Некоторые астрофизические эффекты темной материи

Исаев, Руслан Рамилевич

Некоторые астрофизические эффекты темной материи тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

Исаев, Руслан Рамилевич АВТОР

кандидата физико-математических наук УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ

Челябинск МЕСТО ЗАЩИТЫ

2012 ГОД ЗАЩИТЫ

01.04.02 КОД ВАК РФ

Диссертация по физике на тему «Некоторые астрофизические эффекты темной материи»

Автореферат диссертации на тему "Некоторые астрофизические эффекты темной материи"

О1

На правах рукописи

ИСАЕВ РУСЛАН РАМИЛЕВИЧ

НЕКОТОРЫЕ АСТРОФИЗИЧЕСКИЕ ЭФФЕКТЫ ТЕМНОЙ

МАТЕРИИ

Специальность 01.04.02 - теоретическая физика

1 о [..¡АП 2012

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Челябинск-2012

005017169

Работа выполнена на кафедре общей и теоретической физики Башкирского государственного педагогического университета им. М. Акмуллы.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Мигранов Наиль Галиханович

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор Варламов Вадим Валентинович.

кандидат физико-математических наук, доцент Клименко Владимир Антонович.

Ведущая организация: Башкирский государственный университет

Защита состоится «25» мая 2012 г. в 1400 часов на заседании диссертационного совета Д 212.296.03 при ФГБОУ ВПО «Челябинском государственном университете» по адресу: 454001, г. Челябинск, ул. Братьев Кашириных, 129, конференц-зал.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ФГБОУ ВПО «Челябинского государственного университета».

Автореферат разослан «24» апреля 2012 г.

Учёный секретарь диссертационного совета, д.ф.-м.н., профессор

Е.А. Беленков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. На сегодняшний день проблема, связанная с присутствием темной материи в космосе, о существовании которой можно, пока на теоретическом уровне, заключить исходя из известных законов тяготения и, особенно при наблюдении кривой вращения галактик, является весьма актуальной. В современной астрофизике, предлагаемые математические модели, а так же ряд косвенных экспериментальных данных говорят о наличии скрытой массы. Исходя из экспериментальных наблюдений, было заключено, что составляющая темной материи начинает наращивать свою массу с увеличением расстояния от рассматриваемых галактик. Результаты измерений кривой вращения некоторых карликовых галактик (таких как 000154) говорят о том, что дальность распространения темной материи за их пределами весьма велика [1]. Однако полная масса отдельных галактик с учетом тёмной материи до сих пор неизвестна. Это связано с тем, что наблюдение зависимости скорости вращения частиц для больших радиусов, не определены в точной мере. Вместе с тем, до сих пор не известна внутренняя структура темной материи и темной энергии. Одним из объяснений может быть существование неизвестных частиц (\VIMPs) создающих гравитационные поля [2].

Одним из косвенных методов оценки качества невидимой материи в какой-либо галактике или скоплении галактик является гравитационное линзирование, т.е. использование эффекта искривления лучей, проходящих вблизи массивных объектов.

С другой стороны, темная материя связана с силами притяжения и локализована на масштабах меньших, чем космологические, где доминирует темная энергия, которая, в свою очередь, проявляет отталкивающий гравитационный эффект. При этом возникает вопрос: существует ли верхний предел для размера гало темной материи?

Уже давно известен факт, что массивные нейтральные атомы водорода выполняют круговое вращение в гало вокруг галактического центра [3]. По красному смещению света, полученному от этих атомов, можно определить их тангенциальные скорости [4]. Следовательно, для определения предельного радиуса распределения темной материи в области гало так же можно рассматривать орбиты массивных тестовых частиц.

Ещё одним эффектом является предсказываемый теорией Эйнштейна медленный дополнительный поворот эллиптических орбит планет, движущихся вокруг Солнца. Несмотря на то, что классическая теория относительности Эйнштейна может быть успешно применима для экспериментальной проверки достаточно слабых гравитационных полей Солнца и полей, создаваемых двойными пульсарами, этих наблюдений за кривыми вращения в галактических гало всё ещё недостаточно для удовлетворительного описания рассматриваемых математических моделей. На точность проверки этого эффекта влияет неопределённость знания величины квадрупольного момента Солнца. Наблюдательные эксперименты

очень сложны и на данный момент не позволяют точно определить квадрупольный момент Солнца, и вопрос о его величине до сих пор остаётся открытым.

Однако уже существуют альтернативные теории, такие как модифицированная ньютоновская динамика [3,4], модель "мира на бране" [5], модели скалярного поля [6] и другие, которые пытаются объяснить физическую природу темной материи. Существует достаточно известная модель, которая позволяет получить частное решение в метрике Шварцшильда-де Ситгера в конформной гравитации Вейля [7].

Актуальность проведенного исследования определяется тем, что теоретическое изучение проблемы темной материи дает возможность объяснять наблюдательные данные, предсказывать и изучать новые астрофизические эффекты, что обеспечивает лучшее понимание картины современной Вселенной, а также ее будущее развитие.

Цель диссертационной работы:

Целью работы является изучение астрофизических эффектов скрытой массы галактического гало, квадрупольного момента и космологической константы и их влияние на гравитационное линзирование.

Основные задачи работы: В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:

1. Определить оказываемый эффект у на искривление луча света методом Риндлера-Исхака.

2. Исследовать возможные значения для параметров <р, М, к при вычислении угла искривления луча света.

3. Рассчитать предел верхней границы размера галактического гало с помощью автономной Гамильтоновой динамической системы.

4. Определить поправку на значение д в различных известных гравитационных экспериментах Солнечной системы в рамках пространства-времени Эреца-Розена.

Положения, выносимые на защиту:

1. Влияние параметра у на искривление Шварцшильда в совокупности с отталкивающим гравитационным эффектом космологической константы Л.

2. Значение угла искривления луча света в области галактического гало.

3. Максимальный радиус стабильной круговой орбиты вещества в области галактического гало.

4. Величина квадрупольной поправки отклонения лучей света как результат гравиметрических экспериментов Солнечной системы.

Научная новизна работы заключается в следующем:

1. Определено наличие отталкивающего гравитационного эффекта у на искривление света в области галактического гало.

2. Определен предельный радиус стабильной круговой орбиты тестовых частиц в галактическом гало.

3. Вычислено влияние квадрупольного момента q с проверкой гравиметрических расчетов Солнца, таких как гравитационное линзирование, прецессия планет и задержка по времени.

Практическая значимость:

Проведенное исследование, безусловно, расширяет и углубляет наше представление о влиянии темной материи на гравитационное линзирование, кривую вращения галактик и некоторые гравиметрические эксперименты. Изучение некоторых эффектов гравитационного линзирования представляет большую значимость с точки зрения общей теории относительности и в качестве инструмента по выявлению новых свойств астрофизических объектов. Результаты данной работы указывают на перспективу экспериментального наблюдения новых значений угла искривления лучей света в области галактического гало.

