Напряженно-деформированное состояние в области контакта массивных деталей и оболочек тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.06 ВАК РФ

Введение.

Глава 1. Обзор методов решения нормальных контактных задач и постановка проблемы контактирования массивного тела и оболочки.

1.1. Теоретические основы решения задач контакта.

1.2. Современные методы и приемы решения контактных задач.

1.2.1. Анализ современного состояния вопросов и тенденции развития численных методов решения задач контакта.

1.2.2. Решение нормальных задач.

1.2.3. Решение задач с учетом трения.

1.3. К вопросу о построении конечноэлементных моделей контактирующих тел.

1.3.1. Методы дискретизации плоских расчетных схем.

1.3.2. Методы построения адаптированных сеток.

1.4. Анализ эффективности методов с позиций особенности объекта исследования.

Глава 2. Основы метода решения нормальной контактной задачи для массивного тела и оболочки и особенности его программной реализации.

2.1. Основные положения метода сил применительно к решению контактной задачи.

2.2. Методика решения контактной задачи для массивного тела и оболочки.

2.2.1. Определение круга задач, решаемых с помощью разработанной методики.

2.2.2. Алгоритм решения нормальной контактной задачи для массивного тела и оболочки.

2.2.3. Алгоритм повышения точности решения.

2.2.4. Особенности программной реализации алгоритмов.

2.2.5. Решение проверочной задачи.

2.3. Построение расчетных конечноэлементных моделей контактирующих тел.

2.3.1. Адаптация конечноэлементных сеток к решению контактных задач методом сил.

2.3.2. Алгоритм построения конечноэлементных расчетных схем.

2.3.3. Программная реализация алгоритма.

2.3.4. Тестирование алгоритма.

2.4. Основы программного комплекса «Finite Element Method Studio».

2.4.1. Формирование структурных и функциональных требований к программному комплексу.

2.4.2. Программные средства разработки комплекса.

2.4.3. Состав системы и ее структура.

2.4.4. Автоматизация общего алгоритма метода конечных элементов.

2.4.5. Описание элементного программного модуля.

2.4.6. Организация хранения глобальной матрицы жесткости.

2.4.7. Визуализация результатов расчета.

2.4.8. Тестирование программного комплекса.

2.5. Выводы по главе.

Глава 3. Решение задач контакта массивных тел и оболочек различных геометрических форм.

3.1. Цели и задачи исследования.

3.2. Выбор оптимальной конечноэлементной модели контактирующих

3.3. Исследование контакта шара и сферической оболочки.

3.3.1. Анализ влияния толщины стенки оболочки на основные характеристики контакта.

3.3.2. Распределение контактных давлений при уменьшении толщины стенки оболочки.

3.3.3. Исследование характера отклонений численных параметров контакта от соответствующих значений по решению Герца.

3.4. Исследование влияния геометрической конфигурации оболочки на параметры контакта.

3.5. Основные результаты исследования.

Глава 4. Экспериментальное исследование контакта сферической оболочки и массивного тела, ограниченного плоскостью.

4.1. К вопросу о целях экспериментального исследования.

4.2. Методика проведения эксперимента.

4.3. Проведение физического эксперимента.

4.3.1. Описание моделей и приспособлений для проведения эксперимента.

4.3.2. Результаты экспериментального исследования.

4.4. Проведение численного эксперимента.

4.4.1. Конечноэлементные модели контактирующих тел.

4.4.2. Проведение численных расчетов.

4.4.3. Оценка достоверности результатов численного исследования.

4.5. Выводы по главе.

Глава 5. Решение прикладной контактной задачи для опоры и трубчатой направляющей конвейера с подвесной лентой.

5.1. Описание объекта исследования.

5.2. Постановка задачи контактирования ролика и трубчатой направляющей конвейера.

5.3. Построение конечноэлементных расчетных схем контактирующих тел.

5.4. Анализ напряженно-деформированного состояния цилиндрической роликовой опоры ленточного конвейера.

5.4.1. Исследование общего напряженно-деформированного состояния трубчатой направляющей.

5.4.2. Анализ напряженного состояния в области пятна контакта.

5.4.3. Исследование напряженно-деформированного состояния по толщине стенки трубы.

5.4.4. Подбор минимальной толщины стенки трубы при заданных условиях прочности.

5.4.5. Характер напряженно-деформированного состояния в зависимости от нагрузки на ролик.

5.5. Влияние конфигурации роликов на контактную прочность.

5.5.1. Конфигурационные модели роликов.

5.5.2. Решение нормальной контактной задачи для различных конфигурационных моделей роликов.

5.5.3. Анализ напряженно-деформированного состояния по контуру и толщине стенки трубы.

В настоящее время для обеспечения надежности и долговечности проектируемых конструкций значительное внимание уделяется вопросам прочности. Эти вопросы оказались особенно актуальными для случаев работы элементов деталей при сложном напряженном состоянии. Очень часто при решении задач прочности возникает необходимость в исследовании напряженно-деформированного состояния (НДС) в области контакта двух соприкасающихся тел, находящихся под нагрузкой. Контактная задача представляет собой один из наиболее сложных в математическом отношении разделов теории упругости. Эта задача уже достаточно давно привлекала к себе внимание ученых, которые предлагали различные решения о распределении напряжений и деформаций в области контакта. В условиях взаимодействия элементов конструкции решение контактной задачи стало неотъемлемой частью полного прочностного исследования и обеспечения надежности контактирующих элементов.

Задача о напряжениях в месте соприкасания упругих тел имеет большое практическое значение. Именно с ней нам приходится сталкиваться при расчетах опорных частей мостов, зубьев зубчатых колес, катков различных геометрических форм, деталей шариковых подшипников и подпятников и, наконец, при определении контактных давлений в колесах подвижного состава и рельсах в области их соприкосновения.

