Некоторые алгоритмические проблемы для конечно-порожденных про-р-колец и нильпотентных про-р-групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

"Ч 4 •. ' I ' Ли а и ъ г

0м2кии государственный университет

Ва правах рукописи

ПАХОТИН ЕВГЕНИИ НИКОЛАЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ АЛГОРИТМИЧЕСКИЕ ПРОВЛЕШ ДЛЯ КОНЕЧНО- ТОРОШЕННЫХ ПРО- р -КОЛЕЦ И НИЛЫЮТЕНГШХ ПРО- р -ГРУШ

01.01.06 - математическая готика, алгебра и теория чисел

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

01СЕ - 1902

Работа выполнена в Омском государственном университете

Еаучний руководитель - доктор фгаико-математических наук, профессор Ремесленников Владимир Викторович

Официальные оппоненты - доктор физико-математических наук,

профессор Мухин Юрий Николаевич

~ часов заседании' спешылкзирбванного сояета К 0С4. 30. 02 при Омской государственном уштерсмп-те по адресу: 64-5077, Омск, пр. Мира 55-А.

С диссертацией можно ознакомляться в библиотеке Омского государственного университета.

- кандидат физико-математических наук Зубков Александр Николаевич

Ведущая организация - институт математики СО РАН

Защита состоится

Автореферат

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физ.-мат. наук

. В. А. Го мальков

/

/

АКТУАЛЬНОСТЬ ТЕШ. Настоящая диссертация состоит из двух частей. Огрвая из них посвящена исследованию элементарных теорий некоторого, достаточно обширного класса коммутативных нетеровых колец с единицей. Во второй строится алгоритм решения проблемы изоморфизма в классе конечно-порожденных нильпотентных про- р -групп без кручения 4икси-рованной ступени нильпотентности.

Основополагающие результаты, связанные с исследованием элементарных теорий различных классов алгебраических систем были получены в 1936 г. , когда А. Черч доказал неразрешимость логики предикатов первой ступени, а Дж. Россер -неразрешимость арифметики натуральных чисел. Позднее А. Тар-ским была заложена общая теория систем с неразрешимыми элементарными теориями. Таковыми оказались класс всех конечных групп (А.И.Мальцев [2]) и класс всех полей (следствие результатов В. Л. Ершова [ 3]), в то время как класс всех конечных полей обладает уле разрееймой элементарной теорией С Дж. Акс [14]). Таким образом, граница между классами систем с разрешимыми и неразрешимыми теориями существенно зависит от самих рассматриваемых классов. С другой стороны, неразрешимость элементарной теории почти полициклической группы, не являющейся почти абелевой (Н.С. Романовский [4]) непосредственно связана с аналогичным результатом Дж. Робинсон [15] относительно кольца целых алгебраических чисел, а разрешимость теории про-р -пополнения конечно-порожденной нильпотентной ,группы (А.Г. Мясников. ЕЕ Ремесленников [8]) вытекает из разрешимости теории кольца целых р -адических чисел Ж-р с некоторым выделенным набором целых констант. Подобная связь прослеживается и в работах Г. А. Носкова [5] и С б], где подучены обобщения упомянутых выше результатов Е С. Романовского и Дж. Робинсон. Поэтому, переходя в категорию компактных объектов, можно заметить, что задача описания конечно-порожденных коммутативных про- /--колец с разрешимой элементарной теорией весьма схожа с аналогичной задачей, касающейся класса конечно-порожденных разрешимых про-Р

-групп.

Яро- р -группы кг раит определяндую роль в исследованиях по теории Галуа бесконечномерных алгебраических р -расширений, в теории компактных аналитических р -групп, в арифметических и геометрических вопросах, связанных с локализацией. Вопрос описания конечно-порожденных разрешимых про-р -групп с разрешимыми элементарными.теориями был сформулирован в [133 следующим образом;

и. 65. Гипотеза: конечно-порожденная разрешимая про~ р -группа без кручения с разрешимой элементарной теорией является аналитической про- р -группой (А.Г.Мясников, ЬЕ Ремесленников).

