Квантовые симметрии фундаментальных физических моделей тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

На правах рукописи

Салонов Павел Алексеевич

Квантовые симметрии фундаментальных физических

моделей

01.04.02 — Теоретическая физика

Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук

- 2 ПГН 2015

Протвино 2015

О

005561921

М-24

УДК 51-73

Работа выполнена в ФГБУ ГНЦ ИФВЭ НИЦ «Курчатовский институт» (г. Протвино).

Научный руководитель (консультант) — д.ф.-м.н. A.B. Разумов, Отдел теоретической физики ИФВЭ.

Официальные оппоненты: д.ф.-м.н. H.A. Славнов, Отдел теоретической физики Математического института им. В.А. Стеклова РАН, Москва, д.ф.-м.н. С.З. Пакуляк, Лаборатория теоретической физики ОИЯИ, Дубна, д.ф.-м.н. П.К. Силаев, физический факультет МГУ, Москва.

Ведущая организация - Институт теоретической физики им. Л.Д. Ландау РАН, Черноголовка.

Защита диссертации состоится "_" _2015 г. в

-часов на заседании диссертационного совета Д 201.004.01

при ФГБУ ГНЦ ИФВЭ НИЦ «Курчатовский институт» по адресу: 142281, Московская область, г. Протвино, площадь Науки, дом 1.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке и на сайте http://www.ihep.ru/pages/main/6582/6745/index.shtml ФГБУ ГНЦ ИФВЭ НИЦ "Курчатовский институт" .

Автореферат разослан "_"_2015 г.

Ученый секретарь

диссертационного совета Д 201.004.01

Ю. Г. Рябов

Общая характеристика работы

Актуальность работы.

Первые примеры квантовых матричных алгебр возникли в работах В. Дринфельда [D1] и Н. Решетихина, Л. Тахтаджяна и JI. Фаддеева [RTF] , где рассматривались алгебры квантовых функций на группах. Вскоре после этого был введен в рассмотрение другой важный класс квантовых матричных алгебр (см., например, [KSkl, KS]) — так называемые алгебры уравнения отражения. Эти алгебры представляют собой математическую основу интегрируемости различных моделей математической физики: квантовых спиновых цепочек, решеточных двумерных статистических моделей, а также моделей, конфигурационное пространство которых содержит границы. В дальнейшем квантовые матричные алгебры стали применяться для построения некоммутативной геометрии (условно говоря, пространств с неком-мутирующими координатами) и соответствующих симметрий. Одним из самых первых примеров были конструкции некоммутативного пространства Минковского и квантовой группы Лоренца. Затем стали развиваться различные версии дифференциального исчисления на квантовых группах, что потребовало введения понятия квантованных векторных полей и производных, внешнего дифференциала, дифференциальных форм, представляющих собой обобщение на некоммутативный случай соответствующих объектов классической дифференциальной геометрии.

Все эти приложения потребовали подробного изучения структуры квантовых матричных алгебр и их представлений. Основные результаты диссертации посвящены решению некоторых вопросов из этой области.

Цели диссертационной работы можно объединить в три основные группы:

• Исследование алгебраической структуры алгебр уравнения отражения &£(т|п) типа: тождества Гамильтона-Кэли, спектр квантовой матрицы и спектральное расширение центра алгебры, структура твистованного коумножения.

• Построение теории конечномерных представлений, вычисление спектра центральных элементов.

• Приложение к некоммутативной геометрии: определение квантового многообразия и дифференциально-геометрических структур на нем: векторных полей, частных производных по некоммутативным координатам, инвариантных дифференциальных операторов высших порядков (один из примеров — оператор Лапласа). Получение уравнений в некоммутативном пространстве, являющихся аналогами уравнений Клейна-Гордона, Шре-дингера для водородоподобных атомов и других, а также исследование их решений.

К защите представляются следующие основные результаты:

1. Для широкого класса квантовых матричных алгебр, параметризуемых Д-матрицами СЬ(т\п) типа, найдены матричные тождества, обобщающие известные тождества Гамильтона-Кэли матричной алгебры. Коэффициенты тождества представляют собой квантовые функции Шура, правило их перемножения совпадает с классическим правилом Литтлвуда-Ричардсона.

