариационных задач в замкнутой области весьма эффективен метод локальных вариаций, изложенный в работе [ 4 ] . Этот метод применим к интегралам, зависящим от нескольких функций и переменных и, что особенно важно при оптимизации конструкций, к сложным функционалам. Следует отметить, что учет ограничений в виде равенств, которые нельзя разрешить относительно варьируемых параметров, невозможен.

Метод локальных вариаций, как и все методы нелинейного программирования, приводит к локальному экстремуму и может быть реализован только на ЭВМ.

Таким образом, подавляющее большинство работ, посвященных проектированию оптимальных элементов конструкций, выполнено в предположении установившейся ползучести и не учитывает того факта, что разрушению предшествует процесс накопления повреждений в материале, который в свою очередь оказывает существенное влияние на скорость деформации ползучести и приводит к перераспределению напряжений во времени [ 62-71 ] .

Величину накопленных повреждений принято отождествлять с одним из структурных параметров, определяющих состояние материала на любой момент времени вплоть до начала разрушения [ 65-71 ]

Расчет напряженно - деформированного состояния с учетом повреждаемости материала даже для простейших элементов конструкций встречает определенные трудности [ 62 ] и требует значительного времени на ЭВМ [ 66 ] .

Использование системы кинетических уравнений ползучести с одновременным учетом повреждаемости материала приводит к существенному усложнению оптимизационной задачи, делает ее нестационарной и требует колоссальных затрат времени на ЭВМ. Видимо этим и объясняется, что подавляющее большинство работ, посвященных оптимальному проектированию конструкций, выполнено без учета процесса накоплений повреждений.

В связи с этим для решения задач оптимального проектирования элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала целесообразно использовать приближенные методы,"позволяющие существенно сократить затраты времени на ЭВМ.

Приближенному расчету элементов конструкций, в частности, определению нижней оценки времени до разрушения по величине характерного напряжения с использованием уравнений состояния и закона повреждаемости, однородных относительно параметра сплошности, посвящен целый ряд зарубежных работ [66,71-74] .

Широкое распространение получили различные приближенные методы решения задач ползучести, основанные на вариационных принципах [ 62,75-79]. Весьма эффективными при построении приближенных решений задач ползучести с учетом повреждаемости материала являются так называемые смешанные вариационные принципы, получившие свое идейное начало от вариационной теоремы Рейснера [ 62,78,79 ] , поскольку в них могут подвергаться варьированию как скорости напряжений и перемещений [ 62,78 ] , так и некоторые структурные параметры [ 79] .

Наибольшее распространение для построения приближенного решения задач ползучести получил смешанный вариационный принцип Сандерса, Мак-Комба, Шлехте [ 78 ] , основанный на вариационных принципах Уанга - Драгера и Рейснера [ 62 ] .в диссертации этот принцип будет использован для приближенного расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций с учетом повреждаемости материала при решении оптимизационных задач. 1 Целью диссертации является расчет и проектирование оптимальных элементов конструкций, работающих в условиях ползучести, с учетом повреждаемости материала.

В первой главе диссертации рассматривается приближенный метод расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и времени начала разрушения с использованием кинетических уравнений, учитывающих повреждаемость материала. На основе использования смешанного вариационного принципа показано, что решение последней можно свести к решению аналогичной задачи в предположении установившейся ползучести [ 90-93 ] • При этом искомое напряженно-деформированное состояние определяется на любой момент времени произведением решения задачи установившейся ползучести на некоторые функции координат и времени, для определения которых приведены соответствующие соотношения. Получены верхние и нижние оценки параметра повреждаемости материала на любой момент времени вплоть до начала разрушения.

Во второй главе на примерах чистого изгиба балки, вращающегося диска, растягиваемых и изгибаемых кольцевых пластин иллюстрируется применение приближенного метода для расчета напряженно-деформированного состояния и времени начала разрушения элементов конструкций, работающих в условиях ползучести с учетом повреждаемости материала.