Решение данной проблемы до сих пор не получено, в то время как одним из основных результатов диссертации является установление критерия разрешимости элементарной теории конечно-порожденного коммутативного про- р -кольца с единицей характеристики О, причем полученный результат полностью согласуется (в смысле вышеупомянутой связи) с выдвинутой гипотезой 11.65. Кроме того, в первой главе диссертации получен ряд результатов по данной тематике, имеющих самостоятельный интерес.

В элементарной теории чисел хорошо известен принцип установления целочисленной неразрешимости диофантового уравнения при помощи соответствующего ему редуцированного уравнения по некоторому целому уд дулю. Отрицательное решение 10 проблемы Гильберта показывает, что обратить данный принцип невозможно. Однако, согласно классической лемме Генэеля, подобное обращение для широкого класса уравнений, если задаться целью нахоздения целых р -адических решений, уже возможно и, более того, достаточно рассмотреть указанный редуцированный многочлен по единственному модулю р . рассматривая класс всех целочисленных диофан-товых уравнений, ЕБерч и КМаккена в работе [21] показали как для любого уравнения из данного класса <,-■-, эффективно строится такая константа ^ - , что любое решение сравнения § Е О "к-с(р^ можно поднять до р -

- s -

адического репения. Во второй главе диссертации получено обобщгние результата Берча и Метаны на случай системы эффективно заданных р -адических уравнений и, тем самым, построен алгоритм решения диофантовой проблемы над кольцом Жр .

Из результатов рзбсты Е Пиккеля £223 вытекает, что любые конечно-поровденние нильпотентные про- р -группы изоморфны тогда и только тогда, когда они принадлежи одному роду, т. е. ¡.сюжзства их конечных гомоморфных образов совпадают (Заметим, что рассуадепия, приведенные в С113, показывают, что условие нильпотентности здесь несущественно). Отсюда у.те лепта вывести разрешимость проблемы изоморфизма в классе конечно-порожденных яилыготектяых про- р -групп. Конкретный алгоритм решения данной проблеш (при условии, что группы не югеюг кручения) строится при помощи редукции к некоторому, эйоютпзно вычлслг'сму конечному фактору. Более точно, по задапшм эффективным представлениям групп G и /-/ "из данного класса эффективно строится такая константа S- 5 CG, Н) , что изоморфизм между группа!.«!

и Н/Н Р3 гарантирует наличие изоморфизма меаду G и j-J . Таким образом, подучен групповой аналог результата Еерча и Ыаккэны. Огхзтиа в заключении, что особый интерес вызывает случай, когда G и Н являются про- р -пополнениями дискретных нильпотенткых групп.

ЦЕЛЬ РАБОТЫ. Целью работы является установление критерия разрешимости элеькгнтарпой теории конечно- порожденного гошутатавного про- р -кольца с единицей характеристики О, а такиз построение редугауюнного алгоритма решения проблеш изоморфизма в классе конечно-породденных нильпо-тентных про- р -групп без кручения.

МЕТОДИКА ИССЛЕДОВАНИЯ. йгтодика исследования в первой части работы косит теоретико-модельный к теоретико-кольцевой xapeurrep. при этом используйся известные понятия и результаты кэкздчгаткЕцсй алгебры и теории чисел. Изтодика исследования во второй часта работы носит теоретико-грул-поеой и ксийинахсрный характер, широко применяется технн-

- а -

ка степенных нильпотентных групп.

НАУЧНАЯ ЮВЙЗНА И ПРАКТИЧЕСКАЯ ЦЕННОСТЬ. Все основные результаты, полученные в диссертации являются новыми. Работа имеет теоретическое значение, а ее результаты и методы применимы для исследования^ элементарных теорий конечно-аоро¡данных разрешимых про- р -групп и для построения алгоритмов решения ряда классических проблем (сопряженность, отделимость и др.) в классе конечно-порожденных нильпо-тентных про- р -групп без кручения.

АПРОБАЦИЯ Результаты диссертации докладывались на семинаре "Теория групп" ОКО ВЦ СОАН СССР, семинаре "Алгебра и логика" НГУ, на алгебраических семинарах ОмГУ и Ин-та математики и механики Ур. отд. РАЕ

ПУБЛИКАЦИИ. Основные результаты диссертации опубликованы в четырех работах, список которых приведен в конце автореферат

СТРУКТУРА РАБОТЫ. Диссертация состоит из введения, двух глав а списка цитируемой литература Текст диссертации изложен на 81 странице машшописного текста. Список литературы содержит 31 наименование.

