Сопряженные тригонометрические ряды функций обобщенной ограниченной вариации тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

На правах рукописи УДК 517.518.4

Редкозубова Елена Юрьевна

СОПРЯЖЕННЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ РЯДЫ ФУНКЦИЙ ОБОБЩЕННОЙ ОГРАНИЧЕННОЙ ВАРИАЦИИ

01.01.01 — математический анализ

АВТОРЕФЕРАТ

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Москва 2006

Работа выполнена на кафедре математического анализа механико-математического факультета Московского государственного университета имени М.В.Ломоносова.

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

профессор Т. П. Лукашенко.

Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор М. И. Дьяченко; кандидат физико-математических наук Т. Ю. Куликова.

Ведущая организация: Московский государственный

технологический университет "СТАНКИН".

Защита диссертации состоится 17 февраля 2006 г. в 16 час. 15 мин. на заседании диссертационного совета Д.501.001.85 в Московском государственном университете имени М.В.Ломоносова по адресу:

119992, ГСП-2, Москва, Ленинские горы, МГУ, механико-математический факультет, аудитория 16-24.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ (Главное здание, 14-й этаж).

Автореферат разослан 17 января 2006 г.

Ученый секретарь диссертационного совета Д.501.001.85 в МГУ, доктор физико-математических наук,

профессор О " ь/Т. П. Лукашенко

Общая характеристика работы

Актуальность темы. Настоящая диссертация относится к теории тригонометрических рядов. Если дан тригонометрический ряд

do V—г

S — ——h у. 008 пх + "п sm пх,

«о

-t п=1

то ряд

оо

S — —bn COS ПХ + On sin пх

п=1

называется сопряженным к нему рядом. Ряды 5 и S являются, соответ-

оо

ственно, действительной и мнимой частью степенного ряда с„гп, со =

п=0

сп = ап- ibn, п= 1,2,3,..., z — retx при г = 1.

Одной из важнейших задач в этой области является задача исследования сходимости тригонометрических рядов Фурье S[f] и сопряженных к ним рядов £[/] различных классов функций. Систематическое изучение свойств сопряженных тригонометрических рядов начинается с опубликованной в 1911 году работы У. Юнга1, в которой была установлена связь ряда S\f], сопряженного к ряду Фурье S[/], класса функций ограниченной вариации с выражением

/(,) =-1 //(' + ')-/(«-«) а = lim -1 //(' + ')-{(«-«)*,

v ' 7Г у 2tg| б-*+о Ж J 2tg|

которое впоследствии и стали называть сопряженной функцией f(x) к данной функции f(x). В работе У. Юнга доказано2, что если / — 27г-периоди-ческая функция ограниченной вариации с рядом Фурье 5[/]. то для сходимости сопряженного ряда S[f] в точке_я необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала функция f{x), значение которой и представляет собой сумму ряда S[f]. Существование сопряженной функции почти

1 Young W.H Konvergenzbedingungen für die verwandte Reihe einer Fourierschen Reihe // München Sitzungsberichte., 1911, V.41, p. 361-371.

2 См , например, Бари H.K. Тригонометрические ряды. M , Физматлит, 1961 (с. 521), Зигмунд А Тригонометрические ряды. Том 1. М., Мир, 1965 (с. 102).

j РОС. НАЦИОНАЛЬНАЯ .

библиотека

! ¿^h/P.

всюду для 2ж-периодических функций с суммируемым квадратом доказал H.H. Лузин3' 4 в 1913 г., а И.И. Привалов5 в 1918 г. показал существование /(х) уже для любой 27г-периодической суммируемой функции.

Теорема Юнга обобщалась различными авторами на различные классы функций одного и многих переменных. Так В. Шапиро6 доказал многомерный аналог теоремы Юнга для функций ограниченной вариации, а Б.И. Голубое7 получил обобщение этой теоремы на классы функций ограниченной Ф-вариации в одномерном и двумерном случаях. Вообще впервые ряды, сопряженные к двойному ряду Фурье, и сопряженные функции двух переменных были рассмотрены JI. Чезари8. Он исследовал вопрос равномерной суммируемости этих рядов двойным методом средних арифметических для функций из класса Липшица 0 < а < 1. И.Е. Жак9 установил признак равномерной сходимости двойных сопряженных рядов Фурье. Вопрос существования сопряженных функций многих переменных рассматривали К. Сокол-Соколовский10, А. Зигмунд11.

Цель работы. Исследовать сходимость сопряженных тригонометрических рядов Фурье функций одной и двух вещественных переменных класса функций ограниченной Л-вариации.

Научная новизна. Полученные результаты являются новыми и состоят в следующем.

Для функций одного действительного переменного:

— доказана сходимость сопряженного тригонометрического ряда Фурье

3 Лузин H H Sur la convergent des series trigonometrques de Fourier // Compt. Rend, Acad, Sei, Paris, 1913, 156, p. 629-636.

4 Лузин H.H. Интеграл и триг ряд. M.-JI-: ГИТТЛ, 1951.

6 Привалов ИИ Интеграл Cauchy // Саратов, Иэв ун-та, физ.-мат. фак., 1918, выпуск 1, с. 1-94.

