Некоторые экстремальные задачи геометрической теории функций тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

РОССИЙСКАЯ АКАДЕМИЯ НАУК МАТЕМАТИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ им. В.А. СТЕКЛОВА САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКОЕ ОТДЕЛЕНИЕ

~ргб (УД ,

12 вез

на правах рукописи УДК 517.54

КУЗНЕЦОВ Владимир Олегович

НЕКОТОРЫЕ ЭКСТРЕМАЛЬНЫЕ ЗАДАЧИ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ТЕОРИИ ФУНКЦИЙ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

САНКТ-ПЕТЕРБУРГ 1996

Работа выполнена на кафедре математики Санкт-Петербургского Государственного университета водных коммуникаций.

Научный руководитель — доктор физико-математических наук

Г.В. Кузьмина.

Официальные оппоненты : доктор физико-математических наук,

профессор H.A. Широков,

кандидат физико-математических наук Е.Г. Емельянов.

Ведущая организация — Институт прикладной математики

ДВО РАН

Защита состоится 1996 г. в ^ на заседании спе-

циализированного совета Д 002.38.04 при Санкт-Петербургском отделении Математического института им. В.А.Стеклова РАН (Санкт-Петербург, наб. р. Фонтанки, д. 27).

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке Санкт-Петербургского отделения Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Автореферат разослан ' _1996 года.

"Ученый секретарь специализированного совета

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В современной геометрической теории функций активно взаимодействуют, дополняя друг друга, различные методы исследования. Появление и развитие вариационного метода, метода экстремальных метрик и метода симметризации привело к пониманию существенной роли, которую играют в решении экстремальных задач квадратичные дифференциалы. Было установлено, что границы экстремальных областей в ряде задач лежат на траекториях ассоциированного квадратичного дифференциала. Поэтому геометрические характеристики этих областей тесно связаны с кратностью и расположением критических точек (т.е. нулей и полюсов) этого дифференциала, которые часто заранее неизвестны и являются параметрами подлежащими определению. Если не предполагается та или иная симметрия в расположении критических точек, то число допустимых (т.е. удовлетворяющих всем необходимым условиям данной конкретной задачи), но не реализующих искомого максимума конфигураций быстро растет с возрастанием числа этих точек. Кроме того, в ряде задач даже при достаточно небольшом числе критических точек нахождение искомых экстремальных величин в явном виде значительно усложняется тем обстоятельством, что приходится иметь дело с эллиптическими и гиперэллиптическими интегралами. С такого рода сложностями, в частности, приходится иметь дело в двух классических задачах геометрической теории функций:

Задача 1.1. Пусть Е— континуум на комплексной плоскости С, п > 2, и пусть с1п(Е) — л-й диаметр Е\

Найти максимум dn(E) в семействе всех континуумов £ единичной емкости.

Задача 1.2. Пусть с\,...,сп— система различных точек римановой сферы С, Di,...,!)„ — система неналегающих односвязных областей на С таких, что eje D¡, j = и пусть R(Dj,Cj) — конформный радиус

области Dj относительно точки Cj. Найти максимум функционала

для всех указанных систем точек су и областей Оу.

В настоящее время решения задач 1.1 и 1.2 получены только для «=2,3,4. Представляется актуальным получение конкретных частных результатов в задачах 1.1,1.2 и аналогичных задачах о неналегающих областях, а также доказательство общих утверждений качественного характера, уменьшающих число возможных допустимых конфигураций в задаче и

дающих качественную информацию в тех случаях, когда указание явного вида экстремальных величин оказывается затруднительным.

Одно из современных направлений в геометрической теории функций состоит в изучении классов однолистных функций с точки зрения функционального анализа. Этому кругу вопросов посвящена в частности монография Г. Шобера1. Пусть #(Д) — пространство аналитических в области Д = {£> 1} функций с топологией равномерной сходимости на компактах в Д, I и 2 — классы функций f{g) = ¿г + мероморфных и одноли-

стных соответственно в областях А и С \ [0,4]. Функция / е! называется опорной функцией класса I, если существует линейный непрерывный, отличный от константы, функционал L в #(Д) такой, что Re{L(/)} > Re{L(g)} для любой функции g е I. Известно1, что выпускаемое множество Г = С\/(А) опорной функции / е Е является объединением конечного числа аналитических дуг, лежащих на траекториях квадратичного дифференциала

регулярного в некоторой окрестности Г. Г. Шобер предположил2, что дифференциал (1) может иметь только простые нули на множестве Г и, следовательно, выпускаемое множество опорной функции не может содержать более трех дуг, выходящих из одной точки. Доказательство этого факта было сведено3 к проверке следующего утверждения

