Нелинейные волны на поверхности тонкого слоя вязкой неоднородной жидкости тема автореферата и диссертации по механике, 01.02.05 ВАК РФ

На правах рукописи

ПОРУБОВ Алексей Викторович

г

НЕЛИНЕЙНЫЕ ВОЛНЫ НА ПОВЕРХНОСТИ ТОНКОГО СЛОЯ ВЯЗКОЙ НЕОДНОРОДНОЙ ЖИДКОСТИ

Сспециальность 01.02.05 - механика жидкости, газа и плазмы)

АВТОРЕФЕРАТ диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-матвматиче ских наук

Санкт-Петербург 1995

Работа выполнена в Физико-техническом институте им. Л.Ф. Иоффе РАН.

Научный руководитель - кандидат физико- математических наук

A.M. Самсонов.

Официальные оппоненты - доктор физико- математических наук

A.B. Богданов, - кандидат физико-математических наук

Ю.А. Половко.

Ведущая организация - Санкт- Петербургское отделение Математического института им. В.А. Стеклова РАН.

Защита диссертации состоится "_"_ 1995 г.

в ;_часов на заседании диссертационного совета Д 063.38.15

Санкт-Петербургского государственного технического университета по адресу: 195251, Санкт --Петербург, ул. Политехническая, 2в.

■С диссертацией можно ознакомиться в фундаментальной библиотеке Санкт-Петербургского государственного технического университета.

Автореферат разослан _"_ 1995 года

Ученый секретарь диссертационного совета кандидат физ.- мат. наук

Д.К. Зайцев

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность теиы. Теория нелинейных длинных волн на свободной поверхности тонкого слоя идеальной жидкости (на "мелкой воде") хорошо разработана. Однако переход от модели идеальной жидкости к модели вязкой жидкости приводит к увеличении порядка исходной системы уравнений гидродинамики и, следовательно, к увеличению числа граничных условий. Последнее обстоятельство не позволяет формально распространить процедуру вывода нелинейных волновых уравнений для мелкой воды непосредственно на случай тонких слоев вязкой жидкости. Дополнительные трудности возникают при учете зависимости плотности слоя от температуры, поскольку применяемое обычно в данной ситуации приближение Обербека- Буссиноска (ОБ) представляет собой физически разумное, но не всегда строго обоснованное упрощение исходных уравнений Навье-Стокса. Когда влияние нелинейных, дисперсионных и диссипативных эффектов в тонком' слое вязкой жидкости оказывается скомпенсированным, по поверхности жидкости могут распространяться нелинейные волны, сохраняющие свою форму. Практический интерес к исследованию таких волн связан, в частности, с возможностью определения параметров жидкости посредством измерения амплитуды и скорости уединенной волны, создания изображений на жидких пленках, разработкой нобых технологий получения материалов на Земле и в космосе и т.д.

Таким образом, актуальность теш определяется необходимостью аналитического описания нелинейных волн на поверхности вязкой жидкости, сохраняющих свою форму, и определения условий их существования, создания методики вывода соответствующих модельных нелинейных волновых уравнений и получения их решений без учета ряда упрощающих гипотез. Цель работы:

- разработка процедуры вывода нелинейных волновых уравнений для описания возмущений свободной поверхности, обладающих решениями в виде волны, сохраняющей свою форму;

- исследование пригодности приближения ОБ;

- получение точных решений выведенных нелинейных уравнений.

Научная новизна работы. В работе предложена методика вывода модельного квазигиперболического нелинейного уравнения, описывающего распространение волн на поверхности тонкого слоя вязкой неоднородной жидкости. Показано, что существуют такие условия подогрева слоя, при которых влияние конвекции и вязкости скомпенсировано, диссипация исчезает и в качестве модельного уравнения возникает уравнение Буссинеска или Кортевега- де Вриза (КдВ). Исследована устойчивость бегущей кноидальной волны по отношению к дис-сипативным возмущениям, появляющимся при нарушении данного условия. Показано, что приближение ОБ непригодно для описания эволюции длинных нелинейных поверхностных волн. Приведена новая постановка задачи, осноьанная на полной системе уравнений Навье-Стокса. Выведена обобщенная система уравнений для нелинейных поверхностных волн, пригодная для описания распространения нелинейных поверхностных волн при отказе от приближения ОБ во всем диапазоне допустимых значений параметров задачи. Найден ряд точных решений этих уравнений в виде бегущих периодической и уединенной волн, определены условия, при выполнении которых из выведенной системы уравнений возникают в качестве модельных уравнения КдВ, Кортевега-де Вриза- Бюргерса и Бюргерса и, следовательно, могут существовать нелинейные волны, описываемые этими уравнениями. Найдены отличия в параметрах решения, возникающие вследствие отказа от приближения ОБ. .Предложено приложение полученных результатов для определения температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения путем оценки параметров уединенных поверхностных волн.

