Напряженное состояние и макроскопические термоупругие свойства кусочно-однородных тел со сфероидальными поверхностями раздела тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

РГ s од

/ 6 ИЮДдВД

НАЛЬНА АКАДЕМ1Я НАУК УКРА1НИ 1НСТИТУТ МЕХАН1КИ ím. С.П.ТИМОШЕНКА

КУЩ ВОЛОДИМИР 1ВАНОВИЧ

УДК 539.3

НАПРУЖЕНИЙ СТАН ТА МАКРОСКОП1ЧН1 ТЕРМОПРУЖН1 ВЛАСТИВОСТ1 КУСКОВО-ОДНОР1ДНИХ TIJI 31 СФЕРОЩАЛЬНИМИ ПОВЕРХНЯМИ РОЗД1ЛУ

01.02.04 - мехашка деформ^вного твердого Tina

Автореферат дисертацп на здобутгя наукового ступеня доктора ф!зико-математичних наук

Дисертащею е рукопис.

Робота виконана в 1нституп надтвердих матер1ал1в iM. В.М. Бакуля HAH Украши

Науковий консультант - доктор фЬико-матемагичних наук, старший науковий сшвробгеник Головчан Володимир Терентшович, 1нституг надтвердих матер1ал1в HAH Украши, провщний науковий ствробтшк.

Офщшш опоненти: - доктор ф1зико-математичних наук,

професор Подшьчук ЮрШ Миколайович, 1нститут мехашки HAH Украши, зав. вщдтом;

- доктор ф13ико-математичних наук, старший науковий ствробтшк Галанов Борис Олександрович, 1нститут проблем матер1алознавства HAH Украши, головний науковий ствробтшк;

- доктор техтчних iayK, професор Назаренко Володимир Михайлович, Кшвський державний ушверситет харчових технолопй, професор кафедри.

Провщна установа: - Кшвський нацюнальний ушверситет

iM. Тараса Шевченка, кафедра теоретично!' i прикладно! мехашки.

Захист вщбудеться " ^" 1998 р. о годиш на

3aciaaHHi спещал1зованоТ вчено! ради Д 26.166.01 при 1нституп мехашки HAH Украши за адресою: 252057 Кшв, вул. Нестерова, 3

3 дисертащею можна ознайомитися у 6i&iioTeui 1нституту мехашки HAH Украши за адресою: 252057 Кшв, вул. Нестерова, 3

Автореферат розюланий" ^ " ^^ 1998 р.

Вчений секретар спещал1зовано! вчено! ради

доктор техтчних наук, професор 25^-»-— . Чернишенко I.C.

ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ

Актуальтсть теми. Проблема теоретичного дослщження ф^зико-мехашчних властивостей структур но-неод нор ¡днях матер1ал1в, запо-чаткована ще у минулому столхгп класиЧними poбofaми Максвела та Релея, в даний час е актуальною в зв'язку з бурхливим розвитком виробництва 1 застосування композитних матер1ал1в. Утвореш поеднанням р13норщних фаз, композита мають ушкальш фУзико-мехашчш та експлуатацшш характеристики 1 знаходять дедал1 ширше використання у р1зних галузях техшки. € ус! пщстави стверджувати, що розробка \ впровадження нових структурно-неоднорщних матер1ал1в е зараз одним з прюритетних напрямив науково-техшчного прогресу.

Створення композитного матер1алу е складною оптим1зацшною проблемою. За наявносп велико! юлькосп параметр1в, що впливають на його властивосп, вона не може бути розв'язана суто дослщним шляхом I вимагае розробки теоретичних метод1в дослщження та використання сучасно! обчислювально\' техшки. Овд зазначити, що створення композита з високим р1внем ф1зико-мехашчних та експлуатацшних якостей вимагае використання у якосп складових матер1ал1в, що значно вщр1зняються за своТми властивостями: типовим прикладом е надтверд! композицшш матер1али, що м1стять у якост! наповнювача кристали алмазу, куб1чного штриду бору, тугоплавга безкиснев1 сполуки, зв'язаш в одне цше з допомогою полшерно!, металевоУ або керам1ЧН01 матриц!. Характерною рисою високонаповнених суттево неодно-рщних композита е значна концентращя мжронапружень в фазах та на м1жфазних поверхнях, яга е результатом взаемодп включень I, по суп, визначають « макроскотчш властивосп та мщшсть. Як наслщок, \'х властивосп е структурно-чутливими, тобто залежать не тшьки вщ властивостей та об'емного вмюту фаз, але й вщ особливостей Ух мжроструктури. Застосовшсть того чи шшого теоретичного методу до прогнозування поведщки таких композита визначаеться, в першу чергу, його здаттстю врахувати вказат вище чинники.

Наведений у першому роздии короткий огляд теоретичних метсдов прогнозування термопружних властивостей дискретно-змщнених композипв матричного типу показуе, що Т1 з них, яга базуються на вар1ацшному пцдада, або на використанш "одно-часткових" моделей (проспр з одним включениям), не дозволяють належним чином врахувати структуру композиту та взаемодш фаз.

Як наслдаж, 1х застосовшсть обмежена композитами з малим об'емним вмютом дискретно'1 фази. Пор1вняльний анал1з показуе, що наибольший потенщал мають методи, яга поеднують використання так званих "багаточасткових" структурних моделей у форм! скшченно! чи нескшченно'! облает!, що мгстить певну кшыасть неоднорщностей, з1 строгим пщходом до анальзу сформульованих на них крайових задач мехашки композитов. Вони дозволяють врахувати як особливосп реально!' мжроструктури композиту, так г ефеюги взаемоди фаз (зокрема, викликану ними концентращю мжронапружень) 1 е, ймов!рно, найбшьш надшними, коли йде мова про високонаповнен! суттево неоднорщш композити. Разом з тим, вони вимагають використання бшьш складного математичного апарату.

По суп, основною проблемою при застосуванш даного пщходу е розв'язання задач механики, сформульованих для вказаних усклад-нених моделей, що в математичному плаш являють собою просторов! крайов! задач! для багатозв'язних областей. Слщ зазначити, що застосування до 1х анал!зу таких суто чисельних метод!в, як метод скшченних чи граничних елеменпв, з огляду на тривим!рн!сть задач!, складшсть облает! та граничних умов пов'язане з надзвичайно великим объемом обчислень. Щодо аналгеичних метод!в, то для просторових задач, на вщмшу вщ двовим!рних, в даний час не юнуе достатньо ун!версальних ефективних метсдав ис розв'язання.

Так, для композиту з! сферичного формою армуючо! фази одержат в роботах Г.Батчелора ! Дж.Грша, Д.Джеффр! та Х.Чена !

A.Акр!воса розв'язки задач для простору з двома сферичними включениями дозволили обчислити квадратичний член в!р!ального розкладу ефективних модул!в. Подальше уточнения цих результата можливе шляхом введения в розгляд бшьшо! кшькост! взаемодгочих частинок; ефективний метод розв'язання таких задач розвинуто

B.Т.Головчаном. Вш полягае у використанш принципу суперпозицп для побудови загального розв'язку в багатозв'язнш облает! та апарату векгорних розв'язив р!вняння Ламе. Все ж, при необхадносп врахування взаемоди значно!' кшькост! частинок об'ем обчислень стае занадто великим, тому доцшьним е перех!д до використання перюдичних структурних моделей.

Вщомий як метод регуляризаци, цей пщхщ базуеться на вибор! модельно"! перюдично!' струкгури композиту ! розгляд! на и структурнш ком!рц! вщповщних крайових задач. Вш розвинутий в

роботах 1.С.Бахвалова, А.Л.Бердичевського, Г.А.Вашна, О.М.Гузя, В.Т.Головчана, О.С. Космодалпанського, Д.Бергмана, Р.Мак-Федрана, С.Немат-Насера та шших. При дослщженш шаруватих та волокнистих композите даний метод широко використовуеться, складшсть його застосування до зернистих композитов полягае у необхщносп розв'язування троякоперюдичних тривим1рних задач i до даного часу була обмежена дише найпростшшми гратками однакових сферичних включень. Так, пружш властивост! композиту з куб!чною граткою жорстких включень обчислено С.Нунаном 1 Дж.Келлером, випадок пружних включень розглянуто А.Сангаш 1 В.Лю з використанням теоретичних результате Х.Хаипмото. Бшьш загальний I гнучкий математичний апарат, який базуеться на використанш двоякоперюдичних векторних розв'язив, розвинуто В.Т.Головчаном; це дало змогу розглянути у стропй постанови! широка коло задач мехашки композите з1 сферичними включениями.