' Victor L Shapiro Spherical convergence, bounded variation, and singular integrals on the TV-torus //

J. Approx. Theory, 1971, V 4, p. 204-217

7 Голубое Б И Функции обобщенной ограниченной вариации, сходимость их рядов Фурье я сопряженных тригонометрических рядов // Доклады АН СССР, 1972, Т.205, №6, с. 1277-1280

8 Cesan L Sülle eerie di Fourier dell funzioni Lipshitziane di piu variabile // Ann di Scuola Norm Superdi Pisa, 1938, 27, p. 279-295.

• Жак ИЕ О сопряженных двойных тригонометрических рядах // Мат сб., 1952, V31, №3, с 469-484.

10 Sokol-Sokoloaiskt К On trigonometric series conugate to Fourier series of two variables // Fund Math , 1947, V.34, p. 166-182.

11 Zygmund A On the boundary of functions of functions of several complex variables // Fund Math , 1949, V.36, p. 207-235.

к значению сопряженной функции в точках ее существования для функций ограниченной гармонической вариации;

— исследована окончательность вопроса сходимости сопряженного тригонометрического ряда Фурье к значению сопряженной функции для функций ограниченной Л-вариации.

Для функции двух действительных переменных:

— при некоторых дополнительных условиях исследована сходимость сопряженного по совокупности переменных ряда Фурье — получен двумерный аналог теоремы Юнга.

Методы исследования. В работе используются классические методы теории функций действительного переменного и функционального анализа.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертация носит теоретический характер. Результаты работы могут быть использованы в теории тригонометрических рядов.

Апробация диссертации. Результаты диссертации неоднократно докладывались в МГУ им. М.В. Ломоносова на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл.-корр. РАН, проф. П.Л Ульянова, проф. М.К. Потапова и проф. М.И. Дьяченко, на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством проф. Т.П. Лукашенко, проф. В. А. Скворцова и м.н.с. А.П. Солодова, на семинаре по теории ор-топодобных систем под руководством проф. Т.П. Лукашенко и доц. Т.В. Родионова, асс. В.В. Галатенко, а также на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2005).

Публикации. Результаты диссертации опубликованы в 5 работах, список которых приведен в конце автореферата.

Структура диссертации. Диссертация изложена на 58 страницах и состоит из введения, двух глав и списка литературы, включающего 36 наименований.

Основное содержание диссертации

Во введении формулируются основные определения, дается обзор предшествующих результатов по данной проблеме и приводятся основные результаты автора.

Для отрезка I — [а, Ь] через 0(/) обозначим множество всех конечных систем попарно неперекрывающихся отрезков {/„}, таких что 1п — [а„, Ьп] С I Для любой функции / и отрезка I = [а, 6] пусть /(/) = /(£>) — /(а). Через Ь обозначим множество таких неубывающих последовательностей Л положительных чисел А„, что А„ —> оо и

Функция /(х) называется функцией ограниченной Л-вариации на промежутке 7, если конечна величина

которая в этом случае называется Л-вариацией функции / на отрезке I. Через ABV(I) будет обозначаться множество функций ограниченной Л-вариации на данном промежутке I (класс Ватермана). В частности, для последовательности Л = {п} (обозначим ее H) функцию будем называть функцией ограниченной гармонической вариации, а множество таких функций будем обозначать HBV(I).

Понятие Л.бУ-функций было введено Д. Ватерманом12. Он доказал13, что теорема Дирихле—Жордана14 о сходимости ряда Фурье S[f] в точке остается верной для функций ограниченной гармонической вариации, причем если HBV(T) есть собственное подмножество ABV(T), то найдется функция / G ABV(T), ряд Фурье которой расходится в точке.

Другие свойства функций ограниченной Л-вариации одного переменного изучались Д. Ватерманом и М. Шраммом15.

12 Waterman D On convergence of Fourier senes of functions of generalized bounded variation // Studia math , 1972, V 44, №1, p 107-117.

13 Waterman D On Л-bounded variation // Studia math , 1976, V.57, №1, p. 33-45.

14 См , например, Бари H К Тригонометрические ряды М., Физматлит, 1961 (с 121), Зигмунд А.

Тригонометрические ряды. Том 1 M , Мир, 1965 (с 98, 104).

16 См , например, Schramm M, Waterman D On the magnitude of Fourier coefficients // Proc. Amer

^ 1

Первая глава состоит из двух параграфов.

В первом параграфе доказывается обобщение теоремы Юнга для класса функций ограниченной гармонической вариации. Для этого доказана вспомогательная

Лемма 1.1. Если f — 2тс-периодическая функция, f £ HBV(T), mo разность

&(/; *)-/(*; I)

п

стремится к нулю, если точка х — точка непрерывности функции f, и ограничена, если х — точка разрыва данной функции. Здесь £>„(/; х) есть частная сумма ряда 5[/] в точке х. Из Леммы 1.1 следует обобщение теоремы Юнга:

Теорема 1.1. Если /(ж) — 2п-периодическая функция ограниченной гармонической вариации, то для сходимости сопряженного ряда Фурье 5[/] в точке х необходимо и достаточно, чтобы существовал интеграл

/(,) = -! = lim -1 //(« + ')-{(«-V

Jy ' тг J 2tg I i-M-o -ir J 2tgi

о * s i

который представляет тогда сумму ряда £[/].

Отметим, что с помощью этой теоремы автоматически получается аналог теоремы Юнга для функций ограниченной Ф-вариации, доказанный Б.И. Голубовым16, так как при тех условиях (как показано Ватерманом17) функция ограниченной Ф-вариации является ЯВУ-функцией.