Практическая значииость диссертации определяется найденными аналитически условиями существования уединенных волн различной формы, а также зависимостями.их'параметров от физических свойств жидкости и условий ее подогрева. Эти соотношения могут представлять интерес для разработки процедуры определения неизвестных физических характеристик жидкости по измеренным параметрам уединенной полны, а также для развития метода получения изображениий на кидкнх пленках.

Основные положения, выносимые на защиту.

- Вывод нелинейного квазигиперболического уравнения с дисперсией и диссипацией для описания распространения длинных поверхностных волн на тонком слое вязкой неоднородной жидкости в рамках приближения Обербека-Буссинеска. Определение условий существования поверхностных кноидальных волн, уединенных волн колоколосбразнсй формы и в форме кинка. Исследование устойчивости кноидальной волны к малым диссипативным возмущениям. Приложение получешшх результатов для определения температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения по известным параметрам уединенной волны.

- Анализ применимости приближения Обербека-Буссинеска для описания длинных нелинейных поверхностных волн на тонком слое вязкой неоднородной жидкости. Постановка задачи и вывод нелинейного уравнения с дисперсией и линейной диссипацией для их описания вне рамок этого приближения и без учета сил поверхностного натяжения. Исследование отличий в решений задачи, вызванных отказом от приближения Обербека-Буссинеска.

- Вывод обобщенной системы уравнений, содержащей как линейные,так и нелинейные диссипативные слагаемые и пригодной для описания распространения нелинейных поверхностных волн при отказе от приближения ОБ во всем диапазоне допустимых значений параметров задачи. Определение условий, при которых из этих уравнений могут быть получены уравнения Кортевега-де Вриза, Бюргерса и Кортевега-де Вриза-Бюргерса.

- Получение новых точных решений в виде бегущей уединенной и периодической волн для ряда неинтегрируемых нелинейных волновых уравнений с дисперсией и диссипацией.

Апробация работы. Материалы, составляющие содержание диссертации, докладывались на 10-ой Зимней школе по механике сплошных сред (Пермь,19Э5), Международной конференции "КдВ -95"(Амстердам,1995), 13-ой Международной школе по моделям механики сплошных сред (Санкт -Петербург, 1995), 2-ой Европейской конференции по механике жидкости (Варшава,

1994), Международном симпозиуме "Нелинейные волны, колебания и вихри в жидкости"(Санкт-Петербург,1994), Седьмом съезде по механике (Москва,1991), 2-ой Всесоюзной конференции по математическому моделированию (Звенигород,1990), а также на семинарах ФТИ им. А.Ф. Иоффе РАН, ПО МИ им. В.А. Стеклова РАН(Санкт-Петербург), Института гидродинамики им. М.А. Лаврентьева РАН (Новосибирск), Университета Стратклайд (Глазго, Великобритания).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 9 научных работ.

Структура и объеы диссертации: диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения, двух приложений, 7-ми рисунков. Список литературы включает 100 наименований. Общий объем работы - 126 страниц.

ОБЩЕЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Во введении обосновывается актуальность темы, определяется цель работы и приводится ее краткое содержание.

