Некоторые вопросы квантовых полевых матричных моделей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Шишанин Андрей Олегович

НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ КВАНТОВЫХ ПОЛЕВЫХ МАТРИЧНЫХ МОДЕЛЕЙ

Специальность 01 04 02 Теоретическая физика

Автореферат

диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

00316162(

Москва - 2007

003161627

Работа выполнена в отделе теоретической физики Математического института имени В А Стеклова РАН и на кафедре технической физики Московского государственного индустриального университета

Научный руководитель

доктор физико-математических наук,

профессор И Я Арефьева

Официальные оппоненты

доктор физико-математических наук,

профессор А В Борисов

кандидат физико-математических наук А П Зубарев

Ведущая организация

Российский университет дружбы народов

Защита состоится п1Яп иойЩ^ 2007 г в час на заседании диссертационного совета К 501 001 17 в Московском государственном университете имени М В Ломоносова по адресу 119992, ГСП-2, г Москва, Воробьевы горы, физический факультет, ауд ЮША

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке

физического факультета Московского государственного университета

Автореферат разослан "10" (ШГЯЦЛ 2007

г

Ученый секретарь

диссертационного совета К 501 001 17 доктор физико-математических наук, профессор

П А Поляков

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы Основным методом изучения квантовых теорий поля является метод теории возмущений, использующий технику фейнмановских диаграмм Для квантовой электродинамики было выявлено замечательное согласие между теоретическими результами, полученными с помощью теории возмущений, и экспериментальными данными, наблюдаемыми на ускорителях и других установках Однако, как известно, квантовая хромодинамика, которая лежит в основе сильных взаимодействий, хорошо описывается теорией возмущений только на малых расстояниях или в области больших импульсов в силу асимптотической свободы Чтобы описать эту теорию в области малых импульсов, необходимо развитие методов исследования квантовой теории поля, выходящих за рамки теории возмущений Одним из наиболее применяемых является метод малого параметра по обратному числу степеней свободы системы, известный также как 1 ///-разложение Для калибровочной теории Янга-Миллса которая описывает глюонные поля, естественным параметром N является ранг калибровочной группы Впервые 1 /Ы-разложение рассматривалось в статистической физике

Из знаменитой работы т' Хуфта хорошо известно, что в многомерной матричной теории Янга-Миллса в пределе больших N и при наложении определенного условия на константу связи выживают, т е дают ведущий вклад в вычисление различных величин, планарные диаграммы Ими являются такие диаграммы, которые можно нарисовать на плоскости Для выполнения аналитических исследований необходимо вычислять сумму всех пленарных диаграмм Оценка числа роста планарных диаграмм была сделана в работах канадского математика Татта и группой физиков Коплика, Неве и Нуссинова комбинаторным способом с использованием уравнения на производящие функции для корреляторов Оказалось, что число планарных графов растет степенным образом по числу вершин, в то время как общее число графов растет факториально Методом 1 /^-разложения Брезаном, Ициксоном, Паризи, Зюбером (В1Рг) исследовались эрмитовые нуль-мерные фъ и ф*, а также одномерная ф4 модели Для упомянутых нуль-мерных моделей путем решения сингулярного ин-

тегральною уравнения на плотность распределения собственных значений, лежащей на конечном отрезке, найдены корреляционные функции, вакуумная энергия, уравнения на одночастично-неприводимые вершинные функции

В эрмитовой матричной модели с обычным массовым членом решение сингулярного интегрального уравнения находится на одном отрезке, однако для моделей с отрицательным квадратом массы появляются решения на нескольких отрезках или разрезах Решения на нескольких отрезках для уравнения на плотность распределения собственных значений матрицы впервые были обнаружены в простейшем случае нульмерных и одно-мерных эрмитовых матричных моделей Голдстоуна, а также в решеточной модели Когута-Сасскинда Арефьевой, Илчевым и Митрюшкиным также было замечено, что произвольное решение на двух отрезках задается параметром £ - интегралом по левому отрезку от плотности распределения матрицы Попасть в такую конфигурацию с заданным £ можно, если ввести в действие исчезающе малый возмущающий член специального вида, нарушающий исходную симметрию II(./V) В этом случае можно говорить, что решения с различными £ определяют различные фазы теории в смысле квазисредних Н Н Боголюбова Отметим, что при этом вакуумная энергия зависит от способа введения в действие возмущающего слагаемого Симметричное решение на двух отрезках соответсвует £ = 1/2, а полностью несимметричное - £ = О или 1 Относительно недавно было замечено соответствие между многоразрезными решениями матричных моделей и суперсимметричными калибровочными теориями, что сделало изучение этих решений актуальной задачей

Паркетное приближение или обобщенное лестничное приближение было предложено Ландау с сотрудниками в их исследовании высокоэнергетического поведения квантовой электродинамики Результаты, полученные с помощью паркетного приближения, находятся в согласии с подходом ренормализационной группы Первоначальной задачей было развитие непертурбативных методов в квантовой теории поля Паркетное приближение приводит к замкнутой системе интегральных уравнений на пропагаторы и вершинные функции Эти уравнения имеют смысл и при

больших значениях констант связи Данный подход учитывает больший класс фейнмановских диаграмм, чем приближение главных логарифмов и поэтому полученные результаты с помощью паркетного приближения носят более строгий характер

Одним из альтернативных методов исследования эрмитовых матричных моделей к планарному решению является метод планарных паркетных уравнений, что было предложено Арефьевой и Зубаревым для нуль-мерных моделей фг и ф4 Это альтернативный подход к известному планарному решению В планарно -паркетном приближении, вместо бесконечной системы планарных уравнений Швингера-Дайсона на функции Грина, которую правда, можно заменить на производящую функцию, рассматривается конечное число уравнений на пропагаторы и вершинные функции