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНЮЗ ДИССЕРТАЦИЙ. Во введении дан краткий обзор работ по теме диссертации, сформулированы ее основные результаты и описаны методы получения этих результатов. ,

§ 1 первой главы носит вводный характер; в нем изложены понятия элементарной теории коммутативного кольца с единицей,, разреямыостк и неразрешимости данной теории, приведены методы исследования теорий на разрешимость.

Пусть А - коммутативное кольцо с единицей. Свяжем с А язык первого порядка , алфавит которого

состоит из символов переменных, логических связок, кванторов существования и всеобщности, функциональных символов

+ . . ► константных символов О и 1 . Элементарной теорией Тк, А кольца А называется совокупность предложений Ст. е. формул без свободных перемен-

ных) языка Хл , ИСТИННЫХ Б Л . TluA называется разрешимой, если найдется эффективная процедура, позволяющая. по любому предложению из ¿¿А , определить, принадлежит оно Тк ,4 или нет.

В работах [6], [15] и [16] , были получены результаты, дающие характеристику элементарных теорий конечно— порожденных колец из рассматриваемого класса. Один из результатов, сформулированный в наиболее обаем виде и полученный Г. A Носковым в 19ВЗг., звучит так: элементарная теория конечно-порожденного гаммутативного кольца с единицей разрешит тогда и только тогда, когда кольцо конечно. Более подробно, было показано, что в данном бесконечном кольце R- относительно элементарно определима арифметика, что означает, что существует эффективная процедура, пере-рабатываиазя предложения языка арифметики натуральных чисел в предложения языка £.0. с сохранением истинности. Поскольку элементарная теория арифметики неразрешима, отсюда следует неразрешимость Тк. £

Результаты главы 1, связанные с неразрешимостью, получены с использованием аналогичной интерпретации. А именно, в § 2 вводится определение квазипростого элемента, обобщающее понятие простого элемента факторкального кольца. Согласно определению, квзаипростой элемент позволяет (с точностью до ассоциированности) с помощью некоторой формулы языка аС ц выделить множество своих натуральных степеней. Далее дается списание таких элементов в целостных целозамкнутых кольцах. Более точно, лемма 2.3 утверждает, что для всякого необратимого элемента данного кольца найдется квазипростой элемент, делящий некоторую натуральную степень данного элемента. В % 3 рассматривается конечное расширение R. факториального кольца характеристики О, не являвшегося кольцом главных идеалов и используя результаты % §1 и 2, показывается, что для доказательства неразрешимости Tii, Я без ограничения общности можно предполагать, что R- - локально, целоаамкнуто и обладает двумя квази-простьми. взаимно простыми (в смысле теории дивизоров)

Г В -

элементами, порождавшими идеал,примарный относительно .максимального идеала кольца /I . В % 4 доказывается неразрешимость Тк, И. при данных предположениях. При этом на множестве элементов, ассоциированных со степенями одного из данных квазипростых элементов с помощью некоторых формул языка /2 интерпретируется арифметика натуральных чисел, причем второй квазипростой элемент позволяет задать на данном множестве некоторое формульное отношение, соответствующее отношению делимости во множестве А/ натуральных чисел. Таким образом, в Я относительно элементарно определима арифметика натуральных чисел и кольцо имеет неразрешимую 7Х- & . Доказана ТЕОРЕЫА 4.4. Любое конечное расширение й&кториалъного кольца, не являющегося кольцом главных идеалов, имеет неразрешимую элементарную теорию.

Из теоремы, в частности, вытекает (следствия 4.5 и 4.6), что любое полное локальное кольцо с полем вычетов характеристики О размерности больше 1 ( любое регулярное кольцо размерности больше 1) имеет неразрешимую элементарную теорию.