В первой главе рассматривается задача об описании в рамках приближения Обербека-Буссинеска поверхностных нелинейных волн на тонком слое вязкой неоднородной жидкости . В разделе 1.1 приводится система уравнений и граничных условий для слоя, помещенного в декартову систему координат < х,г). Плотность жидкости р и коэффициент поверхностного натяжения о- полагаются зависящими от температуры т по линейному закону, р = р*(Т*) , 01 -%(?*>- - Т*),где т* есть некоторая постоянная начальная температура, а - постоянная (для большинства жидкостей а > о), а Р -коэффициент теплового расширения. Верхняя граница слоя г-г/(х.ь) полагается свободной и деформируемой, по ней распространяется нелинейная волна. Нижняя граница слоя г = - н свободна от касательных напряжений, что соответствует на практике границе рззд?.;а между двумя несмешивающимися жидкостями, когда верхняя

жидкость оказывается гораздо более вязкой,чем нижняя. В качестве температурных граничных условий выбраны условие постоянства температуры на нижней границе слоя и условие протекания постоянного теплового потока в через верхнюю границу. Далее проводится обез-размеривание исходных уравнений и граничных условий. В частности, для возмущения свободной поверхности п в качестве масштаба выбирается характерная амплитуда волны г. Вводится малый параметр задачи я, который определяется,исходя из того, что в задаче исследуются длинные волны с характерной длиной ь и малой, но конечной амплитудой такими, что ~-/н = н2/ь2 = е2.

В разделе 1.2 показано, как из исходных уравнений и граничных условий может быть выведено квазигиперболическое модельное нелинейное волновое уравнение Буссинеска с диссипацией (УВД) для описания эволюции длинных поверхностных волн п:

17 — а 17 - сЬ г) - ех( с (г,2) +<1г> ) = О, (I)

II XX XXI XX хххх

постоянные коэффициенты которого а, Ь, с, (1 зависят от свойств жидкости и толщины слоя как функции от характеристических чисел Прандтля Рг, Рэлея к, Марангони На, Галилея б и числа Яс = Во/(Ргб), где во - число Бонда.

В разделе 1.3 исследуются точные и асимптотические решения уравнения (I). Вначале определяются такие числа Рэлея и Марангони ио и Нао, при которых ь=о, что означает взаимную компенсацию конвекции и вязкости и приводит к отсутствию диссипативного слагаемого в (I). Найдено такое значение толщины слоя н", н*2 = 5а/(2ройГ>), при котором последнее условие не может быть выполнено ни при каких значениях теплового потока д. При ь = о оказывается, что для описания волн в вязкой жидкости пригодно уравнение Буссинеска, обладающее частным точным решением в виде бегущей кноидальной волны:

г) =(6 с1 к2/с)< 1 - ж2 - | + ае2еп2 к<Э), (2)

где ае, К(а>> , Е(аО СУТЬ МОДУЛЬ ЭЛЛИПТИЧвСКОЙ ФУНКЦИИ :1К0бИ, ПОЛТГОЭ

эллиптические интегралы первого и второго рода } соответственно,

в = х ± чЬ, V = Уа + 1б£га кг(2 - я - причем к И 4-,

о < « <1, - свободные параметры. В пределе ж 1 решение будот

иметь еид бегущей уединенной волны колоколообразиой формы - соли-тона ,

г, - (бакг/с)сЬ~2 кв.

Далее рассматривается ситуация, когда условие отсутствия диссипации нарушается, а именно, ь = £<5Ь1, малый параметр, £<<&<< 1. Исследуется воздействие возникающих при этом малых диссияативных возмущений на уединенную и кноидальную волны при помощи метода возмущений. Впервые аналитически получены формулы, описывающие изменения параметров кноидальной волны (2).

Показано, что при Ь1 > о амплитуда уединенной волны убывает, в то время как ширина импульса, пропорциональная к"1, увеличивается. Такой процесс м'жно назвать расфокусировкой уединенной волны. Наоборот, при Ь4 < о уединенная волна фокусируется, т.е. амплитуда волны растет, а ширина уменьшается. За солитоном образуется плато со значительно меньшей по сравнению с солитоном амплитудой.

Для кноидальной волны (2) мы получаем, что длина волны не изменяется вследствие действия возмущений, следовательно, расстояние между пиками остается одним и том же. Каждый же пик по отдельности изменяется так же, как и уединенная Еолна в зависимости от знака Никаких плато не образузтся. Причина этого заключается в том,что при построении асимптотического решения задачи о действии возмущений на солитон, в отличие от кноидальной волны, не удаэтся удовлетворить одному из условий отсутствия секулярных членов, выражающему закон сохранения массы, что влечет за собой необходимость добавления плато за возмущенным солитоном, позволяющего учесть потери массы при его распространении.

