Некоторые вопросы теории и приложений функций гипергеометрического типа тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.01 ВАК РФ

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА I. ФУНКЦИИ ЖПЕР1ЕОМЕТРИЧЕСКОГО ТИПА НЕСКОЛЬКИХ ПЕРЕМЕННЫХ К ИХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

§ I. Общая Н-функция нескольких переменных

§ 2. Общая Сг-функция двух переменных

§ 3. Размерность многообразия решений системы дифференциальных уравнений для Сг-функции нескольких переменных

§ 4. Регулярные решения некоторых уравнений в частных производных для &-функции нескольких переменных

§ 5. с| -гамма функция и базисные дифференциальные уравнения базисных гипергеометрических рядоЕ

ГЛАВА II. ШПЕРГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ДВУХ ПЕРЕМЕННБ1Х ГОРНА

§ 6. Преобразования функций Горна.

§ 7. Интегральные представления функций Горна

§ 8. Применение теории представления групп к установлению теорем умножения для функций ^ и Р

ГЛАВА III. ИНТЕГРАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ВОДЬТЕРРА ПЕРВОГО ГОДА С ФУНКЦИЯМ ГОРНА В ЯДРАХ

§ 9. Элементы общей теории одномерных интегральных уравнений, содержащих в ядрах специальные функции

§ 10. Интегральные уравнения, включающие функцию F±

§ II. Двумерные интегральные уравнения, содержащие в ядрах функции и Н

§ 12. Двумерные интегральные уравнения с функциями FJ, и Сг2 в ядрах.

§ 13. Замечание о многомерном аналоге уравнения Абеля

Центральное место в теории функций гипергеометрического типа занимают функции, введенные Мейером ( G-функция) и Фоксом ( H -функция), которые впоследствии были названы именами эшх математиков. Указанные функции обладают исключительно высокой степенью общности и включает весьма частными случаями цракти-чески все специальные функции, имеющие сложившиеся наименования» Так, почти все функции из первых двух томов трехтомника [i] получаются при частных значениях параметров из G-функции

Мейера (fil, ф-ла 5.3.1) J m п у л Д^ОЩХ1-0^

Pc, ' £nL L п ггоч^.п r(i- j4-s) а сама (х-функция является частным случаем Н-функции Фокса.

Иначе дело обстоит с функциями гипергеометрического типа многих^переменных. После классических работ [42-43, 114] , результаты которых были собраны в известной монографии [44] » только спустя полвека вышла вторая монография [74]. Это случилось не из-за слабого развития теории, по которой накопилась обширная библиография (см. списки литературы из [44, 74, 174,

175] ). Главной причиной, по-видимому, здесь было отсутствие, общецринятой удобной для работы и цростой терминологии» которая не сложилась ввиду чрезвычайной громоздкости объектов исследования, содержащих большое число групп параметров [174]» Более того, ни одна из введенных функций не была столь общей, чтобы в неё входили цри частных наборах параметров все. другие, подобные функции. Так, пожалуй, наиболее общие из имеющихся функции п- переменных Сриваставы и Шнди [177] цри п=2 даже не содержат все двойные ряды Горна [х, 90-92], являющиеся базовыми в списке функций гипергеометрического типа; многих переменных.

Настоящая диссертация посвящена исследованию, общих функций, гипергеометрического типа нескольких переменных, а также их основных частных случаев - функций Горна. В работе рассматриваются связанные с этими функциями системы дифференциальных уравнений в частных производных (обычные и базисные) , а также некоторые цреобразования и интегральные цредставления для функций. Горна1. В качестве цриложений изучается ряд интегральных уравнений Вольтерра первого рода (одномерных и двумерных), содержащих в ядрах функции Горна ^ , ^ * * и ♦

В первой главе излагаются некоторые аспекты современного общего подхода-к теории функций гипергеометрического типа нескольких переменных % В § I вводятся Н~ и & -функции многих переменных, которые являются, самыми: общими из всех известных функций гипергеометрического типа. Здесь обсуждаются их обозначения, вопросы существования и некоторые свойства, а также выводится система дифференциальных уравнений в частных производных, которой, удовлетворяет & -функция. В § 2 более подробно рассматривается важная для цриложений (х-функция двух переменных. Последующие § 3 и § 4 посвящены изучению системы дифференциальных уравнений, которой удовлетворяет (х -функция двух переменных. Такие уравнения, но для некоторых; конкретных,:гипергеометрических рядов» рассматривались ранее многими авторами [42-44, 50-51, 65» 89-93, 131], но только в элюй, работе они исследуются в достаточно общем: виде • В § 5 впервые в литературе на русском языке отражаются некоторые вопросы смежного направления - теории базисных гипергеометрических функций и связанной с нею с| -гамма функции [77, 9б]*

