Некоторые проблемы решения задач нелинейной непрерывной и дискретной оптимизации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.07 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ПРИБЛИЖЕННОЕ РЕШЕНИЕ НЕКОТОРЫХ НЕЛИНЕЙНЫХ ЗАДАЧ МАТЕМАТИЧЕСКОГО ПРОГРАММИРОВАНИЯ

ИЕРАРХИЧЕСКИМ АЛГОРИТМОМ.

§ I. Метод ^ -преобразования.

1.1. Описание метода ^ -преобразования

1.2. Определение методом Ф -преобразования точки глобального максимума

1.3. Численная реализация метода ^ -преобразования

1.4. Погрешность экстраполяции и некоторые вычислительные аспекты

§ 2. Иерархический алгоритм

2.1. Описание иерархического алгоритма

2.2. Численная реализация иерархического алгоритма.

2.3. Некоторые вычислительные аспекты иерархического алгоритма.

§ 3. Приближенное решение задач математического программирования.

3.1. Постановка задачи.

3.2. Диалоговая оптимизация.

§ 4. Решение нелинейных оптимизационных задач с функционалами специального вида.

§ 5. Примеры решения нелинейных оптимизационных задач

5.1. Диалоговая программа решения нелинейных оптимизационных задач

5.2. Решение систем нелинейных уравнения в заданной области

ГЛАВА 2. МОДИФИЦИРОВАННЫЙ АЛГОРИТМ МЕТОДА ПОСТРОЕНИЯ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ ПЛАНОВ НА БАЗЕ СИСТЕМ ПРЕДСТАВИТЕЛЕЙ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЙ

ОПТИМИЗАЦИИ

§ I. Метод построения последовательности планов

1.1. Содержание метода

1.2. Идея модифицированного алгоритма построения последовательности планов

1.3. Построение последовательности систем . Представителей

§ 2. Модифицированный алгоритм метода построения последовательности пганов на базе систем представителей

2.1. Постановка задачи

2.2. Описание алгоритма

2.3. Вычислительные аспекты алгоритма ip,.

§ 3. Максимизация мощности подмножества элиминируемых элементов

3.1. Постановка задачи

3.2. Решение задачи определения направляющих компонентов

3.3. Графическое представление множества систем представителей

3.4. Описание усовершенствованного алгоритма

3.5. Вычислительные аспекты алгоритма vj).

§ 4. Задача о проводке электросети в сложных технических изделиях

4.1. Техническая постановка задачи

4.2. Математическая постановка задачи

4.3. Некоторые вычислительные аспекты

4.4. Результаты счета.

§ 5. Задача составления графика работы пользователей на дисплеях

5.1. Постановка задачи

5.2. Математическая модель задачи

5.3. Программа OI^PECH&R-. П

Оптимизационный подход к постановке и решению задач синтеза сложных систем является важным резервом повышения качества управления, планирования и проектирования. Общеизвестны достижения линейного программирования при решении вышеуказанных задач. Но совершенствование технологических процессов и качества управления объектами различной природы, так же как и создание экономных и надежных конструкций, требует, как правило, учета нелинейных эффектов. Обширные приложения нелинейных непрерывных и дискретных оптимизационных задач способствуют бурному развитию соответствующих вычислительных методов, созданию новых разнообразных направлений исследований.

Существенный вклад в разработку численных методов решения нелинейных непрерывных оптимизационных задач внесли советские математики: Васильев Ф.Ф., Демьянов В.Ф., Ермольев Ю.М., Евтушенко Ю.Г., Моисеев Н.Н., пшеничный Б.Н., Шор Н.З. и другие.

При решении нелинейных непрерывных оптимизационных задач, в ограниченной области, когда у функции имеется одна неизолированная точка глобального максимума, хорошо зарекомендовал себя метод, предложенный в шестидесятых годах академиком АН 1ССР В.К.Чичинадзе. Называется метод-методом ^ -преобразования. Но в большинстве случаев нелинейные функции достигают своего глобального максимума не в одной точке, поэтому возникла проблема расширения возможностей метода ^ -преобразования, для нахождения всех неизолированных точек глобального максимума функции, в случае их конечного числа. Решение этой проблемы изложено в первой главе диссертации. Изложим вкратце постановку задачи и полученные результаты.