Разом з тим, анаиз лггератури вказуе на практичну вщсутшсть робгг, що б використовували цей пщхщ стосовно класу композит матричного типу, армованих частниками сферо;дально1 форми, а також на брак вщповщних математичних результате, необхщних для його ефективно'1 чисельно'1 реашаци. По суп, единою повшстю дослщженою задачею даного класу е задача для пружного простору з одним сферощальним включениям, частинш розв'язки яко'1 одержано Е.Штернбергом, Дж.Ешелб!, М.Садовським, 1.А.Куншим I Е.Г.Сосшною та шшими; п загальний розв'язок одержано в роботах Ю.М.Подшьчука та А.Ф.УОптко. Наближений розв'язок задач! для простору з двома сферощальними включениями одержано З.Московдасом \ Т.Мура методом еквталешних включень Ешелб1, осесиметрична задача строго розв'язана В.Т.брофеенком.

Коло ж реальних структурно-неоднорщних матер1ал1в, що належать до вказаного класу, £ вельми широким: серед них композити, армоваш короткими волокнами, шаровидними чи дисковидними включениями, матер!али з порами та трпцинами, конструкцшш керамики та сплави, модифковаш шляхом фазових переходов та шли матер1али, в яких форма неоднорщностей близька до сфероидально'!. Проблема створення надшного методу прогнозу-вання IX м!кронапруженого стану та ефективних термопружних властивостей е вельми актуальною 1 до цього часу не розв'язана у повному обсязь

В данш робол запропоновано узагальнену перюдичну структур-ну модель композиту матричного типу. Й елементарна копирка е

паралелешпед, що мктить центри N довшьно розташованих 1 ор»ентованих включень сферощально'} форми (Рис. 7), увесь об"ем композиту одержуеться повторениям таких кoмipoк у трьох напрямках. Вибрана форма включень е досить загальною, 1 це дозволяе охопити широкий клас структурно-неоднорщних матер1а-л1в. В -рамках ще! модели природшм чином може бути враховано тага риси реальних композита, як наявшсть у дискретнш фаз! частинок р1зних poзмipiв, форми та властивостей, а також враховано особливост} '¿с просторового розташування.

Суттевою особливютю дано'} модел1 е те, що, попри свою загальшсть, вона збер1гае можливють постановки \ строгого пщходу. до розв'язання на нш крайових задач механики композштв, шо забезпечуе визначення як макроскотчних властивостей, так \ детального роз под¡лу та концентрацй напружень в фазах композиту. Останне е особливо важливим з точки зору прогнозування меж1 мщносп зернистих композита, значения яко!, на вщмшу вщ макроскотчних властивостей, визначаеться, в першу черту, не середшми напруженнями у фазах, а 1х максимальними значениями. Поеднання такоГ модел1 з ефекгивним методом и анализу дозволило б суттево пщвищити надшшсть прогнозування властивостей широко-го класу дискретно-змщнених композита матричного типу.

Метою роботы е розвиток строгого аналогичного методу розв'язання просторових крайових задач терри пружносп в багатозв'яз-них областях з1 сферощальними границями та його застосування до прогнозування напруженого стану та макроскотчних термопруж-них властивостей структурно-неоднорщних матер1ал1в матричного типу.

Наукова новизна та значу пасть одержаних у робот1 результата визначаеться такими положениями. В дисертацц розвинуто строгий аналггичний метод розв'язання крайових задач теори пружносп в багатозв'язних областях, обмежених сферощальними поверхнями, що базуеться на принцищ суперпозицп 1 використанш векторних частинних розв'язюв р1вняння Ламе у сферощальних координатах та теорем складаня для них для зведення крайово! задач1 до несын-ченно! системи лшшних алгебрагчних р1внянь нормального типу. Дано повне математичне обгрунтування методу. Розв'язано задач1 про напружений стан простору, твпростору та сфероща, що мкггять скшченну кшьюсть порожнин чи включень сферощально! форми або плоских кругових трццин. Одержано загальний вираз для

коефиценту штенсивност! напружень в вершин! трпцини, що взаемод!е з !ншими трвдинами, порами або включениями.

Запропоновано узагальнену перюдичну структурну модель композиту, що дозволяе врахувати основа! суттем риси мжро-структури, а саме в\пст, власти вост1, форму, гранулометричний склад, просторове розташування та оргентащю включень, наявшсть промЬкних фаз, пор та трщин в фазах 1 т.д. Розвинуто математичний апарат розв'язання перюдичних крайових задач, сформульованих для узагальнено!" структурно! модел^ зокрема побудовано системи зовшшшх та внутршшк двоякоперюдичних розв'язгав р1вняння Ламе, одержано Гх представления в р!зних координатних базисах. Розв'язано задач! про напружений стан простору, швпростору та шару, що мютить двоякоперюдичну гратку включень, а також задачу про макроскошчно однорщний напружений стан композитного простору. Запропоновано шдхщ до ощнки меж! мщност! крихкого композиту, що поеднуе згаданий розв'язок та статистичну теорш крихкого руйнування при багатоосному навантаженш. Одержано точш аналшгш! вирази для ефективних тензор1в провщност!, пружност! та терм!чного розширення зернистого композиту перюдично! структури.

Розвинутий метод розповсюджено на клас композита з трансверсально-1зотропними фазами, розв'язано задач! про макро-скотчно-однорщний тепловий та напружений стан такого композиту, знайдено вирази для тензор1В його ефективних термопружних характеристик.

Проведено значний об'ем обчислень, дослщжено вплив структурних параметр ¡в композиту на його напружений стан, макроскотчш властивосп та ймов1ршсть крихкого руйнування.

Достов\ршсть одержаних результата забезпечуються корект-шстю постановок задач та Ух адекватшстю ф1зичним продесам, яи розглядаються, строгим пщходом до IX розв'язання, повним математичним обгрунтуванням методу та його тестуванням на задачах з вщомим розв'язком. Для частинних випадив геометрп теоретичш результата та розв'язки задач зводяться до вщомих у лгтератур!, одержан! чисельш дан! узгоджуються з дослщними даними, одержаними !ншими авторами.

Практична цтшсть роботи полягае у тому, що

- розвинутий метод може бути застосований до розв'язання широкого класу крайових задач теорп пружност! для кусково-однорщних тш з! сферо']дальними поверхнями роздиту;

- створено програмш засоби, що рсал1зують чисельш алгоритми методу i дозволяють дослщити ряд характерних для суттево неоднорщних композит!в явищ (значка концентрац1я напружень, висока структурна чутливють макроскошчних властивостей, статистична природа крихкого руйнування), а, отже, можуть бути використаш при "конструюваннГ нових перспективних композит з полшшеними ф1зико-мехашчними характеристиками та експлуат-ащйними якостями;

- одержан! строп розв'язки ряду задач мехашки композитов можуть бути використаш у якост1 еталонних для оцшки точносп та меж застосовност1 наближених пщход1в до визначення напруженого стану та макроскошчних властивостей зернистих композитних MaTepianiB.

Апробащя роботы. Результати, викладеш в дисертацп, доповщались на 1-й М1жнароднш конференци по мехашщ (Прага, 1985); на 2-й Всесоюзнш конференци по мехашщ неоднорщних структур (JlbBie, 1987); на 1-й М1жнароднш конференци по композитам MICC-90 (Москва, 1990); на М1жнароднш конференци "Mechanics of Polymer Composites" (Прага, 1991); на 2-й МУжнароднш конференци по композитам MICC-94 (Москва, 1994); на 7-й М1жнародгай конференци "Mechanical properties of materials" (Гаага, 1995); на 6-му МЬкнародному CHMno3iyMi "Fracture mecanics of ceramics" (Кралсруе, 1995); на ceMiHapi вщцшу математичного моделювання та обчислювальноУ техшки IHM НАН УкраУни (19921995 pp.), на ceMiHapi вцздшу технологи виробництва твердих cruiaeiB i композицшних мaтepiaлiв IHM НАН Украши (1997 р.), на науковому ceMiHapi 1нституту надтвердих матер1ал1в НАН Украши (1997 р.), на ceMiHapi кафедри теоретично! та прикладно'У мехашки Нацюнального ушверститету iM. Т.Г.Шевченка (1997 р.), на науковому ceMiHapi 1нституту мехашки НАН УкраУни (1997, 1998 pp.).

Пуйджаш. По TeMi дисертацп опублжовано 40 po6iT, в автореферат наведено список 18 основних робгг.

Структура i об'ем дисертацп. Робота складеться ¡з вступу, семи роздшв, висновив та списку лператури з 289 найменувань. Мютить 71 рисунок, 37 таблиць, загальний об'ем роботи 347 стор.

Висловлюю глибоку i щиру подяку науковому консультанту, доктору ф!3.-мат. наук В.Т.Головчану за постшну увагу до роботи i цшш поради при ГУ написанш.

ЗМ1СТ

У встут обгрунтовано актуальшсть проблематики, сформульова-но мету дисертаци, п наукову новизну та практичну значуппсть, коротко викладено основт результати, одержан! в роботь

проблем!, проанал!зовано основн! пщходи до задач визначення напруженого стану та термопружних властивостей зернистих композите матричного типу, а такожч методи розв'язання просторових крайових задач термопружност! для багатозв'язних областей. На основ! проведеного анализу сформульовано мету та основн! задач! дослщження.

