Некоторые вопросы теории уединенных волн в диспергирующих средах тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ
|
Ильичев, Андрей Теймуразович
АВТОР
|
||||
|
доктора физико-математических наук
УЧЕНАЯ СТЕПЕНЬ
|
||||
|
Москва
МЕСТО ЗАЩИТЫ
|
||||
|
1996
ГОД ЗАЩИТЫ
|
|
01.02.05
КОД ВАК РФ
|
||
|
|
||||
ГС ОН
о -8
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени м- в- ЛОМОНОСОВА
На правах рукописи
ИЛЬИЧЕВ Андрей Теймуразович
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ
УЕДИНЕННЫХ ВОЛН В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
01.02.05 — механика жидкости, газа и плазмы
АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических наук
Москва — 1996
МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ имени М.В. ЛОМОНОСОВА
На правах рукописи
ИЛЬИЧЕВ Андрей Теймуразович
НЕКОТОРЫЕ ВОПРОСЫ ТЕОРИИ УЕДИНЕННЫХ ВОЛН В ДИСПЕРГИРУЮЩИХ СРЕДАХ
01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы
АВТОРЕФЕРАТ
диссертации на соискание ученой степени доктора физико-математических паук
Москва — 1996
Работа выполнена в отделе механики Математического института имени В.А. Стеклова Российской Академии наук
Оффициальные оппоненты:
член-корреспондент РАН,
доктор физико-математических наук, профессор П.И. Плотников
доктор физико-математических наук, профессор A.A. Бармин доктор физико-математических наук, профессор С.Я. Секерж-Зенькович
Ведущая организация:
Институт физики Земли им. 0.10. Шмидта Росиийской Академии наук
/
/7 , ,- // " -Защита состоится ________ 1996 года в час.
на заседании дисссертационного совета Д053.05.02
при Московском Государственном университете имени М.В. Ломоносова по адресу Москва, 119899, Московский Государственный университет им М.В. Ломоносова, ауд. - 2. ^
С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке механико-математического факультета МГУ
Автореферат разослан ___1996 года
Ученый секретарь совета
доктор физ.-мат. наук, профессор Т-^"*—р __к В.П. Карликов
ВВЕДЕНИЕ
Данная диссертация по проблематике принадлежит к теории нелинейных волн, вопросы которой занимают центральное место в механике сплошной среды.
Основными объектами изучения в работе являются нелинейные уравнения, описывающие волновые процессы в диспергирующих средах и их решения типа уединенных волн, вопросы существования которых относятся к числу малоисследованных.
Научная новизна, теоретическая и практическая значимость работы. Настоящая диссертация посвящена теории существования и устойчивости уединенных волн трех различных типов в диспергирующих средах. Речь пойдет о классических уединенных волнах - решениях типа солитонов уравнения КдП, обобщенных уединенных волнах - продуктах нелинейного резонанса классической уединенной волны и периодической волны и, наконец, уединенных волнах с осциллирующей структурой фронтов (далее называемых уединенными волнами третьего типа). Существование обобщенных уединенных волн, которые сами по себе не могут служить результатом эволюции локализованных возмущений, тем не менее, связано с рядом интересных особенностей нестационарных процессов, присутствующих в системах, где волны этого типа имеют место. Эти процессы характеризуют эволюцию локализованных по пространству (имеющих конечную энергию) возмущений: распад возмущений подобного рода сопровождается излучением периодической волны, период которой связан с периодом осциллирующей составляющей обобщенной уединенной волны. Наличие уединенных волн третьего типа связано с присутствием в системе модуляционной неустойчивости; бегущие уединенные волны этого типа возникают из нестационарных волновых пакетов при равенстве скоростей огибающей и скоростей монохроматической волны, распространяющейся под огибающей. В диссертации сформулированы достаточные условия существования уединенных волн трех упомянутых типов для достаточно общих диспергирующих сред.
Результаты диссертации могут непосредственно применяться для исследования нелинейных волновых процессов в гидромеханике, теории упругости, физике плазмы, геофизике, а также в других механических и физических процессах. В частности, классификация уединенных волн, возможных в данной диспергирующей среде, позволит характеризовать нестационарные волновые процессы, связанные с существованием этих уединенных волн.
Основными результатами диссертации являются:
-установление эффекта взаимосвязи модуляционной неустойчивости, присутствующей в диспергирующей системе с наличием уединенных волн третьего типа;
-формулировка общего подхода к теории существования трех типов плоских уединенных воли: собственно уединенных, обобщенных уединенных и уединенных волн третьего типа. Сформулированы достаточные условия существования всех трех перечисленных типов уединенных волн в изотропных диспергирующих средах. Проанали-
зированы свойства устойчивости уединенных волн и уедииенных волн третьего типа, а также излучаемых локализованным возмущением периодических волн (последний эффект имеет место в результате существования обобщенных уединенных волн).
Все результаты диссертации являются новыми.
Структура диссертации. Диссертация состоит из введения, четырех глав, приложения, оформленного в виде пятой главы, и списка литературы. Общий объем диссертации - 115 страниц машинописного текста.
Публикации. Основные результаты диссертации опубликованы в виде 11 работ, шесть из них в соавторстве. В диссертацию включены результаты, принадлежащие автору.
Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались и получили высокую оценку на:
-1П-ем съезде советских океанологов (Ленинград, декабрь 1987);
-Всесоюзном школе-семинаре "Математическое моделирование в естествознании и технологии" (Владивосток, сентябрь 1989);
-Международной конференции "Geometric methods in theoretical and computational mechanics" (Обервольвах, июль 1993);
-IUTAM симпозиуме "Structure and dynamics of nonlinear waves in fluids" (Ганновер, август 1994);
-Международной конференции "Problems in the theory of nonlinear hydrodynamic waves" (Марсель, май 1995)
-семинаре профессора A.B. Рухадзе (ИОФРАИ, 1990);
-семинаре академика B.C. Владимирова (МИРАН, 1990);
-семинаре профессора С.Н. Кружкова (МГУ, 1991);
-семинарах чл.-корр. РАН А.Г. Куликовского и профессора A.A. Бармина (НИИ-Мех МГУ, 1993-1995);
-семинарах кафедры гидромеханики МГУ (1993-1995);
-семинаре академика С.М. Никольского и чл.-корр. РАН Л.Д. Кудрявцева (МИРАН, 1995):
-семинаре чл.-корр. РАН В.Ф. Журавлева и профессора C.B. Нестерова (ИПМех, 1995);
-семинаре профессора В.Н. Николаевского (ИФЗ, 1995)
Содержание работы.
Первая глава диссертации посвящена теории уравнения
du du 33и д5и „ , , .,.
которое в диссертации названо уравнением Кавахары по имени автора работы [1], где это уравнение впервые быль рассмотрено. Различаются два случая качественно
разного поведения решения уравнения Кавахары: случай 7 = — 1 и случай 7 = 1. В первом случае будем называть уравнение (1) уравнением Кавахары первого рода, а во втором - уравнением Кавахары второго рода. Уравнение Кавахары первого рода обладает семейством решений типа уединенных волн, (в том числе и для малых скоростей /(), которые являются бифуркацией из состояния покоя уравнения (1). График дисперсионного соотношения уравнения Кавахары первого рода для волновых чисел к > 0, лежит по одну сторону от касательной к нему в точке к = 0. В этом случае амплитуда уединенной волны положительна и бифуркация, приводящая к появлению классических уединенных волн соответствует увеличению угла наклона касательной совпадающей с осыо изменения волновых чисел к. Для уравнения Кавахары второго рода, кроме точки касания к = 0 имеется еще точка пересечения оси к с графиком дисперсионной кривой в точке к = 1. В данном случае, классическая уединенная волна не существует, а вместо нее имеет место обобщенная уединенная волна с незатухающим периодическим "хвостом", амплитуды которого для малых р, пропорциональна схр(-тг/ч/77) [2].