Пусть дан ограниченный, замкнутый -мерный параллелепипед . Пусть в этой области задана ограниченная, с разрывами лишь 1-го рода, измеримая функция П/х) € ^р(Е) ]) без изолированных точек глобального максимума, т.е. для любой точки ос е Е глобального максимума и V £ 5">0 справедливо неравенство х: " , 1 *>ос*| , эс с- Е V > О

Обозначим этот класс функций через . Допустим, что в области Е функция достигает своего глобального максимума лишь в одной точке и поставим задачу: найти

Р * г Кх) (I) эс е Е * \ - * и точку х » в которой ) - Г . (2)

В работах [16,48,49,50,54] был предложен метод и численный алгоритм решения задачи (I). Разработанный метод называется методом ^ -преобразования и заключается в следующем. К многомерной функции р(ос) в области Е применяется интегральный оператор и строится функция ^ одного аргумента

ЧЬ)--и^ы--^, (з) где £ , если р(х) >/ 1 О , если Е (^х) м

В работах 16,48^ показано, что функция ^ ) непрерывна, неотрицательна, монотонно убывает с ростом иь силу ограниченности р ^ос) в области £ тождественно равна нулю, Е 1 начиная с некоторого . Показано, что г р и является решением задачи (I).

Для решения задачи (1),(2) дополнительно строятся еще г> функций следующим образом: I

Р(х)-1 61аЛ)ок , ■ (5)

Для фиксированного значение есть усредненная л повесу [К^-"?] компонента ос^ переменной х • в работе [17] доказано, что для I е | ь функция ос^непрерывна и при ' "X снизу, где - координаты точки глобального максимума сс* .

Усложним постановку задачи (1),(2), допустим, что имеет в области Е конечное число глобальных максимумов. При этом допущении встает проблема локализации точек глобальных максимумов с последующим определением значений их координат с помощью формул (5).

Введем в области £ >< (¡2* функцию 1

Примем (6) за функцию плотности распределения в области £ . Перепишем (5) следующим образом: ос-^) = $ ОС; , С-^У, ? (7) т.е. ос^ч) ("ЛС^) еС!г:ь матожидание при фиксированном Для VI € ^ и V € £1 определим дисперсию ос^

Исходя из значений этих функций в точке - , сформулирован и доказан следующий критерий неединственности глобального максимума функции в области Е •

Критерий. Пусть р^х) & • Если существует такой индекс L е ) » чт0

Дт^ t О , где f * г тсж fice) , X е £ то функция в области Е достигает своего глобального максимума в неединственной точке.

Опираясь на этот критерий, построена модификация метода Y -преобразования (названная иерархическим алгоритмом), позволяющая локализовать и находить все точки глобального максимума задачи (1),(2).

Как показывает многолетний опыт работы многих исследователей, решения нелинейных оптимизационных задач наиболее эффективно находятся с помощью диалоговых человеко-машинных систем, дающих возможность в процессе расчета каждой конкретной задачи использовать разнообразные оптимизационные методы, менять входные параметры этих методов (количество итераций, точность приближения, величину шага и т.д.), исходя из промежуточных результатов счета. Учитывая это, разработана инструментальная система EK^AW для построения диалоговых программ в операционной системе ОС ЕС (приложение I). На базе этой инструментальной системы создана диалоговая программа решения задач оптимизации с помощью иерархического алгоритма (приложение 2).

Для обоснования практической пригодности предложенного метода, разработана методика и комплекс программ для генерации нелинейных задач математического программирования в ограниченной области и систем нелинейных уравнений (приложение 3). Этот комплекс объединен с диалоговой программой решения оптимизационных задач иерархическим алгоритмом. С помощью этого комплекса программ решено большое количество разнообразных задач. В конце первой главы приведены примеры решенных сгенерированных систем нелинейных уравнений и одной практической задачи нелинейного математического программирования в ограниченной области.

