Некоторые задачи АВА-факторизации групп подстановок и классических групп тема автореферата и диссертации по математике, 01.01.06 ВАК РФ

3 ГОСУДАРСТВЕННЫЙ КОМИТЕТ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ ПО ВЫСШЕМУ ОБРАЗОВАНИЮ

ГСП 'ПО?!

'^ЯРОСЛАВСКИЙ ОРДЕНА ТРУДОВОГО КРАСНОГО ЗНАМЕНИ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ПЕДАГОГИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ им. К. Д. УШИ НС кого

На правах рукописи УДК 512.54

ЗАГОРИН Дмитрий Львович

НЕКОТОРЫЕ ЗАДАЧИ ¿^-ФАКТОРИЗАЦИИ ГРУПП ПОДСТАНОВОК И КЛАССИЧЕСКИХ ГРУПП

01.01.06 — математическая логика, алгебра и теория чисел

Автореферат диссертации на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук

Ярославль — 1994

Работа выполнена в Ярославском государственном университете.

Н а у ч н ы н руководите л ь:

доктор физико-математических наук, профессор К а з а р и н Лев Сергеевич.

Официальные оппонент ы:

доктор физико-математических наук, профессор Кондратьев Анатолий Семенович,

кандидат физико-математических наук, доцент Г у Н1 е л ь Николай Петрович.

Ведущая организация — Санкт-Петербургский государственный университет

на заседании специализированного совета К 113.27.01 по присуждению ученой степени кандидата физико-математических наук в Ярославском ордена Трудового Красного Знамени педагогическом университете имени Ушннского по адресу: 150000, г. Ярославль, ул. Республиканская, 108.

С диссертацией можно ознакомиться в библиотеке ЯГПУ.

Защита состоится

0l¿T»(>Pfi 1994 п в

часов

1994 г.

Ученый секретарь специализированного совета кандидат физико-математических

наук

В. Г. Шендеровскнй

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Л г. т у л л ь и ость т е и « . Одаки из важкеяшах иакрг-шгеняя в &сспгщо$аш1ах по тсорма конечных груян являете® аау-чшгпс яопечних групп с пимощъп раояячных фактсрйзгщчй. Под фагл-орйвзцпем группы понимаете.» се. прсдстаолание в пяде про-:тш:<де»!пл ¡шкотсртлх подгрутггт, п определенном слаглхс».

Пгшюсть шучамяя групп с.факториилився состой! д тон, что, описывав сойказсэтеяз» «окно Сеяее просто описать сгрэениз са-ноя фаиорэтуа&щ груглти. 5оаьшке классы груш», в« р?о-рещкмыг*., нл.чык>тпягш.т, тгргстх-!" »'¡,;}';плл ийсмкого тяпг к дру-гйй» обладают сстествсш'шяп фгк'.'пиаиа.'.яскв. Пздаа&пп'"«« часа» ковечкнх груиа обладает, ига$нп*ер, А ЗЛ-Ф'Чторяоапрек доя тгодждявдх подгрупп Л я О.

Вовросм, смогшкое с фгаторгояпачяк то«П)Шх грутш и, п частости, с их Л^Л-фАПортаадкги»?, ркх.'игрвдаяась в р»;-яччггоо мкогямв аагсбргпстгмя. фмторззядка го-

ночных групп двумя подгруппами Л П В ?оупяяк«л ФЛСоялм, С.ЛЛупихаши,О.К«чшем, Г.Оалыщто», И .И го, Е.Фпемап,

л.с,кг^,-)р1«!г,ги и гфз'гшш.

Сункстйоияо мешае ргоультатов о фютсфдо&квз О — ЛВЛ, так кэх оада'и. очесакая татсх груш С? в г^учие тр&иы.

До* ьреде.чп было ^ ^ордатно,. «шипе* ая г й-Г1г:' гг?,ю

АВЛ-группа с нвиичгеккми ясчу-руотамя А и Б.

