Некоторые вопросы анизотропной пластичности тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.04 ВАК РФ

; ! ^ МИНИСТЕРСТВО ВЫСШЕГО И СРЕДНЕГО'.

СПЕЦИАЛЬНОГО ОБРАЗОВАНИЯ 1 'Л ЙНГ ЪаЗ -------РЕСПУБЛИКИ УЗБЕКИСТАН

ташкентский государственный ун иверситет

На драпах рукописи УДК 539.3

ХАЛДЖМГИТОВ АБДУВАЛИ АБДИСАМАДОВИЧ

некоторые вопросы анизотропной

ПЛАСТИЧНОСТИ

01.02.04 — Механика деформируемою гве^дог*» т«ла

авторе фе р ат

диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

Ташкент — 1995

Работа аерсктете.

Бкло.лкена х Ташкентском государственном уна-

Официальные оппоненты: ^

д. ф.-м.н., профессор Бабамуратов К- Ш., . д. ф.-м. н„ профессор Кукуджанов В. Н., ; 5

д. ф.-м. и., профессор Артиков Т. У.

Ведущая организация: Институт механики МГУ.

Защита состоится ¿К-ТЯ 1995 г а / ча_

сое на заседании специализированного совета К.067.02.26 в Ташкентском государственном университете по адресу: 700095, Ташкент, Вузгородок, ТашГУ, .механико-математический факультет, ауд. 205 А.

С диссертацией можно ознакомиться .в научной библиотеке Ташкентского государственного университета.

Автореферат разослан « ^ » ог^Р^^Ч

1995 г.

Ученый секретарь специализированного совета д. ф.-м. 11., проф.

X, А. МУЗАФФАРОВ

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ. ~~

Актуальность.тамц. С развитием науки и техники все большее применение получаст композиционные материалы, имевшие ярко выраженные анизотропные свойства, которыми нельзя пренебрегать при расчете конструкции. В инженерной практике часто требуется определить напряженно-деформированное состояние пространственных упругих или упруго-пластических тел с учетом анизотропии (исходной или деформационной). Поэтому задача построения определявших соотношений адекватно описывавших процесс упруго-пластического деформирования в анизотропных материалах становится актуальной.

Необходимо отметить, что все известные теории пластичности (для изотропных и анизотропных сред) в основном сформулированы для упрочнявшихся и идеально пластических материалов. Но, как показывают экспериментальные исследования некоторые материалы (горные породы, бетон, грунт, волокнистые композиты и др.) проявляет свойство разупрочнения выражавшееся' в ниспадавшей ветви диаграммы деформирования, которое играет важнув роль при надежной опенке запасов прочности конструкция и деталей машин.

Ц§льв_ДИ£5§В15Шют2В_Е§боты являвтея построение определявшего соотношения теории пластического течения для анизотропных сред позволявшее описать не только упрочнявшиеся, но и раз упрочнявшиеся (с диаграммой деформирования с нисходящей ветвьо) материалы , его экспериментальное и теоретическое обоснование, а также численное решение упруго-пластических задач на основе предлагаемых и других известных теории.

На^чцаз^новцз'на полученных в работе результатов состоит ь следующем:

- предложено определявшее соотношение теории течения для трансверсально изотропных сред, справедливое не только при упрочнении и идеальной пластичности, но и при разупрочнении,

- на основе обработки имевшихся экспериментальных данных об упруго-пластическом деформировании однонаправленных волокнистых композитов, дано обоснование применимое! и теории течения (ТТ) и деформационной теории (ЯТ) трансверсально

изотропных сред к описании этих тел, - решены пространственные и плоские численные примеры о равновесии упруго-пластического параллелепипеда и прямоугольника при различных статических и кинематических краевых условиях с учетом разгрузки и разупрочнения. При этом использованы ЛТ и ТТ теории трансверсально изотропных и изотропных сред, и различные модификации метола упругих решении. Построены траектории деформации и напряжения, и проанализировано влияние анизотропии на характер распределения напряжении.

Во£1°5§БИ2£1ь_полученных_веэультатов обеспечивается на основе доказательства теоремы о существовании и единственности обобщенного решения упруго-пластических задач, сравнением результатов краевых задач основанных на ДТ и ТТ теории и экспериментов, а также применением современных эффективных численных методов решении.

П9Вктическая_ценность_работы. Рассмотренные в диссертаии-оннои работе определявшие соотношения теории течения и деформационной теории трансверсально изотропных сред, и разработанные численные методы решения могут быть использованы в расчете конструкция из анизотропных материалов , а также при расчете изделия из некоюрых волокнистых и слоистых композитов.

