Некоторые структурные свойства сопряженных функций многих переменных тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ им. М.В. ЛОМОНОСОВА

Механико-математический факультет

ОД

На правах рукописи УДК 517.518.475

ОКУЛОВ ВАЛЕРИЙ АЛЕКСАНДРОВИЧ

НЕКОТОРЫЕ СТРУКТУРНЫЕ СВОЙСТВА СОПРЯЖЕННЫХ ФУНКЦИЙ МНОГИХ ПЕРЕМЕННЫХ

(01.01.01 - математический анализ)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 1996

Работа выполнена на кафедре теории функций и функционального анализа механико математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель - доктор физико-математических

наук, профессор М.И.Дьяченко.

Официальные оппоненты - доктор физико-математических

наук, профессор Баскаков В.А. доктор физико-математических наук, профессор Блошанский И.)

Ведущая организация - Московский физико-

технический институт.

Защита диссертации состоится _199]

в 16 час. 05 мин. на заседании диссертационного совета Д.053.05.04 при Московском государственном университете им. М.В.Ломоноа ва по адресу: 119899, ГСП, Москва, Воробьевы горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико математического факультета МГУ (Главное здание, 14 этаж).

Автореферат разослан

Ученый секретарь диссертационного совета Д.053.05.04 при МГУ, • профессор •

Т.П.Лукашенко

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы. В диссертации, исследуются некоторые структурные свойства сопряженных в смысле Чезари функций многих переменных в зависимости от частных модулей непрерывности исходной функции.

Пусть M обозначает множество чисел {1,2,..., N}, В — непустое подмножество множества M ш\В\ — количество элементов в множестве В. Далее, символом Хв , будем обозначать те точки из НЛ, у которых от нуля могут быть отличны лишь координаты с индексами из множества В, а символом Т — отрезок [—7Г, ж\.

Если / Ç L(Tn), то B-сопряженная функция определяется выражением

7в(х) = i~bTjB] /(х+5в) (д ctgrdSj) ' (1)

где интеграл (1) определяется как несобственный в смысле Прин-гсхейма.

Исторически сложилось так, что сначала были получены результаты о свойствах частных модулей непрерывности сопряженных функций многих переменных в пространстве C(TN). Так Л. Чезари в работе в частности, доказал, что если /(х) G Lip(a.T2), О < а < 1, то для В Ç {1,2} функция JB(x) € Lip(ß,T2) при О < ß < а-. Позднее И. Е. Жак 2 установил существенность требования 0 < ß < а в результате JI. Чезари и этим показал, что известная одномерная теорема И. И. Привалова'об инвариантности класса Lip(a, Т) относительно оператора сопряжения уже для случая двух переменных не имеет места?

1 Cesari L. SuIIe serie di Fourier délia funzioni Lipshitziani di piu variabili // Ann. Scula Norm. Sup. di Piza. 1938. V. 7. P. 279-295.

2Жак И.Е. По поводу одной теореыы J1. Чеэаро о сопряженных функциях двух переменных // ДАН СССР. 1952. Т. 87. б. С.. 877 - 880.

3Privatoff I. Sur les fonctions conjuguées // Bull. Soc. Math. Fr. 1916. V. 44. P. 100 - 103.

М. М. Лекишвили4 получил окончательные оценки, выясняющие * *

характер нарушения инвариантности класса

. Lip{a,TN)( 0<а<1)

относительно действия многомерного оператора сопряжения в пространстве С (TN).

Б. И. Мусаев и В. В. Салаев 5 изучали действие двумерного оператора сопряжения при В — М и, в частности, обобщили результат М. М. Лекишвили для случая функций двух переменных.

Теорема. (Б. И. Мусаев и В. В. Салаев) Пусть N = 2, В -М и класс Ф составляют функции <р(б) определенные на (0, тг] и удовлетворяющие следующим условиям:

1. <p{¿) монотонно возрастает;

<

2. tp{6) 0 при 8 -> 0;

3. монотонно убывает.

Если ф\,Ч>ъ7Р\> <?2 G Ф. то для того чтобы оператор J действовал из H((p¡,i G М. Г2) в H(¿Pi,i G М,Т2) необходимо и достаточно, чтобы

Zimina, 932); <5, тг) = 0(^(6))

' У

•Z(min(pbp2);M) = 0{хр2{6)),

где

2(ш(6,т])]6,г]) =

Jo Jo 8~1Гlu}(*'t)d9dt + 5 Js Jo s~2t~luJ(.s^)dsdt+

*Jlexutueuj» Af.AÍ. О сопряженных функциях многих переменных в классе Lipa // Матем. заметил 1978. Т. 23. 3. С. 261 - 272

ЪБ. И. Мусаев, В. В. Салаев О сопряженных функциях многих переменных I // Уч. записки МВ и ССО Аз. ССР. Серия фтико-матем. наук. 1978. 4.