Достаточно много работ посвящено теоретическим основам решения контактных задач [25,5,11,47,62,79,94,101 и др.]. В настоящее время все больше появляется работ, посвященных решению важных прикладных задач [26,44,54,112,121,137].

Актуальность.

Впервые математически строгое решение нормальной контактной задачи для твердых упругих сплошных тел предложено Герцем [101]. Однако в его решении принят ряд упрощений и допущений, которые не могут быть использованы для любого рассчитываемого объекта. Среди самых существенных до7 пущений можно отметить допущение о малости размеров пятна контакта и возможности представления контактирующих тел полупространствами. Эти допущения могут быть приемлемы лишь в том случае, если контактируют достаточно массивные тела. Тем не менее, некоторые конструкции не характеризуются применением массивных элементов и требуют разнообразия геометрических форм. Массивные конструкции нуждаются в больших и, в ряде случаев, неоправданных затратах материала. Уровень современной техники предъявляет высокие требования как к прочностным, так и экономическим аспектам проектирования конструкций. Однако, основная масса алгоритмов разработана для случая контакта массивных тел.

В ряде случаев, в новых конструкциях [41,68] одно из контактирующих тел имеет сложную геометрию и представляет собой тонкостенную оболочечную конструкцию, характеризующуюся большой податливостью. Отсюда возникает проблема контактирования массивного тела и оболочки, практически не освещаемая в печати.

Наиболее широкое распространение в технике получили осесимметричные оболочки. Их срединные поверхности представляют собой поверхности вращения. Примером могут служить котлы, баки, трубы, цистерны и резервуары. Как показано в работах автора [37,39], где дано решение контактной задачи для роликового катка и цилиндрической направляющей, НДС контактирующих тел имеет достаточно сложный характер, что связано с большой податливостью оболочки и местным деформированием ее стенки. Таким образом, можно говорить о постановке достаточно важной и насущной проблемы в проектировании современной техники.

Из изложенного следует, что задача контакта массивного тела и оболочки является актуальной, и требуется комплексный подход для решения важных прикладных задач.

Цель работы.

Целью работы является комплексное решение поставленной задачи: разработка новой методики, ее экспериментальная проверка и программная реализа8 ция вплоть до создания полнофункционального программного комплекса для решения прикладных задач. В рамках настоящей диссертационной работы для достижения поставленной цели потребовалось решение следующих задач:

1. Разработка наиболее эффективной методики решения задачи контакта массивного тела и оболочки на основе анализа состояния вопросов теории решения контактных задач и современных тенденций развития численных методов.

2. Построение алгоритма решения нормальной контактной задачи при использовании дальнейшего развития метода сил, его программная реализация в рамках расчетного комплекса с созданием объектно-ориентированной подсистемы контактирующих тел.

3. Разработка приема уточнения результатов решения контактной задачи и его программная реализация в расчетном модуле.

4. Разработка методики и алгоритма построения конечноэлементных моделей контактирующих тел, адаптированных к решению контактной задачи, и создание автоматизированного программного приложения интегрированного с расчетным комплексом.

5. Создание полнофункционального расчетного комплекса, позволяющего автоматизировать следующие этапы прочностного расчета: подготовка и структурирование исходных данных, решение контактной задачи по разработанной методике, полный расчет по методу конечных элементов (МКЭ) и визуализация расчетных схем и результатов расчета.

6. Проведение численных и экспериментальных исследований контакта массивного тела и оболочки при варьировании геометрии и толщины ее стенки с последующим сопоставлением результатов.

7. Решение прикладной контактной задачи для роликового катка и трубчатой направляющей конвейера с подвесной лентой [37,39].

Успешное решение поставленных задач должно внести вклад в ускорение проведения модельных исследований контакта упругих тел и внедрения новой техники.

Методы исследования.

В настоящей диссертационной работе использованы методы математического и физического моделирования, теории упругости и матричной алгебры. Применение алгоритмизации разработанных методик и программирования с использованием объектно-ориентированного подхода [13,29,45,52,59,64] позволило реализовать эффективное самостоятельное программное обеспечение.

Достоверность результатов работы.

Научные положения, выводы и рекомендации, сформулированные в настоящей диссертации, научно обоснованы. Правильность разработанных методик, достоверность результатов расчета, а также работоспособность программного обеспечения подтверждается экспериментальными исследованиями и известными теоретическими решениями.

Научная новизна работы:

1. Разработаны метод и алгоритм решения нормальной контактной задачи при использовании дальнейшего развития метода сил для массивного тела и оболочки.

2. Создана методика построения конечноэлементных сеток, адаптированных к решению контактных задач, путем комплексного использования существующих приемов и алгебраических методов построения сеток

3. Разработана методика построения уточненной математической модели области контакта, содержащей фрагменты контактирующих тел, позволяющая повысить точность результатов первичного расчета.

4. Впервые проведен анализ влияния толщины стенки оболочек различных геометрических форм на распределение контактных давлений, а также установлены соотношения геометрических размеров тел, при которых задача достаточно точно описывается решением Герца.

5. Проведены натурные экспериментальные исследования контакта при использовании моделей сферических оболочек с геометрическими поверхностями, выполненными с высокой точностью.

10

Практическая ценность работы:

1. Снижение трудоемкости новых исследований контакта объемных тел, которые могут быть представлены конечноэлементными моделями, при использовании разработанного программного расчетного комплекса.

2. Решена прикладная контактная задача для роликовой опоры конвейера нового типа. Произведен выбор оптимальной конфигурации ролика и минимальной толщины стенки трубы, исходя из контактной прочности опоры. Сформулированы научно обоснованные рекомендации, полезные при проектировании роликовых узлов конвейера.

3. Получение практически важных зависимостей при исследовании контакта массивного тела и оболочки при варьировании геометрических параметров последней.

4. Разработана методика построения уточненной математической модели фрагментов контактирующих тел, что позволило производить детальное исследование области контакта без использования сложных конечно-элементных схем контактирующих тел.