Личный вклад автора:

Диссертант вместе с научным руководителем участвовал в постановке задач и обсуждении полученных результатов. Основные результаты расчетов получены лично диссертантом.

Достоверность результатов данной работы обеспечивается апробированными вычислительными методами, взаимосвязью и преемственностью с основополагающими работами в области гравитационного линзирования. В определенных случаях результаты, вытекающие из рассмотрения предложенных решений, переходят в известные, что является подтверждением достоверности рассматриваемых теорий.

Апробация работы:

Результаты работы, изложенные в диссертационной работе, представлялись и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Региональный семинар по физике на кафедре прикладной физики и нанотехнологий (г. Уфа, 2010г.), Семинар на кафедре теоретической физики факультета физико-математического образования ТГГПУ (г. Казань, 2010 г.), Объединенный Семинар на кафедре теоретической физики СГПА им. 3. Биишевой (г. Стерлитамак, 2011 г.), Региональный семинар по физике на кафедре прикладной физики и нанотехнологий (г. Уфа, 2011г.), Конференция Обратные задачи химии Памяти академика РАН Юрия Борисовича Монакова БГСПА (г. Бирск, 2011), Семинар физического факультета на кафедре теоретической физики (г. Челябинск, 2012), Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики БашГУ (г. Уфа, 2012 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав в основной части, заключения, списков публикаций по теме исследования и литературы. Объем диссертационной работы составляет 105 страниц.

Основное содержание работы:

Во введении обоснованы актуальность проблемы, научная новизна и практическая значимость исследования, сформулированы цель и задачи диссертационной работы, приведены основные положения, выносимые на защиту.

Первая глава является обзорной, в ней приведены краткие сведения о гравитационном линзировании и проблеме темной материи. Приводится краткий обзор работ других авторов по исследуемой тематике. Описывается оригинальный метод Риндлера-Исхака и обнаруженный данным методом эффект космологической константы на искривление луча света в метрике Шварцшильда-де Ситтера. Анализируются работы, в которых с помощью различных гравиметрических экспериментов, таких как гравитационное линзирование исследуются космологические и астрофизические объекты.

Во второй главе описывается применение метода Риндлера-Исхака в пространстве-времени Мангейма-Казанаса-де Ситтера к параметру М второго порядка и производится расчет влияния у на искривление световых лучей в области галактического гало.

Показано одно из решений уравнений гравитационного поля Вейля -решение Мангейма-Казанаса-де Ситтера, в котором метрика описанная источниками [6, 7], принимает следующий вид (принимая 8лО = с0 = 1):

с1т2 = в(г^12-щс1г2-г^02+вт2ш<р2),в{г)^1- —+г-кг\ (2.1)

где М- масса видимой части галактики, к и у - константы. Численное значение к = Л/3 = 0.43-КГ56ст'г.

Определяется, что параметр у не должен быть отрицательным, поэтому для вычислений принято у >0.

Получено следующее уравнение пути для тестовой частицы массы т0 в экваториальной плоскости в = л 12:

-г = -и + 3ми -- + —+-ГГ У--, (2.2)

а<рг 2 к2 2к2и21/ и ) У '

где h = Jfm0, угловой момент на единицу тестовой массы. Масса покоя

фотона т0 = 0 => А -> да. Геодезическое уравнение теряет параметр к:

Для определения искомого угла искривления следует ознакомиться с тремя базовыми принципами метода Риндлера-Исхака:

1. Первоначально в методе была использована метрика Шварцшильда-де Ситтера. Выбор данной метрики связан с тем, что параметр к влияет на искривление луча света, несмотря на отсутствие параметра в геодезическом уравнении. Следовательно, чтобы сохранить суть метода, примем к ф 0, за исключением особых случаев.

2. При подстановке значений в метрику предел г-ю> теряет всякий смысл. Только при значении <р - о значение г, при замене /•-><», становится существенным. Измеряемыми величинами являются различные углы у/, которые описывает орбита фотона в соответствующих координатных плоскостях при <р = const. Обязательна проверка результатов для значения угла <р0, например для </> = л74.

3. Использовать решение методом возмущений для 1/г вплоть до главного члена порядка Мг и результирующего угла искривления у/.

Уравнение пути света (2.3) нулевого порядка имеет вид:

и его точное решение

„О = £°!£_£ (2.5)

R 2

где R - расстояние максимального сближения с центром галактики. Применив метод малых возмущений [8] получим следующее решение:

U = U0+K,+U2, (2.6)

где и, и и2 соответственно удовлетворяют уравнениям:

~Т~г+и\ =ЗА/и„ (2.7)

dtp

Окончательное решение может быть записано как:

и = _М_(б+зя*г2-3Rr(x-2<p)cos<p + 2cos2<p-6Rysin<p)-

- ——f(96Ry + 24 R3y2 sin? + Зя-2ЯУ sin р - 12яй Wsinp + (2.9)

32 R

+ 12Rгу2<р2 sinp - 8;rftysin 2(p+l6Ry<psin 2<p + 2sin3p) Данное разложение методом возмущений справедливо только для малых и и больших г. Таким образом, рассматриваем коэффициенты М, R и у такие, М

что —<1 и yR< 1.

Определим косинус угла у/, с помощью инвариантной формулы, между направлениями dwd, таким образом что:

Дифференцируя уравнение (2.9) по <р, и обозначив —-А{г,ф), получим:

аф

А(г,<р)= (- Г2\^Ц-{32Я2-ЗМ2(20 + ЗДУ(Ю + я - 2<pJ) + 32 R.

+ 22MR(9My - 2)sin <р)~ 6М(ЗМ cos 1<р - 8 MR у (л - 2ip)cos 2<р + (2.11) + (lOM - ARгу + 9MR2у2Х* - 2^)s¡n <р))

тогда уравнение (2.10) примет вид:

(2Л2)

Конечный вид выражения для угла у/ будет представлен следующим образом:

ы/г.

1ап("=1лГ (2ЛЗ)

Угол отклонения искривления луча света в галактическом гало определяется как е = у/-<р. Рассмотрены некоторые особые случаи. Случай 1: <Р = 0,М* о,к * 0. Из уравнения движения (2.9) получим прицельный радиус: г = 16Д3/(шя($-ЗтсПу + ЗЯУ+ ЗМ2(5л{2 + ЗЯ2у2)-4Лу(16 + ЗЛУ))) (2.14) Метрическое значение г решения первого порядка, как указано в работе [9] Я2

равно ——, которое можно получить отбрасыванием члена Мг заменой у = О 2м

в уравнении (2.14).