Вторая глава посвящена разработке алгоритмов решения определенного класса задач дискретной оптимизации, основанных на методе построения последовательности планов.

Большой вклад в исследование особенностей и в разработку численных методов решения дискретных оптимизационных задач внесли советские математики: Емеличев В.А., Журавлев Ю.И., Сергиенко И.В., Супруненко Д.А. и другие.

При решении многих дискретных экстремальных задач нецелесообразно формулировать их как задачу целочисленного линейного программирования, т.к. при этом часто получаются задачи большой размерности. Предпочтительнее, учитывая особенности исходной постановки задачи, применять методы комбинаторного типа. Одним из таких методов является метод построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации, общий формализм которого был разработан в шестидесятых годах профессором В.А.Емеличевым.

Приведем общую постановку рассматриваемой задачи.

Пусть Ъ^ , где гг^гп, конечные подмножества точек из . Обозначим через ^ количество элементов (гг^. Обозначим через ^ ^ ?элемент подмножества . ос - это вектор-столбец размерности о • Опг V. с " \ ре делим матрицу X -(ос^ ^ ос^^., х^) размерности ( ь *Ул) » в которой » Ц ^ является Г -ым столбцом.

Множество таким образом построенных всевозможных матриц )( обозначим через ^ .

Введем функцию такую, что для V г £ ^Г^ существует последовательность | элементов В^ » такая что, если ос^ пробегает эту последовательность при любых остальных фиксированных значений столбцов матрицы )( , то монотонно не убывает. Поставим задачу: найти

НХ) (9)

ХеМ при ограничениях

V хЛ / I] о П (10) где о

Здесь

Для решения задачи (9),(IX) воспользуемся модифицированным алгоритмом метода построения последовательности планов [2?]. Изложим содержание метода.

Пусть дано конечное множество Р и надо определить на котором достигается минимум функции » определенной на этом множестве:

Hp*) z YT* VTi .

1 ' хер

Метод построения последовательности планов применим к вышеуказанной задаче, если выполняются следующие условия:

1.Можно найти конечное расширение £ множества р и функцию Q(>0 (миноранту;, определенную на £ , такую, что

Q^X) к F(>0 дзш Бсех X •

2. Можно построить алгоритм ^ , который на К -ом шаге ( 1,2.) находит элемент ^ € £ , обладающий свойством од^ г у™, ол>о , > ^ где » причем , т.е. должен существовать алгоритм Ц> построения последовательности Ч-^,^,.--элементов расширения в порядке неубывания миноранты Q^X) . При обосновании метода используется следующий критерий. Критерий оптимальности: если существует такое натуральное число К » что ^'w, F(X) = F(PJ ,

XeP< то p^ - оптимальный план задачи (12). Идея модификации состоит в построении последовательности элементов некоторого расширения исходного множества с пропуском заведомо неоптимальных планов, т.е. г \ £ (Д^), где € U (Дк-1^) с К. > для • пРичем» если е Р » то

РСх) , а, если 4 Р , то П Р г

Очевидно, что для последовательности . которая строится этим методом, справедлив также критерий оптимальности.

Для решения задачи (9)-(П) введем подмножества у каждому элементу из Тг поставим в соответствие элемент & с. соответствующим номером в последовательности ^ ^^ .

Введем переменную ъ - ( 1 \ ; А , т.е. систему

4 й Ь о 1) ) <¡1 т ) представителей, где \ е Т » • Воспользуемся схемой

I* т 1 построения всевозможных систем представителей подмножеств 7 ^ "г - I,гп ) , приведенной в [27]. Назовем систему представителей

V 1 »

X ) Х+1 ) • ) порождающей, а подмножество 0^1 строящееся следующим образом:

Ъгч-Т - V ¿, , ¿г, •••» 4 ТГ-» , , <*т+. ^^ ^ если су с.