5. Разработан автоматизированный программный комплекс, позволяющий осуществлять модельные исследования контакта и полный расчет НДС конструкции при интеграции численных методов с разработанной методикой решения контактных задач.

6. Создание программы с открытой архитектурой при использовании объектно-ориентированного подхода заложило основу дальнейшего развития разработанных приемов и методов при решении более сложных задач.

Цель и поставленные задачи определили следующую структуру работы:

В первой главе проведен обзор известных исследований в области решения контактных задач. Дается очерк основных этапов в развитии научной мысли в указанном направлении. Значительное внимание уделено анализу современных численных методов решения контактных задач. Отмечены достоинства и недостатки существующих методик применительно к задаче контакта массивного тела и оболочки. При этом проведен обзор методов построения конечноэле

11 ментных моделей контактирующих тел и указана важность и преемственность этих методов для дальнейшего решения контактной задачи. Осуществлен выбор наиболее эффективного метода для решения поставленной задачи, который получил дальнейшее развитие и лег в основу разработки адаптированной методики решения задачи контактирования массивного тела и оболочки. В заключении главы выполнена постановка задачи исследования.

Вторая глава посвящена разработке методики численного решения нормальной контактной задачи при использовании метода сил и МКЭ. Осуществлены построение алгоритма решения задачи и его программная реализация. Отмечены проблемы, возникающие при разработке методики, и указаны пути их решения. Изложены основы разработки программного расчетного комплекса «Finite Element Method Studio» (FEMS). Описаны методология, модульная структура и механизм работы программного продукта. Указаны место, занимаемое алгоритмом решения контактной задачи в комплексе и механизм связи с остальными программными модулями. Рассмотрены вопросы тестирования программного комплекса и разработанных алгоритмов, а также хранения больших объемов информации и визуализации результатов расчета.

Кроме того, значительное внимание уделено построению расчетных моделей контактирующих тел. Разработана методика, алгоритм и программная реализация, а также осуществлена адаптация получаемых конечноэлементных схем к использованию в программном комплексе. По результатам численного исследования и учета геометрических особенностей контактирующих тел осуществлена разработка методики уточнения результатов расчета путем построения уточненной математической модели области контакта, содержащей фрагменты тел, позволяющей упростить расчет и повысить точность вычислений. В заключении главы проведен анализ разработанных методов и сделаны выводы по использованию последних для решения задачи контакта массивного тела и оболочки.

В третьей главе на основании разработанных методов осуществлено численное исследование контакта массивного тела и оболочки при варьировании

12 геометрии и толщины стенки последней. Разработаны объемные конечноэле-ментные модели контактирующих тел. Дается решение нормальной контактной задачи для различных конфигурационных моделей оболочки. Установлены соотношения геометрических размеров тел, при которых задача достаточно точно описывается решением Герца. Сделаны практические выводы об области применения теории Герца.

Четвертая глава содержит результаты физического экспериментального исследования контакта массивного тела, ограниченного плоскостью и сферической оболочки с варьированием толщины ее стенки. Описаны методика проведения эксперимента, устройства и приспособления. Осуществлен численный эксперимент по результатам физического. Определены оптимальные размеры выделяемой локальной расчетной области, содержащей пятно контакта и используемой для последующего уточняющего расчета. Проведено сопоставление результатов численного и физического экспериментов. Сделаны выводы о достоверности результатов численных экспериментов и разработанной методики в целом.

Пятая глава посвящена решению конкретной прикладной контактной задачи для роликового катка и цилиндрической направляющей конвейера с подвесной лентой [41,68]. Проведено полное исследование НДС в роликовой опоре: в зоне пятна контакта, по контуру поперечного сечения и толщине трубы. Подобрана минимальная толщина трубы, исходя из условия равнопрочного состояния по толщине трубчатой направляющей. Приведены расчетные схемы роликов различного конструктивного исполнения. Осуществлено решение нормальной контактной задачи и полный расчет по МКЭ для каждой конфигурации ролика. Проведен сравнительный анализ НДС роликовых опор в зоне контакта. На основании полученных результатов даны рекомендации по выбору конфигурации ролика инженерно-производственному центру «Конвейер» - заказчику проекта.

В заключении диссертации приведена общая характеристика работы и сделаны основные выводы по полученным результатам.

13

Структура и объем диссертации.

Диссертационная работа включает введение, пять глав, заключение, список литературы из 139 наименований и приложения. Работа изложена на 149 страницах машинописного текста основной части, содержит 53 рисунка и 9 таблиц.

5.6. Общие выводы и рекомендации

Согласно проведенному исследованию НДС роликовой опоры, наибольшего значения все компоненты напряжений достигают в области пятна контакта. Поэтому дополнительно проведен подробный анализ зоны контакта. Проанализировано НДС для различных нагрузок на ролик и толщин стенки трубы, подобрана минимальная толщина стенки трубы из условия равнопрочного состояния в ней. Анализируя все представленные результаты, можно сделать вывод о достаточно высоких значениях контактных напряжений порядка 1500 МПа, что соизмеримо с напряжениями, возникающими при контакте рельса и колеса железнодорожного транспорта. Высокие сжимающие напряжения в зоне контакта вызывают износ контактирующих поверхностей. Однако, как уже подчеркивалось, особые опасения вызывают повышенные растягивающие напряжения на внутренней поверхности трубчатой направляющей достигающие порядка 250 МПа. Все сказанное говорит о том, что НДС роликовой опоры носит достаточно сложный характер, требующий индивидуального подхода к проблеме. Кроме того, рассмотрен вопрос выбора оптимальной геометрической конфигурации ролика. В соответствии с рассмотренными характеристиками наиболее благоприятным вариантом с точки зрения контактной прочности по большинству параметров является использование ролика с торообразной поверхностью контактирования. Значение максимальных контактных давлений в этом случае в два раза меньше соответствующего значения давления для цилиндрического ролика. Конический ролик занимает промежуточное значение. Самым неблагоприятным вариантом следует признать цилиндрический ролик - наибольшее значение контактных давлений. Однако, при применении торообразного ролика, следует обратить внимание на повышенные значения растягивающих напряжений на внутренней поверхности трубы, превосходящие соответствующие значения напряжений для остальных конфигураций ролика.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

В процессе выполнения комплекса численных и экспериментальных исследований в настоящей диссертационной работе получены следующие результаты:

1. Выполнен системный анализ существующих отечественных и зарубежных подходов, методов и алгоритмов решения контактных задач, который показал актуальность разработки новых методов и алгоритмов, а также их программной реализации в виде единого расчетного комплекса.