Аппвобаиия_Бабохы . Основные положения и результаты диссертационной работы докладивались на международной конференции "Актуальные проблемы фундаментальных наук"(Москва, 1991). на международной конференции "Механика неклассических матери^-алов - К0МП03ИТЫ-94" (Москва, 1994), на всесоюзной конференции "Математическое моделирование технологического процесса обработки металлов давлением" (Пермь. 1990), на семенаре школы молодых ученых " Численные методы механики сплошной.среды" (Красноярск, 1987,1989), на научной конференции "Механика и ее применение" (ТашГУ, 1993), , на научно-технической конференции "Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности" (Волгоград. 1990), на международной конференции "Математическое моделирование и вычислительный эксперимент (Ташкент. 1994). на научной конференции "Современные проблемы алгоритмизации" (Ташкент, 1991), на международном симпозиуме по пластичности (Int. Symp. on plasticity, 1993,

BelJing,China), регулярно на семинаре кафедры "Механика композитов" МЕХ. -КАТа МГУ , на объединенном семинаре кафедр "Механика сплошной среды" и "Вычислительная математика" ТашГУ, на объединенном семинаре отдела "Сеясмодинамика" института механики и сейсмостойкости сооружений (ИМ и СО АН РУз, на семинаре под руководством проф. Mapданова Б.М. (ТТИЛП), на объединенном семинаре лаборатории "Моделирование сложного нагруже-нил" и "Динамика сооружения и грунтов" ИМ и СС АН РУз. на научном семинаре под руководством проф.Курнанбаева Б.КЛТааГУ). а также на семинаре под руководством проф. Бадалова Ф. Б (ТГТУ).

Публикации^ По исследуемоп тематике опубликованы 22 научной работы (в том числе одна монография).

0бъем_и_ствук1ув§_В§б91Н- Диссертационная работа состоит из введения, пяти глав, списка использованнои литературы, заключения и приложения, и содержит 201 страницу машинописного текста вклсчасшего в себя 38 рисунков и 32 таблицы.

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении дан обзор литературы по теории пластичности анизотропных сред и методам решений упруго-пластических задач для различных моделей деформируемого твердого тела, а также дано краткое содержание диссертации.

В первой главе рассмотрены два типа теория пластичности для трансверсально изотропных сред: деформаш.онная теория (ДТ) и теория течения (ТТ ) в классической форме.

Приведены основные соотношения теории малых упруго-пластических деформации трансверсально изотропного тела (ЛТ-теория) предложенной Б. Е.Побеярея

ТРЧ т Т'гЧ •»

где инварианты тензора напряжения

' С fi2'А- Ф Ф ûl- ' Q О

связаны с инвариантами тензора деформация

£.И. Р%-РГ ЯЧ\}%1 (3)

соотношениями

*«,/>, «у.

Считается, что ось совпадает с осьв трансверсальнои изотропии. В (1). Щ- и (p¿. и имеет аналогичный вид) -тензоры построенные на основе тензора напряхения (деформация)

Применение теории малых упруго-пластических деформация прадпологает некоторые упрощения соотношении (4):

& + ^¿эъ

V & ■*• ^э £зз (6)

, а-а(я)

когорда означают, что при простом растяхенип(сжатии) композита в направлении оси трансверсплыюл изотропии и перпешшку ** рно к неп пластических леформамин не возникает.

Последние два выряэгжшт удобно предстаешь в следующем вняе

и г 2. \9 (1-х) Ч,

где £ , Х- - экспериментальна определяемые функмии, аналогично функции пластичности Ильюшина - и) , , Хч • У5 • X? , \д - упругие модули трансверсально изотропного тела.

В § 1.2 на основе имеющихся экспериментов определены материальные функции теории малых упруго-пластических деформация ■ трансверсально изотропного тела в случае "упрошенной" теории. Проверяится принятые упрошавшие предположения.Построены кривые напряжение-деформация и сравнены с соответствующими экспериментальными кривыми, полученными при растяженииСсжатии) плоского образца вырезанного из однонаправленного волокнистого композита под различными углами относительно направления волокон(рис.3).

В §1.3 теория пластического течения анизотропных сред построенная Б.Е. Победрея, выписана в разреиеннои относительно приращения тензора напряжения форме с учетом упрочнения. Такая форма записи определявших соотношении теории течения удобно при Формулировке упруго-пластических задач, а также при ее численном решении.

В £1.4 предпологая существование двух поверхностен нагру-хения типа Мизеса, связанных с квадратичными инвариантами тензора напряжения относительно группы вращения вокруг оси Х3 , выписано определявшее соотношение теории течения трансверсально изотропных сред (ТТ^ - теория):

где

(В)

(9)

2Ц» ри

1 ^ Ч (10)

пр" /е=0 «

2М4¿j при ;%=±Q..air кгахо

(ш

-параметры процесса упруго-пластического деформирования;