ДЯД-фажторгашщя Мкечвш групп вдздв ДЛЪрслстсйг, И.Н.Херстсйи, Ж.Сеп»,Т,Цаятгэ, МЛУтермал, З'.П.Дмгороя, Л.€Л<аааршт, Л.Ц.Сыт. 1Ьяа б«ла, е ■тотетегя, пахугсаа еш*-торыс прангазя 'раирстаяост-а я нгс^астати ■'Г?/1-гр.у1Я!.

Ra сегодигшнвв день одним ш адту&лыш с в отом направления лопросо». является елгяующвд: рьярагама щ ышодш грушзз внда G — ABA с ибелевок подгруппой А в дшишмесвов шдгруплов В ([lj, вопрос 9.63)? Актуальна а другаа иадала: перелвсдать все простые группы, нредсталимые в оиде С? = ЛЛЛ, где А ж В абе-веви {{lj, иопрьс 4.27).

Цель работы. Решение сягдуюищх оадач уШЛ-фаггоряоацвя юиачых групп:

L Вшсквть йотмоясность факторгаадва

5»«= ABA, АЖ^АВА

дая chmwctj«í4oo?oü группы Sa и онакшеремсниша группы Л„ пра рпягагпшх предпояожалнах откосятель^о подгрупп Л а В: (а) п группы Л в В раорешвуы;

(о) Л - цшганческаг, а В - раорецшмаа подгруппы (шщ наоборот),•

{») Л и В - гбедевм подгруппы.

2. Вшсиить возможность АВЛ-фа»тораойцнк хаассачес?цх групд (в частности, простых «кассцчесгвх групп) вбеяешии подгруппами А и IÍ. Под sKaccinecsiWB группами адесь щцятг.а.torca гяасеичосзта штриище группы - позлаа гшпедша, сиецйааииш лттг&пм, спшшгхтичсгЕая, унитарная (общи а ешцшаьдзд) и ортогональная, а такке ах ираепшиис ощ>ици.

Методы исследования. Применены теор вя груий дадстаисшж, методы яинейиой алгебры в дашекных г руин, теория грудп Шеааклз и, в члст1!остя,кааесичегхях групп-

Првмеисни raíate истод нндутии, прямые иычвслеиая в ко-Нечньгх группах к иычпсяеши с помощью матричного аппарата. Н а у ч на а и о ь и о н & . Все основный реоуаьтаты дкесер-

таэдя .^ялютея вовыни и пршадшват автору,

Практическая к теоретятескаа яея-аость . Работа носпттесретпчссепя характер. Ргоулмгатм могут быть применены II теорий гоцечаык групп дэд исследования групп с фагторгоадаями, дяя нсся-здозалт» раорсштпдх, чильпо-тенкшх групп и других важных классов хопечных групп.

Апробади» рабат к , Осношш«! результаты ко-кладквалкеь на семинаре по теорсп групп а Ярсслазсгом гсеу-дарсгтеапои угавлрапсте (1991-19:<2 гг.), на хочферсндпч по теория грули а ГЪлуое, Прл&чдрд (1033 г.). Автор выступал с доглядом на Ш' Иеяцуиародкой юнферсяцян по ьлгебре паште М.Й.Каргаполова (Краоюзрс*, 1693 г.).

Пубппх&цап. Осдоьиие рооуяьтми диссертаций опу-бактованы й пдтн работах, слвсо* ютлрых нрияядсн в конпе автореферата..

Структура диссертации.Диссертация шзшяат на 123 странйцах, состоят «та 4-х глав, пряямксиеа. Библиография содержат 64 наямекованиЛ.

СОДЕРЖАНИЕ ДЙССВРТлШШ

. Работа состоит кп взсдглп*. г.пясс а оснорлрк сбочнэтеяей и 4-Х глав. Во авгдопкн рассматретагатсз осиоакые этапы мзуче-пйз АРА-ф&шторттяя гопетямх групп я артгцсяи осяотиыв ретупьтаты диссертация.