Основная цель диссертации состоит в исследовании свойств пла-нарного паркетного приближения для некоторых матричных моделей и в изучении свойств решения на двух отрезках многоследовой модели

Научная новизна. В диссертации развит метод паркетных планарных уравнений для эрмитовых матричных моделей Для демонстративности был рассмотрен вид потенциала ф4 Изучены примеры голдсто-уновской модели, многоследовой модели двуматричной модели, многоследовой голдстоуновской модели В последнем случае также впервые исследуется фазовая структура теории

Научная и практическая ценность работы. Полученные результаты могут быть использованы для исследования более сложных эрмитовых матричных моделей, например, многоматричных как открытых, так и замкнутых, и одномерной В принципе, ценностью подхода планарных паркетных уравнений является то, что можно работать и в многомерном случае матричной теории поля, где неизвестно планарное решение

Апробация работы. Полученные в диссертации результаты докладывались на XII "Международной Ломоносовской конференции по физике элементарных частиц" (Москва, 2005) и семинарах Публикации. По теме диссертации опубликовано 5 работ Структура диссертации Диссертация состоит из введения, четырех глав, двух приложений, заключения и списка используемой литера-

з

туры Объем диссертации составляет 98 страниц, набранного в издательской системе LATEX

СОДЕРЖАНИЕ ДИССЕРТАЦИИ Во Введении дано обоснование актуальности темы диссертационной работы, приведен краткий обзор работ в области исследования матричных моделей и схематично изложено содержание диссертации

В Главе 1 обсуждаются основные идеи и методы, которые используются в дальнейшем тексте

В параграфе 11 рассмотрены свойства планарного приближения для стандартной модели фА как в обычной, так и в голдстоуновской моделях с потенциалами соответственно

У(ф) = ±~tr$2 + (1)

В непрерывном планарном пределе, когда N оо, можно записать для плотности распределения собственных значений матрицы на отрезке [—2а; 2а] следующее уравнение

+ 25А3 - t dn^-, |А| < 2а (2)

¿ J ~2а * — Ц

В случае отрицательного знака, помимо простого решения уравнения

на плотность и(Х) на одном отрезке, существует при некотором значении

константы связи <?(£) решение на двух отрезках [а, Ь\ ü [c,d], которое

характеризуется параметром

£= f u(X)dX (3)

Ja

Обычно в литературе обсуждают, ввиду того, что это решение с минимальной вакуумной энергией, симметричную фазу на двух отрезках с £ = которая начинает существовать с 9кг = ^

В параграфе 1 2 производится рассмотрение паркетного подхода для нульмерных матричных моделей Замкнутая система планарного уравнения Швингера-Дайсона на пропагатор и планарных паркетных уравнений для (1) выглядит как

J9 = ±1 + 8<jD2 + 4gD4Ti, (4)

Г4 = -Ад + Я + V, (5)

Я = -4<7£2Г4 + У£2Г4, (6)

У = -4<7£2Г4 + Я£>2Г4 (7)

Здесь £> пропагатор, Г4- четырехточечная вершина, Я и У- планарные паркетные интегральные ядра Знак - соответствует описанию симметрической фазы на двух отрезках голдстоуновской модели Показано, что планарное паркетное приближение достаточно хорошо работает для решения симметричного двухразрезного решения, то есть пропагатор при малых значениях константах связи обратно пропорционален ей

Чтобы описать полностью несимметричный случай с £ = 0 или 1 предлагается сделать сдвиг и рассмотреть модель над непертурбативным вакуумом Однако здесь наблюдается расхождение уже в первом порядке по константе связи

В Главе 2 развивается метод планарных паркетных уравнений для многоследовой матричной модели

В параграфе 2 1 дается планарное рассмотрение многоследовой матричной модели с

У( Ф) = ^гФ2 + ^тФ4 + ¿(¿гФ2)2 (8)

Хорошо известно, что добавление многоследовых членов не приводит к существенным трудностям для решения модели

В параграфе 2 2 строится планарное паркетное приближение модели Член многоследового взаимодействия не меняет вид паркетных уравнений, а уравнение Швингера-Дайсона примет вид

В = 1 - 2дБ2 - дБ4Т4 - 4НО2 (9)

Проверено, что при малых значениях констант связи д планарный и планарно-паркетный пропагаторы совпадают вплоть до пятого порядка разложения В паркетном подходе четырехточечная вершина не зависит от константы связи Ь, поскольку она входит только в планарное уравнение Швингера-Дайсона В планарном же случае при малых д вершинная функция выглядит как

г4 = -д + 2д2 - \Адг + 114д4 + 64д3% + 10д2Ъ2 + , (10)

где Ъ, = 4к

Линия, разделяющая области фаз, критических значений констант связи достаточно неплохо совпадают в обоих сравниваемых подходах Наибольшее разногласие двух подходов для критической константы связи д будет, когда к — 0, а в противоположном случае происходит их сближение

Глава 3 посвящена планарному паркетному приближению двумат-ричной модели с

У(МЬ М2) - тМ\ + + \тМ1 + - сЬгМ1М2 (11)

Эта модель с простейшим взаимодействием по двум матрицам была предложена йциксоном и Зюбером Она может быть исследована с использованием метода ортогональных полиномов Как было показано Казаковым, эта система описывает модель Изинга на случайной решетке

Для предложенных паркетных уравнений, неучитывающих перекрестных членов, в параграфе 3 1 однотипный по полям пропагатор совпал до второго порядка по константе связи с планарным аналогом

1 о 1 + с2 9 + 21с2 4- 6с4 2 „пч

В^Вг^П^ — - 21-д + -1—-1?+ (12)

В параграфе 3 2 дается описание модели (11) через ортогональные от двух переменных, которые принято называть биортогональными В Непрерывном пределе, когда N оо, можно получить, используя биортого-нальные полиномы, точное выражение для планарного пропагатора

где IV выражается через д как

/ ч 0 о Зс2ад3 с2и> ,,

+ ^ + (14)