Рассмотренные ДТ и TT -теории, как и все известные (изотропные) теории пластичности, в основном справедливы при упрочнении и идеальной пластичности. Но, как показывают экспериментальные (Лебедев А. А. .Чаусов Н. П, Красинскии Н.П, Шевченко В. И, Shah S.Р., Read H.Е.,Hegemler G.F. и др) и теоретико-численные (Клюшников В.Д, Ибрагимов В.А, Волков С.Д, Шемякин Е.И, Реву-женко А. Ф, Стружанов В. В, Naohdl P. M, Trapp J. A, Casey J. и др.) исследования, что для некоторых материалов, как бетон,грунт, горных пород, волокнистых композитов и некоторых вязких металлов диаграмма деформирования имеет ниспадающий участок. Отмечается, что ниспадаюшип участок диаграммы (состояние раз-упрочнення) можно получить на механических разрывных машинах Гюльшоп жесткости. При этом необходимо осуществлять контроль за лрирниением деформации ограничивая таким образом, нагрузку воспринимаемую образном. Равенство приращения деформаций на соотв.-тпвусщих ступенях нагружения обеспечивает получения разнонгсноп диаграммы сформирования. С феноменологической то чки ?ргния , состоят!:? разупрочнения может быть описано рас-

смотрением поверхности нагружения - в пространстве деформаций. В первые поверхность нагружения была рассмотрена в простанстве деформации в работах А. А. Ильвшина в связи с постулатом пластичности и свое развитие нашло в работах В. Д.Клвшникова и В.А.Ибрагимова и других. Далее, аналогичные задачи были рассмотрены в работах Р.М Naghdl, Р.Trapp, J.Casey, B.Iwan и др.

В первом параграфе второй главы выписано определявшее соотношение типа теории течения для изотропных сред, которое в отличие от известных теории течения позволяет описать состояние разупрочнения материалов(ниспадавший участок диаграммы деформирования). Основу которого составляет постулат пластичности Ильюшина о положительности работы пластических деформация в замкнутом цикле по деформациям. При этом поверхность нагружения рассматривается в пространстве деформаций и важную роль играет величина ci6¡j - прирашение релаксации тензора напряжения. Её значимость удобно представить с помошью следующего соотношения и рис. 1

Для определения dfyj обратимся к постулатам пластичности А. А. Ильюшина и Д.Друккера;

Работе пластических деформаций по постулату Лруккера соот -ветствует плошадь криволинейного треугольника ABC (рис.1)

Р 2 (13)

а, по постулату пластичности Ильюшина плошадь треугольника АВЛ

К =4 ide'd£p= ¡¿¿ мр>0 (И)

Из последнего соотношения, в обшем случае не трудно найти следувшии закон текучести

р г- hF

А —- п5)

éj

г- 10 -

Рис Л

Fue.Я .

где с/А - дифференциальный параметр. поверхность наг-

рухения в пространстве деформация: О) - характеризует процесс пластического деформирования, аналогично известному параметру работы пластических деформации, и имеет вид

.Р

(1В)

и представлет работу по постулату пластичности А. А. Ильсшина. Подставляя (15) в (12), и при этом имея в виду соотношение

где

V

V

(1?)

(18)

получим определявшее соотношение теории течения с поверхность!) нагрухения в пространстве деформация (ТТ£- теория)

где

(19)

& -

Си

при

Р <0

Н и.. Н

г е.

кв.

(20)

при

Р--0 и

Ц е

Заметим, что упруго-пластическая матрица и усло-

вия текучести зависят от тензора деформация,; чта удобно при численном решении упруго-пластических задач э перемещениях.

Лля сравнения, также приведена определявшее соотношение обычноя теории течения, разрешенное относительно приращения

тензора напряжения (ТТ^- теория), которое имеет такуо же форму, как ТТ4-теория, но с другой упруго-пластическоя матрицей:

..I

С;

при

г?

с ^ С г.

(21)

при

Ас

где 0 - поверхность нагружения в пространстве напря-

жения, >с - параметр упрочнения;. & - экспериментально определяемая функция.Необходимо отметить, что при ТТу- теории матрица - Пущ , в отличие от матрицы ^¿¿ке. ТТ£-теории зависит от напряжения. > '

Заметим, что условия текучести и нагружения ТТ£ -теории

Р= О

Упг —с1Е:; >О

(22)

в отличие от аналогичных условия

¡-О

ТТ,

теории

(23)

позволяет однозначно описать и состояния разупрочнения т.е. падасщип участок диаграммы. Деяствительно по рис.2 не трудно убедиться в том, что при условии (22) каждому значений деформация ( А*. В', С1) соответствуют однозначные напряжения (А* в" с").

Для подробного сравнения определявших соотношения ТТ^ и Т1У теория рассмотрим конкретные формы поверхностей нагружения в пространстве деформация и напряжения:

и

и

- 13- о

/-4 КСЪ-О, {23)

гле б у и 5;< - левиаторы тензора леформаиия н напряжения. Если ^

^•к^Ь^кс + (26)

то определявшие соотношения ТТ£- теории принимают вид где

. (28)

•> У V (29)

при Р = С И __ ^ О

7

В случае ТТ^- теории вместо последнего соотношения имеем следующее

(30)

ъ/

при Аг? и

Пу У

В соотношениях (29) и (30) функции Пий имеют вид

г <

Заметим, что материальная функция ТТ£ - теории в отличие от КО«) ТТ^-теории сохраняет свою монотонность вдоль всея диаграммы деформирования включая й падающую ветвь.

