Некоторые математические вопросы динамики роста тонких пленок тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

Р |*фНфЯПЕТЕРВУРГСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ

-9 ОПТ 1555

♦

На оравах рукописи

МАРКОВ Юрий Георгиевич

НЕКОТОРЫЕ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ВОПРОСЫ ДИНАМИКИ РОСТА ТОНКИХ ПЛЕНОК

Специальности: 01.01.07 Вычислительная математика 01.01.11 Системный «анализ и автоматизированное управление

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Санкт- Петербург 1905

Работа, выполнена в Санкт-Петербургском Государственном Университете и Институте Межфазных Взаимодействий при Санкт-Петербургском Техническом Университете.

Научный руководитель - член-корреспондент АЕН РФ,

доктор физико-математических наук

профессор,

Дубровский Г.В.

Официальные оппоненты -

доктор физико-математических наук, профессор

Леонов Г.А. кандидат физико-математических наук, доцент Федотов В.А.

Ведущая организация: Институт Механики МГУ, Москва. Защита диссертации состоится "31 "ОкД^БйЙ1995 в часов

3.57.1

на заседании диссертационного совета К 063.57.16 по защитам диссертаций ва соискание ученой степени кандидата физико - математических наук в Санкт-Петербургском Госуниверситете по адресу: 198904, Петро дворец, Библиотечная ял. 2, факультет Прикладной Математики - Процессов Управления.

С диссертацией можно ознакомиться в научной библиотеке им. A.M. Горького Санкт-Петербургского государственного университета.

Просим принять участие в работе совета или прислать отзыв в одном экземпляре, заверенный печатью организации.

Автореферат разослан 995.

Ученый секретарь

диссертационного совета,

д.ф.-м.н. ^ffyfyj^ Горьковой В.Ф.

STf*

ОВШАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ.

Акту альность темы. Исследование динамики роста тонких пленок d приближении решеточного газа с использованием современных м<1 тематических методов решения и исследования нелинейных уравнений является составной частью общей проблемы межфазяого взаимодействия в системе "газ + адеорбат Н- твердое тело". Общая проблема включает в себя формулировку граничной кинетической задачи для газовой среды на базе уравиекия Больцмана и граничного условия общего вида [Dubrovskiy G.V., 1994], кинетической задачи для релаксирующего многослойного адсорбата [Dubrovskiy G.V. е.а., 1004]. модели перестройки поверхности [Patrikiejew А. и Binder 1С, 1992], разработку методов расчета рассеяния частиц и поля на пленочных структурах [Kariotis П. и Lagally M.G., 1989], построение моделей корреляционных функций профиля пленки [Беленький В.З., 1989], необходимых для описания рассеяния воли и частиц, Ввиду сложности проблемы особенно актуальны задачи строгого вывода моделей с физически значимыми управляющими параметрами и их математического исследования. В динамике роста тонких пленок такими перспективными и важными являются модели, построенные на базе детальной кинетической теории [Dubrovskiy G.V., 1991]. Для этих моделей требуется развитие соответствующей математической базы: исследование предельных случаев (по параметру пересыщения, параметрам латеральных взаимодействий адатомов и т.д.) и более простых режимов (ыонослойной адсорбции, адсорбции без диффузии, диффузии без адсорбции-десорбции), вычисление корреляционных функций. Такие модели вместе с разработанной математической базой служат дополнением к широко используемым в практике моделям, вывод которых оснопан на феноменологических подходах [Karilar М. е.a., 19SG; Luse C.N. и Zangwill А., 1992], термодинамике неравновесных процессов [Krenzer H.J., 1990а], механике сплошной среды [Villain .1., 1991; Srolovitz D.J. е.а., 1988], для обоснования и установления связи между тши, вычисления кинетических коэффициентов через вероятности элементарных процессов адсорбции, десорбции, диффузии, изучения более тонких зависимостей ростовой дипамики от внешних параметров.

