Некоторые аспекты теории D-бран тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Введение

Глава 1. DO-браны и матричная модель.

§1. Описание модели и 577(2) х 50(2) параметризация.

§2. Классическая бозонная задача.

2.1. Гиперболическая модель с отражающей стенкой

2.2. Гиперболическая модель с гиперболическим потенциалом

2.3. Численные эксперименты.

§3. Квантовая механика DO-бран.

3.1. Алгебраическая структура SU{2) х 50(2) суперсимметричной квантовой механики.

3.2. Вывод уравнений Шредингера.

3.3. Спектр.

Глава 2. Некоммутативная теория ip4.

Глава 3. Кубическая полевая теория фермионной струны.

§1. Аппарат конформной теории поля.

1.1. Бозонная струна и вершинные операторы.

1.2. Фермионы.

1.3. Супердухи и бозонизация.

§2. Действие полевой теории суперструн.

2.1. Склейка струн и конформные преобразования

2.2. Действие полевой теории суперструн в нулевой картине и двойной оператор смены картины.

2.3. Полевая теория суперструн на конформном языке

2.4. Ограничения на струнное поле.

§3. Полевая теория фермионной струны на не-БПС .D-бране.

§4. Вычисление потенциала тахиона.

4.1. Струнное поле тахиона

4.2. Потенциал тахиона.

§5. Натяжение не-БПС D-браны и гипотеза Сена.

§6. Полевая теория фермионной струны и калибровочная инвариантность.

§7. Орбиты калибровочной группы.

7.1. Орбиты калибровочной группы в бозонной полевой теории струн.

7.2. Орбиты в полевой теории фермионной струны

Бурное развитие теоретической физики элементарных частиц в значительной мере обязано созданию квантовой теории поля [5], которая вначале с успехом объяснила электромагнитное взаимодействие, а дальнейшее обобщение на случай взаимодействия Янга-Миллса привело к созданию последовательной квантовой теории калибровочных полей [12]. Однако, теория не давала хорошего объяснения некоторых вопросов, возникающих при изучении сильных взаимодействий. В качестве нового подхода была предложена теория струн [7]. Замечательным оказалось то, что теория струн (и ее суперсимметричное расширение — теория суперструн) значительно сблизила теорию Янга-Миллса и квантово-полевую теорию гравитации. На сегодняшний день теория суперструн является наилучшим кандидатом на единую теорию фундаментальных взаимодействий.

Развитие теории струн в последнее время связано с изучением ее непер-турбативных аспектов. Известно, что различные теории струн связаны между собой преобразованиями дуальности. Как было показано в работе [62], существование дуальностей с необходимостью влечет введение в теорию струн Dp-6paH — непертурбативных динамических объектов (см. также [51, 85] и обзор [63]). Если рассмотреть струну, на р + 1 координаты которой наложены граничные условия Неймана, а на остальные координаты граничные условия Дирихле, то Dp-брана будет той самой (р+1)-мерной гиперповерхностью, на которой живут открытые концы струны. Буква D отражает тот факт, что накладываются граничные условия Дирихле, а р-брана есть обобщение понятия мембрана нар+1 измерение. В случае £> = О это будет частица. Ниже, в случае общего описания будет использовано понятие D-брана без указания конкретной размерности (иногда, для краткости, будет просто использоваться понятие брана). Изучение динамики D-бран является необходимым для понимания непертурбативных свойств теории струн.

В низкоэнергетическом пределе /?-браны описываются калибровочными теориями, заданными на их поверхности. Действительно, безмассовый спектр открытых струн совпадает со спектром максимально суперсимметричной калибровочной теории с группой /7(1) в р + 1 измерении. 9 — р безмассовых скалярных полей в этом супермультиплете как раз и описывают поперечные возбуждения Dp-браны. Если рассмотреть N параллельных совпадающих 1)р-бран, то тогда в их описании будет участвовать N2 различных типов открытых струн (струна может начинаться на одной бране и заканчиваться на другой). N2 - это размерность присоединенного представления U(N), то есть такая конфигурация бран описывается максимально суперсимметричной калибровочной теорией с группой U(N) [86].

Некоторое время назад теории, содержащие браны, стали рассматриваться как возможная альтернатива компактификации Калуцы-Клейна [15]. В этой конструкции брана (DS-брана) представляет наш физический мир, в то время как остальные измерения, ортогональные к бране, остаются конечными или даже некомпактными. При этом подразумевается некоторый механизм удержания материи на бране [67, 65]. Вопрос построении таких моделей, когда физические поля локализованы на бране, активно обсуждается в последнее время [36, 60, 53].

Несколько лет назад в ряде работ [85, 63] было отмечено, что известные суперструнные теории, являющиеся 10-ти мерными теориями, могут быть рассмотрены как различные предельные случаи единой М-теории, которая есть теория в 11-ти измерениях.

В статье Т. Бэнкса, У. Фишлера, С. X. Шенкера и Л. Сасскинда [26] матричная модель была предложена в качестве кандидата на роль М-теории. Было показано, что при специальной компактификаци 11-мерной теории по одиннадцатому измерению DO-браны возникают естественным образом и отвечают Калуца-Клейновским модам [1]. Причем, в пределе сильной связи действие для DO-бран отщепляется и представляет размерную редукцию (9 + 1)-мерного действия Янга-Миллса с калибровочной группой

SU(N) до 0 + 1 измерения, где N — это число бран. В сущности, теория в 0 + 1 измерениях — это механическая система. Тем самым, замечательным образом оказывается, что информация об 11-мерной теории может быть получена из изучения механической системы.