В случае кусочно-линейного упрочнения функции ■ (и и Н имеют вид

. н

(34)

^Л/и'б^ ' <?« (33)

где -касательный модуль. Тогда соотношения (29) и (30) принимают вид

при ^е^-Й^о и Ще1£..->о при и

На основе сравнения определяющих соотношении ТТ£ и ТГГтеорий можно о.тметить следующие преимущества ТТ£ - теории:

- ТТЬ - теория применима не только для упрочняющихся, но и для разупрочняюшихся материалов,

- определяющее соотношение ТТ4 - теории выписывается в удобной к использованию форме и нет необходимости в предварительном разрешении их относительно приращения тензора напряжений, как этого следует делать в случае ТТ^ - теории,

(35)

- правая часть определяющего соотношения ТТЬ - теории в отличие от ТТу- теории зависит только от тензора деформации и его приращения,что гораздо облегчает численную реализацию упруго-пластических задач, избегая вычисления напряжения. В 5 2.2, аналогично предыдущему параграфу выписано определяющее соотношение типа теории течения для трансверсально изотропных сред, позволяющее описать не только упрочняющиеся, но и разупрочняюшиеся материалы (ТТЬ-теория):

где

= у- А'з^зз

(36)

(37)

Ч

пРи Ррг 1 /з..- Яр(со()<о

при 1-р-0

V

(38)

при

при ^ - 0 и

(39)

В последних соотношениях: , - поверхности нагружения в пространстЕкз деформация; ^р , параметры характеризующие процесс пластического деформирования; Яъ , Н^ -экспериментально определяемые функции.

Сравнивая определяющие соотношения ТТг (36-3!)) и ТТ«. (8-11)

теории заметим, что они отличаются по последними двумя выражениями для Ы. и ¿(Ну тензоров и условиями текучести.

В . £ 2.3 на основе имевшихся в литературе экспериментов по растяжению плоского образца, вырезанного из однонаправленного волокнистого композита под различными углами относительно направления волокон, показана справедливость теории течения трансверсально изотропных сред (ТТ^ - теории): проведено сравнение экспериментальных и теоретических кривых.

При построении теоретических кривых наряду с системой координат связанной с волокном, введем повернутую относительно оси Х2 систему (рис.3). Тогда формула преобразования компонент

тензора напряжении имеет вид

= (40)

где

</;. Т.

ч

СО 5 и 0 • - Шо(

0 1 0

5111 о( 0 Шо(

(41)

Заметим, что по' условию эксперимента только £ <? т.е. образец растягивается по оси Х3 в системе координат .

С помощью по определяющему сотношению ТТ£ - теории

находим ДЕц в системе координат а^ . Далее применяя формулу преобразования компонент тензора деформации

■

Ц (42)

Л £и =о(1к<^е Д£ке_

находим деформации в системе координат

Таким образом, задавая и углы ¿ = 15", (0'\

по изложенной методике можно построить необходимые теоретические диаграммы для сравнения с экспериментальными.

В 5 2.4 показано, чго основные положения обшеп теории пластичности А. А. Ильюшшп остагпся справедливыми и для первона-чг.льн» ! рпнссерсплыг.! изотропных сред.

Рис.3 Сравнение экслериментшшшх С —) л теоретических кривых по ДТ (•) и ТТ (*) теориям.

Следующее соотношение является аналогом известного разложения тензора деформация (напряжении) на шаровые и девиаторные части:

0 (й. А. л >, \ ^ е .. ь.. ъ,. -» Р.. ..

(43)

% = У^и 5» ^ £зз ^ - РС) * Ц

где 9 . £3} и Р^^. , - играют соответственно роль паровых и девиаторных частей тензора деформации в случае трансвер-сальноя изотропии. Заметим, что тензоры р^ и Ъц имеют по две независимые компоненты, и если ввести следующие обозначения для тензора деформация (аналогично и для тензора напр-жения)

связь между вектором напряжений & ( $ ) и деформации

р ( ), на основе постулата изотропии можно записать в следующем виде

Да'р4~

Третья глава посвящена построению дискретного аналога краевых задач теории малых упруго-пластических деформация трансвер-сально изотропного тела и методам решения полученных разностных уравнений.

Сеточный аналог краевой задачи составлен вариационно-разностным метолом для трансверсально изотропного тела в форме параллелепипеда и записан п виде

-------;--------------------------------- 15 • .

где Р -нелинейный разностный оператор, - узловые

•9

перемещения, Р - входные данные.

Для решения сеточных уравнении применяются различные модификации метода упругих решении в сочетании с методом переменных направления с чебышевским набором параметров.Одна из которых состоит в применении влохенных двух итерационных процессов: на каждом шагу внешней схемы

^.я-ч -■> п. . И - 1С

(47)

решается задача анизотропной теории упругости

где

■»А - /г

Л ^ У ^ гь

¿а V =0

£в„ (Ри + р)

(48)

(49)

с помошыо следующего внутреннего итерационного процесса

Л ' "*, к

0/- - V- , к п.