Значения критических значений константы связи д двух подходов при разных значениях с сравнивается в нижеприведенной таблице

с 0 01 02 03 04 05 06 07 08 09

0 01 д,,! -8 33 -811 -7 44 -6 34 -4 99 -3 64 -2 42 -14 -0 64 -016

0 01яиг -8 64 -8 4 -7 72 -6 67 -5 4 -4 04 -2 72 -1 62 -0 74 -016

Когда с—\ в паркетном исследовании также меняется поведение критической константы связи д, хотя согласие в данном случае достаточно грубое

В параграфе 3 3 приводятся паркетные уравнения для несимметричного потенциала Здесь также получены однотипные пропагаторы до второго порядка

- В Главе 4 рассматривается многоследовая матричная модель Гол-дстоуна с действием

У(Ф) = -±*гФ2 + ~ггФА + ^(¿гФ2)2 (15)

В параграфе 4 1 дается представление модели Делается замечание, что удобным параметром вычисления является не определенное формулой (2), а суммой концов отрезков в = а+ Ь + с + (1 Фазы с£=|и£=0 или 1 обсуждаются в параграфе 4 2 Симметричное решение на двух отрезках с £ = | имеет следующее значение пропагатора

а вакуумная энергия примет вид

Условием существования симметричной фазы на двух отрезках будет

д>Щд + к)2, (18)

а для полностью несимметричной фазы можно получить соответственно

2255 > 4(450 + Ш)2 (19)

Таким образом, соответствующая фаза модели определена на области, ограниченной сверху параболами, а снизу прямой д = —К из-за формул (16) и (17)

Для общего случая в параграфе 4 3 приведены некоторые частные результаты Асимптотические условия на генератор корреляционных функций дают три уравнения на симметрические полиномы на концы отрезков Через эти симметрические полиномы, выраженные через сумму кон-

цов отрезков я = а+Ь+с+<1, используя теорему о вычетах, можно провести расчет корреляционных функции Их явный вид такой же, как и при И = 0, ввиду того, что плотность распределения не изменилась в данной модели В случае ненулевого Л. вычислены пропагатор и первый корреляционный момент - намагниченность, которая в общем случае ненулевая Например, пропагатор имеет вид

При критических значениях констант связи парабола, соответствующая произвольному параметру лежит между двумя другими параболами, задаваемыми (18) и (19) Рассмотрен еще один частный случай, при котором появляется дополнительное уравнение на в

В параграфе 4 4 приводится обсуждение планарного паркетного приближения модели симметричной фазы на двух отрезках Выяснено, используя численный расчет, что при малых значениях констант связи существует решение уравнения на паркетный пропагатор, близкое к пла-нарному ответу (16)

В Заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертации

В Приложения вынесен вспомагательный материал В Приложении А приведены сведения о мере по эрмитовым матрицам в обычной и двуматричной моделях В Приложении В дано описание паркетного приближения для нульмерной скалярной теории поля, которое спавни-вается с точным

1 Обнаружено, что решение планарных паркетных уравнений вокруг тривиального пертурбативного вакуума голдстоуновской эрмитовой модели пригодно для описания симметричного решения на двух отрезках Выяснено, что планарные паркетные уравнения над непертурбативным

(20)

где

(21)

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

вакуумом не очень хорошо описывают соответсвуюшее полностью несимметричное решение

2 В многоследовой матричной модели наблюдалось достаточное сходство между паркетно-планарным и планарным приближениями Здесь сравнивались пропагаторы, четырехточечные вершины и значения критических констант связи

3 Проведено исследование паркетного описания двуматричной модели Здесь сравнивались с планарными аналогами однотипные пропагаторы и значения критических значений константы связи д{с) Получен точный планарный пропагатор

4 Для многоследовой матричной модели Голдстоуна обсуждались области существования решения на двух отрезках в симметричном и полностью несимметричном случаях Подсчитана вакуумная энергия для симметричного случая В произвольном случае вычислены намагниченность, которая является параметром порядка фазы, и пропагатор Проведено сравнение планарного паркетного приближения над тривиальным вакуумом с симметричным решением на двух отрезках многоследовой модели

ПУБЛИКАЦИИ

1 А Shishamn, I Ziatdmov Parquet approximahon for large-N matnx Higgs model JHEP 07 (2003) 032-044

2 А О Шишанин Матричная многоследовая модель в паркетном приближении Известия вузов Физика, 12 (2005) 65-69

ЗАО Шишанин Решение паркетных уравнений для двуматричной модели Известия вузов Физика, 5 (2006) 92-95

4 А О Шишанин Фазы многоследовой матричной модели Голдстоуна в пределе больших N ТМФ, 152(3) (2007) 457-465

5 А О Shishamn Some aspects of mulhtrace matnx models m Proc 12th Lomonosov Conference on Elementary Particle Physics World Scientific, Smgapore, 2006, p 414-417

Подписано в печать 05 10 07 Формат бумаги 60x84/16. Уел печ л 0,5 Уч -изд л 0,7 Тираж 100 Заказ № 1056

Издательство МГИУ, 115280, Москва, Автозаводская, 16 www izdat msiu ru, e-mail izdat@msxu ru, тел (495) 677-23-15

Введение

Глава 1. Сравнение планарного и паркетного приближений для матричной модели Ф4 с отрицательным квадратом массы

§1.1 Нуль-мерные матричные модели и 1/А^-разложение

1.1.1 Планарное приближение в квантовой теории поля

1.1.2 Нуль-мерная матричная модель

1.1.3 Матричная модель Голдстоуна. Квантование в окрестности тривиального вакуума.

1.1.3 а. Решение на одном отрезке.

1.1.3 Ь. Решение на двух отрезках.

