Разрывные решения уравнений, описывающих нелинейные волны в средах без диссипации тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

Введение

1 Волновые скачки в нелинейной лучевой теории солитонов

1.1 Исходная система.

1.2 Волновые скачки

1.3 Трехсолитонная конфигурация как структура волнового скачка.

1.4 Задача о распаде произвольного разрыва.

1.5 Некоторые выводы.

В настоящее время имеется разработанная теория разрывов в газовой динамике [103], [104], [96], [97], [76], магнитной гидродинамике [70], [4], [7], [5], [6], теории упругости [73], гидравлике [100], [102] и некоторых других моделях. Математические основы теории разрывов излагаются в [74], [92]. Физический подход к изложению теории разрывов используется в [76].

Интенсивные исследования ударных волн, фронтов горения и детонации в газовой динамике начались в 30-40 годах XX века в связи с потребностями разработки авиационной, ракетной техники, военными приложениями. Позднее разрывы стали изучаться и в других областях. Наиболее обширна теория разрывов в газовой динамике, тем не менее и здесь постоянно идут дальнейшие исследования для моделей со сложными физическими и химическими свойствами [77], [78], решаются неодномерные задачи со сложными конфигурациями фронтов ударных волн [62], [55]. Для этого уже давно и успешно применяются численные методы, превратившиеся в самостоятельную отрасль науки [95], [93], [47], [45]. Необходимость исследования решений с разрывами стимулировала развитие специально предназначенных для этого численных методов, таких как метод Годунова [46], [47], основанный на решении задачи о распаде произвольного разрыва.

Следуя работе [73], отметим следующие общие проблемы, возникающие при исследовании разрывов: поиск граничных условий на разрыве, построение структуры разрыва, анализ условий эволюционности.

Рассматриваются две модели: упрощенная модель с разрывными решениями и более сложная модель с учетом диссипативных процессов. В более сложной модели разрывы представляют собой области с быстрым изменением параметров, называемые структурами разрывов. Для того, чтобы разрыв мог существовать, требуется наличие у полной модели стационарных решений, описывающих его структуру [73], [92], [85], [4].

Упрощенная модель обычно описывается гиперболической системой. При этом должно выполняться условие

N = + 1

Здесь N - число граничных условий на разрыве, - число характеристик, уходящих от разрыва. Выполнение данного условия, называемого условием эволюционности [76] необходимо для того, чтобы разрыв мог существовать. Данное условие является необходимым условием устойчивости разрыва. Применительно к газовой динамике это условие фактически было сформулировано Л.Д.Ландау в 1944 [76]. Термин "условие эволюционности" возник позднее [3] и в настоящее время является общепринятым.

Все условия на разрывах можно разделить на основные условия, получаемые интегрированием исходных уравнений, записанных в виде законов сохранения и дополнительные, которые можно получить при анализе структуры разрыва [73]. В работах [67], [69], [73] показано для широкого класса моделей, что существование структуры разрыва одновременно означает и его эволюционность, т.е. все необходимые дополнительные условия можно получить в результате анализа его структуры.

Указанные выше положения теории разрывов являются базовыми для данной диссертации. Эти положения обобщаются для разрывов, структуры которых описываются уравнениями другого типа, без диссипации, но с наличием дисперсионных членов. Эти разрывы в диссертации обычно называются скачками. Первоначально обнаружилось, что такие скачки возникают в двумерных моделях, которые с математической точки зрения можно охарактеризовать как модели нелинейной геометрической оптики [9], [16]. Они представляют собой скачки между двумя волновыми состояниями. Поэтому эти скачки были названы волновыми скачками. Однако затем выяснилось, что методы исследования таких скачков в волновых и в обычных механических моделях однотипны. Однотипность подходов привела к разработке теории скачков в бездисипативных моделях вообще.

Особенностью скачков в одномерных моделях без диссипации является возможность наличия вблизи них расширяющихся со временем волновых зон, для описания которых можно вывести усредненные уравнения. При этом число параметров в этих уравнениях оказывается большим, чем в исходных уравнениях. С физической точки зрения это можно интерпретировать как появление отраженных или излучаемых волн. Под скачками в данной работе понимаются любые переходы между однородными, периодическими или квазипериодическими состояниями.

Исследования волновых скачков в гидромеханике начались в 70 годах в связи с развитием метода усреднения Уизема [102] и появлением усредненных моделей эволюции волн [128], [129], [172], [173], [174], [44], [169], [165], [170], [167], [163], в которых и встречаются эти скачки. Скачки исследовались в работах [72], [87], [155], [161], [164], [160], [156], [157], [152]. Отправной точкой исследований, приведенных в данной диссертации следует считать работу А.Г.Куликовского и В.А.Реутова [72], где рассматривались решения, описывающие распространение уединенных волн над подводным хребтом. Эти решения включали разрывы. Граничные условия на них вводились так же как для обычных разрывов из физически очевидных законов сохранения. Это закон сохранения энергии и условие нераразрывности фронта волны. Сходный подход к получению граничных условий на разрывах в нелинейной лучевой теории солитонов имеется в [87] и [153]. В работе [153] фактически были получены структуры таких скачков (решения, описывающие трехволновой резонанс), однако они не были использованы для получения граничных условий. В работе [161] в общем виде были проанализированы волновые скачки (прыжки) для периодических волн и приведены граничные условия на них, исходя из того, что на этих скачках должны выполняться законы сохранения. В работе [142], в чем-то перекликающейся с работой [153] были также фактически исследованы структуры волновых скачков, но для стационарных периодических волн на воде, описываемых нелинейным уравнением Шредингера. В отличие от работы [153] решения были получены численно. Численные результаты о взаимодействии волны с тонким клином были сопоставлены с результатами, полученными аналитически из предположения о том, что на скачках выполняются законы сохранения. Такой подход оказывается приемлемым только для скачков малой амплитуды. Особенностью же подхода, используемого в данной диссертации является включение в граничные условия на скачках дополнительных волн, в результате чего граничные условия на скачках не могут быть получены непосредственно интегрированием законов сохранения, требуется модификация метода. В случае уединенных волн в законах сохранения необходимо учесть появление отраженной волны. В случае нелинейного уравнения Шредингера вводится виртуальная отраженная волна и условия сращивания на скачке.

Более общей теорией является теория разрывов в бездиссипативных моделях, которая тоже начала развиваться в 70 годы. В этой области можно отметить работы по скачкам, описываемым уравнением Кортевега -де Вриза [48], [56], [50], [65], нелинейным уравнением Шредингера [49], в плазме [82]. Преимущественно исследования таких работ ориентированы на приложения в физике плазмы, это так называемые бесстолкновительные или бездиссипативные ударные волны [48], [83], [64]. Фактически под структурами таких разрывов формально понимались нестационарные, расширяющиеся со временем волновые зоны [48] (нелокальный подход по терминологии данной диссертации). Для описания волновых зон применялись методы усреднения. Волновая зона рассматривалась как центрированная волна огибающей, искались инварианты Римана, позволяющие связать между собой параметры однородных состояний по разные стороны от волновой зоны. Следует отметить, что в физике плазмы помимо ударных волн в моделях гидродинамического типа исследуются и ударные волны в квантовой постановке [131], [171], [158], [150], [112].

