Напряженное состояние упругопластического сжимаемого пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

Введение

Глава 1. Идеалыюпластическое возмущенное состояние массива при условии полной пластичности

§ 1.1. Основные уравнения и соотношения

§ 1.2. Напряженное состояние идеальнопластического сжимаемого пространства, ослабленного сферической полостью

§ 1.3. Об определении возмущенного состояния массива при условии полной пластичности

Глава 2. Напряженное состояние идеальнопластического сжимаемого пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью

§ 2.1. Эллипсоидальная полость

§ 2.2. Напряженное состояние идеальнопластического сжимаемого пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью

Глава 3. Напряженное состо.яние упругопластического сжимаемого пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью

§ 3.1. Напряженное состояние сжимаемого пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью, в упругой области

§ 3. 2. Граница упругопластической зоны

В практике горного дела важное значение имеет место определение напряженного и деформированного состояния массива вокруг полостей и выемок. Свойства массива могут быть самыми разнообразными от хрупких и упругих свойств скальных пород до сред с различными реологическими свойствами, характеризуемые изменениями свойств среды во времени и т.п.

Вопросы определения напряженного состояния вблизи выработок связаны с изучением проявления горного давления.

Теоретическое исследование горного давления можно представить тремя направлениями.

К первому направлению относятся исследования М.М. Протодьяконо-ва, М.П. Бродского, Н.М. Герсеванова, В.Д. Слесарева, К.Терцаги, П.М. Цимбаревича, Н.А. Цитовича, и др., основанные на данных практики и специальных гипотезах с использованием упрощенных методов строительной механики.

Ко второму направлению относятся исследования, основанные на методах механики деформируемого твердого тела. К ним относятся работы А.Н. Динника, Г.Н. Савина, С.Г. Лехницкого, А.С. Космодамианского, Р. Феннера, А. Лобасса, К.В. Руппенейта, Ю.М. Либермана и др., основанные на методах теории упругости и строительной механики, и работы С.А. Христиановича, В.В. Соколовского, Е.И. Шемякина, Ж.С. Ержанова и др., основанные на теории пластичности и ползучести.

Третье направление, связанное с представлениями о проявлении горного давления как процесса потери устойчивости массива, рассматривается в работах Л.В. Ершова, А.Н. Гузя, Г.И. Быковцева, М.Т. Алимжанова, А.Н. Спорыхина, А.И. Сумина, А.И. Шашкина и др.

В настоящей работе рассматривается упругопластическое состояние массива, ослабленного полостью. Для определения напряженного состояния в пластической области используются соотношения теории предельного равновесия, берущие начало от работ Кулона x=k+<5tgp, (1) где т - касательное напряжение, а - среднее давление, к - коэффициент сцепления, р - угол внутреннего трения.

Развитие теории, рассматривающей поведение материала в виде (1), связано с именами С.А. Христиановича, А.Ю. Ишлинского, В.В. Соколовского, Е.И. Шемякина, В.Г. Березанцева, Р. Шилда, Д.Д. Ивлева, JT.B Ершова и др.

В рассматриваемой задаче идеальнопластическое напряженное состояние определяется граничными условиями на поверхности полости. Решение в пластической области сопрягается с решением для упругой полой сферы.

Впервые задачу о равновесии упругой сферы рассмотрел Г.Ляме [51]. Он предположил, что заданные на внутренней и внешней поверхностях напряжения сгр ,тр0 ,тр(р представлены в форме двойных рядов по произведениям присоединенных функций Лежандра P^(cos9) и тригонометрических функций cos(racp), sin(ra(p)(«=0,l,2v., т=0,1,2,.) и указал способ построения двойных рядов по этим условиям, которые должны удовлетворять уравнениям равновесия теории упругости в перемещениях. Для нахождения неопределенных коэффициентов, входящих в компоненты вектора перемещений и^п,п\и^т,п\и^!'п\ он получил двенадцать алгебраических уравнений для каждой комбинации (т,п).

В. Томсон при решении задачи о равновесии сплошной и полой сферы [52] исходит из представления решения уравнений теории упругости в перемещениях через три гармонические функции, которые он разыскивал в форме рядов по пространственным гармоническим полиномам срй (x,y,z).

А.И. Лурье [27], следуя методу Томсона, исходя из представления составляющих тензора напряжений через гармонические функции, предложенного П.Ф. Попковичем, решил общую задачу о равновесии упругой сферы. Наличие четвертой гармонической функции в этом решении позволило упростить ход решения и объем вычислений, сократить записи и дало возможность представить результаты в простой векторной форме.