Изначально авторы идеи рассматривали предел больших N. Однако исследование теорий в пределе больших N является сложной математической задачей [47, 2]. В работе [76] было предложено рассмотрение конечных N (см. также обзоры [25, 77]), и, таким образом, оказалось, что исследование матричной суперсимметричной квантово-механической системы играет важную роль в анализе непертурбативных свойств струны. Это обстоятельство стимулировало активное изучение в последнее время SU(N) х SO(d) суперсимметричной квантовой механики. Квантовая механика .DO-бран рассматривалась ранее в работах [34, 52, 35]. Особое внимание уделяется проблеме нормируемого состояния с нулевой энергией, которое представляет одиннадцатимерный гравитон (при d = 9). В простейшем случае группы SU(2) этот вопрос изучался в работах [34, 52, 35], случай N = 3 был рассмотрен в работе [31], а произвольные N — в работе [49]. При изучении наличия состояния с нулевой энергией применялся метод Борна-Оппенгеймера [34, 52, 35]. Этот метод позволяет найти поведение волновой функции в асимптотической области вдали от начала координат, из чего делается вывод о наличии или отсутствии нормируемого решения. Ожидается, что существует единственное такое состояние при d = 9 и не существует ни одного в меньших размерностях [34, 52, 35, 31, 49, 42, 50, 43, 41]. В статье Д. Фролиха, Г. М. Графа, Д. Хаслера, Д. Хоппе и С.-Т. Яу [41] этот факт показан для группы SU(2), анализируя уравнения первого порядка, возникающие как следствие суперсимметрии состояния с нулевой энергией.

Напомним, что ранее, при d = 3, бозонный сектор такой квантово-механической модели рассматривался в работах [3, 8, 23] при изучении размерной редукции действия Янга-Миллса. Было отмечено, что даже в случае группы 577(2) получается довольно сложная механическая система [68]. Она изучалась в случае специальных подстановок. В рамках одной из них ее удалось свести к двумерной1, но даже в этом случае это оказалась неин-тегрируемая система, имеющая хаотическое поведение [3, 8, 23, 13, 11]. Позже эта модельная система изучалась в квантовом случае, и было доказано, что ее спектр дискретный [57, 75]. Выражение для спектра получено в работе [9]. В начале 80-х суперсимметричная квантовая механика была предложена как модель, способная прояснить вопросы нарушения суперсимметрии [82], и рассматривалась в этой связи в статьях [14, 33, 38, 24]. В конце 80-х интерес к матричной квантовой механике вновь усилился, так как было отмечено, что она описывает регуляризованную теорию мембран в d + 2 измерениях [48, 80, 81]. Опять же, упор делался на предел больших N. В отличие от бозонного случая, для суперсимметричного расширения было доказано присутствие непрерывного спектра [81]. Этот факт рассматривался как нестабильность мембран относительно деформаций в струнные конфигурации.

Однако, вопрос доказательства наличия или отсутствия дискретного спектра и формулировка правила суперотбора, выделяющего нормируемые состояния в этой модели, свидетельствующего о наличии нормируемых связных состояний DO-бран и о стабильности супермембраны, оставался открытым. Минимальной возможностью является формулировка модели при d = 2 с калибровочной группой 577(2). Механическая система будет получаться редукцией суперсимметричного действия Янга-Миллса из 2+1 измерения к 0+1 измерению. Несмотря на то, что это является минимальной возможностью, получающаяся механическая система позволяет получить новые и интересные результаты. Подробному изучению 517(2) х 50(2) суперсимметричной модели, как на классическом, так и на квантово-механическом уровне, посвящена глава 1 диссертации.

Как было недавно обнаружено [74, 69] (см. также обзор [16] и ссылки в

1 Суперсимметричное расширение этой системы часто используется как модельный пример. нем), в теории струн естественно возникают не только обычные калибровочные теории, но также и калибровочные теории, определенные на некоммутативном пространстве. Интерес к подобного рода обобщениям возникал и ранее в связи с надеждой создания на основе некоммутативности квантовой теории поля без расходимостей, а также в контексте построения калибровочных теорий с квантовыми группами. Оказывается, что координаты открытых струн, закрепленные на .D-бране, в присутствии ненулевого В-поля 2-формы из NS-NS сектора перестают коммутировать друг с другом. В результате низкоэнергетическое действие D-браны становится действием некоммутативной теории поля (теорией, где функции перемножвются не обычным образом, а посредством некоммутативного Мойяловского произведения), в частности, действием некоммутативной суперсимметричной теории Янга-Миллса. Как и при изучении квантовых теорий поля на коммутативном пространстве, встает вопрос о внутренней согласованности таких теорий на квантовом уровне. Исследование некоммутативных теорий весьма нетривиально, поскольку все такие теории являются нелокальными (их действие содержит производные сколь угодно высокого порядка), а также содержат новый размерный параметр некоммутативности В качестве примера оказывается полезным изучение теории некоммутативного скалярного поля с взаимодействием (/?4. Доказательству двухпетлевой перенормируемости этой теории посвящена глава 2 диссертации. Однако, оказывается, что, за счет некоммутативности, в этой теории возникает эффект смешивания ультрафиолетовых и инфракрасных расходимостей [58], что, по всей видимости, свидетельствует об отсутствии внутренней согласованности этой теории. Примером согласованной некоммутативной теории является теория Л/* = 2 суперсимметричного Янга-Миллса.