5 .1- + ¿1/- + Ф = о

Г (50)

где ^ - факторизованный, полохительно определенный оператор позволявший на кахдом шагу итерационного процесса (50) применения метола прогонки по соответствующим направлениям.

Наилучшая скорость сходимости итерационного процесса (47-50) достигается при следующем выборе параметров чебытева:

"" 2!\ Г,* " (л ' * ^ (5п

где ^г находятся из условия энергетической эквивалентности операторов;

М'&Л) ¿(т}ъ.)<с-1и;и.) (52)

где Р'ф) - производная Фреше оператора Р .

Заметим, что упомянутый ДВХ метод при ¿ равносилен известному методу упругих решении.

Можно ограничиться с одним итерационным процессом (одноступенчатым)

-»и«* п,

О ——- + Ри- -с Р - 0 -

Ьи» (53)

тогда параметры , аналогично (52), находятся из условия

энергетической эквивалентности операторов В и Р .

Четвертая глава посвящена краевым задачам теории пласти-. ческого течения с поверхность!) нагрухении в пространстве напряжении и деформации, и их методам решении.

Краевая задача основанная на теории течения -задача)

состоит в следующем:

1 . (54)

^кс&к*. (55)

^¿¡Ыгг^ " (58)

В уравнениях (54-58) определявшее соотношение (55) записано в единой форме для теории течения с поверхностью нагрухении в пространстве напряжения (ТТ^-теория) и деформация (ТТ£- теория) и отличаются выражениями для упруго- пластической матрицы:

- 21-

) '^¿¿ке ~ при тт«'" те°Рин ^ " при ТТе" те°Рии

где

Т>/ „ ~Ь/ (53)

при с и > С

"В®*«.

Ц К £ ПРИ Р (¿¿^ю) <0 /> 0 ЭР ЙР (ВО)

э ^

при /-= О и — ^ О

Заметим, что матрица, Д^е в отличие от зависит

только от лоформаиии.

Задачу (54-58), не нарушая общность можно свести к вилу

(6?)

При деленном решении упруго-пллстическоп задачи'(Б 1-63) удобно использовать матрицу - т.е. ТТ£- теорию, так

как в этом случае она зависит от тензора деформация, и нет необходимости.в вычислении напряжения , как этого требует применение ТТ(- теории.

Умножая уравнение (61) на и проинтегрируя

ь ' <2

по области У можно наити, что

(64) . (65)

гле

V

(66)

В литературе известна теорема о существовании и единственности обобщенного решения упруго-пластической задачи (61-63) основанной на ТТ^- теории изотропных сред.

Эта теорема пересформулирована и доказана в случае теории течения с поверхностью нагружений в пространстве деформаций (ТТ4- теория) и гласит следующим образом:

Теорема. Пусть функция нагружения Е(Еш)*0 непрерывно дифференцируемая и однородная функция степени И ( М ^ < ) в пространстве деформации.Тогда для любого е ^ существует единственное обобщенное решение удовлетворяющее уравнение (64) для упрочняющихся материалов.

Доказательство теоремы сводится к проверке условии известной теоремы Лакса-Мильграма: билинейность формы а(иар-) ограниченности линейного функционала Ае(0~) и положительной определенности матрицы £

Численное решение упруго-пластических задач основанных на теории течения предпологает задание внешней нагрузки в приращениях и определение соответствующих приращений перемещений. При этом обычно рассматривают следующий итерационный процесс (О.Зенкевич и В.Навак)

~ -»я-/ "-» f 5 Pàtl + à F

невязка уравнения равновесия; L - линейный оператор теории упругости. -»л.

Для определения приращения перемещений àU составляем следующий внутренний итерационный процесс

■ V- - V- ^ ■ н. к б-—р-—+LV--Vс69)

где dU , В - легко обратимый факторизованнып

оператор.

Как отмечано, в литературе декомпозиция расчетной области и раздельный счет в зонах развитой и неразвитой пластичности в рамках общего итерационного процесса позволяет произвести расчеты и при малых упрочнениях. Аналогичная ситуация имеет

место и в случае итерационного процесса (67-69): правая часть последнего итерационного процесса фактически связано с нелинейной частью уравнения равновесия. В работе также затронут вопрос устойчивости состояния разупрочнении, и отмечано, что алгоритм использованный при расчетах с учетом разупрочнения, аналогичен вышеупомянутому методу декомпозиции областей.

В пятой главе и приложении приведены численные примеры решения пространственных«(трансверсально изотропных, изотропных ) и плоских задач о равновесии параллелепипеда и прямоугольника (в случае плоской деформации) при различных статических и кине-матичских краевых задач с учетом разупрочнения и разгрузки. Построены траектории деформации и напряжений. Проанализировано вли -яние анизотропии на характер распределения напряжении.