Б.В. Галеркин [5, 6] привел решения, относящиеся к задаче о полой симметрично нагруженной сфере, и дал построение класса решений, которые можно применять для решения задач о равновесии упругого тела, ограниченного двумя концентрическими сферами и срезами по коническим поверхностям с вершиной в центре сферы.

Следует отметить, что задачу о полой сфере также рассмотрели Е. Штернберг, Р. Эйнбэкс и М. Садовский в [53]. В этой работе авторы привели значения коэффициентов рядов, дающих выражение перемещений и напряжений через коэффициенты разложений, заданных нормального и касательного напряжений на поверхностях, ограничивающих полую среду. В качестве примера авторы рассмотрели задачу о концентрации напряжений в окрестности сферической полости.

Также Садовским и Штернбергом была рассмотрена задача о напряженном состоянии в окрестности эллипсоидальной полости [54]. Были использованы криволинейные эллиптические координаты и решение выражено через эллиптические функции Якоби.

Лурье [28] дал решение этой задачи в декартовых координатах. Решение содержит эллиптические интегралы и выражено через гармонические функции. Подобный подход потребовал от автора рассмотреть три уравнения, а не пять уравнений с пятью неизвестными, как у Садовского и Штернберга в работе [54].

Впервые задача о трехосном растяжении несжимаемого упругопла-стического пространства со сферической полостью рассмотрена Т.Д. Се-мыкиной [38]. Позднее это решение обсуждалось в монографии Б.Д. Аннина и Г.П. Черепанова [1]. В.Г. Ефремов [14] рассмотрел пространство с эллипсоидальной полостью в случае несжимаемого упругопластического материала.

Задача определения упругопластического состояния массива включает решение задач теории упругости и пластичности и их сопряжение.

Задачи определения напряженного и деформированного состояния тел вблизи различных концентратов напряжений, в том числе полостей, принадлежат к числу актуальных в горном деле, машиностроении, строительной механике и других областях.

В настоящей работе в линеаризированной постановке рассматривается упругопластическое состояние пространства с эллипсоидальной полостью из сжимаемого идеальнопластического материала при трехосном сдавливании на бесконечности.

Целью работы является разработка алгоритма последовательных приближений для аналитического определения напряженного состояния сжимаемого упругопластического пространства с полостями на примере эллипсоидальной полости.

Научная новизна. В сферической системе координат получены в первом приближении решения для определения напряженного состояния и границы упругопластической зоны для пространства из сжимаемого материала с эллипсоидальной полостью.

Практическая ценность. Полученные результаты могут быть использованы при определении напряженного состояния упругопластического сжимаемого пространства, ослабленного полостями.

Апробация работы. Основные результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались:

- неоднократно на семинарах по механике деформируемого твердого тела под руководством доктора физ.-мат. наук, профессора Ивлева Д.Д. - г. Чебоксары, ЧГПУ им. И.Я. Яковлева, 1995-2002 г.г.:

- на итоговых научных конференциях сотрудников и преподавателей ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. - г. Чебоксары, 2001, 2002 г.г.

- на итоговых научных конференциях докторантов и аспирантов ЧГПУ им. И.Я. Яковлева. - г. Чебоксары, 1999-2002 г.г.

Содержание работы

В настоящей работе, состоящей из трех глав, рассмотрены вопросы напряженного состояния идеальнопластического пространства из сжимаемого материала, ослабленного некоторыми, в том числе сферической и эллипсоидальной полостями; решена задача о напряженном состоянии сжимаемого массива, ослабленного эллипсоидальной полостью в упругой области.

В постановке задачи внутри полости давление отсутствует, а на бесконечности приложены взаимно-перпендикулярные усилия. Задача решена методом малого параметра, в сферической системе координат, в безразмерных единицах длины (все величины, имеющие размерность длины отнесены к Ро - радиусу сферической полости).

В первой главе исследуется напряженное состояние идеальнопласти-ческих сжимаемых пространств вблизи полостей. Здесь рассмотрены три случая, при которых могут быть удовлетворены условия полной пластичности (в одном из этих случаев полость является сферической). В этой же главе определены нулевые значения напряжений в упругой и пластической областях, а также нулевое приближение границы упруго-пластической зоны для случая сферической полости, которые совпадают с соответствующими значениями напряжений и границей упруго-пластической зоны в нулевом приближении для пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью.