2. Найдены серии билинейных тождеств на симметрические функции Шура. С помощью этих тождеств получена факторизация полинома Гамильтона-Кэли, что позволило инвариантным образом ввести понятия четных и нечетных собственных значений квантовой матрицы. Найдена параметризация центра квантовой матричной алгебры в терминах спектральных значений.

3. Построена квазитензорная категория конечномерных представлений специального класса квантовых матричных алгебр — алгебр уравнения отражений. Найдено правило перемножения конечномерных модулей на основе твистованного коумножения в

алгебре. Вычислен спектр операторов Казимира в конечномерных модулях, параметризуемых одностолбцовыми и однострочными диаграммами Юнга.

4. Введено понятие квантового многообразия (пространства с некоммутативными координатами) — квантованной орбиты коприсо-единенного действия группы Ли СЬ(п) на пространстве дГ(тг) — дуальном алгебре Ли д1(п). Алгебра функций на таком многообразии задается в виде фактора алгебры уравнения отражений по идеалу, порожденному полиномиальными соотношениями на центральные элементы.

5. Введены понятия касательных векторов и инвариантных дифференциальных операторов, действующих на функции на многообразии. Важным примером такого оператора является оператор Лапласа. Построена алгебра некоммутативных частных производных, найдено модифицированное правило Лейбница, позволяющее вычислять действие этих производных на некоммутативных функциях.

6. В качестве приложения математических конструкций некоммутативной геометрии рассмотрены модели атома водорода в некоммутативном пространстве и свободные полевые уравнения Клейна-Гордона и Дирака. Для атома водорода вычислены поправки в спектр и волновую функцию, происходящие от некоммутативности пространства, для свободных полевых уравнений найдены решения в виде аналогов плоских волн.

Научная новизна

Полученные в диссертации результаты являются новыми и представляют собой значительный вклад в развитие теории интегрируемых моделей современной теоретической и математической физики.

Личный вклад автора

Все представленные к защите диссертации результаты получены автором лично или с его решающим участием.

Публикации

Основные результаты диссертации изложены в 14 журнальных публикациях. Все журналы входят в список, одобренный ВАК:

1. D. Gurevich, P. Saponov, Quantum line bundles via Cayley-Hamilton identity, Journal of Physics A: Math. Gen. 34 (2001) 4553 - 4569.

2. D. Gurevich, P. Saponov, Quantum line bundles on a noncommutative sphere, Journal of Physics A: Math. Gen. 35 (2002) 9629-9643.

3. Д. Гуревич, П. Салонов, Неодномерные представления алгебры уравнения отражений, Теоретическая и математическая физика, том 139 (2004) 45-61.

4. P. Saponov, The Weyl approach to the representation theory of reflection equation algebra, Journal of Physics A: Math. Gen. 37 (2004) 5021-5046.

5. Д.И. Гуревич, П.Н. Пятов, П.А. Сапонов, Теорема Гамилътона-Кэли для квантовых матричных алгебр GL(rn\n) типа. Алгебра и Анализ, том 17 (2005) 157-179.

6. Д.И. Гуревич, П.Н. Пятов, П.А. Салонов, Квантовые матричные алгебры GL{m\n) типа II: структура характеристической подалгебры и ее спектральная параметризация, Теоретическая и Математическая Физика, том 147 (2006) 14-46.

7. D. Gurevich, P. Saponov, Geometry of non-commutative orbits related to Hecke symmetries, Contemporary Mathematics, 433 (2007) 209-250.

8. D.I. Gurevich, P.N. Pyatov, P.A. Saponov, Representation theory of (modified) reflection equation algebra of GL(m/n) type, Алгебра и Анализ, том 20 (2008) 70-133.

9. Д. Гуревич, П. Пятов, П. Салонов, Спектральная параметризация для степенных сумм квантовых суперматриц, Теоретическая и математическая физика, том 159 (2009) 206-218.

10. D. Gurevich, P. Saponov, Braided affine geometry and q-analogs of wave operators, Journal of Physics A: Math, and Theor., 42 (2009) 313001.

11. D. Gurevich, P. Pyatov, P. Saponov, Bilinear identities on Schur symmetric functions, Journal of Nonlinear Mathematical Physics 17, Supplementary Issue 1 (2010) 31-48.