В данной диссертации эти исследования продолжены. Так при исследовании нелинейного уравнения Шредингера метод усреднения совмещен с концепцией дополнительной волны. Это позволило получить простые и практически полезные соотношения на скачке. Но главным новым элементом, привносимым в данную область является то, что в дальнейшем метод усреднения обобщается на модели со сложными дисперсионными свойствами. В указанных выше работах метод усреднения применялся к достаточно простым полностью интегрируемым моделям, в которых уравнения бегущих волн оказываются динамическими системами второго порядка. В данной диссертации также развивается этот подход, но к моделям, приводящим к системам четвертого порядка и выше. Как показано в данной диссертации, при локальном подходе в таких моделях встречаются только простейшие скачки: солитонного типа и кинки. Под скачками солитонного типа здесь понимаются скачки между однородным состоянием и периодическим волновым состоянием, асимптотически стремящимся при t —У оо к последовательности уединенных волн. Эти скачки располагаются на границах волновых зон. Под кинками для бездиссипативных моделей понимаются скачки между двумя однородными состояниями. По существу все указанные выше работы посвящены аналитическим исследованиям скачков солитонного типа. Скачки же между двумя однородными состояниями для моделей без диссипации рассматривались и в более ранних работах 60 годов, например [176], однако вне контекста общей теории разрывов, т.е. без анализа условий эволюционности и числа законов сохранения необходимого для получения условий на разрыве. Чисто аналитический поход к более сложным моделям затруднен, в связи с чем к началу 90 годов число работ в этой области резко снизилось. Усложнение дисперсионных свойств моделей и применение в данной диссертации комбинированных численно-аналитических методов позволило выявить новые типы скачков и вывести эту область исследования на качественно новый уровень.

В последние годы интенсивно развивается теория уединенных волн для уравнений с дисперсией высокого порядка [130], [111], [120], [124], [58], [159], [79], [138], [137], [178], [135], [119], [121], [106], [114]. Было обнаружено, что такие уединенные волны обладают рядом принципиально новых свойств по сравнению с уединенными волнами простейших полностью интегрируемых моделей. Так обычная уединенная волна не всегда существует, но при этом существует обобщенная уединенная волна, т.е. комбинация из периодической и уединенной волны. Встречаются так называемые 1:1-солитоны, стационарные аналоги солитона огибающей нелинейного уравнения Шре-дингера, и многогорбые уединенные волны более сложных типов. Эта область представляет большой интерес для теории скачков в бездиссипатив-ных моделях, поскольку один из скачков является скачком солитонного типа. Кроме того, имеется определенное соответствие между существованием обычных, обобщенных уединенных волн, 1:1-солитонов и существованием скачка того или иного типа. В этом смысле исследование уединенных волн может рассматриваться как частный случай исследования структур скачков, т.е стационарных в некоторой системе координат решений, описывающих переходы между различными состояниями. Большинство из этих работ посвящено непосредственному получению решений для интегрируемых уравнений, доказательству существования обычных и обобщенных уединенных волн, т.е. решений достаточно простого типа, а также проверке устойчивости этих уединенных волн аналитически и в численном эксперименте. Следует выделить группу работ по исследованию многогорбых уединенных волн на основе численного анализа динамических систем [111], [178], [122], [121]; для многогорбых уединенных волн затруднительно получение аналитических результатов, за исключением случая 1:1-солитона.

В данной диссертации осуществляется развитие этих направлений исследования уединенных волн в тех аспектах, в каких они представляют интерес для анализа структур скачков.

Разработан способ определения возможных типов стационарных решений (в том числе и уединенных волн), используемых в качестве структур скачков по числу пересечений на плоскости (со, к) дисперсионной кривой и прямой ш — Uк] здесь шик- циклическая частота и волновое число линеаризованной системы, U - фазовая скорость для рассматриваемого стационарного в некоторой системе координат решения (скорость скачка). Разработан эффективный численный метод, позволяющий наблюдать эти решения в нестационарном численном эксперименте. Сформулированы правила, которым должен удовлетворять численный метод для того, чтобы качественный вид численного решения в точности соответствовал теории. Для этого необходимо, чтобы численная схема сохраняла свойства симметрии и консервативности исходной системы. Такой подход был опробован для различных моделей: модифицированных уравнений Кортевега - де Вриза и Шредингера, холодной бесстолкновительной плазмы и плазмы с горячими электронами.

Разработан метод поиска структуры скачка с излучением, при котором структура ищется как последовательность решений типа уединенных волн со многими горбами. Кроме того, в развитие методов численного анализа многогорбых уединенных волн был разработан численный метод исследования стационарных решений динамических систем, позволяющий проанализировать все уединенные волны, а не только убывающие на бесконечности, систематизировать все стационарные решения и найти новые типы решений - уединенные волны огибающей двух резонансно взаимодействующих волн. Систематически это осуществлено для обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза. Поскольку указанные уединенные волны имеют некоторые общие черты с решениями, описывающими упоминавшийся выше скачок типа трехволнового резонанса для случаев уединенных и периодических волн, то предполагается, что в дальнейшем полученные решения могут быть использованы при исследовании скачков более сложных типов, чем те которым посвящена данная диссертации.

В данной диссертации приводятся также результаты численных расчетов по анализу нестационарного поведения уединенных волн в ряде моделей, для которых известны аналитические результаты: обобщенное уравнение Кортевега - де Вриза, резонанс Фарадея для волн на воде, холодная бес-столкновительная плазма. Помимо того, что эти расчеты позволяют предвидеть наличие различных типов скачков для данных моделей, они дают возможность надежно протестировать используемый численный метод.

Диссертация имеет следующую структуру. Сначала идут главы 1, 2, 3, где рассматриваются достаточно простые и уже детально исследованные типы скачков. Далее идет центральная глава 4, где излагается общая теория и наиболее современные результаты. Далее глава о резонансных решениях 5, как бы дополнение, рассчитанное на перспективу. Заканчивается диссертация двумя вспомогательными главами б и 7, где рассматриваются некоторые дополнительные результаты для волновых скачков, описываемых обобщенным уравнением Шредингера, математические вопросы, разработка численных методов.

Наиболее простой из бездисспативных моделей является модель нелинейной эволюции солитонов, рассматриваемая в главе 1. Разрыв представляет собой излом фронта уединенной волны со скачком ее амплитуды. Для описания структуры скачка привлекается решение Майлса [153] о трехсо-литонной конфигурации, которое показывает, что помимо основного переднего фронта имеется еще и отраженная волна. Особенностью данной модели является то, что отраженная волна, возникающая при наличии разрыва на основном фронте, полностью определяется его параметрами и фактически не взаимодействует с основной волной. Граничные условия на скачках для данной модели можно получить из физических законов сохранения. Кроме того, вводится еще скачок типа пересечения волн. Излагается общая теория этих скачков и задача о распаде произвольного разрыва.