Во второй главе, используя некоторые результаты первой главы, рассмотрен вопрос о напряженном состоянии идеальнопластического сжимаемого пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью. Здесь получено линеаризированное уравнение эллипсоида в первом приближении и найдены первые приближения напряжений.

В третьей главе решение общей задачи о равновесии упругой сферы, приведенное в исследовании А. И. Лурье [27], используется для определения напряженного состояния пространства, ослабленного поверхностью трехосного эллипсоида. Определено напряженное состояние пространства, возникающее за счет возмущений на границе эллипсоидальной полости при отсутствии усилий на бесконечности. Суммировав полученные результаты с результатами Т.Д. Семыкиной [38], где была решена упруго-пластическая задача для пространства со сферической полостью при приложении взаимно-перпендикулярных усилий на бесконечности и отсутствии напряжений в пластической области, получены первые приближения напряжений для трехосно-сдавливаемого сжимаемого пространства, ослабленного эллипсоидальной полостью, в упругой области. В этой же главе, используя условия сопряжения для компоненты напряжения ст0 , определена в первом приближении граница упругопластической зоны (3,.

1. Аннин Б.Д., Черепанов Г.П. Упруго-пластическая задача. -Новосибирск: Наука, 1983. - 238 с.

2. Васильева A.M., Ивлев Д.Д. Об идеальнопластическом состоянии полого круглого цилиндра при произвольном возмущении боковой поверхности // Изв. ИТА ЧР. 1996. -№ 1(2). - С. 29-36.

3. Вульман С.А. О решении осесимметричных упругопластических задач методом малого параметра П Изв. АН СССР, МТТ. 1969. - № 3.

4. Вульман С.А. Приближенное решение упругопластической задачи для полых тел, поверхность которых близка к сферической // Изв. АН СССР, МТТ. 1971.-№ 1.

5. Галеркин Б.Г. Равновесие упругой сферической оболочки // ПММ.- 1942. Вып. 6. - С. 487-496.

6. Галеркин Б.Г. Равновесие упругой симметрично нагруженной сферической оболочки // ПММ. 1943. - Вып. 7.

7. Галин Л.А. Упруго-пластические задачи. М.: Наука, 1984. - 232с.

8. Генки. О некоторых статически определимых случаях равновесия в пластических телах / Сб. «Теория пластичности». М.: ИЛ, 1948.

9. Друянов Б.А., Непершин Р.И. Теория технологической пластичности. М.: Машиностроение, 1990.

10. Ершов J1.B., Телиянц В.Н. Об общих соотношениях метода малого параметра в осесимметричных задачах теории малых упругопластических деформаций // ПМТФ. 1961. - № 3.

11. Ефремов В.Г. Идеальнопластическое напряженное состояние тел вблизи сферической полости // Известия РАН, МТТ. 1999. - № 3. - С.70-75.

12. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Метод возмущений в теории упруго пластического тела. М.: Наука, 1978. - 208 с.

13. Ивлев Д.Д. Теория идеальной пластичности. М.: Наука, 1966. -231 с.

14. Ивлев Д.Д., Ершов Л.В. Приближенное решение упругопластических осесимметричных задач теории идеальной пластичности // Вестник МГУ. 1958. - № 2. - С. 47-56.

15. Ивлев Д.Д. Механика пластических сред. Том 1. М.: Физматлит, 2001.-448 с.

16. Ильюшин А.А. Пластичность. М.: Гостехиздат, 1948. - 272 с.

17. Ишлинский А.Ю. Растяжение бесконечно длинной идеальнопластической полосы переменного сечения // Докл. АН УССР. Киев. -1958. - № 1.

18. Ишлинский А.Ю. Об устойчивости вязкопластического течения полосы и круглого прута// ПММ. 1944. - Т. 7. - Вып. 2.

19. Ишлинский А.Ю. Осесимметричная задача теории пластичности и проба Бринелля // ПММ. 1944. - Т. 7. - Вып. 3.

20. Ишлинский А.Ю., Ивлев Д.Д. Математическая теория пластичности. -М.: Физматлит, 2001.

21. Качанов JI.M. Основы теории пластичности. М.: Наука, 1969. -420 с.

22. Лейбензон Л.С. О применении гармонических функций к вопросу об устойчивости сферической и цилиндрической оболочек. М.: Собрание трудов АН СССР. - 1951. - Т. 1 (впервые напечатано в «Ученых записках Юрьевского Университета», № 1, Юрьев, 1913).

23. Лурье А.И. Пространственные задачи теории упругости. М.: Гостехиздат, 1955.