В другому роздш розвинуто математичн! основи методу розв'язання крайових задач теорп пружност! в багатозв'язних областях, обмежених сферо'щальними поверхнями. Суть методу полягае у використанш принципу суперпозищ'1, згщно якого загальний розв'язок для багатозв'язноУ облает! може бути представлено у вигляд! суперпозицп загальних розв'язюп для вщповщних однозв'язних областей, перетином яких е багатозв'язна область. В свою чергу, загальний розв'язок для однозв'язно! облает! шукаеться у вигляд! ряду по систем! векторних частинних розв'язив р!вняння Ламе. Для виконання граничних умов на поверхнях, що обмежують багатозв'язну область, використовуються формули перетворення частинних розв'язив при перенос! початку системи координат (теореми складання). В результат! вихщна крайова задача зводиться до нескшченно!' системи л!н!йних алгебра!чних р!внянь вцшосно невщомих коефодентсв ряду, яким представлено вектор перемщень.

Стосовно областей, обмежених сферичними поверхнями, вказаний пщхщ розвинуто В.Т.Головчаном; вщповщна теор!я для бшьш загально! сферощально! форми граничних поверхонь побудована як йога пряме узагальнення. Так, повна ! лшшно незалежна система векторних частинних розв'язив р!вняння Ламе -

(О ('), ,,

внутр!шн1х, або регулярних в =в (г,а):

8,х=е«Л-Ге2/,-1 + ез/,-Г

(2.1)

та зовншнЬс, або сингулярних :

^ = е, - е2 +ез ^+1;

^ -мг+^Г' + М'-^' + еэ^]; <2'2)

5 £

е2{(^+¡у) о, - [&>)2 -1] о2 # •- о- * - ш - к:;}+

е3[г03 F;-1-(^o)2Dз К" К-,];

одержано як пщмножину попередньо побудовано1 повно! системи розв'язив векторного б1гармошчного р1вняння. В (2.1), (2.2) прийнято тага позначення комплексних декартових базисних вектор!в та вщповщних хм диференщйних оператор1в:

е1 = (е* + гЧ)/2- е2 = —/еу)/2, е3 = ег;

(2.3)

В1 = {д/дх-1д/ду), 02=01 = (д I дх + 1д / д у) , Ъз = д/д1-

В (2.1), (2.2) fst та ^ е частинш розв'язки скалярного р^внян-ня Лапласа в сферощальних координатах (§, ц, <р) визначених- як

х + 1у = с1%чехр(1(р), 1 = с1Е,т)-, (|2=£2-1, т72 = 1-Т72) (2.4) що мають вигляд

Х^ТЪФ) - Р^фехрОф) - скалярш сферичш гармошки, Р\ та О,, -приеднаш функцн Лежандра першого та другого роду вщповщно.

Вказаш частинш розс'язки, як 1 уел наступи! результата, записано у единш форм1 для координат як витягнутого, так I стиснутого сфероУда, при переход! сфероУдальноУ системи в сферичну (с/—>0) розв'язки (2.1), (2.2) переходять в розв'язки р1вняння Ламе у сферичному базиа, одержан! розкладом загального розв'язку по систем! векторних сферичних гармошк. Проведено пор!вняння з аналог!чними результатами, одержаними в роботах Ю.М.Подшьчука, А.Ф.Ултсо, В.Т.врофеенка та О.Г.Нжолаева. Детально дослщжено властивост! частинних розв'язив, встановлено диференцшш стввщношення м!ж ними, обчислено в!дпов!дн! Ум тензори деформацш та напружень.

Встановлено формули перерозкладу (теореми додавання) частинних розв'языв р!внянь Лапласа, Гельмгольця та Ламе, справедлив! при довшьному ортогональному перетворенш координат. Так, для частинних розв'язюв (2.1), (2.2) при перенос! початку системи координат формули перерозкладу мають вигляд

>1 к=0 1~~к

X t!лfJ\^d1,d2)s(li\r2,</2); (2.6)

У=1 *=0 1=-к

^(г,. X X у'^гД^^г^) ;

;=1 к=г Ы-к

/ = 1,2,3; г = 0,1, 2,..., ;

при поворот! системи координат вщносно нерухомого центру -

Ссг,, ¿,)=Х £ ± d2)S^(т2, Ог) ; (2.7)

у=1 к=> 1=-к

У=1 к=0 1~~к

явн! вирази коефвденпв розклад!в не наводяться з огляду на Ух громпдюсть. Ц! стввщношення для частинних випадгав геометра узгоджуються з наведеними в роботах б.ОЛванова, В.Т.брофеенка, В.С.Проценка та О.Г.Нжолаева. Дослщжено область та швидгасть збЬкносп розклад!в (2.6), (2.7) та запропоновано споаб ефективного

(2.9)

обчислення IX коефвденга. Одержано представления зовшшнк частинних розв'язюв подвшними ¡нтеградами Фур'е

8(>,<0=(+1Г+м | (г) ЛаЛ? (2.8)

де

(1)± ТТ(2)± _Ух(еЗ Есф) „(3)± т-А ч.

Но0 " (±5) ' Иа/? " (±5) ' На/3 +

+4(1 -у)е3 Е1р}, Е1р=схр[±5г + Цах + Ду)], ё2 = а2 + /?2;

- частинш розв'язки р1вняння Ламе для твпростору, розклади останнк в ряд по внутршшм частинним розв'язкам

Н(^(г)=Х £ I (ИГ^^^М), 1 = 1,2,3; (2.10)

7=1 1=0 *=-/

а також ряд допом1жних результата, необхщних у подальшому викладь

У третьому роздш на баз1 . лерелгчених вище математичних результата вперше в стропй постановщ розв'язано задач1 для простору, твпростору та сфероЗща,. що мютять > синченну кшьисть порожнин чи вкдючень сферощально! форми.. Розглянемо коротко першу з них., Припускаеться, що напружений стан неоднородного простору визначаеться задании на несюнченносп ; постшним тензором деформацш Ё = ^Еу } або напружень ¡3 = } = С- ■ Ё, граничш умови на поверхнях роздшу

[и(0)-иЧ (9) =0; [т, (и(0))-т£ („<•>)] , =0; I- к,^ I М / (3л)

<7 = 1, 2,...,/V; _ .

вщповщають повному механичному контакту. фаз. В (3,1) N -кшьюсть включень, , т]л г <р?) - локальш сферощальш координата, зв'язаш з -ою неоднорщшстю.

Вектор перемвдень и(9) е обмеженим в д-к однозв'язнш пщобласп (включенш), а, отже, ;може бути: розкладений в ряд по внутрпцшм частинним розв'язкам р1вняння Ламе

и(ч\гч,с1ч) = ± £ ± ^"¿ЧЧ). (3.2)

1=1 (=0

Розв'язок в багатозв'язшй облает! (матриц!), зпдно принципу суперпозицп, представлено у вигляд1 суми розв'язку для однорщного простору при заданому навантаженш та збурень, викликаних наявшстю неоднорщностей:

и(0).Ё-г, + £ и(9). (3.3)

<Н

Збурення згасае на несюнченност! [ тому його представления рядом мютить лише зовшшш розв'язки:

I £ А'^ЧЧ) (3-4)

1=1 /=0 5—— /

В (3.2) та (3.4) Л?('к<7>, Ц(.|к<?) - коефщенти, що пщлягають визначенню.

Виб1р розв'язку у вигляд1 (3.3) забезпечуе виконання умов на нескшченность Перетворення вектора перемщень у матриц! (3.3) з використанням теорем складання (2.6), (2.7) до п-то локального сферощального базису ! його подстановка разом з (3.2) в умови (3.1) дае систему векторних функцюнальних р1вностей, \'х декомпозиц1я приводить до неск1Нченно1 системи лшшних алгебра!'чних р1внянь:

иС^(у0) • + им'п)(и0)-^п) = им<п)(у„) ;

« ;

ТС<п)(у0)" А<"> +ТМ;л)(у0)-Ч^ = соп ТМ<п)К) • 1><л); (3.5)

п = 1, 2,.'.., Ы; 7 = 1,2,... ;

де й)„ =/г„//10; Цп,Уп - модуль зсуву та коефкцент Пуассона материалу п-\ фази. Дослщжено власти воет! коефпйенпв "матриц! системи та доведено й належнють до тсласу систем з нормальним визначником, чим обгрунтовано застосування до ц розв'язання методу редукцп.

Здшснено програмну реал!зацш методу, дослщжено його збЪкшсть, вивчено залежшеть коефвденту концентрацп напружень, зумовленого < взаемод!ею включень, вщ способу навантаження, форми, властивостей, взаемного розташування та ор1ентацп включень.' Геометр1Ю- найпростшю1' модельноТ задач! представлено на Рис. 1, крив! на Рис. 2 ¡люструють розподш напруження <т(г0) уздовж меридиану = , р, = 0 в задач! про всестороннш розтяг

■^и = ^22 = ^зз = 1 простору з двома однаковими порожнинами (/11 = \1г~ 0 ). Параметр форми е = 1г/1х =2.0, де 1Х, 1г - твоа

1

\з

__1_

Г

А/ (

Ф,

45 Рис. 2.

