Некоторые аналитические свойства мер на бесконечномерных пространствах тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ОРДЕНА ЛЕНИНА, ОРДЕНА ОКТЯБРЬСКОЙ РЕВОЛЮЦИИ И ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М. В. ЛОМОНОСОВА

механико-математический факультет

На правах рукописи УДК 517.98

ХАФИЗОВ Мурат Усманович

НЕКОТОРЫЕ АНАЛИТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МЕР НА БЕСКОНЕЧНОМЕРНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

МОСКВА 1992

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М. В. Ломоносова.

Научный руководитель — доктор физико-математических

наук О. Г. Смоляное

Официальные оппоненты: доктор физико-математических

наук А. В. Булинский

доктор физико-математических наук А. Ю. Хренников

Ведущая организация — Казанский государственный университет

Защита диссертации состоится « А У » ви&е/ 1992 г. в 16 час. 05 мин. на заседании специализированного Совета по математике № 1 (Д.053.05.04) по адресу: 119899, ГСП, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16—24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (14 этаж).

Автореферат разослан « » /Ш/^/Щ 1992 г.

/

Ученый секретарь специализированного Совета Д.053.05.04 при МГУ

д. ф. — м. н. Т. П. Лукашенко

I

■ I

. циГ( | Актуальность темы. В диссертации изучаются свойства мер на бесконечномерных пространствах, выражаете в теркина* сленгов меры вдоль векторов пространства, а такяе в терминах преоб^ разования Фурье. Хороню известно,какую ваянуо роль в изучения гауссовских процессов играет гильбертово пространство с воспроизводящим ядром . В случае негауссовой ¡/ери свойства, которыми обладают сдвиги / гауссовой / меры вдоль векторов из воспроизводящего ядра, расщепляются, и имеет смысл отдельно рассматривать пространства'дифференцируемости, непрерывности и ядро меры.

Понятие дифференцируемой меры было введено С.В.Фоминым . В последующие годы дифференцируемые меры изучались с разных точек зрения С.В.Фомияым, О.Г.Смоляновым, A.B.Скороходом, Ю.Л.Да-яецким, A.B.Углановым, В.Ю.Бенткусом, Н.П.Кацем, Е.Т.Шавгулидзе, З.И.Богачевым, Н.В.Норинш / см. - LtI А Зонятие непрерывной меры впервые встречается в .работе В.А.Рома-юва / подробно свойства таких мер описаны в работе /.

i\jnoL G.'Sße *to€e ní^toáucZn^ HldSect

Açofic i* "bfli л^ис!^ «Ç. G-auMiaK pLoteilei.- А^ьалсгл

ич Pto&vßL€¿-ty ana 4*£ateel "hop^^TO, v.2, p49-23

!. Оокия C.B. Дифференцируемые меры в линейных пространствах.-

Тезисы кратких научных сообщений Международного конгресса ' математиков, секция Е, 19S6, с. 78-79. . Авербух В.И., Смоле job О.Г., Фомин C.B. Обобщенные функции и дифференциальные уравнения в линейных пространствах. -Труды Моск.матем.о-ва, 1971, т.24, с. 133-174. . Скороход A.B. Интегрирование в гильоертовом пространстве. М. " Наука ", 1975^ ' ' -' - i -

Понятие ядра меры было впервые введено С.Борэлом |_ЭJ . Введение этого понятия / вместе с двойственным понятием пространства измеримых линейных функционалов / позволяет построить некоторый аналог абстрактного вш.аровского пространства для негауссовой меры и наиболее естественным образом сформулировать бесконечномерные аналоги теорем Бохнера и Лэви. Разнообразная информация о ядра мери содержится в обзоре .

Цель работы. 1. Нахождение пространств дифференцируемостл и непрерывности для векоторых классов мер.

2. Применение метода дезинтегрирования к. исследованию дифференциальных свойств мэр.

3. Исследование геометрических свойств пространства измеримых линейных функционалов е ядра мэры.

4. Построение новых достаточных топологий.

5. Смолянов О.Г. Анализ на топологических линейных пространствах и его приложения. 1!., Изд-во МГУ, 1Э7Э.

V»

6. Далещшй Ю.Л., Фомин C.B. Меры и дифференциальные уравне-

■■ ния в бесконечномерных пространствах,- М. "Наука", 1984.

7. Богачев В.И., Смолянов О.Г. Аналитические свойства бесконечномерных распределений.-УМН, 1930, т.45, Ji 3,с. 3-84.