12. D.I. Gurevich, P.A. Saponov, Generic super-orbits in gl{m\n)* and their braided counterparts, Journal of Geometry and Physics 60 (2010) 1411-1423.

13. D. Gurevich, P. Pyatov, P. Saponov, Braided Differential Operators on Quantum Algebra, Journal of Geometry and Physics 61 (2011) 1485-1501.

14. D. Gurevich, P. Saponov, Braided algebras and their applications to Noncommutative Geometry, Advances in Applied Mathematics 51 (2013) 228-253.

Структура и объём диссертации. .Работа изложена на 162 страницах, состоит из введения, четырех глав, заключения и двух приложений. Список цитируемой литературы содержит 114 ссылок.

Краткое содержание работы

Введение содержит краткий обзор темы, мотивировки и общее описание результатов, представленных к защите.

Первая глава посвящена структуре квантовой матричной алгебры. После введения определения квантовой матричной алгебры и иллюстрации его примерами алгебры квантованных функций на группе и алгебры уравнения отражений рассматривается так называемая характеристическая подалгебра, элементы которой порождаются следующим образом.

Рассмотрим подпространство СЬёг(Д,.Р) с М(Е, являющееся линейной оболочкой единицы и элементов вида

у(хЮ) = Ъл(1...А) (Мт... Л%РД(*<*>)) к = 1,2,..., (1)

где х^ — всевозможные элементы алгебры Пк (?). Символом Тг (и _ к здесь обозначена операция взятия И-следа по пространствам ^первого по к-е.

Пространство СЬаг(Д,.Р) является коммутативной подалгеброй алгебры М(Л,Р). Эту подалгебру мы будем называть характеристической.

Введем в рассмотрение два набора элементов характеристической подалгебры: (р*(М)} и {зл(М)}, элементы которых будем называть, соответственно, степенными суммами и функциями Шура. Для каждого целого к > 1 обозначим

рк(М) (2)

В случае, если Я — Л-матрица геккевского типа, для всякого разбиения Л Ь- к, к = 1,2,..., обозначим

50(М):=1, 8х(М):^Тгн(и__к)(МТ...М^рн(Е^). (3)

Выражение в правой части (3) не зависит от выбора индекса а матричной единицы.

Утверждение 1 Для всякой квантовой матричной алгебры М(Я,Е) геккевского типа

а) ее характеристическая подалгебра СЬаг(Д, F) порождается единицей и степенными суммами pk(M), к = 1,2,...;

б) набор функций Шура s\(M), А I- к, к = 0,1,..., является линейным базисом Char(R,F).

В классическом матричном анализе хорошо известна теорема Га-мильтона-Кэли, которая утверждает, что для любой квадратной матрицы М с матричными элементами из поля К, выполнено тождество

Д(М) = 0, (4)

где А(.т) = det(М — xl) — характеристический полином матрицы М. Если поле К алгебраически замкнуто, то коэффициенты этого полинома являются элементарными симметрическими функциями собственных значений М. В дальнейшем для простоты мы полагаем К полем комплексных чисел С.

Одним из основных результатов первой главы является обобщение теоремы Гамильтона-Кэли на случай квантовых матричных алгебр GL(m\n) типа.

Теорема 2 Пусть М = ||М/|||^=1 — матрица образующих квантовой матричной алгебры Ai(R,F), задаваемой по паре совместимых, строго кособратимых R-матриц R и F, причем R есть R-матрица GL(m\n) типа. В алгебре M(R,F) тождественно выполняется матричное соотношение

п+т _

J2Mm+n-ic. =0j ф

г=0

где Мг есть i-я степень квантовой матрицы, а коэффициенты Ci являются линейными комбинациями функций Шура (см. определение (3)).

Функции Шура, входящие в формулу для коэффициента Ci, являются однородными полиномами степени (тп + г) по матричным

компонентам М- . Таким образом, любой матричный элемент левой части тождества (5) является однородным полиномом степени (тп + га + п) по М.{.

Выражения для коэффициентов С* в терлтнах функций Шура графически можно представить в виде

П клеток

min{i,m} fc=max{0,(i—n)}

(6)

(i — fc) клеток

где под каждой из диаграмм Юнга подразумевается соответствующая ей функция Шура.