В §5 вводится понятие про- р -кольца (про- р -группы), дается описание строения конечно-порожденных целостных про- р -колец характеристики 0. Предложение 5.2 утверждает, что целостное про-р -кольцо является локальным, т. е. обладает единственным максимальным идеалом. Далее вводится понятие кольца целых р -адических чисел и

показывается (предложение 5.4), что кольцо формальных степенных рядов над от нескольких переменных является универсальным объектом в категории про - р -колец. С использованием этого факта доказывается

ТЕОРЕМА 5.5. Еусть Р - с/ -порожденное целостное про-р -кольцо характеристики О. Тогда существует множество элементов // .., А- , Ой л £ «Л таких, что если

Л о - подкольцо е Я , порожденное ■/}....., то

На — ~ЖрЕ [ ¿1--Лл и ^ конечно над Яс .

Поскольку кольцо рядов над Ж. р от одного и более

числа переменных факториальяо и не является кольцом главных идеалов, элементарная теория конечно-порожденного про- р -кольца харгистеристкки О, не являющегося конечно-порозденным 'Ж.р -модулем, неразрешима (Следствие 5.Q).

'В § б рассмотрен случай про- р -кольца /<. хараете-ристики О, являющегося конечно-порожденным -моду-

лем. В 1965-66гг. Ю. Д Ерпов £73 :г, независимо, Дя. Лкс я С. Кочен С17] и С181 доказали разрез ость элементарной теории кольца р ,ч. е. однепороиденного кольца из рас-емелгр^аемого класса. Зтот результат носит фундатитаяьнкЯ характер и, г.с сути, многие рзеердонвя в данном параграф« основаны :?а нем.

Подобно определения рекурстатчх де^стчите-сьпчх чисел г 1.91 мог-ло ввести понятие рекурсивного р -адчческого числа. Это определение пачо В. Ч. Ремеслеязйэтовнч я Л. Г. Кяс-нико."^'' т; работе [8"! , где такте Скл устянои^к критерий p:;epoi'j:,voe-i,4 але'-ентерноЯ теории коречно-коро>«дерной чиль-потептпей про - р -группы. Следуя схеме рзссуллечиЛ работы CS1, у.оуно ■ подуччть аналог»а'Н!тй критерия для кольца i'3 рассматриваемого класса. Так, предложение 6.1 утверд-дгет, что двбее предло;тснт:э ягккз А. ?ю?з-:о эффективным образом порер.аботзтъ в эквивалентное (э смколе истинности) предчо.хокие языга кольца с некоторым выде-легтигм готю'пп;'.! наберем эл»**еятоз(тпк пазываеякх структурных кпистгч?), элементарная теория которого в том слуге, если тпяш.'г элементы рекурсивны, рагрегама С-31. С другой стороны, докована

ТЕОРЕйА 6.4. Пусть /2 - про- р -кольцо характеристи-гапочло-иоровдониоо, как Жр -модуль к о разрешимся элементарной теорией. Тогда Й. обладает - базой с рекурсивным па£сром структурных констант.

Осталось сформулировать критерий разрешимости элементарной теории конечно-порожденного про-р -кольца.

ТЕОРЕМА 6.6. Пусть /2 - конечно- порожденное про- р -кольцо характеристики О. Тогда 77„ £ разрешима тогда и только тогда, когда Ц является конечно-порожденным

-модулем, обладающим базой с рекурсивным набором структурных констант.

Данный результат яБллется (в случае характеристики О) про- р -аналогом тесреш Г. к. Носкова [61.

Случай положительной характеристики рассматривался в работе [203,однако полного ответа на вопрос о разрешимости теории получить пока не удалось.

Перейдем к изложению второй главы диссертации и рассмотрим преяде всего принцип построения вышеупомянутого алгоритма решения проблемы изоморфизма.

Согласно классическому результату теории чисел [13 целочисленный многочлен имеет р -адический корень тогда и только тогда, когда соответствующий ему редуцированный многочлен имеет корень во всяком конечном ¡¡акторе кольца целых чисел.

Этот и другие подобные результаты носят название финитной аппроксимируемости относительно того или иного группового (кольцевого) свойства. Kai; указывал А. К. Мальцев [9], финитная аппроксимируемость в некотором классе групп (колец) тесно связана с разрешимостью соответствующей алгоритмической проблемы в этом классе. Действительно.из финитной аппроксимируемости относительно некоторого свойства вытекает,как правило, нзличие алгоритма, позволяющего определить истинность этого свойства в данном классе групп (колец). К сожалению, существование этого алгоритма вытекает из общих соображений, а финитная аппроксимируемость дает бесконечное число условии,проверку которых реализовать невозможно.