В главе 2 рассматриваются примеры решений для волн на воде с такими скачками: взаимодействие плоской волны с полубесконечным и бесконечным подводным хребтом, полубесконечной и бесконечной подводной впадиной, численный расчет взаимодействия волны с полубесконечным подводным хребтом.

В главе 3 рассматриваются скачки для моделей, описываемых нелинейным уравнением Шредингера. В частности такой моделью является модель стационарных волн на воде, для нее исследуется задача об отражении от вертикальной стенки. Особенностью данной модели является то, что отраженная волна взаимодействует с основной и уравнения для падающей и отраженной волны необходимо решать совместно. Граничные условия на скачках здесь нельзя вывести из физических законов сохранения. Они были выписаны по аналогии с предыдущей моделью, а затем их справедливость была доказана формальным способом. Используя свойства симметрии уравнений удается найти точные соотношения, описывающие взаимодействие волны со стенкой.

В главе 4 рассматривается общая теория скачков в моделях с дисперсией высокого порядка. Она проиллюстрирована на примерах аналогов уравнений Кортевега - де Вриза, нелинейного уравнения Шредингера с производной третьего порядка, а также уравнений холодной плазмы. Завершается глава исследованиями скачка с излучением на основе анализа решений уравнений бегущих волн.

В главе 5 приводится новая методика исследования стационарных решений уравнений с дисперсией высокого порядка. Для модифицированных уравнений Кортевега - де Вриза и Шредингера находятся резонансных решений сложного вида. В будущем эти решения могут быть использованы для описания волновых скачков.

Материалы, приведенные в главах 6, 7, следует рассматривать как вспомогательные к предыдущим главам.

В главе 6 исследуется нелинейное уравнение Шредингера с производными высшего порядка и разрабатывается численный метод его решения. Решается задача о "взаимодействии со стенкой" в обычной постановке. В главе 4 эта же задача рассматривается не как самостоятельная, а как средство инициализации начального разрыва.

В главе 7 анализируются применяемые численные методы и даются примеры расчетов задачи об эволюции начальных данных типа уединенной волны для ряда моделей с применением того же численного метода, что и в главе 6. Эти расчеты можно рассматривать как тестовые. Описывается расчет распада солитона для обобщенного уравнения Кортевега - де Вриза, который породил некоторые идеи, изложенные в главе 4. В данную главу включены также численные исследования распада и формирования уединенных волн в холодной плазме. Завершается глава расчетами уединенных для случая резонанса Фарадея волн на воде (модель с диссипацией и внешним притоком энергии). Хотя это и модель с диссипацией, она обладает теми же свойствами симметрии, что и предыдущие модели, и потому в ней тоже существуют уединенные волны. В этой модели обнаружены волновые скачки иного типа по сравнению с рассмотренными выше бездиссипатив-ными волновыми скачками.

В каждой главе имеется специализированное введение.

Основные результаты диссертации можно условно разделить на три взаимосвязанные группы.

1. Теория волновых скачков в двумерных и одномерных моделях: скачки для волн, описываемых уравнениями нелинейной геометрической оптики солитонов и волн, описываемых нелинейным уравнением Шредингера и обобщенным уравнением Шредингера. В диссертации подразумевается, что областью приложения являются волны на воде, хотя известны и другие приложения, например в физике плазмы. Для модели геометрической оптики солитонов исследованы скачки типа резонансного взаимодействия трех волн (скачки с отраженной волной) и скачки типа пересечения волн. Исследованы автомодельные решения с такими скачками при наличии неоднородности. Для уравнения Шредингера посредством введения виртуальной отраженной волны, удается интерпретировать решение как трехволновой резонанс, аналогичный резонансу для уединенных волн. Уравнение Шредингера носит общий характер и имеет как двумерные, так и одномерные приложения для волн на воде. Исследованы также волновые скачки для обобщенного уравнения Шредингера со старшей производной третьего порядка.

2. Общая теория бездиссипативных скачков в одномерных моделях с усложненной дисперсией и нелинейностью. Сформулированы условия, при которых может существовать скачок со структурой того или иного типа. Установлено, что при этом автоматически обеспечивается и эволюцион-ность скачка. В отличие от моделей с диссипацией число параметров по любую сторону от скачка может быть больше числа исходных уравнений из за появления излучаемых волн и соответственно на скачке может выполняться большее число законов сохранения. Второе отличие от моделей с диссипацией состоит в том, что дополнительные граничные условия могут быть получены как из анализа структуры скачка, так и из дополнительных законов сохранения, если таковые имеются. Разработан эффективный численный метод, позволяющий с высокой степенью достоверности проверить, существует ли скачок данного типа фактически или нет. Таким способом исследованы различные модификации уравнения Кортевега - де Вриза, обобщенное уравнение Шредингера (волновая модель), уравнения холодной плазмы. В частности исследуются скачки с излучением (аналоги скачков с отраженной волной из п.1) а также скачки солитонного типа уединенной волны (обобщение скачков для нелинейного уравнения Шредингера из п.1). Методы, основанные на непосредственном анализе уравнений бегущих волн полностью подтвердили полученные результаты.

3. Теория скачкообразных резонансов в моделях с дисперсией, обобщение трехволновых резонансов из п.1 и 2. Разработана численная методика, позволяющая систематически проанализировать двухволновые стационарные решения динамических систем, получаемых из уравнений с дисперсией высокого порядка, например уравнения Кортевега - де Вриза с производной пятого порядка. Обнаружены два типа двухволновых решений: обычные двухпериодные решения и резонансные. Переходным решением между ними является решение типа уединенной волны огибающей двухпериодного резонансного решения. Выявлена иерархия решений различного типа.

Основные результаты диссертации опубликованы в работах [9], [11]-[28], [113]-[117].

Заключение

Проведенные исследования показали, что решения со скачками встречаются в различных бездиссипативных моделях. Концепция скачка наиболее продуктивна для автомодельных решений, состоящих из некоторого числа непрерывных участков, разделенных разрывами. В теории скачков без диссипации обобщаются такие основные понятия теории разрывов как структура разрыва, полная и упрощенная система уравнений, условие эволюци-онности, основные и дополнительные граничные условия, положение о том, что существование структуры разрыва обеспечивает его эволюционность.

Выявленные особенности бездиссипативных скачков. На скачках меняются качественные свойства модели, например, качественно меняется влияние нелинейных эффектов (на кинке), или осуществляется переход от однородного к периодическому состоянию (на скачке с излучением). В этом смысле бездиссипативные скачки похожи не на обычные ударные волны в газовой динамике, а на волны горения, детонации, конденсации и. т. д. Второй особенностью является возможность наличия излучаемых или поглощаемых волн. В этом случае роль упрощенных систем играют усредненные системы, в которых число неизвестных больше числа неизвестных в полной системе. Это приводит также к появлению большого количества новых типов скачков, не встречающихся в моделях с диссипацией. Третья особенность - наличие дополнительных законов сохранения, которые могут быть использованы для получения дополнительных граничных условий на скачках.