Дисперсионная кривая для уравнения Кавахары второго рода обнаруживает 1 : 1 резонанс [3], т.е. на этой кривой существует точка, где прямая проходящая через О касается графика дисперсионной кривой. Указанный резонанс соответствует появлению многогорбых уединенных волн (уединенных волн третьего типа) при скоростях, меньших, чем тангенс угла наклона касательной. Уединенные волны третьего типа отвечают солитонам соответствующего нелинейного уравнения Шредингера - продуктам неустойчивости Бенджамина -Фейра [4], при равенстве скорости огибающей (групповой скорости) и фазовой скорости монохроматической волны. Заметим, что уравнение (1) является молельным для широкого класса волновых процессов в диспергирующих средах и поэтому, описываемые им эффекты имеют универсальный характер. Так, например, для поверхностных волн в жидкости с учетов капиллярных сил, все известные эффекты, описываемые полной системой уравнений Эйлера, имеют место и для волновых процессов, описываемых уравнением Кавахары (см. [5], [б]). То же самое верно и для более общих волновых движений с наличием дополнительных поверхностных эффектов (как показано в главе 4 диссертации) и для волновых движений в холодной плазме [7], [8]. Важным универсальным свойством уравнения Кавахары второго рода является наличие точки перегиба у дисперсионной кривой. Это свойство дисперсионного соотношения при дополнительных условиях на нелинейные члены, обуславливает возникновение как обобщенных уединенных волн, так и уединенных волн третьего типа. Устойчивость последних, как уже упоминалось, вплотную связана с неустойчивостью Бенджамина-Фейра периодических волн. Устойчивость классических уединенных волн, описываемых уравнением Кавахары первого рода, установленная в первой главе, является вполне естественным фактом, говорящим о том, что уравнение Кавахары первого рода описывает ту же ситуацию, что и уравнение КлВ. Открытым до сих пор вопросом является условие на-
линия периодической составляющей у обобщенной уединенной волны, что приводит к излучению коротковолновых пакетов обычной уединенной волной. В обобщенных уединенных волнах уравнения Кавахары второго рода определенно прису тствует коротковолновая составляющая
В)
и = Dir exp I--— I sinx + О
sfpzxp t
(2)
с D ф 0. Уравнение Кавахары в этом смысле описывает случай общего положения: почти любое обратимое уравнение пятого порядка допускающее решение типа обобщенных уединенных волн имеет периодическую составляющую с асимптотикой (2) и своим D ф 0. Лишь при дискретном множестве значений коеффициентов этих уравнений периодическая составляющая пропадает и обобщенные уединенные волны оказываются классическими (см. [2]). Отметим, что эти уравнения пятого порядка являются интегрируемыми. Отсутствие ряби у обобщенных уединенных волн является, таким образом, структурно неустойчивым явлением: любое малое изменение коеффициентов уравнения приводит к возникновению периодической составляющей, а значит качественно новых явлений распада классических уединенных волн, вызванного коротковолновым излучением. Причем, как отмечалось еще в [2] время распада существенно зависит от амплитуды уединенных волн.
Взаимодействие уединенных волн происходит различным образом: взаимодействие без излучения энергии, взаимодействие с излучением энергии, образование связанных состояний. Взаимодействие первого типа характерно для уединенных волн интегрируемых систем и в первую очередь уравнения КдВ. Уединенные волны в этом случае взаимодействуют подобно частицам, меняя лишь фазу. Результатом такого типа взаимодействия явилось название "солитон", относящееся, в частности, к уединенным волнам уравнения КдВ (комбинация первого слога слова solitary и последнего слога названия частиц: фотон, электрон, протон и т.д.). Взаимодействие второго типа имеет место для уединенных волн неинтегрируемых уравнений. В этом случае в процессе взаимодействия происходит сброс энергии в виде волнового пакета. Результатом взаимодействия являются уединенные волны с амплитудой отличной от амплитуд воли до взаимодействия. Подобный тин взаимодействия в основном анализируется при помощи численных методов. И, наконец, третий тип взаимодействия характеризуется образованием осциллирующих вокруг общего центра масс уединенных волн, и даже образованием стационарных волн - "бионов", являющихся продуктом взаимодействия двух волн [9]. Указанный тип взаимодействия был обнаружен в [10]. В последней работе изложены результаты наблюдения связанных состояний в электрических цепях.
Основными результатами первой главы являются:
-доказано существование и нелинейная устойчивость классических уединенных волн типа КдВ (распространяющихся со скоростями 0 < V < 1/4) уравнения Кава-хары первого рода;
-доказан конвективный характер модуляционной неустойчивости периодических волн, излучаемых в процессе эволюции локализованных возмущений в форме соли-тона КдВ;
-описана форма уединенных волн третьего типа уравнения Кавахары второго рода, а также показано, что взаимодействие таких волн малой амплитуды характеризуется взаимным отталкиванием.
Структура главы 1
H первом параграфе главы 1 выводится уравнение Кавахары из полной системы уравнений Эйлера для длинных волн малой амплитуды для поверхностных гравитационно-капиллярных волн, а также для волн иод упругой пластиной, которая при соответствующих обстоятельствах может моделировать ледовый покров (см. [11]).
Параграф второй посвящен доказательству существования и единственности решений задачи Коши уравнения (1). Это уравнение принадлежит к классу уравнений со слабой нелинейностью, так что можно ожидать большего, чем локальная разрешимость (что необходимо для доказательства нелинейной устойчивости уединенных волн), а именно, что дисперсия, по крайней мере, не нарушает гладкости начальных данных. И в самом деле, оказывается, что решения, образующиеся в результате эволюции достаточно гладких начальных данных уравнения Кавахары, сохраняют эту гладкость и существуют глобально по времени. В параграфе 1 главы 1 демонстрируется доказательство следующих теорем:
Теорема 1. Пусть u0 £ //S(R) для s > 2. Тогда, для любого Т > О существует решение уравнения (1) и G /v°°[0, Т, //®(R)], ?2о(0, i) = и0. Это решение единственно для s >3.
Теорема 2. Функция и из Теоремы 1 принадлежит С{О, Т, //'(R)]nC*[0, Т, Я'"5*(R)], s > 2 « s - 5k > —9/2, так, что решение для s > 11/2 классическое а том смысле, что все приозводные в уравнении (1) существуют поточечно и являются непрерывными функциями по совокупности переменных х и t.
Теорема 3. Решение уравнения (1) непрерывно зависит от начальных данных ио, в том. смысле, что отображение Ç : и0 и непрерывно из 7/'(R) в С[0, Т, //'(R)] П Ck[0,T, Н-5к(R)], я > 2 и s - 5к > -9/2.
, В параграфе 3 главы 1 рассматриваются вопросы существования и устойчивости уединенных волн с монотонными фронтами (0 < V < 1/4) уравнения Кавахары первого рода. При доказательстве существования решений с неограниченным носителем (как уединенные волны) имеется ряд трудностей при применении стандартных
теорем индекса неподвижной точки в банаховых пространствах. Поэтому будет использоваться теория индекса в ненормируемых пространствах Фреше [12].
Решение уравнения (1) при -у = — 1 ищется в виде бегущей волны и = ф(х — VI). Рассматриваются только уединенные волны с монотонной структурой фронта, ч то имеет место при 0 < V < 1/4. Интегрирование уравнения (1) и использование условий убывания на бесконечности приводит к уравнению
ф = Лф
{Аи)(х) = У к(х - у)и2{у)ду
и образ Фурье ядра к имеет вид
к(к) = У(к4 + к2 + V)"1,
так что
<х
к(х)с/1 = 1
/
В параграфе 3 доказано, что нелинейный оператор Л имеет неподвижную точку ф на конусе К в пространстве Фреше С(Я) непрерывных на вещественной оси функций. Конус К определяется следующим образом:
А'о = {»6 С(И),и(х) = и(-х),Ух 6 Н.,и(1) > 0, при х > 0},
и(х) не возрастает при х > 0.
Более того нетривиальная неподвижная точка ф оператора Л принадлежит пространству Н°°(Т1) П ^""(й.), т.е. является бесконечно диффереущируемой и имеющей все производные в //2(И) Л ¿'(Я).
Неподвижная точка ф, таким образом отвечает решению уравнения (1) тина уединенной волны.