Б. И. Мусаев, В. В. Салаев О сопряженных функциях многих переменных II // Уч. записки МВ и ССО Аз. ССР. Серия фиэии>-матеы. наук. 1979. 4. С. 68-80. '

тI £ I* в_1Г2ы(ь-, + »76 £ *)<Ы*.

Следует отметить, что при доказательстве этой теоремы Б. И. Му-саев и В. В. Салаев существенно использовали двумерность рассматриваемой ситуации, особенно при выводе необходимости. Кроме того, рассматривался только случай сопряжения по обеим переменным, рз-за чего не нашел отражения тот факт, что гладкость В-сопряженной функции при действии оператора /в изменяется по-разному, в зависимости о^ того входил ли индекс переменой в множество В или нет.

Автором получены точные оценки частных модулей непрерывности В-сопряженной функции, обобщающие результаты М. М. Леки-швили, Б. И. Мусаева и В. В. Салаева.

Хорошо известно, что уже в одномерном случае сопряженная к непрерывной функция может оказаться разрывной. Л. К. Панджи-кидзе 6 доказал критерий непрерывности сопряженных функций многих переменных в терминах смешанных модулей непрерывности. Отметим, что ранее теорема Л. К. Панджикидзе была доказана Л. В. Жижиапгвили 7 при некоторых дополнительных условиях регулярности, наложенных на ыд.

Теорема. (Л. К. Панджикидзе) Пусть В = (г1,...,г*) С М, г,,---,<5Г4) — модуль непрерывности смешанного типа. Тогда для того чтобы для любой функции / (Е Н(и)д, Т^) сопря- ' же икал функция /в € С(Т,л') необходимц и достаточно, чтобы

" / А) П ^ < оо- '

[о,1р1 • > «

6Панджикидзе Л. К. Сходимость кратных сопряжённых тригонометрических рядов в пространстве С(ЛП) и непрерывность сопряжённых функций многих переменных // Сообщ. АН ГССР. 1988. Т. 132. 3. С. 481 - 483.

7Жижьашвили Л. В. Интегрируемость и непрерывность сопряжённых функций многих переменных // Сообщ. АН ГССР. 1980. Т. 97. 1. С. 17 - 20.

Автор получил критерий непрерывности сопряженных функций многих переменных в терминах частных модулей непрерывности.

Л. В. Жижиашвили 8 установил результаты окончательного характера об интегрируемости ß-сопряженной функции.

Л. К. Панджикидзе 9 доказал критерий интегрируемости сопряженных функций многих переменных в терминах смешанных модулей непрерывности.

М. М. Лекишвили 10 11 исследовал вопрос о зависимости интегральных модулей непрерывности функции / и сопряженных с ней функций в весовых пространствах Лебега.

В пространствах Lp(TN) при р > 1 зависимость между интегральными модулями непрерывности характеризуется многомерным аналогом теоремы М. Рисса, доказанным К.'Сокол-Соколовским 12:

теорема (К. Сокол-Соколовски). Если функция /(х) £ LP(TN) при 1 < р < оо, то

117в(х)||Р<Л,,В|||/(х)||р.

Некоторые свои результаты в пространстве непрерывных функций автор перенес на пространство интегрируемых функций.

Цель работы — исследование структурных свойств сопряженных в смысле Чезари функций многих переменных" в зависимости от частных модулей непрерывности исходной функции.

& Жижиашвили. Л. В. О некоторых вопросах из теории простых ■ кратных тригонометриче-

ских и ортогональных рядов // УМН. 1973. Т.28. 2. С. 65-119.

9Панджикидзе Л. К. О сходимости кратных тригонометрических рядов в метрике ¿(Л™1) и об интегрируемости сопряжённых функций многих переменных // Сообщ. АН ГССР. 1989. Т. 133. 2. С. 265 - 267.

хй Лекишвили ММ. О сопряженных функциях многих переменных // Сообщ. АН ГССР.

1972. Т. 68. 2. С. 33 - 34.

11 Лехишвили U.M. Обобщенные интегральные модули непрерывности и сопряженные функции многих переменных // Сообщ. All ГССР. 1972. Т. 68. 2. С. 277 - 280.