Перечислим результаты диссертации (по основным главам).

1. Разработана теория скачков для нелинейной геометрической оптики солитонов. Основной ее идеей является использование трехволнового резонанса солитонов в качестве структуры скачка. Введение дополнительной волны позволило обеспечить выполнение всех законов сохранения и учесть эффекты появления отраженной волны и пересечения волн.

2. Введение новых граничных условий на скачке позволило получить большое количество новых решений, описывающих распространение уединенных волн над подводными хребтами и впадинами. В этих решениях учитывается возможность наличия отраженной волны, что позволяет считать эти решения физически более адекватными по сравнению с решениями, полученными ранее.

3. Теория скачков для солитонов обобщена на периодические волновые пакеты на воде. Для этого были проанализированы решения нелинейного уравнения Шредингера. В связи с общим характером этого уравнения возможно приложение результатов как к двумерным, так и одномерным моделям. Выведены соотношения на скачках в конечном виде. Дана интерпретация решений как трехволнового резонанса, аналогичного рассматриваемому в п.1. Для описания структуры скачка использовано решение типа солитона. Получены формулы, позволяющие описать Маховское отражение волн от вертикальной стенки.

4. Разработана общая теория скачков в симметричных обратимых одномерных моделях. Эта теория обобщает основные концепции и методы исследования теории скачков в средах с диссипацией на бездиссипативные среды и включает в себя следующие элементы.

Метод выявления всех возможных стационарных структур эволюционных скачков по числу пересечений дисперсионной кривой и прямой, соответствующей фазовой скорости. Для моделей, приводящих к динамическим системам четвертого порядка это скачки солитонного типа, скачки с излучением и кинки. Как и в случае обычных скачков из наличия структуры скачка следует и его эволюционность - все необходимые дополнительные условия могут быть найдены при анализе структуры скачка.

Анализ дополнительных законов сохранения. Установлено, что в средах без диссипации в отличие от диссипативных сред имеются дополнительные законы сохранения, позволяющие получить дополнительные соотношения на скачке, не обращаясь к анализу его структуры. В случае кинка и скачка с излучением это позволяет получить все необходимые граничные условия на скачке. Кроме того, дополнительный закон сохранения лает возможность получить усредненные уравнения, описывающие волновые зоны.

Надежные численные методы, позволяющие получать решения со скачками и уединенными волнами с такими же качественными свойствами, какие предсказываются аналитически. Основными условиями для этого является обеспечение в численной схеме всех свойств консервативности и симметрии, присущих исходной модели.

Выявление предсказанных теорией скачков посредством численного эксперимента для обобщенных уравнений Кортевега - де Вриза и Шредингера, уравнений холодной плазмы и плазмы с горячими электронами. В численных экспериментах выявлены также скачки с нестационарной структурой. Все результаты численных экспериментов полностью подтверждают положения теории.

Решение конкретных задач. Определение зависимости типа скачка от амплитуды начального разрыва для обобщенных уравнений Кортевега -де Вриза. Приложение результатов к задаче о сбросе воды с плотины.

5. Разработана достаточно общая методика численного анализа стационарных двухпериодных решений методом вариации начальных данных. Для обобщенных уравнений Кортевега - де Вриза и Шредингера эта методика позволила найти новые типы резонансных решений и уединенных волн огибающей. Получены решения, которые можно рассматривать как обобщение скачкообразных резонансов из п. 1 и 3.

В качестве приложений в данной диссертации подразумевались волны на воде и плазма. В силу общего характера исследованных модельных уравнений и общего характера разработанных методов эти результаты найдут применение и в других областях механики и физики.

1. Александров А. Ф., Богданович Л. С., Рухадзе А. А. Основы электродинамики плазмы. - М.: Высшая школа, 1988. - 424с.

2. Арсеньев С.А. К теории длинных волн на воде// Докл. РАН. 1994. - Т. 334. - № 5. - С.635-638.

3. Ахиезер А.И., Любарский Г.Я., Половин Р.В. Об устойчивости ударных волн в магнитной гидродинамике// ЖЭТФ. 1958. - Т. 35. - С. 731-737.

4. Бармин A.A., Куликовский А.Г. Об ударных волнах, ионизующих газ, находящийся в электромагнитном поле// Докл. АН СССР. 1968. -Т. 178. - С. 55-58.

5. Бармин А. А., Куликовский А. Г. О влиянии продольной составляющей электрического поля на ионизующие ударные волны в газе// Изв. АН СССР. МЖГ. 1968. - № 3. - С. 133-134.

6. Бармин А. А., Куликовский А. Г. Изменение скорости газа в ионизирующих ударных волнах. Задача о проводящем поршне // ПММ. -1968. Т. 32. - № 5. - С. 495-499.

7. Бармин А. А., Куликовский А. Г. Об ударных волнах, ионизирующих газ при наличии произвольно ориентированного магнитного поля. В сб. "Проблемы гидродинамики и механики сплошной среды" М.: Наука. - 1969. - С. 35-48.

8. Бахолдин И. Б. Распространение уединенных волн над неровностями дна: Отчет о НИР(промежуточ.)/НИИ Механики МГУ. № 2963; № госрегистрации 77033356; инвентарный № 0284. 0086287. - М. 1984. -89с.

9. Бахолдин И.Б. Разрывы переменных, характеризующих распространение уединенных волн в слое жидкости//Изв. АН СССР. МЖГ. -1984. № 3. - С.87-93.

10. Бахолдин И.Б. Распространение уединенных волн над неровностями дна: Дисс. на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук. М. 1985г. -156с.

11. Бахолдин И. Б. Распространение уединенных волн над подводными хребтами// Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. - № 1. - С. 86-93.

12. Бахолдин И. Б. Автомодельные решения, описывающие распространение уединенных волн над подводными хребтами и впадинами// Изв. АН СССР. МЖГ. 1985. - № 5. - С. 137-144.

13. Бахолдин И. Б. Распространение уединенной волны от точечного источника над подводным хребтом// Механика деформируемых сред. -М.: МГУ, 1985. С. 11-14.

14. Бахолдин И. Б. Распространение уединенных волн над полубесконечным подводным желобом// Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. - № 4. - С. 102-107.

15. Бахолдин И. Б. Волновые прыжки и эволюционные уравнения для волн, описываемых кубическим уравнением Шредингера// Механика и прикладная математика. Тула. Приокское книжное издательство, 1988. - С. 103-106.

16. Бахолдин И. Б. Усредненные уравнения и разрывы, описывающие распространение волн Стокса с медленно меняющимися параметрами// Изв. РАН. МЖГ. 1989. - № 5. - С. 113-121.

17. Бахолдин И.Б. Трехволновой резонанс и усредненные уравнения взаимодействия двух волн в средах, описываемых кубическим уравнением Шредингера// Изв. РАН. МЖГ. 1992. - № 1. - С. 107-116.