90 135

(0)/

1В0

Рис. 1. Геометрш модельно! задач! Рис. 2. с^ (Ф^

сфероща; пунктирна крива 1 вщповщае значению Хп = (просир з одшею порожниною), крива 2 -Х12 = 251х, крива 3 - Хи = 2А1х. 3 рисунка видно, що наявшсть розташовано! поблизу порожнини 2 веде до росту ст(г0) в окол1 точки Ф, =0 по м1р1 зближення порожнин (крив1 2, 3), тод1 як поле напружень на протилежнш сторош сфероща залишаеться практично таким же, як I для одше'1 пори (крива 1).

Ф,

45 90 135 180 Рис. 3. (ТГ(Ф,)

\ъ

\ -3 \

\ N V

\ 4 ......

■ \ </ \

\\ ■//

» 1 Л-

45 90 135 180

г(0>/

Рис. 4. СТГ^)

Рис. 3. показуе вгагав на напружений стан включения розташовано! поблизу порожнини, крив1 на Рис. 4 шострують залежшсть розподшу напружень схг на екватор1 першоТ пори вщ взаемноТ ор!ентацп сферодав при одноосному розтяз1 =1. Точкова крива 1 на Рис. 4 вщповщае значению Х12 =пунктирш лшп 2 та 3 -значению Хи=251х, суцшьш крив1 4 та 5 - значению Хп = 2.11х. Крив1 2 та 4 представляють випадок ствосних витягнутих (£ = 2.0) сферодав, крив1 3 та 5 - випадок перехресно розташованих сферодав. Деяга результата систематичного дослщження впливу вщсташ М1ж однаково ор1ентованими сферощальними включениями (Рис. 1) на концентрацда напружень в 1х око;п наведено в Таблищ 1. Так, для Хи=211х максимальне значения ах при одноосному розтяз1 вздовж ос1 Ох больше н1ж у п'ять раз1в перевищуе аналопчне значения для одного включения.

Таблиця 1. Залежшсть шахсг, вщ вщсташ м1ж включениями (д, = ц2 -100) при одноосному розтяз1 5П = 1.

Хппх £ = 05 £ = 1.0 £- 2.0

Ф, =0 Ф, = к Ф, =0 Ф, = л Ф, = 0 Ф, = к

00 2.52 2.52 2.01 2.01 1,64 1,64

3.0 3.17 2.63 2.70 2.12 2,52 1,77

2.5 4.35 2.71 3.96 2.20 3,70 1,83

2.3 5.98 2.77 5.57 2.25 5,05 1,87

2.1 13.07 2.96 11.6 2.38 9,38 1,98

Як частинний випадок одержаного розв'язку, розглянуто задачу про взаемодш плоских кругових трпдин, що моделюються нескшченно тонкою сплюснуто-сферощальною порою, з шшими трвдинами, порами та включениями. Одержаний загальний вираз коефиценту штенсивност1 напружень (К1Н) в вершиш тродини мае вигляд ряду

1 — >Т I 7Т °° ' —

(3.6)

д(1 хр)

+-

/+1

+ +

4(1-V)

,*(2г-1)

•1 + 2у,

Дослщжено вплив на амшптуду та розподш К1Н по периметру трщини шших структурних неоднорщностей.

1.0

0.8-

0.6

0.4 -

1.8

1.6

1.4

1.2 -

Ф

0.0

0.5

1.0

1.5

1.0

Ф

0.0

0.5

1.0

1.5

Рис. 5. Змша К! бшя жорсткого Рис. 6. Змша К, бшя порожнини включеня постшного об'ему постшного об'ему

Крив1 1 - 3 на Рис. 5 та 6 показують змшу К,(<р)/К~ бшя жорсткого (= 100уи0) включения та пори постшного об'ему: крива 1 вщповщае параметру форми е2 = 0.5; крива 2 - е2 = 1.0; крива 3 -е2 = 1.5. Обчислення виконано для Д / = 0.05, де Д - вщстань мок вершиною трвдини 1 поверхнею сфероУда. 3 рисунка видно, що високомодульне включения значно знижуе К1Н \ тим самим стримуе разповсюдження трщини. Обчислення показують також, що змщнюючий ефект витягнутих включень вищий, ¿¡¡ж стиснутих, що узгоджуеться з дослщнимй данимй. Навпаки, наявшсть порожнини в окол1 вершини трвдини спричиняе суттеве пщвищення К1Н (Рис. 6), а, отже, 1 ризик руйнування. Дослщжено також залежшсть К1Н вад вщношення розм1р1в тршдани та включения чи пори, для задач1 про дв! однаков1 компланарш тродини одержан! результати узгоджуються з вщомими в л1тературк В останньому параграф! роздшу дано оцшку чиселыюТ ефективност! методу та вказано на можливють й подальшого пщвищення.

У четвертому розлш викладено математичний апарат двоякоперюдичиих частинних розв'язюв р!внянь Лапласа та Ламе, що узагальнюе на випадок сферощальних координат теор!ю, розви-нуту В.Т.Головчаком. Так, внуГршш розв'язкй мають вигляд (2.9):

г(0±

Н' (<>±_ ттЧ/: тп АТ-а..

сст = 2лт/а, рп=2 лп(Ь;

(4.1)

де а { Ь - перюди уздовж осей Ох та Оу вщповщно. Зовшшш розв'язкй

S;;'W)= Ё s^ir-paex-qbey,d) (4.2)

мають двоякоперюдичну систему особливостей i обмежеш на нескшченност1. Дослщжено властивосп цих функцш, одержано i'x представления у декартовому та локальному сфероидальному базисах. Для функцш (4.2) представления подвшним рядом Фур'е мае вигляд

S™(T,d)=WM Si ^ V)H^(r); ^+Re(d); (4.3)

т,п

i'x вираз в сферощальних координатах випливае з теорем складання (2.6):

X Г,Г(4.4)

j=l k=0 1=-к

коефоденти розкладу = X ''^.ы J)(Rp9> d,d) е подвшш

р,ч

суми. Дослщжено i'x зб1жшсть та знайдено cnoci6 i'x ефективного сумування. Вираз функцш (4.1) в координатах сфероща дае формула (2.10).

У стропй постановщ розв'язано задачi про напружений стан простору, швпростору та шару, що мктять двоя копергадичну систему сферощальних порожнин або включень з центрами у площиш Так, для першо! з задач при заданих на

нескшченносп постшних навацтаженнях вектор перемицень в o6'cMi матричного материалу шукаемо у виппвд суму лшшноТ та перюдично! складових:

u(0) = u0+u,, u(0) = Ё-r , u,(r-aei)=u,(r-iev)=u1(r). (4.5)

причому тензор напружень Т(и,)-»0 при ||г||—Цим умовам вщповщае Bn6ip и, у вигляш ряду

«1 = 1 I X ¿MV.rf). (4.6)

;=1 /=о s=-i

вектор перемицень в об'ем1 включения мае вигляд (3.2). За наявносп плоско1 границ! z—const твпростору чи шару вираз и<0) додатково м1стить також розв'язки (4.1):

u(0) = u0 + u1 + u2, u2 = t I [сГН!:Г(г)+еН^(г)]. (4.7)

i=l т,п

Граничш умови на поверхнях задовшьняються шляхом

представления (4.7) (з урахуванням (4.3)) рядом Фур'е та належним

вибором коефщ1ент1В . Виконання контактних умов матриц! та включень з використанням формул (4.4) та (2.10) дае несюнчену алгебршчну систему р1внянь, коефщхентами матрищ якох е подвшш суми. Проведено анал1з зб1жносп та запропоновано споаб 1х рацюнального обчислення; одержано асимптотичш оцшки цих сум та доведено нормальгасть визначника несганченноУ системи. Наведено чисельш результати, що ииострують вплив на розподш та концентращю напружень на поверхш видшено! частинки решти включень, а також вшьно'х чи навантаженох поверхш твпростору чи шару.

П'ятий роздщ приев'ячено дослхдженню макроскотчно-однорщного стану зернистого композиту з дискретною фазою у. форм1 сферощ1в. У якост1 геометричнох модел1 композиту використано узагальнену перюдичну структурну модель, хх елементарна ком1рка показана на Рис. 7. 3 огляду на перюдичшсть структури вона ж слугуе у якост1 представницького об* ему композиту. Його напружений стан визначаеться заданиям тензора середнк деформацш Е чи напружень §, де

Е = = М<т) = -У| ЪМ. (5.1)

у V у у

За цих умов вектор перемицень е квазиперюдичною функщею

4

у-ТЭЛ X / <?