При любой ненулевом значении . существует формальное точное решение (I) в виде бегущей уединений волны (кикка), однако для несингулярности решения при е-а необходимо положить ь = сьг. Тогда решение может быть записано б виде:

п - (6с1к2/с) с1Г2(кЭ) + (6Ь2к/(5с)> ^(кб) + V, где V - свободный параметр. Для фазовой скорости волны V и числа к справедливы соотношения: V2 = к = ь у/сию.

Отдельно рассмотрен случай таких чисел Рэлея и Марангони,

при которых а=е а . Для этого случая выведено следующее модельное уравнение:

У) -а Г) -Ьг) -с(т?г) - с! 7) =0, (3)

ТТ 1 XX ххт XX хххх

где т - сь. , также обладающее точным решением в форме бегущего кинка:

77 = (6к2с1/с) сЬ~2( к( х - vт)) + (6Ьк/( 5с)) ЬЬ(к(х - ут)) + т,.

Уравнение (3) можно назвать уравнением для "медленных" еолн.

В разделе 1.4 предлагается практическое применение полученных результатов для определения температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения. Предлагаемый способ основан на определении неизвестной характеристики при помощи измерения амплитуды и скорости уединенной волны и найденных алгебраических формул, сзязывающих параметры волны и число Марангони, в выражение для которого входит коэффициент а, характеризующий, в свою очередь, температурную зависимость коэффициента поверхностного натяжения

Вторая глава посвящена анализу применимости приближения ООербека- Буссинеска для описания эволюции длинных нелинейных волн на тонких слоях вязкой жидкости без учета капиллярных и термокапиллярных эффектов. В разделе 2.1 приводится постановка задачи, базирующаяся на полных уравнениях Кзвье-Стокса с учетом температурной зависимости плотности во всех уравнениях. При обезраз-меривании в уравнениях возникает новое характеристическое число Е - .осш/х. Отметим, что это число может быть выражено через числа Рэлея, Галилея и Прандтля, к = п/(рг в), что является следствием непоследовательности приближения ОБ. Число Е следует оставить в безразмерных уравнениях как независимое для исследования влияния "небуссинесковых" эффектов.

Проведенный в разделе 2.2 анализ безразмерных уравнений Иа-вье-Стокса и граничных условий, показывает, что есл.. верхняя граница слоя может дефсрмирозаться, то нельзя получить уравнения Обербека -Буссинеска в качестве нулевого приближения при построении асимптотического решения, считая число е малым пороме^ром. В результате для описания поверхностных полн приближение Обербека-

Буссинеска оказывается непригодным, что, в частности, приводит к невозможности пренебрежения несоленоидальностыо уравнения неразрывности .

В разделе 2.3 предложена методика вывода модельного волнового уравнения вне рамок приближения ОБ. Показано, что для описания длинных нелинейных волн вновь возникает уравнение Буссинеска с диссипацией (I), в выражения для коэффициентов которого входят дополнительные слагаемые, обуслоьленнные "небуссинесковым" описанием .

Наконец, раздел 2.4 пссьящен анализу физических отличий в решении, вызванных отказом от приближения ОБ. Оказалось, в частности, что условие существования солитона ь=о выполняется теперь только при отрицательных допустимых значениях к (и, следовательно, Ю, в то время как в рамках приближения ОБ оно выполнялось для положительных чисел Рэлея и - зо. В силу линейной зависимости к и « от теплового потока а это означает диаметрально противоположные условия подогрева слоя, необходимые для распространения кноидальной волны или солитона. Другое важное отличие заключается в том, что приоллжь-ние ОБ предсказывает одно и то же значение числа Рэлея для любой вязкой жидкости, в то время как вне рамок этого приближения требуемое число Рэлея зависит от чисел Прандтля и Галилея, следовательно, как от физических свойств исследуемой жидкости, так и от условий задачи (толщины слоя н и величины теплового потока о).