18. Бахолдин И. Б. Волновые скачки в средах, описываемых модифицированным уравнением Шредингера// Изв. РАН. МЖГ. 1994. - № 4.- С. 111-124.

19. Бахолдин И. Б. Исследование скачков и солитонов в моделях с дисперсией высокого порядка. Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН. 1996. - № 73. -32с.

20. Бахолдин И.Б. Нелинейные резонансы и волновые скачки в средах с дисперсией высокого порядка// Изв. РАН. МЖГ. 1996. - № 4. - С. 113-124.

21. Бахолдин И. Б. Моделирование нестационарной эволюции уединенных волн. Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН. 1997. - № 61. - 28с.

22. Бахолдин И.Б. Волновые скачки, описываемые модифицированным уравнением Шредингера// Журнал выч. математики и математической физики. 1998. - Т. 38. - № 8. - С. 1331-1350.

23. Бахолдин И.Б. Структуры эволюционных скачков в бездиссипатив-ных системах// ПММ. 1999. - Т. 63. - Вып. - 1. - С. 52-62.

24. Бахолдин И.Б. Скачки, описываемые обобщенными уравнениями Кортевега де Вриза// Изв. РАН. МЖГ. - 1999. - N° 4. - С.95-109.

25. Бахолдин И.Б. Гидравлические прыжки при наличии ледового покрытия// Динамика и термика рек, водохранилищ и прибрежной зоны морей. V конференция. Труды. М, 1999. - С. 14-17.

26. Бахолдин И.Б. Структуры гидравлических прыжков при наличии ледового покрытия// Изв. РАН. МЖГ. 2000. - № 4. - С. 139-146.

27. Бахолдин И.Б. Бездиссипативные скачки для магнитозвуковой ветви холодной плазмы// Физика плазмы. 2000. - Т. 26. - № 1. - С. 1-8.

28. Бахолдин И.Б., Жарков A.A., Ильичев А.Т. Распад солитонов в изотермической бесстолкновительной квазинейтральной плазме с изотермическим давлением // ЖЭТФ. 2000. - Т. 118. - № 1. - С. 125-141.

29. Бахолдин И. Б., Козлов Н. И. Взаимодействие локализованных электромагнитных волн с объектами сложной формы// Математическое моделирование и применение явлений дифракции. М.: МГУ, физический факультет, 1990. С. 199-200.

30. Бахолдин И. Б., Козлов Н. И., Кондратьева А. И. Методика расчета токов и зарядов, наводимых на поверхностях тел произвольной формы электромагнитным полем в свободном пространстве// Математическое моделирование. 1991. - Т. 3. - № 5. - С. 74-80.

31. Бахолдин И. Б., Козлов Н. И., Кондратьева А. И. Методика расчета токов и зарядов, наводимых на поверхностях тел произвольной формы электромагнитным полем вблизи поверхности Земли// Математическое моделирование. 1992. - Т. 4. - N£ 5. - С. 80-84.

32. Бахолдин И. Б., Козлов Н. И., Кондратьева А. И. Проникновение электромагнитных импульсных полей через щели в тонких экранахсложной формы. Комплекс программ ЩЕЛЬ-1. Препринт Института прикладной математики им М.В.Келдыша РАН. -1993. № 21. - 25с.

33. Бахолдин И. Б., Козлов Н. И., Кондратьева А. И. Использование модели узкой щели в трехмерных расчетах взаимодействия электромагнитных волн с идеально проводящими телами// Математическое моделирование. 1994. Т. 6. - № 8. - С. 92-104.

34. Бахолдин И. Б., Козлов Н. И., Кондратьева А. И. Численная методика решения уравнений Максвелла при наличии скачков электрофизических параметров среды// Математическое моделирование. 1996. - Т. 8. - N° 4. С. 105-112.

35. Бахолдин И. Б., Козлов Н. И., Кондратьева А. И., Плыгач В. А., Трехмерная методика расчета поверхностных токов и зарядов, возникающих на телах произвольной формы под действием электромагнитного поля// Геоинформатика. 1996. - № 1. - С. 9-13.

36. Биченков Е. Н., Гарипов Р. М. Распространение волн на поверхности тяжелой жидкости в бассейне с неровным дном// ПМТФ. 1969. - № 2. - С. 21-26.

37. Брюно А. Д., Солеев А. Локальный анализ одной обратимой системы ОДУ. Сложные случаи. Препринт институт Прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, препринт, 1995, № 47.

38. Брюно А. Д., Солеев А. Гомоклинические решения одной обратимой системы ОДУ. Препринт Института Прикладной математики им. М.В.Келдыша РАН, 1995, N- 54.

39. Веденяпин В.В. Ряды экспонент и суперпозиция бегущих волн. Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыща РАН, 1997, № 117.

40. Венецианов Е. В. Асимптотический характер усредненного вариационного принципа в теории нелинейных волн с дисперсией и малой диссипацией// Докл. АН СССР. 1971. - Т. 198. - № 3. - С. 551-554.

41. Годунов С. К. Разностные методы решения уравнений газовой динамики.- Новосибирск: Новосибирский гос. университет, 1962. 96с.

42. Годунов С.К., Забродин A.B., Прокопов Г.П. Разностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной// Журн. выч. мат. и матем. физики. 1961. - Т. 1. № 6. - С. 1020-1050.

43. Годунов С. К., Забродин А. В., Иванов М. Я. Численное решение многомерных задач газовой динамики. М.: Наука, 1976, - 400с.

44. Гуревич A.B., Питаевский Л. П. Нестационарная структура бесстолк-новительной ударной волны// ЖЭТФ. 1973. - Т. 65. № 2. - С. 590604.

45. Гуревич A.B., Крылов A.JI. Бездиссипативные ударные волны в средах с положительной дисперсией// ЖЭТФ. 1987. - Т. 5. - № 4. - С. 1684-1699.

46. Гуревич A.B., Крылов А.Л. Ударная волна в дисперсионной гидродинамике// Докл. АН СССР. 1988. - Т. 298. - № 3. - С. 608-611.

47. Додд Р., Эйлбек Дж., Гиббон Дж., Моррис X. Солитоны и нелинейные волновые уравнения. М.: Мир, 1988. - 694с.

48. Дубровин Б. А., Новиков С. П. Гидродинамика слабо деформированных солитонных решеток. Дифференциальная геометрия и гамильто-нова теория// УМН. 1989. - Т. 44. - № 6. - С. 29-98.

49. Елизарова Т.Г., Четверушкин Б.Н. Кинетический алгоритм для расчета газодинамических течений// Журн. выч. мат. и матем. физики. 1985. - Т. 25. - № 10. - С. 1523-1526.

50. Ермаков C.B., Мажорова О.С., Попов Ю.П. Математическое моделирование задач электрофоретического разделения биосмесей. I// Дифференциальные уравнения. 1992. - Т. 28. - N- 10. - С. 1810-1821.

