Некоторые вопросы математического моделирования динамики влаги и солей в почвах тема автореферата и диссертации по физике, 01.04.02 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I.МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ ВОДЫ В ПОЧВЕ.

§ I.Модель испарения и конденсации влаги.

Определение коэффициентов.

§ 2.Проверка модели испарения-конденсации на соответствие эксперименту.

§ 3.Задача о фазовом переходе (задача Стефана) применительно к испарению воды.

§ 4.Конденсация почвой атмосферного пара.

§ 5."Балансовая" модель.Моделирование долговременного эксперимента.

§ 6.Определение параметров движения воды в почве.

ГЛАВА 2.МОДЕЛИРОВАНИЕ ДВИЖЕНИЯ СОЛЕЙ В ПОЧВАХ.

§ I.Моделирование опытных данных по промывке засоленных почв.

§ 2.Сравнение моделей солепереноса по моментам решений.

§ 3.Определение коэффициентов модели II по моментам решений.

ГЛАВА З.ТРЙ МАТЕМАТИЧЕСКИЕ ЗАДАЧИ,ВОЗНИКАЮЩИЕ ПРИ

МОДЕЛИРОВАНИИ ПОЧВЕННЫХ ПРОЦЕССОВ.

§ 1.0 решении одной квазилинейной гиперболической системы.

§ 2.06 оптимальном управлении процессом сорбции.

§ 3.Исследование системы уравнений с нелинейностью гистерезисного типа.

Диссертация посвящена вопросам математического моделирования движения вещества в пористых неоднородных средах применительно к переносу влаги и солей в почвах. Необходимость математического моделирования таких процессов определяется как важностью водного и солевого режима почв для сельскохозяйственного цроизводства, так и эффективностью математического моделирования как инструмента для познания природных явлений.

Для расчета водного и солевого режима необходимо иметь математическую модель с известными значениями входящих в нее коэффициентов. Для этого в силу большого разнообразия почв в каждом практическом случае, как правило, необходимо решать обратную задачу определения коэффициентов модели. Точность опытного материала для решения обратной задачи ограничена, поэтому сложность математической модели должна соответствовать точности экспериментальных данных. Из сказанного следует, что модель, учитывая основные физические процессы для верного описания явления в различных режимах, должна содержать минимальное число неизвестных коэффициентов для устойчивого решения обратной задачи их определения. Целесообразно пользоваться различными моделями в зависимости от сути моделируемого явления, точности исходной информации и требуемой точности прогноза. Особенно важен выбор модели при моделировании движения влаги и солей в естественных условиях. В этих условиях почва представляет из себя сильнонеоднородную пористую среду, характеризующуюся большим разбросом параметров. Коэффициенты моделей определяют обычно в относительно узком классе режимов эксперимента. При этом, в особенности в условиях малой точности, различные модели могут оказаться эквивалентными.

То есть дадут решения, различие которых лежит в пределах точности эксперимента. Однако при составлении прогноза объем наблюдений расширяется, и те же модели могут дать решения, расходящиеся выше допустимого предела. Тем самым весьма важным является изучение задачи определения моделей почвенных процессов. Представляет интерес исследование полученных моделей. Они могут применяться для описания явлений не только в почвах, но и в других пористых средах. А поэтому их изучение имеет и чисто математическое значение.

Целями диссертации являются: I. Определение математических моделей движения влаги и солей в почвах, сопоставимых по точности с экспериментом. Это включает в себя выяснение основных физических явлений, учет которых достаточен для описания процесса, и разработку методики решения обратных задач определения неизвестных коэффициентов модели. 2. Исследование моделей как с точки зрения даваемых ими физических результатов, так и с математической стороны. Изучение вопросов существования и единственности решений прямых и обратных задач, методов численного построения решений.

Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Во введении дан краткий обзор имеющихся работ, постановка возникающих задач, описано содержание глав и полученные в них результаты.

Сформулируем кратко основные выводы и результаты, получен ные в диссертации.1. Рассмотрены процессы испарения и конденсации влаги в системе почва-вода в жидкой фазе-водяной пар. Решена обратная задача определения неизвестных коэффициентов модели испарения -КОБденсации. Доказана теорема единственности решения обратной задачи в одной из постановок. Опробована методика определения коэффициентов по опытныгл данныгл. Для проверки соответствия моде ли эксперигленту сравнивались численные решения модели и экспери ментальные данные. Получено хорошее соответствие. На экспери ментальном материале показано, что процесс испарения можно мо делировать аналогично классической задаче Стефана о фазовом пе реходе. Решены обратная и прямая задачи. На основе рассмотрен ных влоделей решен вопрос о конденсации атмосферного водяного пара в верхних слоях почвы при наличии гармонических колебаний температуры поверхности. Показано, что возможна и внутригрунто вая конденсация влаги из атмосферного воздуха в случае наличия отрицательного градиента температуры и неоднородностей почвы.2. Исследована задача моделирования движения влаги в жид кой форме в полевых условиях. Как показано, в условиях малой точности экспериглента, характерной для полевых исследований, нет необходшлости пользоваться уравненишли в частных производ ных. Решена задача описания данных долговременных наблюдений с помощью "балансовой" модели, которая описывает средние значения величин по слоям почвы. Для кратковременных экспериментов по промывке почв сильным потоком воды используется уравнение пере- 172 -

носа. Решена задача определения двух неизвестных функций дая такой модели по экспериментальныгл данныгл. Получено аналитическое решение задачи.3. Исследованы три наиболее употребительные модели движения солей в почвах с точки зрения определения модели солепереноса.Рассмотрены типичные опытные данные по прокшвкам почв в типичном водном режиме. Показано, что принципиально разные модели в усло виях большого разброса данных могут оказаться эквивалентными.Тем саглым для однозначного определения модели необходимы критические экспершленты, разделяющие модели. Указаны характеристики опытных данных, по которым можно идентифицировать модель из круга обычно рассматриваеглых. Этими характеристиками являются пространственные моменты распределения солей. Сравнены модели по даваемыгл и^ш мо ментам. Показано, что моменты позволяют разделять модели. Решена обратная задача определения коэффициентов модели П по опытны^л данныгл о динамике моментов распределения солей. Доказана теорема единственности. Методика решения обратной задачи опробована по результатагл численного эксперимента и обобщена на случай слоистых

4. Построено обобщенное решение одной квазилинейной гипербо лической систегды двух уравнений вида, встречающегося в цриложе ниях (например, в теории движения солей в почвах). Доказательст во сзгществования решения игяеет конструктивный характер для чис ленных методов решения таких систем. Показано, что в случае од ного уравнения используемый метод дает единственное устойчивое решение. Для системы уравнений сорбции рассмотрена задача опти мизации процесса по конечному результату и количеству затрат на него. Доказано существование оптимального управления, выведены и обоснованы необходимые условия оптимальности. Рассмотрена модель

испарения-конденсации влаги с точки зрения корректности поста новки прямой задачи. Установлен класс существования и единствен ности решения.Автор считает своим приятным долгом поблагодарить своего научного руководителя доцента, кандидата физ.-мат, наугс Николая Андреевича Тихонова за постановку задач, постоянную по мощь и подцержку, удовольствие совместной работы; коллектив ка федры математики физического факультета ЬТУ во главе с профес сором А.Г.Свешниковым, учивший и воспитывавший автора; ученых -почвоведов И.И.Судницына, Р.И.Зайцеву, О.С.Новикова за совмест ную работу.