Вторая глава посвящена изучению наиболее распространенных в цриложениях гипергеометрических функций двух: переменных: -так называемых функций из списка Горна \lt 9о]» Эти 34 функции являются естественными обобщениями гигаргеометрической функции Гаусса и её врожденных случаев (Куммера и Бесселя), В § 6 и § 7 содержатся: обширные таблицы новых: преобразований и интегральных представлений для функций Горна, С помощью формул из этих таблиц нетрудно получить различные соотношения для аналитического цродолжения функций Горна на' более широкие области изменения аргументов, а также их асимптотические разложения в окрестностях особых линий и точек. Многие другие формулы такого типа, а также формулы приведения функций Горна цри оцределенных условиях на параметры к гипергеометричеокой функции одной переменной были получены ранее, в частности, в работах [18-20, 44, 46, 52-53, 55, 59, 66-67, 85, 87, 94, 98, 112, 120-122, 152, 156, 169-170, 183, 193 ]• В § 8 с помощью теории представлений групп установлены две так называемые теоремы умножения для функций Горна ^ е ^ , приводящие к значениям двух' интегралов, содержащих эяи функции, Такие интегралы было бы трудно вычислить с помощью обычных аналитических методов;,

- 7 например, с помощью метода из [25].

В третьей главе исследуются интегральные уравнения Вольтерра первого рода (одномерные и двумерные) с функциями Горна F± , 9 % » в ДЦрах» разрешимые в замкнутом виде. Начало этого нацравления положила работа jj[84]. В последующих: работах [22-24, 31-32, 48-49, 63, 69, 84, 86, 99, 102-104, 115—119, 135, 142-143, 145-148, I60-I6I, 172, 178-182, 190 ] осуществлялся, активный, поиск одномерных уравнений с функциями Лежаддра, Лагерра, Якоби, Чебышева, Гегенбауэра, Бейтмена, Куммера, Гаусса, Фокса, с обобщенной: гипергеометрической функцией: 4Fj и другими, разрешимых в. замкнутом виде с помощью интегральных преобразований: или операторов дробного интегрирования. Наиболее полный перечень этих исследований до 1975 г, содержится в монографии [17з], где цриведены более 200 таких уравнений, и ихгрешений. Иначе дело обстоит о функциями многих: переменных. До недавнего времени были известны лишь отдельные интегральные уравнения, содержащие в ядрах функции Горна Fj , » % » % » % » S2 [21, 144, 173] и все эти уравнения, были одномерными и обобщающими классическое уравнение Абеля. Для одномерных-уравнений с ядрами общего вида, включающих частным случаем уравнение Абеля, в § 9 доказывается.теорема, позволяющая получить необходимые и достаточные условия, существования и единственности решений уравнений в классе функций СЦ , интегрируемых на интервале ( 0 ,<А) с весом ос^ « Этот результат в конце параграфа применяется к исследованию известных уравнений:. [21, 115, 142], что цриводит к более общим утверждениям* В § 10 получаются решения 4-х одномерных уравнений с функцией F1 в ядрах, а в § II-12 рассматриваются ещё 12 двумерных уравнений с функциями % , H s , Fz и G*2 в ядрах . Показано, что все эти уравнения обобщают классическое уравнение Абеля в одно- и двумерных вариантах и, более того, уравнения из § 10 и § 12 являются композициями нескольких уравнений Абеля со степенными мультипликаторами. Такая их структура аналогична композиционной структуре ставшего классическим одномерного уравнения Лава с функцией. Гаусса в ядре [Х1б]. Заключительный § 13 содержит обобщение, оператора Римана-Лиувилля (уравнения Абеля) на многомерный случай для пирамидальной области. Обращение этого оператора получено в работе, выполненной совместно с А»А. Килбасом [197].

Краткое изложение истории вопросов, изучаемых в диссертации, также имеется вначале каждого параграфа.

Отдельные части диссертации докладовались на студенческой научной, конференции Киевского государственного университета (апрель 1983), на XX Всесоюзной, студенческой, конференции в Новосибирске (ацрель 1982), на республиканской конференции " Преподавание курса дифференциальных уравнений: в педагогических институтах " в Ленинграде (сентябрь 1981), на II Международной, конференции по комплексному анализу и его приложениям в Варне (май. 1983) и, неоднократно, на Минском городском семинаре по краевым задачам им. академика АН БССР Ф.Д. Гахова в Белгос-университете им. В.ИЛенина (руководитель, профессор Э.И. Зверович}. Основная часть результатов диссертации опубликована: в. 12 работах [194, 196-206] , причем работы [194, 196 , 200201, 205 ] были выполнены совместно с научным руководителем в период обучение на механико-математическом факультета Белгос-университета им. В.И. Ленина.

Считаю приятным долгом выразить глубокую признательность и благодарность своему научному руководителю, доценту Олегу

Игоревичу Маричеву за постановки задач, обсуждение результатов и помощь при выполнении и оформлении работы»

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции.-М.: Наука, т.1, 1965.-296с., т.2, 1966.-296с., т.З, 1957.-300с.

2. Белоусов П.В., Сидонский О.Б. Группа треугольных матриц и функции параболического цилиндра.- Изв.вузов. Математика, 1978, №2, с.3-7.

3. Виленкин Н.Я. Континуальные теоремы сложения для гипергеометрической функции.- Мат.сб. , 1964, т.65(107), Ж, с.28-46.

4. Виленкин Н.Я. Специальные функции и теория представления групп.- М.: Наука, 1965.-588с.

5. Вирченко H.A., Макаренко Л.Г. О некоторых парных интегральных уравнениях.- Укр.мат. ж. , 1975, т.27, JM5, с.790-794.