Цель и задачи исследовапия. Цель работы заключалась з рас-

ширешга математической базы для исследования динамики роста тонких пленок, включая более строгое обоснование математических моделей, исследование важных предельных случаев и режимов роста пленки, вычисление характерных параметров пленок в этих режимах. В связи с этим были поставлены следующие задачи:

1. Исследовать математические свойства кинетической БЭТ-модсли (ОКБЭТ - модели): выполнение условий нормировки для функций распределения вероятностей (заполненностей), характер динамики ростовых процессов.

2. Асимптотическими методами построить решения ОКБЭТ-модели монослойной пленки при наличии быстрой диффузии.

3. Для случая монослойной пленки провести уточнение коэффициентов диффузии ОКБЭТ - модели с учетом различных приближений для латеральных взаимодействий адатомов. Исследовать влияние диффузии на динамику роста пленки.

4. Построить решения уравнений ОКБЭТ -модели для многослойной адсорбции в ряде предельных случаев: медленной и быстрой диффузии в многослойной пленке, непрерывного описания адсорбции в многослойной пленке без учета диффузии. В рамках ОКБЭТ-модели построить асимптотические представления для

. средней высоты пленки в зависимости от управляющих параметров. Провести анализ характера ростовой динамики в различных режимах.

Научная новизна работы. Построен и изучен ряд новых математических моделей роста тонких пленок, согласованных с физическими механизмами сопутствующих процессов. Лля уравнений ОКВЭТ - модели доказаны свойства сохранения нормировки заполненностей, монотонности решений, сходимости решений к стационарному для открытого и всюду плотного по норме С0 множества начальных данных. Получены дифференциальные уравнения в частных производных для химического потенциала монослойпого адгорбата. Приведены результаты о виде функциональной зависимости коэффициента поверхностной диффузии от заполненностей. При этом учтены такие физические параметры, как величина энер-

гни взаимодействия адатома с поверхностью твердого тела, величины и знаки энергий латеральных взаимодействий адатомов, приближения для описания взаимодействия адатомов, структура решетки кристаллической поверхности твердого тела. Зависимости полученных ьоэфициентов диффузии от заполненности качественно соответствуют известным из литературы зависимостям. Найдены критерии диффузионной неустойчивости, критические значения коэффициента поверхностной диффузии и пространственного масштаба, Выведена система нелинейных дифференциальных уравнений для амплитуд конкурирующих мод в случае диффузионной неустойчивости. Найдены решения роста моно- и многослойных пленок для некоторых предельных случаев. Получены асимптотические представления для профиля тонкой пленки в зависимости от значений управляющих параметров (пересыщения и латеральв ;х взаимодействий). Сделан анализ физических эффектов, вытекающих из проведенного рассмотрения.

Практическая значимое!ь работы. Полученные результаты представляют теоретический интерес, поскольку ояи помогают находить подходы к выводу, обоснованию и исследованию феноменологических моделей и установлению большей строгости в смысле разделения чисто математических и физических эффектов. Они могут быть использованы для изучения нелинейных эффектов и влияния внешних параметров при росте пленок на различных стадиях (влияние поверхности твердого тела, потока газа, фазовых переходов, неустойчивости профиля), интерпретации экспериментальных данных по адс орбции, десорбции, коэффициентам прилипания, тер-модесориционным спектрам. Результаты проведенных исследований динамики роста тонких пленок могут быть полезны при решении задач из более широкого класса. Этот класс задач относится к общей проблеме стохастической динамики. Модели динамики роста тонких пленок являются хорошими базиспыми примерами для исследований современных задач динамики нелинейных систем.

Апробация работы. Основные результаты были представлены на Городском семинаре "Дифференциальные уравнения и математическая физика" (Педагогический университет, СПб, 1988), X Все-1'ок)з. конференции по Динамике Разреженных Газов (Москва, 19.39),

семинаре по физике поверхности (Физико-Технический институт, СПб, lfl'JÜJ, сешшире лаборатории методов вычислений (НИИ математики и механики, Санкт- Петербургский Университет. 1991), XI Всесоюз. конференции по Динамике Разреженных Газов (СПб, 1901), ца семинарах И Hi гитута Межфазных Взаимодействий (Технический Университет, СПб, 1991-1993), XIX Международном симпозиум«; по Динамике Разреженных Газов (Oxford, England, 1994), Второй Европейской конференции по механике жидкости (Krakow, Poland, 1994), Международной конференции "Синергетика-95"(СПб, 1995), XIII Сессии Международной школы по моделям механики сплошных сред (СПб, 1995).