Возникает вопрос: что можно сказать о сходимости ряда S[/]i когда / принадлежит классу ABV, более широкому, чем класс HBV1

Во втором параграфе дается ответ на этот вопрос. Верна следующая

Демма 1.2. Если пространство HBV есть собственное подпространство ABV, то существует такая непрерывная функция f € ABV, что разность Sn(f-, 0) — /(0; jj) неограниченна при п —> оо.

Оказывается, что если сопряженная к функции / функция / в точке не существует, то сопряженный ряд обязательно расходится в этой точке. Это

Math. Soc, 1982, V.85, №3. р. 408-410., Waterman D. On Л-bounded variation // Studia math., 1976, V.57, №1, p 33-45.

16 Голубое Б .И Функции обобщенной ограниченной вариации, сходимость их рядов Фурье и сопряженных тригонометрических рядов // Доклады АН СССР, 1972, Т.205, №6, с. 1277-1280.

17 Waterman D. On Л-bounded variation // Studia math-, 1976, V 57, JM, p. 33-45.

следует из леммы18:

Лемма В. Если функция f(x) удовлетворяет в точке х условию

t

JI f(x + u)- f(x - u)\du = o{t), 0

то имеем

~ / ч 7/ "" ч ~ , ч 1 f f(x + t)~ f(x-t) J

am(x) - f{x, —) = am(x) + - —-—j1-- dt-+0 при m oo.

m я- J 2 tg J

m

Здесь дт(х) = <jm(x,f) = Sn(x,f) — чезаровские средние сопря-

~ n=0

женного ряда S[/j. _

Случай же, когда / определена в точке, а ряд »?[/] расходится в этой точке, возможен.

Теорема 1.2. Если последовательность А = {А„} G L такова,что

= ^

то существует такая непрерывная 2ir-периодическая функция f(x) ограниченной А-вариации на Т, что сопряженная к ней функция f(x) существует всюду, а сопряженный тригонометрический ряд 5[/] расходится в точке 0.

Во второй главе исследуется сходимость ряда сопряженного по совокупности переменных к ряду Фурье функции двух переменных ограниченной гармонической вариации.

Впервые классы ограниченной Л-вариации для функции двух и более переменных определили К. Гоффман и Д. Ватерман19.

A.A. Саакян20 дал другое определение Л-вариации функции двух переменных, в котором на функцию накладывается условие, более жесткое

18 См., например, Бари H К. Тригонометрические ряды M., Физматлит, 1961 (с. 524), Зигмунд А. Тригонометрические ряды. Том 1. M., Мир, 1965 (с. 154).

19 Goffman С, Waterman D. The localization principle for Fourier series // Studia math., 1980, V.99, »1, p.41-57.

20 Саакян A.A. О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации // Изв. АН Арм. ССР, 1986, T.21, JW, с. 517-529.

по сравнению с определением К. Гоффмана и Д. Ватермана. Он обобщил теорему Дирихле-Жордана для функций двух переменных ограниченной гармонической (Л = Н — {п}) вариации.

Модификации определения A.A. Саакяна вводились и рассматривались рядом авторов, в частности А.И. Саблиным21 и М.И. Дьяченко22. Мы будем пользоваться определением Саблина. Различия между этим определением и определением A.A. Саакяна были рассмотрены А.Н. Бахваловым23. Для функций заданных на замкнутом прямоугольнике определения A.A. Саакяна и А.И. Саблина эквивалентны.

Пусть I = [а, 6], J = [а, ß]. Для функции двух переменных обозначим

f(I,Vo) = f(b,yo)-f{a,yo), f(xo,J) = f(x0,ß) - f(x0la), f(I x J) = f(b,ß)-f(a,ß)-f(b,a) + f(a,a).

Скажем, что функция /(х, у) имеет ограниченную (А1, Л2)-вариацию на Д = I х J, если конечна величина

и аналогично определяется V^2(/; Д)

Множество функций ограниченной Л-вариации на данном прямоугольнике Д (класс Ватермана) обозначим через (Л1, Л2)ВУ(Д) и в случае А1 = А2 = Л обозначим ABV(A).

В первом параграфе второй главы доказываются четыре вспомогательные леммы, а во втором — доказываются основные результаты главы.

Теорема 2.1. Пусть f(x,y), fl(x, у), f2(x,y) - непрерывные 2п-периодические по каждому аргументу функции ограниченной гармонической

21 Саблгт А И Функции ограниченной Л-вариации и ряды Фурье. Дисс ..канд. физ -мат наук

Москва, 1987.

23 Дьяченко М И Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов // УМН, 1992, Т.47, №5, с. 97-162.

23 Бахвалов А И Сходимость кратных рядов и интегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций. Дисс. . . канд. физ.-ыат. наук. Москва, 2000.

VAr,MA) = V**{f-&) + V^(f-A) + 1^2(/;Д),

где

вариации наТ2 = [—л-, 7г]2. Тогда разность

Sm,n(/; У) ~ *У) 0 пРи т, п -> оо

в каждой точке (х, у).

