Некоторые вопросы теории эволюционных задач на сетях тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.02 ВАК РФ

Введение

1 Волновое уравнение на пространственной сети

1.1 Волновое уравнение на пучке.

1.2 Геометрический граф и волновое уравнение на нем

1.3 Согласованные продолжения /е для функции /, заданной на графе.

1.4 Аналог формулы Даламбера на сети.

1.5 Единственность решения задачи Коши

1.6 Непрерывная зависимость решения от начальных данных

2 Обобщенные решения волнового уравнения на конечном графе

2.1 Используемые понятия и определения.

2.2 Свойства оператора — Дг и порождаемой им КОФ.

2.3 Обоснование метода Фурье для волнового уравнения

2.4 Ограниченность решений волнового уравнения в пространстве Со (Г) в случае графа с соизмеримыми ребрами

2.5 Теорема о спектре оператора — Дг.

2.6 Квази-периодичность решений волнового уравнения

2.7 Пример графа, на котором волновое уравнение имеет непериодические решения

Дифференциальные уравнения на пространственных сетях (геометрических графах), привлекшие пристальное внимание математиков около двух десятилетий назад, актуальны в самых различных разделах техники и естествознания. Они возникают при описании явлений в непрерывных системах сетеподобной структуры (электрических, гидравлических, акустических сетях, тепловодах, волноводах, нейронных и вычислительных системах, упругих решетчатых конструкциях, электронных системах и т.д.).

Первые математические постановки краевых задач для дифференциальных уравнений на сети связаны с именами G. Lumer'a, S. Nicaise'a, Ю.В. Покорного, B.C. Павлова и Л.Д. Фаддеева, J.-P. Roth'a (см. [15, 19, 34, 44, 45, 46, 52, 53]). К настоящему времени заметные продвижения в этой области принадлежат S. Nicase'y - исследование асимптотики спектра с помощью преобразования Фурье, анализ функции Вейля, построение полугрупп в соответствующих гильбертовых пространствах (см. [47]-[49]), F. Ali-Mehmeti - анализ распространения волн для линейных и нелинейных уравнений (см. [30]—[33]), J. von Below'y - исследование обратных задач восстановления структуры сети по ее спектру (см. [35]—[38]), J.E. Lagnese'y, G. Leugering'y и Е. J. P. G. Schmidt'y - асимптотика спектра для уравнения четвертого порядка, проблема управляемости (см. [40]—[43], [54]).

Заметные результаты получены и в направлении, разрабатываемом Ю.В. Покорным и его учениками - это классический цикл осцилляци-онных свойств (спектральная простота, число нулей собственных функций и их перемежаемость и пр.) как в соответствующей осцилляцион-ной теории, восходящей к Штурму, а в XX столетии развитой усилиями О. Kellogg'a, М.Г. Крейна и S. Karlin'a. Синтетический (недекомпозиционный) взгляд на дифференциальные уравнения на сетях, разработанный Ю.В. Покорным и его учениками, позволил на этом пути построить теорию неосцилляции для линейных дифференциальных уравнений второго порядка, теорию функции Грина, установить теоремы сравнения (см. [3]-[7], [20]—[28]), на основании которых и получаются осцилляцион-ные свойства спектра и собственных функций ( см. [17, 18, 29]).

Настоящая работа посвящена исследованию волнового уравнения Utt = Uxx на геометрическом графе. Изучение распространения волн на сети началось сравнительно недавно. Одной из первых работ в этом направлении можно считать монографию F. Ali-Mehmeti "Nonlinear waves in networks", вышедшую в 1994 году. В ней для частного случая графа, имеющего структуру креста, составленного из четырех одинаковых ребер, предъявлено решение волнового уравнения в форме Даламбера. На произвольном же конечном графе с привлечением теории полугрупп доказаны существование, единственность и регулярность решения задачи Коши для гиперболического уравнения общего вида.

Цель данной работы - получить явное представление решения волнового уравнения на произвольной пространственной сети через начальные данные (в форме Даламбера) и на основе этого представления исследовать вопрос об ограниченности, почти-периодичности и квази-периодич-ности решений.