Гипотеза А. Для каждого п > 3 существует функция /(О е 2 такая,

что

Здесь под {/(£)}„ понимается коэффициент при в разложении функции /(£) в окрестности бесконечно удаленной точки. Эта гипотеза интересна также тем, что при п = 1,2, как это вытекает из известных результатов для

Таким образом, представляет определенный интерес как доказательство самой гипотезы А, устанавливающей указанные свойства опорных функций

1 Schober G. Univalent functions — selected topics. Lect. Notes Math., 1975, N 478, 200 p.

2 Schober О. Some conjectures for the class — Contemp.Math., 1985, vol.38, p.13-21.

3 Leung Y.J., Schober G. Low order coefficient estimates in the class 2. Ann.Acad. Sci.Fcnn. Ser. A.I.Math., 1986, vol.11, p.39-61.

(1)

Re{/(Q}„ > 0.

(2)

(2')

класса 2, так и исследование с точки зрения выполнения или невыполнения неравенств (2-2') классов функций регулярных в области С \ [0,4].

Цель работы. Установление экстремальных свойств систем отображений круга и кольца на неналегагощие области, изучение свойств опорных функций класса 2, оценка коэффициентов в некоторых классах функций.

Методика исследования. В работе применяются вариационные методы, метод интегральных представлений, ряд общих результатов метода экстремальных метрик, используются результаты о локальной и глобальной структуре траекторий квадратичных дифференциалов.

Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми. Доказано, что ассоциированные квадратичные дифференциалы в задачах 1.1 и 1.2 имеют только простые нули. Найден максимум третьего диаметра в семействе континуумов заданной гиперболической емкости. Получен ряд результатов в задаче о максимуме произведения конформных радиусов трех неналегающнх односвязных областей на комплексной плоскости. Доказана гипотеза Шобера-Льюнга при всех л >4. Получено интегральное представление и установлен ряд экстремальных свойств некоторых классов типично вещественных функций.

Теоретическая и практическая ценность. Результаты, полученные в диссертации и примененная в ней техника исследования могут найти применение при решении экстремальных задач геометрической теории функций.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались на семинарах Петербургского отделения Математического института РАН и на Всероссийской научно-методической конференции в СПГУВКе в 1994г.

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы пять работ (одна из них совместно с Г.В. Кузьминой), список которых приведен в конце автореферата.

Структура н объем работы. Диссертация изложена на 118 страницах и состоит из введения, трех глав и списка литературы из 59 наименований.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении излагается формулировка рассматриваемых задач, их история и формулируются полученные результаты.

В главе I исследуются геометрические свойства экстремальных конфигураций задач 1.1 и 1.2. Рассматривается также аналогичная задаче 1.2 задача 1.2'о конформном инварианте для системы неналегающнх односвязных областей в верхней полуплоскости. Известно, что при всех п > 3 границы экстремальных областей в задачах 1.1 и 1.2, 1.2'являются объединением замыканий критических траекторий соответственно следующих квадратичных дифференциалов:

n(n-\)

lm<j<ji ci)(: cj)

dz2, (3)

(.A(z)dr2 = -

" 1 ~> 1

у--'---у --

J=i (r-c,)2 (Я-1) l£,s,<„ {:-c,){=-Cj)

d-. (4)

Доказываемые в главе I теоремы проясняют топологические свойства ■экстремальных континуумов и систем областей в задачах 1.1, 1.2 и 1.2'.

Теорема 1.1. Квадратичный дифференциал (3), определяющий экстремальный континуум Е задачи 1.1, не, имеет нулей порядка > 1. Каждая точка Фекете на Еявляется простым полюсом дифференциала (3).

Этот результат автора независимо был получен в серии работ Шобера и Лыонга4-5-6. Частными случаями теоремы 1.1 являются также результаты Б. Волка7 и А.К. Бахтина8.

Теорема 1.2. Квадратичный дифференциал (4), определяющий экстремальную систему областей задачи 1.2, не имеет нулей порядка > 1.

Теорема 1.3. Квадратичный дифференциал (4). определяющий экстремальную систему областей задачи 1.2', не имеет нулей порядка > 2 на замыкании вещественной оси.

При доказательстве теорем 1.1, 1.2 и 1.3 используются метод вариации усечения М. Шиффера (truncation variation) и некоторые алгебраические свойства симметрических многочленов.

Важным моментом при доказательстве теорем 1.1, 1.2 и 1.3 является проверка того, что функция

Л„(С) = <Г(1+0:/" ,п= 1,2.....

