Некоторые теоремы об усреднении для бесконечных дифференциальных уравнений тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

БЕЛОРУШШН ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УШТВЕРСИТЕТ

РГЗ ОД

' и;П

' ' и' . на правах рукописи,

УДК 517.911, 517.937, 517.968.74

ЛЦДУЛАЗИЗОВ АБДУЛХЛКНМ ХОШУРОДОВКЧ

НЕКОТСгИЕ ТЕОРЕМ 05 УСРЕДНЕНИИ ДЛЯ БЕСК0Н£ЧЮМЕР№1Х ДДОФЕГЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕШ

01.01.02 - дифференциальные уравнения

Автореферат на соискание ученой степени кандидата

4

физико-математических наук

МЖК - 1993

Работа выполнена в Белорусском государственном университете

Научный руководитель: доктор физико-математических наук,

. профессор ЗАБРЕИКО Петр Петрович Официальные оппоненты: доктор физико-математических наук,

профессор ЛНТОНЕВИЧ Анатолий Борисович доктор физико-математических наук, старший научный сотрудник, ЛАПТШСШ Валерий Николаевич Ведущая организация - Гродненский государственный университет

Защита состоится "^"О^т^р^ 1993 г. в 10 часов на заседании Специализированного Совета К 056.03.10 в Белорусском государственном университете (220080, г. Минск, пр. Ф. Скорины 4, ком. 206).

С диссертацией можно ознакомиться В библиотеке Белорусского государственного университета. •

Автореферат разослан " " ££^££^^1993 г.

Ученый секретарь

Специализированного Совета кандидат физико-математических наук

доцент . /г'Г/З?^ • ' в-и- КоР3»к

ОБЩАЯ ХАРАЭТЕРИСТШСА, РЛБОТ11-

Актуальность теш1. Настоящая работа посвящена методу среднення H.H. Боголюбова-Н.М. Крылова в приложениях к специ-льным классам систем дифференциальных уравнений с бесконеч-нм числом степеней свободы: бесконечны;,! системам дифференци-лышх уравнений и штегро-дифферешдаалышх уравнений Барбг:к-а.

Основные результаты теории усреднения H.H. Боголюбова-.М. Крылова, в первую очередь, классические теоремы H.H. "о-элюбова уже в пятидесятое годы были распространены на дкффе-знциальные уравнения в банаховых пространствах; этом ос-эвными иллюстрирующими примера?® были как раз бесконечные ютемы дифференциальных уравнений и интегро-диффзренциальные равнения Барбашина. Однако эти-иллюстрации носили случайный зрактер, и соответствующие результата для этих систем были злучены при значительных упрощающее предположениях, основной шел которых сводился к игнорированию специфических особенней' рассматриваемых классов уравнений. В силу этих обстоя-эльств до настоящего времени 'не существовало достаточно пол-)й теории как для бесконечных систем дифференциальных урав-;шй, так и ддя интегро-дифференциальных уравнений Барбашк-

5.

Сказанное приводят к необходимости проведения детального шлиза тех результатов, которые могут быть получены для беспечных систем дифференциальных уравнений и интегро-диффэрек-

- 3 -

циальных уравнений Барбашина классическими методами. При этом, как правило, оказывается, что прямое применение классических теорем приводит к жестким и неестественным ограничениям на определяющие правые части рассматриваемых, систем функции.

В литературе почти не предпринимались попытки систематического исследования бесконечных'систем дифференциальных уравнений и интегро-дифференциалышх уравнений Барбашина. Здесь тхно указать лишь монографию Е.Л. Барбашина "Введение 'в теорию устойчивости" и особенно монографию К.Г. Валеева, O.A. Жа-утыкова "Бесконечные система дифференциальных уравнений",в которой собраны практически все известные к настоящему времени результаты о бесконечных системах дифференциальных уравнений. Однако, как в этих монографиях, так и в нурнальной-литературе, методу усреднения H.H. Боголюбова - Н.М. Крылова практически ке уделено внимания.