1.1.4 Матричная модель Голдстоуна. Квантование в окрестности непертурбативного вакуума

1.1.5 Сравнение результатов

§1.2 Планарное паркетное приближение для матричной модели Голдстоуна.

1.2.1. Паркетные уравнения и их планарный вариант.

1.2.1. а Нульмерная матричная модель Ф4 в паркетном приближении

1.2.2. Случай отрицательного квадрата массы

1.2.2 а. Квантование в окрестности тривиального вакуума

1.2.2 б. Квантование в окрестности непертурбативного вакуума

Глава 2. Матричная многоследовая модель в паркетном приближении

§2.1. Планарное описание модели с многоследовым членом

§2.2. Планарно- паркетное приближение матричной многоследовой модели

Глава 3. Решение паркетных уравнений для двуматричной модели

§3.1. Пленарные -паркетные уравнения для двуматричной модели

§3.2. Описание двуматричной модели с помощью ортогональных полиномов

§3.3. Несимметричный потенциал

Глава 4. Фазовая структура многоследовой матричной модели

Голдстоуна

§4.1. Представление модели

§4.2. Случай с£ = ^и£ = 0 или 1.

§4.3. Обсуждение общего случая

§4.4. Паркетное приближение и симметричное решение в многоследовой модели

Основным методом изучения квантовой теории поля [1] является теория возмущений, использующая технику фейнмановских диаграмм. Для квантовой электродинамики было выявлено замечательное согласие между теоретическими результами, полученными с помощью теории возмущений, и экспериментальными данными. Однако, как известно, квантовая хромо-динамика [2], [3], [4], которая лежит в основе сильных взаимодействий, хорошо описывается теорией возмущений только на малых расстояниях или в области больших импульсов в силу асимптотической свободы. Чтобы описать эту теорию в области малых импульсов, необходимо развитие методов исследования квантовой теории поля, выходящих за рамки теории возмущений. Одним из наиболее применяемых является метод малого параметра по обратному числу степеней свободы системы, известный также как 1/^-разложение. Для калибровочной теории Янга-Миллса II(И) [5], которая описывает глюонные поля, естественным параметром N является ранг калибровочной группы. Впервые 1/Л^-разложение рассматривалось в статистической физике [б].

Из знаменитой работы т' Хуфта [5] хорошо известно, что в многомерной матричной теории Янга-Миллса в пределе больших N и при наложении определенного условия на константу связи выживают, т.е. дают ведущий вклад в вычисление различных величин, планарные диаграммы. Ими являются такие диаграммы, которые можно нарисовать на плоскости. Для выполнения аналитических исследований необходимо вычислять сумму всех планарных диаграмм. Оценка числа роста планарных диаграмм была сделана в работах канадского математика Татта [7] и группой физиков Коплика, Неве и Нуссинова [8] комбинаторным способом с использованием уравнения на производящие функции для корреляторов. Оказалось, что число планарных графов растет степенным образом по числу вершин, в то время как общее число графов растет факториально. Комбинаторные исследования продолжились 'т Хуфтом [9] для модели с потенциалом Ф3+Ф4. Методом 1/АГ-разложения Брезаном, Ициксоном, Паризи, Зюбером (BIPZ) [10] исследовались эрмитовые нуль-мерные Ф3 и Ф4, а также одномерная Ф4 модели. Для упомянутых нуль-мерных моделей путем решения сингулярного интегрального уравнения на плотность распределения собственных значений матрицы найдены корреляционные функции, вакуумная энергия, уравнения на одночастично-неприводимые вершинные функции. Было показано также, что планарное приближение одномерной матричной модели описывается невзаимодействующими между собой фермионами.

Исследование нуль-мерных матричных моделей представляет интерес для многомерных квантовых теорий поля, так как такие модели подсчитывают полное число планарных диаграмм при N оо. В 1980 году Виттен [И] предложил описывать многомерную квантовую хромодинамику при больших N введением одного нематричного поля. Такое поле Коулмен назвал мастер-поле [12], которое стало общепринятым. Задача построения такой конфигурации обсуждалась во многих работах [13]—[23]. В статьях Дагласа, Гросса и Гопакумара [23]—[24] было построено мастер-поле для двумерной хромодинамики. Проблема его построения в многомерной калибровочной теории поля была решена в работе Арефьевой и Воловича [25] для функций Вайтмана. Было показано, что мастер-поле удовлетворяет стандартным уравнениям релятивистской квантовой теории. Однако, изменяются условия квантования и коммутационные соотношения для мастер-поля принимают вид соотношений для больцмановской статистики. Появление больцмановских полей в матричных моделях было отмечено в [23]. Нахождение явных решений этих уравнений являются нетривиальной задачей и представляется разумным развить приближенные методы изучения мастер-поля.

Вначале матричные модели были предложены Вигнером для описания возбужденных уровней ядер. Им было получено знаменитое вигнеровское распределение собственных значений матрицы для гауссовой эрмитовой матричной модели. Обзор применения матричных моделей в ядерной физике и их другие приложения, например, в теории квантового хаоса, содержится в [26].

В приложениях большое значение имеет частный вид матричных моделей, а именно, векторные модели. Методом 1/]У~разложения исследовались различные векторные модели [27]—[32]- бозонные, фермионные, сг-модели и другие, обладающие различным поведением при больших N. В частности, фермионная модель Гросса-Неве [28] и 0(Л7') а-модель [30] обладают свойством асимптотической свободы, что было показано как по теории возмущений так и по 1/^-разложению. Более подробно сведения о свойствах различных векторных моделей можно найти в [33], [34].

Были также рассмотрены модели с произвольным размером матриц, более общие, чем квадратные. Обычно рассматривают эрмитовые, комплексные, ортогональные, симметрические, унитарные, симплектические, фермионные [35] и суперсимметрические [36] матричные модели. Более подробные сведения о статистических ансамблях различных матричных моделей можно найти в [37], [38]. Однако, наиболее применяемы эрмитовые матричные модели.