Следующая теорема, являющаяся двумерным обобщением теоремы У. Юнга, выводится из теоремы 2.1. _ _

Теорема 2.2. Пусть f(x,y), /1(х, у), /2(х, у) — непрерывные 2it-nepu-одические по каждому аргументу функции ограниченной гармонической вариации на [-7Г, 7г]2. Тогда тригонометрический ряд S3(f ; х, у), сопряженный по обеим переменным к ряду Фурье функции f, сходится в смысле ограниченной сходимости в тех и только тех точках, где существует /3(х, у), которая и является тогда суммой ряда 53(/; х, у), причем /3(ж, у) понимаем как lim /3£ г)(х, у) с условием, что отношения

| и | ограничены.

В заключение приношу глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Т.П. Лукашенко за постановку задач и всестороннюю помощь в подготовке работы.

Работы автора по теме диссертации

[1] Редкозубова Е.Ю., О сходимости сопряженного ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации. // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону, 2004, с. 138.

[2] Редкозубова Е.Ю., О сходимости сопряженного тригонометрического ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика, 2005, №4, с. 48-52.

[3] Редкозубова Е.Ю., О сходимости сопряженного ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж, 2005, с. 195.

[4] Редкозубова Е.Ю., Сопряженные тригонометрические ряды и функции ограниченной А-вариации. // Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов. Тула, 2005, с. 134.

[5] Редкозубова Е.Ю., О сходимости двойного сопряженного ряда Фурье. // МГУ, М., 19с., Библиогр.: 7 назв., Деп. в ВИНИТИ 2.12.05 № 1590-В2005.

АЯ&А I

16 5

I

I

!

Издательство ЦГГИ при механико-математическом факультете МГУ им. М.В. Ломоносова. Подписано в печать /¿. С/ 06 Формат 60x90 1/16. Усл. печ. л. ¿'о

Тираж 100 экз. Заказ 04

Введение.

1 Сопряженный ряд Фурье и функции ограниченной Л-вариации одной переменной

1.1 Сходимость сопряженного ряда Фурье функций ограниченной гармонической вариации.

1.2 Случай функций ограниченной Л-вариации.

2 Двойные сопряженные ряды и функции ограниченной гармонической вариации двух переменных.

2.1 Вспомогательные результаты.

2.2 Сходимость двойного тригонометрического ряда, сопряженного по совокупности переменных к ряду Фурье.

Работа состоит из введения, двух глав, списка основных обозначений и списка литературы из 36 наименований.

В данной работе формулы, леммы и теоремы будут иметь номера из двух чисел, первое из которых — номер главы, а второе — номер формулы (леммы, теоремы) в этой главе. Определения нумеруются сквозным образом. Результаты других авторов нумеруются сквозным образом латинскими буквами.

Основные определения

Данная работа посвящена исследованию сходимости и расходимости тригонометрических рядов, сопряженных к рядам Фурье функций одного и двух переменных классов ограниченной Л-вариации.

В первой главе рассматриваются 27г-периодические функции одного действительного переменного, а во второй 27г-периодические по каждому аргументу функции двух переменных, определенные соответственно либо на Т = [-7Г, 7г], либо на Т2 = [-7Г, тг]2.

Через Dn{x) будем обозначать одномерное ядро Дирихле: ад = (1) "-1" 2

А через Dn(x) — сопряженное ядро Дирихле: cos | — cos(n +

Далее везде: ад = —^-т^г——. (2)

2sin§

Gn(t) = g(t) cos nt — ^ sinnt , (4)

Hn(t) = g(t) sin nt + - cos nt , (5)

Li

Отметим, что g(t) непрерывна на T = [—7г, тг].

Элементы К2 иногда будут обозначаться как векторы, например, х = (хьх2).

Через С и С(-) обозначаются, соответственно, положительные постоянные и положительные величины, зависящие лишь от перечисленных в скобках аргументов, разные, вообще говоря, в различных случаях.

При оценке различных интегралов для краткости будут вводиться обозначения вида J, Jk, Jk,l и т. п. Такие обозначения вводятся заново в каждом доказательстве, если не оговорено противное.

Определение 1. Сопряженным рядом к тригонометрическому ряду оо

S = — + ^Г^ ап cos пх + bn sin пх

2 п=1 называется ряд оо

S = ^^ ~bn cos пх + ап sin пх. п=1

Ряды S и S являются, соответственно, действительной и мнимой частью оо степенного ряда Cnzn, со = if > Cn = ап — ibn, п — 1,2,3,., z — гегх при п=0 г = 1.

Пусть f(x) —2тт периодическая интегрируемая по Лебегу функция. Ряд Фурье функции f{x) будем обозначать S[f], а сопряженный к нему ряд — m

Исследования сходимости и суммируемости ряда 5[/] привели к понятию сопряженной функции.

Определение 2. Сопряженной функцией к функции f(x) называется

ВВЕДЕНИЕ интеграл

1 Jf(x + t)-f(x-t)dt =

2tgf lim —

1 / + - f ('-«>*= lim/М. (6)

7Г J 2tg I j-h-(T v ' ; w

5 2

Пусть теперь /(а;, у) — 27г-периодическая по каждому аргументу интегрируемая по Лебегу на Т2 функция.