Далее в параграфе 3 рассматриваются вопросы нелинейной устойчивости уединенных волн, существование которых было доказано в первой части параграфа. Уравнение (1) может быть записано в гамильтоновой форме
задача Коши для которой локально разрешима в вещественном гильбертовом пространстве X, Е - трансляционно-инвариантный гамильтониан:
Определим далее ограниченный линейный оператор В : X X" ил равенства J В = Т (0), где 7'(/) - оператор сдвига. Очевидно, В* = В. Определим также функционал Q по формуле
Q{u) = I < Ви, и >
(<■,•> здесь и далее обозначает соотношение дуальности между X и X*). Функционал Q в данном случае имеет вид:
I Г°°
Q = - / и2dx
Z J оо
Сформулируем далее следующие предположения и определения.
Определение 1. Под решением задачи Коши уравнения (3) на временном интервале 1 будем понимать функцию и € C(I, X) (непрерывную со значениями в гильбертовом пространстве X), такую, что
jt <u(1),ф>=< E'(u(t)), —Ji/j >
в пространстве распределений V (1) для всех ф G D(J) С X'.
Предположение 1. (О существовании решений). Для каждого и0 6 X существует /п > 0 зависящее только от ||uo||, (|[ ■ || здесь и далее обозначает норму в X), а также решение и(/.) уравнения (3) на интервале X = [0,io)> такое, что
а)u(O) = и0
б)E(u(0) = Е(и0), Q(u(t)) = Q(u0) для t е I.
Определение 2. Под граничным состоянием будем понимать решение уравнения (3) вида
фу=Т(-У1)ф, где УеК,феХ
Заметим, что если u(i) является решением (3) то И его сдвиг Т(1)и(1.) также. Предположение 2. (Существование граничных состояний - уединенных волн). Существуют вещественные числа Ц < V2 и гладкое отображение V —» фу интервала (VUV2) в X, такое что для каждого V е (VUV2), Е'(фу) + VQ'tyv) = 0, Т'(0)фу ф 0 и фу е 0(7''(О)2.
Определим далее скаляр d(V) = Е(фу) + \?С}(ф\г) и самосопряженный оператор IIv = Е (фу) + VQ (фу), (штрих означает производную Фрешс). Определение 3. Орбита фу, ({Т(—У1)фу,1. £ R}) называется устойчивой, если для любого г > 0 существует <5 > 0 такая, что для любого решения u(x, t) на временном полуинтервале [0,7'), такого, что ||и(-,0) — фу\\ < S, u(x,t) может быть продолжено до решения на [0, оо) и
sup inf ||u(x,0 - Т(1)фу\| < е оо leli.
Предположение 3. Для каждого V £ (VI, 14) оператор И у имеет в точности одно отрицательное собственное значение, одномерное ядро и положительный спектр, отделенный от нуля.
Теорема 4 [13] .При справедливости предположений I, 2, 3 орбита фу, < V < 14 устойчива тогда и только тогда, когда функции </(V) - выпукла. В параграфе 3 первой главы доказывается справедливость предположений 1-3 для уединенных волн уравнения (1) с 7 = —1 и тем самым устойчивость этих уединенных волн.
В четвертом параграфе первой главы рассматриваются нестационарные эффекты, связанные с существованием решений уравнения Кавахары второго рода тина обобщенных уединенных волн, а также вопросы существования уединенных воли третьего типа и особенности взаимодействия этих волн малой амплитуды. Приближенное значение константы в И в формуле (2) (я: 119.82л") было впервые подсчитано в [2] при помощи метода сращиваемых асимптотических разложений. Следовательно, асимптотика симметричной бегущей волны - обобщенной уединенной волны дается выражением (2). Константа Б была также подсчитана в [14] при помощи асимптотического анализа в спектральной к - плоскости. Бойд [15] подтвердил результаты [2] используя точные численные методы. В статье (16) указано, что существование стационарных несимметричных обобщенных уединенных волн невозможно. Последнее заключение означает, что любое локализованное решение должно излучать энергию в форме периодических волн. Для малых скоростей р амплитуда в низшем порядке равна удвоенной амплитуде периодической компоненты симметричной обобщенной уединенной волны [16]. Следовательно, время распада уединенной волны малой амплитуды экспоненциально велико. Когда же величина амплитуды уединенной волны умеренна, амплитуда излучаемого хвоста достаточно велика, как показывают численные расчеты, результаты которых приведены в диссертации, и, следовательно, процесс распада уединенной волны может быть подвержен влиянию модуляционной неустойчивости, которая присутствует в системе.
Дисперсионная кривая уравнения (1) для 7 = 1 имеет также точку 1 : 1 резонанса (при к = 1/\/2), т. е. на дисперсионной кривой существует точка в которой фазовая скорость равна групповой скорости. Упомянутый резонанс сооответствуег появлению уединенной волны третьего типа, распространяющейся со скоростью меньшей чем групповая скорость Ц> = —1/4. В диссертации показано, что амплитуда первой гармоники волны Стокса
и = (еФ(Г,Х) ехр + с.с) + (с2Ч>1(Т,Х)ехр[Иф] + с.с) + ...,
ф = и>1 — кх, Т — X = ех (4)
где с - малый параметр удовлетворяет нелинейному уравнению Шредингера <9Ф '„ч^ЧЛ ш"(к)д2 Ф к2 2
где ш(к) ~ — к3 + Штрих в (5) обозначает дифференцирование по волновому числу к и Д = 2и>(к) — ш(2£). Нестационарные волновые решения (4) для Ф = Ф(Х — УТ), Ф —» 0 при X —> ±оо, удовлетворяющие (5) становятся стационарными (в системе отсчета, движущейся со скоростью ш (к)) в окрестности точки к = 1/\/2, где скорость огибающей Ф равняется фазовой скорости монохроматической волны распространяющейся под огибающей. Уравнение (5) поддерживает модуляционную неустойчивость периодических волн для к < \f\fb и к > \/3/Ю. Следовательно, излучаемая периодическая волна, которая соответствует к > 1 должна быть неустойчива. Другими словами, модуляционная неустойчивость вмешивается в процесс излучения: она будет влиять на этот процесс, в случае, когда упомянутая неустойчивость является абсолютной в системе отсчета, движущейся со скоростью излучающей уединенной волны. Если же неустойчивость конвективна в указанной системе отсчета, то неустойчивоть не оказывает влияния на излучение на поздних стадиях и процесс излучения можно рассматривать как квази-стационарный. В параграфе 4 показано, что модуляционная неустойчивость является конвективной в системе отсчета, распространяющейся со скоростью излучающей уединенной волны.
Пятый параграф первой главы посвящен вопросам существования и взаимодействия уединенных волн третьего типа для уравнения Кавахары. Исследование вопросов существования проводится приближением динамической системы, описывающей решения типа бегущих волн уравнения (1) с -у = 1. Тип квази-нормальной формы, соответствующей случаю 1:1 резонанса известен [17]:
дхЛ = iqЛ + В + ¿Л/%, |Л|2, 1-{АВ - ~ЛВ)\
<%В = г,?/? + ИЗР[,,, ¡А[2, '-(ЛЯ - ЛВ)} + Л<2[/л |Л |2, 1-(АВ - АВ)} (6) где Р и <3 - вещественные полиномы /'(0,0,0) = (^(0,0,0) = 0
Р = р,//+р2|Л|2 + ...
Я = ЯМ1 + ЯМ\2 + ...
и величины А и В даются соотношениями
и = А + А + Ф(Л,Л,В,В)
где полином Ф определяются из условия, что уравнения на Ли/? имеют вид (6). Уединенные волны третьего типа имеют место, если коэффициент < 0 [3]. В параграфе 5 получено выражение: <?2 = —19/9. Уединенные волны третьего типа в низшем
приближении по малому параметру /л, характеризующему амплитуду, даются формулами:
А = г0 ехрг(?£ + в0), В = г, ехр + г0 =
= ТЧИ'у/^Ы'1 зЦу/чй*®
Р2
= + '/¡(л/чй^)
42
В работе [3] доказано, что гомоклинические орбиты аппроксимирующей системы (6), в низшем приближении по ц дающиеся вышеприведенными формулами являются грубыми относительно обратимых возмущений высшего порядка по ¡1. Это означает, что полная система также имеет гомоклинические траектории, которые отличаются от приведенных на величины следующего порядка малости по /1.