2. Разработана методика решения нормальной контактной задачи с использованием дальнейшего развития метода сил, интегрированного с МКЭ, позволяющая исследовать контакт тел произвольной геометрии и податливости.

3. Разработан алгоритм оперативного построения объемных конечноэле-ментных схем контактирующих тел, адаптированных к решению контактной задачи с использованием разработанной методики. Определены параметры расчетных схем, обеспечивающих приемлемую точность решения. Рассмотрены вопросы построения оптимальной схемы конструкции.

4. В рамках разработанного алгоритма решения нормальной контактной задачи реализована процедура многоэтапного уточнения результатов расчета, позволяющая значительно ускорить процесс вычислений за счет использования простых конечноэлементных схем на всех его этапах. Благодаря этому, значительно упрощается алгоритм построения этих схем, не требующий больших сгущений конечноэлементной сетки в области контакта.

5. На основе разработанных моделей, методов и алгоритмов реализован автоматизированный программный комплекс «FEMS», позволяющий осуществлять серийные модельные исследования контакта.

134

6. Путем численного решения тестовых задач, имеющих аналитическое решение, выполнена проверка разработанных алгоритмов и программного обеспечения, показывающая их эффективность и достоверность получаемых результатов.

7. С использованием разработанного программного комплекса проведены исследования контактирования массивного тела и оболочек различных геометрических форм. Установлены соотношения геометрических размеров, при которых контактная задача достаточно точно описывается аналитическим решением Герца.

8. Проведен физический эксперимент на моделях сферических оболочках с различной толщиной их стенок и массивного тела, ограниченного плоскостью, подтверждающий достоверность результатов, получаемых с использованием численных исследований по разработанной методике, и удовлетворительную их точность для практики.

9. С учетом разработанных алгоритмов и с помощью расчетного комплекса «FEMS» решена важная прикладная задача о контактировании ролика и трубчатой направляющей конвейера с подвесной лентой. Исследовано НДС в роликовой опоре в целом и в области, прилегающей к контактной зоне. По результатам проведенных исследований даны рекомендации, исходя из контактной прочности направляющей и опоры, которые научно обоснованы.

Таким образом, в настоящей диссертационной работе впервые разработаны методика, алгоритмы и программное обеспечение, позволяющие проводить эффективные численные исследования контакта массивного тела и оболочки. Использование разработанных средств позволяет сократить затраты на проведение новых исследований за счет использования математических моделей контактирующих тел.

Кроме того, впервые проведен анализ влияния толщины стенки оболочек различных геометрических форм на распределение контактных давлений.

135

Также впервые приведены результаты натурных экспериментальных исследований контакта массивного шара и сферической оболочки при варьировании толщины стенки последней.

Здесь же можно отметить, что впервые решена прикладная контактная задача для роликовой опоры подвесного ленточного конвейера, принципиальная новизна которого [41] предопределила практически полное отсутствие расчетных инженерных разработок по основным его узлам.

Наличие уточняющего расчета позволило производить детальное исследование области контакта без использования сложных конечноэлементных схем контактирующих тел.

Разработка новых методик и алгоритмов стала возможной благодаря комплексному использованию основных положений существующих методов: метода сил, МКЭ и методов математического и физического моделирования. Использование идеологии объектно-ориентированного программирования и методов матричной алгебры позволило реализовать эффективное самостоятельное программное обеспечение.

Разработанные численные приемы и методы проверены экспериментально. Выполненные исследования метрологически обеспечены и проводились на экспериментальной базе лаборатории кафедры «Прикладная механика» Брянского государственного технического университета. Экспериментальные установки опробованы и прошли испытания в рамках различных научных программ и успешно используются в учебном процессе. Все это обеспечило достоверность результатов экспериментальных исследований.

Можно отметить ряд основных моментов, которые обеспечили практическую ценность настоящей диссертационной работы:

1. Полученные автором решения задач контакта и разработанное им программное обеспечение позволили существенно сократить объем экспериментальных исследований или полностью их исключить, что дает возможность значительно снизить затраты ресурсов и времени в процессе исследований.

136

2. Выбор оптимальной конфигурации ролика и минимальной толщины стенки трубы, исходя из контактной прочности опоры, при решении прикладной контактной задачи позволяет сформулировать научно обоснованные рекомендации, полезные при проектировании роликовых узлов конвейера.

3. При исследовании контактирования массивного тела и оболочки в случае варьирования ее геометрии и толщины стенки получены практически важные зависимости, позволяющие при заданных значениях нагрузок и геометрических параметров оболочки принимать решение о возможности выполнения аналитического расчета.

4. Результаты натурных экспериментальных исследований контакта, проведенных в настоящей работе, представляют практический интерес при проектировании новых и модернизации известных устройств, элементы которых являются тонкостенными оболочками.