■ ^ 1

4 5

/ № 0-5

Ф

0

Рис. 7. Елементарна ком1рка узагальнено! перюдично! структурна модель композиту

30 60

90

Рис. 8. сг* (Ф): пор1Вняння з наближеним розв'язком Г.Тендона \ Г. Вента

координат:

и(г + «т) = Б- + и(г), = раех + дЬеу + «:ег (5.2)

Умова (5.2) виконуеться вибором и(0'= Е-г + ир(г) , де ир -

троякоперюдична функц1я. Для УУ побудови використовуеться апарат двоякоперюдичних функщй, викладений у попередньому роздш. Дшсно, розв'язок у вигляд1 (4.7), де

П. = Е I £ I (5.3)

п=1 ;=1 ;=0 5=-г

задовшьняе необхщним умовам перюдичносп по х та у, виконання умови перюдичнослт по г ир(г-сег)=и/)(г) досягаеться належним

вибором постшних в и2. Виконання умов на поверхнях

роздшу фаз цшком аналопчне описаному вище 1 приводить до несгаченноУ системи типу (3.5), елементами матрищ якоУ е подвшш суми. Доведено зб!жшсть розв'язку, показано його екв1валентшсть розв'язку, одержаному з використанням потршних ряд1в та вказано на переваги вибраного пщходу.

Проведено аналгз розподшу м1кроструктурних напружень в фазах композиту, обчислено коефщ1енти кондентраци напружень для ряду значень структурних параметр1в та властивостей фаз, наведено результата пор1вняння з результатами, одержаними наближеними методами та з асимптотичними розв'язками. Так, крив1 на Рис. 8 шюструють розподш напруження о*г0) в матриц! бшя поверхш контакту з включениям при одноосному розтяз1 {<733) = 1 композиту з параметрами /10 = 1.02ГТТа, = 30.2ГПа, у0 = 0.35, V, = 0.2. Сущльш крив1 - строгий розв'язок для двофазного композиту з пропорцшною (а/ 1Х=Ь/ 1у = с/ граткою включень,

пунктирш - наближений розв'язок Г.Тендона 1 Г.Венга; лшй 2 1 4 вщповщають об'емному вмютов1 включень / = 0.2, крив1 3 15/ = 0.4, для / = 0 (крива 1) пор1внюваш розв'язки сшвпадають. Як видно з рисунку, наближений метод прогнозуе зменшення ртня напружень з ростом об'емного вм1сту дискретно! фази, тод1 як строгий розв'язок вказуе на значний рют кондентраци напружень, що е результатом взаемодн твердих частинок наповнювача. Деяке уявлення про вплив параметров струкгури композиту на коефодент концентрацц напружень дае Таблиця 2.

Таблиця 2. Залежшсть коефщ!енту концентрацн напруження ктз = тахсГзз'/ < <733 > вщ параметр1В структура композиту з пропорщйною граткою включень

£ /

0 0.15 0.25 0.35 0.5

0 1.44 1.72 2.14 2.87 4.44

2.0 10 2.62 2.21 2.15 2.37 3.43

106 3.28 2.61 2.51 2.83 4.61

0 2.07 2.21 2.55 3.31 5.29

1.0 10 1.74 1.93 2.19 2.63 3.50

106 1.94 2.20 2.59 3.35 5.68

0 3.30 3.25 3.61 4.17 6.01

0.5 10 1.32 2.03 2.36 2.64 2.96

106 1.38 2.04 2.97 3.79 5.91

Одержано також строп розв'язки задач про напружений стан композиту, армованого включениями з оболонкою та про терм1чш напруження у такому композит!. Проведен! обчислення вказують, що наявшсть пром!жно! фази сутгевим чином змнпое характер розподш та амплпуду напружень в композит]. Рис. 9 вщображае розподш (/г0) по мЬкфазнш поверхш (<р = 0) при одноосному розтяз! {(Т3з) = 1 композиту, дискретною фазою якого е порожние« сфери Я2^г<Я1, (такий вид наповнювача широко використовуеться, зркрема, для зменшення ваги конструкцшних матер!ал!в). Крив! 1-4 пораховано для значень вщносно! товщини стшки сфери / = 1-/?2/#,=0.5; 0.1; 0.05 та 0.02 вщповщно. Як показують розрахунки, тшьки для дуже тонкостшних (/=0.02) сфер розподш напружень мало залежить вщ объемного вм!сту включень, ¡з збшыиенням I зростае як нер1вном!ртсть розподшу напружень, так ! гх залежн!сть вщ /. На Рис. 10 наведено результата розрахунку залишкових терм!чних напружень в композит!, матрицею (зв'язкою) якого е метал, а дисперсною фазою - монокристали алмазу з1 стеклопокриттям; / = 0.4. Лшп 1 вщповщають значению 1 = 0 (покритгя в!дсутне), лшй 2 - / = 0.1/?,. Суцшьн! лшп вщповщають <р-0, пунктирш - ср = п/4. Представлега даш свщчать, що навггь вщносно тонкий прошарок м!ж матрицею ! включениями дозволяе сутгево знизити концентрацпо терм!чних напружень ! робить 1х розподш бшьш р!вном!рним.

<*г0)

\1

/= 0.45

\

3 \Д

' 4

-

1.1.

Ф

о

30

60

90

0 30 60 90

Рис. 9. Напруження в композит!, Рис. 10. Терм1чш напруження в компо-армованому порожнистими зит! метал-алмаз з! склопокритгям

кульками

Для ощнки меж1 мащост! крихкого композиту*) аналггичний розв'язок поеднано з статистичною теор!ею крихкого руйнуваиня при багатоосному навантаженш, згщно якоУ ймов1ршсть руйнуваиня та середня мшшсть крихкого зразка визначаються формулами

Рг = 1 - ехр

\т

1шах

0 У (

Уей

С/ = М(<г,тах) =а0 (К У1 Г(1 + -). (5.4)

т

Де V

<1 я/2 л!2

2 I \ 1

пО.

о

\т

а

1гоах

втдйд(1(рйУ - ефекгивний об4 ем, т I

<т0 - параметри Ёейбула. В загальному випадку Z = 2(<тл,тп), де <Уп - нормальне, хп - дотичне напруженя. В припущенш, що ха-рактерний розм1р трицини е набагато мекшим у пор1вняш з розм1ром частинок дискретно! фази, вказайа теорш може бути застосована для оц1нкй мщносп елементарноУ структурно! ком^рки композиту. МЩшсть останНьо'У, з огляду на перюдичшсть структу-ри, може слугувати у якост! характеристики мщносп макрооб'ему (зразка) композиту. Ймов]ршсть руйнуваиня комфки враховуе рйзик руйнуваиня матрйШ, включейь та м1жфазноУ поверхш:

*) Щ результата одержано в сшвавторств! з д.ф.-м.н. Головчаном В.Т.

Рг = 1 - ехр

\ш

1шах

V °0

' 1тал

\ °о

\т

°0 У

V/

(5.5)

1 дозволяе передбачити найбшьш в1рогщну зону руйнування (матри-ця, включения чи М1жфазна поверхня), його ймов1ршсть та середне значения руйнуючого навантаження. Пор1вняння розрахункових значень середныл мщност1 з доел ¡дни ми даними Д.Хасельмана для ряду композита з\ скляною матрицею евщчить про IX добре узтодження. Так, на Рис. 11 крива 1 вщповщае значению /и=5, характерному для бшьшост! стекол, крива 2 - т—10, пунктирна л1шя - теоретична крива Хасельмана. Компонента композиту пдобраш таким чином, що у даному випадку терм1чш напруження практично вщеутш. Навпаки, для композиту, дан1 по якому наведено на Рис. 12, пружш властивост1 фаз близыа, зате за рахунок р1знищ у терм1чному розширення виникають значш залишков1 напруження. Крив1 1-3 вщповщають перепаду температури ЛТ = 0, -225 та -450 К (останне е найбшьш в1рогщним для скла). Як видно з графка, за врахування одночасно1 да силового та терм1чного навантаження теоретична крива 3 задовшьно узгоджуеться з дослщними даними.