при определенных п не является экстремальной в "коэффициентных" задачах. к которым приводит применение вариации усечения Шиффера. Эта проверка проводится с помощью полученной в $ 2 главы I вариационной формулы. Особенностью этой вариационной формулы является наличие двух свободных вещественных параметров, что позволяет эффективно ис-

4 I.eung Y.J.. Schobcr G. The Mil diameter problem in the class — .1.Anal.Math., 1987. vol.48, p.247-266.

5 Leung YJ. On the Mil diameter problem in the class I. — Complex Variables. 1987. vol.9, N 2-3, p.227-239.

I.eung Y.J., Schobcr G. Some coefficient problem and applications. l'acif.J. Math., 199(1, vol.145, p.71-95.

7 Volk B. On the maximum Mil diameter.— Bull. Anier. Math. Soc., 1974, vol.80, N 3. p.446-448.

" I>axritii A.K. Of> ii-x диаметрах континуумов. - H кн.: Некоюрые нопросм современном теории функций. Новосибирск, 1976, с. 11-17.

ользовать ее как для исследования функции К„(С,) на локальный максимум рассматриваемых в диссертации экстремальных задачах, так и для поста-овки новых задач.

В главе 2 исследуются две группы экстремальных задач. Первой из них, зязанной с предложенными М.Цудзи' гиперболическими характеристика-и множества, лежащего в круге, посвящен § 1 этой главы. В нем рассмат-иваются задачи 2.1 и 2.2 о максимуме функционалов (1п(Е) и

> 2, в семействе К(И>(р) всех континуумов Е гиперболической емкости р в руге и = {г : |г| < !}. Пусть

- гиперболическое псевдорасстояние между точкам)! 2г в круге 1!. Ги-[ерболическая емкость сар(11»£ и гиперболический трансфинитный диаметр шожества Еопределяются с помощью гиперболического псевдорасстояния »алогично тому, как емкость ограниченного замкнутого множества на :омплексной плоскости и его трансфинитный диаметр определяются с по-ющью евклидова расстояния.

Пусть п> 1, (о = ехр(2к1/п) и пусть г„(р) — длина каждого из отрезков, >бразующн\ симметричный континуум

<(Р) = 1)[0.®кг„(р) 1

тшерболической емкости р. Г. Гретт10 установил, что в при я = 2 искомый максимум в задаче 2.1, а потому и в задаче 2.2, реализуется только в гом случае, когда Е = [е'": : л е Ег\р)\, где а — вещественное число. В § 1 "лавы 2 устанавливается аналогичный результат для п = 3.

Теоремы 2.1, 2.2. Пусть р. О < р < 1. —фиксированное число и пусть Е еК(к)(р). Тогда

/з(£)<-Л/з(/?), с/, (Е)<^(р).

Равенства в этих неравенствах имеют место только в случае Е = {е'"г :: е Еъ{р)}. где а — вещественное число.

При доказательстве теорем 2.1 и 2.2 используется геометрическая характеристика экстремальной конфигурации данной задачи, получающаяся методом граничных вариаций и геометрические свойства континуумов наименьшей гиперболической емкости. Параграф завершается доказательством теоремы 2.3, показывающей, что при всех п> 4 и всех достаточно ма-

9 Tsuji M. Potential theory in modern Function theory. Tokyo, 1959. 509 p.

"' Grotzsch II. Uber einige Hxtrenwilpiohlcme der konformen Abbildung. I. II. Bor.Verh. Siichs.Acad.Wiss.Leipzig, Math.-Phys.KI., 1928. Bd 80. S.367-376; 497-505.

лых р симметричный континуум £„*(/>) не реализует максимума dn(E) в ci мействе №>(/?). При этом существенно используются результаты главы 1.

В § 2 главы 2 рассматривается задача о максимуме произведет) конформных радиусов неналегающих односвязных областей. Эта зада1 непосредственно связана с задачей 1.2 и может быть сформулирована сл дующим образом.

Задача А. Пусть ai,...,a„ и b\,...,b,„ — различные точки С (я> т + п> 3, точки Ьк могут отсутствовать: т > 0). Найти максимум ripoim дения

к=1

в семействе всех систем {D\,...,D„\ неналегающих односвязных областей С \ {bt,...,bm} таких, чтоял е Dk,k =

Задача А исследовалась с начала 30-х гг. и до настоящего времени м I ими авторами и различными методами. В работах М.А. Лавренты Г.М. Голузина, Л.И. Колбиной, Дж. Дженкинса и Г.В.Кузьминой 6i получено решение задачи А в следующих случаях: т - 0 и п -т — 1 и п — 2. В диссертации рассматривается задача А в случае п = : = 1. Эту задачу будем называть задачей 2.3. Максимум произведения ( задаче 2.3 обозначаем через }(at.ai,ci},b). С помощью надлежащего дро( линейною преобразования решение задачи 2.3 сводится к случаю ак = с к = 1,2,3, где со = exp(2it//3).