Выход за планарное приближение впервые был осуществлен с помощью метода ортогональных полиномов Бессисом [39], Бессисом, Ициксоном и Зюбером [40]. В работе [40], используя этот метод, было найдено два следующих члена ряда по для вакуумной энергии. С помощью петлевых уравнений [20] были получены результаты общего характера для производящих функций корреляторов старших родов [41]. Также было предложено общее интегро-дифференциальное уравнение на плотность распределения

42], которое учитывает эффекты конечных N. Планарное сингулярное интегральное уравнение можно рассматривать как уравнение с интегральным преобразованием Гильберта. В более общем уравнении для конечных N появится член с логарифмической производной от плотности. Это нелинейное обобщение преобразования Гильберта. Такое уравнение решалось в

43]. Однако данным подходом не удалось воспроизвести результаты для вакуумной энергии из работы [40].

Одним из обобщений одноматричной модели является модель с двумя матрицами с простейшим членом взаимодействия между ними вида сЬтМхМъ Проблема, как в такой модели проинтегрировать по угловым переменным, обсуждалась Ициксоном-Зюбером [44]. Этими авторами была получена известная формула интегрирования по унитарным матрицам. Пока не удалось методом седловой точки с помощью уравнений на плотности распределения получить планарное описание двуматричной модели. Хотя попытки в этом направлении препринимались. Однако, метод ортогональных полиномов оказался эффективным для исследования двуматричной модели [45]. Используя биортогональные полиномы, зависящие от двух переменных, Мехта получил планарное описание двуматричной модели. Он вывел уравнение для функции, через которую выражается вакуумная энергия. Многоматричные модели рассматривались в [46]. Двуматричная модель описывает модель Изинга на случайной решетке, что было обнаружено Казаковым [47], [48]. А случай модели Изинга на случайной решетке с магнитным полем рассматривался Булатовым и Казаковым [49]. В цитируемых работах было получено формальное выражение для вакуумной энергии матричных моделей Ф3 и Ф4 с магнитным полем и без него, вычислены критические индексы, которые сравнивались с точными ответами для модели Изинга. Для двуматричной модели с помощью петлевых уравнений было Штаудахером [50] найдено уравнение на производящую функцию корреляционной функции одной матрицы. Другими авторами предлагались различные подходы к исследованию двуматричной модели и разные варианты мастер-уравнения, описывающего поведение системы.

Планарное описание нуль-мерной и одно-мерной матричной модели [10] сравнивалось с результатами, полученными другими подходами: вариационным методом [51], методом эффективного действия [52], методом коллективного действия [14]. Также Брезаном и Зинн-Жюстеном был предложен метод ренормализационной группы по размеру матрицы N [53], который исследовался дальше для более сложных моделей. Была замечена формальная аналогия между планарным решением одноматричной модели и алгебраическим Бете-анзацем [54]. Кроме того, был рассмотрен перспективный метод разложения по характерам [55] для матричных моделей, который позволяет исследовать более сложные системы [56]—[58], чем стандартная одноматричная и многоматричные модели. Одним из подходов, в связи с которым обсуждалось планарное приближение, является метод вильсоновской ренормализационной группы [59]. Также Хиками [60] сравнивались ответы для различных, но достаточно простых, матричных моделей, полученных при конечных и небольших размерах матрицы И, с теми, которые известны, когда N -» сю.

Предпринимались усилия подсчитать некоторую часть планарных диаграмм. В работах [61], [62] было рассмотрено так называемое полу-планарное приближение к планарной теории. Отличительной особенностью этого метода является то, что в нем можно записать замкнутую систему уравнений типа уравнений Швингера-Дайсона для конечного числа корреляционных функций. Этот подход учитывает сумму только полу-планарных или планарных радужных диаграмм [61]. Полу-планарное приближение дает хорошее согласие с известными точными ответами при больших N в широкой области изменения константы связи, что было показано Арефьевой и Зубаревым [62]. Однако, это приближение не воспроизводит точно режим сильной связи для точных планарных функций Грина.

Как хорошо известно, одним из самых известных приложений матричных моделей является использование их в двумерной квантовой гравитации [63]-[65], которая в общем случае описывает некритическую теорию струн. Матричные модели осуществляют решеточное описание двумерной гравитации с помощью динамической триангуляции римановой поверхности. При этом кубичный член в матричной модели осуществляет обычную триангуляцию треугольниками, а более старшие члены взаимодействия соот-ветсвуют триангуляциям правильными многоугольниками. Двойной скей-линговый предел, который учитывает сумму всех родов, был предложен и изучен для матричной модели Ф4 в работах [66]—[74]. В модели с полубесконечным рядом по следу матрицы 5(Ф) = N ^ гФг, г = 0,., оо уравнения Швингера-Дайсона (уравнения связей или тождества Уорда) образуют алгебру Вирасоро без центрального заряда [69], [70]. В непрерывном пределе эта структура сохраняется, но изменяется зависимость генераторов алгебры от констант связи. В общем случае статистическая сумма матричной модели оказывается т-функцией интегрируемой системы. А константы связи матричной модели оказываются временами в соответствующей интегрируемой иерархии в дискретном случае. Детальные обзоры применения к двумерной гравитации различных матричных моделей находятся в [71]-[81], в них рассмотрены неперерывные пределы этих моделей и их аналоги в интегрируемых системах.

Поведение статистической суммы двумерной квантовой гравитации определяется индексом струнной восприимчивости 7. В [82] была получена зависимость этого индекса от центрального заряда теории некритических струн с. Из известной формулы Книжника-Полякова-Замолодчикова для 7, выведенной в данной работе, видно, что теория некритических струн хорошо определена там, где вакуум теории стабилен при с < 1, с > 25. Этот важный результат совпадает с ответом для 7 [83], полученным в матричных моделях.