С другой стороны, согласно лемме Гензеля, для широкого класса уравнений над полным локальным кольцом /1 разрешимость этих уравнений эквивалентна разрешимости соответствующих уравнений над полем вичетоа данного кольца. Если поле вычетов данного кольца конечно,можно осуществить проверку существования корня простым перебором,и это даст не-сохсдимый алгоритм проверки наличии (или отсутствия) корня в кольце А

В обшем случае, эффективная вычислимость некоторого (возможно, достаточно большого) конечного фактора, для которого вопрос об истинности того или иного группового (кольцевого) свойства эквивалентен аналогичному вопросу в самой группе (кольце), дает конкретную возможность решения соответствующей алгоритмической проблемы.

Отметим, что § 1 носит техничесютя характер и посвящен вопросу эффективности вычислений. В нем вводится понятие эффективно заданного многочлена, как многочлена с рекурсивными о -адичоскимя коэффициентами. Далее доказывается ряд утверждений сб ме^нтарвых свойстзах данных многочленов, иеобходимь© я дальнейшем.

§ 2 поссящзя днофантовоа проблеме над кольцом целых р -адичетгс чисел. В 1957г. Б. Ееоч и К. Маккена в уже цитированной работе С 21] эволц понятие дискриминанта целочисленного диофантового уравнения, ко-горое определялось индукцией по числу неизвестных. Данный дискриминант эффек-тквяо выражался через коэффициенты начального уравнен««, другими словами, представлялся в виде значения некоторого полинома (который,'в свою очередь', строился эффективно) от коэффициентов начального уравнении.

Обобщая понятие дискриминанта на случай системы Р -адических уравнений, можно получить оледутакй оезультат.

ТЕОРЕМА С. 1. Для всякой системы эффективно заданных многочленов .....[ X,____Хп. ] найлется ненулевое целое о -адическое число 3 , которое эффективно

Еыражается через коэффициенты ....., такое, что

если ( Л. )= О , 1 = 1_____ 3 для неко-

торого «с £ , тогда существует ^ € Ж /Э с усло-

вием:

( у )= О . 1= I......Ч и ¿г = ^

1-1.....п- ■

(Здесь Ъ'р аддитивной р -адическое носмирование на гИ/э).

Тагам обоазом, редуттд'.га к некоторому, эффективно вы- . числимому конечно^ фактору, позволяет решать диоФантову проблему над кольцом целых р -адичесюос чисел. Отсюда

следует возможность применения редукционного процесса по отношению к тем групповым свойствам,которые сводятся к ре' шению систем алгебраических уравнений над ■ В 4 3 с использованием техники степенных нильпотентных групп [10] устанавливается, что свойство рассматриваемых групп быть изоморфными переписывается на языке системы р -адических уравнений в том случае, если заданы некоторые мальцевские базы этих групп и "хорошие" координатные функции в этих базах. При этом вводится понятие правильного продолжопия отображения мальцевской базы одной группы в другую и подзывается (лемма 3.3), что данное продолжение является гомоморфизмом тогда и только тогда, когдг оно действует как гомоморфизм на базисных коммутаторах от элементов данной базы ьеса, не превосходимого магетимума из ступеней нильпотентности данных групп. Таким образом,инеем конечное- число условий, гарантнруащих существование гомоморфизма одной группы ь другу«. 3.5 утверждает, что совокупность данных условий эквивалентна некоторой системе р -адучос-ких уравнений. Осталось применить теорему 2.1. чтобы получить следующий результат.