Другим подходом к изучению непертурбативных свойств теории струн и, в частности, D-бран является полевая теория струн. В оригинальных работах Э. Виттена [83, 84] полевая теория открытых струн строилась на языке некоммутативной геометрии, и действие записывалось с использованием струнного произведения и интеграла. Характерным свойством этой теории является то, что взаимодействие описывается кубическим членом, и полное действие есть действие типа Черна-Саймонса. Следует отметить, что непосредственное обобщение этого действия на случай суперструны [84] имеет трудности, так как неправильно воспроизводятся амплитуды рассеяния уже на древесном уровне. Эти трудности были преодолены, и было построено кубическое действие полевой теории суперструн, независимо И. Я. Арефьевой, А. Зубаревым, П. Б. Медведевым [20, 21] и С. Р. При-етшопфом, С. Б. Торном, С. А. Йостом [64]. Отметим, что альтернативой полевой теории струн является теория полей высших спинов [39].

Открытая бозонная струна имеет в своем спектре тахион — частицу с отрицательным квадратом массы, что приводит к нестабильности пер-турбативного вакуума. В. А. Костелецки и С. Самуэль [54] предложили использовать полевую' теорию струн для описания конденсации тахиона и возникновения непертурбативного вакуума. В своих вычислениях они использовали метод обрезания по уровням, то есть в вычислениях участвовали только поля с массой не более какого-то заданного значения М. Было показано уже на низших массовых уровнях, что последовательное обрезание при все больших и больших значениях М дает систематическую аппроксимацию для эффективного потенциала тахиона. Более того, в такой схеме вычислений оказалось, что эффективный потенциал тахиона в бозонной струне имеет нетривиальный минимум.

Позднее, в статье [22] метод обрезания по уровням был использован для изучения эффективного потенциала вспомогательных полей в кубической полевой теории суперструн, построенной в работах [20, 64, 21]. Оказалось, что некоторые вспомогательные поля имеют нетривиальное вакуумное среднее значение, позволяя, тем самым, нарушить суперсимметрию. Калибровочное векторное поле приобретает массу, в то время как физическое спинорное поле остается безмассовым, что и свидетельствует о нарушении суперсимметрии в нетривиальном вакууме.

Недавно А. Сен предложил [70] интерпретировать конденсацию тахиона как распад нестабильной D-браны, к которой прикреплены концы струны. В рамках этого предположения вакуумная энергия открытой бозонной струны в вакууме, который найден в работе [54], должна компенсировать натяжение нестабильной D-браны (более конкретно, разность энергий в вакууме, который найден в работе [54], и в пертурбативном вакууме должна быть равна натяжению нестабильной D-браны). Эта гипотеза стимулировала интерес к изучению полевой теории струн.

Аналогично, в работе [70] рассматривается теория суперструн. В этой статье А. Сен показал, что если рассматриваются нестабильные конфигурации D-бран, которые полностью нарушают суперсимметрию, так называемая не-БПС D-брана или пара 1)-брана-анти-.0-брана [71], то струны в таких системах содержат возбуждения как из ГСО+, так и из ГСО— сектора. В дальнейшем будем называть .струну, в которой присутствуют как ГСО+, так и ГСО— сектора, фермионной струной. Наличие ГСО— сектора означает, что в спектре присутствует тахион, и мы снова можем поставить вопрос о нетривиальном минимуме тахионного потенциала и о распаде нестабильных конфигураций D-бран.

В бозонной полевой теории струн равенство величины натяжения нестабильной браны и значение потенциала тахиона в минимуме проверялось [73] на низших уровнях. Позднее было показано, что значение тахионного потенциала в непертурбативном минимуме компенсирует 99% натяжения нестабильной бозонной D-браны [59]. При проведении непосредственных вычислений оказывается удобным использование конформного языка описания полевой теории струн, разработанного в работах [55, 56]. Именно конформное описание теории используется в диссертационной работе.

В главе 3 настоящей диссертации описано кубическое действие полевой теории фермионной струны, и вычислен тахионный потенциал на первых массовых уровнях. Проведенные вычисления подтверждают гипотезу А. Сена.

Важно отметить, что действие полевой теории струн строится на основе принципа калибровочной инвариантности и по построению инвариантно относительно калибровочных преобразований определенного вида. Тем самым, есть возможность фиксировать калибровку, и, обычно, фиксируется калибровка Фейнмана-Зигеля.

Однако, при вычислении тахионного потенциала в кубической полевой теории фермионной струны оказывается удобным использование другой калибровки специального вида. Более того, как было показано в статье [37], при вычислении тахионного потенциала в бозонной полевой теории струн существует ограничение на использование калибровки Фейнмана-Зигеля. Оказалось, что эта калибровка справедлива лишь в малой области пространства струнных полей (важно отметить, что эта калибровка справедлива на массовой поверхности). Таким образом важен вопрос о возможности наложения калибровки, упрощающей вычисление тахионного потенциала.

Исследование вопроса калибровочной инвариантности полевой теории теории фермионной струны также проведено в главе 3 диссертации.

Диссертационная работа имеет следующую структуру. Глава 1 посвящена изучению динамики DO-бран в случае, когда изначальная теория — суперсимметричное действие Янга-Миллса с калибровочной группой SU(2) — формулируется в пространстве 2+1 измерений. Действие, описывающее £Ю-браны, получается при размерной редукции к 0+1 измерению.

В параграфе 1 дано подробное описание механической модели, описывающей динамику .DO-бран. Действие имеет вид

S = J dt (J- Tr F,VF^ - г Tr фГ^^ , (1) где

Foi = doPi + Ио, <#], Fij = [<ри ipj], D0ip = д0ф + [A0, ф], Diф = [(ри ф], a P — трехмерные матрицы Дирака. Далее, описана удобная параметризация бозонных полей, предложенная в работе [19], которая вводится следующим образом ipi = (a1/cos 9 - a2g sin в) U, л/2

Ч>2 = 4=и+ (сг1/ sin 9 + a2g cos в) U, v 2

2) где SU(2) матрица [/(71,72,0;) задается формулой и(ъ,<*,ъ) = exp exp (j^avij ехР ■

Здесь Oi — матрицы Паули. Эту замену переменных мы будем в дальнейшем называть SU(2) х 50(2) параметризацией. Следует отметить, что, во многом благодаря этой параметризации, удалось серьезно продвинуться в изучении как классической механики действия (1), так и квантово-механической системы, получающейся при квантовании системы (1).