Результаты расчетов, полученных приближенным методом, сравниваются с решениями тех же задач, что проведенными традиционными методами интегрирования шагами по времени, а также сопоставляются с некоторыми экспериментальными данными.

В третьей главе дается определение оптимального по долговечности элемента конструкции, работающего в условиях ползучести с учетом повреждаемости материала. На основе данного определения, а также из анализа и обобщения наиболее распространенных критериев оптимизации, используемых в задачах ползучести, проводится -конкретный вид функционала цели, объединяющего в себе минимиза -цию объема конструкции и условие наибольшего накопления повреждений за некоторое наперед заданное время ^ * * . В качестве основ-, ного алгоритма решения оптимизационных задач используется метод локальных вариаций [ 4 ] с переменным шагом варьирования. Для определения напряженно-деформированного состояния применяется приближенный метод, рассмотренный в первой главе, позволяющий преобразовать исходную нестационарную вариационную задачу к стационарной.

Решение задач проектирования оптимальных по долговечности конструкций иллюстрируется на примерах определения профилей поперечного сечения изгибаемой балки, вращающегося диска, растягиваемых и изгибаемых кольцевых пластин. Полученные проекты вполне соответствуют реальным конструкциям.

Г 71 А В А I

ПШБЛИШШНЫй МЕТОД РАСЧЕТА НАПРЯЖЕННО-ДЕФОРМИРОВАННОГО

СОСТОЯНИЯ И ВРЕМЕНИ НАЧАЛА РАЗРУШЕНИЯ ЭЛЕМЕНТОВ КОНСТРУКЦИЙ, РАБОТАЮЩИХ В УСЛОВИЯХ ПОЛЗУЧЕСТИ,С УЧЕТОМ ПО-ВРЕЙЩАЕМОСТИ МАТЕРИАЛА

Известно, что использование системы кинетических уравнений, описывающих ползучесть материала с одновременным учетом его повреждаемости, для определения напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и времени начала их разрушения, связано с определенными математическими трудностями [ 62 ] и требует даже применительно к простейшим элементам конструкций значительного времени на ЭВМ [ 66 ] .В связи с этим возникает необходимость развития приближенных методов расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, позволяющих производить необходимые расчеты с наименьшими затратами времени на ЭВМ.

В настоящей главе на основе использования смешанного вариационного принципа показано, что задачу определения напряженно-деформированного состояния элементов конструкций и времени начала их разрушения можно свести к решению аналогичной задачи в пред -положении установившейся ползучести. При этом для получения искомого решения следует решение задачи установившейся ползучести умножить на некоторые функции координат и времени, для определения которых получена система интегральных уравнений.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

I. Разработан приближенный метод расчета напряженно-деформированного состояния элементов конструкций, работающих в условиях ползучести с учетом повреждаемости материала, на основе которого решение задачи на любой момент времени представляется в виде произведения решения аналогичной задачи в предположении установившейся ползучести на некоторые функции координат и времени, определяемые из приведенной в работе системы интегральных уравнений. Получены верхние и нижние оценки на искомое решение системы интегральных уравнений, а также исследован частный случай, когда эта система уравнений имеет аналитическое решение.

2. На примерах решения конкретных задач показано, что предлагаемый метод дает вполне удовлетворительное качественное и количественное совпадение с численными расчетами шагами по времени и при этом по объему и сложности вычислительных процедур намного проще и эффективнее пошаговых методов решения и требует минимальI ных затрат времени на ЭВМ.

3. Сформулирована нестационарная вариационная постановка задачи расчета и проектирования оптимальных по долговечности элементов конструкций, работающих в условиях ползучести с одновременным учетом повреждаемости материала. Предложен конкретный вид функционала цели, определяющего суммарную повреждаемость материала в объеме. С использованием разработанного приближенного метода показано, что исходную нестационарную оптимизационную задачу можно привести к стационарной.