6. Вирченко H.A., Ромащенко В.А. О некоторых тройных интегральных уравнениях с присоединениями функциями Лежандра. Вычисл. и прикл. мат. ( Киев ), 1982, Мб, с.13-18.

7. Вольтерра В. Теория функционалов, интегральных и интег-родифференциальных уравнений.- М.: Физматгиз, 1982,-304с.8» Ганнинг Р., Росси X. Аналитические функции многих комплексных переменных.- М.: Мир, 1969.-396с.

8. Гахов Ф.Д. Краевые задачи.- 3-е изд., перераб. и доп.-М.: Наука, 1977.-640с.

9. Голубева В.А. Гипергеометрические функции двух переменных Аппеля и Кампе де Ферье.- Сиб.мат.ж., 1979, т„20, JS, с.997-1014.

10. Дкрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области.- М.: Наука, 1966. -671с.

11. Диткин В.А., Прудников А.П. Операционное исчисление по двум переменным и его приложения.- М.: Физматгиз., 1958.-178с.

12. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление.- М.: Наука, 1974.-542с.

13. Забрейко П.П. и др. Интегральные уравнения.- М.: Наука, 1968.-448с.

14. Камке Е. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям.- М.; Физматгиз., 1961.

15. Капилевич М.Б. О вырожденных гипергеометрических функциях 1>мберта и Горна.- ДАН СССР, 1966, т.170, Л6,сЛ251-1254.

16. Капилевич М.Б. О конфлюэнтных гипергеометрических функциях Горна.- Дифференц. уравнения, 1966, т.2, 1Ю, е., 1239-1254.

17. Капилевич М.Б. Об одном классе гипергеометрических функций Горна.- Дифференц. уравнения, 1968, г.4, Ш, с.,1465-1483.

18. Маричев О.И. Два уравнения Вольтерра с функциями Горна. ДАН СССР, 1972, т.204, Ш, с.546-549.- 101

19. Маричев O.K. Один класс интегральных уравнений типа свертки Meдлина со специальными функциями в ядрах.-Минск, 1973,- 18с.- Рукопись представлена редкол. жур. Изв. АН БОСР. сер. физ.-мат.наук, Деп. в ВИНИТИ 21 сентября 1973, № 7308-73.

20. Маричев О.И. Некоторые интегральные уравнения типа свертки Меллина, содержащие в ядрах специальные функции.- Шнек, 1976,- 85с,- Рукопись представлена редкол. жур. Изв. АН БССР, сер.физ.-мат.наук. Деп. в ВИНИТИ2 апреля 1976, М640-76.

21. Маричев О.И, Интегральные операторы со специальными функциями в ядрах, обобщающие операторы интегрирования комплексного порядка.- Изв. АН БССР, сер.физ.-мат.наук, 1978, J62, с.38-44.

22. Маричев О.И. Метод вычисления интегралов от специальных функций ( теория и таблицы формул ).- Минск: Наука и тезеника, 1978.-310с.

23. Михлин С*Г. Лекции по линейным интегральным уравнениям. -М„: Физматгиз., 1959.

24. Попов Г.Я. О некоторых формулах приведения для гипергеометрических функций от двух переменных.- В сб.: Прикл. мат. и программир., вып.14.- Кишинев, 1975,с.88-95.

25. Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды.- М.: Наука.Элементарные функции, I98I.~800c. Специальные функции, 1983.-752с. Дополнительные главы, 1985.

26. Риекстынып Э.Я. Асимптотические разложения интегралов.-Рига: Зинатне. т.1, 1974.-390с., т.2, 1977.-463с., т.З,1981.-370с.

27. Самко С.Г, Гиперсингулярные интегралы и их приложения.-Ростов на дону: Р. на Дону Универ.изд., 1984.-208с,

28. Смирнов М.М. Решение в замкнутой форме уравнения Вольтерра с гипергеометрической функцией в ядре.- Дифференциальные уравнения: качеств, теория.- Рязань, 1981, с.112-116.

29. Смирнов М.М. Решение в замкнутой форме уравнения Вольтерра с гипергеометрической функцией в ядре,- Дифференц. уравнения, 1982, Щ, <1171-173.

30. Фроим В.Х. Линейные скалярные уравнения в частных производных с регулярными особенностями на гиперплоскости.- Дифференц. уравнения, 1973, т.9, №3, с.533-541.

31. Титчмарш Е. Введение в теорию интегралов Фурье.- М.-Л.: Гостехиздат., 1948.-480с.

32. Топорова В.А. 0 применении функций Бесселя многих переменных к задаче вращения тяжелого твердого тела вокруг неподвижной точки.- Изв. АН УзССР. сер.физ.-мат.наук, 1973, Жэ, с.57-59.

33. Тугов И.И., Шитиков Ю.Л. Метод вычисления функций Аппелях, ^ Ж.вычисл.мат. и мат.физ., 1976, т.16, Л6, с.1587-1590.

34. Южаков А.П. 0 вычетах функций многих комплексных переменных.- Изв. вузов. Математика, 1964, Ж5(42), с.149-161.

35. Янушаускас А.И. Аналитическая теория эллиптических уравнений.- Новосибирск: Наука, 1979.