Параграф 2 посвящен более глубокому исследованию бозонного сектора системы (1) на классическом уровне с применением параметризации

2). Оказывается, что в новых координатах четыре угловые переменные становятся циклическими, и динамика описывается эффективным лагранжианом где Л = l/(8c/g), an — произвольный вещественный параметр (в том числе и 0), связанный с Лоренцевыми вращениями в плоскости (1,2). Уравнения движения, следующие из этого лагранжиана, удается проинтегрировать в асимптотической области д -С / методом Крылова-Боголюбова [4]. Известно, что в случае п = 0 система имеет стохастическое поведение [3, 8, 23, 13, 11]. Однако, в случае п ф 0 возникает параметр

3V3n2VA' и в случае С ^ 1 движение становится регулярным. Наличие такого режима показано с помощью численного интегрирования уравнений движения. С помощью специальной программы были построены экспонента Ляпунова и сечение Пуанкаре для различных траекторий при разных значениях параметра

В параграфе 3 изучается SU(2) х SO(2) суперсимметричная квантовая механика. Гамильтониан имеет вид

Я = HB + HFl (4)

Нв = f^ + xD + ^-l^x^l2, где 7гга, ipbj и — это канонически сопряженные пары с перестановочными соотношениями а на физические состояния наложен закон Гаусса 7а|Ф) = 0. Целью исследования является нахождение полного спектра системы.

Первым шагом является построение алгебры операторов. В результате рассмотрения оказывается, что состояния образуют четверки (квартеты), причем одно состояние квартета может быть получено из другого действием оператора суперзаряда и/или оператора Р, который реализует дискретную симметрию гамильтониана, связанную с перестановкой бозонных полей (fi и фч и фермионных полей X и Х

Вторым шагом является использование параметризации (2), что позволяет явно найти зависимость волновой функции от угловых переменных. Это дает возможность, как и в классическом случае, свести задачу к двумерной. Правда, стоит отметить, что явный вид гамильтониана в новых координатах (44) имеет крайне громоздкий вид, и его вычисление проводилось при помощи программы "Maple". В результате уравнение Шредингера сводится к системе уравнений на четыре функции Fq, F°, F+, F~, причем эти функции зависят только от переменных fug. Более того, в зависимости от значения п, где п — это собственное значение оператора Лоренцевых вращений (и в отличие от классического случая может быть только целым или полуцелым), согласованность уравнений требует тождественного обращения в 0 некоторых функций F.

Третий шаг — это решение уравнений на функции F в асимптотической области д <С /. Результатом является формулирование правила суперотбора, которое разделяет две ветви спектра. Одна ветвь содержит только дискретный спектр, другая как дискретный, так и непрерывный. Это правило удается сформулировать в терминах суперзарядов и квантового числа п.

Глава 2 посвящена рассмотрению некоммутативной теории ср4 в евклидовом четырехмерном пространстве.

Действие теории имеет вид

1 1 dAx [-(ад2 + -т-У + ★ (Р * ¥ * Ч>) , (5) где -к обозначает Мойяловское произведение (/* д){х) = е2^"9^®9" f(x) д(х), £ есть параметр деформации, в^ — невырожденная кососимметрич-ная вещественная постоянная матрица.

Все вычисления диаграмм проводятся в размерной регуляризации d = 4 — 2s. В результате оказывается, что и в одной, и в двух петлях расходимости вычитаются контрчленами, имеющими структуры из действия (5). Также обсуждается смешивание ультрафиолетовых и инфракрасных расходимостей в этой теории.

В Главе 3 изучается кубическая полевая теория фермионной струны.

В параграфе 1 дано подробное описание аппарата конформной теории поля, что необходимо для проведения конкретных вычислений в полевой теории фермионной струны. Вначале рассматривается бозонная струна. Далее рассматриваются фермионы, и особое внимание уделено рассмотрению супердухов (то есть духов, которые вводятся при рассмотрении фер-мионов в струне) и процедура бозонизацйй супердухов. В этом параграфе и в дальнейших вычислениях используются обозначения из работ [55, 56, 40].

Параграф 2 посвящен рассмотрению действия полевой теории струн на языке конформной теории поля. Описывается понятие струнного поля где ui(k) — это пространственно временное поле, Ф/(^) — конформное поле, являющееся вершинным оператором для данного пространственно-временного поля, I — мультииндекс; и понятие струнной конфигурации, которое позволяет записать взаимодействие п струн посредством корреляционной функции. А именно,

J Ф1 * • • • ★ Фп = (У„|Ф1)1 <8> • • • <g> |Фп)п = (Фъ • • • , Фгг>Я, П где

Ф1,.,Фп>Лв = (^1(п)оФ1 .^оФв) п а отображения F^ (к = 1. .п) определены следующим образом:

Ft\w) = (Pn о /<"»)(«,), 2 = е" W»)-*) 5 , Р2(г) = jlrf, ОД = -1 га г 1 — z V^l + z

I ^^ п — нечетные, где fjb(n)= <

I -4f- п = четные.