Перечисленные ниже основные научные результаты диссертации являются новыми.

1. Получен аналог формулы Даламбера для решения волнового уравнения на произвольной пространственной сети и на его основе установлена корректность соответствующей начальной задачи.

2. Обоснован метод Фурье для обобщенных решений волнового уравнения на конечном графе.

3. Доказана ограниченность всех обобщенных решений волнового уравнения и получена их оценка в случае конечного графа с соизмеримыми ребрами.

4. Для такого графа построена матрица, спектр которой полностью описывает спектр оператора —<Р/<1х2 (включая оценку кратности собственных значений).

5. Доказана квази-периодичность всех обобщенных решений волнового уравнения в случае конечного графа с соизмеримыми ребрами.

Перейдем к описанию результатов работы по главам.

Первая глава посвящена исследованию волнового уравнения на пространственной сети (геометрическом графе). Основная цель этой главы - получить аналог формулы Даламбера и установить на его основе корректность соответствующей начальной задачи.

В пункте 1.1 показывается, что задача Коши для волнового уравнения на пучке из т полуограниченных прямых может быть сведена к уже известным задачам на полуограниченной прямой [0, +оо) с условиями Неймана и Дирихле в точке 0. Точнее говоря, если набор функций {щ^х^)}^ является решением задачи

1) (2) (3) Ш то функции щ(:г,£) находятся по формулам х+Ь и фг{х) = х > О, т

У] Кзф^-х) - ф{(-х), X < О,

3=1 а

Р\ + Р2 + • • • + Рт

Далее показывается, что если полуограниченные прямые заменить отрезками [О,Ц, добавив условия щ(Ь,£)=0, то функции щ{х^) снова могут быть получены по формулам (5), правда, в этом случае &(х) и фг{х) будут иметь период 4Ь и на отрезке [0,41/] определяться следующим образом: щ(х) = <

X £ [0,1/], ж е [ь, 2Ц , X е [2Ь,ЗЬ],

III \

У» - 2 к№з) (х

3=1 ' то \

2 ^Г кцр'з -(рЛ(4Ь-х), х е [3Ь, Щ]

7 = 1 ' г(ж),

-фг{2Ь-х), хе [о,ь], то г(я) = <

Фъ-2^2К-зФЗ ){х-2Ь), Х<г [2Ь, Щ, ¿=1 ' , т \ 4 ¿=1 '

В пункте 1.2 дается определение геометрического графа Г в Iя как связного множества, представляющего собой объединение не более чем счетного числа гладких незамкнутых самонепересекающихся кривых {е}ее£> называемых ребрами графа, соединяющих некоторые пары различных точек называемых вершинами этого графа. При этом предполагается, что множество V дискретно, любые два ребра могут пересекаться лишь в вершинах, и к каждой вершине примыкает конечное число ребер.

Длина ребра е обозначается через /е. Предполагается, что точная нижняя граница длин ребер графа Г положительна, т.е.

Фиксируются некоторые вершины, принадлежащие ровно одному ребру, которые называются граничными. Остальные вершины Г называются внутренними. Множество граничных вершин обозначается через <9Г, а множество внутренних - через 7(Г). При этом не исключается возможность того, что Г вообще не имеет граничных вершин, т.е. <9Г = 0.

Через Еъ обозначается множество ребер, примыкающих к вершине V, а через еу - пара (е, у), где е £ Еу.

Скалярной функцией на графе Г называется отображение, действующее из Г в К. Для каждого ребра е графа Г фиксируется далее натуральная параметризация 7е : [0,1е] —> е. Вершина V Е е называется начальной (конечной) вершиной ребра е, если V = 7е(0) (г> = 7е(/е)). Для и : Г —> М через ие обозначается функция, заданная на отрезке [0,1е] следующим образом:

Для и : Г —> К, V Е V и произвольного ребра е из Еу определяется также функция ие<и на отрезке [0,1е]

На Г вводятся следующие функциональные пространства: Со (Г) - пространство непрерывных на Г функций, удовлетворяющих условию и = 0; (7)

9Г

С(э(Г) - подпространство Со (Г), составленное из функций, обладающих

I = н^ 1е > 0. если V - начальная вершина е, ие{1е ~ £), если V - конечная вершина е.