36. Янушаускас А.И. Двойные ряды.- Новосибирск: Наука, 1980.-224с.- 103

37. Agarwal R.P. An extension of Meijer's G-function.-Proc.Eat.Inst.Sci.India, 1965, A3I, N6, p.536-546.

38. Andrews G.E. Applications of basic hypergeometric functions.- SIM Rev., 1974, v.l6, N4, p.441-484.

39. Appell P. Sur les series hypergéometriques de deux variables, et sur des equations différentielles linéaires aux dérivées partielles.« C.R.Acad.Sci.Paris, 1880, t.90, p.296-298, p.731-734.

40. Appell P. Sur une équation linéaire aux dérivées partielles.- Bull.Sci.Math. , 2eserie, 1882, t.6, p.314-318.

41. Appell P., Kampe de Periet M.J. Ponctions hypergeometriques et hyperspheriques polynomes d' Hermite.- Paris: Gauthier-Villars, 1926.-436p.

42. Askey R. The q-gamma and q-beta functions.- Appl.Anal., 1978, v.8, H2, p.I25-I4I.

43. Bailey W.lï. Generalized hypergeometric series.- Cambr. : Cambr.Univ.Press, 1935.-I08p.

44. Barnes E.W. The asymptotic expansion of integral functions defined by generalised hypergeometric series.-Proc.London Math.Soc., ser.2, 1906, v.5, p.59-116.

45. Bharatiya P.L. The inversion of a convolution transform whose kernel is a generalized Bateman's function.- J. Indian Math.Soc., 1964(1965), v.28, K3-4., p.163-167.

46. Bharatiya P.L. The inversion of a convolution transform whose kernel is a Bessel function.- Amer.Math.Monthly, 1965, v.72, 114, p.393-397.

47. Burchnall J.L. The differential equations of Appell1s function P4.- Quart.J.Math.Oxford.ser., 1939, v.10, p.145-150.

48. Burchnall J.L. Differential equtions associated with hypergeometrie functions.- Quart.J.Math., Oxford ser., 1942, v.I3, p.90-106.

49. Burchnal J.L., Chaundy T.W. Expansions of Appell's double hypergeometric functions.- Quart.J.Math., Oxford ser.,1940, v. II, p.249-270.

50. Burchnal J.L., Chaundy T.W. Expansions of Appell's double hypergeometrie functionsll.- Quart.J.Math., Oxford ser.,1941, v.I2, p.II2-I28.

51. Buschman R.G. H-functions of N variables.- Ranchi Univ. Math.J., 1979, v.10, p.81-88.

52. Buschman R.G. Reduction formulas for Appell functions for special values of the variables.- Indian J.Pure and Appl.Math., I981, v.12, N12, p.1452-1455.

53. Buschman R.G. Analytic domains for multivariable H-func-tions.— Pure and Appl.Math.Sci., 1982, v.l6, N1-2,p.23-27.

54. Buschman R.G., Koul C.L., Gupta K.C. Convolution integral equations involving the H-function of two variables.-Glas.mat., 1977, v.12(32), N1, p.61-66.

55. Carlson B.C. Lauricella's hypergeometric function Fp.-J.Math.Anal, and Appl., 1963, v.7, p.452-470.

56. Carlson B.C. Quadratic transformations of Appell functionsBui.Inst.politehn.Iasi, sec.I, 1975, v.21, N1-2, p.59-64.

57. Carlson B.C. Appell's function F^ as a double aberage.-SIAM J.Math.Anal., 1975, v.6, N6, p.960-965.

58. Chaturvedi K.K., Goyal A.U. /-function (I).- Indian J, Pure and Appl.Math., 1972, v.3, U3, p.357-360.

59. Dhawan G.K. Hypergeometric functions of three variables. Proc.Math.Acad.Sci.India, 1970, A40, p.43-48.

60. Dixit L.A. An integral equation involving ^P^ in the kernel.- Indian J.Pure and Appl.Math., 197.8, v.9, H7, p.739-745.

61. Erdelyi A. Some confluent hypergeometric functions of two variables.- Proc.Royal SoC.Edinburgh, 1940, A60, p.344-361.

62. Erdelyi A, Integration of the differential equation of Appellts function Quart.J.Math., Oxford ser., 1941, v.I2, p.68-77.

63. Erdelyi A. Transformation, of hypergeometric functions of two variables.- fToc. Royal So C.Edinburgh, 1948, A62, p.378-385.

64. Erdelyi A. Hypergeometric functions of two variables.-Acta Math., 1950, Bd.83, p.I3I-l64.

65. Erdelyi A. The general form of hypergeometric series of two variables.- Proc.Amer.Math.Soc., 1951, v.2, p.374-379.

66. Erdelyi A. An integral equation involving Legendre1s polynomial.- Amer.Math.Monthly, 1963, v.70, H6, p.651-652,

67. Erdelyi A. Some integral equations involving finite parts of divergent, integrals.- Glasgow Math., 1967, v.8, HI,P.50-54.

68. Exton H. On certain confluent hypergeometric functions of three variables.- Ganita, 1970, v.21, p.79-92.- 106

69. Exton H. Certain hypergeometrie functions of four variables.- Bull.Soc.Math.Grece U.S., 1972, v.13, p.104-113.73* Exton H. On two multiple hypergeometrie functions related to Lauricella's Jnanabha, 1972, A2, p.59-73.