Далее, обсуждается кубическое действие полевой теории суперструн для открытой NS струны в нулевой картине. Действие имеет вставку двойного оператора смены картины 2 [20, 64]:

Оказывается, что существует только два таких оператора смены картины У2, так называемые киральный и некиральный. Причем, оператор смены картины должен удовлетворять набору свойств, сформулированных в этом параграфе. Далее в этой главе исследуется действие с некиральным оператором вида

В случае действия (7) вычисление n-струнного взаимодействия несколько модифицируется. Соответствующий объект в конформной записи имеет название нечетной скобки ((.|.}), определенной следующим образом где конформные отображения определены также, как и в случае взаимодействия без вставок.

Полное действие на конформном языке имеет вид

У2 = (4с<Э£е~2^) (z) (4с<9£е~2^) (z*)

У2Иь ., Ап)) = ( Рп о У2( 0,0) f[n) oAi(O). /Ы о An(0)) = (4n)oY2(i,i)ft)oA1(0).f^oAn(0)\ , n = 2,3, FL,. n

S[A] = ^ hY.2\A, QBA]» + i«r2|A A, A))

Яг. £ о 1 где д0 есть безразмерная константа связи.

Также обсуждаются ограничения на струнное поле, и возможность выкидывания полей с 0-зарядом, отличным от 0 и 1. ф-заряд есть собственное число тока дф.

Параграф 3 посвящен описанию полевой теории фермионной струны на не-БПС бране. Иными словами, в струне оставлен ГСО— сектор, и, в частности, присутствует тахион.

Оказывается, что единственное (с точностью до перерастяжки полей) кубическое действие, объединяющее ГСО+ и ГСО— сектора и обладающее калибровочной инвариантностью, имеет вид

9о

Ан QBA+)) + А+, Л+, Д+» : (8)

Калибровочные преобразования, оставляющие это действие инвариантным, записываются как

6Л+ = QbK + [Л+, А+] + {Л-, А-}, 6Л- = + И, Л+] + {Л+, Л}.

В параграфе 4 действие (8) используется для вычисления эффективного потенциала тахиона в методе обрезания по уровням. Для этого вычисляется действие на постоянных Лоренц-инвариантных полях. Далее, потенциал определяется как V(t) = — C(t, Wi(t)), где t — это поле тахиона, a Wi(t) — вспомогательные поля, выраженные через поле тахиона при помощи уравнений движения. Выражения для лагранжианов на уровнях (1/2,1) и (2,6) имеют вид (105) и (106), соответственно. Вычисление лагранжианов проводилось на специально разработанных программах. Одна программа написана Д. Беловым в пакете "Maple", вторая программа написана на языке программирования С++ автором диссертации. (Использование двух независимых программ обуславливалось необходимостью проверки вычислений.) Непосредственное вычисление эффективного потенциала производится в калибровке

3t>2 - 3^4 + 2V5 = 0, (9) и получающиеся выражения для эффективного потенциала имеют вид vif'W = ~г~7ё±Г

9 / '

9оа 2

81 4 1 2 t4 - -;£2 у Mm -L eff W — 9 ,e±1

Q 2

1024 4

5053 4 1 2 -£4 - -t2

10)

69120 4

В параграфе 5 производится вычисление натяжения D-браны в терминах константы связи д0. Для этого вычисляется действие для струны, натянутой между двумя бранами в случае струнных полей специального вида. В результате получается выражение для натяжения 2 тп =

Р 9 9 /2±1 '

7~7гАа 2

Подстановка этого выражения в потенциал (10) позволяет выразить величину минимума потенциала через натяжение браны. Оказывается, что на уровне (1/2,1) величина минимума есть —0,975 натяжения браны, а на уровне (2,6) величина минимума есть —1, 058 натяжения браны. Это непосредственно подтверждает гипотезу А. Сена о том, что энергия тахиона в непертурбативном минимуме компенсирует натяжение нестабильной браны. Замечательным является то, что хорошее соответствие получено уже в первом нетривиальном приближении.

В параграфе 6 изучается вопрос о калибровочной инвариантности теории в рамках метода обрезания по уровням. Разработан метод построения явного вида калибровочных преобразований. Существенным в этом методе является выражение струнного произведения при помощи корреляционных функций конформной теории поля. Для этого оказывается необходимым построение так называемых дуальных конформных операторов. Конформные операторы {Фг, Та} называются дуальными к операторам {Ф;, Ть}, если выполнены следующие равенства

У2|Ф\ Ф,)> = ^ и <(У2|Та, ТЬ» = П.

В качестве примера этот метод применяется к бозонной теории. Полученные ответы совпадают с уже имеющимися результатами [37]. Далее этот метод используется применительно к действию (8).

В параграфе 7 вычисляются орбиты калибровочной группы и проводится анализ применимости калибровочных условий. Вначале вычисляются орбиты в бозонной полевой теории струн. Полученный ответ подтверждает известный ранее результат, что удобная в выичслениях калибровка Фейнмана-Зигеля не всегда достижима.

Далее вычисляются орбиты калибровочной группы в полевой теории фермионной струны, и исследуется применимость условия (9). Получающееся выражение для орбит в(ф) = [a sin(0.814A) + 6cos(0.814A)]e3'27A [csin(0.814A) -I- dcos(0.814A)]e~3'27A + 4.15A + /, где a, 6, с, d, f есть константы, выражающиеся через начальные значения полей и и явно демонстрирует, что такое калибровочное условие достижимо при любых начальных условиях на поля и, Vi.

В Заключении перечисляются основные результаты диссертации.

В Приложении приведены обозначения, используемые в Главе 3 диссертации, а также доказательства свойств цикличности и твист симметрии нечетной скобки.

Заключение

В заключение еще раз перечислим основные результаты, выдвигаемые на защиту.