6) тем свойством, что ие G С1 [0,1е] для каждого ребра е из Е и удовлетворяющих условию согласования во внутренних вершинах «(е,,Х„(0+) = 0, vGJ(r), (8) e£Ev где к(еу) > 0 и ^ к(еь) = 1 (если v € <9Г, то полагается к(еу) = 0); eeEv

Со(Г) - подпространство Сд(Г), составленное из функций, таких что ие £ С2 [0,1е] для каждого ребра е из Е и в каждой внутренней вершине v вторые производные по всем возможным направлениям совпадают, а в каждой граничной вершине вторая производная по единственно возможному направлению равна нулю.

Для произвольной функции и(х) из Сд(Г) в каждой точке х графа Г, У принадлежащей единственному ребру е, определяется производная и'(х) следующим образом У {Х)

Если функция и(х) принадлежит пространству Сд(Г), то вторая производная и"(х) определена в каждой точке х графа Г по формуле: и"(х) = <(£) , .

6 и=ъ\х)

На графе Г рассматривается волновое уравнение ии{х, t) = ихх{х, t) {х б Г, t > 0), (9) решение которого ищется в классе функций и : Г х [0, +оо) —> К таких, что u(-,t) е Cq(Г), ut(-,t) € Сд(Г) при каждом t > 0 и и(х,-) для любого х 6 Г принадлежит пространству С2[0, +оо). Для этого уравнения рассматривается начальная задача и(х, 0) = <р(х), щ(х,0)= ф(х), (10) где <р G С02(Г), ф € СоНГ).

Как и в случае пучка, решение уравнения (9) на каждом ребре е из Е ищется в виде:

1 ~ ~ 1 /* ~ «еК, *) = + *) + ^еЙ ~ *)) + 2 У ^^ где функции <£>е(£) и ^(С) ЯВЛЯЮТСЯ Продолжениями функций И на всю числовую ось. В пункте 1.3 для произвольной функции /(х) из Со (Г) строится семейство продолжений {/е,у} определенных на промежутке [0, +оо) по следующей рекурсивной формуле: Д«(0, ^ [о, У,

Д«К) = \ 2 £ «(е^/^к - у - /еу (е - у, ее (¿в, +00), (п) где г;' - другая вершина ребра е. Далее для каждого ребра е с началом в вершине V строится продолжение /е функции /е на всю числовую ось

Д„(0, ее[0,+оо), в(0 ф'Ж'Л-0 ~ Дг,(-0, £ е (-00, о). (12)

Лемма 1 Длл каждого ребра е функция /е непрерывна на всей оси.

Лемма 2 Пусть /(х) принадлежит пространству Сд(Г) (С1(Т)). Тогда для каждого ребра е функция /е(£) один раз (соответственно дважды) непрерывно дифференцируема на всей числовой оси.

В пункте 1.4 с помощью лемм 1 и 2 доказывается следующая

Теорема 1 Функция и(х,£) : Г х [0, +оо) —> определяемая на каждом ребре е соотношением: ей, *) = + 0 + Ш - *)) + ^ I феМ (13) является решением задачи (9), (10).

Формула (13) представляет собой точный аналог формулы Даламбера на сети.

В пункте 1.5 доказывается единственность решения задачи (9), (10).

Теорема 2 Задача (9), (10) не может иметь более одного решения.

Пункт 1.6 посвящен доказательству непрерывной зависимости решения от начальных данных. При помощи формул (11) и (12) доказывается следующая лемма:

Лемма 3 Пусть / £ Со(Г) и sup |/(х)| < М. Тогда для любого полох£Т жительного Т выполнено неравенство е(01<з £е[-Т,/е + Т], (14) где е - произвольное ребро графа Г.