В частности, можно рассмотреть матричную модель, которая учитывает для двумерной гравитации старшие члены по кривизне. Это модель с модифицированным квадратичным членом в действии £гАФАФ. При интегрировании этого члена в функциональном интеграле по угловым переменным в эффективном действии теории появляются многоследовые слагаемые. В такой модели с многоследовыми членами удается сократить число физических степеней свободы и записать замкнутую систему уравнений на плотность распределения и корреляционные функции. Простейшая матричная модель с двуследовым членом была рассмотрена в работе индийских ученых Даса- Дхары- Сенгупты- Вадии [84]. Авторами этой статьи было показано изменение индекса струнной восприимчивости 7 для случая с многоследовыми членами по сравнению с формулой Книжника- Полякова- Замо-лодчикова. Этот результат имеет отношение к проблеме - барьера. Эта проблема заключается в том, что при размерности В > 1 для матричной теории поля не удается точно решить задачу сокращения динамических переменных при N Ч- оо и построить 1/ЛГ- разложение. Еще более простая модель без четвертичного члена взаимодействия является на самом деле векторной [85]. Для таких моделей совпадают уравнения Швингера-Дайсона для корреляционных функций. Исследование матричных моделей с многоследовыми слагаемыми продолжилось в [86], [87].

Необходимо отметить, что метод случайных триангуляций для суперструн сталкивается с трудностями, связанными с дискретизацией суперсимметрии. Попытки построить суперсимметричное обобщение дискрети-зованных римановых поверхностей закончились частичным успехом только для простейшего случая двумерной супергравитации [88], хотя ее формулировка в виде суперсимметричной матричной модели и не была построена. Однако для суперструн был применен несколько иной подход, но он также использует матрицы в качестве фундаментальных объектов [89]—[91]. Вместо динамической триангуляции для непертурбативного описания суперструнной теории замкнутых струн ПА, которая получается при компак-тификации гипотетической 11-мерной М-теории, Банкс, Фишлер, Сасскинд и Шенкер [89] предложили использовать матричную теорию, которая задается суперсимметричной квантовой механикой в координатах светового конуса. В подходе для непертурбативного рассмотрения теории замкнутых струн типа ПВ матричная модель связана непосредственно с суперструнами [91], что было замечено японскими учеными Ишибаши, Каваи,

Китазавой и Чучией. Действие этой модели получается из десятимерной суперсимметричной калибровочной теории редукцией к точке, т.е. рассмотрением полей, не зависящих от координат вообще. Различные решения полевых уравнений матричных теорий этих двух типов интепретируются как браны, соответствующие тем солитоноподобным объектам - D-бранам, которые возникают в теориях замкнутых суперструн IIA и IIB. Появление матричной теории привело к возникновению некоммутативной квантовой теории поля и ее последующему бурному развитию. Несмотря на то, что матричная теория добилась некоторых локальных успехов на пути непер-турбативного описания теории суперструн, она не достигла пока удовлетворительных ответов по сравнению с пертурбативными.

Кроме того, были найдены замечательные применения матричных моделей в геометрии. Модель с логарифмическим потенциалом [92] вычисляет виртуальные эйлеровые характеристики римановой поверхности. А статистическая сумма модели из работы [93] является производящей функцией для корреляторов индексов пересечений. Удивительным оказалось то, что этот функциональный интеграл воспроизводит непрерывный предел обычной эрмитовой модели с полубесконечным рядом.

Также в последнее время было обнаружено использование матричных моделей в суперсимметричных калибровочных теориях поля. Дийкграафом и Вафой было замечено соответствие между решениями на многих отрезках (по-английски multi-cut solutions) [94]—[ЮТ] в матричных моделях и суперсимметричными калибровочными теориями [108]—[110]. В эрмитовой матричной модели с обычным массовым членом решение сингулярного интегрального уравнения ищется на одном отрезке, однако для моделей с отрицательным квадратом массы появляются решения на нескольких отрезках или разрезах. Многоразрезное решение уравнения иа плотность распределения дает гиперэллиптическое описание римановой поверхности, что является достаточно удобным. Решения на нескольких отрезках для уравнения на плотность распределения собственных значений матрицы впервые были обнаружены в простейшем случае нуль-мерных и одно-мерных эрмитовых матричных моделей Голдстоуна, а также в решеточной модели Когута-Сасскинда [94]. В работе [95] было замечено, что не все решения найдены в предыдущей работе. Произвольное решение на двух отрезках задается параметром £ - интегралом по левому отрезку от плотности распределения матрицы. Попасть в такую конфигурацию с заданным £ можно, если ввести в действие исчезающе малый возмущающий член специального вида, нарушающий исходную симметрию U(N). В этом случае можно говорить, что решения с различными £ определяют различные фазы теории в смысле квазисредних H.H. Боголюбова [111]. Отметим, что при этом вакуумная энергия зависит от способа введения в действие возмущающего слагаемого. Это довольно необычная ситуация для статистической физики, где, как правило, от способа введения в действие бесконечно малого члена, нарушающего исходную симметрию, зависят функции Грина, но не свободная энергия. Симметричное двухразрезное решение соответсвует £ = 1/2, а полностью несимметричное - £ = О или 1.

Двумерная теория Янга-Миллса на решетке, которая описывается виль-соновским действием, сводится к унитарной нуль-мерной матричной модели, как было отмечено в работе [112]. Подобно тому, как это происходит в эрмитовых моделях, в унитарных матричных моделях возникает интегральное уравнение на плотность распределения собственных значений унитарной матрицы. В этой статье также было показано, что вакуумная энергия при критическом значении константы связи претерпевает фазовый переход третьего рода, названный переходом Гросса-Виттена. Аналогичный фазовый переход происходит и в эрмитовых матричных моделях. Многоразрезные решения для унитарных моделей первоначально обсуждались в [113].