70. Exton H. Multiple hypergeometric functions and applications.- Chichester (Sussex): Horwood, 1976.

71. Exton H. On a basic analogue of the generalised Laguerre equation.- Funkcialaj Ekvacioj, 1977, v.20, p.1-8.

72. Exton H. A basic analogue of Hermitefs equation.- J.Inst. Maths.Applies., 1980, v.26, H3, p.315-320.

73. Exton H. q-hypergeometric functions and applications.-Chichester (Sussex): Horwood, 1983.~347p.

74. Fox C. The G and H functions as symmetrical Fourier kernels." Trans.Amer.Math.Soc., 1961, v.98, N3, p.395-429.

75. Garg R.S. On multidimensional Mellin convolutions and H-function transformations.- Indian J.Pure and Appl.Math., 1982, v.I3, N1, p.30-38.

76. Glaeske H.-J. Die Laguerre-Pinney-Transformation.-Aequat.math., 1981, v.22, N1, p.73-85.

77. Goyal A.IT., Sharma S. Study of Meijer's G-function of tv/o variables II.- Univ.Studies Math., 1971, N1, p.82-89.

78. Goyal G.K. A generalized function of two variables I.-Univ.Studies Math., 1971, N1,p.37-46.

79. Goyal S.P. The H<-function of two variables.- Kyungpook Math.J., 1975, v.15, p.II?-I3I.

80. Gupta H.L., Rusia K.C. Inversion of an integral equation involving generalized Laguerre polynomial.- Ganita, 1974, v.25, N1, p.45-54.

81. Gupta K.C. A reduction formula for Appell's function F4.~ Ganita, 1965, v.l6, N2, p.81-82.

82. Gupta S.D. On certain integral equations.- Math.balkan., 1973, v.3, p.115-117.

83. Hattori A., Kimura T. On the Euler integral representation of hypergeometric functions of several variables.-J.Math.Soc.Japan, 1974, v.26, HI, p.I-16.

84. Horn J. Hypergeometrische funktionen zweier veränderlichen.- Math. Ann. , 1931, Bd.105, S.381-407.

85. Horn J. Hypergeometrische funktionen zweier veränderlichen.- Math. Ann. , 1935, Bd.III, S.638-677.

86. Horn J. Hypergeometrische funktionen zweier veränderlichen.- Math. Ann. , 1936, Bd.113, S.242-291.

87. Horn J. Uber einer hypergeometrische funktion zweier veränderlichen.- Monatsh.Math.Phys., 1938, Bd.47,S.186-194.

88. Horn J. Hypergeometrische funktionen zweier veränderlichen im Schnittpunkt dreier Singularitäten.- Math.Ann., 1938, Bd.115, S.435-455.

89. Ismail M.E.-H. A simple proof of Ramanujan's ^ sum.-Proc.Amer.Math.Soc., 1977, v.63, HI, p.185-186.- 108

90. Jackson F.H. On q-definite integrals.- Quart.J.Pure Appl.Math., I9IO, v.4I, p.193-203.

91. Jain R.N. The confluent hypergeometric functions of three variables.- Proc. lia t. Acad. Sci. India, 1966, A4I, p. 395-408.

92. Jain R.N. A sum involving AppellTs function Fg.-Ricerca, 1967, p.18-20.

93. Joshi B.K. An integral equation involving Y/lttakeres function.- Math.Stud., 1973(1974), v.41, N3-4, p.407-4P8.

94. Joshi C.M., Prajapat M.L. On some results concerning generalised H function of two variables.- Indian J.Pure and Appl.Math., 1977, v.8, N1, p.I03-H6.

95. Kairies H.-H. The Jackson factorial functions and their functional equations.- Aequat.math», 1980, v.20, N2-3, p.286-287.

96. Kalla S.L. On the solution of certain integral equations of convolution type.- Acta mexic.cienc.y tecnol., 1968, v.2, N2, p.85-87.

97. Kalla S.L. On the solution of an integral equation involving a kernel of Mellin-Barnes type integral.- Kyungpook Math,J., 1972, v.I2, NI, 93-101,

98. Khandekar P.R. On a convolution transform involving generalized Laguerre polynomial as ita kernel.- J.math.pures et appl., 1965, t.44, N2., p.195-197.

99. Kalnins E.G., Manocha H.L., Miller W.Jr. The Lie theory of two-variable hypergeometric functions.- Stud.Appl. Math., 1980, v.62, N2, p.143-173.

100. Kalnins E.G., Manocha H.L., Miller W.Jr. Transformation and reduction formulas for two-variable hypergeometric functions on the sphere S2.- Stud.Appl.Math., 1980, v.63, N2, p.155-167.- 109

101. Karlsson P.W. Reduction of certain hypergeometric functions of three variables.— Glasnik Mat, ser.3» 1973, v.8(28), p.199-204.

102. Karlsson P.W. A class of hypergeometric functions.Proc.Kon.Nederl.Akad.Wetensch.-1976, A79, N1, p.36-40. 109» Karlsson P.W. Reduction of certain multiple hypergeometric functions.- Proc.Kon.Nederl.Akad.Wetensch., 1982, A85, N3, p.283-287.