1. Показано, что в механической системе, получающейся при размерной редукции (2 + 1)-мерного действия Янга-Миллса к (0 + 1) измерению, и описывающей динамику DO-бран в (2 + 1) измерениях, существует переход между хаотическим и регулярным режимами, и получено выражение для параметра, определяющего поведение системы.

2. Сформулировано правило суперотбора, выделяющее состояния с дискретным спектром, в квантово-механической системе, получающейся при размерной редукции (2 + 1)-мерного суперсимметричного действия Янга-Миллса к (0 + 1) измерению.

3. Доказана двухпетлевая перенормируемость некоммутативной теории

V4

4. В методе обрезания по уровням вычислен эффективный потенциал тахиона на скалярных постоянных полях в кубическом действии полевой теории фермионной струны, и показано наличие непертурбативного минимума потенциала.

5. В рамках полевой теории фермионной подтверждена гипотеза А. Сена о том, что величина потенциала тахиона в минимуме компенсирует натяжение нестабильной D-браны.

6. Доказана калибровочная инвариантность кубического действия полевой теории фермионной струны в методе обрезания по уровням. Разработан метод нахождения орбит калибровочной группы, и проведено вычисление орбиты калибровочного условия, использованного при вычислении тахионного потенциала. Доказано, что такое калибровочное условие всегда достижимо.

Все выдвигаемые на защиту результаты получены автором данной диссертации, являются новыми и опубликованы в следующих работах:

1. А. С. Кошелев, Некоммутативные теории поля и УФ/ИК смешивание, Труды 10-й Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц, под ред. А. Студеникина, МГУ, 2001, 313-318;

2. I. Ya. Aref'eva, D. М. Belov, A. S. Koshelev, Two-Loop Diagrams in Noncommutative ф\ theory, Phys. Lett. B476 (2000) 431-436;

3. I. Ya. Aref'eva, A. S. Koshelev, P. B. Medvedev, Chaos-order transition in Matrix theory, Mod.Phys.Lett. A13 (1998) 2481-2494;

4. I. Ya. Aref'eva, A. S. Koshelev, P. B. Medvedev, On stable sector in super-membrane matrix model, Nucl.Phys. B579 (2000) 411-436;

5. I. Ya. Aref'eva, A. S. Koshelev, D. M. Belov, P. B. Medvedev, Tachyon Condensation In Cubic Superstring Field Theory, Nucl.Phys. B638 (2002) 3-20;

6. I. Ya. Arefeva, D. M. Belov, A. S. Koshelev, P. B. Medvedev, Gauge Invariance And Tachyon Condensation In Cubic Superstring Field Theory, Nucl. Phys. B638 (2002) 21-40.

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались автором на семинарах отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова РАН, отделения теоретической физики Физического института им. П. Н. Лебедева РАН, института Ядерных Исследований РАН, кафедры теоретической физики Физического факультета МГУ, отделения Теоретической физики высоких энергий Университета Крита, а также на следующих научных конференциях: "Конференция молодых ученых", ОИ-ЯИ, Дубна, Россия, 1-10 февраля 1999; Международная конференция "Физика высоких энергий и квантовая теория поля", НИИЯФ МГУ, Москва, Россия, 15-25 мая 1999; Ломоносовская конференция 2001, МГУ, Москва, Россия, 21-28 августа 2001; Международный семинар "Кварки-2002", Университет Новгорода, Великий Новгород, Россия, 1-9 июня 2002.

Автор выражает глубокую признательность всем сотрудникам отдела Теоретической физики Математического института им. В. А. Стеклова за полезные обсуждения и создание благоприятных условий для работы.

Особенно я хочу поблагодарить моего научного руководителя И. Я. Арефьеву за постоянное внимание и поддержку во время моего обучения и написания работы, И. В. Воловича, Э. Киритсиса, О. А. Рычкова за плодотворные обсуждения и ценные комментарии, а также Д. М. Белова и П. Б. Медведева за плодотворное сотрудничество.

1. И. Я. Арефьева, И. В. Волович, Суперсимметрия; теория Калуцы-Клейна, аномалии и суперструны, УФН 28 (1985), 694-708;

2. И. Я. Арефьева, А. А. Славнов, Труды Школы молодых ученых, Дубна (1980), 36-100;

3. Г. 3. Басеян, С. Г. Матинян, Г. К. Саввиди, Нелинейные плоские волны в безмассовой теории Янга-Миллса, Письма ЖЭТФ 29 (1979), 641644;

4. Н. Н. Боголюбов, Ю. А. Митропольский, Асимптотические методы в теории нелинейных осцилляций, ФизМатГиз, 1958;

5. Н. Н. Боголюбов, Д. В. Ширков, Введение в теорию квантованных полей, 4-е изд., Наука, 1981;

6. И. М. Гельфанд и др., Представления группы вращений и группы Лоренца и их применения, ФизМатГиз, 1958;

7. М. Грин, Дж. Шварц, Э. Виттен, Теория суперструн, в 2-х томах, Мир, 1990;

8. С. Г. Матинян, Г. К. Саввиди и др., Стохастичность классической механики Янга-Миллса и ее исчезновение в механизме Хиггса, Письма ЖЭТФ 34 (1981), 590-593;

9. Б. В. Медведев, Динамическая стохастичность и квантование, ТМФ 60 N2 (1984), 224-244;

10. Б. В. Медведев, Динамическая стохастичность и интегралы движения, ТМФ 79 (1989), 618-627;

11. Е. С. Николаевский, Л. Н. Щур, Неинтегрируемость классических Янг-Миллсовских полей, Письма ЖЭТФ 36 (1982), 218-221;