8. Романов В.А. О непрерывных и вполне разрывных мерах в линейных пространствах.- ДАН, 1Э76, т.227, J6 3, с.569-570.

9. С. Ratrulom and лив-ь^рол oj- {шва^ес^ ое. - Кх£. КЫ:., <9*2, vHA, 92.

10. fiiievjét S. Ke/uve6. AUoeiecW toVtR. cl

ftvea&u."^.- Uct Net«* MaifL.-fâaA.t.260, p.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми.

1. Получено* полное описание пространств дяфференцируемости п непрерывности продакт-мзр.

2. Получены близкие к окончательным условия дифференцируемое?!! / в различных смыслах / произведения функции на мору.

3. Получены новые результаты о геометрических свойствах пространства измеримых линейных функционалов и ядра меры,

4. Для полных топологических векторных пространств, изоморфно вкладывавшихся в р) /в частности, для пространств

< р ¿2)/ описаны достаточные условия существования в сопряженном пространств достаточных топологий, порожденных измеримыми и слабо измеримыми полунормами / определение последних приводится ниже /. .

Приложения. Результаты диссертации и разработанные в ней методы могут быть использованы в теории случайных процессов / обычных и обобиенних /, в теории дифференцигяьных уравнений на бесконечномерных пространствах и при изучении мер на топологических линейных -пространствах.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на научно-исследовательском семинаре по дифференциальным уравнениям я мерам в бесконечномерных пространствах в МГУ, на конференциях молодых ученых в МГУ в 1988 и 1989 гг.

. Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы з грех работах автора,сп :сок которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация состоит из введения, трех глав, содержащих 16 параграфов, приложения и списка татературы, включавшего 59 наименований. Збдий о^ьем диссертации 135 .стр.

Содержание диссертации. • • ' Пусть X ~ локально выпуклое пространство / ЛШ /, ^о(Х) -наименьшая б" - алгебра, содержащая всо цилиндрические подмножества X » ~ наименьшая б" - алгебра, относительно которой измеримы все непрерывнее функции на X . Мера на / X • % 00 / называется дифференцируемой / соответственно

непрерывной / по направлению вектора "Лб-Х , если для катаого х

А.6 %()0 Функция (АО дифференцируема / соответ-

ственно непрерывна / £з, 5 - 7] . 3 первом случае мера

^^(А+'ЬЮ)^ 0 называется производной ^ по направлена а обозначается символом .

•¿ера ^ на / X . ¿Эо (X) / называется С - дифференцируемой по направлению вектора Яб- X / дифференцируемой в смысле Скорохода /, если существует тахая мера на 5Ь0 фО * чт0

для всякой ограниченной непрерывной функции Ь- ка X справедливо равенство

ЙГо уда = 5¿^ да щ

Обозначим через С(р!) / соответственно через Й^), (р) / множество всех векторов, по направлениям которых мера ^ непрерывна / соответственно дифференцируема, С - дифференцируе-:ла /[7} .

В §§ 1-3 изучается пространство дифферанцируемости продакт-мерк. Пусть рп (х^ - плотность вероятностной дифференцируемой мери в Я , ^ (.*>:= /где X =

^ко^еИТ}

золем ЬА будем обозначать математическое одтдание относи -

оа

&ко вероятностной меры — С*«^

-»отткп

Теорема 1.1 Эквивалентны следуйте условия:

(/О (Z^e ^ifo

sap Mix С;?^«

И л*А

(С) р® ¿L<?n?r\ сходится б —» -i ci.

Пусть Via рп = р- Тогла c.J&fjitc. С*

Предложение 2.1 ¿¡ft ф£.4

Предложение 2.2 Следутаде услоаал гкздваленткы: - рефлексивно

2/.N4-tV= ъ-^и^-ьЛ (*->♦••)

3/. = X ^оо / n.j/}

где Я>св =

Пусть - Функция Орлича и ■= 2.

Построены прдыеры продахт-мер с пространствами дгфференцдруе-иостп tif , где ~

It \ - t

3 двух последках прзмерах верефзексгвно.