51. Забродин A.B., Черкашин А.П. Расчет сверхзвукового обтекания тела с выступающей иглой. Препринт Института прикладной математики им. М.В.Келдыша АН СССР, 1980, № 73. 49с.

52. Захаров В.Е., Манаков C.B., Новиков С.П., Питаевский Л.П. Теория солитонов: Метод обратной задачи. М.: Наука, 1980. - 319с.

53. Ильичев А.Т. Уединенные волны в холодной плазме // Математические заметки. 1996. - Т. 59. - №. 5.

54. Ильичев А.Т., Марченко A.B. О распространении длинных нелинейных волн в тяжелой жидкости под ледяным покровом// Изв. АН СССР. МЖГ. 1989. - № 1. - С. 88-95.

55. Кадомцев В. Б., Петвиашвили В. А. Об устойчивости уединенных волн в слабо диспергирующих средах// Докл. АН СССР. 1970. - Т. 192. - № 4. - С. 753-756.

56. Кадомцев В. В. Коллективные явления в плазме. М.: Наука, 1988, -303с.

57. Калоджеро Ф., Дегасперис А. Спектральные преобразования и соли-тоны. Методы решения и исследования нелинейных эволюционных уравнений. М.: Мир, 1985. - 472с.

58. Карловский В.Н., Левин В.А., Сахаров В.И. Обтекание затупленных тел с передними иглами при наличии вдува через их поверхность / / Изв. АН СССР. МЖГ. 1987. № 4 - С. 128-133.

59. Карпман В. И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973. - 175с.

60. Крылов А.Л. Возникновение бездиссипативной ударной волны // Докл. АН СССР. 1988. - Т. 304. - № 4. - С. 851-854.

61. Крылов А.Л., Мазур Н.Г. Квазипростые волны в дисперсионной гидродинамике// ЖЭТФ. 1989. - Т. 95. - № 5. С. 1674-1689.

62. Куликовский А. Г. Об устойчивости однородных состояний// ПММ. 1966. - Т. 30. - Вып. 1. - С. 148-153.

63. Куликовский А.Г. О поверхностях разрыва, разделяющих идеальные среды с различными свойствами. Волны рекомбинации// ПММ. -1968. Т. 32. - Вып. 6. - С. 1125-1131.

64. Куликовский А. Г. О влиянии подводного хребта на расходящуюся от точки нелинейную волну на поверхности жидкости// Изв. АН СССР. МЖГ. 1982. - № 4. - С. 100-105.

65. Куликовский А.Г. Сильные разрывы в течениях сплошных сред и их структуры// Труды Математического института АН СССР. 1988. - Т. 182. - С. 261-291.

66. Куликовский А.Г., Любимов Г.А. Магнитная гидродинамика. М.:1. Физматгиз, 246с,

67. Куликовский А. Г., Реутов В. А., Движение уединенной и периодической волн с амплитудой близкой к предельной в слое жидкости медленно меняющейся глубины// Изв. АН СССР. МЖГ. 1976. - № 6. -С. 76-36.

68. Куликовский А.Г., Реутов В.А. Распространение уединенных волн над полубесконечными подводными впадинами и хребтами// Изв. АН СССР. МЖГ. 1980. - № 2. - С. 53-61.

69. Куликовский А.Г., Свешникова Е.И. Нелинейные волны в упругих средах. М.: Московский лицей, 1998. - 412с.

70. Курант Р. Уравнения в частных производных. М.:Мир, 1964, - 830с.

71. Кучмент Л.С. Модели процессов формирования речного стока. Ленинград: Гидрометеоиздат, 1980. - 143с.

72. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Т.VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1988. - 730с.

73. Ласковый М.В., Левин В.А., Седов Л.И. Перифирийный взрыв в са-могравитирующем газовом шаре и динамический взрыв равновесия звезды// Изв. РАН. МЖГ. 1998. - № 3. - С. 157-163.

74. Левин В.А., Марков В.В., Осинкин С.Ф. Прямое инициирование детонации в смеси водорода с кислородом, разбавленной азотом// Изв. РАН МЖГ. 1992. - № 6. - С. 151-156.

75. Марченко А. В. О длинных волнах в мелкой жидкости под ледяным покровом// ПММ. 1988. - Т. 52. - Вып. 2. - С. 230-234.

76. Марчук Ан. Г., Чубаров JL В., Шокин Ю. И. Численное моделирование волн цунами. Новосибирск: Наука, 1983, - 175с.

77. Методы расчета турбулентных течений: Пер. с англ. / Под ред.

78. B.Кольмана М.: Мир, 1984. - 464с.

79. Мегцеркин А.Р. Сильный разрыв на фронте волны разрежения в плазме // ЖЭТФ. 1981. - Т. 81. - № 4. - С. 1295-1306.

80. Мещеркин А.Р. Расширяющиеся автомодельные разрывы и ударные волны в дисперсионной гидродинамике // ЖЭТФ. 1984. - Т. 87. -№ 4. - С. 1277-1292.

81. Мухин С.И., Попов С.Б., Попов Ю.П. О разностных схемах с искусственной дисперсией// Журн. выч. мат. и матем. физики. 1983. - Т. 23. - № 6. - С. 1355-1369.

82. Олейник O.A. О единственности и устойчивости обобщенного решения задачи Коши для квазилинейного уравнения// УМН. 1959. - Т. 14. - № 2(86). - С. 159-164.

83. Островский J1. А., Пелиновский Е. Н. Метод усреднения для несинусоидальных волн// Докл. АН СССР 1970. - Т. 195. - № 4. - С. 804-806.

84. Островский JI. А., Шрира В. И. Неустойчивость и саморефракция солитонов// ЖЕТФ. 1976. - т. 71. - N- 4. - С. 1412-1420.

85. Павлов М. В. Нелинейное уравнение Шредингера и метод усреднения Боголюбова-Уизема// Теорет. и мат. физика. 1987. - Т. 71. - № 3.1. C. 351-356.

86. Попов Ю.П., Самарский A.A. Полностью консервативные разностные схемы для уравнений газовой динамики в переменных Эйлера// Журн. выч. мат. и матем. физики. 1969. - Т. 10. - № 3. - С. 773-779.

87. Реутов В. А. Движение уединенной волны над подводным хребтом// Изв. АН СССР. МЖГ. 1975. - № 4. - С. 79-85.

88. Реутов В. А. О поведении возмущений уединенной и периодических волн на поверхности тяжелой жидкости// Изв. АН СССР. МЖГ. -1980. № 2. - С. 156-159.

89. Рождественский Б.Л., Яненко H.H. Системы квазилинейных уравнений. М.: Наука, 1978. - 687с.

90. Роуч П. Дж. Вычислительная гидродинамика. М.: Мир, 1980. - 616с.

91. Самарский А. А. Теория разностных схем. М.: Наука, 1977. - 656с.

92. Самарский А. А., Попов Ю. П. Разностные методы решения задач газовой динамики. М.: Наука, 1980. - 352с.

93. Седов Л. И. Механика сплошной среды. Т. 1. М.: Наука, 1976. - 536с.