12. А. А. Славнов, JL Д. Фаддеев, Введение в квантовую теорию калибровочных полей, 2-е изд., Наука, 1988;

13. Б. В. Чириков, Д. JI. Шепелянский, Стохастические осцилляции классических Янг-Миллсовских полей, Письма ЖЭТФ 34 (1981), 163-166;

14. V.P. Akulov, A.I. Pashnev, Supersymmetric quantum mechanics and spontaneous breaking of supersymmetry at the quantum level, Theor. Math. Phys. 65 (1985) 1027-1032;

15. I. Antoniadis, Physics with large extra dimensions, "Beatenberg 2001, High-energy physics", 301-343;

16. I. Ya. Aref'eva, D. M. Belov, A. A. Giryavets, A. S. Koshelev, P. B. Medvedev, Noncommutative Field Theories and (Super)String Field Theories, hep-th/0111208;

17. I.Ya. Arefeva, P.B. Medvedev, Truncation, picture changing operation and space time supersymmetry in Neveu- Schwarz-Ramond string field theory, Phys.Lett. B202 (1988) 510-514;

18. I.Ya.Aref'eva, P.B.Medvedev, Anomalies in Witten's field theory of the NSR string, Phys.Lett. B212 (1988) 299-308;

19. I. Ya. Aref'eva, P. B. Medvedev, O. A. Rytchkov, I. V. Volovich, Chaos in Matrix Theory, "Chaos, Solitons and Fractals" 10 (1999) 213-223, hep-th/9710032;

20. I.A. Aref'eva, P.B. Medvedev and A.P. Zubarev, Background formalism for superstring field theory, Phys.Lett. B240 (1990) 356-362;

21. I.Ya.Aref'eva, P.B.Medvedev and A.P.Zubarev, New representation for string field solves the consistency problem for open superstring field, Nucl.Phys. B341 (1990) 464-498;

22. I.Ya.Aref'eva, P.B.Medvedev and A.P.Zubarev, Nonperturbative vacuum for superstring field theory and supersymmetry breaking, Mod.Phys.Lett. A6 (1991) 949-958;

23. H. M. Asatrian, G. K. Savvidy, Configuration manifold of yang-mills classical mechanics, Phys. Lett. A99 (1983), 290-292;

24. M. Baake, P. Reinicke, V. Rittenberg, Fierz identities for real Clifford algebras and the number of supercharges, J. Math. Phys. 26 (1985), 1070-1071;

25. T. Banks, Matrix Theory, Nucl. Phys. Proc. Suppl. 67 (1998), 180-224;

26. T. Banks, W. Fischler, S. H. Shenker, L. Susskind, M Theory As A Matrix Model: A Conjecture, Phys. Rev. D55 (1997), 5112-5128, hep-th/9610043;

27. N.Berkovits, Super-poincare invariant superstring field theory, Nucl.Phys. B450 (1995) 90-102, hep-th/9503099;

28. N. Berkovits, The Tachyon Potential in Open Neveu-Schwarz String Field Theory, JHEP 0004 (2000) 022, hep-th/0001084;

29. N. Berkovits, A. Sen, B. Zwiebach, Tachyon Condensation in Superstring Field Theory, Nucl.Phys. B587 (2000) 147-178, hep-th/0002211;

30. A. Bilal, M(atrix) theory: a pedagogical introduction, Fortsch.Phys. 47 (1999) 5-28, hep-th/9710136;

31. M. Bordemann, J. Hoppe, R. Suter, Zero Energy States for SU(N): A Simple Exercise in Group Theory?, hep-th/9909191;

32. L. Casetti, R. Gatto, M. Modugno, Chaos in effective classical and quantum dynamics, Phys. Rev. E57 (1998), 1223-1226;

33. M. Claudson, M. Halpern, Supersymmetric ground state wave functions, Nucl. Phys. B250 (1985), 689-715;

34. U. Н. Danielsson, G. Ferretti, В. Sundborg, D particle dynamics and bound states, Int. J. Mod. Phys. All (1996), 5463-5478;

35. M. Douglas, D. Kabat, P. Pouliot, S. Shenker, D-branes and short distances in string theory, Nucl.Phys. B485 (1997), 85-127;

36. S.L. Dubovsky, V.A. Rubakov, On models of gauge field localization on a brane, Int.J.Mod.Phys. A16 (2001) 4331-4350, hep-th/0105243;

37. I. Ellwood, W. Taylor, Gauge Invariance and Tachyon Condensation in Open String Field Theory, hep-th/0105156;

38. R. Flume, On quantum mechanics with extended supersymmetry and nonabelian gauge constraints, Ann. Phys. 164 (1985), 189-220;

39. E.S. Fradkin, M. A. Vasiliev, Cubic interaction in extended theories of massless higher spin fields, Nucl. Phys. B291 (1987) 141-171;

40. E.S. Fradkin, M. A. Vasiliev, Candidate to the role of higher spin symmetry, Annals Phys. 177 (1987) 63-112;

41. D. Friedan, E. Martinec, and S. Shenker, Conformal Invariance, Super-symmetry, and String Theory, Nucl. Phys. B271 (1986) 93-165;

42. J. Frohlich, G. M. Graf, D. Hasler, J. Hoppe, S.-T. Yau, Asymptotic Form of Zero Energy Wave Functions in Supersymmetric Matrix Models, Nucl.Phys. B567 (2000) 231-248, hep-th/9904182;

43. J. Frohlich, J. Hoppe, On Zero-Mass Ground States in Super-Membrane Matrix Models, Comm. Math. Phys. 191 (1998), 613-626;