Остановимся на некоторых из них: Решена -v лпча о равновесии упруго-пластического трансверсально изотропного параллелепипеда равномерно распределенноикпо граням перпендикулярным оси Xj нагрузкой :при чем для описания этого процесса были сформулированы две краевые задачи, первая по деформационной теории (ЛТ), а другая по теории течения(ТТ) транс-

версальио изотропных сред.

В таблице 1 проведено сравнение результатов этих задач по методу упругих решении (MVP), двухступенчатому методу (ДВХ) и одноступенчатому итерационным методам. В таблице также для сравнения приведено точное решение краевой задачи основанной на ДТ - теории трансверсально изотропных сред.

При этом исходные данные имели следующие значениям -

/•5.68 0.21 0.19 0.21 5.68 0.19 0.19 0.19 5.35

v

2.39

2.39

2.735/

р '0.1 . ^ =0.1 , ^-1.6 , \=0.7 Итерации прекратились как только выполнялось условие

■Л

II йг - оЧ

* Il^-Ull

i o.s w

и

Таблица 1.

0.0 0.125

0.250 0.250

ДВХАТ Одност.

Точное иуртт.

0. 096 0.072 0.048 0.024

0. 095 0.071 0.047 0.024

0. 098 0.073 0.049 .0.024

0. 093 0.069 0.046 0.023

-------------- ------- -25- С. Таблица 2.

! и — — V С Ас 2//

/5 5, 1 ! -0.125 0. 250 -0.750 0.375 0.377 0.994

1 | -0.167 | -0.220 : -0.254 0. 0. 0. 333 395 467 -0.889 -0.328 -1.050 0.400 0.421 0.445 0.503 . 0.618 . 0.724 0. 199 0.205. 0.197

Таблица 2 отрахает численные результаты задачи о равновесии упруго-пластичекого прямоугольника (в случае плоской деформации) под действием равномерно распределенной, по боковым сторонам нагрузкой. Для простоты внешняя нагрузка задавалась в двух приращениях, соответственно равным йв, «0.75 и А52 =0.25. На первом приращении решается упругая задача. Как. видно из таблицы 2 для достижения значения заданной нагрузки обратного знака =-1.05 потребовалось, на втором прираще-

нии, трехкратное решение линейной задачи с перемени- я правой частый при этом /«=0.5, Л=1, ¿£=0.377 , А'«0.1

Решена задача о равновесии упруго-пластического трансвер-сально изотропного параллелепипеда под действием куполообразной нагрузки. Проведено сравнение результатов краевых задач, сформулированных по ДТ и ТТ теориям. Построены и сравнены

траектории деформация и напряжении. Из которых следует, что при

*

простом нагружении эти траектории практически прямолинейные и совпадает по обоим теориям.Исследовано изменение интенсивности тензора напряженки (обобщенных)-по перпендикулярным сечениям параллелепипеда, и показано влияние анизотропии на характер распределения напряжений. Аналогичная задача также решена в случае плоской деформации прямоугольника и показано развитие зон пластичности.

Реиктч задача о сжатии упруго-пластического трансверсально изотропного параллелепипеда между жесткими плитами беспроскаль-эьшания: нижняя плита неподвижная, а верхняя перемешается в заданном направлении сжимая параллелепипед:

/й.~0 при

и°. и^и^о при *

Боковая поверхность свободна от нагрузок. С учетом симметрии, задача решалась в 1'4 части параллелепипеда. При этом Ы^-Э, Нг=М3-3. Для описания упомянутого процесса деформирования были сформулированы две краевые задачи, основанные соответственно на ДТ и ТТ теории трансверсально изотропных сред. Проведено срав- . нение результатов при упрочнении (табл.3), идеальной пластичности (табл.4) и разупрочнении (табл.5). Аналогичная задача также решена при плоско-деформированном состояниии прямоугольника.

Таблица 3

и V К

шдт -0.107 -0.966-02 -0.394-02

муртт£ -о:108 -0.810-02 -0.400-02

-0. 109 -0.609-02 -0.429-02

А'9--о Таблица 4

и V К

муртт< -0.107" -0.166-01 -0.350-02

МУРАТ -0.108 -0.123-01 -0.397-02

Х>-й7 Таблица 5

и V н

МуРтт, -0.644-01 -0.164-01 -0.111-02

-0.695-01 -0.195-01 -0.114-02

-27В заключении изложены основные результаты :

1. Предложено определявшее соотношение типа теории течения для трансверсально изотропных сред (ТТ£- теория) справедливое не только при упрочнении и идеальной пластичности, но и при разупрочнении, основанное на постулате пластичности А. А. Иль-, гиина. Сформулированы и решены задачи* теории пластичности на основе этой и других теория.

2. Дано обоснование применимости предлагаемой теории течения-ТТ(также деформационной теорин-ДТ) к описание процесса упруго-пластического деформирования трансверсально изотропных сред.При этом использованы имевшиеся в литературе экспериментальные данные о растяжении (сжатии) плоского образца вырезанного из однонаправленных волокнистых композитов под различными углами относительно направления волокон. Проведено сравнение экспериментальных и теоретических кривых построенных по ТТ и ДТ теориям трансверсально изотропных сред.