Кроме того, следует указать на возможность обобщений и дальнейшего развития методов и идей, предложенных в настоящей диссертации. В этой работе предложены методы решения нормальной контактной задачи, которая является первым необходимым этапом и представляет собой основу для последующих исследований контакта с учетом большего количества внешних силовых факторов и решения более сложных задач. Реализованная в работе методика решения контактной задачи с использованием основных положений метода сил, позволяет достаточно легко модифицировать разработанный алгоритм, учесть силы трения и произвести полный объем новых исследований. Для учета трения достаточно найденный вектор нормальных внедрений (см. п. 2.2) спроецировать на глобальные оси координат и методом сил найти неизвестные усилия, действующие вдоль соответствующих осей. Затем можно определить нормальные и касательные составляющие этих усилий и ввести ограничения с учетом действия кулоновского трения. Кроме того, указанные исследования можно провести в упруго - пластической постановке при незначительной модификации разрабо

137 тайного алгоритма и для проверки воспользоваться результатами экспериментальных исследований.

Ряд последующих решений можно посвятить оптимизации разработанного алгоритма с учетом использования суперэлементных расчетных схем контактирующих тел, упрощающих процедуру определения коэффициентов податливости системы канонических уравнений метода сил при использовании МКЭ, являющеюся наиболее длительной по сравнению с другими этапами расчета.

Таким образом, результаты настоящей диссертационной работы могут быть использованы для дальнейшего развития разработанной методики при решении более сложных задач.

138

1. Баженова И.Ю. Visual С++ 5.0. М.: Диалог-МИФИ, 1998. - 272 с.

2. Белицкий Я. Энциклопедия языка СИ: Пер. с пол. М.: Мир, 1992. - 686 с.

3. Беляев Н.М. Местные напряжения при сжатии упругих тел. // Инженерные сооружения и строительная механика. Л.:Путь, 1924. - С. 27-108.

4. Беляев Н.М. Применение теории Герца к подсчетам местных напряжений в точке соприкасания колеса и рельса. // Вестник инженеров. 1917. - т. III. -№12.-С. 281-282.

5. Беляев Н.М. Труды по теории упругости и пластичности. М.:Техн.-теор. Лит. - 1957.-632 с.

6. Бурцев А.А., Титарев Д.В. Использование расчетных схем с редуцированными узлами при измельчении конечноэлементных сеток. // Динамика и прочность транспортных машин. Брянск, 2000. - С. 44 - 50.

7. Вайндинер А.И. Некоторые вопросы приближения функции многих переменных и эффективные прямые методы решения задач теории упругости. // Упругость и неупругость. -М.: Изд-во МГУ, 1973. вып. 3.

8. Власенко Ю.Е., Кузьменко В.И., Фень Г.А. Контактная задача для упруго-пластического многослойного пакета с учетом отставания слоев // Механика твердого тела. 1978. - №5. - С.68-73.

9. Ворошко П.П. и др. К вопросу об автоматизации задания информации в методе конечных элементов. // Проблемы прочности. 1975. - №3. - С. 4246.

10. Вороненко Е.Я., Палий О.М., Сочинский С.В. Метод редуцированных элементов для расчета конструкций. -Л.: Судостроение, 1990. 224 с.

11. Галин Л.А. Контактные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1953.

12. Глаголев Н.И. Сопротивление перекатыванию цилиндрических тел.// ПММ. -T.IX. вып.4 - 1945.139

13. Грегори К. Использование Visual С++ 6. Специальное издание: Пер. с англ. М.:ВИЛЬЯМС, 1999. - 849 с.

14. ДеевВ.М., Нечепоренко Н.А. Однородные общие решения в статической задаче теории упругости. // Укр. матем. журнал. 1971. - 23. - №6. -С. 26-34.

15. Демкин Н.Б. Контактирование шероховатых поверхностей. М.: Наука. -1970.

16. Демкин Н.Б. Фактическая площадь касания твердых поверхностей. М.: Изд-во АН СССР, - 1962.

17. Джонсон K.JI. Контактные напряжения при качении: Пер. с англ. С.В. Пи-негин // Машиноведение, 1968 №5. - С. 118-124.

18. Джонсон K.JI. Механика контактного взаимодействия. М.: Мир, 1989. -509 с.

19. Диалоговая подсистема расчета конструкций с архивом суперэлементов (ДИАРАМА) / Алипов А.В., Гемерлинг Г.А., Кузнецов Б.Е., Купцин Ю.Л., .Медведев В.И. Сб. науч. Тр. / Госстрой СССР, ЦНИИпроект. 1983. -Вып. 5-С. 68-73.

20. Динник А.Н. Удар и сжатие упругих тел.// Известия Киевского политехнического института. 1909. - кн.4.

21. Ермоленко А.И. Построение разностного решения пространственной задачи теории упругости в перемещениях. // Тр. Конференции по численным методам решения задач теории упругости и пластичности. Новосибирск, 1969.

22. Зенкевич О. Метод конечных элементов в технике: Пер. с англ. М.: Мир, 1975.- 544 с.

23. Зенкевич О., Морган К. Конечные элементы и аппроксимация: Пер. с англ. /Под ред. Н.С. Бахвалова. -М.: Мир, 1986. 318 с.

24. Иванов В.П., Батраков А.С. Трехмерная компьютерная графика / Под ред. .Г.М.Полищука. М.: Радио и связь, 1995. - 224 с.140

25. Ковальский Б.С. Напряжения на участке местного сжатия при учете сил трения. // Известия АН СССР, 1942.

26. Ковальский Б.С. Расчет деталей на местное сжатие. Харьков: ХВКИУ, 1967.-222 с.

27. Левина З.М., Решетов Д.Н. Контактная жесткость машин. М.: Машиностроение, 1971.-264с.

28. Метод суперэлементов в расчетах инженерных сооружений. / В.А. Пост-нов, .С.А. Дмитриев, Б.К. Елтышев, А.А. Родионов; под ред. В.А. Постнова Л.: Судостроение, 1979. - 288 с.

29. Мешков А.В., Тихомиров Ю.В. Visual С++ и MFC. Программирование для Windows NT и Windows 95: В 3 т. СПб.: BHV - Санкт - Петербург, 1997. -Т. 1-3.