В параграфе 5 главы 1 методом Горшкова-Островского-Папко показано, что взаимодействие двух уединенных волн третьего типа характеризуется уравнением на расстояние между вершинами этих уединенных волн /:
£1 -<112 ¿1
где
У{1) = ^ I С/1"2(Х) Ск'2{Х ~ + °(''3)
—оо
Из выражения для потенциальной энергиии У(1) видно, что уединенные волны расходятся, не образуя связанных состояний (последний эффект характерен для уединенных волн с осциллирующей структурой). Причиной отсутствия связанных состояний уединенных волн малой амплитуды является экспоненциальная малость слагаемых в потенциальной энергии, которые могут повлиять на образование потенциальной ямы. В случае умеренных амплитуд, указанные члены будут оказывать существенное влияние на форму потенциальной кривой.
ГЛАВА II
В главе 2 впервые формулируется общий подход к теории существования уединенных волн всех трех перечисленных типов в диспергирующих средах. При этом, основное внимание уделено изучению плоско-параллельных волн, т. с. волновых образований, зависящих от одной пространственной переменной и времени. В главе 2
сформулированы достаточные условия существования уединенных волн всех трех упомянутых типов в изотропных диспергирующих средах. Как уже упоминалось, факт существования уединенных волн разного типа во многом определяется поведением дисперсионных кривых. Уединенные волны являются продуктом соответствующих нелинейных резопансов, существование которых предсказывается соответствующими свойствами дисперсионного соотношения. Развитая теория иллюстрируется примерами систем уравнений, описывающих распространение плоских волн в холодной плазме.
Основным результатом второй главы является:
- классификация систем уравнений в частных производных, описывающих одномерные волновые процессы в изотропных диспергирующих средах, имеющих среди решений уединенные волны рассматриваемых типов.
Прежде чем приступить к изложению этого и других результатов данной главы, вкратце остановимся на основных аспектах метола сведения на центральное многообразие, который используется при получении этих результатов.
Рассмотрим динамическую систему
w = Aw + F(p,w) (7)
где А линейный оператор, действующий либо в X = R" либо в бесконечномерном гильбертовом пространстве, обозначаемым тем же символом, (в последнем случае будем полагать, что А - замкнутый), F(0,0) = ¿?w(0,0) = 0, // - малый параметр. Предположим, что А имеет конечное число мнимых собственных значений. Будем предгюлогать также, что существует изометрия Л : X —> X, R2 = 1, такая, что АН = —НА и F(¡t, Rw) = —RF(n,w). Системы уравнений удовлетворяющие этому свойству будем называть обратимыми. Для доказательства существования решений типа уединенных и обобщенных уединенных волн для систем типа (7), которым удовлетворяет состояние покоя w = 0 (роль "времени" в этих системах играет пространственная переменная —оо < х < оо), используется метод редукции динамических систем, описывающих бегущие волны, к системам более низкого порядка на так называемом центральном многообразии. Центральное многообразие является интегральным многообразием в фазовом пространстве системы, где находятся ограниченные решения не покидающие достаточно малой окрестности нуля. Дальнейшее исследование редуцированной системы сводится к изучению интегрируемых систем, которые сколь угодно точно приближают эту систему в окрестности нуля. Последний этап доказательства теорем существования состоит в доказательстве грубости решений аппроксимирующих систем по отношению к обратимым возмущениям высшего порядка по амплитуде. Аппроксимирующие системы представляют собой квази-нормальпую форму уравнений на центральном многообразии. В работе используются
три типа квази-нормальных форм систем, описывающих уединенные и обобщенные уединенные волны.
Пусть Хо инвариантное подпространство А, натянутое на собственные вектора, отвечающие чисто мнимым собственным значениям. Тогда X = Х0 ф Х\, V/ = + w1, Wo 6 Х0, w1 е X, Г) В(А) и аналогично для Р0 и А0 = А\Хо, А1 = Л\х,го)(А), и эволюционное уравнение (7) записывается в виде
дху/0 = Ло'И'о + .Ро^, \у0 + \У1)
= Ам + Р^р, w0 + wI) (8)
Предположение. Существуют окрестности 0: и'0 С Х0, 1/2 С О(А) П А'[, и Л точки р. = 0 такие, что
Р = (А,, Г,)' 6 СЦ\ хи'0х и'2,Хо х У)
где У С X1 - замкнутое подпространство.
Предположение (О резольвентных оценках). Существует константа ц, такая, что для всех г 6 С, |Дег| < <; имеют место следующие неравенства (для некоторой положительной константы С)
(ОНИ:-*)-1!!*-.* МНИ,-*)-1
(¿¿ОНИ,-*)-'!!™
Заметим, что если X - конечномерное пространство, то последнее предположение тривиально выполнено. При выполнении последних двух предположений справедлива следующая
Теорема (О центральном многообразии)[17],[18] .Существуют окрестности пуля Чо С 110 С Хо, и2 С и2 С Х1 П О(А), окрестность Ло С Л р = 0 и функция
л = %,шо) е с6*-1(л0 х и0,и2)
имеющая следующие свойства ({) Множество
Мм = {(™0,Кр,«г„)) С Хо х (X, П П(А)Ж £ (/„}
является локальным интегральным многообразием (8) с ц € Ло/
(И) Каждое решение (8) с ц 6 Л0, Wo,w1(x) б(/0х ¿/2, Ал* всех х € Я принадлежит Л/р;
< с
< <
1 + 1*1
с
1 + |г|2
(iv) Если Rj : Xj —► Xj, j = 0,1 линейные изометрии, удовлетворяющие F,(/i,yïoWo,ffiW,) = -7ÎjFj(/î,w0,Wi), /lj/îj = -RjAj, то h(/t, /?0w0) = /î,/i(/i, w0). Из теоремы о центральном многообразии следует редукция системы уравнений (8) для решений остающихся в Uo х С/г для всех г £ R. Эти решения удовлетворяют для любого /I £ До уравнениям
w0 = /l0w0+ /o(;i,w0), /0((i,w0) = F0(/i,w0 + w0)) (9)
Кроме того, уравнения(9) являются обратимыми по отношению к /?о : R = /?о © Л], /¡о ■' Хо —* Xq.
Рассмотрим далее три различш>1Х возможности положения мнимых собственных значений оператора А и в соответствии с этим три типа квази-нормальных форм потока па центральном многообразии уравнений (7).
Тин 1. Оператор А имеет ноль второго порядка собственным значением. Псе остальные собственные значения отделены от мнимой оси. Бифуркация в этом случае происходит в результате прохождения собственных значений оператора линеаризованной правой части уравнения (7) через ноль при /1 = 0. Квази-нормальная форма системы (9) имеет вид [17]
2 = 40a + 7V(a;) + o(lûl')
где w0 = п + Т(а), Т(а), N(a) полиномы степени < к порядка О(ц\о\, |о|2). Они удовлетворяют уравнениям [17]
D„N(a)A'0a = A'0N(a) D„T(a)A0a - Л0Т(а) = /„(«) - N{a)
В рассматриваемом случае уравнения в квази-нормалыюй форме имеют вид [17]: «о = «1
к
о, = Ф(/(,«о), Ф(/*,о>о) = X)cj(/0«o (Ю)
j=i
Система (10) имеет первый интеграл Qj — Ф(/г,а) = Я, Ф = 3„0Ф, и значит интегрируема.
Тип 1!. Собственными значениями оператора А лежащими на мнимой оси являются ноль второго порядка и пара комплексно сопряженных собственных значений iiq,q > 0. Бифуркация также происходит в результате прохождения собственных значений оператора линеаризованной правой части (7) через ноль. Квази-нормальная форма системы (9) в данном случае имеет вид [6] ( « = joo,oi,z,z})
дгаа = г»! dxz = izq + iz<S!()i,a0, |z|2) дта, = Ф(ц,а0,\г\2) dxz = -izq - a„, |z|2) (11)
где Ф and Ф вещественные полиномы требуемого порядка
ф = IX/^K + М^Ы + - Ф = 7оМ + 7i(^)oo + ...