- 5 -

3 § 4 показано, что для произвольной меры ¿л на ЛВП X пространство непрерывности , снабясекное метрикой О Са.в! = Ли о ~ и | • изоморфно замкнутому

подпространству некоторого

и, следовательно,

имеет котил 2 . / предложение 4.1 /

3 § 5 дано описание пространства непрерывности продакт-ыеры. пусть ^ = п^пС^о^^п, , = **

Теорема 5.1 О.кН>0'.&}<]-Н=2}>0

Следствие 5.3 Пусть существуют мпояества А* СИ ГК.,

такие, что > 5 рп(>аЛ>с>0

к п Лп

Тогда С^с!2-

□редлоаение 5.2 -Пусть N/»4 = р. Тогда

СЛ^ = фикция Р(х) абсолютно непрерывна и

Г р'ГЛ1"

^ \< оо. Приведены примеры пространств непрерывкостд

продакт-мер, в частности, пространства (о< р 52) . Кстат.

из преклонения 4.1 следует, что ни одно из пространств при

р>2 не является пространством непрерывности.

3 § Б дано описание пространства С - лкффэреншгоуемости псодак

■ + «в"

меры. Пусть к = П РгС<п^Хп , где Уп. V

П=.Г -оо '

Теорем 3.1

_ -О. 'X , - ее

-с- ( Ск. Рк.&0 / -»с

где =

Вторая, глава посвящена применениям метода дезинтегрирования .в теории дифференцируемых мер. Пусть мера ^ дифференцируема по направлению &. Представляет интерес ответ на следующий вопрос: при катах условиях на функцию

ей мера $' ^ дифференцируема по направлению Я £?) справедлива формула интегрирования по частям:

5 М б« ^ да=- 5 у

В [з] утверждения а) и ^ были доказаны при следующих предположениях:

(I) дифференцируема по направлению £ 'в картой точке

(10 3 в>0 : 5 $ СсГЛ < <«

Очевидно, условия и (г\ О трудно проверяемы в / наибо-

лее интересном случае / неограниченной §• или В утверждение было доказано в случае, когда £ -огра-

ниченная функция, удовлетворяшая условию Липшица. Следующие дзе теоремы усиливают соответствующие результаты ,

и дают представляющийся близким к окончательному ответ на 'поставленный вопрос. - ■

Теорема 9.1 Цу ть л - ЗПЗП, Ц - мера на

дифференцируемая по капрддлекию £ . Пусть для - п.в. X.

11. Богачев В.И. Пренебрекоаге множества в локально выпуклых

• пространствах. - Ь'лт. заметки,' 1984, т.35, ^ 1, с. 51-64

функция ^ , непрерывна, дифференту г

п.в. п обладает N - свойством. Пусть

¿Л^е!^ С]^ • Тогда мера ё-р дифференцируема по направлению

и ¿цог-я = ^

Теорема Э.2 Пусть выполняются все условия теоремы 9.1, г-срсма / возможно / условия 4 е Г? . Тогда справедлива формула интегрирования по частям. "

Отметим, что для выполнения первого условия теорем Э.1 и 9.2 достаточно выполнения одного из следующих двух условий :

ДЛЯ £ - П.З. X функщя ^ БС5ПУ

плфференцдруема Б) для }* - п.з. X функция

абсолютно

непрерывна •

В § 10 дано достаточное условие ддфферекшруехгастз по Скороходу произведения функции на меру. . . Пусть X - ЛВП, - мера на /X • ФоОО/ такая, что

ЗВ>е§0О: 1>1СА*в) = о

Предложение 10.1 Пусть мера ^ С - дифференцируема в направлении & , П ^ (^л^ 2 выполняется одно

из сяедуЕсзх двух условий :

ДЛЯ - Е.В. X функция

абсолютно

непрерывна и

для ^ - п.в. X функция нэпре-оквна,

газет локально ограниченную вараациа и

"Ь

Тзгда мара #■ ^ С - ддЗфереЕгируема з заярааденяи Я.. 1?адлозаз7.э 13.1 усиливает ссо^г?гствутазй результат работы С71 » з котсрси предполагалось, чт^ 4 - ограниченная лппз-

1 доказано, что является сопряг,c-inrsi Cziizzcziz.'.

do странстаок. Отсада вытечет

Следствие 11.1 Для моры Радона з Еростршстдз :Ipoi.--етиьалектны слэду^сие сзоЯгтда : ей 2s<2 (jS) - сепарабгдъно

б) SbefjO обладает свойством Радона - Илкэдлг.та работе било доказано, что, если - бес;*окгч::з-

зръсо гильбертово пространство, тт мерз W со значениям-: ъ !)(j«S* тлеет нзэграглгчэ:-пг/я эарияддз. Ни:.:-? этот результат 7с:т~ заегс.т. Пусть "W - замге-утое подпространство £b<> (J*.) «смотрим эвктордуз / "W* » значку» / меру J*,' , огпяделяе!.~>™