94. Седов Л. И. Методы подобия и размерности в механике. М.: Наука, 1977. - 440с.

95. Скотт Э. Волны в активных и нелинейных средах в приложении к электронике. М.: Советское радио, 1977. - 368с.

96. Смирнов Г. Н. Океанология. М.: Высшая школа. - 407с.

97. Стокер Дж. Дж. Волны на воде. М.: ИЛ, 1959. - 617с.

98. Тахтаджан Л.А., Фаддеев Л.Д. Гамильтонов подход в теории соли-тонов. М.: Наука, 1986. - 527с.

99. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны: Пер с англ. М.: Мир, 1977. - 622с.

100. Черный Г.Г. Газовая динамика. М.: Наука, 1988. - 424с.

101. Черный Г.Г. Течения газа с большой сверхзвуковой скоростью. М.: Физматгиз, 1959. - 220с.

102. Четверушкин Б.Н., Чурбанова Н.Г. Согласованные консервативные кинетические схемы решения задач газовой динамики// Журн. выч. мат. и матем. физики. 1987. - Т. 27. - № 12. - С. 1900-1906.

103. Чжи Ли, Сибгатуллин Н.Р. Уточненная теория длинных волн на поверхности воды// ПММ. 1997. - Т. 61. - № 2. - С. 184-189.

104. Шрира В. И. Нелинейная рефракция солитонов// ЖЕТФ. 1980. Т. 79. - № 1. - С. 87-98.

105. Ablowitz М. J., Schober С., Herbst В. М. Numerical chaos, roundoff errors and homoclinic manifolds // Physical review letters. 1993. V. 71. - N. 17. - P. 2683-2686.

106. Akylas T. R. Unsteady and nonlinear effects near the cusp lines of the Kelvin ship-wave pattern// J. Fluid Mech. 1987. - V. 175. - P. 333-342.

107. Akylas T. R. Higher-order modulation effects on solitary wave envelopes in deep water// J. Fluid Mech. 1989. - V. 198. - P. 387-397.

108. Akylas T.R., Kung T.J. Nonlinear wave envelops of permanent form near a caustic // J.Fluid Mech. 1990. - V. 214. - P. 489-501.

109. Batt J., Berestyckyi H., Degond P., Perthame B. Some families of the solutions of the Vlasov-Poisson system// Arch. Rational Mech. Anal. -1988. 104(1), - P. 79-103.

110. Bakholdin, I. B. Nonlinear resonances in models described by the modified Korteweg-de Vries and Schrôdinger equations// Bull. Russ. Acad. Sci. Phys./Suppl.:Phys. Vib. 1995. - V. 59, - N. 4. - P. 209-221.

111. Bakholdin L, Il'ichev A. Radiational and modulational instability described by the fifth-order Korteweg-de Vries equation// Contemporary Mathematics. 1996. - V. 200. - P. 1-15.

112. Bakholdin I., Il'ichev A. Solitary wave instability in a cold plasma// Rendiconti del Circolo Matematico di Palermo. 1998. - Serie II. Suppl. 57. - P. 33-38.

113. Bakholdin I., Il'ichev A. Solitary-wave decay in a cold plasma// J.Plasma Physics. 1998. - V. 60. - Pt. 3. - P. 569-580.

114. Bakholdin I., Il'ichev A. Solitary wave decay in non-linear Faraday resonance // European Journal of Mechanics. B. Fluids. 1999. - V. 18. - P. 94-102.

115. Bakholdin I. B., Kozlov N. I., Kondrat'eva A. I. Extension of thin slot formalizm for slots of complicated shape// EUROEM 94 scientific book, 1994. P. 913-916.

116. Beale J. T. Exect solitary water waves with capillary ripples at infinity // Comm. Pure and Appl. Math. 1991. - V. 44. - N. 2. - P. 211-257.

117. Beliaev A. Yu, Il'ichev A.T. Conditional stability of solitary waves propagating in elastic rods// Phys. D. 1996. - V. 90. - P. 107-118.

118. Boyd J.P. Weakly non-local solitons for capillary-gravity waves: fith degree Korteweg-de Vries equation // Phys. D. 1991. - V. 48. - P. 129146.

119. Buffoni B., Champneys A. R., Toland J. F. Bifurcation and coalesence of a plethora of homoclinic orbits for a Hamiltonian system. Mathematics Preprint Univ. of Bath 94/05, United Kingdom.

120. Cokelet E. D. Steep gravity waves in water of arbitrary uniform depth // Phil. Trans. Roy. Soc., London. 1979. - V. A286. - N. 1335. - P. 183-230.

121. Benilov E.S, Grimshaw R., Kuznetsova E.P. The generation of radiating waves in a singularly-perterbed Korteweg-de Vries equation// Phys. D. -1993. V. 69. - P. 270-278.

122. Craik A. Wave interections and fluid flows. Cambridge univ. press, 1985, - 322 pp.

123. Grammaticos B., Ramani A. Integrable nonlinear Schredinger equations// Solitons and haos. Research reports in physics. Berlin. Springer-Verlag. 1991. - P. 243-245.

124. Griffith W. C. Shock waves// J. Fluid Mech. 1981. - V. 106. - P. 81-101.

125. Grimshaw R. The solitary wave in water of variable depth. Pt.l// J. Fluid Mech. 1971. - V. 42. - Pt.3. - P. 639-656.

126. Grimshaw R. The solitary wave in water of variable depth. Pt.2// J. Fluid Mech. 1971. - V. 46. - Pt.3. - P. 611-622.

127. Grimshaw, R. Malomed , Benilov E. S. Solitary waves with damped oscillatory tails: an analisis of the fifth-order Korteweg-de Vries equation// Phys. D. 1984. - V. 77. - P. 473-485.

128. Guo Y., Ragazzo C. G. On steady states in collisionless plasma// Comm. Pure and Appl. Math. 1996. - V. XLIX. -P. 1145-1174.

129. Il'ichev A. T. The existence of solitary waves in dispersive media// Bull. Russ. Acad. Sci. Phys./ Suppl.:Phys. Vib. 1995. - 59. - P. 88-97

130. Il'ichev A. T. On the existence of generalized solitary waves in media with weak dispersion// Bull. Russ. Acad. Sci. Phys./ Suppl.:Phys. Vibr.- 1995. 59. - P. 130-140.

131. Il'ichev A. Faradey resonance: asymtotyc theory of surface waves// Phys. D. 1998. - V. 119. - P. 327-351.

132. Hirota R. Exect envelop-soliton solutions of a nonlinear wave equation// J. Math. Phys. 1975. - V. 14. - N. 7. - P. 805-809.

133. Hou T. Y., Lax P. D. Dispersion approximation in fluid dinamics// Comm. Pure and Appl. Math. 1991. - V. 44. - N. 1. - P. 1-44.

134. Iooss G. Kirchgassner K. Bifurcations d'ondes solitaires en presense d'une tailee tension superficielle // Note C. R. Acad. Sci. Paris. 1990. - N. 1.- 265-268.