Система (11) имеет два первых интеграла \г\2 = К и — Ф = Н, 0„0Ф = 2Ф. Тип III. Собственными значениями оператора А лежащими на мнимой оси являются пара комплексно сопряженных чисел кратности два каждое ±iq,q > 0 (в силу обратимости системы (7) собственные значения А симметричны относительно вещественной и мнимой осей). Бифуркация из нулевого сотояния системы в данном случае происходит в результате прохождения собственных значений оператора линеаризованной правой части (7) через мнимую ось. Квази-нормальная форма системы (9) в данном случае имеет вид (6) [17]. Система уравнений (6) имеет два первых интеграла
'-(AB - AB) = К, \В\2 - G(m,\A\2,I<) = II где duG = Q(ft,u,v).
Структура главы 2
В первом параграфе главы 2 рассматривается общая формулировка проблемы и доказывается, что при выполнении приведенных там предположений, обратимая система типа (12) допускает однопараметрическое решение типа классических уединенных, обобщенных уединенных и уединенных волн третьего тина.
Рассмотрим систему уравнений п-го порядка, описывающую распространение плоских волн в диспергирующих средах:
где v 6 л", д'/дх' - оператор ¿-ой производной по пространственной переменной х, а д/дЬ - оператор производной по времени I. Линейный оператор £ имеет вид
д д ' & ^ д> д д д1> - £ Адх-+ £ д1+ дС
где Л,, В, и С - постоянные матрицы п х п. Вектор Т нелинейно зависит от ар. гументов, обозначенных в (12). Кроме того, будем предполагать, что система (12) инвариантна относительно одновременной инверсии I —> — I и х —> —х. Указанную инвариантность далее будем называть обратимостью. Дисперсионное соотношение для (12) получается из уравнения = 0, где v = сехр{г(кх ас- постоянный
вектор. Для уравнения (12) дисперсионное уравнение имеет п ветвей и может бить записано в виде
5 = =
(13)
¡=1
Обозначим ы; = д{(к) и с( = Нтш,Д - фазовую скорость бесконечно длинных волн к—»0
для г-ой ветви.
Предположение 1. (О дисперсионном соотношении). Существует фазовая скорость с,0 ф сг для любого номера г -/- г0 такая, что порядок касания примой с,п графика ветви при к = 0 равен 2 и эта прямая не пересекает график ни одной ветви дисперсионного уравнения (13) нигде, кроме точки к = 0. Далее будем обозначать соответствующую скорость с,0 как с.
Пас будут интересовать решения (12) тина бегущих волн, когда неизвестная вектор функция v зависит только от ( = х — VI, где V - скорость бегущей волны. Уравнение описывающее бегущие волны получается из (12) заменой д/дх —> 0/()£,
В рассматриваемом случае слабой дисперсии, Уипд,(к)/к конечен. После перехода
V к—»0
к системе, описывающей бегущие волны и связанной с этим переходом замены I и х, в дисперсионном соотношении (13) частота и заменится на Vk. В силу соотве тствующих свойств функций у,(к), после вынесения за знак произведения в (13) общего множителя кп, предел мри к —* 0 выражения, оставшегося под знаком произведении, является конечным. Кроме того, если выполняется Предположение 1, то это выражение при V = с, очевидно, имеет двукратный нулевой корень. Из изложенного следует, что уравнение £(д/д£, — V д / д(,)ехр(И'1) = 0, где = Ь при V = с имеет нулевой
корень лишь второго порядка и однократное интегрирование устраняет ноль порядка п в уравнении, полученном из (13) после упомянутых замен.
Предположение 2 (О нелинейности Т). Система (12) для бегущих волн может быть переписана в виде
где С(У, v) - невырожденная в окрестности v = 0 и V = с матрица и х п. Система уравнений (И) для решений v, убывающих на бесконечнос ти, таким образом эквивалентна системе
Предположение 3. Система уравнений (15) разрешима относительно старших производных в окрестности v = 0 и V = с.
д/дI -> -Уд/д£.
(14)
+ / = О
(15)
Из Предположения 3 немедленно следует, что система (15) переписывается в виде динамической системы (7) где А(с) = А - постоянная матрица m X m, ц = V — с, w £ R7", а точка в (7) означает дифференцирование по "времени", роль которого здесь ш раег пространственная переменная —оо < £ < оо. Нелинейность F содержит слагаемое A(V) — А(с), так что /''(0,0) = 0 и dF(0,0)/3w = 0. Обратимость системы (Г2) и связанная с пей обратимость динамической системы (7) (инвариантность относительно замены £ —-> — £) означает, что существует вещественная диагональная' m х m матрица. 11 : Rm —> Rm, т. что Я2 = 1 и R антикоммутирует с левой час/гыо (7), т.е. АН = -НА и F(fi, liw) = — RF(fi,-w). При справедливости Предположения 1, единственным собственным значением матрицы А, лежащим на мнимой оси будет 0 кратности 2. 13 случае общего положения матрица А имеет один собственный вектор фа и один присоединенный вектор ф\\ Афо = 0, Лф\ = фа-Предположение 4. Имеет место равенство Яф0 = ф0.
Заметим, что вектор Иф0 является собственным вектором А, соответствующим собственному значению значению 0. 13 самом деле, в силу свойств матрицы И, АНф0 = — ИАфа = 0. Таким образом, П.ф0 = афа, где а - некоторая константа. Домножив последнее равенство па И, получим, что а = ±1. Предположение 4 фиксирует а = 1. Легко заметить, что при выполнении Предположения 4, 11ф| = —ф\.
Ксли Предположение 4 выполняется, то в базисе ф0, ф}
Центральная часть решения \Уо представляется в виде = ао((,)фо + "1 (0Ф\-13 соответствии с. теоремой о центральном многообразии, для V/ не покидающих достаточно малой окрестности нуля при всех £ и достаточно малых //, шь = А(//^0), причем Л.(0,0) = 0 и дк(0,0)/дч/о = 0. Кроме того функция к наследует свойство обратимости системы (7), а именно: 0) = — Л(//, По^о). Проблема исследо-
вания свойств малых решений (7) таким образом сводится к исследованию свойств малых решений системы уравнений (9). Эта система, очевидно, является замкнутой и в рассматриваемом случае является системой второго порядка.
Сопряженная матрица А' обладает собственным вектором ф1 и присоединенным вектором Фо для нулевого собственного значения. Матрица Л0 в базисе ф0, ф\ имеет вил
вектор \Уо в базисе ф0, ф| имеет компоненты «0 и в), а вектор /о - компоненты /, =< /о,'/'о > и {г =< ¡а,Ф\ >, тле скобки <,> обозначают обычное скалярное произведение в R,".
Предположение Ь.Для Vo = («о,0-!)1 достаточно малых, в разложении /2 = ро"о +
Р\а.ц + р2аиа\ + р^а\ + |«Го|2) в окрестности Wo = 0 константы ра и р\ не
равны нулю (рг — О в силу обратимости уравнений).
1} параграфе 1 главы 2 доказано, что при выполнении Предположений 1-5, имеет место
Теорема 1. Система уравнений (12) имеет решении типа уединенных волн, по крайней мере тогда, когда амплитуда их достаточно мала.
Доказательство основано па применении уравнений в квази-нормалыюн форме (10) которые приближают полную систему па центральном многообразии с любым алгебраическим но р порядком точности и имеют решения типа уединенных волн. Доказательство теоремы 1 завершает лемма о грубости решений солитопною типа уравнений в квази-иормальной форме относительно возмущений любого порядка малости по малому параметру р. Способ этого доказательства, которое приведено в данном параграфе, принадлежит автору диссертации.