24. Лурье А.И. Напряженное состояние вокруг эллипсоидальной полости // Докл. АН СССР. 1952. - № 5.

25. Лурье А.И. Теория упругости. М.: Наука, 1970. - 939 с.

26. Ляв А. Математическая теория упругости. Перевод с англ. В.В. Булгакова и В .Я. Натанзона. - Москва, Ленинград: Объединенное научно-техническое издательство НКТП СССР, 1935. - 674 с.

27. Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. М.: Наука, 1966. - 707 с.

28. Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики. М.: Наука, 1978. - 344 с.

29. Онат Е., Прагер В. Образование шейки при пластическом течении растягиваемого плоского образца// Механика. Сб. перев. и обзоров иностр. литературы. 1955. - № 4. - С. 93-97.

30. Прагер В., Ходж Ф. Теория идеально пластических тел. М.: Иностранная литература, 1956. - 398 с.

31. Прагер В. Проблемы теории пластичности. М.: Физматгиз, 1958.

32. Савин Г.Н. Распределение напряжений около отверстий. Киев: Наукова Думка, 1968. - 887 с.

33. Седов Л.И. Введение в механику сплошной среды. М.: Физматгиз, 1962. - 284 с.

34. Семыкина Т.Д. О трехосном растяжении упругопластического пространства, ослабленного сферической полостью // Изв. АН СССР, Механика и машиностроение. 1963. - № 1. - С. 174-177.

35. Соколовский В.В. Теория пластичности. М.: Высшая школа, 1969.-608 с.

36. Соколовский В.В. Статика сыпучей среды. -М.: ГИТТЛ, 1954.

37. Тарасьев Г.С., Толоконников Л.А. Концентрация напряжений около полостей в несжимаемом материале / В Сб. «Концентрация напряжений». Киев: Наукова Думка, 1962. - Вып. 1.

38. Терегулов. И.Г. Сопротивление материалов и основы теории упругости и пластичности. М.: Высшая школа, 1984. - 472 с.

39. Тимошенко С.П. Теория упругости. Л.-М.: ОНТИ, 1937. - 506 с.

40. Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. -М.: Наука, 1951. 735 с.

41. Толоконников Л.А. Механика деформируемого твердого тела. -М.: Высшая школа, 1979. -318 с.

42. Харченко А.П. Деформированное состояние вблизи эллиптического отверстия в упругопластическом теле // Прикладная механика. 1974. - Т. 10. - Вып. 3.

43. Хилл. Р. Математическая теория упругости. М.: Гостехиздат,1955.

44. Хилл. Р. Математическая теория пластичности. М.: Гостехиздат,1956.-407 с.

45. Филоненко-Бородич М.М. Теория упругости. М.-Л.: Гостехиздат, 1947. - 300 с.

46. Черепанов Г.П. Об одном методе решения упругопластической задачи // ПММ. 1963. - Т. 27. - Вып. 3.

47. G. Lame. Lecons sur les coordonees curvilignes et leurs divers applications. Papis, 1859.

48. W. Tomson. Dynamical Problems regarding Elastic Spheroidal Shells and Spheroids of Incommpressible Liquid. Mathematical and Phis. Papers, vol. 3, 1892 (впервые опубликовано в 1863 г.)

49. Е. Sternberg, R.A. Enbancs, M. Sadowsky. On the axisimmetric Problem of Elasticity for a Region bounded by two concentric Spheres. Труды конгресса по прикладной механике в США, 1953.

50. М.А. Sadowsky, Е. Sternberg. Stress Concentraction around a Traxil Ellipsoidal Cavity. Journal of applied Mechanic, № 2, 1949.

51. Максимов A.H., Ефремов В.Г. Об определении предельного напряженного состояния в массиве, ослабленном эллипсоидальной полостью. // Вестник ЧГГТУ им. И .Я. Яковлева. Чебоксары, 2001. - № 2(21).-С. 128-134.

52. Максимов А.Н. Об определении возмущенного состояния массива при условии полной пластичности. // Известия ИТА ЧР. Чебоксары, 2001. - №№ 1(22)-4(25). - С. 92-99

53. Максимов А.Н. Об определении напряжений в массиве, ослабленном эллипсоидальной полостью// Известия ИТА ЧР. Чебоксары, 2001. - №№ 1(22)-4(25). - С. 160-164.

54. Максимов А.Н. Об определении предельного напряженного состояния в массиве, ослабленном сферической полостью. // Известия ИТА ЧР. -Чебоксары, 2001. №№ 1(22)-4(25). - С. 165-171.