12Sokol-&kotowski К. On trigonometric series conjugate to Fourier series of two variables // Fund. math. 1947. V. 34. P. 166 - 182.

\

Методы исследования. В диссертации используются методы теории функций действительного переменного и многомерного гармонического анализа.

Научная новизна.

1. Доказан критерий непрерывности сопряжённых функций в терминах частных модулей непрерывности исходной функции.

2. В пространстве непрерывных 2тг-периодических функций установлена связь между частными модулями непрерывности исходной функции и её сопряжённых в общем случае. Соответствующими примерами показана точность полученных оценок.

3. Установлены необходимые и достаточные условия для того чтобы характер нарушения инвариантности класса функций с определённым полным модулем непрерывности в пространстве С(ТК) был таким же, как у функций из класса Ыр{а,Ты){0<а<\).

4. Приведены оценки частных интегральных модулей непрерывности сопряжённой функции многих переменных. Соответствующими примерами показана точность полученных оценок для сопряжённой функции, частные модули непрерывности которой удовлетворяют условию Липшица.

Практическая и теоретическая ценность. Диссертация носит теоретический характер и может представлять интерес для специалистов в области многомерного гармонического анализа и теории приближений функций многих переменных.

Апробация работы. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXV конференции молодых учёных МГУ в 1993, на 7-ой зимней математической школе по теории функций и приближений в Саратове в 1994 году, на семинаре "Теория ортогональных и тригонометрических рядов" под руководством члена-корреспондента РАН П.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова, проф. М.И. Дьяченко.

Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в работах, список роторах приводится в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация состоит из трёх глав, вхлючающдх в себя 8 параграфов, к литературы, содержа-

щего 44 наименования.

Общий объём работы 73 страниц,

КРАТКОЕ СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Глава 1 является вводной. В её первом параграфе оговариваются используемые далее обозначения и даются некоторые определения. Так если В = (ч,..., it) и заданы модули непрерывности w,,(u), ..ы,-,(иУ (модуль непрерывности смешанного типа u>B(uilt...,«„)), то через Hp(uj,j б В,Т.") (Яр(шв,Т")) обозначен класс тех / 6 LP{TN), для которых'

«",-(/. «)р = 0(ujj(S)) = 0(uB(6it-,...,6it))) ■

при 6 —» +0 ((<5,-,,.^ <5,-,) —» +0) для всех j £ В. В частности, для случая Uj(S) = 6А, при всех j,l<j<NaO<a<l положим

Lipp{a,TN) = Hr{bjhj&B,TN)

Аналогичным образом, определяются частные и смешанные модули непрерывности в пространстве C(TN) и вводятся классы непрерывных функций H(b)j,j е B,TN), H(ujb,Tn) и Lip{a,Ts).

Во втором параграфе Главы 1 приведён обзо£ ранее полученных результатов по изучаемой теме и дано краткое изложение содержа- • ния диссертации.

Глава 2 посвящена изложению результатов в пространстве С(Г"). В первом параграфе данной главы приводится пример функции с не ограниченной сопряжённой. Он. используется при доказательстве необходимости условия в следующим критерии непрерывности сопряжённых функций:

, Теорема 1. Пусть В С 31/, и€ В) — модул* кепреры-. вностъ. Тогда для того чтобы для любой фунт$ци» / 6 6 .

сопряженная функция Уд е С(Т") необходимо и достаточно, чтобы

/ 17 <00' (2)

Следует отметить, что 1 теореме 1 основную сложность представлял вывод доказательства необходимости, а достаточность вытекала кз теоремы Л. К. Паддисикидзе (си. с.3) или из другой теоремы автора (Теорема 2).

' Во втором и третьем параграфах данной главы автором получены точные оценки частных модулей непрерывности В-со пряженной функции, обобщающие результаты М. М. Лекишвили, Б. И. Муса-ева и В. В. Сала ем. При этом автору пришлось разработать новый способ получения оценок снизу частных модулей непрерывности и удобное для этого представление сопряженной функции.

Во втором параграфе главы 2 частные модули непрерывности В-сопргжеяной функции оценены сверху.

Теорема 2. Пусть / е С(ТУ), ы,(/,5) = ш;(6) при 0 < & < 1 < » < N. В С .V и

Тогда, еслч к 6 В, то

/ тшс^у) П ^ < оо-.1€В . /ев Ч

(7з^ = 0 I / тш(5,л^1 тт^,(л,) Д ,

ури 6 —► +0, а еслп к $ В (в случае, когда В ф М), то

[о.хр 1'€В ]

при S —► +0.