ГЬа-а I содержат предгаратеяьные оштатвЕ а технические реаультаты. Здесь а §1 сначала форму.таруютсл лредкжеггаз

Д.Л.Супруненко (¡3)) опр-шитиьных разрешимых группах подста-ноаюк, иснс^-дуемыс я ад а тучеиш ЛЯЛ-фзхторкоадтг симметрической группы Зл. При цссяедоваяни ЛАД-фаморвдацпв £а исиодюуется тт же

Л с и и а 1.1 (¡¿|, тсореча 1Л). Пусть Г* - раарешккая подгруппа группы 5'к. Тогда

•Затем выводится оценги дяя порядков а5еяевых линейных 1 рупп «ед конечным полем &1'\<1) • иепрввациии*;, вйояие нцанодймих и групп соквиьопентными ио.приводймыиа час теми.

В сьяси с исследовавшем коакожности абелезай ЛЯЛ-факгорн-оадде проехтншшх *кассичес*их групп примдатсл некоторые оп редея :| Щ и результати о нилмютентиих шшейшх группах. В частности, Оолылул реяь дальше играют лииеяшле группы е юн-кут&итои, состоящим лишь ко сдаяярвых матриц. Т^хие группы лаоваиы лй-грушташ.

В £2 указаны евснстеа групп с АВА-факторшаодей перечислены йевестние ресудьтати об АВА-группах, ясвокшуемие я диссертация.

В нохадано, сак свести шучинне аЛелмюп АВА-фа*ториоа-дан ¡¡яасагЧес&оа группы С к группам меньшего яиевсхого ранга. Дохаоаиа следующая пеима.

Лемма 1.3,6. Пусть О е САеи(р) и А/ - мнолестю ьсех собственных максимальных параболических подгрупп группы <3, содержащих борепсрскую подгруппу Уц. Пусть еще даа любой V е М найдется ее сомножитель Леей не имеющие абеде-Бйй АВА-фажторваации. Тогда. О не мйжет иметь абспсву АВ А-фадторвоацвю с Ог(Л) ф 1.

Пру яссдедсгеалЕи ъдаможкости ЛЯЛ факторпомуш хпзссотв-С1ЯХ груия основные труд г о ста Судут дпстза.тять группы малого лвевогого ранга. Каж только будет установлено, что все группы раНгов 2, 3, ... . тп «и Рмеют абслероа /ЮЛ-фалторвоадшг, следующий шгг - проведение долаоательегоа для рэнга т > т0 с по-Мо'дыо ¿»едукцзошюй леммы 1.3.5 (с убегом результатов для случая Ор{Л) — 1). Но ,плл *лждон лиевской гругтди »пачеччя ранга п%» с которого удобное пачнйать рассуждени«, лвое.

Пива П посвагсеч-! ретоп;о кескоягжйх о а дач ЛДЛ-фалторв-оа«ии сцм^етрлчесгвх в тааколере^еииых групп лодстпиойох. Даа решения отия саду* исиольоустса полупениее втором оплатив мгисЕыалышч радрешккых подгруп!! группы при п $ 60.

В глады И спслма рассматряваытсг махсаматгие разрешимые чрнматагны^ подгруппы /у (р - простое ■чнеяо). Описание тадях подгрупп получается с помощью построения группы Р П1рал.тсль!шх перелссог ттростр&петзг Е = п по-

строения игпрняодяхют рэорсетгммх подгрупп Л плитой чой груптг СЦИ'^). В качестг-с яриьсра отесываются ммея-ыалыше раиредтиимо ярпиятйаиые иодгругяы грушш 3\в.

Затем- ¡юдглитыааютсд мфадта »«»елмялышх рэяр«!гйкмх храшатаапш. подгрупп 5», п < 60. Т) »г^пггожолка «ртводагге* таблица наибольших Ьооможпых порядков таг их грутп.