135. Iooss G. Kirchgassner K. Water waves for small surface tension: An approach via normal form // Proc. Roy. Soc. Edinburgh A 1992. 122. -267.

136. Jonson R. S. On oblique interection of a large and a small solitary wave// J. Fluid Mech. 1982. - V. 120. - N. 1. - P. 49-70.

137. Kakutani T., Ono H. Weak non-linear hydromagnetic waves in a cold collision-free plasma// J. Phys. Soc. Japan. 1969. - V. 26. - P. 13051318.

138. Il'ichev A. Steady waves in a cold plasma// J. Plasma Physics. 1996. -V.55. - Pt. 2. - P. 181-194.

139. Kirby J. T., Dalrimple R. A. A parabolic equation for the combined refraction-diffractin of Stokes waves by mildy varying topography// J. Fluid Mech. 1983. - V. 136. - P. 453-466.

140. Kodama Y, Optical solitons in a monomode fiber //J. Stat. Phys. 1985.- V. 39. N. 5. - P. 597.

141. Kodama Y. On integrable sistems with higher order corrections // Phys.1.tt 1985. V. 107A. - N5. P. 245.

142. Kodama Y., Hasegava A. Nonlinear pulse in a monomode dielectric guide// IEEE J. Quantum Electronics. 1987. - VQE-23. - N. 5. - P. 510-523.

143. Kudryashov N. A. Singular manifold equations and exect solutions for some nonlinear partial differential equations// Physics Letters A. 1993.- V. 182. P. 356-362.

144. Kudryashov N. A. From singular manifold equations to integrable evolution equations// J. Phys. A. 1994. - V. 27. - P. 2457-2470.

145. Lo E., Mei C. C. A numerical study of water-wave modulation based on a higher-order nonlinear Schredinger equation// J. Fluid Mech. 1985. -V. 150, - P. 395-416.

146. Luke J. C. A variational principle for fluid with a free surface //J. Fluid Mech. 1967. - V. 27. - N. 2. - P. 395-397.

147. Markov Y., Rudykh G., Sidorov N. Sinitsyn A., Tolstonogov D. Steady-state solutions of the Vlasov-Maxwell system and their stability// Acta Appl. Math. 1992. - 28(3). - P. 253-293.

148. Mclntyre M. E. On the 'wave momentum myth'// J. Fluid Mech. 1981.- V. 106. P. 331-347.

149. Melville W. K. On the Mach reflection of a solitary wave// J. Fluid Mech.- 1980. V. 98. - P. 285-297.

150. Miles J. W. Resonantly interacting solitary waves// J. Fluid Mech. 1977. - V. 79. - N. 1. - P. 171-179.

151. Miles J. W. Obliquely interacting solitary waves// J. Flud Mech. 1977. - V. 79.- N. 1. - P. 157-169.

152. Miles J. W. Diffraction of solitary waves// Z. Angerw. Math. Phys. -1977. V. 28. - N. 5. - P. 889-902.

153. Mitsuaki Funakoshi. Reflection of obliquely incident solitary waves// J. Phys. Soc. Japan. 1980. - V. 49. - N. 6. - P. 2371-2379.

154. Mitsuaki Funakoshi. On the evolution of a solitary wave reflected by an oblique wall// Repts. Res. Inst. Appl. Mech. 1981. - V. 29. - N. 91. - P. 79-93.

155. Morawetz C. S. Magnetohydrodynamic shosk structure without collisions// Phis.Fluids. 1962. - V. 4. - P. 988-1006.

156. Oikawa M. Nonlinear behaviour of capillary-gravity waves near the inflection point of the dispertion curve// Rep. Res. Inst. Appl. Mech. Japan. 1991. - V. 38. - N. 108. - P. 61-81.

157. Peregrine D. H. Refraction of finite-amplitude water waves: deep water waves approaching circular caustics //J. Fluid Mech. 1981. - V. 109. -P. 63-74.

158. Peregrine D. H. Wave jumps and caustics in the propagation of finite-amplitude water waves// J. Fluid Mech. 1983. - V. 136. - P.435-452.

159. Peregrine D. H. Water waves, nonlinear Schrodinger equations and their solutions// J. Austral. Math. Soc. 1983. - V. B25. - P. 16-43.

160. Peregrine D. H., Ryrie S. C. Anomalous refraction and conugate solutions of finite-amplitude water waves

161. Peregrine D. H., Smith R. Nonlinear effects upon waves near caustics // Phil. Trans. Roy. Soc., London. 1979. - V. A292. - N. 1392. - P. 341-370.

162. Peregrine D. H., Thomas G. P. Finite-amplitude deep-water waves on currents // Phil Trans. Roy. Soc., London. 1979. - V. A292. - N. 1392.- P. 371-390.

163. Redekopp L.G. On the theory of solitary Rossby waves// J. Fluid Mech.- 1977. V. 82. - Pt. 4. - P. 725-745.

164. Ryrie S., Peregrine D. H. Refraction of finite-amplitude water waves obliquely incident on a uniform beach //J. Fluid Mech. 1982. - V. 115. - P. 91-104.

165. Sanuki H., Ogino T. Nonlinear distortion of propagation cones of lower hybrid wave in an inhomogeneous plasma// Phys. Fluids. 1977. - V. 20.- N. 9. P. 1510-1515.

166. Stiassnie M., Peregrine D. H. On the averaged equations for finite amplitude water waves //J. Fluid Mech. 1979. - V. 94. - N. 3. - P. 401-407.

167. Stiassnie M., Peregrine D. H. Shoaling of finite-amplitude surface water waves on water of slowly-varing depth //J. Fluid Mech. 1980. - V. 97.- N. 4. P. 783-805.

168. Tidman D., Krall N. Shock waves in collisionless plasmas. New York: Wiley-Interscience, 1971.

169. Whithem G. B. A general approach to linear and nonlinear dispersive waves using a Lagrangian// J. Fluid Mech. 1965. - V. 22. - N. 2. - P. 273-283.

170. Whithem G. B. Nonlinear dispersion of water waves //J. Fluid Mech. -1967. V. 27. - N. 2. - P. 399-412.

171. Whithem G. B. Two-timing variational principles and waves //J. Fluid Mech. 1970. V. 44. - N. 2. - P. 373-395.313

172. Yue D.K.P, Mei C.C. Forward diffraction of Stokes waves by a thin wedge // J.Fluid Mech. 1980. - V. 99. - N. 1. - P. 33-52.

173. Zabusky N.J. A synergetic approach to problems of nonlinear dispersive wave propagation and interaction// Nonlinear Partial Differential Equations. W. Ames. Ed. New York: Academic Press, 1967. P. 223258.

174. Zufiria J. Non-symmetric gravity waves on water of infinite depth// J. Fluid Mech. 1987. - V. 181. - P. 17-30.

175. Zufiria J. Symmetry breaking in periodic and solitary gravity-capillary waves on water of finite depth// J. Fluid Mech. 1987. - V. 184. - 183206.