С использованием леммы 3 легко доказывается теорема о непрерывной зависимости решения задачи (9), (10) от начальных данных на ограниченном временном промежутке.

Теорема 3 Пусть Т > 0. Тогда для любого е > 0 найдется 6 > 0 такое, что если выполнены неравенства \ip2(x)—(pi(x)\ < 5 и \ip2{x) —Ф1{х)\ < 5 при всех х Е Г7 то u2(x,t) - Ul(x,t)\ <е {x,t)£Tx [0,Т], где ui(x,t) и U2(x,t) решения уравнения (9), удовлетворяющие начальным условиям ixi(я,0) — — ФЛХ) и ^(я^О) = (р2{х),

Во второй главе, в отличие от первой, рассматривается обобщенное решение задачи Коши для волнового уравнения u"(t) = A Tu(t), (15) u(0) = ip, и'(0)=ф, (16) где Дг = й?2/с&г2, на конечном (т.е. составленном из конечного числа ребер) графе с непустой границей.

В пункте 2.1 вводится понятие сильно непрерывной косинусной операторной функции.

Пусть X - банахово пространство и С(Х) - банахова алгебра линейных ограниченных операторов, действующих в X.

Семейство {С(£) : £ € К} операторов из С(Х) называется сильно непрерывной косинус-функцией (КОФ), если оно удовлетворяет условиям:

1) С (г + з) + С(£ - в) = 2 СЙС(в), ¿, 5 е К;

2) С(0) = 1,1- тождественный оператор в X;

3) С(Ь)х непрерывна по £ при любом х € X.

Линейный оператор А : В (А) С X —» X с областью определения О (А) называется генератором КОФ С если

1)(А) = {х е X : предел Цт(С(2£)а; — ж)/2£2 существует}

С каждой КОФ будем связывать сильно непрерывную синус-функцию (СОФ) определяемую как для уравнения (17) с оператором А : D(A) С X —> X таким, что D{Á) = X и р(А) 0, корректно поставлена на R тогда и только тогда, когда и

А:г = - lim(C(2t)x - х)/212 = -С"{0)х. о

Как известно (см. [39]), задача Коши и" + Аи = 0 гг(0) = ip, и'( 0) = ф

17)

18)

А является генератором сильно непрерывной КОФ С. В этом случае решение задачи (17), (18) может быть записано в виде и(Ь) = С{г)<р + Б^ф. (19)

Функции, представимые в виде (19), называются обобщенными решениями задачи (17), (18) (слово "обобщенное" мы будем опускать в дальнейшем).

В пункте 2.2 с использованием теорем 1 и 2 доказывается следующая

Теорема 4 Оператор —Др порождает в пространстве Со (Г) сильно непрерывную КОФ С, задаваемую посредством

С(ЗДе(0 = \ш + г) + т - *)), £ е [0, у, * € к (20) для каждого ребра е графа Г.

Далее рассматривается лишь так называемый "самосопряженный" случай, когда каждой внутренней вершине V € J(T) можно поставить в соответствие такое положительное число а (г;), что если ребро е соединяет вершины V и г/ из ./(Г), то а(у)к(еу) = а(у')к(еу'). Каждому ребру е, примыкающему к некоторой внутренней вершине г>, ставится в соответствие положительное число ре = а(ь)к(еу).

На Г вводится гильбертово пространство .£/2 (Г), состоящее из функций, определенных на Г и обладающих тем свойством, что ие е 1/2 [0,1е] для каждого ребра е. В этом пространстве определяется скалярное произведение по формуле ееЕ {

Показывается симметричность и отрицательность оператора — Дг в 1/2(Г). В силу дискретности спектра оператора — Дг, в пространстве 1/2(Г) существует ортонормированный базис {фк}&=1, гДе Фк - собственная функция оператора — Дг, отвечающая собственному значению Л^.