Третья глава посвящена описанию нелинейных поверхностных волн, возникающих во всем диапазоне допустимых значений характеристических чисел задачи. Дополнительно учитываются силы поверхностного натяжения капиллярной и •:■ рмокапиллярной природы. Предлагается процедура вывода обобщённой системы уравнений нелинейных волн, содержащей как линейные, так и нелинейные диссипативные слагаемые и позволяющей описать с одной и той же степенью точности волны, возникающие в результате всех возможных балансов между нелинейностью, дисперсией и диссипацией. С этой целью в разделе 3.1 приводится постановка задачи, основанная на полных уравнениях Нчвь; - Стокса, т. е. вне рамок приближения ОБ. Для исследования

волн, существующих без дополнительных ограничений на характеристические числа задачи, вводится другой характерный масштаб для амплитуды волны з, такой, чтобы выполнялось соотношение г/н = н/х =е. В разделе 3.2 выводится обобщенная система уравнений для нелинейных поверхностных волн. Данная система, выведенная с той же степенью точности, что и УВД (I), в отличие от последнего содержит не только линейные, но и нелинейные диссипативные члены. Кроме того, полученная система уравнений может быть сведена к одному не. дифференциальному, а уже интегро-дифференциалыюму уравнению в частных производных для возмущений свободной поверхности. При рассмотрении только бегущих волн для описания возмущений поверхности возникает обыкновенное дифференциальное- уравнение

(V2 - а)»7е + я|ь V п5е - о(г?2)^ + -

Ч УвГ(г)г)вв + Г(г,э)ее - <1 „еее] = Н. (4)

Выражения для коэффициентов а -=• я зависят от характеристических чисел задачи, е = х-у^ ы=сопбъ. Наряду с линейным диссипативным слагаемым т>ев (4) содержит также нелинейные диссипативные слагаемые (*>в)г и (т>2)ев. Формальные точные решения этого уравнения, найденные в главе 4, исследуются в разделе 3.3 применительно к поставленной задаче, определяются ограничения на параметры, необходимые для несингулярности решения при Оказывается, что при определенных дополнительных ограничениях возможно распространение периодических поверхностных волн, обусловленное наличием нелинейного диссипативного слагаемого q У1Г(пг)дв. Эта волна описывается точным решением уравнения (4) вида:

Бп(т9)сп(те)с)п(т0)_ + ~

1 - 2эе2+ (<е* - э>2 +1)1х2 + Зж2сп2(тЭ)

(5) '

Для фазовой скорости волны V имеем

V2 - а - 2сг>с - £2£зГг72 + 4<3 ш2 (г4 - & +1)1/2

Ограничения на коэффициенты уравнения, необходимые для существования решения суть ь = ± Ц- ■Уй'/? q = ± е = о. При наруше-. нии этих условий распространение периодической волны по-видимому.

невозможно. Показано, что при этом возможно распространение сохраняющей свою форму поверхностной водны в форме кинка.

Далее строится асимптотическое решение обобщенной системы уравнений и показывается, что для произвольных допустимых значений характеристических чисел задачи и в пределах исследуемой точности в качестве модельного уравнения возникает возмущенное уравнение Бюргерса. Решение последнего показывает, что возмущения не оказывают влияния на амплитуду и фазовую скорость решения невозмущенного уравнения в виде бегущего кинка, Еыступая лишь в качестве малых к нему добавок. Наконец, в разделе 3.3 показано, как и при каких дополнительных ограничениях из обобщенной системы уравнений можно получить в частных случаях модельные уравнения Корте-вега-де Ериза или Буссинеска, уравнения Кортевега- де Бриза- Бюргерса или УБД и др.

В разделе 3.4 установлено влияние "небуссинесковых" эффектов на функциональный вид модельных уравнений, в частности, наличие слагаемого (>>е)2 в уравнении (4) только вне рамок приближения ОБ. Анализ условия существования нелинейной волны (2), начатый в предыдущей главе, позволил установить, что с учетом влияния действия термокапиллярных сил условие ь=о уже не будет представлять собой универсальную для любой жидкости линейную зависимость между' числами Рэлея и Марангони, как это следует из решения задачи в рамках приближения ОБ. Теперь (для удобства сравнения выразив число е через числа Рэлея, Прандтля и Галилея при помощи приведенного выше соотношения) мы получаем нелинейную, зависящую от чисел Прандтля и Галилея, зависимость и от На, очевидно, разную для различных жидкостей. Показано, что для нее не существует такого значения толщины слоя н"\ при котором она не может быть реализована ни при каком значении теплового потока а. Для сравнения на Рис.1 приведены зависимости между числами Рэлея и Марангони, соответствующие условию ь=о в приближении! ОБ (прямая I.) и вне рамок этого приближения для слоев н = 1 мм трансформаторного масла (кривая 2). глицерина (кривая 3) и силиконового масла (кривая 4). Заметим, что для большинства жидкостей числа к и На имеют один и тот же знак, причем положительным числам (1-ый квадрант) соответ