Публикации. По материалам диссертации опубликовано 8 печатных работ.

Объем к структура работы. Диссертация состоит из введения, аналитического обзора литературы, изложения полученных результатов и их обсуждения, заключения и выводов. Работа изложена на 136 страницах, содержит 11 рисунков; список цитируемой литературы включает 102 наименования, из которых 120 иностранных.

СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ.

Модели динамики роста тонких плене« на основании анализа известных автору результатов можно разделить на три класса:

(I) Модели, математической основой которых являются линейные, квазилинейные и нелинейные, уравнения параболического типа с неоднородной частью (источник - сток), моделирующей влияние среды для функции Д(Л, <), задающей профиль пленки.

(II) Модели, в основе которых - феноменологические уравнения для профиля тонкой пленки h(R,t) или уравнения для других, по которым можно вычислить профиль тонкой пленки. Такая постановка задачи приводит к уравнениям в частных производных или к нелинейным системам обыкновенных дифференциальных уравнений.

(III) Модели, построенные в приближении решеточного газа. Математической основой моделей п приближении решеточного газа являются линейные и нелинейные уравнения в частных производ-

них, а также нелинейные системы обыкновенных диференциальшлх уравнений.

Кинетическая задача для релаксирующего многослойного ад-сорбата, результаты по математическим иследопапиям которой составляют содержание данной работы сформулирована б дискретном, полудискретиом и непрерывном вариантах. Физическая модель адсорбции, предложенная в работе [Дубровский Г.В. и др., 1995] приводит к системе уравнений для эаполненностей в(а, <) плоских или пространственных ячеек « с начальными условиями, задаваемой в следующем виде

е(,Т?,<) = £ М(«,а» [В°(Я\в') - В°(п\0)}

+ [охр(/»г) - ва{?х\9)\ + А (в) ~ \цо) + лпи,в) + л(0) (1)

\И) = ех-р [//'"(о|0)] = ехр [-с°"(<?|«)] (2)

1^'(а\0) = (Л) - Фв(а) + (3)

Л(«\9) = »М<~'Ш<>), ' = 1-2; (4)

I > 2 <*_ = (/— 1,Я); 4(9') = ?(<?(<*'))

(С) (7)

"1

В уравнениях (1) и представлениях (2-7) щ ,г - частоты колебаний адатомов в адсорбционной ячейке в нормальном и касательном направлениях; «,*-'2(а,<~'\в) - симметризопаяные и нормированные вероятности диффузионных скачков г? -♦ «'; а(а|0) - вероятность адсорбции в ячейку ц(Э) - функция, эффективно учитывающая от-талкивательные латеральные взаимодействия адатомов в ОКБЭТ-модели. Величины /1О,п(г»|0) играют роль неравновесных значений

химических потенциалов ячеек адсорбата по отношению к процессам миграции адатомов (D) и процессам адсорбции -десорбции (о); цс с точностью до постоянной совпадает с химическим потенциалом газовой фазы при условии, что поток падающих частиц задается выражением

jf(R, <) — ZP(R,t), £ = (2л-vikT)~i,

где m - масса частицы, к -постоянная Больцмана, Р, Т -давление и температура газовой фазы. А(0) - ланжевеновский источник, который может быть взят в гауссовской форме или других приближениях.