Далее в разделе рассматривается структура характеристической подалгебры и доказывается важное утверждение о произведении квантовых функций Шура.

Теорема 3 ([вРЭЗ]) Рассмотрим квантовую матричную алгебру М.{И,Р) Геккевского типа, генераторами которой являются компоненты матрицы М. Пусть параметр q удовлетворяет ограничению

Гк

ко = ^-—zr * 0. q-q 1

Тогда умножение элементов (3) характеристической подалгебры СЬаг(Л, Р) подчиняется следующему правилу

Sx(M)Sft(M)= £ cfa„{M),

iA- (fc+n)

(7)

где А Ь п и ¡1 Ь к есть произвольные разбиения, sx(M),sfl(M) G Char (R,F) являются функциями Шура, а константы Сд^ совпадают с коэффициентами Литтлвуда-Ричардсона ([Мае], раздел 1.9).

Квантовые функции Шура удовлетворяют серии билинейных тождеств (они оказваются верными и для классических функций Шура), что позовляет записать тождество Гамильтона-Кэли в факторизо-ванном виде.

Теорема 4 (Факторизованное тождество Кэли-Гамильтона)

В предположениях теоремы 2 справедливо факторизованное тождество Гамильтона-Кэли

т __/«Ц- __\

( $>«)* М™-*е[тНк (М)) * ( £ д- ЛГ~,Мв1г (М)) = 0 ■ (8)

к=0 г=0

Необходимым и достаточным условием эквивалентности тождеств (5) и (8) является обратимость функции Шура Я[т|п](М).

Факторизация тождества Кэли-Гамильтона указывает естественную параметризацию характеристической подалгебры квантовой матричной алгебры СЬ(т\тг) типа. А именно, рассмотрим гомоморфное отображение соответствующей характеристической подалгебры СЬаг(Я,.Р) в алгебру полиномов от двух наборов коммути-

рующих переменных ц := {/^}1<*<т и и := Гомоморфизм

СЬаг(Л, Р) ->■ С\р, и\ : з\(М) н-> который мы будем называть

параметризационным отображением, задается формулами1

1 < к < тп :

£ О)

1 < г < п :

VI «](М) VI"] ^

1<<1<—<гт<тп

■■= £ (-9)4-1 ■•■^■г- (Ю)

Отметим, что параметризационное отображение требует обратимости функции 5[т|„] (М)- Степени параметра д введены в формулы (9) - (10) с целью упрощения записи тождества (11).

1 Здесь мы дополнительно предполагаем алгебраическую независимость эле-

Соотношения (9) и (10) задают гомоморфизм характеристической подалгебры СЬаг(Л, -Р) в подалгебру суперсимметрических полиномов от наборов переменных и {—дг^}. Теперь нетрудно записать характеристический полином (5) в полностью факторизо-ванном виде:

?тг п

(5Нп] (м) 7)*2 * П(м - * П(м - V) ^0 • (")

г=1 3=1

Здесь все произведения понимаются в смысле квантового матричного умножения.

Приведенная выше полностью факторизованная форма тождества Кэли-Гамильтона служит основанием для интерпретации наборов {щ} и {г^} как, соответственно, "четных" и "нечетных" собственных значений квантовой суперматрицы М.

Завершается глава спектральной параметризацией характеристической подалгебры и выяснением условий на спектр квантовой матрицы, которые обеспечивают обратимость функции Шура 3[т|п].

Вторая глава посвящена теории конечномерных представлений квантовых матричных алгебр специального вида — так называемых алгебр уравнения отражений СЬ{т\п) типа. Одной из проблем теории представлений является сложность правила коумножения в алгебре уравнения отражений (так называемое твистованное коумно-жение), что, в свою очередь, влечет непростые правила перемножения конечномерных представлений рассматриваемой алгебры.

Начинается глава рассмотрением общей формы симметрий Гек-ке, задающих алгебру уравнения отражений, и построением на этой основе квазитензорной категории векторных пространств, в которых реализуются представления алгебры уравнения отражений.