О Л у 1 если - р г ) и У1[ 1 } если ; г ы ; (14) если - $ г , ^ - у^ • множеством порожденных систем представителей, где ' ' "V ^ ^ 1 ( —

Обозначим через Т- множество всевозможных систем представителей.

Введем для этой схемы построения систем представителей понятие ведущей компоненты.

Определение. Компоненту системы представителей ^ из порожденного множества 0(д) назовем ведущей, если она не совпадает с соответствующей компонентой порождающей системы представителей т. . Поставим в соответствие каждой системе представителей ма1РиВД Хп. * построенную по следующему правилу: г -ым столбцом матрицы положим элемент Вт • Перепишем постановку задачи (9)-(П) следующим образом: требуется определить

15) при ограничениях аЧхО-^е > • (1б)

Задачу (15),(16) будем решать модифицированным алгоритмом метода построения последовательности планов. За множество р примем то подмножество систем представителей "ч € Т , соответствующие матрицы которых удовлетворяют ограничениям (16), т.е. область допустимости. За конечное расширение множества Р возьмем множество Т , т.е. область определения. Миноранту положим равной Обозначим через подмножество элиминируемых элементов на К -ом шаге алгоритма. л

Опишем правило ^ определения £ (д^ . Пусть Р5 -номер ведущей компоненты системы представителей ^ , тогда

КМ если I 7 к:1

1( I если

Г-1 ^ х / ЫЛ если

4 Ге^СЦ

Ч-> Г А.

ОС Ч >

X 4 * I £ ) где , V1 '

Исходя из правила о^ , для решения задачи (15),(16) модифицированным алгоритмом метода построения последовательности планов построена новая схема порождения систем представителей и предложен алгоритм ^ . Доказано, что алгоритм С^ при решении задачи (15),(16) строит последовательность систем представителей в порядке неубывания значений функции

Выведена следующая формула вычисления мощности элиминируемого множества, когда - ' Л кМ = к

1 гъ

Исследованы некоторые вычислительные аспекты алгоритма ^. изучена новая схема порождения систем представителен, а также правило с\ и показано, что мощность подмножеств элими

А г \ нируемых элементов ^ у^к) на ^ -ом шаге алгоритма зависит от последовательности (перестановки) компонентов вектора "Ч . Поставим задачу:найти такую последовательность компонентов сис темы представителей ^ , чтобы максимизировать мощность л элиминируемого подмножества • Совокупность компонентов системы представителей ^ в искомой последовательности от лервой до ведущей назовем направляющими компонентами.

Для определения направляющих компонентов системы представителей »ц , й .^ у^") поступим следующим образом. г Л

Для ^¿с^ЛДо^ введем переменную ^ Г (?>,.(?) и поставим задачу: найти гь

А ; УПО^ П ($г~ ^ +1) Г при ограничениях £ ь 11 - о V 1 , х =

18)

Если задача (17)-(18) неразрешима, то положим равным нулю. Если задача (17)-(18) разрешима, то тогда решение ^ индицирует направляющие компоненты системы представителей ^ для И -го ограничения задачи (13),(14), т.е. ^ г: 1 , если И -я компонента принадлежит к подмножеству направляющих компонентов, иначе -0 .

Далее находим - уоо^х

19) - ГП1—

1 ь. *

V - ' I <-0

Соответствующее рл индицирует искомое подмножество направляющих компонентов, а А^* равно мощности элиминируемого подмножества систем представителей для решения задачи (13),(14) модифицированным алгоритмом метода построения последовательности планов поступаем следующим образом. На каждом шаге алгоритма решается задача (17)-(19), исходя из этого решения и учитывая (12), предложена новая схема порождения систем представителей. Полученный алгоритм назван алгоритмом Ц1^ . Доказано, что алгоритм строит последовательность систем представителей в порядке неубывания значений функции Р(У^) . Исследованы вычислительные аспекты алгоритма .