Ключевую роль при доказательстве теоремы 2 играет лемма 1: . Лемма 1. Пусть д € L(T). Тогда, при 0 < A < \

&h9{x) = -- / A1±iA|£=ii^(x)1-^^—rrds,

7Г J . » I J I |COSS— COS/l|

где

Aas(z) = g(x + A) - g(x - A).

Третий параграф главы 2 посвящен доказательству точности полученных в предыдущем параграфе оценок. Для этого строятся соответствующие примеры функций:

Теорема 3. Пусть В С М, < i < N) — модули

непрерывности и

/ JWjfe) П < оо-

Тогда существуют функции f,g G C(TN) такие, что

U>i(f,6) < LJ(Ó)

< W(<5)

при 0 < 6 < 7Г, 1 < i < jV, но если к £ В, то

М1в>6) > т^-ш \ / min(¿' «i)5*1 П ajldsi I

llo,*]'4i ,6B J

при 0 < 6 < а если к fi В (в случае, когда В фМ), то имеет место неравенство

Uk(9B>¿)>

>{N- |В|)-1тГ|В11 / núnfen^sO.^^llIsr1^.-I [о,т]|в| l'6B J j

при 0 < 8 <

Функция / в теореме 3 имеет вид

/М =

при х G TN, где

а(х) =

О , при X 6 [— 7Г,0) х при х G [0, 7Г — X при X е (§, Я"]

I

Аналогичную структуру имеет и функция д: где

= ~гшп{ттш<(2а(х{)),и;к(а:(хк))}-

Из теорем 2 и 3 можно получить интересное следствие для функций с частными модулями непрерывности лшппицевого типа:

теорема 4. Пусть В с М,щ(6),... - модули непре-

рывности, удовлетворяющие условиям:

о

j^f-dt = 0[u>i{6%

6

длА любого i€Mul<p<oo при 0 < 6 < 1. Тогда

а) если f € if(wj, j £ то частные модули непреры-

вности В-сопряженной функции имеют порядки:

в, S) = log5||B|-1] при 6 -> +0, если j G В,

Wj(7a, = ОМй)| log5||B|] при 6 +0, если j £ В,

6) существуют функции /,дЕ 6 М,Тм) такие, что

ы;(/в,<5) > Сщ(6)11<>к<5||в|_1 при 0 < 6 < ¿0, если j е В

ш}(ЯВ1 й) > СЧ(6)| К)^^!1^1 при 0 < 6 < 60, если ЦВ где С и 6о - положительные константы, не зависящие от ¿.

Наконец, в параграфе 4 главы 2 выводится многомерный аналог одной теоремы Н.К. Бари и С.Б. Стечкина 13:

теорема 5. Пусть а;(<5) - модуль непрерывности, В с М и 3 € Въ Тогда для того, чтобы для любой функции / из класса ¿-й частный модуль непрерывности В-сопряженной функции имел порядок

^•(7в,г) = оИб)|1оёг|1в1-1] при ¿->+о,

*

необходимо и достаточно, чтобы модуль непрерывности си(6) удовлетворял условиям

о

<2 ь 1

для любого г 6 М и при 0 < 6 < 1.

Отметим, что в теореме 5 существенным является доказательство необходимости, а достаточность следует из теорем 2 или 4, а также из результата Б. И. Мусаепа и В. В. Салаева (см сноску на с.2).

Глава 3 посвящена изложению результатов в пространстве L(TN).

В первом параграфе данной главы оценены интегральные частные модули непрерывности сопряжённой функции:

13Бари Н.К., Стечкин С. Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Труды ММО. 1956. Т. 5. С. 483 - 522.

1с

Теорема 7. Пусть / е Ь(ТЫ), w,(/,<5)i = w,(<5) при 0 < <5 х, 1 < г < CM«

/ Д ^ < оо-

[о,¿Г **

Тогда., если к £ В, то

ш*(7в. Ь)\-0\ J min((5, st)sk 1 min w,(s,) П si | l [o,i]iBi '' ' iea J

при 6 —» +0, а если к £ В (в случае, когда В ф М), то

= О | / min |minw,(sf),шк{8) [ П sTXdsi |

[ [о,*]|*1 l'6ß J J

при S —» +0.

В доказательстве теоремы 7 снова используется лемма 1.