После рассмотрения общего случрд не омагл-елмю тразтИти-иаых групп строягса зтогозгя таодя 11 нчяйояыцих всюможпых «орлджой раорешамых пог^рупп груляы п < 60, причем рля антраиовтиьных поргрул» подст&исво* у*аоьдадатс* системы вя-траиов-яниоетя»

В 52 главы II рассматривается ЛВА-фа*торкоацпя сякметрн-

Б

«¡ccíbx в шшоперемешшх групп раорсцитымз -¡эдгруппамн А и В. Стклощмо леммы 1.1.5 получаете? основной реоуаьУат:

Теорема 2.2.2. Еслк п — 47 ¡пи п > 53, то 5Л не мажет бить представлена и ьщо ABA, где Л -л В - раареишмме. подгруппы .5».

ÍJocse (vi о го исследуют« случаи, хогда одна ао разрешимых подгрупп A Híffi В дплличесвал. Бела SV. = Л Л Л и Л • цнгаечесЕаа, В - раорепшмаа подгруппы 6'я (тмщ фохторноацщ называется Д- цаивческой), то

есян же В - цводтзеехад, Л - раорцшинаа (Я-цаиаческоа фаиа-рвианил), »о

Лслояыование стих одсно* н таблица 3 поозоадюх нолу*гнть

Теорему 2.2.4. Л-цмлическая <]>аатор&)адая 6', певоо-можна, есян si > 10; й-нмлкчесхая фахторшациз S* невсыможна, если n¿21.

Длз О1шоперемешшй группы A¿ сответствузощвй реоуяьтат ьыгмдат «кяу*мцнм обраиоы:

« еореиа 2.2.6, Равенство Л„ = ABA, Ли В' рапрепгемме . подгруппы Л„ леяооможно, если п = 46,47,51, п > 53. Я частно-ста, Л(В)-дгалипескаа факторшацнд Ал uenoaucmia, оелк л > 9 (соответственно, п > 21).

В $ г^алц I! вссаедуютса И /М-факторно ацяи За я Ал с айече-8КМЖ сомножителями А и П. О^есь получена аценЕа да иоряджа абедевоя подгруппы Л m Sn: |Л| < е*('.

С яомощью етой оденка дохаоаны теоремы: Т е о р ем а 2.3.2. Если S» ~ ABA, rjys А а В - ейеяевы подгруппы 5», то а £ 4.

?

Теорема 2.3.3. Есяп Ая - ADA, где А а В - абеаезы «одгруппы Л», то п < 5, лрглеы в случае я = Ь группа 3 не иожет бить цкжанчемсн.

В главе III рассмотрены вопроси Л#Л-фзитордайцяя яяасся-leam групп (особый случай ортогональных групп иселяяуетсз в raase IV).

В £1 главы III исследуется вооыожкость ЛВЛ-фахторшзация полнод яипейлоа группы GL(n,g) над OF{q) абеяегшмн подгруппами А а В. С жшопхьзд оценок дад поредtoв añ елевых подгрупп GL{n,q) пояучаегся основной репуяьтат:

Т е о р е г! а- 3.1 .Ü, Пусть GL(n,q) ä ЛЛЛ, где Am В- абелевы подгруппы G£(n,<?). ЛЪгда тбо

1) GL{n,q) - раорешайая группа {п — 2, д — 2 шга п — 2, q - 3), яябо 1

2) п - 2, g =» 2f, i > 2, Л - ненршюдиыал днзличесхая группа, порадаа 52 - 1, В - ведигшгческаа подгруппа в Р* х S, где S • сзасапйя 2-noftrpyHnaGI(«,y), GF{q).

В $2 нсследуетса ДХМ-фаггоркзацзя GL(n,q) ¿^-подгруппами Л и В (юротжо: лй-фажторайадад), Найдены оценки для порядков

подгрупп GL(n,q), ИспЛльоуа от а оцеши. получаем теоремы:

Теорема 3.2.12. Группа Gt{n,(¡) при п £ 3 ие ямеет як-фахторноацни. (lipa нэтетиом q > S в GЦ2,q) пет зк -фаггорипа-днн).