Разработанные модификации метода построения последовательности планов применены для решения задачи о конструировании оптимальной электросети в сложных технических изделиях и задачи составления графика работы пользователей на дисплеях. Приведены результаты конкретных практических расчетов.

Диссертационная работа состоит из 2 глав и 5 приложений.

В первой главе дается краткое описание метода ^ -преобразования. Излагается иерархический алгоритм, позволяющий решать оптимизационные задачи с функциями, имеющими конечное число одинаковых глобальных максимумов.

В третьем параграфе этой главы рассмотрен один алгоритм решения систем нелинейных неравенств, который показал высокую эффективность при численных экспериментах [47]. Обоснована необходимость создания диалоговой программы, реализующей иерархический алгоритм ^ -преобразования.

В четвертом параграфе приводится методика расчета оптимизационных задач с функциями специального вида.

В пятом параграфе приведены примеры решенных задач.

Вторая глава посвящена задачам дискретной оптимизации.

В первом параграфе приведена общая схема метода построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации и модификации этого метода. Описана схема построения систем представителей.

Во втором параграфе изложен модифицированный алгоритм метода построения последовательности планов на базе систем представителей. Рассмотрены некоторые вычислительные аспекты.

В третьем параграфе приведено усовершенствование вышеизложенного алгоритма, поставлена и решена задача определения направляющих компонентов систем представителей. Исследованы вычислительные аспекты.

В четвертом параграфе деется постановка задачи конструирования оптимальной электросети в сложных технических изделиях. Изложена схема расчета этой задачи модифицированным алгоритмом метода построения последовательности планов на базе систем представителей. Приведены результаты некоторых численных расчетов.

В пятом параграфе дается постановка задачи составления графика работы пользователей на дисплеях. Изложена схема расчета этой задачи модифицированным алгоритмом метода построения последовательности планов на базе систем представителей.

К диссертации имеется 5 приложений.

В первом дается описание и приведены все подпрограммы инструментальной системы ЕККА^К для построения диалоговых подпрограмм на языке ЁО^ТКА^ в операционной системе ОС ЕС.

Во втором описан пакет прикладных программ для решения задач оптимизации в диалоговом режиме с помощью иерархического алгоритма. Подробно описана необходимая входная информация для работы пакета, возможности и последовательность диалога. Приведены тексты всех подпрограмм пакета.

- хо

В третьем приложении приведены описание методики и тексты подпрограмм для генерации нелинейных функций и задач нелинейного математического программирования.

Приложение 4 содержит тексты подпрограмм для решения задач об оптимальном конструировании электросети в сложных технических изделиях, а в приложении 5 - тексты подпрограмм для решения задачи оптимального распределения времени работы пользователей ЭВМ на дисплеях.

Приложен акт внедрения разработанных алгоритмов и программ на предприятии НПО "Энергия", использующихся при расчете перспективных конструкторских разработок.

К диссертации прилагается список литературы, которой пользовался автор при выполнении данной работы.

1. Ашманов С.А. Линейное программирование. - М.: Наука,1981, 340 с.

2. Бабаев В.Г. Методы построения субоптимальных решений многомерной задачи о ранце. Ж. Вычислит, матем. и матем. физики, 1978, т.18, № б, с.1443-1453.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973, т.1, 632 с.

4. Беллман Р., Дрейфус С. Прикладные задачи динамического прог-рамирования. М.: Наука, 1965.

5. Васильев Ф.П. Лекции по методам решения экстремальных задач. М.: Изд.Московск. ун-та, 1974.

6. Вачнадзе Р.Г. Применение -преобразования для получения оптимального управления нелинейных дискретных систем. -Тезисы докладов 1У Всесоюзного симпозиума по экстремальным задачам. Каунас, 1969.

7. Вачнадзе Р.Г. Итеративный метод поиска глобального экстремума функции многих переменных. Сообщ. АН ГССР, 1970, т. 60, № 3.