44. G. M. Graf, J. Hoppe, Asymptotic Ground State for 10 Dimensional Reduced Supersymmetric SU(2) Yang Mills Theory, hep-th/9805080;

45. M.V.Green, N.Sieberg, Contact interactions in superstring theory, Nucl. Phys. B299 (1988) 559-586;

46. J.Greensite, F.R.Klinkhamer, Superstring scattering amplitudes and contact interactions, Nucl. Phys. B304 (1988) 108-128;

47. D. Gross and A. Jevicki, Operator Formulation of Interacting String Field Theory, (I), (II), Nucl.Phys. B283 (1987) 1-49; Nucl.Phys B287 (1987) 225-250;

48. G. 't Hooft, A planar diagram theory for strong interactions, Nucl.Phys. B72 (1974), 461-473;

49. J. Hoppe, Proceedings of the workshop "Constraints theory and relativistic dynamics", World Scientific (1987);

50. J. Hoppe, S.-T. Yau, Absence of Zero Energy States in Reduced SU(N) 3d Supersymmetric Yang Mills Theory, hep-th/9711169;

51. J. Hoppe, S.-T. Yau, Absence of Zero Energy States in the Simplest d=3 (d=5?) Matrix Models, hep-th/9806152;

52. С. M. Hull, P. K. Townsend, Unity of superstring dualities, Nucl. Phys. B438 (1995), 109-137;

53. D. Kabat, P. Pouliot, A comment on zero-brane quantum mechanics, Phys. Rev. Lett. 77 (1996), 1004-1007;

54. E. Kiritsis, P. Anastasopoulos, The anomalous magnetic moment of the muon in the D-brane realization of the Standard Model, JHEP 0205 (2002) 054, hep-ph/0201295;

55. V.A.Kostelecky and S.Samuel, The static tachyon potential n the open bosonic string theory, Phys.Lett. B207 (1988), 169-173; V.A.Kostelecky and S.Samuel, The tachyon potential in string theory, DPF Conf. (1988) 813-816;

56. V.A.Kostelecky and S.Samuel, On a nonperturbative vacuum for the open bosonic string, Nucl.Phys. B336 (1990) 263-296;

57. A. LeClair, М.Е. Peskin and C.R. Preitschopf, String field theory on the conformal plane I, Nucl.Phys. B317 (1989) 411-463;

58. A. LeClair, M.E. Peskin and C.R. Preitschopf, String field theory on the conformal plane II, Nucl.Phys. B317 (1989) 464-508;

59. M. Liischer, Some analytic results concerning the mass spectrum of yang-mills gauge theories on a torus, Nucl. Phys. B219 (1983), 233-261;

60. S. Minwalla, M. V. Raamsdonk, N. Seiberg, Noncommutative Perturbative Dynamics, JHEP 0002 (2000) 020, hep-th/9912072;

61. N.Moeller, W.Taylor, Level truncation and the tachyon in open bosonic string field theory, Nucl.Phys. B583 (2000) 105-144, hep-th/0002237;

62. W. Mueck, K.S. Viswanathan, I.V. Volovich, Geodesies and Newton's Law in Brane Backgrounds, Phys.Rev. D62 (2000) 105019;

63. J. Polchinski, String theory, Cambridge, University Press, 1998, Vol I and1. П;

64. J. Polchinski, Dirichlet branes and ramond-ramond charges, Phys. Rev. Lett. 75 (1995), 4724-4727, hep-th/9510017;

65. J. Polchinski, TASI Lectures on D-branes, 1996, hep-th/9611050;

66. C.R. Preitschopf, C.B. Thorn and S.A. Yost, Superstring Field Theory, UFIFT-HEP-89-19;

67. L. Randall, R. Sundrum, An Alternative to Compactification, Phys. Rev. Lett. 83 (1999) 4690-4693;

68. L. Rastelli and B. Zwiebach, Tachyon potentials, star products and universality, JHEP 0109 (2001) 038, hep-th/0006240;

69. V.A. Rubakov, M.E. Shaposhnikov, Do we live inside a domain wall?, Phys.Lett. B125 (1983) 136-138;

70. A. Sen, SO(32) spinors of type I and other solitons on brane anti-brane pair, JHEP 09 (1998) 023, hep-th/9808141;

71. B. Simon, Some quantum operators with discrete spectrum but classically continuous spectrum, Ann. Phys. 146 (1983), 209-220;

72. L. Susskind, Another Conjecture about M(atrix) Theory, hep-th/9704080;

73. W. Taylor, Lectures on D-branes, Gauge Theory and M(atrices), hep-th/9801182;

74. B.V. Urosevic, A.P. Zubarev, On the component analysis of modified superstring field theory actions, Phys. Lett. B246 (1990) 391-398;

75. C. Wendt, Scattering amplitudes and contact interactions in Witten's superstring field theory, Nucl. Phys. B314 (1989) 209-237;

76. В. de Wit, J. Hoppe, H, Nicolai, On the quantum mechanics of super-membranes, Nucl. Phys. B305 (1988), 545-581;

77. B. de Wit, M. Liischer, H. Nicolai, The supermembrane is unstable, Nucl. Phys. B320 (1989), 135-159;

78. E. Witten, Dynamical breaking of supersymmetry, Nucl. Phys. B188 (1981), 513-554;

79. E. Witten, Noncommutative geometry and string field theory, Nucl. Phys. B268 (1986) 253-294;

80. E.Witten, Interacting field theory of open superstrings, Nucl. Phys. B276 (1986) 291-324;

81. E. Witten, String theory dynamics in various dimensions, Nucl. Phys. B443 (1995), 85-126;

82. E. Witten, Small instantons in string theory, Nucl. Phys. B460 (1996), 335-350, hep-th/9510135.