Возьмем конформный параметр области гало, для которого справедливо м

неравенство уН > —. Раскрывая выражение (2.9) в системе слабых полей К

Шварцшильда по отношению к М так, что — <1. Вместе с тем положим, что

уЯ < 1, так чтобы параметр (уЯ)2 можно отбросить.

Функция г в уравнении (2.14) раскладывается почленно до первого порядка у следующим образом:

2М т1 64М 2048 (2

| 225жгМ 45лМЯу | 6ПЪ^МЯу 0{мг\

512 8 + 8192 + ^ '

При этом заданное условие уК>— выполняется для луча света движущегося

в области гало, где К>КЕ (допустим я=ЗхЮ23см и у = 7х1(г28слг' [10]) а

0*у

значение главного члена функции г будет равно —'—.

8М

Подставляя значение г из уравнения (2.14) в уравнение (2.11), получим: А = 8Д'(л/2(78 - 4&лЯу + 90 Я2/2 + 9к2Я2у2)- 32 Д2)х ' ^ ^

х (4МЛ (8 - 3кЯу + ЗДУ2)- 8Я2у + ЗМ2(5я(2 + 3Л2/2)- 4Яу(^6 + Зй2?-2)))"2 Сокращая М2 и заменяя у = 0 в вышеуказанное уравнение, найдем значение |А| в пространстве-времени Шварцшильда-де Ситтера.

Подставляя в уравнение (3.12) значения в(г) из уравнений (2.1), я из уравнения (2.14) и А из уравнения (2.16) получим:

(4 Ж (8 - Зяту + ЗД V2)- 8 Я3 у + ЗА/2 (5^(2 + 3 Я V )- 4Ду(1б + ЗД V2))) (л/2(78 - 48яЛг + 90й2/2 + 9я2Я2 у2)-32Я2) Это точная формула для искривления луча света. Произведем разложение уравнения до первого порядка / и до второго порядка М, выражение для малого угла (е0:

2 М(, 15 пМ кЯ* Л (я ЪлМ 455 М2 4М210Л

2л8)

где сохранены только главные члены коэффициента и у такое что,

м _

— <1. Здесь становится ясно, что все члены в последней третьей скобке Я

положительные, и это означает, что у уменьшает эффект искривления Шварцшильда. Это основной результат данной главы.

В третьей главе рассматривается возможность расчета верхней границы на размере галактического гало (гравитационной линзы) с применением автономной Гамильтоновой динамической системы.

Ключевым моментом для определения размера является определение максимального радиуса, в пределах которого наблюдается стабильная траектория орбит вещества.

Метрика Мангейма-Казанаса-де Ситгера, (при заданных единицах: 0 = 1, скорость света в вакууме с0 = 1):

</г2 = Я(г)Л2--^2-г2(^25тгО/рг)в(г)=1-^+,г-Аг2, (3.1)

В{г) г

где к и у константы. Определив ц = 1/г, получаем следующее уравнение

пути для тестовой частицы массы т„ в экваториальной плоскости 0 = я/2:

—---и + ЗМи - — + —+ ■ \у--, (3.2)

¿<р2 2 А2 2И и V. и)

Где, А = — - угловой момент на единицу тестовой массы. Для фотона

т0 = 0 => Л -> оо, что дает конформно-инвариантное уравнение без параметра к:

^-и + Ши2-Г- (3.3) а<р 2

Преобразовано уравнение второго прядка к двум уравнениям первого порядка. Вводится следующее выражение:

и = х,у = х = ^. (3.4)

а<р

Чтобы преобразовать уравнение (3.2) в две автономные системы первого порядка в фазовой плоскости (х,у):

х = х(х,у)=у (3.5)

у = У(х,у) = а + Ьх + сх2+сЬ'2+ех'1 (3.6)

где

a = = = = = ~ (3.7)

h i 2h h V

Прежде всего, будет рассмотрена стабильность круговых орбит света, не

смотря на то, что их стабильность по существу не так необходима.

Достаточно вспомнить, что даже в пространстве-времени Шварцшильда,

круговые орбиты света в радиусе R = ЪМ нестабильны. Однако, будет

полезно взглянуть на данный аспект в решении метрики Мангейма-Казанаса-

де Ситтера.

Рассмотрена гамильтонова система движущихся массивных частиц. Точки равновесия имеют вид х = 0,у = 0. Уравнение х = 0 определяет г-R = const, тогда как у = 0 дает следующее:

R(2 + iR)-6M у '

Автономная система (3.5), (3.6) может быть охарактеризована как Гамильтонова система следующим образом:

— = -Y(x, y) = -{a + bx + cx1 + dx'2 + ex3) (3.9)

дх

^ = (3.10)

Необходимое и достаточное условие для систем (3.12) и (3.13), чтобы

ЪХ dY

называться Гамильтоновой системой, а именно, ——+ — = 0, выполнено для

дх ду

всех х и у. Более того, — = 0 и поэтому н(х,у) = const (не зависит от <р).

dtp

Интегрируются уравнения (3.12) и (3.13):

Н{х,у) = -^ах + ^хг +jx3-dx'1 + (3.11)

Н{х,у)Лу2+V(x) (3.12)

, где и(у) и v(x) произвольные функции, введенные для состоятельности уравнений (3.12) и (3.13). Эти два уравнения будут совместимы только если:

и(у)Лу*+С (3.13)

x'+jx'-Ar'-^r-'j+i?, (3.14)

где С и £ являются произвольными постоянными.

Система Гамильтоновых траекторий на фазовой плоскости имеет вид:

яЫф2 -(« + !*' + J*' - A-1 -f ■*'2) + G, (3.15)

где G - это параметр. Отсюда следует:

v(x)=-(ar+j

дгН

дхг "

-(ь + 2сх-2с1х3 -Зех"4)

ГЯ Эх1 д2Н

дхду

= 1

= О

(3.16)

(3.17)

(3.18)

Как и ранее, точки равновесия возникают при X = 0 и У = 0, которые задают значения радиусов орбит г = К = сопх« и к1 в уравнении (3.11). Величина, определяющая стабильность, выглядит следующим образом:

= дгндгн р2яУ

Ч~ дх1 ду1 \дхду) Подставив значения в точки равновесия с подстрочным индексом 0, получим следующее выражение:

л. ЧХЛ — ЬХЛЛ

(3.20)

(3.19)

Яо

6А/ | К(}кР.-уЩ2 + уП)-Ш) Л +

Р}(2к11-у)-2М

точка Р является стабильным центром, при ?„>0 в любой точке Р:(й,о), при <70 > 0 /> является нестабильной седловой точкой. Р является точкой перегиба стабильности, при <?0 = 0, в которой система становится нестабильной. Таким образом, <?0 =0 дает Я = И™« , за пределами которой орбиты становится нестабильными. Так же существует сингулярный радиус Я = , при котором д0 экстремально увеличивается. Во всех случаях, которые были изучены, <йэ(где йэ- радиус Эйнштейна) для