Из теоремы 7 сразу же следует достаточное условие интегрируемости сопряженных функций из определённого класса:

теорема 6. Пусть В с AI, ц(6)(j £ В) —модули непрерывности. Тогда для того чтобы для любой функции f G Hi(uij,j £ B.TN) сопряженная функция fB £ L(TN) достаточно, чтобы

f minwjto) П ^ <

[0,f]IB| J6ß iZB Oj

■ Впрочем, теорему 6 можно получить и йз вышеупомянутого критерия интегрируемости сопряженных функций Л.К.Панджикидзе (см. сноску на с.З). ■ -

В пространстве C(TN) нами доказана точность приведенных оценок (теорема 3) в самом общем случае. В пространстве же L(TN) мы можем показать точность оценок в теореме 7 лишь для одного важного класса функций с частными модулями непрерывности липшицевого типа.

Теорема 8. Пусть В с м, 0 < а,- < 1 для любого г £ М. Тогда

а) если / 6 Н\(6а>,] б М, Ты), то частные интегральные модули непрерывности В - сопряженной функции имеют порядки:

ь>г(1в,*)1 = °{6°'\ при 6 +0, если з £ В,

= 0[6а' при 6 — +0, если ЦВ,

б) существует функция / £ Н\(6а>,] € М,Тм) такая, что

ь>}@в>8)1 > 1«^||В|-1 при 0 < 6 < ¿о, если ] £ В

Ч(7в, "5)1 > С6°* 11о§б|'в' при 0<6<60, если ЦВ где С и 6а - положительные константы, не зависящие от 6.

Во втором параграфе Главы 3 приводится доказательство теоремы 8. Сначала определяются два класса функций.

определение 1. Пусть класс Ао состоит из неотрицательных чисел. Далее, при т > 1, будем говорить, что функция ..., £т) : [0,2тг]т —♦ П. принадлежит классу Ат, если выполнены следующие условия:

1■ <?(<!, ...,**,) = 0' при (и,...,гт)£ [0,2тг]т\[0, тг]т.

2. При любыхх, у 6 [0. 2тг],х < у для всех^(1 <] < тп) функция д{1 ь ..х,

-д{11...., у, ..., гт_1) £ Ат-\

(иными словами функция ..., монотонна в смысле Харди.) ,

определение 2.лБу*ем говорить, что функцияд : [0,2тг]т —> К принадлежит классу Вт, если найдутся функции /¿(0(1 < г < т) : [0,2х] —* К такие, что /,•(<) £ А\ при всех ¿(1 < г < т) ,и

д(Ь,...,гт) = тт(/1(г)....,/„,(*))•

Затем в видо вспомогательных лемм (Ьсмми 3-13) рщ-крыиинж« свойства функций из классов Ат и Вт. ¡Осиооиими из этих вспомогательных утверждений являются леммы 8, 10 и 13.

Далее, по заданный В С М, 0 < от,- < 1 для любого % С М подбираются соответствующие числа у?,-, с тем чтобы полученные, для вышеопределенной функции / в леммах 8, 10 в 13 утверждения относительно её модулей-непрерывности доказывали пункт б) теоремы 8. . . . • < .

Пункт а) теоремы 8 следует из теоремы'/:.

"Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору М.И. Дьяченко за постапопку задач и постоянное внимание к работе. ,

Работы автора по теме диссертации

[1] Окулов В.А. О модулях непрерывности сопряжённой функции многих переменых. В межвузов. сб." научных трудов. Ч. 3. Теория функций и приближений. Трупа 7-ой Саратовской зицной школы (30.01.94-04.02.94). Саратов: Изд-во Саратовского унта, 1994. С. 71 - 74.

[2] Окулов В.А.:О модулях непрерывности сопряжённой функции многих переменных. В сб. Теоретические и прикладные аспекты, математических исследований. М.: Изд-во Моск. ун-та/ 1994. С. 78 - 82.-

[3] Окулов В.А. О модулях непрерывности сопряжённой функции многих переменных // Вестник МГУ. Сер. 1. Матем. механика. 1995. 5". С. 32 - 35.

[4] Окулов В.А. Многомерный аналог теоремы Привалова. В тезисах докладов Воронежской зиь&ей математической школы (25.01.95 - 01.02.95). Современные методы теории, функций и смежные проблемы прикладной математики и механики. Воронеж: Изд-в<) Воронежского ун-та, 1995. С. 176.

[5] Окулов В.А. Многомерный аналог одной Теоремы Привалова ,• // Матем. сб. 1995. Т. 186. 2. С. 93 - 104.