103. Karlsson P.W. Integral representations of EulerTs type for certain generalized Horn functions.— Proc.Kon. H'ederl.Akad.Wetensch., 1982, A85, N3» p.289-293.

104. Eobgr H. On fractional integrals and derivatives.-Quart.J.Math., Oxford ser.2, 1940, v.II, p.I93~2II.

105. Koornwinder T., Sprinkhuizen-Kuyper Ida.- Hypergeometric functions of 2x 2 matrix argument are expressible in terms of Appell's functions P^. Proc.Amer.Math. Soc., 1978, v.70, N1, p.39-42.

106. Laforgia A. Further inequalities for the gamma function. Math.Comput., 1984, v.42, UI66, p.597-600.

107. Lauricella G. Sulle funzioni ipergeometriche a pui variabilis Rend.Circ.Mat.Palermo, 1893, t.7, p.III-I58.

108. Love E.R. Some integral equations involving hypergeo-Hietric functions.— ProC.Edinburgh Math.Soc., 1967, v.I5, N3, p.169-198.

109. Love E.R. Two more hypergeometric integral equations.-Proc.Camb.Philos.Soc., 1967, v.63, N4, p.I055-I076.

110. Love E.R. A hypergeometric integral equation.- Lect. Notes Math., 1975, N457, p.272-288.

111. Love E.R., Prabhakar T.R., Kashyap U.K. A confluent hypergeometric integral equation.- Glasgow Math.J., 1982, v.23, N1, p.31-40.

112. Lowndes J.S. Solution of an integral equation.-Glasgow Math, J., 1978, III, p.69-73.

113. Manocha H.L. Transformation of integral expression for F^ by means of fractional integration by parts.- Bull, math.Soc.sci.math.RSR., 1965, v.9, N4, p.337-341.

114. Manocha H.L. Integral expressions for Appell's functions Fj and F2.~ Riv.mat.Univ.Parma, 1967, v.8,p.235-242.

115. Manocha H.L. Integral representations for Appell's functions of two variables.- Rev.Univ.nac.Tucuman.-1967, AI7, N1-2, p.63-65.

116. Manocha H.L. On Appell's function Fg.- Proc.Camb. Phil.Soc., 1969, v.65, N3, p.687-689.

117. Marichev 0.1. On the representation of Meijer's Gfunction in the vicinity of singular unity.- Complex Analysis & Applications* 81.- Sofi , 1984, p.383-398.

118. Mathai A.M., Saxena R.K. Generalized hypergeometric functions with applications in statistics and physical sciences.- Springer: Lect.Notes Math., 1973, N348,3I4p.

119. Mathai A.M., Saxena R.K. The H-function with applications in statistics and other disciplines.- New York -London Sydney - Toronto, 1978.-I92p.

120. McBride A.C. Solution of hypergeometric integral equations involving generalised functions.- ProC.Edinburgh Math.Soc., 1975, v.19, N3, p.265-285.

121. Miller W.Jr. Lie theory and the Lauricella function Fd.~ J.Math.Phys., 1972, v.13, p.I393-I399.

122. Miller W.Jr, Lie theory and Meijer's G-function.-SIAM J.Math.Anal., 1974, v.5, N2, p.309-318.

123. Moak D.S. The q-gamma function for q>I.- Aequat. Math., 1980, v.20, n.278-285.

124. Mourye D.P. The solution set of Appell's partial differential equations.- Rev.Roum.Math.Pures et Appl., Bucarest, 1977, t.2Z, N6, p.8II-8I7.

125. Mourya D.P. Fractional integrals of the functions of two variables.- Proc.Indian Acad.Sci., 1970, A72, 114, p.173-184.

126. Mullen J.A. The differential recursion formulae for Appell's hypergeometric functions of two variables.-SIM J.Appl.Math., 1966, v.14, N5, p.1152-1163.

127. Munot P.O., Kalla S.L. On an extension of generalised function of two variables.- Rev.Univ.nac.Tucuman, ,1.71, A2I, N1-2, p.67-84.

128. Ilasim G. The solution of an integral equation.- Proc. Amer.Math.Soc., 1973, v.40, HI, p.95-101.

129. Olsson P.O.M. Integration of the partial differential equations for the hypergeometric functions Fj and Fp in two and more variables.- J.Math.Phys., 1963, v.5, p.420-430.

130. Olsson P.O.M. On the integration of the differential equations of five-parametric double-hypergeometric functions of second order.- J.Math,Phys., 1977, v.18, N6, p.I285-I294.

131. Pandey R.C. A note on certain hypergeometric integrals.-Ganita, I96I, v.I2, N2, p.97-104.

132. Pastro P.I. The q-analogue of Holder's theorem for the Gamma function.- Rend.Sem.Mat.Univ.Padova, 1983, v.70, p.47-53.

133. Pastro P.I. Caratterizzazione analitica della funzione q-gamma.- Riv.mat.Univ.Parma, 1983, v.9, p.387-390.

134. Pathan M.A. On a general triple hypergeometric series.-Proc.Nat.Acad.Sci.India, 1977, A47, N1, p.58-60.

135. Prabhakar T.R. Some integral equations with Hummer*s functions in the kernel.- Canad.Math.Bull., 1971, v.14, N3, p.391-404.