отрицательного у и /?„„ > К:>с (где ЯК - радиус де Ситгера) для его положительного значения. В обоих случаях, наличие сингулярности не обладает большой важностью на радиусах не доступных для наблюдения с помощью метода гравитационного линзирования. Следует рассчитать величину д0 для наблюдаемых гравитационных линз. В виду последних наблюдений нам известны данные о массе м и радиусе Эйнштейна Яэ нескольких гравитационных линз. Для вычисления использовались наблюдательные данные линз массы м, прогоняя от радиуса Эйнштейна до радиуса де Ситтера. «Стабильный» радиус должен проходить между Кэ и Ях =л/л7з = 1,52x10гб .и. На Рис. 1 указан график для одной из наблюдаемых линз (Абель 2744,

Л/= 2,90 х 10"Ч Дэ = 2,97 х 10г1 л<), который показывает, что стабильные радиусы материи существуют для всех радиусов

Я > лэ при / = +7 х Ю-28 см"1, предполагая, что гало может простираться даже за пределами радиуса, что является маловероятным. Так же, сингулярные радиусы возникают на = 8,14хЮм.м>(Рис. 2). С другой стороны, при у = ~7хЮ'п см'1, стабильность достигается на радиусе Л = 4,25хЮ"м<Ях, за пределами которого начинается нестабильность. В этом случае сингулярные радиусы возникают на = 9,11х1020.м<Яэ(Рис. 3). Таким образом, максимальный радиус стабильной, круговой орбиты вещества равен = 4,25 х 10" л<.

В четвертой главе исследуется поправка на значения квадрупольного момента в различных известных гравитационных экспериментах Солнечной системы в рамках пространства-времени Эреца-Розена.

В сферических координатах (г, г, 0, ф), и в экваториальной плоскости

в = у, решение Эреца-Розена задано как:

Л2 =-(\-—)г1чгЛг +(1 -^Иу'еЫ'^й-2 +Г1е-2<гс1<р2 ,(4.1) г г

где т - шварцшильдовская масса, д - безразмерная константа, у и у/ в общих функциях г и в. Ограничимся вычислениями в экваториальной плоскости, где эти функции принимают вид [9]:

у(г) = -

6 г

1(3г1 2 т2

/ ч 1 т>

+ 2 1п 1

(4.2)

(4.3)

до главного члена —. При ^ = 0 получаем решение Шварцшильда в экваториальной плоскости. Компонента д„ при разложении принимает вид:

\2~

, 2т

ё« --

-М"

(4.4)

Для Солнца, постньютоновское выражение для glh содержащее квадрупольный член, представлено как:

л. Зсоэ20—\ ,Р2( созв) =---, (4.5)

, 2т

g„ --

l-^ly-l P,(cos0)

где J2 - квадрупольный момент массы Солнца, связанный с q, Рг(costf) -полином Лежандра, R0- усредненный радиус Солнца ни - масса Солнца. Принимая в = яг/2, из уравнения (4.4) и (4.5), мы получаем:

"-НИ- (4-б)

Измеренные значения сплюснутости видимой формы Солнца составляют J2 < Зх 10"5 [10]. Возьмем принятое на данный момент значение = 2,22 х 10~7 [11].

Измерен эффект гравитационного замедления времени. Уравнения движения для света в метрике (4.1) имеют вид:

сIX

Последнее уравнение вытекает из = 0, где {/"= — , с/Я = т0<&, т0-

,г

масса покоя пробной частицы. Определяя параметр влияния Ъ, как Ьг = -Ц-, / иЛ

где 4 =~1 и Е сохраняющийся угловой момент и энергия соответственно. Подставляя (4.5) и (4.6) в уравнение (4.7), получаем:

Ь-тШ^- (4Л0)

где "эффективный потенциал" \Уе(Т(г) представлен в виде:

) = 1/ в1/2т + 4дт

далее получаем:

(4.11)

с/г

(4.12)

Знак ± означает, что радиус может увеличиваться или уменьшаться. Приведенные выше функции раскрываются как:

] (4.13)

15г 5г

(4.14)

отсюда следует, что член д связан только при главном члене —¡-.

Определено, что эффект слишком мал для того, чтобы обнаружить его в настоящее время. Время путешествия «(г,г,) от возвратной точки к радиусу г равно:

¿Г-™.,«

(4.15)

и полное время путешествия составит

(Л0„™ = 2/(гв,г1)+2/(гл,г1).

(4.16)

Раскрывая подынтегральное выражение до порядка — определим новую переменную а> как

г=* (4.17)

О)

Интегрируя по йсо, преобразуем результат в значении переменной г. Для того, чтобы избавиться от Ь в полученном выражении, воспользуемся соотношением:

что даст нужный уровень точности:

3 тг ( 5 2? Ьаг+т +-+ —г--^

Конечным результатом будет выражение:

¡(г, г,) = 4г1 -12 + 2т 1п

г + г; г

2(5гУ,3 -ЗГУ,-2гг,!)

(4.18)

(4.19)

(4.20)

плюс члены более высокого порядка.

Эффект отклонения света. Уравнение движения света вокруг Солнца, с разложениями в (4.13) и (4.14) дает следующее решение

а<рг ' 5Ь'

где и = Это уравнение может быть переписано в следующем виде: г

аги

<1ф

-+и = 3сси ,

где константа а задана как:

а-щ 1

2дтг 1562

(4.22)

(4.23)

Таким образом, искривление луча света задается как:

4 а 4т (15яУ т*) 8 ат1 = — = —+ — Т -^ТГГ' (4'24>

Ь ~ Ь V 8 кь) 156' т. е., в случае со сжатием - искривление увеличивается, в случае вытянутости - искривление уменьшается. Поправочный член в

(шНт) *'а3 меньше' чем главный член первого порядка. При ^=6,

-^=8,5x10"* радиан, 2,22хЮ~7 и — = 2,12хЮ"6 для Солнца, получаем

ь ^

<? = — I =3,7хЮ\ Тогда значение поправочного члена составляет 2 \т)

^РР = 1,89х1(Г1! радиан, что на четыре порядка меньше, чем обычное 156

шварцшильдово искривление и уменьшает его на это значение.

Шварцшильдовская поправка второго порядка равна =2.бх10 "

радиан. Таким образом, квадрупольный момент на один порядок меньше, чем отклонение второго порядка.

В главе вычислено влияние д с проверкой гравиметрических расчетов Солнца, таких как гравитационное линзирование и задержка по времени. Квадрупольная поправка отклонения света равна 1,89 х10~'2 радиан.

В заключении приводятся перечень основных результатов и выводы по диссертационной работе.