Теорема 3.2J3. Группа PGL(n,q) ирп п > 3 ив имеет аб елевой ЛЛЛ-фа*Тор®з4цйн.

В S3 с помощью изучения зА-фахторваадии в группе SL(ntq) устанавливаете«

Теорема 3.3.9 (С д «дет в а в). Группа PSL(nf9)

с

почти всегда ие имеет ебелевол ЛРЛ-фа1торчоации. Ислшчепна составляют случал:

1) Г6Ц2.2), PSL(2,Z).

2) PSÍ{'¿, 5), имеющая едянстаеийую, с точностью до еопря-женпрсти, абеьеву ЛйЛ фахторпиацоло, где Лн^, Б & Zjx Z%.

3) Р8Ц2,2') ABA, где í > 2, A е Д - (иецоггтче«а«) 2-сяяовсжаа под[ руипа /^£.{2,2'), ¡Z/f -

В $4 ксляедустсивооножпос:!. фалторяоадви

ЭДя,?) ~ ADA

зв-подгрупиамя Л и В. <3 помощью полученных оцеяо* для лорад-*оз ¿«-подгрупп -9p(n,q) и с помощью редукционной леммы 1.3.6 то г я? вы I п ьпдухцлл по »» получена

Теорема 3.4.9. л к-фах тор янация ~ АРА н эйелсва

ЛВД-фахториоацв« Р.ЗДм.д) —• ЛОЛ невозможны *громе случаев в = 2, 2',3,5.

51 b,íi íuákíü III пог.пдиншь' вссяедоп-шию йсииожности »к-фздтормоации общей к аиециаяънон унитарных групп. Здесь работают сьолстка награды Граыа, одеПШ дя» порядно* абелевмх и, боаее обеде, sk подгрупп, раоаиччме вшмоктюстя рмЧелрнводп-*шх частей расоитрнваещлх як-подгрупп, а ras же рвд'кдяолпля лемма 1.3.0 а видухцпя t:o п (дш: п > ft). Илотом пути яолучмт следующие реоуйьтаты:

Теорема З.й.14. В почти всегда пет абелевой

ЛВЛ-ф«*торвп«ции. Цсккючепие состаеляыт случаи:

/'64/(2,2»), PGU(2,\t).

'Г е о р е м а 3.8Л0 (С л едет пи е). Группа PSV(n, дг) почте всегда не имеет абелевой ЛДЛфалторпиащги. йошюченил:

PSV(2,2»), РSU(1,9), P.9Í/(2,2S).

В главе IV исследуется вдаиожнос.ь АВА-факторкоаций абе-вевимя подгруппами А и В дяг ортогональных групп 0„, SOnt а также дал Пц> ч PÜa над GF(q). Харахтерястяжа тля OF(q) предполагается отяггшОв от 2.

Для малых п {< 7} испояьоуются рзошччые ипоморфяомы между группами типа Ли, а также прямив вычисления (при п < 10) д;ш оценки поргдхов абелевых подгрупп А. При »том учитываются раулачные вооможносго для дискриминанта симметрически билинейной формы, сшюашшй с рассматриваемой ортего-Káíibitoíi группой*

Сформулируем окончательный реаультат:

Абеяеви /Шл-фаисторпоадии:

On = ABA, SO„ = ABA, ft» e ABA, Ffta = ABA

почта всегда отсутствуют. Иашючешя состанялют следующие группы:

1)OtlSOb

2) 03(3), SOs(3), П3(3), П3(б).

3) so?(3), Qt(s), pam, «W

При ото и В - нещаЛичссжяя, если ЛДА-группа неразрешима.

В оахяючепие автор шракает глубокую благодарность своему научному руководителе, профессору Л.С.Кааарину оа ценнее советы и поддержку а работе.

»?

ЦИТИРУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

Ц] Нерешенные вопросы теерв« групп. Коуршхз&я тетрадь / Ин-т математпхи СО РАН. - IIoBocEónpci, 'Si)2. -1*6 с.

{2} Горенстеки Д. Конечные простые группы. Введение с ях клас-скфикацяю. - М.: Мир, 1S85. - 3S2 с.

(3J Cynpyíícjixc Д.Л. Группы матрац. - М.: Наука, 1972. -352 с.

[4} Катран Л.П. О конечных ЛЙД-группау. // Вопросы теории групп к гомодогачесЕок алгебры: Сборни« научим* трудэа / Яросл. гос. ул-т. - Ярославль, 1998. - С. 92 - 37.

[5] Pally P.P. Bound« íor linear groups oí odd order // Rcïk!. Cire, mat. Palermo. Ser. 2. - Ш0. • V. Л P. - N 23. - P. 253 - 563.

РАБОТЫ АВТОРА ПО ТЕМЕ ДИССЕРТАЦИИ '

fí} ilaropras Д.Л. МаяскмЕлыше разрешимые подгруппы группу 5р(4,3) // Вопросы теории rpymi и гомоломгчрсжов алгебры: Сборяак аг.уччда трутов / Яросл, гос. ун-т. - Ярославль, 1990. - С. ICS - 167.

[2] Загори» Д.Л. Мадсимап-ные ириннтяшые раарешкмые подгруппы снмпяекгпчесмй группы S/>(4,p) / Яросл. гос. ун-т. - Яросмвиъ, Î9S1. - 74 с. - Бсблногр. 12 naos. - Рус. - Ден. в ВИНИТИ 17.56.01, N 2Д19 - В91.

J3) Загорай Д.Л. Мзхсвмаяьмые примитивные разрешение подгруппы сЕМязектвдгсшй группы Sp(4,p) // Международная

лояфереяцда во алгебре, посиад^шаз ваштл А. И ¿Ширшова (1921-1581). Вариауя, 20 - 25 августа 13Э1 г.; г1\я. долл. но те-opsai групп / Зп-Т мзтеыаткхи СО АН СССР, - Псаосибарсж, 1991; - С. 3?.

{4} Затерял Д.Л. О максимальных раярашамых подгруппах енн-метрмчесюи группы &» длз п < 60 / Рыбвксшн авяац. техноя. йн-т. - Рыбанс*, 1392, - 33 с. - Бпбяиогр. 5 иаэв. - Рус. - Деп, а ВШШТН 19.01.93, N 114 - 093.

{5J Öaropmi Д.Л. Об ЛВЛ-фахторкоащщ самметркпаскоа ы аиа-юггереиешгай групп подстамотюж / Рыбинск кн азаац. техиол. яи-т. - Рыбинск, 1993. - 21 с. - Ваблиогр. 11 наой, - Рус. - Деп. в ВЩШТН 18.02,93, N 398 - В93.

[3} Загоряя Д.Л. Об ^ДД-фахторйоацкн простых групп ргшреша-ццни подгруппами Л а В // III Международная жонферендиз по алгебре пашта М.П.Каргалолоаа (1928 - 1976), Красноярск, 23 * 23 августа 1933 года; Тео, додд, / Ин-т матенатшш СО РАП. - Краоюлрсж, 1993. - С. 118.

[7] Saropmi Д.Л. ЛЙЛ-фахторзоьцня помои някешюа группы кбтаптт подгруппам Л а В / Рыбишснш азит,. тшшол. вя-т.'-.Рибипсж, 1531. -15 с. - Шбзаотр. 9 ааов. - Рус. - Дл. в ВПППТП 0S.01.91, N 818 - D34.

(3) Оагорип Д.Л, Абекевы ЛЯД-фахторазацав зяассдчесхих груда / Рибиисяпй аввац. техиол. ин-т. - Рыбинск, 1904. - 32 с. -Бибпиогр. 15 каов. Рус. - Деп. в ВИНИТИ 10.06.94, N 1455 - В94.