3. Описан численный алгоритм метода упругих решений и различных его модификация применительно к упруго-пластическим задачам, основанных на деформационной теории и теории течения с поверхность!) нагружении в пространстве деформации. Лискрег-ныи аналог упруго-пластических задач составлен вариационно-разностным методом. Доказана корректность построенных схем. Составлены и отлажены программы счета на языке ФОРТРАН для ЭВМ ЕС - 105^ , позволявшие решать пространственные упруго-пластн'н^кие задачи для трансверсально изотропных сред*

4. Решены численные примеры о равновесии упруго-пластического трансверально изотропного параллелепипеда при различных статических и кинематических краевых условиях. Проведено срав-

нение результатов и скоростей сходимости итерационных методов. Рассмотрены случай упрочнения и идеальной пластичности, а также разупрочнения. Проведено сравнение траектории деформаций и напряжения и проанализировано влияние анизотропии на характер распределения напряжения.

Автор выражает искреннюю благодарность своему научному консультанту, академику РАЕН, доктору физико-математических наук профессору Победре Б.Е. за большув постоянную помощь при выполнении- работы.

Основное содержание работы изложено в следующих публикациях:

1. Халджигитов A.A. Вопросы анизотропной пластичности . Ташкент: ТашГУ, 1993, 167 с.

2. Халджигитов A.A. Об определяющих соотношениях пластичности трансверсально изотропных сред. //Прикладная механика, Киев, 1993, т.29, N3, с.40-47

3. Халджигитов А. А. .Арипов М. 0 модельных уравнениях анизотропных сред. // "Актуальные проблемы фундаментальных наук", Москва. МВТУ, 1991, т. 8, с. 57-59

4. Халджигитов A.A. Теория течения трансверсально изотропных в пространстве деформация// ДАН РУз, 1991, N6, с.16-18

5. Халджигитов A.A. Теория пластического течения с падавшей диаграммои//Проблемы механики, 1994, HI, с.6-10

6. Халджигитов A.A. 0 численном решении упруго-пластических задач//ДАН РУз, 1994, N5, с.16-16

7. Халджигитов A.A. 0 равновесии анизотропного параллеле-пипеда//ДАН УэССР, 1984, N8, с.15-17

. 8. Халджигитов А. А. О постулатах Друккера и Ильюшина// ДАН РУз, 1992. N1, с.13-15

9. Haldjlghltov A.A. .Taubaev J. On constitutive relationships for transversally isotropic naterlals. Proc. int. Symp. on plasticity. 1993/ Beijing. China, 10 p.

10. Халджигитов A.A. Теория течения внизотропиых сред. Леи., в УзНИИНТИ, N 1133-Уз 89 от 28.11.89 , 4с., PI Меха-HV-*, 1930, N4, В280

- 2911. Халджигитов А.А. Сравнение двух теории анизотропной пластичности.Леп. в УзНИИНТИ N 1133-Уз 89 от 28.11.89, 8с, РЖ Механика, 1990, N4, В276

12. Халяжигитов A.A. Численное решение задачи Ламе об упруго-пластическом анизотропном параллелепипеде.Леп. в УзНИИНТИ от 25.01.84, N 136, Уэ-Д84, 23с

13. Халджигитов A.A. Численное решение ояноя задачи на основе теории течения трансверсально изотропных сред//' Численные методы МСС, ч. 2, Красноярск, 1989, с. 119-120

14. Халджигитов A.A. Численное сравнение двух моделей теории пластичности анизотропных сред//Численные методы МСС, 4.2, Красноярск, 1987, с. 137

. 15. Халджигитов A.A. Теория течения для анизотропных сред в пространстве деформациям/Всесоюзная конф. "Мат.моделирование тех. прои. обр. металлов давлением", Пермь, 1990

16. Халджигитов A.A. Численное решение одной задачи по анизотропной теории течения в пространстве деформаций''/ Докл.

в научно-тех. конф. "Численные методы решения задач строительной механики, теории упругости и пластичности",Волгоград,1990

17. Халджигитов A.A. Равновсие упруго-пластического анизотропного параллелепипела//8 Всесоюзная конф. по прочности и пластичности, Пермь, 1983

18. Халджигитов A.A. Численное решение упруго-пластических задач сформулированных в, пространстве деформаций//Современные проблемы алгоритмизации: 'сб. тез, локл. АН РУэ, Узб. респ. прав л. ВСНТОРЗС. Ташкент, 1991

19. Халджигитов A.A. 0 численных методах решения упруго-пластических эадач//Научная конф." Механика и ее применение". Ташкент, ТашГУ, 1993, с.119

20. Халджигитов А. А. , Хамшюп К. , Вахабов Б. Теория пластического течения разупрочняюшихся срел//Научная конф. "Механика и ее применение",Ташкент. ТашГУ. 1993, с. 53

21. >.,1Лджигитов A.A. , 1умаев К. к теории упруго - плаЬтичес-ких процессов 1рансверсалыю изотропных сред//Научная конф. "Механика и ее применение",Ташкент, ТашГУ, 1993, с.53

22. Халлжигнтов A.A. Моделыше уравнения анизотропных раз-упрочнявиихся сред// Межд. конф. "Математическое моделирование и вычислительна!] .-эксперимент", Твгакент. 1994, с. 33t.