г(/)/<Т ДО)

ст/(/)/стг(0)

я

0.8 -

0.0 0.1

т—

0.2

0.3 0.4 f

0.4

Рис.11. Крихка мщшеть композиту як Рис. 12. Вплив терм1чних напру-функцк объемного вмгсту включень жень на мщшеть композиту

Темою шостого роздшу е визначення макроскотчних, або ефективних, властивостей зернистих композите. Знаходження компонент тензор!в ефекгивно! провщносп, пружносп та терм1чного розширення грунтуеться на усередненш вщповщних локальних ф1зико-мехашчних пол1в по представницькому об4ему

композиту, у я ко сп якого слугуе об'ем елементарно! структурно! ком!рки. Одержан! вирази е точними для композита регулярно! структури, в них входять лише перш! невщом! вщповщних нескшченних систем р!внянь, значения яких визначаються шляхом розв'язання останн!х для деяких стандартних значень вектора правих частин. Так, тензор ефективно! провщносп визначаеться стввщношеннями

<Я>—А*(УГ), -М = (уг) + £ (6.1)

Ло п=1

де Т — розв'язок скалярно! гармошчно! задач!, до я ко! зводиться ряд ф1зичних явищ (електро-, тепло- ! масоперенос, д!електрична та магштна проникн!сть); тензор ефективно! пружност! -

(д) = С*--(ё) = С(0)'-{ё)+Х 0(л), (6.2)

п=1

де

ей"1 + 0$ + = + 4д0) /п ;

2<23(зя) -йи ~ = В/10(1 -у0)I ; (6.3)

0лГ-0£ -21Ч2Й' =16^0(1-У0)7л Л™"';

л (3)1 "»21

а(зп)-|'<й,=8м0(1-у0)7п43,(Л)-

= V-об"ем структурно! ком!рки, е<п)-

декартов1 орти локального базису, зв'язаного з п-м включениям. Аналопчш формули одержано також для ефекгивного тензора терм!чного розширення.

Проведено дослщження збвкносп розв'язку, його асимптотич-ний анал!з та пор!вняння з експериментальними даними, що вказують на можливклъ його застосування до прогнозування властивостей високонаповнених суттево неоднорщних композита. Вплив струкгурних параметр!в на макроскошчш властивост! композиту прошюстровано на приклад! скалярно! гармошчно! задач! (6.1), анал!з яко! вимагае меншого об'ему обчислень, залежшсть пружних модул!в (6.2), (6.3) вщ типу структури носить аналопчний характер. На Рис. 13 та 14 показано концентрацшну залежшсть пров!дност! Я*и/Я0 та А*33/А0 композиту перюдично!

структури, в якому параметри гратки узгоджено з формою частинок дисперсно! фази:

4 -

2 -

0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5

70.4

Рис. 13. ^(/У^. Рис. 14.

с I а = с / Ь = £. Розрахунки виконано для £ = 0.2, СТ = Я, / Я0 = 1000; крив1 1 та 2 вщповщають випадкам просто! та об'емоцентровано! ортогональних граток. Тут же для пор!вняння наведено результата розрахунку за формулами шших авторов: 3 - Ю.М.Буевича, 4-С.С.Школьського, 5 - С.Лю 1 С.Клма, 6 - Л.П.Хорошуна. Щкаво, що для Я'зз ус1 формули дають значения, близыа М1ж собою та до провщносп композиту з об'емоцентрованою граткою включень, тод1 як для просто! гратки точне значения Я*33 е суттево вищим;

Я*/Я,

а* / з

0.0 0.2 0.4 0.6 Рис. 15. Оцшка провщносп невпорядкованого композиту

т-

0.6

0.0 0.2 0.4 Рис. 16. Ощнка провщност1 кластеропод1бно! структури

6

навпаки, провщгасть у напрям! оа Ох,(^п) е вищою для об'емо-центровано! гратки. Наведен! результати свщчать, що провщщсть суттево неоднорщного композиту може змшюватись у широких межах в залежност1 вщ типу структури, а, отже, точшеть прогнозу-вання прямо залежить вщ того, наскшьки повно геометрична модель враховуе особливост! структури реального композиту.

В робот! показано можливост! узагальнено! перюдично! модел! щодо врахування параметр!в структури невпорядкованого композиту. Так, для структурно!' ком!рки (Рис. 7), що мштить .хоча б 10-15 сферичних включень,: можливо розташувати !х таким, чином, що емтрична функцщ рад!ального розподшу буде вщповщати закону Перкуса-Йев!ка, справедливому для багатьох стохастичних структур. Крива 1 на Рис. 15 дае залежность макроскошчно! провщност! такого композиту вщ об'емного вм!сту високопровщного наповню-вача. Для пор!вняння тут же наведено аналопчш залежност! для композита з. простою (ПК) та об'емоцентрованою (ОЦК) куб1чними гратками включень (крив! 2 га 3 вщповщно), результати розрахунку по формулам Л.П.Хорошуна, а також дослщш дан! по провщност! алмазокаучукових композиц!й. Як видно з рисунка, для /<0.4 крив! 1-3 практично сшвпадають м!ж собою ! добре узгоджуються з експериментальними даними; розб1жшсть зростае по мф! наблюкення . объемного вмюту дискретно! фази до максимально можливого для кожного типу.,структури (вщповщш значения , /тах =0.52, 0,62 та 0.68 позначено на рисунку вертикальними лш!ями). ,

Наведемо, нареит, ще один приклад, що шюструе вплив способу розташування частинок в матриц! на властивост! композиту. Розглядаеться . композит, структурна ком!рка якого мютить 16 однакових включень, розташованих в вузлах ОЦК гратки з / = 0.68 (майже щшьна упаковка). Наступна модиф!кац1я структури подягае в виб!рковш замш!, включень екв1валентним об'емом матричного, матер!алу.. Це призводить,,до зменшення об'емного вм!сту дискретно! фази, а також координащйного числа при збереженш середньо! вщетан! м!ж сусщтми частниками, що вщповдае ^ переходу вщ структури з ,р1вном!рним ¡по об'ему розподщом частинок до структури; кластерного типу. На Рис. 16 суцшьна.крива 1 вщповщае композиту з ОЦК граткою включень, пунктирн! крив! 2 та 3 апроксимують верхню та нижню меж1 ефек-тивно! провщност! Я*, одержан! шляхом чисельних експеримента. Наведен! результати, кр!м усього, вказують на потенцшш можливо-

ст1 пщвшцення характеристик зернистих композитних матер1атв шляхом цшеспрямованого формування надежно'! мжроструктури.

15

ю

/

0.1

0.3

0.5

Рис. 17. с;ззз(/)

0.1 0.3

рис. 18. с;т(л

0.5

На Рис. 17 та 18 представлено значения пружних модул1в С3333 та Сззи композиту з пропорцшною ортогональною граткою включень е = 0.2,/1, = 1000д0, у0=у,=03, обчислеш згщно (5.2), (5.3) (крива 1), а також по формулам В.МЛевша, С.Немат-Насера та Л.П.Хорошуна (крив! 2-4 в'щповщно). Крив! 1 та 3 вщповщають випадку детер-мшовано! перюдично! структури, крив1 2 та 4 -стохастично'1; як наел ¡док, результата вщр1зняються навиъ для малого об'емного вм1сту включень, з його зростанням розб1жшсть збшьшуеться. Зазначимо, що результата С.Немат-Насера одержан! наближеним анал1зом гратково! модел1 \ вщповщають утриманню в (2.5) лише р1внянь з 7=1; пор1вняння кривих 1 та 3 вказуе на необхщшеть врахування вищих гармошк.

В наведених в робот1 таблицях представлено значний об'ем розрахункових даних, що демонструють суттеву струкгурну залеж-шеть ефективних характеристик. Розглянуто також композита, що мютять включения р1зних розм1р1в та властивостей, а також покрит-тя на частниках дискретно! фази, встановлено 1х значний вплив на макроскошчш властивост1 композиту. При цьому належний виб1р параметр1в може привести до досить неспод1ваних результата. Так, для матер1алу з наповнювачем у вигляд1 порожнистих сфер анал1з р1внянь алгебратно! системи вказуе на наявшеть и трив1ального розв'язку. В цьому випадку композит е макроскошчно ¡зотропним, його властивосп тай ж як у матрищ 1 не залежать вщ об'емного

вмкту наповнювача. Це ¡люструють графжи на Рис. 19, де наведено залежшсть пружних модул1в к = (у С1Ш /к0 (крив1 1) та /л* = С1212 / (крив! 2) вщ товщини стшки сфери /?,//?. Пунктирш лши вщповщають / =0.2, суцшьш - / =0.4.

1.50

1.25

1.00

0,75-

0.50

1.0

10

1

20

т-30

Рис. 20. Пор1вняння з дослщними даними Дж.Хуанга 1 Л.Пбсона

0.7 0.8 0.9

Рис. 19. Залежшсть пружних модугпв композиту вщ товщини стшки м!кросфер

В1рогщно, що композита з таким вибором параметр1в матимуть мш1мальний р1вень напружень та максимальну однорщшсть властивостей в макрооб'ем1 композитного матер1алу.

На Рис. 20 наведено одержан! Дж.Хуангом 1 Л.Пбсоном дослщш (трикутники) та розрахунков! (пунктирна лш!я) дат щодо модуля Юнга композиту, який складаеться з пол1естрово1 матриц! та тонкостшних скляних м!кросфер. Матричний матер1ал, кр1м того, мае власну пористють, причому пори е сферичними I мають приблизно той же розм!р, що \ мнсросфери. Кружечки вщповщають розрахунку по (6.2), (6.3) з урахуванням наявност! в матриц! одночасно включень ! пор. Ц!, а також наведен! в робот! результати дослщження алмазопол!мерних композиц!й ¡люструють переваги використання узагальнено! структурно!' модел! над шшими способами розрахунку властивостей багатофазних композита. Як видно з рисунка, строгий пщхщ забезпечуе практично точне (в межах похибки дослщу) прогнозування властивостей композиту в усьому д1апазош объемного вмюту дисретно! фази, що свщчить про достовиршсть методу ! можливють його застосування до розрахунку властивостей реальних композита складно!" структури.