Основные результаты работы сводятся к следующему:

1. С помощью метода Риндлера-Исхака получен коэффициент у, учет которого в уравнении описывающего искривление луча света показывает, что значение искривления Шварцшильда уменьшается. Установлено

влияние коэффициента - — на искривление и его поправочного значения

- . с помощью метода Риндлера-Исхака был рассчитан параметр

у, который может быть физически существенным только в масштабах галактического кластера, но не в масштабе Солнечной системы.

Вычислено значение угла искривления для случая М- 0.

Показано, что величина к = А/3 оказывает влияние, как на параметры Шварцшильда, так и на их конформный параметр у. Получено уравнение, описывающее как шварцильдово искривление света при М > 0, так и отталкивающий гравитационный эффект космологической константы к > 0 и конформного параметра Вейля у > 0 на искривление луча света.

2. Показано, что развитие метода Риндлера-Исхака в рамках предложенной нами модели может быть адаптировано для определения нового значения

угла искривления в гало темной материи в более общем решении, чем решение Шварцшильда-де Ситтера.

3. Впервые установлено, что при значении у =-7 xlO'2* см~', стабильность вещественных круговых орбит сохраняется вплоть до значений радиуса

= 4,25 х 10"ои < . Для этого же значения у сингулярный радиус оказался равным я^= 9,Пх\о12 см <R3. В предложенной модели значение у всегда отрицательно, так как положительное значение этого параметра приводит к тому, что радиусы стабильных орбит массивных частиц станут выходить за пределы радиуса де Ситтера.

4. Вычислена квадрупольная поправка q отклонения света, равная 1,89x10"" радиан. Установлено влияние квадрупольного момента на эффект замедления времени /(г,г,). Рассчитано значение векового смещения перигелия Меркурия в рамках ОТО с поправкой на квадрупольный момент Солнца, которое оказалось равным 42,56"±0,94".

ОСНОВНЫЕ ПУБЛИКАЦИИ ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

Материалы, опубликованные в журналах, рекомендованных ВАК РФ

[1] Bhattacharya, A. Light bending in the galactic halo by Rindler-Ishak method / Amrita Bhattacharya, Ruslan Isaev, Massimo Scalia, Carlo Cattani, Kamal K. Nandi // Journal of Cosmology and Astroparticle Physics. — 2010. — Vol.009. -P. 235017-235030.

[2] Исаев, P.P. Влияние квадрупольного момента солнца на гравиметрические эксперименты / P.P. Исаев, Р.Н. Измаилов // Вестник Челябинского государственного университета. - 2011. - Вып.39. — С.63-66.

[3] Isaev, RR. Modeling by autonomous hamiltonian system: fixing the sign of a parameter / Ruslan Isaev, Amrita Bhattacharya // Indian Journal of Physics D. -2011.-Vol.10.-P. 00341-00351.

Материалы, опубликованные в сборнике

[4] Исаев, P.P. Влияние квадрупольного момента солнца на отклонение светового луча / Р.Р. Исаев, И.Р. Хамидуллин // Ученые записки БГПУ им. М. Акмуллы. - 2012. - В.42- С. 12-16.

[5] Исаев, P.P. Определение размеров галактического гало с применением динамического гамильтонианового подхода / P.P. Исаев, А.Р. Кужабекова // Ученые записки БГПУ им. М. Акмуллы. - 2012. - В. 42-С.21-25.

СПИСОК ЦИТИРУЕМОЙ ЛИТЕРАТУРЫ

1. Sahni, V. Dark matter and dark energy / V. Sahni arXiv:astro-ph/0403324v3

2. Lake, K. Galactic halos are Einstein clusters of WIMPs /K.Lake arXiv:gr-qc/0607057v3

3. Bharadwaj S. Modeling galaxy halos using dark matter with pressure / S. Bharadwaj, S. Kar // Phys. Rev. D. - 2003. Vol.68. - P.023516-023520.

4. Nucamendi, U. Alternative approach to the galactic dark matter problem / U. Nucamendi, M. Salgado, D. Sudarsky // Phys. Rev. D. - 2001. - Vol.63. -P.125016-125051.

5. Bekenstein, J. D. Gravitational lenses and unconventional gravity theories / J. D. Bekenstein, R. H. Sanders // Astrophysical Journal. - 1994. - Vol.429. -P.480-490.; Bekenstein, J.D. Relativistic gravitation theory for the modified Newtonian dynamics paradigm / J.D. Bekenstein // Phys. Rev. D. - 2004. -Vol.70. - P.083509-083542.; Bekenstein, J. D. Relativistic gravitation theory for the MOND paradigm / J. D. Bekenstein // Phys. Rev. D. - 2005. - Vol.71. -P.069901-069934.

6. Milgrom, M. A Modification of the Newtonian dynamics as a possible alternative to the hidden mass hypothesis / M. Milgrom // Astrophysical Journal - 1983. - Vol.270. - P.365-370.; Milgrom, M. Bimetric MOND gravity / M. Milgrom // Phys. Rev. D. - 2009. - Vol.80. - P.123536-123553.

7. Rahaman, F. Galactic rotation curves and brane-world models / F. Rahaman, M. Kalam, A. DeBenedictis, A. A. Usmani and Saibal Ray // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. - 2008. - Vol.389. - P.27-43.

8. Bodenner, J. Deflection of light to second order: a tool for illustrating principles of general relativity / J. Bodenner, C.M. Will // Am. J. Phys. -2003. - Vol.7 1. - P.770-773.

9. Rindler, W. Contribution of the cosmological constant to the relativistic bending of light revisited / W. Rindler, M. Ishak, Phys. Rev. D. - 2007. -Vol.76. - P.043006-043010.; Rindler, W. The Relevance of the Cosmological Constant for Lensing / M. Ishak, W. Rindler // arXiv: 1006.0014 astro-ph.

10. Mannheim, - P. D. Exact vacuum solution to conformai Weyl gravity and galactic rotation curves / P. D. Mannheim, D. Kazanas // Astrophysical Journal. - 1989. - Vol.342. - P.635-638.

11. Dicke, R. H. Solar Oblateness and General Relativity / R. H. Dicke, H. M. Goldenberg // Phys. Rev. Lett. 1967. - Vol. 18. - P. 313-316.

12. Kuhn, J. R. The Sun's shape and brightness / J. R. Kuhn, R.I. Bush, X. Scheick, P. Scherres // Nature. 1998. - Vol. 392. P. 155-157.

Подписано в печать 21.04.2012 г. Формат 60x84 1/16 Бумага офсетная. Печать ризографическая. Тираж 100 экз. Заказ 512. Гаритура «TimesNewRoman». Отпечатано в типографии «A3» ИП Назметдинов P.P. Объем 0,6 пл. Уфа, ул. Ленина, 16, Тел.: 293-16-44, 8-917-80-888-99.

Содержание диссертации автор исследовательской работы: кандидата физико-математических наук, Исаев, Руслан Рамилевич

ВВЕДЕНИЕ.