30. Милькова Н.И. Особенности дискретизации области при решении задач концентрации напряжений методом конечных элементов. // Машиностроение. 1979. - №2. - С.67-71.

31. Миткевич В.М., Окороков В.И. Автоматизация подготовки исходных данных при решении двумерных задач с применением треугольных конечных элементов. // Проблемы машиностроения. 1976. - №2. - С. 16-21.

32. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.:Наука, 1966.

33. Мусхелишвили Н.И. Решение основной смешанной задачи теории упругости для полуплоскости. ДАН, 1935 - т. 3. - №2.

34. Невмержицкая Г.В., Лилеев С.И., Сакало В.И. Программный комплекс расчета на ЭВМ объемных контактных задач. // Отчет по дог. 30/2-СМ. -Брянск, БИТМ. 1990.

35. Неклюдова Г.А. Напряженно-деформированное состояние бандажных колес с дисковыми и спицевыми центрами: Дис. . .канд. техн. наук. Брянск, 1990.- 150 с.

36. Новиков С.П. Программный комплекс «Студия метода конечных элементов» (FEMS) // Тез. докл. 54-й студ. науч. конф. Брянск, 1999. - С. 59.141

37. Новиков С.П., Ивченко В.Н., Подопригора Ю.А., Сакало В.И. Анализ напряженно-деформированного состояния в роликовой опоре ленточного конвейера // Динамика и прочность транспортных машин. Брянск, 2000. -С 79-86.

38. Новиков С.П., Ивченко В.Н., Подопригора Ю.А., Сакало В.И. Контакт массивного тела с цилиндрической оболочкой // Динамика и прочность транспортных машин. Брянск, 2000. - С. 72 - 78.

39. Новиков С.П., Ивченко В.Н., Подопригора Ю.А., Давыдов С.В. Сравнительный анализ напряженно-деформированного состояния роликов опоры для различных конструктивных вариантов ролика. // Динамика и прочность транспортных машин. Брянск, 2000. - С. 87 - 92.

40. Пакет для прикладных программ автоматизированного проектирования строительных и машиностроительных конструкций "ЛИРА". / Л.Г. Батрак, А.С. Городецкий, В.В. Домащенко, B.C. Карпиловский, Э.З. Криксунов / -Киев: НИИАСС, 1991.

41. Патент РФ № 1795952 Ленточный конвейер. / Подопригора Ю.А. -Заявлено 25.12.90; Опубл. в бюл. №6. 1993.

42. Пинегин С.В. Контактная прочность и сопротивление качению. М.: Машиностроение, 1969. - 243 с.

43. Пинегин С.В. О развитии теории контактных напряжений и деформаций в работах советских исследователей // Машиноведение, 1968. №5. -С. 125-130.

44. Подлеснов Ю.П. Применение метода конечных элементов к решению плоских прикладных контактных задач: Дис. . канд. техн. наук. Брянск; Коломна, 1981.- 189 с.

45. Пол И. Объектно-ориентированное программирование с использованием С++: Пер. с англ. К.: НИПФ "ДиаСофт Лтд.", 1995. - 480 с.

46. Помогаев Н.Л., Сакало В.И. Влияние параметров соединения шестерни с валом тягового электродвигателя на его напряженное состояние. Брянск: БИТМ, 1981. - 19с. - Деп. в ВИНИТИ, №848.142

47. Развитие теории контактных задач в СССР. М.: Наука. - 1976. - 492 с.

48. Роджерс Д. Алгоритмические основы машинной графики. М.: Мир, 1989.-512 с.

49. Розин JI.A. Основы метода конечных элементов в теории упругости. Л.: Изд-во ЛПИ, 1972.

50. Рыжов Э.В. Контактная жесткость деталей машин. М.: Машиностроение, 1966.

51. Рыжов Э.В., Сакало В.И., Подлеснов Ю.П. Решение плоских контактных задач с учетом трения релаксационным методом конечных элементов // Механика и физика контактного взаимодействия. Калинин, 1979. - С. 314.

52. С++Язык программирования.-М.: И.В.К.-СОФТ, 1991.-314 с.

53. Свириденок А.И., Чижик С.А., Петроковец М.И. Механика дискретного фрикционного контакта. Минск: «Наука i Тэхшка», 1990, 272 с.

54. Сакало В.И. Решение прикладных контактных задач подвижного состава железных дорог методом конечных элементов: Дис . д-ра техн. наук. -Брянск, БИТМ, 1986. 350 с.

55. Сакало В.И., Неклюдова Г.А. Решение осесимметричных контактных задач МКЭ с использованием релаксационной схемы деформирования // Машиноведение. 1985. - №3. - С. 81-84.

56. Сакало В.И., Ольшевский А.А., Шевченко К.В. Решение контактных задач качения для трехмерных упругих тел методом конечных элементов. // Динамика и прочность транспортных машин. Брянск, 2000. - С. 152 - 163.

57. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.-392 с.

58. Сенющенков М.А. Библиографический обзор и каталог на 450 статей и 11 книг из английских изданий в области конечно-элементного анализа за период 1981-1991 гг. Брянск: БГИТА, 1999. - 585с.

59. Скляров В.А. Язык С++ и объектно-ориентированное программирование. -Мн.:Выш. Шк., 1997. 478 с.143

60. Стренг Г., Фикс Дж. Теория метода конечных элементов. М.: Мир, 1977.

61. Тарасов И.А. Основы программирования в OpenGL. М.: Горячая линия. Телеком, 2000.- 188 с.

62. Тимошенко С.П., Гудьер Д. Теория упругости. М.: Наука, 1975. - 576 с.

63. Тихомиров Ю.В. Программирование трехмерной графики. СПб.: BHV -Санкт - Петербург, 1998. - 256 с.

64. Топп У., Форд У. Структуры данных в С++: Пер. с англ. М.:БИНОМ, 1999.-815 с.