Таким образом, произвольная функция / из пространства 1/2(Г) может быть представлена в виде

00 = У^Скфк, к=1 где Ck = (/, фк)• Числа называются коэффициентами Фурье функции / по системе {фк}

В силу симметричности и отрицательности оператор Дг допускает самосопряженное отрицательное расширение по Фридрихсу.

Теорема 5 Оператор —Др порождает в пространстве -^(Г) сильно непрерывную КОФ С, причем для каждого í G 1 оператор C(t) является самосопряженным и ||C(¿)|| < 1.

Теорема 6 Для любых tp и ф из пространства L2(T) решение задачи (15), (16) почти-периодично.

Пункт 2.3 посвящен обоснованию метода Фурье для волнового уравнения. В этом пункте доказываются следующие утверждения:

Теорема 7 Для любых (р и ф из ^(Г) решение u(t) задачи (15), (16) представимо в виде оо u(t) = Фк{йк COS л/Xkt + Ък Sin y/Xkt), (21) к=1 где ак = (<р,фк); о- Ък = ,—(ф, фк), причем ряд, стоящий справа, схо

V А к дится в 1/2 (Г) равномерно по t.

Теорема 8 Пусть функция / € Со (Г) абсолютно непрерывна и ее про

00 изводная f принадлежит пространству ^(Г). Тогда ряд ^ Ск из коk=i эффициентов Фурье функции f абсолютно сходится.

Лемма 4 Собственные функции фк равномерно ограничены в Со (Г).

И, наконец, с использованием теоремы 8 и леммы 4 легко доказывается

Теорема 9 Пусть (р, ф € Со (Г) и £ ^(Г). Тогда решение и(р) задачи (15), (16) представимо в виде со и(Ь) = ^^ фк(ак сов к=1 где ак = (<р,фк)? а Ьк = фк), причем ряд, стоящий справа, сходится в Со (Г) равномерно по

Значительная часть второй главы (пункты 2.4-2.7) посвящена исследованию решений волнового уравнения на графе с соизмеримыми ребрами, т.е. таком, что отношение 1е/1е> рационально для любых двух ребер е и е'. В этом случае без ограничения общности рассуждений можно считать, что длины всех ребер равны 1. Далее рассматриваются только такие графы.

В пункте 2.4 показывается ограниченность решения задачи (15), (16) в пространстве Со (Г) и устанавливается соответствующая оценка.

Через Еу обозначается множество всех пар е„ £ У, е € Еь). Вводится в рассмотрение вспомогательное пространство ^(Еу) функций, заданных на Еу, со скалярным произведением

С использованием формул (11) и (12), доказывается следующая

Теорема 10 КОФ С в пространстве Со (Г) ограничена на К, и для операторов С(£) (Ь £ Ж), рассматриваемых в Со(Г); имеет место оценка

8ир||С(*)|| <К, (22) где К = а 2 Ре / штре. е&Е / ее£

С учетом оценки СОФ 5, установленной А.Г. Баскаковым (см. [2]), получаем оценку решения задачи (15), (16).

Теорема 11 Для любых (р и ф из Со (Г) решение задачи (15), (16) ограничено на Ж, и справедлива оценка

23) a(ev, e'v,) = < где Ai - первое собственное значение оператора —Аг

В пункте 2.5 рассматривается оператор А — С{ 1) в пространстве 1/2(Г). В силу формул (11) и (12), для произвольных v Е V и е 6 Ev имеем

Af)e,v(0 = Е Е £ е [0,1/2], (24) г/еУ e'£Ev, где a(ev,e'v,)evje'/Eev ~ элементы 2\Е\ х 2\Е\ матрицы А, определяемые следующим образом f к(еу) + K,(ev') — 1, е = е' и v г/, к(е'„), — v ф

О в остальных случаях.

В силу самосопряженности оператора Л в пространстве 1/2(Г), матрица А является самосопряженной в ^(Еу). С использованием формул (24) доказывается следующая

Лемма 5 Собственные значения оператора А и матрицы А совпадают.