Одним из основных вопросов при математическом исследовании системы (1) является вопрос о стационарных решениях системы (1). Обращение в ноль оператора миграции М приводит к условию для определения квазистационарного распределения в°(а)

,1°(а\в1>) = „°(0, (8)

где -произвольная функция времени. Условие адсорбционно-

десорбционного равновесия (AD{j,Oc) = 0) приводит к уравнению

= (9)

где /Iе дается формулой (7). Квазистационарное распределение eM(a,fiü(t)) переходит при t —* оо d стационарное распределение 0е, если выполняется соотношение

оо - He + - €°(Й) (Ю)

Соотношение {10) автоматически выполняется в трех случаях: а) еа(а) = е°(а)\ б) f",D не зависит от а (однородный или квазиоднородный адсорбат); n) /tc(«) + «"(«) - fD(<») не зависит от а (маловероятный случай). В настоящей работе рассматриваются случаи а) и б). Если предположения а),б),в) не выполняются, то стационарное решение следует искать из условия

Щ0е)+ ADU,0K) = Q (11)

Это более сложное уравнение, п принципе, может давать пространственные структуры, имеющие отношение к явлениям самоорганизации.

Система (1) при непрерывном описании диффузии по слою может быть записана в виде (полудискретная ОКБЭТ-модель)

¿М(Л,0 = On, [дЪ(Л|0|)Зя.Л|,М|0,)] + MjW + ADUA) + А(0«)

(12)

D',i (l, П) = q{Ot{R)) ЩЪ & + Д ЫШ + Д))Д.-Д* д

Mi(ii,ft)sM{i,R-,i,ft), д = (13)

где Mj(9i) - оператор межслойной диффузии.

При использовании приближения непрерывной адсорбции, которое вводится путем замены дискретного индекса I на непрерывную переменную г и использования аппроксимации для функции <ji(0) (z - в единицах Ль /ц - высота монослоя)

7(0) = [1-*(гД«)] [фДО-

получается единое нелинейное дифференциальное уравнение п частных производных для функции 6(z,Il,t) ¡в 0(r,t):

0t0(r, t) = с),, [Di^r-Wc^B"^)] + ¿W) (exp(/»c) - ВЦг\в)\ + X(0),

(14)

В работе показано, что дифференциальные уравнения ОКБЭТ - модели имеют математическую структуру соответствующую монотонной динамике. При условиях

А(Л|0) = О, 0(<*)=d; Л(«|0),БЛ(а|0) >0, 0(a) 6 [0,1]; (15) ¿¿с? (16)

доказана следующая теорема.

ТЕОРЕМА. Уравнения (1) при условиях (15-16) определяют глобальный полупоток п области 11 = {0 : 0 < в < 1} и рост в моногокный, В этом случае существует предельное реше-

ние вс(а) = lim^^flfS, t). Лля открытого и плотного по норме С0 множества начальных дапных во решения сходятся к стационарному значению 0С («) при t —» оо.

Такая же динамика для матаматических моделей и методов их решения в теории горенка, экологических и биологических задачах, где используются скалярные параболические уравнения.

Асимптотическими м< тодами для задачи (1) в случае монослой-uoii адсорбции получено дифференциальное уравнение в частных производных для химического потенциала адсорбата /1

Величины г/} (/<), ijfj{jt), V'ij(ft) выражаются явно через переходные вероятности 1У(а|а'), W((7|<Т) и решение 0д/(/1,<*)• Для изотропного случая

С(ц)дФ = V(rh(ft) V,t) + 1,00; ц = К*, t). (18)

Уравнение (17) в предельных случаях сводится к известным уравнениям. Если ч = О и C(/i) = roast, получается уравнение

= + (/^(V/i)2 (19)

Когда C(/i) = «ms< и >/а(/') — t-Mist, имеем уравнение Фишера

= + (20)

Тем же самым образом можно вывести уравнения для /< в случае многослойной адсорбции и нелинейного адсорбата.

Лля процессов поверхностной диффузии в монослойной пленке в работе установлен вид функциональной зависимости коэффициента поверхностной диффузии от заполненности. А именно, для

*

изотропной плоской квадратной решитки зависимость-коэффициента поверхностной диффузии от заполненности имеет вид для случал невзаимодействующих адатомов

О(О) = Д,А(1-0)(3 + 4в+130г +100я), Д, = «тл«. (21)

Также получены выражения для функциональной зависимости коэффициентов поверхностной диффузии от заполненности С учетом латеральных взаимодействий адатомов в приближении среднего поля, Ван-дер-Ваальса, Брэгга-Вильямса и в квазихимическом приближении. Качественная зависимость полученных коэффициентов диффузии соответствует зависимостям, полученным в численных и натурных экспериментах и описанным в литературе.