АНИ30ТР0П ПЛАСТИКЛИКНИНГ БАЬЗИ БИР МУАММОЛАРИ

Композииион материапларнинг чизиксиэ механик хоссаларини урганиш имконини берадиган моделловчи тенгламалар куриш дефор-мапияланувчи каттик хисм механикасининг энг мухим ва долзарб масалаларидан биридир. Маьлумки, композииион материалларни урганишни бир хинсли анизотроп жисмлар учун моделловчи тенгламалар куришга, яьни анизотроп пластиклик назариясини куришга келтириш мумкин.

Бу иш анизотроп материаллар учун моделловчи муносабатларнй куришга багишланган булиб, трансверсаль изотроп жисмлар учун иккита оким назарияси курилган. Улардан бирининг окиш сирти (кучланиш сирти) хар доимгидек кучланишлар фазосида, иккинчи-синики эса деформациялар фазосида (деформация сирти) каралган. Эслатиб утамиз деформаиион сиртли оким назарияси, нариги наза-риядан фаркли равишда нафакат монотон диаграммали, балки паст-га тушувчи эгик диаграммали материаллар учун хам уринлидир.

Деформаиион сиртли оким назарияси яна бир нечта афзаллик-ларга эга: биринчи муносабатдан фаркли равишда, моделловчи му-носабат кучланиш ва деформация тензорлари орттирмалари ораси-даги богланиш куринишида >;осил булади, яьни мустахкамлик мат-рииаси тугридан-тутри носил килинади, камда оциш шартлари диа-грамманинг усувчи ва згик цисмлари учун бир хилдир. 1у билан бирга деформаиион сиртли оцим назарияси ёрдамида тузилган чега-равия масалалар кучишларга нисбатан сонли ечишга жуда кулайдир.

Тола яуналишига хар хил бурчак остида циркиб олинган эле-иентларни чузиш ва си^иш пайтида хосил килинган тажрибавии ва иазарий диаграммаларни таццослаш оркали окорила эикр этилган оким назарияларининг - моделловчи муносабатларнинг уринли эканликлари курсатилган.

Деформаиион сиртли оким назарияси асосида тузилган чегара-вия насала умумлашган ечимининг мавжудлиги ва ягоналиги у,аки-даги теорема исботланган (монотон диаграммали холда).

Оцим ва деформаиион назариялар асосида параллелепипед ва тугри туртбурчакнинг иувозанати хакидаги турли масалалар сонли ечилган. Хар бир масала Сир неча хил итерацион усулларда ва-хар хил моделловчи тенгламаларни фоядаланилган холда ечилган

Da HaTHi;uiap raKHocjianran. BonmaHFim KyM/iamiiiiJiap ycym ue$op-MBiinoii cup-rim DKiiM HasapHflcHra HHcOaiaH K;aHTa KypnO HH^nnrau ea ynwir arHK imarpaMMa^ii MacauajiapnH eMHmua rynma MyMKHH/mrn K^pcanwran.

SOME PROBLEMS OF ANISOTROPIC PLASTICITY

The Investigation of non-linear mechanical proportles of composite materials may be reduced to the construction « constitutive equations for gomogenous anisotropic materials and It consists one of the Important and actual problem the theory of plasticity.

The paper Is devoted to the construction of constitutive relationships for elasto-plastc anisotropic materials. The stress and strain space plasticity theories for trans-versally Isotropic materials Is proposed. Note that the strain-space theory unlike from the stress-space one Is.valid not only for hardening but also softening materials.

The formulation of constitutive equations In the strain space has pome advantages as compared with that In the stress space The stiffness matrix Is directly generated In n strain-space formulation. The loading criterion Is unique In the strain-space flow theory for hardening and softening materials In contract with criteria relative to a one. A certain advantages Is achlved by use of finite element method In displacements.

By comparlslon the theoretical and experimental curves, obtained by stretching (compressing) the specimens cutting up from fibrous laminated composites under various angles to the fibre direction, Is shown the applicability of propoused constitutive relationships.

The j em of existance and uniqueness for generalized solytlons of anisotropic strain-space plasticity thebry 1 s proved

Some numerical tests on equlllbrity of elosto-plastlc transversely Isotropic parallelepipeds and Isotropic rectangls for different boundary conditions are solved. The

boundary problems was formulated by using flow and deformation theories for transversely isotropic materials. The numerical results obtained by using the Iterative methods are compared. The Initial stress method consistent with the strain-space formulation Is considered and Is shown Its usefulness for softening materials.