8. Вачнадзе Р.Г. Модифицированный метод ^ -преобразования. -Тр. ИСУ АН ГССР, Автоматическое управление, 1973.

9. Вачнадзе Р.Г. К вопросу решения оптимальных задач для нелинейных дискретных систем. В сб. Автоматическое управление. Тр.ИСУ АН ГССР, 1969, т.IX.

10. Волкович В.А., Волошин А.Ф. Об одной схеме метода последовательного анализа и отсеивания вариантов. Ж. Кибернетика, 1978, № 4, стр.98-105.

11. Васильев Ф.П. Вычислительные метода выбора оптимальных проектных решений. Киев, Наукова думка, 1977.

12. Голыптейн Е.Г., Юдин Д.Б. Новые направления в линейном программировании. М.: Сов.радио, 1966.

13. Голыптейн Е.Г. Теория двойственности в математическом программировании и ее приложения. М.: Наука, 1971.

14. Данциг Д. Линейное программирование, его обобщения и применения. М.: Прогресс, 1966.

15. Джибладзе Н.И. Об одном методе случайного поиска для решения задач линейного программирования. Сообщ.АН ГССР, 1969, т.55, № 2.

16. Джибладзе Н.И., Иоселиани А.Н. Некоторые вопросы решения многоэстремальных задач методом ^ -преобразования.- В кн.Автоматическое управление. Тбилиси:11ецниереба, 1969.

17. Джибладзе Н.И. О нахождении координат экстремума функции многих переменных при использовании ^ -преобразования.-Сообщ. АН ГССР, 1970, т.59, № з.

18. Джибладзе Н.И. Применение метода ^ -преобразования для решения задач линейного программирования.- Тр.ИСУ АН ГССР, Автоматическое управление, 1970, т.IX, вып.1.

19. Джибладзе Н.И. Эффективность решения задач линейного программирования при применении метода ^ -преобразования. -Тр.ИСУ АН ГССР, Автоматическое управление, 1973, № I.

20. Евтушенко Ю.Г. Методы решения экстремальных задач и их применение в системах оптимизации. М.:Наука, 1982, 432 с.

21. Емеличев В.А., Комлик В.И. Применение динамического программирования к решению задачи размещения. ДАН БССР, 1966, 10, № Ю.

22. Емеличев В.А., Комлик В.И. О некоторых задачах размещения. ДАН БССР, 1968, 12, № Ю.

23. Емеличев В.А., Комлик В.И., Краверский И.М. Алгоритм решения задач целочисленного линейного программирования методом построения последовательности планов. ДАН БССР, 1970, 14, № II.

24. Емеличев В.А., Ковалев М.М. Решение некоторых задач вогнутого программирования методом построения последовательности планов. I. Изд. АН БССР. Серия физ.-мат. наук,1970, № б.

25. Емеличев В .А . к теории дискретной оптимизации. ДАН БССР,1971, 198, № 2.

26. Емеличев В.А., Ковалев М.М. Решение некоторых задач вогнутого программирования методом построения последовательности планов. II. Изв. АН БССР. Серия физ.-мат. наук, 1971, № 2.

27. Емеличев В.А., Комлик В.И. Метод построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации. М.: Наука, 1961, 208 с.- 12128. Ермолев. Ю.М. Методы стахостического программирования. -М.: Наука, 1976.

28. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.Наука, 1980.

29. Ковалев М.М. Дискретная оптимизация /целочисленное программирование/. Минск: БГУ, 1977.

30. Комлик В.И., Микульский В.Е. Об одном подходе к минимизации линейной формы на множестве подстановок. В кн.:Эко-номико-математические модели и численные методы оптимизации. Минск, НИИЭМП при Госплане БССР, 1972.

31. Корбут А.А., Финкелыптейн В.Ю. Дискретное программирование. М.: Наука, 1969.

32. Майника Э. Алгоритмы оптимизации на сетях и графах. М.: Мир, 1981, 323 с.