Критерий диффузионной неустойчивости найден при исследовании кинетического уравнения для монослойного адсорбата

Л,0,0(Я,<) = >цОй[Оя^(9)ОяЩв)] +Ч(«)[Ь? - Д(0)]. (22)

где Л). Л| - безразмерные параметры,

= ут

а матрица коэффициентов пове1>хностной диффузии предполагается постоянной. Для уравнения (23) заданы начальное условие

0(Л,О)=0о(Л), Йе П (23)

и граничные условия фон Неймана

дп0(/?,О = О, Я€0Гг, (24)

где Г) - прямоугольная область на плоскости Л2 (11 = 1,\ v Ь?), '7 - вектор внешней нормали к дМ границе области II. Пусть вг и А стационарное решение и собственное значение уравнения

дМП,г) = Щв) (25)

с канальным условием (23). Условие диффузионной неустойчивости в случае 1 - фвс > 0, у > 0, где у = -{<1ц + <1ц), есть

гит'2 , пгк- , т-ж2 ~1~ЬуЬ2 ~ 1 Т2~Щ~ (2С)

где (/¡у. (г,7 = 1,2) коэффициенты матрицы диффузии линеаризованного уравнения (22). В случае 1 — фв,- < 0 условие диффузионной неустойчивости есть

■> •> 1 11 шпя ,, ,ггтт' ,,

При появлении устойчивого пространственно-однородного состояния 113 неустойчивого под действием диффузии доказано, что пространственно-однородное неустойчивое стационарное решение уравнения (25) является устойчивым стационарным состоянием уравнения (22), если

</>4= .,, г/.'^'г'"' , г-м- <' = »»»{«'п.'/га,-7}; 7 < 0;

+ Ь > + Ь? )

<г>4=-,/г., , -. тш {»/,,, </32}, 7 > 0 (28)

в случае 1 — > О и

-ТЦЦ + <1 = тах{(111,(122), у<0 (29)

в случае 1 — < 0, где А„, - собственное значение задачи (25), (23) для неустойчивого стационарного состояния. Как следствие доказано, что существует критический масштаб Ье, такой, что на расстояниях Ь\,Ьг < £г не могут развиться пространственные неоднородности. Выведены уравнения, описывающие динамику развития пространственных неодиородностей в случае дифузиопной неустойчивости, для амплитуд конкурирующих мод

>/»„,„(0 — А„„,«„„,(/) 4- Лг£(»......¿Л, А,), (30)

1И

где А„„, - собственное значение задачи (22-24), соответствующее в,, и ,\'Ь содержит нелинейные члены. Систему (30) можно упростить, выбирая начальные условия так, чтобы начальное отклонение от пространственно-однородного стационарного состояния имело вид локализованной пространственной структуры (квадрата, прямоугольника и т.д.), имитирующей фрагменты неоднородной поверхности. Дальнейший нелинейный анализ задачи (22-24) можно проводить в рамках методов теории бифуркаций.

Эти результаты могут служить базой для дальнейшего исследования роли поверхностной диффузии в динамике роста монослой-ных плепок. Они допускают обобщение на случай многослойного адсорбата.

Задачи динамики роста многослойных тонких пленок намного сложнее, чем для моиослойного случая. Поэтому исследование пришлось проводить более детализировано, уделяя большее внимание час тным результатам: нахождению решений в предельных случаях, например, рассматривая только адсорбцию - десорбцию или только диффузию, построению различных представлений решений. Б ряде случаев удалось построить решения нестационарной задачи кинетики роста тонких пленок в зависимости от значения различных параметров.