Определение 3. Двойной тригонометрический ряд оо

S= ^ \mn (dmn cos mx cos пу + Ътп sin mx cos пу + Сщп cos mx sin ш/+ т,п=О dmn sin mx sin пу) называется двойным тригонометрическим рядом Фурье 5(/; х, у) функции f(x, у), если коэффициенты ряда определяются по формулам ж ж атп = ^2 J J cosmx cos пу dxdy, 7Г —Ж 7Г 7Г bmn = i J J f(x, y) sin mx cos ny dxdy,

7)

Cmn = ~2 J J f(xi У) cos mx sin n2/

7Г —7Г 7Г 7Г

4n ~ ~2 У J f(x> у) sin ma; sin ш/ dxdy,

-7Г —7Г И тп — *

1/4, т = п = 0;

1/2, т = 0, п > 0 или п = 0, т > 0; 1, т > 0, п > 0.

Тогда ряды

00

5Х(/; х, у) = ^^ Amn(—bmn cos mx cos ny 4- amn sin mx cos ny— m,n=0 dmn cos mx sin ny + cmn sin mx sin m/),

00

S2(/; ?/) = ^mn(-Cmn cos mx cos ny - dmn sin mx cos ny+ m,n=0 amn cos mx sin ny + bmn sin mx sin ny),

00

53(/; ж, y) = ^ (dmn cos mx cos ny — Сщп sin mi cos ny— m,n=0 bmn cos mx sin ny + amn sin mrr sin ny) называются сопряженными к ряду Фурье, соответственно, по переменной х, по переменной у и по совокупности переменных х и у.

Для кратных рядов рассматривают много различных типов сходимостей. Мы будем рассматривать ограниченную сходимость прямоугольных частных сумм и их сходимость по Прингсхейму. Подробнее о различных типах сходимости кратного ряда см. [19], гл. 1, §6, и [1] введение, п.З.

Определение 4. Прямоугольной частичной суммой ряда Фурье называется

М N

Sm,n(I; = ^rnn(amn cos mx cos ny + bmn sin mx cos ny+

771=0 П=0

Cmn cos mx sin ny + dmn sin mx sin ny).

Аналогично определяются прямоугольные частные суммы сопряженных рядов Sl(f;x,y), S2(/;^),S3(/;z,у).

Определение 5. Будем говорить, что двойной ряд Фурье S(f](x,y)) функции f(x, у) сходится в точке (х, у) в смысле ограниченной сходимости (или ограниченно сходится), если существует lim Sm n(f; (х, у)) т,п-ь оо

77 777 по всем номерам т, п таким, что отношения ^ и ^ ограничены.

Сходимость при условии т = п называется сходимостью по квадратам, а сходимость без ограничений на отношения компонент — сходимостью по прямоугольникам (по Прингсхейму).

Для сопряженных рядов Фурье рассматривают аналогичные типы сходимости.

Нам еще понадобится определение модулей непрерывности функции. Определение 6. Модулем непрерывности функции / Е С(Т2) называется функция от <5 > 0, определяемая формулой u(f, £) = sup sup | f(x + Я) - /(£)|. xei2 ЯеК2:||Я||<£

Если в этом определении ограничиться теми h, у которых лишь к-я компонента отлична от нуля, то мы получим определение частного модуля непрерывности J).

Обзор предшествующих результатов

Систематическое изучение свойств сопряженных тригонометрических рядов начинается с опубликованной в 1911 году работы У. Юнга [29], в которой была установлена связь ряда S[f], сопряженного к ряду Фурье, с выражением

1 ff(x + t)-f(x-t)

W 2tg| о которое впоследствии и стали называть (см. определение 2) сопряженной функцией f(x) к данной функции f{x).

В работе У. Юнга доказана следующая теорема.

Теорема А. Пусть f — ^-периодическая функция ограниченной вариации с рядом Фурье 5[/]. Для сходимости сопряженного ряда S[f] в точке х необходимо и достаточно, чтобы в этой точке существовала функция f{x), то есть существовал интеграл как предел:

Umi jnx+t)-f(x-t)

5->+0 7Г J 2 tg | 8 который и представляет тогда сумму ряда 5[/].

В 1913 г. Н.Н. Лузин показал, что сопряженная функция существует почти всюду для функций с суммируемым квадратом [13], [14]. В 1918 г. И.И. Привалов [15] показал, что сопряженная функция существует почти всюду для любой 27Г-периодической интегрируемой функции. При этом им отмечалось, что имеет место суммируемость сопряженного ряда S[f] методом средних арифметических или методом Абеля-Пуассона к f(x) почти всюду.

Теорема Юнга обобщалась различными авторами на классы обобщенной ограниченной вариации функций одного и многих переменных. Б.И. Голу-бов [5] получил обобщение этой теоремы на классы функций ограниченной Ф-вариации в одномерном и двумерном случаях.

Теорема В. Пусть Ф(и) и 4f(u) дополнительные в смысле У. Юнга функции, f(x) — 2п-периодическая функция ограниченной Ф-вариации и выполняется условие оо ^

8)

П=1

Тогда а) для сходимости сопряженного ряда S[f] в точке х необходимо и достаточно существования в этой точке функции f(x), б) утверждение пункта а) теряет силу, если

В первой главе диссертации рассматривается задача обобщения теоремы Юнга ( теорема А) для классов функций ограниченной Л-вариации (функций одного переменного).