Цель роботы.

1) Изложить теорию усреднения H.H. Боголюбова - Н.М. Крылова для бесконечных систем дифференциальных уравнений и интегро-дифференциальных уравнений Барбаплша.

2) Обобщить тебреш П. Боля об ограниченных решениях на всей оси для вышеуказанных бесконечномерных дифференциальных уравнений.

Ызтоджа исследования. В работе используются общие методы функционального анализа, теория обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховых пространствах (теоремы о разрешимости, о непрерывной зависимости от параметров и об экспоненциальной устойчивости).

Научная новизна. В работе получены аналога первой и вте-й основных теорем H.H. Боголюбова для бесконечномерных дкф-ренциальных уравнений; эти теоремы позволяют в частности енить (по крайней мере качественно) близость меаду решенкл-точного и усреднешюго уравнений; получено также обобщение вестной теоремы П. Боля об ограниченных решениях для рассма-иваемых классов уравнений.

На защиту выносятся следующие результаты

- Новый вариант первой основной теоремы H.H. Боголюбова i усреднении на конечном но сколь угодно большом промежутке >емени и его частные случаи для бесконечных систем дифферен-гальных уравнений и ингегро-дифференциальных уравнений Барщина.

(- Обобщение известной теоремы D.A. Митропольского о меде усреднения на полуоси об экспоненциально устойчивых ре-;ниях для общих дифференциальных уравнений в банаховых прост-шствах и его частные случаи для бесконечных систем дифферек-тальных уравнений и штегро-дифференцпальных уравнений Барба-ша. ,

- Новый вариант второй основной теоремы H.H. Боголюбова 3 усреднении на всей оси для бесконечных систем диффёренциа-ьных уравнений и штегро-дифференциалышх уравнений Барбапм-а.

- Новое обобщение классической теоремы П. Боля дли диф-еренциальных уравнений в банаховых пространствах и его частые случай для бесконечных систем дифференциальных уравнений

интегро-дифференциальных уравнешй Барбапзша. •

- 5 -

Теоретическая и практическая ценность результатов. Полученные результаты могут быть использованы в научно-иследова-тельскмх работах по дифференциальному уравнению, а также при чтении спецкурсов для студентов математических факультетов.

Аппробация раС&ы. Основные результаты диссертации обсуждались на научных семинарах кафедр математических методов теории управления Белорусского государственного университета и высшей математики Таджикского Государственного университета, На республиканской нэучнсЛ конференции "Дифференциальные уравнения и их приложения", Куляб 3-5 октября 1991 г., на 4 -конференция математиков Белоруса, Гродно, 29 сентября - 2 октября 1992 г., на конференция "Понтрягинские чтения - 4", Бороне» 3-8 м§я 1993 г.

Публикации. Основные результаты выполненных исследований представлены в работах [1-7].

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и бписка цитированной литературы, включающего 140 наименований. Объем работы составляет 146 страниц машинописного текста.

-

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ

Во введении изложены краткий исторический обзор литер:-.-уры по теме диссертации,-основные результаты и сведения по ппробации результатов работы.•

Первая глава посвящена нелокальным теоремам для задач:: ши на конечном промежутке. В первом параграфе прозедено збс-рактная теория о поведении при с О на конечном прсмежу?-:е [0,14 решений задачи Коши

(1)

х(0) = Х0; .'2}

¡десь f(t,x) - непрерывная по совокупности переменных функ-(ия определенная на ir^ х х (X - некоторое банахово прое-'ранЬтро) и принимащая значения в х, х - неизвестная фуя-;ция, определенная по крайней-мере на некотором промежутке О.Г(е)] и принимащая значения в х, хо - заданный эле-1ент из ж.