Зафиксируем некоторую симметрию Гекке Я : У®2 —> У®2 и рассмотрим 7?-симметрическую Л+(У) и Д-кососимметрическую Л_(У) алгебры пространства V, которые определяются как следующие фактор-алгебры свободной тензорной алгебры Т(У)

А±(Т0 := Г(У)/((1ш(д±1112 =р Д12)>, /12 = 7 ® /. (12)

Символом (J) обозначен двусторонний идеал в T(V), порожденный подмножеством J С T(V).

Составим далее ряд Гильберта-Пуанкаре алгебр A±(F):

fc>0

где С Л±(У) есть однородные компоненты степени к.

Решающую роль в классификации возможных форм симметрии Гекке играет следующее утверждение.

Утверждение 5 Пусть R есть произвольная симметрия Гекке при некотором общел1 значении параметра а. Тогда имеют место следующие свойства рядов Гильберта-Пуанкаре:

1. Ряды Гильберта-Пуанкаре P±(t) связаны соотношением

P+(t)P-(-t)=-1.

2. Ряд Гильберта-Пуанкаре P—(t) (и следовательно P+(t)) представляет собой рациональную функцию вида:

т N{t) 1 + a\t + ... + ат tm =

D(t) 1 — bi i -г ... + (—1)" bn tn n^=i(l -Vjt) '

(14)

где коэффициенты ai и bi есть натуральные числа, полиномы N(t) и D{t) взаимно просты и все вещественные числа Xi и yi являются положительными.

3. Если, кроме того, симметрия Гекке R косообратима, то полиномы N(t) и D(—t) являются возвратными2.

Упорядоченная пара чисел (т|тг) из формулы (14) называется би-рангом симметрии R.

2Напомним, что полином р(£) = со + СгЬ + • • • + Сп<п с вещественными коэффициентами Сг называется возвратным, если р(£) = ¿пр(£-1) или, эквивалентно, а = Стг—г, 0 < г < п.

Обратимся теперь к некоторым важным следствиям Утверждения 5. Пусть симметрия Гекке Я имеет би-ранг (ш|гг). Как известно, с помощью симметрии Я можно построить представления рд алгебр Гекке Нк(д) серии А^-х (для к > 2) в однородных компонентах у®Р с Т(У) для всех р > к:

РП ■ Нк(д) Епс1(^®Р), р>к.

В представлении рп примитивные идемпотенты алгебры Гекке е„ £ Нк(д), А Ь к, превращаются в проекционные операторы

Рп(еха) = Е$(П) е Епс1(У®Р), р>к, (15)

индекс а перечисляет все стандартные таблицы Юнга (А, а), которые могут быть построены по данному разбиению А натурального числа к. Общее число стандартных таблиц, соответствующих разбиению А, будем обозначать символом с1\.

Всякое пространство У®р, р > 2, может быть разложено в прямую сумму собственных подпространств приведенных выше проекторов

<1ц

^ = Ум = 1т(Е£). (16)

/II-р а=1

Поскольку проекторы Е£, отличающиеся только значением индекса а, связаны обратимым преобразованием, то все подпространства с Фиксированнь1м разбиением /2 и различными значениями а изоморфны друг другу.

При значениях параметра д из общего положения алгебра Гекке Нк(д) изоморфна групповой алгебре симметрической группы

порядка к. Опираясь на этот факт, мы можем доказать следующий результат [ОЬ81, РЬ]:

0 (17)

где А Ь р, р, I- к, и Н (р+к), а неотрицательные целые числа Сд^ представляют собой коэффициенты Литтлвуда-Ричардсона (см. [Мае]),

индекс dab таблиц Юнга принимает значения из некоторого подмножества 1аъ С {1,2, ...,d„}, которое зависит от значений исходных индексов а и 6. Число do в последнем равенстве относится к индексу любой фиксированной таблицы Юнга из множества {ь>, d), 1 < d < du.

Примером подпространств служат однородные компоненты Л+(У) и AÍ(V) алгебр Л±(У) (12). Они являются образами проекторов ЕЮ и Е(П , отвечающих однострочным и одностолбцовым разбиениям (к) и (lfc) соответственно. Этот важный факт позволяет вычислить размерности над основным полем К всех пространств V(A,a), при условии, что ряд Гильберта-Пуанкаре P~(t) известен. Поскольку все пространства V(A,a), отвечающие одному разбиению А изоморфны, мы будем обозначать их K-размерности символом dim Уд.