136. Prabhakar T.R. A singular integral equation with a generalized Mittag-Leffler function in the kernel.- Yokohama Math.J., 1971, v.I9, p.7-15.

137. Prabhakar T.R. A general class of operators involving ^(cl, 2, \a>) and related integral equations.- J.Indian Math.Soc., 1977, v.4I, N1-2, p.163-179.

138. Prabhakar T.R. Some singular integral equations involving Laguerre polynomials and finite parts of divergent integrals.- Indian J.Pure and Appl.Math., 1980, v.II, N3, p.384-391.

139. Prabhakar T.R., Chakrabarty M. A class of basic integral equations with basic hypergeometric function 4(Pi in the kernels.- Indian J.Pure and Appl.Math., 1976, v.7, Nil,p.1253-1260.

140. Prabhakar T.R., Kashyap U.K. A new class of hypergeometric integral equations.- Indian J.Pure and Appl.Math., 1980, v.II, N1, p.92-97.

141. Rusia K,C. Some integral equations and integrals.-Proc.Hat.Acad.Sci.India, 1967, A37, HI, p.67-70.

142. Saigo M. On properties of the Appell hypergeometrie functions Pg ant^ F3 "the generalized Gauss fuctionBuH*Cent.Res.Inst.Fukuoka Univ.Natur.Sci., 1983, N66, p.27-32.

143. Saran S. Hypergeometrie functions of three variables.-Ganita, 1954, v.5, p.77-99.

144. Sasai T. The monodromy group and the reducibility conditions of the one dimensional section of Appell1s hypergeometric equation for F3 (c*,«*', p, if; cc., ^ Proc.Jap.Acad., 1978, A54, N3, p.59-61.

145. Saxena R.K. On the reducibility of Appell's function F^.- Canad.Math.Bull., 1966, v.9, N2, 215-222.

146. Saxena R.K. On a generalized function of n variables.-Kyungpook Math.J., 1974, v.14, p.255-259.

147. Saxena R.K. On the H-function of n variables.- Kyungpook Math.J., 1977, v.I7, p.221-226.

148. Saxena R.K,, Kumbhat R.K. Fractional integration operators of two variables.- Proc.Indian Acad.Sci., 1973, A78, 114, p. 177-186.

149. Shah M. A note on generalization of summation formula for Appell's function P2.- Dokl.Bungaria AN, 1973, v.26, N3, p.295-297.

150. Shantaram R. Further stronger gamma function inequalities.- Scand.aktuarietidskr, 1968, N3-4, p.204-206.

151. Sharma B.L. On the generalised function of two variables (I).- Ann.Soc.Sci.Bruxelles, 1965, t.79, N1,p.26-40.- 114

152. Singal R.P. A short note on a differential recursion formula for Appellts hypergeometric function F^.-SIAM J.Math.Anal., 1980, v.II, N2, p.390-391.

153. Singh C. On a class of integral equations.- Riy.mat. Univ.Parma, 1975(1977), v.I, p.1-7.

154. Singh R.P. An integral equation involving generalized Legendre polynomials.- Math.Stud., 1967(1969), , v. 35, N1-4, p.81-84.

155. Slater L.J. Generalized hypergeometric functions.-London-New York: Camb.Univ.Press, 1966,-274p.

156. Smith F.C. On the logarithmic solutions of the generalized hypergeometric equation when p = q + I.- Bull. Amer.Math.Soc., 1939, v.45, N8, p.629-636.

157. Srivastava G.P. Some new transformations and reducible cases of Appell's double series and their generalizations.- Math.Stud., 1971, v.39, N1-4, p.319-326.

158. Srivastava H.M. Hypergeometric functions of three variables.» Ganita, 1964, v.I5, N2, p.97-108.

159. Srivastava H.M. A hypergeometric transformation associated with the Appell function F^.- Proc.Camb.Philos.Soc., 1966, v.62, N4, p.765-767.

160. Srivastava H.M. On a summation formula for the Appell function F2.- Proc.Camb.Philos.Soc., 1967, v.63, N4, p.1087-1089.

161. Srivastava H.M. Analytic continuation of Appell's function F^,- Rev.mat.hisp.-amer., 1974, v.34, N3, p„151-156.

162. Srivastava H.M. An integral equation involving the confluent hypergeometric function of several complex variables.- Appl.Anal., 1976, v.5, N4, p.251-256.

163. Srivastava H.M., Buschman R.G. Some covolution integral equations.-» Proc.Kon.Nederl.Akad.Wetensch., 1974, A77, N3, S.2II-2I6. * Indag.Math., 1974, v.36, p.2II~ 216.

164. Srivastava H.M., Buschman R.G. Convolution integral equations with special function kernels.- New York -London: John Wiley &. Sons, 1977.-I64p.

165. Srivastava H.M., Gupta K.C., Goyal S.P. The H-functions of one and two variables with applications.- New Delhi: South Asian, 1982.~304p.