Оказывается, что спектр матрицы А полностью описывает спектр оператора —Аг и имеет место

Теорема 12 Спектр оператора — Аг представляет собой следующее множество: сг(-Дг) = {А > 0 : cos \/А G где сг(А) обозначает спектр матрицы А. При этом кратность А как собственного значения оператора — Аг не превосходит геометрической кратности cos л/А.

Пусть /XI, /Х2, ., /хт (т < 2|-Е|) - различные собственные значения матрицы А, пронумерованные таким образом, что первые д из них лежат в интервале (—1,1) (0 < д < т). Обозначим = агссоэ/Хг (1 < г < т). Тогда, по теореме 12, спектр оператора — Дг состоит из собственных значений вида

К,к = (^г + 2жк)2, 1 < г < т, причем к £ X, если 0 < Шг < 7г; к > 0, если ил = 7г; к £ К, если и>г = 0.

Таким образом, участвующий в оценке (23) решения задачи (15), (16) квадратный корень из первого собственного значения оператора — Дг равен наименьшему положительному из чисел и^ 1 < г < т.

В пункте 2.6 показывается квази-периодичность решений уравнения задачи (15).

Поскольку пространство 1/2 (Г) разложимо в прямую сумму ад = я№фяйе.ея(1д) (25) где Нц. - собственное подпространство оператора Л, отвечающее собственному значению /х^, оператор ортогонального проектирования на подпространство Н№ представим в виде

Рг 1*2

Тогда проекция произвольной функции / из 1/2 (Г) на Нцг может быть получена с помощью формул

РЪ/МО = Р^ е>у')1е',у'{£), £ € [0, 1/2],

ГДР Р(1г{еУ1еу')еу,е'~ элементы матрицы ортогонального проектирования определяемой по формуле

Рг

Зфг где I - единичная матрица размерности 2\Е\ х 2|£'|.

Для произвольных функций (f и ф из Со (Г) через ipi и фг обозначаются их проекции на подпространство Н^, т.е. ty = Т^лр и ф{ = Т^ф. Тогда из формулы (26) следует, что ipi G Со (Г) и фг € Со (Г).

Теорема 13 Для любых (р и ф из Со (Г) решение u{t) задачи (15), (16) квази-периодично и представило в виде q u(t) = /0(i) + Ш) cos + 9i(t) sin Vit. (28) i=1

З^есъ /¿(i) и gi(t) - 1-периодические функции, определяемые как fi{t) = -Д— sin^(£ + 1) - + 1) sinc^i), (29) sm u/j

9i{t) — — (ui(t + 1) cos^i — ^(i) cosuiAt + 1)), (30) smcjf где щ(г) = С(г)<рг + 8(г)фг, a fo(t) - i или 2-периодическое решение уравнения (15), определяемое как

9 q где (р0 = ip - J] <Pi и ф0 = ф - £ Фгг=1 г=1

Следствие 1 Д/u того, чтобы решение задачи (15), (16) было периодично при любых (р и ф из Со (Г) необходимо и достаточно, чтобы отношение Ui/n было рационально для каждого г, 1 < г < т.

В пункте 2.7 приводится пример графа, на котором волновое уравнение имеет непериодические решения.

Основные результаты диссертации опубликованы в [9]-[13], [51] и являются новыми. Они докладывались и обсуждались на воронежских весенних математических школах "Современные методы в теории краевых задач" в 1998-2001 гг, на научной сессии ВГУ в 1999 г, на XXIII конференции молодых ученых механико-математического факультета МГУ в 2001 г, на семинаре по качественной теории краевых задач при Воронежском госуниверситете (руководитель - проф. Ю.В. Покорный) в 1998-2001 гг.

Об организации текста. Диссертация состоит из введения, двух глав, объединяющих в общей сложности 13 пунктов, и списка литературы. Объем диссертации 77 стр. Библиография содержит 54 наименования. Текст иллюстрируют 5 рисунков.

1. Ахиезер Н.И., Глазман И.М. Теория линейных операторов в гильбертовом пространстве. М.: Наука, 1966, 544 с.