Чтобы продвинуться дальше, нам будет необходимо приведенное ниже следствие Утверждения 5.

Следствие 6 Пусть симл1етрия Гекке R имеет би-ранг (т\п), и ряд Гильберта-Пуанкаре соответствующей алгебры Л_(У) дается выражением (14). Тогда размерности подпространств V^) п V(ik)> определяемых разбиениями (к) и (lfc) для всех к € N, задаются формулами

к

dimV(jt) = s{k)(x\y) :=Y^hi(x)ek-i(y), (18)

г=0 к

dimV(lfc) = s{lk](x\y) , (19)

¿=o

где hi и e¿ являются соответственно полной симметрической и элементарной симметрической функциями своих аргументов.

Супер-симметрические функции Шура определяют значения размерностей dim V\. Для формулировки соответствующего результата, нам необходимо еще одно определение.

Определение 7 Зафиксировав произвольные целые числа т > О и п > 0, рассмотрим разбиения А = (Ai, Аг,...), удовлетворяющие

ограничению Am+i < п. Множество всех таких разбиений будем обозначать символом H(m,n) и любое разбиение А €Е H(m,n) из этого множества будем называть крюком типа Н (т,п).

Утверждение 8 ([Ph]) Пусть симметрия Гекке R имеет би-ранг (■тп\п). Тогда размерности dim V\ подпространств, входящих в разложение (16), определяются следующими правилами:

1. Для любого разбиения А = (Ai,..., А к) € Н (т,п) размерность dim V\ ф 0 и выражается формулой

dimFA = вЛ(а;|у). (20)

Здесь

sx{x\y) = det ||s(Xl_i+i)(a:|y)||i<<j<fc ,

где при к > 0 су пер-симметрическая функция S(fc)(:r|y) определяется выражением (18), а при к < 0 s^) '■— 0.

2. Для произвольного разбиения А имеем

dim= 0 А£Н(т,п).

Затем в главе строится квазитензорная категория векторных пространств Уд, в которые будут наделены структурой модуля над алгеброй уравнения отражений. Центральным пунктом этой конструкции является расширение косообратимой Д-матрицы на дуальное пространство У* (точнее, на прямую сумму У ® У*):

Утверждение 9 Пусть оператор Ф является косообратным к R-матрице R . Определим расширение R до линейного оператора

R:(V® У*)®2 (У © У*)®2 (сохранив для расширенного оператора то же самое обозначение) в

соответствии с правилами V ® V* У* 0 V V* ® V V <Е> V* V* ® V* -> V* ® У* У 0 V ®У

Я(х{®х*)=хк®ач (Д"1)^', Я (У 0 Хг) =хк®х1 Ф^? , Д(хг 0 х^) =хк ®х1 ЩЦ , Д(аг,- = XI 11$.

Тогда расширенный оператор Д будет В.-матрицей, заданной в пространстве (V © V*)®2, то есть, будет решением уравнения Янга-Бакстера в пространстве (V © У*)®3.

Это позволяет определить генераторы алгебры уравнения отражений как вектора пространства V® V* и задать неприводимое представление в пространствах V и V*. Для задания представления в тензорных степенях У®'"', важно знать структуру коумножения в алгебре.

Коумножение Д осуществляет гомоморфизм алгебры модифицированного уравнения отражений в некоторую ассоциативную твисто-ванную алгебру Ь(Дд), которая определяется следующим образом.

• Как векторное пространство над полем ЗК алгебра Ь(Дд) изоморфна тензорному произведению двух копий алгебры модифицированного уравнения отражений

Ь(Дд) = £(Цд, 1) ®£(Дд, 1).

• Произведение в алгебре * : Ь(Дд)®2 —» Ь(Д9) определяется правилом:

{ах ® Ъг) * (а2 ® Ь2) := аха'2 ® Ь'^ , сц 0 Ь{ € Ь(Д9), (22)

где а\а'2 и Ь\Ь'2 представляют собой обычные произведения элементов алгебры модифицированного уравнения отражений, а а[ и Ь[ есть результат действия твиста ДЕпа на вектор Ь\ 0 а2

а'2 0 Ь[ := ДЕпс1(Ь1 ® а2). (23)

Определим линейное отображение А : С(В,Ч, 1) -> Ь(/?,7) следующим правилом:

А{е£) := ее ® ее

А(1{) := 1{®ес + ес®Ц-{ч- 9"1) % ® % (24) А(аЬ) := А(а) * А(Ь) У а, Ь € £(Пд, 1).