166. Srivastava H.M., Karlsson . P.W, Multiple Gaussian hypergeometric series.- Chichester (Sussex): Horwood.

167. Srivastava H.M., Panda R. Some hypergeometric transformations involving Horn's function H^.- Rend.mat., 1973, t.6, N4, p.864-895.

168. Srivastava H.M., Panda R, Some expansion theorems and generating relations for the H-function of several complex variables.- Comment.math.Univ.St.Pauli, 1976, v.24, N2, p.119-137.

169. Srivastava K.N. On some integral equations involving Jacobi polynomials.- Math.Japan., 1964, v.9, p.85-88.

170. Srivastava K.N. Integral equations involving a confuenthypergeometric function as kernel.- J.Analyse Math., 1964, v.I3, p.391-397.

171. Srivastava K.N. Fractional integration and integral equations with polynomial kernels.- J.London Math. Soc., 1965, v.4o, N3, p.435-440.

172. Srivastava K.N, A class of integral equations involving Laguerre polynomials as kernel.- Proc.Edinburgh Math.Soc., 1966, v.I5, N1, p.33-36.

173. Srivastava K.N. On integral equations involving V/hit-takerts function.- Proc.Glasgow Math.Assoc., 1966,v.7, N3, p.125-127.

174. Sud K.W.E. A new analytic continuation of Appellrs hypergeometric series Fg.- J.Math.Phys., 1976, v.17, N9, p.I7I9-I72I.

175. Ta Li. A new class of integral transforms.- Proc.Amer. Math.Soc., I960, v.II, N2, p.290-298.

176. Tandon O.P. Contiguous relations for the H-function of n variables.- Indian J.Pure and Appl.Math., 1980, v.II, N3, p.321-325.

177. Toscano L. Sur quelques séries hypergéometriques de type F^.- Mat.recn., 1972, t.9, N4, p.339-346.

178. Totov G. A hypergeometric function of n variables.-Godisnik Viss.Tech. V cebn.Zavad.Mat., 1965, v.I(2), p.37-77.

179. Verma R.U. On the H-function of two variables, I.Indian J. Pure and Appl.Math., 1974, v.5, N7, p.6l6~ 623.

180. Walter G. Some mean value inequalities for the gamma function.- SIM J.Math.Anal., 1974, v.5, N2, p.282-292.

181. Wimp J. Two integral transform pairs involving hyper-geometric functions.- Proc.Glasgow Math.Assoc., 1965, v.7, p.42-44.

182. Wong C.P., Kesarwani R.N. Lie theory and certain identities satisfied by pFq.- Port.math., 1975, v.34, N1-2, p.II9-I25.

183. Marichev 0,1., Vu Kim '¿иап The problems of definitions and symbols of G- and H-functions of several variables. Rev.Tec.Ing.Univ.Zulia, Edicion Especial, 1983, v.6, p.144-151.

184. Vu Kim Tuan, Kalla S.L. Some transformations and integ** ral representations of Horn*s double series.- Rev.Tec. Ing.Univ.Zulia ( to appear ).

185. Маричев О.И., By Ким Туан 0 некоторых свойствах q -гамма функции Г^О) дан БССР, 1982, т.26, JS6, с.488-491.

186. Килбас А.А., By Ким Туан Об одном многомерном аналоге интегрального уравнения Абеля,- ДАН БССР, 1982, т.26, МО, с.879-881.

187. By Ким Туан Интегральные уравнения Вольтерра, содержащие функции F2 и &2 в ядре,- ДАН Арм.ССР, 1983, т.77, JS5, с.201-204.

188. Чиханов Х.А., Ву Ким Туан Третье дифференциальное уравнение для некоторых рядов Куммера.- Изв.Вузов. Математика, 1982, М2, с.79-80.

189. Маричев О.И., Ву Ким %ан Определение общей & -функции двух переменных, её частные случаи и дифференциальные уравнения.- Дифференц. уравнения, 1983, т.19, МО, с. 1797-1799.

190. Маричев О.И., Ву Ким Туан Некоторые уравнения Вольтерра с функцией Аппеля Р, в ядре.- В сб.: Научные труды Юбилейного семинара по краевым задачам, посвященного 75-летию со дня рождения академика АН БССР Ф.Д.Гахова.-Минск: Университетское, с.167-172.

191. Ду Ким Туан Размерность многообразия решений одной системы уравнений в частных производных.- Изв. Вузов. Математика, 1983, МО, с.18-21.

192. Ву Ким Туан 0 числе решений одной системы уравнений в частных производных.- Дифференц. уравнения, 1984, т.20, М1, с. 1989-1992.

193. Ву Ким Туан Регулярные решения одного вырождающегося уравнения в частных производных.- Новосибирск, 1982.-10с.- Рукопись представлена редкол. Сиб.мат.журн. Деп. в ВИНИТИ 29 августа 1982, )£ 4642-82.

194. Маричев О.И., Ву Ким Туан Определение общей (т -функции двух переменных, её частные случаи и дифференциальные уравнения.- Минск, 1983.- 22сРукопись представлена редкол. журнала Дифференц. уравнения. Деп. в ВИНИТИ2 февраля,1983, В 687-83.

195. Ву Ким Туан Применение представлений групп к вычислению интегралов, содержащих функции Аппеля ^ и ? .- Изв. Вузов. Математика ( В печати ).