Как известна, предельная задача при е = 0 для задачи Соши П)-(2) является задача Кош

. ' • (3)

' х<0) = Х0; (4)

пде

т ■

Г(х) = Ilm -4- Г Г(t,x) dt. (5)

о

3 теореме 1 получены условии при которых решение задачи Коши П)-(2) при t -» 0 стремится к решению задачи Коши (3)-(4).' В теореме 2 доказана непрерывная зависимость от параме™-

- 7 -

pa решений задачи Коши

f(e.t,x), ' (6)

х(О) = Х0;. (7)

которое по стандартной схеме переходит В принцип усреднения, если применить к ее случаю, когда функция i(e,t,x) определена равенством

( Г( -*-,Х) при е * О Г(е.г.х) = I е (8)

[ Цх) при е = 0.

Полученный результат, является новым вариантом первой основной теоремы H.H.'Боголюбова, применимым и для бесконечномерных дифференциальных уравнений.

s 1.2 и s 1.3 этой главы посвешены соответственно задачам Коши для бесконечных систем обыкновенных дифференциальных уравнений du

-П- _

Ж- = Гп(е'и1* •••• V (п = 1'2' (9)

и интегро-дифференциальных уравнений Барбашина

= рфх.и(г.х), | к^д.у.щг.улау, (Ю)

о

где г с Е0.Т1. Для задачи Коши с такими уравнениями найдены условии, при которы:-: решения исходных задач Кожи при е -> О отремктся к решению соответствующих усредненых задач Коки.

Вторая глаза посвешено нелокальным теоремам для задачи Кош-на полуоси. В первой параграфе этой главы приведена абстрактная теория о разрешимости на полуоси (при малых е) задача Коши (1)-(2) (а также рассмотрены вопросы об экспоненциальной устойчивости таких решении). Основная теорема этого параграфа, полученная, по схеме Л.В. Канторовича при помощи тео-

ремы о неявной функции П.П.Забрейко - Ю.С.Колесова - М.А.Красносельского, по существу является обобщением известной теоремы Ю.А. Митропольского ("Укр. мат. ж.", 1959 г. 11, N 4, с.' 366-379.)

Применение именно этой теоремы на полуойи для бесконечномерных дифференциальных уравнений (9) и (10) посвящены соответственно второй и третий параграф этой главы. Приведем, например, результат, полученный для бесконечных систем дифференциальных уравнений (9) в случае X = -I (1 < р < «>)'.

Teopsua 1. Пусть х = г , 1 < р < », и юхдая'из функции î (t,u ,...,и ,...) (п=1,2,...) илеет представление

îjt,ulf...,uk,...) = I (t) + | an (t)u .+

k«l

+ vijt,^,.,.,^,...) (n = 1,2,...),

причел выполнятся следущие условия:

a). Функции f (t) (n = 1,2,...) ограничены и непрерывны тю t, илеш равномерные на R^ нулевые средние:

t + T

Ilm ' sup Г Г (t) dri = О т n t g !R4 1 J n

и удовлетворят условиял

lim sup £ |Г (t)|p = 0 (t e'R()

H w t 6 R ' n = N*l ' n *

b). Функции a (t) (n, k = 1,2,...) ограничены, непрерывны no t и, более того, справедливо соотношение

Ilm nA(ç) - Л(t)и„ . » = 0.

e - t ~lVV

где A(t) линейный оператор с хатрицей a (t) • (n, k = 1,2,...); кроле того, для некоторых постоянных a 'k (n, k =

1,2,...) выполнятся равенства

-О -

t»T

Ilm sup H m f A(t) dt - Alla/J, J,\ = 0,

т -> <o t e L J ^V V

s где A - линейный оператор с жиприцей ank (п, к = 1,2,...).

c)..Фунщии ^„(t.Uj.....= 1.2,...) удовлетворяют условию wn(t,0,...,0,...) =-0, ограничены и непрерывны no t и

i »

lim sup * Е 1W (t.u......u',...))!p = 0 (ue£);

H'-t oo t 6 R n-H + l .n 1 . " ■ p

кроле того, они »-непрерывны и для лжрично-эначной функция g(t,u) с'колпонешши Anlcw(t,ul(...,uk,...) (n, к = 1,2, ...) удовлетворяет условиях

Ilm вир sup iig(t,u)iu/» «ч=0.