Паркетное приближение или обобщенное лестничное приближение было предложено Ландау, Абрикосовым и Халатниковым в их исследовании высокоэнергетического поведения квантовой электродинамики [114]. Результаты, полученные с помощью паркетного приближения, находятся в согласии с подходом ренормализационной группы [1]. Первоначальной задачей в [114] было развитие непертурбативных методов в квантовой теории поля. Паркетное приближение приводит к замкнутой системе интегральных уравнений на пропагаторы и вершинные функции. Эти уравнения имеют смысл и при больших константах связи. Данный подход учитывает больший класс фейнмановских диаграмм, чем приближение главных логарифмов. И поэтому полученные результаты с помощью паркетного приближения носят более строгий характер. На основании решения системы паркетных уравнений Ландау с сотрудниками сделал утверждение о тривиальности взаимодействия при больших энергиях, так называемый нуль-заряд, для квантовой электродинамики и мезонной теории. Отметим, что паркетное приближение использовалось в бозонных [115], фермионных [116] и векторных моделях [117]-[120]. Предположение о том, что могут быть теории другого типа с асимптотической свободой, сделал Ансельм [119] для двумерной модели Тирринга на основании исследования высокоэнергетического поведения системы интегральных уравнений. Паркетное приближение использовалось в статистической физики и теории критических явлений для рассмотрения свойств фазовых переходов [121], а также в теории квантовых жидкостей [122]. Одним из неясных вопросов теории паркетного приближения применительно к КХД является вопрос о калибровочной инвариантности этого приближения.

В данной работе рассматривается планарно-паркетное приближение для матричных моделей Ф4 и его сравнение с их планарным описанием. Первоначально планарно-паркетное подход для матричных моделей обсуждался Арефьевой и Зубаревым [123]. Это альтернативный подход к известному планарному решению. В планарно-паркетном приближении, вместо бесконечной системы планарных уравнений Швингера-Дайсона на функции Грина, которую, правда, можно заменить на производящую функцию, рассматривается конечное число уравнений на пропагаторы и вершинные функции. Авторами работы [123] было показано, что оно с хорошей точностью описывает решение на одном отрезке (решение BIPZ) для всей области определения константы связи. Это было проверено для нуль-мерных эрмитовых матричных моделей Ф3 и Ф4. Также там было показано, что скалярная нульмерная теория Ф4 плохо описывается паркетными уравнениями. Начиная с некоторого значения константы связи, паркетное описание не воспроизводит точный ответ.

Было высказано предположение, что планарное приближение над пер-турбативным вакуумом и для решения уравнения на плотность распределения на одном отрезке, как при больших, так и при малых значений константы связи достаточно хорошо приближено данными, полученными из небольшого числа уравнений над тривиальным вакуумом- уравнения Швингера-Дайсона на пропагатор и планарно-паркетных уравнений на вершинные функции. Предполагается, что эта гипотеза имеет место и в случае нескольких полей. Это предложение было проверено для симметричной фазы модели Голдстоуна, одноразрезного решения многоследовой [124] и двуматричной моделей [125]. А для непертурбативного случая - двухразрезного полностью несимметричного решения различие между двумя подходами существенно [126]. Сильной стороной паркетного метода является то, что он позволяет исследовать модели, для которых сложно построить планарное приближение. Например, такой моделью является замкнутая многоматричная модель к матриц с дополнительным членом ЬгМгМь в действии по сравнению с обычной открытой многоматричной цепочкой. А недостатком является то, что это подход использует пертурба-тивную процедуру интегральных уравнений на пропагаторы и вершинные функции и зависит явно от потенциала взаимодействия. Это делает также трудным напрямую получение паркетной вакумной энергии и подсчет критических индексов моделей. В данной диссертации будет для удобства рассмотрен потенциал Ф4, который активно обсуждался в литературе.

Первая глава настоящей диссертации посвящена исследованию планарно-паркетного приближения для матричной модели с отрицательным квадратом массы, которая более известна как модель Голдстоуна. Здесь исследуется вопрос о том, как система паркетных уравнений описывает непер-турбативное решение на двух отрезках. Сравнение проводится для двух случаев - симметричного и полностью несимметричного решений. В этой главе представлены также основные определения и методы изучения, использующиеся в дальнейшем.

Вторая глава ставит целью сравнение двух подходов для матричной многоследовой модели с простейшим двуследовым членом вида (¿гФ2)2 в действии. Этот пример иллюстрирует общее предположение, что планарное паркетное приближение воспроизводит планарное над тривиальным вакуумом для одного матричного поля.

Целью третьей главы ставится развитие исследования двуматричной модели обычного вида с помощью планарных паркетных уравнений. Таким образом, рассматриваемый паркетный подход проверяется для случая нескольких матричных полей.

В четвертой главе рассмотрены особенности решения на двух отрезках для голдстоуновской модели с многоследовым членом. Здесь рассматриваются некоторые свойства решения на двух отрезках для случая двух констант связи. Паркетное приближение проверяется для симметричного двухразрезного решения.

В заключении приведены основные результаты диссертации.

Заключение

В настоящей работе изучались различные аспекты нульмерных эрмитовых матричных моделей. Показано, как планарное паркетное приближение воспроизводит планарные данные для некоторых простых случаев.

Основные положения, выдвигаемые на защиту, состоят в следующем.

1. Получены следующие результаты для эрмитовой матричной модели Голдстоуна.

A. Обнаружено, что решение планарных паркетных уравнений вокруг тривиального пертурбативного вакуума пригодно для описания симметричной двухразрезной фазы.

B. Оказалось, что планарное паркетное приближение над непертурба-тивным вакуумом не воспроизводит полностью несимметричное решение на двух отрезках сингулярного интегрального уравнения.

2. Для многоследовой матричной модели показано с достаточно хорошей точностью согласие между паркетио-иланарным и планарным приближениями. Сравнивались пропагаторы, четырехточечные вершины и значения критических констант связи.