Когда интенсивность напыляемого потока и.ала (Ь°, < 1), линеаризация уравнения динамики роста пленки относительно в — О приводит при некоторых дополнительных упрощающающих предположениях к задаче

Решение задачи (31 32) найдено с помощью преобразования Лапласа. Для $(:,') получено выражение

<9(0(г,1!) ~ № ~ 1ЖМ) = 0;

0(г,О)=О, 0(О,О = 0|(О = М1-«Ч>{-'М)). =

01

'1

(31) • (32)

и

имеющее вид бегущей волны "адсорбции"со скоростью />®. При t —» оо адсорбат остается в стационарном состоянии, описываемом функцией распределения,

= 0„.ехр(0?г), вЧ = i^i < О,

убывающей при Ii' < 1 по экспоненциальному закону.

Для случая, когда поток напычяемых частиц не мал (/)" > 1), решение построено в рамках полудискрстного варианта ОКБЭТ-модоли. Линеаризация модели относительно предельного решения fco = D" Ф " Для Oi(R,t) I > 2) (в пренебрежении латеральными взаимодействиями (Ф = 0)) привела к системе уравнений

dt9,(fi. I) = dft [D/((1 - - F.4)] + c°A0i-i - в,). (34)

Для 0,(П, t) получено уравнение

0$\ (/?,') = О а + Ь°)01 — i>°)] + Я?(6?-(1+Ь?)0,) (35)

Уравнение (3-4), описывающее финальную стадию интенсивного роста пленки (/)» > 1) п линейном приближении, содержит эффективные значения коэффициентов диффузии D°H.(b°). сноса F"{b0,) и адсорбции С".

DUbl) = DR(ba,-iy{b°.f-, (30)

= (37)

С?('£) = (В?/2)(1 + 0- (38)

При учете латеральных взаимодействий {ф ф 0) надо рассматривать предельные решения в. и критические значения Ьц. параметра 1>Ч, при котором предельные решения не равны нулю. Линеаризация проводилась относительно предельного решения 0,, находимого из

¡>?(l-e.)=exi>(-^t). (39)

Или 01(1!, <) получается уравнение (31), в котором следует провести

замены

0° - О? - В.. (40)

Зшеш (40) означают, что в (ЗС--38) надо подставить 1ц- вместо Ь®. Уравнение для 9, линеаризуется относительно распределения 0Хг. Решения линейной задачи (34) можно построить с помощью методов решения уравнений линейной диффузии. Таким образом, если 6? > 1, то. динамика финальной стадии роста пленки описывается линейным уравнением типа "реакция + диффузия" вида (34) с коэффициентами, определяемыми формулами (36-38) {<!> = 0) или (36- 40)

Когда ни условия диффузионной неустойчивости, пи сглаживающий эффект диффузии не проявляются, удается построить точное решение уравнение динамики роста пленки в параметрической форме и показать, что динамика роста пленки описывается функциями распределения имеющими вид бегущей волны.

В задачах динамики роста тонких пленок особый интерес представляют ныражения (аналитические или асимптотические) профилей пленок. В рамках формулировки ОКБЭТ - модели профили пле нок /((У?. () вычисляются следующим образом. Наряду с исходной системой (1) можно использовать эквивалентную ей систему уравнений для моментов АГ,„(Л, () ф.р. 0(<», <)• Для первых двух моментов

имеем, соответственно, для дискретного и непрерывною вариантов ОКБЭТ модели

(4*0).

Из формул (41-43) в работе получено уравнение профиля

£>,Л(/?,<) = 0%.д1п(П,{) + Х°.дпп(й,г) + + (44)

Используя аналитические решения, найденные методом характеристик, для непрерывной ОКБЭТ-модели в случае медленной диффузии удалось получить следующие асимптотические зависимости для толщины пленки

Расчеты профиля плевки /г(й, О на основании нелинейной модели с латеральными взаимодействиями были выполнены численно. На рис. 1 приведены некоторые результаты этих расчетов. Они полностью подтверждают выводы о начале интенсивного формирования многослойной пленки при 6$, превышающих критические значения, которые находятся из рис. 2, или соотношения (39). и о линейном законе роста пленки.

1. Доказаны теоремы о свойствах решений ОКБЭ'Г-модели: пыполкении условий нормировки для функций распределения вероятностей нахождения адатомов п ячейках (заполненностей), существование глобального полупотока, монотонный характер динамики системы уравнений, сходимость при найденных условиях решений системы к стационарному решению для открытого и всюду плотного по норме С0 множества начальных данных.