Глава I. О природе темной материи, ее свойствах и проявлениях. Методы исследования.

1.1 Проблема темной материи.

1.2 Гравитационное поле в области темной материи.

1.3 Другие аспекты темной материи.

1.3.1. Полная гравитационная энергия.

1.3.2. Силы притяжения.

1.3.3. Стабильность.

1.4 Влияние космологической константы на искривление луча света в метрике Шварцшильда-де Ситтера.

1.5 Искривление луча света в метрике Коттлера.

1.6 Квадрупольный момент и его влияние на гравиметрические эксперименты.

Глава И. Применение модифицированного метода Риндлера-Исхака для исследования искривления лучей света в гало галактики.

2.1 Уравнение геодезических.

2.2 Модифицированный метод Риндлера - Исхака.

2.3 Особые случаи.

Глава III. Определение размеров галактического гало с применением динамического гамильтонового подхода.

Глава IV. Влияние квадрупольного момента Солнца на гравиметрические эксперименты.

4.1 Метрика Эреца-Розена.

4.2 Эффект гравитационного замедления времени.

4.3 Эффект отклонения света.

4.4 Влияние на прецессию перигелия планет.

Введение диссертация по физике, на тему "Некоторые астрофизические эффекты темной материи"

Актуальность темы. На сегодняшний день проблема, связанная с присутствием темной материи в космосе, о существовании которой можно, пока на теоретическом уровне, заключить исходя из известных законов тяготения и, особенно при наблюдении кривой вращения галактик, является весьма актуальной. В современной астрофизике, предлагаемые математические модели, а так же ряд косвенных экспериментальных данных говорят о наличии скрытой массы. Исходя из экспериментальных наблюдений, было заключено, что составляющая темной материи начинает наращивать свою массу с увеличением расстояния от рассматриваемых галактик. Результаты измерений кривой вращения некоторых карликовых галактик (таких как БЭ0154) говорят о том, что дальность распространения темной материи за их пределами весьма велика [1]. Однако полная масса отдельных галактик с учетом тёмной материи до сих пор неизвестна. Это связано с тем, что наблюдение зависимости скорости вращения частиц для больших радиусов не определены в точной мере. Вместе с тем, до сих пор не известна внутренняя структура темной материи и темной энергии. Одним из объяснений может быть существование неизвестных частиц (Л¥1МРз) создающих гравитационные поля [2].

Однако уже существуют альтернативные теории, такие как модифицированная ньютоновская динамика [3,4], модель "мира на бране" [5], модели скалярного поля [6] и другие, которые пытаются объяснить темную материю. Наиболее известной моделью является частное решение в метрике Мангейма-Казанаса-де Ситтера в конформной гравитации Вейля [7].

Актуальность проведенного исследования определяется тем, что теоретическое изучение проблемы темной материи дает возможность объяснить наблюдательные данные, предсказать и изучать новые астрофизические эффекты, что обеспечивает лучшее понимание картины современной Вселенной, а также ее будущее.

Цель диссертационной работы:

Основные задачи работы:

В соответствии с поставленной целью решались следующие задачи:

1. Определить оказываемый эффект у первого порядка на искривление луча света методом Риндлера-Исхака.

2. Изучить геодезическое движение в решении Мангейма-Казанаса-де Ситтера в рамках конформной теории гравитации Вейля.

3. Исследовать возможные значения для параметров (р, М, к при вычислении угла искривления луча света.

4. Рассчитать предел верхней границы размера галактического гало с помощью автономной Гамильтоновой динамической системы.

5. Определить поправку на значение q в различных известных гравитационных экспериментах Солнечной системы в рамках пространства-времени Эреца-Розена.

Положения, выносимые на защиту:

1. Влияние параметра у на искривление Шварцшильда в совокупности с отталкивающим гравитационным эффектом космологической константы А.

2. Значение угла искривления луча света в области галактического гало.

3. Максимальный радиус стабильной круговой орбиты вещества в области галактического гало.

Научная новизна работы заключается в следующем:

2. Определен предельный радиус стабильной круговой орбиты тестовых частиц в галактическом гало.

3. Вычислено влияние квадрупольного момента д с проверкой гравиметрических расчетов Солнца, таких как гравитационное линзирование, прецессия планет и задержка по времени.

Практическая значимость:

Личный вклад автора:

Апробация работы:

Результаты работы, изложенные в диссертационной работе, представлялись и обсуждались на следующих конференциях и семинарах: Региональный семинар по физике на кафедре прикладной физики и нанотехнологий (г. Уфа, 2010г.), Семинар на кафедре теоретической физики факультета физико-математического образования ТТТПУ (г. Казань, 2010 г.), Объединенный Семинар на кафедре теоретической физики СГПА им. 3. Биишевой (г. Стерлитамак, 2011 г.), Региональный семинар по физике на кафедре прикладной физики и нанотехнологий (г. Уфа, 2011г.), Конференция Обратные задачи химии Памяти академика РАН Юрия Борисовича Монакова БГСПА (г. Бирск, 2011), Семинар физического факультета на кафедре теоретической физики (г. Челябинск, 2012), Астрофизический семинар на кафедре теоретической физики БашГУ (г. Уфа, 2012 г.).

Заключение диссертации по теме "Теоретическая физика"

Основные результаты работы сводятся к следующему:

УЯ влияние коэффициента - -— на искривление и его поправочного значения 2

3 7иуМ

---—. С помощью метода Риндлера-Исхака был рассчитан параметр у, 4 который может быть физически существенным только в масштабах галактического кластера, но не в масштабе Солнечной системы. Вычислено уЯ значение угла искривления е = —— для случая М = О. Показано, что величина к = А / 3 оказывает влияние, как на параметры Шварцшильда, так и на их конформный параметр у. Получено уравнение, описывающее как шварцильдово искривление света при М > 0, так и отталкивающий гравитационный эффект космологической константы к > 0 и конформного параметра Вейля у > 0 на искривление луча света.

2. Показано, что развитие метода Риндлера-Исхака в рамках предложенной нами модели может быть адаптировано для определения нового значения угла искривления в гало темной материи в более общем решении, чем решение Шварцшильда-де Ситтера.

3. Впервые установлено, что при значении у =-1 х\0~2* см~1, стабильность вещественных круговых орбит сохраняется вплоть до значений радиуса Яс2акбс = 4,25 х 1О27см < ЯдС. Для этого же значения у сингулярный радиус оказался равным Ястг =9,11x1022см<Яэ. В предложенной модели значение у всегда отрицательно, так как положительное значение этого параметра приводит к тому, что радиусы стабильных орбит массивных частиц станут выходить за пределы радиуса де Ситтера.