ТЕОРЕМ 3.1. Пусть & ц /-/ - нилыютеьтный про-р -груши баз кручения ранга П, к ступени ейльпот&нт-кости /г; , и и V - мальцеьские базы с и < < , причем координатные функции М и з базах Ц и

\/ *1БП1_> заданы. Тогда найдется целое ненулевое

р -¿¿длчес!;со ч^ело , которое зфф^кг^шко ьыра.<и.1л;тсй

через коэффициенты многочленов из М и // , такое, что группа в изоморфна И тогда и только тогда, когда факторгруппа ^/Р3 изоморфна ^ Р"* . , где Л- Щ, (£} ) Ь П. - С (т У . (С - рекурсивная функция, удовлетворяюйдя соотнесении С (л)- 2(1) £(/■>), где 3 ( £ ) определяется неравенством рза) с £

Из теоремы вытекает (следствие 3.6), что для двух ко-иечно-порожденных нильпотентных групп одного ранга с зф-'фегеппшо заданны:.® наборами координатных функций в некоторых цальцевских Сазах найдется конечное множество простых

- ю -

чисел (которое строится по данным функциям эффективно), с условием, что для всякого простого числа р из данного множества можно вычислить натуральное число , такое,

что про- р -пополнения данных групп изоморфны тогда и только тогда, когда изоморфны соответствующие факторгсуппы по <3 р ~й степени. Если же р лежит вне данного множества, то про- р -пополнения изоморфны тогдз и только тогда, когда изоморфны факторгруппы по р -й степени.

В § 4 дается описание алгоритма решения проблемы -изоморфизма. Замечается, что в категории несчетных объектов (каковыми являются бесконечные про- р -группы) вакно корректно сформулировать саму постановку проблема Это удалось сделать для эффективно заданных нильпотентных про- Р -групп,впервые рассмотренных Е Н. Ремеслеишковым и А. Г. Мяс-киковым в работе [8]. Данные группы оказались в точности группами, обладающими мальцегсгами базам! с эффективно заданной Ha6opai.ni координатных Функций. Поиску данных баз и вычислению их координатных функций посвящен настоящий параграф.

Любая эффективно заданная конечно-порожденная нильпо-тентнзя про- р -группа. является гомоморфны;.* образом свободной нильпотентной про- р -группы с ядром, порожденным конечным множеством рекурсивных элементов, т. е. элементов, координаты которых в базе, состоящей из базисных кокв^ута-торов, рекурсивны. Лемма 4.2 позволяет решать проблему вхождения рекурсивного элемента свободной группы в подгруппу, порожденную множеством рекурсивных элементов. Лемма 4.3 утЕер:гдает,что из любого рекурсивного элемента можно эффективно извлечь корень максимально возможной степени р по модулю нормальной подгруппы, порожденной некоторыми рекурсивными элементами. Преобразуем базу, состоящую из базисных коммутаторов следующим образом. Если /\[ -ядро гомоморфизма свободной группы на заданную, находим последний базисный коммутатор, не лежащий в /\/ и извлекаем из него корень максимально возможной степени р по модулю /\Р . Далее, добавляем подученный корень к по-

ровдавщим ядра,порождаем данными элементами новую подгруппу и вновь ишем последний базисный коммутатор, не лежащий . в данной подгруппе. Продолжая в том же духе,черев конечное число шагов получим совокупность корней элементоз Сазы.которая и Судет яеляться малъцевской базой заданной группы. Лемма 4. 4 и индукция позволяет вычислить координаты коммутаторов элементов найденной базы (в данной базе). Осталось применить хорошо известный алгоритм нахождения координатных функций по заданным коммутаторам [12].

Таким образом, если две конечно-порожденные нильпо-тентные про- Р -группы без кручения фиксированного класса нильпотентности заданы рекурсивными порождающими ядра гомоморфизма свободной группы (или, по другому, копредстав-лениами), можцо найти их мальцевские базы и соответствующие координатные функции. Если ранги этих групп различны, группы не изоморфны. В противном случае достаточно применить теорему 3.1 и алгоритм решения проблемы изоморфизма для Конечных групп.

Автор выражает глубокую признательность своему научному руководителю Е Е Ремесленникову за постановку задачи главы 2 и внимание, проявленное к работе, а также Г. А. Нос-гсову, А. Г. кясникову и А. Е Зубкову за ряд полеаных замечаний.

- te -

ЛНТ BPАТУРА

1. Воревич 3. И., Шафаревич И. Р. Теория чисел. - М., Наука, 1972.

2. Мальцев А. И. Неразрешимость элементарной теории конечных Групп. - ДАН СССР. 1961, Т.138.Л/4, 771-774.