Далее, вместо выполнения Предположения 1 будем требовать, чтобы выполнялось Предположение 1 . Существует помер г0 ветви ш,0(&) = д,0(к) дисперсионного соотношения (13) такой, что порядок касания прямой ск (с = с,0) графика ветви и,„(к) при к = 0 равен двум. Кроме того, прямая ск имеет при к > 0 ровно одно пересечение с графиком какой-либо ветви дисперсионного уравнения. И силу обратимости системы при к < 0 будет также ровно одно пересечение ск и одной из кривых и,(к), г = 1 ,...,п.
Из Предположения 1 немедленно следует, что центральная часть спектра матрицы А состоит из четырех собственных значений, лежащих на мнимой оси. ')тими собственными значениями являются двукратный ноль и два Ненулевых чис то мнимых собственных значения ±г(/. Решение теперь представимо в форме
= а0ф0 + а^ + а+ф+ + а-ф-, ф_ = ф+, а_ = н+
где ф+ и собственные векторы А, соответствующие мнимым собственным значениям ±г'(/. Вектор-функция в базисе , ф], ф+, ф_ имеет компонент].! а;1. а^ а+ и «_, а матрица Ло имеет вид
А 0 =
/0 10 0 \
ООО 0
0 0 гд 0
\ 0 0 О —г</)
В настоящем параграфе показано, что при выполнении Предположений 1,2 — 5 система (12) имеет решения типа бегущих уединенных волн с, быть может, быстро-осциллирующей незатухающей рябью, амплитуда которой гораздо меньше, чем амплитуда самой уединенной волны. Условия, при которых бы< троосциллирующая рябь обязательно присутствует как составляющая обобщенной уединенной волны в настоящее время неизвестны. При доказательстве используются квази-нормальная форма
(11). Результат формулируется в виде следующей теоремы.
Теорема 7. При выполнении Предположения 1 и. предположений 2-5 система урав-
нений (12) имеет решения типа обобщенных уединенных волн, по крайней мерс тогда, когда амплитуда их достаточно мала.
В данном параграфе показано, что решения уравнений (12) типа уединенных волн третьего типа существуют, если выполняются предположения 2, 3 а также следующие предположения
Предположение 1 . (О дисперсионном соотношении) Существуют константа Ц> и ветвь дисперсионного соотношения К., такие, что прямая У0к пересекает, графики всех ветвей при к. — 0, касательно к, К в точке к = <7 ф 0 при к > 0 и не имеет более не одной общей точки ни с какой дисперсионной кривой при. к > 0. Предположение 6. Константа <72, определенная в полииом.ах из (6) строго меньше нуля.
В параграфе 2 главы 2 результаты параграфа 1 применяются к эволюционным скалярным уравнениям общего вида, описывающим волновые процессы в диспергирующих средах.
В параграфе 3 главы 2 общие результаты параграфа 1 применены к уравнениям холодной квази-пейтралыюй плазмы:
где зависимые и независимые переменные использованы в безразмерной форме. В уравнениях (16) (¿> - угол наклона вектора невозмущенпого магнитного поля к оси х, р - возмущение плотности частиц, Ву и Вг - соответствующие компоненты возмущенного магнитного поля, Вх = costp, (u,v, w) - компоненты вектора скорости ионной жидкости, Iii и - параметры дисперсии, характеризующие ларморовские частоты ионов и электронов. Показано, что в зависимости от угла ip наклона невозмущенпого
др д(рп) ди — + 4- — = О,
dl дх дх
— + („ + 1 Г' —[Г/?2 + -Ii. + П2)/ 21 = П.
du
(16)
вектора магнитного ноля к направлению распространения волны система уравнений (16) допу(кает уединенные волны всех трех перечисленных типов.
Глава III
В главе 3 диссертации рассматриваются вопросы существования уединенных волн в растяжимых упругих стержнях и нелинейной устойчивости петлеобразных уединенных волн в нерастяжимых стежнях (эластиках Эйлера). Рассма триваемые уравнения, описывающие волновые процессы в стержнях, предполагают малые деформаций, хотя при этом допустимы достаточно большие смещения. Анализ устойчивости петлеобразных уединенных воли эластики Эйлера производится методом построения соответствующей функции Ляпунова, однако имеет ряд особенностей, т. к. общая теория нелинейной устойчивости, развитая в [13] в данном случае оказывается неприменимой.
Основным результатом третьей главы является:
- доказательство нелинейной устойчивости петлеобразных уединенных волн в нерастяжимых упругих стержнях.
Структура главы 3
15 параграфе 1 рассматривается распространение упругих волн в сжимаемых стержнях. Этот пример характерен тем, что предсказанное линейным дисперсионным соотношением существование обобщенной уединенной волны не имеет места: периодическая составляющая тождествепо равна нулю.
В параграфе 2 главы 3 рассматривается устойчивость петлеобразных уединенных волн в нерастяжимых стержнях. Система уравнений, описывающая изгибные колебания в тонких нерастяжимых стержнях имеет вид
Т! — = (рт')5 -
т'т, = 1 (17)
где г', г = 1,2 (плоские колебания) или г = 1,2,3 (трехмерные колебания) - компоненты вектора, касательного к упругой линии (эластике) стержня, и' - компоненты скорости точек стержня (когорый рассматривается как линия не имеющая толщины), ;; -натяжение в стержне, 6 - лагранжева длина дуги стержня. Индексы I и л обозначают дифференцирование по временной и пространственной переменной. Предпологается суммирование по повторяющимся индексам, (г1 = г, и то же для и'). Уравнения (17) имеют решения типа бегущей волны т' — т'(я — VI), V' = — VI), р = р(.ч — VI),
где: V - постоянная скорость. Для плоских колебаний (г3 = jr1 = 0) система уравнений, описывающая бегущие волны может быть сведена к уравнению математического мая тника. Среди решений типа бегущих волн, уравнения (17) имеют решения типа уединенной волны (соответствующее траектории маятника, проходящей через состояния равновесия), которые в системе отсчета, движущейся со скоростью V даются выражениями:
Ijt1 = 1 — 2ch~2 (гп.ч), 0т2 = — 2ch~2(ms)sh(ms) oi> = Poo - 6m2ch'2(ms), 0т3 = 0 a«' = -V(ot1 - r'J
где 7i>2 = />„ — V2, /»„о = const, т= {1,0,0}'. Далее будем предполагать, что стержень растянут на концах, т. е. р(±оо) = р0с > 0. Предположим также, что р„ произвольно и фиксировано. В настоящем параграфе доказана условная устойчивость уединенных волн, распространяющихся в стержне бесконечной длины по отношению к плоским колебаниям. Эти уединенные волны отвечают решениям уравнений (17) типа бегущей волны, монотонно убывающим на пространственной бесконечности. Так как малое возмущение уединенной волны может привести к уединенной волне, имеющей другую скорость, то будет рассматриваться орбитальная устойчивость или устойчивость по форме. Проще говоря, решение, которое изначально близко (в соответствующем функциональном пространстве) к данной уединенной волне явля-етсяя близким к сдвигам этой уединенной волны в любой момент времени. Анализ устойчивости проводимый здесь, тесно связан с ляпуиопской теорией устойчивости. Упомянутый анализ основан на спектральных свойствах самосопряженного оператора //, имеющего вил (штрих обозначает вариационную производную)
я = Е"(фУ) + уд"(фу)
где вектор функция фу обозначает уединенную волну, вида {0т' — T^oi/}', распро-
оо
страняющутося го скоростью V. Функционал Q = f (г1 — r^)v,d.s представляет собой
— оо
сохраняющуюся величину в результате трансляционной инвариантности гамильтониана. Е. Трудности, связанные с определением натяжения р в (17) в диссертации не обсуждаются. Соответственно, будет предполагаться, что существует решение задачи Коши для (17) (в подходящем смысле).