У сьомому роздш викладений метод розповсюджено на клас композипв з трансверсально-1зотропними фазами. При дьому застосовано пщхщ Ю. М. П одшьчука, що дозволяе значною м1рою використати результата, встановлеш вище для випадку гзотропного тша. Так, внутрцдш векторш частинш розв'язки р1внянь р1вноваги трансверсальночзотропного пружного тша в сферощальних координатах, видшеш з одержаного Ю.М.Подшьчуком загального розв'язку, в наших позначеннях мають вигляд

•л/У3

де л + ¡у = ехр(г<р/), г = = ¡г\),

у2 = —V, 1 у3 е коренями ршняння

С^у2 -[(С«)2 - СИС33 -(С13 + Си^у + СззС^ =0, а вирази для к! та ¿3 мають вигляд -— ---——•

13 44 33 ^ 44

Щ функцп сукупно з аналопчними зовшшшми розв'язками при V, * и3 утворюють повну та лшшно незалежну систему частинних

розв'язюв р1внянь р1вноваги (розгляд випадку кратних корешв цшком аналопчний викладеному Ю.М.Подшьчуком).

Для цих функцш виведено теореми складання та формули подвшного интегрального перетворення типу (2.6)-(2.8); побудовано вщповщш системи внутршшЬс та зовшшн1Х частинних векторних двоякоперюдичних розв'язюв р1внянь р^вноваги та знайдено к вирази в декартовому та локальному сфероидальному базисах. У стропи постанови! розв'язано задач1 визначення макроскошчно однородного теплового та напруженого стану зернистого композиту перюдично! структури, для випадку сферичних включень розв'язок одержано у припухценш довшьно! взаем но! ор^ентацп осей ашзотропи матер1алт фаз композиту.

1нтегруванням по об'ему структурно! ко\щжи одержаних розв'язюв знайдено точш формули для ефективних тензор1в провщност! та пружноеп композиту регулярно! структури. Наведено результати чисельного дослщження впливу структури композиту та ашзотропи фаз на ашзотропт його макроскошчно!' провщносп.

У Вшшовках сформульовано основн! положения ! висновки дисертацшно!" робота.

ОСНОВН1 РЕЗУЛЬТАТИ I ВИСНОВКИ

I. В дисертацшнш робот! вперше дослщжено в строгш постановщ задач! визначення напруженого стану та макроскошчних термопружних властивостей кусково-однорщних тш з1 сферощаль-ними поверхнями роздшу, включаючи

- розробку математичних основ методу розв'язання крайових задач теори пружност! в багатозв'язних областях, обмежених сфероТдальними поверхнями;

- постановку ! розв'язання ряду модельних крайових задач термопружносп для композ1тв з включениями сфероидально! форми;

- програмну реалгзац!ю методу, одержання чисельних результата, анал!з законом!рностей та мехатчних ефект1в.

II. Основн! результати роботи полягають у тому, що:

1. Розвинуто ефективний анал!тачний метод розв'язання крайових задач теори пружност! в багатозв'язних областях сферощальними границями, що базуеться на принцип! суперпозици та використанн! апарату векторних частинних розв'язйв р!внянь р!вноваги, вт. ч.:

а) побудовано повн! та лшшно незалежш системи векторних гармон!чних та бцармотчних функц!й, з яких видшено як п1дмно-жину векторн! частинт розв'язки р!вняння Ламе, що задовшьняють необхщним додатковим умовам та дослщжено '!х властивост!;

б) встановлено формули "!х перерозкладу (теореми складання), справедлив! при довшьному ортогональному перетворенн! координат, та подвшш штегральн! перетворення Фур'е зовн!шн!х частинних розв'язшв;

в) одержано системи внутршшх та зовн!шн!х двоякоперюдичних частинних розв'язив р!вняння Ламе та '!х вирази в декартових та локальних сферощальних координатах.

2. В стропй постанови! розв'язано задач! про напружений стан простору, швпростору та сфероща, що мютять скшченну кшыасть включень або порожнин у форм! сфероццв. При цьому

а) у кожному випадку в результат! точного виконання ус!х граничних умов вихщна крайова задача зведена до нескшченно! системи лшшних алгебра!чних р^внянь;

б) проведено повне математичне обгрунтування методу, зокрема дослщжено асимптотичш властивост! коеф!ц!ент!в алгебршчних систем та доведено !х належшсть до класу систем з нормальним визначником;

в) чисельно дослщжено розподш та концентращю напружеиь, зумовлених взаемод!ею включень, в залежносп вщ !х форми, властивостей та взаемного положения;

г) граничним переходом одержано розв'язок задач! про напружений стан неоднородного тша, що м!стить плоек! кругов! трйцини, та загальний вираз коефиденту концентраци напружень (К1Н), дослхджено його зм!ну при взаемодп тр!щини з включениями, порами та шшими тр!щинами.

3. Дослщжено напружений стан композиту перюдично'1 структури з включениями сферощальноТ форми, в т. ч.

а) запропоновано узагальнену перюдичну структурну модель, яка дозволяе врахувати основш структури! особливост! реального композиту, зокрема багатофазшеть, полщисперснють, пол!морф!зм та особливост! просторового розподшу частинок дискретно! фази;

б) строгий розв'язок задач! про макроскошчно-однорщний напружений стан композитного простору, швпростору та шару побудовано з використанням апарату двоякопер!одичних розв'язюв р!вняння Ламе, подано повне математичне обгрунтування методу;

в) розв'язано задачу про напружений стан композиту за наявносп покриття частинок дискретно! фази чи зон мЬкфазно! взаемодп при його термосиловому навантаженш;

г) проведено чисельний анал1з впливу параметр1в структури композиту на розподш м!кронапружень в фазах та на м!жфазних поверхнях;

д) запропоновано пщхщ до ощнки меж! м!цност! крихких композита, що поеднуе вказаний вище розв'язок та статистичну теор!ю крихко! мщносп (багатоосну теор!ю Вейбула), проведено його апробащю на вщомих досл!дних даних.

4. Одержано точн! вирази тензор!в ефективно! провщност!, пружност! та терм!чного розширення композиту узагальнено! пер!одично! структури, проведено систематичне дослщження впливу

структурних параметр1в на термопружш властивосп композиту та вказано на можлив! шляхи "ix пщвищення.

5. Розвинутий пщхщ розповсюджено на композита з трансвер-сально-13отропними фазами, зокрема розв'язано задан! визначення макроскошчно однородного напруженого стану такого композиту та його ефективних термопружних властивостей; у випадку включень сферично! форми розв'язок одержано без обмежень на взаемну ор1ентацда осей ашзотропа фаз.

III. Шляхом анашзу значного об'ему розрахункових даних вияв-лено HOBi мехашчш ефекта та ззконом1рност1:

а) збурення поля напружень на неоднорщносп (порожнит чи включеш), зумовлене наявшстю шшо! неоднорщностс, локал1зоване в частиш, найближчш до джерела збурення; на протилежнш його сторон! розподш напружень е близьким до такого для одиничного включения. Аналопчний характер мае розподш KIH по периметру кругово! трпцини;

б) в зонах Mix включениями мае Miene значна концентрация напружень, що залежить вщ вщеташ м1ж включениями, ix форми, властивостей, взаемно! opieHTauii та способу навантаження. Найбшьшою е концентращя напружень м}ж жорсткими включениями: так, для Хп=2\1х максимальне значения ах при одноосному розтяз1 цростору з двома включениями уздовж oci Ох бшьше шж у п'ять раз1в перевищуе аналопчце значения ах для одного включения (Х12=°°). Навпаки, вплив сусщньо! з включениям порожнини проявляеться у локальному зниженш р1вня напружень на ньому;

в) мае Miene значне (до 2-х pa3ie) зростання KIH для плоско! кругово! трщини пщ впливом щшо! трицини чи порожнини. Навпаки, високомодульне включения знижуе KIH, а, отже, i розвиток трвдини у напрямку включения; при цьому армуючий ефект витягнутого включения вищий Н1ж сплюснутого включения того ж об'ему. Вплив пор та включень на KIH зростае i3 збшьшенням !х розшрщ.