г ■* О t € lukl¿r' VV

d). Спектр оператора А, порожденного латрицей (апк) (п, к = 1,2,...) лежит в левой полуплоско ст. ,

Тогда существуют. 6, г > 0, что при |е| s $ задача Komi ( 1)-(2) с уравнешел (9) имеет единственное лежащее в шре nu» s г при всех t € R+ экспоненциальна устойчивое решение uE(t), ' Прицел i»u£(t)nc ■» 0 при е ■* 0.

Наибольшие сложности при проверке условий" этой теоремы вызывает условие с) - .точное вычисление норм линейных операторов в Пространствах t , 1 < р < «о, является одной из труднейших задач анализа. Обычно здесь приходится пользоваться различными оценками сверху для норйы. Например, классичес-■ кая теорема Гильберта-Шмидта приводит к простому достаточному условию •

, со

Ilm $ир sup £ |А w(t,ù ,...,и ,...)Ia = 0;

Г о" t е R- lu, |sr , . . 1 "

* . k n,k»l

аналогичные достаточные условия могут формулироваться на основе других достаточных признаков действия матричных операторов

- ю -

пространствах I , 1 < р < <».

Третья глава посвешено нелокальным теоремам об усреднением на всей оси. В первом параграфе рассматривается задача об ограниченных на'всей оси решения для обыкновенного дифференциального уравнения

-Й-=

и приводятся условия их экспоненциальной устойчивости; здесь х неизвестная функция, определенная на R = (-«,«>) и принимающая значения в некотором банаховом пространстве я, f(t,x): R х ж -* ж - заданная функция, ограниченная п непрерывная по совокупности переменны^. Кроме этого, для уравнения

dt" = r(t'.2) (12) обобщается классическая теорема П. Боля об ограниченных решениях на всей оси, в которой вместо равномерной малости коэффициента Лшшзща нелинейного возмущения предполагается его жалость в среднем. ,

Приложениям абстрактных теорем H.H. Боголюбова и П. Боля' для бесконечных систем дифференциальных уравнений (9) п пнте-гро-дифференциальных уравнений Барбашша (10) посвяиены соот- ' ветственно § 3.2 и s 3.3. , Приведем пример теоремы об обобщении теоремы H.H. Боголюбова для уравнения (10).

Teopsua 2. Пусть ж = в. , v = . 1 s р s q < и функции F(t,x,u,v) и K(t,x,y,u) допускают, представление ■ ■

F(t,x,u,v) = F(t,x) + G(t,x)u + H(t,x)v + W(t,x,v), K(t,x,y,u) = K(t,x,y) + b(t,x,y)u + Z(t,x,y,u),

птчр.и. . W (t, x, 0) = Z(t,x,y,0) = 0 и выполнены следующие условия:

а). Фунщия

т.х) = т.х) + на.х) | т.х.у) су

о

непрериЗна по I почти при всех х е о, илеет нулевое среднее почт при всех, х е о

ш зир иг1 Г [р(г.х) Г т.х.у) ау] «1 = о

Т <0 I € К ■ * - {

\ t Я .

I , ...

и удовлетворяет уславши:

Ига sup Г iF(t.x) + H(t,x) Г K(t.x.y) dyip dx = 0.'

raeé d о t e R . i i

D .. 0

b). Функция G(t,x) ограничена и непрерывна по t раб-нолерно относительно- х е Q и илеет равномерное по х е о

. рабкаееркое на всей оси R среднее G0(x):

t+T

llm sup ess sup IT"1 Г G(t,x) dr - G ('x)i = 0; т ? « . t e R к € 0 J

'1 . , функция H(t,x)b(t,x,y) npti тгдол t e R. определяет линейный интегральный оператор в пространстве Lp, причел соответ-сювуйиря оператор-фунщия ограничена, непрерывна-и илеет равномерное на r среднее А(х,у) ;

sup uA(t)u£(L L j <

t € К p p

Ни I1A(Ç) - A(t)llg(. L ) = 0 (t е R), { -» t p' p , t*T

Un sup ess sup IT"1 Г H(t,x)L(t,x,y) йг - А(х,у)| = 0;

где A(t) (t с R) и A - линейные интегральные операторы с ядрами H(t,x)l(t,x,y) и А(х,у) соответственно.

c). Функция ïï(t.x.v) непрерыбна no t почти при всех х е Q и всех V € и удовлетворяет неравенству .

iWilr.x.v^ - W(t,x,v3)l s (a(t.x) t Ьг,/р)|7, - 7al •

(IV, I, 17 I fi г, г e R ).