Это отображение и является искомым коумножением.

Рассмотрим теперь вопрос о том, какие представления алгебры Ь(Лд) можно построить, основываясь на представлениях алгебры модифицированного уравнения отражений. Выбрав два эквивариант-ных модуля над алгеброй модифицированного уравнения отражений 11 н]У с представлениями ри '■ 1) —> Епс1({7) и ру/ 1) —>

Епс^ТУ), построим отображение ри®IV '■ ЦД?) —>■ Епс1(£/ ® \¥) по следующему правилу:

ри®\у(.а®Ъ)>(и<8>ю) = (ри (а) > «') ® (р\у (Ь')>ии), а®Ь £ ,

(25)

где символ > обозначает действие оператора, а элемент(ы) Ь' и век-тор(а) и' получаются действием соответствующего твиста (зависящего от Ь и и) категории Э\У(У(т|п))

и' <8>Ь' := Н(Ь®и).

Теперь основная теорема теории конечномерных эквивариантных представлений алгебры уравнения отражений формулируется следующим образом.

Теорема 10 Пусть V и являются двумя модулями над алгеброй £(Нд,1) с эквивариантными представлениями ри и ру/- Тогда эквивариантное представление £(Яд, 1) -> Еп(1(С/ <8> IV) задается правилом:

а ^ ри^(А{а)), У а € £(Яд, 1), (26)

где коумножение А и отображение ри®\У определены формулами (24) и (25) соответственно.

Завершается вторая глава вычислением спектра элементов Казимира (генераторов центра алгебры) в представлениях, параметризуемых однострочными и одностолбцовыми диаграммами.

Третья глава посвящена приложению алгебры уравнения отражений к построению некоммутативной геометрии. В начале главы дается определение квантованной полупростой орбиты коприсоеди-ненного действия группы СЬ(т) на пространстве д1*{п) — дуальном к алгебре Ли д1(п). Как известно, такая орбита задается некоторой диагональной матрицей;

М = ¿гад[ц\,..., /хш].

Вначале рассматривается случай орбиты общего положения, когда все собственные значения этой диагональной матрицы попарно различны. Тогда алгебра квантованных функций на этой орбите определяется как фактор алгебры уравнения отражений по идеалу, порожденному следующими полиномиальными соотношениями:

х(сгкЩ) =<*к= • • • (27)

1<11 <—<1к<т

где сгпредставляют собой элементарные симметрические функции (функции Шура, параметризованные столбцом высоты к). Следы степеней квантовой матрицы в этом факторе параметризуются следующим образом.

Утверждение 11 Пусть центральные элементы <Тк{Ь) параметризованы в соответствии с (27). Тогда справедливы формулы

т

= = (28) 1=1

где

т _1

тгг^-д /Ц (29)

У

Если полупростая орбита характеризуется кратными собственными значениями ¡ц с кратностями тп{, 1 < г < й, где

77114-----Ь ТП3 — ТП,

то квантование алгебры функций на такой орбите описывается следующим фактором алгебры уравнения отражений.

Во-первых, идеал, порождающий фактор, содержит матричные элементы минимального тождества Гамильтона-Кэли на квантовую матрицу:

(¿-/л)...(£-А*в) = 0.

Во-вторых, элементарные симметрических функции должны фиксироваться следующими соотношениями:

х(ак(Ь))= ^ •■•*'<*>

1<11<---<г£<771

где щ представляют собой набор ш различных значений, строящихся по следующей схеме. Для каждого собственного значения с кратностью тгц определяетя "струна" значений по правилу

VI = Щ, V2 = q~'2Vl + ..., vmt= q~2vrni-1 + (30)

Таким образом, в квантованной орбите все собственные значения становятся попарно различными. Классический предел отвечает значениям д = 1, К = 0.