Для отрезка / = [а, Ь] через Q(I) обозначим множество всех конечных систем попарно неперекрывающихся отрезков {1П}, таких что In = [an, bn] С I. Для любой функции / и отрезка I = [а, 6] пусть /(/) = f(b) — f(a). Через L обозначим множество таких неубывающих последовательностей Л положительных чисел Ап, что Ап —>• оо и

В дальнейшем рассматриваются только Л € L.)

Определение 7. Функция f(x) называется функцией ограниченной Л-вариации на промежутке /, если конечна величина которая в этом случае называется Л-вариацией функции / на отрезке I. Через ABV(I) будет обозначаться множество функций ограниченной Л-вариации на данном промежутке I (класс Ватермана).

В частности, для последовательности Л = {п} (обозначим ее Н) будут употребляться обозначения / € HBV(I) и Vn{f\I). оо

Понятие ABV-функций было введено Д. Ватерманом [28]. Он доказал, что функция из класса ABV(I), как и функция ограниченной вариации, может иметь лишь устранимые точки разрыва и первого рода, и установил следующее обобщение теоремы Дирихле—Жордана ([31], с. 98, 104; [2], с. 121) о сходимости ряда Фурье S[f]:

Теорема С. Пусть f £ HBV(T). Тогда в каждой точке х £ Т ряд Фурье функции / сходится к величине \{f(x + 0) + f(x — 0))7 и сходимость равномерна на каждом отрезке из интервала непрерывности. Если HBV{T) есть собственное подмножество ABV{T), то найдется функция f £ ABV(T), ряд Фурье которой расходится в точке.

Замечание 1. Определение функции ограниченной Л-вариации, данное Д. Ватерманом в качестве основного, несколько отличается от определения 7, но в [28] им же доказана эквивалентность его определения и опредления 7.

Другие свойства функций ограниченной A-вариации одного переменного изучались Д. Ватерманом и М. Шраммом в работах [23], [28].

Во второй главе диссертации исследуется сходимость сопряженного по совокупности переменных ряда Фурье функции двух переменных ограниченной гармонической вариации.

Вопросы сходимости и суммируемости сопряженных рядов функции двух переменных также привели к понятию сопряженных функций двух переменных.

Определение 8. Интегралы

1(3, у) = --[ ds = lim -- [ f{x + S;y)ds,

J y ttJ 2tg§ 7Г J 2tg|

-яp(x>У) = Л[Щм+й dt = lira f HzdLp. A,

J K ,У) ttJ 2tg§ r/->+0 7Г J 2 tg |

-к Ч^Щ^Я

9)

2 " vb 2 —TV —тг lim —г

Е-н-о называют сопряженными функциями, соответственно, по переменной х, по переменной у и по совокупности переменных х и у.

Впервые двойные сопряженные ряды Фурье и сопряженные функции были рассмотрены JI. Чезари [21]. Он исследовал вопрос равномерной суммируемости этих рядов двойным методом средних арифметических для функций из класса Липшица 0 < а ^ 1. И.Е. Жак установил признак равномерной сходимости двойных сопряженных рядов Фурье [8]. К. Сокол-Соколовский [24], А. Зигмунд [31], JI.B. Жижиашвили ([9], [10], [11], [12]) исследовали суммируемость кратными методами (С, 1) и Абеля-Пуассона сопряженных рядов S1, S2, S3.

В. Шапиро [25] в 1971 году доказан многомерный аналог теоремы Юнга для функций ограниченной вариации. Об определениях функций двух переменных ограниченной вариации см., например, [20]. Как уже отмечалось выше, в двумерном случае для функций ограниченной Ф-вариации аналог теоремы Юнга для рядов 51, S2, S3 был получен Б.И. Голубовым [5].

Рассмотрим обобщение понятия Л-вариации для функций двух переменных.

Впервые классы ограниченной Л-вариации для функции двух и более переменных определили К. Гоффман и Д. Ватерман в работе [22] и доказали для этих классов теоремы локализации прямоугольных частичных сумм рядов Фурье.

А.А. Саакян [16] дал другое определение Л-вариации функции двух переменных, в котором на функцию накладывается условие, более жесткое по сравнению с определением К. Гоффмана и Д. Ватермана. Он обобщил теорему Дирихле-Жордана для функций двух переменных ограниченной гармонической (Л = Н = {п}) вариации.

Модификации определения А.А. Саакяна вводились и рассматривались рядом авторов, в частности А.И. Саблиным [17], и М.И. Дьяченко [7].

Мы введем здесь понятие Л-вариации, взяв за основу определение из [17]. Различия между этим определением и определением А.А. Саакяна были рассмотрены А.Н. Бахваловым [3]. Для функций заданных на замкнутом прямоугольнике определения А.А. Саакяна и А.И. Саблина эквивалентны.

Пусть I = [a,b], J = [а,/.3]. Для функции двух переменных обозначим

Введем вначале два вспомогательных определения.

Определение 9. Пусть / — функция двух переменных. Л-вариацией функции / относительно переменной х по промежутку I при у = у0 называется

Аналогично Л-вариацией функции / относительно переменной у по промежутку J при х = xq называется f{I,Vo) = ДМо) - /(а,Уо), f(xо, J) = f{x0, р) - f(xо, а), /(/ х J) = /(6,(3) - /(а, р) - f(b, а) + /(а, а).