Рис. I. Значения чисел Марангони и Рэлея, необходимые для существования солитона уравнения Буссинеска: Прямая I. - любая вязкая жидкость, приближение ОБ; Кривая 2. - трансформаторное масло, толщина слоя 1мм; Кривая 3. - глицерин, толщина слоя 1мм; Кривая 4. - силиконовое масло, толщина слоя 1мм.

ствует нагрев слоя снизу, а отрицательным (3-ий квадрант) - нагрев сверху. Отсюда следует, что в отличие от приближения ОБ существование солитона 'уравнения Буссинеска невозможно при нагреве снизу. Наконец, исследованы изменения в описании характера распространения нелинейных поверхностных волн, в частности, зависимости знаков амплитуд от значений чисел Рэлея и Марангони, вызванные отказом от приближения ОБ.

Четвертая глава посвящена построению точных решений в виде бегущей волны для ряда нелинейных уравнений с дисперсией и диссипацией, неинтегрируемых при помощи метода обратной задачи рассеяния. В разделе 4.1 рассматривается уравнение (I). Для нахождения его решений последовательно применяется Пенлеве-анализ, ряд прямых методов, в том числе метод, основанный на представлении решения в терминах эллиптической функции Вейерштрасса. Установлено, что (I) не обладает свойством Пенлеве и, следовательно, ш является вполне интегрируемым, тем не менее авто-преобразоваь/е Бэк-лунда для него удается построить. При помощи этого преобразования точные решения (I) разыскиваются с использованием метода, обоща-ющего метод Хироты для билинейных уравнений. В результат находятся два решения в виде бегущей волны в форме кинка, последующий анализ позволяет, однако, установить их эквивалентность. Наконец, анализ полюсов решения при помощи авто- преобразования Бэклунда . приводит к построению предполагаемого решения в терминах функции Вейерштрасса р,

Г) = А ф + В !ре/(ф + С) + 0. (6)

где а, в, с и о параметры, определяемые при подстановке (6) в уравнение (I). Это позволяет получить решение в виде бегущей волны более общего вида, поскольку, изменяя параметры функции Вейерштрасса ег и еэ, можно получать из (6) не только решение в виде ктака, но также и решение в виде локализованного разрыва.

Раздел 4.2 посвящен построению точных решений в виде бегущей волны для (4). Для этого уравнения также найдено авто - преобразование Бэклунда. С использованием последнего сконструированы три различных возможных решения в терминах V- функции Вейерштрасса. Их подстановка в (4) позволяет определить параметры решений, со-.

ответствупцих в частных случаях уединенным и периодическим волнам или разрывным решениям. В частности, для одного из решений в терминах фунукции Вейерштрасса

Г) = В Pg/(!P + С)"+ D. (7)

найден предел, соответствующий ограниченному периодическому решению (5). Обнаружено, что разные решения в терминах функции Вейерштрасса имеют разные пределы в виде ограниченных волновых решений. Это указывает на необходимость поиска всех возможных видов решения. Аналогично, в разделе 4.3 найдено авто-преобразование Бэклунда и два точных решения в терминах функции Вейерштрасса для . нелинейного уравнения с дисперсией и диссипацией,

ntii) + а 1)Г) + а г) + а г) t a i) +

1 Ох 1 X 2 XXX Э ХМ 4 хххх

+ аз (и >»„>„ = 0, (8) '

предлагавшегося недавно для моделирования распространения нелинейных волн на поверхности слоя вязкой жидкости. Одно из найденных решений соответствует ограниченной периодической волне, распространяющейся по поверхности вязкой жидкости, что может быть объяснено взаимовлиянием линейных и нелинейных диссипативных слагаемых в уравнении (8).

Наконец, в заключении кратко суммируются основные результаты, полученные в работе.