4. Вычислена квадрупольная поправка д отклонения света, равная 1,89x10 12 радиан. Установлено влияние квадрупольного момента на эффект замедления времени у,г¡). Рассчитано значение векового смещения перигелия Меркурия в рамках ОТО с поправкой на квадрупольный момент Солнца, которое оказалось равным 42,56"±0,94".

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Исследования, выполненные в рамках настоящей диссертационной работы, посвящены определению некоторых эффектов темной материи. Так же были выявлены некоторые эффекты вследствие гравиметрических экспериментов с учетом влияния квадрупольного момента Солнца. Решение данных задач актуально, прежде всего, для получения новых теоретических обоснований астрофизических и космологических проявлений темной материи. Результаты данной работы указывают на перспективу экспериментального наблюдения новых значений угла искривления лучей света в области галактического гало. Проведенное исследование, безусловно, расширяет и углубляет наше представление о влиянии темной материи на гравитационное линзирование, кривую вращения галактик и некоторые гравиметрические эксперименты. Изучение некоторых эффектов гравитационного линзирования представляет большую значимость с точки зрения общей теории относительности и в качестве инструмента по выявлению новых свойств астрофизических объектов. В определенных случаях результаты, вытекающие из рассмотрения предложенных решений, переходят в известные, что является подтверждением достоверности рассматриваемых теорий. Важным результатом работы было определение наличие отталкивающего гравитационного эффекта у на искривление света в области галактического гало. Следует отметить, что, вообще говоря, ни одна из величин к,у,М не должна быть равна нулю. Однако, чисто теоретически, возможно задать одно или два значения данных величин равное нулю в качестве предельного случая. Уравнение (2.34) показывает, что параметр к оказывает влияние, как на слагаемые Шварцшильда, так и на их конформные части уравнения. Так же вычислено, что у может быть физически существенным только в масштабах галактического кластера, но не в солнечном масштабе. Факт того, что у играет роль, преимущественно, в галактических гало был высказан как предположение в более ранних публикациях, однако в данной работе было найдено подтверждение в пользу факта с абсолютно другой точки зрения, а именно посредством определения угла искривления методом Риндлера-Исхака. Так же уравнение (2.34) хорошо описывает как шварцшильдово искривление луча света как при М > О, так и отталкивающий гравитационный эффект космологической константы к> 0 и при значение конформного параметра Вейля у > О на искривление луча света.

Уравнение (2.34) сочетает в себе искривление разных порядков полученных

Боденнером и У и лом [31], Риндлером и Исхаком [17], Э дером и Параньяпе [29].

В конформной части уравнения появились новые члены, так как уравнение было вычислено вплоть до порядка М2. В частности это поправка второго

ЪтиуМ Ъп М уЯ порядка--^— = —— к членУ первого порядка - ранее полученного в работе [29], которая так же оказывает уменьшающий эффект на искривление Шварцшильда.

Для частного случая со значениями (р = л /4,к = 0,М = 0 в уравнении (2.46) не возникает абсолютно никаких трудностей при вычислении значения угла искривления. В этом случае, член - , конечно же, не появляется, но как 2 г2Д2 может быть отмечено, значение влияния будет равным -1-, на которое не 8 влияет выбор знака у. В случае (р = 0 или ф = к14, значение конформного параметра у , при желании, может быть обнулено, однако в результате приведенных замен выражение сводится к выражению для метрики Шварцшильда-де Ситтера. Для случая М = 0 определим максимально допустимое значение г = гмакс и соответственно вычислим из уравнения (2.38),

УК т-г что £ = ~2' прямое интегрирование, подтверждает данный результат.

Если же е не зависит от параметра к , тогда мы имеем дело с-искривлением в чистом конформном поле тяготения, определенное значениями параметров М = 0Д = 0, таким образом, что В{г) = \ + уг. В целом, можно сделать вывод, что метод Риндлера-Исхака может быть рассмотрен в случаях более общих, чем, например, решение Шварцшильда-де Ситтера, и что полученные при этом результаты полученные методом возмущений одинаковы, вплоть до второго порядка. В результате вычислений произведенных в настоящей диссертации выявлено, что у может быть физически существенным только в масштабах галактического кластера, но не в солнечном масштабе. Факт того, что у играет роль, преимущественно, в галактических гало был высказан как предположение в более ранних публикациях, однако в данной работе было найдено подтверждение в пользу факта с абсолютно другой точки зрения, а именно посредством определения угла искривления методом Риндлера-Исхака. Определение предельного радиуса стабильной круговой орбиты тестовых частиц в галактическом гало, является результатом, который позволит определить максимальный радиус гало галактики, в области которого, как известно, доминирует темная материя. Установлено, что при значении у = -7 х10~28 см~х, стабильность вещественных круговых орбит сохраняется вплоть до значений радиуса К2акбс = 4,25x1027 см < Я()С. Для этого же значения у сингулярный радиус оказался равным Ясииг = 9,11 х\022см < Яэ. В предложенной модели значение у всегда отрицательно, так как положительное значение этого параметра приводит к тому, что радиусы стабильных орбит массивных частиц станут выходить за пределы радиуса де Ситтера. Вычисление влияние квадрупольного момента q с проверкой гравиметрических расчетов Солнца, таких как гравитационное линзирование, прецессия планет и задержка по времени, возможно, поможет внести соответствующие поправки при расчете орбиты движения спутников. Сформулированные во введении задачи исследования решены.

Список источников диссертации и автореферата по физике, кандидата физико-математических наук, Исаев, Руслан Рамилевич, Челябинск

1. Sahni, V. Dark matter and dark energy / V. Sahni arXiv:astro-ph/0403324v3

2. Lake, K. Galactic halos are Einstein clusters of WIMPs / K. Lake arXiv:gr-qc/0607057v3

3. Bharadwaj S. Modeling galaxy halos using dark matter with pressure / S. Bharadwaj, S. Kar // Phys. Rev. D. 2003. Vol.68. P.023516-023520.

4. Nucamendi, U. Alternative approach to the galactic dark matter problem / U. Nucamendi, M. Salgado, D. Sudarsky // Phys. Rev. D. 2001. Vol.63. P.125016-125051.

5. Rahaman, F. Galactic rotation curves and brane-world models / F. Rahaman, M. Kalam, A. DeBenedictis, A.A. Usmani and Saibal Ray // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2008. Vol.389. P.27-43.

6. Energy / P.D. Mannheim // Progress in Particle and Nuclear Physics. 2006. Vol.56. P.340-445.

7. Jungman, G. Supersymmetric dark matter / G. Jungman, M. Kamionkowski, K. Griest // Phys. Rep. 1996. Vol.267. P.195-373.

8. Fay, S. Scalar fields properties for flat galactic rotation curves / S. Fay // Astron. Astrophys. 2004. Vol.413. P.799-806.

9. Colpi, M. Boson Stars: Gravitational Equilibria of Self-Interacting Scalar Fields / M. Colpi, S. L. Shapiro, I. Wasserman // Phys. Rev. Lett. 1986. Vol.57. P.2485-2488.