3. Ершов О. Л Неразрешимость некоторых полей. - ДАН СССР. 1965, Т.161.Л/1, 27-29.

4. Романовский ЕС. Об элементарной теории почти полициклической группы. - Иатем. сб.. 1980, Т.ill (153),л/1, 135-14а

5- Носков Г. А. Об элементарной теории конечно-порожденной почти разрешимой группы. - Изв. АН СССР, сер. мат.4. 1983, Т. 47,л/ 3, 498-517.

6. Носков Г. А. Об элементарной теории конечно-порожденного коммутативного кольца - Мат. заметки, 1SS3, Т. 33,л/1, 2329.

7. Ершов ПЛ. Об элементарных теориях локальных полей. -Алгебра и логика, 1965, Т. 4,л/ 2, 5-30.

8. Мясниотв А. Г., Ремесленников Е Е Рекурсивные р -ади-'îecraïc числа и элементарные теории конечно-порожденных про- Р -групп. - Изв. АН СССР. Сер. шт., 1987, Т.51,л/3. 613-634.

9. йзльцев А. Я. О гомоморфизмах на конечные группы. - Успехи мат. яаутч 1958, Т.13.//3, 237-238.

10. Мясников А. Р., Ремесленников Е Е Классификация сте-пеииых нильпотентных групп по элемзнтаршд! свойствам. -Труды Инст-та маг-ки СОАН СССР, 1982, Т. 2, 56-87.

11. Носков Г. А., Ремесленников В. Е , Роианьков Е А. Бесконечные группы. Алгебра, Топология, Геометрия. Т. 17 (Итоги науки и техники). - U. , 1979 , 65-157.

12. Холл Ф. Кильпотектные группы. -Математика, 1968, Т. 12, fJ 1, 3-36.

13. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп, йзвосибирск, 1990.

14. Ах J. Tho elensntary theory of fir.its fields. - Ana

- 1в -

Math.. 1968, Y.88, 239-271.

15. Robinson J. The Undecibility of algebraio rings and frfelds. - Proc. Азег. Math. Soc. . 1Q50, V.10, 6,950-957.

16. Robinson R. Undccidable rings. - Trails. Airor. Math. Soc.. 1951, Y.70, 137-159.

17. Ax J.,Kochon S. Diophantine problems over local fields 1 , fi . - Amer. J. i/atli., 1S65, Y.87, 605-648.

18. Ax J. Kochon S. Diophantine prcbleirc over local fields . Ш. - Ann. Math.. 1066. Y 83, 437-456.

19. Rice H. G. Rocurcivo real rvaribor. - Proc. tor. 1.53th. Soo.. 1954, Y. 5, 784-791.

20. Cherlin G. L. Undecidability of rational function in nonzero characterictic. - Logic. Colloquim, 1984, V. 72,8595.

21. Birch B. J., JfoCarn K. A criterion for the p -adic Solubility of diophantine equations. - The Quarterly Journal of Math., 1967, Y. 18//69, 59-65.

22. Pickel P.F. Finitely generated nilpotent groups with isomorphic finite quotiens. -Trans. Amcr. toLh. Soc., 1971, V.160, 327-341.

Работы автора по темо диссертации •

23. Е. К Пахотин. Элеыеята£Пцо теор;п1 конечпо-порозденкш; про- р -колец. - Тез. докл. YVJil Ееесссз. ел\ конференции, Кишинев, 1686, ч. 2, 87.

24. Е. Е Пахотин. Элементарные теорш; коиечио-тюролздекпцх про- р -колец. - Сиб. матем. яурн., 1987, т. 28, // 3, 15S-172.

25. Е. Е Пахотин. Об элементарной теории ко;.:.г/тат;пиюго про-р -кольца, являющегося конечно-горо-тденищ Жр -модулем. - Тез. докл. межд. конференции по алгебре, Барнаул, 1931, Логика и теория универсальна систем, 1С1.

26. Пахотин Е. Е Редукция к факторам к проблем изоморфизма для конечпо-порождетня нильпотеппна про - р -групп. -Препрют инсс-та икф. технолога и прккл. матс^тки C0AIL. СССР. Омск. 1992. - 29 С.