ВВЕДЕНИЕ 13

Определение 10. Пусть Л1 = {А^}, Л2 = {д12)} последовательности из L. Двумерной компонентой (Л1, Л2)-вариации функции / по прямоугольнику А = I х J называется величина

Величины

VS(/; А) = supV5(/(®,yo);/), VUh А) = BupV*3(f(x0,y);J) j/osJ х0е/ будем называть одномерными компонентами (Л1, Л2)-вариации.

Теперь мы дадим основное

Определение 11. Скажем, что функция f(x,y) имеет ограниченную (Л1, Л2)-вариацию на А = I х J, если конечна величина

14.,^/; Д) = Vj'fA2(/; Д) + У5(/; Д) + V*, (/; Д).

Множество функций ограниченной Л-вариации на данном прямоугольнике А (класс Ватермана) будет обозначаться через (Л1, A2)BV(A).

Отметим, что если Л1 = Л2 = Л, то будем писать вместо (Л1, A2)BV(А) — ABV(А), а если Л1 = Л2 = Я, то вариацию будем называть гармонической вариацией.

Обозначим Лп = {An+fc}j£=i

Определение 12. Функция / G (Л1, Л2)BV(A) называется непрерывной по (Л1, Л2)-вариации, если компоненты вариации стремятся к нулю при n —> оо.

Множество таких функций обозначим С(А1, A2)Vr(A).

В двумерном случае понятие непрерывности по Л-вариации было рассмотрено О.С. Драгошанским [6]. Им получены условия совпадения классов функций ограниченной Л-вариации и функций, непрерывных по Л-вариации, из которых, в частности, следует что HBV(A) = C(H,H)V(А).

Обзор результатов по главам

Первая глава состоит из двух параграфов.

В первом параграфе доказывается обобщение теоремы Юнга ( теорема А) для класса функций ограниченной гармонической вариации. Для этого доказана вспомогательная лемма.

Теорема 1.1. Если f(x) — 2т:-периодическая функция ограниченной гармонической вариации, то для сходимости сопряженного ряда Фурье 5[/] в точке х необходимо и достаточно, чтобы существовал интеграл который представляет тогда сумму ряда <S[/].

Отметим, что с помощью этой теоремы автоматически получается теорема В, так как при условии (8) (как показано в [27]) функция ограниченной Ф-вариации является Д'БУ-функцией.

Во втором параграфе исследуется окончательность вопроса сходимости в точке сопряженного ряда Фурье к значению сопряженной функции класса ограниченной Л-вариации для произвольной последовательности Л 6 L.

Приведен пример такой непрерывной f(x) е KBV(T), ABV(T) 2 HBV(T), что сопряженная функция существует всюду на Т, а сопряженный ряд S[f] расходится в точке х = 0 (теорема 1.2).

Показано, что если сопряженная к непрерывной функции / функция /

7Г

7Г 6

1 Г f(x + t)-f(x-t)

W 2tg | в точке не существует, то сопряженный ряд обязательно расходится в этой точке.

Вторая глава также состоит из двух параграфов.

В первом параграфе доказываются четыре вспомогательные леммы, во втором — доказываются основные результаты главы.

Теорема 2.1. Пусть f(x,y), fl{x,y), f2(x,y) — непрерывные 2к-периодические по каждому аргументу функции ограниченной гармонической вариации на Т2 = [—7г, 7г]2. Тогда разность х>у) - у) О ПРИ m,n оо тп7 п в каждой точке (х, у).

Следующая теорема, являющаяся двумерным обобщением теоремы У. Юнга, выводится из теоремы 2.1.

Теорема 2.2. Пусть f(x,y), fl(x,y), f2(x,y) — непрерывные 2тт-периодические по каждому аргументу функции ограниченной гармонической вариации на Т2 = [—7г, 7г]2. Тогда тригонометрический ряд <S3(/; х, у), сопряженный по обеим переменным к ряду Фурье функции f, сходится в смысле ограниченной сходимости в тех и только тех точках, где существует f3(x, у), которая и является тогда суммой ряда 53(/; х, у), причем /3(я, у) понимаем как lim f3£ J1(x, у) с условием, что отношения | и % ограничены. v->+0

Основные результаты данной диссертации опубликованы в работах автора [32] - [36].

Они докладывались в МГУ им. М.В. Ломоносова на семинаре по теории ортогональных рядов под руководством чл. - корр. РАН, проф. П.Л. Ульянова, проф. М.К. Потапова и проф. М.И. Дьяченко, на семинаре по теории функций действительного переменного под руководством проф. Т.П Лукашенко, проф. В.А. Скворцова и м.н.с. А.П. Солодова, на семинаре по теории ортоподобных систем под руководством проф. Т.П. Лукашенко и доц. Т.В. Родионова, асс. В.В. Галатенко; на международной школе-семинаре по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова (Ростов-на-Дону, 2004); на Воронежской зимней математической школе "Современные методы теории функций и смежные проблемы" (2005).

В заключение приношу глубокую благодарность своему научному руководителю профессору Т.П. Лукашенко за постановку задач и всестороннюю помощь в подготовке работы.

1. Алимов ША., Ашуров P.P., Пулатов А.К., Кратные ряды и интегралы Фурье. // Соврем, пробл. матем., Фундам. направл. 1989, Т.42, с.7-104.

2. Бари Н.К., Тригонометрические ряды. М., Физматлит, 1961.

3. Бахвалов А.Н., Сходимость кратных рядов и интегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Москва, 2000.