10. Lee, J.-w. Galactic halos as boson stars / J.-w. Lee, I.-g. Koh // Phys. Rev. D. -1996. Vol.53. P.2236-2239.

11. Rindler, W. The contribution of the cosmological constant to the relativistic bending of light revisited / W. Rindler, M. Ishak // Phys . Rev. D. 2007. Vol.76. P. 043006-043011.

12. Kantowski, R. Gravitational lensing corrections in flat ACDM cosmology / R. Kantowski, B. Chen, X. Dai // Astrophysical Journal. 2010. Vol.718. P.913-919.

13. Simpson, F. On lensing by a cosmological constant / F. Simpson, J. A. Peacock, A. F. Heavens // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2010. Vol.402. P.2009-2016.

14. Ishak, M. More on lensing by a cosmological constant / M. Ishak, W. Rindler, J. Dossett // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 2010. Vol.403. P.2152-2156.

15. Park, M. Rigorous approach to the gravitational lensing / M. Park // Phys . Rev.D. 2008. Vol.78. P.023014-023019.

16. Khriplovich, I.B. Does cosmological term influence gravitational lensing? /1. B. Khriplovich, A. A. Pomeransky // Int. J. Mod. Phys. D. 2008. Vol.17. P.2255-2259.

17. Bhattacharya, A. The vacuole model revisited: new repulsive terms in the second order deflection of light / A. Bhattacharya , G.M. Garipova , A. A. Potapov, A. Bhadra, K. K. Nandi // arXiv: 1002.2601.

18. Ishak, M. The relevance of the cosmological constant for lensing / M. Ishak, W. Rindler // Gen. Rel. Grav. 2010. Vol.42. P.2247-2267.

19. Edery, A. Classical tests for Weyl gravity: deflection of light and radar echo delay / A. Edery, M.B. Paranjape // Phys. Rev. D. 1998. Vol.58. P.024011-024014.

20. Pireaux, S. Light deflection in Weyl gravity: constraints on the linear parameter / S. Pireaux // Class. Quant. Grav. 2004. Vol.21. P.4317-4336.

21. Bodenner, J. Deflection of light to second order: a tool for illustrating principles of general relativity / J. Bodenner, C.M. Will // Am. J. Phys. 2003. Vol.7 1. P.770-773.

22. Weinberg, S. Gravitation & cosmology, John Wiley & Sons, New York, U.S.A. -1972.

23. Березин, В.А. Классический аналог квантовой черной дыры Шварцшильда. "Стандартная модель" и за ее пределами. // Теоретическая и математическая физика. 2012. Т. 170. С.

24. Klimenko, А. V. Centrifugal cosmological repulsive force in a homogeneous universe / A. V. Klimenko, V. A. Klimenko // arXiv:l 105.0815vl

25. Islam, J.N. The cosmological constant and classical tests of general relativity / J.N. Islam // Phys. Lett. A. 1983. Vol.97. P.239-241.

26. Rindler, W. Contribution of the cosmological constant to the relativistic bending of light revisited / W. Rindler, M. Ishak, Phys. Rev. D. 2007. Vol.76.

27. P.043006-043010.; Rindler, W. The Relevance of the Cosmological Constant for Lensing / M. Ishak, W. Rindler // arXiv: 1006.0014 astro-ph.

28. Bhattacharya, A. Light bending in the galactic halo by Rindler-Ishak method / Amrita Bhattacharya, Ruslan Isaev, Massimo Scalia, Carlo Cattani, Kamal K. Nandi // Journal of Cosmology and Astroparticles Physics 2010. Vol. 009. - P. 235017-235030.

29. Bhattacharya, A. The vacuole model revisited: New repulsive terms in the second order deflection of Light / Amrita Bhattacharya, Guzel M. Garipova, Alexander A. Potapov, Arunava Bhadra, Kamal K. Nandi // arXiv: gr-qc/0910.1112

30. Jordan, D.W. Nonlinear ordinary differential equations 3rd edition / D.W. Jordan, P. Smith Oxford.: Oxford University Press, 1999.

31. Palit A. Stability of Circular Orbits in General Relativity: a Phase Space Analysis / A. Palit, A. Panchenko, N.G. Migranov, A. Bhadra and K.K. Nandi // International Journal of Theoretical Physics 2009. 48. 1271. P. 1271-1289.

32. Bose, S.K. Introduction to general relativity / S.K. Bose New Delhi: Wiley Eastern, 1980.

33. Carloni, S. Cosmological dynamics of Rn gravity / S. Carloni, P. K. S. Dunsby, S. Capozziello and A. Troisi, Class. Quant. Grav. 2005. Vol. 22. P. 4839-4863

34. Einstein, A. The Particle Problem in the General Theory of Relativity / A. Einstein, N. Rosen // Physical Review. 1935. Vol.48. P.73-77.

35. Anderson, J. D. Study of the anomalous acceleration of Pioneer 10 and 11/ J. D. Anderson, P. A. Laing, E. L. Lau, A. S. Liu, M. M. Nieto, S. G. Turyshev // Phys. Rev. D. 2002. Vol. 65. P. 082004.

36. H. Quevedo, H. Multipole moments in general relativity. Static and stationary vacuum solutions // Fortschr. Phys. 1990. Vol. 38. P. 733-840.

37. Narlikar, J. V. Introduction to General Relativity / J. V. Narlika. New Delhi: Tata McGraw-Hill, 1980.

38. Misner, C. W. Gravitation / C. W. Misner, Kip S. Thorne, John A. Wheeler. San Francisco: Freeman & Co., 1973.

39. Zeldovich Ya. B. Relativistic Astrophysics / Ya. B. Zeldovich, I. D. Novikov. Chicago: University of Chicago Press, 1971.

40. Geroch, R. Multipole Moments. II. Curved Space / R. Geroch // J. Math. Phys. 1970. Vol. 11. P. 1665427-1665435.

41. Dicke, R. H. Solar Oblateness and General Relativity / R. H. Dicke, H. M. Goldenberg//Phys. Rev. Lett. 1967. Vol. 18. P. 313-316.

42. Kuhn, J. R. The Sun's shape and brightness / J. R. Kuhn, R.I. Bush, X. Scheick, P. Scherres //Nature. 1998. Vol. 392. P. 155-157.

43. Hartle, J.B. An Introduction to General Relativity / J. B. Hartle. Singapore: Pearson Education Inc, 2003

44. Quevedo, H. Pioneer's Anomaly and the Solar Quadrupole Moment / H. Quevedo and L. Parkes // preprint: gr-qc/0501006.

45. Shapiro, 1.1. Fourth Test of General Relativity: New Radar Result /1.1. Shapiro // Phys. Rev. Lett. 1971. Vol. 26. P. 1132-1135.