65. Трехмерные задачи математической теории упругости. / Купрадзе В.Д., Ге-гелиа Т.Г., Башелейшвили М.О., Бурчуладзе Т.В. Т.: Изд-во Тбилисского ун-та, 1968.

66. Уманский С.Э. и др. Автоматическое подразделение произвольной двумерной области на конечные элементы // Проблемы прочности. 1977. -№6. - С. 89-92.

67. Уманский С.Э. Алгоритм и программа триангуляции двумерной области произвольной формы. // Проблемы прочности. 1978. - №6. - С. 83-87.

68. Устройство для загрузки ленточного конвейера. А. С. №628058 СССР / Подопригора Ю.А., Ивченко В.Н. Заявл. 23.05.77; опубл. в бюл. № 38. -1978 г.

69. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. М: Наука. - 1972. -544с.

70. Фролов А. В., Фролов Г. В. Microsoft Visual С++ и MFC. Программирование для Windows 95 и Windows NT. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1997. - 272 с.- (Библиотека системного программиста; Т.28)

71. Фролов А. В., Фролов Г. В. Microsoft Visual С++ и MFC. Программирование для Windows 95 и Windows NT. М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. - 288 с.- (Библиотека системного программиста; Т.24)

72. Холзнер С. VISUAF С++ 6: Учеб. курс. ПИТЕР: СПБ. и др., 1999. - 569 с.

73. Шабров Н. Н. Метод конечных элементов в расчетах деталей тепловых двигателей. Л.: Машиностроение, 1983. - 212 с.144

74. Шикин Е.В., Боресков А.В. Компьютерная графика. Динамика, реалистические изображения. -М.: ДИАЛОГ-МИФИ, 1996. 288 с.

75. Шикин Е.В., Боресков А.В., Зайцев А.А. Начала компьютерной графики. -М.:ДИАЛОГ-МИФИ, 1993. 138 с.

76. Шилдт Г. MFC: основы программирования: Пер. с англ. К.: Издательская группа BHV, 1997. - 560 с.

77. Штаерман И.Я. Контактная задача теории упругости. М.-Л.: ГИТТЛ, 1949.

78. Bai X., Zhoo X. Analysis of large deformation elastoplastic contact through finite gap elements. // Computers & Structures. 1988. - 30, №4. - P. 975-978.

79. Boussinesq J. Application des Potentiels a I'Etude de I'Equilibre et du Mouve-ment des Solides Elastiques. Paris, Gauthier-Villars, 1885. - P. 92.

80. Bryant M.D., Keer L.M. Rough contact beteen elastically and geometrically identical curved bodies. // J. Appl. Mech., 1982. V. 49. - P. 345-352.

81. Carter F.W. On the Action of Locomotive Driving Wheel. // Proc. Royal Society, 1926.-v.112.-P. 151.

82. Cerruti V. Accademia dei Lincei, Roma. Mem. fis. mat., 1882. - vol. 13. -P. 81.

83. Chan S.K., Tuba I.S. A finite element method for contact problems of solid bodies.-part 1. Theory and validation // International Journal of Mechanical Sciences. 1971. - 13. -P. 615-625.

84. Chartet A. Proprietes generales des contacts de roulement. // Comptes rend. Acad. Sci., 1947. 225. - P. 989.

85. Chen W.H., Yeh J.T. Finite element analysis of finite deformation contact problems with friction. // Computers $ Structures. 1988. - V.29, №3. - P. 423-436.

86. Cheng W.Q., Zhu F., Luo J.W. Computational finite element analyisis and optimal design for multibody contact system. Computer methods in applied mechanics and engineering, 71, 1988, pp.31-39.145

87. Cottaneo С. Sul Contactto di due corpi elastici ddistribuzione locale degli sforzi., I,II,III,Rendiconti della R. Academia nazionale del linzei, 1938, v.27,ser.6, sem. 1 ,№7, pp.342-348, №9, pp. 434-436, №10, pp. 474-478.

88. Cottaneo C. Sur contatto di due corpi elastici: distribuzione locale degli sforzi.-Rend ddell'Academia nazionale dei Lincei, 1938, 27, Ser.6, pp.342,434,474.

89. Dumas G., Baronet C.N. Elastoplastic indentation of a half-space by an infinitely long rigid circular cylinder. Int. J. Mech. Sci. V.13, 1971, pp. 519-530.

90. Duvaut G., Lions J.-L. Les Inequations en Mecanique et en Physique, Dunod, Paris. XVI, 1972.

91. Foeppl L. Die strange Losung die Rollende Reidung.-Munchen, 1947.

92. Francavilla A., Zienkieicz O.C. A note on numerical computation of elastic contact problems. Int. Journal for Num. Meth. In Engineering, V.9,1975,pp.913-924.

93. Frederiksson B. Finite element solution of surface nonlinearities in structural mechanics with special emphasis to contact and fracture mechanics problems. Computers $ Structures,V.6,1976, pp.281-290.

94. Fromm H. Berechnung des Schlupfes beim Rollen deformierbaren Scheiben.-ZAMM, 1927, 7.

95. Greenwood J. A., Tripp J.H. The elastic contact of rough spheres. Journal of Applied Mechanics, march, 1967, pp. 153-159.

96. Greenwood J.A., Williamson J.B.P. Contact of nominally flat surfaces. Proc. Roy. Soc., 1966, A295, pp. 300-319.

97. Gu R.J. Moving finite element analysis for two-dimensional Frictionless contact problems. Computers & Structures, 33, 1989, №2, pp. 543-549.

98. Haines .J., Ollerton E. Contact stress distributions on elliptical contact surfaces subjected to radial and tangential forces. Proc. Instn. Mech. Engrs,1963, V.177, №4, pp. 95-108.