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ РАБОТЫ

1. Проведен анализ пригодности приближения Обербека-Буссинеска для исследования распространения длинных нелинейных волн на поверхности тонкого слоя вязкой неоднородно прогретой жидкости. Показана непригодность применения приближения ОБ к решению исследуемой задачи, введено число, характеризующее "небуссинесковые" эффекты.

2. Предложена новая постановка задачи, основанная на полной системе уравнений Навье-Стокса с учетом температурной зависимости плотности во всех уравнениях.

3. Разработана процедура вывода квазигиперболических модельных нелинейных волновых уравнений из исходной постановки задачи, пригодная как в рамках приближения ОБ, так и вне рамок этого приближения. Выведен ряд новых модельных уравнений, в частности уравнение Буссинеска с диссипацией (I), уравнение для "медленных" волн (3).

4. Выведена обобщенная система уравнений для описания нелинейных волн при произвольных параметрах задачи. Для исследования распространения бегущих волн из этой системы получено новое нелинейное уравнение, включающее в себя нелинейные диссипативные слагаемые. Показано, что учет этих слагаемых позволяет найти новое точное решение, описывающее распространение ограниченной периодической волны в среде с диссипацией. Показано, что при определенных условиях из выведенной обобщенной системы уравнений могут быть получены в качестве модельных уравнений ураЬдения Кортевега- де Ври-за, Буссинеска, Бюргерса, Кортевега -де Вриза -Бюргерса и др.

5. Для ряда нелинейных уравнений с дисперсией и диссипацией найдены авто- преобразования Бэклунда, построен ряд точных и асимптотических решений, аналитически найдены условия 1а существования. Исследована устойчивость кноидальной волны уравнения Кортевега -де Вриза к диссипативным возмущениям, выведены формулы, описывающие изменения параметров волны вследствие, действия воз-, мущений.

6. На основании полученных результатов обнаружены качественные отличия в описании длинных нелинейных поверхностных волн, возникающие при отказе от приближения Обербека - Буссинеска.

7. Предложено применение полученных результатов для определения температурной зависимости коэффициента поверхностного натяжения.

Основные результаты диссертации опубликованы в следующих работах:

1. А.В. Порубов. Нелинейные волны на свободной поверхности тонкого слоя вязкой жидкости.- Препринт JH502 ФГИ им. А.Ф. Иоффэ РАН, Л.Г1991, 28с.

2. А.В. Порубов. Нелинейные волны на свободной поверхности тонкого слоя вязкой жидкости. Сб. докл. 7 Всес. съезде По теор. и прикл. мех., Москва, 15-21.08, 1991, С. 290.3. А.В. Порубов, A.M. Самсонов. Об определении зависимости коэффи циента поверхностного натяжения от температуры посредством оценки параметров нелинейных поверхностных волн. //Письма в ЖТФ -1993 -Т.19 -Ш - С.15- 19.

4. A.V. Porubov. Exact travelling wave solution of nonlinear equation of surface waves in a convecting fluid //J. Phys.A. -1993 -Y.26 - P. L797-L800.

5. A.V. porubov. On some exact solutions of Hyperbolic Boussinesq equation with dissipation. In: Nonlinear Hyperbolic Problems: Theoretical, Applied and Computational Aspects, A. Donato & F. Olive-ri eds., Vieweg, Braunschweig, 1993, P.481-486.

6. A.V. Porubov, A.M. Samsonov. Free surface solitary waves on thin viscous inhomogeneous liquid layer. //Proc. of 2nd European Fluid Mechanics Conf., Warsaw, Poland, Sept. 20- 24, 1994, P. 236

7. A.B. Порубов, A.M. Самсонов. Уединенные волны на поверхности тонкого слоя вязкой неоднородной жидкости //ЖТФ -1995 -Т.65 -ЖЗ -С. 5-17.

8. A.V. Porubov, A.M. Samsonov. Free surface nonlinear waves description vs Oberbeek - Boussinesc. approximation //Proc. of the Intern. Symp. "Nonlinear Waves, Oscillations and Vorticies in Fluids", St. Petersburg, Russia, June 1994 (in press).

9. A.V. Porubov, A.M. Samsonov. 'Influence of compressibility on existence of free surface solitary waves in B^nard - Marangoni system // Сб. тез. докл. 10 Зимнзй околи по мех. спл. сред. Пермь, 27.02 - 4.03, 1995, С. 201-202.