2. Баскаков А. Г. Гармонический анализ косинусной и экспоненциальной операторных функций // Математический сборник. 1984. Т. 124(166). С. 68-95.

3. Боровских A.B., Мустафокулов Р., Лазарев К.П., Покорный Ю.В. Об одном классе дифференциальных уравнений четвертого порядка на пространственной сети // Доклады РАН. 1995. Т. 345, N 6. С. 730-732.

4. Завгородний М.Г. Об эволюционных задачах на графах // Успехи мат.наук. 1991. Т. 46, N 6. С. 199-200.

5. Завгородний М.Г. Спектральная полнота корневых функций краевой задачи на графе // ДАН. 1994. Т. 335, N 3. С. 281-283

6. Иосида К. Функциональный анализ. М.: Мир, 1967. 624 с.

7. Карелина И.Г., Покорный Ю.В. О функции Грина краевой задачи на графе // Дифференц.уравнения. 1994. Т. 30, N 1. С. 41-47.

8. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа.- М.: Наука, 1976, 544 с.

9. Копытин A.B. Решение волнового уравнения на пучке // Тез. докл. школы "Понтрягинские чтения IX". Воронеж, 1998. С. 106.

10. Копытин A.B. О представлении решения волнового уравнения на графе с соизмеримыми ребрами // Труды математического факультета ВГУ. Воронеж, 2001. С. 67-77.

11. Копытин A.B. О представлении решения волнового уравнения на сети // Труды XXIII Конференции молодых ученых механикоматематического факультета МГУ "Современные исследования в математике и механике". Москва, МГУ, 2001. С. 177-180.

12. Копытин A.B., Прядиев В. Л. Решение волнового уравнения на пространственной сети // Сборник статей аспирантов и студентов математического факультета ВГУ. Воронеж, 2000. С. 19-23.

13. Копытин A.B., Прядиев В.Л. Об аналоге формулы Даламбера и спектре лапласиана на графе с соизмеримыми ребрами // Вестник ВГУ, Серия физика, математика, 2001. N 1. С.104-107.

14. Левитан В.М., Жиков В. В. Почти-периодические функции и дифференциальные уравнения. М., Изд-во Моск. ун-та, 1978, 205 с.

15. Павлов B.C., Фаддеев М.Д. Модель свободных электронов и задача рассеяния // ТМФ. 1983. Т. 55, N 2. С. 257-269.

16. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О краевой задаче на графе // Дифферент уравнения. 1988. Т. 24, N 4. С. 701-703.

17. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе // Известия вузов. Математика. 1996. N И. С. 57-64.

18. Пенкин О.М., Покорный Ю.В. О некоторых качественных свойствах уравнений на одномерном клеточном комплексе // Матем.заметки. 1997. Т. 59, N 5. С. 777-780.

19. Пенкин О.М., Покорный Ю.В., Провоторова E.H. Об одной векторной краевой задаче // Краевые задачи. Пермь, 1983. С. 64-70.

20. Покорный Ю.В. О спектре некоторых задач на графах // Успехи мат.наук. 1987. Т. 42, N 4. С. 128-129.

21. Покорный Ю.В. О неосцилляции на графах // Докл. расшир. засед. семинара Ин-та прикл. математики им. И.Н.Векуа. 1988. Т.З, N 3. С. 139-142.

22. Покорный Ю.В., Карелина И. Г. Нелинейные теоремы сравнения на графах // Матем. заметки. 1991. Т. 50, N 2. С. 149-151.

23. Покорный Ю.В., Карелина И. Г. О функции Грина задачи Дирихле на графе // ДАН СССР. 1991. Т. 318, N 3. С. 942-944.

24. Покорный Ю.В., Карелина И. Г. Нелинейные теоремы сравнения на графах // Украинский мат.журнал. 1991. Т. 43, N 4. С. 525-529.

25. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. Теоремы Штурма для уравнений на графах // ДАН СССР. 1989. Т. 309, N 6. С. 1306-1308.