4. Основываясь на методе локальных вариаций с переменным шагом варьирования и разработанном приближенном методе,решены конкретные задачи по расчету и проектированию оптимальных по долговечности конструкций. Получено, что оптимальные проекты вполне соответствуют реальным конструкциям и обладают при этом существенными преимуществами по сравнению с аналогичными простейшими конструкциями.

В заключение автор выражает искреннюю благодарность своему научному руководителю к.ф.-м.н., старшему научному сотруднику А.Ф.Никитенко и зав. лабораторией статической прочности Ордена Ле нина Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева СО АН СССР д.ф.-м.н. профессору О.В.Соснину за постоянное внимание к данной работе, а также к.ф.-м.н. И.Ю. Цвелодубу, к.ф.-м.н. А.А.Швабу, к.ф.-м.н. Б.В.Гореву, м.н.с. В.В.Рубанову за полезное обсуждение данной работы.

1. Моисеев H.H. Численные методы в теории оптимальных систем- М.: Наука. 1971, 424 с.

2. Сергеев Н.Д., Богатырев А.И. Проблемы оптимального проектирования конструкций.- Л., 1971, 136 с.

3. Рейтман М.И.»Шапиро Г.С. Методы оптимального проектирования деформируемых тел.- М.: Наука. 1976, 266 с.

4. Черноусько Ф.Л., Баничук Н.В. Вариационные задачи механики и управления.- М.; Наука. 1973, 238 с.

5. Трухаев Р.Й., Хоменюк В.В. Теория неклассических вариационных задач.- Л.: Издат. Лен. универс. 1971, 168 с.

6. Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов.- М.: Наука. 1983, 392 с.

7. Гольдштейн Ю.Б., Соломещ М.А. Вариационные задачи статики оп- ' тимальных стержневых систем.- Издат. Лен. универс. 1980, 208 с.

8. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление,- М.: Наука.1969, 420с.

9. Kicker Т.Р. Optimum design-minimum weight wersus fully stressed. Proc. ASCE. J. Struct. Div.", 1966, v. 92. No.6,265.279.

10. Prager W. Optimallity criteria in structural design. — "Proc. Nat. Acad. Sei. USA", v. 61, No. 3, 794 796f 1968.1.* Prager W. Optimization of structural desigh. " J. Optim. Theory and Applic" , 1970, v. 6, No 1, 1 21.

11. Баничук H.B. Некоторые задачи оптимального проектирования уп• ругих балок для классов сил. Изв. АН СССР , МТТ, 1973, № 5, с. I02-110.

12. Баничук Н.В. Оптимальное проектирование в одномерных задачах изгиба для фиксированных и подвижных нагрузок. Изв. АН СССР:,МТТ, 1974, № 5, с. II3-I23.

13. Баничук Н.В. Определение оптимальных форм упругих криволинейных стержней. Изв. АН СССР, МТТ, 1975, IP б, с. 124-133.

14. Горынин Л.Г., Тараданов Е.Л. Оптимальное проектирование конструкций .- Омск, 1979, 89 с.

15. Рейтман М.И., Шапиро Г.С. Теория оптимального проектирования в строительной механике, теории упругости и пластичности .- В кн. Механика. Упругость и пластичность. 1964, М., с. 81-124.

16. Горынин JI.Г., Гребелюк Е.М. Определение оптимального профиля диска радиальной ступени турбомашины.- Проблемы прочности , 1976. Р 5, с. 62-64.

17. Филиппов А.П., Гринев В.Б. Некоторые задачи оптимизации вращающихся дисков-Сб: Прочность материалов и конструкций ,

18. Киев, Наук, думка , 1975. с 239-246.

19. Sherman Z. Weight minimization of axisymmetric clamped plates subject to constaints.- " Intern. J. Solids and Structures.", 1973, v. 9, No. 2, 279 290. Bibliogr. 15 ref.

20. Гарев O.A., Гринев В.Б. Оптимизация круглых пластин переменной толщины- Вестник Харькове, политехи. Ин-та . № 100,1975, с. 6-9.