К : = dzf* (А) Сйе W, Ае &,оо)

Даеддозэзяе 11.3 Vat u/< di^W < ^

W /

Третья глаза посзягзез изучения пространства зз^зр^гс seSssc функционалов и двойственного пространства: ядра меры. ;сть Е - ЛБП с сопряженным Е* , - мэра Радока з Е ,

• * L - каг~н::чес::сэ отсбралгэддз. Злзмзнт::

юстранстзя Е^ — (Е*) налызалтея ^ - дзмеун'.дг": нефункционалам. Пространство "=• ¿-jit. С зызается ядром мары £icl

tpiioti , cz. (Е*) / (с~ алгзбеалчзег-и зопря-

:-::-:os re E* пространство /, до, зели E гозаздполно,dt*

ли Ut-I (i H. — U.(l< 2.Ц Mi , ra aG tf^K / лежа 12.2/ telR ^ '

с£да следует, что С ¿jk\ с.

orь Е - пространство £ре:э. Обозначим чэрез .'.по-дэ^тзо

ex сепарабельннх банахевцд носителей

Теорема 12.1

Л ¥е & • ^ х 6 ХЧ.

^ = «л* X*

Теореме 12.2 — Г\ % Пусть Г - замкнутое подпространство некоторого

ЕСаАР")

такое, что = Г* разделяет точки на Г , ^(Э?, Г) - алгебр цилиндрических ыногеств относительно

парное, г), тСЭР. г)-

топология Ыаккн. Рассмотрим цилиндрическую меру 1тд на Ч> ^ / с характеристическим функционалом

Гп СЛ = Г е1^ Р(Усо) Т(ЗГ,Г) - непрерывная

полунорма |-| на<К. называется измеримой, ..¿ли "V8>0 существует такое конечное множество Л , что

Рассмотрим случайный процесс на Г* , порешенный влонением Р . Скажем, что ыногество Дс.Р является С - множеством, если сужение этого процесса на А имеет нэп рерывнув версию. Теорема

12.3 Пусть Ы-т(У,Г) -

непрерывная полукорма. Следующие свойства эквивалентны :

И - измерима Б)А-компактное С - множество. Теорема 12.3 была доказана в £12} для случая, когда Г - гильбертово пространство, а вложение

- нормальное

распределение. Нале доказательство и в этоы ¿дучае является новым и более простым. Основной результат § 13 :

Теорема 13.1 Пусть у - мэра Радона в банаховом пространстве X • Существует такая последовательность (Хц^ , что

Следствие 13.3 Еелзг X имеет тш 2, то для некоторой досовской радоновой мэры 2Г в

Следствие 13.4 Если X - х'ильбертово пространство, то (Одествует такой оператор Рлльберта - йлидта Ч7 X —* X . го З^сТСХ)

1едствиа 13.4 является усилением теоремы Скорохода - ана-згачного утверждения о множестве несингулярна:? сдвигов \йпн э шьбертсвсм пространстве.

§ 14 показано, что обращение теореьа 13.1 / т.е. утверждение том, что для любой последовательности (Х^ с ИХ* И <<=>&

^ —V

чествует такая мера Радона Ь ,что { (о*-) в С^^С.

р 1,4=11

/ верно для Х= и(Л."2.,->Г) и неверие

и

/ если </£тХ=с»/ гсть с - ЛЗП, у. - мера Радона в

тоническое отображение. В была поставлена слэдутг&я проблема 1охнера

гсть V - цилиндрическая мера на ЕО с непрерывна

топологии Е характеристическим функционалом ^ , будет лл ндркческая мера (ЧЛ продолжаться до мери Радона з

.«»¿л

1-е Са1А I. 0«\ -*>ем1ги>гтА апс( ^гсёа-б'ь&Ахи, а&Лгол^ лрагед. —

Хла. ~С>ао - Хаи^, ХгЛг^лЬссп сл

Меи-Уот-ц.—ЬэпЛоп:

;/гстъ Т--Е —^ - случайный линейный функционал,

индуцирующей цилиндрическую меру -0 / т.е.