4. Бахвалов А.Н., Сходимость кратных рядов и интегралов Фурье некоторых классов ограниченных функций. // Мат. сб. Москва, 2002, Т.193, №12, с. 3-20.

5. Голубов Б.И., Функции обобщенной ограниченной вариации, сходимость их рядов Фурье и сопряженных тригонометрических рядов. // Доклады АН СССР, 1972, Т.205, №, с. 1277-1280.

6. Драгошанский О.С., Непрерывность по К-вариации фугжций многих переменных. // Мат. сб., 2000, Т.191, №2, с. 3-20.

7. Дьяченко М.И., Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов. 11 УМН, 1992, Т.47, №5, с. 97-162.

8. Жак И.Е., О сопряженных двойных тригонометрических рядах. //Мат. сб., 1952, V.31, №3, с. 469-484.

9. Жижиашвили J1.B., Сопряженные функции и тригонометрические ряды. Тбилиси, изд-во Тбил. ун-та, 1969.

10. Жижиашвили JI.B., О некоторых вопросах из теории простых и кратных тригонометрических рядов. // УМН, 1973, Т.28, №2, с. 65-119.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 56

11. Жижиашвили Л.В., О сходимости кратных тригонометрических рядов Фурье. // Сообщ. АН ГССР, 1975, Т.80, №1, с. 17-19.

12. Жижиашвили JI.B., Некоторые вопросы многомерного гармонического анализа. Тбилиси, изд-во Тбил. ун-та, 1983.

13. Лузин Н.Н., Sur la convergense des series trigonometrques de Fourier. // Compt. Rend, Acad, Sci., Paris, 1913, 156, p. 629-636.

14. Лузин H.H., Интеграл и триг. ряд. М.-Л.: ГИТТЛ, 1951.

15. Привалов И.И., Интеграл Cauchy. // Изв. ун-та, физ.-мат. фак., 1918, выпуск 1, с. 1-94.

16. Саакян А.А., О сходимости двойных рядов Фурье функций ограниченной гармонической вариации. // Изв. АН Арм. ССР, 1986, Т.21, №6, с. 517-529.

17. Саблин А.И., Функции ограниченной А-вариации и ряды Фурье. Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Москва, 1987.

18. Саблин А.И., А-вариация и ряды Фурье, j j Изв. ВУЗов. Математика, 1987, то, с. 66-68.

19. Янушаускас А.И., Кратные тригонометрические ряды. Новосибирск, Наука, Сибирское отделение, 1986.

20. C.R. Adams, J.A. Clarkson, On definitions of bounded variation for functoins of two variables, j j Trans. Amer. Math. Soc., 1933, V.35, p. 824854.

21. Cesari L., Sulle eerie di Fourier dell funzioni Lipshitziane dipiu variabile.// Ann. di Scuola Norm. Superdi Pisa, 1938, 27, p. 279-295.СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ 57

22. Goffman С., Waterman D., The localization principle for Fourier series. // Studia math., 1980, V.99, Ш, p.41-57.

23. Schramm M., Waterman D., On the magnitude of Fourier coefficients. // Proc. Amer. Math. Soc., 1982, V.85, №3. p. 408-410.

24. Sokol-Sokolowski K., On trigonometric series conugate to Fourier series of two variables. // Fund. Math., 1947, V.34, p. 166-182.

25. Victor L. Shapiro, Spherical convergence, bounded variation, and singular integrals on the N-torus. //J. Approx. Theory, 1971, V.4, p. 204-217.

26. Perlman S., Waterman D., Some remarks on functions of A-bounded variation. // Proceedings of the Amer. Math, society., 1979, V.74, №1, p.113-118.

27. Waterman D., On convergence of Fourier series of functions of generalized bounded variation. // Studia math., 1972, V.44, №1, p. 107-117.

28. Waterman D., On A-bounded variation. // Studia math., 1976, V.57, №1, p. 33-45.

29. Young W.H., Konvergenzbedingungen filr die verwandte Reihe einer Fourierschen Reihe // Munchen. Sitzungsberichte., 1911, V.41, p. 361371.

30. Zygmund A., On the boundary of functions of functions of several complex variables. Fund. Math., 1949, V.36, p. 207-235.

31. Зигмунд А., Тригонометрические ряды. Т. 1-2. M., Мир, 1965.

32. Редкозубова Б.Ю., О сходимости сопряженного ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации. // Труды участников международной школы-семинара по геометрии и анализу памяти Н.В. Ефимова. Ростов-на-Дону. 2004, с. 138.

33. Редкозубова Е.Ю., О сходимости сопряженного тригонометрического ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации. // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1, Математика. Механика. 2005. №4? с. 48-52.

34. Редкозубова Е.Ю., О сходимости сопряженного ряда Фурье функции ограниченной гармонической вариации. // Современные методы теории функций и смежные проблемы. Материалы Воронежской зимней математической школы. Воронеж. 2005, с. 195.

35. Редкозубова Е.Ю., Сопряженные тригонометрические ряды и функции ограниченной К-вариации. // Современные проблемы математики, механики, информатики. Тезисы докладов. Тула. 2005, с. 134.

36. Редкозубова Е.Ю., О сходимости двойного сопряженного ряда Фурье. // МГУ.- М.,- 19с.- Библиогр.: 7 назв.- Деп. в ВИНИТИ 02.12.05 № 1590-В2005.