21. Голобов В.И. Пластины и оболочки с экстремальными значениями жесткости или объема- Прикладная механика , 1970, т.6, N- 10, с. 55-60.

22. Голобов В.И. Об определении законов изменения толщины пластин и оболочек при стационарном значении функционала жесткости.

23. Прикладная механика , 1972, т.8, № 4, с.120-123.

24. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Об оптимальных круглых пластинах.

25. Изв. АН СССР , МТТ, 1977, № I, с.131-137.

26. Кузнецов Э.Н., Островский А.Ю. Об оптимальном проектировании безмоментных оболочек-В кн.: Труды УП Всесоюзн. конф. по теории оболочек и пластинок , M.J Наука , 1970, с. 328-330.

27. Демьянушко И.В., Королева Е.Ф. Оптимальное проектирование дисков турбомашин- Изв. АН СССР ,МТТ. 1972, № 2, с. 176-180.

28. Немировский ю.В. Об учете веса при проектировании конструкцийв условиях ползучести,-Изв. АН СССР, МТТ, 1976, fl? 4, c.III-123.

29. Немировский Ю.В. Оптимальное проектирование ползущих конструкций«- В кн.: Материалы третьего Всесоюзного съезда по теор. и прикл. механике. M.? 1968, с.460-463.

30. Прагер В. Оптимальное проектирование конструкций заданной жесткости при стационарной ползучести.- Механика , Период, сб. пер. иностр. статей, 1969, № 6, с. 143-147.

31. Немировский Ю.В., Резников B.C. Равнопрочные в условиях ползучести балки и плиты- Машиноведение' , 1969, № 2, с. 58-64.

32. Никитенко А.Ф. 0 напряженном состоянии в оптимальных по долговечности конструкциях.-Динамика сплошной среды: Сб. статей:

33. Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР, 1975, вып. 22, с. 239-246. '

34. Никитенко А.Ф. Определение критического числа оборотов для равнопрочного в процессе ползучести диска,- Проблемы прочности , 1982, W 8, с 15-18.

35. Немировский Ю.В. К вопросу о проектировании оптимальных дисков с учетом ползучести,-1 Проблемы прочности , 1971, № 8, с. II-I3.

36. Gunneskov Ole. Optimal design of rotating disks in creep. " Kept.Dan. Cent. Appl. Math, and Mech. 1975, No. 87. 25 pp., ill.

37. Gunneskov Ole. Optimal design of rotating disk in creep. "J. Struct. Mech.",1976, 4, Ho. 2, 141 -160.

38. Немировский Ю.В.» Резников B.C. Об оптимальном по условиям эксплуатации проектировании балок и пластин, подверженных ползучести.- Машиноведение, 1969, №3, с.75-80.

39. Факторович Г.Е. Оптимальное проектирование круглой пластины при ползучести. -Изв. АН СССР', МТТ, 1978, 6, с. 163-165.

40. Леллеп Я.А. К оптимальному проектированию кольцевых пластинпри установившейся ползучести.- Учен, записки Тартуского университета . 1979. № 487/23, с.8-15.

41. Беседина Л.П., Бурак Я.И., Подстригач Я.Г. Об оптимальном нагреве неоднородных оболочек вращения- Изв. АН СССР , МТТ, 1973, № 6, с. II0-II6.

42. Бурак Я.И.,Будз С.Ф. Об определении оптимальных режимов нагрева тонкой сферической оболочки.- Прикладная механика , 1974, т. Ю, №2, с. 14-20.

43. Бурак Я.И., Григолюк Э.И., Подстригач Я.Г. О применении методов вариационного исчисления к решению задач об оптимальном нагреве тонких оболочек.- Труды 7 Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластин , М.С 1970, с. I0I-I09.

44. Григолюк Э.И., Бурак Я.И., Подстригач Я.Г. Постановка и решение некоторых вариационных задач термоупругости тонких оболочек применительно к выбору оптимальных режимов : местной тер-мообработж.-ГОДТФ, 1968, № 4, с. 47-54.

45. Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления lUy Наука , 1969, 408 с.

46. Lepik U. Application of Pontryagin's maximum principle for minimum weight design of rigid plastic circular plates.-"Intern. J. Solids and Structures." 1973, v. 9, No. 5,615 624.

47. Леллеп Я.А. Оптимальное проектирование балок в условиях установившейся ползучести .-Изв. Акад. наук СССР, МТТ, 1977, № I. е. 202-206.

48. Рейтман М.й. Оптимальное проектирование оболочек с помощью принципа максимума.- Изв. АН СССР , МТТ, 1971. № 3, с. 175- 179.

49. Лурье А.И. Применение принципа максимума к простейшим задачам механики.- Труды Ленинград, политехи. Ин-та , вып. 252, 1965, с. 34-47.

50. Гринев В.Б., Филиппов А.П. Применение принципа максимума Понт-рягина к оптимизации элементов конструкций,- Изв. АН СССР , МТТ, 1973, № 6, с. 87-91.

51. Петрова И.С., Рикардс Р.Б. Оптимизация стержня с переменным модулем упругости.- Механика полимеров , 1974, № 2, с. 277- 284.

52. Пунгар Э.Т. К оптимальному проектированию кольцевой пластины на основе принципа максимума Л.С.Понтрягина.- Прикладная механика , 1972, т.8, W- II, с. 77-82.

53. Пунгар Э.Т. Оптимальное проектирование оболочек вращения с помощью принципа максимума Л.С.Понтрягина,- Ученые записки Тартуского ун-та , 1974, вып. 342, с. 295-302.

54. Zyckovski M., Swisterski W. Optimal structural design of flexible beams with respect to creep rupture time.-"Struct. Contr. Proc. Int. IUTAM Symp., Ontario, 1979", Amsterdamе.а., 1980, 795 810.

55. Демьянушко И.В., Королева Е.Ф. Математическое программирование при проектировании вращающихся упруго-пластических дисков минимальной массы.- Расчеты на прочность. Вып. 18, Машиност -роение , 1977, с. 274-281.

56. Почтман Ю.М. Динамическое программирование в задачах оптимизации конструкций, подверженных ползучести,- Докл. АН СССР: 1971, т.196, № 3, с. 553-556.

57. Радциг Ю.А. Статически неопределимые фермы наименьшего веса. -Казань, 1969, 287 с.

58. Чирас A.A., Баркаускас А.Э., Каркаускас Р.П. Теория оптимизации упругопластических систем,- Л. ; 1974 , 279 с.

59. Работнов 10. Н. Ползучесть элементов конструкций г- M. ; 1966. 752 с.

60. Любарт Е.П. О кинетических уравнениях теории ползучести и длительной прочности.-- Науч. тр. Ин-т мех. Моск. ун-та . 1975,37, с. 29-36.

61. Соснин О.В., Горев Б.В., Никитенко А.Ф. К обоснованию энергетического варианта теории ползучести. Сообщение I.

62. Основные гипотезы и их экспериментальная проверка- Пробл.прочности, 1976, № II, с. 3-8.

63. Hayhurst D.R., Leckie F.A., Morrison C.J. Creep rupture of notched bars. " Proc. Royal Soc. London.", 1978, A 360, N.1701, 243 264.

64. Leckie F.A., The constitutive equations of continuum creep damage mechanics. " Phil. Trans. Royal Soc. London.",1978, A 288, No. 1350, 27-47, Disuss, 47.

65. Leckie P.A., Hayhurst D.R. Constitutive equations for creep rupture, " Acta met.", 1977, 25, No. 9, 1059 1070.

66. Leckie P.A., Hayhurst D.R. Creep rupture. " Creep Eng. Mater." London, 1978, 111 126.

67. Hayhurst D.R., Leckie P.A. The effect of creep constitutive ahd damage relationships upon the rupture time of a solid circular torsion rar. Journal of Mech. and Phys. of solids. 1973, v. 21, No. 6, pp. 431 -446.73.- 119

68. Хейхерст. Определение времени до разрушения для вращающихся дисков в условиях ползучести с использованием уравнений повреждаемости при двухосном напряженном состоянии.-Прикладная механика. 1973, Р 4, с. 88-95.