26. Покорный Ю.В., Пенкин О.М. О теоремах сравнения для уравнений на графах // Дифференц.уравнения. 1989. Т. 25, N 7. С. 1141-1150.

27. Покорный Ю.В., Пенкин О.М., Прядиев В. Л. Об уравнениях на пространственных сетях // УМН, 1994, Т. 49, вып. 4 (298). С. 140.

28. Покорный Ю.В., Провоторова E.H., Пенкин О.М. О спектре некоторых краевых задач / / Вопросы качественной теории дифференциальных уравнений : Сб. науч. тр. Новосибирск. - 1988. - С. 109-113.

29. Покорный Ю.В., Прядиев В.Л., Аль-Обейд А. Об осцилляционных свойствах спектра краевой задачи на графе // Матем.заметки. 1996. Т. 60, вып. 3. С. 468-469.

30. Ali-Mehmeti F. A characterization of a generalized C°°-notion on nets // Integral Equations and Operator Theory. 9 (1986), no. 6, 753-766.

31. Ali-Mehmeti F., Nicaise S. Some realizations of interaction problems // Lecture Notes in Pure and Appl. Math., 1991. V. 135, 15-27.

32. Ali-Mehmeti F., Nicaise S. Nonlinear interaction problems // Nonlinear Anal. 20 (1993), no. 1, 27-61.

33. Fattorini H.O. Second-order linear differential equations in Banach spaces. Amsterdam, 1985. 314 P.

34. Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. Modelling of dynamic networks of thin thermoelastic beams // Math. Meth. Appl. Sci. 1993. V. 16. 327-358.

35. Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. Control of planar networks of Timoshenko beams // SIAM J. Control Optim. 1993. V. 31. 780-811.

36. Lagnese J.E., Leugering G., Schmidt E.J.P.G. Modelling, analysis and control of dynamic elastic multi-link structures. Birkhauser, Boston, 1994.

37. Lagnese J.E. Modelling and controlability of Plate-Beam systems //J. Math. Systems, Estimation and Control. 1995. V. 5. 141-187.

38. Lumer G. Espaces ramifies, et diffusions sur les reseaux topologiques // C.R.Acad.Sci. Paris. 1980. Ser. A-B. t. 291, no. 12, P. A627-A630.

39. Nicaise S. Some results on spectral theory over networks, applied to nerve impuls transmission // Lect.Notes Math. N 1771. Springer-Verlag, 1985. P. 532-541.

40. Nicaise S. Estimées du spectre du laplasien sur un réseau topologique fini // C.R.Acad.Se.Paris. 1986. t. 303, série 1. N 8. P. 343-346.

41. Nicaise S. Spectre des reseaux topologiques finis // Bull.Sci.Math. (2). 1987. t. Ill, no. 4, P. 401-413.

42. Nicaise S. Approche spectrale des problèmes de diffusion sur les reseaux // Lecture Notes in Math., 1987. V. 1235, 120-140.

43. Nicaise S. Elliptic operators on elementary ramified spaces // Integral-Equations-Operator-Theory. 11 (1988), no. 2, 230-257.

44. Nicaise S. Le laplacien sur les reseaux deux-dimensionnels polygonaux topologiques // J.-Math.-Pures-Appl. (9). 67 (1988), no. 2, 93-113.

45. Pryadiev V.L., Kopytin A.V. On the Laplacian spectrum on a graph with commensurable edges // Spectral and Evolution problems: Proceedings of the Eleventh Crimean Autumn Mathematical School-Symposium. Vol. 11. Simferopol, 2001. P. 167-172.

46. Roth J.-P. Spectre du laplacien sur un graph // C.R.Acad.Sc. Paris. 1983. t. 296, P. 783-795.

47. Roth J.-P. Le spectre du laplasien sur un graphe // Lect. Notes Math. Springer-Verlag, 1984. P. 521-539.

48. Schmidt E.J. P. G. On the modelling and exact controlability of networks of vibrating strings // SIAM J. Control Optim. 1992. V. 30. 229-245.