33. Моисеев Н.Н. Численные методы в теории оптимальных систем. М.: Наука, 1971.

34. Моцкус И.Б. Многоэкстремальные задачи в проектировании.-М.: Наука, 1967.

35. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение. I. Кибернетика, 1965, № I.

36. Михалевич B.C. Последовательные алгоритмы оптимизации и их применение. II. Кибернетика, 1965, № 2.

37. Путуридзе З.Ш.- Иерархический алгоритм поиска глобального максимума методом ^ -преобразования. Сообщ.АН ГССР,1981, т.101, № з.

38. Путуридзе З.Ш. Система сервисных подпрограмм. E^RAn/V для обмена информацией между дисплеями ОС ЕС-7066 и оперативной памятью.Тр.Вычислительного центра АН ГССР,1983, ХХШ, № I.

39. Путуридзе З.Ш. Модифицированный алгоритм метода построения последовательности планов для решения задач дискретной оптимизации. Сообщ. АН ГССР, 1983, т.III, № 2.

40. Путуридзе З.Ш. Задача о проводке электросети в технических изделиях. Сообщ.АН ГССР, 1984, т.112, № 3.

41. Пшеничный Б.Н., Данилов Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

42. Романовский И.В. Алгоритмы решения экстремальных задач.-М.: Наука, 1977.

43. Саати Т. Целочисленные методы оптимизации и связанные с ними экстремальные проблемы.- М.: Мир, 1973.

44. Сергиенко И.В. Применение метода вектора спада для решения задач целочисленного программирования. УСиМ, 1975, № 3.

45. Строгин Р.Г. Численные методы в многоэкстремальных задачах. М.: Наука, 1978, 240 с.

46. Федоренко Р.П. Приближенные решения задач оптимального управления. М.: Наука, 1978.

47. Чичинадзе В.К. Об одном способе использования случайного поиска для определения экстремума функций нескольких переменных. Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1967, № I.

48. Чичинадзе В.К., Джибладзе Н.И. 0 статистическом методе поиска экстремума функции многих переменных. Тезисы докл. У Всесоюзной конференции по экстремальных задачам. Горький, 1971.

49. Чичинадзе В.К., Гардахабадзе И.Г. Об одной модификации метода ^ -преобразования. Сообщ.АН ГССР, 1976, № I.

50. Чичинадзе В.К., Джибладзе Н.И., Гардахабадзе И.Г. Об одном алгоритме решения систем алгебраических и транс-цедентных уравнений. Сообщ.АН ГССР, 1976, т.84, № 3.

51. Чичинадзе В.К. Решение невыпуклых нелинейных задач оптимизации. М.: Наука, 1983, 256 с.

52. Юдин Д.Б. Задачи и методы стохастического программирования. М.: Сов.радио, 1979.

53. Gh ichi hadze у. К. Ил, у-1ыш^ощ.МлисОЛ, JbOVL' £oWa7l j^alc^Jwnxt Мо-^й^пб .ttufonuricca, , /969 f у з 3d??. 3S5

54. Chi chi ¡iQcIze V* К. $о7пл /^ы/ 0^io6lc£ ^tA Aotiibti Mjl ^¿оШкгЪ ofo^ammiua . : p^omd^o Q^ J FACcov ф&?каЛ ■1.EE ? *lhc.; /96В V

55. Ghich/hadze YK. } Ji^Iac/г^ \М>1,Ox 07Ы. 9пМоо/ о/ CLJ&n.eaz a£gs2$icUc ла^сииата • —57. (jonmovy /2 . £. Otd&rub offajgi. Лес.,

56. Ko\Afa^j oi/ Ж ; G-irl/cft F. VJ&i Ctiifc/a^^ oLiЯ?6 , tff .7'o59. KoNMoljov M. G-ir lieh F.шШпь (¿A 0^Ür,U2Ä4vOf^aAa^^oUcl 9 Jfafcrt. ( Ля