Четвертая глава посвящена построению алгебры квантованных векторных полей и частных производных на алгебре уравнения отражений, трактуемой как алгебра квантовых функций на д1*{т). Ключевыми требованиями является инвариантность алгебры относительно (ко)действия КГТ алгебры и плоскость деформации. Рассматривается конструкция инвариантных дифференциальных операторов, ограничение всего исчисления на квантованные орбиты, а также вводятся понятия квантового радиуса и радиальной части оператора Лапласа. Эти понятия позволяют обобщить на некоммутативное пространство некоторые модели теоретической и математической физики, таки как уравнения Шредингера в центральном поле, уравнения Клейна-Гордона и Максвелла для свободного поля.

В частности, было рассмотрено радиальное уравнение Шрединге-ра для состояний водородоподобного атома, характеризующихся нулевым орбитальным моментом электрона (спином электрона в этой простейшей модели пренебрегаем). Как известно, среди таких состояний находится и основное состояние атома. Энергия основного состояния и соответствующее решение уравнения ("волновая функция" в некоммутативном пространстве) определяется системой трансцендентных уравнений, которые сводятся заменой переменных к кубическому уравнению, зависящему от параметра некоммутативности пространства. Из трех решений этого уравнения одно переходит в классическое решение при нулевом параметре некоммутативности пространства, а смысл двух других решений пока остается не ясным. Влияние некоммутативности пространства на физически интерпретируемое решение сводится к увеличению энергии основного состояния и увеличению среднего размера атома по сравнению с коммутативным случаем:

Здесь Е и Ео — энергия основного состояния в некоммутативном и коммутативном случаях соответственно, сг-1 и а^1 — параметры, пропорциональные среднему радиусу атома, в — параметр, контролирующий некоммутативность пространства (0 = О отвечает коммутативному пространству), = — постоянная тонкой структуры и длина волны Де Бройля для электрона соответственно.

Заключение содержит краткий обзор полученных результатов и обсуждение некоторых перспектив и нерешенных проблем.

Список литературы

[Dl] Drinfel'd V.G., 'Quantum groups'. Proceedings of the International Congress of Mathematicians, Vol. 1, (Berkeley,

Calif., 1986), 798-820, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 1987.

[GLS1] Gurevich D., Leclercq R., Saponov P. Traces in braided categories, J. Geom. Phys. 44 (2002), 251-278.

[GPS3] Гуревич Д.И., Пятов П.Н., Сапонов П.А., Квантовые матричные алгебры GL{m\n) типа II: структура характеристической подалгебры и ее спектральная параметризация, Теор. Мат. Физ., том 147, №1 (2006), стр. 14-46.

[RTF] Решетихин Н.Ю., Тахтаджян JI.A, Фаддеев Л.Д., 'Квантование групп и алгебр Ли', Алгебра и анализ, том 1, вып. 1 (1989) 178-206.

[KSkl] Kulish P.P., Sklyanin E.K., 'Algebraic structures related to reflection equations'. J. Phys. A 25 (1992) no.22, 5963-5975.

[KS] Kulish P.P., Sasaki R., 'Covariance Properties of Reflection Equation Algebras'. Prog. Theor. Phys., 89 (1993) 741 - 731.

[Mac] Macdonald I. G., 'Symmetric Functions and Hall Polynomials (Oxford Mathematical Monographs)', Oxford University Press, 1998.

[Ph] Phung H.H. Poincare Series of Quantum spaces Associated to Hecke Operators, Acta Math. Vietnam 24 (1999) 235-246.

Рукопись поступила 21 июля 2015 года.

Автореферат отпечатан с оригинала-макета, подготовленного автором. П.А. Салонов

Квантовые симметрии фундаментальных физических моделей. Оригинал-макет подготовлен с помощью системы b^TfjX.

Подписано к печати 22.07.2015. Формат 60 х 84/16. Цифровая печать. Печ.л. 1,5. Уч.-изд.л. 2,3. Тираж 100. Заказ 15. Индекс 3649.

ФГБУ ГНЦ ИФВЭ НИЦ «Курчатовский институт»

142281, Московская область, город Протвино, площадь Науки, дом 1

www.ihep.ru; библиотека http://web.ihep.su/library/pubs/all-w.htm

Индекс 3649

АВТОРЕФЕРАТ ФГБУ ГНЦ ИФВЭ НИЦ "Курчатовский институт", 2015