2. Асимптотическими методами получены уравнения для химического потенциала мояоелойного адсорбата.

3. Найдены зависимости коэффициента поверхностной диффузии от заполненности для четырех наиболее распространенных приближений латеральных взаимодействий адатомов. Для монослой ного адсорбата найдены критерий диффузионной неустойчивости,

*{«)«-» - ке(А), < Ьы

А(«)|-.ов К —, ¿>2 = гм;

(45)

(46)

(47)

ВЫВОДЫ.

критические значения коэффициента диффузия и простринственио-го масштаба. Выведена система нелинейных дифференциальных уравнений для амплитуд конкурирующих мод в случае диффузионной неустойчивости.

4. Построены решения уравнений многослойной адсорбции в важных предельных случаях. Найдены асимптотические, представления для средней высоты пленки о зависимости от параметра пересыщения и параметра латеральных взаимодействий. Проведены численные расчеты средней и равновесной толщины плевки для различных значений управляющих параметров.

Автор благодарит Российский Фонд Фундаментальных Исследований за финансовую поддержку работы на завершающей стадии в рамках гранта 95-01-00491.

Основное содержание- диссертации отражено в следующих работах:

1. Марков Ю.Г., 1988. Распространение возмущений в газах с внутренними процессами//В сб.: Межвуз. сб. научн. трудов "Дифференциальные уравнения с частными производными".-1988,-Л.-ЛГПИ.С.81-85.

2. Марков Ю.Г., 1988. Образование бегущих волн в газах с ре-лакс:ацией//В сб.: Тезисы докладов Второй Всесоюзн. Коьф. "Физика и газодинамика ударных волн".- 1988.-Черноголовка.С.103.

3. Марков К).Г., 1989. Распространение возмущений в га^ах с релаксацией//В сб.: Тезисы докладов X Всесоюзн. Конф. по Динамике разреженных газов.-1989.-М, С.190-191.

4. Марков К).Г., 1091. Термодинамическое описание состояния реальной поверхности. //В сб.: Тезисы докладов XI Всесоюзн. Конф. по Динамике разреженных газов.-1991.-Л.С.99.

5. Dubrovxkiv G.V., Kozacht'k V.V., MarkofF Yu.G., 1994. Nonlinear I hin film rowtli dynamics within a lattice gas model. //In: Book of Abstracts of 2nd European Fluid Mechanics Conf.- Krakow.- 1994.P.181.

G. Дубровский Г.В., Кузьменко A.B., Марков Ю.Г., 1995: О

приближении трехмерного решеточного газа для многослойной адсорбции. //ТМФ, 1995.

7. Dubrovskiy G.V., V.V.Kozachek, Yu.G. Markoff, 1995. Nonlinear kinetics of growth of adsorbed phase. //In: Book of Abstracts of International Conference "Synerget.jcs-95", 1995, Saint-Petersburg.

8. Dubrovskiy G.V.,I\ozaeUekVA\, Markoff Yu.G., 1994. Adiorption kinetics of pis-surface interactions.//In: Proceedings of XIX Int.Synip. on Rarefied Gas Dynamics, Oxford, Eng'and.-1994.

Рис. 1. Временная эволюция локальной толщины тонкой пленка для различных значений параметров 6®,1 ф:

1. ф = 1.75, Ь;=0.90ЬА(<«); 2. >ф * 1.75, 3. ф . ~ 1.75,

ь?=1. юг^О*).

Л.

Рис. 2. Зависимость равновесной локальной толщины тонкой пленки к, от параметров 6®, Кривые Ле(Ь°) (0 < Ь® < ВД (1-5) соответствуют следующим значениям' ф\ Ьк, справа налево:

1. ф = 0.— 1; 2. 'ф = 1.25, !)Л=0.97; 3. ф.! = 2.50, £»6=0.56; 4. 4 =3.75,^=0.24; 5. = 5.00, »¿=0.09.