Гпмильтонопа форма. Система (17) записывается в гамильтоновой форме:
< _
- - JL^l
"' ~ (1? Sn
т'г, = 1 (18)
где гамильтониан Е имеет вид
1 °°
Е = 2 / + т'.т»)Лз
—оо
Под вариационными производными в (18) подразумеваются условные вариации Е при условии, выраженном третьим уравнением в (18). Функционал Е представляет собой С2 функционал из гильбертова пространства X в Г1, где X определяется следующим образом
" = К - •С^'}' е * = * НЧЪ) х Ы^) х ¿^(П)
Сохраняющиеся величины. Для и 6 X система уравнений (17) имеет следующие формально сохраняющиеся величины : Е, ф, и для гладких функций, достаточно
оо оо
быстро стремящихся к ±оо Л' = / (т1 — т^)с1з, В' = / г^'с/.ч. Заметим, что Л' -
непрерывный функционал и г' — 1 6 ¿'(К) в силу третьего уравнения в (18).
Задача Коши для (17). Для дальнейшего достаточно иметь существование решений в очень слабой форме.
Определение 1. Задача Коши для уравнений (17) имеет решение если для данного и0 € X вблизи фу в X, ||и0 — < существует Т > 0, зависящее от а и функция и(1) Е С([0,Т), X) (непрерывная с значениями в X) т. что и( 0) = и и и для всех о < I < Т, т^Го, = т'г, = 1 и Е{и) = Е(и0), (}(и) = Ь(и0), Л\и) = л'(»и). Волге, того, если и('Г) ограничено в X, то Т = оо.
Легко проверить что эластика для уединенной волны имеет форму петли [19]. Заметим, что система (18) может быть записана в форме
Е'(фу) = {Е(фу) + У<2(фу) - РаоЛЦфу)}' = О (19)
где штрих опять обозначает условную вариационную производную при условии т,т' = 1.
Симметрии. Функционалы Е, Л' аш1 В' очевидным образом инвариантны под действием группы Ли трансляций
Т(1)и(з) = и(л + 1) = ехр(Ш,)и(1), I в II
Лемма 1. Из трансляционной инвариантности функционалов 1С и следует, что вектор д,фу явлжтся собственным вектором оператора И = Е (фу) + Я (Фу) с собственным значением 0.
Далее рассмотрим окрестность орбиты определенную следующим образом
ис = {и е X, 1пГ ||и — Т(1)фу}\ < с}
Тот факт, 'по для всех и в Vе существует оптимальный сдвиг (в том смысле, что он дает экстремальное значение расстоянию между сдвинутой уединенной волной и и) может быть сформулировапи при помощи следующей леммы.
Лемма 2.Существует < > 0 и С2 отображение I : II, И такие, что для всех
и е и,
<Т(1{и))и,д,фу > = О
Теорема 1.< Ну,у >> 0 иа линейном замкнутом подмногообразии Ь = {;/ £ X, о Л'/1 + 1>Т2У2 = 0}
Замечание. Линейное подпространсво Ь касательно к подмногообразию М = {и 6 X, т'т, 1} В "гочке 1/. — фу.
Следствие 1 .Пели у £ /, I < У,д,фу >= 0, то
< Иу,у>>с|М|2 где ко)1.ппаита с пе зависит от у.
Определение 2. Уединенная волна фу называется устойчивой, если для всех с > 0 существует 6 > 0 со следующими свойствами. Если |[н(0) — фу\\ < й, ии(1) - решение задачи Коши (17) на некотором интервале [0,Т), то
яцр 1пГ \\uit) - Т(1)фуII < С
Достаточные условия устойчивости даются следующей теоремой. Теорема 2. Рассматривая уединенная волна устойчива, если (г) Существует решение задачи Коши (17) ( в смысле Определения 1);, (п) 1' (и) — К(фу) > с\\Т(1(и))и — ф\г\\2 для и £ (/СПМ, (с - константа, 1(и) из Леммы 2 и Г дается (I!))). Следующая теорема окончательно устанавливает условную орбитальную устойчивость рассматриваемых уединенных волн для плоских стсрж-- ней.
Теорема 3. Для и 6 И, П А/, /•» - Г'(фу) > с||Т(1(и)) - фу\? ■
Глава IV
Волновые процессы па поверхности идеальной несжимаемой жидкости, находящейся иод свободно плавающей ледовой пластиной, представляют собой значительный ин терес не только с теоретической точки зрения, по также с точки зрения практических приложений. Множество важных вопросов возникает в ледовой инженерии в связи со свойствами волн, распространяющихся на, границе между ледовым покровом и жидкостью. Известно, что эти волны, будучи достаточно большими, могут вызвать
разлом льда. Упомянем здесь результаты, касающиеся моделирования поверхностных волн иод ледовым покровом в рамках обычной теории упругости. Используя технику Маде аппроксимаций и численные расчеты, Форбс в [2Ü], [21] продемонстрировал, что давление жидкости и упругие изгибающие моменты имеют достаточно большие максимальные значения в горбах плоских периодических волн относительно небольшой амплитуды, чтобы вызвать разлом льда.
В настоящей главе рассмазривакутся возможные ветви бегущих волн в идеальной жидкости конечной глубины иод ледовым покровом. Рассматриваемая модель упругой пластины удовлетворяет ряду предположений, которые, чем не менее, являются достаточно общими и лежат в основе классической теории изгиба балок и пластин [19]. Используется метод сведение на центральное многообразие полной системы уравнений. Далее ноток на централ!,ном многообразии исследуется при помощи квазинормальных форм. Доказательство грубости приближенных решений относительно обратимых возмущений высшего порядка по амплитуде для рассматриваемого потока па центральном многообразии приведено в работе [б].
В задаче рассматриваемой в настоящей главе, динамическое условие па поверхно-сзз1 раздела между упругой пластиной и жидкостью содержит производные четвертого порядка от возвышения поверхности и полная система уравнений являе тся обратимой. Более того, картина бегущих волн для обратного квадрата числа Фруда А ~ I оказывается полностью аналогичной картине в случае гравитационно капиллярных волн, который был рассмотрен в [6]. Упомянутый факт основан на следующем.
(i) Спектр линейного оператора Л входящего в правую часть полной системы уравнений, (которая может быть записана в виде (7)), дается корнями уравнения
а( A, í>, 7, сг) = a cos а — (А — ba2 4- 7сг4) sin сг = 0
(Ь - аналог числа Бонда и отвечает напряжению предварительно напряженного состояния в пластине, 7 коеффнциепт, характеризующий упругие свойства пластины), и для А = 1 поведение спектра полностью аналогично случаю 7 = 0, а именно, для b > 1 /3 единственным корнем а который лежит на мнимой оси являе тся двухкра тный нулевой корень; для b < 1/3 появляется дополнительная пара сопряженных мнимых корней ±г(/.
(¡i) Резольвен тные оценки (данные Леммой 2 параграфа 3 настоящей главы) также справедливы н в рассматриваемом случае, и следовательно сведение на центральное многообразие является допустимым. В случае 6 > 1/3 размерность центрального многообразия равна двум, а в случае 6 < 1/3 - четырем. Для 6 > 1/3 параметры, входящие в приближение низшего порядка не зависят от параметра 7, характеризующего присутствие пластины. Более того, линеаризация и симметрии в рассматриваемом случае подобны случаю гравитационно-капиллярных волн, оСх.уждаемому в [(>).
Основным результатом, четвертой главы является: -классификация возможных форм бегущих волн малой амплитуды на поверхности жидкос ти мод ледовым покровом, который моделируется упругой пластиной, удовлетворяющей предположениям Кирхгофа-Лява.
Структура ял,а вы 4
И мерном параграфе главы 4 рассматривается вывод исследуемой полной системы уравнений Эйлера, описывающей волновые процессы на поверхности идеал).ной несжимаемой жидкости конечной глубины со свободно плавающей упругой пластиной. Приня ты следующие предположения о деформированном ссостоянии пластины.
(¡) Существует нейтральная поверхность без деформаций сжатия и растяжения в центральном горизонтальном сечении пластины.
(н) Каждое волокно упругой пластины, ортогональное нейтральной плоскости в педеформированном состоянии остается прямолинейным и ортогональным деформированной ней тральной плоскости.
(ш) Упругие напряжения в пластине подчиняются закону Гука. (¡V) Силы, отвечающие предварительно напряженному состоянию приложены к нейтральной плоскости.