Г.гк^еркй разрещжости прэблеглы Бохзера даат

Теорема 14.1 Следующее условие является достаточным I:, если Н^ разделяет точки па Е^, , необходимым для того, чтобы ц.м. 00 продолжалась до меры Радона в : существует такая последовательность непрерывных линейных операторов конечного ранга Е —> Р), что :

<Х) для и - п.б. существует •Сд^Л'лК

^ К -> «ю

Следствие 14.2 Проблема Бохнера разрешима для меры Радона в ЛВП со свойством аппроксимации. Следствие 14.2 является усилением результатов работ £14 - 1б|

14. Sato К. G-auní-ак т*еа*>и.ъа6>£е áua€. лк4 Ьое.£пел.\ь tt^um. - Аил. , V.9, ti к, Y- 6SC- 6С2

15. 6юс&*\«п>о ^^-«rfttm о*\ meavitaCCe <£т««г

rt\€abíjcue. aná ^-exxim.futvc.í.Aho€

1?. Мусттари Д.Х. Вероятности и тополсгяг в банаховых пространства::. Изд-во Казан, ун-та, 1939.

Следствие 14.5 Проблема Бохнэра разрешена Дйя :.гарк адонэ в банаховом пространстве, имеющем устсйчизыЗ тип 1 17, с.50~| / такое пространство ¡josst не иметь свойства апрокгалациа /.

Следствие 14.7 Проблема Еохнзра разрешима для вероят-зстной радоновой мэры з пространстве чгв'лз ET', -эсл;: t^ леет базис, состояний из независимых случайных величия. ;та~овлен один результат о езяза мвзду р - рад-жизухшта :: э - сугларутещизл операторам /' см. ^17, с.ICO. lOi] /. гсть X á У - банаховы пространства.

Следствие 14.10 ¿ели X* обладает сэоЛстэсм Радона -п-содима £ 18, с.10б| и свойстзом аппроксимации, то

Rpí*^ = Пр (x.sn (о < р <-0

§ 15 вводится и изучается понятий слабо измеримой пелуноргг». ■сть Г* - замкнутое подпространство некоторого lí(H,iA>P~) лов, что ^ — Г* разделяет точки на Г. т («f, Г) _ я-п-рызная полунорма Н • II на ЗД называется слабо измэриглоЗ, лz множество \ ?v&: (I £ d перядково ограничено а

дученн эквивалентные форнулзрозка определения слабо измэрг-й полунормы / леммы 15.1, 15.2, 15.3 /. я случая, когда Г - гильбертово пространство, а здс.~экпе 1 С. ~ нор!яадькое распределение, показано, что

29 понятие слабо измеримой полунормы совпадает о дожитием эанпчззанцей полунорма, дакким з ¡J.8, с.23Л , :: о понятием деримоЗ яолупермы з смысле / лемма 15.2 /

, Задания H.H., Таряеладзе В.И., 'Чобанян O.A. Еероятносткк-з

распределения в банаховых пространства:;. 11.: Наука, 1335. . Ошзлянсз О.Г. Теорема Гросса - Сазонова для знакопеременных цилиндрических мэр. - Вестник МГУ, 1983, 5 4. - 13 -

В § 16 доказана достаточность топологии, порозденной слабо измеримыми полунормами в ваяном частном случае. Пусть - последовательность независимых симметричных не-Еырокдеяню: случайных величин на вероятностном пространстве

Легко проверяется, что Г - Р - пространство с базисом, следовательно = Г * разделяет точки на Г . Топология Т в^ называется достаточной, если каздая .цилиндрическая мера на % (Г, 1С) , характеристический функционал которой "С - непрерывен, продолжается до меры Радона в Г*. Теорема 16.1 Топология в

Ж , порожденная слабо измеримыми полукормами, является достаточной. Показано, что из теоремы 16.1 вытекают основные результаты о достаточных топологиях в гильбертовом пространстве : теорема Сазонова,усиленная теорема Гросса,теорегла Верджка-Судакова

В приложении доказан усиленный вариант теоремы Б.Ыорэ о факторизации линейных операторов со значениями в Ь .

В заключение автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю доктору физико-математических наук Э.Г.Сколянову за постоянное внимание, многочисленные обсуждения и полезные советы.

Работы автора по темэ диссерташш

. Хафкзоз М.7. 0 пространстве ддфференцдруемостд продахт-керы. - Вэстняк МГУ, 1Э89, П 2, с. 81-84

. 1афдзоз М.У. Несколько нови результатов о эифференцл-руемых мерах. - Вестник МГУ, 1330, й 4, с. 53-66.

. Хафизов М.У. Одна квазпаг-эзаряаытная гладкая мера па группе диффеоморфизмов области.'- Ыат.за^еткд, 1ЭЭ0, т.48, а 3, с. 134-143.