Основой для всех результатов этого параграфа является описание метрических свойств экстремальной системы областей, полученное в реме 2.4 на основе анализа глобальной структуры траекторий ассоци ванного квадратичного дифференциала рассматриваемой задачи. Это санис существенно использует структуру траекторий и ортогональных екторий квадратичного дифференциала

0,(:)d.-5= d:1.

Пусть // и I* — множества, состоящие из трех лучей, являющихся сос ственно критическими траекториями и критическими ортогональным: екториями этого дифференциала. Случай b е LT является самым прос задаче 2.3. Этот случай полностью рассмотрен Г.М. Голузинь Л.И. Колбиной. В других случаях значение J(ai,a2,a),b) до настоящег мени найдено не было. Теорема 2.5 дае! решение задачи 2.3 в случае I Во всех остальных случаях, как это следует из теоремы 2.4, решение : 2.3 уже не может быть выражено через элемен¡арные функции. Me ские условия, определяющие экстремальную систему областей в этих ях, приводятся в теореме 2.6.

В силу теоремы 2.6 значение величины /(I ,а>,а£,Ь) при 6 г и может ггь выражено в терминах эллиптических функций. Однако получающиеся и этом выражения довольно громоздки и непосредственно из них трудно лучить информацию о характере зависимости функционала /(I ,а>,(сР-,Ь) от сложения точки Ь. Применение теоремы о градиенте модуля экстремаль-|-метрической проблемы для семейств кривых"12 оказывается в этом от-•шении более эффективным и приводит к следующему результату.

Теорема 2.7. Величина 1(1,(0,(0', Ь) монотонно возрастает при движении очки Ь вдоль ортогональной траектории дифференциала (6) от его двойного >люса к множеству Ь~ и монотонно убывает при движении точки Ь вдоль раектории дифференциала (6) от окружности {|г| = 1} к множеству I*.

В силу результата Г.М. Голузина13 для семейства регулярных конформ-ых отображений единичного круга на три неналегающие друг на друга

Зласти справедлива точная оценка:

=,--

2' Кй,-в2Хоз-«1Кв2-аз)1 81л/3

еорема 2.8, усиливающая этот результат, выясняет характер зависимости |ункционала J от положения точек а\,аг,аг и дает значение этого функ-ионала в том случае, когда эти точки лежат в вершинах равнобедренного реугольника.

Третья глава диссертации посвящена доказательству гипотезы Шобера-1ыонга и изучению свойств некоторых классов типично вещественных пункций. Предложенный автором в главе I метод построения двухпара-^етрической вариационной формулы используется в лемме 3.1 главы 3 для юказательства гипотезы А для всех п>4. Доказательство этого предполо-кения при всех п > 3 было дано позднее Шобером и Льюнгом14 и подводит 1тог серии их работ на ту же тему. Эта же проблема, но уже в другом классе функций, исследуется в теореме 3.8. Именно, показывается, что в классе <лассе функций типично вещественных в области С \ [0,4] неравенство (2') ;правсдливо при всех п> I. Полученное для доказательства этой теоремы интегральное представление функций этого класса (теорема 3.!) испольчу-

11 Емельянов И.Г. Некоторые свойства модулей семейств кривых. — Заи.ниучн.семин. ЛОМИ, 1985.T.I44, с.72-82.

12 Солынин A.IO. Зависимость проблемы модуля для семейства нескольких классов кривых от параметров. — Зап.научн.семин. ЛОМИ, 1985, т. 144, с. 136-145.

" Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного, 2-ое изд. М. 1966, 628 с.

н Leung Y.J., Scliober G. The simple-zero theorem for support points in Г. — Proc.Amer. Math.Soc., 1989, vol.105, N 3, p.603-608.

егся в теоремах 3.2-3.7, описывающих свойства некоторых классов типично вещественных функций.

ПУБЛИКАЦИИ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ

1. Кузнецов В.О., Кузьмина Г.В. К задаче о максимуме Л'-го диаметра на гиперболической плоскости. — Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1980, т. 100, с. 113-130.

2. Кузнецов В.О. К задаче о максимуме Л'-го диаметра. — Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1983, т. 154, с. 101-109.

3. Кузнецов В.О. О свойствах ассоциированных квадратичных дифференциалов в некоторых экстремальных задачах. — Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1988,т.168,с.85-97.

4. Кузнецов В.О. О типично вещественных функциях с особенностями на вещественной оси.— Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1990, т.185, с.66-71.

5. Кузнецов В.О. К задаче о произведении конформных радиусов ненале-гающих областей.— Зап. научн. семин. ЛОМИ, 1994, т.212, с.114-128.