■ \ 2 +

jOe a(t,x) функция, для которой

зир Г ia(t,x) I4 dx < oo;

Функция H(t,x)Z(t,x,y,u) - неравенству

IH(t,x)Z(t.x.y.Uj) - H(t,x)Z(t,x,y,ua)l s

( E Rj(t,X.y)r JJ |Ut - Ua! (IUJ, |Ual S Г, reR+),

j-i .

где 0 < 9, < ... , в s p, R.(t,x,y) (J = 1,..., n) ядра

l n x J

линейных интегральных операторов R (t) (J=1,...,n) действующих из Lp/(1+0 ^ t б Lp, причел

SUp llR (t)«,,/. •. • . , < со. t € R J р/(1.в >'.p'

u, наконец, функция K(t,x,y,u) - неравенству iKft.X.y.Uj) - K(t,X,y.Ua)l s

< [ E K^t.x.yjr JjlUj - Ual (|U1 I, |Ual * Г, Г e RJ,

jnl

где 0 < о < ... , о s p, K,(t,x.y) (3 = t,.... n) ядра.

1 n A J •

линейных интегральных операгюрсв K^(t) (J = 1,..., n) Ссй-сядухщх из 9 Lq« причел

SUp llK((t)llur!| '. , ч < со.

t e R 1 ~(LP/n*e i'L,>' • '

Пусть, наконец, спектр оператора

Au(x) = Go(x)u(x) + J Д(х.у)и(у) dy о

не пересекается с лншой осью 1R.

Тогда сществут 8, г > 0, что при lei s 5 уравнение - 13 -

(11) илеет единственное леххщее в паре нии £ г при всех 1; е К решеение ис(1;), причел ни (1;)|1с 0 при е 0. Это реазние эмпокещиалыю устойчиво, если спектр оператора А летт в левой полуплосност.

Наибольшие слозшостп при проверке условий этой теоремы вызывают условия, связанные с вычислением норм линейных операторов, действующа из пространства 1 £ р < «. в пространство I , р 5 q < о, что является одной из труднейших задач анализа. Обычно здесь приходится использовать различные теоремы об оценках сверху для норш этих операторов, такие как классическая теорема Гильберта-Нкидта, теоремы Хилле-Та-. Маркина,- Канторовича и др. ..

Основные результаты диссертации отражены в следующих публикациях: .

1. Абдулазизов А.Х. Об устойчивости свойства регулярности для линейных штегро-дифференциальных уравнений Барбашина. Тезисы дом. рзспубл. научной конф. "Дифференциальные уравнения и их приложения.", .Куляб, 3-5 октября .1991 г., с. 7-8.

2. Абдулазизов А.Х. Ограниченные на оси решения линейных штегро-да®ерэнцпальных уравнений Барбашина. Вестник БГУ. МИНСК 1992 Г. 15'С. Деп. в ВИНИТИ 07.04.92. В 1167-В92.

3. Абдулазизов А.Х. Принцип усреднения и задача Кош на по луоск для обыкновенных дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. Тезисы докл. 4 - конференция математиков Бе-лору си. ч. 2. Гродно 29 сентября - 2 октября 1992 г. с. 75.

' 4* -Абдулазизов А.Х., Забрейко П.П. Принцип усреднения

для задачи Йоши на полуоси для обыкновенных дифференциальных

уравнений. Тезисы дои. конф. "Нелинейные проблемы дифферен-

- 14 -