3. Наблюдалось достаточно хорошее согласие между двумя рассматриваемыми в диссертации подходами для двуматричной модели с симметричным потенциалом, когда сравнивались олнотипные пропагаторы и значений критических значений константы связи. Для несимметричного случая выписаны уравнения и приведено его решение для слабой связи.

4. Рассматривалась многоследовая матричная модель Голдстоуна. Найдены области существования решения на двух отрезках в симметричном и полностью несимметричном случаях. Подсчитана вакуумная энергия и пропагатор для симметричного случая. В произвольном случае вычислены намагниченность и пропагатор. Оказалось, что наблюдается хорошее согласие при сравнении планарного паркетного приближения над тривиальным вакуумом с симметричным решением на двух отрезках многоследовой модели.

Благодарности

Автор выражает глубокую благодарность своему научному руководителю профессору И.Я. Арефьевой за поддержку и постоянное внимание к работе, а также И. Зиятдинову и Л.О. Чехову за полезные обсуждения.

1. Н.Н. Боголюбов, Д.В. Ширков. Введение в теорию квантованных полей. М. Наука, 1976

2. Л.Д. Фаддеев, А.А. Славнов. Введение в теорию калибровочных по-лей.М. Наука, 1988

3. К. Ициксон, Ж.-Б. Зюбер. Квантовая теория поля. М. Мир, 1984

4. A.M. Поляков. Калибровочные поля и струны. Ижевск. РХД, 1999

5. G.'t Hooft. A planar diagram theory for strong Iiteractions. // Nucl. Phys., B72 (1974) 461-473

6. Г. Стэнли. Фазовые переходы и критические явления М. Мир, 1973

7. W.T.Tutte. A census of planar triangulations. // Can. J.Math. 14, (1962) 21-38

8. J.Koplik, A.Neveu, S.Nussinov. Some aspects of the planar perturbation series. // Nucl.Phys. B123, (1977) 109-131

9. G 't Hooft. Counting planar diagrams with various restrictions, hep-th/9808113

10. E.Brezin, C.Itzykson, G.Parisi and J.B.Zuber, Planar diagrams. Commun. Math. Phys, 59 35-51 (1978) 35-51

11. E.Witten. The 1/N expansion in atomic and paricle physics, in: Recent Developments i Gauge Theories, eds. G.'t Hooft et al. Plenum Press, New York and London (1980).

12. S. Coleman. 1/N, in Proc. of Erice Int. School of Subnuclear Physics 1979, Plenum, N.Y., 1982, p. 80513. 0. Haan. On The Structure Of Planar Field Theory. Z.Physik C6, (1980) 345-366

13. B. Sakita. Field Theory Of Strings is A Collective Field Theory Of U(N) Gauge Field. // Phys. Rev. , D21 (1980) 1067-1092

14. A. Jevicki and B. Sakita. The Quantum Collective Field Method And Its Application To The Planar Limit. // Nucl. Phys., B165 (1980) 511-540

15. K. Bardakci. Classical Solutions And The Large N Limit. // Nucl. Phys., B178 (1981) 263-319

16. M.B. Halpern and C. Schwartz.Large N Classical Solution For The One Matrix Model. // Phys. Rev., D24 (1981) 2146-2162

17. P. Cvitanovic. Planar Perturbation Expansion. // Phys. Lett., B99 (1981) 49-65

18. I.Ya. Aref'eva. // Phys. Lett., B104 (1981) 453-464

19. Yu. Makeenko and A.A. Migdal. Quantum Chromodynamics As Dynamics Of Loops. 11 Nucl. Phys., B188 (1981) 269-276

20. A.A. Migdal. Loop equations and 1/N expansion. // Phys. Rep. 102 (1983) 199-289

21. A. Jevicki and H. Levine. Large N Classical Equations And Their Quantum Significance. // Ann. Phys., 136 (1981) 113

22. J. Greensite and M.B. Halpern Quenched Master Fields. // Nucl. Phys., B211 (1983) 343-385

23. R. Gopakumar and D. Gross. Mastering the master field. // Nucl. Phys., B451 (1995) 379-430

24. M. Douglas, Stochastic master fields. // Phys. Lett., B344 (1995) 117-142

25. I. Aref'eva and I. Volovich. The master field for QCD and q-deformed quantum field theory. // Nucl. Phys., B462 (1996) 600-612

26. T. Guhr, A. Muller-Groeling, H.A. Weidenmuller. Random matrix theories in quantum physics: Common concepts. // Phys.Rept. 299 (1998) 189312, cond-mat/9707301

27. S. Coleman, R. Jackiw, H. Politzer. Spontaneous symmetry breaking in the O(N) model for large N*. // Phys. Rev., D10 (1974) 2491-2496

28. D.Gross, A. Neveu. Dynamical symmetry breaking in asymptotically free field theories. // Phys. Rev., D10 (1974) 3225-3229

29. G. Parisi. The theory of nonrenormalizable interactions. 1. The large N expansion. // Nucl. Phys., BlOO (1975) 368-372

30. A.M. Polyakov. Interaction Of Goldstone Particles In Two-Dimensions. Applications To Ferromagnets And Massive Yang-Mills Fields. // Phys. Lett.,B59 (1975) 79-81

31. И.Я. Арефьева. 1/N разлоэ/сение для скалярных моделей// ТМФ, 29 (1976) 147

32. Е. Bresin, Y. Zinn-Justin. Spontaneous Breakdown Of Continuous Symmetries Near Two-Dimensions. // Phys. Rev., D14 (1976) 3110

33. I.Ya. Aref'eva. Phase transition in the Three-Dimensional Chiral Field. // Ann. Phys., 117 (1979) 393-404

34. M. Moshe, J. Zinn-Justin. Quantum field theory in the large N: A Review. // Phys. Rept, 385 (2003) 69, hep-th/030613335 3637 3839