г) концентрацш напружень на включениях в композит з високо^одульним наповнювачем е немонотонною функцшк) !'х об'емного вм!сту: його збшьшення веде спочатку до зменщенця, а по™ (при />0.2) - до значного росту напружень в зонах Mix включен-нями. Цей ефект узгоджуеться з результатами дослщження мщносп та трвдиностшкосп зернистих композит, але не описуеться жодною з наближених Teopift;

д) наявшсть прошарку М1Ж матрицею та включениями суттевим чином змшюе як напружений стан, так 1 макроскотчш властивосп композиту. При цьому можливо вибрати комб1нацио його параметр1в таким чином, що принаймш деяю з пружних модул ¡в композиту будуть незалежними як вщ об'емного вмюту, так 1 в1д способу розташування включень;

е) ефективш власти воет! високомодульних композита е структурно-чутливими параметрами; так, для ¡зотропних композита перехщ вщ впорядковано! до кластерно! структури збшьшуе IX значения майже вдв1ч1 за постшного вмюту дискретноУ фази. Для регулярних структур навпъ при незначнш об'емнш дол! армуючо1 фази мае мюце суттева ашзотротя ефекгивних властивостей, так, для композиту з куб!чною граткою витягнутих включень з / = 0.1 в ¡д ношения Сзззз/С1Ш =1.62. Встановлен1 законом1рност1 впливу структури на властивост! композиту узгоджуються з доел ¡днями даними, але не описуються в рамках вщомих теорш механ1ки композит1в.

Основн! результати дисертацй викладено в таких публжацшх:

1. Механика композитов. В 12 т. Т.1. Статика материалов. /Головчан В.Т., Гузь А.Н., Коханенко Ю.В., Кущ В.И. -Киев: Наук, думка, 1993.- 457 с.

2. Кущ В.И. О вычислении эффективных упругих модулей зернистоп композита регулярной структуры// Прикл. механика,- 1987,- 23, №4,- С. 57-61.

3. Кущ В.И. Термические напряжения в регулярном зернистом

композите// Теор. и прикл. механика,- 1988.- Вып. 19.- С. 90-93.

4. Кислый П.С., Головчан В.Т., Кущ В.И. Влияние структуры сильно неоднородных зернистых композитов на анизотропию их физико-механических свойств// 1-я Международная конференция по композитам М1СС-90. Тез. докл. Москва, 1990.- С.73-74.

5. Кущ В.И. Теплопроводность регулярного зернистого композита с трансверсально-изотропной матрицей// Докл. АН УССР. Сер. А. 1991.- №1.- С. 23-27.

6. Головчан В.Т., Кущ В.И. Упругое равновесие и эффективные

модули перекрестно-армированного композитного материала// Прикл. механика,- 1992,- 28, № 1,- С. 47-56.

7. Кущ В.И. Напряженное состояние и упругие модули композита

регулярной структуры, армированного сферическими включения ми с оболочкой // Механика композит, материалов.- 1993.- 29, №6,- С. 816-822.

8. Кущ В. И. Теплопроводность композитного материала, упрочненного периодически расположенными сфероидальными частицами //Инж.-физ. журн,- 1994,- 66, №4.- С. 497-504.

9. Кущ В. И. Теоремы сложения для частных векторных решений

уравнения Ламе в сфероидальном базисе//Прикл. механика. -1995,- 31, №2.- С. 86-92.

10. Golovchan V.T., Kushch V.I. Effect of disperse phase coating on microstresses, elastic moduli and brittle strength of particle composite// Proc. of 7-th Int. Conf. on Mechanical Behaviour of Materials (ICM7).- The Hague, Netherlands.- 1995.- P. 471-472.

И. Кущ В.И. Напряженное состояние и эффективные упругие, модули среды, армированной периодически расположениями сфероидальными включениями//Прикл. механика, 1995,- 31, №3,- С. 32-39.

12. Kushch V.I. Elastic equilibrium of a medium containing finite number of aligned spheroidal inclusions.//Int. J. Solids Structures .1996,- 33, №8.- P. 1175-1189.

13. Kushch V.I., Golovchan V.T. Application of multi-particle model to estimate the brittle strength of a particle reinforced composite// Fracture Mechanics of Ceramics, R.C. Bradt et al., eds., Plenum Press, New York.- 1996,- v. 12,- P. 355-370.

14. Kushch V.I. Conductivity of a periodic particle composite with transversely isotropic phases//Proc. R. Soc. Lond. Ser. A.- 1997.453, №1956,- P. 65-76.

15. Kushch, V.I. Microstresses and effective elastic moduli of a solid reinforced by periodically distributed spheroidal inclusions //Int. J. Solids Structures.- 1997,- 34, №11,- P. 1353-1366.

16. Kushch V.I. Interacting cracks and inclusions in a solid by multipole expansion method//Int. J. Solids Structures. - 1998,- 35, №12,- P. 1187-1198.

17. Кущ В.И. Напряженное состояние упругой среды, содержащей взаимодействующие круговые трещины и сфероидальные включения //Прикл. механика,- 1998.- 34, №5,- С.42-47.

18. Kushch V.I. Elastic equilibrium of a solid containing a finite number of arbitrarily oriented spheroidal inclusions//Int. J. Solids Structures. -1998.- 35, №15.- P. 1751-1762.

Кущ В.1. Напружений стан I макроскошчш термопружш властивосп кусково-однорщних тш з1 сферощальними поверхнями роздшу.- Рукопис.

Дисертац1Я на здобуття наукового ступеня доктора ф1зико-математичних наук за спещальшстю 01.02.04 - мехашка деформ1В-ного твердого тша,- 1нститут мехашки ¡м. С.П.Тимошенко НАН Укра'ши, Кшв, 1998.

Дисертацто присвячено розробщ ефективного аналогичного методу розв'язання крайових задач теори пружносп в багатозв'яз-них областях з\ сферощальними границями та його застЬсуванню до прогнозування термопружних властивостей зернистих композита матричного типу. Наводяться постановки крайових задач, сформу-льованих на баз1 запропоновано! узагальнено! перюдичио! структурно! модел1 композиту. Развинуто математичний апарат та подано повне математичне обгрунтування методу. В строгш постановщ розв'язано широке коло нових задач для кусково-однорщних тш зi сферощальними поверхнями роздшу. Одержано шформащю кшьюсного 1 ягасного характеру, що дозволяе прогнозувати термопружш властивост! та крихку мщшсть високонаповнених суттево неоднорщних композитов, а також оцшити меж1 застосовносп результата, одержуваних наближеними методами. Ключов1 слова: пружшсть, сферой, крайова задача, анамтичний метод, зернистий композит, напружений стан, макроскошчш властивосп.

Кущ В.И. Напряженное состояние и макроскопические термоупругие свойства кусочно-однородных тел со сфероидальными поверхностями раздела,- Рукопись.

Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук по специальности 01.02.04 - механика деформируемого твердого тела. Институт механики им. С.П.Тимошенко НАН Украины, Киев, 1998.

Диссертация посвящена разработке эффективного аналитического метода решения краевих задач теории упругости в многосвязных областях со сфероидальными границами и его применению к прогно-зированию термоупругих свойств зернистых композитов матричного типа. Приводятся постановки краевых задач, сформулированных на базе предложенной обобщенной периодической структурной модели композита. Развит математичний аппарат и дано полное математическое обосноване метода. В строгой постановке решен широкий круг новых задач для кусочно-

однородных тел со сфероидальными поверхностями раздела. Получена информация количественного и качественного характера, позволяющая прогнозировать термоупругое поведение и хрупкую прочность высоконаполненных сильно неоднородных композитов, а также оценить пределы применимости результатов, получаемых приближенными методами.

Ключевые слова: упругость, сфероид, краевая задача, аналитический метод, зернистый композит, напряженнное состояние, макроскопические свойства.

Kushch V.I. Stressed State and Macroscopic Thermoelastic Properties of Piece-Homegeneous Bodies with Spheroidal Interfaces.- Manuscript.

Thesis for a doctor's degree by speciality 0Ï.02.04 - mechanics of deformable solids. S.P.Timoshenko Institute of Mechanics of National Academy of Sciences of Ukraine, Kiev, 1997.

The disseratation is devoted to development of the efficient analytical method to solve the boundary-value problems of elasticity in multiply-connected domains and use of it to predict a thermoelastic behaviour of particle-reinforced matrix type composites. The statements of boundary-value problems are given formulated for the proposed generalized periodic structural model of composite. A mathematical technique of method has been developed and theoretically substantiated. A wide class of new problems is solved accurately for the piece-homogeneous bodies with spheroidal interfaces. Quantitative and qualitative information is obtained which enables to predict a thermoelastic behaviour and a brittle strength of high-filled strongly heterogeneous composites and to estimate the validity bounds of known approximate theories as well. Key words: elasticity, spheroid, boundary-value problem, analytical method, particle reinforced composite, stressed state, effective properties.

Пщп. до друку 28.05.98. Формат 60x90/16. Патр пис. №1. Друк офс. Ум.друк. арк. 2,0. Ум. ф.-вщб. 2,0. Обл.-вид. арк. 1,8. Тираж 100 екз. Зам. 46. Безплатно.

1нститут надтвердих матер1ал1в НАН Укра'ши 254074, м.Кшв-74, вул. Автозаводська, 2 Р1Ц "Алкон"