69. Шестериков С.А. Об одном вариационном принципе в теории ползучести.-Изв. АН СССР, ОТН, 1957, №2, с.122-123.

70. Шестериков С.А., Кашелкин В.В., Сергеев М.В. Устойчивость пологих арок.- В кн: Деформирование и разрушение твердых тел. М; Изд. Моск. универ., 1977, с. 52-64.

71. Качанов Л.М. Теория ползучести.-М.-; Физматгиз, I960, 455 с.

72. Sanders J.L.,McComb H.G., Jr Schlechte F.R. A variational theorem for creep with applications to plates and columns.1. NASA,1957, TN 4003. 23p.

73. Сергеев M.B. Смешанный вариационный принцип теории ползучести в задачах длительной прочности.-Изв. АН СССР. МТТ, 1982, Р 6, с. II2-II6.

74. Алексеев А.Е. Двумерные задачи идеальной жестко-пластической среды.-Автореферат дис. кан.физ.-мат.наук. Новосибирск, 1980, 15 с.

75. Горев Б.В. Энергетический вариант теории ползучести.- Автореферат дис.кан. физ.-мат. наук. Новосибирск, 1975, 13 с.

76. Малинин H.H. Исследование установившейся ползучести круглых и кольцевых осесимметрично нагруженных пластин.- В со. Расчеты на прочность. М.: Машиностроение, 1963, вып. 9, с.173-195.

77. Малинин H.H. Прочность турбомашин.-М.: Машиностроение, 1962, 291 с.

78. Годунов С.К., Рябенький B.C. Разностные схемы. Введение в теорию. -М.: Наука, 1977, 439 с.

79. Никитенко А.Ф., Заев В.А. Об экспериментальном обосновании эквивалентной термосиловой поверхности в смысле процесса повреждаемости материала и длительности до разрушения.- Проблемы прочности'", 1979, № 3, с. 5-10.

80. Заев В.А. Расчет равнопрочной в процессе ползучести турбинной лопатки,- Динамика твердого тела", Сб. статей: Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1976, вып. 25, с.33-39.

81. Никитенко А.Ф., Заев В.А. Ползучесть оптимальной по долговечности турбинной лопатки,-В кн. Конструкционная прочность лопаток турбин ГТД: Тез. докл. 1У Всесоюзной научно-технической конференции, (г. Куйбышев, октябрь 1976 г.), Куйбышев, 1976, с. 55-56.

82. Заев В.А. Расчет и проектирование оптимальных по долговечности конструкций.-В кн: Ползучесть в конструкциях : Тез. докл. П Всесоюзной конференции. (Новосибирск, 20-22 ноября, 1984г) Новосибирск, 1984, с. 24-25.

83. Никитенко А.Ф., Заев В.А. Расчет напряженно-деформированного состояния и времени начала разрушения элементов конструкцийс учетом повреждаемости материала в процессе ползучести.-Проблемы прочности, 1983, № I, с. 56-61.

84. Никитенко А.Ф., Заев В.А. К расчету элементов конструкций с учетом повреждаемости материала в процессе ползучести.-Проблема прочности, 1979, № 4, с. 20-25.

85. Заев В.А., Никитенко А.Ф. К расчету элементов конструкций с учетом повреждаемости материала в процессе ползучести.-ПМТФ, 1980, № 2, с. 157-164.

86. Горев Б.В., Заев В.А. К определению координат характеристической точки в элементах конструкций при ползучести.-Динамика сплошной среды. Сб. статей: Новосибирск: Ин-т гидродинамики СО АН СССР. 1977, вып. 28, с. 143-151.