99. Hamilton G.M., Goodman L.E. The stress field created by a circular sliding contact. Trans. ASME, ser.E, J. Appl. Mech., V.33, 1966, pp. 371-376.146

100. Hertz H. Gesammelte Werke. Bd.l, 1895, Leipzig, pp. 155-196.

101. Hetenyi M., Mcdonald P.H. Contact stresses under combined pressure and twist. Trans. ASME, ser.E, J. Appl. Mech., 1958, 25, pp. 396-401.

102. Johnson K.L. Tangential Tractions and micro-slip in rolling contact.-In: Rolling contact phenomena, ed. Bidell.- New Jork: Elsevier, 1962, pp. 6-25.

103. Johnson K.L. The effect of a tangential contact force upon the rolling motion of an elastic sphere on a plane, Trans. ASME, ser.E, J. Appl. Mech., 1958, 25, pp. 339-344.

104. Johnson K.L. The effect of spin upon the rolling motion of an elastic sphere on a plane, Trans. ASME, ser.E, J. Appl. Mech., 1958, 25, pp. 332-338.

105. Johnson K.L., Vermeulen P.J. Contact of nonspherical elastic bodies transmitting tangential forces, Trans. ASME, ser.E, J. Appl. Mech., 1964, 31, pp. 338340.

106. Joot J.W., Kwak B.M.Analysis and applications of elasto-plastic contact problems considering large deformation. Computers & Structures, V. 24, 1986, №6, pp.953-961.

107. Kalker J. J., Chudzikiewich A. Calculation of the evolution of the form of a railway wheel profile through wear // International Series of Numerical Mathematics, p.71-84 — Vol. 101, 1991.

108. Kalker J.J. A Fast Algorithm for the Simplified Theory of Rolling Contact. Vehicle system dynamics, 11,1982, pp. 1-13.

109. Kalker J.J. A strip theory for rolling contact with slip and spin. Proceedings Koninklijke Nederlandse Akademie van Wetenachappen, Amsterdam, B70, pp. 10-62.

110. Kalker J.J. Simplified theory of rolling contact. Delft Progress Report, 1973, 1, pp. 1-10.147

111. Kalker J.J. Survey of wheel-rail rolling contact theory. Vehicle system dynamics, 5, 1979, pp. 317-358.

112. Kalker J.J. Three-dimensional elastic bodies in rolling contact.-Dorrecht/Boston/London: Kluwer academic Publishers, 1990, 314p.

113. Kalker J.J. Variational Principles of Contact Elastostatics. J. Inst. Maths Applies, 20, 1977, pp. 199-219.

114. Kalker J.J., Piotrowski. Some New Results in Rolling Contact. Vehicle system dynamics, 18, 1989, pp. 223-242.

115. Kik W., Piotrowski J. A fast, approximate method to calculate normal load at contact between wheel an rail and creep forces during rolling. Proceedings of 2nd mini conf. Contact mechanics and wear of rail/heel system, 1996, pp. 52-61.

116. Klarbring A., Bjorkman G. A mathematical programming approach to contact problems with friction and varying contact surface. Computers $ Structures, vol.30, №5, 1988, pp. 1185-1198.

117. Knothe K., Theiler A. Normal and tangential contact problem with rough surfaces. Proceedings of 2nd mini conf. Contact mechanics and wear of rail/heel system, 1996, pp. 34-43.

118. Lee K. An efficient Solution method for frictional contact problems. Computers & Structures,V.32,1989,№ 1 ,pp. 1-11.

119. Lee G.B., Kwak B.M. Formulatuion and inplementation of beam contact problems under large displacement by a mathematical programming. // Computers $ Structures. 1989. - 31, №3. - P. 365-376.

120. Linder C., Brauchli H. Preiction of wheel wear. Proceedings of 2nd mini conf. Contact mechanics and wear of rail/heel system, 1996, pp. 215-223.

121. Liu C. Rolling contact with friction and non-Hertzian pressure distribution; Ph.D. Thesis, Department of mechanical engineering and applied mechanics, University of Pennsylvania.

122. Lubkin J.L. The Torsion of elastic spheres in contact. Trans. ASME, ser.E, J. Appl. Mech., 1951, 18, pp. 183-187.148

123. Luo J.W. Penalty finite element method for the elastic contact problem with uni-normal constraints, Modeling, Simulating $ Control, B.9,1987, pp.55-63.

124. Mehlhorn G., Kollegger J. Nonlinear contact problems A finite element approach implemented in ADINA. Computers & Structures, V.21, 1985, №1/2, pp. 69-80.

125. Mindlin R.D. Compliance of elastic boies in contact. Trans. ASME, ser.E, J. Appl. Mech., 1949, 16, pp. 259-268.

126. Oden J.T., Pires E.B. Numerical analysis of certain contact problems in elasticity with non-classical friction laws. Computers & Structures, V.16, 1983, pp. 481.

127. Pascoe S.K., Mottershead J.E. Two new finite element contact algorithms. Computers $ Structures, vol.32,№1, 1989, pp.137-144.

128. Paul В., Hashemi J. User's manual for program COUNTACT COUNTER-formal contACT stress problems; Technical report n.4, FRA/ORD-78/27, PB286097,NTIS, Springfield, VA, September, 1977.

129. Poon S.Y. An experimental study of the shear traction distribution in rolling with spin. Wear, 10, 1967, №1, pp. 61-69.

130. Poritsky H. Schenectady N.Y. Stresses and deflections of cylindrical Bodies in contact with application to contact of gears and locomotive wheels. Trans. ASME, ser.E, J. Appl. Mech., 1950, 17, pp. 191-201.

131. Rahman M.U., Rowlands R.E., Cook R.D.,Wilkinson T.L. An iterative procedure for finite-element stress analysis of frictional contact problems. Computers $ Structures, vol. 18,№6, 1984, pp.947-954.

132. Rothert H., Idelberger H., Jacobi W., Niemann L. On geometrically nonlinear contact problems with friction. Computer methods in applied mechanics and engineering, 51, 1985, pp. 139-155.