Во взором параграфе главы 4 описана процедура сведения полной системы уравнений Эйлера на центральное многообразие и исследуются квази-нормальные формы, приближающие поток на центральном многообразии. Полная система уравнений, описывающая бегущие волны может быть представлена в виде динамической системы (7), где оператор Л, зависящий от вертикальной координаты, действует в гильбертовом пространстве X = И3 х />2(0,1) х /^(0,1). Получены следующие ветви решений полной системы уравнений (4.4).
1. Большое положительное начальное натяжение в пластине (Ь > 1/3,) - уединенные волны типа "яма".
2. Малое положительное и произвольное отприцательиое натяжелше (— ос < Ь <
1/3;
-обобщенные уединенные, волны; -периодические волны двух типов; -квали-пернодические волны.
Кар тина бегущих воли в рассматриваемом случае очень похожа на соответствующую картину в случае гравитационно - капиллярных волн [6]. Это означает, что эти два волновые явления разных масштабов (амплитуда гравитационно - капиллярной волны порядка 0,5 см., для волн же под ледовым покровом амплитуда может достигал!, величины нескольких десятков сантиметров) могут оказаться похожими. Сильные основания для подобного заключения содержатся в работе [20] где рассмотрены волны конечной амплитуды в жидкости бесконечной глубины. Автор упомянутой статьи нашел что приближения в виде частичных сумм соответствующих рядов
перестают бы ть верными при ряде дискретных значений коеффицнента жесткости на изгиб, что было интерпретировано, как бифуркация периодических решений. Аналогичные результаты были известны в гравитационно - капиллярном случае с 11)11 года.
В третьем параграфе четвертой главы даны детали сведения полной системы уравнений Эйлера на центральное многообразие а также доказана справедливость резольвентных оценок, что необходимо для применения теоремы о центральном многообразии для квази-линейных уравнений [18].
В Приложении дается формулировка теорем и лемм, лежащих в основе ма тематических методов, использованных в диссертации. В первых двух параграфах Приложения излагается теория топологического индекса в пространс твах Фреше, ко торая используется в дальнейшем для доказательства глобального существования уединенных волн уравнения Кавахары первого рода. В третьем параграфе Приложения излагается классическая теория нелинейной устойчивости, основанная на ляиуновском подходе [13]. Результаты этой теории используются для доказательства устойчивости уединенных волн уравнения Кавахары первого рода. В параграфе 4 Приложения излагаются основные результаты теории центрального многообразия как для конечномерных, так и для бесконечномерных динамических систем (уравнений в частных производных в цилиндрических областях). Результаты этой теории используются в диссертации при доказательстве существования бегущих волн малой амплитуды, а также для определения их формы.
Список литературы
[1] Kawahara, Т. Oscillatory solitary waves in dispersive media. J. Phys. Soc. Japan, 1972, 33, 260-264
[2] Pomeau, Y., Ramani, A., Grammaticos, B. Structural stability of the KdV solitons under a singular perturbation. Physica D, 31, 127-134
[3] looss, G., Peroucme, M Perturbed homoclinic solutions in reversible 1:1 resonance vector fields. J. Dijf. Eqns, 1993, 102, 62-88
[4] Benjamin, Т. В., Fcir, J.E. The disintegration of wave trains on deep water. Part, 1. ./. Fluid Mr.ch., 1963, 27, 417-430
[5] Hunter, J., Scheurle, J. Existence of perturbed solitary wave solutions to a model etpiation for water waves. Physica D, 1988, 32, 253-268
[6] looss, G., Kirchgassner, K. Water waves for small surface tension: an approach via normal form. Proc. Hoy. Soc. Edinburgh, 1992, 122 A, 267-299
[7] Марченко, A. Ii. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом. ЯД/Л/, 1988, 52, 230-235
[8] Kakntani, Т., Ono, II. Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collision-free plasma. J. Phys. Soc. Japan, 1969, 26, 1305-1318
[9] Boyd, J. P. Solitons from sine waves: analytical and numerical methods for non-intcgrable solitary and cnoida! waves. Physica D, 1986, 21, 227-146
[10] Горшков, К.А., Островский, JI. А., Папко, В.В. Взаимодействия и связанные состояния солитонов как классических частиц. ЖЭТФ, 1974, 71, 585-593
[11] МйПег, A., Ettema, II. Dynamic response of an icebreaker hull to ice breaking. Itr.Proc. 1ЛШ1 Ice SympHamburg, 1984, II, 287-296
[12] Benjamin, T.B., Bona, J.L., Bose, D.K. Solitary wave solutions of nonlinear problems. Report, No. AML 30, Penn. State University Report, Series, 1988
[13] Grillakis, M., Shatah,.)., Strauss, W. Stability theory of solitary waves in the presence of symmetry, I. J. Fund. Anal, 1987, 94, 160-197
[14] Akylas, Т. R., Yang, T.S. On short, scale oscillatory tails of long wave disturbances. Stud. Appl. Math., 1995, 94, 1-20
[15] Boyd, J. P. Weakly non-local solitons for capillary-gravity waves: fifth degree Korteweg- de Vries equation. Physica D, 1991, 48, 129-146
[16] Benilov E.S., Grimshaw, R., Kuznetsova E. 1'. The generation of radiating waves in a singularly - perturbed Korteweg - de Vries equation. Physica I), 1993, 69, 270-278
[17] Iooss, G., Adelrneyer, M. Topics in bifurcation theory anil applications., Singapore: World Sientific, 1992
[18] Mielke, A. Reduction of quasilinear elliptic equations in cylindrical domains with applications. Math. Meth. Appl. Sci., 1988, 10, 501-566
[19] Love, A. E. 11. A treatise on the mathematical theory of elasticity, Dover, 1914
[20] Forbes, L. K. Surface waves of large amplitude beneath an elastic sheet. Part 1. High order series solution. J. Fluid Mech., 1986, 169, 409-428
[21] Forbes, L. K. Surface waves of large amplitude beneath an clastic sheet. Part 2. Galerkin series expansion, J. Fluid. Mech., 1988, 188, 491-508
Основные результаты диссертации опубликованы в работах:
1. Ильичев А.Т, Марченко А.В. О распространении длинных нелинейных волн в тяжелой жидкости под ледяным покровом. Изо. АН СССР, сер. МЖР, 1989, N1, 88-95
2. Ильичев А.Т. О свойствах одного нелинейного эволюционного уравнения пятого порядка, описывающего волновые процессы в средах со слабой дисперсией. Труды МИ АН, 1989, 186, 222-226
3. Ильичев А.Т. К теории длинных нелинейных волн, описываемых уравнениями пятого порядка. Изв. АН СССР, сер. МЖР, 1990, N.2, 99-104
4. Ильичев А.Т., Семенов Л.Ю. Орбитальная устойчивость граничных состояний в г теории длинных волн с дополнительным давлением. ЛАП СССР, 1991, 321, 505-508
5. Il'ichev, A. arid Semenov, A. Stability of subcrirical solitary wave solutions lo fifth order evolution equation. Preprint N28, General Physics Inst., 1991
6. Ильичев А.Т. О существовании солитононодобных решений уравнения Кавахары. Мат. заметай, 1992, 52, 42-50
7. Il'ichev, A., Semenov, A. Stability of solitary waves in dispersive media desciibed by a
fifth order evolution equation. Thcorci. Compvl. Fluid Dynamics, 1992 3, 307-326
8. H'ichev A.T. Tlie existence of solitary waves in dispersive media. liliAS Physics /Hupplr.mr.n t. Physics of Vibrations. 1995, 59, 88-97
9. irichev A.T., Marchenko A.V. Nonlinear waveguides in resonance three-wave interaction in an ideal fluid with surface effects. HUAS Physics/Svpplcmcnt. Physics of Vibrations. 1995,59,98-107
10. IPichcv A.T. On the existence of generalized solitaty waves in media with weak dispersion. UliAS Physics/Supplcmr.nt. Physics of Vibrations. 1995, 59, 130-140
11. Deliaev A.Yu., Il'ichev A.T. Conditional stability of solitary waves propagating in elastic rods, Physica I), 1996, 90, 107-118
